автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.17, диссертация на тему:Исследование процедуры дискретизации и восстановления реализаций случайных процессов в радиотехнических системах по функции условного среднего

На правах рукописи

Беляев Михаил Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕДУРУ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО ©УНКЦИИ УСЛОВНОГО СРЕДНЕГО

06.12.17. Радиотехнические н телевизионные скстеыа м устройства

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рявянь 1(Ш

Работа выполнена на кафедре радиотехнический систем Ря8ано-кой государственной радиотехнической академии.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Каааков Владимир Александрович

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

Перов А.И.

кандидат технических наук, Паршин Ю.Н.

Ведурдя организация - Научно- исследовательский институт

"Рсссвот", г.Рясаиь..

Защита состоится 1995 г. Б^.ОЮна сгюода-шл

диссертационного совета К 033.92.01 в Рйвансшй гссудс.рс-твенной радиотехнической акадеыет, ЕСС005, г. Рявань, ул. Гагарина, 59/1.

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотека Рязанской государственной радиотехнической екадеши.

Автореферат разослан ^ 1995 года.

Ученый секретарь совета

к.т.и., доцент < "" Столяров А.Ц.

Данная работа посвядена дальнейшему совершенствованию радиотехнических систем передачи информации на основе исследования оптимальных интерполирующих алгоритмов в малоизученных моделях дискретизации - восстановления реализаций случайных процессов. Научные исследования относятся к области статистической радиотехники и теории радиотехнических систем передачи и обработки информации.

Актуальность темы.

Краткий обзор состояния вопросов статистического описания процедуры дискретизации и восстановления (ЩЮ) реализаций случайных процессов, сделанный во введении, показал, что существующие принципы дискретного представления аналоговых информационных сообщений до сих пор используют в качестве основы ряд по функциям 31пс-з1п(ы1+к«)/(и1+кя) или различные эмпирические методы восстановления. Однако уже эалояены основы оптимального статистического дискретного представления реализаций случайных процессов, позволяющие не только восстанавливать исходные процессы с минимальной погрешностью, но и оценивать эти погрешности для различных параметров ПДВ/

Вместе с тем, в рамках этого подхода не исследованы свойства погреикостей оптимальных интерполяционных алгоритмов восстановления при конечном числе отсчетов я произвольном характере их 'рссполсяёши для многих практически ванных вариантов ПДВ и моделей сообщений с неограниченным спектром. Здесь имеются в виду иодели, пироко используемые при изучении разнообразных радиотехнических систем. Перечислим варианты ШШ, для которых оптимальные интерполяционные алгоритмы, основанные на функции условного среднего, оказались не исследованными :

1. ПДВ осуществляемые по отсчета?/) реализаций процессов и их линейных преобразований;

2. ПДВ реализаций нестационарных процессов, характеризующихся переменной дисперсией и переменной временной структурой;

3.-ГЩВ реализаций разрывных процессов;

, 4. Не полностью изучены свойства дискретно-непрерывного алгоритма фильтрации немарковских сообщений с учетом процедуры восстановления непрерывных сообщений в промежутках между передаваемыми отсчетами.

Цель работы заключается в проведении теоретических иссле-

дований, направленных на дальнейшее совершенствование радиотехнических систем передачи и обработки информации, использующих дискретно-непрерывные алгоритмы функционирования.

Задачи исследования.непосредственно вытекающие ив анализа вопросов, недостаточно освещенных в литературе, и цели работы:

1. Сопоставительное исследование интерполяционные алгоритмов ВДВ, осуществляемых на основе функций Sine и оптимальных по критерию минимума среднеквадратической ошибки.

2. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погрешностей ВДВ но отсчетам реализаций гауссовских процессов и их линейных преобразований.

3. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погрешностей ВДВ по отсчетам реализаций нестационарных гауссовских процессов, характеризующихся переменной дисперсией и переменной временной структурой.

4. Определение оптимальных восстанавливающих функций (моментов перехода) для реализаций бинарного мартовского процесса.

Б. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погрешностей ВДВ по отсчетам реализаций непрерывных не-гауссовских процессов.

6. Исследование дискретно-непрерывного алгоритма фильтрации немарковских сообщений с учетои процедуры восстановления непрерывных сообщений в промежутках медду.передаваемыми отсчетами в переходном и стационарном редкмах.

7. Разработка новых технических решений, направленных на повышении точности радиосистем передачи и обработки сообщений, использующих дискретно-непрерывные аагорнтш функционирования.

Основные положения. выносимые на вазиту :

1. Для стационарных и нестационарных гауссовских процессов с произвольным спектром при ограниченном числе отсчетов оптимальный по критерию минимума среднеквадратической езибкц интерполяционный алгоритм, основанный на функции условного среднего, имеет более высокую точность, по сравнения с восстановлением по функциям Sine.

2. Использование при интерполяции многомерных отсчетов, вкизчащих в себя отчеты процесса и интеграла от него, приводит для иоделей в виде гауссовского марковского процесса и ре-

- b -

чввого сообщения к уменьшению средней ошибки восстановления (или к эквивалентному уменьшению частоты дискретизации) более чем на 20 X.

3. Оптимальной интерполирующей функцией для винеровского процесса является полином первого порядка, при этом погреи-иость интерполяции на интервале дискретизации изменяется по параболическому вакону.

4. Использование интегрального линейного преобразования для бинарного марковского процесса позволяет устранить ошибки интерполяции, связанные с процедурой дискретизации-восстановления,

Б. Структура устройства обработки, синтезированная по дискретно-непрерывному алгоритму фильтрации немарковской гауо-совской последовательности, обладает инвариантностью к мерности используемой модели сообщения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего в себя 94 наименования и приложения.

Объем диссертации составляет 160 страниц, включая 108 страниц основного текста, 42 страницы рисунков, 10 страниц списка литературы, 2 страницы приложений.

Краткое содержание работы.

Во введении произведен краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулированы цель работы и основные задачи исследования.

В первой главе кратко приведены основные статистические характеристики моделей случайных процессов и информационных сообщений, широко используемых в теории радиотехнических систем - винеровского процесса, гауссовского марковского процесса, моделей телеметрического, речевого и увкополосного процессов. Проведено сопоставление точностных характеристик (дисперсий ошибок восстановления) двух алгоритмов интерполяции по известному набору отсчетов IXj.i-l.NK Исследованы алгоритмы, испольвующие в качестве восстанавливающих функций x"(t) функции Sine :

Xsmc'U) - ll*k(t)l|T HXtll .

<?k(t) -

sinl(k-l)fl + UbU (к-1)Я + Wat . Sln[(k-N/2)B - Wat}

1 < к < N/2

N/2 < к < N

(k-N/2)rt - ^t

6sinc2(t) - <(xSinc*(t)_x(t))2> -l-2H5k(t)||T||K(t.Tk)ll +

♦ ll9k(t)||Tl|K(TK.Tj)IIH<?j(t)ifT . и функцию условного среднего :

xyCji"(t) - in(t) - m£t) + ||K(t.Ilc)IHIK(Tk.Tj)irl *

x [l!X,||- Ilm(Tj)[|j ,

6yc/(t) - 62(t) - 62(t) - MKa.TkXIIIKdk.Ti)!!"1 x x liK(Tj.t)M .

где: m(t), 62(t) и K(tk.ti) - математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция информационного сообщения, a^j -элементы матрицы, обратной корреляционной K(Tk.Tj).

Сравнение проводились для модели процесса, получаемого ив исходного гауссовского марковского путем резкого ограничения спектра на частоте «в, при регулярной дискретизации выборками с периодом :

ЛТ - л ¡»в-1 .

Результаты сравнительных расчетов на ЭВМ показывают, что с ростом ыв ошибка восстановления с помошьо функций Sine приближается к ненулевому пределу, наличие которого связано с ограничением количества отсчетов. Восстановление же по условному среднему имеет нулевую асимптоту. Таким образом, для физически осуществимых процессов с неограниченным спектром при реальных условиях интерполяционного восстановления (задержка в ввдаче оценки мала1 ю число отсчетов невелико) оптимальный алгоритм услов«ого среднего более предпочтителен.

На основе общего соотношения для многомерной условной га-уссовской плотности вероятности получены выражения для восстанавливающих функций и функций ошибок восстановления для вариантов ПДВ стационарных гауссовских процессов по многомерным

отсчета! с испольеованием как отсчетов реализации самого процесса, так и некоторых ее линейных преобразований:

х"«.) - <х(«|Х(Т)1У(Т')> - <к(1)> + + киа.т.т'жыт.т'г^ [х(?)1У(Т'))т -

- [<Х(Т)>КУ(Т')>]т] .

б2а) - к11а)-к12(1.т.7')к22(т,т')-'1к21(т',тд) ,

где : Х(Т) и У(Т') - векторы отсчетов реализации случайного процесса х(Ь) и ее линейного преобразования у(и-1Лх(Ш, К12а.Т.Т'>. КггСТЛ') и К21(Т'ДД) - корреляционные матрицу.

При исследовании интегрального преобразования получены выражения для восстанавливающим функций и изучена форма и поведение кривых ошибок восстановления на интервале дискретизации. Показано, что для рассмотренных моделей процессов (гауссов марковский, телеметрический, речевой и процесс на выходе трех последовательно соединенных ЕС-цепей, находящихся под воздействием белого гауссовского шума) использование дополнительной информации, з&чдоченной в отсчетах линейного преобразования, приводит к уменьвении погрешности восстановления. Однако дополнительное сопоставительное исследование алгоритмов восстановления по отсчете:) только реализации процесса и с использованием отсчетов интеграла в эквивалентных условиях (одинаковое количество отсчетов и пропорциональная частота дискретизации) показало, что использование отсчетов интеграла оказывается эффективным лишь для наименее коррелированных моделей -гауссовского марковского процесса к речевого сообщения.

При исследовании линейного преобразования в виде производной с временной задерлкой отсчетов такде получены выражения для восстанавливающих функций и изучена форма и поведение кривых ошибок восстановления на интервале дискретизации. Показано, что для рассмотренных моделей процессов (телеметрический и процесс на выходе трех РС-цепей) использование отсчетод производной от реализации, в том числе и смещенных по времени относительно отсчетов реализации процесса, при эквивалентных условиях сопоставления, окачивается неэффективным.

- в -

На основе проведенных исследований предлсдена структура дискретной системы передачи непрерывных сообщений, использующей отсчеты интегрального линейного преобразования, защищенная положительным решением на выдачу авторского свидетельства. Система позволяет уменьшить среднюю ошибку восстановления (или эквивалентно уменьшить частоту дискретизации) более чем на 20%.

В заключение проведено моделирование алгоритма восстановления реализаций гауссовского марковского процесса с учетом отсчетов интегрального линейного преобразования. Предварительно оценены статистические характеристики (корреляционные функции) процессов, участвующих в моделировании. Результаты эксперимента показывают хорошее соответствие теоретически рассчитанных кривых ошибок восстановления и кривых, полученных усреднением по множеству моделированных реализаций.

Во второй главе подход, связанный с использованием в качестве восстанавливающей функции условного математического озддания, обобщается на случай ПДВ нестационарных гауссовских процессов. Найдены аналитические выражения для восстанавливающих функций н исследованы погрешности восстановления процессов, нестационарных по дисперсии. Показано, что для винеровского процесса оптимальной является интерполяция полиномом первого порядка; для нестационарного гауссовского марковского процесса при большой частоте дискретизации оптимальной такге является линейная интерполяция. Неучены восстанавлнвЕхкщс-функции и погрешности восстановления процессов в линейных параметрических цепях. Для процесса на выходе параметрической ЕС-цепи с импульсной характеристикой : t

h(t,T) - a(t) exp<-Ja(z)d2> , t

находящейся под воздействием белого гауссовского пума, для двух законов изменения параметра (линейном и периодической -синусоидальном) найдены аналитические выражения для корреляционной функции и исследованы зависимости ошибки интерполяции и средней на интервале дискретизации ошибки восстановления. Аналогичные исследования проведены и для процесса на выходе параметрического RLC-контура, находящегося под воздействием белого

гауссовского пума, с импульсной характеристикой : h(t,t-T) - i2o(t)exp(-«r)sln(fio(t)t) ,

при линейной законе изменения его центральной частоты Ro(t). Для исследования влияния изменения временной структуры, характеризуемой только нормированной корреляционной функцией процесса на ошибки восстановления, проведено также статистическое описание 1ЩВ процесса на выходе параметрической линии вадеряки о импульсной характеристикой h(t.t-ti) - 3(t(t)-tt) ,

при условии, что функция временной вадеряки изменяется по квадратичному закону t(t) - - kt2 .

Рассмотрен вариант, когда входное воздействие представляет собой гауссовский марковский процесс. Найдены аналитические выражения для оптимальных восстанавливающих функций и функций погрешностей восстановления, а такие для положения максимума условной дисперсии на интервале дискретизации :

> /H2k(k(Ti2+Tt4.i2)+Ti+Ti+i) - 1 t(6 -ттга) ------.

2k

Полученные результаты позволяют находить законы изменения частоты дискретизации реализаций рассмотренных нестационарных процессов при условии постоянства ошибки восстановления.

В третьей главе на основе условных функций математического одидания и дисперсии проведено статистическое описание ДЦВ реализаций непрерывных негауссовски/ процессов. Поскольку для них не,известно аналитических выражений, связывающих мевду собой условные и безусловные моментные функции, необходимо пользоваться общими соотношениями. Однако, для негауссовских процессов выражения для плотностей вероятности мерности, большей двух, неизвестны. Поэтому, если случайный процесс является марковским, то для него можно найти оптимальные восстанавливающие функции при экстраполяции по одному отсчету и интерполяции между двумя отсчетами, и оценить их погрешности по соотношениям :

- го -

та) - <х1Л!Х2.Т2;ХьТ1> - Г^хиХг.Тг-.ХьТЧ^ ,

-00

б2а) - <(х1-та))2|Х2,Т2;ХьТ1> -

- Г(хк-т(1))^(Х1|Х2,Т2;ХьТ1)с1хь .

-со

На примере процессов с релеевской плотностью распределения вероятностей и плотностью в виде га^гма-функции показало, что восстановление по отсчетам, имеющих аномально большую величину, приводит к появлению выбросов в кривых ошибок интерполяции.

На основе дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний получены и исследованы аналитические выражения для наиболее вероятных моментов перехода мекду уровнями для реализаций бинарного марковского процесса :

112° - --- ( / Са-е)2(1+ехр(-гЛТ))2+1бавехр(-тйТ) -

48ехр(-гДТ) *

- (а-в)(1+ехр(-гЛТ)) } .

- --- ( /(е-а)2(1+ехр(-гЛТ))г+16«Вехр(-Ш) -

4аехр(-тЛТ) ^

- (с-в)(1+ехр(-гДТ)) | ,

и тем самым найдены оптимальные восстанавливающие функции для такого процесса.

Предложена структура дискретной системы передачи бинарных сообщений, использующей на передающей стороне интегральное линейное предыскажение, и позволяющей на приемной стороне практически безошибочно (в случае отсутствия помех в канале связи) восстанавливать исходную реализацию по дискретным отсчетам. На структуру системы получено авторское свидетельство.

В четвертой главе рассмотрена ГЩВ реализаций гауссовских немарковских процессов при условии наличия шумов в системе передачи непрерывной информации. Предложен дискретно-непрерывный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности

о учетш процедуры восстановления в промежутках между отсчетами в виде системы уравнений :

x.(ki>t Л + d(k+1) t.k+illk+i'(x9(k+1)k+i),

i-i.k+l,

I D(k+1> | - | | K<k+1> Г1 - Пк+i" (x8(k+1'k+l) I"1 .

k k x-(k+i>(t) . £ Zi(t)x"(k)j » Z,(t) - Z K(t,ti) aj.t .

1-1 J-l

- к к a2(t) - dik+1)(t) - 62(t) - £ L K(t.t4) at,! K(tj.t) +

1 « J "1

♦ С E Zt(t) d(k)t,j Zj(t) ,

где: d<k+1)i,j - элементы апостериорной корреляционной матрицы D(k+i> на (к+1)-ом ваге размерности (k+l)x(k+l); Пк4-1-ЗПк+1/9хк+1. Пк-ц ""Э2Пк+1/ахк+12 - производные от дога-р:фт функции правдоподобия.

К особенностям полученного алгоритма следует отнести :

- наличие непрерывного времени .в немарковском алгоритме обработки;

- то. что с его помогав псмага оценки сообщения на очередном шаге фильтрации, исходя из вновь полученной информации (как в классических марковских алгоритмах), уточняются оценки для всех предыдущих моментов времени;

- то,' что здесь, в.отличие от марковского подхода, фигурируют лишь отсчета самого процесса и отсутствуют отсчеты его ненаблюдаемых компонентов, что делает схему устройства обработки инвариантной к мерности модели испольэуемого информационного сообщения.

Проверена непротиворечивость алгоритма на марковских моделях. Для немарковской модели узкополосного процесса для систем передачи с амплитудно-импульсной модуляцией гармонической несущей, проведено его исследование в переходном и стационарном режимах. Получены зависимости апостериорной дисперсии на текущем шаге фильтрации, а также зависимости стационарной

ошибки фильтрации от параметров модели, сигнала и отношения сигнал/шум. Исследованы возможности алгоритма по уточнения назад уже сформированных оценок. Получены зависимости апостериорной дисперсии с учетом зкстраполяционного и интерполяционного восстановления непрерывной реализации на интервале дискретизации, а такие на всем интервале, охваченном процедурами фильтрации и уточнения.

В заключении дана краткая формулировка новых научных ра-вультатов.

В Приложении приведены копии актов внедрения результатов диссертации.

Методы проведения диссертационных исследований включали методы статистической радиотехники, основывающиеся на теории вероятностей, теории случайных процессов, теории математической статистики, теории дифференциальных уравнений. В случаях, когда получение аналитического решения оказывалось затруднительным. применялись численные методы расчета и моделирования на ЭВМ.

Научная новизна диссертации заключается в следующих результатах :

1. Для процессов с неограниченным спектром при ограниченном числе отсчетов алгоритм восстановления по функции условного среднего, являясь оптимальным, имеет более высокую точность, по сравнению с восстановлением по функциям Sine.

2. Получены и исследованы аналитические выражения для восстанавливающих функций и функций погрешности при восстановлении по многомерным отсчетам реализаций гауссовских процессов.

3. Использование при восстановлении многомерных отсчетов, включающих в себя отчеты процесса и интеграла от него, приводит в ряде случаев, а именно для процессов со слабыми корреляционными связями, к уменьшению средней ошибки восстановления. Для иоделей в виде гауссовского марковского процесса и речевого сообщения выигрыш в точности восстановления составляет более 20Х.

4. Использование при восстановлении многомерных отсчетов, включающих в себя отсчеты процесса и производной от него при наличии временных сдвигов, уменьшения погрешности восстановле-

¡ша не дает.

5. Для винеровского процесса найдены и исследованы аналитические выражения для оптимальных восстанавливающих функций и погрешностей восстановления. Покаваио, что оптимальной интерполирующей функцией для такого процесса является полином первого порядка, при этом погрешность интерполяции на интервале дискретивации изменяется по параболическому закону.

6. Проведено статистическое описание случайных процессов, характеризующихся существенно неоднородной временной структурой (процессы на выходе параметрических систем), на спектры которых не наложено никаких ограничений. Проведено статистическое описание ПДВ таких процессов.

7. На оснований общих принципов, развитых для нормальных процессов, проведено описание ПДВ непрерывных негауссовских марковских процессов. Показано, что для негауссовских процессов восстановление по нехарактерному отсчету приводит к увеличения ошибки.

8. Получены и исследованы аналитические зависимости, опи-сываюаие ПДВ бинарного .марковского процесса.

9. Получен и кссяедозаа дискретно-непрерывный алгоритм фильтрации неиарковской гауссовской последовательности с учетом процедуры восстановления мезду отсчета*® по интерполяционному алгоритму.

10. Предложены два радиотехнических устройства для повы-паяия точности передачи аналоговых сигналов дискретными выборками. Структуры систем передачи зяпидакы авторским свидетельством и полсгаителышм решением на выдачу авторского свидетельства.

Научное и практическое значение полученных результатов. Использование оптимальных по минимуму среднего квадрата сшибки интерполяционных алгоритмов для статистического описания ПДВ реализаций случайных процессов позволяет находить восстанавли-вагаие функции и исследовать свойства оиибок восстановления для большого числа практически интересных задач. Кроме этого, исследование ряда вариантов ПДВ непосредственно позволило предлагать технические решения, направленные на совериенство-вание систем передачи информации.

Внедрение научных результатов.- Основные теоретический и

практические результаты диссертации отражены в отчетах по четырем госбюджетным и десяти хоздоговорным НИР, в выполнении которых в течении б-и лет принимал активное участие автор.

Устройство, на которое в соавторстве получено авторское свидетельство №1743005, используется в производстве на АО "ТЕПЯОПРИБОР" г. Рязань, а дискретно-непрерывные адгоритш фильтрации немарковских сообщений, предложенные автором, используются для оценки точности разрабатываемых устройств по результатам натурных испытаний на НИИ "РАССВЕТ" г. Ряэань, что подтверждается соответствующими актами.

Апробация результатов диссертации проходила в виде научных докладов и обсуждений по тематике работы, которые проводились автором на НТК "Цифровая обработка сигналов в системах связи и управления" (Суздаль, 1989), Мевдународной молодежной НТК "Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники и лазерной техники" (Москва - Пушкино, 1989), 1-ой Всесоюзной НТК "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Харьков - Туапсе, 1989), региональной НТК "Система к устройства радиолокации, связи и управления" (Свердловск, 1990), НТК "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сложных об'ектов" (Туапсе, 1992), II Международном симпозиуме "1тов1рн1сн1 годеИ та обрсбк в!падо-в!х с1гна!в" (Тернополь, 1993), П-ой НТК "Методы представления н обработки случайных сигналов и полей" (Туапсе, 1993), XI11 научно-техническом семинаре "Статистический синтез и анализ информационных систем" (Рязань, 1994), юбилейной 50-ой научной сессии РНТОРЗС, посвященной дню радио (Москва, 1996).

Основные результаты работы неоднократно докладывались автором на научно-техническом семинаре кафедры Радиотехнических систем РГРТА, а также на XXXI, XXXI1, XXXIII конференциях профессорско-преподавательского состава, и XXXV, XXXVI конференциях студентов Рязанского радиотехнического института (Рязанской радиотехнической академии) в 1987-1994 годах.

Список опубликованных научных работ, отражающих основные результаты диссертации, включает печатные статьи в центральных научно-технических журналах [12,153 и в межвузовских сборниках научных трудов (4,61, материалы международного симпозиума 110) И межрегионального семинара С13], а также тезисы докладов мед-

дународных [3,11,14,133, Всесоюзных (23, региональных [1,6,8] научно-технических конференций. Получено авторское свидетельство [83 и положительное решение о выдаче авторского свидетельства (7) по заявке на изобретение.

Список основных работ по теме диссертации

1. Беляев М.А., Казаков В.А. Дискретный немарковский алгоритм фильтрации в условиях априорной неопределенности относительно мерности модели сообщения. - Тезисы докладов НТК Цифровая обработка сигналов в системах связи и управления. - Суздаль. - 1989.

2. Казаков В.А., Беляев М.А. Дискретный алгоритм нелинейной фильтрации немарковских сообщений. - Тезисы докладов ВНТК Методы представления и обработки случайных сигналов и полей. -Харьков - Туапсе. - 1989.

3. Казаков В.А., Беляев М.А. Рекуррентный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности. - Тезисы докладов Международной молодежной НТК Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники и лазерной техники. -Москва - Пуокино. - 1989.

4. Казаков В.А., Беляев М.А.' Рекуррентный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности.// Обработка сложных сигналов с применением цифровых устройств и функциональной электроники. - Рязань: РРТИ. - Медвуз, сб. научн. трупов. - 1989. - С.51-66.

б. Казаков В:А., Беляев М.А. Особенности работы дискретного фильтра для немарковского сообщения в переходном режиме. //Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. - Рязань: РРТИ. - Медвуз, сб. научн. трудов. - 1990. - С.46-49.

6. Казаков В^А., Беляев М.А.. Восстановление реализаций гауссовых процессов по многомерным отсчетам. - Тезисы докладов региональной НТК Системы и устройства радиолокации, связи и управления. - Свердловск. - 1990.

7. Положительное решение по заявленному изобретении »4938349 от 20.05.91, МКИ 5H04L 25/00. Дискретная система передачи непрерывной информация. Авторы Беляев М.А., Казаков В.А.

8. A.c. №1743005 (СССР). У.Кл. H04L 1/62. Система переда-

чи бинарных сообщений/ М.А.Беляев и В.А.Казаков. -Опубл. 1992. -Бюл. No23.

9. Казаков В.А., Беляев U.A. Восстановление реализаций по многомерный отсчетам. - Тевисы докладов НТК Проектирование автоматизированных систем контроля и управления слокных об'ек-тов. - Туапсе. - 1992.

10. Казаков В.А., Селиванов С.В., Беляев М.А. Статистическое описание процедуры дискретизации-восстановления реализаций случайных процессов. - 1тов1ри1сн1 тоде11 та обробк в1-пздов1х с1гна1в.- Сб1рка науков1х праць. Под ред. Я. П. Драга-на, 0. В. Омельченко. Часть I, тш 11. II Международный симпозиум, Тернополь. 1093 г.

11. Казаков В.А., Африканов С.А., Беляев U.A. Сопоставление двух алгоритмов восстановления по произвольному числу отсчетов. - Тезисы докладов НТК Методы представления и обработки случайных сигналов и полей. - Туапсе. - 1993.

12. Казаков В.А., Африканов С.А., Беляев H.A. Сопоставление двух алгоритмов восстановления реализаций по произвольному числу отсчетов // Ивв.вувов - Радиозлектроникз. 1994, ОД. с.62-64.

13. Беляев М.А. Восстановление реализаций гауссовых процессов с учетом линейных преобразований. - Материалы XIII научно-технического семинара "Статистический синтез и анализ информационных систем". - Рязань. - 1994.

14. Казаков В.А., Беляев М.А. 0 восстановлении реализаций гауссовых процессов по дискретным отсчетам. - Тевисы докладов юбилейной БО-ой научной сессии, посвященной дню радио.- Москва. РНТОРЭС, 1996.

15. Казаков В.А., Беляев М.А. Восстановление реализаций гауссовых процессов по отсчетам процесса и его линейных преобразований // Радиотехника. 1995, KS.

16. Беляев М.А., Казаков В.А. Восстановление реализаций нестационарных гауссовских процессов по дискретным отсчетам,-Тез1 доклад 1 в М1хнародно1 науково! конференцИ присвячено! 1бО-р1ччю г1д дня нарождения видатного укра!нського ф1эика 1 електротехн1ка 1вана Пулюя.- Терноп1л.- 1995.

Соискатель

М.А. Беляев