автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аппроксимационная сплайновая фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями

На правах рукописи

Орлов Сергей Евгеньевич

АППРОКСИМАЦИОННАЯ СПЛАЙНОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Специальность: 05.13.01-системный анализ, управление и обработка информации (в информационных системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Автор: </"'

19 т пи

Москва-2014

005549453

005549453

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ»

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, Гетманов Виктор Григорьевич Латышев Вячеслав Васильевич, доктор технических наук, профессор, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). Белов Алексей Анатольевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт Проблем Управления им. В. А. Трапезникова РАН (ИЛУ РАН).

Ведущая организация

Государственный научно- исследовательский институт авиационных систем (Гос-НИИАС)

Защита диссертации состоится «27» июня 2014 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.130.03 при НИЯУ МИФИ. Адрес:115409, Москва, Каширское шоссе, 31, тел. 8(499) 324-84-98.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте НИЯУ МИФИ http://ods.mephi.ru.

Автореферат разослан «А}> ОЬ 2014г.

Учёный секретарь диссертационного совета д.т.н., проф.

/У

/ '< У.

Н.МЛеонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации решена научно- техническая задача разработки и применения методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями. Результаты работы могут быть применены в информационных системах для многих предметных областей.

Актуальность работы. Цифровая фильтрация к настоящему времени представляет собой хорошо разработанную область прикладной математики. В практике цифровой фильтрации сигналов и временных рядов используется целый арсенал математических методов, к которым, в основном, можно отнести: 1.Методы цифровой фильтрации на основе рекурсивных и нерекурсивных разностных уравнений; 2. Методы цифровой фильтрации на основе регрессионного анализа с использованием линейных и нелинейных моделей; 3.Методы цифровой фильтрации на основе Wavelet-мoдeльныx функций. 4.Методы цифровой фильтрации на основе авторегрессионных моделей; 5.Методы цифровой фильтрации на основе сплайновых функций. Перечисленные методы успешно применяются для фильтрации сигналов в большом числе научно- технических задач.

Однако, следует отметить, что в современной практике цифровой обработки сигналов существует целый класс научно- технических задач, для которых требуется производить фильтрацию сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые наблюдаются на существенно ограниченных временных интервалах, в условиях значительных изменений во времени для исходных функциональных зависимостей, с нестационарными спектральными характеристиками и с неравномерной дискретизацией.

К числу таких важных в практическом отношении научно- технических задач, требующих фильтрации сигналов указанных типов для предметных областей экспериментальной физики, экспериментальной механики, измерительной техники, радиоэлектроники и т.д. можно указать: цифровую фильтрацию наблюдений зашумлённых быстропроте-кающих процессов (взрывного типа) со сложными видами параметрических модуляций; фильтрацию структурно- сложных нестационарных гидроакустических сигналов; фильтрацию зашумлённых наблюдений допле-ровских сигналов в акустическом, радио и оптическом диапазоне; фильтрации сигналов типа акустической эмиссии и т.д. Перечисленные математические методы цифровой фильтрации для указанных задач, в ряде случаев, работают в недостаточной степени эффективно.

Необходимо отметить, что вследствие постоянного развития и совершенствования современных компьютерных средств, появляются

новые технические возможности для решения сложных математических задач фильтрации, основанные на реализации больших быстродействий и больших объёмов памяти.

Предлагаемый в данной работе метод аппроксимационной сплай-новой фильтрации ориентирован на цифровую обработку сигналов с указанными специальными свойствами и с учётом применения современных компьютерных средств. С одной стороны, применение сплайнов позволяет осуществлять аппроксимацию достаточно сложных функциональных зависимостей; с другой стороны, математический аппарат для сплайнов реализуется на основе решений систем линейных уравнений, что не представляет особых технических сложностей в вычислительном плане.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью реализации решений современных задач фильтрации для практики цифровой обработки сигналов, учитывающих их нестационарный характер. Приведённые выше аргументы позволяют сделать вывод об актуальности темы предлагаемой диссертационной работы.

Целью данной диссертации является разработка методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями и их реализация в задачах цифровой обработки информации экспериментов в аэродинамической трубе и цифровой обработки звуковых сигналов для устранения шумов и изменения частоты дискретизации.

Основные задачи. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе потребовались:

1.Формирование общей постановки задачи вычисления аппрок-симационных сплайновых функций.

2. Создание системы методов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

3. Разработка системы алгоритмов и соответствующего программного обеспечения для реализации решения задач фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями.

4. Проведение экспериментальной проверки разработанных методов и алгоритмов на реальных задачах и сигналах.

5. Реализация математического моделирования для оценивания эффективности предложенных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Объектом исследования являются сигналы систем с нестационарными возмущениями, характеризующиеся существенно ограниченными временными интервалами наблюдения, значительными изменениями во времени для исходных функциональных зависимостей, нестационар-

ными спектральными характеристиками и с неравномерной дискретизацией.

Предметом исследования являются методы аппроксимационной сплайновой фильтрация шумов в наблюдениях сигналов систем с нестационарными возмущениями.

Методы исследования. Исследования проводились на основе использования методов цифровой обработки сигналов, методов оптимизации, методов статистического анализа данных и методов математического моделирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования по данной диссертации составили работы отечественных и зарубежных специалистов в области теории и применения сплайновых функций и методов статистического анализа экспериментальных данных: Стечкин Б.С., Завьялов Ю.Н., Субботин Ю.С., Квасов Б.И., Катковник В.Я., Вапник В.Н., Поляк Б.Т., Пугачёв B.C., Крянев A.B., Мишулина O.A., де Бор К, Алберт Дж.,Huber P.J., Unser М., а также Himmelblau D.M.,Rabiner L.R., Bendat J.S., Jenkins G.M., Otnes R.K., Anderson T.W.

Научная новизна. В данной диссертации содержат научную новизну:

1. Постановка и метод решения задачи цифровой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые являются новыми благодаря использованию аппроксимационных сплайновых функций;

2.Метод аппроксимации, основанный на применении регулирования для сплайновых функций условиями на концах интервалов наблюдений и ортогональных полиномов;

3.Решение задачи обеспечения оптимального расположения сплайновых узлов для аппроксимационных сплайновых функций, основанное на разработанной специальной процедуре поиска экстремума нулевого порядка;

4.Алгоритм решения задачи устранения шумов в звуковых сигналах, базирующийся на применении аппроксимационной сплайновой фильтрации;

5.Алгоритм решения задачи преобразования частоты дискретизации сигналов, использующий аппроксимационные сплайны.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы являются в значительной степени универсальными и могут быть использованы во многих приложениях.

1.Разработанные методы и алгоритмы аппроксимационной онлайновой фильтрации могут быть применены в предметных областях экспериментальной физики, экспериментальной механики, измерительной техники, радиоэлектроники для цифровой обработки сигналов систем с нестационарными возмущениями.

2.Практическая значимость результатов подтверждается использованием разработанных методов и алгоритмов для фильтрации экспериментальных данных от моделирующих установок типа аэродинамическая труба.

3.Результаты диссертации практически значимы, что подтверждается использованием разработанных методов и алгоритмов для задачи фильтрации шумов в звуковых сигналах.

4. Результаты диссертации практически значимы, что подтверждается применением разработанных методов и алгоритмов для задачи преобразования частоты дискретизации в звуковых сигналах.

5. Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение, о чём свидетельствуют выданные акты внедрения результатов и свидетельства гос. регистрации программ на ЭВМ Роспатентом.

Основные научные результаты, выносимые на защиту ¡.Постановка и метод решение задачи цифровой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями на основе аппроксимационных сплайновых функций,

2.Метод обеспечения оптимального расположения сплайновых узлов для сплайновых функций,

3.Решение задачи устранения шумов в звуковых сигналах на основе аппроксимационной сплайновой фильтрации,

4. Алгоритм сплайновой фильтрации по частям для сверхдлинных последовательностей данных,

5.Алгоритм преобразования частоты дискретизации сигналов на основе аппроксимационных сплайнов.

Достоверность работы. Научные положения и выводы, полученные в диссертации, являются достоверными и обоснованными, что подтверждается проведёнными в работе теоретическими исследованиями и математическим моделированием, применением соответствующего рассматриваемой проблеме адекватного математического аппарата, сравнением полученных результатов с общеизвестными исследованиями. Достоверность подтверждена результатами практического применения разработанных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1.Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2009, 2010,

2.Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и её приложения», РНТОРЭС им. Попова A.C., Москва, 2009,

3.Международная научно- техническая конференция «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», МИРЭА, 2010,

4.«Неразрушающий контроль и техническая диагностика». 18-аяВсероссийская конференция с международным участием. НГТУ, Нижний Новгород, 2008.

Соответствие паспорту специальности и критериям ВАК.

Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.13.01 -системный анализ, управление и обработка информации (в информационных системах) - пункт 4 и удовлетворяет критериям, установленным Положением о присуждении учёных степеней (утверждено постановлением Правительства Российской Федерации от 24.09.2013г №842), и требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям.

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, включённых ВАК РФ в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий и 2 статьи в журналах, представленных в международной базе цитирования Scopus

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём основного текста, без учёта приложений 134 стр., с учётом приложений -145 стр. Диссертация содержит 19 рисунков. Список литературы включает 99 источников. В приложении включены копии актов о внедрении результатов диссертационной работы и копии свидетельств об официальной регистрации разработанных программ для ЭВМ и описание лабораторной работы.

Все научные результаты и внедрения выполнены соискателем лично. Соискатель лично осуществлял апробацию результатов научных исследований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, обозначается предмет исследования, определяются цели и задачи работы, приводятся сведения о научной новизне, достоверности и практической значимости результатов, даются сведения о структуре и объёме диссертации.

В первой главе рассматриваются основные составляющие задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями.

Приведены необходимые сведения по математическим основам вычисления сплайновых функций и решениям задач аппроксимации на основе нелинейных и линейных моделей.

Сформированы модели для сигналов систем с нестационарными возмущениями и их наблюдений, характеризующиеся ограниченными временными интервалами наблюдений, нестационарными параметрами и неравномерной дискретизацией.

Проанализированы существующие методы фильтрации и связанные проблемы. Рассмотрены наблюдения, которые подчиняются модели вида у(Тг) = х(Тг) + м>(Тг), х{Тг) - исходный сигнал, м?(Т1) -случайные погрешности в виде нормально распределённых чисел с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией, пусть Х° (77) -результат фильтрации, г" = 0,1,...,, ТУ — 1.

Применение традиционных цифровых фильтров на основе разностных уравнений вида

т к

х (77) = -£>гх° (Г(/ - г)) + ~ *)), / = 0,1,...

Г-1 5=0

не позволяет осуществить эффективную фильтрацию из-за возможных переходных процессов, фазовых запаздываний и нестационарных спектров сигналов.

Использование для фильтрации нелинейного регрессионные анализа и моделей в виде функции известного вида ум (а, 77) , а - вектор

параметров, может быть эффективным. Нахождение оптимального вектора а° осуществляется путём минимизации функционала S(a, у)

S(a,y) = ^ (y(Ti) - ум («, TV'))2, а = arg{min S(а, у)},

1=0

х-(Г/) =yM(a\Ti),i = 0X...»N-\,

производимой, как правило, поисковыми методами. Однако, фильтрация колебательных сигналов со значительными нестационарностями на ограниченных интервалах наблюдения на основе нелинейных моделей, зависящих от сложных тригонометрических функций, приводит к многоэкстремальным функционалам, оптимизация которых связана со значительными техническими сложностями.

Применение для фильтрации линейного регрессионного анализа,

сводится к построению моделей вида ум (а, 27) = (JTq>(Ti), <p(7Y) - вектор базисных функций и минимизации квадратичного функционала

N-l т

S(a,y) = £(y(Ti)- ^jCpjiTi))1, a = arg{min S(a,y)},

1=0 7=1

x(Ti) = a°Tq>(Ti), и приводит к решению систем линейных уравнений. Однако, иногда, линейные модели не позволяют обеспечить необходимую точность фильтрации, требуют больших размерностей моделей или приводят к плохообу-словленным задачам.

При самых общих предположениях вейвлет-фильтрация может производиться на основе следующих соотношений

\ "к ) к п

rt-a„ К

где 1¥0(/)-материнский вейвлет, ап,Ьк- параметры, определяющие положение и масштаб. Однако, эффективность вейвлетов зависит от того, насколько функция материнского вейвлета соответствует фильтруемому сигналу. Применение авторегрессионных моделей для фильтрации может быть неэффективным для сигналов с нестационарными спектральными характеристиками.

Произведён обзор публикаций по методам и алгоритмам аппрок-симационной фильтрации. Обзор литературы по рассматриваемой проблеме показал необходимость разработки методики аппроксимационной сплайновой фильтрации, которая может дополнить существующие подходы и обеспечить решения задач фильтрации, которые не решаются эффективно традиционными методами.

На основе сделанных рассмотрений приведена общая постановка задачи фильтрации, которая в непрерывном случае реализуется для наблюдений вида y(t) = x(t) + w(t) , t0 <t <tj. Предполагается, что

функция x° (t) представляется в виде некоторого преобразования наблюдения ^(.уСО) = х° (0 -Фильтрация считается реализованной, если

функции Х° (7) и х(/) будут близки с точностью до заданной величины £Т>0

Для аппроксимационной фильтрации введены аппроксимирующие функции (О е С1; (/о./^сС^/,,^), где C?{t0,tf),

) -ограничивающие множества. Определён функционал в виде

S(y,Xa) = — лга||; задача аппроксимационной фильтрации в общем случае сводится к задаче условной оптимизации

x;=arg{min S(y,xa)},xa\t)*x°(t).

Осуществлена постановка задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации нестационарных колебательных сигналов. Рассмотрена аппроксимация функциями xs(t,a€ С''" (/„,tN_t ) С CL° (/0,/лг_,)

, где С'/ - множество базисных сплайновых функций на интер-

вале Q0,tNf-i) ■ Пусть £ - система сплайновых узлов на (tQ,t,

^еЗ; вектор О. & А определяет сплайновую функциюxs(t,a,.

Множество А сформировано условиями, обеспечивающими гладкость сплайновой функции. Вводится функционал

5(у,хг(а,®) = 1у-х,(а,Щ. ю

Задача аппроксимационной сплайновой фильтрации состоит в подборе вектора параметров а ° е А и оптимального расположения узлов eS

(a\^°) = arg{ min S(y,xs(a,fy)}, x°{Ti) = xs(Ti,a&) ■

аеЛДеН

Решение оптимизационной задачи для S(y, xs (а, предложено производить в два этапа. На первом этапе фиксируются сплайновые узлы \ = const и находится частично оптимальный вектор

a°ß) = arg{ min S(y,xs(a,%))}.

aeA£=const

На втором этапе минимизируется S(y,xs по ^ ^ 3

% = arg {min S(y,xs(a(m , а = а°(Г)-

Во второй главе приведены материалы, связанные с разработкой методов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Рассмотрен базовый метод, основанный на вычислении аппроси-мационных сплайновых функций с нерегулируемыми и регулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений.

Для базового метода в точках 0 < / < N^ — 1 формируются

сплайновые интервалы с узловыми точкамиNk, к = 1,2,..., я — 1, п -число сплайновых интервалов. В качестве сплайновых функций fk(ak,Ti) для точек jV^, </< Nk берутся взвешенные суммы базисных сплайновых функций.

к=\ к=1 1=0 Для наблюдений y(Ti) и f(ß,Ti) определяется сплайновый функционал

¡=0 к=1

Гладкость У(о,77) в узловых точках ТЫк обеспечивается системой 2{п -1) линейных по а равенств И0к (а) = 0, /^(а) = О, к = 1,2,..., п -1

!ток(а)=^(тк)ак-Т11(ТМк)ак+1 = 0,

= =0, на основе которой вводится ограничивающее множество А = {а: кок(а) =0,И1к(а) = 0, 1}. Нахождение аппроксимационной

сплайновой функции сводится к решению задачи условной оптимизации а ^а^тш^о^у)}.

а €Л

Решение этой задачи осуществляется с помощью введения множителей Лагранжа к = 1,2,...,п — 1 и соответствующей функции Лагранжа £,(а,Х, у)

1(аД,у) = 5(а,у)+ АД«)-

к=\ ¿=1

Вводятся матрицы и векторы на основе которых функционал (а, у) может быть записан в матрично-векторном виде

О, = %(Т0С[(Т0, р[ = Хято^то,

¿=11=ЛГЫ к=1 ¿=1

С использованием и сформируется блочная матрица С? и блочный вектор Р, которые позволяют сформировать функционал 5"(а, у) = аг<3а —2Рга .Формируются матрицы С0 и С} размерности ((и — 1), (Ь + 1)«) , представляющие условия в узлах в виде С0а = 0, С,а = 0 и векторно-матричную функцию Лагранжа

I, (а, Х,у) = аг(}а - 2Рга + Х-оСоа + ^Г С1а •

С помощью необходимых условий экстремума

дА(«Лу) = 20и-2Р+фц + = 0, ^^У) = С0а = 0, да дк0

dkj 1

находятся а° и Q^,1^). Результатом фильтрации являетсяХ°(Тг)

=f(a\Ti),i = OX..,Nf-l.

Регулирование условий для аппроксимационных сплайновых функций на концах интервала наблюдения, заключающееся в задании для них положений и наклонов, осуществляется с помощью введения вектора

ßr = ( ßl, ß2, /?з,) и сводится к формированию линейных по а дополнительных равенств

Ыа) = «ff,(Г-О)-Д = 0, h22(a) = <f®(r-0)-/?2 =0, Ua)=aTnfn(T(Nf -1))-Д =0Л4(а) = aX\T(Nf -1))-Д =0,

Условия - равенства представляются в матричной форме С2Я = 0 для записи функции Лагранжа

L2(аД,у) = arQa -2Рга + кт0С0а + %[Сха + Ът2 (С2а - ß) Базовый метод аппроксимационной сплайновой фильтрации с возможностью регулирования составляет основу полученных в диссертации результатов.

Разработанный метод вычисления сплайновых функций на основе

дискретных ортогональных полиномов fl (Tf) формируется на основе рекуррентных формул

//+1(7У) = ЦТ - ам)/; (77) - 6,/м (77), /=0,],...//-1, / = 0,..., L ,

A4 fN-1 V1 JV-1 f N-1 Л-1

aM=$}Tff{Ti) Yf?(Ti) Z/ДФ)

/=о V'=o / 1=о V'=o j

Для формирования условий гладкости по производным предложено использовать следующее рекуррентное соотношение

.С (П) = /, (Г/) + iT/Г - aMf,m (ТО ~ bj?! (Ti).

Применение ортогональных полиномов позволило применить для фильтрации полиномиальные модели достаточно высокого порядка и снизить размерность соответствующих линейных систем.

Приводятся материалы по решению задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации зашумлённой синусоидальной функции на основе

дискретных полиномов второго порядка вида /к{ак, 77) =

«о* + <Х\*Т1 + «2,* (ТО2, Щк -1) < г < М -1.

Третья глава посвящена описанию алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями. В диссертации рассмотрены: система формирования экспериментальных характеристик летательных аппаратов (ЛА) в аэродинамической трубе, система устранения шумов в звуковых сигналах и система передискретизации звуковых сигналов. В работе приведены четыре варианта алгоритмов для перечисленных систем.

Алгоритмы №1,2 предназначены для аппроксимационной сплайновой фильтрации измеренных характеристик ЛА. Входные переменные для первых двух алгоритмов представляют собой массивы экспериментальных данных: углов атаки ам(г) =0^(77), аэродинамических коэффициентов сха(Т1),суа(Т[),с2а(Т1), ты (77), туа(Т1),т:а (77), зависимостей аэродинамических коэффициентов от дискретных значений углов атаки при заданной скорости потока сш(/) = (ам(/')), суа (/) = Б2{ам (/))

. с;а(0 = ръ(0),тха(0 = (ам(/)), туа{1) = (аи (/)), т2а (/) = ^ (ам (г)) и зависимостей связей аэродинамических коэффициентов, например, поляры суа (/) = Р (сет(/)) или т:а(Р) = Р^суа(г)) и

т.д. Указанные экспериментальные характеристики представляют собой неравномерно дискретизованные зависимости, реализованные на ограниченном числе точек и с нестационарными шумами.

Алгоритм №1 осуществляет аппроксимационную сплайновую фильтрацию экспериментальных характеристик ЛА на основе полиномов второго порядка, с регулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений и для фиксированной системе сплайновых узлов. Алгоритм №1 основывается на базисном методе сплайновой аппроксимации из п.2.1.

Алгоритм №2 производит реализацию оптимального регулирования аппроксимационной сплайновой функцией на концах интервала на-

14

блюдения и выбор оптимального расположения сплайновых узлов. Оптимизация вектора ß нулевых и первых производных на концах осуществляется исходя из минимизации основного функционала. Для этой цели формируется функционал, который является квадратичным по а, ß и вектор ß рассматривается как дополнительная переменная. Для фиксированных узлов решается стандартная задача минимизации

(а а), ß-(5)) = arg{ min _ S(y,*,(«,&$))}■

и вычисляется частичная остаточная сумма S(у, xs (а° ß° .

Для задачи оптимизации расположения сплайновых узлов ,формируется множество векторов сплайновых узлов \ G с учётом неравенств ^ < < ... < ¿jn_t и вычисляется

массив соответствующих значений функционала. Нахождение оптимального расположения сплайновых узлов производится методом перебора по

параметрам Ъ, на множестве 1

=arg{mjn ■

Алгоритм №3 предназначается для решения задачи устранения шумов в звуковых сигналах с использованием аппроксимационной сплай-новой фильтрации, базирующейся на дискретных ортогональных полиномах с выбором степени L.

Фильтрации звуковых сигналов, обычно, сопряжена с наличием большого числа наблюдений сигнала y(Ti), 0<i<N^0 —1.

Для снижения размерности систем линейных уравнений предложено ап-проксимационную сплайновую фильтрацию реализовывать по частям на сплайновых участках по N j точек, N j-0 = N j-S0,S0 - число участков. Гладкость аппроксимационной сплайновой функции в точках стыковки i=NjS, s- номер участка, s = — 1, обеспечивается регули-

рующими векторами ß[ = ( ßsy\_,ßs 2 > ßs,3' ßs,i )> которые вычисляются на основе определения оценок нулевых и первых производных звуковых сигналов для точек стыковки сплайновых участков / = NyS . Формиру-

ются модели ср(77) для точек Ыи < N^ < записываются квадратичные функционалы, минимизация которых позволяет найти параметры моделей с°

Оценки значений звукового сигнала и его производных в точках стыковки сплайновых участков представятся в виде векторов = ,, с1х1)

Регулирующие вектора Р,,Р2,„.,Р50 вычисляются через векторы

До»«1!»™»«1..»^^!-

Благодаря вычисленным регулирующим векторам оказывается возможной фильтрация по частям и получение гладкой аппроксимацион-ной сплайновой фильтрующей функции.

Алгоритм №4 реализует преобразование частоты дискретизации в звуковых сигналах с использованием аппроксимационной сплайновой фильтрации, основанной на применении дискретных ортогональных полиномов. Работа алгоритма №4 предполагает осуществление следующих действий, которые разбиваются на три этапа.

На первом этапе для конечной последовательности значений сигнала .у (77) , г = ОД,..., N -1, дискретизованных с частотой ^, осуществляет построение дискретной аппроксимационной сплайновой функции для моментов времени 77; вычисляется система ортогональных полиномов /¡(77), / = 0,1,..., Ь для г = 0,..., N -1 и а" - вектор параметров аппроксимационной сплайновой функции для определения /(а,°, 77). На втором этапе вычисляются значенияДЛЯ произвольных/, удовлетворяющих 0 < / < Т{Ы/ -1) . Для момента / определяется номер к = к, интервала ТЫ {к - 1) < / < Шк , к - 1,..., п и вычисляются ^ = ? - ТЫ(кг — 1) . Значение аппроксимационной сплайновой функции в точке / с учётом соотношения = / — ТЫ(к1 — 1) представится следующим образом

Да,/) = £

к=1 /=0

На третьем этапе для I — ТХЦ , г, = 0,1,..., Л^, — 1 формируется последовательность дискретных значений сигнала с изменённым шагом дискретизации (частотой дискретизации)

у(Т^) = /(а\Т111), г, =0,1,...,ЛГЯ -1.

Для алгоритмов №1-4 в диссертации разработаны блок-схемы, иллюстрирующие вычислительные процессы аппроксимационной сплай-новой фильтрации для рассматриваемых прикладных задач.

В четвёртой главе производилось экспериментальное и модельное исследование разработанных алгоритмов №1-4 аппроксимационной сплайновой фильтрации для сигналов рассматриваемых систем.

Для целей исследования был разработан программный МаНаЬ-комплекс аппроксимационной сплайновой фильтрации в виде информационной системы.

Рис.1. Интерфейсное окно МаЙаЬ-комплекса аппроксимационной сплайновой

фильтрации

Этот комплекс обеспечивает: 1) этап предварительной обработки, просмотра и редактирования сигналов; 2) этап аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе полиномов второго порядка и ортогональных полиномов.

На рисЛизображеноинтерфейсное окно для просмотра и редактирования экспериментальных сигналов.

Результаты экспериментального исследования алгоритма №1 ап-проксимационной сплайновой фильтрации измеренных характеристик JIA представлены на рис.2. Реализована аппроксимационная сплайновая фильтрация поляры суа (г) = Р(сш (/)) , i = ОД,..., Nf -1 для фиксированных сплайновых узлов и регулируемых производных на концах интервала наблюдения, наблюдения Cxa(i) были произведены с неравномерной дискретизацией.

Рис.2. Исходная (1),сплайновая аппрок- Рис.3. Функции погрешностей цифро-симация (2) и параболическая аппрок- вой фильтрации, сплайновая аппроксимация (3) поляры с (,) = Р (С (/)) симация (1), параболическая аппроксимация (2)

На рис.2 линией (2) отмечены результаты фильтрации, п — 3 -три фиксированных сплайновых узла. Индексом (1) отмечена исходная поляра, кривая (3) представляет собой результат параболической аппроксимации. В отфильтрованной поляре устранены нестационарные шумы на концах интервала и достигнуто практически нулевое фазовое искажение. На рис.3 представлены оценки среднеквадратичных погрешностей

АСха, АСха аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Алгоритм №2 был экспериментально исследован для задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации зависимости подъёмной силы

У (г) от угла атаки ам (/) с выбором оптимальных условий для производных на концах и оптимальных сплайновых узлов.

-147 -140 -149 -150 -151 -152

-10 -5 0 5 10 15

Рис. 4. Аппроксимационная сплайновая фильтрация зависимости подъёмной силы

Реализовывалось оптимальное регулирование сплайновой функции на концах и выбор оптимального расположения узлов. На рис.4 представлен результат фильтрации по алгоритму №2, 1- отфильтрованная зависимость У° (/), 2-исходная зависимость Г(г).

Применение алгоритма №2 для данной задачи оказалось эффективным. Оценки погрешностей позволили сделать вывод об относительных ошибках фильтрации, составляющих« (0.1 -г 0.5)% , что меньше относительных погрешностей, которые возникают при традиционных методах фильтрации; предлагаемый алгоритм реализует, практически, нулевое фазовое запаздывание.

Алгоритм №3 был применён для аппроксимационной сплайновой фильтрации с целью устранения широкополосных шумов в звуковом сигнале.

0 6 Г1 л 0.2 О -С.2 ■О Л -С. С

0 1С 20 50 ЛО 50 60 70 аа ЭО

Рис.5. Фрагменты исходного и отфильтрованных звуковых сигналов

На рис.5 представлены результаты экспериментального исследования фильтрации натурного звукового сигнала с помощью аппрокси-мационного сплайнового фильтра и традиционного полосового цифрового фильтра; 1-исходный сигнал, 2 -отфильтрованный с помощью сплайнового фильтра, 3- отфильтрованный с помощью полосового фильтра.

Рис.6. Погрешности полосового Рис.7. Погрешности сплайнового фильтра фильтра

На рис.6 помещены оценки погрешностей полосовой фильтрации на основе цифрового фильтра Баттерворта. На рис.7 изображены результаты работы аппроксимационного сплайнового фильтра звукового сигнала для полиномов с ¿=2,3.

Экспериментальное исследование алгоритма №3 аппроксимаци-онной сплайновой фильтрации для цифровой обработки натурных звуковых сигналов показало, что по сравнению с традиционной цифровой фильтрацией, предложенный алгоритм позволяет снизить средне квадратичное значение (с.к.з.) погрешностей фильтрации, в среднем, на 50-70% и обеспечивает, по экспертным оценкам, приемлемое качество звучания отфильтрованных звуковых сигналов.

Алгоритм №4 на основе аппроксимационной сплайновой фильтрации был применён для задачи преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов. Рассматривались математические модели звуковых сигналов. Проведённое моделирование позволило сделать вывод об эффективности алгоритма №4. На рис.8 для модельной синусоиды в шумах проиллюстрирована работа предлагаемого алгоритма; 2-исходный сигнал-модельная синусоида, 1-зашумлённый сигнал, 3-сигнал с преобразованной частотой дискретизации

Рис.8. Результаты работы алгоритма преобразования частоты дискретизации

На рис.9 представлены оценки с.к.з. погрешностей алгоритма №4 преобразования частоты дискретизации для модельной синусоидальной функции в зависимости от порядка сплайнового фильтра Ь — 2 — 5 и уровня шума0*5 =0, <У2 =0.05, 0"3 =0.1, (ТА = 0.2 .Разработанный

алгоритм преобразования частоты дискретизации на основе ортогональных полиномов с Ь=5и выбранного сплайнового интервала по сравнению с полиномами с Ь=2 обеспечивает снижение с.к.з погрешности в -3-5 раз.

Рис.9. Оценки с.к.з, погрешностей ал- Рис.10. Сравнительные оценки с.к.з

горитма преобразования частоты дискретизации

погрешностей алгоритмов преобразования частоты дискретизации

На рис.10 помещены графики: оценок с.к.з. погрешностей (график 1) алгоритма передискретизации со сплайновой интерполяцией из Matlab Spline Toolbox и оценок с.к.з. погрешностей (график 2), возникающие от предлагаемого алгоритма №4.Предложенный алгоритм №4 обеспечивает лучшую точность — снижение с.к.з. примерно в 2 раза.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе решена актуальная научно- техническая задача разработки и применения методов и алгоритмов аппроксима-ционной сплайновой фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями. Результаты диссертационного исследования ориентированы на применение в информационных системах для многих предметных областей.

1. Предложенный метод аппроксимационной сплайновой фильтрации, обеспечивает вычисление параметров аппроксимационных сплайновых модельных функций и сводится к решениям специальных систем линейных уравнений.

2. Предложенная система методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации, состоящая из базовых алгоритмов с регулируемыми и нерегулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений, алгоритмов с дискретными ортогональными полиномами, алгоритмов с выбором оптимального расположения сплайновых узлов позволяет решать широкий круг прикладных задач, связанных с фильтрацией сигналов систем с нестационарными возмущениями, содержит научную новизну и является практически значимой.

3. Применение разработанных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации с оптимальными условиями на концах и оптимальным выбором расположения сплайновых узлов для задач цифровой фильтрации экспериментальных аэродинамических характеристик подтвердило их эффективность.

4. Вычисленные оценки погрешностей сплайновой фильтрации экспериментальных аэродинамических характеристик позволяет сделать вывод об относительных погрешностях фильтрации по предлагаемому методу, составляющих величины, в среднем, ~ (0.1 -н 0.5)% , что значительно меньше погрешностей, которые возникают при реализации традиционных методов фильтрации; предложенный алгоритм сплайновой фильтрации реализует, практически, нулевое фазовое запаздывание.

5. Применение разработанного метода и алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для задач устранения шумов в звуковых сигналах показало, что по сравнению с традиционной цифровой фильтрацией, предложенный алгоритм позволяет снизить с.к.з. погрешностей фильтрации, в среднем, на 50-70%.

6. Разработанный алгоритм устранения шумов в звуковых сигналах на основе аппроксимационной сплайновой фильтрации, как показывает проведённое моделирование и экспертные оценки, обеспечивает удовлетворительное качество звучания отфильтрованных звуковых сигналов.

7. Применение разработанного метода аппроксимационной сплайновой фильтрации для задачи преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов подтвердило его эффективность; для ортогональных полиномов со степенями £=5 и соответствующего выбранного сплайнового интервала по сравнению с полиномами с ¿=2, с.к.з погрешности преобразования меньше в ~3-5 раз.

8. Разработанный алгоритм преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов обеспечивает существенно меньшие погрешности по сравнению с традиционными алгоритмами, основанными на использовании интерполяционных кубических сплайнов.

9. Практическая реализация разработанных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации, которая базировалась на созданных программах сплайновой аппроксимационной фильтрации БРЕСТКАШ-А и 8РЕСПШЧ8-А10 для задач цифровой обработки экспериментальной информации от аэродинамической трубы Т-128(ЦАГИ) и программного лабораторного комплекса для модуля «Преобразование частоты дискретизации звуковых сигналов», применённых в учебном процессе НИЯУ МИФИ и МТУ СИ, подтвердила их работоспособность и высокую эффективность.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, в том числе:

В журналах, входящих в перечень ВАК:

1. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Программный комплекс спектрально- временного анализа для нестационарных колебательных сигналов.// Информационные технологии. 2010. №9. С.48-53.

2. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Применение аппроксимационных сплайнов для цифровой фильтрации звуковых сигналов.// Радиотехника. 2010. №3. С.32-38.

3. В.В. Буров, В.Г. Гетманов, С.Е. Орлов, В.В. Петроневич. Метод цифровой фильтрации последовательностей экспериментальных данных с

использованием аппроксимационных сплайновых функций.// Автометрия. 2011. №1. С.37-49.

4. Гетманов В.Г., Модяев А.Д., Орлов С.Е., Попов О.Б. Алгоритм преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов на основе аппроксимационных ортогональных сплайнов.// Информационно -измерительные и управляющие системы. 2011.№10. С.45-53.

В журналах, представленных в международной базе цитирования Scopus:

5. Getmanov V.G., Orlov S.E. A way to Use Local and Spline Models for Estimating the Parametrical Functions of a Nonstationary Waveform Signals. Pattern Recognition and Image Analysis, 2011.Vol.21, No.4, pp.677680.

6. Burov, V.V., Getmanov, V.G., Orlov, S.E., Petronevitch, V.V. Method of digital filtration of experimental data sequences with the use of approximation spline functions (2011) Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 47 (l),pp.29-38.

В других изданиях:

7. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Спектральный анализ нестационарных колебательных сигналов на основе полигармонических моделей.// Неразрушаю щий контроль и техническая диагностика: 18 Всероссийская конференция с международным участием. Нижний Новгород, 29.0903.10.2008. М.: Машиностроение, 2008. С.156-160.

8. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Сплайновая фильтрация звуковых сигналов.// Труды 11 международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её приложения». М.: РНТОРЭС им.А.С.Попова. 2009.Т. 1 .С. 144-147.

9. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Применение ПК SPECTRANS для спектрально- временного анализа нестационарных колебательных сигналов. // Труды 11 международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её приложения». М.: РНТОРЭС им. А.С. Попова. 2009.Т.1.С.147-150.

10. Орлов С.Е. Автоматизированная система для просмотра и редактирования файлов экспериментальных сигналов.// Научная сессия МИФИ-2009. 12 Московская международная телекоммуникационная конференция студентов и молодых учёных «Молодёжь и наука» Тезисы докладов. 42. М.: МИФИ, 2009. С.151-153.

11. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Сплайновая фильтрация звуковых сигналов.// Труды 11 международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её приложения».М.: РНТОРЭС им. A.C. Попова. 2009. Т.1. С.147-150.

12. Гетманов В.Г., Зверев М.В., Орлов С.Е. Фильтрация нестационарных акустических сигналов на основе сплайновой аппроксимации и wavelet- преобразований.// Научная сессия НИЯУ МИФИ-2010. //13 Московская международная телекоммуникационная конференция студентов и молодых учёных «Молодёжь и наука» Тезисы докладов в 3-частях. ЧЗ./М.: НИЯУ МИФИ.2010. С. 127-128.

13. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Сплайновая фильтрация результатов аэродинамических экспериментов. // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2011. Аннотации докладов. В 3 томах. Т.З. М.:НИЯУ МИФИ, 2010. С.146

14. Орлов С.Е., Малов A.B. О&ьективная экспресс- оценка качества передачи звуковых сигналов. // INTERMATIC-2010. Материалы международной научно- технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», 23-27 ноября 2010г. Москва/ под ред. чл.-корр. РАН A.C. Сигова. М.: Энергоатомиздат, 2010. Часть З.С.217-221.

15. Гетманов В.Г., Орлов С.Е., Попов О.Б. Применение аппроксимацион-ных сплайнов для задачи изменения частоты дискретизации звуковых сигналов. // INTERMATIC-2010. Материалы международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», 23-27 ноября 2010г. Москва/ под ред. чл.-корр. РАН A.C. Сигова. М.: Энергоатомиздат, 2010. Часть 3. С.24-27.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ:

16. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ, № 20106117522,28.10.2010, Роспатент.

17. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ, № 2011618170,18.10.2011, Роспатент.

Подписано в печать:

14.05.2014

Заказ № 10023 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

04201459642

Орлов Сергей Евгеньевич

<<а

Аппроксимационная сплайновая фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями

Научный руководитель

доктор техн. наук, проф. Гетманов В.Г..

Специальность 05.13.01-системный анализ, управление и обработка информации (в информационных системах)

Москва - 2014

Содержание

Введение...........................................................................................................5

Глава 1. Задача аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями..................................................14

1.1. Математические основы вычисления сплайновых функций и решений задач аппроксимации на основе нелинейных и линейных моделей........................................................................................................14

1.1.1. Вычисление кубических интерполяционных сплайновых функций.................................................................................................. 14

1.1.2. Задачи аппроксимации на основе нелинейных и линейных моделей ...................................................................................................................17

1.2. Аппроксимационная фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями.............................................................20

1.2.1 Модели систем с нестационарными возмущениями, модели наблюдений, общая задача аппроксимационной фильтрации..............20

1.2.2. Особенности применения существующих методов фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями.......................26

1.2.3. Обзор публикаций по методам и алгоритмам аппроксимационной фильтрации...............................................................30

1.3.Постановка задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями.........................34-

Выводы к главе 1...............................................................................38

Глава 2. Разработка методов аппроксимационной сплайновой фильтрации .........................................................................................................................39

2.1. Базовый метод аппроксимационной сплайновой фильтрации ......................................................................................................................39

2.1.1. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций с нерегулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений.......39

2.1.2. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций с регулируемыми условиями на концах интервала наблюдений.............45

2.2.Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов.....................................................48.

2.2.1. Задача формирования системы дискретных ортогональных полиномов................................................................................................48

2.2.2. Метод вычисления аппроксимационных сплайновых функций на основе дискретных ортогональных полиномов.....................................52

2.2.3. Пример аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов..................................................58

2.3. Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных полиномов второго порядка...................................................59

Выводы к главе 2...............................................................................68

Глава 3. Алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями..................................................70

3.1. Система цифровой обработки экспериментальных характеристик ЛА, полученных в результате испытаний в аэродинамической трубе.............................................................................70

3.2. Алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрации экспериментальных характеристик ЛА.....................................................74

3.3. Системы цифровой фильтрации звуковых сигналов...............81

3.4.Алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации для устранения шумов в звуковых сигналах....................................................85

3.5. Алгоритмы преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов.......................................................................................................91

3.6.Апгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе ортогональных полиномов для преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов.............................................................93

Выводы к главе 3...............................................................................99

Глава 4. Экспериментальные и модельные исследования алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации сигналов систем с нестационарными параметрами..................................................................101

4.1. Программный комплекс аппроксимационной сплайновой фильтрации для модельного исследования наблюдений сигналов систем с-нестационарными возмущениями............................................................101

4.2. Экспериментальное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации характеристик ЛА.........104

4.3. Экспериментальное и модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в звуковых сигналах.....................................................................................................112

4.4. Модельное исследование алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для преобразования частоты в звуковых сигналах.....................................................................................................117

Выводы к главе 4............................................................................. 123

Заключение...................................................................................................125-

Литература....................................................................................................128

Приложение 1...............................................................................................135

Свидетельство государственной регистрации №2010617522 от 28.10.2010 SPECTRANS-А............................................................................................. 135

Приложение 2...............................................................................................137

Свидетельство государственной регистрации №2011618170 от 18.10.2011 SPECTRANS-A10.........................................................................................137.

Приложение 3...............................................................................................139

Акт внедрения ЦАГИ.....................,.............................................................. 139

Приложение 4...............................................................................................141

Акт внедрения МТУ СИ...............................................................................141

Приложение 5............................................................................................... 144

Описание лабораторной работы «Преобразование частоты дискретизации звуковых сигналов».....................................................................................144.

Введение

В данной диссертационной работе решается научно- техническая задача разработки методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации для сигналов систем с нестационарными возмущениями. Разработанные методы базируются на предложенных специальных аппроксимационных сплайновых функциях. Сформированные алгоритмы и соответствующий программный комплекс ориентированы на использование для задач фильтрации во многих приложениях. Основная решаемая здесь задача фильтрации заключается в реализации устранения шумов в наблюдениях рассматриваемых сигналов. Результаты работы могут быть применены в информационных системах для многих предметных областей.

Актуальность работы. Цифровая фильтрация к настоящему времени представляет собой хорошо разработанную область прикладной математики. В практике цифровой фильтрации сигналов и временных рядов используется целый арсенал математических методов, к которым, в основном, можно отнести: 1) Методы цифровой фильтрации на основе рекурсивных и нерекурсивных разностных уравнений; 2) Методы цифровой фильтрации на основе регрессионного анализа с использованием линейных и нелинейных моделей; 3) Методы цифровой фильтрации на основе ,\Уауе1е1-модельных функций; 4) Методы цифровой фильтрации на основе авторегрессионных моделей; 5) Методы цифровой фильтрации на основе сплайновых функций. Перечисленные методы успешно применяются для фильтрации сигналов в большом числе научно- технических задач.

Однако следует отметить, что в современной практике цифровой обработки сигналов существует целый класс научно- технических задач, для которых требуется производить фильтрацию сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые наблюдаются на ограниченных временных интервалах, в условиях значительных изменений во времени для

исходных функциональных зависимостей, с нестационарными спектральными характеристиками и с неравномерной дискретизацией.

К числу таких важных в практическом отношении научно-технических задач, требующих фильтрации сигналов указанных типов для предметных областей экспериментальной физики, экспериментальной механики, измерительной техники, радиоэлектроники и т.д. можно указать: цифровую фильтрацию наблюдений зашумлённых быстропротекающих процессов (взрывного типа) со сложными видами параметрических модуляций; фильтрацию структурно - сложных нестационарных гидроакустических сигналов; фильтрацию зашумлённых наблюдений доплеровских сигналов в акустическом, радио и оптическом диапазоне; фильтрации сигналов типа акустической эмиссии и т.д. Перечисленные математические методы цифровой фильтрации для указанных задач, в ряде случаев, работают в недостаточной степени эффективно.

Необходимо отметить, что вследствие постоянного развития и совершенствования современных компьютерных средств, появляются новые технические возможности для решения сложных математических задач фильтрации, основанные на реализации больших быстродействий и больших объёмов памяти.

Предлагаемый в данной работе метод аппроксимационной сплайновой фильтрации ориентирован на цифровую обработку сигналов с указанными специальными свойствами и с учётом применения современных компьютерных средств. С одной стороны, применение сплайнов позволяет осуществлять аппроксимацию достаточно сложных функциональных зависимостей; с другой стороны, математический аппарат для сплайнов реализуется на основе решений систем линейных уравнений, что не представляет особых технических сложностей в вычислительном плане.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью реализации решений современных задач фильтрации для практики цифровой обработки сигналов, учитывающих их нестационарный характер. Приведённые выше аргументы позволяют сделать вывод об актуальности темы предлагаемой диссертационной работы.

Научная новизна.

С точки зрения научной новизны полученных результатов следует отметить, что в данной диссертации содержатся:

1. Постановка и метод решения задачи цифровой фильтрации сигналов систем с нестационарными возмущениями, которые являются новыми благодаря использованию аппроксимационных сплайновых функций;

2.Новый метод аппроксимации, основанный на применении регулирования для сплайновых функций условиями на концах интервалов наблюдений и ортогональных полиномов;

3.Новый метод решения задачи обеспечения оптимального расположения сплайновых узлов для аппроксимационных сплайновых функций, основанный на разработанной специальной процедуре поиска экстремума нулевого порядка;

4.Новый метод решения задачи устранения шумов в звуковых сигналах, базирующийся на применении аппроксимационной сплайновой фильтрации;

5.Новый метод решения задачи преобразования частоты дискретизации сигналов, использующий аппроксимационные сплайны.

Объектом исследования является задача фильтрации шумов в наблюдениях сигналов систем с нестационарными возмущениями.

Предметом исследования является аппроксимационная сплайновая фильтрация шумов в наблюдениях сигналов систем с нестационарными возмущениями.

Целью данной диссертации является разработка методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями.

Методы исследования. Исследования проводились на основе использования методов цифровой обработки сигналов, методов оптимизации, методов статистического анализа данных и методов математического моделирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования по данной диссертации составили работы отечественных и зарубежных специалистов в области теории и применения сплайновых функций и методов статистического анализа экспериментальных данных: Стечкин Б.С., Завьялов Ю.Н., Субботин Ю.С., Квасов Б.И., Катковник В.Я., Вапник В.Н., Поляк Б.Т., Крянев A.B., Гетманов В.Г., Мишулина O.A., HuberP.J., UnserM., де Бор К, Алберт Дж.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе потребовалось решение задач:

1. Разработка моделей систем с нестационарными возмущениями и соответствующих моделей наблюдаемых сигналов, разработки структур предполагаемых сплайновых функций и реализации общей постановки задачи вычисления аппроксимационных сплайновых функций.

2. Разработка системы методов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

3. Разработка системы алгоритмов и программного обеспечения для реализации решения задач фильтрации шумов в сигналах систем с нестационарными возмущениями.

4. Проведение экспериментального исследования разработанных методов и алгоритмов на реальных задачах и сигналах.

5. Реализация математического моделирования для оценивания погрешностей предложенных методов и алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, выделяется объект и предмет исследования, определяются цели и задачи работы, приводятся сведения о научной новизне, достоверности и практической значимости результатов диссертации, даются сведения о структуре и объёме работы.

Первая глава является постановочной. В ней содержатся необходимые математические сведения по построению интерполяционных сплайнов, линейных и нелинейных аппроксимационных моделей, необходимые для использования в последующих главах. Формируются модели систем с нестационарными возмущениями, производятся определения моделей для наблюдений, формулируется общая задача аппроксимационной фильтрации. Разбираются особенности применения существующих методов фильтрации для рассматриваемых сигналов. Производится обзор публикаций по методам и алгоритмам аппроксимпационной фильтрации. Реализуется постановка задачи аппроксимационной сплайновой фильтрации

Во второй главе приводятся материалы по разработке методов аппроксимационной сплайновой фильтрации. Формулируется базовый метод аппроксимационной сплайновой фильтрации и методы вычисления сплайновых функций со свободными и регулируемыми условиями на концах интервалов наблюдений. Описывается метод аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных ортогональных полиномов. Приводятся материалы по методу аппроксимационной сплайновой фильтрации на основе дискретных полиномов второго порядка.

В третьей главе содержатся материалы по разработке алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации для цифровой обработки сигналов систем с нестационарными возмущениями.

Предложены алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации для экспериментальных характеристик ЛА, полученных в ходе испытаний в аэродинамической трубе; предложен алгоритм аппроксимационной сплайновой фильтрации экспериментальных характеристик ЛА на основе полиномов второго порядка, с оптимальными условиями на концах интервалов наблюдений для сплайнов и подбором оптимальных сплайновых узлов. Разработан вариант алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации, базирующийся на ортогональных полиномах, для задачи устранения шумов в звуковых сигналах. Разработан вариант алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для задачи преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов.

В четвёртой главе содержится описание экспериментального исследования применения разработанных алгоритмов аппроксимационной сплайновой фильтрации. Приведены результаты экспериментального исследования аппроксимационной сплайновой фильтрации для характеристик ЛА, полученных в ходе испытаний в аэродинамической трубе; сделаны оценки точности алгоритма сплайновой фильтрации экспериментальных характеристик. Описаны результаты

экспериментального исследования алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для устранения широкополосных шумов в звуковых сигналах; сделаны оценки погрешностей предложенного алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации звуковых сигналов. Описаны результаты экспериментального исследования алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации для преобразования частоты дискретизации в звуковых сигналах, вычислены оценки его погрешностей.

В приложении 5 приведено описание лабораторной работй «Преобразование частоты дискретизации звуковых сигналов». В заключении отражены все результаты, полученные в данной работе. В приложениях 1-4 содержатся: копии актов внедрения и свидетельства гос. регистрации программ на ЭВМ, выданные Роспатентом.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы являются в значительной степени универсальными и могут быть использованы во многих приложениях.

1.Разработанные методы и алгоритмы аппроксимационной сплайновой фильтрац�