автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование и моделирование численного метода определения параметров движения центра масс космического аппарата с помощью комбинированного вейвлет-фильтра

На правах рукописи

У

Яковлев Евгений Кириллович

ИССЛЕДОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ПОМОЩЬЮ КОМБИНИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

2 8 НОЯ 2013

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2013

005539822

Работа выполнена на кафедре высшей математики Федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики».

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой высшей математики ПГУТИ Блатов Игорь Анатольевич;

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор,

лауреат Государственной премии СССР, профессор кафедры ГИ и ИБ СГАУ, Мостовой Яков Анатольевич;

декан механико-математического факультета СамГУ, доктор физико-математических наук, профессор Новиков Сергей Яковлевич.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО Воронежский государственный

университет

Защита диссертации состоится 18декабря 2013 года в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан 9 ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08

Зайцев В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие спутниковых радионавигационных систем открывает новые возможности и ставит новые задачи в математической физике и вычислительной математике. В этих направлениях были достигнуты определенные успехи. В настоящее время полностью развернуты спутниковые навигационные системы GPS, ГЛОНАСС, ежегодно запускаются десятки космических аппаратов (КА), работающих по сигналам навигационных систем. Однако технологию определения орбиты по беззапросныммежспутниковым измерениям нельзя считать полностью отработанной. В современных условиях актуальной является проблема снижения затрат на баллистико-навигационное обеспечение полета космического аппарата, проблема постоянного роста требований к точностным характеристикам систем спутниковой навигации.

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с автономными системами спутниковой навигации. Во-первых, для получения требуемых точностных характеристик необходимо усложнять алгоритмы обработки и фильтрации результатов одномоментных навигационных определений. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными временными и вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, в условиях ограничения по времени и затратам памяти. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных алгоритмов.

В настоящее время существует много различных методов навигации КА. По способу математической обработки поступающей навигационной информации они разделяются на детерминированные и статистические. Последние, в свою очередь, делятся на методы обработки полной выборки измерений (статические) и методы обработки выборки нарастающего объема (динамические методы). Главный недостаток детерминированных методов навигации заключается в их относительно низкой точности, поскольку неизбежные случайные погрешности измерений приводят к соизмеримым ошибкам определения параметров движения КА. Данный подход применим в случаях, когда требования со стороны потребителя навигационной информации невелики.

Из числа методов, основанных на статистической обработке навигационных измерений, в данной диссертационной работе рассматриваются задачи динамической фильтрации. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на обработке одномоментных навигационных измерений. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах P.E. Калмана(развивался в работах К. Браммера, Г. Зиффлинга, И.Н. Синицына и др.), и имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, алгоритм динамической фильтрации содержит операцию обращения матрицы. Элементы этой матрицы с течением

времени уменьшаются и становятся соизмеримыми с ошибками счета цифровой вычислительной машины. Во-вторых, в основе построения динамического фильтра положено предположение о том, что уравнения движения и измерений являются линейными. В действительности допущение о линейности уравнений справедливо тогда, когда истинная орбита незначительно отличается от опорной.Для разрешения данного недостатка используетсялокальная линеаризация, учитывающая физическую специфику задачи.

Существующие методы фильтрации по Калману, основанные на статистической обработке, работают эффективно тогда, когда спектр ошибок сигнала соответствует случайному сигналу, распределенному по нормальному закону, с нулевой корреляцией. Реальный спектр ошибок отличается от этой желаемой модели. Он содержит и систематические, и коррелированные ошибки, а так же аномальные погрешности, которые не соответствуют нормальному закону. Возникает задача предфильтрации полученного сигнала. При этом классический метод наименьших квадратов не гарантирует получение высокоточной оценки параметров в заданный момент времени и не учитывает модель движения КА. Поэтому необходима разработка методов предфильтрации более точно учитывающих локальную информацию о параметрах КА в данный момент времени.

Основой математического аппарата этой задачи могут стать вейвлет-функции, сочетающие в себе свойства ортогональности, финитности, гладкости и возможности эффективной численной реализации. По сравнению с методами гармонического анализа алгоритмы, основанные на вейвлетах, более экономичны в численной реализации, чем быстрое преобразование Фурье, и лучше приспособлены к обработке импульсных помех. Современная основа вейвлет-анализа была заложена в работах И. Добеши, К. Чуй, С. Малла, И.Я. Новикова. Однако для большинства уже изученных вейвлет-систем недостаточно разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, требования к которым являются весьма жесткими с учетом производительности аппаратуры на борту КА. Такие алгоритмы существуют для полиномиальных и кусочно-полиномиальных функций, но для известных вейвлет-систем требования кусочной полиномиальное™ приводят к потере финитности. Поэтому целесообразным представляется построение кусочно-полиномиальных вейвлет-систем, обладающих всеми указанными выше свойствами и разработка для них вычислительных алгоритмов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема разработки надежных и точных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для решения навигационной задачи, а именно, определения параметров движения центра масс (ПДЦМ) космического аппарата. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы путем построения комбинированного вейвлет-фильтра на базе дискретных финитных кусочно-полиномиальных вейвлетов и фильтра Калмана.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра одномоментных навигационных определений для получения ПДЦМ КА требуемой точности с использованием имитационной модели движения КА, а также разработка, обоснование и тестирование численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня С++.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.

2) Создание, разработка и оценка эффективности алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра на базе построенных вейвлет-функций для определения ПДЦМ КА.

3) Построение имитационной модели процесса движения космического аппарата на орбите для обоснования и тестирования предлагаемого комбинированного вейвлет-фильтра.

4) Создание комплекса программ для моделирования процессов получения ПДЦМ КА и проведение численных экспериментов для определенияПДЦМ КА.

5) Выполнено полунатурное моделирование: обработка векторов ПДЦМ из информации оперативного контроля (ИОК) и телеметрической информации (ТМИ) КА Ресурс-ДК.

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов теории движения КА на орбите, математическогомоделирования, математической статистики,теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна.

1) Разработан и исследован новый комбинированный вейвлет-фильтр, определены перспективы его практического использования.

2) Доказаны теоремы об оценке погрешности вейвлетной предфильтрации.

3) Построенановая система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4) Разработаны методы быстрогодискретного вейвлет-преобразования в пространстве дискретных сплайновых вейвлетов,и обоснована их вычислительнаяэффективность.

5) Разработана система компьютерного и имитационного моделирования ПДЦМ КА, комплекс программ, реализующий алгоритмы быстрогодискретноговейвлет-преобразования.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Комбинированный вейвлет фильтр - фильтр Калмана.

2. Теоремы об оценке погрешности вейвлетной предфильтрации.

3. Система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4. Быстрые алгоритмы в пространстве полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов.

5. Результаты имитационного моделирования движения КА на орбите. Совпадение результатов вычислительного эксперимента, полунатурного эксперимента с теоретическими выводами и предположениями.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и корректностью применения математических методов получения основных результатов. Достоверность результатов подтверждается вычислительным и полунатурным экспериментом.

Теоретическая и практическая значимость. Разработан комбинированный вейвлет-фильтр, и построена система сплайновых вейвлетов, которые могут быть использованы для решения широкого класса задач математического и численного моделирования. Разработанные и реализованные численные методы и алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования могут найти применение в различных программах и программных комплексах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 16-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым - Евпатория, 3-10 июля 2011г.), Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники»(НКозловские чтения) (Самара, 14-16 сентября 2011 г.). Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций» (Воронеж, 26 января-1 февраля 2011 г.), Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (Украина - Одесса, 19-30 марта2013 г.), Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 11-13 сентября 2013 г.), Международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (Украина -Одесса, 1-12 октября 2013 г.).

Личный вклад автора. Постановка задачи осуществлялась совместно диссертантом и научным руководителем - профессором Благовым И.А. Доказательство теорем и утверждений, разработка моделей, комбинированного вейвлет фильтра - фильтра Калмана и его компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований источников. Она содержит 130 страниц и 36 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика современного состояния проблемы решения задачи навигации КА и используемых при этом методов, также обоснована актуальность темы диссертации. Приводится аннотация работы.

В первой главе ставится задача навигации КА. Строится модель определения орбиты с воспроизведением и фильтрацией результатов одномоментных навигационных определений. В п.1 описываются исходные данные для модели движения. В п.2 приводится блок-схема и структура модели определения параметров орбиты. Реализованы численные алгоритмы движения КА для проведения вычислительного эксперимента.

Обработка навигационных измерений и определение ПДЦМ КА производятся на заранее выбранном интервале времени. К параметрам движения, полученным после обработки и выдаваемым потребителям в бортовом комплексе управления, и предъявляются требования по точностным характеристикам.

Формируются начальные условия (НУ) навигационных КА (НКА) и КА-потребителя (КАП). Вычисляются возмущенное (уточняемое) значение вектора определяемых параметров КАП на текущий момент времени (¿и&и.Уи^ц.Ухц.Ууи^гц), эталонные значенияПДЦМ

НКА(}ц(хк,уц,2к,Ухы,Уун,У2}]), геометрическая дальность О = [(*„ — х„)2 + (Уи ~~ Ум)2 + (ги ~ Имитационные значения измерений

псевдодальности и псевдоскорости определяются формулами (1), (2):

О, =й1 + 6Ф- 8Ф1 + ДО, (1)

б; = + - + ДО, (2)

где и О; - геометрические дальность и радиальная скорость между КА-потребителем и НКА с системным номером I, 8Ф и - эталонные смещения фазы и частоты генератора КАП относительно системного времени глобальной навигационной спутниковой системы, и - случайные

некомпенсированные ошибки фазы и частоты генератора г-го НКА, ДО и ДЬ -случайные ошибки измерения псевдодальности и псевдоскорости.

Вычисляются коэффициенты условного линейного уравнения относительно

поправок к вектору определяемых параметров для измерения псевдодальности.

Это уравнение имеет вид:

дй дй 30 дй дБ дй

—Ах ц + — Ауи + — Аги + —— АУхи + АУуи + —— АУги + дхи и дуц дги " дУхи " дУуи и дУги

ао дР

+ — АФ + —АР = АО (3)

дФ дР

Вычисляются коэффициенты условного линейного уравнения относительно поправок к вектору определяемых параметров для измерения радиальной псевдоскорости. Это уравнение имеет вид:

дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ

—А хи + — АУи + — Дг„ +——АУхи + —— Д Ууц + —-Шгц + дхи дуц дги дУхи дУуи дУги

дФ дг

Для определения поправок к уточняемому вектору определяемых параметров формируется вектор правых частей и матрица системы нормальных уравнений по вычисленным коэффициентам. Так как ковариационная матрица одномоментных беззапросных измерений псевдодальности и радиальной псевдоскорости по допущению является диагональной, эти операции выполняются по рекуррентным формулам метода наименьших квадратов для некоррелированных неравноточных измерений (координаты вектора положения и координаты вектора скорости являются неравноточными):

^т+1 " Ап 4" Ст+г^т+г/и'т > ~ 0>

вт+1 = вт + С£+1Дгт+1/и/т , Во = О, где А - матрица, В - вектор свободных членов системы нормальных уравнений, 771- текущий номер измерения, Ст- вектор-строка коэффициентов (30/д(2и) или (д£>/Зфу) уравнений (3) или (4), соответственно, Дг - правая часть уравнений (3) или (4), 1Ут - весовой коэффициент измерения, задаваемый в исходных данных.

Вычисляется вектор поправок для уточняемого вектора определяемых параметров 8(}и = А~гВ. Производится уточняющее суммирование текущего расчетного значения вектора определяемых параметров и вектора поправок Шк = Шк-1 + 8<2ик.

При обработке сигналов, изображений в вычислительных алгоритмах чаще всего приходится иметь дело с дискретно заданной информацией, т.е. с функциями, заданными на сетке. Для их обработки нужен дискретный аппарат.

Вторая глава посвящена дискретномувейвлет-базису. В п.З излагаются некоторые необходимые для дальнейшего факты из теории сплайнов и строятся полуортогональные дискретные сплайновые вейвлеты на конечном отрезке.В п.4 рассматриваются и доказываются аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью.

Если функция [(х) отлична от нуля лишь на некотором компактном множестве, то она называется финитной.

Построенные сплайновые вейвлеты являются полуортогональными в том смысле, что скалярные произведения разноуровневых вейвлетов, а также одноуровневых вейвлетов, носители которых не пересекаются, равны нулю.

Пусть [а, Ь] - произвольный отрезок, т - натуральное число и п0 - такое целое число, что 2"° < 2т — 1 < 2По+1. Рассмотрим семейство Д = {Д„, п = п0, щ + 1,...} разбиений отрезка [а, Ь] Дп: а = Хд < х" < ■•■ < х"л = Ь с постоянным шагом /г = кп — (Ь- а)/2п. На каждом из разбиений Дп рассмотрим пространство сплайнов степени т — 1 дефекта 1 1п = 5(Д„, т — 1,1). Тогда для каждого к>п0 пространство = 5(Дк, т — 1,1) можно представить в виде прямой суммы

0 + 1

а+2 ф ... Ф Щ,

где через обозначено ортогональное дополнение пространства 1к_г до пространства 1к. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в ЬПо и всех базисов в пространствах п0 + 1 < п < к.

Вначале построим базис в ортогональном дополнении ]№п пространства ¿п_г до пространства Ьп. Зафиксируем п > п0 + 1. В случае необходимости будем считать, что каждое из разбиений Дп продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами х",—ж> < ¡' < со. Нормализованные В-сплайны на разбиении Д„ будем обозначать А/т_и|П.

Зафиксируем некоторое целое 1>0 такое, что I + 2т — 1 < 2П-1, т.е. отрезок целиком содержится в [а, Ь]. Будем искать функцию

х[>1Л(х) Е\Уп в виде

21+Зш-2

0ш(*) = £ "^«-ЬА»' ' = 0Д.....2П_1 - 2т + 1. (5)

7=21

Для того чтобы тр1П £ 1УП, достаточно потребовать выполнения условий

(^¡.п. ^т-г.м) =0, к = £ - ш + 1,1 - т + 2,..., I + 2т - 2, (6) поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей.

Подставляя представление (5) в (6), получим однородную систему (7) 3т — 2 уравнений с 3т — 1 неизвестными

21+Зт-2

^ о, ■ (Л7т_и„, >п_г) = 0, /с = / - т + 1,1 - т + 2.....{ + 2т - 2, (7)

¡=21

которая всегда имеет нетривиальное решение. Находя это нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и функцию !/>;,„ (х) в виде (5).

Таким образом, мы построили совокупность полуортогональных линейно независимых вейвлетов {'/'¡.пС*)}» 1 = 0< ■■■. 2П_1 — 2т + 1. Однако размерность ортогонального дополнения \Уп равна 2П-1, т.е. до базиса И^, нам не хватает ровно 2(т— 1) функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции ^¡ „М при — 2т + 2 < I < 2"-1 — 1 на расширенном разбиении Дп.

Первую группу из т — 1недостающих вейвлетов будем искать в виде

-т

Фг.пЫ = >Р,,п(х) - ^Г ■ 1р1п(х), — т + 1 < ( < -1 (8)

)=-2т+2

из условий

№,„(*)'Лт-ии-О = 0, к = -т + 1,-т + 2,...,-1, (9)

где скалярное произведение понимается в смысле Ь2 [а, Ь]. Подставляя (8) в (9), получим СЛАУ

—т

^ «¡■(Ф],п,Мт-1Хп-1) = (}р1,п,Ыт-1Хп_1))к = -т + 1,...1-1 (10)

у=-2т+2

для определения «у. Матрица системы (10) невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, ЧТО означало бы, ЧТО функция Х/=^-2т+2 °7 ' '/'¿лМ является вейвлет-функцией на [а, Ь] с носителем ,*"т-2]> ЧТ0 невозможно в силу доказанной в работе теоремы. Решая систему (10), получаем, что функция (8) является искомой вейвлет-функцией, так как ортогональность к В-сплайнам А/т_1к п_1 при к > 0 имеет место в силу ортогональности им всех вейвлетов из линейной комбинации (8), а при — т + 1<к<—1-в силу условий (9).

Тем самым мы построили совокупность т — 1 вейвлет-функций (8). Их линейная независимость с ранее построенными функциями вытекает из вида (8) и доказанного следствия.

Вторую группу из т — 1 недостающих вейвлетов будем искать в виде 2П-1—1

= ]Г а} ■ ф7 П(х),2л-1 — 2т + 2 < I < 2"-1 — т, (11)

у=2п"1-ш+1

из условий

ОЯп. Лт-ии-О = о, Л = 2"-1 - т + 1,2"-1 - т + 2,..., 2»"1 - 1, (12) Подставляя (11) в (12), получим СЛАУ

^Г Я; • 0/»;,пСО. Wm-l.fc.n-l) = Ьр1,пМ- Wm-i.fc.n-l),

у_2П-1_т + 1

к = 2"-1 - т + 1,2П-1 - т + 2, ...,2п~1 - 1 (13)

для определения йу. Решая систему (13), получаем, что функция (11) является искомой вейвлет-функцией. Тем самым мы построили совокупность т — 1 вейвлет-функций (13). Вместе с функциями (5) и (8) они образуют искомый базис в1/Уп, если 2"-1 > 2т — 1.

В качестве базиса в 1Па выберем совокупность «усеченных» В-сплайнов

{Wm-I.fc.no, -т + 1 < к < 2п° - 1}. (14)

Итак, совокупность функций (14) и (5), (8), (11) при п0 + 1 <п < к образует искомый вейвлет-базис в пространстве Ьп.

вейвлет, т — 1 = 1 вейвлет, т— 1 = 2 т — 1 = 3

Все указанные построения переносятся на функции дискретного аргумента следующим образом. Зафиксируем произвольные натуральные т > 2, к > 2 ■

т — 1. Рассмотрим на отрезке [л^, хк+1] некоторую квадратурную формулу численного интегрирования функций одной переменной, точную для всех многочленов степени 2т — 2

I /(*)& = £ С; ■/(*,;)+Я.

Л1

На каждом отрезке [хк,хк+ х] с Дк, 0 < £ < 2к — 1 введем дополнительные узлы

1 < ]' < 5, совпадающие с узлами данной квадратурной формулы на этом отрезке. Пусть Ак - разбиение отрезка [а, Ь], множество узлов которого состоит из узлов хц, 0 < £ < 2к — 1. Рассмотрим пространство сеточных функций скалярное произведение в котором введем по формуле

(/,5)=X Xс''■(15)

¡=0 ;=1

В пространстве рассмотрим пространство т — 1,1) всех

сеточных функций, каждая из которых в узлах йк совпадает с некоторым сплайном из 5(Ак,т — 1,1). Поскольку квадратурная формула (15) точна для функций из — 1,1), то сеточные функции, совпадающие с функциями

0! П, 1р[п, построенными ранее, будут образовывать полуортогональный базис пространства §(Ак,т —1,1). Систему этих функций назовем системой полуортогонапьных дискретных сплайновых вейвлетов в пространстве Ьгк [Дк] и, чтобы избежать дополнительных индексов, сохраним за ними прежние обозначения.

В Главе 3 (п.5) строятся алгоритмы прямого и обратного быстрого дискретного вейвлет-преобразования для построенной системы функций.

В приложениях важно уметь решать две следующие задачи.

Задача 1. По заданному набору коэффициентов

к-п0

{ег0/, -т + 1 < ) < 2"» - 1} У У {с(;, -т + \<)< 2п°+1~1 - т} (16)

¡=1

восстановить все значения /¡7, 0 < I < 2к — 1, 1 < у < 5 функции {/¡,} £ §(Ак, т - 1,1), если

/" = ^ ^Оу " Ф].п0 + Л £ СЦ'Ф],па+1 (17)

у=-т+1 ¡ = 1 /=-т+1

Задача 2. По заданной функции / = {/у}, 0 < I < 2к — 1, 1 < < 5 (17) найти все ее коэффициенты разложения (16).

Решение задачи 1 называется обратным вейвлет-преобразованием, а решение задачи 2 - прямым вейвлет-преобразованием.

Алгоритм решения задачи 1 имеет следующий вид:

1. Полагаем п = п0.

2. Находим числа dn+1_no i, -m + 1 < i < 2n+1 - 1 по формулам

^n+l-n0,i = d-n-n^.i Cn-n0.i'

]T Cn-n0,i ■ <*ij. -m + 1 < y < 3m - 4,

£ cn-n0,i ■ «ц. 3m - 3 < ; < 2" - 4m + 3

^ c7i-n0.i ' «y, 2" — 4m + 4 < / < 2n — 1,

, ie[max{0.tî|î±î},mm{2n-i-Tn|}]

"n-H„J

dn~n0,L ' Pij-

3. Полагаем n = n + 1. Если n< к, переходим к шагу 2.

4. Для всех узлов Хц 6 Дк вычисляем значения функции / по формулам

2к-1

/и = Я*у) = ^ dfc-n0,s ■ ФкЛХч)-s=-m+1

Алгоритм решения задачи 2 имеет следующий вид:

1. Вычисляем все значения di k = [f, 4>i k (х)), —m + 1 < i < 2k - 1.

2. Полагаем n — k — 1.

3. Вычисляем значения din, —m + 1 < i < 2n — 1, по формулам

= (/.&,*(*>) = ^ Pii ' d7>+i<

;=2i

4. Если п = п0, переходим к шагу 6.

5. Вычисляем значения с1п по формулам

2i+3m-2

Ci,n = (f, V'i.nW) = £ «,J • , о < i < 2"-1 - 2m + 1, y'=2i

2"-l

cif„ = (f, ¡Pi.nW) = X «o • dy.n+i - 2"-1 - 2m + 2 < i < 2n_1 - m.

;=2i 2i+3m-2

= (/, ^¡,„С0) = ^ «¡у • ¿/>+1, -т + 1 < г < -1,

]=-т+1

6. Полагаем л = п — 1. Если п > гг0, переходим к шагу 3.

Глава 4 посвящена комбинированному вейвлет-фильтру - фильтру Калмана. В п.6 сформулированы теоремы о вейвлетной предфильтрации, об эффективности комбинированного вейвлет фильтра.

Будем считать, что базисные сплайны и вейвлеты <p¡ n и гр) п нормированы на единицу в lz[a,b\. Пусть v Е (п0,fe], Pv: L2[a, b] S(AV,m - 1,1)-ортогональный в ¿2[a, b] проектор на S(Av,m — 1,1). Пусть N¡k(x) - В-сплайн первой степени на разбиении Ак, нормированный на единицу в С[а, Ь].

Теорема 1. Для любого v е (п0, к], i е [—1,2к — 1] справедлива оценка

W^AlaM *

Теорема 2. При вейвлетной предфильтрации в пространстве S(Av,m — 1,1) коэффициент погашения импульсной помехи оценивается числом С2v~k, где С -константа, независящая от v,k.

В п.7 изложен алгоритм комбинированного вейвлет-фильтра. Краткое описание алгоритма комбинированного вейвлет фильтраприводится ниже.

Задается длина промежутка сглаживания. Затем в качестве функции f последовательно выбираются составляющие x(t),y(t),z(t), Vx(t),Vy(t),Vz(t) вектора ПДЦМ q(t) и строятся проекции каждой компоненты на пространство дискретных вейвлетов S(Ak,m —1,1) путем выполнения прямого быстрого дискретного вейвлет-преобразования. По заданным значениям / = находятся коэффициенты (16) разложения (17) этой функции по базисным сплайнам и вейвлетам ф] По и ipj,n0+i-

Далее получаем сглаженную кривую. Решается обратная задача: восстанавливаются значения функций (17)по коэффициентам разложения

v-n0

{doj,-т + 1 < j < 2"» - 1}U У [с1р —т + 1 < / < 2п"+1~г -m},ve (л0,к]

¡=i

Дальнейшаяобработка полученного вектора ПДЦМ проводится методом динамической фильтрации (фильтром Калмана). При этом предполагается, что шум не сосредоточен в какой-либо части вейвлет-спектра сигнала, а является «размазанным» по всему спектру. Вейвлет-спектр рассматривается как сигнал, содержащий шум и подлежащий сглаживанию с помощью фильтра Калмана.

В п.8 приводятся результаты численного эксперимента.

Проведено апробирование работы комбинированного вейвлет-фильтра для ПДЦМ, полученных в составе ИОК и ТМИ КА Ресурс-ДК, содержащих аномальные измерения, и сравнение результатов с параметрами, полученными методом динамической фильтрации. Наряду с этим проведена обработка ПДЦМ, полученных в результате имитационного моделирования.

На рис. 4 представлены результаты моделирования координаты X вектора положения в гринвичской системе координат, результаты обработки этих параметров комбинированным вейвлет-фильтром и фильтром Калмана. В случайно выбранный момент времени вводилась помеха, равная модулю наибольшего значения для текущей составляющей вектора ПДЦМ.

Комбинированный вейелет-фильтр А Смоделированные параметры — — Фильтр Калмэна

Рис. 4

На рис. 5 представлены результаты обработки полученной информации -невязки между элементамиизмеренной и эталонной орбит.

На рис. 6 представлены невязки между элементами эталонной орбиты и орбиты, определенной комбинированным вейвлет-фильтром, в проекциях на осиорбитальной системы координат (с1г-отклонение по радиус-вектору, <11 -отклонение вдоль орбиты, <1Ь - отклонение по бинормали к плоскости орбиты).

400 300 200 100 з 0 -100 -200 -300 -400

0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5;00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00

ДМВ. чч.мм

■ йг А сії • ЙЬ

Рис. б

В таблице 1 и 2 приведены точностные характеристики погрешностей определения ПДЦМ для случаев, проиллюстрированных на рис. 5 и бсоответственно. В таблице 3 приведено сравнение результатов комбинированного вейвлет-фильтра и фильтра Калмана.

Таблица 1 - Точностные характеристики погрешности определенияПДЦМ методом динамической фильтрации (фильтром Калмана)

dr, m dl, m db, m dVr, см/с dVl, см/с dVb, см/с

m -31,2 31,89 -25,5 -6,998 3,772 1,612

СКО 248,2 298,5 188,6 42,86 22,07 18

m-3a -776 -863,8 -591,5 -135,5 -62,43 -52,39

m+3a 713,6 927,6 540,5 121,6 69,98 55,62

min -519,5 -521,6 -450,8 -99,18 -56,75 -33,97

max 627 669 400,7 81,9 39,83 28,97

Таблица 2 - Точностные характеристики погрешности определения параметров движения КА комбинированным вейвлет-фильтром

dr, m dl, m db, m dVr, см/с dVl, см/с dVb, см/с

m 14,29 1,397 -0,648 0,448 1,433 3,294

CKO 77,72 106,8 102,4 15,2 14,73 15,73

m-3a -218,8 -319,2 -307,8 -45,15 -42,76 -43,91

m+3c 247,4 322 306,5 46,05 45,62 50,5

min -128,4 -232,4 -263,8 -32,69 -27,28 -25,14

max 134,9 311 243,3 23,52 32,91 32,75

Здесь используются следующие обозначения: m - математическое ожидание, СКО (о) - среднеквадратическое отклонение, min итах - минимальные и максимальные значения, принимаемые соответствующей величиной. (dVr - отклонение скорости по радиус-вектору, dVl — отклонение скорости вдоль орбиты, dVb — отклонение скорости по бинормали к плоскости орбиты).

Г

г q -■г: .

*.....:.........../.....

1 " і і >

;..............?.............'

......!..............4*.

і

Таблица 3 - Сравнение результатов работы комбинированного вейвлет-фильтра и фильтра Калмана

Комбинированный вейвлет-фильтр Фильтр Калмана

Среднее время обработки вектора ПДЦМ на одном такте работы, мкс 329 154

Отклонения вектора положения на конце интервала обработки, м 20 мин 14 18

40 мин 12 14

60 мин 8 И

Таким образом, вейвлет-фильтрация (предварительная обработка) сигнала с помощью комбинированного вейвлет-фильтра на основе дискретных финитных кусочно-полиномиальных полуортогональных сплайновых вейвлетов позволяет избавиться от сильнокоррелированных и аномальных ошибок, понизить уровень случайных ошибок.

В Заключении кратко перечислены основные новые результаты диссертационной работы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Построен комбинированный вейвлет фильтр - фильтр Калмана.

2. Сформулированы и доказаны теоремы об оценке погрешности вейвлетной предфильтрации.

3. Построена система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4. Разработаны и обоснованы эффективные вычислительные методы и алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования в пространстве полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов с применением современных компьютерных технологий.

5. Разработана система компьютерного и имитационного моделирования ПДЦМ КА на орбите, получены результаты обработки информации ПДЦМ КА Ресурс-ДК.

6. Реализованы эффективные численные методы и алгоритмы дискретного быстрого вейвлет-преобразования в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Игорю Анатольевичу Блатову за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всестороннюю поддержку.

Список публикаций по теме диссертации.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Яковлев Е.К., Блатов И.А. Определение параметров движения центра масс космического аппарата с помощью комбинированного вейвлет фильтра и

фильтра Калмаиа // Известия Самарского научного центра Российской академии наук-том 14,№6-1, с. 212-215.

2. Яковлев Е.К., Блатов И.А., Моделирование параметров движения центра масс космического аппарата и методы обработки // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия, №6 (107), Самара: Самарский Университет, 2013, с.147-152.

Публикации в прочих изданиях:

3. Яковлев Е.К., Рублев В.И., Мунтян Р.Ю. Анализ точности определения параметров на борту КА с одноосной ориентацией // Тезисы докладов 16-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация». - М.: МАИ-ПРИНТ, 2011, с. 75.

4. Яковлев Е.К., Блатов И.А., Старов А.Р. Применение быстрого вейвлет-преобразования к вычислению кратных интегралов в методе Галеркина для сингулярных интегральных уравнений // «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ, 2011, с. 49.

5. Яковлев Е.К., Рублев В.И. Точность определения параметров движения на борту КА // Материалы II Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники» (II Козловские чтения), 2011, с.423-424.

6. Яковлев Е.К. Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет // Сборник научных трудов БХУогШ. Материалы международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2013». - Вып. 1. Т.П. - Одесса: КУПРИЕНКО, 2013, с. 114.

7. Яковлев Е.К., Блатов И.А. Быстроевейвлет-преобразование в пространстве дискретных полиномиальных полуортогональныхвейвлет // Сборник научных трудов 8\Уог1<1. Материалы международной научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2013». - Вып. 1. Т. 12. - Одесса: КУПРИЕНКО, 2013, с. 123.

8. Яковлев Е.К., Блатов И.А. Использование комбинированного вейвлет фильтра и фильтра Калмана для определения параметров движения центра масс космического аппарата // Сборник трудов VI международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», Воронеж: ВГУ, 2013, с. 44-46.

Подписано в печать 06.11.2013. Формат 60 х 84/16. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем - 1,0 усл. п. л. Тираж 110 экз. Заказ № 74.

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080, г. Самара, ул. Сапфировой, 110 А; тел.: 222-92-40

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

На правах рукописи

04201451665

Яковлев Евгений Кириллович

ИССЛЕДОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ПОМОЩЬЮ КОМБИНИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук Игорь Анатольевич Блатов

Самара - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................4

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ С ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОМОМЕНТНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ............................................................24

§ 1. Исходные данные.......................................................................................24

§2. Блок-схема и структура модели технологии определения орбиты космического аппарата....................................................................................35

ГЛАВА 2. ПОЛУОРТОГОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНОВЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ................................................................................56

§3. Построение и простейшие свойства сплайновых вейвлетов на конечном отрезке..............................................................................................56

3.1 Элементы теории сплайнов. Определение сплайнов.............................56

3.2 В-сплайны....................................................................................................58

3.3 Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях............................64

3.4 Построение вейвлет-базиса.....................................................................65

3.5 Алгоритм построения-^ вейвлет-базиса и графики базисных вейвлетов...........................................................................................................73

§4. Аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью.......................................................................................85

4.1 Аппроксимационные свойства на функциях с ограниченной 1-й производной......................................................................................................85

4.2 Аппроксимационные свойства на функциях переменной гладкости...86

ГЛАВА 3. БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ

ДИСКРЕТНЫХ СПЛАЙНОВЫХ ВЕЙВЛЕТОВ..............................................88

§5. Прямое и обратное быстрое дискретное вейвлет-преобразование.......88

5.1 Построение дискретных вейвлет-функций..............................................88

5.2 Быстрое дискретное вейвлет-преобразование.........................................89

ГЛАВА 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛБТР....................98

§6 Теоремы о вейвлетной предфильтрации...................................................98

§7. Алгоритм комбинированного вейвлет-фильтра....................................102

§8 Результаты численных экспериментов...................................................106

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................118

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ......................................................................119

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................120

ВВЕДЕНИЕ

Спутниковые радионавигационные системы стали неотъемлемой частью человеческой деятельности. Технологии спутникового координатно-временного обеспечения используются в различных технических системах, быту, науке и образовании, в экономике и т.д.

В последнее время актуальными стали задачи создания бортовых систем навигации. Это связано с тем, что перспективная система спутниковой навигации должна решать проблему глобального координатно-временного обеспечения, а так же обеспечивать бортовой комплекс управления в любой момент времени возможностью определять три пространственно-временные координаты, вектор скорости и точное время. Использование сигналов спутниковых радионавигационных систем ГЛОНАСС (Россия), GPS (США) открывает широкие возможности построения бортовых систем навигации космических аппаратов. Это определяет актуальность задачи разработки надежных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для широкого класса космических аппаратов.

Развитие спутниковых радионавигационных систем открывает новые возможности и ставит новые задачи в математической физике и вычислительной математике. В этих направлениях были достигнуты определенные успехи. В настоящее время полностью развернуты спутниковые навигационные системы GPS, ГЛОНАСС, ежегодно запускаются десятки космических аппаратов, работающих по сигналам навигационных систем. Однако технологию определения орбиты по беззапросным межспутниковым измерениям нельзя считать полностью отработанной. В современных условиях актуальной является проблема снижения затрат на баллистико-навигационное обеспечение полета космического аппарата, постоянный рост требований к точностным характеристикам систем спутниковой навигации.

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с автономными системами спутниковой навигации [2, 28, 32, 35, 45, 46, 55, 59, 79, 80, 81]. Во-

первых, для получения высоких точностных характеристик необходимо усложнять алгоритмы обработки и фильтрации одномоментных навигационных определений [59, 60, 63, 65]. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными временными и вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, в условиях ограничения по времени и затратам памяти. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных алгоритмов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема разработки надежных и высокоточных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для решения навигационной задачи, а именно, определения параметров движения центра масс (ПДЦМ) космического аппарата (КА). Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы путем построения комбинированного вейвлет-фильтра на базе сплайновых вейвлетов и фильтра Калмана.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

Современная основа вейвлет-анализа была заложена в работах И. Добеши [25], К. Чуй [78], С. Малла [44], И.Я. Новикова [52,53], однако финитные сплайновые вейвлеты изучены недостаточно. Классическая задача метода динамической фильтрации была сформулирована Р.Э. Калманом. Далее это направление развивалось в работах К. Браммера [17], Г. Зиффлинга [17], И.Н. Синицына [69].

В настоящее время существует много различных методов навигации КА. По способу математической обработки поступающей навигационной информации разделяются на детерминированные и статистические. Последние, в свою очередь, делятся на методы обработки полной выборки измерений (статические) и методы обработки выборки нарастающего объема (динамические методы). Главный недостаток детерминированных методов навигации заключается в их относительно низкой точности, поскольку неизбежные случайные погрешности

измерений приводят к соизмеримым ошибкам определения параметров движения КА. Данный подход применим в случаях, когда требования со стороны потребителя навигационной информации невелики.

Из числа методов, основанных на статистической обработке навигационных измерений, в данной диссертационной работе рассматриваются задачи динамической фильтрации. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на обработке одномоментных навигационных измерений. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах P.E. Калмана и многих других ученых [10, 17, 69], и имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, алгоритм динамической фильтрации содержит операцию обращения матрицы. Элементы этой матрицы с течением времени уменьшаются и становятся соизмеримыми с ошибками счета цифровой вычислительной машины. Во-вторых, в основе построения динамического фильтра положено предположение о том, что уравнения движения и измерений являются линейными. В действительности допущение о линейности уравнений справедливо тогда, когда истинная орбита незначительно отличается от опорной.

Для разрешения данного недостатка используется локальная линеализация, учитывающая физическую специфику задачи.

Существующие методы, основанные на статистической обработке, работают эффективно тогда, когда спектр ошибок сигнала соответствует случайному сигналу, распределенному по нормальному закону, с нулевой корреляцией. Реальный спектр ошибок отличается от этой желаемой модели. Он содержит и систематические, и коррелированные ошибки, а так же аномальные погрешности, которые не соответствуют никакому закону. Возникает задача предфильтрации полученного сигнала. При этом классический метод наименьших квадратов не гарантирует получение высокоточной оценки параметров в заданный момент времени. Поэтому необходима разработка методов предфильтрации более точно учитывающих локальную информацию об объекте в данный момент времени.

Основой математического аппарата этой задачи могут стать вейвлет-функции [15, 16, 25, 78], сочетающие в себе свойства ортогональности, финитности, гладкости и возможности эффективной численной реализации. Однако для большинства уже изученных вейвлет-систем недостаточно разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, требования к которым являются весьма жесткими с учетом производительности аппаратуры на борту КА. Такие алгоритмы существуют для полиномиальных и кусочно-полиномиальных функций, но для известных вейвлет-систем требования кусочной полиномиальности приводят к потере финитности. Поэтому целесообразным представляется построение кусочно-полиномиальных вейвлет-систем, обладающих всеми указанными выше свойствами и разработка для них вычислительных алгоритмов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема разработки надежных и точных методов построения бортовых навигационных алгоритмов для решения навигационной задачи, а именно, определения параметров движения центра масс (ПДЦМ) космического аппарата. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы путем построения комбинированного вейвлет-фильтра на базе дискретных финитных кусочно-полиномиальных вейвлетов и фильтра Калмана.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра одномоментных навигационных определений для получения ПДЦМ КА требуемой точности с использованием имитационной модели движения КА, а также разработка, обоснование и тестирование численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня С++.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.

2) Создание, разработка и оценка эффективности алгоритма комбинированного вейвлет-фильтра на базе построенных вейвлет-функций для определения ПДЦМ КА.

3) Построение имитационной модели процесса движения космического аппарата на орбите для обоснования и тестирования предлагаемого комбинированного вейвлет-фильтра.

4) Создание комплекса программ для моделирования процессов получения ПДЦМ КА и проведение численных экспериментов для определения ПДЦМ КА.

5) Выполнено полунатурное моделирование: обработка векторов ПДЦМ из информации оперативного контроля (ИОК) и телеметрической информации (ТМИ) КА Ресурс-ДК.

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов теории движения КА на орбите, математического моделирования, математической статистики, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна.

1) Разработан и исследован новый комбинированный вейвлет-фильтр, определены перспективы его практического использования.

2) Доказаны теоремы об оценке погрешности вейвлетной предфильтрации.

3) Построена новая система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4) Разработаны методы быстрого дискретного вейвлет-преобразования в пространстве сплайновых вейвлетов и обоснована их вычислительная эффективность.

5) Разработана система компьютерного и имитационного моделирования ПДЦМ КА, комплекс программ, реализующий алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированный вейвлет-фильтр - фильтр Калмана.

2. Теоремы об оценке погрешности вейвлетной пред фильтрации.

3. Система полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов на конечном отрезке.

4. Быстрые алгоритмы в пространстве полуортогональных дискретных сплайновых вейвлетов.

5. Результаты имитационного моделирования движения КА на орбите. Совпадение результатов вычислительного эксперимента, полунатурного эксперимента с теоретическими выводами и предположениями.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и корректностью применения математических методов получения основных результатов. Достоверность результатов подтверждается вычислительным и полунатурным экспериментом.

Теоретическая и практическая значимость. Разработан комбинированный вейвлет-фильтр, и построена система сплайновых вейвлетов, которые могут быть использованы для решения широкого класса задач математического и численного моделирования. Разработанные и реализованные численные методы и алгоритмы быстрого дискретного вейвлет-преобразования могут найти применение в различных программах и программных комплексах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 16-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым - Евпатория, 3-10 июля 2011 г.), Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники»(П Козловские чтения) (Самара, 14-16 сентября 2011 г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций» (Воронеж, 26 января-1 февраля 2011 г.), Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (Украина - Одесса, 19-30 марта 2013 г.), Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 11-13 сентября 2013 г.), Международной

научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (Украина - Одесса, 1-12 октября 2013 г.).

Личный вклад автора. Постановка задачи осуществлялась совместно диссертантом и научным руководителем профессором Блатовым И.А. Доказательство теорем и утверждений, разработка моделей, комбинированного вейвлет-фильтра - фильтра Калмана и его компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований источников. Она содержит 130 страниц и 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы решения задачи навигации КА и используемых при этом методов, также обоснована актуальность темы диссертации. Приводится аннотация работы.

В первой главе ставится задача навигации КА. Строится модель определения орбиты с воспроизведением и фильтрацией результатов одномоментных навигационных определений. В п.1 описываются исходные данные для модели движения. В п.2 приводится блок-схема и структура модели определения параметров орбиты. Реализованы численные алгоритмы движения КА для проведения вычислительного эксперимента.

Обработка навигационных измерений и определение ПДЦМ КА производятся на заранее выбранном интервале времени. К параметрам движения, полученным после обработки и выдаваемым потребителям в бортовом комплексе управления, и предъявляются требования по точностным характеристикам.

Формируются начальные условия (НУ) навигационных КА (НКА) и КА-потребителя (КАП). Вычисляются возмущенное (уточняемое) значение вектора

определяемых параметров КАП на текущий момент времени (¿и&и'Уи'ги' ^хи> ^Уи> У2и) , эталонные значения ПДЦМ НКА (¿ы(хы> Ул/< Уум, Угм) , геометрическая дальность [(хи — хм)2 +

(.Уи ~ Ум)2 + (2и ~ Яы)2]1^2 • Имитационные значения измерений псевдодальности и псевдоскорости определяются формулами (1), (2):

Д- = Д + 8Ф -