автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Сжатие сигналов и изображений при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров

На правах рукописи

Кобелев Владимир Юрьевич

СЖАТИЕ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

Специальность 05.12.04 Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -

2006

Работа выполнена на кафедре динамики электронных систем Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Брюханов Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Дворкович Виктор Павлович кандидат технических наук, доцент Чобану Михаил Константинович

Ведущая организация

Государственное унитарное предприятие г. Москвы Научно-производственный центр «Электронные вычислительно-информационные системы» (ГУП НПЦ «ЭЛВИС»)

Защита диссертации состоится 12 октября 2006 г. на заседании диссертационного совета К451.001.01 при ЗАО "Московский научно-исследовательский телевизионный институт"(МНИТИ) до адресу: 105094, г. Москва, ул. Гольяновская, д. 7а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЗАО МНИТИ

Автореферат разослан «11» сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук К.П. Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время в связи с увеличившимися объемами хранения и передачи графической информации через каналы связи задача оптимального представления изображений с целью сокращения избыточности и уменьшения объема остается актуальной. Все большую популярность приобретают методы обработки, основанные на дискретном вейвлет-преобразовании. Одно из направлений вейвлет-обработки связано с оптимизацией используемых вейвлет-фуикций под параметры обрабатываемых сигналов и изображешш в пространственной и частотной областях. Оптимизация формы и частотной избирательности вейвлет-функций позволяет поднять качество обработки, обеспечивая при заданных коэффициентах сжатия большее отношение сигнал/шум восстановленного сигнала.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование и синтез одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью, а также оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтров для сжатия сигналов и изображений.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи: ~ разработка алгоритма параметризации одномерных вейвлет-функций; " разработка алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций;

~ синтез двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью;

~ разработка критерия оптимизации одномерных вейвлет-фильтров для сжатия сигналов;

исследование влияния частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров па качество восстановления сигналов после сжатия; " расчет одномерных оптимизированных вейвлет-фильтров;

разработка критерия оптимизации неразделимых двумерных вейвлет-фильтров для сжатия изображений; ~ расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для сжатия изображений. Научная новизна работы. Научная новизна представляемых результатов состоит в следующем;

" предлагаются алгоритмы параметризации одномерных и двумерных вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием его необходимых свойств системой линейных уравнений в пространстве тригонометрических функций;

" выполнен расчет критериев оптимизации частотных характеристик одномерных и

двумерных вейвлет-фильтров; ~ представлен алгоритм синтеза одномерных вейвлет-фильтров с оптимизированной

частотной избирательностью для сжатия сигналов; ~ разработан алгоритм синтеза двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений при стандартной кратности двумерного вейвлет-разложения, равной 4 (при одноуровневом

ве йв л ст-разл ожен и и изображение раскладывается на четыре частотные плоскости);

~ получено обобщение алгоритма синтеза двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений на высокие кратности двумерного вейвлст-разложения (при 16-кратном одноуровневом разложении изображение разбивается на 16 частотных плоскостей).

На защиту выносятся

1. Алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего в ей влет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием в пространстве тригонометрических функций его необходимых свойств системой линейных уравнений.

2. Критерии оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для решения задачи сжатия-восстановлсния одномерных сигналов и изображений.

3. Алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов и изображений.

Практическая ценность

- Представленные способы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций позволяют расширить применимость вен влетов в задачах обработки сигналов и изображений за счет возможности расчета вейвлет-фильтров с заданными свойствами во временной (пространственной) и частотной областях,

- ' Представленные алгоритмы расчета одномерных и Двумерных вейвлет-фильтров с

оптимизированной частотной избирательностью позволяют поднять отношение сигнал/шум восстановленного изображения за счет учета априорных данных о частотных свойствах обрабатываемого сигнала или изображения на этапе проектирования вейвлет-фильтров.

- Обобщение представленных алгоритмов расчета оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров на большую кратность вейвлет-разложения (например, 16) позволяет применять их в задачах сжатия изображений с высокими коэффициентами сжатия (50-80), добиваясь лучшего качества восстановленного изображения по сравнению со стандартными методами.

- Использование представленных в работе многочисленных теоретических расчетов по части преобразования спектров сигналов и изображений в задачах их сжатия и восстановления позволяет прогнозировать результативность применения вейвлет-фильтров (как стандартных, так и с заданными частотными свойствами) в различных практических приложениях цифровой обработки сигналов и изображений.

- Рассчитанные оптимизированные вей влет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (Л»Е02000 и т.п.).

- Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

" 2-ой, 3-ей, 6-ой, 7-ой, 8-ой Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 1999,2000, 2004,2005, 2006.

" V-ой, VI-ой Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003,2005.

" Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2003. Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии", Москва, 2005.

14-ой Международной научно-технической конференции "Проблемы передачи-и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", Рязань, 2005.

V-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике", Чебоксары, 2004.

" Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация и связь", Воронеж, 2006.

~ 61-ой Научной сессии, посвященной Дню радио, РНТОРЭС им. A.C. Попова, Москва, 2006. ,

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и трех приложений. Содержание работы изложено на 166 листах (включая приложения на 22 листах). Список литературы включает 104 наименования. В работе представлено 144 рисунка и 5 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается выбор темы диссертации, ее актуальность, практическая значимость, проводится обзор литературы по теме, кратко излагается содержание работы.

Первый раздел посвящен реализации алгоритма параметризации одномерных и двумерных ортогональных вей влет-функций и синтезу одномерных и двумерных вейвлет-фильтров (ВФ) с заданной частотной избирательностью. Основная идея параметризации вейвлет-функций заключается в представлении квадрата амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ВФ в виде тригонометрического полинома. Набор необходимых условий, касающихся реализации вейвлет-функций, закладывается в виде системы линейных уравнений на коэффициенты полинома.

Рассмотрим реализацию поставленной задачи в одномерном случае. Пусть ф(х), - есть соответственно масштабирующая и вейвлет-функции, определяемые посредством уравнения масштабирования:

п=0 V^ J n=0 у

где cn у gn - коэффициенты вейвлет-функции.

Под низкочастотным ВФ H(jca) понимается цифровой фильтр, импульсная характеристика (ИХ) которого представлена набором коэффициентов сп. Соответст-

венно, ИХ высокочастотного ВФ С(у'со) образована набором коэффициентов gn 1 Л/-1 , 1 Л/-1

2 п п=0 2 л п=0

В силу ортогональности используемых вей влет-функций на |я(уш)| накладывается ограничение: |Я(,/'(о)( +|Я(1У(я-ы))|1* = 2. Представим квадрат АЧХ в виде тригонометрического полинома |Я(уш)|2 = ^^к со5(£со), где - параметры в пред-

л=0

ставленин ВФ. Система ограничивающих их уравнений определена в соответствии с набором необходимых требований реализации, представленных в табл. 1.

Таблица 1. Набор требований к реализации ВФ

№ Наименование Математическое представление Условия на параметры

1 П оложител ьность АЧХ \н(]ш}>0 Ык >0

2 Ортогонал ьность ММ2 +\н0(л-«>))2 =2 ¿к =0, к = 2,4,6,8...

3 Гладкость 0-го порядка Л/-1 1^=2 ¿=0

Дальнейшее решение задачи синтеза ВФ с заданной частотной избирательностью сводится к нахождению фазочастотной (ФЧХ) характеристики, что в работе выполнено на базе стандартного метода спектральной факторизации, путем вычисления нулей передаточной функции фильтра н размещения их на г-пдоскости в соответствии с решаемой задачей.

Представленный алгоритм параметризации в первую очередь отличается возможностью явно задать АЧХ вей влет-фильтра, минимизируя вычислительные затраты на этом этапе.

Рассмотрим реализацию задачи параметризации и синтеза двумерных вейв-лет-функций. По аналогии с одномерным случаем, идея параметризации заключается в представлении квадрата АЧХ ВФ в виде двумерного тригонометрического полинома. Набор необходимых свойств, касающихся реализации вейвлет-функций, закладывается в виде системы линейных уравнений на коэффициенты двумерного тригонометрического полинома. Пусть - двумерная масштабирующая функция, подчиняющаяся уравнению масштабирования:

М-\М-\

Ф(*.у)= Е £ йиф(2х-*,2у-Д *=0 ¿=0

в силу ортогональности <р(х, у) выполняется равенство

где НОщ, ;ш2 ) = -1- ТТЧ^"^1^ ■

Квадрат АЧХ ВФ представляется в виде разложения по косинусным функциям. Для реализации необходимой гладкости вейвлет-функции, в косинусное разложение вводятся дополнительные множители

"1=° "2=0 п. = (1 + со$(о)| )Х1 + соз(ш2 )) £ 2 ¿„^ СОЗ^Й! + со2п2 )

Л1=0п2=0

Разложение (2) является основой решения определенной задачи параметризации, а коэффициенты ¿пьп2 являются параметрами параметризации. С целью определения дополнительных уравнений на г/п п выполним подстановку разложения (2)

в (1). Опустив весь необходимый объем математических вычислений, представим лишь конечное выражение:

Е £ <*пу,п2 С05(0)1Л1+Ш2Л2)+ £ £ ¿„1(Л2соз(а)1п1+Ш2Л2)со5(а),)со8(й)2)+ «1=0 «2*° «1=0/12=0

(3)

при пу-че}п,п2-чет при нечет,п^—нечет

+ Ь Ь ¿щ.т созЦ^ + Шг^^^Н £ £ ¿П,1Л2 «^со,«! +Ш2Л2)со5(Ш1)= -

Л[=0 «2=0 П]=0 />2=0

' ^ * * —-—^^

при чеот,«2— нечет при попечет.п^—чвт

Выражение (3) представляет искомую систему линейных уравнений на параметры параметризации. В качестве примера представим варианты реализации системы для ВФ размерами 4x4, 6x6 (табл. 2).

Таблица 2. Примеры системы линейных уравнений на параметры вей влет-фильтров

Размер вей влет-фильтра 6x6 Размер вей влет-фильтра 4x4

4 2^02 +¿01 +¿03 +¿12 +0.5^и +0.5^13 =0 ¿¿20 + ¿21 +¿10 +¿30 +0.5</ц +0.5£/З1 =0 2^22 +¿21 +¿23 +¿12 +¿32 + + 0.5^)3 +0.5^3! + 0.5^зз -0 2^04 +¿03 +¿14 +0-5^,3 ~0 2^40 + ¿зо + ¿41 + 0.5^31 = 0 2^42 +¿32 +¿41 +¿43 +0.5^3! +0.5^зз =0 2^24 +¿23 +¿14 +¿34 +0.5<21з + 0.5с/33 -0 2^44 +£/43 +^34 + 0.5£/зз =0 < £¿00 + ¿01 + ¿10 + = 1 2^02 +¿01 +¿12 +0.5^1 =0 2й20 +¿21 +¿10+0-54,1 =0 ¿¿22 +¿21 +¿12+0-^11 =°

. Представленные выражения позволяют выполнить расчет АЧХ двумерного ВФ с требуемой избирательностью. Поскольку решения многомерных фазовых задач в

частотной плоскости оказываются единственными во всех случаях, кроме специальных, не имеющих практического значения, то решение фазовой задачи в работе выполнено с использованием итерационного модифицированного алгоритма Файнапа (Герхберга). Алгоритм показал высокую скорость сходимости.

Второй раздел работы посвящен теоретическим исследованиям и практической реализации оптимизированных одномерных ВФ. На основании преобразования спектров сигналов при вейвлет-разложении получено выражение, позволяющее выполнить расчет АЧХ ВФ, который бы обеспечил полное восстановление сигнала после процедуры одноуровневого вейвлст-разложения, используя только низкочастотные компоненты разложения.

Пусть - исходный сигнал, длиной N отсчетов, а Р(]<а) - его Фурье-спектр. Тогда АЧХ и ФЧХ ВФ Н (у'со) со свойством полного восстановления определяется системой

^2(<о + я)+Р2(о) . . (4)

аг£(Я(;со)) - + я»)- л(со» Мо

Знаменатель первого выражения системы (4) представляет собой квадрат модуля Фурье-спсктра сигнала после операции децимации

(со) = (о) + л) + ((о). (5)

Основное отличие (ш) от F(o)) заключается в наличии ярко выраженного эффекта наложения спектра вследствие процедуры децимации. В данном случае мощность ошибки наложения максимальна. Поэтому в работе для обозначения одномерного ВФ с АЧХ, определяемой выражением (4) как отношение исходного сигнала к сигналу, искаженному наложением спектров, предлагается использовать термин согласованный одномерный ВФ. Под термином одномерный оптимизированный ВФ Н(у'ш) порядка М < N предлагается понимать ВФ, квадрат АЧХ которого удовлетворяет условию:

Пш {2 (о>)— Н 2 ((о)1^со —» О.

М^Ы 1 I

С целью выявления особенностей аппроксимации АЧХ согласованного ВФ в работе проведено исследование ошибки восстановления от разницы характеристик реально используемых ВФ и характеристик согласованного ВФ. В результате получен набор рекомендаций по аппроксимации частотных характеристик согласованного фильтра. Решение задачи по синтезу оптимизированных ВФ в работе выполнено в два этапа (на рис. 1 пример квадратов АЧХ- оптимизированного и согласованного ВФ):

аппроксимация АЧХ согласованного ВФ тригонометрическим полиномом заданного порядка;

расчет соответствующей фазочастотной характеристики (используется стандартный метод спектральной факторизации).

8

Применительно к задаче сжатия сигналов, оптимизация частотной избирательность ВФ позволяет более точно передавать высокочастотную часть изображения, что достигается за счет некоторого предсказания, вносимого в АЧХ ВФ, Применительно к используемой модели сжатия, коррекция АЧХ ВФ позволяет снизить отношение С/Ш восстановленного изображения па 0.4-0.5 дБ (это обусловлено тем, что мощность предсказываемой высокочастотной части сигнала мала по сравнению с суммарной мощностью сигнала).

<о(0,2я)

Рис. 1. Квадраты АЧХ согласованного ВФ Н (о)) (длина ИХ 200 отсчетов) и АЧХ оптимизированного ВФ (ш) (длина ИХ 10 отсчетов)

Третий раздел посвящен расчету оптимизированных неразделенных двумерных ВФ. В результате проведенных теоретических исследований получены выражения, определяющие частотную избирательность двумерного ВФ, характеризующегося свойством полного восстановления изображения после одноуровневого двумерного вейвлет-разложения с кратностью 4, при условии, что восстановление изображения выполняется с использованием только низкочастотных коэффициентов. Отбрасываемая высокочастотная часть разложения частично предсказывается за счет специфичной частотной избирательности используемых ВФ. Под термином одноуровневого вейвлет-раздожения понимается разложение изображения на 4 частотные плоскости (одна плоскость - НЧ-компоненты, три плоскости - ВЧ-компопенты). Отметим, что в работе рассматриваются только полутоновые изображения.

Рассмотрим исходное изображение /г°, размером Л^ х//2 пикселов, и Г1 — сжатое в 4 раза изображение (низкочастотные компоненты вей влет-разложения раз-N2 ч

мером ——х ——), тогда связь между этими компонентами запишется в виде 2 2

'м = 2 л?,

п,т

т

(6)

Восстановление изображения выполняется путем обратного вейвлст-преобразования

Fjj, - H Fn,mCj-21,k-2m

(7)

rt,m

Критерий частотной оптимизация ВФ получен при рассмотрении прямого и обратного вейвлет-преобразований (6), (7) в спектральной области, используя предположение, что восстановленное только с использованием низкочастотных компонентов изображение F0* отличается от первоначального изображения только фазовой задержкой. Опустив все сопутствующие математические выкладки, приведем выражение, определяющее частотную избирательность ВФ Н{]<£>\, у'С02 ), при использовании которого в задачах сжатия достигается нулевая ошибка восстановления изображения (в соответствии с используемой моделью обработки).

И«..«*))2

^ ^ (р°(о>1 +Я.Ш2))2 + +я))г + (г0^ + ЪЬ>2 + + (о>1, Ш2 )]Р

На рис. 2а представлен пример квадрата АЧХ соответствующего

Н 2 (о>1, (02 ) для тестового изображения "Барбара".

,Н'Ы.(а2) __i Н2{ю1,о>2)_____!

о.в 0.6 0.4

Ч. ог

X о -0,2

3

-0 4 ■081

(8)

ВФ

М 1

col, (-я,я)

а)

б)

ы>1,(-л:,п)

Рис. 2. Квадраты АЧХ ВФ полного восстановления для изображения "Барбара"; а) при одноуровневом четырехкратном сжатии, б) при одноуровневом сжатии с кратностью 16

Вейвлет-фильтр //(jcüi./ü^)' квадрат АЧХ которого удовлетворяет выражению (8), получен из отношения исходного неискаженного изображения и изображения, искаженного сжатием. Он обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/шум для восстановленного изображения. Поэтому в работе для обозначения двумерного ВФ с амплитудным спектром (8), предлагается применять термин "согласованный двумерный ВФ".

Под термином двумерный оптимизированный ВФ j<j>2) порядка

МхМ < NxN в работе понимается ВФ, удовлетворяющий условию

lim IJj//2(tOj,о>2)-if2(ö)|,(O2j^cöi

Расчет двумерного оптимизированного ВФ с заданным порядком выполняется следующим образом:

- аппроксимация квадрата АЧХ согласованного ВФ тригонометрическим полиномом меньшего порядка;

- расчет соответствующей ФЧХ оптимизированного фильтра (методика соответствует методике, предложенной в разделе 2).

На рис. 3 представлен амплитудный спектр оптимизированного ВФ, порядка 60х 60, рассчитанный для тестового изображения «Барбара». Оценка эффективности применения оптимизированных ВФ к задаче сжатия изображений выполнена на базе большого набора тестовых изображений с использованием как одноуровневой (вариант реализации рис. 4), так и многоуровневой (рис. 5) схем обработки. За оценку эффективности выбрано изменение нормированного среднеквадратичного отклонения (НСКО) восстановленного изображена с использованием оптимизированных ВФ относительно использования стандартных ВФ Добеши

„ __ \2

*НСКО = —101g

'¿-'Yíf0 у s'fc У

t

IдБ],

где

70 £.0 "1 >п2 * «] >п2

"1=0 пг'

- исходное и восстановленное изображения.

h(nl, п2)

а)

6)

os t

ю1,(-тг,п)

Рис. 3. Пример ВФ с оптимизированной частотной избирательностью: а) импульсная характеристика, порядок фильтра 60x60, б) квадрат АЧХ

Установлено, что приемлемый порядок оптимизированного ВФ для обработки изображения разрешением 512x512 пикселей составляет 30x30 отсчетов. Применительно к одноуровневой схеме обработке получены следующие выводы:

- Из набора тестовых изображений, наименьшая ошибка НСКО восстановленного изображения получена на тестовом изображении "Барбара" - 21 дБ (при использовании вейвлетов Добеши-8, отношение,сигнал/шум восстановленного изображения составило лишь 19,3 дБ). В первую очередь это объясняется наличием ярко выраженных высокочастотных особенностей ("полосы на одежде")» когда оптимизированный ВФ автоматически подстраивается для их выделения.

- При обработке прочих тестовых изображений, применение ВФ с оптимизированной АЧХ обеспечивает улучшение С/Ш на 0,4-0,8 децибел. Это объясняется отсутствием

ярко выраженных специфических особенностей изображения или недостаточностью порядка используемого ВФ,

- Другая группа изображений, где представляемый алгоритм показал значительный выигрыш (порядка 2+4 дБ) - это изображения, восстановленные с использованием высокочастотных коэффициентов вейвлет-разложения (в первом приближении - это контуры стандартных изображений).

Рис. 4. Схема одноуровневого вейвлет-разложения изображения

На основе полученных выводов, рассматривается реализация сжатия изображения с коэффициентом 30 с использованием оптимизированных ВФ. Схема разложения представлена на рис. 5. Используя стандартные вейвлет-фильтры (например, До-беши-8), выделяется высокочастотная (ВЧ) часть обрабатываемого изображения на первом уровне разложения. Для обработки ВЧ-части рассчитывается оптимизированный вейвлет-фильтр заданного порядка, позволяющий с минимальными искажениями восстановить ВЧ-часть изображения по низкочастотным коэффициентам вейвлет-разложения (т.е. после 4-х кратного сжатия).

На рис. 5 представлена схема вейвлет-разложения. В данном случае исходное изображение представляется двумя наборами коэффициентов вейвлет-разложения (обведены кружком):

- низкочастотная часть, разрешением 256х 256 пикселей - блок А1;

- высокочастотная часть№1, разрешением 256x256 пикселей-блокВ1.

Далее полученные коэффициенты вейвлет-разложения (А1, В1) сжимаются с использованием стандартного кодека 1РЕ02000. В связи с наличием большого количества элементов с почти нулевыми значениями в высокочастотном блоке В1, достигается его высокий коэффициент сжатия указанным кодеком (приемлемое качество сохраняется даже при сжатии с коэффициентом 50).

Таблица 3. Результаты вейвлет-обработки изображения "Барбара"

N1 Наимено- Разрешение Тип в ей влет- Коэф. Итог. нско НСКО

вание (пике.) фильтра сжатия коэф. оптимиз. станд.

Л*ЕС2000 дБ дБ

1 БлокА! 256x256 Доб.-8- 16X16 9 30 18.10 17.40

2 БлокВ! 256x256 Опт. - 40x40 50

5121512

В1 256*15« (65 Кб)

сохраняемые нгвора коэффициентов

А - нпсзнсп: шобркикк (Я 21? 12)

Л1 - ПЧ Ыифф! ы 1СКТЫ ВС1ВиТ-рЛ I Л<1.«Н1 (А. уроне» рплояиння 1 (256х!5<5)

А1* • тобрисннс, в»естгшвдмни< по НЧ созффкикнтш урони 1 (512*511)

В1 . ВЧк<»ф<!*пиекгыв*Гелст-|>ям1>;|:сн|я, 5"рог«нь разложения 1 1

Ев. 1)3 . ФПсрноры Пржаога н оорагног» в<ЙВ-1К1-г^>еоир «чое пн I» (Д«ймш*$)

- оператор циыиго «еГшчи-гу^оораитлгеи. (вЛПпягарФвшюАвыЪлс!

Рис. 5. Схема многоуровневого вейвлет-разложения с использованием вейвлет-фильтроя с оптимизированной частотной избирательностью

В табл. 3 представлены результаты вей влет-обработки тестового изображения "Барбара". В последнем столбце представлено значение НСКО восстановленного изображения при реализации сжатия по представленной схеме (рис. 5) при замене оптимизированного ВФ на стандартный ВФ Добеши. В данном случае выигрыш составил 0,70 дБ. Он обусловлен тем, что коэффициенты вейвлет-разложения высокочастотной части при использовании оптимизированных ВФ оказались более устойчивыми к их последующему 50-кратному сжатию. При обработке различных изображений таким же способом, выигрыш составил от 0,25 дБ (изображение "Корабли") до 1,5 дБ (изображение "Годдхилл"). Представленные положительные результаты свидетельствуют о возможном включении оптимизированных ВФ в стандартные алгоритмы сжатия изображений (например, Л*ЕС2000).

Четвертый раздел посвящен реализации оптимизированных вейвлет-фильтров при высокой кратности разложения (в частности, 16). Это соответствует при одноуровневом вейвлет-разложении изображения расщеплению сразу на 16 частотных плоскостей. Стандартный прием сжатия изображения в 16 раз — это многоуровневая процедура сжатия (в 4 раза и повторно в 4 раза). По аналогии с расчетом ВФ полного восстановления (8) для четырехкратного сжатия, в работе выполнен расчет соответствующих ВФ для одноуровневого 16-ти кратною разложения. Опуская математические выкладки, приведем конечное выражение, позволяющее рассчитать ВФ полного восстановления при кратности двумерного вей влет-разложения 16

1б// -Г*

где

+ М + 2+ 2 Г Г + ^^ + г г V1 +Т'Ш2 + 2)

Я , , , ЗпЛ -2( Зл , ЗтЛ ^

+ | 0>1 +—,0>2 + ~2~) ^ + 71,(02 + —1+ ^ I + —,С02 1 +

На рис. 26 представлен пример квадрата АЧХ соответствующего ВФ 16#2(°>1»Ш2) для тестового изображения "Барбара". Дополнительно отметим, что представленные функции Я2(й>1,о2) и ¡бН^(о)|,Ш2) подчеркивают неоднородность изображения и могут быть использованы также для оценки его анизотропности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены новые алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций, основанные на представлении квадрата АЧХ соответствующего ВФ тригонометрическим полиномом. Алгоритмы отличаются простотой реализации и наглядным представлением параметров параметризации. Основное назначение алгоритмов — использование в задачах синтеза одномерных и двумерных неразделимых ВФ с заданной АЧХ. Алгоритмы имеют ряд преимуществ:

- минимизируются вычислительные затраты на этапе формирования АЧХ одномерного и двумерного ВФ;

- представляется возможным отследить влияние каждого параметра в отдельности на свойства (в частности, на форму) АЧХ ВФ.

2. Разработаны алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых ВФ с предопределенной частотной избирательностью.

3. Получен критерий оптимизации частотных характеристик одномерных ВФ. Ис-• пользуя закономерности преобразования спектров сигналов при сжатии, получено

выражение, позволяющее найти АЧХ одномерного ВФ, обеспечивающего безошибочное восстановление сигналов, используя только низкочастотные компоненты одноуровневого вейвлет-разложения. Вейвлет-фильтр, обладающий свойством безошибочного восстановления, получил название "согласованного".

4. Проведен анализ частотных характеристик ВФ. Получена взаимосвязь между частотными характеристиками ВФ и спектрами восстановленного изображения.

5. Установлено, что оптимизация частотной избирательности ВФ позволяет более точно передавать высокочастотную часть сигнала, что достигается за счет некоторого предсказывания, вносимого в частотную характеристику ВФ. Применительно к используемой модели сжатия коррекция АЧХ вейвлет-фильтра позволяет снизить отношение СУШ восстановленного сигнала на 0,4-0,5 дБ.

6. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ двумерного ВФ, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 4, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения. Для обозначения ВФ с указанными свойствами предлагается использовать термин "согласованный" вейвлет-фильтр.

7. Установлено, что функция, являющаяся квадратом АЧХ согласованного ВФ, подчеркивает неоднородность изображения и может быть использована для оценки его анизотропности.

8. Разработан алгоритм расчета оптимизированного двумерного ВФ на основе АЧХ согласованного вейвлет-фильтра. Основными моментами здесь являются алгоритм понижения порядка согласованного фильтра до заданного пользователем и алгоритм расчета фазочастотной характеристики.

9. Проанализировано влияние эффектов квантования отсчетов импульсной характеристики оптимизированного двумерного ВФ. С целью минимизации шумов квантования, предложен алгоритм неравномерного квантования. Показана низкая чувствительность алгоритма восстановления изображения при помощи оптимизированных ВФ к шумам, накладываемым на сжатое изображение. В качестве шума в работе использовался шум квантования отсчетов сжатого изображения.

10. Установлено, что при восстановлении изображений, обработанных согласованными ВФ, при одинаковых условиях обработки наблюдается улучшение отношения С/Ш восстановленного изображения на 0,25-4,0 дБ. Улучшение зависит от детализации, уровня анизотропности изображения, от примененного алгоритма сжатия с использованием оптимизированных вейвлет-фильтров.

11. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ двумерного ВФ, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлст-разложении изображения с кратностью 16, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложеиия.

12.Рассчитанные оптимизированные ВФ с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000 и т.п.).

13.Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных ВФ допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ РАБОТ

1. Кобелев В.Ю., Приоров А.Л. Применение неразделимых вейвлет-фильгров в задачах сжатия изображений // Цифровая обработка сигналов. 2006. № 2. С. 21-25.

2. Кобелев В.Ю., Приоров АЛ. Синтез оптимизированных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений Я Телекоммуникации. 2006. № 9. С. 7-12.

3. Маранов И.Б., Кобелев В.Ю. Применение двумерного дискретного вейвлет-преобразования к сжатию статических изображений И Тез. докл. Вссросс. межвуз. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов "Микроэлектроника и Информатика". Москва. 1998. Ч. 2. С. 194-195.

4. Кобелев В.Ю. Ласточкин A.B. Выбор оптимальных вейвлетов для обработки сигналов и изображений // Докл. 2-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'99). Москва. 1999. Т. 2, С. 514-520.

5. Кобелев В.Ю. Адаптивное вейвлет-преобразование сигналов // Докл. 3-ей междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'2000). Москва. 2000. Т. 1,С. 109-112.

6. Кобелев В.Ю. Параметризация вейвлет-функций // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2003. Вып. № 4. С. 165-173.

7. Кобелев В.Ю. Синтез вейвлет-функций // Матер. V Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Че-

боксары. 2003. С. 227-228.

8. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В, Особенности представления вейв-лет-филыров на z-плоскости // Всерос. науч. конф., посвященная 200-летию Ярослав. гос. унив. им. П.Г. Демидова. Ярославль. 2003. С. 130-133.

9. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В. Параметризация и особенности представления вейвлет-фильтров на z-плоскости // Докл. 6-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва. 2004. Т. 2, С. 122-124.

Ю.Кобелев В.Ю. Расчет передаточных функций вейвлет-фильтров с предопределенными нулями // Матер. V-ой Всерос. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике". Чебоксары. 2004. С. 209-211.

И.Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Моисеев A.A. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов // Докл. 7-ой междунар, конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" Москва. 2005. С. 317-320.

П.Моисеев A.A., Кобелев В.Ю., Приоров А.Л., Волохов В .А, Синтез биортогональ-ных вейвлет-фильтров с перестраиваемыми коэффициентами // Тр. междунар. науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". Москва. 2005. Т. 1, С. 103-107.

13.Кобелев В.Ю., Буралков Д.В., Моисеев A.A. Зависимость ошибки восстановления сигнала от частотных характеристик вейвлет-фильтров // Матер. VI Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2005. С. 101-102.

14.Моисеев A.A., Кобелев В.Ю., Волохов В.А. Синтез биортогональных вейвлет-фильтров // Матер. VI Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2005. С. 111-112.

15.Волохов В.А., Новоселов С.А., Моисеев A.A., Кобелев В.Ю. Выбор вейвлет-фильтров для сжатия изображения // Матер. 14-ой междунар. науч.-техн. конф. "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций". Рязань. 2005. С. 118-120.

16.Моисеев A.A., Кобелев В.Ю. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-базисов // Сб, науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2005. Вып. N° 5. С. 219-227.

17.Кобелев В.Ю., Моисеев A.A., Волохов В .А., Смоляков A.B. Синтез двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с перестраиваемыми коэффициентами И Докл. 8-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'06). Москва. 2006. Т. 2, С. 389-392.

18.Кобелев В.Ю., Приоров А.Л., Моисеев A.A. Синтез оптимальных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений // Тр. XII межд. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация и связь". Воронеж, 2006. С. 187-198.

19.Кобелев ВЛО., Приоров АЛ., Новоселов С.А., Волохов В.А. Параметризация двумерных неразделимых вейвлет-фильтров // Тр. РНТОРЭС им, A.C. Попова. Серия: Науч. сессия, посвященная Дню'радио. Вып.: LXI. Москва. 2006. С. 82-84.

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФУНКЦИЙ. СИНТЕЗ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

1.1. Предпосылки параметризации и синтеза одномерных вейвлет-фильтров

1.2. Разработка нового алгоритма параметризации одномерных вейвлет-фильтров

1.3. Синтез одномерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью

1.4. Предпосылки параметризации и синтеза двумерных вейвлет-фильтров

1.6. Синтез двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью

1.7. Краткие выводы

2. СЖАТИЕ СИГНАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ

ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ОДНОМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

2.1. Постановка задачи

2.4. Алгоритм синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров

2.5. Краткие выводы

1.5. Разработка нового алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций

2.2. Разработка критерия оптимизации вейвлет-фильтров

2.3. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов

3. СЖАТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ СТАНДАРТНОЙ КРАТНОСТИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлет-фильтров

3.3. Расчет оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров

3.4. Результаты применения оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров (одноуровневая схема обработки)

3.5. Многоуровневая обработка изображения

3.6. Краткие выводы

4. СЖАТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ ВЫСОКОЙ КРАТНОСТИ

4.1. Постановка задачи

4.3. Расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для 16-кратного разложения

4.4. Краткие выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4.2. Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлетфильтров для вейвлет-разложений нестандартной кратности

Актуальность работы и обзор литературы

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, получили широкое распространение. Это объясняется теми возможностями, которые обеспечивают вейвлет-функции, и в первую очередь, частотной и временной локализацией. Вейвлеты и основанные на них вейвлет-преобразования были предложены в начале 1990-х годов на основе модифицированных алгоритмов работы с банками фильтров [1-6] и в последующее время интенсивно развивались. Большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов внесли Мейер (Meyer) [7], Добеши (Daubechies) [8, 9] и Маллат (Mallat) [10], опубликовавшие первые теоретические работы в этом направлении. Основная масса книг и статей в области вейвлет-преобразований опубликована за рубежом. В России интерес в вейвлетам активизировался несколько позднее - в середине 1990-х годов. Несмотря на то, что основополагающая работа Добеши (Daubechies) [8] относится к началу 1990-х годов, на русском языке она впервые появилась только в 2001 году [11]. Именно на этот временной интервал и приходится публикация на русском языке ряда основополагающих материалов по вейвлетам. Это переводные работы Чуй К., Уэлстида С., Блатера К. [12-14] и работы отечественных авторов (например, Короновский А. [15]). Но до выхода в свет указанных фундаментальных русскоязычных материалов, работа отечественных исследователей строилась на базе зарубежных материалов и небольших отечественных статьях (например, [16]). Особо хочется отметить прекрасную обзорную статью, ориентированную на начинающих заниматься этим предметом и интересующихся его применением, с демонстрацией вейвлет-преобразований некоторых сигналов, опубликованную в журнале УФН в 1996 г. (автор Астафьева Н.М., [17]), и вызвавшую широкий интерес к теме вейвлетов. В ней рассмотрены непрерывные вейвлет-преобразования, дающие наглядное и зрелищное представление результатов анализа сигнала в виде локальных минимумов и максимумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов. В настоящее время опубликованы сотни книг и тысячи статей по вейвлетам (например, [18]-[27]), отличающихся различным подходом к центральной теме. Интерес вызывает работа Перебина А.В. [22], где раскрыт вопрос о систематизации терминологии вейвлет-преобразований. Вейвлет-фильтры представляют собой частный случай реализации банков фильтров, поэтому развитие теории банков-фильтров в настоящее время также определяет и развитие направления вейвлетов. В связи с этим хочется отметить вклад отечественных ученых в развитие этого направления (Миронов В.Г, Чобану М.К. и др. (цикл работ [23-27]).

При рассмотрении большинства алгоритмов, связанных с вейвлетами, обработка одномерных сигналов и изображений сводится к фильтрации. Теоретические исследования, касающиеся представления вейвлет-анализа сигналов посредством процедуры фильтрации с использованием обычных цифровых фильтров, проведены еще в начале 1990-х годов ([8-10] и др.). Например, основным критерием, которому должен удовлетворять цифровой фильтр, претендующий на использование при вейвлет-обработке - это свойство квадратурно-зеркальности. Свойства и некоторые вопросы синтеза квадратурно-зеркальных фильтров изложены в работах [1-6, 25,26]. В связи с простотой представления вейвлет-анализа в рамках теории цифровых фильтров, и учитывая большой объем материала, накопленный по вопросам представления и синтеза одномерных и многомерных цифровых фильтров, в диссертации изложение материала и проведение различных исследований в рамках вейвлет-преобразований выполнено с позиций цифровой фильтрации. При этом использовался материал по цифровой фильтрации, представленный в работах Хемминга Р. Каппелини В., Гольденберга JI.M. и др. [28-31].

Одними из важнейших объектов исследования в данной работе являются параметризация и синтез одномерных и двумерных вейвлет-функций.

Наличие некоторых степеней свободы при определении одномерного вейвлета (а особенно двумерных вейвлетов) позволяет рассчитывать вейвлет-функции с различными наперед заданными частотными и временными свойствами. Использование вейвлет-функции с различной частотной избирательностью позволяет расширить применимость вейвлетов и использовать их в задачах согласованной фильтрации, распознавания образов (например, при распознавании различных примитивов - дуг, линий) [32-36]. В настоящее время интерес к вейвлет-функциям со специфичными свойствами возрос. Это объясняется расширением области применения вейвлетов и полнотой исследования свойств и применений классических вейвлет-функций.

Вопросы параметризации вейвлетов в литературе изложены с позиций параметризации банков фильтров путем конкретизации [25, 26, 37-39]. К основополагающим работам относятся работы Зоу (Zou Н.) [37] и Поллена (Pollen D.) [38]. Однако следует отметить, что представленные работы касаются вопросов параметризации одномерных вейвлет-функций. Так же к ним можно свести параметризацию и разделимых двумерных вейвлет-функций, а для представления двумерных неразделимых вейвлет-функций нужен уже другой математический аппарат. Вопрос параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций также является одним из объектов исследования в диссертации. Основное использование их - в задачах обработки изображений.

При рассмотрении изображения как единой структуры (а не как совокупности отдельных строк и столбцов), представляется возможным выявить дополнительные закономерности и заложить их в структуру неразделимого вейвлет-фильтра. В результате повышается качество обработки - снижается мощность ошибки восстановленного сигнала, увеличивается достоверность обнаружения конкретного примитива в зашумленном сигнале и т.п.

Неплохие результаты обработки изображений получаются при совместном использовании методов вейвлет-преобразований и стандартных методов обработки изображений. Например, для синтеза двумерного вейвлетфильтра в диссертации используется новое параметрическое представление амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра и решение стандартной фазовой задачи (расчет фазочастотной характеристики, используя значения амплитудно-частотной характеристики). В настоящее время теории и практической реализации методов обработки изображений посвящено много работ. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [40-46].

Выше отмечалось, что оптимизация вейвлет-функции под временные и частотные свойства обрабатываемого изображения позволяет поднять общее качество обработки. Среди публикаций, имеющих дело с оптимизированным выбором анализирующего вейвлет-фильтра, рассмотрены работы Ваттерли (Vetterli М.), Моулин (Moulin P.), Claypoole R., Baraniuk R., Charith G., Abhayaratne K., Jones E., Runkle P., Новикова JI.A. ([47-54]). В работе [48] представлены два алгоритма адаптивного вейвлет-сжатия, основанные на лифтинг-схеме: оператор предсказывания корректируется либо на каждом масштабе, либо на каждом шаге в схеме лифтинга в заданных пределах. По аналогии с [48], в работе [47] разработан критерий оптимальной интерполяции в схеме лифтинга для операторов предсказывания и коррекции (причем предсказывание осуществляется на каждом шаге лифтинга). Дополнительный интерес представляет работа Новикова JI.A. [54], в которой проведена взаимосвязь согласованной фильтрации и оптимального вейвлет-преобразования и приведена процедура синтеза вейвлетов с учетом априорной информации о форме сигнала и корреляционной функции шума.

Второе основное направление оптимизированного вейвлет-преобразования связано с выбором и сохранением только избранных коэффициентов многоуровневого вейвлет-разложения; адаптация осуществляется на втором этапе - на этапе выбора коэффициентов вейвлет-разложения. Ключевыми понятиями здесь являются "оптимизация дерева нулей" и алгоритм SPIHT. Среди публикаций, касающихся оптимального выбора коэффициентов вейвлет-разложения, рассмотрены работы Чобану М.К., Черникова А.В., Шапиро (Shapiro J.M.) [55-57].

Методы оптимизации вейвлет-функций и адаптивного выбора коэффициентов вейвлет-разложения являются в задачах сжатия дополняющими друг друга. При использовании в разложении различных вейвлет-функций, получаются различные наборы коэффициентов вейвлет-преобразования и к каждому из наборов применимы методы "оптимизации нуль-деревьев". Основной вопрос адаптивного вейвлет-преобразования, рассмотренный в диссертации - оптимизация частотной избирательности ВФ. При сжатии изображений с помощью вейвлетов оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра является первичной стадией обработки, последующие стадии -отбор и неравномерное квантование коэффициентов разложения - направлены на оптимизацию представления результатов первой стадии. Поэтому в первую очередь работа направлена на оптимизацию вейвлет-функций и набор представляемых результатов ориентирован на сопоставление с результатами обработки, полученными при использовании прочих методов оптимизации.

Одно из направлений вейвлет-обработки связано с распознаванием образов. В рамках данного направления также представлены работы, связанные с оптимальным выбором вейвлет-фильтров под различные критерии. Например, в работе [32] проведено исследование влияния различных критериев вейвлет-фильтра - гладкости, линейности фазочастотной характеристики (ФЧХ) - на точность распознавания текстуры изображения и в рамках конкретного критерия представлен выбор оптимального вейвлет-фильтра. В рамках этого направления хочется отметить работы Донохо [36, 58-61], являющиеся продолжением теории вейвлет-преобразования и посвященные синтезу особых функций бимлетов (Beamlets), риджлетов (Ridglets), отличающихся линейной частотно-временной локализацией и ортогональностью разложения. Основное преимущество их достигается в задачах распознавания линий, дуг в изображениях с высоким уровнем шума (особенно если мощность шума в разы превышает мощность изображения).

В направлении оптимизированных вейвлет-преобразований выделяется цикл работ Лабунца В.Г., посвященный реализации три-адических вейвлет-преобразований для обработки цветных изображений (одна из работ - [62]).

Реализация любых из представленных выше алгоритмов цифровой обработки невозможна без использования общих методов цифровой обработки сигналов. Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Найквист X., Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р. и др. [63-65]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: КотельниковаВ.А., Цыпкина Я.З., Трахтмана A.M., Ланнэ А.А., Карташева В.Г., Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [66-74].

В процессе решения поставленных задач, зачастую проблема сводилась к чисто математическим задачам. Их решение выполнено при помощи различных учебников и статей [75-84].

По теме диссертации опубликовано 20 работ [85-104], в том числе две i статьи в центральных рецензируемых журналах [103-104].

Цель исследования

Целью диссертационной работы является исследование и синтез одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью, а также оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтров для сжатия сигналов и изображений.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- разработка алгоритма параметризации одномерных вейвлет-функций;

- разработка алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций;

- синтез двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью;

- разработка критерия оптимизации одномерных вейвлет-фильтров для сжатия сигналов;

- исследование влияния частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов после сжатия;

- расчет одномерных оптимизированных вейвлет-фильтров;

- разработка критерия оптимизации двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений;

- расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для сжатия изображений.

Достоверность полученных научных результатов

Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.

Научная новизна

Научная новизна представляемых результатов состоит в следующем: предлагаются алгоритмы параметризации одномерных и двумерных вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием его необходимых свойств системой линейных уравнений в пространстве тригонометрических функций; выполнен расчет критериев оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных вейвлет-фильтров; представлен алгоритм синтеза одномерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов; разработан алгоритм синтеза двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений при стандартной кратности двумерного вейвлет-разложения, равной 4 (при одноуровневом вейвлет-разложении изображение раскладывается на четыре частотные плоскости); получено обобщение алгоритма синтеза двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений на высокие кратности двумерного вейвлет-разложения (при 16-кратном одноуровневом разложении изображение разбивается на 16 частотных плоскостей).

Практическая ценность

Представленные способы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций позволяют расширить применимость вейвлет-функций в задачах обработки сигналов и изображений за счет возможности расчета вейвлет-фильтров с заданными свойствами в пространственной и частотной областях.

Представленные алгоритмы расчета одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью позволяют поднять отношение сигнал/шум восстановленного изображения за счет учета априорных данных о частотных свойствах обрабатываемого сигнала или изображения на этапе проектирования вейвлет-фильтров. Обобщение представленных алгоритмов расчета оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров на большую кратность вейвлет-разложения (например, 16) позволяет применять их в задачах сжатия изображений с высокими коэффициентами (при сжатии в 50-80 раз), добиваясь лучшего качества восстановленного изображения по сравнению со стандартными методами.

Использование представленных в работе многочисленных теоретических расчетов по части преобразования спектров сигналов и изображений в задачах их сжатия и восстановления позволяет прогнозировать результативность применения вейвлет-фильтров (как стандартных, так и с заданными частотными свойствами) в различных практических приложениях цифровой обработки сигналов и изображений. Рассчитанные оптимизированные вейвлет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000 и т.п.).

Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием в пространстве тригонометрических функций его необходимых свойств системой линейных уравнений.

2. Критерии оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для решения задачи сжатия-восстановления одномерных сигналов и изображений.

3. Алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов и изображений.

Апробация

Результаты работы докладывались и обсуждались на:

2-ой, 3-ей, 6-ой, 7-ой, 8-ой Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 1999, 2000,2004, 2005, 2006. V-ой, VI-ой Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003, 2005.

Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2003.

V-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике", Чебоксары, 2004. 14-ой Международной научно-технической конференции "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", Рязань, 2005.

Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии", Москва, 2005.

ХП-ой Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация и связь", Воронеж, 2006.

61-ой Научной сессии, посвященной Дню радио, РНТОРЭС им. А.С. Попова, Москва, 2006.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и четырех приложений. Содержание работы изложено на 166 страницах (включая приложения на 22 страницах). Список литературы включает 104 наименования. В работе представлено 144 рисунка и 5 таблиц.

Заключение

На основании проведенных исследований в области синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров в работе получены следующие результаты:

1. Получены новые алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций, основанные на представлении квадрата АЧХ соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом. Алгоритмы отличаются простотой реализации, наглядным представлением параметров параметризации. Основное назначение алгоритмов -использование в задачах синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной амплитудно-частотной характеристикой. Представленные алгоритмы имеют рад преимуществ:

- минимизируются вычислительные затраты на этапе формирования АЧХ одномерного и двумерного вейвлет-фильтров;

- представляется возможным отследить влияние каждого параметра в отдельности на свойства (в частности, на форму) АЧХ вейвлет-фильтра.

2. Разработаны алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с предопределенной частотной избирательностью.

3. Получен критерий оптимизации частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров. Используя закономерности преобразования спектров сигналов при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ одномерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление сигналов, используя только низкочастотные компоненты одноуровневого вейвлет-разложения. Вейвлет-фильтр, обладающий свойством безошибочного восстановления, получил название "согласованного".

4. Проведен анализ частотных характеристик вейвлет-фильтров. Получена взаимосвязь между частотными характеристиками вейвлет-фильтров и спектрами восстановленного изображения.

5. Установлено, что оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра позволяет более точно передавать высокочастотную часть сигнала, что достигается за счет некоторого предсказывания, вносимого в частотную характеристику вейвлет-фильтра. Применительно к используемой модели сжатия коррекция АЧХ вейвлет-фильтра позволяет снизить отношение С/Ш восстановленного сигнала на 0,4-0,5 дБ.

6. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти амплитудно-частотную характеристику двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 4, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения. Для обозначения вейвлет-фильтра с указанными свойствами предлагается использовать термин "согласованный" вейвлет-фильтр.

7. Установлено, что функция, являющаяся квадратом АЧХ согласованного вейвлет-фильтра, подчеркивает неоднородность изображения и может быть использована для оценки его анизотропности.

8. Разработан алгоритм расчета оптимизированного двумерного вейвлет-фильтра на основе АЧХ согласованного вейвлет-фильтра. Основными моментами здесь являются алгоритм понижения порядка согласованного фильтра до заданного пользователем и алгоритм расчета фазочастотной характеристики.

9. Проанализировано влияние эффектов квантования отсчетов импульсной характеристики оптимизированного двумерного вейвлет-фильтра. С целью минимизации шумов квантования, предложен алгоритм неравномерного квантования. Показана низкая чувствительность алгоритма восстановления изображения при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров к шумам, накладываемым на сжатое изображение. В качестве шума в работе использовался шум квантования отсчетов сжатого изображения.

10. Установлено, что при восстановлении изображений, обработанных с участием согласованных вейвлет-фильтров, при одинаковых условиях обработки наблюдается улучшение отношения С/Ш восстановленного изображения на 0,25-3,0 дБ. Улучшение зависит от детализации, уровня анизотропности изображения, от примененного алгоритма сжатия с использованием оптимизированных вейвлет-фильтров.

11. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти амплитудно-частотную характеристику двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 16, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения.

12.Рассчитанные оптимизированные вейвлет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000 и т.п.).

13.Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

1. Lawton W., Micchelli С. Design of conjugate quadrature filters having specified zeros // Proc. of ICASSP97. 1997. V. 3, P. 2069-2073.

2. Hua Xu,Wu-Sheng Lu, A. Antoniou. An Improved Method for the Design of FIR Quadrature Mirror-Image Filter Banks // IEEE Trans. Image Processing. 1998. V. 46, №5. P. 1275-1281.

3. Haddad K., Stark H., Galatsanos N. Design of Two-Channel Equiripple FIR Linear-Phase Quadrature Mirror Filters. Using the Vector Space Projection Method // IEEE Trans. Image Processing. 1998. V. 5, № 7. P. 167-170.

4. Herley C., Vetterli M. Wavelets and Recursive Filter Banks // IEEE Trans. Image Processing. 1993. V. 41, № 8. P.2536-2556.

5. Moulin P. A new look at signal-adapted QMF bank design // International Conference on Image Processing. 1995. P. 1312-1315.

6. Goyal V., Vetterli M. Block transforms adaptation by stochastic gradient descent // IEEE Digital Signal Processing Workshop. 1998. P. 1-4.

7. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Commun. on Pure Appl. Math. 1988. V. 41, № 11. P. 909-996.

8. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF conference series in applied mathematics. SIAMEd., 1992.

9. Daubechies I, Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps // J. Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, № 3. P. 245-267.

10. Mallat S.A. Theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation // IEEE Pattern Anal, and Machine Intell. 1989. V. 11, №7. P. 674-693.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2004. - 464 с.

12. Чуй К. Введение в вейвлеты. Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 с.

13. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображения в действии. М.: Триумф. 2003.-230 с.

14. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

15. Короновский А., Храмов А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит., 2003. - 176 с.

16. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН-2001. Т. 171, №5. С. 465-561.

17. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

18. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №1. С. 111-157.

19. Алтайский М.В., Крылов В.А. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов // Вестник РУДН, Прикладная и компьютерная математика. 2002. №1. С. 98-106.

20. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. Т. 10, №3. С.57-64.

21. Воробьёв В.П., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Военный университет связи, 1999. - 204 с.

22. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2, № 2. С. 133-158.

23. Миронов В.Г., Чобану М.К., Барат В.А. Применение вейвлет-преобразования для цифровой обработки одномерных и двумерных сигналов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва. 2002. Т. II, С. 415-417.

24. Клюшкин В.И., Чобану М.К. Программный комплекс для многоскоростной обработки двумерных сигналов // Докл. 4-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'02). Москва. 2002. Т. 2, С. 413-415.

25. Чобану М.К., Большакова О.В. Синтез ортогональных и биортогональных многомерных банков фильтров // Докл. 6-ой междунар. конф. "Цифроваяобработка сигналов и ее применение" (DSPA'04). Москва. 2004. Т. 2, С. 1617.

26. Батлук А.В., Чобану М.К. Исследование банков фильтров и применение лифтинг-схемы для декомпозиции изображений // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 1,С. 104-107.

27. Чобану М.К., Большакова О.В. Применение метода достройки матрицы для синтеза многомерных банков фильтров // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 457-459.

28. Гольденберг JI.M., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1974.- 160 с.

29. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

30. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980. - 224 с.

31. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

32. Moisilovic A., Popovic М., Rackov D. On the selection of an optimal wavelet basis for texture characterization // IEEE Trans, on image processing. 2000. V. 9, № 12. P. 2043-2050.

33. Tieng Q., Boles W. Recognition of 2D Object Contours Using the Wavelet Transform Zero-Crossing Representation // IEEE Trans. On Pattern Analysis and Machine Intellegence. 1997. V. 19, №. 8. P. 910-916.

34. Pereberin A.V. Fast Multi-Scaled Texture Generation and Rendering // GraphiCon'2000 Proceedings. 2000. P. 145-150.

35. Pereberin A.V. Hierarchical Approach for Texture Compression // GraphiCon'99 Proceedings. 1999. P. 195-199.

36. Zou Н., Tewfik A. Parametrization of compactly supported orthonormal wavelet //IEEE Trans, on signal proc. 1993. V. 41, №.3. P. 1423-1431.

37. Pollen D. Parametrization of compactly supported wavelets // Technical Report, Aware Inc., 1989.

38. Моисеев A.A., Волохов B.A., Корепанов И.В., Новоселов С.А. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-фильтров // Докл. 8-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'06). Москва, 2006. Т. 2, С. 393-396.

39. Дьяконов В. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

40. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 336 с.

41. Прэтт.У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. Т. 1,-312 с.

42. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

43. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.-488 с.

44. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений / Под ред. Ю.Б. Зубарева и В.П. Дворковича. М.: Международный центр научно-технической информации. 1997. - 212 с.

45. Дворкович В.П., Дворкович А.В., Иртюга В.А., Тензина В.В. Новая система мультимедийного вещания на мобильного абонента // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 1,С. 185.

46. Claypoole R.L., Baraniuk R.G. Adaptive wavelet transforms via lifting // In Transactions of the International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1998. №5, P. 1513-1516.

47. Charith G., Abhayaratne K. Spatially adaptive wavelet transforms: an optimum interpolation approach // 3-rd International Workshop on Spectral Methods and Multirate Signal Processing (SMMSP). 2003. P. 155-162.

48. Jones E., Runkle P., Dasgupta N., Carin L. Signal Adaptive Wavelet Design Using Genetic Algorithms // Proc. SPIE. 2000. V. 4056, P. 362-371.

49. Daubechies I., Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps // IEEE Trans. Image. Processing. 2000. V. 9, № 3. P. 480-496.

50. Kustov V., Srinivasan P., Mitra S., Shishkin S. Real Time Adaptive PR-QMF Bank Design for Image Coding Using Interior-Point Algorithm // 9-th IEEE DSP. USA. 2000. P. 1-6.

51. Moulin P., Mihcak M. Theory and Design of Signal-Adapted FIR Paraunitary Filter Banks // IEEE Trans. Signal Processing. 1998. V. 46, № 4. P. 920-929,

52. Devor R.A., Lucier B.J. Fast Wavelet Techniques For Near-Optimal Image Processing // Milcom'92, IEEE Military Communications Conference Record, 1992. P.1129-1135.

53. Новиков JI. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборостроение. 1999. Т. 9, № 2, С. 1-13.

54. Shapiro J.M. Embedded image coding using zero-trees of wavelets coefficients // IEEE Trans. Signal Processing. 1993, V. 41, № 12. P. 3445-3462.

55. Sprljan N., Grgic S., Grgic M. Modified SPIHT algorithm for wavelet packet image coding // Real-time Imaging. 2005. № 11, P. 378-388.

56. Черников A.B., Чобану M.K. Оптимизация и развитие алгоритма SPIHT // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 354-357.

57. Starck J.-L, Emmanuel J., Candes E., Donoho D. The curvelet transform for image denoising // IEEE Transactions on Image Processing. 2002. V. 11 (6), P. 670-684.

58. Starck J.-L., Murtagh F., Candes E., Donoho D. Gray and color image contrast enhancement by the curvelet transform // IEEE Trans. Image Process. 2003. V. 12, №6, P. 706-717.

59. Huo X., Chen J., Donoho D. JBEAM: Coding Lines and Curves via Digital Beamlets I I Data Compression Conference. 2004. P. 449-458.

60. Ery Arias-Castro, Donoho D, Huo X. Near-optimal detection of geometric objects by fast multiscale methods // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. V. 51, P. 2402-2425.

61. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

62. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.- М.: Мир, 1978.-848 с.

63. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. -416 с.

64. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. - 323 с.

65. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

66. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.- 968 с.

67. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров.- М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

68. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.-336 с.

69. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь,t1993. 240 с.

70. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: учеб. пособие. / 2-е изд., перераб. и доп. Ярославль. ЯрГУ, 2005. - 154 с.S

71. Миронов В.Г. Уточнение моделей дискретно аналоговых систем обработки двумерных сигналов // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 455-457.

72. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1982 - 624 с.

73. Белов А.С. Новые примеры неотрицательных тригонометрических полиномов с целыми коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. 1995, №3. С. 581-612.

74. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел // Пер. с нем. М.: Наука, 1978. - 430 с.

75. Елисеев В.И. Введение в методы теории функции пространственного комплексного переменного / Изд. 2-е. М.: 1990-2003. - 541 с.

76. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Пер. с англ. М.: Мир, 1965. -276 с.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. - 832 с.

78. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

79. Потемкин В.Г. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений на основе разложения сингулярного пучка матриц // Вестник Российской транспьютерной ассоциации. 1994. № 2(13). С. 5-18.

80. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

81. Толкова Е.И. Wavelet-анализ изображений // Оптический журнал. 2001. Т. 68, №3. С. 49-59.

82. Список опубликованных работ по теме диссертации

83. Кобелев В.Ю. Ласточкин А.В. Выбор оптимальных вейвлетов для обработки сигналов и изображений // Докл. 2-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'99). Москва. 1999. Т. 2, С. 514-520.

84. Кобелев В.Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сигналов // Тез. обл. научн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Ярославль, 1999. С. 38-39.

85. Кобелев В.Ю. Адаптивное вейвлет-преобразование сигналов // Докл. 3-ей междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'2000). Москва. 2000. Т. 1, С. 109-112.

86. Кобелев В.Ю. Параметризация вейвлет-функций // Сб. научн. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2003. Вып. № 4. С. 165-173.

87. Кобелев В.Ю. Синтез вейвлет-функций // Матер. V Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2003. С. 227-228.

88. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В. Особенности представления вейвлет-фильтров на z-плоскости // Всерос. науч. конф., посвященная 200-летию Ярослав, гос. унив. им. П.Г. Демидова. Ярославль, 2003. С. 130133.

89. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В. Параметризация и особенности представления вейвлет-фильтров на z-плоскости // Докл. 6-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'04). Москва. 2004. Т. 2, С. 122-124.

90. Кобелев В.Ю. Расчет передаточных функций вейвлет-фильтров с предопределенными нулями // Матер. V-ой Всерос. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике". Чебоксары. 2004. С. 209-211.

91. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Моисеев А.А. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 317-320.

92. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю., Приоров A.JL, Волохов В.А. Синтез биортогональных вейвлет-фильтров с перестраиваемыми коэффициентами // Тр. междунар. науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". Москва. 2005. Т. 1, С. 103-107.

93. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю., Волохов В.А. Синтез биортогональных вейвлет-фильтров // Матер. VI Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2005. С. 111-112.

94. Волохов В.А., Новоселов С.А., Моисеев А.А., Кобелев В.Ю. Выбор вейвлет-фильтров для сжатия изображения // Матер. 14-ой междунар. науч.-техн. конф. "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций". Рязань. 2005. С. 118-120.

95. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-базисов // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2005. Вып. № 5. С. 219-227.

96. Кобелев В.Ю., Приоров А.Л., Моисеев А.А. Синтез оптимальных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений // Тр.

97. XII междунар. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация и связь". Воронеж. 2006. С. 187-198.

98. Кобелев В.Ю., Приоров A.JL, Новоселов С.А., Волохов В.А. Параметризация двумерных неразделимых вейвлет-фильтров // Тр. РНТОРЭС им. А.С. Попова. Серия: Науч. сессия, посвященная Дню радио. Вып.: LXI. Москва. 2006. С. 82-84.

99. Кобелев В.Ю., Приоров A.JI. Применение неразделимых вейвлет-фильтров в задачах сжатия изображений // Цифровая обработка сигналов. 2006. №2. С. 21-26.

100. Кобелев В.Ю., Приоров A.JI. Синтез оптимизированных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений // Телекоммуникации. 2006. №9. С. 7-12.