автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Методы и алгоритмы вейвлетной обработки сигналов в цифровых системах связи

На правах рукописи

ЕГОРОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ВЕЙВЛЕТНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ СВЯЗИ

Специальность 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА 2010

003494226

Работа выполнена на кафедре радиоприборов Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета)

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Нефедов Виктор Иванович

Научный консультант по вопросам моделирования схем обработки сигналов

кандидат технических наук, доцент Стариковский Анатолий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, с.н.с.

Гусейн-заде Намик Гусейнага оглы

доктор технических наук, профессор Балюк Николай Васильевич

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное

предприятие «Московский научно-исследовательский радиотехнический институт», г. Москва

Защита состоится « 22 » апреля 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.06 в Московском государственном институте электроники и математики (технического университета) по адресу:

109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ (ТУ)

Автореферат разослан « 17 » марта 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., профессор

Н.Н. Грачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современные цифровые системы передачи информации предоставляют разнообразные по функциональному содержанию услуги большому количеству коллективных и индивидуальных пользователей. При этом фундаментальной проблемой создания цифровых систем связи является обработка, сокращение избыточности и восстановление передаваемой информации. Разработка новейших способов и устройств обработки и сжатия видео- и звуковой информации является предпосылкой более эффективного использования каналов связи, обеспечивающей сохранение действующих частотных планов, высвобождение части частотного спектра для передачи потребителям дополнительных видов услуг по системам подвижной и спутниковой связи, многопрограммного телевидения, телевидения высокой четкости, многопрограммного звукового вещания, организацию интерактивных систем связи, видеоконференций и др. В связи с активным развитием цифровых систем обработки информации в последнее время стали актуальными вопросы разработки алгоритмов сжатия сигналов в системах связи, основанные на современных вычислительных методах. Одним из таких является вейвлет-анализ сигналов.

Актуальность работы. Успешное воплощение перспектив развития инфотелекоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи формирования, приема, передачи и обработки информации в реальном масштабе времени. Осуществление сложных алгоритмов ЦОС требует применения эффективных базовых алгоритмов (спектрального анализа, фильтрации, сжатия и синтеза сигналов), экономично использующих соответствующие технические ресурсы. Особую актуальность среди прочих задач цифровой обработки сигналов при их передаче по радиоканалам связи приобретают методы обработки, а также сжатие и восстановления передаваемых сигналов с малыми искажениями.

В связи с отмеченным вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и при этом гибких средств исследования и цифровой обработки сигналов: помимо возможностей их фильтрации и сжатия, анализ в базисе вейвлет-функций позволяет решать задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных, осуществлять поиск точек соединения данных, отыскивать признаки фрактальности информации. В основе подобных возможностей, обеспечивающих вейвлет-анализу весьма перспективное будущее, лежит природа его многомасштабности.

В отличие от традиционно и исторически применяемого при анализе сигналов преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и способны непосредственно обрабатывать такие особенности сигналов, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.

Вейвлет-преобразование привносит в обработку информации дополнительную степень свободы. Так, например, анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Проблема тесно связана с двумя другими задачами — шумоподавлением и определением параметров сигнала по результатам наблюдения. Наиболее известны применения вейвлет-анализа для подавления шума и сжатия. Не отвергая значимость анализа Фурье, вейвлет-методы успешно дополняют, а иногда способны и полностью заменить обработку традиционными методами.

Локализационные свойства вейвлет-анализа заложены в его структуре. Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компоненты разного масштаба. Известно, что в настоящее время слабо изучены возможности вейвлет-анализа в задаче разделения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга. Это часто используют для того, чтобы разделить исходные данные на составляющие (аналогично тому, что происходит при фильтрации с помощью преобразования Фурье). Положительные свойства вейвлетов, проявленные в других задачах, делают актуальной проблему поиска путей разделения близких по частоте сигналов методами вейвлет-анализа. Внедрение в механизмы обработки данных методов вейвлет-анализа наглядно показывает их способность комплексно подходить к решению ряда задач.

Вопросами передачи и эффективных алгоритмов обработки и сжатия нестационарных сигналов занимались Ж. Морле, А. Гроссман, И. Добеши, И. Мейер, С. Малла, Г. Лэм, Дж. Макклелан, А. Оппенгейм, Л. Рабинер, Р. Хемминг. Заметный вклад в развитие вейвлет-анализа внесли отечественные ученые В.П. Воробьев, В.Г. Грибунин, В.В. Витязев, В.П. Дворкович, В.Г. Карташевский, Д.Д. Кловский, Б.Д. Матюшкин, Ю.Б. Зубарев и другие. Продолжающаяся публикация работ, посвященных глубокому исследованию отдельных способов сокращения сложности алгоритмов вейвлет-анализа, свидетельствует о необходимости обобщающего подхода в этом направлении. Однако разработанные методы имеют определенные недостатки, поэтому сохраняется потребность в создании новых методов цифровой обработки и сжатия сигналов на основе вейвлет-анализа.

Решение этой серьезной научной задачи определяет актуальность диссертационной работы, направленной на разработку новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки радиотехнических сигналов в системах передачи информации, что позволит существенно повысить скорость, пропускную способность и верность ее передачи и более эффективно использовать каналы связи различного назначения в интересах всех отраслей экономики нашей страны.

Цель работы. Сложность алгоритмов, используемых для устранения избыточности сигналов, неуклонно растет — это касается не только объема вычислений, но и базы построения алгоритмов, большинство которых основано на использовании дискретных ортогональных преобразований для предварительной обработки данных. Вместе с тем задачи фильтрации,

сжатия и восстановления сигналов ставятся в практическую плоскость, что требует при их решении постоянного внимания к возможностям цифровой аппаратуры. Целью работы является исследование теоретических вопросов и разработка новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки сигналов в системах передачи информации для фильтрации, а также построение соответствующих алгоритмов сжатия, распознавания и оценки локальных особенностей сигналов, пригодных для практического применения на базе персональных компьютеров. Кроме того необходимо создание программного обеспечения, реализующего методы непрерывного вейвлет-анализа для обработки в реальном масштабе времени передаваемой информации.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе рассмотрены и решены следующие задачи:

1. Анализ современных теоретических достижений в области вейвлет-преобразования для их возможного использования в задачах обработки, сжатия и интерпретации передаваемой информации.

2. Исследование возможности и эффективности использования различных базисных вейвлет-функций при обработке и сжатии нестационарных радиотехнических сигналов.

3. Разработка новых методов теоретического анализа и синтеза вейв-лет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления радиотехнических сигналов.

4. Разработка программного обеспечения, реализующего вейвлет-преобразование для широкого набора базисных вейвлет-функций, как основы для создания новых методов анализа передаваемой информации.

Методы исследования. В работе использовались методы математического и функционального анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, алгоритм быстрого преобразования Фурье, непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования. Значительную часть исследований представляли компьютерные эксперименты по обработке реальных сигналов, направленные на получение необходимых статистических данных и определение характеристик итоговых алгоритмов.

Научной новизной обладают следующие результаты работы.

1. Новые методы и алгоритмы вычисления вейвлет-преобразования радиотехнических сигналов.

2. Новый метод вейвлет-анализа для разрешения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.

3. Анализ влияния искажений передаваемого сигнала на его вейвлет-образ.

4. Методы вейвлет-преобразования для обработки, распознавания и сжатия изображений.

5. Разработанные методические рекомендации по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации.

6. Компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.

Практическая ценность. Предложена компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к особенностям передаваемой по каналам связи информации. Содержание работы носит прикладную направленность, поэтому полученные теоретические результаты служат достижению целей, связанных с разработкой конкретных алгоритмов и схем обработки, фильтрации, компрессии и декомпрессии передаваемых радиотехнических сигналов. Применение полученных алгоритмов обработки сигналов возможно для широкого класса систем передачи информации, прежде всего, в мультимедийных и сетевых компьютерных приложениях.

Программные реализации предложенных методов позволяют автоматизировать процессы обработки сигналов и расширяют возможности дальнейших исследований. Разработанные алгоритмы, обладают более высокими характеристиками по скорости, качеству обработки и сжатию данных, которые соответствуют современному мировому уровню.

Основные научные положения, выносимые на защиту

1. Новые методы анализа и синтеза вейвлет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления радиотехнических сигналов.

2. Новый метод вейвлет-анализа для разрешения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.

3. Анализ влияния искажений передаваемого сигнала на его вейвлет-образ.

4. Разработанные методические рекомендации по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации.

5. Компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.

Основные результаты диссертационной автора работы внедрены

на предприятиях ОАО «Концерн радиостроения «ВЕГА», ЦНИИ «Радиосвязь», в НИИ космических систем - филиал ГКНПЦ имени М.В. Хруни-чева, в институте общей физики им. A.M. Прохорова РАН, применены в учебном процессе в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) и Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете). Результаты работы отражены в 4 учебных пособиях, посвященных вейвлет-анализу сигналов, и предназначенных для студентов, обучающихся по направлению подготовки 210300 - "Радиотехника".

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались с 2007-го по 2010 гг. на научно-технических конференциях и семинарах в Московском энергетическом институте (техническом университете), Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете), Московском государственном техническом университете гражданской авиации, на конференциях и заседаниях НТОРЭС им. A.C. Попова, на международных и Всероссийских научно-технических конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ. Среди них наиболее значимые: 3 статьи в ведущих научных журналах и изданиях, выпускаемых в Российской Федерации и рекомендуемых ВАК для публикации основных материалов диссертаций, представляемых на соискание ученой степени кандидата наук; 12 статей в сборниках трудов международных научно-технических конференций; 2 статьи в научно-технических сборниках издательств МИРЭА и других высших учебных заведениях и научно-исследовательских институтов; 4 учебных пособия.

Струюура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений, списка использованных источников информации, включающего 126 наименований; содержит 186 страниц текста, 43 рисунков и 10 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика решаемой задачи, обоснована актуальность темы, определена цель исследований, показаны методы исследования, отмечена научная новизна и практическая ценность диссертации, сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту, приведены сведения по апробации работы, внедрении результатов, публикациях, структуре и объеме диссертации.

Глава 1 носит, в основном, обзорный характер и освещает вопросы, связанные с определением вейвлет-преобразования, способами его визуализации, выбора параметров и влияния искажений радиосигнала на вейв-лет-образ. Глава содержит анализ научно-технической литературы за последние годы, известных исследований и материалы, дающие сведения о теоретических основах вейвлет-преобразования. Рассмотрены современные и перспективные методы вейвлет-анализа, а также вейвлеты второго поколения на примере лифтинг-схемы. Приведены необходимые предварительные сведения, дается краткий обзор и классификация основных подходов к реализации эффективного сжатия сигналов.

Реальные радиотехнические сигналы, отражающие изображения, являются двумерными, имеющими неоднородности (особенности) в областях контуров объектов, поэтому базис функций, используемых для разложения, должен обладать на исходном изображении хорошей локализацией. Однако в фоновых областях передаваемый сигнал рассматривается как реализация стационарного сигнала, что делает предпочтительным использование для разложения частотно-локализованного базиса (хорошо известно, что коэффициенты Фурье разложения по тригонометрической системе стационарного сигнала некоррелированны).

Известно, что добиться одновременно высокого разрешения в частотной и во временной областях невозможно в силу принципа неопределенности Гейзенберга. Выходом из этого положения является использова-

ние функциональных базисов вейвлетов, которые обладают переменным частотно-временным разрешением.

Подходы, связанные с использованием вейвлетов, на сегодняшний день являются доминирующими в обработке неподвижных изображений, постепенно вытесняя традиционный инструмент декорреляции — дискретное косинусное преобразование.

В первой главе отмечается, что для оптимизации алгоритмов сжатия данных с потерями часто используют подход, основанный на минимизации ЛО-функции Лагранжа. Математический аппарат вейвлет-преобразования и его практическая польза привлекают к себе внимание ученых и исследователей, работающих как над фундаментальными, так и над чисто прикладными проблемами. Уникальные математические свойства вейвлетов сделали их очень мощным инструментом анализа и последующего синтеза любого радиотехнического или другого вида сигнала. Свойство ортогональности позволяет получать независимую информацию на разных масштабах. Нормируемость обеспечивает сохранение величины информации на различных этапах преобразования. Свойство локальности помогает получить знание о тех конкретных областях, в которых проявляют себя изучаемые масштабы (частоты).

Многомасштабный анализ радиотехнических сигналов приводит к быстрому вейвлет-преобразованию и в сочетании с процедурой нестандартного матричного умножения — к эффективным вычислительным алгоритмам и программам. Все эти свойства позволяют, используя вейвлет-преобразование, анализировать сложные по структуре радиосигналы на разных масштабах и в разных точках, решать уравнения, описывающие исключительно сложные нелинейные системы, содержащие взаимодействия на многих шкалах, изучать редко изменяющиеся функции и т. д.

Отметим достоинства и недостатки вейвлетных преобразований:

• вейвлет-преобразования обладают практически всеми достоинствами преобразований Фурье;

• вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес;

• вейвлет-базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных элементарных функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач. Базисные вейвлеты могут иметь и конечные, и бесконечные носители, реализуемые функциями различной гладкости;

• недостатком вейвлет-преобразований является их относительная сложность в практическом применении при анализе различных сигналов.

Вейвлет-преобразование легко обобщается на множество любых размерностей и поэтому может применяться также для анализа много-

мерных объектов. Благодаря этому вейвлеты практически незаменимы при распознавании образов на изображениях.

По коэффициентам вейвлет-преобразования, а также по значениям локальных экстремумов можно достаточно легко вычислить размерность анализируемого множества или спектр размерностей, если оно мультифрактальпо. Так же в главе дано описание 1D и 2D вейвлет-базисов: Хаара, Морле, французская шляпа, Эрмитовы (гауссовых — DOG), Габора, Пуассона, RASP, Пауля, Перриер, В-сплайнов, гармонических, Шеннона и других (ряд наиболее распространенных на практике вейвлет-базисов приведены на рис.1).

Рис.1. Примеры вейвлет-базисов: а — радиально-симметричный 20 МНАТ-вейвлет; б — действительная часть комплексного 2В гармонического вейвлета; в — действительная часть комплексного 2В вейвлета Морле; г — действительный 2Р ЯАЗР1-вейвлет

Вейвлет-преобразование стремительно завоевывает популярность в столь разных областях, как радиотехника, телекоммуникации, компьютерная графика, биология, астрофизика и медицина. Благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов оно стало мощной альтернативой преобразованию Фурье в ряде приложений. Так как многие сигналы нестационарные, методы вейвлет анализа используются для распознавания и обнаружения ключевых диагностических признаков. Следует

отметить, что вейвлет-пребразование ни в коем случае не является заменой гармонического анализа, оно позволяет с иной точки зрения рассмотреть анализируемый процесс — с точки зрения другого анализатора.

В главе 2 предложены и апробированы методы обработки сигналов с помощью теории вейвлетов. Разработан алгоритм быстрого вычисления вейвлет-преобразования, основанного на гауссовых вейвлетах, и проведен сравнительный анализ характеристик вейвлет-фильтров (ВФ), построенных с применением вейвлетов первого и второго поколений. Разработанный алгоритм коррекции гладкости ВФ, реализуется решением систем линейных уравнений путем преобразования тригонометрического полинома: М-1 мл

#2(со) = ^Ьп соб(иш) = [l + cos(ra)]4^d„ cos(wco), (1)

n=0 п-0

где Н2{со) — квадрат АЧХ низкочастотного вейвлет-фильтра; М— порядок тригонометрического полинома; Ь„ — коэффициент разложения; d„ — число свободных параметров в представлении вейвлет-фильтра; п — количество итераций; к — коэффициенты произвольной ортогональной вейвлет-функции.

Использование модифицированный алгоритм применительно к сжатию сигналов, выявило, что оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтров позволяет более точно передавать высокочастотную часть изображения, что достигается за счет некоторого предсказывания, вносимого в частотную характеристику вейвлет-фильтра. Примененная к рассмотренной модели сжатия коррекция АЧХ вейвлет-фильтра позволяет снизить отношение сигнал/шум восстановленного изображения лишь на 0,4...0,5 дБ (обусловлено тем, что мощность предсказываемой высокочастотной части сигнала мала по сравнению с суммарной мощностью сигнала).

Я*«о) = 2F^

Р2(р + п) + Р2(ш) (2)

а^(ЯО'(А)) = (./со))- а^/*"0 (Дсо + тс)))- тс(со)]/2]- [(Дг(со))/2],

где #2(со) — квадрат АЧХ низкочастотного вейвлет-фильтра; Л'(ш) — квадратурно-зеркальный фильтр; ^(со) — тестовый сигнал; /^(м) — квадрат модуля Фурье-спектра исходного сигнала.

В результате модификации алгоритма получена совокупность уравнений (2), определяющих требования к частотным характеристикам согласованного вейвлет-фильтр для безошибочного восстановления сигнала.

Согласованный фильтр достижим в большинстве случаев только при порядках, сопоставимых с длиной сигнала:

£>(усо) = Я02р1 (со)(б2 (со) - 6(со + тгУ (Е(со+71)-е(ш»)+ + 8(со) - 8(со + т0е^е(и+71)"Е(и)), (3)

где £>(/ш) — представляет собой частотную характеристику канала обработки; е — заданное пороговое значение; 6(со) = Ягеа1(/'со)/#ор,(/со), Ягеа¡(/со) — реальный оптимизированный вейвлет-фильтр невысокого порядка; Яор1(/'ш) — частотная характеристика согласованного вейвлет-фильтра.

Выражение (3), полученное для вычисления спектра восстановленного сигнала, схематически детально показано на рис.2. На рис.2 представлена схема прямого и обратного вейвлет-преобразования с использованием стандартных блоков: блоки прямого вейвлет-преобразования (предварительная фильтрация фильтром #геа1(/ш)> децимация с коэффициентом 2 с целью устранения избыточности) и блоки обратного вейвлет-преобразования (интерполяция и конечная сглаживающая фильтрация).

ДО)

1-£>(7<О)

Рис.2. Структурное представление канала обработки данных: 1 -0(/ш) — функция ошибки высокочастотного канала обработки;

Я/ш) — входной сигнал; #(/'<в) — субполосное вейвлет-кодирование;

Н~'(/ш) — субполосное вейвлет-декодирование; в (/о) — ВЧ-вейвлет-фильтр; С'О'ш) — функция ошибки высокочастотного канала обработки;

Fв^¿jUl) — функция высокочастотных компонентов вейвлет-обработки;

РеостЦш) — функция восстановленных компонентов вейвлет-декодирования;

1"2 — операция сглаживания; -12 — операция прореживания Нижняя цепочка на рис.2 представляет собой высокочастотные компоненты вейвлет-обработки />/{/со), которые, в соответствии с принятой моделью, отбрасываются. А так как суммарная мощность восстановленного сигнала (низкочастотная часть) и ошибки равны мощности исходного сигнала, то функция [1-Д/со)] представляет собой функцию ошибки высокочастотного канала обработки.

В главе широко охарактеризованы базовые стратегии, алгоритмы и методы сжатия различных изображений, представляющих собой особый тип данных. На рис.3 представлена упрощенная модель системы сжатия, передачи и декодирования изображения.

Большинство сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткодействующих высокочастотных компонент и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонент. Для анализа таких сигналов нужен

6

/ил Кодер Канал Декодер

связи

в

Рис.3. Упрощенные модели системы передачи сигнала: а — модель кодера источника; б — модель декодера источника; в — модель системы сжатия метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе — для разрешения компонент высокой частоты.

Результаты применения разработанного метода вейвлет-анализа для разрешения трех близких по частоте сигналов 5, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга представлены на рис.4.

с т ■т зоо 1

б б Рис.4. Пример применения разработанного метода вейвлет-анализа: а — исходный сигнал; б — двумерное вейвлет-преобразование; в — карты поверхностей

Анализируемый сигнал показан на рис.4,а, на рис.4,б — двумерное вейвлет-представление, а на рис.4,в — результаты обработки приведены в виде карт поверхностей. Сигнал состоит из суммы трех последовательных радиоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Как видно из результатов, вейвлет-преобразование определяет информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте.

Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя, таким образом, различные частотные компоненты сложного колебания. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач (например, в случае изучения динамики изменения частотных параметров сигнала на временном интервале). Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа:

• локальное преобразование Фурье (short-time Fourier transform)', следуя по этому пути, обрабатывается нестационарный сигнал, как стационарный сигнал, следует предварительно разбить его на сегменты (окна), статистика которых не меняется со временем;

• вейвлет-преобразование.

В последнем случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция прототип называется материнским, или анализирующим вейвлетом.

Классическим методом частотного анализа сигналов является прямое преобразование Фурье, суть которого можно выразить формулой

Результат преобразования Фурье — амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале. В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы. Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (локальное или оконное преобразование Фурье — Short-time Fourier transform — STFT). Действие метода состоит из этапов:

1. В исследуемой функции создается "окно" - временной интервал, для которого функцияДх) не равна 0, и fix) = 0 для остальных значений;

2. Для этого "окна" вычисляется оконное преобразование Фурье;

(4)

—со

00

STFTj (со, Ъ) = j'f(x)e~Jaxa(x - b)dx.

(5)

3. Далее "окно" сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье. "Пройдя" таким "окном" вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения "окна" и частоты. Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты, и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки.

Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в этом случае нельзя утверждать факт наличия частоты ш0 в сигнале в момент времени tQ — можно лишь определить, что спектр частот (соь со2) присутствует в интервале (tu 12). Причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится анализ. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа.

Основные положения вейвлет-анализа. Различают дискретный и непрерывный вейвлет анализ, аппарат которых можно применять как для непрерывных, так и для дискретных сигналов.

Сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция-прототип называется анализирующим (материнским) вейв-летом. Базовая вейвлет-функция должна удовлетворять двум условиям:

1. Среднее значение (интеграл по всей прямой) равен 0:

00

jy/(x)dx = 0. (6)

-QO

2. Функция быстро убывает при времени стремящемся к бесконечности.

В общем случае непрерывное вейвлет-преобразование функции (CTWT) выглядит так:

CTWTf(a,b)= avi f{x)dx. (7)

Главным элементом в вейвлет-анализе является функция — вейвлет vj/(x). В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) сигнала благодаря изменению масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале. Изучив эти свойства, некоторые компоненты можно удалить, что широко используется при фильтрации шумов. Как правило, для удаления шума используется хорошо известный из техники фильтрации прием — удаление высокочастотных составляющих из спектра сигнала. Однако применительно к вейвлетам есть еще один путь — ограничение уровня детализирующих коэффициентов.

Кратковременные особенности сигнала (к ним относятся и шумы) создают детализирующие коэффициенты с высоким содержанием шумовых компонент, имеющие большие случайные выбросы значений сигнала. Задав порог и срезав по уровню детализирующие коэффициенты, можно уменьшить уровень шумов. При этом уровень ограничения можно устанавливать для каждого коэффициента отдельно, что позволяет строить адаптивные к изменениям системы очистки сигналов от шума на основе вейвлетов. Графики детализирующих коэффициентов для разных уровней очистки произвольного сигнала от шума показан на рис.5. Фильтрация шумов осуществлена при помощи вейвлета Хаара с пятью уровнями разложения сигнала.

Рис.5. Графики детализирующих коэффициентов для разных уровней разложения Основное отличие вейвлет-фильтрации от традиционных методов выделения сигналов из шумов заключается в том, что выбор параметров вейвлет-фильтра довольно слабо зависит от характеристик спектра сигнала. Это позволяет избежать тех трудностей, которые обычно сопровождают выбор параметров АЧХ традиционного фильтра, когда слишком узкое частотное окно приводит к искажению формы сигнала и ухудшению разрешающей способности системы, а слишком широкое окно — к неэффективности процесса фильтрации из-за большого уровня шумов на выходе.

В главе 3 представлены алгоритмы, схемы программ, содержащие в себе реализацию основных методов обработки сигналов с помощью теории вейвлетов. Рассмотрены две задачи: разделение перекрывающихся сигналов и выявление структур в псевдо-быстрых распределениях. Подробно показано, что происходит при обработке методами вейвлет-анализа сигналов колоколообразной формы. Наибольшую проблему при использовании вейвлет-преобразований при обработке сигналов представляет необходимость затрачивать большие вычислительные ресурсы для построения набора вейвлет-коэффициентов (называемого вейвлет-образом) функции. Однако возможности, привносимые этим семейством вейвлетов в анализ данных, стимулируют поиски путей увеличения скорости вычисления.

Многие задачи, требующие обработки значительного объема данных, возникают в экспериментах при исследовании сигналов повышенной мощности. Характерной их особенностью являются большая множественность событий и высокий уровень шума. Использование в механизмах обработки данных методов вейвлет-анализа наглядно показывает их способность комплексно подходить к решению задач. Реальные данные часто содержат выпадающие участки и для обработки таких сигналов разработаны адаптивные вейвлет-методы. Реализация этих свойств вейвлетов иногда сдерживается значительным объемом необходимых вычислений, который оборачивается низкой скоростью обработки данных.

В главе предложены варианты решения задачи: дискретизация вейв-лет-преобразования с применением так называемых фреймов и существенная оптимизация алгоритма вычислений. Рассмотрены также преимущества и недостатки фильтров на основе непрерывного вейвлет-преобразования с гауссовыми вейвлетами и фильтров, применяющих лифтинг-схему. В обоих случаях накладываются ограничения на выбор либо масштаба, либо смещения при вычислении преобразования. Использование фреймов дает в результате преобразования минимально необходимый для восстановления функции набор вейвлет-коэффициентов. Однако при этом теряются детали поведения вейвлет-образа на больших масштабах. Оптимизация алгоритмов позволяет сохранить более полный набор вейвлет-коэффициентов. Предложенный способ позволяет достичь скорость, лишь незначительно уступающей скорости работы алгоритма, использующего фреймы.

В главе 4 описаны вопросы применения вейвлетов в различных разделах радиоэлектроники. Возможности вейвлет-преобразования представлены на примерах анализа некоторых натурных временных рядов. На простых примерах применения вейвлет-преобразования для анализа одномерных функций с хорошо известными свойствами показаны возможности этого относительно нового математического аппарата, позволяющего выявить и наглядно показать структуру описываемого анализируемой функцией процесса и дающего информацию о его характерных масштабах.

Благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов вейвлет-преобразование стало мощной альтернативой преобразованию Фурье в ряде радиотехнических приложений. В последнее десятилетие в мире наблюдается значительный интерес к сжатию изображений. Это вызвано стремительным развитием вычислительной техники, графических мониторов, цветных принтеров, а также цифровой техники связи. Изображение представляется в цифровом виде достаточно большим количеством бит. Цветная картинка размером 512x512 требует для своего хранения 768 кбайт. Если передавать видеопоследовательность картинок со скоростью 25 кадров в секунду, требуемая скорость составит 188,7 Мбит/с.

Различают сжатие изображений без потерь и с потерями. Первое характеризуется незначительными коэффициентами сжатия (от 3 до 5 раз) и находит применение в телевидении, медицине, аэрофотосъемке и других

приложениях. При сжатии изображения с допустимыми потерями коэффициент сжатия может достигать 100. Популярность вейвлет-приобразования объясняется тем, что его успешно можно использоваться для сжатия изображения как без потерь, так и с потерями. Так, коэффициент сжатия видеосигнала в видеокодеках семейства АЭУбхх варьируется от 3 до 350 и больше раз. Причины успешного применения состоят в следующем.

1. Вейвлеты хорошо аппроксимируют преобразование Карунена — для фрактальных сигналов, к которым относятся и изображения.

2. Дисперсии коэффициентов субполос ортонормального вейвлет-преобразования распределены в широком диапазоне значений. Пусть дисперсии кодируются простым энтропийным кодером. Тогда стоимость кодирования всего изображения есть сумма кодирования субполос. Различные энтропии субполос приведут к стоимости кодирования значительно меньшей, чем при непосредственном кодировании изображения.

3. В результате перераспределения дисперсий коэффициенты вейвлет имеют существенно негауссовскую статистику и, следовательно, меньшую энтропию, чем гауссовский сигнал той же дисперсии.

4. Вейвлет-коэффициенты имеют регулярные пространственно-частотные зависимости, которые используют в ряде алгоритмов кодирования.

Выбор оптимального базиса для кодирования изображений является трудной задачей. Известен ряд критериев построения оптимального базиса, наиболее важные из которых: гладкость, точность аппроксимации, область определения, частотная избирательность фильтра. Но наилучшая комбинация этих свойств неизвестна. Пока наилучшим способом обработки изображения является его последовательное разложение по строкам и столбцам. Применительно к двумерным вейвлет-фильтрам такой вид обработки соответствует использованию разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика которых есть тензорное произведение импульсных характеристик соответствующих одномерных фильтров. Наиболее сложный вариант синтеза двумерных вейвлет-функций - выбор неразделимого базиса. Созданный на его базе неразделимый вейвлет-фильтр позволяет более гибко подойти к задаче синтеза вейвлет-фильтра с заданной частотной избирательностью. В этой главе рассмотрен способ оптимизации двумерного вейвлет-базиса, соответствующего классической схеме разложения (на четыре частотные плоскости).

При расчете получена формула позволяющая определить АЧХ двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочного восстановления изображений, используя только низкочастотные компоненты одноуровневого вейвлет-разложения

= --5-^^-5-,(8)

^ (о»!+ 71,0)2) + ^ (Ю!,С02+ 71) + ^ (о)! + 7Г,Ю2 + л) + ^ (ш^Юз)

где #2(со) — квадрат АЧХ двумерного вейвлет-фильтра; /^(со) — квадрат модуля Фурье-спектра исходного изображения. На рис.6 представлены обработанные выходные сигналы и структура их вейвлет-преобразования. ю

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

а

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 б

Рис.6. К вейвлет-преобразованию: а — обработанный сигнал; б — несжатая структура вейвлет-разложения

Вейвлет-преобразование представляет собой лишь метод первичной обработки сигнала для повышения эффективности его сжатия. Непосредственно сжатие выполняется после этой предобработки классическими методами. При этом сжатие выполняется для коэффициентов вейвлет-преобразования сигнала, а его реконструкция по этим коэффициентам производится на этапе восстановления. В исходных сигналах задан однозначный глобальный жесткий порог, не зависимый от коэффициента разложения исследуемого сигнала, коэффициенты аппроксимации сохранены без изменений. На рис.7 представлен обработанный выходной сигнал и

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

а

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 б

Рис.7. К вейвлет-разложению: а — график обработанного выходной сигнала; б — сжатый вид структуры вейвлет-разложения

сжатый вид структуры его вейвлет-разложения (выбранная норма сжатия преобразованного радиосигнала составляет около 55,3 % относительно нормы исходного сигнала).

При детальном рассмотрении экспериментальных данных, полученных в результате сравнительного анализа методов компрессии двухуровневых изображений с целью определения эффективного метода компрессии контурного изображения выявлено следующее (табл.1).

Таблица 1. Сравнение стандартов сжатия

Стандарт Размер файла контурного изображения, байт

сжатия «Iris» «Sweden» «Propeller» «Barbara»

BMP (без сжатия) 45662 45662 81850 32830

TIFF Group 3 37695 19022 22906 30009

TIFF Group 4 30706 9560 12698 17446

7-Zip 13353 6587 7215 11663

RAR 16892 8017 8796 13676

YBS 17279 8065 8445 13327

JBIG 7533 3215 2569 6544

Разработанный метод 7308 3122 2492 6348

Среди стандартов, ориентированных на сжатие двухуровневых изображений, с точки зрения степени компрессии лучше всего при сжатии контурных изображений проявил себя стандарт JBIG, он также оказался эффективнее всех универсальных стандартов сжатия. Параллельно с компрессией контурного изображения анализировалось сжатие маскированного изображения. Для того чтобы маскированное изображение занимало меньший объем информации, следует хранить его не в двумерном виде, а преобразовать в одномерный вид при помощи построчного сканирования, отбрасывая при этом пустые области. Результатом сканирования является одномерный сигнал, подвергаемый вейвлет-преобразованию.

Отметим, что вейвлеты и сопутствующие им идеи внесли неоценимый вклад в теорию и практику обработки, сжатия и кодирования изображений и, очевидно, будут оставаться основным направлением анализа в этой области в ближайшем будущем.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы в целом. В представленной диссертационной работе исследованы различные аспекты применения вейвлет-преобразований для цифровой компрессии сигналов, как со стороны формального теоретического анализа, так и со стороны тех требований и ограничений, которые применены на конкретные вычислительные схемы и алгоритмы. В целом содержание работы носит прикладную направленность, поэтому большинство теоретических результатов подкреплено вычислительными экспериментами, результаты которых не только служили иллюстрацией или проверкой теории, но часто давали толчок и представляли собой исходный материал для дальнейших

изысканий. По результатам проведенных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие выводы.

1. При сжатии изображений с использованием структур вейвлет-спектров правило выбора моделей следует строить по комбинированному контексту. Полученный на этой основе новый эффективный алгоритм компрессии цифровых сигналов с потерями, который разработан по результатам изучения статистических свойств спектров дискретных вейвлет-преобразований, показывает высокие характеристики сжатия при сложности реализации, приемлемой для широкого круга приложений.

2. Вейвлет-преобразования являются основным инструментом, используемым для декорреляции данных при компрессии сигналов. В случае, когда математическая модель дискретного сигнала задается матрицей, для анализа эффективности декоррелирующей обработки целесообразно применение предложенного в работе критерия средней избыточной энтропии.

3. Высокую эффективность применения в различных схемах и алгоритмах сжатия данных имеет метод многомодельного арифметического кодирования, а одним из ключевых моментов в разработке схем компрессии является определение правил для выбора текущей модели кодирования.

4. При использовании программного обеспечения, которое создано на основе разработанных алгоритмов достигается высококачественная обработка сигналов (очистка шумов, сжатие и восстановление сигналов).

В целом в диссертационной работе получены новые научные результаты, теоретические положения которых позволили в значительной степени развить и формализовать процедуры анализа и синтеза схем обработки цифровых сигналов и изображений, основанных на использовании вейв-лет-преобразований. Выработанные подходы и рекомендации привели к построению конкретных схем и алгоритмов компрессии и кодирования, многие из которых были реализованы программно на компьютерах и микропроцессорах и экспериментально подтвердили эффективность своего применения.

В Приложении 1 приведены исходные тексты программы на языке С++, реализации быстрого алгоритма вычисления вейвлет-коэффициентов, описанного во второй главе.

В Приложении 2 приведены результаты фильтрации сигналов от некоторых видов шумов при помощи разработанных программного обеспечения.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах

Статьи в изданиях ВАК

1. Егорова Е.В. Вейвлетный алгоритм цифрового сжатия информации. «Нелинейный мир», 2009, т.7, №11, с. 872-876.

2. Нефедов В.И., Егорова Е.В., Пугачев О.И., Герасимов A.B. Применение цифровой обработки для фильтрации шума в звуковых сигналах. «Нелинейный мир», 2009, т.7, №11, с. 869-871.

3. Егорова Е.В., Самохина Е. В., Стариковский А.И. Спектральные методы исследования нелинейных СВЧ-устройств. «Наукоемкие технологии», 2008, т. 6, №12, с. 27-29.

Публикации в журналах, учебные пособия и материалы научно-технических конференций

1. Егорова Е.В., Нефедов В.И. Вейвлетный алгоритм сжатия изображений. Труды Научно-практической конференции "Инновации в условиях информационно-коммуникационных технологий". 1-10 октября 2008 г., Сочи.

2. Егорова Е.В. Современные направления развития вей влет-анализа. Труды 58-й научной-технической конференции МИРЭА. 2009 г., Москва.

3. Нефедов В.И., Егорова Е.В Барский Д.Р., Стариковский А.И., Самохина Е.В. Линейные транзисторные усилители. 61-я научная сессия, посвященная Дню радио. 17-18 мая 2006 г., Москва.

4. Егорова Е.В., Мороз А.Н., Оганян А.Б., Есин С.В. Теория и практика вейвлетов в радиотехнике и связи. Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, 10-13 ноября 2008 г., Москва.

5. Егорова Е.В., Базитов А.В., Пластовский И.И., Стукас А.В. Цифровое представление и сжатие изображений. 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение». 26-28 марта 2008г., Москва.

6. Егорова Е.В. Усилительные модули передатчиков систем связи. Труды 64-й научной сессии, посвященной Дню радио. 13-14 мая 2009 г., Москва.

7. Егорова Е.В., Нефедов В.И. Применение вейвлетной обработки для шумоподавления в звуковых сигналах. INTERMATIC-2009, ч.4, Материалы Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», 7-11 декабря 2009 г., Москва, с. 136-137.

8. Егорова Е.В., Бузылев Ф.Н., Нефедов В.И. Алгоритм обработки изображений. INTERMATIC-2009, ч. 4. Материалы Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», 7-11 декабря 2009 г. Москва, с. 138-139.

9. Егорова Е.В., Нефедов В.И., Пугачев О.И. Методы сжатия изображений на основе вейвлетов. INTERMATIC-2009, ч. 4. Материалы Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», 7-11 декабря 2009 г. Москва, с. 287-288.

10. Egorova E.V., Plastovkij I.I., Nefedov V.I., Zheleznova S.E. Nonlinear distotions in intensifying microwaves-modules. DSPA' 2009,11-th International Conference: Digital Signal Processing And Its Applications. Moscow. Russia, v. II. 2008. Proceedings - 2, p. 260- 261.

П.Егорова E.B., Пластовский И.И., Стукас A.B., Нефедов В.И Нелинейные искажения в усилительных СВЧ-модулях. 11-я Международная научно-техническая конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение" 26-28 марта 2009 г., Москва, Россия.

12. Балагур A.A., Барский Д.Р., Егорова Е.В., Михалин O.A. Методические указания по выполнению лабораторной работы №1 «Основы радиоэлектроники и связи». МИРЭА, 2009.

13. Егорова Е.В., Балагур A.A., Барский Д.Р. Методические указания по выполнению лабораторной работы №3 «Сетевые информационные технологии». МИРЭА, 2009.

14. Егорова Е.В., Белянина Е.К., Балагур A.A., Федорова Е.В., Мельча-ков В.Н. Методические указания по выполнению лабораторных работ №2, 3,6 «Основы метрологии. Электрорадиоизмерения». МИРЭА, 2009.

Подписано в печать: 13.03.10

Объем: 1,5 усл.печ.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 258 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г.Москва, пр-т Вернадского, 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение.

1. Основы вейвлет-преобразовання радиотехнических сигналов.

1.1. Элементы, свойства и возможности вейвлет-преобразования.

1.2. Семейство и свойства Гауссовых вейвлетов.

1.3. Визуализация результатов вейвлет-преобразования.

1.4. Параметры и характеристики вейвлет-преобразований.

1.5. Влияние искажений и дискретизации по времени сигнала на вейв лет-коэффициенты.

Выводы по главе 1.

2. Методы повышения эффективности вейвлет-преобразований при обработке, сжатии и восстановления радиотехнических сигналов.

2.1. Разработка высокоэффективных методов и алгоритмов сжатия информации.

2.2. Применение вейвлет-преобразования для разрешения близких по частоте сигналов или даже частично или полностью перекрывающих друг друга.

2.3. Вейвлет-фильтрация сложных по структуре и спектру сигналов.

2.4. Модифиция вейвлет-фильтров первого и второго поколения для обработки сигналов.

Выводы по главе 2.

3. Разработка методических рекомендаций по реализации методов обработки сигналов с помощью теории вейвлетов.

3.1. Алгоритм быстрого непрерывного вейвлет-преобразования с ^ применением гауссовских вейвлетов.

3.2. Новые методы фильтрации сигнала с применением лифтинг-схемы.

3.3. Дискретизация вейвлет-преобразования с применением фреймов.

3.4. Оптимизация алгоритма вычислений вейвлет-спектра.

Выводы по главе 3.

4. Практические приложения вейвлет-анализа радиотехнических сигналов.

4.1. Применение вейвлет-преобразования к модельным сигналам.

4.2. Методы компрессии двухуровневых изображений.

4.3. Применение вейвлет-анализа к обработке изображений.

4.4. Выделение особенностей изображения.

4.5. Восстановление зашумленных сигналов и сжатие информации.

4.6. Обратные некорректные задачи.

Выводы по главе 4.

Актуальность проблемы. Успешное воплощение перспектив развития инфотелекоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи формирования, приема, передачи и обработки информации в реальном масштабе времени, что часто совершенно необходимо для цифровых систем связи. Осуществление сложных алгоритмов ЦОС в реальном времени требует, в свою очередь, применения эффективных базовых алгоритмов (спектрального анализа, фильтрации и синтеза сигналов), экономично использующих соответствующие технические ресурсы. Особую актуальность среди прочих задач цифровой обработки сигналов при их передаче по радиоканалам связи приобретают методы обработки, а также сжатие и восстановления передаваемых сигналов с малыми искажениями.

В настоящее время вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и при этом гибких средств исследования и обработки радиотехнических сигналов: помимо возможностей! их фильтрации и сжатия, анализ> в базисе вейвлет-функций позволяет решать < задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных, осуществлять поиск точек соединения данных, отыскивать признаки фрактальности информации. В основе подобных возможностей, обеспечивающих вейвлет-анализу весьма перспективное будущее, лежит природа его многомасштабности.

В отличие от традиционно и исторически- применяемого при анализе сигналов преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейв-лет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и способны непосредственно обрабатывать такие особенности сигналов, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.

Вейвлет-преобразование привносит в обработку данных дополнительную степень свободы. Так, например, анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Проблема тесно связана с двумя другими - шумоподавлением и определением параметров сигнала по результатам наблюдения. Наиболее известны применения вейвлет-анализа для подавления шума. Не отвергая значимость анализа Фурье, вейвлет-методы успешно дополняют, а иногда способны и полностью заменить обработку данных традиционными методами.

Локализационные свойства вейвлет-анализа заложены в его структуре. Вейвлет-анализ обладает способностью выделять из сигнала компоненты разного масштаба. Известно, что в настоящее время слабо изучены возможности вейвлет-анализа в задаче разделения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга. Это часто используют для того, чтобы разделить исходные данные на составляющие (аналогично тому, что происходит при фильтрации с помощью преобразования Фурье). Положительные свойства вейвлетов, проявленные в других задачах, делают актуальной проблему поиска путей разделения близких по частоте сигналов методами вейвлет-анализа. Внедрение в механизмы обработки данных методов вейвлет-анализа наглядно показывает их способность комплексно подходить.к решению задач.

Вопросами передачи-и эффективных алгоритмов обработки и сжатия нестационарных сигналов занимались Ж. Морле, А. Гроссман, И. Добеши, И. Мейер, С. Малла, Г. Лэм, Дж. Макклелан, А. Оппенгейм, Л. Рабинер, Р. Хем-минг. Заметный вклад в развитие вейвлет-анализа внесли отечественные ученые В.П. Воробьев, В.Г. Грибунин, В.В. Витязев, В.П. Дворкович, В.Г. Кар-ташевский, Д.Д. Кловский, Б.Д. Матюшкин, Ю.Б. Зубарев и другие. Продолжающаяся публикация работ, посвященных глубокому исследованию отдельных способов сокращения сложности алгоритмов вейвлет-анализа, свидетельствует о необходимости обобщающего подхода в этом направлении. Однако разработанные методы имеют определенные недостатки, поэтому сохраняется потребность к созданию новых методов цифровой обработки и сжатия сигналов на основе вейвлет-анализа.

Решение этой серьезной научной проблемы определяет актуальность диссертационной работы, направленной на разработку новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки сигналов в системах передачи информации, что позволит существенно повысить скорость, пропускную способность и верность передачи информации и более эффективно использовать каналы связи различного назначения в интересах всех отраслей экономики страны.

Цель работы. Сложность алгоритмов, используемых для устранения из- • быточности сигналов, неуклонно растет — это касается не только объема вычислений, но и базы построения алгоритмов, большинство которых основано на использовании дискретных ортогональных преобразований для предварительной обработки данных. Вместе с тем, задача фильтрации, сжатия и восстановления сигналов ставится практикой, что требует при ее решении постоянного внимания-к возможностям аппаратуры. Целью работы является исследование теоретических вопросов и разработка новых методов и алгоритмов вейвлетной обработки сигналов в системах передачи информации для фильтрации, а также построение соответствующих алгоритмов сжатия, распознавания и оценки локальных особенностей сигналов, пригодных для практического применения, на-базе персо нальных компьютеров. Создание программного обеспечения, реализующего методы непрерывного вейвлет-анализа для обработки передаваемой информации:

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе рассмотрены следующие вопросы:

1. Анализ современных теоретических достижений в области вейвлет-преобразования для их возможного использования в задачах обработки, сжатия и интерпретации передаваемой информации.

2. Исследование возможности и эффективности использования различных базисных вейвлет-функций при обработке и сжатии нестационарных радиотехнических сигналов.

3. Разработка новых методов теоретического анализа и синтеза вейвлет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления радиотехнических сигналов.

4. Разработка программного обеспечения, реализующего» вейвлет-преобразование для широкого набора базисных вейвлет-функций, как основы для создания новых методов анализа передаваемой информации.

Методы исследования. В работе использовались методы математического и функционального анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, алгоритм быстрого преобразования Фурье, непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования. Значительную часть исследований представляли компьютерные эксперименты по обработке реальных сигналов, направленные на получение необходимых статистических данных и определение характеристик итоговых алгоритмов.

Научной новизной обладают следующие результаты работы.

1. Новые методы» и алгоритмы вычисления вейвлет-преобразования радиотехнических сигналов.

2. Метод вейвлет-анализа для разрешения близких по частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.

3. Анализ влияния искажений передаваемого сигнала на его вейвлет-образ.

4. Методы вейвлет-преобразования для обработки, распознавания и сжатия изображений:

5. Методические рекомендации по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных* сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации.

6. Компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.

Практическая ценность. Предложена компьютерная технология вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации. Содержание работы носит прикладную направленность, поэтому полученные теоретические результаты служат достижению целей, связанных с разработкой конкретных алгоритмов-и схем компрессии и декомпрессии радиотехнических сигналов. Применение полученных алгоритмов обработки сигналов возможно для широкого класса систем передачи информации, прежде всего, в мультимедийных и сетевых- компьютерных приложениях.

Программные реализации предложенных методов позволяют автоматизировать процессы обработки сигналов и расширяют возможности дальнейших исследований.

Разработанные алгоритмы, обладают высокими характеристиками, по скорости, качеству обработки и сжатию данных, которые соответствуют современному мировому уровню.

Основные научные положения, выносимые на защиту

1. Новые методы анализа и синтеза вейвлет-преобразований для обработки, сжатия и восстановления,радиотехнических сигналов.

2. Метод вейвлет-анализа дляразрешения-близких по-частоте сигналов, а также частично или почти полностью перекрывающих друг друга.

3. Анализ влияния искажений передаваемого сигнала,на его вейвлет-образ.

4. Методические- рекомендации' по применению вейвлет-анализа для оценки спектрально-пространственных характеристик нестационарных сигналов при обработке и сжатии передаваемой информации:

5. Компьютерная технология? вейвлет-преобразования, адаптированная к специфике и особенностям передаваемой по каналам связи информации.

Основные результаты диссертационной автора работы внедрены на предприятиях ОАО «Концерн радиостроения «ВЕГА», ЦНИИ;«Радиосвязь», в.НИИ космических систем - филиал FKHni], имени М.В. Хруничева, в институте общей физики им. A.M. Прохорова РАН, применены в учебном процессе в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) и Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете). Результаты работы отражены в 4 учебных пособиях, предназначенных для студентов, обучающихся по направлению подготовки 210300 - "Радиотехника".

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались с 2007-го по 2010 гг. на научно-технических конференциях и семинарах в Московском энергетическом институте (техническом университете), Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете), Московском государственном техническом университете гражданской авиации, на конференциях и заседаниях НТОРЭС им. А.С. Попова, на международных и Всероссийских научно-технических конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ: 4 статьи в ведущих научных журналах и изданиях, выпускаемых в Российской Федерации и рекомендуемых ВАК для публикации основных материалов диссертаций, представляемых на соискание ученой степени кандидата наук; 10 статей в сборниках трудов международных научно-технических конференций; 2 статьи в научно-технических сборниках издательств МИ-РЭА и других высших учебных заведениях и научно-исследовательских институтов; 4 учебных пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений, списка использованных источников информации, включающего 126 наименований; содержит 186 страниц текста, 43 рисунков и 10 таблиц.

Выводы по главе 4

1. Рассмотрены вопросы практических приложений вейвлет-анализа радиотехнических сигналов.

2. Применение вейвлет-преобразования к модельным сигналам. Исследование вейвлет-преобразования к модельным сигналам рассмотрено на ряде примеров гармонических функций. Показано, что вейвлет-преобразование может быть использовано для выявления наличия наиболее крупномасштабной составляющей сигнала - тренда, ее характера, а так же для анализа каскадных процессов, фрактальных и мультифрактальных множеств, имеющих иерархическую природу.

3. Рассмотрены различные подходы к компрессии двухуровневых изображений. Рассмотрен способ построения преобразования полутоновых изображений лиц в набор дуг различной длины с помощью так называемых банановых вейвлетов, получивших свое название из-за их формы. Степень сжатия информации достигает нескольких десятков раз, т.е. в базе данных хранится лишь 2-3 % от исходного объема данных.

4. Применение вейвлет-анализа к обработке изображений. Исследована задача выделения и локализации краев (границ), которые представляют собой кривые на изображении, вдоль которых происходит резкое изменение яркости или ее производных по пространственным переменным. Рассмотрено применение дифференциальных операторов для локализации участков изображения, на которых можно обнаружить фрагменты края.

5. Предложены методы восстановление зашумленных сигналов и сжатие информации на основе вейвлет-преобразования.

6. Решены обратные некорректные задачи при применении вейвлет-преобразования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной диссертационной работе исследованы различные аспекты применения вейвлет-преобразований для цифровой компрессии сигналов, как со стороны формального теоретического анализа, так и со стороны тех требований и ограничений, которые применены на конкретные вычислительные схемы и алгоритмы. В целом содержание работы носит прикладную направленность, поэтому большинство теоретических результатов подкреплено вычислительными экспериментами, результаты которых не только служили иллюстрацией или проверкой теории, но часто давали толчок и представляли собой исходный материал для дальнейших изысканий. По результатам проведенных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие выводы.

1. При сжатии изображений с использованием структур вейвлет-спектров правило выбора моделей следует строить по комбинированному контексту. Полученный на этой основе новый эффективный алгоритм компрессии цифровых сигналов с потерями, который разработан по результатам изучения статистических свойств спектров дискретных вейвлет-преобразований, показывает высокие характеристики сжатия при сложности реализации, приемлемой для широкого круга приложений.

2. Вейвлет-преобразования являются основным инструментом, используемым для декорреляции данных при компрессии сигналов. В случае, когда математическая модель дискретного сигнала задается матрицей, для анализа эффективности декоррелирующей обработки целесообразно применение предложенного в работе критерия средней избыточной энтропии.

3. Высокую эффективность применения в различных схемах и алгоритмах сжатия данных имеет метод многомодельного арифметического кодирования, а одним из ключевых моментов в разработке схем компрессии является определение правил для выбора текущей модели кодирования.

4. При использовании программного обеспечения, которое создано на основе разработанных алгоритмов достигается высококачественная обработка сигналов (очистка шумов, сжатие и восстановление сигналов).

В целом в диссертационной работе получены новые научные результаты, теоретические положения которых позволили в значительной степени развить и формализовать процедуры анализа и синтеза схем обработки цифровых сигналов и изображений, основанных на использовании вейвлет-преобразований. Выработанные подходы и рекомендации привели к построению конкретных схем и алгоритмов компрессии и кодирования, многие из которых были реализованы программно на компьютерах и микропроцессорах и экспериментально подтвердили эффективность своего применения.

1. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 2005.671 с.

2. И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск, НИЦ регулярная и хаотическая динамика, 2001.

3. Н. Астафьева. Вейвлет анализ: основы теории и примеры применения. Успехи Физических Наук, 166 (1996), № 11, с. 1145.

4. Добеши И. Всплески и другие методы локализации в фазовом пространстве // Международный конгресс математиков в Цюрихе. М: Мир, 1999. С. 84- 108.

5. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. ВУС, 1999. С.1-204.

6. Егорова Е.В. Вейвлетный алгоритм цифрового сжатия информации. «Нелинейный мир», 2009, т.7, №11, с. 872-876.

7. Егорова Е.В. Современные направления развития вейвлет-анализа. Труды 58-й научной-технической конференции МИРЭА. 2009 г., Москва.

8. Егорова Е.В., Базитов А.В., Пластовский И.И., Стукас А.В. Цифровое представление и сжатие изображений. 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение». 26-28 марта 2008г., Москва.

9. Кравченко В.Ф. Новый класс W-систем функций Кравченко-Рвачева на основе семейства атомарных функций. Радиотехника, 2005, №8, с. 61-66.

10. Ю.Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов: Учебное пособие. — СПб, ИАнП РАН, 1999, 152 с.

11. Beylkin G, Coifman R, Rokhlin V Comm. Pure Appl. Math. 44 141 (1991)

12. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника, 2003.

13. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. М.: Радиотехника, 2005.

14. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Смирнов Д.В. Новый класс вейвлетов на основе атомарных функций. 5-я Международная конференция и выставка. Цифровая обработка сигналов и ее применение, Москва, 12-14 марта, 2003, с. 6-8.

15. Егорова Е.В. Усилительные модули передатчиков систем связи. Труды 64-й научной сессии, посвященной Дню радио. 13-14 мая 2009 г., Москва.

16. Daubeches. Ten Lectures on Wavelets. MIAN, Philadelphia, 1992.

17. Arneodo A, Grasseau G, Holschneider M Phys. Rev. Lett. 61 2281 (1988)

18. Collineau S, Brunet Y Boundary-Layer Meteorology 65 357 (1993)

19. Давыдов А.В. Вейвлетные преобразования сигналов. Интернет ресурс: http://prodav.narod.ru/wavelet/index.html

20. Holschneider М J. Stat. Phys. 50 963 (1988)

21. Г. Ососков, А. Шитов. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы. Сообщение ОИЯИ Р 11.97-347. Дубна, 1997.

22. Егорова Е.В., Нефедов В.И. Вейвлетный алгоритм сжатия изображений. Труды Научно-практической конференции "Инновации в условиях информационно-коммуникационных технологий". 1-10 октября 2008 г., Сочи.

23. М. Altaisky. On Standard and Non-Standard Applications of Wavelet Analysis. JINR Rapid Communications, vol. 74 (1995), № 6, pp. 35-60.

24. G. Ososkov, A. Shitov. Gaussian Wavelet Features and their Applications for Analysis of Discretized Signals. Computer Physics Communications, vol. 126(2000), pp. 149-157.

25. M. Altaisky et al. WASP (Wavelet Analysis of Secondary Particles distributions) package. Long Write Up and User's Guide. // M. Altaisky, G. Ososkov, A. Soloviev, A. Shitov, A. Stadnik. JINR Communication, Dubna, 2001.

26. Егорова E.B., Пластовский И.И., Стукас A.B., Нефедов В.И Нелинейные искажения в усилительных СВЧ-модулях. 11-я Международная научно-техническая конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применение" 26-28 марта 2009 г., Москва, Россия.

27. А. Cohen, I. Daubechies, P. Vial. Wavelets on the Interval and Fast Wavelet Transforms. Aplied and Computational Harmonic Analysis 1, 1993, pp. 54-81.

28. Z. Struzik. Revealing Local Variability Properties of Human Heartbeat Intervals with the Local Effective Holder Exponent. Information Systems, INS-R0015, 2000.

29. A. Arneodo, G. Grasseau, M. Holschneider. Wavelet Transform of Multi-fractals. Phys. Rev. Lett., vol. 61 (1988), p. 2281.

30. Polikar R. Введение в вейвлет-преобразование. Пер. Грибунина В.Г. -СПб, АВТЭКС. Интернет ресурс: http://www.autex.spb.ru.

31. Миронов В.Г., Чобану М.К., Барат В. А. Применение вейвлет-преобразования для цифровой обработки одномерных и двумерных сигналов // Докл.4-й межд. конф. и выст. «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва. 2002. Т.П, С.415-417.

32. Клюшкин В.И., Чобану М.К. Программный комплекс для многоскоростной обработки двумерных сигналов // Докл. 4-ой между нар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'02). Москва. 2002. Т.2, С.413-415.

33. Дворкович В.П., Дворкович А.В., Иртюга В.А., Тензина В.В. Новая система мультимидийного вещания на мобильного абонента // Докл. 7-ой между-нар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'05). Москва. 2005.Т.1, С.185.

34. Алтайский М.В., Крылов В.А. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов // Вестник РУДН, Прикладная и компьютерная математика. 2002. №1. С.98-106.

35. Васильев К.К., Герчес В.Г. Рекуррентные методы обработки изображений // Тез. докл. НТК «Научно-технический прогресс и инженерное образование», ч.З, Ульяновск: УлПИ, 1990, с. 11-12.

36. Егорова Е.В., Мороз А.Н., Оганян А.Б., Есин С.В. Теория и практика вейвлетов в радиотехнике и связи. Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, 10-13 ноября 2008 г., Москва.

37. Гинзбург В.М. Формирование и обработка изображений в реальном времени. М.: Радио и связь, 1986 - 232 с.

38. Мастрюков Д.К. Алгоритмы сжатия информации. //«Монитор»; 7-8, 1993

39. Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов. //Учебное пособие, СПб. 1999.

40. Кобелев В.Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сигналов // Тез. обл. научн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Ярославль, 1999. С.38-39.

41. Кобелев В.Ю. Сжатие сигналов и изображений при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук (защищена 12.05.06г).

42. Гришин М.В. Методы сжатия цифровых изображений на основе дискретных ортогональных вейвлет преобразований. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук (защищена 13.02.05г).

43. Думский Д.В. Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук (защищена 13.06.05г).

44. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. -М.: Высшая школа, 2000. 266с.

45. Миронов В.Г. Уточнение моделей дискретно аналоговых систем обработки двумерных сигналов // Докл.7-й межд. конф. и выст. «Цифровая обработка сигналов и ее применения»(Б8РА'05). Москва. 2005. Т.2, С.455-457.

46. Дьяконов В. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. 608с.

47. Чобану М.К., Большакова О.В. Применение метода достройки матрицы для синтеза многомерных банков фильтров // Докл. 7-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'05). Москва. 2005.Т.2, С.457-459.

48. Deutsch P., Gailly J-L. ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. RFC1950. 1996.

49. Интернет ресурс: http://compression.ru/download/articles/lz/rfcl950pdf.rar

50. Моисеев A.A., Волохов B.A., Корепанов И.В., Новоселов С.А. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-фильтров // Докл. 8-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'06). Москва. 2006.Т.2, С.393-396.

51. Малоземов В.Н., Маршарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №1. С. 111-157.

52. Красильников Н.Н. Цифровая обработка изображений. М.: Вузовская книга, 2001.320 с.

53. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988,488 с.

54. Engan М., Casner S., Bormann С. IP Header Compression over PPP. -RFC2509. February, 1999.

55. Петров A.B. Нелинейные методы цифровой обработки сигналов в частотной области в каналах со сложными видами помех. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук (защищена 23.05.03 г).

56. Donoho, D.L. (1995), "De-Noising by soft-thresholding", IEEE Trans, on Inf. Theory, vol.41,3,pp.613-627. Интернет ресурс: www-stat.stanford.edu/~donoho/

57. Нефедов В.И., Егорова Е.В., Пугачев О.И., Герасимов А.В. Применение цифровой обработки для фильтрации шума в звуковых сигналах. «Нелинейный мир», 2009, т.7, №11, с. 869-871.

58. Корн, Г., Корн, Т. "Справочник по математике для научных работников и инженеров". Москва, "Наука", 1977.

59. W. Sweldens, P. Schroder. Building your own Wavelets at Home (in Wavelets in Computer Graphics). — ACM SIG-GRAPH Course Notes, 1996, pp. 15-87.

60. Гроссман и Морле, 1984. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. P.723-736.

61. Scargle J.D. The Quasi-Periodic Oscillations and Very Low Frequency Noise of Scorpius X-l as Transient Chaos: A Dripping Handrail? // Ap. J. Vol. 411. L91-L94.

62. Scargle J.D.Wavelet and Other Multi-resolution Methods for Time Series Analysis. Statistical Challenges in Modern Astronomy II /Ed. G.J.Babu and E.D.Feigelson. P. 333-347. N.Y.: Springer-Verlag.

63. W. Sweldens, "The lifting scheme: A custom-design construction of biortho-gonal wavelets," Appl. Comput. Harmon. Anal., vol. 3, no. 2, pp. 186-200, 1996.

64. W. Sweldens. The Lifting Scheme: A Construction of Second Generation Wavelets. — SIAM J. Math. Anal, vol. 29 (1997), №. 2, pp. 511-546.

65. W. Sweldens. The Lifting Scheme: A new Philosophy in Biorthogonal Wavelet Constructions. In Wavelet Applications in Signal and Image Proc-essing III. — Proc. SPIE 2569, 1995, pp. 68-79.

66. W. Sweldens. Wavelets and the lifting scheme: A 5 minute tour. — Zeit-schrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 76 (Suppl. 2) (1996), pp. 41-44.

67. Гонсалес P. Цифровая обработка изображений. M.: Техносфера, 2006 -С. 948-950

68. W. Sweldens. Nonlinear Wavelet Transform for Image Coding via Lifting.

69. Briggs W.M., Levine R.A. Wavelets and field forecast verification. Mon. Wea. Rev. 1997, Vol.125, 1329-1339.

70. Turler et al. 30 years of multi-wavelength observations of 3C273 // A&AS. Vol. 134. P. 89-101.

71. Балагур A.A., Барский Д.Р., Егорова E.B., Михалин О.А. Методические указания по выполнению лабораторной работы №1 «Основы радиоэлектроники и связи». МИРЭА, 2009.

72. Егорова Е.В., Балагур А.А., Барский Д.Р. Методические указания по выполнению лабораторной работы №3 «Сетевые информационные технологии». МИРЭА, 2009.

73. Егорова Е.В., Белянина Е.К., Балагур А.А., Федорова Е.В., Мельчаков

74. B.Н. Методические указания по выполнению лабораторных работ №2, 3, 6 «Основы метрологии. Электрорадиоизмерения». МИРЭА, 2009.

75. Федорова Е.В., Мельчаков В.Н., Егорова Е.В. Методические указания по выполнению лабораторной работы №4 «Метрология и радиоизмерения». МИРЭА, 2009.

76. S.G.Chang, В. Yu, М. Vetterli: IEEE Trans. Image Processing, (2000) Vol.9.1. C.1532-1539

77. A.R. Calderbank, I. Daubechies, W. Sweldens. Wavelet Transform that Map Integers to Integers.

78. Trimble V. Late-Night Thoughts of a Classical Astronomer. Statistical Challenges in Modern Astronomy II /Ed. G.J.Babu and E.D.Feigelson. P. 365-385. N.Y.: Springer-Verlag.

79. Новинский Н.Б., Нечепаев В.В. Проблемы фрактального кодирования изображений., в материалах 1-й Международной Конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», 30 июня — 3 июля, 1998, М., МЦНТИ, книга III.

80. Yule J.U. On a Method of Investigation Periodicities in Disturbed Series with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers. // Phylos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. Vol. 226. P.267-298.

81. Витязев B.B. Цифровые процессоры обработки сигналов. Учеб. пособие. — Рязань: РРТИ, 1989. — 80 с.

82. Shukla J. et al. Dynamical seasonal prediction. Bull.Amer.Met.Soc., 2000, Vol.81, No.l 1,2593-2606.

83. Крошье P., Рабиииер Л. Интерполяция и децимация цифровых сигналов; методический обзор// ТИИЭР. Т.69. № 3.1 981.

84. Егорова Е.В., Самохина Е. В., Стариковский А.И. Спектральные методы исследования нелинейных СВЧ-устройств. «Наукоемкие технологии», 2008, т. 6, №12, с. 27-29.

85. Кириллов С,Н„ Зорин С,В„ Бахурин С,А, Синтез оптимальных скей-линг и интерполирующих функций при ограничении на реализуемость устройств обработки, // 6-ая Международная конференция "Цифровая обработка сигналов и ее применение", М. 2004, Т.1, С. 30-31,

86. Акимов П.С., и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. М.: Радио и связь, 1994. 256 с.

87. Ковалев Э.И., Кучерявенко С.В., Федосов В.П. Вейвлет-анализ для обработки радиотехнических сигналов. Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2004. 60 с.

88. М. Kass, A. Witkin, D. Terzopoulos, .Snakes: Active Contour Models., International Journal of Computer Vision, 1(4): 321-331, 1988

89. Хорн Б.К.П. Зрение роботов: Пер. с англ. М.; Мир, 1989. - 487 е., ил.

90. T.F Cootes, С J.Taylor. Statistical Models of Appearance for Computer Vision., Technical report, University of Manchester, Wolfson Image Analysis Unit,-Imaging Science and Biomedical Engineering, Manchester M13 9PT, United Kingdom, September 1999.

91. L. Yuille, D. Cohen, P. Hallinan. .Feature Extraction from Faces using De-formable Templates., In CVPR, San Diego, CA, June 1989.

92. Criffith A.K., Edge Detection in Simple Scenes Using A Priori Information, IEEE Trans. On Computers, 22, № 5, 551 561. 1971.

93. Кириллов С.II., Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующей функции // Доклады 7-й международной конференции Цифровая обработка сигналов и ее применение Москва, 2005. Т. 1. С. 98-101.