автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение полиномиального интегрального уравнения и его применение к исследованию некоторого класса волновых моделей

На правах рукописи

Юмова Катерина Лхамацырсновна " Г" ^ Д

п МДр Ш

РЕШЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРОГО КЛАССА ВОЛНОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Иркутского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бельтюков Б.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сидоров H.A.

кандидат физико-математических наук, доцент Апарцин A.C.

Ведущая организация: Институт динамики систем и теории

управления СО РАН

Защита состоится " ' Т " - 2000 г. в 77 часов на

заседании диссертационного совета Д 063.32.04 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003, Иркутск, б. Гагарина, 20, 1-ый корпус ИГУ)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (Иркутск, б.Гагарина, 24)

Автореферат разослан

ч /~0 м CQC (i - -1---

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совету к.ф.-м.н., доцент

Н.Б. Бельтюков

ЗШ,

ЬВЫсЦОЬ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При решении различных прикладных задач (в частности, в теории нелинейных цепей и идентификации нелинейных динамических объектов) широко распространен метод рядов Вольтерра. При этом речь чаще вдет о частной сумме такого ряда, называемой полиномом Вольтерра.

Полиномом или полиномиальным оператором Вольтерра называется оператор вида

ь ь ь

а а а

где Ка,...,Кг — непрерывные функции своих аргументов. В работах

Даугавета И.К., Ваеэкг I ,Ргеп1ег Р.М, ЫШеБси V. показано, что произвольный нелинейный оператор при определённых условиях можно сколь угодно точно приблизить полиномом Вольтерра вида (1). Рассмотрим интегральное уравнение следующего вида ь ь ь

х(0 = ^(0+ [...]Х(/,^,...7Уг)ф',)...г(л'гА, (2)

а а а

правая часть которого представляет собой полином Вольтерра (1). Будем называть в дальнейшем уравнения вида (2) полиномиальными интегральными уравнениями.

Для моделирования профиля волны установившегося движения жидкости Некрасовым А.И. было предложено нелинейное интегральное уравнение относительно угла х(/) наклона касательной к профилю волны. Для пологих волн (угол х(/) мал) при некоторых упрощающих предположениях (физически вполне оправданных) нами из уравнения Некрасова получено аппроксимирующее нелинейное интегральное уравнение вида

ь ь ь

а а а

которое является частным случаем уравнения (2) при г = 2 (в отличие от более грубого аппроксимирующего линейного уравнения, полученного из общего уравнения и использованного Некрасовым А.И).

Отметим также, что, как указано Ермаковым С.И., к многомерному аналогу уравнения (2) сводится уравнение Больцмана, дифференциальная форма которого описывает соотношение баланса числа молекул газа в элементарном объеме фазового пространства (в данной работе многомерный случай не рассматривается).

С учётом вышеизложенного, исследование уравнения (3), на наш взгляд, является вполне актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения.

Все полученные в данной работе результаты, как правило, без особого труда непосредственно обобщаются на случай произвольного г.

При решении уравнений вида (2) и (3) естественно применение, в первую очередь, таких классических приближенных методов решения линейных и нелинейных интегральных уравнений, как метод Неймана, метод последовательных приближений (который для нелинейных уравнений отличен от метода Неймана), метод Ньютона, метод вырожденных ядер и др. В области приближенных методов решения различных типов интегральных уравнений известны, например, работы Бельтюкова Б.А. и его учеников.

Кроме того, для такого класса уравнений возникает вопрос о ветвлении решений при некоторых значениях параметра X.

В теории ветвления построение решений более общего уравнения

*) Для целей более полного исследования нами в уравнение (3) введены параметры.

Bx =ÄF0i + £ Fltx^1 . (4)

/+*> 2

где В = I — А , 1 -единичный оператор, А - линейный оператор, обычно производится в виде рядов по степеням малого параметра и путем применения итерационных методов.

В работах Вайнберга М.М. и Треногина В.А. выделен широкий класс уравнений, названный квазирегулярным, для которого решения могут быть представлены в виде сходящихся рядов. Путём исследования уравнения разветвления получают информацию о числе и виде всех решений и, используя эту информацию, применяют метод неопределенных коэффициентов.

В работах Сидорова H.A. и его учеников разработаны эффективные итерационные методы вычисления разветвляющихся решений. При построении этих решений широко используется явная и неявная параметризация. Предлагается N-ступенчатый итерационный метод вычисления разветвляющихся решений нелинейных уравнений, указаны способы выбора начального приближения, регуляризации и модификации метода в случае а - параметрических семейств решений.

Согласно традиционному подходу, для изучения ветвления решений уравнения (4) рассматривается случай, когда 1 является характеристическим числом линейного оператора А. Здесь для уравнения (3) изучается ветвление решений как в случае характеристического значения параметра Л, так и значений параметра Л из некоторой окрестности этого характеристического числа.

Заметим, что для нахождения решения в окрестности

характеристического числа Л0 обычно применяется метод аналитического

продолжения. Однако существенным ограничением этого метода является необходимость знания точного решения x*(t) уравнения (3) при Л = Л0- В

данной работе ветвление решений при значениях параметра ЛфЯ0

исследуется с помощью иного подхода, не использующего х*(г).

Работы, посвященные приближенным методам решения уравнений (2) и (3), в известной нам литературе отсутствуют как в случае регулярного, так и для характеристического значения параметра К.

Применяя методику, предложенную в реферируемой работе, можно решить вопрос о ветвлении решений уравнения (3) для значений параметра Л., являющихся характеристическим числом ядра, а также и для значений параметра X из некоторой окрестности характеристического числа, не применяя продолжения решений.

Цель работы.

Разработка и теоретическое обоснование некоторых эффективных приближенных методов решения полиномиального уравнения как в случае регулярного, так и для характеристического значения параметра X .

Изучение вопроса о ветвлении решений для заданного значения параметра Я в малой окрестности характеристического числа.

Применение полученных результатов для исследования некоторых волновых процессов.

Случай многомерного ветвления в работе не рассматривается.

Общая методика работы. Для построения алгоритмов и установления условий сходимости используются различные аспекты общей теории функциональных уравнений, приближенных методов и теории ветвления. Предпочтение отдаётся таким теоремам сходимости, которые одновременно с утверждением сходимости этих алгоритмов позволяют установить также область расположения точного решения и область его единственности. Решения ищутся непрерывные, а сходимость методов изучается равномерная по той причине, что на практике преобладает интерес к возможно более точному представлению непрерывного решения равномерно по всей области определения.

Научная новизна и практическая значимость работы. В работе получены следующие основные результаты:

6

1. Построен ряд практически реализуемых алгоритмов для решения уравнения (3) в случае регулярного значения параметра.

2. Получены алгоритмы построения разветвляющихся решений уравнения (3) при простом характеристическом значении параметра Х=Х0:

3. Получены алгоритмы построения множества значений параметра Л*(с,¡л), зависящих от некоторой постоянной с, расположенных в окрестности Хо, для которых имеет место ветвление решений уравнения (3), с одновременным получением алгоритмов построения этих решений;

4. Изучен и исследован вопрос о ветвлении решений уравнения (3) для заданного значения параметра X, а именно, решена обратная задача нахождения постоянной с, при которой я * совпадает с заранее

заданным значением параметра 1. Для этой цели построены специальные итерационные методы, получены условия сходимости соответствующих алгоритмов.

Для построенных алгоритмов сформулированы и доказаны теоремы, которые одновременно являются теоремами существования решения, области расположения точного решения и области единственности. Получены оценки погрешности приближенных решений.

В работе рассмотрен один случай ветвления, когда следующие коэффициенты уравнения разветвления для уравнения (3) удовлетворяют условию

Ь01ФО (смысл 120, £01 см. (7)) (5)

Предложенную методику можно без особого труда распространить и на другие случаи ветвления (при других условиях на коэффициенты уравнения разветвления для уравнения (3)) для простого характеристического значения параметра Л .

5. Предложенные в работе алгоритмы были применены для исследования некоторых волновых процессов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах по методам вычислений в Иркутском государственном педагогическом университете (1980-1999 г.г., рук. профессор Б.А.Бельтюков), на первой Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (Киев, 4.10-6.10. 1983г.), на первой областной математической конференции (Иркутск, 29.11-1.12.1982г.), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе (Иркутск,2.02-4.02. 1999), на итоговых научно-методических институтских и зональных конференциях (1980-1999г.г.)

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения и списка литературы.

Текст диссертации изложен на 118 страницах машинописного текста, список литературы включает 81 наименование.

Содержание работы

Во введении охарактеризованы актуальность выбранной темы, теоретическая и практическая значимость исследования, проведён обзор и краткая характеристика работ, близких к теме диссертации, сформулирована цель работы, а также схематично излагаются её основные результаты.

В главе I исследовано применение традиционных аналитических методов для решения уравнения (3) в случае регулярного значения параметра X: метода Неймана, некоторых итерационных методов (метода простой итерации, метода Ньютона, метода с неравноправными аргументами), метода вырожденных ядер. Приводятся и доказываются теоремы, которые наряду с доказательством сходимости метода позволяют сделать заключение о существовании точного решения, области его расположения и области его единственности. Проведено сравнение численной эффективности некоторых из приведенных алгоритмов.

8

В § 1 главы I построено решение уравнения вида (3) в виде ряда по целым степеням параметра р в случае, когда значение параметра X является регулярным. Выведены рекуррентные формулы коэффициентов ряда, получена эффективная оценка радиуса и быстроты сходимости метода Введено понятие «би-резольвенты» для уравнения (3) (аналог резольвенты Фредгольма), получено уравнение «би-резольвенты». Введем обозначения

_г>

а а

—2ЬЬ аа

л

а а Р= 1

ь

= ,52) + Я ^С? (/,, 77)К 2

а

есть резольвента ядра ЛГ,(г,у,) при Я = лгс(г,= л/,,т?)+1][¿V,(Г,7Ьх,чШх,¥2 •

а

Ряд

назовем «би-резольвентой» (в отличие от резольвенты в случае обычного линейного уравнения Фредгольма). Тогда решение уравнения (3) представимо

х*(0 = М Ко(1) + л)о0,7])Ко(г?)с1т} Г * К 0 ,

где

ь Ь Ь Ь ,н-1

г* к, Цц^^^к,^^ +...+/Г +...

а а а а '='

Относительно «би-резольвенты» справедливо

уравнение

_ь

_ 4 _2 * Ь

а а а

Ь _Ь

а а

Ь Ь

ч

+

а а

где произведение рядов определено следующим образом:

л =3 /> = 1

Рассмотренный здесь алгоритм может применяться как самостоятельно, так и в сочетании с итерационными методами, как алгоритм отыскания начального приближения.

В § 2 главы I рассматривается применение итерационных методов для решения уравнения (3). Особенность этого параграфа состоит в том, что здесь рассмотрены основные случаи линеаризации, возможные для уравнения (3). Причем два первых из предложенных итерационных методов представляют собой модификации метода последовательных приближений. Следующие два итерационных метода предполагают решение линейного интегрального уравнения Фредгольма на каждом шаге итерации. Один из этих методов является аналогом метода Ньютона, а другой - метода с неравноправными аргументами. Проведено сравнение рассмотренных в этом параграфе итерационных методов в смысле

10

быстроты сходимости. В условиях сходимости метода Неймана из §1 проведено его сравнение с методом последовательных приближений.

В § 3 рассмотрено решение уравнения с вырожденными ядрами. Прямым способом решения уравнения является сведение его к системе численных уравнений. Для решения полученной системы применены метод простой итерации и метод Ньютона. Доказана теорема об оценке погрешности решения уравнения с вырожденным ядром.

Получено приближенное решение уравнения (3) методом замены ядер близкими вырожденными, установлена оценка погрешности этого решения.

В главе II построены и исследованы алгоритмы нахождения двух

решений уравнения (3) в случае, когда значение параметра А = Л0 является

простым характеристическим для линейного ядра К//,^.

В § 1 этой главы предложены алгоритмы нахождения двух решений уравнения (3) методом разложения в ряд по дробным степеням параметра [Л при простом характеристическом Л = Ла. Выведены рекуррентные

формулы коэффициентов рядов, получена эффективная оценка радиуса и быстроты сходимости, оценки погрешности приближенных решений, получаемых обрывом ряда, приведены некоторые дополнения и уточнения, возможные для такого вида уравнений, более широкие и отличные от используемых в литературе условиях.

В § 2 рассмотрено применение метода последовательных приближений для нахождения двух решений уравнения (3). Для каждого из решений найдена область существования, доказана единственность каждого решения в соответствующей области, получены оценки погрешности каждого из приближенных решений.

В § 3 предложен аналог метода Ньютона для нахождения двух решений уравнения (3) при характеристическом значении параметра Л = Л0. Доказывается теорема о сходимости метода.

В главе III, которая занимает центральное место в данной работе, рассматривается ветвление решений уравнения (3) для X, принадлежащих некоторой окрестности простого характеристического числа Л0 ядра

Kl (t, Л,) . Излагаемые результаты базируются на некоторых идеях из работы Keller H.B. и Langford W.F.

В §1 установлено существование значений параметра x (c,/li), зависящих от некоторой переменной с, расположенных в окрестности X — Л0 и представимых в виде ряда по дробным степеням параметра jli, для которых существуют два решения, также представимых в виде рядов по тем же степеням /л.

В предположении, что Ь20фО, L0l^0, у^О (смысл L20, L0l, у см. (7)) и для некоторой постоянной сф() справедливо неравенство £01 -c2L20 фО, предлагаемый алгоритм для нахождения X*(c,/J) и

решений хи X^ (t) строим следующим образом:

Л'(с,М) = Л0 +£г"Л„,

л=1 (6)

х<'>(0 = £г"+1хУ>(0, /=1.2,

где г = /л2, x(0°(0 = d{0n<p(t), 1 = 1,2,

d™ = с, d<2) = -Ьи-, Я, = - Ь°] +СЧ20

cL20 су

1 «_

К =- — ^(0

л-1

£ А^Л.С^'Л.О + Е л2(х("О

*=1

7 = 0

л

п — 1

7=0

*=1

42)(0 = р„ (0+^(0,

где р, (0 = ^ (Г) + Я, Л , (х<2),+ А2(х<2} , х<2), /),

л-1

(/):= X Я, А, (Xа, 0 4- X Л2 (х<2>, , 0 ,

к=\

1=О

с ^<0[Я,Л, (Р, ,0 + я2 А, (х<2), 0 + А2 (х<2), Р} (0) + л2 (р,, х<2) ,0] Л

•4)1 с -^20

* __л + 1

^(0[Я,Л ,(/>„,0 + £ Я,л, ,№

=

-г2/ и0\ с 20

7=1

Г — с Т

^01 0 20

о

= *„(/) + Л0 ]/Ч/,77)А'0(/7)</77 .

Л

^ 1) = *, 0.* 1)■+ ¿о 1 Г 0, 7 X. (7, К '

а

Ь

= £ 2 О- >52 ) + {^(М^гС^Ь^,^)^,

^(/,7) -резольвента ядра Е{1,т?) = К (/,17)- —^ (0р(7).

Л0

<р{1) и есть нормированные собственные функции ядра /С, (Г) и сопряженного ядра /Г * (/, х, ) соответственно,

а

л, (у,0= >

а

ь ь

а а

Ь__Ь ь_

а,, = ¡^тт, = Шл2(<р,<р,е)с/(, г=(7)

а

Доказана теорема сходимости, указаны ограничения на параметр ¡л, оценки погрешности приближенных решений и приближенного значения параметра Л* (с, ¡л ) для уравнения (3), получаемых обрывом рядов.

Из формул (6) видно, что предложенный алгоритм позволяет одновременно с нахождением Л* (с,/г) получить указанные решения,

причем при определении коэффициента второго решения

используются коэффициенты первого решения.

Возможность варьирования постоянной с позволяет получить множество таких значений параметра Я* (с, /л), для которых существует два решения.

Решена также практически важная обратная задача нахождения постоянной с, при которой Л' (с, /л) из (6) совпадает с заранее заданным

значением параметра Л из окрестности характеристического числа 10. Для этой цели построены специальные итерационные методы.

В § 2, для решения той же задачи, что и в §1, рассмотрен метод, основная идея которого аналогична идее метода последовательных приближений.

Для ур), г(0, у(г) еС[а,Ь\ введем оператор

/,(>-,к,г,/)= Г0 (*)+ IV (у)А , (у + тг,г)+ Л 2{у + тг, у + тг,{), и функционалы

л (<р,Рои) + Л 2(х0 + ту ,х0 + ту ,1))

щ у ) = - -----,

\Я>Л 1О0 + ™ .0)

(<P,V Al(v,t) + A2(x0,v,t)-hA2(x0,v,t) + rA2(v,v,t))

Y(v) = -----г-

(р,Л,(х0 -f rv,0)

Н(р, у,т) = Ц(р, A, (p, /)) + Л,(г/0 + тр, 0) + Л2(щ+тр,щ+тр,1)),

E(p,v,r) = + (<p,A2(u0 + zp,(M) + Л2О,и0 +

где x0(O = xW(O, u0(t)=x(02)(i),

(a{t),p{.,t))=]~^-p{.,t)dt ■

a

Алгоритм для нахождения приближений к /С {с,/л) и решениям x^(i) и

X '(f) строим следующим образом:

ln=^+zW{vnJ, п = 1,2,3,...,

= + (8)

где

rn(t) = pn(t)+dn-cp(t) ,

^„(У = Л« •

Здесь в качестве </„ принимается такое из двух значений

2 Н „ , 2 Н „

d„, =

-Е „ + л]е1 - 4 тЬ 20 N „ ' " - Е „ - „2 - 4 гЬ 20 Я „ '

при котором достигается

где Е„ = Е(рп,»п,т), Н „ = Н(р й,ч„т).

Из (8) видно, что для нахождения п-ого приближения второго решения используется п-ое приближение первого решения.

Установлены области существования каждого из решений, получены оценки погрешности приближенных решений и приближенного значения параметра Л. Метод простой итерации в некоторых случаях обеспечивает

15

более быструю сходимость по сравнению с методом разложения в ряд, который был рассмотрен в предыдущем параграфе.

В § 3 рассматривается применение метода Ньютона для решения этой же задачи. Причем для нахождения п-ого приближения второго решения также используется информация о п-ом приближении первого решения. Установлены области существования каждого из решений, получены оценки погрешности приближенных решений и приближенного значения параметра Л.

Все основные результаты работы иллюстрируются примерами.

Основные результаты работы:

1. Построен ряд практически реализуемых алгоритмов для решения уравнения (3) в случае регулярного значения параметра;

2. Получены алгоритмы построения разветляющихся решений уравнения (3) при простом характеристическом значении параметра Х=Х0\

3. Получены алгоритмы построения множества значений параметра Л*(с,/г), зависящих от некоторой постоянной с , расположенных в

окрестности для которых имеет место ветвление решений уравнения (3) с одновременным получением алгоритмов построения этих решений;

4. Изучен и исследован вопрос о ветвлении решений уравнения (3) для произвольного заданного значения параметра А., а именно решена в известном смысле обратная задача нахождения постоянной с, при которой Л*{с,(х) совпадает с заранее заданным значением параметра Л. Для этой

цели построены специальные итерационные методы, получены условия сходимости соответствующих алгоритмов. Для построенных алгоритмов сформулированы и доказаны теоремы, которые одновременно являются теоремами существования решения, области расположения точного решения и области единственности. Получены оценки погрешности приближенных решений.

5. Предложенные в работе алгоритмы использованы для исследования некоторых волновых моделей, аппроксимируемых полиномиальными интегральными уравнениями.

Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре статьи.

1. Чойнзонова К.Л. К исследованию и решению одного билинейного интегрального уравнения //Численные методы анализа и их приложения.-Иркутск, 1983.-С. 160-164.

2. Чойнзонова К.Л. О ветвлении решений билинейного интегрального уравнения при регулярном значении параметра //Интегральные уравнения в прикладном моделировании/Тезисыдокладов республиканской научно-технической конференции.-Киев: Изд-во института электродинамики АН УССР, 1983.-4.2 - С. 231-232.

3.Юмова К.Л. О ветвлении решений одного интегрального уравнения //Приближённые методы анализа: Межвуз. сб. науч.тр. - Иркутск: Изд-во гос. пед. ун-та, 1997.-С. 171-190.

4. Юмова К.Л. Применение метода итерации для нахождения разветвляющихся решений полиномиального интегрального уравнения //Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе.- Иркутск, Изд-во гос. пед. ун-та, 1999.-С. 94-98.

Пользуясь представленной возможностью, выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю, профессору Бельтюкову Б.А. за постановку задачи и всестороннюю поддержку при выполнении настоящей рабе