Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры

Лукашин, Олег Вячеславович

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры

кандидата технических наук: Лукашин, Олег Вячеславович
город: Тула
год: 2007
специальность ВАК РФ: 05.13.01
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры»

Автореферат диссертации по теме "Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры"

На правах рукописи

□03052303

Лукашин Олег Вячеславович

СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, промышленная безопасность и экология)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2007

003052303

Работа выполнена на кафедре "Электротехника и электрические машины" ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Ловчаков Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор доктор технических наук, доцент

Фомичев Александр Александрович Мозжечков Владимир Анатольевич

Ведущая организация:

ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения».

'Зашита состоится

'-23- (ХЛ ре/ел

ос

2007 г. в с /часов на заседании

диссертационного совета Д 212.271.05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, ауд. 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан ". /У- УЗ

2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета — В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача разработки методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления (СУ) остается актуальной и в настоящее время. Для многих практически важных классов нелинейных объектов управления (ОУ) отсутствуют простые, инженерные методы проектирования СУ В связи с >тим проблема синтеза нелинейных многомерных СУ является центральной в теории управления (Красовский A.A., Колесников А А ).

Как показал анализ литературы, среди существующего разнообразия нелинейных объектов целесообразно выделить класс ОУ, модели динамики которых описываются системами дифференциальных уравнений с полиномиальными не-линейностями от фазовых координат. Такие модели применяются для описания движения систем различной физической природы: устройств лектромеханики (Копылов И.П . Крон Г.), химических реакторов (Кафаров В.В., Мешалкин В.П.), летательных аппаратов (Красовский A.A., Буков В.H ), биологических и экочоги-ческих систем (модели Лотки и Вольтерра) и др. Исследуемый класс объектов получил название полиномиальных (Porter W., Crouch P.E.). Широкое распространение полиномиальных моделей ОУ определяет целесообразность выделения в самостоятельное исследование задачи оптимального управления этими объектами, которую сформулируем как задачу Летова-Калмана в рамках перспективного, с теоретической и практической точек зрения, направления аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (Летов A.M., Калман Р., Красовский А.А , Колесников A.A., Петров Ю.П. и др). Расширяющееся применение в прикладных задачах управления сложными производственными объектами методов АКОР связано с такими их достоинствами, как общность, предельная формализация, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Решение задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на многомерные объекты управления с полиномиальными нелинейностями, как показал анализ существующих работ, представляет серьезные трудности: аналитически она решается только для объектов первого порядка, при более высоких порядках объектов известные методы {степенных рядов, малого параметра, рядов Вольтерра) в большей степени имеют теоретическое значение, чем прикладное, так как оптимальное управление представляется в форме многомерных рядов с большим числом слагаемых. Для полиномиальных объектов п-го порядка степенные ряды имеют п линейных обратных связей (ОС), п2 квадратичных, г? кубических (без учета их симметрии) и т.д., которые не только трудно рассчитать, но и, тем более, технически реализовать, особенно на элементах аналоговой техники. Эту ситуацию Р. Беллман образно назвал "проклятием многомерности".

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникает необходимость в разработке метода синтеза квазиоптимальных управлений простой структуры, имеющей сравнительно небольшое число обратных связей. Целесообразность получения простой структуры закона ОС вызвана стремлением как сократить общее время проектирования СУ и, соответственно, связанные с ним затраты, так и стремлением улучшить ряд технико-экономических показателей проектируемых систем (уменьшить габариты, вес, стоимость, повысить надежность управляющих

устройств). В работе анализируется один из вариантов решения этой актуальной задачи, причем под простой структурой закона управления полиномиальным ОУ понимается полиномиальная функция невысокой (минимальной) степени, содержащая наименьшее число членов старшего порядка, достаточное как для обеспечения устойчивости в «челом» синтезируемом системы (основного свойства опт и мольной СУ), так и заданных показателей качества управления Исключение из закона ОС составляющих высоких степеней, а также части слагаемых (некритичных с точки зрения устойчивости в «целом») той степени, на которой полином «усекается», связано с тем, что члены указанных степеней наиболее многочисленны и сложны в технической реализации, вместе с тем практически не влияют на формирование управляющего сигнала в области малых отклонений. Указанное понимание простой структуры полиномиального управления согласуется с известным определением простой системы как системы, не содержащей избыточных элементов (Солодовников В.В , Бирюков В.Ф., Мозжечков В.А.).

Использование короткого полинома (простой структуры регулятора), составляющие которого рассчитываются и реализуются сравнительно просто, естественно, может привести к некоторой потере качества управления. Но ввиду медленной сходимости степенных рядов учет большого (предельно допустимого с практической точки зрения) числа членов ряда незначительно повышает точность приближения функции Беллмана (Ляпунова), определяющей закон обратной связи и, соответственно, качество регулирования. Поэтому расчет закона ОС в виде полинома высокой степени имеет смысл, главным образом, с точки зрения расширения области устойчивости синтезируемой СУ. Однако, как показывается в диссертации, существует возможность получения законов ОС простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» рассматриваемых систем. Отметим, что устойчивость в «целом» важна как с точки зрения практики (СУ может попасть в режимы работы, близкие к аварийным), так и теории управления, ввиду определенной сложности получения оценок областей устойчивости нелинейных СУ.

Итак, согласно вышесказанному актуальна задача: для рассматриваемого класса ОУ выбрать минимальную степень полиномиального закона ОС, рассчитанного методом степенных рядов (Альбрехт Э.Г., Красовский A.A.) в соответствии с выбранным функционалом качества, и, соответственно, минимальное число его старших членов, коррекцией которых можно обеспечить асимптотическую устойчивость СУ в «целом», при этом коррекция должна осуществляться с минимальной потерей качества регулирования. В результате, синтезируемая система становится оптимальной в «малом» и асимптотически устойчивой в «целом» при использовании небольшого числа обратных связей.

Разработка указанного подхода позволит снять остроту проблемы "проклятия многомерности" и рассчитывать реализуемые законы квазиоптимального управления для объектов относительно высокого порядка, например, синтезировать квазиоптимальный по быстродействию закон управления следящим электроприводом (СП) радиолокационной станции (РЛС), работающей в динамически напряженном режиме поиска цели.

Цель работы состоит в модификации метода синтеза квазиоптимальных нелинейных систем (метода степенных рядов), позволяющей получить простую структуру законов управления многомерными полиномиальными объектами, обеспечивающих асимптотическую устойчивость систем в «целом»; в разработке квазиоптимального закона управления простой структуры приводом РЛС.

В направлении достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие задачи

1. Разработать простые в использовании, имеющие аналитический характер критерии анализа положительной определенности однородных полиномов (форм) четвертой степени, удобные для анализа устойчивости полиномиальных СУ.

2. Разработать методики анализа положительной определенности полиномов, являющихся суммой форм второй, третьей и четвертой степени.

3. Разработать методику построения качественной функции Ляпунова (ФЛ), позволяющей свести анализ устойчивости в «целом» систем управления рассматриваемого класса к анализу положительной определенности суммы форм не выше четвертой степени.

4. С использованием разработанных критериев и методик модифицировать метод степенных рядов применительно к синтезу полиномиальных систем управления рассматриваемого класса с целью придания им свойства асимптотической устойчивости в «целом» за счет коррекции членов старшей степени синтезируемых законов управления простой структуры.

5. применить разработанные метод и методики синтеза к проектированию следящего электропривода радиолокационной станции.

Объектом исследования являются нелинейные системы управления с полиномиальными характеристиками.

Предметом исследования является метод синтеза полиномиальных квазиоптимальных законов управления простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» синтезируемых систем управления.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории устойчивости (методы построения ФЛ для нелинейных систем), теории дифференциальных уравнений, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханической системы следящего привода РЛС применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований.

— аналитические критерии и методики проверки положительной определенности (ПО) и положительной полуопределенности (ППО) вещественных форм четвертой степени от двух и трех аргументов, а также суммы вещественных форм второй, третьей и четвертой степени от того же числа аргументов, необходимые для анализа устойчивости полиномиальных СУ;

— методика построения специальной функции Ляпунова для канонических полиномиальных систем исследуемого класса, позволяющей выявить негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости в «целом» таких систем;

— метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени с минимальным числом кубических ОС, обеспечивающего квазиоптимальность движений рассматриваемых СУ в «малом» и их асимптотическую устойчивость в «целом»,

— нелинейный закон управления следящим электроприводом РЛС;

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами теоретических результатов, применением разработанного метода для синтеза квазиоптимальной СУ следящим приводом РЛС на базе двигателя постоянного тока, результатами цифрового моделирования систем управления реальными объектами и экспериментального исследования СП.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, лежащие в основе предлагаемых метода и методик синтеза нелинейных систем

1. Введено диагональное представление форм четвертой степени - способ записи указанных форм, удобный для анализа их ПО (ППО) с помощью критерия Сильвестра. Разработана методика расчета наилучших значений специальных параметров, делающих диагональное представление однозначным;

2 Для анализа ПО (ППО) суммы форм, зависящих^ от двух аргументов, предложен переход к соответствующей квадратичной форме с q-диaroнaльнoй матрицей коэффициентов,

3. Для суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени получены условия преобладания значений крайних ПО форм 2-й и 4-й степени над значениями формы 3-й степени в каждой точке фазового пространства, в случае, когда форма 3-й степени не содержит одночлены (мономы), образованные «тройкой» аргументов;

4. Разработана методика построения специальной ФЛ для нелинейных канонических систем исследуемого класса. Данная функция отвечает основному признаку качественной ФЛ - применение ее к анализу устойчивости линейной части системы приводит к получению соответствующих условий Рауса-Гурвица;

5. Доказано утверждение о том, что для придания асимптотически устойчивой в «малом» СУ рассматриваемого класса асимптотической устойчивости в «целом», необходимо и достаточно скорректировать лишь коэффициенты членов старшей (третьей) степени полиномиальной функции управления;

6 Для объектов исследуемого класса предложен метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени. Закон обеспечивает квазиоптимальность движений СУ в «малом», их асимптотическую устойчивость в «целом», и содержит минимальное (с учетом найденных аналитических условий устойчивости) число кубических ОС;

7. Получен квазиоптимальный закон управления следящим приводом РЛС, имеющий простую в вышеуказанном смысле структуру.

Практическая ценность. Практическая значимость разработанного в диссертации метода получения квазиоптимальных управлений простой структуры определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем; 2) получаемые с его по-

мощью законы управления проще и/или обеспечивают лучшие показатели качества синтезируемых СУ в сравнении со стандартными полиномиальными и известными линейными законами; 3) разработанные метод и методики отличаются относительной простотой и аналитическим характером, что делает их предпочтительными в инженерных расчетах. Результаты работы могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании современных устройств автоматического управления, а также разработке САПР указанных устройств.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрооборудования (ЭиЭО) Тульского государственного университета (ТулГУ). Полученные результаты использованы при проектировании СУ ЭП в Тульском филиале ФГУП «КБМ», а также внедрены в учебном процессе ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Москва, 2006), Международных конференциях «Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий» (Москва, 2004, 2005), Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2005) и Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами» (Тула. 2005).

Публикации. По результатам выполненных исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка на 138 наименований, приложения. Материал изложен на 170 страницах. Работа содержит 32 рисунка и 1 таблицу. Диссертация соответствует пунктам 1, 4,7 Паспорта специальности 05 13.01.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируются цель и основные задачи работы, а также приводятся положения, определяющие ее структуру и методы исследования.

В первой главе дается математическое описание исследуемого класса нелинейных ОУ и его подклассов, важных для приложений, формулируется задача АКОР для объектов из рассматриваемого класса, на основе второго метода Ляпунова (метода ФЛ) обосновывается подход к модификации ее стандартного решения в направлении получения его простой структуры.

Анализ литературных источников показал, что многие объекты в электромеханике, энергетике и ряде других прикладных областей науки можно достаточно точно описать следующим нелинейным дифференциальным уравнением

¿ = Л(.Г)+5(Л-ы(0+4'-К(0, (1)

где X = , V = (у,,..., 1'г)' - векторы, соответственно, фазовых коорди-

нат и возмущений; А(Х) - матрица-столбец с элементами а,(Х), ¡ = \,Ы, являющимися полиномиальными функциями от составляющих вектора состояния X;

Я(.\ ) - матрица с элементами />,(Л ). также полиномиального вида, Т - постоянная матрица размерности Л х /-; ц}!) - скалярное управляющее воздействие

Предполагается, что возмущения, действующие на объект, описываются функциями, представляющими собой устойчивые решения линейных дифференциальных уравнений V, = С^е'*1'' + С21е~':'' + ., Л]1,Л21,...> О, / = 1,...,/-, причем коэффициенты С„,С2,,.. могут скачком изменить свои значения в случайные, но редкие, разделенные достаточно длительным интервалом втт, моменты времени. Считается, что СУ в течение времени 0пш успевает идентифицировать возмущения и затем соответствующим образом их отработать. В этом случае все возмущающие воздействия (в общем случае также и определенное количество их производных) можно включить в расширенный вектор состояния объекта (1), с последующим решением нелинейной задачи АКОР для объекта Х = А{Х)+В(Х) и(0, * = (*„. ,хА.,у„ ,гг,у„...,уг,.. )' =(*,,...,*„)', (2) описание которого не содержит возмущений в явной форме.

Класс нелинейных ОУ, для которого оказалось возможным провести вышеупомянутую модификацию, образуют стационарные объекты со скалярными входным и(1), и выходным л(/) сигналами

. \„{р)х(0 - р[х(1), л-(0, *(/),..., Л'"'""(0] = к 11(1), (3)

являющиеся подклассом объектов (2). В уравнении (3) приняты обозначения:

- линейный стационарный дифференциальный оператор п-го порядка,

ф(о,...,*<-•>(/)]=££ ..2•>> (4)

/,=2 /,=(1

- полиномиальная функция указанных переменных.

Выделение объектов (3) вызвано следующими факторами. Во-первых, указанные ОУ представляют для практики самостоятельный интерес ввиду их достаточно широкого распространения. Во-вторых, рассмотрение объектов (3) имеет большое методологическое значение: для них многие формулируемые задачи управления и наблюдения решаются значительно легче, чем для объектов класса (2) вследствие их одномерности и использования пространства

X = (д:,фазовой переменной. В-третьих, согласно работам Подчу-

каева В.А., многие системы класса (2) можно преобразовать к форме Фробениуса, эквивалентной (3). В связи с этим, хотя в работе рассматриваются только объекты класса (3), в ряде случаев можно проводить анализ и синтез систем управления объектами класса (2) путем соответствующего прямого и обратного преобразования координат.

В работе отмечается, что степень нелинейности, учитываемая при описании реальных ОУ, невысока (в большинстве случаев равна двум или трем). Более того, нелинейности высших степеней, как правило, можно свести к степеням 2 и 3 путем введения вспомогательных координат, являющихся произведением исходных

^-(i^oJ + Q^ + r-uH,)

\

dt (5)

координат [7]. Поэтому было решено рассматривать в диссертации объекты с полиномиальной нелинейностью не выше третьей степени (q < 3 )

Исходя из характера возмущений, для оценки качества динамики рассматриваемой системы (3) в работе обосновано использование функционалов вида

2,

принимающие на указанных функциях конечные значения Здесь q, - весовые коэффициенты квадратичной части функционала качества, образующие диагональную матрицу размерности «хи; хи) - компоненты вектора состояния в пространстве фазовой переменной; Qhp(X) - ПО функция полиномиального вида, содержащая слагаемые четвертой и более высоких степеней; г - положительное число. Если Q,v(X)-0, то критерий (5) вырождается в широко используемый квадратичный функционал качества.

С использованием критерия (5) задача управления рассматриваемыми объектами сформулирована аналогично известной задаче АКОР Летова-Калмана: на множестве допустимых (полиномиальных) управлений найти закон обратной связи и(/) = F[.V(/)], образующий совместно с нс\одныи объектом (3) асимптотически устойчивую замкнутую систему i)oc таа/яюи/ую минимум функционеру качества (5) В работах Красовского A.A., Колесникова A.A. ее решение относится к центральной проблеме СТАУ - проблеме оптимизации в «большом».

В диссертации показано, что для всех подходов к решению указанной задачи АКОР характерен следующий общий недостаток. Применение известных методов к полиномиальным объектам, как правило, позволяет найти законы управления в форме степенного ряда

я п п п п п

1=1 J=l (=1 l-l

При больших значениях n число слагаемых N\ закона управления (6) может быть слишком велико: без учета симметрии коэффициентов /V = п + п2 + л3 +... По этой причине его реализация на базе аналоговых электронных устройств будет существенно затруднена. При реализации этого закона на микроконтроллерах большое число слагаемых полинома (6) предопределяет большой объем используемой памяти (выбор дорогостоящих микроЭВМ), а также существенное время расчета значений управляющего воздействия, что может привести к недопустимому увеличению периода дискретизации системы. Таким образом, при реализации ОС (6) с учетом требования к уменьшению объема аппаратных и программных средств возникает необходимость в упрои/ении описания квазиоптимальных законов ОС, причем без существенной потери качества управления и, соответственно, в разработке прикладного, инженерного метода решения сформулированной ранее задачи АКОР, который априори позволял бы рассчитать достаточно простые в реализации законы управления.

Очевидно, наиболее простым способом упрощения закона (6) является отбрасывание возможно большего числа слагаемых степенного ряда высокой степени,

которые не очень существенно влияют на качество системы управления. Однако простое отбрасывание членов ряда, вписывающего функцию Беллмана-Ляпунова и далее определяющего управление (6), может коренным образом изменить свойства указанных функций (их ПО в требуемой области фазового пространства) и синтезируемых систем (главным образом - асимптотическую устойчивость). Поскольку в общем случае нельзя получить однозначное соответствие между оценкой области асимптотической устойчивости в фазовом пространстве и минимальной степенью отбрасываемых членов ряда (6) (или же получение такого соотношения весьма затруднительно), то максимальная степень однородного полинома, на которой ряд «усекается», в записи (6), выбирается чисто эмпирическим путем. В ряде случаев, подобная процедура предполагает учет очень большого числа членов ряда (6), что недопустимо по оговоренным ранее причинам. В качестве одного из рациональных решений данной проблемы можно предложить синтез закона ОС (6), с одной стороны, имеющего невысокую фиксированную степень, с другой - обеспечивающего асимптотическую устойчивость системы в «целом». В работе показано, что асимптотическую устойчивость СУ в «целом» можно обеспечить коррекцией одних лишь кубических членов полиномиального закона ОС. а линейные и квадратичные члены рассчитывать стандартным методом степенных рядов. Таким образом, закон (6) будет иметь сравнительно простую для реализации структуру, при эюм придаст СУ квазиоптимальность движений в «малом» и их асимптотическую устойчивость в «целом».

Поскольку математические модели рассматриваемого класса ОУ записаны в форме Коши, анализ устойчивости целесообразно проводить методом ФЛ, который в данном случае наиболее универсален, и при условии грамотного выбора ФЛ позволяет чайти достаточные условия устойчивости, близкие к необходимым. При анализе асимптотической устойчивости в «целом» полиномиальных систем методом ФЛ не всегда удается ограничиться использованием квадратичных форм; зачастую необходимо использовать формы более высоких порядков. Известно, что для систем, равносильных уравнению (3), ФЛ, как правило, строится в структуре «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности» (Лурье А.И., Огурцов А.И., Барбашин Е.А.). А поскольку рассматриваются полиномиальные системы с нелинейностью не выше третьей степени, требуется анализ ПО полиномов четвертой степени. В работе отмечается, что для систем уравнений, описывающих динамику СУ (1.3) общего вида, автор не нашел завершенных алгоритмов построения качественных ФЛ, позволяющих получить негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости в «целом» данных СУ. В связи с этим возникла необходимость в разработке указанной методики. При этом, в частности, было установлено, что целесообразно разработать такую методику построения ФЛ, которая сводит анализ устойчивости СУ рассматриваемого класса к анализу ПО / ППО полиномов четвертой степени, поскольку для вещественных полиномов четвертой степени существуют, по крайней мере, эффективные численные алгоритмы проверки ПО (Арутюнов A.B., Измаилов А.Ф.). Следовательно, реализация вышеуказанного подхода предполагает решение первых четырех задач исследования. Практическое приложение полученных теоретических результатов рассматрива-

ется применительно к актуальной задаче синтеза следящего электропривода РЛС - пятой задаче исследования

Во второй главе проводится решение задач, связанных с анализом ПО полиномиальных функций четвертой степени. Для этого, в частности, предлагается подход, основанный на представлении формы четвертой степени в виде квадратичной формы X'А(Х) X с функциональной матрицей А{Х) специального вида Здесь А(Х) - диагональная матрица, причем элементы, стоящие на ее диагонали, являются квадратичными формами с числовой матрицей коэффициентов. В случае двух вещественных аргументов данная матрица имеет вид 1

А(Х) =

X'

12 "

\ 122^11

X'

о

( 1

О А 122 ) 122 -'4,222

V

X

, 0< Лц22 <1. (7)

/ у

В случае трех аргументов следующий вид О О

А(Х) =

ГХ7 А X О О

X' В X

о

X' С X

(В)

г 1 > / 1 2 1223

4 'Ч 1II — Л 2 й" о Л 122 ) 4 122 1 А 2 1222

А = 2 '1 И2 Л 122^1122 ±А 2 23 в = 2 1222 ^2222 ^2223

±А ч ^ 2 123 ^ЛЗЗ'^ИЗЗ ) V 1-4 2 1223 Х-А 2 2223 ^233^2233 у

с =

1А

2 1233

-А,

233 ) ^22з:

Аг

и

~ ^2333

0<А„Н<1; у = 1,2; к = 2,3; у<к.

I

2~ 2

Ввиду того, что матрицы (7), (8) диагональные, то, согласно критерию Сильвестра, анализ ПО исходной формы четвертой степени сводится к анализу ПО вложенных квадратичных форм, стоящих на главной диагонали матриц (7), (8). В диссертации показано, что подобное диагональное представление возможно и для форм четвертой степени от п > 3 аргументов, если форма не содержит мономы, образованные «четверкой» аргументов (например, А^х^х^ или А2357х2х1х5х7).

Очевидно, данное диагональное представление неоднозначно, поскольку содержит неопределенные параметры Л„и е [0 ; 1] Однако, если можно подобрать

такие допустимые значения этих параметров, при которых матрицы вложенных квадратичных форм станут ПО (или ППО), то можно утверждать, что и исходная форма четвертой степени обладает соответствующим свойством. Параметры ЛнН

рассчитываются из условия минимума значений как можно большего числа главных миноров матриц вложенных квадратичных форм, что в рамках диагонального представления позволяет получить наименее грубые достаточные условия ПО (ППО) исходной формы четвертой степени.

На основании изложенного подхода дается формулировка и обоснование простых аналитических критериев проверки ПО (или ППО) форм четвертой степени от двух и трех вещественных аргументов В частности, доказано Утверждение 1: запись вещественной формы четвертой степени от двух аргументов посредством квадратичной формы с функциональной матрицей (7) и «оптимальным» значением Л,,22 равносильна представлению этой же формы через кронекеровское произведение векторов с трехдиагональной матрицей коэффициентов в пространстве X <8) X, то есть записи

4

' Ч III

0.5Д,, 0

0 5.4,,, 0.5Д.

0

0 5Л,,,,

■и

Л',Л', -V,2

(9)

1222 2222 У

ПО данной трехдиагональной матрицы проверяется непосредственно, так как, в отличие от матрицы (7), она не содержит неопределенного параметра.

Наряду с критериями анализа ПО (ППО) форм 4-й степени в данной главе разработаны методики проверки ПО суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени. Одна из них подразумевает использование я-диагональных симметричных матриц, подобных (9) по структуре. Ее использование позволяет упростить способ проверки ПО суммы форм, окаймленных формами четной степени, предложенный Сиразетди-новым Т.К. и Аминовым А.Б. (только для суммы форм, зависящих от двух аргументов). В частности, применительно к сумме форм 2-й, 3-й и 4-й степени, в отличие от рекомендаций вышеуказанных авторов использовать лексикографический порядок следования компонент вектора базисных функций (дг,2, х,х2, л*2, х,), предлагается использовать следующий порядок:

[х*, х,, Х\Х2, х2, х1У В этом случае матрица коэффициентов соответствующей квадратичной формы

А111 0.54,, 0-54.» 0

0.5 а, „ 0-5/4,12 0.5Л,2

0.5Л,„2 0.5 а, а А 122 0.5/4|22

0 0.5Л,2 0.5Л122 а22

0 0 0.5а1222 0.5 а222

о о

0.5/1,2 0.5 а,.

2222 У

приобретает более компактный вид и становится пятидиагональной. С помощью другой методики можно исследовать на ПО сумму форм 2-й, 3-й и 4-й степени от

произвольного числа аргументов, при условии, что форма третьей степени не содержит мономы, образованные «тройкой» аргументов, а также известны условия ПО формы четвертой степени Основная идея данной методики заключается в нахождении условий преобладания значений крайних четных ПО форм над значениями нечетной формы третьей степени в каждой точке фазового пространства.

В третьей главе проводится решение задач исследования 3, 4. Легко показать, что объекты класса (3) можно записать в виде канонической системы дифференциальных уравнений в форме Коши

[л п п п п п ^ (10)

+ + + ь "(л, l<j<k

1=1 1=1 1=1 /=1 *=1 ,

из которой следует, что выбором управления в структуре

= 1+ + 111 СЮ

1 = 1 (=1 /=| 1=1 у = | к = I

можно добиться практически любой желаемой динамики системы (10).

Для придания системе свойства квазиоптимальности движений в «малом», необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, линейные коэффициенты закона управления (11) были рассчитаны методом степенных рядов в соответствии с выбранным квадратичным функционалом качества (отметим, что в данной работе методом степенных рядов рассчитываются также и квадратичные коэффициенты закона ОС (11), что позволяет несколько расширить область квазиоптимальности). Для придания же этой системе свойства асимптотической устойчивости в «целом», очевидно, требуется соответствующий анализ следующей системы

х. =х„

п п М М П II

1=1 1-1 1=1 /=1 А = 1 J

(12)

а, =а,-Ь-Р„ а,,=ач-Ь-дф = ацк - Ъ ■ .

Система (12) получена в результате подстановки управления (11) в уравнения объекта (10). В данной главе для анализа свойства асимптотической устойчивости в «целом» системы (12) используется теорема Барбашина-Красовского.

С использованием указанной теоремы была разработана методика построения специальной ФЛ, позволяющей выявить негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости в «целом» систем (12). Данная ФЛ обладает двумя важными свойствами: 1) получаемые с ее помощью условия устойчивости для линейной части системы (12) совпадают с условиями Рауса-Гурвица, что является основным признаком качественной ФЛ (Барбашин Е.А.); 2) условия устойчивости сводятся к анализу знакоопределенности форм не выше четвертой степени (формы пятой и шестой степени в записи полной производной от этой ФЛ в силу системы (12) обнуляются). На основании выражений для коэффициентов получаемых ФЛ было доказано следующее утверждение.

Утверждение 2: для системы (12) произвопьного порядка с параметрами аг удовлетворяющими условиям теоремы Ляпунова об устойчивости в «малом», и

,\<). (И)

параметрами а (произвольными но конечными по ее шччне). можно подобрать бесконечное мномсество наборов параметров а11к. обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» ее тривиального решении ,\ =(л',,дг,,.. ,*„)' =0

В ходе исследований установлено, что ФЛ, полученная с помощью данной методики для системы (12) второго порядка, совпадает с известной качественной ФЛ (Америо Л.) В основе предложенной автором методики лежит разработанная процедура А / - 42, представляющая собой строгий алгоритм построения выше-указаненой ФЛ для системы уравнений (12) порядка п. В результате применения этой процедуры получается ФЛ следующей структуры

у = \,1Ыга1,0(х|,х2,...,хп) + Р<3,(х|,х,,...,хп.1) + Р,4'(х,,х:. ,.,хпЧ), (13)

где Р'° - форма 1-той степени, причем структура полной производной от данной ФЛ в силу (12) имеет вид

ш 5=2 V 1=1 4=1 ,

Первый этап (А1) процедуры состоит в определении параметров квадратичной части ФЛ (13) - формы У(чиас,г.,11с)(х). Второй (А2) в подборе параметров форм Р'"(\,,х,, ,хп_,), Р(4)(х,, х,,..., х|)Ч), соответственно 3-й и 4-й степени. В работе показано, что для полной производной (14) всегда можно указать необходимые и достаточные условия неположительности, а для самой ФЛ (13) анализ ПО упрощается ввиду того, что формы 3-й и 4-й степени зависят от п -1 переменной.

На основании утверждения 2 был разработан модифицированный метод степенных рядов (ММСР) позволяющий дополнить метод синтеза квазиопти-малъных полиномиальных управлений в виде короткого ряда (11) анализом условий асимптотической устойчивости синтезируемой СУ в «целом», с одновременной минимизацией кубических членов получаемой функции управления (выбор максимально возможного числа коэффициентов /?(/1 = 0). Суть ММСР состоит в

условной оптимизации, где в качестве целевой функции выступает сумма квадратов разности коэффициентов синтезируемого закона (11) (где многие Р1)к = 0) и

закона управления структуры (11), рассчитанного стандартным методом степенных рядов, а в качестве ограничений используются условия асимптотической устойчивости системы (12) в «целом», полученные с помощью рассчитанной ФЛ.

Два раздела данной главы посвящены нахождению аналитических условий асимптотической устойчивости в «целом» систем (12), соответственно, второго и третьего порядка. В конце этих разделов даются ссылки на примеры синтеза с использованием ММСР конкретных физических СУ, рассмотренные в приложении диссертации. Глава завершается разделом, в котором даются рекомендации по синтезу подобных систем для объектов порядка п > 3. В нем же приводится ФЛ для систем (12) четвертого порядка.

В четвертой главе рассматривается применение полученных теоретических результатов для решения задачи синтеза квазиоптимальной СУ следящим

приводом PJIC на базе двигателя постоянного тока типа ДПР-72, работающим в

режиме поиска цели Математическая модель привода PJIC имеет вид

л-,(/) = я|2л-,(0, *,(/) = x^t) = â,,x2(t) + â33x3(t) + b u(t), (15)

й12 =0.0674, ö23 = 278846. àv =-2.24,1, ^ =-125-, b =129.31 -J—, \u{lï<l nm=9Л A iT " fi lifi

Для работы СП в режиме поиска характерна отработка больших рассогласований по соответствующим угловым координатам (азимуту, углу места) с предельным быстродействием, а также частые пуски и остановы антенны на краях сектора поиска. При этом процесс позиционирования на краях сектора поиска должен осуществляться, по возможности, без перерегулирования с целью исключения механических ударов в приводе. В связи с указанными особенностями работы СП в режиме поиска синтез управления осуществляется, исходя из необходимости выполнения следующих требований: рабочая область начальных отклонений составляет ±[ I 15°], время переходных процессов при отработке приводом угловых рассогласований из указанной области не должно превышать величины 1.15 f , значение перерегулирования не должно превышать 1.5% Переходные

процессы условно считаются завершенными, если уровни соответствующих сигналов достигли 1% зоны Одновременно с этим для улучшения эксплуатационных показателей системы управления требуется, чтобы регулятор имел достаточно простую для реализации структуру.

Для построения указанного регулятора естественно было бы воспользоваться результатами теории оптимальных по быстродействию СУ. Однако задача синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов для линейных объектов третьего порядка общего вида (в частности, для рассматриваемого СП) сопряжена с серьезными вычислительными трудностями (Павлов A.A.), к тому же, структура получаемого закона обратной связи сложна для технической реализации. Указанные причины вызвали поиск подхода к построению более простой в реализации структуры следящей системы, имеющей апериодические переходные процессы с быстродействием, близким к оптимальному. Такой подход был предложен в монографии «Нелинейные СУ ЭП и их аналитическое конструирование» (Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В.). Его сущность состоит в решении для ОУ (15) задачи АКОР по неквадратичному функционалу качества, являющемуся частным случаем критерия (5), следующего вида

=4j[q^(e) + g2x-(f) + g3x^) + axU0 + rU2(/)]ci( (16)

^ о

Критерий (16) отличается от известного квадратичного функционала качества составляющей Qtx*(t) четвертой степени от основной выходной координаты синтезируемой системы. Ее введение вследствие минимизации критерия накладывает значительные "штрафы" на большие и продолжительные отклонения выходной координаты 1 в процессе управления. Поэтому изменением веса данной составляющей (изменением g,), можно задать определенные требования к быстродействию проектируемой СУ. При малых отклонениях, |л,(/)|<1, критерий (16) практически эквивалентен квадратичному функционалу, которому для ли-

нейного объекта (15) отвечает линейное оптимальное управление Из теории оптимальных линейных систем известно, что определенным выбором коэффициентов квадратичного критерия можно обеспечить отрицательные вещественные значения корней характеристического полинома замкнутой системы управления, соответственно, апериодический характер ее переходных процессов. Отсюда, есть основания предполагать, что соответствующим выбором весовых коэффициентов критерия (16) можно придать проектируемому СП требуемые свойства.

С использованием метода равных вкладов максимальных отклонений (Кра-совский А А.) и известного свойства замкнутых линейных СУ с кратными вещественными отрицательными корнями (апериодические процессы с наиболее быстрым затуханием) были получены следующие параметры критерия (16) <7, =0.01, дг =1.558-10"", <7, = 5 816• 10~5, г = 1.255-Ю-4 (17)

Из решения задачи АКОР методом степенных рядов (ограничившись четвертой степенью полиномиальной функции Беллмана) по критерию (16) с параметрами (17) был рассчитан следующий закон управления

ГГ 3 333 1 / 1

= Д/та,| ^<J<k, (18)

/И /--I |Ы

АГ, =-8.924, Кт =-0.446 10"', Кт =-0.143 Ю"3, Кт =-0.308-10"*, Кт=-04&4, 1(Г\

£,=-0.0127, =-0.687 10"":. =-0.199-Ю'2, Кт =-0.358-10~\ К233 =-0469-10 \

К, =-0.428, К333 =-0.242-10"7, Кш=-0.167-КГ*, К0=&-104.

Система управления линейным объектом (15) с указанным законом является нелинейной. Заметим, что значение коэффициента усиления по кубическим обратным связям А!у прямо пропорционально значению Q[, то есть, изменение весового коэффициента в критерии (16) вызывает изменение во столько же раз всех нелинейных обратных связей в полученном законе управления. В указанной монографии было выбрано значение Кд -100000.

На рисунке 1 сплошной линией изображен переходный процесс по выходной координате х,(/) в СП с нелинейным законом г7,(А") (и соответствующий сигнал й1(/) = «,(Л'[/]) на траекториях движения рассматриваемой системы) при отработке приводом начального углового рассогласования в 1°. Пунктирной линией изображены аналогичные кривые, характеризующие СП с программным законом управления йор, (0, оптимальным по быстродействию (при отработке этих же н.у.). Относительная близость показанных кривых подтверждает эффективность использования функционалов (16) при решении задач быстродействия методом динамического программирования.

Структура закона управления (18) проще, по сравнению со структурой закона, оптимального по быстродействию, тем не менее, число параметров функции управления (18) велико. Более того, как следует из рисунка 1, закон (18) не удовлетворяет требованиям ТЗ в рабочей области начальных отклонений. Как следствие, имеет большой практический смысл минимизировать число используемых в законе управления нелинейных членов (отбросить избыточные), коррекцией коэффициентов которых добиться выполнения предъявляемых к СП требований.

Такая минимизация была осуществлена с использованием ММСР при учете указанных выше требований технического задания В результате был получен следующий упрощенный закон ОС

( 3 ' Е+ «-о х]]ГА, „х, + х;X ¿гЛ + ¿«Л

= 1.328А'

м

■■ 0.704А',,

(19)

= 1.215

А,23 = 0.1 А"223,

К333 = 7.019А333,

А ,21 — А 122

Кривая переходного процесса по регулируемой координате *,(/) в СП с законом (19), при отработке угла в 1°, изображена на рисунке 2. На нем же изображен и соответствующий сигнал управления г/,(/). Согласно этому рисунку, сигнал ;/,(/) по виду близок к релейному, но имеет не два, а один момент переключения. Тем не менее, этот момент переключения практически совпадает с первым моментом переключения закона йоп (/). Более того, хотя, фактически, функция й2(1) не имеет второго момента переключения (сигнал управления не достигает максимального значения противоположной полярности), ее второй момент перехода через ось времени близок ко второму моменту переключения закона й,ич О) ■ Это говорит о том, что в области относительно больших отклонений траектории движения СП под действием законов м,(Л'), и01,, (?) отличаются сравнительно мало. Подтверждением этому служит и значение времени (0.069 с) переходного процесса в СП с законом (19), которое мало отличается от времени (0.061 с) в СП с законом йоп (/) при указанных начальных условиях.

! '' :

...... 1*: ! 1 1 1

1!;

II»

?||

1,

сект

. 5 " 0 ' :5 -10.

! гг

1 1

| ; -

: :

0.02 0.04 0.06 : 0.0В : 01/, 0.12 Рис. 1 - отработка угла в СП с законами

«,(*[/]). ««.ДО; *о=(1;0;0)' Изменение начального рассогласования лг, (0) в требуемой области не меняет характера переходных процессов в СП с законом (19), что следует из рис. 3, 4.

'¡Ж

~ХЗ- 0 02 '0,04 0.06 ою- -0.1 гЙ''! Рис. 2 - отработка угла в СП с законами

«?,(ДГ[/]), ««,,(/); Л"0=(1;0;0)Г

Следует отметить, что с увеличением хДО), величина (/,„-'„ (относи-

тельное отклонение времен регулирования сравниваемых СУ) уменьшается.

Рис 3 - отработка угла в СП с законами Рис. 4 - отработка угла в СП с законами «=<*[']). Л-„=(-8,0;0)' 17,(Л'[/]). й01,,(1), *„=(15,0;0)'

Закон управления (19), в отличие от закона (18), соответствует требованиям технического задания во всей рабочей области отклонений, к тому же содержит на 30% меньше нелинейных членов. Поэтому было принято решение использовать в качестве управляющего воздействия закон (19), наилучшим образом отвечающий требованиям технического задания. Закон управления (19) был реализован на однокристальной микроЭВМ «1пАш*оп С167СЯ» и принят к использованию в разработках Тульского филиала ФГУП «КБМ».

В приложении рассмотрены примеры синтеза с использованием ММСР конкретных реальных систем второго и третьего порядка, а также копии документов, подтверждающих практическое использование полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертации развивают метод степенных рядов, используемый для аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов применительно к полиномиальным объектам рассматриваемого класса, и решают научную задачу разработки полиномиальных законов управления простой структуры, обеспечивающих квазиоптимальность синтезируемой СУ в «малом» и ее асимптотическую устойчивость в «целом». Решение указанной задачи позволяет уменьшить время проектирования СУ, стоимость, вес, габариты регулятора как технического устройства при несущественной потере качества регулирования, а также сократить время расчета управляющего воздействия при реализации закона ОС на однокристальных ЭВМ.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Введено диагональное представление форм 4-й степени - способ записи форм, удобный для анализа их ПО с помощью критерия Сильвестра и последую-

щего анализа устойчивости синтезируемых полиномиальных СУ. Разработана методика расчета наилучших значений специальных параметров, делающих диагональное представление однозначным. На основе анализа диагонального представления разработаны два простых в применении аналитических критерия проверки ПО (ППО) форм 4-й степени, соответственно, от двух и трех аргументов.

2. Предложены две аналитические методики проверки ПО (ППО) суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени. Первая применяется в случае, когда формы зависят от двух аргументов. Вторая методика применяется к рассматриваемой сумме форм, зависящих от произвольного числа аргументов, если форма третьей степени не содержит члены, образованные «тройкой» аргументов (одночлен состоит из произведения трех различных аргументов). Разработанные методики вместе с указанными в пункте 1 критериями позволяют исследовать устойчивость в целом полиномиальных СУ рассматриваемого класса, поскольку для них как ФЛ, так и ее полную производную можно построить в виде указанных функций (форм).

3. Разработана методика построения специальной функции Ляпунова, позволяющей получить в аналитическом виде негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости СУ исследуемого класса. Доказано утверждение 2, из которого следует, что для придания устойчивой в «малом» СУ свойства асимптотической устойчивости в «целом» достаточно скорректировать лишь кубические (старшие) коэффициент ы функции управления.

4. С использованием указанной в п. 3 методики и доказанного утверждения 2 разработан модифицированный метод степенных рядов (ММСР). В нем, в отличие от стандартного метода степенных рядов, алгоритм построения закона ОС дополнен анализом аналитических условий асимптотической устойчивости в «целом» синтезируемой СУ, что позволяет исключить избыточные с точки зрения устойчивости старшие члены закона управления, а коррекцией коэффициентов оставшихся членов обеспечить требуемое значение функционала качества. Таким образом, ММСР позволяет осуществить синтез систем управления объектами из исследуемого класса, обладающих свойством квазиоптимальности движений в «малом» и асимптотической устойчивости в «целом», при использовании небольшого числа нелинейных ОС закона управления. Метод применяется в учебном процессе ТулГУ, о чем свидетельствует соответствующий акт использования.

5. На основании ММСР произведено упрощение полиномиального, квазиоптимального по быстродействию закона управления электроприводом РЛС, синтезированного методом A.A. Красовского по функционалу качества, содержащему составляющую четвертой степени от регулируемой координаты. В результате получен закон управления простой структуры, содержащий, в сравнении с исходным законом, значительно меньше кубических обратных связей. Полученный упрощенный закон прошел практическую апробацию на лабораторном стенде, разработанном на кафедре ЭиЭО ТулГУ. Данный закон управления был также опробован в макетном образце привода горизонтального наведения установки «Гром» (НИР «Блокировка») и принят к использованию в разработках Тульского филиала ФГУП «КБМ», о чем свидетельствует соответствующий акт реализации.

. л*" &

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ловчаков В.И., Лукашин О.В., Сухинин Б В., Феофилов Е И. Подход к синтезу регуляторов для многомерных объектов на основе их преобразования к объекту первого порядка. II Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий: Материалы IX Международной конференции и Российской научной школы Часть 2. Москва. Радио и связь, 2004. - С. 20-22.

2 Лукашин О.В., Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных систем устойчивых в большом для объектов с симметричными полиномиальными характеристиками. // Известия ТулГУ. Серия «Проблемы управления электротехническими объектами». Вып. 3. Тула: ТулГУ, 2005. - С. 102-104.

3. Лукашин О В., Ловчаков В.И. К синтезу квазиоптимальных систем устойчивых в большом для объектов с несимметричными полиномиальными характеристиками // Известия ТулГУ. Серия «Проблемы управления электротехническими объектами». Вып. 3. Тула: ТулГУ, 2005. - С. 105-107.

4. Лукашин О.В., Ловчаков В.И., Сухинин Б В. Анализ знакоопределенности форм четвертой и шестой степени // Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий. Материалы X Международной конференции и Российской научной школы Часть 3 Москва. Радио и связь, 2005. -(. . 202-206.

5. Лукашин О.В., Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления устойчивых в большом // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения. Труды 2-й Международной научной конференции. Саратов: СГТУ, 2005. - С. 111-113

6. Лукашин О.В. Анализ асимптотической устойчивости в целом полиномиальных систем третьего порядка // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов Международной научнрй конференции. Вып. 19. Москва, 2006. - С. 68-74.

7. Ловчаков В. И., Сухинин Б. В., Кирпа A.B., Лукашин О.В. Новая форма описания нелинейных объектов и задач оптимального управления. // Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». Вып. 3. Том. 2. Тула: ТулГУ, 2006. - С. 12-15.

Изд лиц ЛР № 020300 от 12 02 97 Подписано в печать 5 03 07

Формат бумага 60x84 1/16 Бумага офсетная . - .

Уел печ л ¡12 Уч -изд л Тираж ЮС экз Заказ Тульский государственный университет 300600, г Тула, просп Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г Тула,ул Боддина, 151

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Лукашин, Олег Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ОБЪЕКТАМИ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Описание класса нелинейных объектов управления.

1.1.1. Уравнения динамики управляемых объектов.

1.1.2. Описание класса функций возмущений.

1.1.3. Критерии оптимизации, постановка задач управления.

1.2. Общий недостаток методов решения нелинейной задачи АКОР, постановка задач исследования.

Выводы.

2. КРИТЕРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФОРМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА И СУММЫ ФОРМ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА.

2.1. Некоторые понятия и определения, связанные с знакоопределенностью полиномиальных функций.

2.2. Диагональное представление вещественных форм четвертого порядка от двух и трех аргументов.

2.3. Критерий положительной определенности (неотрицательности) вещественной формы четвертого порядка от двух аргументов.

2.4. Критерий положительной определенности (неотрицательности) вещественной формы четвертого порядка от трех аргументов.

2.5. Методики анализа положительной определенности (неотрицательности) суммы вещественных форм второй, третьей и четвертой степени.

Выводы.

3. СИНТЕЗ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ КВАЗИОПТИМАЛЬНОСТИ ДВИЖЕНИЙ В

МАЛОМ» И АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В «ЦЕЛОМ».

3.1. Постановка задачи синтеза систем управления для объектов с полиномиальными характеристиками, обладающих свойством квазиоптимальности движений в «малом» и асимптотической устойчивости движений в «целом».

3.2 Второй метод Ляпунова и теорема Барбашина-Красовского.

3.3 Некоторые важные аспекты, связанные с задачей построения функций Ляпунова для нелинейных систем.

3.4. Использование второго метода Ляпунова при синтезе законов управления для канонических объектов с полиномиальной нелинейностью в виде суммы форм второй и третьей степени.

3.4.1. Модифицированный метод степенных рядов.

3.4.2. Синтез канонических систем второго порядка.

3.4.3. Синтез канонических систем третьего порядка.

3.4.4. Синтез канонических систем высоких порядков.

Выводы.

4. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РАДИОЛОКАЦИОННОГО КООРДИНАТОРА, РАБОТАЮЩЕГО В РЕЖИМЕ ПОИСКА ЦЕЛИ.

4.1 Описание радиолокационной станции (РЛС) как объекта управления.

4.2. Постановка задачи аналитического конструирования регуляторов для следящего привода антенны в режиме поиска.

4.3. Разработка и исследование квазиоптимальных регуляторов для следящего электропривода антенны в режиме поиска.

4.3.1. Синтез управления стандартным методом степенных рядов.

4.3.2. Упрощение стандартного управления на основе модифицированного метода степенных рядов.

4.3.3. Моделирование и сравнительный анализ синтезированных законов управления.

Выводы.

Введение 2007 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Лукашин, Олег Вячеславович

Технический прогресс в различных сферах народного хозяйства выдвигает высокие требования к качеству выпускаемой продукции и, соответственно, к качеству работы систем управления (СУ) производственными агрегатами и оборудованием. Так как современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, то использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет обеспечить требуемые уровни устойчивости и точности протекания технологических процессов при изменении рабочих режимов агрегатов в широких пределах или в условиях действия возмущений значительной мощности (амплитуды). Это определяется тем, что линейные модели, для которых разработаны эффективные методы синтеза, адекватно описывают поведение объекта управления (ОУ) лишь в малой окрестности установившегося режима. Все более широкое применение нелинейных СУ, обеспечивающих высококачественное функционирование промышленных объектов при изменении их переменных состояния в широких интервалах, в том числе и в состояниях, близких к предельным, оптимальным, вызывает необходимость развития методов их анализа и синтеза.

В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. Это, например, работы В.В. Солодовникова, Е.П. Попова, В.А. Бессекерского, A.A. Вавилова, Е.И. Хлыпало, В.В. Яковлева, С.Е. Душина и др. в области частотных методов расчета и проектирования нелинейных систем. Это работы В.М. Матросова, В.Д. Фурасова, В.М. Кунцевича, М.М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова (ФЛ). Широкие возможности для синтеза систем, в том числе и для нелинейных, открываются с позиций решения обратных задач динамики (А.Е. Барбашин, П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук). Серьезные результаты получены в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (теории АКОР), связанной с именами A.M. Летова, Р. Калмана, A.A. Красовского, В.И. Зубова, А.Г. Александрова, Ю.П. Петрова и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления A.A. Колесникова. Первый, основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом. В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозиции; разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и УУ; разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ и при переходах с режима на режим; различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвязностью, многоконтурностью и т.д.; отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Неизвестны также простые, инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных СУ отнесена акад. A.A. Красовским, A.A. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.

Второй вывод заключается в следующем. Несмотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем различных классов, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближенных, решений задач конструирования регуляторов для нелинейных объектов, важных для приложений классов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при их нахождении или анализе. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении ее параметров в широких пределах, определяет целесообразность применения последних методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления.

Достаточно широкий класс нелинейных ОУ образуют многомерные стационарные объекты с нелинейными характеристиками полиномиального вида от их фазовых координат. В связи с тем, что при описании нелинейных характеристик динамических объектов (систем) используются полиномы, в дальнейшем указанные объекты и системы называются полиномиальными.

Указанные динамические модели с полиномиальными нелинейностями, на взгляд автора, очень широко используются для описания процессов различной природы. Для обоснования этого базового утверждения приведем примеры из разных областей науки и техники, в которых применяются полиномиальные модели динамики. 1. Устройства электромеханики: в соответствии с обобщенной теорией электрических машин (Г. Крон, Р. Парк, A.A. Горев, И.П. Копылов) динамика всех типов электрических двигателей и генераторов постоянного и переменного токов описывается дифференциальными уравнениями с квадратичными нелинейностями, причем эти нелинейности отражают физическую сущность процессов преобразования электрической энергии в механическую и наоборот. 2. Объекты химической технологии: для моделей динамики химических реакторов также характерны квадратичные нелинейности, определяющие в соответствии с законом действующих масс скорость химической реакции двух исходных веществ через произведение их концентраций. 3. Объекты биологии и экологии: большинство современных математических моделей, описывающих динамику популяций, связано с моделями, предложенными Лоткой и Вольтерра, в которых присутствуют произведения фазовых координат системы. Полиномиальные модели находят использование также и в других областях, например, при моделировании и управлении процессами в летательных аппаратах (работы А.А. Красовского и его учеников). При этом важно подчеркнуть, что выделенный класс полиномиальных объектов можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Заметим, что при описании динамики вышеперечисленных полиномиальных объектов, как правило, ограничиваются учетом квадратичных и/или кубических нелинейностей, более того, полиномиальную нелинейность более высокой степени, как правило, можно свести к квадратичной или кубической путем расширения фазового пространства (введением вспомогательных координат, являющихся произведением исходных). Рассмотрение полиномиальных объектов с нелинейностью не выше третьей степени составляет первую отличительную особенность диссертационной работы.

Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трех основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, привел к выводу, что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй, заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных СУ. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьезные трудности, связанные с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемые движения. В связи с этим, наиболее приспособленным для применения к сложным нелинейным многомерным ОУ, является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа. Его достоинства состоят в следующем. Во-первых, использование интегральных критериев качества, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ заданием значений их весовых коэффициентов, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемые движения синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство - свойство асимптотической устойчивости. Во-вторых, дальнейший целенаправленный перебор данных коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумные требования к первичным показателям качества систем, к времени переходного процесса, перерегулированию и т. д. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для электромеханической системы, рассматриваемой в прикладной главе диссертации, имеют большой физический смысл - смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей или энергий. Использование при синтезе систем критериев с полиномиальными интегрантами четвертой степени, что является второй отличительной особенностью диссертационной работы, позволяет, например, придать электроприводу повышенное быстродействие, близкое к оптимальному. И в-третьих, главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (JI.C. Понтрягин, Р. Беллман, Р. Калаба, В.М. Тихомиров, В.Ф. Кротов, В.И. Гурман, Р. Габасов, Ф.М. Кирилова и др.), и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (A.M. Летов, Р. Калман, A.A. Красовский, A.A. Колесников, А.Г. Александров,

Ю.П. Петров, Р.Т. Янушевский), которые являются базовыми составляющими современной теории автоматического управления. Следует подчеркнуть, что методы АКОР находят все расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными производственными объектами. Это связано с такими достоинствами данных методов, как их общность, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по интегральному критерию с интегрантом степенного вида, частным случаем которого является обобщенный квадратичный функционал качества. При постановке задачи АКОР учитывается, что кроме неконтролируемых возмущений, случайным образом меняющих отклонения фазовых координат системы от заданного режима работы, объекты находятся под действием так называемых возмущений волновой структуры, динамика которых описывается устойчивыми решениями линейных дифференциальных уравнений. Предполагается, что эти возмущения в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки разделены достаточно продолжительным интервалом времени, соизмеримым со временем переходных процессов проектируемой СУ. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории управления детерминированными объектами.

Решение указанной задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты при действии указанных возмущений, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения указанных объектов - также и практически важную проблему. Для ее решения неизвестны теоретически законченные, относительно простые методы. Так, например, широко известный метод синтеза A.A. Красовского к данной задаче неприменим, так как использует специальный критерий обобщенной работы. При использовании же метода динамического программирования, эта задача решается аналитически только для объектов первого порядка. При более высоких порядках объектов известные методы (степенных рядов, малого параметра, рядов Вольтерра) в большей степени имеют теоретическое значение, чем прикладное, так как оптимальное управление представляется в форме многомерных степенных рядов с большим числом слагаемых. Для полиномиальных объектов порядка п указанные ряды имеют п линейных

2 3 слагаемых (обратных связей), п квадратичных, п кубических (без учета их симметрии) и т.д., которые не только трудно рассчитать, но и тем более, технически реализовать, особенно на элементах аналоговой техники. Эту ситуацию Р. Беллман образно назвал "проклятием многомерности". В связи с этим метод динамического программирования практически невозможно применять к объектам выше третьего порядка.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникает необходимость в разработке метода синтеза квазиоптимальных управлений простой структуры, имеющей сравнительно небольшое число обратных связей. Целесообразность получения простой структуры закона ОС вызвана стремлением как сократить общее время проектирования СУ и, соответственно, связанные с ним затраты, так и стремлением улучшить ряд технико-экономических показателей проектируемых систем (уменьшить габариты, вес, стоимость, повысить надежность управляющих устройств). В работе анализируется один из вариантов решения этой актуальной задачи, причем под простой структурой закона управления полиномиальным ОУ понимается полиномиальная функция невысокой (минимальной) степени, содержащая наименьшее число членов старшего порядка, достаточное как для обеспечения устойчивости в «целом» синтезируемой системы (основного свойства оптимальной СУ), так и заданных показателей качества управления. Исключение из закона ОС составляющих высоких степеней, а также части слагаемых (некритичных с точки зрения устойчивости) той степени, на которой полином «усекается», связано с тем, что члены указанных степеней наиболее многочисленны и сложны в технической реализации, вместе с тем практически не влияют на формирование управляющего сигнала в области малых отклонений. Указанное понимание простой структуры полиномиального управления согласуется с известным определением простой системы как системы, не содержащей избыточных элементов (Солодовников В.В., Бирюков В.Ф., Мозжечков В.А.).

Использование короткого полинома (простой структуры регулятора), составляющие которого рассчитываются и реализуются сравнительно просто, естественно, может привести к некоторой потере качества управления. Но, ввиду медленной сходимости степенных рядов учет большого (предельно допустимого с практической точки зрения) числа членов ряда незначительно повышает точность приближения функции Беллмана (Ляпунова), определяющей закон обратной связи и, соответственно, качество регулирования. Поэтому расчет закона ОС в виде полинома высокой степени имеет смысл, главным образом, с точки зрения расширения области устойчивости синтезируемой СУ. Однако, как показывается в диссертации, существует возможность получения законов ОС простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость СУ в «целом». Отметим, что устойчивость в «целом» важна как с точки зрения практики (СУ может попасть в режимы работы, близкие к аварийным), так и теории управления, ввиду определенной сложности получения оценок областей устойчивости нелинейных СУ.

Итак, согласно вышесказанному актуальна задача: для рассматриваемого класса ОУ выбрать минимальную степень полиномиального закона ОС, рассчитанного методом степенных рядов (Альбрехт Э.Г., Красовский A.A.) в соответствии с выбранным функционалом качества, и, соответственно, минимальное число его старших членов, коррекцией которых можно обеспечить асимптотическую устойчивость СУ в «целом», при этом коррекция должна осуществляться с минимальной потерей качества регулирования. В результате, синтезируемая система становится оптимальной в «малом» и асимптотически устойчивой в «целом» при использовании небольшого числа обратных связей.

Разработка указанного подхода позволит снять остроту проблемы "проклятия многомерности" и рассчитывать реализуемые законы квазиоптимального управления для объектов относительно высокого порядка, например, сконструировать квазиоптимальный по быстродействию закон управления следящим электроприводом (СП) радиолокационной станции (РЛС), работающей в динамически напряженном режиме поиска цели.