автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Квазиоптимизация быстродействия асимптотически устойчивых систем управления

На правах рукописи

ВОЛКОВ РОМАН ВИТАЛЬЕВИЧ

КВАЗИОПТИМИЗАЦИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

; АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону - 2005

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем факультета автоматизации и роботехники Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор P.A. Нейдорф

доктор технических наук, профессор А. Р. Гайдук доктор технических наук, профессор H.A. Глебов

Институт проблем точной механики и управления РАН

Защита состоится «¿^»^ййё^г' 2005 года в '' "часов на заседании диссертационного совета Д 212.058.04 Донского государственного технического университета по адресу: 344010, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, ДГТУ, к. 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Донского государственного технического университета.

Автореферат разослан 24 ноября 2005 года. Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять в адрес совета.

Ученый секретарь кандидат технических наук,

диссертационного совета А.Д. Лукьянов

116ЗШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практика автоматизации технических систем ориентирована на использование типовых линейных законов управления (ЗУ) ввиду простоты их анализа и синтеза, асимптотичности поведения, робастности. Недостаток автоматических систем с такими ЗУ - низкое быстродействие. В противоположность им, оптимальные САУ позволяют получить максимальный технический выигрыш от управления, но сложны в расчете и реализации, а также, чаще всего, не робастны и плохо обусловлены функционально. В связи с этим возникло и много лет успешно развивается научное направление, декларирующее компромиссный подход к задаче, получивший название квазиоптимального управления. Системы с такими свойствами незначительно уступают оптимальным по качеству управления, но значительно выигрывают в связи с сочетанием робастности, надежности, относительной несложности реализации. В наибольшей степени эффект квазиоптимальности проявляется в системах, ориентированных на быстродействие. Поэтому решение задачи сочетания в законе управления высоких качественных показателей, робастности и относительно невысокой сложности чрезвычайно актуально.

Целью диссертационной работы является теоретическая разработка и практическое исследование подхода к построению асимптотически устойчивых динамических систем на основе парадигмы е-параметрической квазиоптимизации быстродействия.

Указанной цели подчинено решение следующих основных научных и технических задач:

-формализация подхода к проблеме квазиоптимального управления вообще и квазиоптимального быстродействия, в частности;

-отыскание, систематизация и обоснование эффективных структур аналитических функций, перспективных точки зрения реализа-

ции свойств е-квазиоптимальности и естественного ограничения управляемых переменных состояния;

-разработка и обоснование основных положений подхода, позволяющего конструировать е-параметрические математические модели нелинейных систем, сочетающих асимптотически устойчивые решения с форсированной динамикой переходных процессов;

-разработка алгоритмического и программного обеспечения для САУ, построенных с использованием е-параметрических квазиоптимальных по быстродействию цифровых контроллеров, встраиваемых в инструментальную среду ЭСАОА-систем.

Существенные научные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту:

1. Иерархическая система требований, предъявляемых к методологии аппроксимации свойств ММ оптимальных по быстродействию САУ, обеспечивающих эффективное и системно обоснованное построение ММ квазиоптимальных систем управления.

2. Класс аппроксимирующих функций, обеспечивающих построение ММ с е -параметрически квазиоптимальным по быстродействию и асимптотически устойчивым решением.

3. Система базовых положений метода направленного конструирования асимптотически устойчивых математических моделей динамических систем е-параметрически квазиоптимального быстродействия и их использования в качестве эталонов при разработке законов е -квазиоптимального быстродействия.

4. Программный комплекс разработки и отладки проектов АСУ ТП с цифровыми контроллерами б -квазиоптимального по быстродействию управления технологическими процессами.

Научная новизна работы определяется следующими отличительными особенностями полученных существенных результатов:

1. Совокупность предложенных в диссертации параметрических требований к аппроксимации моделей движения, включающая множественную меру е, определяющую степень приближения свойств модели к оптимальному эталону.

2. Для исследованных в работе нелинейных параметрически настраиваемых функций, аппроксимирующих разрывные функции оптимального управления, впервые доказано свойство асимптотической устойчивости решений ММ ДС 1-го и !1-го порядка, а также свойство направленного формирования е -квазиоптимальности в системах 11-го порядка.

3. Оригинальность предложенных в работе в качестве эталонных математических моделей е -параметрического квазиоптимального быстродействия 1-го и 11-го порядка обусловлена новизной подхода направленного конструирования асимптотически устойчивых математических моделей е -параметрического квазиоптимального быстродействия динамических систем.

4. Отсутствие разработанных алгоритмов и программ е-параметрического квазиоптимального по быстродействию управления в современных версиях БСАОА-систем подтверждает оригинальность программного комплекса имитационного моделирования, предназначенного для разработки и отладки проектов АСУ ТП с цифровыми контроллерами, е -квазиоптимальными по быстродействию.

Методы исследования. В работе использованы методы классического вариационного исчисления, математической теории оптимального управления, функционального анализа, теории автоматического управления.

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что ее результаты позволяют решить многие проблемы

5

управления техническими системами и технологическими процессами. Незначительность потери быстродействия в 8-параметрически квазиоптимальных системах (0,5 - 2%) при хорошей обусловленности законов управления и асимптотической устойчивости системы в целом позволяет решить проблемы быстродействующего управления летательными аппаратами, системами слежения и наведения и т.п. Эффективно решаются в рамках разработанной парадигмы и задачи повышения производительности технологических объектов, процессов и производств, например, таких как периодические процессы и производства.

Работа имеет хорошее практическое приложение и в учебном процессе, т.к. предложенные решения обладают хорошей прозрачностью, убедительно оттеняют преимущества и недостатки классических результатов теории оптимального быстродействия и позволяют демонстрировать связь теории автоматического управления с практическими задачами. Поэтому материалы диссертации подкрепляются актами внедрения ее результатов в учебный процесс.

Соответствие диссертации научному плану работ и целевым комплексным программам. Тема диссертационной работы сформулирована в связи с выполнением госбюджетных научных исследований 2002 года «Выявление закономерностей интервальной организации устойчивого управления в замкнутых автоматических системах», а тематика дальнейших диссертационных исследований определялась госбюджетными работами 2004 - 2006 гг. «Разработка теоретических основ интервально-аппроксимационной организации и оптимизации управления в замкнутых автоматических системах», выполняемых по тематическому плану Минобрнауки под руководством проф. Нейдор-фа P.A. Также диссертационные исследования проводились при выполнении научно-исследовательских работ в рамках гранта А03-3.16-189 «Квазиоптимальное по быстродействию асиптотически устойчи-

6

вое управление на основе нейросетевых технологий» для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России, а также федеральных госбюджетных научно-исследовательских работ в Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения (РГАСХМ): «Теоретические посылки квазиоптимизации быстродействия автоматического управления», «Программное обеспечение имитационного моделирования квазиоптимальных по быстродействию систем».

Апробация диссертационной работы. Материалы диссертационной работы апробировались на следующих международных и региональных научных конференциях: XV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15 (ТГТУ, Тамбов, 2002); IX международная конференция "Разработка АСУ ТП в системе Трейс Моуд: задачи и перспективы" (Москва, 2003); XVI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-16 (ММТТ-Дон) (РГАСХМ, Ростов-на-Дону, 2003); IV М1жнародно1 науково-техннно1 конференцт1 астран™ та студенл'в «Автоматизац!я технолопчних об'екпв та процеав. Пошук молодих.» (ДонНТУ, Украина, Донецк, 2004); XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-17 (КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ), Кострома, 2004); X Международная открытая научная конференция «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (ВГТУ, Воронеж, 2005); XVIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-18 (КГТУ, Казань, 2005).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 14 работ. Наиболее существенные результаты опубликованы в журналах «Промышленные АСУ и контроллеры», «Информатика и системы управления», вошли в сборники научных трудов ММТТ-18, ММТТ-17, ММТТ-

16, ММТТ-15, а также сборники трудов и докладов региональных и международных научно-технических конференций.

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка (210 наименований) и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована общая характеристика проблемы, цели и задачи работы. Обосновано направление диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена классификации и аналитическому обзору известных подходов и методов синтеза законов оптимального и квазиоптимального управления динамическими системами. Среди задач оптимизации управляемых ДС особо подчеркивается важность задачи оптимизации быстродействия ДС. Критерий быстродействия ДС является одним из основных, наряду с такими критериями как точность и энергия, с точки зрения физической теории управления, рассматриваемой в работах академика РАН A.A. Красов-ского и д.т.н., проф. A.A. Колесникова.

Проведенная классификация методов квазиоптимизации, анализ их преимуществ и недостатков, позволяет выделить отдельное направление методов квазиоптимизации, предложенное научным руководителем, д.т.н., проф. P.A. Нейдорфом, - построение параметрических асимптотически устойчивых законов управления ДС, квазиоптимальных по быстродействию. Благодаря этому определяются цели и задачи диссертационного исследования.

Во второй главе обосновываются основные положения подхода s-параметрической квазиоптимизации быстродействия асимптотиче-

ски устойчивых динамических систем, как способа преодоления недостатков, присущих оптимальной задаче.

Математическая постановка задачи формулируется следующим образом. Для однородного дифференциального уравнения

л:(0) = д:о, е>0,

необходимо найти методику выбора функции обеспечивающей преимущества как перед линейными ДУ, рассматриваемыми классической ТАУ, так и перед нелинейными ДУ с разрывными характеристиками, возникающими при оптимальном управлении.

Можно сформулировать следующий ряд требований к функции /£, которым должны отвечать свойства решений ДУ (1):

1) Требование асимптотической устойчивости при любом е>0. Асимптотическая устойчивость является основным механизмом обеспечения робастность модели. Существенная нелинейность функции /с (х), вытекающая из стремления приблизиться к замкнутым ДС с оптимальными законами управления, определяет применение при решении данного вопроса второго метода А.М. Ляпунова.

2) Требование аналитичности. Данное условие ограничивает структуру функций /г, что исключает разрывные реакции на изменение состояния и на варьирование свойствообразующих параметров, а также важно для обратных задач динамики и синтеза по динамическим эталонам, которые связаны с аналитическими преобразованиями правых частей ДУ и, в ряде случаев, с их дифференцируемостью.

3) Требование ограниченной интенсивности. В соответствие со структурой уравнения движения ДС (1), функция определяет скорость изменения переменных состояния х и ограничивает их максимальные значения, ее ограничение обеспечит физическую реализуемость синтезированных процессов при построении САУ.

4) Требование параметрической зависимости. Решения ДУ (1) должны отвечать требованию параметрически настраиваемого быстродействия. Введение параметра - е позволяет количественно оценивать степень квазиоптимальности (степени приближения к оптимуму). Варьирование параметра е позволяет изменять степень квазиоптимальности вплоть до получения оптимального варианта при е О:

штс=та.

Далее в работе проводится алгебраическое исследование класса функций (табл. 1), являющихся непрерывной аппроксимацией разрывных функций, получаемых в результате решения задачи оптимального управления. В оптимальных ДС, являющихся эталонными для квазиоптимальных ДС, важной составляющей являются разрывные законы управления, сформированные с использованием переключающих функций .у0 (х) = х и ст0(*) = 51ер(х). Однако, замкнутые ДС с разрывными оптимальными законами управления в практических приложениях обладают целым рядом негативных эффектов. В связи с этим возникает необходимость обеспечить свойство гладкости дифференциальным уравнениям, описывающим замкнутые ДС, сохранив при этом быстродействие, приближающееся к оптимальному.

Таблица 1.

№ Функция Множество значений Участки монотонности

1 = -?> Е>0 + £ Н-+1) Убывающая

2 е>0 Н+Ч Постоянная при д: е (-оо,-е] и [+в,-н»), Убывающая при ас е[-е,£]

3 +(дг-2е)|д:-2е|), е>0 Н+1] Постоянная при х е (-оо,-2е] и [+2е,+оо), Убывающая при *е[-2е,2е]

4 5Л(л,е) = 4Г—\ £>0 (-1.+0 Убывающая

№ Функция Множество значений Участки монотонности

5 = -)• е>0 ТС / (-1.+1) Убывающая

6 ! 2е -- , е>0 V Н+1) Убывающая

7 ¡ы(х,е) = ег{ (£} £>о Н+1) Убывающая

8 4«пш.(*>Е) = 2 ( * л 1 г . 1 ---<Й-- ' 2 Ч , £ > 0 [-1,179, +1,179] Колебательный характер функции

Алгебраическое исследование продолжается изучением возможностей и ограничений применения аппроксимирующих функций для различных задач оптимизации управления ДС, требующих нелинейных эффектов при их решении, на примере ДС 1-го порядка с е - параметрическим квазиоптимальным быстродействием решения

где - скалярная функция (см. табл. 1), аппроксимирующая

функцию £ > 0 — параметр, определяющий степень аппроксима-

ции, > 0. Для ДС (2) проводится исследование эффектов, возникающих в ДС при использовании аппроксимирующих функций, и доказывается сходимость квазиоптимальных решений ОДУ (2) к оптимальным с помощью аппарата дифференциальных и интегральных неравенств.

Полученный результат позволил предположить более широкие возможности исследованного на динамических системах 1-го порядка подхода к построению е -параметрических квазиоптимальных по быстродействию систем управления и соответственно определил задачи исследования третьей главы.

Третья глава посвящена исследованию методов конструирования асимптотически устойчивых математических моделей е-квазиоптимального быстродействия высокого порядка. В главе развивается метод синтеза е-параметрических квазиоптимальных моделей быстродействия, позволяющий целенаправленно выбирать эффективные нелинейности, улучшающие свойства динамических систем.

Прежде всего, рассматриваются особенности и трудности конструирования квазиоптимальных по быстродействию дифференциальных уравнений, возникающие при переходе к математическим моделям высокого порядка. Наиболее важная из них - необходимость синтеза и анализа нелинейных векторных ДУ, описывающих е-параметрические квазиоптимальные по быстродействию ДС.

Далее последовательно рассматриваются ММ е-параметрических квазиоптимальных моделей быстродействия 11-го порядка, конструируемые в рамках парадигмы квазиоптимизации данной работы.

Первая КОБ модель синтезируется с помощью прямого преобразованием эталона быстродействия, ее ДУ записывается как

х,(0 = М')>

х2(/) = -*(ф(х,(0>*2('))>е)' (3)

/> О, е>0, х(0) = х0, x(Tj = Sx0. где макропеременная q>(xi,x2) = xl + -^х2\х2\. Для ОДУ (3) аналитически

доказывается асимптотическая устойчивость при любом выборе значения параметра е>0 с помощью второго метода A.M. Ляпунова, для этого используется функции Ляпунова вида

V(xl,x2) = xl + 2 J s(t,s)dt> 0, Vx„x2*0, е>0. (4)

С помощью аппарата дифференциальных и интегральных неравенств доказывается сходимость оценки разности решений КОБ ДС и ОБ ДС |х(г)-у(/)||->0 в пределе при е-»0. Далее рассматривается

поведение КОБ ДС (3) на фазовой плоскости, составляется ее имитационная модель на ЭВМ, рассчитываются переходные процессы, и выполняется сравнительный анализ временных характеристик КОБ ДС и ОБ ДС.

Второй КОБ ММ, сконструированной с помощью аппроксимаци-онного преобразованием эталона быстродействия, является ММ, которая отвечает дополнительному требованию аналитичности:

(5)

*2=-аП5(ф(*1>*2)>е)> где макропеременная ф(х= + + Аналогично

первой модели проводится аналитическое и имитационное исследование свойств ММ (5). Кроме того, выполняется сравнительный анализ быстродействия КОБ ДС (3) и КОБ ДС (5) (рис. 1).

Третьей КОБ ММ, синтезированной с упрощенным е-параметрическим квазиоптимальным быстродействием решения, является ММ, отвечающая дополнительному требованию простоты реализации:

X| X2$

где макропеременная ф определяется выражением §(х1,хг) = х¡+Ьсг, к - параметр. Проводится аналитическое и имитационное исследование ММ (6) и выполняется сравнительный анализ ММ (рис. 2).

Рис. 1 Зависимость быстродействия решений е -параметрических КОБ ММ (3) - ТК0В1 ММ (5) - ГК0В1 от значений параметра е. Тов соответствует оптимальному времени регулирования.

10' 10* ю' 10*

8

Рис. 2 Зависимость быстродействия решений £ -параметрических КОБ ММ (3) - Тковх, ММ (5) - Тковг, ММ (6) - ТК0В1 от значений параметра £. Тов соответствует оптимальному времени регулирования.

Далее рассматриваются перспективы развития подхода е-параметрической квазиоптимизации, а именно возможности учета ограниченной интенсивности при квазиоптимизации быстродействия и проблемы и возможности перехода к ММ II 1-го порядка с е-параметрическими квазиоптимальными по быстродействию решениями.

Четвертая глава посвящена синтезу £-параметрических квазиоптимальных по быстродействию законов автоматического управления. Методика синтеза основывается подходе синтеза законов управления (ЗУ) с помощью эталонных (желаемых) математической модели, в качестве которых в данной работе выступают ММ е-параметрических КОБ ДС. Рассматривается идеология синтеза ЗУ по динамическим эталонам САУ, проводится краткий анализ задачи проектирования системы автоматического управления (САУ) и дается краткий анализ традиционным инженерным подходам к решению задачи синтеза САУ. На основании чего, делается вывод о том, что методы синтеза ЗУ эталонным математическим моделям не только не

утратили своего значения для теории и практики решения задач управления и автоматизации, но, наоборот, укрепили и расширили свои позиции.

Далее проводится исследование проблем и возможностей обращения ММ е - параметрических квазиоптимальных по быстродействию ДС и приводится методика синтеза ЗУ, обеспечивающих е -параметрическое квазиоптимальное по быстродействию управления.

Завершает четвертую главу ряд примеров синтеза е - параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления техническими объектами 1-го и 11-го порядков.

В пятой главе рассматриваются вопросы практического применения подхода к синтезу е - параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления. Для этого прорабатываются вопросы алгоритмического, программного и аппаратно-технического обеспечения САУ, построенных с применением е - параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления.

Проблему реализации квазиоптимальных по быстродействию (КОБ) систем управления можно разбить на два этапа. Первый этап -изучение возможностей реализации управляющего устройства (УУ) с £ -параметрическим КОБ законом управления (ЗУ). Как было показано в главах 2-4, КОБ ЗУ являются нелинейными, зачастую сложными, функциями переменных состояния, поэтому необходимо исследовать возможности алгоритмического, программного и технического обеспечения, необходимого для реализации таких ЗУ. Второй этап связан с тестированием и проверкой адекватности АСУ ТП, построенных с использованием КОБ ЗУ. В настоящее время развитие вычислительной техники позволяет эффективно решать задачи второго этапа с помощью имитационного моделирования как системы управления - АСУ ТП (УУ, УСО, ЧМИ), так и объекта управления - технологического процесса.

Необходимо отметить, что существенную помощь в решении задач как первого, так и второго этапов проблемы реализации КОБ СУ, оказывают специализированные пакеты прикладных программ для АСУ ТП. Современные информационные технологии, применяемые при разработке программного обеспечения (ПО) АСУ ТП, основываются на широком использовании ЭВМ и выражаются в наборе мощных и эффективных программных средств - систем мониторинга, управления и сбора данных (Supervisory, Control and Data Acquisition, SCADA).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулированный и исследованный в работе системный подход к формированию и оценке свойств динамических моделей квазиоптимального быстродействия позволил формализовать понятие квазиоптимальных по быстродействию систем и определить совокупность их отличительных свойств, включающую параметрическую зависимость решения и его асимптотическую устойчивость, которым это решение должно удовлетворять. В результате предложен новый класс таких систем - системы е -параметрического квазиоптимального быстродействия.

2. Полученный результат позволил выявить, исследовать и применить эффективный инструмент построения е -квазиоптимальных моделей - класс нелинейных ограниченных параметрически изменяемых функций, аппроксимирующих разрывные нелинейности классических моделей оптимального быстродействия, а также доказать, что эти функции придают моделям свойства асимптотической устойчивости и параметрической настраиваемости быстродействия с сохранением ограниченности переменных состояния.

3. Исследование квазиоптимизационных возможностей функций выделенного в работе класса позволило разработать методологию направленного конструирования е -параметрически квазиоптимальных моделей, что дает возможность эффективно использовать их в каче-

16

стве эталонных при синтезе законов квазиоптимального быстродействия.

4. Решение вопросов программной реализации АСУ ТП с цифровыми контроллерами, реализующими законы квазиоптимального быстродействия, включающее и подсистему имитационного моделирования для практической отладки этих законов, в частности, настроечных параметров е, обеспечивающих компромисс быстродействия и робастности, показывает работоспособность, эффективность и полезность основных теоретических решений диссертации. Поэтому разработанные алгортимы реализации 8-параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов асимптотически устойчивого управления могут служить основой для широкого внедрения в практику управления техническими системами и технологическими объектами в различных областях техники и отраслях промышленности.

5. Таким образом, можно считать, что совокупность полученных в диссертации результатов является решением достаточно серьезной научной задачи теории систем оптимального управления.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертационной работы практически полностью опубликованы в 14 печатных работах.

1. Волков Р.В. Нейроидентификация динамики технологических процессов. I Всеукра1нско1 науково-техн1чно1 конференц» астрантш та студентов "Автоматизация технолопчних об'еюпв та процеав. Пошук молодих.": Зб1рник наукових праць, 15-16 трав-ня/ДонДТУ.-Донецьк, 2001.

2. Волков Р.В. Применение нейронных сетей для идентификации электромеханических систем. Инженер: Студ. науч.-техн. журн./ДонНТУ. - 2001.- N2.

3. Волков Р.В. Имитационное моделирование распределенных систем с использованием искусственных нейронных сетей. XV Меж-

17

дународная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15: Сб.тр./ТГТУ. - Изд-во ТГТУ. -Тамбов, 2002. - Т.5.

4. Волков Р.В., Нейдорф P.A. Имитационное моделирование в задачах разработки АСУТП // Промышленные АСУ и контроллеры. 2003. №5. - Изд-во "НАУЧТЕХЛИТИЗДАТ".

5. Волков Р.В., Нейдорф P.A. Имитационное моделирование АСУ ТП на платформе Trace Mode. Материалы работы 9-й международной конференции "Разработка АСУ ТП в системе Трейс Моуд: задачи и перспективы". 2003. http://www.adastra.ru.

6. Волков Р.В., Нейдорф P.A. Теория и практика квазиоптимального по быстродействию управления в технических системах и АСУ ТП // Информатика и системы управления. 2003. № 2(6), С. 144156.

7. Алексейчик М.И., Волков Р.В., Герреро Г. К проблеме учета априорной информации в задаче идентификации технических систем. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-16: Сб. трудов XVI Международ, науч. конф.: В 10 т. Т. 3 / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Ростов н/Д: Изд-во РГАСХМ ГОУ, 2003.

8. Алексейчик М.И., Волков Р.В., Герреро Г. Одно применение метода Монте-Карло к математико-статистическому моделированию технических систем. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-16: Сб. трудов XVI Международ, науч. конф.: В 10 т. Т. 3 / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Ростов н/Д: Изд-во РГАСХМ ГОУ, 2003.

9. Волков Р.В. К вопросу о функциях квазистабилизации производной в задачах оптимального по быстродействию управления. Автоматизац1я технолопчних об'екпв та процеав. Пошук моло-дих. Зб!рник наукових праць IV М1жнародно1 науково-техн1чно1

18

конференц1я1 acnipaHTiB та студенлв в м. Донецьку 11-14 травня 2004р.- Донецьк, Дон-НТУ, 2004.

10. Волков Р.В. Гиперболический тангенс как функция квазистабилизации производной в задачах оптимального быстродействия. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-17: Сб. трудов XVII Международ, науч. конф.: В 10 т. Т. 2. Секция 2 / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Кострома: изд-во Костромского гос. технол. Ун-та, 2004.

11. Волков Р.В. Некоторые вопросы квазистабилизации производной в задачах оптимального по быстродействию управления. "Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике": Сб.тр. Вып. 10. - Воронеж. Изд-во "Научная книга", 2005.

12. Волков Р.В Об одной е -квазиоптимальной по быстродействию системе второго порядка. "Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике": Сб.тр. Вып. 10. -Воронеж. Изд-во "Научная книга", 2005.

13. Волков Р.В. Анализ свойств динамических систем на основе дифференциальных и интегральных неравенств. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18: Сб. трудов XVIII Международ, науч. конф.: В 10 т. Т. 1. Секция 1 / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. ун-та, 2005.

14. Волков Р.В., Нейдорф P.A. Исследование одного класса квазиоптимальных по быстродействию законов управления. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18: Сб. трудов XVIII Международ, науч. конф.: В 10 т. Т. 2. Секция 2 / Под общ. Ред. В.С.Балакирева. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. унта, 2005.

»25079

РПБ Русский фонд

2006-4 29874

Подписано к печати 23.11.2005 г. Формат 60 х 84/16 Бумага офсетная Печать трафаретная

Объем 1.2 у сл. п. л.. 0,8 уч.-изд. л. Заказ 15/2005 Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский отдел РГАСХМ ГОУ 344023, г. Ростов-на-Дону. ул. Страны Советов 1

Введение.

Глава 1. Проблемы и возможности оптимального и квазиоптимального управления динамическими системами.

1.1. Сущность проблемы оптимального управления динамическими системами

1.1.1. Особенности задач оптимизации управляемых динамических систем.

1.1.2. Сущность задачи оптимизации управляемых динамических систем.

1.1.3. Проблема оптимизации быстродействия динамических систем.

1.1.4. Быстродействие как физически обоснованный критерий оптимизации.

• 1.1.5. Проблема учета ограничений на траекторию и управление при оптимизации управления.

1.2. Подходы к решению проблемы оптимального по быстродействию

Ф управления динамическими системами.

1.2.1. Проблемы и возможности оптимизации управления методами классического вариационного исчисления.

1.2.2. Принцип максимума Понтрягина.

1.3. Квазиоптимизация как практическое решение задачи оптимизации управляемых динамических систем. ф 1.3.1. Причины возникновения методов квазиоптимального управления динамическими системами.

1.3.2. Существующие подходы квазиоптимизации, их классификация и основные характеристики.

1.3.3. Обзор и анализ методов квазиоптимизации программного управления.

1.3.4. Анализ существующих подходов синтеза квазиоптимального управления в системах с обратной связью.:.

1.4. Обоснование и формулировка цели исследования.

Ф 1.5. Выводы по первой главе.

Глава 2. Исследование задачи математического моделирования в -параметрически квазиоптимального быстродействия.

0 2.1. Постановка задачи в-параметрически квазиоптимального быстродействия.

2.1.1. Достоинства и недостатки задачи оптимального быстродействия.

2.1.2. Аппроксимационная регуляризация задачи оптимального быстродействия на основе в-параметрической квазиоптимизации.'.

2.1.3. Постановка задачи синтеза ММ ДС с в-параметрически квазиоптимальными собственными движениями.

2.2. Анализ задачи аппроксимации разрывных функций оптимальных законов управления.'. 2.2.1. Разрывные функции и их роль в оптимальном управлении.

2.2.2. Переключающие функции.

2.2.3. Постановка задачи аппроксимации переключающих функций.

2.3. Аппроксимация разрывных функций оптимальных законов управления.

2.3.1. Варианты аппроксимации функции signx.

2.3.2. Дробно-радикальная функция.

2.3.3. Функции, основанные на преобразовании Стеклова.

2.3.4. Тригонометрическая и гиперболическая функции.

2.3.5. Варианты аппроксимации ступенчатой функции, их анализ.

• 2.3.6. Итоги.

2.4. Математические модели 1-го порядка с в-параметрически квазиоптимальным быстродействием решения.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Асимптотическая устойчивость квазиоптимальных моделей.

Ф 2.4.3. Предельное быстродействие квазиоптимальных моделей.

2.5. Выводы по второй главе.

Глава 3. Конструирование асимптотически устойчивых математических моделей s -параметрически квазиоптимального быстродействия высокого порядка.

3.1. Особенности постановки задачи 8-параметрически квазиоптимального быстродействия для динамических систем высокого порядка.

3.1.1. Особенности и трудности конструирования квазиоптимальных по быстродействию дифференциальных уравнений высокого порядка.

3.1.2. Требования к аппроксимирующим функциям в задаче квазиоптимального быстродействия для систем высокого порядка.

3.1.3. Цель и задачи исследования.

3.2. Синтез математической модели П-го порядка с 8 -параметрически квазиоптимальным быстродействием решения прямым преобразованием эталона быстродействия.

3.2.1. Прямое преобразование эталона быстродействия.

3.2.2. Асимптотическая устойчивость квазиоптимальной модели.

3.2.3. Оценка изменения решений и предельные свойства решений квазиоптимальной модели.

3.2.4. Свойства решений квазиоптимальной модели, обусловленные е-параметрической зависимостью.

3.3. Синтез математической модели П-го порядка с 8 -параметрически квазиоптимальным быстродействием решения аппроксимационным преобразованием эталона быстродействия.

3.3.1. Альтернатива квазиоптимальной математической модели П-го порядка, полученной прямым преобразованием эталона.

3.3.2. Асимптотическая устойчивость квазиоптимальной модели.

3.3.3. Оценка изменения решений квазиоптимальной модели.

3.3.4. Переходные процессы.

3.4. Синтез математических моделей с упрощенным 8-параметрически квазиоптимальным быстродействием решения.

3.5. Перспективы развития подхода е -параметрической квазиоптимизации

3.5.1. Учет ограниченной интенсивности при квазиоптимизации быстродействия.

3.5.2. Синтез и предварительный анализ математической модели Ш-го порядка с s -параметрически квазиоптимальным быстродействием решения прямым преобразованием эталона быстродействия.

3.6. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Синтез s -параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов автоматического управления.

4.1. Идеология синтеза ЗУ по динамическим эталонам САУ.

4.1.1. Предварительные сведения о задаче синтеза САУ.

4.1.2. Критериальная стратегия синтеза алгоритмов управления и общая характеристика задачи проектирования САУ.

4.1.3. Краткий анализ традиционных инженерных подходов к решению задачи синтеза САУ.,.

4.2. Исследование проблем и возможностей синтеза ММ е -параметрически квазиоптимальных по быстродействию ДС.

4.2.1. Метод отождествления высших производных.

4.2.2. Метод отождествления дифференциальных операторов.

4.2.3. Эталонные асимптотически устойчивые математические модели, s -параметрически квазиоптимальные по быстродействию.

4.2.4. Методика синтеза ЗУ, обеспечивающих s -параметрически квазиоптимальное по быстродействию управление ДС.

4.2.5. Нейросетевая парадигма в задачах реализации s -параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления.

4.3. Примеры синтеза s-параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления техническими объектами.

4.3.1. Синтез s -параметрически квазиоптимального по быстродействию закона управления для динамического объекта 1-го порядка.

4.3.2. Синтез s -параметрически квазиоптимального по быстродействию закона управления для нелинейного динамического объекта П-го порядка

4.3.3. Синтез s-параметрически квазиоптимального по быстродействию закона управления однозвенным роботом-манипулятором.

4.4. Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Программный комплекс для разработки и отладки проектов АСУ ТП с цифровыми контроллерами, s-квазиоптимальными по быстродействию.

5.1. Постановка задачи комплексной реализации £ -параметически квазиоптимального подхода.

5.1.1. Сущность поставленной задачи.

5.1.2. Структура задачи.

5.2. Исследование возможностей реализации s-параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов управления.

5.2.1. Программное обеспечение.

5.2.2. Техническое обеспечение.

5.2.3. Итоги.

5.3. Программный комплекс имитационного моделирования АСУ ТП.

5.3.1. Структура комплекса.

5.3.2. SCADA-системы как основа человеко-машинного интерфейса в

АСУ ТП.

5.3.3. Подсистема имитационного моделирования технологических объектов управления.

5.3.4. Подсистема интегрирования имитатора ТП и SCADA-системы.

5.4. Пример использования комплекса имитационного моделирования АСУ ТП с е -параметрически квазиоптимальным по быстродействию цифровым регулятором.

5.5. Выводы по пятой главе.

Актуальность темы. Практика автоматизации технических систем ориентирована на использование типовых линейных законов управления (ЗУ) ввиду простоты их анализа и синтеза, асимптотичности поведения, ро-бастности. Недостаток автоматических систем с такими ЗУ - низкое быстродействие. В противоположность им, оптимальные САУ позволяют получить максимальный технический выигрыш от управления, но сложны в расчете и реализации, а также, чаще всего, не робастны и плохо обусловлены функционально. В связи с этим возникло и много лет успешно развивается научное направление, декларирующее компромиссный подход к задаче, получившей название квазиоптимального управления. Квазиоптимальные системы незначительно уступают оптимальным по качеству управления., но значительно выигрывают по таким свойствам как робастность, надежность, относительная несложность реализации. В наибольшей степени эффект квазиоптимальности проявляется в системах, ориентированных на быстродействие. Поэтому решение задачи сочетания в законе управления высоких качественных показателей, робастности и относительно невысокой сложности чрезвычайно актуально.

Целью диссертационной работы является теоретическая разработка и практическое исследование задачи построения асимптотически устойчивых динамических систем (ДС) на основе парадигмы s -параметрической квазиоптимизации быстродействия.

Указанной цели подчинено решение следующих основных научных и технических вопросов:

-формализация подхода к проблеме квазиоптимального управления вообще и квазиоптимального быстродействия, в частности;

-отыскание, систематизация и обоснование эффективных структур аналитических функций, перспективных с точки зрения реализации свойств в -параметрической квазиоптимальности и естественной ограниченности управляемых переменных состояния;

-разработка и обоснование основных положений подхода, позволяющего конструировать е -параметрические математические модели (ММ) нелинейных систем, сочетающих асимптотическую устойчивость тривиального решения с форсированной динамикой переходных процессов;

-разработка алгоритмического и программного обеспечения для САУ, построенных с использованием е -параметрически квазиоптимальных по быстродействию цифровых контроллеров, встраиваемых в инструментальную среду SCADA-систем.

Существенные научные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту:

1. Иерархическая система требований, предъявляемых к методологии аппроксимации свойств ММ оптимальных по быстродействию САУ, обеспечивающих эффективное и системно обоснованное построение ММ квазиоптимальных систем управления.

2. Класс аппроксимирующих функций, обеспечивающих построение ММ с s -параметрически квазиоптимальным по быстродействию и асимптотически устойчивым тривиальным решением.

3. Система базовых положений метода направленного конструирования асимптотически устойчивых ДС в-параметрически квазиоптимального быстродействия и их использования в качестве эталонов при разработке законов в -параметрически квазиоптимального быстродействия.

4. Программный комплекс разработки и отладки проектов АСУ ТП с цифровыми контроллерами в-параметрически квазиоптимального по быстродействию управления технологическими процессами.

Научная новизна работы определяется следующими отличительными особенностями полученных существенных результатов:

1. Совокупность предложенных в диссертации параметрических требований к аппроксимации моделей движения, включающая множественную меру в, определяющую степень приближения свойств модели к оптимальному эталону.

2. Для исследованных в работе нелинейных параметрически настраиваемых функций, аппроксимирующих разрывные функции оптимального управления, впервые доказано свойство асимптотической устойчивости тривиального решения ДС 1-го и П-го порядка, а также свойство направленного формирования в -параметрической квазиоптимальности в системах П-го порядка.

3. Оригинальность предложенных в работе в качестве эталонных MM s -параметрически квазиоптимального быстродействия 1-го и П-го порядка обусловлена новизной подхода направленного конструирования асимптотически устойчивых ММ в -параметрически квазиоптимального быстродействия ДС.

4. Отсутствие разработанных алгоритмов и программ s-параметрически квазиоптимального по быстродействию управления в современных версиях SCADA-систем подтверждает оригинальность программного комплекса имитационного моделирования, предназначенного для разработки и отладки проектов АСУ ТП с цифровыми контроллерами, s -параметрически квазиоптимальными по быстродействию.

Методы исследования. В работе использованы методы классического вариационного исчисления, математической теории оптимального управления, функционального анализа, теории автоматического управления.

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что ее результаты позволяют решить многие проблемы управления техническими системами и технологическими процессами. Незначительность потери быстродействия в в-параметрически квазиоптимальных системах (0,5 - 2%) при хорошей обусловленности законов управления и асимптотической устойчивости системы в целом позволяет решить проблемы быстродействующего управления летательными аппаратами, системами слежения и наведения и т.п. Эффективно решаются в рамках разработанной парадигмы и задачи повышения производительности технологических объектов, процессов и производств, например, таких как периодические процессы и производства.

Работа имеет хорошее практическое приложение и в учебном процессе, т.к. предложенные решения обладают хорошей прозрачностью, убедительно оттеняют преимущества и недостатки классических результатов теории оптимального быстродействия и позволяют демонстрировать связь теории автоматического управления с практическими задачами. Поэтому материалы диссертации подкрепляются актами внедрения ее результатов в учебный процесс.

Соответствие диссертации научному плану работ и целевым комплексным программам. Тема диссертационной работы сформулирована в связи с выполнением госбюджетных научных исследований 2002 г. «Выявление закономерностей интервальной организации устойчивого управления в замкнутых автоматических системах», а тематика дальнейших диссертационных исследований определялась госбюджетными работами 2004 - 2006 гг. «Разработка теоретических основ интервально-аппроксимационной организации и оптимизации управления в замкнутых автоматических системах», выполняемых по тематическому плану Минобрнауки под руководством проф. Нейдорфа Р.А. Также диссертационные исследования проводились при выполнении научно-исследовательских работ в рамках гранта АОЗ-З.16-189 «Квазиоптимальное по быстродействию асиптотически устойчивое управление на основе нейросетевых технологий» для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России, а также федеральных госбюджетных научно-исследовательских работ в Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения (РГАСХМ): «Теоретические посылки квазиоптимизации быстродействия автоматического управления», «Программное обеспечение имитационного моделирования квазиоптимальных по быстродействию систем».

Апробация диссертационной работы. Материалы диссертационной работы апробировались на следующих международных и региональных научных конференциях: XV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15 (ТГТУ, Тамбов, 2002); IX международная конференция "Разработка АСУ ТП в системе Трейс Моуд: задачи и перспективы" (Москва, 2003); XVI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-16 (ММТТ-Дон) (РГАСХМ, Ростов-на-Дону, 2003); IV М1жнародно1 науково-техн1чно1 конференщя1 acnipaHTiB та студенев «Автоматизащя технолопчних об'екпв та процеав. Пошук молодих» (ДонНТУ, Украина, Донецк, 2004); XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-17 (КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ), Кострома, 2004); X Международная открытая научная конференция «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (ВГТУ, Воронеж, 2005); XVIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-18 (КГТУ, Казань, 2005).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 14 работ. Наиболее существенные результаты опубликованы в журналах «Промышленные АСУ и контроллеры», «Информатика и системы управления», вошли в сборники научных трудов ММТТ-18, ММТТ-17, ММТТ-16, ММТТ-15, а также другие сборники трудов и докладов региональных и международных научно-технических конференций.

5.5. Выводы по пятой главе

Максимально приближенное к практической реализации по стандартным схемам АСУТП, имитационное исследование законов квазиоптимального быстродействия, достоинства которых до сих пор обосновывались лишь аналитически и точным компьютерным моделированием в среде пакета MATLAB, дает основания считать их работоспособными, что в сочетании с проведенным анализом вопросов технической реализации управляющих устройств, способных формировать квазиоптимальные по быстродействию законы управления, обосновывает актуальность сформулированного направления исследований, его высокую практическую полезность и целесообразность практического внедрения диссертационных результатов, вплоть до практического создания серии контроллеров с нелинейными ЗУ квазиоптимального быстродействия применительно к объектам различного порядка, структуры и характера ММ.

Заключение

1. Сформулированный и исследованный в работе системный подход к формированию и оценке свойств динамических моделей квазиоптимального быстродействия позволил формализовать понятие квазиоптимальных по быстродействию систем и определить совокупность их отличительных свойств, включающую параметрическую зависимость решения и его асимптотическую устойчивость, которым это решение должно удовлетворять. В результате предложен новый класс таких систем - системы s -параметрического квазиоптимального быстродействия.

2. Полученный результат позволил выявить, исследовать и применить эффективный инструмент построения s -квазиоптимальных моделей - класс нелинейных ограниченных параметрически изменяемых функций, аппроксимирующих разрывные нелинейности классических моделей оптимального быстродействия, а также доказать, что эти функции придают моделям свойства асимптотической устойчивости и параметрической настраиваемое™ быстродействия с сохранением ограниченности переменных состояния.

3. Исследование квазиоптимизационных возможностей функций выделенного в работе класса позволило разработать методологию направленного конструирования s -параметрически квазиоптимальных моделей, что дает возможность эффективно использовать их в качестве эталонных при синтезе законов квазиоптимального быстродействия.

4. Решение вопросов программной реализации АСУ ТП с цифровыми контроллерами, реализующими законы квазиоптимального быстродействия, включающее и подсистему имитационного моделирования для практической отладки этих законов, в частности, настроечных параметров s, обеспечивающих компромисс быстродействия и робастности, показывает работоспособность, эффективность и полезность основных теоретических решений диссертации. Поэтому разработанные алгортимы реализации s параметрически квазиоптимальных по быстродействию законов асимптотически устойчивого управления могут служить основой для широкого внедрения в практику управления техническими системами и технологическими объектами в различных областях техники и отраслях промышленности.

5. Таким образом, можно считать, что совокупность полученных в диссертации результатов является решением достаточно серьезной научной задачи теории систем оптимального управления.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМ и МФ. 1961, т. 1, №3.

2. Айзерман М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования и управления // Автоматика и телемеханика. 1993. №7. С. 6- 18.

3. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем I, II // Автоматика и телемеханика. 1974. №7. С. 33-47. №8. С. 39-61.

4. Айзин B.C. TRACE MODE и PC-based контроллеры // Промышленные АСУ и контроллеры. 2003. №7.

5. Акилов Г.П., Канторович JIB. Функциональный анализ. М.: BHV, 2004.

6. Александров В.М. Решение задач оптимального управления на основе метода квазиоптимального управления // Труды Института математики СО АН. Т. 10. Модели и методы оптимизации. Новосибирск: Наука, 1988;

7. Александров В.М. Приближенное решение задачи линейного быстродействия //Автоматика и телемеханика. 1998. №12. С. 3 13.

8. Александров В.М. Численное решение задачи линейного быстродействия // Фунд. и прикл. математика, 2000, том 6, №1;

9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

10. Ананских М. Программируемые логические контроллеры VIPA System 200V // Современные технологии автоматизации. 2004. №2.

11. Анзимиров JIB. TRACE MODE 6: больше возможностей, шире круг пользователей, меньше стоимость разработки проекта // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2002. №7.

12. Анзимиров JIB. Интегрированная SCADA и Softlogic система Trace Mode 5 // Приборы и системы. Управление, контроль и диагностика, 2002. №1.

13. Анзимиров JI., Айзин В., Фридлянд А. Новая версия TRACE MODE для Windows NT // Современные технологии автоматизации. 1998. №3.

14. Антомонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. JT.: Судпромгиз, 1962.

15. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972.

16. Атанс М., Фалб П.Л. Оптимальное управление/Под ред. д-ра техн. наук проф. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.

17. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003.

18. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос-техтеоретиздат, 1955.

19. Ащепков Л.Т. Субоптимальная стабилизация линейной системы // Автоматика и телемеханика. 1998. №12. С. 14-21.

20. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Едиториал УРСС, 2004.

21. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости М.: Наука, 1967

22. Бармин А. Устройства локальной автоматики. Микроконтроллеры // Современные технологии автоматизации. 2003. №4.

23. Баталин Г., Васютинский В. Система сбора и отображения информации с использованием ОРС и Интернет-технологий, // Современные технологии автоматизации. 2003. №2.

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.

25. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

26. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970. - 576 с.

27. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / Бесекерский В.А., Попов Е.П. М.: Наука, 1975. - 768 с.

28. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория) / Под ред. В.А. Садовничего. М.: Высш. шк., 2001.

29. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.

30. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1971.- 112с.

31. Болдырев В.И. Численное решение задачи быстродействия // Фунд. и прикл. математика, 1999, т. 5, №3.

32. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966.

33. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1969, 9, №3.

34. Бунин В., Анопренко В., Ильин А., Салова О., Чибисова Н., Якушев А. SCADA-системы: проблема выбора // Современные технологии автоматизации. 1999. №4.

35. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление/Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

36. Васютинский В., Шерстобитов А. Система управления технологическим процессом приёмки нефти и отображения информации на базе ОРС-и Web-технологий // Современные технологии автоматизации. 2004. №2.

37. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1970, 10, №1, с. 67 97

38. Величенко В.В. О задаче минимума максимальной перегрузки. -Космические исследования, 1972, X, вып. 5.

39. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: ОНИКС 21 век, 2004.

40. Волков Р.В. Применение нейронных сетей для идентификации электромеханических систем. Инженер: Студ. науч.-техн. журн./ДонНТУ. -2001.-N2.

41. Волков Р.В. Имитационное моделирование распределенных систем с использованием искусственных нейронных сетей. XV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15: Сб.тр./ТГТУ. Изд-во ТГТУ. - Тамбов, 2002. - Т.5.

42. Волков Р.В. Некоторые вопросы квазистабилизации производной в задачах оптимального по быстродействию управления. "Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике": Сб.тр. Вып. 10. Воронеж. Изд-во "Научная книга", 2005.

43. Волков Р.В. Об одной epsilon-квазиоптимальной по быстродействию системе второго порядка. "Современные проблемы информатизации внепромышленной сфере и экономике": Сб.тр. Вып. 10. Воронеж. Изд-во "Научная книга", 2005.

44. Волков Р.В., Нейдорф Р.А. Имитационное моделирование в задачах разработки АСУТП // Промышленные АСУ и контроллеры. 2003. №5. -Изд-во "НАУЧТЕХЛИТИЗДАТ".

45. Волков Р.В., Нейдорф Р.А. Теория и практика квазиоптимального по быстродействию управления в технических системах и АСУ ТП // Информатика и системы управления. 2003. № 2(6), С. 144-156.

46. Волков В.В., Нестерова Г.Н. Опыт внедрения и эксплуатации ПТК «КРУИЗ» и SCAD A TRACE MODE на ТЭС Нассирия // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2002. №1.

47. Теория автоматического управления/Под ред. А.А. Воронова. Ч. 2. М.: Высш. шк., 1986.

48. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления и классические проблемы теории автоматического регулирования // Междунар. конф. по проблемам управления: Сб. пленарн. Докл. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999.

49. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989.

50. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

51. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

52. Гук М. Аппаратные средства IBM PC. Энциклопедия, 2-е изд. -СПб.: Питер, 2001.

53. Гук М. Аппаратные интерфейсы ПК. Энциклопедия. СПб.: Питер, 2003.

54. Гультяев А.К. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows. М.: Корона-принт, 2001.

55. Гурман В.И. Вырожденность нелинейных задач оптимального управления // Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация. Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М.: Физматлит, 2003.

56. Дейт К. Введение в системы баз данных. М.: Вильяме, 2005

57. Деменков Н.П. Тенденции развития промышленной автоматики // Промышленные АСУ и контроллеры. 2003. №6.

58. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: 1963.

59. Децюк В. Фирма Siemens в мире автоматизации // Современные технологии автоматизации. 1998. №3.

60. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Некоторые оптимальные задачи для линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1963.24. №12. С. 1616 1625.

61. Дудников В., Янкина М., Савин С., Максименко В., Мурыжни-ков А. АСУ ТП на базе SCADA-пакета GENESIS32: опыт, решения, наработки // Современные технологии автоматизации. 2003. №2.

62. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. -М.: Физматлит, 2000.

63. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 2. Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления/Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

64. Зеленин С., Москалёв Н. Управление процессом варки стекла с использованием приложений GENESIS32 // Современные технологии автоматизации. 2003. №2.

65. Зеликин М.И. Нерегулярность оптимального управления в регулярных экстремальных задачах // Фунд. и прикл. математика. 1995. 1. №2. С. 399-408.

66. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. Школа, 1973.

67. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

68. Исмаилов И.Г. Об одной процедуре приближенного решения задач управления и оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1997. №4. С. 227 231.

69. Ицкович Э.Л. Классификация современных контроллеров и их сетевых комплексов // Оборудование. 2004. №7.

70. Калинцев В., Сорокин В., Зуев Ю., Долинский Ю. Автоматизированная система научных исследований «Тритий» // Современные технологии автоматизации. 1998. №2.

71. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

72. Калман Р.Э., Фалб П.Л., Арбиб М.А. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2004.

73. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.

74. Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоатомиздат, 1982.

75. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994.

76. Современная прикладная теория управления. Ч. 1. Оптимизационный подход в теории управления/Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

77. Колмановский В.Б. О приближенном синтезе некоторых стохастических квазилинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1975. №5. С. 51 58.

78. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. - М.: Наука, 1989.

79. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

80. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1973.

81. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987

82. Красовский А.А. Проблемы физической теории управления // Автоматика и телемеханика. 1990. №11. С. 3 41.

83. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

84. Круглински Д., Уингоу С., Шеферд Д. Программирование на Visual С++ 6 для профессионалов. СПб: Питер, 2004.

85. Кругляк К. Одноплатные компьютеры для встраиваемых систем // Современные технологии автоматизации. 2003. №4.

86. Крылов И.А. Численное решение задачи об оптимальной стабилизации спутника // ЖВМ и МФ, 1968, 8, №1.

87. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1962, 2, №6.

88. Кузнецов A. Genesis for Windows графическая SCADA-система для разработки АСУ ТП // Современные технологии автоматизации. 1997. №3.

89. Кулебакин B.C. Об определении основных параметров автоматических регуляторов//Автоматика и телемеханика. 1941.-Т.6.-№3.-С. 7-18.

90. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. М.:Высш. школа, 1980.-287 с.

91. Куцевич Н. Компонентные технологии в системах промышленной автоматизации // Открытые системы. 1999. №4.

92. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

93. Локотков A. Genesis32: нечто большее, чем просто SCADA-система // Современные технологии автоматизации. 1998. №3.

94. Локотков A. Genie 3.0: гармония простоты и эффективности // Современные технологии автоматизации. 1998. №3.

95. Мазуров В.М., Литюга А.В., Спицын А.В. Развитие технологий адаптивного управления в SCADA-системе TRACE MODE // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2002. №1.

96. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

97. ЮЗ.Маслов А., Висков А. Комплекс для разработки и отладки проектов АСУ ТП // Современные технологии автоматизации. 2001. №3.

98. Математика. Большой энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю.В. Прохоров. 3-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. - 848 с.

99. Медведев B.C., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов / Под общ. ред. В.Г. Потемкина. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

100. Моисеев Н.Н. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений // ЖВМ и МФ, I, 1964, 4, №3; II, 1965, 5, №1.

101. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. Кибернетика, 1966, 5, №3, 1-23.

102. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.

103. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука,1975.

104. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. Гл. ред. физ.—мат. лит., 1978.

105. Нейдорф Р.А. Синтез и оптимизация алгоритмов управления в технических системах: Учеб. Пособие. Ч. I. Параметрический синтез типовых законов управления в линейных системах. Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1994.

106. Нейдорф Р.А. Синергетические аспекты синтеза алгоритмов управления по эталонным математическим моделям // Диагностика и управление в технических системах: Межвуз. сборник научн. тр. Ростов-на-Дону, 1996.- С.16-19.

107. Нейдорф Р.А. Критериальная стратегия структурного синтеза законов управления в технических системах на основе идеологии динамической самоорганизации // Диагностика и управление в технических системах: Межвуз. сб. нау. тр. Ростов-на-Дону, 1998.

108. Нейдорф Р.А. Синтез законов управления в технических системах: Учеб. Пособие. 4.1. Инженерные методы синтеза законов управления в технических системах по эталонным математическим моделям / Нейдорф Р.А., Иванов Б.А., Обухов П.С. и др. Ухта: УГТУ, 2000.

109. Нейдорф Р.А. Нелинейная организация асимптотически устойчивых квазиоптимальных по быстродействию движений. // Сб. докл. Всерос. науч. конф. 3-4 апр. 2003 г. "Управление и информационные технологии". СПб., 2003. Т.1.С.189-194.

110. Нейдорф Р.А., Соловей Н.С. Инженерные методы синтеза автоматических систем управления: Учеб. пособие; Под общ. ред. Р.А. Нейдорфа. -Ухта: УГТУ, Ростов-н/Д: РГАСХМ, 2004.

111. Нейдорф P.A., Тищенко Л.Г. Интервально-апроксимационное управление. Локальная устойчивость. // Информатика и Системы Управления. 2003. №1(5).

112. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

113. Никитин A. Advantech Studio SCADA с поддержкой Web-технологий // Современные технологии автоматизации. 2003. №1.

114. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

115. Обухов П.С. Об одном подходе к синтезу желаемых математических моделей систем управления // Диагностика и управление в технических системах: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов-на-Дону: Изд. центр ДТТУ, 1998. - С. 42-51.

116. Обухов П.С. Об ограничении корневого пространства нормированного характеристического полинома // Управление и диагностика в динамических системах: Вестник ДГТУ. Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ, 1999.-С. 82-83.

117. Обухов П.С. Алгоритм построения эталонных математических моделей для синтеза автоматических систем // Проблемы автоматизации и управления производственными системами: Сб. науч. ст. Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ, 1999.-С. 72-74.

118. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М.: Высш. шк., 2002.

119. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

120. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Физматгиз, 1961.

121. Родионов В.Д., Терехов В.А., Яковлев В.Б. Технические средства АСУ ТП / Под ред. В.Б.Яковлева. М.: Высш.шк., 1989.

122. Розенфельд А.С., Яхинсон Б.И. Переходные процессы и обобщенные функции. М.: Наука, 1966.

123. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. - 440 с.

124. MATLAB User's Guide. MathWorks, 2002.

125. Руководство пользователя TRACE MODE 6. Издание третье. М.: AdAstrA, 2005.

126. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967.

127. Смоляков Э.Р. Неизвестные страницы истории оптимального управления. М.: Едиториал УРСС, 2002.

128. Соколов Т.Н. Электромеханические системы автоматического управления. М.: Госэнергоиздат, 1952. - 342 с.

129. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического управления/Под ред. В.В. Солодовникова. -М.: Машиностроение, 1967.

130. Теория автоматического регулирования. Книга 1 / Под ред. В.В.Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967. - 768 с.

131. Тейксейра С., Пачеко К. Delpi 5. Руководство разработчика. М.: Вильяме, 2000.

132. Теркель Д. Ole for Process Control свобода выбора II Современные технологии автоматизации. 1999. №3.

133. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.

134. Токарев А.Ю. TRACE MODE в информационно-измерительных системах исследовательских ядерных реакторов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2002. №1.

135. Траксел Джон. Синтез систем автоматического регулирования. -М.: Машгиз, 1959. 360 с.

136. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992.

137. Тятюшкин А.И. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления // Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация. Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. -М.: Физматлит, 2003.

138. Удерман З.Г. Об одном методе определения параметров линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1949. - Т.2. - №3. - С. 6-12.

139. Урецкий Л.А. Анализ использования языков программирования стандарта МЭК 61131-3 в среде Concept фирмы Schneider Electric на примере АСУ ТП нефтеперекачивающей станции // Промышленные АСУ и контроллеры. 2004. №3.

140. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

141. Федоренко Р.П. Метод проекции градиента в задачах оптимального управления. М.: ИПМ АН СССР, 1975, №5.

142. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

143. Фельдбаум А.А. Простейшие релейные системы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1949. т. 10. №4. С. 249 266.

144. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных систем. М.: Физмат-гиз, 1963.

145. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

146. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. I/Пред. и прим. А.А.Флоринского. 8-е изд. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002. - 728 с.

147. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. И/Пред, и прим. А.А.Флоринского. 8-е изд. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002. - 728 с.

148. Фридлянд А.В. Техническая поддержка TRACE MODE 5 в СНГ и за рубежом // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2002. №1.

149. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

150. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970.

151. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973

152. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Матем. анализ. 1977. - Т. 14;

153. Шакиров С., Биюсов Р., Якубович Б., Журавлев В. UltraLogik -система подготовки программ для промышленных контроллеров // Современные технологии автоматизации. 1997. №3.

154. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1962, №2.

155. Шевченко Г.В. Алгоритмы решения некоторых задач оптимального управления для линейных систем. Новосибирск, 1990. - Препринт №11. АН СССР. Сиб. отделение. Ин-т математики;

156. Шевченко Г.В. Линейная задача оптимального управления с выпуклым однородным функционалом // Фунд. и прикл. математика, 1999, т. 5, №3;

157. Шпиз Б., Якубович Б., Журавлев В., Биюсов Р., Шакиров С. Применение Ultralogik в проектировании систем управления инженерным оборудованием // Современные технологии автоматизации. 1998. №2.

158. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

159. Abbott R.D., McLain T.W., Beard R.W. Validation of a Synthesis for the Optimal Control of an Electro-hydraulic Positioning System // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. vol.~123, September 2001, p.377-384

160. Balakrishnan A.V. On a new computing technique in optimal control // SIAM J. Control. 1968. Vol 6. №2. PP. 149-173.

161. Beard R.W., Saridis G.N., Wen J.T. Computing Nonlinear Optimal Controls from Existing Stabilizing Controls // Proceedings of the 1995 Conference on Control Applications, pp. 1160-1161, Albany, 1995

162. Beard R.W., Saridis G.N., Wen J.T. Improving the Performance of Stabilizing Controls for Nonlinear Systems // IEEE Control Systems Magazine, volume 16, number 5, pp 27-35, October 1996.

163. Beard R.W., Saridis G.N., Wen J.T. Galerkin Approximation of the Generalized Hamilton-Jacobi-Bellman Equation // Automatica, 1997. Vol 33.

164. Beard R.W., Saridis G.N., Wen J.T. Approximate Solutions to the Time-Invariant Hamilton-Jacobi-Bellman Equation // JOTA, 1998, Vol 96.

165. Beeler S. C., Tran H. Т., Banks H. T. Feedback control methodologies for nonlinear systems // J. Optim. Theory Appl., 107 (2000), pp. 1—33.

166. Blanchini F., Ukovich W. A Linear Programming Approach to the Control of Discrete-Time Periodic System with State and Control Bounds in the Presence of Disturbance // JOTA. September, 1993. - v.73. - #3.

167. Bosarge W.E., Johnson O.G., McKnight R.S., Timlake W.P. The Ritz-Galerkin Procedure for Nonlinear Control Problems // SIAM Journal on Numerical Analisys, Vol 10, 1973

168. Butcher J.S. The numerical analysis of ODE; Runge-Kutta and general linear methods. John Willey, 1987.

169. Cody W.J., "Rational Chebyshev approximations for the error func-tion'V/Math. Сотр., 1969, PP. 631-638

170. Dahlen M.A., Diaz-Bolillo I.J. Control of Uncertain Systems: A Linear Programming Approach. Englewood Cliffs. -NJ: Prentice-Hall, 1995

171. Falb P.L. Infinite-dimensional filtering: the Kalman-Bucy filter in Hil-bert space // Information and Control. 1967. 11. PP. 102-137.

172. Garrard W.L. Suboptimal Feedback Control for Nonlinear Systems // Automatica. 1972. Vol 8. pp. 219 221.

173. Garrard W.L., Enns D.F., Snell S.A. Nonlinear Feedback Control of Highly Manoeuvrable Aircraft // International Journal of Control. 1992. Vol 56. pp. 799-812.

174. Garrard W.L., Jordan J.M. Design of Nonlinear Automatic Flight Control Systems // Automatica. 1977. Vol 13. pp. 497 505.

175. Ibraheem X. A Novel Approach to the Matrix Riccati Equation Solution: An Application to Optimal Control of Interconnected Power Systems // Electric Power Components & Systems. 2004. Vol. 32 Issue 1. pp. 33 52.

176. Karl-Heinz John, Michael Tiegelkamp IEC 61131-3Programming Industrial Automation Systems. - Springer, 2001.

177. Kelley H.J. Method of gradients, in Optimization Technique, G. Leit-man (ed.), Academic Press, 1962.

178. Kranc G.M., Saranchik P.E. An application of functional analysis to the optimum control problem // J. Basic Eng. (Trans. ASME, Ser. D). 1963. 85D.PP. 143-150.

179. Krikelis N.J., Kiriakidis K.I. Optimal Feedback Control for Nonlinear Systems // International Journal of Systems Science, 1992, Vol 23.

180. Kulikowski R. On optimum control with constraints // Bull. Polish Acad. Sci, Ser. Tech. Sci. 1959. 7. PP. 385 394.

181. Leake R.J., Liu R.W. Construction of Suboptimal Control Sequences // SIAM Journal on Control and Optimization. 1967. Vol 5.

182. Markman J., Katz I.N. An Iterative Algorithms for solving Hamilton -Jacobi Type Equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2000. Vol 22, №1. PP. 312-329.

183. Markman J., Katz I.N. Convergence of An Iterative Algorithms for solving Hamilton Jacobi Type Equations // Math. Сотр. 71 (2002), 77-103.

184. McLain T.W., Bailey C.A., Beard R.W. Synthesis and Experimental Testing of a Nonlinear Optimal Tracking Controller // American Control Conference, San Diego, June, 1999, pp. 2847-2851.

185. Miele A. Recent Advances in Gradient Algorithms for Optimal Control Problems. JOTA, 1975, 17,#516.

186. Miele A., Damoulakis J.N., Cloutier J.R., Tietze J.L. Sequential Gradient-Restoration Algorithm for Optimal Control Problems with Nondifferential Constraint. JOTA, 1974, 13, #2;

187. Neustadt L.W. Optimal control problems as extremal problems in a Ba-nach space // Proc. of the Symposium on System Theory, Polytechnic Institute of Brooklyn. 1965. PP. 215-224.

188. OPC Data Access Automation Specification 2.02. Opc Foundation, 1999.

189. Saridis G.N., Lee C.S.G. An Approximation Theory of Optimal Control for Trainable Manipulatiors, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1979, Vol 9.

190. Taylor L.W., Smith J., Iliff K.W. A comparison of minimum time problem for F-104 using Balakrishnan's e-technique, In: Lect. Notes in Math., №132 -New York: Springer-Verlag, 1969.

191. Taylor L.W., Smith J., Iliff K.W. Experience Using Balakrishnan's Ep-silon Technique to Compute Optimum Flight Profiles AIAA Paper 69-75. Presented at the 7th AIAA Aerospace Sciences Meeting, New York, New York, January 20-22, 1969.

192. Veliov V. Newton's method for problems of optimal control of heterogeneous systems // Optimization Methods & Software. 2003. Vol. 18 Issue 6. pp. 689 704.

193. Wernli A., Cook G. Suboptimal Control for Nonlinear Quadratic Regulator Problem // Automatica, 1975, Vol 11.

194. Xin M., Balakrishnan S. N. Control of the wing rock motion using a suboptimal control method // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers — Part G ~ Journal of Aerospace Engineering; 8/1/2004, Vol. 218 Issue 4.