автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Решение задачи оптимального и допустимого синтеза для некоторого класса систем

На правах рукописи

Бугаевская Анна Николаевна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО И ДОПУСТИМОГО СИНТЕЗА ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА СИСТЕМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2004

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Коробов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.К. Лифанов

доктор физико-математических наук, профессор Н.Ф. Шульга

Ведущая организация: Рязанский государственный

педагогический университет им. С.А. Есенина

Защита состоится 16 сентября 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

/О

Автореферат разослан «_». л-^^сгес 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

¿у^ С Е. Савотченко

7

2005-4 13082

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия, в частности линейная проблема быстродействия. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. Начиная с создания принципа максимума Л. С. Понт-рягиным, В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, и до настоящего времени широко исследуются задачи быстродействия. Основными методами решения задач быстродействия являются методы, основанные на принципе максимума, впервые полученном Р.В. Гам-крелидзе для решения линейных задач быстродействия; на сведении к L-проблеме моментов, инициированном Н.Н. Красовским; на идеях динамического программирования, предложенных Р. Беллманом. В настоящее время оказались эффективными методы решения линейных задач быстродействия, основанные на min-проблеме моментов А.А.Маркова, предложенные В.И. Коробовым и Г.М. Скляром. Задачами быстродействия занимались многие математики. Работы

A.В. Арутюнова, Р.Ф. Габасова, А.И. Егорова, В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, Ю.Н. Киселева, А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева, М.С. Никольского, Р.П. Федоренко, AIM. Формальского, Ф.Л. Чер-ноусько и других авторов в той или иной мере были связаны с вопросами, рассматриваемыми в диссертации.

Решение задач линейного быстродействия важно и с точки зрения нелинейных систем, поскольку решение таких задач может быть сведено к решению линейных систем.

Интенсивное развитие математической теории управляемых процессов привело к возникновению принципиально новых направлений в качественной теории дифференциальных уравнений. Одним из таких направлений является исследование проблемы синтеза управления. К проблеме синтеза на бесконечном интервале времени относится задача стабилизации систем управления, глубокое исследование которой дано в трудах В.И. Зубова, Н.Н. Красовского, A.M. Летова,

B.В. Румянцева и других авторов. Методами исследования задачи

синтеза управления, обеспечивающего попадание траекторий в 0 за конечное время, занимались Р. Беллман, Н.Н. Красовский, Л.С. Понт-рягин и другие авторы. В работах В.И. Коробова предложен метод решения задачи синтеза за конечное время с помощью функции управляемости, играющей роль, аналогичную функции Ляпунова в задачах устойчивости.

Важным звеном, связывающим теоретические исследования с практикой, является разработка для решения задач быстродействия численных методов, ориентированных на компьютерное применение. Особый интерес представляет решение задач быстродействия для систем с большой размерностью. Одна из трудностей, связанная с решением таких задач, состоит в том, что в процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленными матрицами.

Отсюда видно, что создание численных методов решения линейных задач быстродействия представляет интерес для развития теории оптимального управления. Эти методы могут использоваться как для решения линейных задач быстродействия, так и служить основой для создания методов решения нелинейных задач быстродействия.

Цель диссертационной работы состоит в решении линейных задач быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А.Маркова с четными пропусками и решении задачи допустимого синтеза для линейных неавтономных систем.

Основными задачами исследования являются следующие:

1) исследовать степенную min-проблему моментов А.А. Маркова с четными пропусками;

2) получить аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр сг(А) = {(2к — 1)А}£=1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками;

3) получить аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы;

4) на основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получить численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы;

5) получить аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.

1. Введена система специальных полиномов 72*,—1(хо,0,й) (к = 1,2,... п), определяемых рекуррентными соотношениями.

2. Для степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками введена новая порождающая функция, а именно гиперболический ареатангенс, с помощью которой получены уравнения для нахождения времени быстродействия.

3. Получен явный вид полинома, корнями которого являются все моменты переключения управления.

4. Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр

5. Получен явный вид опорного вектора к области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр

6. Предложен численный метод решения задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

7. Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Научное и практическое значение результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при решении задач быстродействия в различных прикладных задачах. Также они могут стать основой при решении нелинейных задач быстродействия. Кроме того, они могут найти применение в качестве материала для спецкурса по методам оптимизации. Полученные методы решения задач быстродействия могут быть использованы для создания пакета прикладных программ.

Положения, выносимые на защиту.

1. Решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр

2. Численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

3. Решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской молодежной научной кон-

ференции «XXIV Гагаринские чтения»(Москва, 1998); Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999); Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения»(Москва, 2000); Международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Одесса, 2000); XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001); на научно-исследовательском семинаре по оптимальным управлениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.И. Коробова в Харьковском государственном университете (2003 - 2004 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях. В отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрирована программа, реализующая численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

Личный вклад соискателя.

1. Исследована степенная min-проблема моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

2. Получено аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр сг(.А) = {(2& — 1)А}£_1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

3. Получено аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы.

4. Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр

5. Получен явный вид опорного вектора к области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр а(А) = {(2к-1)\}и

6. На основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получено численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

7. Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. Она изложена на 130 страницах машинописного текста. Библиографический список содержит 97 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.

В первой главе проводится обзор литературы, посвященной методам решения проблемы быстродействия и задачи синтеза управления.

Во второй главе устанавливается связь между решением задачи быстродействия

и тт-проблемой А.А.Маркова. Решение задачи быстродействия заключается в нахождении времени быстродействия 0, моментов переключения Т\,Т2,.. -,Тп-1 управления и{€) (точек разрыва функции и{Ь)) и рода управления й = ±1 — управления на конечном промежутке [Т„_х, 0]. Если й = —1, то управление «(¿) называется управлением первого рода, если й = +1, то — управлением второго рода.

Рассматривается задача быстродействия (1) для случая, когда спектр матрицы А имеет вид: <?{А) — {(2к — 1)А}"=1. В случае такой матрицы задача быстродействия (1) приводится к виду:

Рассмотрена и детально исследована степенная min-проблема моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

Показано, что решение задачи быстродействия (2) сводится к следующей min-проблеме моментов А. А. Маркова с четными

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

х = Ах + Ьи, |и| < 1, я(0) = г(0) = 0, 0 шш

(1)

¿1 = (2к — 1)Ххи + и, к = 1,...,п, |и| < 1 х е Еп, г(0) = 1°, а:(0) = 0.

(2)

пропусками: ©

= в2ь-1, к = 1,...,п, К«)|<1, «6(1, в], (3)

1

где з = Хх°, 0 = е-Л0.

В дальнейшем через Т,- (г = 1,... ,тг — 1) обозначаются точки разрыва функции решающей тт-проблему моментов (3), причем Т{ = е~хт', где Т; — это моменты переключения оптимального по быстродействию управления в задаче (2). Далее 0 также называется временем быстродействия иТ; (г = 1,...,п — 1) — моментами переключения.

Ддя решения задачи (2) в § 2.2 вводится последовательность полиномов 72£-1(г:0,0,й), определяемых рекуррентными соотношениями:

71 = Си

1 ( к~1 *

724-1 = ГТ-- Сгк~1 — £ С2к-И-\ Ц 72;-172«-2;+1

2к - 1 \ ¿=1 ;=1

к = 2,... ,п

(4)

или

Сгк-\ —

71 З73 575

-1 7 \ 2717з

О -1

ООО ООО

(2к - 1)72)1-1 6-1

Е 72г-1724-2»-1 2—1 к-2

£ 1И-\12к-И-г ¡=1

27173

7?

А = 1,...,п,

где

С"24-1

02*-1 + (_Х)П _ (2А: _ 1)йАх\

к = 1,...,п.

(5)

Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Время быстродействия 0 находится как наибольший вещественный корень уравнения

причем, если 0 — наибольший вещественный корень уравнения

то имеем управление первого рода, если 0 — наибольший вещественный корень уравнения

Д£,_1(0,®°) = О>

то имеем управление второго рода. Здесь через Дгп-! обозначены определители

<*з <25

"5 а7

"п+1 «п+З

«п+1

ап+з

«2п-1

аг аз

аз

«5

«л «„+2

«п «п+2

«271-1

в случае четного и нечетного п соответственно, где = 721—1

[к = 1,..., тг) для й = —1, а через Д2п_! — определители

@з

А

/35 Й

Рп+1 Аг+З

0п+1 Рп+3 ■■■ Ргп-1

А /З3 /З3 &

/Зп

/Зп+2

/Зп /Зп+2 • • • 02п-1

в случае четного и нечетного п соответственно, где = 72*-1

(к = 1,..., п) для й = +1.

Для задачи (2) время быстродействия 0 — — ^-1п0.

Л

В § 2.3 рассматривается аналитический метод последовательного нахождения моментов переключения управления, который заключается в следующем. В случае четного п момент переключения Т„_1 является наибольшим вещественным корнем уравнения:

Здесь полиномы 724-1(3;°,Тп-1) (к = 1, ..., п — 1) определяются формулами:

72«.-1 =

2 к

_

7 СгА-1 — £ С'гА—2«-1 Ц 72;-1721-2;+1 1 \ ¿=1 }=1

(7)

к = 2,... ,п - 1,

где

а С2А—1 = 1,..., п) определяются формулами (5).

В случае нечетного п момент переключения Тп-\ является наибольшим вещественным корнем уравнения:

73 75 75 77

7п-1 7п+1

О,

7п-1 7п+1 • • • 72п-3

где полиномы 72*-1(я°> ^1-1) (А; = 1, ..., п - 1) также определяются формулами (7).

Далее таким же образом находится Т„_2 и все остальные моменты переключения. Порядок определителя в уравнении для нахождения моментов переключения при этом каждый раз уменьшается.

Описанный метод последовательного нахождения моментов переключения является достаточно громоздким, так как нахождение каждого нового момента переключения требует переопределения последовательности полиномов |.

Другой способ вычисления моментов переключения управления, предпоженный в § 2.4, заключается в получении полинома, корнями которого являются все моменты переключения Т\ЬТ2,..., Т„_1. Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.1. Моменты переключения Т^Тг,... ,Г„_1 являются положительными корнями уравнения:

д7 =

7з 75 75 77

,..., Д4р_1 =

7з 75 75 77

72р+1 72р+з

72р+1 72р+3

74Р-1

Д4р+1 =

71 7з 7з 75

• 72р+1

• 72р+3

• 74р+1

, п), где х° — начальная точ-

72р+1 72р+3

причем 72,'_1 = 72,-_1 &, й) (г = 1,. ка, 0 — время быстродействия из х° в 0, й — управление на конечном промежутке [Т„_1,0]. Здесь и далее полагаем = -1 в случае к = I и = 0 в случае к > I.

ТТ

После нахождения производных —- уравнения для нахождения всех моментов переключения ТьТг,... ,Тп-1 окончательно принимают вид:

Е г2'-2 Е(-1)* + Е 72т-172;-2;-2т+1) Е АВ = 0 (8)

¡=1 к=1 \ т=1 / < + ; = 1-

1 < < I

для тг = 2р И

г=1 Л=1

Е ¿2'~2 Е(-1)ь+1 (7!! + Е 72т-172.-2;-2т+1) Е = о

Г71= 1

¿+г=ь+1 1<<,1<р

(9)

для п = 2р—1. Здесь через Д^х обозначен определитель, полученный из определителя Дгл-1 вычеркиванием г'-ой строки и ^'-го столбца.

В исходной задаче быстродействия (2)

Т{ = -~ЫТи г = 1,... ,п — 1.

В § 2.5 приведены примеры аналитического решения задачи быстродействия (2) при п — 3, 4, 5, б, а также — результаты компьютерного решения описанным методом задачи (2) при п = 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10, 15, 18,19.

С задачей быстродействия тесно связана задача описания области управляемости системы. В § 2.6 дано аналитическое описание области управляемости 5(0, 0) системы (2), т.е. множества точек, из которых можно попасть в начало координат за время 0 в силу системы (2). Справедлив следующий результат.

Теорема 2.6.1. Множество 5(0, 0) имеет вид:

5(0, 0) = {х° : Ай.&х0) > 0, Д?4_1(в, х°) > 0 (к = 1,..., п)}, где 0 = е'хв.

В § 2.7 найден явный вид опорного вектора к области управляемости системы (2). Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 2.7.1. Вектор вида /

где

» <ЭЛ2п-1 / Î , У \ , 1

91 = Ъ - 7-1 + L, 72m-l72£-2Z-2m+l , i = 1, . . ., П,

к=1 ОЪк-1 \ m=l /

является опорным вектором к области управляемости 5(0, 0) системы (2) в точке х°.

Третья глава посвящена решению задачи оптимального и допустимого синтеза для неавтономной системы.

В §3.1 рассматривается задача быстродействия для неавтономной системы:

х = Atx + bu, |u| <1, х е Еп,

Ч (Ю)

х(о) = х°, в(е) = о,

где А — матрица размерности п х п, b — n-мерный вектор-столбец, и £ R — управление, 0 — время движения объекта из точки х° в начало координат. Элементы матрицы А и вектора Ь являются действительными числами. Функция u[t) является кусочно-постоянной с разрывами в точках 7\, Тг,.. .Tn_i (моменты переключения управления).

Рассматривается частный случай задачи быстродействия для системы (10) — задача быстродействия для неавтономной канонической

системы:

¿х = и, <1, х е Еп, Х{ = £х,_1, г = 2,...,п, (И)

г(0) = х°, а(6) = 0.

Показано, что решение задачи быстродействия для системы (11) сводится к решению степенной min-проблемы моментов с четными пропусками.

В результате получаем, что время быстродействия 0 является наибольшим вещественным корнем уравнения

Д2„_1(0,а:°)Д^_1(0,а;1,) = О.

Полиномы 72^-1 (к = 1,... ,п) определяются рекуррентными соотношениями (4), где коэффициенты Сгк~ 1 (к = 1,...,п) определяются формулами:

=---, к = 1,...,п.

Здесь й — управление на конечном промежутке [Т„_1, 0] (й = ±1). Моменты переключения Т\, Тг,.. .Тп-\ являются положительными корнями уравнения (8) или (9) в случае четного или нечетного п соответственно.

Приведены результаты компьютерного решения описанным методом задачи быстродействия для системы (11) при п = 3, 4, 5, 7, 10, 15.

г»

В з 3.2 предлагается численный метод для решения задачи быстродействия (10) на основе ее сведения к степенной min-проблеме моментов с четными пропусками. Алгоритм основан на нахождении неподвижной точки отображения.

Описание алгоритма метода

Шаг 1. Задаем размерность п системы (3.1.1), начальную точку х°, матрицу А размерности п х п, п-мерный вектор Ь, точность вычислений е.

Шаг 2. Находим матрицу С} = (Ь, АЬ,А2Ь,.. .,Ап~1Ь).

Шаг 3. Если гапкС? = п, то переходим к шагу 4.

Шаг 4. Решаем степенную min-проблему моментов с четными пропусками:

-Q-lx° = Jl(T)u{T)dT,

где

/(г) =

г 222!

_2п—2

V* ; - 1)! У

Решал полученную тт-проблему моментов, находим время быстродействия ©1 и управление щ(1), которое имеет не более п — 1 точек разрыва (моментов переключения) и |и1(£)| < 1. Шаг 5. Находим

ri(Qi,u1) = Q~1 J R(T)Ul{T)dr,

где

Ып А

(проводим суммирование до тех пор, пока модуль члена ряда не станет меньше либо равен заданной точности е). Шаг 6. Решаем тт-проблему моментов:

о

-Q~Xx0 - гх = 11{т)и(т)с1т,

находим 02 и U2(t) как решение этой задачи.

Шаг 7. Вычисляем |©j — 0i|, если |02 — 0i| < е, то итерационная процедура заканчивается и осуществляется переход к шагу Р, в противном случае переходим к шагу 8.

Шаг 8. Находим

02

Г2(©2,«2) = Я'1 / П{т)и2{т)<1т - п. О

Шаг 9. Решаем тт-проблему моментов:

е

-С^'1х0 - Г1 - гг = У 1{т)и{т)йт, о

находим 03 и как решение этой задачи.

Шаг 10. Вычисляем |©з — ©2|, если |©з — 0г| < е, то итерационная процедура заканчивается и осуществляется переход к шагу Р, в противном случае переходим к шаху 11. Шаг 11. Находим

е3

гз(©з>из) = / Я{т)и3(т)йт - п - г2. о

Шаг 12. Решаем тт-проблему моментов:

е

-<3-1х° - гг - г2 - г3 = 11(т)и(т)с1т, о

находим ©4 и щ^) как решение этой задачи и т.д.

Шаг К. (До этого т раз решена тт-проблема моментов, найдены ©1, 02,...,©т, щ{1),...,ит{Ь), ги г2,...,гт_х). Находим

т-1

^т(©т,ит) = Я'1 / Н{т)ит(т)с1т - £ П-

Ь «=1

Шаг К + 1. Решаем тт-проблему моментов:

!=1 0

находим 0т+х и ит+х(4) как решение этой задачи.

Шаг К + 2. Вычисляем |0т+х — ©т|, если |©т+1 — ©т| < £, то итерационная процедура заканчивается и осуществляется переход к шагу Р, в противном случае переходим к шагу К.

Шаг Р. (До этого т +1 раз решена min-проблема моментов, найдены 01, 02,...,0m+i, ux(i), u2(t),...,um+i(t), ru r2,.. .,rm). Находим

i V

rm+l(©m+l>Um+l) -Q~ / R(T)um+1(r)dT - £ П.

0 ¿=1

Шаг P + 1. Вычисляем конечную точку:

¡ETO+1(©m+1) = Q rm+i.

Приведены результаты численного решения задачи быстродействия (10) при п = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

В § 3.3 рассматривается задача быстродействия для неавтономной системы:

х = Af(t)x + Ьи, И < 1,

(12)

х(0) = х(0) = 0, где А — произвольная матрица размерности п X п, b — n-мерный вектор.

Показано, что в случае f{t) = t™"1 (m = 2,3,...) задача быстродействия для неавтономной системы (12) сводится к степенной min-проблеме моментов с периодическими пропусками.

В §3.4 предлагается решение задачи синтеза для неавтономной системы на основе метода функции управляемости (аналог функции Ляпунова):

х = Atx + Ви, rank(S, АВ,..., Ап~1В) = п, (13)

{и : |М| < d} СП, где А и В — матрицы размерности пхпипхг соответственно.

Управление u(t, х), решающее для системы (13) задачу локального позиционного синтеза, задается формулой:

«(«, «) = -\m&Nj\Q{x))x, xeQ\ {0}, Q = {х : ||z|| < Л},

(14)

где функция 0(я) называется функцией управляемости и определяется как единственное положительное решение уравнения:

2а0@" = (ЛГ/1(©)®, х), а0 > 0, v > 1,

через Nf(G) обозначена следующая матрица:

JV>(©> = Jf e~AtBB*e-A4dt. (15)

Здесь f(s) — произвольная невозрастающая неотрицательная на полуоси [0, +оо) функция, имеющая по крайней мере то точек убывания, такал, что при 0 < © < 0/ выполнено условие:

00

I s2m+1e-n°3&f{s)ds < оо О

(т—степень минимального полинома матрицы А, Ао — минимальная вещественная часть собственных значений матрицы А).

Доказывается непрерывная дифференцируемость функции ©(х), непрерывность ее в нуле, липшицевость управления u(t,x).

Найдена производная 0 функции 0(ж) в силу системы (13) при х ф 0:

a {Nf{@)y,y)t

v/Q(Nf(®)y, у) + (Nf(Q)y, у)'

где

y = Nj\Q)x,

N}(Q) = Jy-AtBB*e-A-<d (-/(I)),

матрица Nf(Q) определяется формулой (15).

Получена оценка производной 0: для t <С\ {С\ = const) 0 < (С2 = const, С2> 0).

Показана ограниченность управления u(t, х), заданного

формулой (14): u(i, х) < d для t < -.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Бугаевская А.Н. Численное решение задачи быстродействия для канонической системы: Тез. докл. Всероссийск. молодеж. науч. конф. // XXIV Гагаринские чтения. - М.: ЛАТМЭС, 1998. - С. 20 - 21.

2. Бугаевская А.Н. Решение одной задачи быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов с периодическими пропусками: Тез. докл. Междунар. молодеж. науч. конф. // XXV Гагарин-ские чтения. - М.: ЛАТМЭС, 1999. - С. 140 - 141.

3. Бугаевская А.Н. Нахождение моментов переключения как корней полинома в задаче быстродействия, эквивалентной степенной min-проблеме моментов с периодическими пропусками: Тез. докл. Междунар. молодеж. науч. конф. // XXVI Гагаринские чтения.

- М.: ЛАТМЭС, 2000. - С. 260 - 261.

4. Бугаевская А.Н. Решение задачи быстродействия на основе периодической min-проблемы моментов: Тез. докл. Междунар.

' конф. // Дифференциальные и интегральные уравнения.

- Одесса: АстроПринт, 2000. - С. 40-41.

5. Бугаевская А.Н. Решение задачи быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками: Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. - М.: Изд-во МГУ, 2001.

- С. 60 - 63.

6. Бугаевская А.Н., Скляр Е.В. Численное решение задачи быстродействия для неавтономной системы на основе степенной min-проблемы моментов с четными пропусками // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной . математики.

- М.: Изд-во МФТИ, 2003. - С. 44 - 52.

7. Korobov V.I., Bugaevskaya A.N. The solution of one time-optimal problem on the basis of the Markov moment min-problem with even gaps // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - 2003.

- Vol. 6, No. 4. - P. 505 - 523.

8. Бугаевская А.Н. Численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы. - М.: ВНТИЦ, 2004. -№ 50200400460.

Подписано в печать 02.07.2004. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Усл. п. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ № 137. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

»14415

РНБ Русский фонд

2005-4 13082

Введение.

Глава 1. Обзор литературы, посвященной проблемам математической теории управляемых процессов.

Глава 2. Решение задачи быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

§ 2.1. Задача быстродействия и степенная проблема моментов с четными пропусками.

§2.2. Уравнения для времени быстродействия.

§ 2.3. Метод последовательного нахождения моментов переключения управления.

§ 2.4. Полином для нахождения всех моментов переключения управления.

§ 2.5. Примеры решения задачи быстродействия.

§ 2.6. Область управляемости.

§ 2.7. Опорный вектор к области управляемости.

Глава 3. Решение задачи оптимального и допустимого синтеза для неавтономной системы.

§3.1. Решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы.

§3.2.

§3.3.

§3.4.

Численное решение задачи быстродействия для неавтономной системы на основе степенной min-проблемы моментов с четными пропусками.

Сведение задачи быстродействия для неавтономной системы к степенной min-проблеме моментов с периодическими пропусками.

Решение задачи синтеза для неавтономной системы

Актуальность темы. В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия, в частности линейная проблема быстродействия. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. Начиная с создания принципа максимума JLС. Понт-рягиным, В.Г. Болтянским, Р.В: Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, и до настоящего времени широко исследуются задачи быстродействия. Основными методами решения задач быстродействия являются методы, основанные на принципе максимума, впервые полученном Р.В. Гамкрелидзе для решения линейных задач быстродействия; на сведении к L-проблеме моментов, инициированном Н.Н. Красовским; на идеях динамического программирования, предложенных Р. Беллманом. В настоящее время оказались эффективными методы решения линейных задач быстродействия, основанные на min-проблеме моментов А.А.Маркова, предложенные В.И. Коробовым и Г.М. Скляром. Задачами быстродействия занимались многие математики. Работы

A.В. Арутюнова, Р.Ф. Габасова, А.И. Егорова, В.И. Зубова, Ф.М, Кирилловой, Ю.Н. Киселева, А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева, М.С. Никольского, Р.П. Федоренко, A.M. Формальского,. Ф.Л1 Чер-ноусько и других авторов в той или иной мере были связаны с вопросами, рассматриваемыми в диссертации.

Решение задач линейного быстродействия важно и с точки зрения нелинейных систем, поскольку решение таких задач может быть сведено к решению линейных систем.

Интенсивное развитие математической теории управляемых процессов привело к возникновению принципиально новых направлений в качественной теории дифференциальных уравнений. Одним из таких направлений является исследование проблемы синтеза управления. К проблеме синтеза на бесконечном интервале времени относится задача стабилизации систем управления, глубокое исследование которой дано в трудах В.И. Зубова, Н.Н. Красовского, A.M. Летова,

B.В. Румянцева и других авторов. Методами исследования задачи синтеза управления, обеспечивающего попадание траекторий в 0 за конечное время, занимались Р. Беллман, Н.Н. Красовский, JI.C. Понт-рягин и другие авторы., В работах В.И: Коробова предложен метод решения задачи синтеза за конечное время с помощью функции управляемости, играющей роль, аналогичную функции Ляпунова в задачах устойчивости.

Важным звеном, связывающим теоретические исследования с практикой, является разработка для решения задач быстродействия численных методов, ориентированных на компьютерное применение. Особый интерес представляет решение задач быстродействия для систем с большой размерностью. Одна из трудностей, связанная с решением таких задач, состоит в том, что в процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленными матрицами.

Отсюда видно, что создание численных методов решения линейных задач быстродействия представляет интерес для развития теории оптимального управления. Эти методы могут использоваться как для решения линейных задач быстродействия, так и служить основой для создания методов решения нелинейных задач быстродействия.

Цель диссертационной работы состоит в решении линейных задач быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А.Маркова с четными пропусками и решении задачи допустимого синтеза для линейных неавтономных систем.

Основными задачами исследования являются следующие:

1) исследовать степенную min-проблему моментов А.А. Маркова с четными пропусками;

2) получить аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр сг(А) = {(2к — 1)А}£=1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками;

3) получить аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы;

4) на основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получить численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы;

5) получить аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.

1. Введена система специальных полиномов 72^-1 (ж0,0, й) (к = 1,2,. .п), определяемых рекуррентными соотношениями.

2. Для степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками введена новая порождающая функция, а именно гиперболический ареатангенс, с помощью которой получены уравнения для нахождения времени быстродействия.

3. Получен явный вид полинома, корнями которого являются все моменты переключения управления.

4. Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр ст(А) = {{2к—1)А}£=1.

5. Получен явный вид опорного вектора к области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр а(А) = {(2k-l)X}U

•■ 6. Предложен численный метод решения задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

7. Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Научное и практическое значение результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы при решении задач быстродействия в различных прикладных задачах. Также они могут стать основой при решении нелинейных задач быстродействия. Кроме того, они могут найти применение в качестве материала для спецкурса по методам оптимизации. Полученные методы решения задач быстродействия могут быть использованы для создания пакета прикладных программ.

Положения, выносимые на защиту.

1. Решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр ст(А) = {(2к — 1)А}£=1.

2. Численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

3. Решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

4 Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской молодежной научной конференции «XXIV Гагаринские чтения»(Москва, 1998); Международной молодежной научной; конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999); Международной молодежной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения»(Москва, 2000); Международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Одесса, 2000); XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001); на научно-исследовательском семинаре по оптимальным управлениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.И1 Коробова в Харьковском государственном университете (2003 — 2004 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации: отражено в 8 публикациях. В отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрирована программа, реализующая численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы, v- Личный вклад соискателя.

1. Исследована степенная min-проблема моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

2. Получено аналитическое решение задачи быстродействия для линейной системы, матрица которой имеет спектр а(А) = {(2к — 1)А}£=1, на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками.

3. Получено аналитическое решение задачи быстродействия для неавтономной канонической системы.

4. Приведено аналитическое описание области управляемости линейной системы, матрица которой имеет спектр сг(А) = {{2к—1)А}£=1.

5. Получен явный вид опорного вектора к области управляемости; линейной системы, матрица которой имеет спектр а{А) = {(2к - 1)ак=1.

6. На основе аналитического решения задачи быстродействия для неавтономной канонической системы получено численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы.

7. Получено аналитическое решение задачи синтеза для линейной неавтономной системы.

Структура и объем диссертации-Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. Она изложена на 130 страницах машинописного текста. Библиографический список содержит 97 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Альбрехт, Э.Г., Ермоленко, ЕА. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33. - №11. - С. 1443-1450.

2. Андреева, Е.А., Циркулева, В.М. Оптимальное управление про-' цессом распространения эпидемии // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1977. - С. 5-20.

3. Арутюнов, А.В. Об одном классе линейных процессов оптимального быстродействия // Дифференциальные уравнения. 1982. — Т. 18. - №4.-С. 555-560.

4. Ахиезер, Н.И. Классическая проблема моментов. М.: Госиздат, физ.-мат. литературы, 1961. -310 с.

5. Атанс, М., Фалб, П. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968. 763 с.

6. Беллман, PJ Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. -400 с.

7. Белолипецкий, А.А. Дифференцируемость изохронных поверхностей в линейной задаче оптимального быстродействия // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1973. Т. 13. - №5. - С. 1319-1323.

8. Белолипецкий, А.А. Численный метод решения линейной задачи оптимального быстродействия сведением ее к задаче Коши // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1977. Т. 17. - №6. - С. 1380-1386.

9. Беляева, Н.П., Цирлин, A.M. Оптимальное управление покупкой и продажей ценных бумаг // Автоматика и телемеханика. 1998.- № 4. С. 135-143.

10. Благодатских, В.И. Линейная теория оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1978.

11. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

12. Габасов, Р.Ф., Кириллова, Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

13. Гамкрелидзе, Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 116. - Ж. - С. 9-11.

14. Гамкрелидзе, Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР, серия математическая. 1958. - Т. 22.- №4. - С. 449-474.

15. Гамкрелидзе, Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ТбГУ, 1977. - 264 с.

16. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

17. Гончарова, М.Н. Синтез линейного быстродействия с фазовыми ограничениями;// Доклады НАН Беларуси. 1999. - Т. 43. -№6. - С. 8-12.

18. Гончарова, М.Н. Достаточные условия оптимальности в задаче оптимального быстродействия с фазовыми ограничениями / / Доклады НАН Беларуси. 2000. - Т. 44. - № 1. - С. 17-21.

19. Данилин, А.Р., Ильин, A.M. О структуре одной возмущенной задачи быстродействия // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4. - №3. - С. 905-926.

20. Дубовицкий, А.Я., Рубцов, В.А. Линейные быстродействия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. - Т. 8. - № 5. - С. 937-949.

21. Дюркович, Е. Численный метод нахождения времени быстродействия с заданной точностью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. - Т. 23. - №1. -С. 51-60.

22. Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. - 463 с.

23. Егоров, А.И. Оптимальное управление линейными системами. -Киев: Выща школа, 1988. 287 с.

24. Жирабок, А.Н., Жуков, A.M. Преобразование нелинейных динамических систем к линейному виду // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. - №6. - С. 172-176.

25. Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем / Бессонов Г.А., Коробов В.И., Скляр Г.М. // Прикладная математика и механика. 1988. - Т. 52. - Вып. 1. - С. 9-15.

26. Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. -Л.:. Машиностроение, 1974. — 335 с.

27. Зубов, В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. -495 с.

28. Иванов, Р.П. Об одном итерационном методе решения задачи быстродействия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. - Т. 11. - №4. - С. 1031-1037.

29. Кирин, Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия // Автоматика и телемеханика. 1964. - Т. 25. - № 1. - С. 16-22.

30. Киселев, Ю.Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для систем управления, близких к линейным // ДАН СССР. 1968. - Т. 182. - №1. - С. 31-34.

31. Киселев, Ю.Н. Методы решения гладкой линейной задачи быстродействия // Труды МИАН СССР. 1988. - Т. 185. -С. 106-115.

32. Киселев, Ю.Н. Оптимальный синтез в гладкой линейной задаче быстродействия // Дифференциальные уравнения. — 1990. -Т. 26. -№2.-С. 232-237.

33. Коробов, В.И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. - Т. 8. - №2. - С. 429-435; №6. - С. 1120-1123.

34. Коробов, В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Математический сб. 1979. - Т. 109(151). - №4(8). - С. 582-606.

35. Коробов, В.И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 248. - №5. -С. 1051-1055.

36. Коробов, В.И. Решение задачи синтеза в дифференциальных играх с помощью функции управляемости // Докл. АН СССР. -1982. Т. 266. - №2. - С. 269-273.

37. Коробов, В.И. Решение задачи синтеза для управляемых процессов с возмущением с помощью функции управляемости // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 2. - С. 236-244.

38. Коробов, В.И., Иванова, Т.И. Отображение нелинейных управляемых систем специального вида на каноническую систему // Математическая физика, анализ, геометрия. — 2001. Т. 8. - № 1. - С. 42-57.

39. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Решение задачи синтеза с помощью функционала управляемости для систем в бесконечномерных пространствах // Докл. АН УССР. Серия А. 1983. - №5. -С. 11-14.

40. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Синтез управления в уравнениях, содержащих неограниченный оператор // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1986. - Вып. 45. -С. 45-63.

41. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Математический сб. 1987. -Т. 134(176). - №2 (10). - С. 186-206.

42. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Оптимальное быстродействие и тригонометрическая проблема моментов // Изв. АН СССР, серия математическая. 1989. - Т. 53. - №4. - С. 868-885.

43. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Проблема моментов Маркова на минимально возможном отрезке // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 308.-№3,-С. 525-528.

44. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип максимума // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. - №11. - С. 1914-1924.

45. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. О множестве позиционных ограниченных управлений, решающих задачу синтеза // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 312. - №6. - С. 1304-1308.

46. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Min-проблема моментов Маркова и быстродействие // Сибирский математический журнал. 1991. -Т. 32.-№1.-С. 60-71.

47. Коробов, В.И., Скляр, Г.М. Метод порождающей функции в проблеме моментов с периодическими пропусками // Докл. АН СССР.- 1991. Т. 318. - № 1. - С. 32-35.

48. Коробов, В.И., Скорик, В.А. Позиционный синтез ограниченных инерционных управлений для систем с одномерным управлением // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38. - №3. С. 319-331.

49. Коробов, В.И., Скорик, В.А. Синтез инерционных управлений для нестационарных систем // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67. ~ Вып. 5. - С. 739-751.

50. Коробова, Е.В., Скляр, Г.М. Один конструктивный метод отображения нелинейных систем на линейные // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1991. - №55. -С. 68-74.

51. Костоусова, Е.К., Куржанский, А.Б. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания // Вычислительные технологии. 1997. - Т. 2. - №1. - С. 19-27.

52. Красовский, Н.Н. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. — Т. 18. - №11. - С. 960-970.

53. Красовский, Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования // Прикладная математикм и механика. 1957. - Т. 21. - № 5. -С. 670-677.

54. Красовский, Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1966. С. 475-514.

55. Красовский, Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 465 с.

56. Крейн, М.Г., Нудельман, А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. - 551 с.

57. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1974.

58. Куржанский, А.Б., Филиппова, Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - №8. - С. 1303-1315.

59. Летов, A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 359 с.

60. Ли, Э.Б., Маркус, Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1971. 574 с.

61. Математическая теория оптимальных процессов / Понтря-гин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. -М.: Наука, 1976. 362 с.

62. Методы построения оптимальных по быстродействия управлений для канонических управляемых систем / Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. // Математическая физика, анализ, геометрия. 1999. - Т. 6. - №3/4. - С. 264-287.

63. Минкж, С.А. О точном решении задачи быстродействия в случае линейных стационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - №12. - С. 1645-1652.

64. Многочлен минимальной степени для определения всех моментов переключения в задаче быстродействия / Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. // Математическая физика, анализ, геометрия. 2000. - Т. 7. - № 3. - С. 308-320.

65. Моисеев, Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971. 424 с.

66. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

67. Никольский, М.С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы // Докл. РАН. 1996. - №6. -С. 739-741.

68. Никольский, М.С., Степаносов, К.В. Одна задача идентификации коэффициентов линейного управляемого объекта // Вестн. МГУ, серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1998. -№1. С. 50-51.

69. Один подход куправлению оборонной достаточностью государства / Жеребин A.M., Попов В.А., Титенко И.М. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. - № 4. - С. 111-114.,

70. Оптимальное управление потоками сырья и готовой продукции путем выбора цен / Миронова В.А., Соболев В.А., Цирлин A.M. // Автоматика и телемеханика. — 1998. № 2. - С. 91-100.

71. Орлов, М.В. Об одном численном методе решения линейной задачи быстродействия // Рукопись деп. ВИНИТИ 27.06.83., №3663-83.- 26 с.

72. Орлов, М.В. О некоторых численных методах решения задачи быстродействия // Вестн. МГУ, серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1986. - №4. - С. 41-46.

73. Пшеничный, Б.Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. Т. 4. -№12. - С. 52-60.

74. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ. — М.: Наука, 1973.

75. Скляр, Е.В. О классе нелинейных управляемых систем, отображающихся на линейные // Математическая физика, анализ, геометрия. 2001. - Т. 8. - №2. - С. 205-214.

76. Тынянский, Н.Т., Арутюнов, А.В. Линейные процессы оптимального быстродействия // Дифференциальные уравнения. 1979. -Т. 15.-№ 2.-С. 32-37.

77. Управляемость линейных автономных систем при наличии ограничений на управление / Коробов В.И., Маринич А.П., Подольский Е.Н. // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11. -№11.-С; 1967-1979.

78. Федоренко, Р.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

79. Фельдбаум, А.А. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. -Т. 16.-№2.-С. 129-149.

80. Формальский, A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. — 368 с.

81. Хайлов, Е.Н. О поведении моментов переключения в линейной задаче быстродействия // Вестн. МГУ, серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1988. - №4. — С. 65-67.

82. Хайлов, Е.Н. О моментах переключения экстремальных управлений в линейной задаче оптимального быстродействия // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1996. - Т. 4. -С. 225-265.

83. Черноусько, Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. - № 4. — С. 749-754.

84. Черноусько, Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемых систем // Прикладная математика и механика. 1981. - Т. 45. - № 1. - С. 11-19.

85. Черноусько, Ф.Л. Задача оптимального быстродействия при смешанных ограничениях // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. - №4. - С. 103-113.

86. Черноусько, Ф.Л., Баничук, Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238 с.

87. A survey of the maximum principles for optimal control problem with state constraints / Hartl Richard F., Sethi Suresh P., Vickson Raymond G. // SIAM REV. 1995. - Vol. 37. - N° 2. -P. 181-218.

88. Construction of the control realizing thenrotation of a Timoshenko beam / Korobov V.I., Krabs W., Sklyar G.M. // Journal of Optimization Theory and Applicationas. 2000. - No. 1. - P. 51-68.

89. Korobov, V.I., Ivanova, T.I. Nonsmooth Maping of Linear Control Systems // Journal of Optimization Theory and Applicationas. -2001. No. 2. - P. 389-405.

90. Korobov, V.I., Sklyar, G.M. Time optimal problem and Markov's moment problem // 7-th IFAC Workshop. Tbilisi, 1988. -P. 88-89.

91. Korobov, V.I., Sklyar, G.M. Markov pover min-moment problem with periodic gaps // J. Math. Sci. 1996. - Vol. 80. - No 1. -P. 1559-1581.

92. Korobov, V.I., Skoryk, V.O. Synthesis of restricted inertial controls for systems with multivariate control // J. Math. Anal. Appl. 2002. -No. 275.-P. 84-107.

93. Leitmann, G. Optimization techniques. Academic Press Inc. — New York. 1962.

94. On the Computation of Switching Surfaces in Optimal Control: A Grobner Basis approach / Walther U., Georgiou Т.Т., Tannenbaum A.IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. - Vol. 46. -No. 4. - P. 534-540.

95. Sklyar, G.M., Ignatovich, S.Yu. Moment approach to nonlinear time optimality // SIAM J. on Control and Optimization. 2000. -Vol. 38. - No. 6. - P. 1707-1728.

96. Бугаевская, A.H. Численное решение задачи быстродействия для канонической системы: Тез. докл. Всероссийск. молодеж. науч. конф. // XXIV Гагаринские чтения. М.: ЛАТМЭС,. 1998. -С. 20-21.

97. Бугаевская, А.Н. Решение одной задачи быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов с периодическими пропусками: Тез. докл. Междунар. молодеж. науч. конф. // XXV Гагаринские чтения. М.: ЛАТМЭС, 1999. - С. 140-141.

98. Бугаевская, А.Н. Решение задачи быстродействия на основе периодической min-проблемы моментов: Тез. докл. Междунар. конф. // Дифференциальные и интегральные уравнения.- Одесса: АстроПринт, 2000. С. 40-41.

99. Бугаевская, А.Н. Решение задачи быстродействия на основе степенной min-проблемы моментов А.А. Маркова с четными пропусками: Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: Изд-во МГУ, 2001.- С. 60-63.

100. Korobov, V.I., Bugaevskaya, A.N. The solution of one time-optimal problem on the basis of the Markov moment min-problem with even gaps // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. 2003. - Vol. 6. - No. 4. - P. 505-523.

101. Бугаевская, A.H. Численное решение задачи быстродействия для линейной неавтономной системы. М.: ВНТИЦ, 2004. -№50200400460.