автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Унифицированная теория и алгоритмы численного решения задач дифракционной томографии сильно неоднородных сред

На правах рукописи

2 3 АПР

Сурнев Виктор Борисович

УНИФИЦИГОВЛННЛЯ ТЕОРИЯ И АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИОННОЙ ТОМОГРАФИИ СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Спышадшосхы. 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика, физика и химия)

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск, 1996

Работа вкполпена в Института гео$пзтга Уральского Отдвлзязя Российской Академии Наук

| (№мнальнкэ оппоконти:

■ доктор, фяз-кат. наух, прс^эссор, члон-ксррсспондеыт РАН

В.В. ЕГ.сеу

доктор $33-135. наук. про$эссор !Э.И. ГСс2ал2а

доктор наук. про$эссор, чяеи-ясррзспоядзит РАН

А.В. К^жгзз

Вэдуаэе предприятию; КИП Сизглсп в ПршихгушоА Цагекаттш при Уральском Гооудерстгэнаом УнпЕэрсзтвтэ

ЕЬпдта диссертации состоится " КЗ * пшя 1523 г. з и" чзссп на заседании Диссертационного со л о та. Д . CS-1.I9.CE3 п Челябинском Государственном Ушгверсзтэтз по адрзсу: 431123, г-. Челябинск, ул; Братьоп Каииршня. 129

С диссертацией ногата ознакокяться з библиотека Чолябппсхого 1Ъсударственного Университета

Автореферат разослал № » йире<я» ■ ¡аза г.

УчбныЗ секретарь Диссертационного Совета,

доктор физ-шт.наук, профессор V. СХ^к,^^^. Г.А.Сг:гг::сгх

ОЩЯ ХАРА}СТЕРИСП2СЛ РАБ01Ы.

Актуальность прсОлзш. Характерной особенностью всякой реальной геологической среды является ее неоднородность. Обычно в физике неоднородности подразделяют на два типа - регулярные и случайные. Регулярные неоднородности, обусловлены изменением в пространстве усредненных характеристик среды, случайные отклонением характеристик среды от средних значений (Л.А.Чернов., •1977). В геофизике под случайно-неоднородной понимают такую среду, которая содержит Еесьма большое число мелких, ограниченны}: по размеру неоднородностей, локализация в пространстве которых практически невозможна. В этом случае изучаемую среду считают одной из реализаций ансамбля сред и при ее описании применяют статистические методы (А.В.Николаев, 1970). Однако при изучении геологических сред весьма большой интерес представляют неоднородности, имеющие промежуточный между регулярны!® и случайными характер. Это достаточно большие по размерам, локализованные в пространстве объекты с физическими параметрами (плотностью, скоростями распространения продольных и поперечных упругих волн, удельной электропроводностью, диэлектрической и магнитной проницаемоетями), отличающимися от соответствующих параметров вмещающей среды. К числу таких объектов можно отнести месторождения некоторых полезных ископаемых, карстовые полости, области концентрации индуцированных напряжений и т. д. Ниже мы будем называть среду, содержащую локализованные неоднородности независимо от их числа и размеров, сильно-неоднородной средой.

Для изучения строения геологической среды в геофизике используются различные методы дистанционного (в широком смысле слова) зондирования изучаедаго ее объема различны!«! физическими полями. В настоящей работе изучаются возможности применения для зондирования геологической среды трех классических волновых полей акустического, упругого (сейсмического) и

электромагнитного. Причем будут рассмотрены исключительно томографические методы, доставляющие принципиальную возможность построения изображения изучаемого объема среды путем зондирования последнего волновыми полями.

По смыслу используемых при восстановлении строения среды физических эффектов распространения волн - отражение, преломление, дифракция (рассеяние), томографические методы

естественным образом подразделяются на две группы - лучевые и дифракционные. Методы лучевой томографии, будучи основаны на высокочастотном приближении дифракционных методов (Ф.Наттерер, 1990), дают возможность восстановления изображения неоднородноотей с характерным разгром, гораздо большим длины используемых для зондирования волн. Поэтому изучение сильно-неоднородных сред, содержащих локализованные неоднородное™ различного размера, не может быть с достаточной полнотой выполнено метода?« лучевой томографии. Действительно, для изучения объектов малого размера в лучевых методах требуется использовать весьма короткие волны, которые в реальных средах быстро затухают. Так, например, из-за наличия скин-зффекта в проводящей среде применение метода РВП возможно лишь на малых дальностях (несколько десятков, в редких случаях около сотни метров),.что сильно сужает область его применения. Аналогичные ограничения свойственны и методам сейсмической томографии, если их использовать для изучения межскважинного пространства (Г.НЬлетт и др., 1990). Если ге методы лучевой томографии например, сейсмической, применяются для изучения глубинного строения Земли, то в силу больших длин используемых волн они не позволяют проводить изучение малых объектов - разрешаются лишь объекты с размерами от единиц километров и более. Таким образом, методы лучевой томографии не могут дать сколько-нибудь значимых результатов при исследовании "малых" обьектов типа рудных месторождений. Если же месторождение содержит несколько рудных тел или ун вкрапленные руды, которые могут быть охарактеризованы при некоторых оговорках как случайно-неоднородные среды, то применение лучевых методов становится принципиально невозможным.

Вышеизложенные трудности изучения сильно-неоднородных сред методами лучевой томографии приводят к выводу о необходимости развития методов дистанционного зондирования геологических сред волновыми полями в таком частотном диапазоне, когда длины используемых волн сравнимы с характерными размерами изучаемых неоднородноотей. Одним из таких методов как раз и является метод дифракционной томографии.

Состояние вопроса. В основе метода дифракционной томографии лехит использование для описания изучаемой неоднородности эффекта рассеяния (дифракции) волнового поля. В математической физике

задача восстановления объекта по рассеянному им волновому полю носит название обратной задачи рассеяния - коротко ОЗР. Впервые • работы по решению ОЗР с целью восстановления структуры микрообъектов по рассеянию элементарных частиц были начаты в квантовой мэханике Систория вопроса подробно излоя®на в предисловии Р.Ньютона к книге К.Шадан, П.Сабатье, Обратные задачи в квантовой теории рассеяния, указанной в списке литературы к работе). Большинство методов решения ОЗР, применяемых в квантовой теории, не могут быть применены в геофизических исследованиях из-за сильных ограничений на рассеивающий потенциал (обычно он предполагается центрально-симметричным), которые ие тогут быть удовлетворёны даже : в модельных задачах геофизического зондирования.' Однако, простейший метод решения ОЗР - метод обращения борновского ряда теории рассеяния, по-видимому может быть применен для изучения строения сильно-неоднородных сред. Наибольшее применение получило первое, так называемое борновское приближение метода обращения ряда теории рассеяния, в котором амплитуда рассеянной волны попросту равна компоненте фурье от функции взаимодействия (Д.И.Блохиниев, 1937). При обращении Фурье в этом случае получается вмэсто истинного значения функции взаимодействия лишь не вполне точно определенный ее образ -обстоятельство, выражающее, факт, что Св рамках данного приближения!) нельзя видеть деталей объекта, размэр которых меньше применяемой для зондирования объекта длины волны. Кроме того, как будет видно из дальнейшего изложения, использование борновского приближения посуществу приводит к полному пренебрежению процессами многократного рассеяния волновых полей, которые в сильно-неоднородных средах имеют весьма большое значение. Тем не менее, первое приближение Борна применялось для решения модельных ОЗР классических волновых полей достаточно широко {J.K.Cohen, Blesteln, 1979; R.M.bevie, 1969; B.J.Hoenders, 1971; J.K.Cohen, N.Biestein, 1977; E.ffoli, 1969; J.A.Hadson. 1977).

Метод прямого обращения борновского ряда теории рассеяния, позволяющий, в принципе, восстанавливать рассеивающий потенциал объема сильно-неоднородной среды с учетом процессов рассеяния произвольной кратности. развит Проссером С1968, 1975, 1981). Посуществу все методы реконструкции, основанные на борцовском

приближении, можно считать первым приближением метода Проссера. К сожалению, метод Проссера несмотря на хорошую обоснованность, носит скорее формально-математический характер, так ¡сак в его рамках провести реконструкцию изучаемой неоднородности с учетом пррцессов рассеяния выше первой кратности (борцовское приближение), на современном этапе развития вычислительной техники практически невозможно. Действительно, в формализма Проссера решение ОЗР сводится к решению интегрального уравнения с полиномиальной нелинейностью, известного как уравнение Ляпунова-Шмидта С Н.С.Смирнов, 1936). К сожалению методы решения такого уравнения требуют вычисления многократных интегралов, причем кратность интегралов возрастает пропорционально кратности учитываемых процессов рассеяния. По-видимому применение теории Проссера в настоящее время ограничено ее первым приближением.

Отметим еще одну особенность метода Проссера, ' а следовательно и , всех методов, основанных на борновском приближении. Эта особенность состоит в том,'что при переходе к фурье-амплитудам используется приближение дальней зоны, то есть предполагается, что расстояние до точек наблюдения рассеянного поля гораздо больше размеров исследуемого о'бьекта. Такая ОЗР носит название задачи сверхразрешения (Х.Г.Шми'дт-Вейнмар, -1978). Возможность ее решения до сих пор находится в стадии дискуссии. Кроме того, в практике геофизических исследований могут встретиться ситуации, когда аномальное поле известно как раз в ближней зоне изучаемого объекта - этапы предварительной и детальной разведки СГ.С.Вахромеев, 1988). В этом случае теория Проссера принципиально не может быть применена.

Таким образом очевидна необходимость разработки теории и алгоритмов решения задачи дифракционной томографии СОЗР), позволяющих осуществлять реконструкцию локализованных объектов по рассеянному ими полю, измеренному как в дальней так и в ближней зонах, по крайней мере в геофизических исследованиях. Причем, такие алгоритмы должны доставлять принципиальную возможность учета процессов многократного • рассеяния волновых полей в сильно-неоднородных средах и быть реализуемыми численно на доступных типах компьютеров.

I Цель работы - разработка унифицированной теории и алгоритмов численного решения задач дифракционной томографии, позволяших

осуществить практически на существующих вычислительных комплексах реконструкцию строения объема сильно-неоднородной среды по • рассеянным классическим волновым полям с учетом процессов рассеяния произвольной кратности без ограничений типа дальней зоны на системы наблюдения.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие'

основные задачи:

1) разработать новый унифицированный формализм решения прямых задач рассеяния классических волновых полей акустического, упругого и электромагнитного;

2) разработать приближенный итерационный метод обращения борцовского ряда теории рассеяния, позволяющий производить реконструкцию локализованных объектов по рассеянному полю с учетом процессов высших кратностей без ограничений на геометрию системы наблюдений;

3) разработать унифицированный формализм теории многократного рассеяния классических волновых полей в случайно-неоднородных средах -

а) для модели среды с флуктуирующими . физическими параметрами,

б) для модели среды с дискретными включениями;

4) разработать приближенные методы восстановления статистических характеристик распределения неоднородностей в объеме случайно-неоднородной среды для двух принятых ее моделей;

5) разработать и опробовать на модельных примерах программы численного решения - задач дифракционной томографии локальных объектов в следующих двух ситуациях - а) зондирование среды с переменным показателем преломления скалярным акустическим полем давления, б) зондирование среды с переменной удельной электропроводностью электромагнитным полем.

Научная новизна. Предложена новая постановка задачи дифракционной томографии и определен ее объект в геофизике.

Для описания динамики волновых полей в сильно-неоднородных средах предложено использовать системы уравнений в частных производных первого порядка в универсальной матричной форме, известной из квантово-полевых теорий.

Получен матричный аналог основного уравнения теории рассеяния - уравнения Липмана-Швингера, для трех классических

\

- а -

волновых полей, используемых в геофизике/акустического, упругого и электромагнитного).

Получено унифицированное, линеаризованное по функции объекта, интегральное уравнение реконструкции для случаев зондирования среды тремя классическим! волновыми поляк;, используемыми в геофизика.

Получены частные, более простые по сравнения с унифицированным, линеаризованные уравнения реконструкции локальных объектоз.

В рамках разработанного интегралы;о-!а.тричнсго формализма с использованием диаграммной техники получено в унифицированном для трех классических волновых ' полей виде уравнение для среднего поля в среде со случайно фяуктуирузщшя параметрами - аналог уравнения ДаЗсэна. На основе полученного уравнения предложено приближенное линеаризованное уравнение реконструкции для корреляционных функций фяуктуаций.

Предложено интегрально-илтричное обобщение теории йолди-Тверского многократного рассеяния классичеких волноб их полей в среде с дискретны."« включениями. Получено прнблнгзннсз линеаризованное уравнение реконструкции для функции концентрации дискретных рассеизателей из выбранного априори класса.

Практичваазв впачзшш работа состоит в сдздгкцеи; I) разработаны и реализованы численно программы решения задач дифракционной томографии для случаев зондирования сильно-неоднородных сред скалярным акустическим и электромагнитным полям!; 2) путем численного моделирования показана принципиальная возможность использования штода дифракционной тоюграфии на трех основных стадиях гсюфпзнческой разведки - поиска, предварительной разведки и детальной разведки.

Оснсз!гыз зедш5эе»й;з полегания.

1. Унифицированный интегрально-матричный формализм теории рассеяния классических волновых пелей объемом сильно-пеоднородноЗ среды.

2. Унифицированный (интегрально-ьзтричныЗ) итерационный ьетод восстановления фантома объема сильно-неоднородной ерэды, взаимодействующего с классически!« волновыми полями.

3. Унифицированный интегрально-матричный формализм теории многократного рассеяния классических волновых полей в

случайно-неоднородной среде с флуктуирующими физическими параметрами и метод восстановления вероятностного фантома' исследуемэго ее объема, как множества значений сопоставленной последнему корреляционной функции флуктуаций.

4. Унифицированный интегрально-матричный формализм теории многократного рассеяния классических волновых полей в среде со случайными дискретными включениями и метод восстановления вероятностного фантома исследуемого ее объема, как множества значений сопоставленной последнему функции концентрации дискретных рассеивателей.

Апробация работы. Основные результаты выполненных исследований докладывались на: IV Всесоюзном Симпозиуме по вычислительной томографии (Ташкент, 1989), III Научно-Техническом Совещании по геотомэграфии (Свердловск, 1991), XI Всесоюзной Акустической Конференции (Москва, 1991), V Всесоюзном Симпозиуме по вычислительной томографии (Звенигород, 1991), I Сессии Российского акустического общества "Акустика в промышленности" (Москва, 1992), III Семинаре "Нетрадиционные методы изучения неоднородностей Земной коры" (Москва, 1993), III Сессии Российского акустического общества "Акустика и медицина" (Москва, 1994).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 14 опубликованных работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения, изложенных на 200 листах машинописного текста, и включает 23 рисунка. Основной список литературы содержит Ш наименований, дополнительный список литературы содержит II наименований.

Работа выполнена в Институте геофизики Уральского Отделения РАН. На начальных этапа:: научной деятельности большую поддержку автору оказывали доктора физико-математических наук Г.М.Всюкобойников и А.В.Цирульский. Автор с глубокой благодарностью вспоминает этих двух, ныне покойных, выдающихся ученых. На всех этапах выполнения исследований по дифракционной томэграфии неоценимой была поддержка члена-корреспондента РАН А.В.Николаева. Автор искренне благодарен глубокоуважаемому Алексею Всеволодовичу • за постоянное внимание к работе и

многочисленные обсувдения полученных результатов. Стимулирующим фактором для оформления исследований автора в качестве диссертационной работы явились многочисленные беседы с заведующим лабораторией электрометрии ИГФ УрО РАН доктором геолого-минералогических наук Валерием Викторовичем Кор;-шльцевым, которому автор выражает искреннюю благодарность за его настойчивость и помощь в оформлении работы. Большое влияние на автора имели беседы со старшим научным сотрудником лаборатории математической геофизики ИРЭ УрО РАН И.Л.Пруткиным, которкЯ способствовал лучшему пониманию автором роли и («ста различных методов численного решения нелинейных уравнений. Автор благодарен уважаемому коллеге за многочисленные советы. Автор считает приятным долгом выразить благодарность своим товарном по работе: В.В.Толмачеву - за помощь в написании программы визуализации фантомов исследуемых объектов на ПК и обсуждение некоторых принципиальных вопросов дифракционной томографии: А.Н.Ратушняку за многочисленные обсуждения возккжностей применения дифракционной томографии в геофизической разведке. И наконец последнюю Сне по значению!) благодарность автор приносит своей жене - ее помощь была неоценима.

СОДЕРМШ РАЕ01Ы.

I. Объект дифракционной томографии в геофизике.

1.1. Рассеяние волновых полей в неоднородных средах.

В этом параграфе обсуздается понятие неоднородности природных сред. Отмечается нетривиальность утверждения о неоднородности среды в геофизике вследствие того, что наибольший интерес для исследования представляет изучение неодяородностей исследуемых ей объёмов. Коротко описывается иерархия неоднородностей.

Далее конкретизуются две мэдели, в рамках которых будет проводиться исследование задач дифракционной топографии: I. флуктуационная модель среды - некоторый выделенный объём среды полностью характеризуется макроскопическими физическими параметрами (плотностью, скоростями распространения продольных а поперечных упругих волн, удельной электропроводностью, диэлектрической и магнитной проницаегостями), которые являются ' куссчно-непреризньм! С пли да-те непрерывными) функциям пространственных координат и флуктуируют определённым образом

около отсчётного значения, считающегося известным; 2. макроскопически-дискретная модель среды - однородная среда с ■ дискретными включениями, причём макроскопические физические параметры притерпевают скачок при переходе границы включений. Отмечается, что эта две модели являются различными приближениями к реальности.

Вследствие невозможности прямого изучения• геологических сред, в геофизике используются различные методы дистанционного зондирования. В настоящей работе исследуются возможности изучения геологической среды путём её зондирования тремя классическими волновыми полями - акустическим, упругим (сейсмическим) и электромагнитным. Предполагается, что эти поля генерируются искусственны;® источниками.

Вследствие неоднородности изучаемой среды волновое поле, распространяясь в отсчётной (или фоновой) среде, притерпевает рассеяние. В дальнейшем рассматриваются только линейные процессы взаимодействия волновых полей и неоднородностей. Основой такого рассмотрения служит принцип Гюйгенса, математическое содержание которого для неоднородных сред выражается следующим интегральным уравнением:

фСх) = фсо(х) + |йх 6(х, х') • -ПС х') • фСо)( х'Э (1) 0

- каждая точка среды под воздействием возбудахщего поля ф^сама

становится источником элементарных сферических волн. Здесь ф -

вектор полного поля в среде, т) - функция, характеризующая распределение источников вторичного излучения (функция оОъэкта или 40), в - функция Грина, неоднородной среды П. Отмечается, что в настоящее время большинством исследователей различия между терминами рассеяние и дифракция не делается.

В реальной среде могут существовать специфические механизмы поглощения Сдисипации) энергии излучения, например трение отдельных зёрен в гранулированных средах. Всвязи с их наличием реально имэет мое то процесс гкетиикции = рассеяние + поглощении. В работе специфические механизмы поглощения не рассматриваются, а тепловые (омические) потери учитываются через комплексный х?рахтер волновых полей.

Далее рассматриваются различные возможные варианты процессов рассеяния волновых полей в сильно-неоднородных средах, отмечается важная роль процессов многократного рассеяния полей. Чаще всего для математического моделирования процессов взаимодействия волновых полей с неоднородной средой применяется приближение однократного рассеяния, больше известное как борновское приближение С или первое приближение Борна). Математическое выражение последнего получается путём замены в СI) функции Грина неоднородной среды на функцию» Грина для однородной среды. Борновское приближение применимо для изучения рассеяния волнового поля малыми по сравнению с длиной волны слабоконтрастными по отношению к фону объектами. Поэтому для практики представляет большой интерес создание алгоритмов ДТ, последовательно учитывающих процессы многократного рассеяния.

1.2. Прямая и обратная задачи рассеяния классических волновых полей.

В этом параграфе обсуждается понятие основных задач теории рассеяния.

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ (ГОР) - задана неоднородность (форма, размер, вещественный состав, положение в пространстве), взаимодействующая с полем известных интенсивности, поляризации и частоты; требуется найти полное поле всюду.

Решение ПЗР согласно принципу Гюйгенса (I) даётся выражением ф(в) _ - (2)

г. ? ?С0> £

Здесь рассеянное поле ф = ф - ф ,аТ- называется оператором (матрицей) рассеяния. Применяется также дуальная форма выражения (2)

ФСБ) = Т(С1Ч. (3)

которая, иногда, бывает удобнее при формулировке следующей основной задачи теории рассеяния:

ОБРАТНАЯ_ЗАЗАЧА_РАССЩзИЯ_(ОЗР) - путем анализа рассеянного поля описать неоднородность, являющуюся причиной этого рассеяния. Математическим содержанием ОЗР является определение оператора Тс<и в дуальной формулировке ПЗР, который является обратным к оператору рассеяния Т. ОЗР, являясь некорректной задачей, значительно более слоета нежели ПЗР, но для практики ей роызние

представляет большую ценность. Конечным результатом решения ОЗР должно быть получение множества значений ФО, которое называется • фантомом исследуемзго объекта. ОЗР и является основной задачей дифракционной томографии.

1.3. Флуктуации физических параметров геологических

сред как функции объекта.

В этом параграфе рассматриваются мотивировки использования флуктуаций функций физических параметров сильно неоднородной среды в качестве 40. Рассмотрение проводится на примере физико-геологических моделей СФГЮ двух типов рудных месторождений, а именно: медно-порфировых (Коунрад) и медно-колчеданных С Подольское).

Поясняется, что в теории рассеяния в качестве 40 чаида используется некоторая сложная' функция от функций физических параметров - рассеивающий потенциал, нежели сами эти функции. Восстановление рассеивающего потенциала даёт возможность восстановления самих функций физических параметров, распределение которых коррелирует с содержанием полезных компонентов.

1.4. Постановка задачи дифракционной томографии.

При исследовании основной задачи ДТ дальше всегда предполагается, что множество определения функций физических параметров изучаемой неоднородности Б и носитель ФО и могут не совпадать, но всегда выполняется включение Б с и. Реконструированное в результате решения основной задачи ДГ множество значений ФО будем называть фантомом объекта.

Для случайно-неоднородных сред под фантомом будем понимать множество значений некоторой статистической функции, характеризующей распределение неоднородностей на носителе и -вероятностный фантом. Для модели среды с флуктуирующими параметрами за ФО примем корреляционную функцию флуктуаций неоднородностей, для модели среды с дискретными включениями -функцию концентрации рассеивателей в единице объёма.

Пусть И' - трекерное евклидово пространство, ОХ,,ОХ,.ОХ, -оси декартовой системы координат, 3 - радиусы-векторы пространства относительно начала координат 0. Обозначим через Б некоторое компактное множество точек в Р.3, а через и = Ш,,

1 - 1,2,...,И) - некоторое его конечное параллелепипедное » ■»

покрытие и = с кубическими элементами разбиения и, - С х:

иах|х„|$3 }, i = 1.2.....N. d = const. Сопоставляя S некоторуи, в

мм,)

общем случае многокомпонентную, функцию FI"-(F"> ,

многокомпонентную функцию

а его дополнению

Р">-СР1'°... ,Рц0>Э Сс постоянными компонентами). определим на множестве и функцию

Р = (F, ,Р2... .Р„) = Р, : U =* R|

CP"'- Р|", Pj,". XeS.

(I) _с о»

0.

X « R \5,

(4)

Р. : и « £ .

Здесь .....- некоторые допустимые в физическом смысле

подмножества действительной оси (множества значений функций контрастности физических параметров). Приведем точные определения некоторых понятий.

0ПЕ§а§Дение_1. Фоновой средой Сила просто фоном) назовем

пару СК'^.Р11").

0п£еа§ление_2. Объектом дифракционной тоги графии назовем пару (5,П , где Р - функция объекта, определенная равенством (4), а Б есть компактное множество определения многокомпонентной функции Р"', характеризующей распределение ЙШ§й®2§™§_3 • Параллелепипедное покрытие и множества Б назовем носителем объекта, а кубические элементы его • разбиения и, - элементарными объектами (элскЗами).

я

Определение^ • Фантомом объекта назовем множество Ш =1У1 значений многокомпонентной ©О Р.

Пусть в областях V"' и Ч"' соотвестзенно разметаны источники первичного (зондирующего) и детекторы вторичного (рассеянного или аномального) волновых полей. Примем для полей

временную зависимость вида ехр(-10)^), J = 1,2......1. Пологим,

что сканирование изучаемой области (носителя), 0 осуществляется

варьированием зондирующей V"' и приемной у"' апертур (ЗА и ПА) по пространственным координа*ам и частоте. Теперь постановка

задачи дифракционной томографии может быть сформулирована следующим образом:

восстгшовоь_по^шнщоаблвд^__поля__на

ПА фантом VI объекта (3,Л.

1.9. Резюме к главе I.

В главе I сделано следующее:

1) приведены физико-геологические мотивировки целесообразности развития и последующего использования в практике геофизических исследований метода дифракционной томографии;

2) максимально точно определён объект дифракционной томографии в геофизике и дана строгая постановка основной её задачи в общей, не зависящей от конкретного зондирующего волнового поля форме.

Таким образом, материал первой главы носит пропедевтический характер. Тем не менее, понятие объекта, его фантома и постановка основной задачи по-видимому являются новыми С по крайней мере для дифракционной томографии).

Из материала первой главы следует, что объектом дифракционной томографии в геофизике является локализованный в пространстве на некотором временном интервале объём сильно-неоднородной среды с физическими параметрами, флуктуирующими относительно соответствующих параметров фоновой среды. В зависимости от физической природы используемого для зондирования волнового поля исследованию методами дифракционной томографии могут подвергаться самые различные геологические объекты, начиная от рудных месторождений малого размера, и кончая глобальными неоднородностями Земли как физического тела (например, в исследованиях по глубинному сейсмическому зондированию). Следовательно, дифракционная томография может быть применена в таких областях исследований, как: инженерная геофизика - при поиске карстовых полостей и областей механического разрушения горных пород; разведочная геофизика - на трех основных стадиях геофизической разведки (поиск, предварительная разведка, детальная разведка) месторождений полезных ископаемых; прикладная геофизика - дистанционный контроль за процессами выработки месторождений, подвергнутых

воздействиям разного рода; общая геофизика - для изучения глубинного строения Земли; экология - мониторинг захоронений отходов вредных производств. По-видимому перечень возможных применений - дифракционной томографии . когно значительно расширить, включив в него задачи морской и атмосферной геофизики. Таким образом, дифракционная томография в перспективе имеет достаточно широкую область применения.

II. Ува^года^математаческого^т^

волновых......полей ^неоднородных средах.

2.1. Акустические волновые поля.

2.1.1. Описание......акустаческнх......волн...;.. на....._осяоз§__.....систамл

й?}$ЙРМУиальньт...ХР.^нений в частиш _____ЦР.Р.Я5й§

З...Уйир..?Е5.?йьной ...маличной ..форме.

В этом пункте показано, что уравнения распространения акустических волн (относительно скалярного давления р а скорости

частиц жидкости , возбуждаемых векторным источником скорости ? и скалярным источником частиц д

-1ш рСхЖх.и) + V р(х.ш)

Кх.ш), ^

(3)

-1(0

1

р(х,ы) + У-у(х.ш) = дСх.ой.

р(х) с (х)

мэгут быть записаны в виде системы уравнений в частных производных первого порядка в универсальной (по О.Н.СЗдсрозу) формэ .

Г 7 -+ т)""Н>(2.и) ? -ПС^Э-фСЗ.шЭ + Г(2,сд). (6)

1 в хк }

Здесь полевой вектор и матрицы коэффициентов имэют следупшй вид

А опр Г -, Г 1

ф = столбец ф, ф, Ф, Ф, 3 столбец р у V, V, ,

0 1 0 о] л Г о о 1 А. Г о о о 1]

1 0 0 0 2 0 0 0 0 а 0 0 0 0

0 0 0 0 • 7 = 10 0 0 • 7 = 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0

А А

(В) л

т) = о-

А А

г,СхЭ = О-

1 0 0 0

Р.<ч

0 Р„ 0 0

0 0 р. 0

0 0 0 'р.

а£х) + рек) X 0

П = ш I, I =

р. С.

0 -р,аСх) 0. 0

0 0 -р„аСх) 0 „

0 0 0 -р„аСх)

•1СШ -»

0100 , а£я) = Др(х) -» —-. р(х)

0010 Р.

ЮООг

. С7Э

Д сСх)

СО)

Патрицы Т) и Т)СЮ называются массовыми матрицами фоновой среды и неоднородности соответственно.

2.1.2. Шиса!Н!е^муста

урмнетШ^

Б этом пункте приведено описание акустических волн в неоднородной среде на основе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В результате исключения из системы уравнений СЗ) скорости частиц получается уравнение Гельмгольца относительно скалярного давления

, -* , -» , -» •♦ -»

^рСх.ш) + к,р(х,ы) = К,е(х)р(х,ш) + С8)

гдэ Болновое число определяется выражением

кЧх) = и'/сСЮ = = кф.- [1--= ^[1 - е(х)].

потенциал)

а

коэффициент

г

"» с„

Е(Х) = 1 -

преломления

с Сх) (рассеивающий

с Сх)

2.2. Упругие волновые поля.

2.2.1. Описание______.упруги?___волн^.....на основе системы

ди^оренциадьнет_ураБ порядка

.квтриодой „форме.

О

О

В этом пункте работы показано, что уравнения распространения упругих волн

au.cf.tü) ах.сЗ.ш) +

й,

al

1

o^Clu) +

Mi?)

Эо, jC^.u)

Si

+ рС1)шаи,С1ш) = X, Ci,u3.

бпо„(2.ш) = 0. С 9)

в неоднородной, изотропной, линейно-упругой среде могут быть приведены к виду

л д " Л-» Л " -» А [í^— + т)""]-ф(х.ш) = - r¡Cx)-фСх.ш) - бСх.со). СЮ)

аналогичному С6). Здесь полевой вектор и матрицы коэффициентов записываются так: А опр

7 =

столбец [ф, Ф> ф, Ф, Ф, 4V Ч>. Ф,] я

столбец [«. ч. и. t, t, t, t, t, t.

столбец [и^ t, t„ t„ t,. t., t,,] t

Г 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 10 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. о 1 0 0 0 0 0 0 0 , . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 .

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 •

0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

В

а массовая матрица для изотропной среды

Н=

■р и О О Ори2 О О Орсо ООО

ООО

ООО

О О О

X + Л

~2рГЗХ+2р7 X

ООО О

ООО ООО

о

О

О X

"2рГЗХ+2рТ

X + ц " цсзх+кц)

'2цСЗХ+2рТ О

о о

о о о

"ЩДЖ+2ЦТ 0 X п

о о о

X

X + ц_

0 1 о о о

о

о

о

о .2

В С9) и СЮ) и,, и,, и, - компоненты вектора смещения, t,,,^,. t„ ,t,, ,t13 ,t,a- главные напряжения, p - плотность, а X и ц -парадатри Ламе,

2.1.2. Списание......упруги?......волн......на.....основе......ди^еренциальншс

В этом пункте работы приведена система уравнений распространения упругих волн в частных производных второго порядка

. 3Ч . > а г 9 и'

_ 4- П М 11 ---

ах?

— + Р ШЦ = -

Гл 6 u'l л » L 1JllaT"J ~ РС°Ч " "

a z,*- "a xt

CID

эквивалентная системе СЮ>.

2.3. Электромагнитные волновые поля.

2.3.1. Описание электромагнитных......волн......на.....основе......системы

гд.^еренциадш_____порядка

В этом пункте работы система уравнений Максвелла для гармэнического реяима

а н

e,lv-— +С1ш е - а)Е, =

SXj а х.

(12)

-Ico у,Н, = О,

записана в универсальной матричной форме (по Ф.И.Фёдорову)

Г /—— + ^""ЪфСх.сй) = чтСх)-фСх.ы) + .Кх.сй. 1 а хк 1

где полевой вектор определён равенством

ф °®> столбец [е, Е2 Ег Н, Н, Н,] а

■ столбец [ ф, ф3 ф, фч ф, ф,]. матрицы коэффициентов - соотношениями

(14)

7 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0-1

0 0 0 0 10

0 0 0 0 0 0

0 0-1 0 0 0

0 1 0 0 0 0.

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0-100

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0.

7 =

0 0 0 0-10

0 0 0 10 0

0 0 0 0 0 0

0-1 0 0 0 0

10 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.

(13)

массовые матрицы фоновой среды и неоднородности - выражениями

-ше0' 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0

о о -ые; ооо

О О 0 шц, О о

О О О о

, О О О О О Ц10

и Ае' 0 0 0 0 0

0 и Де' 0 0 0 0

0 0 и Де' 0 0 0

7](Х) 0 0 0 0 0 0 >

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.

вектор -источник - соотношением 1 = столбец

(16)

2.3.2. писание элек^о>^нитаых_ волн_

на

основе

дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

В этом пункте работы выписано дифференциальное уравнение (в частных производных второго порядка) распространения

- 21 -

монохроматических электромагнитных волн следующего вида: 02Еп(Х,Ы) . -»

т^Г+ вдсх,ш) =

= геСх.шЭ Р.Сх.ьй + 1 со -ст,(х,со). (17)

Здесь полевой вектор и рассеивающий потенциал определяются соотношениями

-» ' опр б'(х,ы)+2е.* -» Р.Сх.и) = -- Е.(х,ш),

зе; +

-» опр о е(х)-в.'

гйх) = Л

. б'(х)+2е'

соответственно, а через е' обозначена комплексная диэлектрическая проницаемость неоднородной среды.

2.4. Резюме к главе II.

В настоящей главе уравнения распространения трёх классических волновых полей записаны в виде системы уравнений в частных производных первого порядка в универсальной матричной форме по Ф.И.Фёдорову (1952 г.). Впервые эта форма записи уравнений распространения классических волновых полей использована автором в II] при разработке унифицированного формализма теории рассеяния упругих, пьезоэлектрических и магнитоупругих волн. Приведены уравнения распространения в частных производных второго порядка, которые также используются при построении теории рассеяния классических волновых полей.

III. Интегральные уравнения прямых задач рассеяния классических волновых полей и линеаризованные уравнения реконструкции.

3.1. Унифицированная матричная форма интегральных уравнений прямых задач рассеяния классических волновых полей и линеаризованных уравнений реконструкции.

3 Л.I. Унифицированный матричный вид линейного интегрального Н>мнения_ тео^

- 22 -

В этом пункте работы общий вид сингулярной функции Грина (Финкельберг В.М.- I9S4,Рыжов B.C. - 1966)

6с20Д.са) = FGiZ,.tt,w) + mi„-t,) С18)

использован для получения унифицированного линейного интегрального уравнения теории рассеяния

+ J"di,G<a,c31),2I,cj)-;rt31)-$CS1.t.co). (19)' U

Х(20,,)=1 - R-icJ,..^

$cä0il,i,u) = хс20>1)-$(20>|.2.ы),

которое является обобщением известного из квантовой механики уравнения Липмана-Швингера.

3.1.2. Реийние матрищог _____виде

öoEHOBCKoro.. .ряда,.„.ряд _по.жагадс^рассетия.

Самым простым и, возможно, единственно приемлемым способом получения конструктивного решения.уравнения (19) в аналитическом вйде является теория возмущений. Ряд теории возмущений Сборновский ряд) для унифицированного уравнения (19) имеет вид

ф(2„,2,(й) = ф""(20 ,i?,u) +

со

+ I/•••/{ Q""c2l,1.i..ta)-i(ii,)j-$<,>ci|1,j{.üü. (20)

*ч

Физический смысл членов этого ряда нетрудно выяснить, переписав его в виде ряда по кратности рассеяния

со

+ 2 JdiIG""(2,.21.u)-;rti1)-$">(iI.2.u).' (21)

и • .

где поля, рассеянные с кратностью ц выражаются через поля, рассеянные с кратностью (ц-I) посредством рекуррентных формул

ф'-Ча.Л.ьй = Jdi1.10,,,(J1.21.I.u)-

и

;rt21;,)4""'i:21.1.t.cj). (22)

Сходимость борцовского ряда доказать в общем случае нельзя. Можно только оценить правомерность применимости первого

приближения Борна (приближения однократного рассеяния), когда в (22) удерживается лишь один первый член, для получения приближенного решения ГОР.. В теории рассеяния принята классификация объектов по сходимости борновского ряда (А.А.Горюнов, А.В.Сасковец, 1989). Рассеиватели подразделяются на следующие классы: I) слабо-контрастные рассеиватели; 2) средне-контрастные рассеиватели 3) сильно-контрастные рассеиватели. Для описания слабо-контрастных рассеивателей достаточно оставить в борновском ряде лишь один первый член - первое приближение Борна или • приближение однократного рассеяния (часто это приближение называют просто борновским приближением). Для описания средне-контрастных рассеивателей нужно взять сумму возможно достаточно большого, но конечного числа членов борновского ряда (при этом предполагается, что борновский ряд сходится). Для сильно-контрастных рассеивателей борновский ряд расходится и следует использовать иные методы решения уравнения Липмана-Швингера (заметим, что в квантовой теории даже в случаях,■ когда борновский ряд расходится, для качественного описания процессов рассеяния иногда используют сумму первых нескольких его членов). НаШе исследование ГОР и ОЗР основано на предположении о сходимости борновского ряда (21), то есть мы ориентируемся на изучение средне-контрастных (и конечно слабо-контрастных) рассеивателей.

3.1.3. Унифицированный_______матричный........вид_______линеаризованного

уравнения реконструкции.

Пусть аномальное волновое поле известно в точках приемной апертуры ПА, то есть предполагается, что оно измерено в многопозиционном и. в общем.случае, многочастотном эксперименте. Тогда борновский ряд (20), переписанный в виде

считать интегральным уравнением первого рода с полиномиальной

ф"(Х„.Х,Ш) В ф(х„,х,и) - ф (х„,х,ш) =

=1 /•••!{ П^С'0Чх^,х,.ы)-т*х(Д-ф'0,(х„.х.ш). (23) •Ч и и еч

где х,е V"", х « V'", со • П к = 1,2.....

можно

нелинейностью относительно ФО - рассеивающего потенциала т. Бели

е и, то есть приёмная апертура расположена внутри носителя и. это уравнение относится к известному и весьма хорошо исследованному классу уравнений Ляпунова-Пкидта СН.С.Смирнов, 1936). Так как в общем' случае V*" а и, мы назовем С23) уравнением типа Ляпунова-Шмидта.

Уравнение (23) является интегральным уравнением первого рода с полиномиальной нелинейностью относительно 50. Одним из наиболее простых и в то шз время эффективных методов решения нелинейных операторных уравнений является метод Ньютона-Канторовича (Канторович Л.В., Акилов Г.П., 1984). Чтобы применить его к уравнению (23), нужно вычислять дифференциал Фреше нелинейного интегрального оператора в правой л части (23) по ФО. Обозначим этот оператор через Б(т). В соответствии с определением дифференцируешети по Фреше , оператор Б(т) дифференцируем, если существует такой ограниченный

линейный оператор 1Г, что выполняется равенство

АА ААА АА А

5(т"' + Дт) - ЗСт") = г; -Дт + оСДт). (24)

А

Здесь под о(Дт) подразумеваются члены, начиная со второго порядка

А

малости по Дт.

Ранее предположили, что борновский ряд сходится, и следовательно, его можно дифференцировать. В этом пункте работа вычисляется . дифференциал Фреше усеченного . ряда (23) для некоторой конечной кратности рассеяния ц = е, а результат записывается для процессов рассеяния произвольной кратности. Пусть известно некоторое нулевое приближение для . фантома

исследуемого объекта т""(3). Тогда для искомого фантома южно записать

т(х) = т (х) + Дт(Х), (25)

где мы ввели вариации (флуктуации) ФО Дт<?). Оператор Б для искомого фантома и фантома нулевого приближения соответственно запишется в виде

8С0 =2 П «ь. ,х„,ш)• Г т'Чх,,) +

и и »•« . .

+ Дт(х„)]|-ф">Сх(,.х,ой, (26)

|<-1 и и »-I

ф (х^.х.ш)-, (27)

Подстановка С26), (27) в (24) дает . .

СЭ А А 4

^ ¿.^...(¿Д .пО<"(х1МЯ.о))-[ т:""(х„) + Д*йх„)] -

и и

- п0<°>(х^1.х„.ш)-т:""(х>,)}-ф""(х(1.х.и) = ► ■1

А А

= • Дт + члены, начиная со второго порядка

' А

малости по Д'т. (28)

Усеченное выражение для конечной кратности рассеяния ц = е имеет вид

® -» 4 ■* (■ С Л ■» ■+ г Л -» А -»

2/.../(1х1сЗха...(1х),| п0 «х.'"3• [ т + Дт(х„)] -«,=1 и и »■«

** „(01 , ,, (О)."*-"! ,<.>,■* ч

- п° сх^.х^ьа-т сх,)|-ф (х^.х.ш)+

»•I

+ 1 п^.01°>Сх^1.х1..и)-т(х„)|ф<"(х),,х.ш) =

!•••♦» и и

А А А

= Б*'" -Дг + члены, начиная со второго порядка малости по Дт +

+ члены высших кратностей по рассеянию, начиная с ц = е + I.

Наличие членов высших.кратностей по рассеяния Сначиная с ц = Е + I) в С 29) физически обусловлено тем, что на практике о степени вклада в . опорное поле процессов рассеяния, соответствующих конкретным зяаченййм параметра кратности ц, сказать что-либо определенное не представляется . возможным. Кажется очевидным, что рассеянные поля высших кратностей присутствуют в опорном поле всегда, но с ростом параметра кратности их вклад' уменьшается со скоростью, зависящей от сложности рассеивающего объекта, что и обуславливает сходимость борновского ряда. Граничный параметр ц = е определяет значения кратности рассеяния, учитываемые теорией в каздом конкретном случае.

Рассматривая теорию для граничного значения ц = 3, получим линеаризованное уравнение реконструкции (ЛУР), учитывающее процессы рассеяния до третьей кратности включительно

А А А

Д,,^"' = Бл" • Дт . * (30)

?

Для того, чтобы ЛУР СЗО) можно было эффективно решать, его следует преобразовать к виду, стандартно^ для линейных интегральных уравнений. Опуская простые, но весьма громоздкие

преобразования, после приведения подобных членов получаем л< > •*

Д(,,ф" (х„,х,ш) = ü

А ^ ^ А ^ ^ А ^ ^

[ ф'-Чх.^.ш) + ^'Vcx^XtU) + ф'"Сх,,х,сй] +

А ^ ^ А ^ А ^ ^ А ^ ^

+ с"'сх0,х1,ш)-дтхх1)-[ф"4х1,х,и) + ф">Сх,,х,йй] +

+ G^Cx, ,х, ,u) • Дт(х,) • ф'"Сх, С31)

Здесь мы для единообразия ввели обозначение ф"' а ф"'. Замечая, что для симметричной матрицы ДтХЯ,) выполняется соотношение

А Л

в'^Сх, ,х, .со) -ДтСх,) -ф'^Сх, ,х,ш) =

= в Сх„,х1.ш)ф Сх^х.^гДтСх,). С32)

окончательно получаем ЛУР следующего общего вида для произвольного конечного значения р

Д<(вф £х, х.ш) = /<3х,£'кСх,.х.ы|х1):ДтСх1). СЗЗ)

и

А с- 1 л Г- < 1 > л

К""Сх0.х.ы1х,) = 2 ф1|ВСх,.х.ш). С34)

«■О (».О •

й'^Сх^х, ,ьй = f<lz 0"г,>Сх1.г,ы)-

и

тги"(а)-О<0>Сг.х, .и). С35)

ф^Сх.д.ы) = /<3г в^Чх, ,г.ш) • и

л -» л ■+ -» СО),. -<1»-|), ч ,

г Сг)-ф Сг.х.ы). С36)

Если мы удержим в ядре С34) уравнения СЗЗ) только один первый член С что соответствует, учёту лишь процессов однократного рассеяния), то получим уравнение реконструкции в первом приближении Борна

. I«.»," * л

Д,,,ф Сх„,х,ы) =

= /бх,0""Сх,.х,.ш)ф<"Сх1.х,ы):Дт(х1). С37)

и

Итерационный алгоритм реконструкции на основе ЛУР СЗЗ) в обшем случае, или С37) в первом приближении Борна, строится так: задаваясь фантомом нулевого приближения, решаем

. А

соответсвующее ЛУР относительно ФО Дт. с многократной промежуточной коррекцией, пока невязка левой части не достигнет некоторого заданного значения. Посуцеству, этот алгоритм является • некоторой Сспецифической) реализацией метода Нызтона-Канторовича СКанторович Л.В., Акилов Г.П.. 1984) для

решения интегрального уравнения (23) (типа Ляпунова-Шмидта) с полиномиальной . нелинейностью.

; 3.2. Интегральные уравнения прямых и обратных задач

рассеяния, следующие из описания классических волновых полей

уравнениями в частных производных второго порядка.

3.2.1. Уравнение.........Липмана-Швингера........для________поля__давления

и „линеаризованное ...Ш^нение реко^

Если распространение акустических волн в среде с перекзнным показателем преломления описывается уравнением Гельмгольца (8), уравнение Липмана-Швингера имеет следующий, достаточно простой вид

р(х„,х,ш) = р '(х„,х,и) +

+ Jdx,G (х„,х, ,ы)е(х,)р(х1 ,х,ы). (38)

U

Здесь G'°4x0 ,х, ,ш) = k^GCx^x, ,со), = w/c*, со - круговая

частота, с0 - скорость звука в фоновой срде, а (К30Д,ы) -скалярная акустическая функция Грина.

Записывая борцовский ряд уравнения (38) для рассеянного поля, и вычисляя дифференциал Фреше соответствующего интегрального оператора аналогично тому, как это было сделано в общем случае, получаем следующее линеаризованное ' уравнение реконструкции для показателя (индекса) преломления, а следовательно для скорости звука в изучаемом объеме сильно-неоднородной акустической среды

Л1)Лр Сх0,х,ы) = Jc3x,K''Cx-0,x,u|x1)'n(x1), (39)

U

У - t — ( в+1 >

K""(x„,x,ü)|x,) = ^'"ci.i-^ I р""(х,,х.ш), (40)

а •> 0 и ■ 0

G'^.x, ,ой = Jd2G"",(x0,z,u))e0Cz)G""(z,x1,a)), (41) Ü

р""(х„,х, ,w) •= /dsGto,(x,,2.u)s0(z)p"">C3,x1,<j). (42) U

Здесь мы ввели обозначение т^З,) = е(2,) - е0 С ).

уравнение Липмана-Швингера (33) весьма часто используется в качестве модельного уравнения для решения ПЗР. На его основе разработаны различные варианты алгоритмов решения ОЗР в первом приближении Борна. На этом же уравнении построен весь формализм теории Проссера (1969, 1975, 1980). ЛУР (39), полученное на основе уравнения Липмана-Швингера (38), использовано в данной работе для численного моделирования различных гипотетических ситуаций.

3.2.2. Уравнение.. ......

линеаризованное_________ХРЛН8Й22._______.ЕйР.онс^укции________для..............функции

проводимости.

В случае электромагнитных волн в проводящей среде уравнение Липмана-Швингера получается в результате решения уравнения С17) с помощью функции Грина вида (4инкельберг В.М., 1964; Рыжов Ю.С.. 1966)

-» 1 га я1 -,ехр(1к0Ю

0.СЮ - - -Ц- РИ е„ + —2—1——^— +

4як, 1 аи.зк,

а

+ —Ц- б(Ю, (43)

-»

где ш, п =1,2,3, 0„- символ Кронеккера, б(Ю функция Дирака, а к| - квадрат волнового числа. Это уравнение имеет вид

л

Р(х,.х,ш) = Е""Сх„,х,и) +

+ /бх,С (х„,х1,ш)-Р(х1,х.и) зг(х,). (44)

и

Здесь зг и Р определены выше, а элементы функции и вычисляются по формуле

<•> 4 ■* е , • я' л ехр(1к.Ю

о^* - ♦ .

И = |хД |.

Для большинства задач, решаемых геофизической электроразведкой, справедливо приближение квазистационарного поля. В этом приближении рассеивающий потенциал молно, пренебрегая диэлектрической проницаемостью, записать в виде (см., например Л13 3)

аС О = Ä-^-С433

сСх,) - а„

оСх, )+2о„

При такой записи эе уравнение С44) несколько упрощается.

Выписывая борновский ряд уравнения С44) [2.7] и проводя выкладки, аналогичные преобразованиям пункта 3.1.3, получим следующее ЛУР для рассеивающего потенциала С45)

ü((i)F"4x0,х,со) =/бх,К""Сх0.х.ш|х1) ДэеСх.Э, С46)

U

Л < л С- < »•' 1 А ^ +

к""(х„,х.со|х,) = 1 G""Cx0,x,.tJ)-J Р"'(х, ,х,ш). С47)

и«1 г■О

Интересно отметить, что в силу скалярного характера 20 гг. для решения ОВР формально достаточно одного (любого) уравнения из (46).

3.3. Резюме к главе III.

Уравнение Липмана-Швингера в унифицированном матричном виде (19) предложено автором в [I]. Ранее, некоторые частные случаи интегральных уравнений теории рассеяния, выведенные из дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, были описаны Дж. Дж. Мак-Коем (1973) и Л.Фэлсепом и Н.Маркувицем (1978). В первой из этих работ уравнения имели весьма громоздкий вид и применялись для построения некоторого варианта теории многократного рассеяния упругих волн в неупорядоченных композиционных материалах. Во второй работе интегральные уравнения применялись для описания рассеяния акустических волн. В настоящее время интегральные уравнения теории рассеяния акустических волн в матричном виде, несколько отличающемся от описанного выше, применяются А.А.Горюнсвым (А.А.Горюнов, О.Д.Румянцева, 1991).

Метод решения ОЗР, изложенный в данной главе, впервые был

;

анонсирован автором для случаев скалярной акустики и динамической теории упругости во вторых частях работ [3,4]. Там же были приведены результаты численного решения юдельных 'ОЗР для случая скалярного- акустического волнового поля с учетом процессов рассеяния второй кратности. Полное изложение теории дано автором в работах [5,7,12,133. Вэтих же работах был приведен пример численного моделирования на основе уравнения С39) с учетом процессов рассеяния произвольной кратности.

Необходимо отметать, что метод Ньютона-Канторовича достаточно широко применялся для решения прямых и обратных задач в различных постановках, отличных от использованной в настоящей работе. Отметим, таккэ, существенное отличие изложенного метода решения ПЗР от методов решения близких по постановке задач, опубликованных в отечественной периодике. Суть этого отличия состоит в последовательном использовании понятия рассеивающего потенциала. Как отечественные, так и зарубежные авторы это понятие не используют, что в сипу плохой сходимости борновского ряда, не позволяет использовать последний для решения ПЗР и, следовательно, ОЗР. Действительно, в злектроразведочных задачах контрастности объекта исследования и фона могут различаться на несколько порядков. Понятно, что если использовать контрастность в качестве СО, борновский ряд при таких её значениях расходится. Вию время из. формулы С49), дающей рассеиваиций потенциал для уравнения Липмана-Швингера в случае низких частот (приближение квазистадионарного электромагнитного поля ), видно, что зе даже для сильно проводящего объекта, помещенного в непроводящу» .фоновую среду Сов=0), всегда меньше 3/4%. ■ Малость зе обеспечивает сходимость борновского ряда по крайней даре для того класса задач (слабо и средне-контрастные рассенватели), на решение которых направлена настоящее исследование. Предполагаемая сходимость борновского ряда обеспечивает корректность вывода ЛУР для* различных физических полей.

IV. Элементы общего формализма решения прямых и' обратных задач рассеяния классических волновых полей в случайно-неоднородных средах.

4.1. Унифицированный матричный вид уравнений для среднего

поля и линеаризованных уравнений реконструкции в среде с Флуктуирующими параметрами.

4 Л. I. Унифицирован^ .....для

среднего поля.

В этом пункте работы для модели случайно-неоднородной среды с флуктуирующими параметрами выведен унифицированный аналог уравнения Дайсона для среднего поля (название взято из квантовой теории). Вывод проведён в предположении гауссова характера ' распределения флуктуций. В безиндексных матричных обозначениях уравнение Дайсона для произвольного зондирующего поля имеет следующий вид til:

<ф(х0.х,ш)> = ф (х„,х,и) +

+ J/dx.dXjG (х„,х, ,ш)-Q(x, ,х,,ы)-<ф(х2,х.ы)>. (48)

ТО

Здесь функция Q называется ядром массового оператора (Татарский В.И., 1966) и выражается через парные парциальные корреляционные функции

Д) = ХтДкД)^. (49)

U

Так как вывод уравнения Дайсона весьма громоздок, подробные выкладки вынесены в прилогоэние к главе IV.

4.1.2. Линеаризованное.........уравнение............реконструкции............для

корреляционной .функции флуктуаций рассеивающего потенциала.

В этом пункте параграфа получено ЛУР вероятностного фантома объема случайно-неоднородной среды с флуктуирующими физическими параметрами. В качестве ФО, множество значений которой должно определяться путем решения ЛУР, выбрана в соответствии с постановкой задачи в параграфе 1.4 корреляционная функция (49) (см. [9, III). В общем случае процессов рассеяния кратности L ЛУР имеет вид:

ü,,^'f,(x0 ,х,ы) =

= JJdx,dx3R (х,,,х,и|х1,ха):;ДК(х1,хг). (50)

Ш

Здесь ядро, пролагаторы и кратно рассеянные поля в индексной записи имеют вид:

L - 1

= | 2ои>Сх0.х,.ш)[ф">Сх1.х,ы) +

«-I

L - С >

+ I ф'/Сх/.х.ай^'Чх, ,х,,u), C5I)

ÜU

О*' ' •*. 'u) • C52:i

ф'/"(ха,х,и) = JJdx,dx"G^>CxJ,x' .uDG'/.'Cx' ,ic'' ,u)

' uu •

о*' .х- •Зф'Л'Чх'' ,X.u). (53)

Отмзтим, что при выводе уравнения (50) использовано так

называемое приближение Бурре, которое для флуктуаций q ядра кассового оператора Q, определяемых соотношением

(^(х'.х'-'.ы) = о'ДЧх'.Г'.ы) + q^x'.x-'.w), (S4)

ишет вид

q^(X,,ха,ш) и G";cxi,xa.cj)AK^(x1,X1). (53)

Приближение Бурре соответствует учёту теорией только процессов последовательного перерассеяния поля на флуктуадиях.

Для акустической среды с переменным показателем преломления, когда флуктуации физических параметров распределены по гауссовскому закону, ЛУР имеет вид

<f»

V.P (Х-.Х.СО)

= Л4х1йх1й"'>сх0,х,ш|х1 ,Х,)£ж(Х, ,ха). (55) Ш

Здесь геСЗ,,^,) - корреляционная функция для флуктуаций рассеивающего потенциала неоднородностей е(2) = 1 - с'/с С2).

4.2. Унифицированный матричный вид уравнений для среднего

поля и линеаризованных уравнений реконструкции в среде с

дискретными включениями.

4.2.1. Унифицнрдвин^^

кого для среднего поля.

В этом пункте для среды с дискретными включениями построено унифицированное обобщение известной теории многократного рассеяния Фолди-Тверского. Получено разложение Фолди-Тверского

ф" (х„,х,со) = <ф(х„,х,ш)> - ф (х„,х,и) =

= 2 /•••/{ псй,рсхр5схм.хр.ш)}-ф<в>(х0.х.ы). С37) .4 и и

где п5^^,»*,,»^ э 5(х0,х,,ш)-Б(х1,х1,ш)-...:3(х,|,х„,ы).

р- 1

Нетрудно видеть, что (57) эквивалентно следующему интегральному уравнению

<ф(Х0 ,Х,(0)> = ф (х„,х.ы) +

+ /йх,5(х,, ,ы) • <ф(х,, х, ш) > рСх,), (58)

и

что проверяется непосредственно итерациями. Уравнение (58), записанное в унифицированном матричном виде, является обобщением соответствующего (скалярного) уравнения Фолди-Тверского для среднего поля в скалярной акустике (Иснмару А., 1981) на три классических волновых поля - акустическое (векторная формулировка), упругое и электромагнитное. Отметим, что теория Фолди-Тверского учитывает только процессы последовательного перерассеяния полей на частицах среды.

4,2.2. Линеаризрвашю^фУМ^ции

конаент£адии_диск£е

В этом пункте работы получено ЛУР для концентрации дискретных рассеивателей в единице объёма изучаемой среды. В общем случае оно имеет следующий вид:

Д(1>)ф'г>(2„.2.и) =/<Й' Др(2'), CS9)

U

*»- I jj - ( в ♦ 1 >

К'-С^.М*') = JS'-C£60)

a■0 p "0

S^CJ.J'.u) = Jd2" p/jt") U

ф""(2\2,и) = Jd2'' p.cJ") U

(62)

Здесь S - оператор однократного рассеяния till. p(x) концентрация дискретных рассеивателей в единице объёма. Отметим, что в силу технических трудностей, уравнение (59) реально можно решить относительно Др только . для дискретных рассеивателей из априори выбранного модельного класса.

4.3. Резюме к главе IV.

Ib-видимэму первое последовательное изложение теории многократного рассеяния акустических волн было приведено в известных работах Фолди (см. Исимару А., 1931), в которых получено уравнение для -среднего волнового поля в среде с дискретными включениями. В работах Тверского (см. там же) был проведен тщательный физический анализ теории Фолди и выведено уравнение для второго момента случайного волнового (акустического) поля.

Теория многократного рассеяния акустических и электромагнитных волн в среде с флуктуирующими физическими параметрами впервые последовательно рассмотрена в работах В.И.Татарского (1966).

Большое значение для теории многократного рассеяния

акустических волн в атмосфере и океане имели работы Л.А.Чернова, концентрированное изложение которых осуществлено автором в известной монографии "Волны в. случайно-неоднородныхсредах" С1977).

■ Важность теории многократного рассеяния для геофизики (сейсмики) в полной мере была, по-видимому, осознана А.В.Николаевым при выполнении цикла работ, положенных в основу монографии "Сейсмика неоднородных и мутных сред" С1970).

В работе [I] автором впервые предложена унифицированная формулировка теории рассеяния классических волновых полей -упругого и сопряженных (пьезоэлектрических и магнитоупруглх волн). Там же приведена унифицированная формулировка основных соотношений теории многократного рассеяния классических волновых полей в среде с флуктуирующими физическими параметрами. Благодаря использованию в качестве дополнительных уравнений соотношений обращенного закона Гука и записи системы уравнений в частных производных первого порядка в универсальном матричном виде по Ф.И.Федорову, удалось получить матричное обобщение интегрального уравнения Липмана-Швингера с мультипликативным ядром стандартного вида, что позволило дать унифицированную формулировку теории многократного рассеяния в полной аналогии со случаем скалярной акустики.

По-видимому постановка ОЗР как задачи -определения множества значений статистической функции, описывающей распределение рассеивателей в изучаемом объеме среды, является новой. Во всяком случае такое определение фантома автору в литературе не встречалось.Результаты главы опубликованы в [9-111.

V. Модельные примеры решения задач дифракционной томографии для основных стадий геофизической разведки.

5.1. Типичные схемы систем наблюдения для основных стадий

геофизической разведки.

В этом параграфе описаны типичные системы наблюдений в геофизике, причём за основу взята классификация геологоразведочных работ по Г.С.Вахромееву С1988). Для конкретных расчётов выбраны задачи, соответствующие трём основным стадиям работ, а именно: I) поиску; 2) предварительной разведке; 3)

детальной разведке. Для простоты фоновая среда предполагалась однородной и изотропной. В качестве источника зондирующего поля выбирались простейшие варианты - точечный источник расширения для акустических волн и плоская линейно-поляризованная волна для электромагнитного поля.

Кроме этого, приняты важные допущения: I) в акустической задаче неоднородность среды характеризуется ' только флуктуациями скорости звука; 2) в электромагнитной задаче неоднородность среды характеризуется только флуктуациями электропроводности. Эти допущения позволили использовать для решения модельных задач ЛУР С39) и С45) для акустики и электродинамики (в квзистационарном приближении) соответственно.

Отмэчены характерные особенности систем наблюдения на трёх основных стадиях геофизической разведки. На стадии поиска как источники зондирующего 'поля, так и приёмники аномального поля располагаются на поверхности Земли, а о наличии объекта либо I) мало что известно, либо 2) он плохо локализован. Основной задачей стадии поиска является локализация объекта в некотором, возможно довольно большом, но конечном объёме среды. На стадии предварительной разведки предполагается такая локализация объекта Сна стадии поиска), что становится возмохиым выбор носителя, обеспечивающего разрешение, достаточное для предварительных выводов о его размерах и форме. Также предполагается, что на стадии предварительной разведки сведений о положении объекта достаточно для бурения одной или даже двух "пробных" скважин. Наличие таких скважин позволяет значительно увеличить объём информации об исследуемом объекте. На стадии детальной разведки решается задача уточнения формы объекта и, по-возможности, получения информации о его внутреннем строении. Так как объект уже хорошо локализован, имеется возможность выбора носителя с размерами, позволяющими достичь по возможности наибольшего разрешения, а также становится оправданным бурение нескольких скважин, обеспечиваниях зондирование объекта с разных сторон.

5.2. Модельный пример восстановления неоднородности, скорости звука по аномальному полю давления.

В этом пункте приводится пример модельной реконструкции

акустического объекта, имеющего форму -уголка. Для зондирования объекта использовались четыре синфаэно работающих точечных источника. Рисунок I иллюстрирует геометрию акустической задачи ДТ: а) на стадии поиска как источники зондирующего поля, так и приёмники аномального поля распологены на одной плоскости; б) на

Рис I. Геометрия акустической задачи ДТ для трёх • стадий разведочных работ.

стадии предварительной разведки приёмники расположены на поверхности, а источники - на вертикальном профиле, иммитирующем скважину; в) на стадии детальной разведки как источники, так и приёмники поля располагались "в скважинах". Из полученных результатов модельной реконструкции следует, что: I. на стадии поиска достигается проявление объекта в виде контрастного элемента изображения на однородном фоне; 2. на стадии предварительной разведки изображение приобретает основные черты модели; 3. на стадии детальной разведки изображение довольно хорошо соответствует модели. Отметим, что в этом примере объект являлся слабоконтрастным .- 10 % по отношению к фону по скорости зЕука (скорость звука в фоновой среде с0 = 3000 м/с, скорость озука в материале объекта с = 3300 м/с).

3.3. Модельный пример восстановления неоднородности

электропроводности по аномальному электромагнитному полю.

В этом параграфе, приводится пример модельной реконструкции проводящего объекта, зондируемого квазистационарнкм электромагнитным полем. Объект имеет форму буквы Т и зондируется плоской линейно поляризованной волной Сем. рис. 2): а) на стадии поиска - на одной частоте, плоская волна распространяется вертикально вниз, приёмники расположены на плоскости Х.ОХ^ б) на стадии предварительной разведки - на двух частотах и с двух направлений С по направлению оси ОХ^ и в обратном направлении), приёмники располоязны на двух профилях; в) на стадии детальной разведки - условия зондирования такие же, как в предыдущем случае, приёмники расположены на системе профилей. Характерный размер объекта Ь « длины волны зондирующего поля X. Удельное электрическое сопротивление материала объекта С100 ом-м) на порядок меньше его значения для фона С1000 ом-м). Выводы относительно полученных в результате модельной реконструкции изображений объекта аналогичны выводам предыдущего параграфа.

а) .Ю в)

Рис 2. Геомэтрня электромагнитной задачи ДТ для трёх стадий разведочных работ.

5.4. Сравнение результатов реконструкции в приближении однократного рассеяния и результатов реконструкции с учетом процессов рассеяния высших кратностей.

В этом параграфе проведено сравнение результатов реконструкции слабо-контрастного акустического объекта в приближении однократного рассеяния и с учётом процессов рассеяния третьей и шестой кратностей. Из результатов математического моделирования следует, что по мере учёта рассеянных полей с большей кратностью в ядре ЛУР. детальность построения изображения объекта улучшается. Следовательно, решение задач ДТ с учётом процессов многократного рассеяния даже для слабоконтрастных рассеивателей может дать ценную информацию о строении последних.

5.5. Резюме к главе У.

В пятой главе работы приведены примеры модельной реконструкции объектов при условиях, соответствующих в основных чертах трём основным стадиям геофизической разведки - поиску, предварительной разведке и детальной разведке. Из приведённых примеров следует принципиальная возможность применения дифракционной томографии в геофизических приложениях по крайней мере на трёх смоделированных стадиях разведочных работ. Результаты численного моделирования задач ДТ опубликованы автором в работах [5,7] (акустика) и [14] (электродинамика).

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IV. Интегрально-матричный формализм в теории многократного рассеяния классических волновых полей и вывод линеаризованных уравнений реконструкции.

■ П.1У.1. Вывод уравнения Дайсона для среднего поля и-линеаризованных уравнений реконструкции для корреляционных функций флуктуации рассеивающего потенциала в унифицированном матричном виде.

В этом пункте работы приведены подробные выводы уравнения Дайсока для среднего поля и ЛУР для корреляцинных функций флуктуации рассеивающего потенциала в модели среды с флуктуирующим) параметрами. Все выводы даны в унифицированном матричном виде с использованием диаграммной техники.

П.IV.2. Унифицированный матричный вид разложения Фолди-Тверского для среднего поля и вывод линеаризованного уравнения реконструкции для функции концентрации дискретных рассеивателей.

В этом пункте работы приведён вывод уравнения Фолди-Тверского для среднего поля в унифицированном матричном виде для модели среды с дискретными включениями. Подробно выведено ЛУР для функции концетрации дискретных рассеивателей в единице объема.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ V. Алгоритмы решения СЛАУ.

ПЛМ. Общая форма СЛАУ.

В этом пункте работы йа.примере ЛУР для скалярной акустики показано, как формируется система линейных алгебраических уравнений С СЛАУ), численное решение которой на компьютере является заключительной стадией решения задачи ДТ.

И.У.2. Описание метода решения СЛАУ.

В этом пункте работы приведён метод М.М.Лаврентьева решения переопределённых СЛАУ - метод сведения к уравнениям

второго рода (Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П.

Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ!.

В работе описаны унифицированная теория и алгоритмы численного решения задач дифракционной томографии сильно неоднородных (в том числе, случайно-неоднородных) сред в форме, развитой автором.

Материал, концентрированное содержание которого выражено в первом защищаемом положении (см. введение), изложен во второй и третьей (пункты 3.1.1. и 3.1.2.) главах. Материал, содержание которого выражено во втором защищаемом положении, изложен в параграфе 1.4. первой главы. в пункте 3.1.3. и в параграфе 3.2. (пункты 3.2.1. и 3.2.2.) третьей главы. В параграфе 4.1. (пункты 4.1.1. и 4.1.2.) и параграфе 4.2. (пункты 4.2.1. и 4.2.2.) четвёртой главы изложен материал, являющийся содержанием третьего и 'четвёртого защищаемых положений соответственно.

Результаты математического моделирования, приведённые в пятой главе, подтверждают работоспособность алгоритмов численного решения задач ДТ, основанных на изложенной в работе теории.

Так как в настоящее время' дифракционная • томография, являясь относительно молодым направлением исследований в прикладной теоретической л математической физике, . бурно развивается С в зарубежных геофизических дурналах, например, статьи собственно по ДТ или по смежным вопросам имеются почти в каждом выпуске), наметим основные задачи совершенствования изложенной выше теории и перспективы, практического применения разработанных на её основе алгоритмов.

Напомним, что изложейная теория основана на борновской теории рассеяния. Несмотря на применение понятия рассеивающего потенциала, ряд теории возмущений (борновский ряд) имеет ограниченный радиус сходимости, что сужает возможности применения теории в практике, например, геофизической электроразведки. Поэтому одной из первых задач по совершенствованию теории ДТ является поиск путей расширения радиуса сходимости лежащего в её основе борновского ряда.

При построении теории ДТ мы исходили из принятого в теоретической и математической физике предположения о том, что все полевые функции могут быть разложены по полной системе функций. В качестве такой системы, как обычно, -принималась

система плоских волн вида expji(k-x - cot)|. Такое предположение

позволило нам рассматривать только монохроматические волновые поля. Однако, в практических приложениях создание монохроматического волнового поля не всегда просто выполнимо, а иногда и не желательно. Так обстоит дело, например, в сейсморазведке с взрывными источниками. Поэтому развитие теории ДТ для волновых полей с произвольной временной зависимостью является актуальной задачей.

Весьма важным для практического применения теории является совершенствование вычислительных схем решения основных :?адач ДТ. Как отмечалось выше, при решении модельных задач для основных стадий геофизической разведки численное интегрирование в целях экономии ресурсов ПК и сокращения времени расчётов проводилось методом ячеек. Последний является "нулевым приближением" метода "замораживания", предложенного

H.Н.Боголюбовым в теории нелинейных систем ещё в тридцатые годы. Так как ядро основного уравнения теории рассеяния - уравнения Липмана-Швингера, является быстро-осциллирующей ' функцией, представляется достаточно очевидным, что её замораживание в процессе численного решения уравнений ДТ приводит к значительной потере точности (особенно при не слишком мелком разбиении носителя ФО) и. как следствие, к ухудшению сходимости рядов теории и детальности реконструкции фантомов исследуемых объектов. По этой причине представляется важным при написании программ численного решения задач ДТ, ориентированных на практические применения, использовать для численного интегрирования метод частичного замораживания, когда ядро уравнения интегрируется по каждому злобу. Несмотря на потребность дополнительных ресурсов компьютера, такой подход в конечном итоге позволит ограничиться не слишком мелкими разбиениями носителя и приведёт к значительной экономии этих ресурсов при решении задач большого объёма.

Отметим, что изложенная теория носит общий характер и не ориентирована на конкретные методы геофизических (и других) исследований, число которых велико. По нашему мнению этот факт определяет достаточную гибкость теории в смысле перспектив её практического применения. Действительно, приведённые в работе алгоритмы могут составить неизменяемое "ядро" целого комплекса программ численного решения задач ДТ в различных постановках (имеется в виду постановка задачи для конкретного метода. например, геофизической разведки). Изменяться будут только подпрограммы вычисления зондирующего поля и функции Грина для каждого конкретного метода исследования и модели фоновой среды, используемой в данном исследовании.

В заключение отметим, что весьма интересными представляются перспективы применения предлагаемой теории и основанных на ней алгоритмов в такой важнейшей области человеческой деятельности как медицинская диагностика.

Основные положения диссертации изложены в следующих опубликованных работах:

I. Сурнев В.Б. О рассеянии упругих волн локализованной неоднородностью. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1988. № 2. С. 9 - 19.

2. Сурнев В.Б. К вопросу о восстановлении структуры

локализованной неоднородности по ' данным электромагнитного рассеяния./'/ Методы интерпретации и моделирования геофизических полей. Сборник научных трудов. Свердловск: УрО Ali СССР.. С. G2 - 71.

3,. Сурнев В.Б., Ратушняк А.Н., Толмачев В.В. Интегральные уравнения с полиномиальной нелинейностью в задачах реконструкция локальных объектов по проекционным данным рассеяния.// III научно-техническое совещание по геотомэграфии. Тезисы докладов. Свердловск: УрО АН СССР. 1991. С. 82 - 83.

4. Сурнев В.Б., Толмачев В.В. .Восстановление функций трехмерных локальных объектов по проекционным данным рассеяния упругих волн.// XI Всесоюзная акустическая конференция. Тезисы докладоз. IL: Акустический институт им. ак. H.H. Андреева АН СССР. IS9I. С. 25 - 27.

5. Сурнев В.Б. Алгоритм Ньютона - Канторовича в задачах дифракционной томографии.// Доклады Академии наук. 1992. Т. 324. N° 3. С. 990 - 993.

6. Сурнев В.Б., Толмачев В.В. Итерационный алгоритм реконструкции акустической неоднородности по данным рассеяния гармонического волнового поля.// I Сессия Российского акустического общества. "Акустика в промышленности". М.: АККН РАН. 1992. С. 102 - 106.

7. Сурнев В.Б. Алгоритм Ньютона - Канторовича . в задачах дифракционной томографии.// Физика Земли. 1993. If 8. С. 41 - 48.

8. Сурнев В.Б., Толмачев В.В. Метод реконструкции акустических неоднородностей по рассеянным полям давления или скорости.// III семинар "Нетрадиционные методы изучения неоднородностей земной коры". Тезисы докладов. М.: ОИФЗ РАН. 1993. С. 76 - 77.

9. Сурнев В.Б..0 возможных постановке и методе решения задачи дифракционной томографии случайно-неоднородных сред.// Доклады Академии наук. 1993. Т. 343. № 4. С. 340-542.

10. Сурнев В.Б. 0 роли процессов многократного рассеяния при построении фантома неоднородных объектов. III Сессия Российского акустического общества."Акустика и медицина". Тезисы докладов. М.: АКИН РАН. 1994 С. 36 - 37.

11. Сурнев В.Б. Унифицированный формализм дифракционной томографии случайно-неоднородных сред на основе ¡»етода Ньютона-Канторовича.//Институт геофизики УрО РАН. - Екатеринбург,

1993. - 27 с. Дэп. в ВИНИТИ Ш.СВ.95. N° I6I8-E95.

12. Сурнев В.Б. Метод дифракционной томографии в прикладной электродинамике. I. Общий формализм.//Институт геофизики УрО РАН. - Екатеринбург, 1993. -42 с. Деп. в ВИНИТИ 09.08.93. М" 2420-В95.

13. Сурнев В.Б. Ыэтод дифракционной . томографии в прикладной электродинамике. II. Квазистационарное поле.//Институт геофизики УрО РАН. - Екатеринбург. 1993. - 27 с. Деп. в ВИНИТИ 22.03.83.' ff 2S23-~B33.

14. Сурнев В.Б. Метод дифракционной томзграфии в прикладной электродинамике. III. Цодельныэ примэры.//Институт геофизики УрО

РАН. Екатеринбург, 1993.-15 с. Деп. в ВИНИТИ

23.02.96, К0 665-В93- .