автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая постановка и решение некоторых задач сейсморазведки в поглощающих и неоднородных средах

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики □03053145

Куценко Николай Валентинович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ

НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ В ПОГЛОЩАЮЩИХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 -- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.95

Москва - 2007

003053145

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М. В Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Баев Андрей Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кочиков Игорь Викторович, кандидат физико-математических наук Солтан Игорь Евгеньевич.

Ведущая организация: ГНЦ РФ ВНИИГеосистем.

Защита диссертации состоится "_" _ 2007 г. в 14.30

на заседании диссертационного совета К 501. 001. 07 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "_" _ 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент

В.М. Говоров.

Актуальность темы. Развитие методов определения неоднородно-стей геологических сред на основе интерпретации сейсмических данных происходит в двух направлениях С одной стороны — это создание и совершенствование полевых методов геофизической разведки таких как ГСЗ, ВСП, СЛБО, АК (глубинное сейсмозондирование, вертикальное сейсмопрофилирование, сейсмическая локация бокового обзора, акустический каротаж) и др С другой — разработка новых математических моделей, вычислительных методов и алгоритмов для решения обратных задач распространения сейсмических волн В этом направлении интенсивно проводятся разработки как в нашей стране, так и зарубежом, в особенности, в США, Китае, ряде стран Латинской Америки. Значительную роль в создание и развитие общей теории и методов решения обратных задач геофизики внесли А Н Тихонов, М М. Лаврентьев,

A.С Алексеев, В.Г. Романов Важные результаты по исследованию и решению обратных задач сейсмики получены в работах Ю Е Аниконо-ва, А.В Ваева, A.B. Бакушинского, М И. Белишева, А.С Благовещенского, А.Л Бухгейма, В Б. Гласко, А.В Гончарского, В И Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.В. Клибанова, И.В. Кочикова, Г.И. Петрашеня,

B.Г. Яхно, R. Burridge, J. Claerbout, G. Chavent, J. Gazdag, J. Hudson, R. Newton, A. Ramm, W. Rundell, P. Sacks, W. Symes, M Yamamoto

Обратные задачи сейсморазведки характеризуются принципиальной ограниченностью областей, иа которых производится излучение и прием сигнала. Другим отличительным фактором является наличие помех в регистрируемом волновом иоле Поэтому в большинстве случаев обратные задачи сейсморазведки являются некорректно поставленными как по причине существования решения, так и его единственности и устойчивости. Решение подобных задач требует привлечения методов регуляризации и специальных вычислительных алгоритмов. Кроме того, быстрый рост производительности ЭВМ позволяет решать все более сложные обратные задачи сейсморазведки, что, в свою очередь, требует

разработки новых моделей реальных процессов в геологических средах и создания эффективных алгоритмов численного решения возникающих при этом задач интерпретации сейсмических данных.

Таким образом, актуальность круга проблем, возникающих при моделировании методов поиска неоднородностей геологической среды, определила тему диссертации.

Цель работы. Цель работы состоит в постановке и исследовании прямых и обратных задач поиска локальных неоднородностей среды по их основным свойствам (повышенная концентрация трещин по сравнению с соседними участками геосреды, аномальное затухание амплитуды волны, проходящей через область неоднородности, изменение скорости распространения волны). Основными направлениями работы являются построение и исследование модели распространения волн в трещиноватых средах на базе рассмотрения некоторых существующих подходов к численному моделированию рассеянного поля от скоплений трещин, математическое моделирование метода сейсмической локации бокового обзора, решение обратной задачи о восстановлении коэффициента поглощения среды по рассеянному полю, разработка алгоритма решения обратной задачи сейсмической томографии для неоднородных сред.

Научная новизна, практическая и теоретическая значимость. Исследованы существующие методы моделирования рассеянных полей от конечного числа трещин и предложена новая модель распространения волн в трещиноватых средах, позволяющая перейти от конечного числа трещин к их континуальному распределению. Предложенная модель объясняет частотно зависимое затухание волны, а также рад других эффектов, наблюдаемых на практике.

Проведено математическое моделирование метода сейсмической локации бокового обзора. Исследованы принципиальные вопросы о влиянии таких параметров трещиноватости как ориентация, размер и концентрация трещин на результат метода СЛБО.

Исследована прямая и обратная задача распространения волн в среде с поглощением. Показано, что в рамках предложенной модели механизм поглощения связан с рассеянием на трещинах. Исследована структура решения прямой задачи. Предложен вариационный подход решения определения коэффициента поглощения по полю рассеянных волн.

Исследована задача определения скоростной характеристики среды по кинематическим и динамическим данным, получаемым в результате проведения геофизических наблюдений Предложен метод параметризации годографа первых вступлений Построен алгоритм решения задачи сейсмической томографии для неоднородных сред.

Апробация. Результаты работы докладывались на VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, 2003), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, . четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 84 наименования. Работа изложена на 118 страницах и содержит 30 рисунков и 3 таблицы.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы работы, описываются основные свойства и характеристики локальных неоднородностей геосреды, приводятся результаты работы некоторых сейсмических методов поиска локальных неоднородностей среды Вкратце излагается структура и содержание каждой главы и основные полученные результаты.

В первой главе рассматриваются существующие подходы к моделированию рассеянного поля от совокупности трещин, размер которых

много меньше длины падающей волны, и предлагается новая математическая модель распространения волн в трещиноватых средах. Рассмотренные модели используются для численного моделирования волновых полей во второй главе. При этом в п. п. 1.1—1.3 предполагается, что полное волновое поле р скалярно и представимо в виде суммы падающего поля ргпс и рассеянного поля psc, т.ер — ртс + psc, а в п 14 полное поле представимо упорядоченной парой {pmc,psc}.

В п 1.1 приведены классические решения для расчета рассеянного поля от одиночной трещины при заданных на поверхности условиях Дирихле и Неймана. В п. 1.2 по литературным источникам для двумерной среды рассмотрены подходы к моделированию рассеянного поля от конечного числа трещин в виде бесконечно тонких сегментов таких, что ка < 1, где к — волновое число, а — длина сегмента Использованы два подхода к численному моделированию рассеянных полей, один из которых приводит к уравнению для рассеянного поля

я 2„sc JL

WC(r, t) - Г, i) = E ™2mqm(t)nmVS(r - Гт), (1)

m=l

где qm(t) = nmVpmc(rm, t), M — количество трещин, nm — вектор нормали к m-ой трещине, ат — размер m-ой трещины. Другой подход приводит к волновому уравнению для рассеянного поля с источником следующего видам , „2 s(r, t) = Yj ™m (А)(г, ГтЫ*) + Л2(г, Г

т=1 ^

+Л4(г,гт)1^(0). (2)

Отметим, что в описанных алгоритмах не учитывается затухание падающего поля р'пс, вызванное рассеянием на трещинах

Для учета последнего в п. 1.3 исследована модель распространения плоской волны в трехмерной среде, содержащей трещины в виде бесконечно тонких дисков Показано, что с учетом диссипативных потерь

падающее поле удовлетворяет следующему уравнению:

Я5„ШС

РГ = с2р™ - 2v\{x){a\lсг) cos2 - 2^)(c/a2)pfc, (3)

где v\{x), vi{x) — удельный объем закрепленных и полых трещин размера ai, d'¿, 0г — угол падения волны. Анализ этого уравнения показывает, что падающее поле убывает с расстоянием как ехр{—си\х — a¡2x}, где ai, olí — коэффициенты затухания, обусловленные влиянием закрепленных и полых трещин a¡i = (í/iaf/c4)w4cos2í?t, «2 = ^2/^2• Отношение ai к «2 при v\ = и2 равно (ka)4 cos2 9г. Учитывая условие ка -С 1, можно сделать вывод, что основной вклад в затухание при одинаковом удельном объеме вносят полые трещины.

В п 1.4 предлагается новая модель распространения волн в трещиноватых средах, названная в работе комплексной моделью рассеяния'

Puc = c2p™-2v(x)a(ey¿, р% = с2р°х1 + 2фМе)р™ (4)

где а(в) ~ cos2 в — угловой фактор рассеяния, а полное поле определяется парой {ргпс(х, t),psc(x,t)}. При выводе системы (4) учитывался лишь механизм релеевского рассеяния (рассеяния на закрепленных трещинах) как наиболее значимый с точки зрения частотной зависимости и характерный для реальных геосред. Показано, что (4) обладает решениями типа гармонической волны, выражаемыми вектор-функцией

ÍPmc,Psc}T = A(w) exp{iw(í ± х/с) ± wax/с),

а групповая и фазовая скорости сд и cj равны и определяются как с2 — (?} = с2К 1 + 4!/2).

Система (4) может быть записана в комплексном виде (с учетом малости V)

Wu = (с/(1 - w)fWxx, (5)

где W — ртс + ipsc Рассмотрим для (5) задачу Фурье, т е задачу без начальных условий при х > 0, с краевым условием-

Pmc(0,i) = /(i), -co<t< +00,

-(-условия регулярности (ограниченности) при х —» со.

Если f(t) — аналитическая при \t\ < 00 функция, то поставленная задача имеет решение в виде разложения в степенной ряд

W{x,t) = f(t - (1 - w)x/c) = f{t - x/c) + i(vx/c)f(t - x/c)

- (vx/c)2f"{t - x/c) - \{vx/cff'{t - x/c) + ■■■ .

Действительная часть этого решения описывает вблизи фронта волны падающее поле, а мнимая — рассеянное, т. е.

psc(x,t) « {vx/c)f{t - x/c) + 0{v2)

В случае, когда f{t) € С^-оо.оо) и |i|1+£|/'(i)| < М, е > 0, решение поставленной задачи следует из формулы Шварца и имеет вид

сю

1 j f(t-X/с+vnx/c)dn

к ' -К J 1 + n2 — 00

00

\РХ f

+ 7Г- f'{t-x/c + unx/c)\n{l + n2)dn. 2тгс J

—СО

Второе слагаемое точно описывает рассеянное поле в виде бегущей волны — импульса, расплывающегося под действием дисперсии.

Для изучения процесса распространения волн в трещиноватых средах проведено два вычислительных эксперимента с использованием комплексной модели. В первом эксперименте в области, где коэффициент v отличен от нуля, трещины одинаково ориентированы, но имеют различный удельный объем, во втором — случайным образом меняется как ориентация трещин, так и удельный объем.

Во второй главе проведено численное моделирование процессов рассеяния волн в трещиноватых средах на основе подходов, рассмотренных в первой' главе Методы моделирования поля, рассеянного от

ансамбля мелких трещин, позволили исследовать основные его характеристики, продемонстрировать механизм его формирования и построить математическую модель метода СЛБО. Для последнего поставлен и исследован ряд существенных вопросов по качеству и интерпретации получаемых результатов.

При моделировании рассеянных полей возникают сложности, свзан-ные с тем, что рассеянное поле по энергии сопоставимо с шумами, образующимися в результате расчетов по схемам с низким порядком аппроксимации Поэтому в п. 2 1 рассматриваются подходы к построению разностной схемы с высоким порядком аппроксимации для численного решения скалярного волнового уравнения. Приведен алгоритм построения схемы с порядком аппроксимации Дж1", Д?/10), которая впоследствии используется для численных расчетов. Проведен вычислительный эксперимент для сравнения качества рассчитанных волновых полей по схемам с порядками аппроксимации 0(А12, Ах2, Ау2) и

О(Д*4,Д®10,Ду10).

При моделировании волновых процессов возникает проблема появления отраженных от границ вычислительной области волн Так как эти отражения являются следствием ограниченности вычислительной сетки и не образуются в реальных условиях, требуется применять методы их подавления В п. 2 2 рассмотрены некоторые из поглощающих граничных условий для разностных схем, позволяющие добиться приемлемых результатов.

В п. 2.3 проведено моделирование рассеяния волн от областей со случайно распределенными трещинами для различных моделей. Показано, что рассеянные волны создают устойчивые волновые фронты независимо от размеров трещиноватых зон и концентрации трещин. Обсуждаются вопросы о механизмах формирования рассеянной вперед (по направлению распространения падающей волны) и рассеянной назад (по направлению к поверхности, с которой происходит излучение сигнала)

волн. Путем анализа амплитудных спектров рассеянных волн установлено, что рассеяние на высоких частотах происходит более интенсивно, но без зависимости от размеров области рассеяния.

П. 2.4 посвящен моделированию метода СЛБО и оценке возможностей определения областей повышенной трещиноватости этим методом. Проведен ряд вычислительных экспериментов по моделированию схем СЛБО, используемых на практике. Показано, что выделение областей со случайным распределением трещин может проводиться только по максимальным значениям регистрируемого параметра.

В п. 2.5 анализируется влияние параметров трещин на результат метода СЛБО. Установлено, что факторы, определяющие значение энергии восстанавливаемой области с трещинами, по степени их влияния можно расположить в следующем порядке: ориентация — размер — концентрация трещин.

Третья глава посвящена поиску локальных неоднородностей геосреды на основе решения задачи определения коэффициента поглощения среды по рассеянным волнам. Для этого исследуется полученное в первой главе уравнение (3), содержащее диссипативные члены, обусловленные влиянием закрепленных и полых трещин. Если пренебречь вкладом закрепленных трещин в рассеянное поле и положить с = 1, то для уравнения (3) можно рассмотреть начально-краевую задачу, для гиперболической системы уравнений относительно неизвестных функций у(х, £), и(х,

Г vt + vx+ сг(ц, х)и = О, 1«г — их — и{—Ц, х)ь = О,

= и(х,{) = 0, 0 <х<Т, -Т <t <0, (7) 1>(<М) = г(*), и(Т, £) = О, -Г<4<Г, (8)

где х) — ц(х) ехр{2 /д с!£}. Римановы инварианты системы (6) V и и описывают решения типа бегущих волн. Коэффициент поглощения

0 < х < Т, -Т < г <Т, (6)

р.(х) 6 ¿2(0, Т] характеризует интенсивность рассеяния падающего поля на скоплениях полых трещин

Обратная задача заключается в определении коэффициента ц(х) по полю рассеянных в направлении пункта излучения волн, т. е. по данным

«(о, 4) = /(<), -т<г<т. (9)

В п. 3.1 определяется обобщенное решение задачи (6-8) и исследуется его структура. Для этого вП? = (О, Т] х (О, Т) рассматривается следующая "порождающая"задача относительно = {У(х,Ь),и(х,Щ:

Ц + Ух + а(ц,х)и = 0, Щ-их-а{-ц,х)У = О, У{х,0) = и(х,0) = 0, У{ 0,4) =0(4), ЩТ,г) = 0,

где 0(4) — функция Хевисайда, т. е £>г0(£) = ¿(4). Эта задача, также как и исходная, не имеет классического решения. Однако можно определить ее обобщенное в смысле интегрального тождества решение. Зная функцию \¥(а;,4), решение исходной задачи лу(ж,4) = {г>(ж,4),и(:с,4)} можно найти как ш(х,4) = Д\У(:е,4), где \¥(ж, 4) £ /^(Пг).

Введем вектор-функцию \У(:с,4) = {У(х,1), /У(ж,4)} такую, что

= + и(х,$ = и(х,$. (11)

Справедливы следующие утверждения об обобщенном решении задачи (10):

Теорема 1. В 1*2 (Пт) существует единственное обобщенное решение У/(х, 4) задачи (10).

Теорема 2. Обобщенное решение задачи (10) пред ставимо в виде (11), где £ #0Д(ПТ), и Щ(х, .), . ,4) 6 Ь2[0,Т].

Из этих теорем вытекает

Следствие 3. Обобщенное решение задачи (6-8) существует, единственно и представимо в виде

чу{х, <) = - х), 0} + г),

где £) Е ¿2(Пт) со следами уг(х, .), \у(., из Ь2[0, Т]

В п 3.2 рассмотрена обратная задача об определении коэффициента поглощения. Под решением обратной задачи понимается коэффициент ц(х) такой, что

г

ц(х) = ах5 М Л/л), где 7(М) = 1/2 [ - /(¿)|2<К. (12)

о

Справедлива следующая теорема условной устойчивости обратной задачи.

Теорема 4. Для задачи (6-9)

при \\iij ||[о,т/2] — имеет место оценка

II/%(*) ~ Мп(г)||ь2[о,г/2] < схЦы"-^) -^"(¿)|и2[0,т],

где С1 зависит от соВ п. 3.3 изложен метод решения обратной задачи основанный на минимизации функционала невязки (12) Доказанные утверждения о структуре обобщенного решения позволяют построить итерационный метод спуска на основе вычисления градиента функционала ,/(д). Получено выражение для градиента функционала J(|^)^■ —^(х) = х т

= д(2х) ехр{—2 J ц{у) ¿у} + ^ К(х, <И, 0 < х < Т/2, (13)

О 2х

где К(х,£) £ Ьг(Пт'). Поскольку выражение (13) определяет опера,тор Вольтерра II рода относительно функции д(2х), то из этого следует важное утверждение о свойствах функционала

Теорема 5. Пусть обратная задача (6 - 9) разрешима и min J(ß) — 0. При этом ./^(х) = 0 в L2[0,T/2] тогда и только тогда, когда ß(x) есть решение обратной задачи.

Подобное рассмотрение обратной задачи возможно и в том случае, когда источник в краевом условии (8) имеет вид -и(0, i) = s(t), s(t) € Ь2[0,Т]. Задача минимизации функционала J(ß) в Х>г[0, Т/2] в этом случае является некорректной, поскольку точка минимума может определяться неустойчиво и требуется применять метод регуляризации Тихонова. При этом функционал Тихонова записывается в виде

= J{n) + a/2Ml[om, (14)

и имеет место слабая сходимость регуляризованного решения к точному. В силу природы рассматриваемой задачи не представляется возможным делать более сильные предположения о свойствах функции ß(x).

Для практического решения задачи в работе применяется метод проекции градиента. В п. 3.4 приведены результаты численного моделирования восстановления различных коэффициентов поглощения, в том числе и коэффициентов, характеризующих реальные среды.

В четвертой главе предлагается томографический подход к поиску локальных неоднородностей среды. При проведении томографических исследований в области приема сигнала регистрируются времена и амплитуды первых вступлений сейсмических волн. Требуется построить алгоритм, использующий криволинейность лучей с возможностью его применения для схем наблюдения типа "скважина — скважина", "дневная поверхность — скважина". В п. 4.1 излагается постановка прямой и обратной задач.

На рис. 1 изображены схемы проведения томографических экспериментов, которые могут быть реализованы применительно к геофизическим исследованиям. В зависимости от того, какие волны рассматриваются — плоские или сферические — возможны два варианта построения

схемы эксперимента. Считаем, что в обоих случаях источники сейсмических волн располагаются на земной поверхности (или в скважине) — прямой у — Н. В первом случае (рис. 1а), т. е. при использовании источника плоских волн, волны распространяются с земной поверхности под углом в. При этом каждый луч, т. е. нормаль к фронту, характеризуется параметром I 6 [а, 6], где I — абцисса точки пересечения луча с прямой У = Н.

а б

Рис 1

Во втором случае (рис. 16), т. е. при использовании сферических волн, источник, находящийся в точке I £ [а, Ь], у = Н, излучает волну, которой соответствуют лучи с углами выхода в Е [0,тг].

Показано, что с точки зрения результатов данного исследования между этими двумя случаями нет никакой разницы. По этой причине изложение подхода ведется только для случая изображенного на рис. 1а.

Регистрация волнового поля производится с помощью приемников, расположенных либо на на полупрямой х — Ь, где Ь < а или Ь > Ь и у < Н, либо на на оси у — 0.

Рассмотрим пару функций: т(х,у) — решение уравнения эйконала и 1(х, у) — функция, изолинии которой ортогональны изолиниям функции т(х,у) в каждой точке. Показано, что функция 1(х,у) удовлетворяет следующему уравнению эйконала-

12х + 11 = (А2(х,у)п(х,у))\ (15)

где А = А(х,у) — амплитуда волны вида А(х,у)ехр{\и!т(х,у)}, являющейся высокочастотным приближением решения соответствующего уравнения Гельмгольца, п(х,у) = 1/у(х,у), у(х,у) — скорость распространения волны в геосреде. Так как изолинии функций т(х, у) и 1{х, у) ортогональны в каждой точке, то (т,1\в) определяет криволинейную ортогональную систему координат, параметрически зависящую от угла падения волны в. Эта система является, тем самым, системой фронтов и лучей. Очевидно, что каждый луч Ь определяется абсциссой точки выхода и углом выхода в, т. е. Ь = Ь(1, в). Тогда

где t(l, в) — время распространения зарегистрированного сигнала вдоль луча, вышедшего из точки I под углом в.

Томографическая задача заключается в определении непрерывной функции п{х, у) в области по известной на апертуре приема (множестве точек наблюдения) информации t(l,6). Вне Паь п(х,у) = const. Заметим, что нахождение функции t{l, в) представляет собой отдельную задачу.

В п. 4.2 рассматриваются методы решения прямых задач для уравнения эйконала и переноса В частности, предложен алгоритм параметризации годографа, т. е. метод построения функции t(l,0), по данным г(х,0), А(х,0), которые, в свою очередь, регистрируются на апертуре приема. Рассматриваются способы численного расчета поля времен, поля лучей и поля амплитуд.

В п 4.3 предложен метод решения задачи определения коэффициента преломления среды Рассмотрим следующее уравнение относительно неизвестной функции п(х,у)\

(16)

1(1,0) щ,в)

Щ,в)

где Г — нелинейный оператор, а t(l, 0) — известная функция. Предполагается, что решение уравнения (17) существует. Для его поиска применяется метод линеаризации решения нелинейных операторных уравнений, который приводит к следующему равенству для определения п — п\ в точке линеаризации п — щ

щ=щ-{¥'}-\¥{п0)-1{1,6)). (18)

На основе схемы проекционной теоремы приведен способ сведения уравнения (18) к одному из двух интегральных уравнений относительно неизвестной функции п\{х,у)-.

оо

I[п^х.у) 11 Л2(х,у;0)по(х,2/)еш(го(х'у'0)-'о(ад,едыс10с1сл;(1:сс1у =

Паь 0 а

оо /3 р

О а

или

оо Р

JJ щ{х,у) J J А1(х,у-в)п0(х,у)ёшМх''у'М-1а(х'у-в)] d0dwdxd2/ =

О а со р

11 = I t(l0(x',y']e),e)áe, (20)

О а Ь

гдеТаЬ(и},в) = f t(l,e)e'íuldl =

а

I j А\х, г/; в)п2(х, у)^1^ áx dу (21)

0,6 (0)

является преобразованием Фурье функции t{l,9) по переменной I.

В п 4.4 приводятся результаты вычислительных экспериментов по моделированию метода ВСП и метода межскважинного прозвучивания.

Основные результаты, полученные в работе.

1. Рассмотрены существующие подходы к численному моделированию рассеянных полей для конечного числа трещин. Предложена и исследована комплексная модель распространения и рассеяния волн в трещиноватой среде, позволяющая перейти к континуальному распределению трещин, а также объяснить частотно-зависимое затухание падающего поля и ряд других наблюдаемых на практике эффектов.

2. Для ряда моделей трещиноватых сред проведено численное моделирование метода сейсмической локации бокового обзора (СЛБО). Исследованы вопросы о влиянии таких параметров трещиноватости как ориентация, размер и концентрация трещин на результаты его использования. Создан пакет программ, позволяющий моделировать различные схемы наблюдений в методе СЛБО для исследования трещиноватых геологических сред.

3. Изучены прямая и обратная задачи распространения волн в диссипа-тивной среде. Показано, как механизм поглощения связан с рассеянием волны на трещинах. Исследована структура обобщенного решения прямой задачи Предложен вариационный алгоритм решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения по полю рассеянных волн. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению коэффициентов поглощения, характеризующих реальные среды

4. Исследована задача определения скоростной характеристики среды по кинематическим данным, получаемым в результате проведения геофизических наблюдений На основе использования амплитудной информации предложен метод параметризации годографа первых вступлений. Построен алгоритм решения задачи сейсмической томографии для неоднородных сред. Создана программа определения скоростного разреза по данным вертикального сейсмопрофилирования (ВСП) и меж-скважинного прозвучивания.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Баев А.В , Куценко Н В. Решение обратной обобщенной задачи вертикального ссйсмопрофилирования // В сб. Прикладная математика и информатика М : Изд-во "МАКС Пресс" 2003. №13. С. 5-28

2. Баев А.В , Куценко Н.В Решение одномерных обратных задач рассеяния вариационным методом // В сб : Обратные и некорректно поставленные задачи. М,- Изд-во "МАКС Пресс". 2003. С 10

3. Файзуллин И.С., Куценко Н.В О возможности применения рассеянных волн для изучения трещиноватости геосреды по данным численного моделирования // Геофизика 2004. № 5. С. 5-9

4. Куценко Н.В. Об одном методе решения задач сейсмической томографии // Математическое моделирование. 2006 Т. 18. № 7. С. 101-114.

5. Баев A.B., Куценко Н.В. Решение задачи восстановления коэффициента диссипации вариационным методом // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2006. Т. 46. № 10. С. 1895-1906.

6. Баев A.B., Куценко Н.В., Файзуллин И С Проблемы распространения волн в трещиноватых средах // В сб.: Тихонов и современная математика. Математическая геофизика. М.: Изд-во "МАКС Пресс". 2006 С 12.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 04.01.2007 г.

Введение.

Глава 1. Математические модели распространения волн в трещиноватых средах.

1.1 Моделирование рассеяния акустических волн на неоднородностях типа трещин.

1.2 Моделирование рассеянного поля в длинноволновой асимптотике.

1.3 Затухание падающего поля в трещиноватой среде.

1.4 Комплексная модель рассеяния.

Глава 2. Численное моделирование процессов рассеяния волн на неоднородностях типа трещин.

2.1 Численные методы решения скалярных волновых уравнений.

2.2 Поглощающие граничные условия для разностных схем.

2.3 Моделирование рассеяния волн от областей со случайно распределенными трещинами.

2.4 Определение областей повышенной трещиноватости методом сейсмической локации бокового обзора (СЛБО).

2.5 Влияние параметров трещин на результаты исследований методом СЛБО.

Глава 3. Поиск локальных неоднородностей на основе решения задачи определения коэффициента поглощения среды.

3.1 Задача распространения акустических волн в неоднородной поглощающей среде в обобщенной постановке.

3.2 Обратная задача об определении коэффициента поглощения.

3.3 Решение обратной задачи вариационным методом.

3.4 Результаты численного моделирования.

Глава 4. Томографический подход к решению задачи определения локальных неоднородностей.

4.1 Постановка прямой и обратной задачи лучевой томографии.

4.2 Решение прямых задач для уравнения эйконала и переноса.

4.3 Решение задачи определения коэффициента преломления среды.

4.4 Результаты численного моделирования задач сейсмики в лучевом приближении.

Одной из основных задач разведочной геофизики является поиск мест скопления углеводородного сырья в геосреде [20]. Такие области обычно называют углеводородными коллекторами. Они представляют интерес главным образом для определения мест бурения промысловых скважин с целью извлечения повышенных для данного района объемов углеводородного сырья. Поэтому при разведке нового месторождения основной задачей реализуемых на нем методов является поиск геологической структуры, которая с большой вероятностью может быть коллектором [20]. На рис.1, приведен результат работы одного из геофизических методов (метод общей глубинной точки [74]), применяемого для изучения структуры геосреды. Здесь хорошо видно, что часть одной из сейсмических границ образует небольшой купол, который может служить местом скопления углеводородов. Как правило, при разработке нового месторождения первые скважины закладывают именно над такими куполами. м чае wm изж гш /уо. пае cm два ши ¡у яю <т *а» ада» уж зн» ж гу iy \т и» m предполагаемое место скопления ïï ,,„.,| ., ■■ V -■■

1т •!» tm ш тщ m cm мю seat. ь, m та <*» та ш> тао im "тж \ù*> if» т>

Рис. 1. Изображение среды, полученное по методу общей глубинной точки.

Размер и форма углеводородного коллектора сильно зависит от геологических условий района. Обычно коллектор с повышенным содержанием углеводородов является локальным образованием [16], т. е. основной объем коллектора сосредоточен в сравнительно ограниченном пространстве. В случае, если же коллектор имеет протяженную структуру, основные запасы углеводородов концентрируются в локальных областях его объема.

Многие современные методы прямо или косвенно направлены на поиск мест залегания углеводородного сырья. Подходы реализуемые для решения этой задачи преимущественно основываются на использовании свойств (физических, химических, и. т. д.) коллекторов, отличающих их от других объектов геосреды. Как видно из рис. 1, одним из наиболее простых способов является выделение коллектора по его форме. Другим отличительным свойством коллектора (например, карбонатного) является повышенная концентрация трещин [11] по сравнению с близлежащими участками геосреды. На основе этого факта разработан ряд методов направленных на поиск областей повышенной трещиноватости [47], рис. 2.

Рис. 2. Вертикальный разрез поля трещиноватости по методу СЛБО.

Следует так же отметить, что в пространстве коллектора происходит повышенное затухание амплитуды проходящей через него волны. Прежде всего это связано с рассеянием энергии волны на неоднород-ностях [48], но также существует ряд иных механизмов ее поглощения [81]. Наиболее характерным свойством коллектора является значительное изменение скорости распространения волн (как правило понижение) в его объеме по сравнению соседними участками геосреды, рис. 3. По этой причине результаты томографических методов [19, 59] представляют повышенный интерес с точки зрения определения местоположения и формы коллектора.

Свойства коллектора зависят в основном от геологических характеристик и условий района, но описанные выше особенности коллектора выделяются в большинстве случаев. Таким образом, можно ввести формализованное понятие углеводородного коллектора как локальной неоднородности, характеризующейся следующими свойствами: резкое изменение скорости распространения волн (как правило уменьшение), высокая концентрация неоднородностей типа трещин, повышенное затухание волн по сравнению с окружающими областями геосреды. Такая формализация не является строгой (так как учитывает только некоторые из свойств коллектора) и носит качественный характер. Однако она позволяет сформулировать ряд математических задач по определению локальной неоднородности геосреды. Более того, рассмотрение и решение таких задач позволяет как смоделировать некоторые из существующих методов по поиску коллекторов, так и оценить потенциальные возможности новых подходов. скорость,км/с

О 20 40 60 80 расстояние, м

Рис. 3. Пример скоростного разреза, полученного по методу межскважинного прозвучивания.

Цель данной работы заключается в анализе возможностей определения локальных неоднородностей среды путем использования каждого из введенного в формализации свойств в отдельности.

В первой главе работы рассмотрены наиболее актуальные на сегодняшний день подходы к моделированию трещин, размеры которых много меньше длины падающей волны. В общем случае именно такие трещины заполняют объем карбонатного коллектора. Рассмотренные методы позволяют провести моделирование рассеянного поля, образующегося на ансамблях трещин, при прохождении волны через коллектор. Предложенные подходы рассматриваются применительно к двумерной среде, что обусловлено невозможностью провести численные эксперименты в трехмерном случае по причине больших вычислительных затрат. Трещины представляются линейными отрезками и характеризуются своей длиной и ориентацией на плоскости.

Во второй части первой главы предложен подход к моделированию распространения волн в трещиноватых средах, позволяющий перейти от конечного числа рассеивателей к их континуальному распределению. Для этого в рассмотрение вводится функция являющаяся удельным объемом рассеивателей и входящая в волновое уравнение как коэффициент. При этом сами трещины представляются в виде бесконечно тонких дисков, характеризующихся своей ориентацией в пространстве и радиусом. В основу модели положен механизм рассеяния на одиночных трещинах, описанный в [50]. Следует отметить, что в рассматриваемой модели можно учесть диссипативные потери в падающем поле, вызванные рассеянием на трещинах, которыми пренебрегали в предыдущих работах [57, 75]. Новизной предложенного метода является механизм взаимодействия падающего и рассеянного полей, который приводит к закономерностям, наблюдаемым при физическом моделировании.

Вторая глава исследования посвящена математическому моделированию метода сейсмической локации бокового обзора (СЛБО) [47]. Этот метод используется в геофизических исследованиях для определения областей повышенной трещиноватости в геосреде путем накопления рассеянной от скоплений мелких (10-100 раз меньше длины падающей волны) трещин энергии, зарегистрированной на земной поверхности.

Разработчики метода СЛБО напрямую связывают энергию рассеянных волн со степенью трещиноватости, что, как будет показано в работе, справедливо на качественном уровне. Помимо этого существует ряд нерешенных вопросов относительно использования метода, которые препятствуют его применению в промышленных масштабах. Среди основных можно выделить: возможность выделения трещиноватых областей по методу СЛБО, соответствие полученного результата реальному распределению трещиноватости, влияние ориентации, размера и концентрации трещин на энергию рассеянных волн. Ответы на эти вопросы помогут понять как научную, так и промышленную ценность метода СЛБО, а с точки зрения данного исследования оценить возможность выделения локальных неоднородностей по повышенной в них концентрации трещин. Для этого в первой главе проводится как моделирование процессов рассеяния на ансамблях мелких трещин (что соответствует решению прямой задачи в методе СЛБО), так и моделирование алгоритма восстановления трещиноватости среды по методу СЛБО (что соответствует решению обратной задачи в методе СЛБО).

В третьей главе работы проводится исследование задачи распространения волн в однородной среде с поглощением. Механизм поглощения энергии в пространстве коллектора объясняется различными гипотезами. Однако экспериментально установлено [48], что одной из причин такого поглощения является рассеяние волн на скоплениях трещин. Во введении ко второй главе показано, как можно свести задачу о рассеянии волн на трещинах к задаче распространения волн в среде с поглощением. Установлено, что если пренебречь рассеянием на жестких трещинах, то коэффициент в волновом уравнении характеризующий интенсивность рассеяния совпадает с коэффициентом поглощения. Таким образом, повышенные значения последнего свидетельствуют о возможном наличии локальных неоднородностей в области зондирования. Так как поглощение энергии волны в пространстве коллектора происходит неравномерно (дискретно), то естественно предположить, что коэффициент поглощения принадлежит пространству интегрируемых (с квадратом) функций. По этой причине прямая и обратная задачи формулируются в обобщенной постановке. Обратная задача заключается в определении коэффициента поглощения по рассеянному полю, зарегистрированному на земной поверхности. Для ее решения применяется вариационный метод минимизации функционала невязки между зарегистрированным и полученным в результате решения прямой задачи волновыми полями.

В четвертой главе работы сформулирована задача сейсмической томографии и предложен один из подходов к ее решению. Как было отмечено ранее, наиболее характерным свойством коллектора является резкое изменение скорости распространения волн в его объеме по сравнению с соседними участками геосреды. На сегодняшний день широко распространены томографические подходы основанные на межскважинном прозвучивании [19], то есть когда излучение и прием сигнала производятся в скважинах. Однако такие методы очень затратны и дают информацию о скоростном разрезе лишь между двумя скважинами. В данной главе рассмотрен подход, в котором излучение можно проводить с земной поверхности, при этом регистрация сигнала производится в скважине. Используемый подход, с одной стороны, основан на регулярности поля лучей, с другой, позволяет отказаться от системы прямых, рассматриваемых в методе радоновской [30] томографии. Для нахождения скоростной характеристики среды применяется метод линеаризации нелинейных операторных уравнений. По схеме решения задачи Радона на основе проекционной теоремы построен численный алгоритм, который, в случае вырождения среды в однородную, обладает всеми свойствами проекционной схемы. Поскольку уже в случае радоновской томографии обратная задача становится некорректной, то не приходится ожидать получения результатов решения обратной задачи для неоднородных сред, характеризуемых удовлетворительной точностью. Однако для решения задач поиска локальных неоднородностей геосреды достаточно лишь качественного описания скоростной модели.

Все поставленные в работе задачи решаются способами математического моделирования: для их решения на компьютере моделируется физический процесс, который наблюдается в реальных условиях, и регистрируются параметры, использующиеся для решения обратной задачи. В качестве регистрируемого параметра в нашем случае выступает волновое поле, а в качестве восстанавливаемого — характеристики среды. Решение обратной задачи реализуется на компьютере в виде отдельной программы, на вход которой подаются данные из прямой задачи. Таким образом, математическое моделирование представляет собой процесс повторения физического моделирования на компьютере, являясь при этом более гибким и дешевым способом.

Основные результаты работы:

1. Рассмотрены существующие подходы к численному моделированию рассеянных полей для конечного числа трещин. Предложена и исследована новая математическая модель распространения и рассеяния волн в трещиноватой среде, позволяющая перейти к континуальному распределению трещин, а также указывающая на принципиальную возможность объяснения частотной зависимости коэффициента рассеяния в горных породах за счет рассеяния на мелких (по сравнению с длиной волны) неоднородностях типа трещин.

2. Для ряда моделей трещиноватых сред проведено моделирование метода сейсмической локации бокового обзора (СЛБО). Исследованы принципиальные вопросы о влиянии таких параметров трещиноватости как ориентация, размер и концентрация трещин на результаты его использования. Создан пакет программ, позволяющий моделировать различные схемы наблюдений в методе СЛБО для исследования трещиноватых геологических сред.

3. Изучены прямая и обратная задачи распространения волн в диссипа-тивной среде. Показано, что механизм поглощения может быть связан с рассеянием волны на трещинах. Исследована структура обобщенного решения прямой задачи. Предложен вариационный алгоритм решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения по полю рассеянных волн. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению коэффициентов поглощения, моделирующих реальные среды.

4. Исследована задача определения скоростной характеристики среды по кинематическим данным, получаемым в результате проведения геофизических наблюдений. На основе использования амплитудной информации построен метод параметризации годографа первых вступлений. Предложена схема алгоритма решения задачи сейсмической томографии для неоднородных сред. Создана программа определения скоростного разреза по данным вертикального сейсмопрофилирования (ВСП) и межскважинного прозвучивания.

Заключение

1. Алексеев А. С., Лаврентьев М. М., Мухаметов Р. Г. и др. Численный метод определения скоростей сейсмических волн в верхней мантии Земли. Матем. проблемы геофизики. Новосибирск. 1971. Вып.2.

2. Алексеев А. С., Цибульчик Г. М. Обратные динамические задачи дифракции волн в проблеме сейсмического мониторинга. Проблемы геотомографии. М.: Наука. 1997. С. 39 53.

3. Баев А. В. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т.28. № 1. С. 25 33.

4. Беляков А. С., Гамбурцев А. Г., Лавров В. С., Николаев А. В., При-валовский Н. К. Инициирующие вибровоздействия и сейсмическая эмиссия горных пород. Изв. РАН. Физика Земли. 1996. №2. С. 8 74.

5. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982.

6. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1966. С. 68 81.

7. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981.

8. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978.

9. Гальперин Е. И., Ситников А. В., Квентнский С. И., Иванов А. М. Опыт и результаты изучения высокочастотного шума. Изв. РАН. Физика Земли. 1989. №10. С. 99 109.

10. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

11. Голф-Рахт Т. Д. Основы нефтепромысловой геологии, и разработки трещиноватых коллекторов М.: Недра. 1986.

12. Гончарский А. В., Кочиков И. В., Матвиенко А. Н. Реконструктивная обработка и анализ изображений в задачах вычислительной диа-гности. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993.

13. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1989.

14. Гурвич И. И. Сейсморазведка. Справочник геофизика. М.: Недра. 1981.

15. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994.

16. Желтов Ю. П. Разработка нефтяных месторождений М.: Недра. 1986.

17. Иванов В. П. Задачи дифракции волн в низкочастотной акустике. М.:Наука. 2004.

18. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука. 1973.

19. Карус Е. В., Кузнецов О. Л., Файзуллин И. С Межскважинное про-звучивание. М.: Недра. 1986.

20. Клаербоут Д. Ф. Сейсмическое изображение земных недр. М.: Недра. 1989.

21. Кондратьев О. К., Кондратьева Т. К. Рассеяние проходящих волн в тонкослоистых средах. Геофиз. сб. АН УССР. 1974. Вып. 58. С.26 -40.

22. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука. 1980.

23. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964.

24. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука. 1965.

25. Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблеммы реконструктивной вычислительной томографии. ТИИЭР. 1983. Т. 71. №3. С.111 -125.

26. Матвиенко А. Н., Новикова Т. Н. О решении обратных задач вычислительной томографии с неполной информацией. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1987. №3. С. 14 17.

27. Матвиенко А. Н., Новикова Т. Н. Решение обратных задач вычислительной томографии с неполной информацией. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1988. С. 29 33.

28. Молотков Л. А. Исследование распространения воли в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука. 2001.

29. Моралли А., Дзиевонский А. М. Способ гармонических разложений в изучении глубинного строения Земли. Сейсмическая томография / Под.ред. Г. Нолета. М.: Мир. 1990. С. 264 289.

30. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир. 1990.

31. Николаев А. В., Сато X., Чеботарева И. Я., Шиоми К. Источник сейсмической эмиссии, связанный с магматическим телом. Вулканология и сейсмология. 1997. №2. С.72 74.

32. Нолет Г. Сейсмическая томография. М.:Мир. 1990.

33. Рок В. Е. Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры. Диссер. на соиск. учен, степени доктора физ.-мат. наук, Москва. 2004.

34. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984.

35. Рыжиков Г. А., Троян В. Н. Обратное проецирование в задачах дифракционной томографии. Вопросы динамической теории распространения волн. JI. 1989. Вып. 29. С. 151 154.

36. Рыжиков Г. А., Троян В. Н. Сейсмическая миграция и методы дифракционной томографии. Вопросы динамической теории распространения волн. JI.: 1990. Вып. 30. С. 212 221.

37. Рыкунов JI. Н., Хаврошин О. В., Цыплаков В. В. Модуляция высокочастотных микросейсм. Докл. АН СССР. 1978. Т.238. С. 303 306.

38. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989.

39. Соболев С. J1. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966.

40. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР. 1964. Т.156. № 6. С. 1296 1299.

41. Тихонов А.Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

42. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987.

43. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Матвиенко А. Н., Пикус И. Ю., Якубов В. А. Сейсмическая томография в задачах инженерной геофизики. ДАН СССР. 1989. Т.304. №4. С.840 844.

44. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Степанов В. В., Кочиков И. В. Некорректные задачи обработки изображений. ДАН СССР. 1987. Т.294. Ш. С.832 837.

45. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Степанов В. В., Ягола А. Г. Ре-гуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука. 1983.

46. Файзуллин И. С. Затухание упругих волн в горных породах. Реферативный научно-технический сборник. Сер. Нефтегазовая геология и геофизика. ВНИИОЭНГ. 1981. Т.5. С. 29 31.

47. Файзуллин И. С., Чиркин И.А., Сейсмоакустические методы изучения трещиноватости горных пород. Геоинформатика. 1998. Т. 3. С. 24 27.

48. Файзуллин И. С., Шапиро С.А., О затухании упругих волн в горных породах, связанном с рассеянием на дискретных неоднородностях. ДАН СССР. 1987. Т. 295. №2. С. 341 344.

49. Файзуллин И. С., Шапиро С. А. Особенности затухания сейсмических волн в случайно-неоднородных средах. ДАН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1073 1077.

50. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К.Теория дифракции. М.: Мир. 1964.

51. Якобсон А. Н. Основные черты строения Южного Каспия по данным о сейсмической рэлеевской волне. Докл. РАН. 1997. Т.353. №1. С. 111-113.

52. Яновская Т. Б. Томографические исследования земной коры при использовании поверхностных волн. Изв. вузов. 1988. №12. С. 69 -87.

53. Яновская Т. В.Проблемы сейсмической томографии. Проблемы геотомографии. М.:Наука. 1997. С. 86 97.

54. Aki K., Christofferson A., Husebye E. S. Determination of the three-dimensional seismic structure of the lithoshere. Geophys. Res. 1977. 82. P. 277 296.

55. Aki K., Richards P. G. Quantitative seismology. W. H. Freeman and Co. 1980.

56. Ang D. D., Knopoff L. Diffraction of scallar elastic waves by a finite crack Proc.Natl.Acad.Sci. 1964. 51. P. 593 598.

57. Baren G.B., Mulder W. A., Herman G. C Finite-difference modeling of scalar-wave propagation in cracked media. Geophysics. 2001. 66. P. 267 — 276.

58. Bates R.H.T., Garden K.L., Peters T.M. Overview of computerized tomography with emphasis of future developments. Proc.Inst.Electr.Electron.Eng. 1983. 71. P. 356 372.

59. Bregman N. D., Bailey R.C., Chapman C. H. Crosshole seismic tomography. Geophysics. 1989. 54. P. 200 215.

60. Brookes R. A., Di Chiro G. Principles of computer assisted tomography (CAT) in radiographic and radioscopic imaging. Phys.Med.Biol. 1976. 21. P. 689 732.

61. Burmakov Y. A., Treusov A. V., Vinnik L. P.Determination of three-dimensional velocity structure from observations of refracted body waves. Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1984. V.79. P. 285 292.

62. Burridge R., Papanicolaou G.S., White B.S. One dimensional wave propagation in highly discontinuous medium. Wave Motion. 1988. 10. P. 19 44.

63. Dablain M. A. The application of higher-order differencing to the scalar wave equation. Geophysics. 1986. 51. P. 54 66.

64. Deans R. The Radon transform and some of its applications. John Wiley and Sons. 1983.

65. Devaney A. J. Diffraction tomography. Inverse methods in electromagnetic imaging. N.-Y. 1985. P. 1107 1135.

66. Dziewonski A. M. Mapping the lower mantle: Determination of lateral heterogeneity in P velocity up to degree and order 6. J.Geophys.Res. 1984. V.89. P. 5929 5952.

67. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Math. Comp. 1977. 31. P. 629 651.

68. Fehler M., Aki K. Numerical study of diffraction of plane elastic waves by a finite crack with application to location of a magma lens Bull, of the Seism. Soc. of America. 1978. 68. P. 573 598.

69. Hudson J. A., Knopoff L. Predicting the overall properties of composite materials with small-scale inclusions or cracks. PAGEOPH. 1989. 131. P. 551 576.

70. Iskakov K. T., Kabanikhin S. I. The solution of one dimensional inverse problem of geoelectrics by the method of conjugate gradients. Russian Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 1991. 3. P. 78 88.

71. Israeli M., Orszag S. A. Approximation of radiation boundary conditions. J.Comp. Phys. 1981. 41. P. 115 135.

72. Le-Wei Mo, Harris J. M. Finite-difference calculation of direct-arrival traveltimes using the eikonal equation. Geophysics. 2002. 67. P. 1270 -1274.

73. Marfurt K. J. Accuracy of finite-difference and finite-element modeling of the scalar and elastic wave equation. Geophysics. 1984. 49. P. 533 -549.

74. Mayne W. H. Common reflection point horizontal stacking techniques. Geophysics. 1962. 27. P. 927 928.

75. Muijres J. H., Herman G. C., Bussink G. J. Acoustic wave propagation in two-dimensional media containing small-scale heterogeneities. Wave Motion. 1998. 27. P. 137 154.

76. O'Doherty R. F., Anstey N. A. Reflections on amplitudes. Geophys.Prosp. 1971. 19. P. 430 458.

77. Palamodov V., Denisjuk A. Inversion de transformation de Radon d'apre's des donne'es non-comple'tes CRAS. 1988. Serie 1. T. 307. P. 181 183.

78. Qian J., Symes W. W. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes. Geophysics. 2002. 67. P. 167 176.

79. Schwartz L. Théorie des Distributions, I-II. Paris: Hermann Cie. P. 1950 1951.

80. Tien-when Lo, P.L. Inderweisen. Fundamentals of Seismic Tomography. SEG. 2000.

81. Toksoz M. N., Johnson D. H., Timur A. Attenuation of seismic waves in dry and saturated rocks. Geophysics. 1978. 44. P. 681 690.

82. Van Trier J., Symes W. W. Upwind finite-difference calcilation of traveltimes. Geophysics. 1991. 56. P. 812 821.

83. Vidale J. Finite-difference calculation of travel times. Bull.Seis.Soc.Am. 1988. 78. P. 2062 2076.

84. Wong J., Harley P., West G. F. Crosshole seismology and seismic imaging in crystalline rocks. Geophys. Res. Lett. 1983. 10. P. 686 689.