автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Теоретическое исследование динамики излученияи распространения упругих волн в модельныхгеологических средах

На правах рукописи

Толмачев Владимир Валерьянович

тс

Теоретическое исследование динамики излучения и распространения упругих волн в модельных геологических средах

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика, физика и химия)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск, 1996

Работа выполнена в Институте геофизики Уральского отделения Российской Академии Наук.

Научныый руководитель: Сурнев Виктор Борисович

кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.. Институт геофизики УрО РАН

Официальные оппоненты: Доманский Евгений Николаевич

доктор физ.-мат. наук, профессор, Челябинский государственный технический университет кандидат физ,- мат.наук, Институт экспериментальной геофизики

Александров Сергей Иванович

РАН

Ведущее предприятие

Уральская государственная горногеологическая академия

Защита диссертации состоится 5 июня 1996 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 064.19.03 в Челябинском государственном университете по адресу: 454136, г.Челябинск, ул.бр.Кашириных, 129

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

А тореферат разослан 30 апреля 1996 г.

Ученый секретарь диссертацион- Г.А.Свиридюк

ного совета,

доктор физ-мат. наук, профессор

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Одним из наиболее важных направлений повышения геологической и экономической эффективности сейсморазведки является переход'к невзрывным способам возбуждения упругих колебаний и их интенсивное развитие. Преимущества и перспективность использования этого метода связывается, прежде всего, с возможностью изменять частотные и энергетические характеристики возбуждаемых и регистрируемых сигналов [Голованов 1977, Потапов 1987, Шнеерсон 1985]. Невзрывные способы возбуждения обладают экономическими, технико-методическими и экологическими преимуществами по сравнению со взрывными способами генерирования сейсмических волн.

В культурных зонах невзрывное возбуждение остается единственной возможностью проведения сейсмических разведочных работ. Имеются данные о том, что вибрационный способ вытесняет взрывное возбуждение при исследованиях скважин [Карус 1986,Седлецкий 1983]. По потенциальным возможностям невзрывных методов вибрационная сейсморазведка находится вне конкуренции.

Техническое переоснащение сейсморазведки значительно расширяет круг решаемых ею задач и требует дальнейшего развития теоретических основ. В работах [Чернов 1977, Караев 1982, Николаев 1970] были сформулированы и использованы для анализа определенные типы моделей, приближенные к реальной геологической ситуации: гетерогенные, сложнодислоцированные, мутные среды. Однако традиционные методы сейсморазведки не всегда дают удовлетворительные результаты при исследовании таких сред, что вызывает необходимость разработки новых методов, опирающихся не на кинематические, а на динамические свойства сейсмических волн.

На основании экспериментальных данных установлено, что геологические объекты, характеризуемые "аномальными" величинами физических свойств, проявляются в волновом поле в виде флюктуаций динамических и кинематических параметров проходящих волн [Александров 1981, Антонова 1978, Николаев 1979, Ампилов 1992, Шамина 1993, Караев 1993]. Преобладание флюктуаций того или иного параметра зависит от физических свойств, структуры, формы, размеров геологических объектов, а также систем наблюдений, с помощью которых производи (ся их исследование. Связь параметров волновых полей с геологическим строением определяется сложными соотношениями и поддается строгому математическому описанию лишь в простейших случаях (шар в бесконечном пространстве [Komeev, 1993]). Значительную роль в установлении этих зависимостей играют исследования, выполняемые с помощью математического и

физического моделирования. Связав аномалин параметров волны с наличием неоднородности, можно попытаться определить область вероятного местоположения неоднородности и оценить ее физические свойства.

На сегодняшний день известно большое число разнообразных задач для которых актуальность применения динамических методов сейсморазведки не вызывает сомнении. Активная разработка ведется в нескольких направлениях: а сейсмологии - для анализа напряженного состояния блоков горных пород с целью прогнозирования землетрясений и исследовании крупных геологических структур [Мячкин 1979, Невский 1977, Невский 1981, Николаев 1979]; в рудной сейсморазведка - для изучения рудных залежей, уточнения их положения, контактов с вмещающими породами [Пеззкер 1983, Певзнер 1984]; в угольной сейсморазведке - для картирования малоамплитудных тектонических нарушений в угольных пластах и выделения газонаполненных рустот в околошахтном пространстве [Гильберштейн 1981, Климов 1983]; в инженерной сейсморазведке - для локализации зон с аномальными поглощающими характеристиками [Карус 1986, Мяч-кин 1979].

Цель работы.

Целью диссертационной работы явилось развитие физических принципов и алгоритмов численного решения задач определения и интерпретации парам4тров распространения упругих волн в слабононеоднородных средах, являющихся модельными для реальной геологической среды. В диссертационной работе исследуется влияние динамических свойств упругих волн в упругом полупространства на наблюдаемые величины с целью оценки возможности регистрации аномальных эффектов, связанных с локальными неоднородностями, в зависимости от их положения относительно системы наблюдения и системы источников упругих волн. Кроме того, проведенные оценки могут быть использованы для рационального планирования сейсмических экспериментов.

Основные задачи работы.

• Изучение энергетики процесса возбуждения вибрационным источником типа "гибкий штамп" упругих волн в полупространстве и их рассеяния на одиночном гомогенном включении.

• Исследование распространения когерентного поля упругой волны в полупространстве со слабоконтрастными дискретными неоднородностями.

• Исследование условий фокусировки излучения вибрационного источника сей-смосигналон обьемом гетерогенной среды.

• Синтез объема неоднородной среды с заданными фокусирующими свойствами.

Научная повита.

» для модели упругого однородного полупространства, возбуждаемого вибрационным источником сейсмосигналов типа "гибкий штамп", получены выражения для компонентов пол« смещений В присутствии локализованной неоднородности, характеризуемо!) вариациями плотности и параметров Ламе;

• проанализирована зависимость направления переизлучения энергии упругого волнового поля от соотношения материальных параметров рассеивающего обэек-та и вмещающей среды;

« на основе обобщенного на случай упругих волн интегрального уравнения Фолди-Тверского для среднего поля решена задача о распространении плоской продольной волны в приповерхностном геометрическом слое дискретных включений и показано, что одной из причин затухания сейсмических волн в зоне малых скоростей может служить их рассеяние на неоднородностях среды;

• созданы программы для расчета сейсмического поля, возбуждаемого вибрационным источником сейсмосигналов типа "гибкий штамп" в упругом полупространстве с локальными иеоднородностями, путем численного моделирования изучена морфология рассеянного последними сейсмического поля и показана принципиальная возможность формирования волнового поля с заданными характеристиками;

• решена задача синтеза дифракционной сейсмической системы "вибрационный источник сейсмосигналов - локальный обэем неоднородной среды", обеспечивающей при заданных параметрах источника возбуждения формирование на известной приемной апертуре волнового поля с характеристиками, максимально близкими к заданным.

Практическая значимость.

Практическое значение работы состоит в разработке алгоритма и программы для численного моделирования компонентов смещения упругого поля и вектора Умова-Пойнтинга, генерируемых дифракционной сейсмической системой "вибрационный источник сейсмосигналов - локальный объем неоднородной среды". Приведенные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при постановке задач физического моделирования возбуждения и распространения упругих волн в неоднородных средах.

Задача синтеза дифракционной сейсмической системы "вибрационный источник сейсмосигналов - локальный объем неоднородной среды", рассмотренная в дис-сетационной работе, во многом эквивалентна обратной динамической задаче сейсмо-

метрик, а алгоритм и программа ее решения могут быть использованы для количественной интерпретации данных динамической сейсморазведки при наличии соответствующих экспериментальных данных. Частично результаты работы использовались для интерпретации экспериментальных данных, полученных при испытаниях вибрационного источника сейсмосигналов на полигоне Горячий Ключ в 1989 г.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на V Уральской конференции "Применение математических методов и ЭВМ при обработке информации на геологоразведочных работах" (Свердловск, 1985), Всесоюзной конференции "Математическое моделирование в геофизике" (Новосибирск, 1986), X Уральской конференции молодых геологов и геофизиков Урала "Геология и полезные ископаемые Урала" (Свердловск, 1989), секции "Геотомография" научного совета ГКНТ по проблеме "Томография" (Новосибирск, 1989), III Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечнвания Земли" (Геленджик, 1990), III научно-технического совещания по геотомографии (Свердловск, 1991), а также на научных семинарах УГГА (Екатеринбург) и ИГФ УрО РАН (Екатеринбург).

Публикации.

По теме работы опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объам работы.

Диссертация сострит из введения, четырех глав и заключения (87 страниц машинописного текста, сопровождаемого иллюстрациями и списком литературы из 71 наименования).

Благодарности.

Работа выполнена в Институте геофизики УрО РАН.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю канд. физ.-мат. наук Сурневу В.Б. за предложение темы исследования и постановки некоторых задач в процессе его выполнения.

Большое значение для автора имела поддержка чл.-корр. РАН А.В.Николаева. Автор выражает глубокоуважаемому Алексею Всеволодовичу искреннюю благодарность за постоянное внимание и поддержку на всех этапах проведенной работы.

Автор благодарен с.н.с. Ратушняку А.Н. за приятную возможность многократного обсуждения различных вопросов вычислительных методов в процессе выполнения исследований по теме работы.

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВОЗБУЖДЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ЛОКАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ.

Рассматривается взаимодействие монохроматических упругих волн с уединенной (детерминированной) неоднородностью, локализованной в полупространстве. Локализация неоднородности понимается в том смысле, что в рассматриваемой среде можно выделить трехмерный объем, заключающий внутри себя все ее составные части.

Поле упругих смещений ц(г), обусловленное распространением упругой волны через неоднородный материал, описываемый плотностью р(г) и тензором упругой жесткости Cijti(f), удовлетворяет интегральному уравнению [Pao 1976, Gubernatis 1977]:

"i (r)= ui° (О + J dr'Gt (r-r')vjt (r ')ut (r') (1)

Все сведения о неоднородности содержатся в операторе

vt(r) = Ap(r)ü,!.5„ + (2)

Поля вариаций материальных параметров Др(г) и ACijn(r) определены относительно однородных полей плотности ро и тензора жесткости CVi'■

Др = р(г)-р0> ЛС%| = СЛ1,(г)-С;,. (3)

G¡j(r,r') - тензорная функцией Грина (ФГ) для вмещающей среды. Она дает связь между силой в точке г' и порождаемым этой силой смещением в точке г . Вид ее полностью определяется той моделью среды, которая используется в расчетах (изотропная, анизотропная, безграничная или ограниченная и т.п.).

Получение ФГ однородного упругого полупространства включает в себя решение уравнения Ламэ, описывающего движение среды, с дельтаобразным источником: д1 8i

при условии, что компоненты тензора напряжения на свободной поверхности хз=0 обращаются в ноль.

Решение включает в себя следующую последовательность операций:

• Переход к Фурье-образам функции Грина для получения алгебраической системы уравнений вместо дифференциальной

• Решение системы уравнений и нахождение Фурье- образа функции Грина

• Переход из Фурье-пространства в координатное пространство с использованием граничных условий и выбором физических решений

После проведения простых, но громоздких алгебраических выкладок.для случая, когда приемник и источник упругих волн находятся в глубине полупространства получен следующий вид ФГ:

0(=Ра+89+РРй+558+ЗР,+РЗ; (5)

Шесть различных членов описывают соответственно прямые Р-волну и Э-волну, отраженную РР-, БЭ-, РБ-, БР- волны. Вид матриц приведен в [Сурнев, Толмачев 1990]. Такая сложная структура ФГ обусловлена необходимостью учета многоканальное™ процессов рассеяния упругих волн, т.е. необходимостью учета 8 полупространстве превращения волн друг в друга при отражении от свободной поверхности.

Во многих задачах сейсмики необходимо провести дальнейшее упрощение вида ФГ, связанное с геометрией расположение источник- приемник относительно свободной поверхности. Например, точечный источник, находящийся на дневной поверхности, позволяет представить тензорную ФГ в более компактной форме:

Са=М5+К„ (6)

где Му - ФГ Р-волн, Ы, - ФГ Б-волн [Сурнев, Толмачев 1990].

Другой важный частный случай формулы (5) используется при анализе аномального поля - когда источник и приемник упругих волн находятся далеко от свободной поверхности по сравнению с длиной волны. Отраженные волны (РР-, 53-, РЭ-, БР-) успевают ослабнуть за счет геометрического расхождения и в (5) можно оставить только первые два члена, соответствующие ФГ безграничного пространства. Тогда выражение (I) сводится к виду

' /> ' Г,

где и О5) - амплитуды рассеяния продольных и поперечных волн [Сурнев, Толмачев 1990].

В разделе 3 рассматривается энергетика волнового поля, рассеянного объектом. Упругая волна осуществляет процесс переноса энергии в пространстве. Усредненный за период поток энергии упругого волнового поля в данной точке пространства описывается вектором Умова-Поннтинга

р, = (8)

где од- компоненты тензора напряжений, ц - компоненты вектора упругих смещение, 1ш - означает взятие мнимой части, * - знак комплексного сопряжения. В отсутствие нелинейных эффектов в рассматриваемой системе "ВИС - локальная неоднородность" вектор Умова-Пойнтинга можно представить в следующем виде:

Р,=Р!+Р°-+Р; (9)

Здесь р°| - часть вектора потока энергии, создаваемого непосредственно ВИС, р5! - часть вектора потока энергии, создаваемого рассеивающим объектом, р°!,- часть вектора потока энергии, связанная с интерференцией падающего и рассеянного полей.

Для локализованного объекта, удаленного от свободной поверхности рассмотрим в качестве источника упругих волн точечную силу Г , приложенную в эпицентре объекта и действующую в положительном направлении оси ОХз.

Нормальная составляющая вектора Умова-Пойнтинга к сфере, окружающей рас-сеиватель, имеет вид:

СО)

где для однородного рассеивателя

(8/г2»)2

1(кр,к1) = |ф' ехр(/(Л;а - *,Р)г,') - фурье-образ рассеивателя. к

Направление рассеяния энергии волны, определяется разностью мощностей, рассеиваемых через верхнюю и нижнюю полусферы радиуса г

Р" - Л," = -

к1 АЛ + А,ц | А» ' Х+2ц 'ц

Ар (12)

(8я:г(Л + 2 >х)?г\ где предполагается 1(Кр,К5) = 1(Кр,Кр) = V.

Направление переизлучения энергии локализованным объектом зависит от соотношения знаков величин Ар и ДХ+Дц. Энергия рассеивается вперед, если Ар и ДХ+Дц -величины разных знаков и наоборот.

2. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В " СРЕДЕ С ДИСКРЕТНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ.

Слоисто-однородная модель геологической среды является первым приближением к действительности и недостаточна для описания распространения упругих волн в реальных условиях. Следующий шаг в направлении улучшения модели - рассмотрение гетерогенной или сильно-неоднородной среды. Однако наличие большого числа неод-нородностей среднего и малого масштаба (характерные размеры неоднородное! ей

:равнимы или гораздо меньше длин волн, используемых для исследования среды) при-эодит к необходимости учета процессов многократного рассеяния сейсмических волн, <оторые дополнительно усложнены обменным характером взаимодействия продольных л поперечных волн, т.е. многоканальностью.

Необходимость учета затухания когерентного поля из-за многократного рассеяния состоит в том, что оно может объяснить некоторые наблюдаемые эффекты без введения дополнительного внутреннего механизма затухания в фоновых средах.

В разделе 1 проводится развитие формализма теории многократного рассеяния Фолди-Тверского для случая упругих волн в неограниченном полупространстве для следующей постановки задачи» пусть в однородной вмещающей среде, занимающей эбласть хз>0, с концентрацией о(г) распределены дискретные включения, имеющие ма-

V

гериальные параметры р, X, р, отличные от материальных параметров вмещающей сре-аы ро, \о, Дискретность понимается в смысле того, что для каждой частицы имеется замкнутая поверхность S, на которой значения материальных параметров испытывают скачек. Требуется описать упругое волновое поле в данной модельной гетерогенной среде, возбуждаемое источником с гармонической временной зависимостью.

В работе [Сурнев, Толмачев 1990] обобщены результаты, приведенные в [Исимару 1981] для случая акустических скалярных волн в бесконечном пространстве, на трехкомпонентные упругие поля в изотропном однородном полупространстве с использованием условийприменимости теории многократного рассеяния Тверского:

Поле в точке наблюдения г, можно представить в виде суперпозиции падающей волны и вклада от всех рассеивателей:

«,(r.) = u?(rj+fdгД^г.УДг.Мг,) (I)

где w;(r,) -волна, падающая на рассеиватель, расположенный в точке г„ 5„(г„г„) - оператор рассеяния упругих волн в полупространстве. Поле на рассеивателе состоит из суперпозиции падающей волны и поля рассеяния от всех частиц за исключением самого рассеивателя:

^(0 = <(0 + |ЗУг,,г^(г>(г,) (2)

Опускаются все члены в интегральном уравнении (2), описывающие волны, проходящие через какую-либо частицу более одного раза.

Тогда компоненты среднего поля в неоднородном упругом полупространстве удовлетворяют системе уравнений Фолди-Тверского, являющейся аналогом уравнения Фолдн-Тверского в акустике [Исимару 1981]:

'{»< (г. )> = "Г (О+/ <Л"Д (г„г„(г, ))о (г,) (3)

Уравнения Фолди-Тверского для упругих волн реально являются системой ин-тегро-дифференци ал ьних уравнений. Интегрирование должно осуществляться как по объемам неоднородностей с учетом всех эффектов, вносимых полупространством, так и по объему, занятому неоднородностями-

В разделе 2 теория Фолди-Тверского, обобщенная для упругих волн, применяется к модели геометрического слоя толщины Л, заполненного случайно распределенными с концентрацией а(г) дискретными рассеивателями, и расположеного в приповерхностной части упругого полупространства.

Из полупространства на слой падет плоская продольна* волна Озехр(-1крг). При отражении ее от дневной поверхности в полупространстве будет существовать нисходящая волна [Дандау 1987]: рзехр(1кРг). Поэтому возбуждающее колебания в слое упругое поле представляет собой стоячую волну

. . «;(г) = (0,0,2£)1)со5(*,г) (4)

В качестве пробного решения рассматривается когерентное поле <и> в виде стоячей волны, не зависящий от х и у:

<*„(<•)>= 24, со^К, г) (5)

При перпендикулярном падении на слой дискретных неоднородностей Р-волны амплитуда рассеяния поперечны* ёилн равна нулю, т.е. рассеянное поле является волной того же типа [Сурнев, Толмачев 1990]. Для постоянной концентрации частиц в слое уравнение (3) принимает вид:

24 =2 о, (6)

о "га

Исследуем решение задачи, пренебрегая долей излучения, рассеиваемой дискретными неоднородностями назад (описывается третьим слагаемым в правой части). Найдем из (6) Аз и КР:

*' = *' +(7) г

Из уравнения (7) для модели гетерогенной среды с идентичными малыми вкраплениями (можно заменить входящий в 1» форм-фактор рассеяния объемом включения V) получена формула, связывающая эффективное волновое число Кр с материальными параметрами дискретных неоднородностей:

^ = р° 2 т

к . А\ + 2АЦ оК ^

' 1-----

X + 2ц 2

Здесь оУ - величина, характеризующая концентрацию рассеивателей В среде (отношение объема неоднородностей к объему геометрического слоя).

' Амплитуда среднего поля на дневной Поверхности равна удвоенной амплитуде падающей плоской волны с учетом фазового сдвига, возникающего за счет многократного рассеяния ее в слое:

< ит(г) >= 2йт ехр(1(К, - кг)2) (9)

Вернемся к уравнению (6) с целью учета всех членов, дающих вклад в рассеянное поле. В этом случае решение имеет вид

О, ехр(,

И-У*'"" ()_ 'М

к (К + к е I

кг(Кр-кг) к,(Кр+к,) Теперь амплитуда когерентного поля зависит от эффективного волнового числа. Для той же модели гетерогенной среды (малые неоднородности), получается другое значение Кр:

к.

I - — оГ

^--(И)

X + 2ц

Обшей чертой формул (8) и (II) является зависимость эффективного волнового г,юла КР от отношений р|/ро и Ср1/Ср0 при произвольных значениях- скорости поперечных волн в частицах. Максимальное значение Кр достигается при разных знаках вариаций материальных параметров Ар и АХ+2А|Д, причем только при отрицательных Ар и юложительных АХ.+2Ац, а минимальное значение Кр - при обратных знаках вариаций.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИМИТАЦИОННОЙ

МОДЕЛИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ "ВИБРАЦИОННЫЙ ИСТОЧНИК СЕЙСМОСИГНАЛОВ - ЛОКАЛЬНАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ"

С начала осуществления в нашей стране программы вибрационного просвечива-шя 'Земли (ВГП), связанной с использованием сейсмических невзрывных источников

для изучения внутреннего' строения Земли и мониторинга протекающих в ней процессов, изданы сборники и монографии [Бабешко 1989, Чичинин 1984], обобщающие накопленный опыт как по теоретическому моделированию основ метода ВПЗ, так и практике вибрационных сейсмических исследований. Основным вопросом теоретических изысканий являлась задача корректного математического моделирования вибрационного источника сейсмосигналов (ВИС), связанная с глубоким математическим анализом краевых задач и привлечением ЭВМ, хотя в простейших случаях (круг, полоса) получены аналитические формулы. Однако до сих пор не рассматривались проблемы взаимодействия ВИС с гетерогенной средой, состоящей из отдельных неоднородных блоков с отличными друг от друга свойствами. Частный случай такой имитационной модели сейсмической системы "ВИС - локальная неоднородность" (наиболее простой и удобный для понимания происходящих процессов) является предметом рассмотрения в данной главе.

Рассматривается сейсмическая система, включающая в себя ВИС, расположенный на свободной поверхности однородного изотропного упругого полупространства, и совокупность локальных рассеивающих объектов, распределенных внутри эффек-1 НвНо* С сб|»$и :а, погруженного на глубину Н. Заданы размеры плиты ВИС, эффективного объема, значения плотности и скорости продольной волны в полупространстве (имитация суглинка). Требуется определить морфологию волнового поля, создаваемого различными конфигурациями рассеивающей системы объектов с целью изучения принципиальной возможности создания волнового поля заданной конфигурации (задача фокусировки).

Методика решения данной задачи состояла в процедуре последовательного численного моделирования различных вариантов данной сейсмической системы с целью выяснения некоторых физических закономерностей поведения морфологии упругого поля и включала в себя следующую совокупность операций:

1) Моделирование виброисточника для изучения морфологии создаваемого им упругого поля

2) Изучение морфологии поля вектора потока энергии с целью выбора оптимального размещения эффективного объема

• для различных значений поперечных волн в фоновой среде

• для различных частот возбуждения

3) Исследование влияния заполнения эффективного объема на фокусирующие свойства системы

• в зависимости от процента заполнения эффективного объема рассеивающими элементарными объектами

• в зависимости от материальных свойств включений.

Из проведенных расчетов можно сделать вывод о том, что создание сейсмнче-:ких систем, обладающих свойствами фокусировки волнового пол« желаемой морфо-тогии, представляется принципиально возможным, как за счет' изменения конфигурации системы, так и за счет изменения материальных свойств различных элементов распивающей неоднородности.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЯ УПРУГОГО ПОЛЯ ЗАДАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМОЙ РАССЕИВАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ

Рассматриваемая в данной работе задача синтеза (ЗС) будет похожа на эбычную для геофизики задачу восстановления рассеивающего объекта с той лишь разницей, что речь пойдет не о реально существующих детекторах на приемной апертуре и зарегистрированном ими аномальном волновом поле, а о желании получить с помощью неоднородности в некоторых точках, быть может, даже недоступных наблюдателю, определенную конфигурацию волнового поля. Но в отличие от акустики будут приниматься во внимание волновые процессы в упругой среде, допускающей одновременное возникновение и распространение волн двух типов, а также их взаимное превращение.

Пусть неоднородность .находится внутри области V, ограниченной замкнутой поверхностью Э, а вмещающая однородная изотропная среда занимает область АУо = (г : хэ >0), дополняя V до трехмерного евклидова полупространства. Здесь г=(Х| ,Х2 ,хз) - радиус-вектор. Материальные свойства области \Уо (плотность ро, и коэффициенты Ламэ Хо, цо) нзвестны и являются постоянными. Материальные свойства неоднородности - функции точки г'е V: ( р(г'), Х(г'), ц (г'))еС'(У), переходящие в константы ро, Хо.цо на 5. Первичное (нормальное) поле излучается системой источников, расположенных в некоторой ограниченной области \VicWo и работающих в гармоническом режиме. (Зависимость по времени ехр(-1и>0, где I - мнимая единица, о) -круговая частота упругих колебаний, I - время, в дальнейшем опускается). Регистрация вторичного (аномального) поля осуществляется системой детекторов, размещенных в области \V.cWo.

Полная задача синтеза (ЗС) ставится следующим образом: синтезировать параметры зондирующей апертуры \У1 (ЗА) и рассеивающей системы объектов V (РСО) гак, чтобы данная сейсмическая система формировала на приемной апертуре (ПА), помещенной во вмещающую среду с известными параметрами, волновое поле за-цанной морфологии.

Чтобы записать математическую постановку задачи синтеза, необходимо выполнить ряд преобразований исходного выражения, дающего решение динамической прямой задачи для упругих волн на уединенном теле [Pao 1976] и привести его к виду:

Анализируя (2), видим, что, во-первых, неизвестные, которые мы желаем найти, входят в соотношение не явно, а в виде аргументов некоторых функций. Во-вторых, искомые неизвестные являются аргументами различных функций, что значительно облегчает нам проблему, позволяв проредить ее исследование по частям. На первом этапе исследования зафиксируем параметры зондирующей апертуры Wi (частоту, положение, количество, размеры и силу источников), сведя тем самым (2) к линейной системе уравнений относительно 4p(V), ДХ(У), Лц(У) при постоянных Р, Л, М. Такую ЗС назовем усеченной.

Усеченную ЗС будем решать методом разложения функции объекта по дискретному базису элементарных объектов (элобов). Данный формализм, предложенный для задачи дифракционной томографии на упругих волнах в работах [Сурнев, Ратущняк, Толмачев,1991], [Сурнев, Толмачев, 1991] заключается во введении парал-

N

лелепипедного покрытия í/(Ar) = (Jí/, области неоднородности V, где каждый эле-

I» i

мент Ui=(r : max|Xvl<ro}, i=l,2,..,N, v=l,2,3, ro=const, обладает собственным набором материальных свойств р(г), >.(г), ц (г) постоянных внутри данного элементарного объема.

Пусть приемная апертура W. содержит конечное число точек ш в каждой из которых регистрируется 3 компоненты упругого рассеянного поля ц(г,), j=l,3, i=l,m, т.е. всего 3w данных.

Параллелепнпедное покрытие содержит N элобов с набором из трех материальных функций p(t), X(t), p(t), t=l,N в каждом. Вводя для них общее обозначение х, = ( Ap(t), ДХ(1), Дц(!))т, перепишем (2) в общепринятом виде:

ÍA„(r.)х = Н>.) j=l.3.i=l.fff. (2)

1-1

Здесь для удобства введено общее обозначение АДг,) для элементов матрицы рассеяния Р,(г,), Д/г,), М,(г,).

В задачах реконструкции АТА плохо обусловлена, но имеется априорная информация о решении, что позволяет, используя Байесовский подход, получать разумные результаты.

В задаче синтеза мы ограничимся случаем малых вариаций материальных параметров элобов относительно вмещающей среды (предпочтение отдается решению с малой нормой 1х=0):

А cd

х =

О

(3)

где а - постоянная, управляющая степенью затухания решения.

Другая априорная информация, используемая в задаче, касается взаимосвязи материальных параметров в злобе. В [Толмачев 1995] показано, что для перерассеяния вперед элоб должен иметь Дц и ДХ одного знака, а Др - противоположного. Чтобы зафиксировать эти корреляции между неизвестными, вводим сглаживающий оператор Б (матрицу с суммой элементов строк I), который проецирует х на г:

При решении последнего уравнения (4) минимизируется zTz, и для найденного значения z строится сглаженное решение х.

В данной работе для отыскания z используются два метода: SVD и LSQR. [Лоусон 1986, Форсайт 1980, Яновская1983, Paige 1982, Ван дер Слуис 1990]. Просто применяя алгоритмы LSQR или SVD к (4) для решения ЗС мы не будем уверены в корректности полученного фантома. Поэтому использовалась перепроверка неслучайности результата несколькими независимыми способами.

Результатом выполненной работы явилось решение теоретической задачи синтеза для случая изотропной полубесконечной упругой среды с известными свойствами в следующей постановке: для заданных параметров ЗА и ПА найдена конфигурация элементарных объемов внутри фиксированной PCO, обеспечивающая создание сейсмического волнового поля, максимально приближенного к полю заданной морфологии.

Решение удалось получить в рамках формализации рассеивающей системы объектов с помощью параллелепипедного покрытия. Правильность полученных результатов подтверждается следующим:

• использование различных алгоритмов (LSQR и SVD) как при тестировании с синтетической моделью, так и в ЗС для одинаковых ПП приводит к тождественному ре-

• наблюдается пространственное сходство образов решенной ЗС для различных ПП,

• изменение морфологии поля не ведет к неустойчивости задачи,

x = Sz

(4)

зультату,

• симметрия в расположении ПА, ЗА, ПП приводит к наличии симметричных свойств у фантома.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей работе в рамках приближения Борна для слабоконтрастных неод-

нородностей в упругом полупространстве предложены для защиты следующие основные положения:

1. Показано на примере плоской продольной волны, что одной из причин затухания сейсмических волн в зоне малых скоростей может являться рассеяние волны на неод-нородностях приповерхностного слоя (амплитуда результирующей волны уменьшается, а фазовая скорость зависит от знака и величины вариации материальных параметров включений).

2. Предложен алгоритм и созданы программы численного расчета волнового поля и вектора потока энергии для сейсмической системы, состоящей из источника типа "гибкий штамп", расположенного на свободной поверхности упругого полупространства и локальных неоднородностей в глубине полупространства.

3. В рамках выбранной модели сейсмической системы, состоящей из конечного числа . источников на поверхности полупространства и ограниченного объема упругой сре-, ды, предложены теория и методика численного синтеза распределения и величины

"контрастности" неоднородностей внутри заданного объема, формирующих на приемной апертуре упругое поле с характеристиками, максимально близкими к заданным. 4

ЛИТЕРАТУРА

1. Сурнев В.Б., Толмачев В.В. Эффективные параметры распространения упругих волн в среде с дискретными включениями, Физика Земли, 1990, №8, 27-36

2. Сурнев В.Б., Ратушняк А.Н., Толмачев В.В. Интегральные уравнения с полиномиальной нелинейностью в задачах реконструкции локальных объектов по проекционным данным рассеяния волновых полей.// 3 научно-техническое совещание по геотомографии. Тезисы докладов. Свердловск,' 1991, С.82-85.

3. Сурнев В.Б., Толмачев В.В. Восстановление функций трехмерных локальных объектов по проекционным данным рассеяния упругих волн.//, 2 Всесоюзная акустическая конференция. Секция Е. Акустический институт. М.: 1991, С.25-27.

4. Толмачев В.В. Исследование фокусирующих свойств модели сейсмической системы "вибрационный источник сейсмосигналов - объем неоднородной среды" методами математического моделирования //Деп. в ВИНИТИ 19.12.95, № 3369-В95.

5. Толмачев В.В. Исследование возможности создания упругого поля заданной морфологии системой рассеивающих объектов.//Деп. в ВИНИТИ 04.12.95, № 3193-В95.

6. Толмачев В.В. Исследование условий фокусировки излучения вибрационного источника сейсмосигналов объемом неоднородной среды методами математического моделирования // Физика Земли, № 3, 1996, С. 1-7.