автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Регуляризирующие алгоритмы и комплекс программ решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности

48411/о

Лукьяненко Дмитрий Витальевич

Регуляризирующие алгоритмы и комплекс программ решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2011

2 4 МАР 2011

4841178

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель профессор Ягола Анатолий Григорьевич

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Леонов Александр Сергеевич,

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"

доктор физико-математических наук, доцент Перов Николай Сергеевич, МГУ имени М. В. Ломоносова, физический факультет

Ведущая организация

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Защита состоится 8 апреля 2011 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можво ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ. ■

Автореферат разослан « марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В. В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследованию проблем решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля. Для решения этой задачи в зависимости от известной априорной информации об изучаемом объекте предлагаются различные численные алгоритмы решения, запрограммированные для использования как на обычных компьютерах, так и на многопроцессорных системах. Техника распараллеливания позволяет производить обработку больших объёмов данных, что даёт достаточно подробное описание исследуемого объекта. Разработанные алгоритмы также могут быть успешно применены для решения очень широкого класса прикладных физических задач, сводящихся как к трёхмерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, так и к задачам меньшей размерности (в том числе для случая, когда необходимо восстановить скалярную функцию).

Актуальность темы

Многие задачи современной физики являются обратными задачами. К сожалению, во всех реальных задачах входные данные задаются с погрешностями, например, получаются в результате эксперимента. Более ста лет назад считалось, что только задачи с решениями, устойчивыми по отношению к возмущениям входных данных, имеют физический смысл. Ж. Адамар ввел понятие корректной (корректно поставленной) задачи. Корректной (корректно поставленной) задачей он называл любую задачу, у которой решение 1) существует, 2) единственно и 3) непрерывно зависит от входных данных. Все остальные задачи Ж. Адамар называл некорректными (некорректно поставленными). Т.е. некорректной считалась задача, у которой нарушается хотя бы одно из трёх свойств корректной задачи.

Оказывается, что абсолютное большинство обратных задач, к которым сводятся прикладные задачи, являются некорректно поставленными. В связи с этим в середине XX века начала развиваться теория некорректных задач, и начали разрабатываться методы их решения.

Академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века была заложена теория решения некорректных задач, основанная на понятии регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи. После основополагающих работ А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева и В. К. Иванова теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники.

При решении многих современных прикладных обратных задач часто необходимо восстанавливать характеристики исследуемых объектов в пространстве, при этом эти характеристики могут являться векторными функциями. Это зачастую приводит к необходимости решать трёхмерные интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода для векторной функции, что невозможно сделать с использованием обычных персональных компьютеров. В таких случаях обычно используются различные упрощения и допущения, которые понижают размерность решаемой задачи, но при этом дают ограниченную информацию об исследуемом объекте либо приводят к существенным ошибкам в восстанавливаемых значениях исследуемых характеристик. В связи с этим наибольший интерес представляют эффективные методы решения прикладных трёхмерных обратных задач.

Данные проблемы рассматриваются на примере решения важной прикладной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его корпуса.

Цель работы

Целью данной работы являлось построение как иерархии моделей, позволяющих понизить размерность решаемой трёхмерной задачи восстановления параметров намагниченности корабля, так и разработка эффективных методов решения трёхмерных обратных задач в постановке, в которой необходимо решить трёхмерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для векторной функции (постановка, к которой сводится много прикладных физических задач).

Положения, выносимые на защиту

1) Иерархия моделей и эффективные численные методы решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля.

2) Программный комплекс решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля на обычных и многопроцессорных системах.

3) Алгоритм решения прикладных трёхмерных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, с использованием многопроцессорных систем и его программная реализация.

Научная новизна

Автором была разработана иерархия моделей решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля. Выло показано, что для решения трёхмерных обратных задач, сводящимся к трёхмерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, использование многопроцессорных систем очень эффективно, что позволяет решать данные задачи в самой общей постановке без использования различных упрощений, которые обычно сильно ограничивают полученную при решении информацию об исследуемом объекте.

Практическая ценность

Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены как для решения задачи восстановления параметров намагниченности, так и для решения многих других прикладных трёхмерных обратных задач. Среди физических задач отметим обратные задачи механики, задачи томографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачи геофизики, задачи спектроскопии, обратные задачи линейной оптики, обратные задачи линейной акустики, обратные задачи радиофизики, задачи исследования материалов и дефектов в них, задачи по обработке изображений. Описанные в работе методы решения применимы к линейным обратным задачам, встречающимся в перечисленных областях. Все результаты данной работы могут быть использованы как для решения трёхмерных обратных задач физики, в которых неизвестные величины являются векторными функциями, так и легко упрощены на случаи задач меньшей размерности либо задач, при решении которых необходимо восстанавливать скалярные функции.

Личный вклад автора

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ научных результатов проводились под руководством А. Г. Яго-лы. Постановка задачи восстановления параметров намагниченности проводилась совместно с Х.Я. Пейем из Национального Университета Сингапура. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в девяти научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены: на Всероссийской научно-практическая конференции "Обратные задачи в приложениях" (Бирск, Бирская государственная социально-педагогическая академия), 22-23 мая 2006 года; на Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика." (Челябинск, Челябинский государственный университет), 19-22 сентября 2006 года; на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, Дом Учёных СО РАН), 20-25 августа 2007 года; на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (Екатеринбург, Уральский университет), 1-6 сентября 2008 года; на конференции "65 лет Южно-Уральскому государственному университету. Секция естественно-научных и гуманитарных наук." (Челябинск, Южно-Уральский Государственный Университет), 2008 года; на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010"-(Москва, Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова), 1 апреля 2010 года; на Международной конференции "The Second International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications" (Китай, Пекин, Институт геологии и геофизики Китайской Академии Наук), 12-15 июля

2010 года; на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 24 февраля 2010 года; на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, проводящемся в НИВЦ МГУ, 1 декабря 2010 года; на научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ под руководством А. В. Тихонравова, 3 февраля

2011 года.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 2 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [1,2], 1 статья в сборниках трудов конференций [3] и 6 тезисов конференций [4-9]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 2 статьи [1,2].

Структура работы

Диссертация написана на 104 страницах, состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (92 наименования).

Краткое содержание работы

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ подробно описана постановка задачи восстановления параметров намагниченности, которая заключается в восстановлении вектора намагниченности, распределённого по объёму корабля. Рассматривается иерархия моделей, позволяющая как понизить размерность решаемой задачи с целью её более простого численного решения, так и позволяющая решить поставленную задачу в общем виде с целью получения более подробной информации об исследуемом объекте.

Одна из возможных схем измерения магнитного поля представлена на рисунке 1. Корабль проплывает над расположенным на определённой глубине массивом сенсоров, которые измеряют магнитное поле через короткие промежутки времени. Такая схема измерений эквивалентна измерению магнитного поля в горизонтальной плоскости 5 либо, возможно, системе горизонтальных плоскостей (рисунок 2). Надо помнить, что в описанном эксперименте измеряется не поле от корабля, а его сумма с полем Земли. Поле Земли можно измерить в эксперименте, в котором корабль отсутствует. Таким образом, можно косвенно измерить магнитное поле, источники которого находятся в области V, в которой находится корабль.

Рис. 1. Схема измерения магнитно- Рис. 2. Эквивалентная схема изме-го поля корабля. рения магнитного поля корабля.

Магнитный диполь с магнитным моментом М, расположенный в точке пространства с радиус-вектором q, создаёт в точке с радиус-вектором г магнитное поле с индукцией

/г0 /3(г-д)-М(д) М(д) )

Здесь /¿о - магнитная постоянная. В системе СИ она равна 47Г-10"7 Гн/м.

Общее поле от корабля выражается следующим объёмным интегралом:

Но в данной общей постановке решение задачи представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу.

Далее в этой главе предлагаются различные математические постановки рассматриваемой задачи, целью которых является упрощение решения поставленной задачи. Эта цель может быть достигнута как понижением размерности решаемой задачи (с помощью использования различных упрощений и допущений), так и с помощью использования более совершенных численных методов.

Одномерная постановка задачи. Одним из самых простых способов разрешения описанной проблемы является понижение пространственной размерности решаемой задачи [5,9].

Считаем, что поле векторов намагниченности зависит только от первой координаты, т.е. М = б вне корабля, а внутри корабля М = M(q1). Получаем, что намагниченность представляется функцией М :

7 -» R3, где Т := [ inf q1 ; sup q1 1. Введём обозначения для концов

qzv

отрезка 7: а := inf ql, b := sup q1. Таким образом, мы рассматрива-«е v qev

ем одномерную модель корабля. При этом изменится соотношение (2). Теперь в нём будет браться криволинейный интеграл. Интегрирование проводится по отрезку Т х {0} х {0}:

В задаче необходимо восстановить функцию М : Т К3, что эквивалентно восстановлению трёх скалярных функций, действующих из 7 в R. Но эти три функции можно представить как одну скалярную функцию тп, действующую из {1; 2; 3} х 7 в К.

Данный подход на практике используется следующим образом. Корабль разбивается на относительно небольшое число элементов объёма (характеристики этого разбиения считаются известными), вектор намагниченности в каждом из которох считается неизменным и постоянным. На рисунке 4 приведен пример разбиения исходной модели корабля (рисунок 3) на 10 элементов.

Данный подход допускает относительно простую численную реализацию [5,8], но имеет и некоторые недостатки. Один из них связан с тем, что результатом решения задачи в данной постановке является

Рис. 3. Исходная модель корабля. Рис. 4. Разбиение объёма корабля.

только общее представление о распределении вектора намагниченности по объёму корабля.

Двумерная постановка задачи. Вполне закономерным продолжением развития идеи понижения пространственной размерности решаемой задачи является некоторое усложнение модели и сведение исходной задачи восстановления параметров намагниченности к двумерной постановке. Можно выполнить сведение объёмного интеграла (2) к двумерному случаю из соображений, аналогичным (3) для одномерного случая, но можно воспользоваться и более простой аналитической интерпретацией физической постановки задачи.

Уравнение, описывающее магнитное поле В,, индуцируемое магнитными диполями Мимеет вид, соответствующий уравнению (1):

Здесь, как и далее в работе, х31 у3, г3 - координаты точек (соответствуют расположению сенсоров на сенсорной плоскости либо системе сенсорных плоскостей 5), в которых определена векторная функция В\ х, у, г - координаты точек (соотвтетствуют элементам корпуса корабля), в которых определена векторная функция М. N - число магнитных диполей, гг] - вектор, соединяющий точку (х3,уа,г3), соответствующую сенсору г, с точкой [х, у, г), в которой расположен магнитный диполь с номером У-

Аппроксимация корпуса корабля плоскостью. Данная постановка задачи использует допущение, что основной намагниченной частью корабля является корпус и намагниченностью внутренних частей корабля можно пренебречь. Причем, исходя из того, что многие очень большие корабли (типа нефтеналивных танкеров) имеют большое относительно плоское днище, используется аппроксимация корпуса (днища) корабля плоскостью (рисунки 5 и 6).

Рис. 5. Исходная мо- Рис. 6. Аппроксимация Рис. 7. Аппроксимация дель корабля. корпуса плоскостью. корпуса эллипсоидом.

В этом случае задача (4) сводится к решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свёртки для векторной функции [1,3]:

ь <1

В{х$, Уа) = 11 Щх3 -х,у5- у)М(х, у)с1х(1у,

а с

где пределы интегрирования соответствуют прямоугольной области пространственной локализации корабля. Здесь, как и далее в работе, ядро К интегрального уравнения соответствует уравнению (4) и может быть выражено как

-и-1 \

3(х-х,)2-т2 3(х-х,)(у-у,) 3(х-х,)(г-г,) Цу-у,)(*-*>) 3(У-У,)2~Г2 3(у-у,)(г-г,) 3(г-г„)(х-га) 3(г-г!)(у-у1) 3(г-г,)2-г2

(5)

где г = \1{х — х5)2 + (у — у3)2 + (г - г5)2. В данной постановке задачи гв и г — фиксированные величины, соответствующие пространственным координатам по оси Ох сенсорной плоскости и плоскости, аппроксимирующей днище корабля, в результате чего К(а:5 — х,у3 — у) =

Для решения задачи в данной постановке можно использовать метод решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свёртки для векторной функции [1,3], который за счёт использования быстрого преобразования Фурье допускает относительно простую и быстродействующую численную реализацию.

Аппроксимация корпуса корабля эллипсоидом вращения. Данная постановка задачи заключается в том, чтобы подобно предыдущему подходу считать, что основной намагничиваемой частью корабля является корпус, который в силу геометрических особенностей корпусов многих типов кораблей можно в частных случаях приближённо аппроксимировать эллипсоидом (рисунки 5 и 7). Данная постановка задачи тоже допускает использование для решения методов, которые

Рис. 8. Примеры разбиения корпуса на 584 и 1780 элементов.

допускают относительно быстродействующую численную реализацию за счет того, что аппроксимация корпуса корабля эллипсоидом вращения позволяет применить известные аналитические преобразования, что позволяет значительно понизить численную размерность решаемой задачи.

Двумерная постановка задачи в общем виде. В данной постановке задачи мы предполагаем подобно двум предыдущим случаям, что основной намагниченной частью корабля является корпус, но не делаем больше никаких дополнительных допущений о форме корпуса корабля, считая что геометрические характеристики корпуса исследуемого корабля нам известны. В этом случае корпус корабля разбивается на четырёхугольные элементы поверхности, которые являются проекцией равномерной двумерной прямоугольной сетки Оху на корпус корабля (на рисунке 8 приведены примеры разбиения поверхности корабля на 584 и 1780 элементов, что соответствует 1752 и 5340 восстанавливаемым параметрам намагниченности).

В этом случае задача (4) сводится к решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в общем виде г> л

В{х3,у3) = 11к{х5,у3,х,у,г{х,у))М(х,у,х{х,у))(1хЛу, (6)

а с

где неизвестная функция М связанной с М соотношением М(х,у,г(х,у)) = (7 - угол между нормалью соответству-

ющего элемента разбиения и осью Ог). Здесь координаты х, у, г связаны уравнением поверхности г — г(х, у), описывающем геометрическую структуру корпуса корабля. Ядро К интегрального уравнения (6) соответствует (5). Пределы интегрирования соответствуют прямоугольной области пространственной локализации корабля.

Для решения этой задачи разработаны эффективные методы численного решения. Необходимо обратить внимание на то, что в данной постановке задачи для решения необходимо знать точные геометрические параметры исследуемого корабля.

Трёхмерная постановка задачи в общем виде. Последняя постановка задачи является самой общей и соответствует исходному уравнению (2). Необходимо найти непрерывное распределение вектора намагниченности по объёму корабля при отсутствии какой-либо информации о структуре корабля (размерах, предполагаемом распределении намагниченности и т.д.) и его положении в пространстве относительно сенсоров. В этой постановке задачи мы считаем, что никакими сведениями о корабле (или другом исследуемом объекте) мы не обладаем, а, значит, не можем делать никаких существенных предположений и упрощений.

В этом случае уравнение (4) может быть заменено эквивалентным ему интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода для векторной функции:

В{х3,у!,г3) = 1к(х1,у1,г!,х,у,г)М(х,у,г)^. (7)

V

В этом случае функция В является векторной функцией, определенной на системе измерительных сенсорных плоскостей и неизвестная функция М также векторная функция, определенная по объему корабля V. Здесь х,у,г - координаты точек, расположенные внутри объема корабля V. Ядро К интегрального уравнения (7) соответствует уравнению (5). Если мы предположим, что V С Р = {(х,у,г) : Ьх ^ х ^ Ях, Ьу ^ у ^ Яу, Ьг ^ г ^ В.2} (на рисунке 9 представлен соответству-щий пример) и система сенсорных плоскостей ограничена прямоугольным параллелепипедом С) = {(хв,у5,гв) — (б, г) : Ь$ ^ 5 ^ Я31 Ь£ ^ t Щ, Ьт ^ г ^ Яг}, мы получим трёхмерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для векторной функции

я, я*

= / / I Щз,^г,х,у,г)М{х,у,г)<1хс1ус[г, (8)

методы решения которого разработаны [2] и представлены в главе 2.

Данная постановка задачи является самой универсальной, т.к. может быть использована для любого корабля и не требует никаких дополнительных сведений о геометрии корабля, что очень важно с практической точки зрения. Также эта постановка позволяет решать задачи магнитолокации. Недостатком данной постановки является её

Рис. 9. Разбиение области, в которой находится корабль, на 100 х 15 х 15 = 22500 элементов, что соответствует 67500 восстанавливаемым параметрам намагниченности.

чрезвычайная ресурсоёмкость в связи с чем были разработаны эффективные методы решения этой задачи с помощью многопроцессорных систем [2].

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ рассмотрены методы регуляризации поставленной некорректной задачи. Методы основаны на минимизации функционала Тихонова с последующим выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки. Минимизация функционала Тихонова осуществляется с помощью метода условного градиента с ограничениями, метода сопряжённых градиентов с проекцией на множество ограничений, метода сингулярного обращения матрицы для одномерной задачи [5]; с использованием метода решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром типа свертки [1,3,4,6,7] и метода сопряжённых градиентов для двумерной задачи [8]; с помощью метода сопряжённых градиентов для трёхмерной задачи [2, 7, 9]. Обсуждаются преимущества и недостатки каждой из предложенных моделей. Демонстрируются результаты модельных расчётов и обработки экспериментальных данных.

Подробнее остановимся на алгоритме решения трёхмерной обратной задачи в общем виде [2,7,9]. Рассмотрим трёхмерное интегральное уравнение Фредгольма I рода для векторной функции (8)

я. п, к,

А М- I /1 К($^,г,х,у,г)М(х,у,2)с1х(1у<1г = (9)

Ьу Ъг

где В(б, г) и М(х, у, г) - векторные функции, а ядро К(з, Ь, г, х, у, г)

является матричной функцией:

(Bl[>t,r)\ , N (М\х, y,z)\ fK"K»K"\

B(s,t,r) = B2{s,t,r) Mix, y, z) = M2(x,y,z) ,K = Я™ К" к23 .

Обозначим P = {(x,y,z) : Lx < x ^ Rx, Ly ^ у ^ Ry, Lz ^ 2; ^ Я2}> Q = {(s,i, r) : Ls ^ s ^ _RS, Lt < t ^ iitl Lr < r < Д,}, где P - область определения векторной функции М (2, у, z), a Q - область определения векторной функции B(s,t,r). Будем предполагать, что М € W|(P), В G L2[Q), а оператор А с ядром К непрерывен и взаимооднозначен. Нормы правой части уравнения (9) и решения вводятся как ||S||l2 =

Пусть вместо точно известных В и оператора А известны их приближенные значения Bs и Ah, такие, что \\Bg — 5||i,2 sj <5, ||А — A-h\\wj-tL2 ^ h. При выписанных условиях задача является некорректной, для ее решения необходимо построить регуляризирующий алгоритм. Воспользуемся алгоритмом, основанным на минимизации функционала Тихонова

FalM} = \\AhM-Bs\\l + a\\Mtfwi, который в нашем случае примет вид:

я, я, я, < я, Щ, Rz

Fa[M} = J J J dsdtdrl J J J K(s,t,r,x,y,z)M(x,y,z)dxdydz-

Lt Lt Lr ( Lx Ly Lz

-5(s,i,r)J +аП[М], (10) где Г2[М] = ||M||^2- сглаживающей функционал:

Lx Lv Lz \

Для любого а > 0 существует единственная экстремаль функционала Тихонова М°, т) = {ä, h}, реализующая минимум Fa[M], Для выбора параметра регуляризации можно использовать алгоритм обобщённого принципа невязки. При выборе параметра а = a(rj) по обобщенному принципу невязки

р(а) = ||АЛМ° - BS\\1 -{8 + h\\M°\\wi)2 = 0

М° стремиться при г) —> 0 к точному решению задачи в норме W22, а, следовательно, и равномерно на Р.

В качестве метода минимизации функционала Тихонова применяется метод сопряжённых градиентов.

При решении задачи минимизации методом сопряженных градиентов необходимо вычислять значение функционала Тихонова Fa[M] и его градиента gradFQ[M]. Для численного решения задачи переходим к конечномерным пространствам. Введем сетки по х, у, г, я, Ь, г с шагами Ьх, ку, /г(, /гг и числом узлов Ыг,

К, К. Примем, что М-21з = М™(г,1,№!,4В»м_15"(5)1,«)!,г)]), = ^(^.^.^з^.п^.Аз), п = 1,3, 7п = 1,3. Все интегралы в формуле (10) аппроксимируются по формуле прямоугольников. Таким образом, получаем следующую конечно-разностную аппроксимацию функционала Тихонова (10):

^а[М] = Ф[М] + аП[М], (И)

где

N. ЛГ, к 3

=Е Е ЕЕЛАЛгХ

^1 = 1^2 = 1 >3 = 1

" Л, ЛГ„ АГ, 3

X

Е Е Е

.«1 = 1 ¿2=1 «3 = 1 т=1

я, 3 . 2

(12)

П[М] = Е Е Е Е (М£21зГ + • • •

•1=1 »2 = 1 «3 = 1 т=1

/г к ы> 3 ,

+ -^ЕЕЕЕ (ЛС^ - 2<Ц + +■■■

пх «1=2 ¿2=1 ¿3=1 т=1

II Л, лг„-1 ЛГ2 3 ,

+ ~Е Е Е Е (Мй+1.з-2^2.3 + АС^-«,) +•■■

пу ¿1=1 ¿2=2 ¿3=1 т=1

ЛГ» Л7.-1 3 ,

+ -тг Е Е Е Е(^2.з+1-2М4, + М^з_1)2. (13)

,42 ¿1 = 1 ¿2 = 1 ¿3=2 Ш = 1

Таким образом, исходная задача сводится к задаче минимизации в ЛГ-мерном пространстве, где N = 3 х Ых х Ыу х с последующим выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки. Градиент gradFa[M] легко получить из формул (12), (13):

(Е^ЧМ^.^г/ьЛЛ Е Е Е Е

31 = 1 >2=1 >3=1 «=1

Е Е Е ЕЪЬуЬ^шмЖ^-в!

^1=1 ¿2=1 г3=1 р=1

дП[М™ ; 1 ч

, а—!_Щ2«з1. (14)

Рис. 10. Результаты восстановления распределения намагниченности по объёму корабля (представлено 5 срезов модуля восстановленной векторной функции М).

Типичные размерности, соответствующие реальным приложениям: Nx = 100, Ny = 15, Nz = 15 (рисунок 9). Входные данные симулировали данные реального эксперимента, когда измерения производились 6 триаксиальными сенсорами (расположены друг над другом в два ряда по три сенсора), и каждым из них было сделано 4000 измерений, что соответствует Ns — 4000, Nt = 3, Nr = 2. Данные размерности сеток соответствуют задаче восстановления 67500 неизвестных по 72000 входных данных.

В результате было восстановлено распределение областей намагниченности по объему корабля. На рисунке 10 представлено несколько срезов модуля восстановленной векторной функции M. Входные данные были заданы с ошибкой 1,5%.

Тестовые вычисления были выполнены с использованием Суперкомпьютерного комплекса Московского Университета (SKIF MSU, Т-Platforms Т60, Intel Quadcore 3Ghz, Infiniband DDR). Для написания параллельной версии программ для решения поставленной задачи использовалась библиотека MPI (Message Passing Interface).

Время вычислений примерно составило 29 часов при использо-

вании 200 процессоров. Столь длительное время вычислений связано с применением регуляризируюгцих алгоритмов, которые требуют повторных нахождений минимума функционала Тихонова для каждого значения параметра регуляризации а.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ приведено описание программного комплекса и его многопроцессорной реализации. Предложены алгоритмы использования многопроцессорных систем для решения двумерной и трёхмерной задач. Рассмотрены особенности их численной реализации.

Особое внимание уделено алгоритмам распараллеливания функционала Тихонова Р°[М] и его градиента §гас!.Ра[М], на которые приходятся основные вычисления при решении задачи минимизации. Из формул (11), (12), (13) и (14) для функционала и его градиента видно, что они состоят из несвязанных между собой групп слагаемых (по 0и Зг и ¿ъ ¿3 соответственно). Это дает возможность применения многопроцессорных систем. Задачу можно распараллелить, т.е. переписать программу таким образом, чтобы независимые части программы выполнялись на разных процессорах [2,4,6,8,9].

Обоснована эффективность предложенных алгоритмов распараллеливания. Показано, что при сетках большой размерности (что соответствует потребностям при решении современных прикладных задач) доля распараллеливаемых вычислений стремится к 100%, что, согласно закону Амдала, доказывает очень высокую эффективность предложенных алгоритмов распараллеливания.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные полученные результаты:

1. Разработаны иерархия моделей и эффективные численные методы решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля.

2. Создан программный комплекс решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля на обычных и многопроцессорных системах.

3. Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм решения прикладных трёхмерных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, с использованием многопроцессорных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

[1] H.A. Евдокимова, Д.В. Лукьяненко, А.Г. Ягола. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений Фредголъма I рода типа свертки для векторных функций // Вычислительные методы и программирование.—2009.—т. 10, —с. 263-267.

[2] Д.В. Лукьяненко, А.Г. Ягода. Применение многопроцессорных систем для решения трехмерных интегральных уравнений Фредголъма первого рода для векторных функций // Вычислительные методы и программирование, —2010.— т. 11. —с. 336343.

Публикации в других научных изданиях:

[3] H.A. Евдокимова, Д.В. Лукьяненко, А.Г. Ягола. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений 1-го рода типа свертки для векторных функций //В "Обратные задачи в приложениях. Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции, г. Бирск, 22-23 мая 2006 г. Бирск, Бирская государственная социально-педагогическая академия, 2006.-е. 117-118. —ISBN 586607-266-1.

[4] H.A. Евдокимова, Д.В. Лукьяненко, А.Г. Ягола. Комплекс программ решенья многомерных некорректных задач с использованием многопроцессорных вычислительных систем // В "Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции 19-22 сентября 2006 года Челябинск, ГОУВПО "Челябинский государственный университет 2006. — с. 47.

[5] D.V. Lukyanenko, Y.H. Peí, A.G. Yagola, Liu Gui-Rong, N.A. Evdokimova. Numerical methods for solving ill-posed problems with constraints and applications to inversion of the magnetic field ¡I В "Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новоси-

бирск, Россия. Тезисы докладов секции № 3.2007.-е. 1-2.— http://wiffw.math.nsc.ru/conference/ipmp07/section3.htm

[6] Н.А. Евдокимова, Д.В. Лукьянбнко, А.Г. Ягола. Применение многопроцессорных систем для решения некоторых обратных задач //В "Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова. Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года Екатеринбург, Изд-во Уральского университета, 2008.-е. 124-125.-I3BN 978-5-7996-02956.

[7] Н.А. Евдокимова, Д.В. Лукьянбнко, А.Г. Ягола. Восстановление электромагнитных полей корабля с использованием многомерных интегральных уравнений // В "65 лет ЮжноУральскому государственному университету. Секции естественнонаучных и гуманитарных наук т. 2, Челябинск, Изд-во ЮУрГУ, 2008.-е. 114-116.

[8] Д.В. Лукьянбнко. Использование многопроцессорных систем для восстановления параметров намагниченности j j В "Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010". Москва, Россия. Секция "Физика". Сборник тезисов, Том 1, 2010.-е. 139-140.

[9] D.V. Lukyahenko. Using parallel computing for solving multidimensional ill-posed problems // The Second International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications, A workshop at the Institute of Geology and Geophysics, The Chinese Academy of Sciences, Beijing, China, July 12 - July 15, 2010. —P. 23.

Подписано в печать: 02.03.2011

Заказ № 5084 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 wwv.autoreferat.re

Введение.

1 Задача восстановления параметров намагниченности.

1.1 Задача восстановления параметров намагниченности корабля

1.2 Экспериментальное исследование макета корабля.

1.3 Математическая модель

1.4 Иерархия математических моделей.

1.4.1 Одномерная постановка задачи.

1.4.2 Двумерная постановка задачи.

1.4.3 Трёхмерная постановка задачи в общем виде.

2 Регуляризирующие алгоритмы и численные методы

2.1 Методы решения одномерных обратных задач.

2.1.1 Метод условного градиента.

2.1.2 Метод проекции сопряженных градиентов

2.1.3 Метод сингулярного разложения матрицы.

2.1.4 Примеры решения одномерной обратной задачи.

2.2 Методы решения двумерных обратных задач.

2.2.1 Уравнение типа свертки.

2.2.2 Метод решения двумерной задачи в общем виде.

2.3 Метод решения трёхмерной задачи в общем виде.

3 Программный комплекс.

3.1 Структура программного комплекса.

3.2 Особенности численной реализации.

3.3 Особенности распараллеливания трёхмерной задачи.

Диссертационная работа посвящена исследованию проблем решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля. Для решения этой задачи в зависимости от известной априорной информации об изучаемом объекте предлагаются различные численные алгоритмы решения, запрограммированные для использования как на обычных компьютерах, так и на многопроцессорных системах. Техника распараллеливания позволяет производить обработку больших объемов данных, что даёт достаточно подробное описание исследуемого объекта. Разработанные алгоритмы также могут быть успешно применены для решения очень широкого класса прикладных физических задач, сводящихся как к трёхмерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, так и к задачам меньшей размерности (в том числе для случая, когда необходимо восстановить скалярную функцию).

Актуальность темы Многие задачи современной физики являются обратными задачами. К сожалению, во всех реальных задачах входные данные задаются с погрешностями, например, получаются в результате эксперимента. Более ста лет назад считалось, что только задачи с решениями, устойчивыми по отношению к возмущениям входных данных, имеют физический смысл. Ж. Адамар ввел понятие корректной (корректно поставленной) задачи [1].

Корректной (корректно поставленной) задачей он называл любую задачу, у которой решение

1) существует,

2) единственно и

3) непрерывно зависит от входных данных.

Все остальные задачи Ж. Адамар называл некорректными (некорректно поставленными). Т.е. некорректной считалась задача, у которой нарушается хотя бы одно из трёх свойств корректной задачи.

Оказывается, что абсолютное большинство обратных задач, к которым сводятся прикладные задачи, являются некорректно поставленными. В связи с этим в середине XX века начала развиваться теория некорректных задач, и начали разрабатываться методы их решения.

Академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века была заложена теория решения некорректных задач, основанная на понятии регуляризирующего алгоритма [2, 3] как способа приближенного решения некорректной задачи. После основополагающих работ А. Н. Тихонова [2-7], М.М. Лаврентьева [8, 9] и В. К. Иванова [10-13] теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники. Некоторые результаты работы отечественных и зарубежных ученых представлены в [14-41].

При решении многих современных прикладных обратных задач часто необходимо восстанавливать характеристики исследуемых объектов в пространстве, при этом эти характеристики могут являться векторными функциями. Это зачастую приводит к необходимости решать трёхмерные интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода для векторной функции, что невозможно сделать с использованием обычных персональных компьютеров. В таких случаях обычно используются различные упрощения и допущения, которые понижают размерность решаемой задачи, но при этом дают ограниченную информацию об исследуемом объекте либо приводят к существенным ошибкам в восстанавливаемых значениях исследуемых характеристик. В связи с этим наибольший интерес представляют эффективные методы решения прикладных трёхмерных обратных задач.

Данные проблемы рассматриваются на примере решения важной прикладной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его корпуса. Цель работы Целью данной работы являлось построение как иерархии моделей, позволяющих понизить размерность решаемой трёхмерной задачи восстановления параметров намагниченности корабля, так и разработка эффективных методов решения трёхмерных обратных задач в постановке, в которой необходимо решить трёхмерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для векторной функции (постановка, к которой сводится много прикладных физических задач). Положения, выносимые на защиту

1) Иерархия моделей и эффективные численные методы решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля.

2) Программный комплекс решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля на обычных и многопроцессорных системах.

3) Алгоритм решения прикладных трёхмерных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, с использованием многопроцессорных систем и его программная реализация.

Научная новизна Автором была разработана иерархия моделей решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля. Выло показано, что для решения трёхмерных обратных задач, сводящихся к трёхмерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, использование многопроцессорных систем очень эффективно, что позволяет решать данные задачи в самой общей постановке без использования различных упрощений, которые обычно сильно ограничивают полученную при решении информацию об исследуемом объекте. Практическая значимость Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены для решения многих прикладных трёхмерных обратных задач. Среди физических задач отметим обратные задачи механики, задачи томографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачи геофизики, задачи спектроскопии, обратные задачи линейной оптики, обратные задачи линейной акустики, обратные задачи радиофизики, задачи исследования материалов и дефектов в них, задачи по обработке изображений. Описанные в работе методы решения применимы к линейным обратным задачам, встречающимся в перечисленных областях. Все результаты данной работы могут быть использованы как для решения трёхмерных обратных задач физики, в которых неизвестные величины являются векторными функциями, так и легко упрощены на случаи задач меньшей размерности либо задач, при решении которых необходимо восстанавливать скалярные функции.

Личный вклад автора Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ научных результатов проводились под руководством А. Г. Яголы. Постановка задачи восстановления параметров намагниченности проводилась совместно с X. Я. Пейем из Национального Университета Сингапура. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в девяти научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены: 1) на Всероссийской научно-практическая конференции "Обратные задачи в приложениях" (Бирск, 22-23 мая 2006 года, Бирская государственная социально-педагогическая академия);

2) на Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика." (Челябинск, 19-22 сентября 2006 года, Челябинский государственный университет);

3) на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, 20-25 августа 2007 года, Дом Учёных СО РАН);

4) на Международной конференции 11 Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В. К. Иванова (Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года, Уральский университет);

5) на конференции "65 лет Южно-Уральскому государственному университету. Секция естественно-научных и гуманитарных наук." (Челябинск, 2008 год, Южно-Уральский Государственный Университет);

6) на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2010" (Москва, 12 апреля 2010 года, Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова);

7) на Международной конференции "The Second International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications" (Китай, Пекин, 12-15 июля 2010 года, Институт геологии и геофизики Китайской Академии Наук);

8) на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (24 февраля 2010 года);

9) на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яго-лы, проводящемся в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ (1 декабря 2010 года);

10) на научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ под руководством A.B. Тихонравова, 3 февраля 2011 года.

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 2 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [42,43], 1 статья в сборниках трудов конференций [44] и 6 тезисов конференций [45-50]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 2 статьи [42,43]. Структура работы Диссертация написана на 104 страницах, состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (92 наименования).

В первой главе подробно описана постановка задачи восстановления параметров намагниченности, которая заключается в восстановлении вектора намагниченности, распределённого по объёму корабля, по измеренным значениям магнитного поля вне его корпуса. Рассматривается иерархия моделей, позволяющая как понизить размерность решаемой задачи с целью её более простого численного решения, так и позволяющая решить поставленную задачу в самом общем виде с целью получения более подробной информации об исследуемом объекте. Обсуждаются преимущества и недостатки каждой из предложенных моделей.

Во второй главе рассмотрены методы регуляризации решения поставленной некорректной задачи. Методы основаны на минимизации функционала Тихонова с последующим выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки. Минимизация функционала Тихонова осуществляется с помощью метода условного градиента с ограничениями, метода сопряженных градиентов с проекцией на множество ограничений, метода сингулярного обращения матрицы для одномерной задачи; с использованием метода решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром типа свертки и метода сопряжённых градиентов для двумерной задачи; с помощью метода сопряженных градиентов для трёхмерной задачи. Демонстрируются результаты модельных расчётов и обработки экспериментальных данных.

В третьей главе приведено описание программного комплекса и его многопроцессорной реализации. Предлагаются алгоритмы использования многопроцессорных систем для решения двумерной и трёхмерной обратных задач, сводящихся к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода для векторной функции.

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию проблем решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля. Результатом данной работы является построение как иерархии моделей, позволяющих понизить размерность решаемой трёхмерной задачи восстановления параметров намагниченности корабля, так и разработка эффективных методов решения трёхмерных обратных задач в постановке, в которой необходимо решить трёхмерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для векторной функции. Для решения поставленной задачи в зависимости от известной априорной информации об изучаемом объекте предложены различные численные алгоритмы решения, запрограммированные для использования как на обычных компьютерах так и на многопроцессорных системах. Техника распараллеливания позволяет производить обработку больших объёмов данных, что даёт достаточно подробное описание исследуемого объекта. Разработанные алгоритмы также могут быть успешно применены для решения очень широкого класса прикладных физических задач, сводящихся как к трёхмерным интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, так и к задачам меньшей размерности (в том числе для случая, когда необходимо восстановить скалярную функцию).

Сформулируем основные результаты данной работы:

1) Разработаны иерархия моделей и эффективные численные методы решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля.

2) Создан программный комплекс решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля на обычных и многопроцессорных системах.

3) Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм решения прикладных трёхмерных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции, с использованием многопроцессорных систем.

Автор хочет выразить свою искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и совместное обсуждение полученных результатов.

1. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivers particlee linearles hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

2. Тихонов А. H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 151, к 3, с. 501-504.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 153, к 1, с. 49—52.

4. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1943, т. 39, к 5, с. 195-198.

5. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, к 6, с. 1296—1299.

6. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 161, к 5, с. 1023—1026.

7. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 162, к 4, с. 763—765.

8. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1959, т. 127, к 1, с. 31—33.

9. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

10. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР, 1962, т. 145, к 2, с. 270-272.

11. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах: // Математический сборник, 1963, т. 61, к 2, с. 211—223.

12. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т. 6, к 6, с. 1089—1094.

13. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал, 1969, т. 10, к 5, с. 1065-1074.

14. Иванов В. К.} Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

15. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шигиатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука,1980.

16. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука,1981.

17. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

18. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1982.

19. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

20. Вухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука, 1983.

21. Гласко В. В. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984.

22. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1986.

24. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

25. Тихонов А. Н. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

26. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Издво МГУ, 1987.

27. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

28. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

29. Бухгейм A.A. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

30. Вакушинский А. В., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

31. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

32. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

33. Васин В. В., Агееев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

34. Groetsch С. W. Inverse problems in the mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

35. Кочиков И. В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. М.: Изд-во МГУ, 1993.

36. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

37. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филиппов А. И. Дифференциально операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физмат-лит, 1995.

38. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

39. Engl Н. W., Hanke М., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

40. Лаврентьев M. M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Издательство Института математики, 1999.

41. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

42. Евдокимова Н.А., Лукьяненко Д. В., Ягола А. Г. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки для векторных функций. — Вычислительные методы и программирование, 2009, т. 10, с. 263-267.

43. Лукъяненко Д. В., Ягола А. Г. Применение многопроцессорных систем для решения трехмерных интегральных уравнений Фред-гольма первого рода для векторных функций. — Вычислительные методы и программирование, 2010, т. 11, с. 336-343.

44. Ohlund G. Design of submarine for stealth and survivability. Hamburg: UDT, 1997.

45. Totterdell A. C. Magnetic signature control from conceptual design to ship operation. London: UDT, 1996.

46. Pei Y. H., Yeo H. G. Sequential inversion of ship magnetization from measurements. 3-rd Marine Electromagnetics, Stockholm, Sweden, July, 2001.

47. Rioux-Damidau F., Bandefier В., Penven P. A fast and precise determination of the static magnetic field in the presence of thin iron shells. IEEE Transactions on Magnetics. 1995. 31. N. 6. 3491-3493.

48. Guamieri M., Stella A., Trevisan F. A methodological analysis of different formulations for solving inverse electromagnetic problem. IEEE Transactions on Magnetics. 1990. 26. N. 2. March.

49. Duthoit F. M., Krahenbuhl L., Nicolas A. The boundary integral equation method for the extrapolation of field measurement. IEEE Transactions on Magnetics. 1985. 21. N. 6. 2439-2442.

50. Brunotte X., Meunier G. Line element for efficient computation of the magnetic field created by thin iron plates. IEEE Transactions on Magnetics. 1990. 26, 2196-2199.

51. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962.

52. Пановский В., Филлипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963.

53. Джексон Дэю. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965.

54. Денисов В. И. Введение в электродинамику материальных сред. М.: МГУ, 1989.

55. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

56. Тихонов А. Я., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

57. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. 2-е изд., М.: МЦНМО, 2003. 303

58. Краснов М. П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М: Наука, 1975.

59. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Из-дво МГУ, 1989.

60. Данфорд Н., Шварц Длс. Т. Линейные операторы. Т 1. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

61. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001.

62. Треногин В. А. Функциональный Анализ. М.: Наука, 1993.

63. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦ-НМО, 2004. 552 с.

64. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

65. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутпиц-кий Я. В., Стеценко В. Я. Приближённое решение операторных уравнений. М: Наука, 1969. 456 с.

66. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

67. Кормен Т., Аейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 960 с.

68. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B. P. Numerical Recipes in С. http : / / www. fizyka. umk.pl/nrb ook/b ookcp df. html/

69. Numerical Recipes oficial website, http://www.nr.com

70. Рокафеллар P. Т. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973.

71. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

72. Магарил-Илъяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

73. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи // Успехи матем. наук. 1958. 51-116.

74. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

75. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

76. Данциг Док. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966.

77. Вычислительный кластер НИВЦ МГУ (http://parallel.ru/cluster).

78. Воеводин В. В., Воеводин В л. В. Параллельные вычисления. С.-П.: БХВ-Петербург, 2002.

79. Ягола А. Г., Васильев М. П. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений Фредголь-ма 1-го рода // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4, с. 323-326.1. Qf^jy

80. MPI: A Message-Passing Interface Standard. The Message Passing Interface Forum, Version 1.1, June 12, 1995, http://www.mpi-forum.org.

81. Дейкстра Э. Дисциплина программирования. M.: Мир, 1978.

82. Грис Д. Наука программирования. М.: Мир, 1984. 418 с.

83. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. М.: Мир, 1978. 360 с.