автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Регуляризирующие алгоритмы обработки изображений гравитационных линз

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

УДК 519.6

Шимановская Елена Владимировна

РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННЫХ ЛИНЗ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре математики Физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Ягола

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.Ф. Захаров доктор физико-математических наук И.В. Кочиков

Ведущая организация:

Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)

Защита диссертации состоится декабря 2004 г. на заседании

диссертационного совета К 501.001.17 Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова в час. СО мин. по адресу: г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, Физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 501.001.17 доктор физико-математических наук

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В диссертации рассматриваются регуляризирующие алгоритмы, предназначенные для решения задачи восстановления изображений гравитационных линз. Интерес к этим объектам среди астрофизиков постоянно растет, поскольку исследования гравитационного линзирования позволяют глубже проникать в устройство Вселенной: высказывать предположения о процессах, происходящих в удаленных квазарах, оценивать величину постоянной Хаббла, массу темного вещества в удаленных объектах и многое другое. Для исследования гравитационно-линзовых систем необходимо уметь извлекать из наблюдательных данных, полученных, как правило, на пределе возможностей современной аппаратуры, полезную информацию об астрометрических и фотометрических параметрах этих уникальных объектов. Используемые в настоящее время методы - CLEAN, метод максимальной энтропии, MCS - часто не справляются с задачей обработки изображений гравитационных линз вследствие несовершенства наблюдательной аппаратуры и сложной структуры этих объектов, которая характеризуется наложением перекрывающихся изображений точечных источников - изображений квазара - на изображение пространственно протяженного источника - линзирующей галактики.

В работе впервые последовательно применен регуляризирующий подход для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем с учетом их специальной структуры. Задача восстановления изображений, полученных на наземном телескопе, математически описывается уравнением Фредгольма 1-го рода типа свертки, причем правая часть и оператор уравнения заданы с погрешностью. Это некорректная задача. Для ее решения предлагается несколько модификаций регуля-ризирующего алгоритма, позволяющих восстанавливать изображения объектов сложной структуры, одновременно разделяя их на два компонента - точечные источники и «гладкую»часть. Для этого введены специальные функциональные пространства, состоящие из функций, которые представляют собой сумму линейной комбинации функций и финитной функции, принадлежащей одному из функциональных

пространств 1(2, Wj, и Vg (пространства функций ограниченной вариации).

Исследуется широко применяющийся в настоящее время алгоритм восстановления изображений MCS1, предложенный группой бельгийских ученых. Показано, что он относится к классу регуляризирующих алгоритмов, а получаемые приближения обладают свойством сходимости в среднем к свертке точного решения с заданной функцией [1].

Для реализации предложенных алгоритмов создан комплекс программ в среде IDL. Для кусочно-равномерной регуляризации некорректной обратной задачи восстановления изображений гравитационных линз применяется алгоритм, использующий функции двух переменных с ограниченной полной вариацией, изученные А. С.Леоновым. Алгоритм реализован в среде MATLAB.

Целью работы является:

1. Создание регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз, позволяющих получать астрометрические и фотометрические характеристики этих объектов.

2. Исследование априорной информации, которая может использоваться при создании регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз для сужения класса решений.

3. Моделирование аппаратной функции телескопа и распределения яркости в галактике-линзе.

4. Численная реализация предложенных алгоритмов в виде программного комплекса, предназначенного для решения некорректно поставленной задачи восстановления изображений гравитационных линз при наличии априорной информации о представимости решения в виде суммы функции, обладающей определенными свойствами гладкости, и суперпозиции ^-функций.

5. Применение предложенных алгоритмов к задаче восстановления изображений гравитационной линзы QSO 22374-0305 «Крест

'Magain, P., Courbin, F., Sohy, S. // Astrophysics»] Journal, 1998, V. 494, P. 472

Эйнштейна», полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан).

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректно поставленных задач, функционального анализа, методов решения экстремальных задач, а также основных положениях современной теории гравитационного линзирования и теории строения галактик.

Научная новизна и практическая значимость

Прежде всего представляет интерес адаптация и применение хорошо разработанного математического аппарата метода регуляризации к решению задачи восстановления изображений гравитационно -линзовых систем. Введение специальных функциональных пространств и модификация регуляризирующего алгоритма Тихонова с учетом априорной информации о наблюдаемых объектах позволили разделить изображения на две составляющие - линзирующую галактику и компоненты квазара. Разработанный комплекс программ позволяет обрабатывать большие массивы наблюдательных данных, выбирая требуемую гладкость функции, описывающей протяженный компонент решения, и получая астрометрические и фотометрические параметры интересующих объектов.

Разработанные алгоритмы могут применяться на практике для восстановления изображений гравитационных линз, что проиллюстрировано на примере изображений гравитационно-линзовой системы QSO 2237+0305 «Крест Эйнштейна», полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории. С помощью этих алгоритмов становится возможным получение данных об астрометрических и фотометрических параметрах гравитационной линзы и построение кривых блеска для продолжительных интервалов времени (несколько лет) с целью обнаружения событий микролинзирования и событий, связанных с внутренними процессами в удаленном квазаре. Предлагаемые алгоритмы являются достаточно гибкими и могут использоваться для восстановления изображений других объектов, обладающих аналогичной специальной структурой.

Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на международной конференции «Gravitational Lensing: a Unique Tool for Cosmology» (France, Aussois, January 5-11, 2003); на международном симпозиуме «International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003» (Nagano, Japan, February 18-21, 2003); на Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-9 (Красноярск, 28 марта - 3 апреля

2003 г.); на международной конференции «Hyperbolic Models in Cosmology» (Isaak Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, UK, June 22-28,2003); на Всероссийской астрономической конференции ВАК-

2004 «Горизонты Вселенной»(Москва, МГУ ГАИШ, 3-10 июня 2004 г.); на международном симпозиуме IAU 225 «Impact of gravitational lensing on cosmology» (Switzerland, Lausanne, July 19-23, 2004); на международной конференции «Astrophysics and cosmology after Gamow - Theory and Observations, GMIC'100»(Odessa, Ukraine, August 8-14, 2004); на семинаре «Обратные задачи математической физики» (Москва, НИВЦ МГУ, 3 ноября 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ (из них 4 - статьи в журналах и трудах конференций, 4 - опубликованы в тезисах конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Предложены регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений при условии, что изображение допускает разделение на точечные нсточники и гладкую часть, то есть решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки является суммой суперпозиции S-функций и

• функции, интегрируемой с квадратом:«; € L^',

• непрерывно-дифференцируемой функции, производная которой также интегрируема с квадратом:

• дважды непрерывно-дифференцируемой функции, 1-я и 2-я

производные которой также интегрируемы с квадратом: д £ ;

• функции, имеющей ограниченную полную вариацию.

2. Для получения адекватных с физической точки зрения результатов в алгоритмы восстановления изображений необходимо включать априорную информацию об объектах исследования: неотрицательности решения, его представимости в виде суперпозиции гладкой функции и суммы близости гладкого компонента решения к некоторой эмпирической модели. Предложенные способы включения этих сведений в алгоритмы восстановления - использование проекционных методов для минимизации сглаживающего функционала, поиск решения на особом классе функций, выбор стабилизатора специального вида позволяют решить задачу восстановления изображений квадруиольиых гравитационно-линзовых систем.

3. Решены вспомогательные задачи моделирования ядра уравнения (оно с достаточной точностью аппроксимируется двумерной эллиптической функцией Гаусса), моделирования распределения яркости в галактике (используется обобщенный профиль де Вакулера), минимизации функционалов с ограничениями.

4. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ восстановления изображений квадрупольных гравитационно-линзовых систем. Для комплекса программ разработан удобный интерфейс. Возможность применения алгоритмов проиллюстрирована на примере изображений гравитационной линзы QSO2237+0305 («Крест Эйнштейна»), полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан). Комплекс программ позволяет успешно восстанавливать такие изображения, получая астрометрические и фотометрические параметры гравитационно-линзовой системы «Крест Эйнштейна».

5. Исследован алгоритм восстановления изображений гравитационных линз MCS, разработанный группой бельгийских ученых. Показано, что он является вариантом метода регуляризации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации (без приложения) - 99 с, рисунков - 20, наименований в списке литературы - 99.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор традиционных методов восстановления изображений и методов обработки изображений гравитационных линз в частности, обосновывается актуальность создания регуляризирую-щих алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз и приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

В первой главе диссертации задача восстановления изображений гравитационных линз рассматривается как некорректная обратная задача. Изображение, получаемое с помощью наземного телескопа, искажено вследствие возмущений атмосферы и конечной разрешающей способности прибора. Моделью этого процесса является двумерное интегральное уравнения Фредгольма 1-ого рода типа свертки:

(1)

где - наблюдаемое распределение света;

передаточная функция, характеризующая искажение изображения; - искомое решение, или первоначальное распределение яркости.

Оператор А действует из некоторого нормированного пространства Z в пространство

Вместо точных данных задачи в нашем распоряжении имеются их приближенные значения такие что

тг}-А{г\и2<ЦНМ1^т (3)

причем погрешность считается известной, а - мера

аппроксимации точного оператора приближенным - считается заданной

и обладает стандартными свойствами2. Таким образом, необходимо по приближенным данным задачи построить

ее приближенное решение, обладающее свойством сходимости к точному в норме пространства Z

Описывается статистическая модель шума в изображении, позволяющая оценить погрешность входных данных задачи. Оценку погрешности правой части уравнения (1) для кадра, полученного путем усреднения серии кадров, можно вычислить следующим образом:

где N - количество усредняемых кадров; Щ - отсчет в ^-пикселе усредненного кадра; д - коэффициент усиления ПЗС-матрицы; п - шум считывания.

Если относительная погрешность определения ядра к равна р, то погрешность задания оператора можно оценить следующим образом:

Для моделирования ядра интегрального уравнения используется эллиптическая функция Гаусса, параметры которой определяются сопоставлением данных расчета и наблюдения на «свободном поле». Результаты моделирования представлены на рис. 1.

Далее рассматривается общая структура метода регуляризации в применении к поставленной задаче, а также особенности изображений квадрупольных гравитационно-линзовых систем и способы включения этой априорной информации в алгоритм восстановления изображений. В качестве приближенного решения берется функция на которой

достигается глобальный минимум сглаживающего функционала:

'Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука-физматлит, 1995

(5)

Ма\г\ = 1[г\ + аЩ

(б)

Рис 1: Моделирование ядра уравнения: а) изображение звезды из кадра; б) модель ФРТ (двухмерная функции Гаусса); п) распределение ошибок моделирования.

То есть исходная задача переформулируется следующим образом:

(Т)"^'] = Ма{г)

13 качестве функционала 1[г] возьмем квадрат невязки:

№=т*)-ч\\ъ (8)

Второе слагаемое в (6) представляет собой стабилизатор умноженный на параметр регуляризации а. Будем искать П-оптимальное решение исходной задачи. Функционал О [г] играет двоякую роль: с одной стороны, он вводится для отбора специальных псевдорешений задачи и должен нести в себе предположения о «физической структуре» восстанавливаемого объекта; с другой стороны, он должен обладать регуляризирующими свойствами, гарантирующими существование псевдорешений, то есть разрешимость

экстремальной задачи (7) и устойчивость получаемых приближенных решений3. В качестве стабилизатора в большинстве случаев используется норма искомого решения на подходящем функциональном пространстве, которое выбирается исходя из предположений о гладкости решения. Если выбирать значение параметра регуляризации так, чтобы оно было определенным образом согласовано с погрешностью входной

'Леопов А. С. Рсгуляризирующие функционалы общего вида для решения некорректных задач и пространствах Лебега. // Сибирский математический журнал, 2003, Т. 44, N 6, с. 1295-1309

информации, то экстремум сглаживающего функционала га может рассматриваться в качестве приближенного решения исходной задачи.

Одним из способов координации параметра регуляризации с

4

погрешностью входных данных является принцип невязки , согласно которому при условии ¡¡«¿И > 5 параметр а > 0 выбирается как кореш» уравнения:

Когда ядро уравнения (1) известно с погрешностью, можно использовать для выбора значения параметра регуляризации обобщенный принцип невязки. Введем в рассмотрение функцию

Функция р^Ос) называется обобщенной невязкой. Если выполнено условие то доказано, что при фиксированном функция

непрерывна, строго монотонно возрастает и исчерпывает интервал Следовательно уравнение

Рч(°) = 0 (И)

имеет на множестве > 0 единственный корень, который может быть найден одним из стандартных методов (например, методом деления отрезка пополам или методом золотого сечения).

При стремлении к нулю погрешности входных данных построенное приближенное решение будет сходиться к точному в норме выбранного функционального пространства.

Для получения стабильных и физически осмысленных результатов в алгоритме обработки изображений должно быть учтено как можно больше априорных сведений о восстанавливаемом объекте. Это общее правило для решения некорректно поставленных задач. Чем больше априорной информации об искомом решении удается формализовать и

4Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений истодом регуляризации // Журнал вычислительной математики я математической физики, 1968, N 2, с. 295- -309

'Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип истоки. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973,13, N 2, с. 294 302

включить в алгоритм, тем более адекватные с физической точки зрения результаты будут получены в конечном итоге.

Базовой априорной информацией об астрономических изображениях может служить предположение о неотрицательности распределения интенсивности в кадре:

z{x,y)> 0 (12)

Кроме того, важно учитывать, какие именно данные об объекте исследования требуется получить в результате применения алгоритма восстановления изображений. Например, применение традиционного ре-гуляризирующего алгоритма на пространстве не позволяет

извлечь из восстановленного изображения ценных данных об астро-метрических и фотометрических параметрах гравитационно-линзовой системы.

Большинство астрономических изображений содержат точечные источники изображения звезд. Угловой диаметр большинства звезд составляет порядка 0.001" и очень мал по сравнению с размером пикселя ПЗС-матрицы, то есть звезды можно описывать с помощью 5-функций.

Опираясь па положения теории гравитационного лиизирования, построим классы функций, на которых логичным будет искать решение задачи восстановления изображений подобных систем. При определенном взаимном расположении наблюдателя, источника и линзы7'8 изображение можно представить в виде суммы некоторого количества точечных источников и гладкого фона:

у) = ~ЬЧ'У- сч) + у) (13)

где Q • • количество точечных источников с координатами {bq,Cq) и

вГончарский А. В., Черсшицук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. Москва: Наука, 1985

"Захаров А. Ф., Гравитационные линзы и микролиты. Москва: Янус-К, 1997

'Wambaganas J. Gravitational lensing in astronomy. // Published by the Max-Planck-Iustitute for Gravitational Physics Albert Einstein Institute, Potsdam, Germany, 2001 (http://relativity.livrngreviews.org/ Articlcs/lrr-1998-12)

интеисивностями - функция, описывающая распределение

яркости в галактике.

В зависимости от того, какой уровень гладкости функции, описывающей распределение яркости в галактике, мы будем предполагать, получаем несколько классов функций:

• функции, представимые в виде суммы суперпозиции ¿-функций и функции, интегрируемой с квадратом:

• функции, представимые в виде суммы суперпозиции ¿-функций и непрерывно-дифференцируемой функции, производная которой также интегрируема с квадратом:

• функции, представимые в виде суммы суперпозиции ¿-функций и дважды непрерывно-дифференцируемой функции, 1-я и 2-я производные которой также интегрируемы с квадратом:

• функции, представимые в виде суммы суперпозиции ¿-функций и функции, имеющей ограниченную полную вариацию па В.

Будем предполагать, что решение уравнения (1) па каждом из этих классов функций существует.

В большинстве случаев о количестве сингулярпостей С} можно судить на основе визуального анализа изображения или на основе теории гравитационного линзирования. Характеристики этих сингулярпостей Ьд, Сд предполагаются неизвестными. Однако приблизительные области определения для к о орд и (Ь?,С?)1кже можно оценить по исходному изображению. Для некоторых астрономических объектов доступны достаточно точные астрометрические и фотометрические данные, полученные на телескопе Хаббла, вынесенном за пределы атмосферы и обладающем высокой разрешающей способностью. Их можно использовать в качестве начального приближения.

Функционал невязки для д € <?, а 6 ЕР и фиксированных координат компонентов квазара запишется в этом случае следующим

образом:

I[z] - %а] - ||Ah[g{x,y) + Y^aq8{x -Ь„у- <$] - щ{х,у)Цг (14)

Галактика может иметь яркое ядро, что приводит к резким скачкам яркости в области кадра, соответствующей центру галактики. Можно учесть эти вариации яркости, введя для описания ядра галактики еще одну 5-функцию или какую-либо другую модельную функцию с подходящим профилем. Другой путь заключается в использовании для поиска описывающей фон функции особого пространства функций, допускающего разрывы и резкие вариации, например пространства функций с ограниченной полной вариацией, свойства которого и соответствующие алгоритмы регуляризации исследовались, например, А. Леоновым9 и К. Вогелем10.

Численные эксперименты показали, что основной проблемой при восстановлении изображений гравитационных линз является разделение изображения на две составляющих. Поскольку даже если составное решение показывало соответствие правой части, по отдельности его компоненты могли иметь причудливую форму, не соответствующую представлениям о действительной структуре объектов. Чтобы формально включить в алгоритм эти представления и сузить область поиска решения можно воспользоваться аналитической моделью, описывающей распределение яркости в галактике. Предположение о близости реального распределения яркости к некоторому модельному профилю можно внести, модифицировав стабилизатор следующим образом:

= (15)

Центральная часть многих галактик достаточно хорошо описывается

'Леонов А. С- Функции пескольких переменных с ограниченной вариацией в некорректных задачах. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, Т. 36, N 9, с.35-49

10Vogel С. Computational Methods for Inverse Problems. SIAM, 2002

обобщенной моделью де Вакулера11, известной как модель Серсика 12:

где

соответствует

модели

световая энергия внутри

(17)

де Вакулера), Ге - эффективный радиус, /е эффективного радиуса,

т _ —+ — К Оу

где измеряются от центра вдоль осей эллипса.

Для поиска параметров этой модели с использованием метода наименьших квадратов была разработана дополнительная программа. Результаты моделирования представлены на рис. 2.

а)И 1 | ИЯДМ-!1тИ1ИЯДЯНИГ'В

Во второй главе предлагаются различные модификации метода регуляризации, позволяющие получать приближенные решения задачи восстановления изображений гравитационно-линзовых систем па специальных функциональных пространствах с учетом априорной информации о наблюдаемых объектах.

Пусть функция, описывающая распределение яркости в галактике, является квадратично интегрируемой, то есть Пусть

"De Vaucouleurs G., 1948, Ann. Astrophya., 11

12Sersic J. L. 1968, Atlas de Galaxias Australes, Observatorio Astronomía), Cordoba, Argentina

также имеется априорное предположение о близости этой функции к некоторому элементу В этом случае можно выбрать

стабилизатор в виде:

Щ = \\9-9той\\Ъ (18)

и выбирать в качестве приближенного решения экстремаль сглаживающего функционала (б) с таким стабилизатором. Результаты восстановления представлены на рис. 3. Сходимость приближенных решений д по норме означает сходимость в среднем.

Рис 3: Результаты восстановления изображений в предположении, что гладкий компонент решения принадлежит пространству Zj: а) исходное изображение; б) восстановленное изображение; в) невязка. Параметр регуляризации а = 5.8 • Ю-5.

Далее рассматривается алгоритм восстановления изображений MCS13. В методе MCS предлагается при восстановлении изображения интерполировать распределение яркости в промежуточных точках (изменить шаг выборки), а вместо общей передаточной функции к(х,у) использовать некоторое более узкое распределение выбранное с тем условием, что восстановленное изображение имеет свою передаточную функцию г(х,у), характерные размеры которой сравнимы с первоначальной шириной шага выборки. Передаточные функции связаны соотношением свертки:

k~r*s (19)

"Magain, P., Corn-bin, F., Sohy, S. // Astrophysica! Journal, 1998, V. 494, P. 472

Предлагается искать не само первоначальное распределение яркости г{х,у), а некоторую функцию }{х,у), являющуюся сверткой г(х,у) с заданной функцией г(х,у). Форма точечных источников в восстановленном изображении в методе MCS точно известна -- это г(х, у). Таким образом, в предположении, что решение допускает разделение (13), выражение для функции /(х, у) может быть записано в следующем виде:

/(я.у) = X]ачг(х ~ЬьУ~ сч) + Ь(х>у) (20)

Здесь к(х,у) - дополнительный компонент решения, соответствующий гладкому фону, !г 6 1/2(В). В качестве стабилизатора в (6) в методе MCS

предлагается взять функционал

Если ЦгЦ^ ф 1, функционал (21) удовлетворяет условию

< П[А] < ъЩЬ*, си с2> 0 (22)

и, следовательно, порождает в пространстве 1/2 эквивалентную норму. Пусть г(х,у) и Н(х,у) € ¿2- Алгоритм, заключающийся в минимизации тихоновского функционала со стабилизатором Г2[,г] = Ц^Цла является регуляризирующим14. Таким образом, метод MCS является методом регуляризации в (т.е. нулевого порядка), при этом обеспечивается сходимость в среднем, но не к решению, а к его свертке с априорно заданной функцией г(х,у).

Результаты восстановления изображений гравитационной линзы «Крест Эйнштейна»с помощью метода MCS представлены на рис. 4.

Если имеются основания предположить, что функция, описывающая распределение яркости в галактике, имеет первую или первую и вторую обобщенные производные, интегрируемые с квадратом, то естественно ограничить область поиска соответствующего компонента решения

"Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные метода решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990

Рис 4: Восстановление изображения QSO2237+0305 с помощью метода MCS а) изображение объекта; б) восстановленное изображение, в) распределение ошибок восстановления.

одним из Соболевских пространств: д € \Т}{В) или 9 е шЦв). Учитывая априорное предположение о близости решения к некоторому модельному распределению яркости и выбирая в качестве стабилизатора квадрат нормы отклонения решения от модельной функции на

получаем решение, представленое на рис. 5.

Рнс 5: Результаты восстановления изображений в предположении, что гладкий компонент решения нринадложит пространству (размер кадра 64 х 64): а) исходное изображение; б) восстановленное изображение; в) невязка.

В соответствии с теоремой вложения Соболева15 из сходимости

'"Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике.

приближенных решений да в контексте нормы следует сходимость в норме С(В), то есть регуляризованные решения равномерно сходятся к точному решению задачи:

тЩх,у)ев Ifljfa У) ~ у) I 0 при ц ~> 0.

Рис 6: Восстановление изображения QSO2237+0305 методом регуляризации на пространстве функций ограниченной вариации: а) изображение объекта; б) восстановленное изображение; в) распределение ошибок восстановления.

Если в компоненте решения, соответствующем гладкому фону, допускаются разрывы на линиях сетки, то в качестве стабилизатора в (6) возьмем функционал П[.г] = Ц<7]|кв> гдо Ув - пространство функций ограниченной вариации, и применим методику, предложенную А.С. Леоновым16. Результаты восстановления представлены на рис. 6. Для пространства функций с ограниченной полной вариацией А. С. Леоновым доказана теорема о кусочно-равномерной сходимости приближенных решений к точному17.

Предложен двухэтапный алгоритм восстановления изображений гравитационных линз, позволяющий сократить время расчетов благодаря сокращению числа свободных параметров задачи.

Москва: Наука, 1988

''Леонов А. С. Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач. // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 2, N 3, с. 257-272

"Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, Т. 39, N 12, сс. 1939-1045

Этап 1. Восстановление изображений с помощью одного из описанных выше методов. Основным результатом этого этапа, помимо относительных астрометрических и фотометрических параметров компонентов квазара, является получение численного распределения яркости в галактике дпит, которое в дальнейшем может использоваться для обработки отдельных кадров. Линии уровня распределения яркости в галактике, полученные на этом этапе, представлены на рис. 7.

Рис 7: Линии уровня центральной области фоновой галактики: а) линии уровня аналитической модели распределения яркости в галактике (модели Серсика), б) линии уровня численного распределения яркости в галактике (восстановленного методом регуляризации); в) линии уровня разности модельного распределения яркости и распределения яркости, полученного методом регуляризации в предположении, что гладкий компонент решения описывается функцией, принадлежащей пространству Ьч (отмечены также положения компонентов квазара).

Этап 2. Использование полученной на предыдущем этапе численной модели фоновой галактики для обработки большого массива

данных. Предполагается, что переменность гравитационно-линзовой системы сосредоточена исключительно в компонентах квазара, а распределение яркости в галактике можно принять постоянным. От кадра к кадру может меняться только фоновая засветка и коэффициент, зависящий от экспозиции. То есть можно представить галактику следующим образом:

С{х,у) = \1-дпит{х1у) + Х2, (24)

где задает уровень интенсивности галактики в каждом отдельно

взятом кадре; Аг — некоторый постоянный фон. Поскольку галактика в данном случае описывается двумя независимыми параметрами, число переменных задачи существенно сокращается. На этом этапе снова приходилось решать конечно-параметрическую обратную задачу методом наименьших квадратов. Параметры модели находились путем минимизации функционала

ЛГ1-1Л/5-1 1 лг1—1 ЛГз-1 4

¡=0 ¿=0 У т=0 п=0 9-1

(25)

Такой подход позволяет существенно ускорить обработку большого массива наблюдательных данных благодаря сокращению числа свободных параметров от нескольких тысяч (количество пикселей в восстанавливаемой области кадра + 4 величины, характеризующие потоки компонентов квазара) до б (коэффициент, зависящий от экспозиции + константа фона + 4 величины, характеризующие потоки компонентов квазара). На рис. 8 представлены полученные астрометрические и фотометрические параметры гравитационной линзы "Крест Эйнштейна".

Рис 8: Астрометрия и фотометрия гравитационной линзы "Крест Эйнштейна".

В третьей главе рассматриваются особенности применяемых методов минимизации функции многих переменных и функции одной переменной: метода Пауэлла, метода Брента, метода сопря-

женных градиентов18 и метода проекции сопряженных градиентов19. Описывается алгоритм перебора, применяемый для уточнения координат компонентов квазара.

Затем описывается комплекс программ в среде IDL, в котором реализованы предложенные регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений. Ядро комплекса состоит из четырех основных компонентов:

1. Модуль ввода исходных данных задачи и параметров алгоритма, реализованный в одном случае в виде файла set_ info.pro, а в другом - в виде графического интерфейса пользователя.

2. Модуль формирования матрицы оператора и правой части уравнения свертки.

3. Процедура минимизации сглаживающего функционала, включая модули вычисления сглаживающего функционала и градиента сглаживающего функционала.

4. Модуль вывода результатов восстановления изображения. Интерфейс программного комплекса восстановления изображений

квадрупольных гравитационно-линзовых систем, который может использоваться для обработки аналогичных изображений, содержащих пространственно протяженные и точечные источники, представлен на рис. 9.

В приложении А приведены кривые блеска для гравитационной линзы Q2237+0305 «Крест Эйнштейна», полученные в результате обработки с помощью комплекса программ данных мониторинга этого объекта в Майданакской обсерватории. Для сравнения приведены данные за тот же период группы OGLE 20. Характерное поведение кривых блеска, полученных двумя разными методами, совпадает, что позволяет с большей уверенностью говорить об успешных результатах применения нового метода.

iaPress W., Teukolsky S., Vctterling W., Flannery B. // Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1998

"Пшеничный Б. H., Данилин Ю. M. Численные методы в экстремальных задачах. Москва: Наука, 1975

íohttp://www.astrouw.edu.pi/~ogle/ogle3/huclira.html

Рис 9: Графический интерфейс программного комплекса.

В приложении Б приведен листинг основных программ комплекса.

В заключение автор хотела бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и помощь. Автор искренне благодарна астрофизикам, с которыми ей посчастливилось работать - доктору философии Василию Алексеевичу Белокурову, Екатерине Александровне Коптеловой и кандидату физико-математических наук, руководителю Майданакской лаборатории Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга Борису Павловичу Артамонову. Автор хотела бы поблагодарить доктора физико-математических наук, профессора Александра Сергеевича Леонова и доктора физико-математических наук Михаила Васильевича Сажина за помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Белокуров В. А., Шимановская Е. В., Сажин М. В., Ягола А. Г., Артамонов Б. П., Шаляпин В. Н., И. Хамитов Восстановление изображений гравитационной линзы QSO 2237+0305 „Крест Эйнштейна". // Астрономический журнал, 2001, т. 78, N 10, с. 111.

[2] A. Yagola, В. Artamonov, V. Belokurov, E. Koptelova, E. Shi-ma^vskaya, A Priori Information in Image Reconstruction. Abstracts in „Abstracts. ISIP 2003. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003.18-21 February 2003, Nagano City. Japan", 2003, p. 80-81.

[3] Yagola A., Artamonov В., Belokurov V., Koptelova E., Shi-manovskaya E., A Priori Information in Image Reconstruction. // In book „Inverse Problems in Engineering Mechanics IV: International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (ISIP 2003), Nagano, Japan."(eds. M. Tanaka) - Elsevier Science Ltd, 2003, p. 477484.

[4] Коптелова Е. А., Шимановская Е. В., Ягола А. Г., Сажин М. В. Восстановление изображений граитационных линз. Сборник тезисов девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-9. Красноярск, 28 марта - 3 апреля 2003 г., с. 746-748.

[5] Артамонов Б. П., Бруевич В. В., Коптелова Е. А., Шимановская Е. В., Сажин М. В., Ягола А. Г. Наблюдения гравитационных линз

на Майданакской обсерватории. Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2004 „Горизонты Вселенной". МГУ, ГАИШ, 3-10 июня 2004 г. Труды Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга, том LXXV, с. 181.

[6] Koptelova E., Shimanovskaya E., Artamonov В., Belokurov V., Sazhin M., Yagola A., Reconstructing images of gravitational lenses with regularizing algorithms. // Gravitational lensing : a unique tool for cosmology, Proceedings of the meeting, Aussois, Jan. 5-11, 2003, ASP Conference Series, Vol. CS-326 (eds. D. Valls-Gabaud & J.P. Kneib).

[7] Коптелова Е. А., Шимановская Е. В., Артамонов Б. П., Сажин М. В., Ягола А. Г. Двухступенчатый алгоритм восстановления изображений гравитационной линзы QSO 2237+0305. // Астрономический журнал, 2004, т. 81, N 10, с. 909-917.

[8] Koptelova E., Shimanovskaya E., Artamonov В., Sazhin M., Yagola A. Monitoring of the QSO2237+0305 from Maidanak observatory. Abstracts in "Astrophysics and cosmology after Gamow - Theory and Observations. GMIC'100. Odessa, August 8-14, 2004, Abstracts", 2004, p. 64.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60 х 90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ 39

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02 2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А.М Ляпунова.

»24 5 95

Введение

1 Особенности задачи восстановления изображений гравитационных линз

1.1 Постановка задачи восстановления изображений.

1.1.1 Уравнение Фредгольма 1-го рода типа свертки

1.1.2 Наблюдательный материал.

1.1.3 Моделирование ядра уравнения.

1.2 Метод регуляризации

1.2.1 Общая схема решения некорректной обратной задачи восстановления изображений методом регуляризации

1.2.2 Выбор параметра регуляризации.

1.2.3 Дискретизация и конечномерная аппроксимация задачи.

1.3 Априорная информация в обработке изображений гравитационных линз.

1.3.1 Некоторые сведения из теории гравитационного линзирования

1.3.2 Априорные предположения об искомом решении

1.3.3 Моделирование распределения яркости в галактике.

2 Регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений гравитационных линз на специальных классах функций

2.1 Алгоритм восстановления изображений, основанный на регуляризации некорректной задачи на пространстве Лебега

2.2 Алгоритм восстановления изображений МСБ.

2.3 Алгоритм восстановления изображений, основанный на регуляризации некорректной задачи на пространствах Соболева ^и^2.

2.3.1 Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева И^.

2.3.2 Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева

2.4 Алгоритм восстановления изображений, основанный на кусочно-равномерной регуляризации некорректной задачи на пространстве функций с ограниченной полной вариацией

2.4.1 Модификация регуляризирующего алгоритма

2.4.2 Особенности минимизации сглаживающего функционала

2.5 Двухэтапный алгоритм восстановления изображений гравитационных линз.

Численная реализация алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз

3.1 Минимизация функционалов.

3.1.1 Минимизация функции метода наименьших квадратов

3.1.2 Минимизация сглаживающего функционала

3.2 Структура комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз.

3.3 Интерфейс комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз.

Во многих областях науки ученые сталкиваются с проблемой обработки изображений, поскольку зачастую изображение является почти единственным наблюдательным свидетельством о том или ином физическом объекте или явлении. В частности, теория восстановления изображений лежит в основе компьютерной томографии, электронной микроскопии, некоторых разделов оптики, широко используется в геофизике, радиографии, радиолокации, медицине. Целью обработки изображений может быть "очистка" сигнала от шумов, устранение влияния прибора, используемого для получения изображений, получение количественных данных об интересующем явлении или объекте либо сочетание всего вышеперечисленного. В зависимости от этих целей разрабатывались различные подходы к обработке изображений -статистические [70], регуляризирующие [53, 11, 93], методы фильтрации [70], распознавания образов [11], сопоставления с шаблоном [84]. Учитывая разнообразие изучаемых объектов, сложно предложить универсальный метод восстановления изображений, он почти всегда должен опираться на исходные знания об интересующем классе объектов и способах получения конкретных изображений.

Одной из областей, в которых проблема обработки изображений стоит достаточно остро, является астрофизика. Исследователям приходится иметь дело с огромными объемами наблюдательного материала, требующего обработки и интерпретации в условиях конечной разрешающей способности наблюдательной техники и неизбежного наличия искажений вследствие турбулентности атмосферы и присутствия случайно-неоднородных сред на пути следования света от источника к регистрирующему прибору. Поэтому в современной астрофизике такое пристальное внимание уделяется проблемам разработки эффективных алгоритмов восстановления изображений.

Во многих случаях изображение, полученное на наземном телескопе, можно описать с помощью уравнения Фредгольма 1 рода типа свертки: оо роо k(x-x\y-y')z{x',y')dx'dy'= и(х,у), (1)

-оо J — оо где к{х — х\у — у') - переходная функция, характеризующая искажение изображения; z(x,y) - искомое неискаженное распределение интенсивности; и(х, у) - наблюдаемое распределение света.

К настоящему времени разработано и широко применяется несколько подходов к решению этой задачи [70, 91]. Их можно условно разделить на несколько категорий.

К первой категории можно отнести попытки описать исследуемый объект с помощью модели и поиск параметров этой модели посредством минимизации функционала, характеризующего отклонение модели от данных. Когда количество параметров невелико, несомненным преимуществом этого подхода является быстрота. Но, к сожалению, модель зачастую недостаточно точно описывает действительность.

Ко второй категории относятся методы фильтрации (например, фильтр Винера), или обращения операции свертки.

К третьей категории относятся различные модификации метода CLEAN [71, 92], который широко распространен в радиоастрономии. При использовании этого подхода предполагается, что объект состоит из точечных источников. Изображение раскладывается на суперпозицию ¿-функций. Для этого используется итерационная процедура, заключающаяся в поиске точки с максимальной интенсивностью и вычитании в этой области функции рассеяния точки, умноженной на коэффициент усиления аппаратуры и интенсивность в этой точке. Затем процесс повторяется для полученного промежуточного кадра. Процесс прекращается при достижении некоторого установленного изначально порогового значения невязки. Недостатком такого подхода является то, что процедура обработки занимает много времени, а ход ее выполнения инспектируется визуально. Кроме того, применение этого подхода затруднительно при наличии в изображении протяженных объектов. Существенной особенностью метода и его модификаций является то, что при обработке каждый компонент рассматривается независимо и результаты его обработки никак не соотносятся с соседними компонентами в отличие от методов регуляризации

К четвертой категории относятся различные модификации метода регуляризации [2, 16], применяемые для поиска решения, обладающего определенными свойствами, и заключающиеся в минимизации функционала специального вида.

Еще одну группу составляют статистические методы. Некоторые из них основаны на байесовском подходе к решению задачи восстановления изображений, который заключается в конструировании связи между условными плотностями вероятности [81]. К таким методам относятся методы максимального правдоподобия, максимальной энтропии [70, 82, 90]. Разрабатывается также направление небайесовского подхода, когда искомый объект понимается как многомерная совокупность параметров, для которых должны быть получены эффективные статистические оценки [46].

Для получения адекватных результатов, на основе которых можно делать выводы об изучаемом явлении, необходимо разрабатывать алгоритмы, учитывая все имеющиеся предположения о структуре наблюдаемых объектов. Это особенно важно в связи с открытием таких способов исследования и моделирования Вселенной, как изучение гравитационного линзирования [6, 17, 97, 88]. Это явление, предсказанное Общей теорией относительности, заключается в том, что световые лучи отклоняются от прямолинейной траектории в присутствии массивных тел [69]. Это предсказание было впервые проверено во время полного солнечного затмения в 1919 году, когда видимое положение звезд, находящихся за солнечным лимбом, на время изменилось под влиянием гравитационного поля Солнца [76]. Если источник света, отклоняющее тело и наблюдатель расположены определенным образом, это явление может привести к образованию нескольких изображений источника, порождая "гравитационный мираж". Отклоняющее тело называют гравитационной линзой. Однако, чтобы получились изображения, расположенные на достаточном расстоянии друг от друга для наблюдения с наземных телескопов, масса отклоняющего тела должна быть очень велика - например, целая галактика. Источник света должен быть расположен достаточно далеко за массивной галактикой и должен быть достаточно ярким для наблюдения с помощью имеющейся техники. Такими удаленными и яркими источниками являются квазары - самые светящиеся объекты во Вселенной.

Первая гравитационная линза была открыта в 1979 году, когда было обнаружено, что два казалось бы разных квазара, расположенных на небе на расстоянии около 6 угловых секунд друг от друга, имеют идентичный спектр - то есть это изображения одного и того же квазара. С тех пор было открыто несколько десятков "размноженных" квазаров. Не только квазары могут выступать в роли источника света для гравитационной линзы. Изображения пространственно протяженного источника деформируются и обычно образуют дуги. При линзировании удаленной галактики на скоплении галактик образуются огромные эффектные дуги, а если источник, линза и наблюдатель расположены на одной линии, линзированное изображение принимает форму кольца, которое называют "Кольцо Эйнштейна". При определенном взаимном расположении квазара, линзирующего тела и наблюдателя, получается несколько точечных образов квазара.

Еще до открытия первой гравитационной линзы было показано, что если бы удалось измерить временную задержку в компонентах гравитационно-линзовой системы, астрономы получили бы инструмент для измерения расстояний во Вселенной, а значит и постоянной Хаббла. Фотоны, участвующие в формировании нескольких изображений одного и того же квазара, проходят различные пути и, следовательно, тратят на это разные интервалы времени. Измерив временную задержку, массу линзирующего тела и геометрию системы можно определять расстояния и, следовательно, постоянную Хаббла.

В настоящее время известно уже порядка сотни кандидатов на роль гравитационных линз. Большинство отождествленных на сегодняшний день систем и кандидатов в гравитационные линзы представляют собой достаточно сложные для обработки объекты. Угловое расстояние между разными изображениями удаленного квазара, получающимися в результате искривления хода светового луча вблизи гравитирующего тела, обычно крайне мало. В некоторых случаях эти изображения накладываются на изображение самой линзы. В зависимости от взаимного расположения квазара и линзы, изображение может представлять собой как некоторое сложным образом структурированное кусочно-непрерывное распределение яркости, так и несколько перекрывающихся точечных источников - изображений линзируемого объекта. Чтобы в этих условиях определить временную задержку, массу линзирующего тела и геометрию системы, необходимо восстанавливать изображения гравитационно-линзовых систем, полученные на пределах разрешающей способности современной техники, разделяя изображения линзируемого объекта и линзирующего тела. В этих условиях задача разработки эффективных алгоритмов восстановления изображений гравитационно-линзовых систем приобретает особую актуальность. Их применение должно обеспечить обработку больших объемов наблюдательных данных с целью обнаружения событий, которые позволят глубже понять физические процессы, происходящие во Вселенной.

Существующие алгоритмы восстановления изображений гравитационных линз, которые обычно представляют собой модификацию метода CLEAN или заключаются в поиске экстремали функционала выбранного вида, зачастую не дают удовлетворительных результатов. Например, результаты восстановления, полученные с помощью CLEAN-методов, сильно зависят от выбранной модели галактики, которая используется в процессе "чистки", и качества изображений [63], а при использовании метода максимальной энтропии решение получается слишком сглаженным. В предложенном бельгийскими учеными методе MCS [80] параметр алгоритма меняется по полю (но неясно каким образом) и вместо решения ищется его свертка с априорно заданной функцией. Кроме того, этот метод затруднительно применять для восстановления изображений тесных гравитационно-линзовых систем. Таким образом, проблема создания гибких, удобных и математически обоснованных методов остается открытой.

Рассматривая проблему восстановления изображений гравитационных линз как некорректно поставленную обратную задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода типа свертки с неточно заданными правой частью и оператором, естественным будет воспользоваться эффективным математическим аппаратом, который был предложен А. Н. Тихоновым и получил название метод регуляризации. Этот подход постоянно развивается, и среди его многочисленных приложений имеются различные астрофизические задачи [16, 15, 14], задачи восстановления изображений [11], а также задачи, связанные с явлением гравитационного линзирования [86, 87]. Задача разрешения близко расположенных изображений радиоисточников с использованием линейной комбинации ^-функций рассматривалась в [50]. Использование различных функциональных пространств ¿2, И^1, пространства функций ограниченной вариации для решения уравнения свертки исследовалось А. Н. Тихоновым, А. В. Гончарским, А. Г. Яголой, А. Б. Бакушинским, А. С. Леоновым, К. Вогелем и другими авторами [53, 59, 14, 3, 27, 93]. В этих приложениях в качестве априорной информации использовались предположения о гладкости искомого решения. При использовании предположения о принадлежности решения пространству решение получается гладким, с плавным изменением яркости от одной области изображения к другой. Наоборот, если решение ищется на пространстве функций с ограниченной вариацией, допускающем существование разрывов на линиях координатной сетки, восстановленный объект может иметь резкие границы со скачкообразным изменением яркости. Для этих функциональных пространств доказаны теоремы о сходимости получаемых приближенных решений к точному.

Наличие в изображениях гравитационно-линзовых систем как гладкой составляющей, так и сингулярных компонентов с резким изменением яркости не позволяет применять эти методы напрямую.

Поэтому необходимо, основываясь на теории решения некорректных обратных задач, разработать модификации алгоритмов регуляризации. Сложный состав изображений гравитационных линз требует привлечения всей имеющейся априорной информации. При этом выбор функциональных пространств, на которых ищется решение, определяет степень сходимости получаемых приближений.

Целью диссертации является:

1. Разработка регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений объектов, наблюдаемых с помощью наземных телескопов и предположительно состоящих из нескольких перекрывающихся точечных источников и пространственно-протяженных компонентов. При этом используются основные понятия теории некорректных задач, функционального анализа, методов решения экстремальных задач, а также основные положения современной теории гравитационного лин-зирования и теории строения галактик.

2. Исследование априорной информации о гравитационно-линзовых системах с целью включения ее в алгоритм и сужения класса решений.

3. Численная реализация предложенных алгоритмов в виде комплекса программ, предназначенного для решения некорректно поставленной задачи восстановления изображений гравитационных линз при наличии априорной информации о представимости решения в виде суммы функции, обладающей определенными свойствами гладкости, и суперпозиции ¿-функций.

4. Решение сопутствующих вспомогательных задач моделирования ядра уравнения, моделирования распределения яркости в галактике, минимизации функционалов с ограничениями.

5. Применение предложенных алгоритмов к задаче восстановления изображений гравитационной линзы С^ЗО 2237+0305 «Крест Эйнштейна», полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан).

Научная новизна и практическая значимость.

В работе впервые последовательно применен регуляризирующий подход для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем с учетом их специальной структуры.

Предлагается несколько модификаций регуляризирующего алгоритма, позволяющих восстанавливать изображения объектов сложной структуры, одновременно разделяя их на два компонента - точечные источники и "гладкую" часть. Для этого введены специальные функциональные пространства, представляющие собой сумму линейной комбинации 5-функций и финитной функции, принадлежащей одному из функциональных пространств 1/2, И^, и Ув (пространства функций ограниченной вариации).

Исследуется широко применяющийся в настоящее время алгоритм восстановления изображений МСБ, предложенный группой бельгийских ученых [63, 62]. Показано, что он относится к классу регуляризирующих алгоритмов, а получаемые приближения обладают свойством сходимости в среднем к свертке точного решения с заданной функцией [5].

Для реализации предложенных алгоритмов создан комплекс программ в среде ГОЬ. Для кусочно-равномерной регуляризации некорректной обратной задачи восстановления изображений гравитационных линз применяется алгоритм, использующий функции двух переменных с ограниченной полной вариацией, изученные А.С.Леоновым [27, 29]. Алгоритм реализован в среде МАТЬАВ.

Прежде всего представляет интерес адаптация и применение хорошо разработанного математического аппарата метода регуляризации к решению задачи восстановления изображений гравитационно-линзовых систем. Введение специальных функциональных пространств и модификация регуляризирующего алгоритма Тихонова с учетом априорной информации о наблюдаемых объектах позволили разделить изображения на две составляющие - линзирующую галактику и компоненты квазара. Разработанный комплекс программ позволяет обрабатывать большие массивы наблюдательных данных, выбирая требуемую гладкость функции, описывающей протяженный компонент решения, и получая астрометрические и фотометрические параметры интересующих объектов.

Разработанные алгоритмы могут применяться на практике для восстановления изображений гравитационных линз, что проиллюстрировано на примере изображений гравитационно-линзовой системы С^ЗО 2237+0305 "Крест Эйнштейна", полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории. С помощью этих алгоритмов становится возможным получение данных об астрометрических и фотометрических параметрах гравитационной линзы и построение кривых блеска для продолжительных интервалов времени (несколько лет) с целью обнаружения событий микролинзирования и событий, связанных с внутренними процессами в удаленном квазаре. Предлагаемые алгоритмы являются достаточно гибкими и могут использоваться для восстановления изображений других объектов, обладающих аналогичной специальной структурой.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Предложены регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений при условии, что изображение допускает разделение на точечные источники и гладкую часть, то есть решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки является суммой суперпозиции 6-функций и

• функции, интегрируемой с квадратом: д Е Ь2;

• непрерывно-дифференцируемой функции, производная которой также интегрируема с квадратом: д € И^1;

• дважды непрерывно-дифференцируемой функции, 1-я и 2-я производные которой также интегрируемы с квадратом: д £ ;

• функций, имеющей ограниченную полную вариацию.

2. Для получения адекватных с физической точки зрения результатов в алгоритмы восстановления изображений необходимо включать априорную информацию об объектах исследования: неотрицательность решения, его представимость в виде суперпозиции гладкой функции и суммы ¿-функций, близость гладкого компонента решения к некоторой эмпирической модели. Предложенные способы включения этих сведений в алгоритмы восстановления - использование проекционных методов для минимизации сглаживающего функционала, поиск решения на особом классе функций, выбор стабилизатора специального вида -позволяют решить задачу восстановления изображений квадрупольных гравитационно-линзовых систем.

3. Решены вспомогательные задачи моделирования ядра уравнения (оно с достаточной точностью аппроксимируется двумерной эллиптической функцией Гаусса), моделирования распределения яркости в галактике (используется обобщенный профиль де Вакулера), минимизации функционалов с ограничениями.

4. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ восстановления изображений квадрупольных гравитационно-линзовых систем. Для комплекса программ разработан удобный интерфейс. Возможность применения алгоритмов проиллюстрирована на примере изображений гравитационной линзы QS02237+0305 («Крест Эйнштейна»), полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан). Комплекс программ позволяет успешно восстанавливать такие изображения, получая астрометрические и фотометрические параметры гравитационно-линзовой системы «Крест Эйнштейна».

5. Исследован алгоритм восстановления изображений гравитационных линз MCS, разработанный группой бельгийских ученых. Показано, что он является вариантом метода регуляризации.

Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на международной конференции «Gravitational Lensing: a Unique Tool for Cosmology» (France, Aussois, January 5-11, 2003); на международном симпозиуме «International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003» (Nagano, Japan, February 18-21, 2003); на Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-9 (Красноярск, 28 марта - 3 апреля

2003 г.); на международной конференции «Hyperbolic Models in Cosmology» (Isaak Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, UK, June 22-28, 2003); на Всероссийской астрономической конференции ВАК

2004 «Горизонты Вселенной»(Москва, МГУ ГАИШ, 3-10 июня 2004 г.); на международном симпозиуме IAU 225 «Impact of gravitational lensing on cosmology»(Switzerland, Lausanne, July 19-23, 2004); на международной конференции «Astrophysics and cosmology after Gamow - Theory and Observations, GMIC'100»(Odessa, Ukraine, August 8-14, 2004); на семинаре «Обратные задачи математической физики» (Москва, НИВЦ МГУ, 3 ноября 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ (из них 4 - статьи в журналах и трудах конференций, 4 - опубликованы в тезисах конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе задача восстановления изображений гравитационных линз рассматривается как некорректная обратная задача. Описываются математическая постановка задачи восстановления изображений, получаемых на наземном телескопе, статистическая модель шума в изображении, позволяющая оценить погрешность входных данных задачи, метод математического моделирования ядра интегрального уравнения с помощью гауссиана, параметры которого определяются сопоставлением данных расчета и наблюдения на "свободном поле". Рассматривается общая структура метода регуляризации в применении к поставленной задаче, а также особенности изображений квад-рупольных гравитационно-линзовых систем и способы включения этой априорной информации в алгоритм восстановления изображений. Решается вспомогательная задача моделирования распределения яркости линзирующей галактики.

Во второй главе предлагаются различные модификации метода регуляризации, позволяющие получать приближенные решения задачи восстановления изображений гравитационно-линзовых систем на специальных функциональных пространствах с учетом априорной информации о наблюдаемых объектах. Теоретической основой предлагаемых методов является разработанная А.Н. Тихоновым и его последователями теория регуляризации некорректных задач.

В третьей главе рассматриваются особенности минимизации сглаживающего функционала и описывается реализация предложенных алгоритмов в виде комплекса программ в среде IDL. В этой главе также содержится описание интерфейса программного комплекса, который может использоваться для обработки аналогичных изображений, содержащих пространственно протяженные и точечные источники.

В приложении А приведены кривые блеска для гравитационной линзы Q2237+0305 «Крест Эйнштейна», полученные в результате обработки с помощью комплекса программ данных мониторинга этого объекта в Майданакской обсерватории. Для сравнения приведены данные за тот же период группы OGLE.

В приложении Б приведен листинг основных программ комплекса.

Объем диссертации (без приложения) 99 е., рисунков 20, наименований в списке литературы 99.

Заключение

Диссертационная работа посвящена актуальной теме разработки численных методов и компьютерных программ, предназначенных для обработки экспериментальных данных, в частности, для восстановления изображений гравитационных линз. Получение фотометрических параметров гравитационно-линзовых систем является важной проблемой при изучении явления гравитационного линзирования и процессов, происходящих в удаленных квазарах и галактиках. Трудности обработки изображений гравитационных линз связаны с их сложной пространственной структурой, которая характеризуется тем, что изображения точечных источников перекрываются и накладываются на неоднородный фон линзирующего тела. Существующие методы зачастую не справляются с этими сложностями, особенно когда приходится иметь дело с изображениями, полученными с помощью далеко не идеальной наблюдательной техники.

Метод регуляризации уже несколько десятилетий применяется как для решения обратных задач астрофизики (в частности, он применялся и для решения задач, связанных с явлением гравитационного линзирования [86, 87]), так и для решения задач восстановления изображений. В работе [59] для решения интегральных уравнений Фредгольма были предложены алгоритмы, в которых поиск решения в виде суперпозиции точечных источников и поиск решения на классе гладких функций являлись отдельными, самостоятельными, изолированными этапами. Но для целей изучения гравитационных линз каждый из этих подходов в отдельности неприменим, поскольку не дает необходимой информации об объекте исследования. В настоящей работе предпринята попытка синтезировать эти подходы.

В диссертации рассмотрены алгоритмы восстановления изображений гравитационных линз, основанные на решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки методом регуляризации. Основная цель состояла в поиске путей решения задачи разделения изображения на две составляющие - точечные источники и пространственно протяженный компонент - в рамках теории решения некорректно поставленных задач методом регуляризации с использованием априорной информации об исследуемом объекте.

В качестве тестового объекта рассматривалась гравитационная линза (^802237+0305 ("Крест Эйнштейна"). Этот выбор обусловлен тем, что на примере этого объекта, в котором ярко выражены основные особенности тесных квадрупольных гравитационно-линзовых систем, представлены основные трудности восстановления изображений гравитационных линз, а также большим объемом наблюдательного материала, накопленного в рамках программы мониторинга этого объекта в Майданакской обсерватории.

Предложенные алгоритмы, в которых учтено предположение, что пространственно протяженный компонент решения принадлежит одному из пространств 1/2, И^1, , позволяют получить адекватную численную модель галактики, в которой просматривается "тонкая" структура галактики (в отличие от аналитической модели).

С помощью численной модели галактики, полученной методом регуляризации, и двухступенчатого алгоритма восстановления изображений был обработан большой массив данных наблюдений "Креста Эйнштейна" за 2002-2003 гг. Результаты опубликованы в работе [79].

Наиболее важные результаты работы:

1. Предложены модификации регуляризирующего алгоритма Тихонова, адаптированные для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем, которые характеризуются сочетанием точечных источников и пространственно протяженного компонента. Решение ищется в виде виде суммы гладкой функции и суперпозиции конечного числа ^-функций. Алгоритмы позволяют разделить изображение на две составляющие - суперпозицию конечного числа точечных источников и гладкий фон - с целью получения значений астрометрических и фотометрических параметров системы.

2. Исследовано, какие априорные предположения о гравитационных линзах можно включить в алгоритмы. Показано, что успешная обработка сложных изображений, содержащих помимо "гладкой" части сингулярную - точечные источники, невозможна без учета всей имеющейся априорной информации об объекте. Чем больше априорной информации об объекте удается формализовать и внести в алгоритм, тем более надежные и адекватные результаты дает процедура восстановления изображений.

3. Для реализации предложенных алгоритмов разработан комплекс программ в среде ГОЬ, предназначенный для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем. Комплекс позволяет обрабатывать изображения, полученные на наземных телескопах и искаженные вследствие конечной разрешающей способности прибора и турбулентности атмосферы, с учетом априорной информации о структуре изображений и получать астрометрические и фотометрические параметры гравитационно-линзовых систем.

4. Показано, что модифицированные регуляризирующие алгоритмы, построенные на функциональных пространствах, представляющих собой прямую сумму пространства ^-функций и одного из бесконечномерных пространств Ь2, И^1, У в-, можно с успехом применять для обработки изображений, даже таких сложных, какими являются изображения гравитационной линзы "Крест Эйнштейна". При этом удается разделить изображение на две составляющие: компонент, соответствующий точечным источникам, и компонент, представляющий собой протяженный объект - галактику.

5. Показано, что алгоритм восстановления изображений МСЭ является модификацией регуляризирующего алгоритма Тихонова и при некоторых ограничениях на вид ФРТ, выбираемой пользователем, обеспечивает регуляризацию нулевого порядка, то есть сходимость в среднем приближенных решений к точному при стремлении к нулю погрешности входных данных.

В заключение автор хотела бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и помощь. Автор искренне благодарна доктору философии Василию Алексеевичу Белокурову, Екатерине Александровне Коптеловой и кандидату физико-математических наук, руководителю Майданакской лаборатории Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга Борису Павловичу Артамонову, с которыми ей посчастливилось работать вместе, и без поддержки, идей и вдохновения которых эта работа не была бы написана. Автор хотела бы поблагодарить доктора физико-математических наук, профессора Александра Сергеевича Леонова за предоставленный комплекс программ в среде МАТЬАВ, который был использован в качестве модуля при численной реализации алгоритма восстановления изображений, содержащих точечные источники, с использованием пространства функций ограниченной вариации, а также доктора физико-математических наук Михаила Васильевича Сажина за идею использовать модель Серсика для моделирования центральной части галактики. Автор от всей души благодарит свою семью и друзей, которые не только мешали работе, но и помогали.

1. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1989

2. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1989

3. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г., Численные методы. Москва: Лаборатория базовых знаний, 2001

4. Белокуров В. А., Шимановская Е. В., Сажин М. В., Ягола А. Г., Артамонов Б. П., Шаляпин В. Н., И. Хамитов Восстановление изображений гравитационной линзы С^ЗО 2237+0305 "Крест Эйнштейна". // Астрономический журнал, 2001, т. 78, N 10, с. 111

5. Блиох П. В., Минаков А. А. Гравитационные линзы. Киев: Наукова думка, 1989

6. Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье. Москва: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1962

7. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1980

8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1981

9. Винокуров В. А. О погрешности решения линейных операторных уравнений. / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1970, 10, N 4, с. 830-839

10. Гончарский А. В., Кочиков И. В., Матвиенко А. Н., Реконструктивная обработка и анализ изображений в задачах вычислительной диагностики. Изд-во Моск. ун-та, 1993

11. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. О решении двумерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с ядром, зависящим от разности аргументов. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971, 11, N 5, с. 1296-1301

12. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, 13, N 2, с. 294-302

13. Гончарский А. В., Романов С. Ю., Черепащук А. М. Конечнопараметрические обратные задачи астрофизики. Москва: МГУ, 1991

14. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. Москва: Наука , 1985

15. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. Москва: Наука, 1978

16. Захаров А. Ф., Гравитационные линзы и микролинзы. Москва: Янус-К, 1997

17. Иванов В. К., О приближенном решении операторных уравнений первого рода. / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т.6, N 6, с. 1089-1094

18. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва: Наука, 1978

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976

20. Коптелова Е. А., Шимановская Е. В., Артамонов Б. П., Сажин М. В., Ягола А. Г. Двухступенчатый алгоритм восстановления изображений гравитационной линзы С^БО 2237+0305. Астрономический журнал, 2004, т. 81, N 10, с. 909-917

21. Корн Г., Корн Т. // Справочник по математике. (Москва: Наука, 1977). С.128.

22. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980.

23. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я., Линейные операторы и некорректные задачи. Москва: Наука

24. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я., Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во института математики, 1999

25. Леонов А. С. Функции нескольких переменных с ограниченной вариацией в некорректных задачах. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, Т. 36, N 9, с.35-49

26. Леонов А. С. О многомерных некорректных задачах с разрывными решениями. // Сибирский математический журнал, 1998, Т. 39, N 1, с. 74-86

27. Леонов А. С. Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач. / / Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 2, N 3, с. 257-272

28. Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, Т. 39, N 12, сс. 1939-1945

29. Леонов А. С. Обобщение метода максимальной энтропии для решения некорректных задач. / / Сибирский математический журнал, 2000, Т. 41, N 4, сс. 863-872

30. Леонов А. С., Ягола А. Г. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия.,2000, т. 2, с. 14.

31. Леонов А. С. Регуляризирующие функционалы общего вида для решения некорректных задач в пространствах Лебега. // Сибирский математический журнал, 2003, Т. 44, N 6, с. 1295-1309

32. Морозов В. А. О решении функциональных уравнений методом регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1966, т. 167, N 3, с.510-512

33. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1967, т. 175, N 6

34. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, N 2, с. 295-309

35. Морозов В. А., Гордонова В. И., Численные алгоритмы выбора параметра в методе регуляризации / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т. 13, N 3

36. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва:Наука, 1987

37. Морозов В. А., Некоторые аспекты восстановления сигналов методом регуляризации. / / Вычислительные методы и программирование, 2001, т. 2.

38. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. Москва: Наука, 1975

39. Рисс Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу. Москва: Мир, 1979

40. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва: Наука, 1988

41. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. Москва: Наука, 1981.

42. Теребиж В. Ю. // Астрофизика, 1990, т. 33, N 1.

43. Теребиж В. Ю. // Успехи физических наук, 1995, т. 165, N 2, с. 143.

44. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач / / Доклады Академии наук СССР, 1943, т. 39, N 5, с. 195Ц198.

45. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 151, N 3, с. 501Ц504.

46. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 153, N 1, с. 49-52.

47. Тихонов А. Н., Виткевич В. В., Артюх В. С., Гласко В. Б., Гончарский А. В., Ягола А. Г., О восстановлении распределенияч радиояркости по источнику. // Астрономический журнал, 1969, 46,1. N 3

48. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1986

49. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. Москва:1. Наука, 1983 •

50. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Кочиков И. В. Некорректные задачи обработки изображений. ДАН СССР, 1987, Т. 294, N 4, с. 832-837

51. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990

52. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука-физматлит, 1995

53. Треногин В. А., Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980о 57. Хуанг Т. Обработка изображений и цифровая фильтрация. Москва:1. Мир, 1979

54. Худсон Д. Статистика для физиков. Москва: Мир, 1970

55. Ягола А. Г., Методы решения интегральных уравнений Фредголь-ма 1 рода типа свертки и их применение для решения задач радиоастрономии и физики. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1971

56. Antonova Т. V., Solving Equations of the First Kind on Classes of Functions with Singularities. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2002, pp. S145-S189

57. Brent, R.P. Algorithms for Minimization without Derivatives. Engle-wood Cliffs, NJ: Prentice- Hall, 1973

58. Burud, I., Candidata Scientiarum Thesis, 1997

59. Burud I., Stabell R., Magain P., Courbin F., Ostensen R., Refsdal S., Remy M., and Teuber J. Three photometric methods tested on ground-based data of Q 2237+0305. // Astron. Astrophys. 1998, V.339 pp. 701708

60. Calvetti D., Landi G., Reichel L. and Sgallari F., Non-negativity and iterative methods for ill-posed problems. // Inverse Problems, 20 (2004), P. 17471,11758

61. Cardone V. F., 2004, Astronomy & Astrophysics, 415, 3

62. De Vaucouleurs G., 1948, Ann. Astrophys., 11

63. De Vaucouleurs G., 1959, Hand. Phys, 53

64. Dyson F.W., Eddington A.S., and Davidson C.R., A determination of the defFection of light by the sun's gravitational field from observations made at the total eclipse of May 29, 1919 // Mem. R. Astron. Soc., 62, 291, 1920.

65. Einstein A. Uber den Einflub der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes (On the Influence of Gravity on the Propagation of Light) // Annalen der Physik, 35, 898, 1911

66. Frieden, B. Image Enhancement and Restoration, Berlin: Springer, 1978

67. Hogbom J. A. // Astron. Astrophys. Suppl., 1974, V. 15, P. 417.

68. Hadamard J. Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Yale Univ. Press, New Haven, 1923

69. J. Huchra, M. Gorenstein, S. Kent, I. Shapiro, G. Smith, E. Horine, and R. Perley. 2237 + 0305 A new and unusual gravitational lens. // Astron. J. 1985, 90 pp. 691-696.

70. Houde M. and Racine R. Image restoration and photometric monitoring of the gravitational lens Q2237+0305. // Astron. J. 1994, 107, pp. 466470

71. IDL Basics, Interactive Data Language Version 3.6, October, 1994 Edition, Research Systems Inc., 1994

72. Kaarkkaainen T., Majava K. and Maakela M., Comparison of formulations and solution methods for image restoration problems. // Inverse Problems, 17 (2001), 19771,11995

73. Magain, P., Courbin, F., Sohy, S. // Astrophysical Journal, 1998, V. 494, P. 472

74. Molina R., Nunez J., Cortijo F. J., and Mateos J. Image Restoration in Astronomy: A Bayesian Perspective. // IEEE Signal Processing Magazine, March 2001

75. Narayan R., Nityananda R. // Ann. Rev. Astron. and Astrophys., 1986, V. 24, P. 127.

76. Ostensen, R., Refsdal, S., Stabell, R. et al. // Astron. And Astrophys. 1996, V.309, P.59.

77. Digambara Patra, Ingo Gregor, and Jorg Enderlein. Image Analysis of Defocused Single-Molecule Images for Three-Dimensional Molecule Orientation Studies //J. Phys. Chem. A 2004, 108, 6836-6841

78. Press W., Teukolsky S., Vetterling W., Flannery B. // Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1998.

79. Sazhin M.V., Yagola A.G., Yakubov A.V., Microlensing by the non-compact invisible bodies. // Physics Letters A, 219, 1996, p. 199-204.

80. Sazhin M.V., Yagola A.G., Yakubov A.V., Zakharov A.F., Microlensing by non-compact invisible bodies. // Astrophysics and Space Science, v.252, 1997, p. 365-368.

81. Schneider P. Gravitational lensing as a probe of structure // astro-ph/0306465

82. Sersic J. L. 1968, Atlas de Galaxias Australes, Observatorio Astronomico, Cordoba, Argentina

83. Skilling J., Bryan R. K. // Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 1984, V. 211, P. 111.

84. Starck J. L., Pantin E. and Murtagh F. Deconvolution in Astronomy: A Review // Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 114:10511,11069, 2002 October

85. Teuber J., Digital Image Processing, Prentice-Hall, 1993

86. Vogel C. Computational Methods for Inverse Problems. SIAM, 2002

87. Wambsganss J. Gravitational lensing in astronomy. // Published by the Max-Planck-Institute for Gravitational Physics Albert Einstein Institute, Potsdam, Germany, 2001 (http: / / relativity.livingreviews.org/ Articles/lrr-1998-12)

88. Yan-fei Wang and Ting-yan Xiao. Fast realization algorithms for determining regularization parameters in linear inverse problems. // Inverse Problems, 17, 2001, p.281-291

89. J. Cheng and M. Yamamoto. One new strategy for a priori choice of regularizing parameters in Tikhonov's regularization. // Inverse Problems, 16, 2000, L31 L38.