автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие вычислительных моделей динамики мишеней термоядерного синтеза

004603090 V/"4/'

Жуков Виктор Тимофеевич

Развитие вычислительных моделей динамики мишеней термоядерного синтеза

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Москва - 2010

004608090

Работа выполнена в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Трощиев Виталий Ефимович

доктор физико-математических наук, профессор Чарахчьян Александр Агасиевич

доктор физико-математических наук, профессор Шевелев Юрий Дмитриевич

Ведущая

организация: Институт теоретической и экспериментальной

физики им. А.И. Алиханова (ФГУП "ГНЦ РФ - ИТЭФ" )

Защита состоится "7 "октября 2010 г. в 11 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.024.03 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша

РАН.

Автореферат разослан "25 "августа 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор фгзико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию вычислительных моделей и алгоритмов для исследования высокотемпературных динамических процессов в мишенях термоядерного синтеза.

Исследования по управляемому термоядерному синтезу (УТС) в наше время определяют не только будущее энергетики, но и прогресс во многих областях науки и техники. Интерес к проблеме УТС объясняется несколькими причинами - исчерпанием в ближайшее столетие запасов органического топлива, безопасностью термоядерной энергетики, немаловажен и военный аспект.

Актуальным направлением в УТС является инерциальный тяжелоионный термоядерный синтез (ИТИС). Достижения на этом направлении включают теоретические и экспериментальные аспекты разработки мишеней термоядерного синтеза, создание мощных и безопасных источников нагрева плазмы, концептуальную проработку ядерной энергетической установки на основе ИТИС \ 2.

В настоящее время работы по инерциальному термоядерному синтезу на пучках тяжелых ионов проводятся в Европейском Союзе, Японии, США и России. Следует отметить большие возможности математического моделирования в проблеме инерциального (в том числе и лазерного) термоядерного синтеза. Например, в США при разработке ядерных вооружений используются суперкомпьютеры высокой производительности для комплексного моделирования и расчетов импульсных ядерных и термоядерных процессов в динамике работы ядерного оружия.

Математическое моделирование мишеней ИТИС соответствует сегодняшним знаниям, так как хорошо известны основные уравнения физических процессов и константы взаимодействий частиц с веществом.

В Институте прикладной математики (ИПМ) им. М.В. Келдыша под

1 Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики. Ред. Б.Ю. Шарков. - М.: Физматлит, 2005, 264 с.

2 Баско М.М., Медин С.А., Орлов Ю.Н., Суслин Б.М. Сквозной расчет термоядерного горения и разлета плазмы в реакторе ИТС на тяжелых ионах. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010, препринт № 18, 36 с.

руководством члена-корреспондента РАН A.B. Забродина сформировалось научное направление по математическому моделированию мишеней ИТИС в тесном сотрудничестве с Институтом теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ) им. А.И. Алиханова, где в течение многих лет ведутся работы по развитию концепции инерциального термоядерного синтеза на основе использования ускорителей тяжелых ионов.

В результате этого сотрудничества в ИПМ им. М.В. Келдыша создан при участии автора диссертации уникальный исследовательский компьютерный код НЗТ на основе комплексной физико-математической модели, в число компонент которой входит: а) нестационарная трехтемпературная газодинамическая модель с учетом переноса тепла ионами, электронами, фотонами и обменом энергией между ними; б) специальный режим вложения энергии пучками тяжелых ионов; в) кинетика термоядерных реакций в дейтериево-тритиевом (DT) топливе; г) модели переноса нейтронов для учета нейтронно-ядерных реакций в случае гибридной мишени с урановой оболочкой.

Таким образом, работа актуальна в связи с потребностью исследования процессов термоядерного синтеза в приложении к проблемам науки и промышленности.

Цель диссертационной работы. В работе рассматриваются несколько направлений исследований, подчиненных главной цели: поиску методами математического моделирования путей безопасного получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени.

Научные цели диссертации включают создание методов решения нелинейных уравнений теплопереноса на подвижных криволинейных сетках, создание параллельного кода для многопроцессорных систем, проведение расчетных исследований мишеней ИТИС.

Методика исследований. Базовым элементом в компьютерном коде НЗТ является алгоритм3 решения начально-краевых задач для системы нестационарных уравнений газовой динамики в областях сложной формы с подвижными границами. В основе алгоритма лежит схема С.К. Годунова4. Глав-

3 Численное решение многомерных задач газовой динамики. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопои Г.П. - М.: Наука, 1976, 400 с.

4 Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений газодинамики // Матем. сборник, 1959, т. 47(89), № 3, с. 271-306.

ными принципами алгоритма являются консервативность, адаптируемость к особенностям течений с использованием криволинейных подвижных сеток, сохранение групповых свойств дифференциальной задачи.

Для расчетов тепловых процессов автором диссертации построена дискретизация, согласованная с газодинамическим этапом. Для решения на каждом шаге по времени системы трех дискретных уравнений теплопроводности (или одного уравнения в случае однотемпературной модели) используется явно-итерационная схема с чебышевскими параметрами, построенная на основе схемы 5. Новая схема обеспечивает высокую фактическую точность и эффективное функционирование на многопроцессорных системах.

Для аппроксимации по пространству записывается закон сохранения тепла для каждой сеточной ячейки и потоки тепла на сторонах ячеек находятся интерполяцией значений сеточной функции. Рассмотрены два способа интерполяции: лагранжева, когда аппроксимирующий многочлен строится из условия совпадения в узлах сеточного шаблона с искомой функцией, и интерполяция методом наименьших квадратов.

В качестве средств разработки параллельной программы использовался набор функций межпроцессорных обменов.

Расчетные исследования гибридной мишени с учетом нейтронно-ядер-ных реакций в урановом слое основаны на предложенной B.C. Имшенником модели 6, позволяющей учесть эффект вынужденного деления урана, а также развитие цепной реакции при выполнении критических условий.

Научная новизна. Диссертационная работа обеспечила решение актуальной научной проблемы создания высокоэффективных средств математического моделирования безопасного процесса получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени. В работе развита вычислительная модель и на основе новых методов созданы программы для исследования динамики мишеней термоядерного синтеза на многопроцессорных компьютерах.

5 Локуциевский В. О., Локуциевский О.В. О численном решении краевых задач для уравнений параболического тина,// Докл. АН СССР, 1986, т. 291, № 3, с. 540-544.

6 Имшенник B.C. Аналитический метод определения параметров цепной реакции деления для цилиндрического уранового стержня и оценки энерговыделения гибридных мишеней ИТИС// Ядерная физика, 200В, т. 69, № 10, с. 1690-1700.

Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Разработаны, исследованы и реализованы в комплексе программ НЗТ новые методы дискретизации по пространству нелинейных уравнений трехтемпературной теплопроводности на подвижных криволинейных сетках. В классе явно-итерационных схем с чебышевскими параметрами построены две новые схемы для интегрирования по времени уравнений теплопроводности. Для линейного случая доказаны теоремы о сходимости с указанием порядков точности. Проведена практическая проверка построенных схем, показавшая их высокую фактическую точность. Дано теоретическое объяснение этого факта на основе исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач. Новые методы обеспечивают выполнение законов сохранения и обладают свойством сохранять симметрию решений, что важно для моделирования процессов сжатия мишеней.

2. Исследован подход к построению блочно-регулярных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, построены алгоритмы минимизации вариационного функционала, оценена их работоспособность.

3. На основе предложенных методов развит программный комплекс НЗТ для расчета мишеней ИТИС, функционирующий на многопроцессорных системах. Параллельный код сочетает геометрический и функциональный параллелизм; получено подтверждение его эффективности.

4. Проведены расчетные исследования двух сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки мишени для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. В расчетах изучен рост возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

5. Исследована динамика цилиндрической мишени при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается

КПД; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка + термоядерное топливо"; 3) помимо вынужденного деления урана, может быть достигнуто критическое состояние с возникновением цепной реакции.

Практическая значимость. Разработанные вычислительные методы и программы используются для моделирования мишеней ИТИС на основе современных данных и с учетом новейших достижений в этой области в рамках работ по получению ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени.

Важное значение имеют следующие установленные факты. Известно, что благоприятным фактором для создания условий термоядерного горения является сферическое сжатие вещества. Однако, для сферических мишеней характерно несферическое облучение — в силу специфики конструкции ускорителя ионные пучки располагаются в одной (экваториальной) плоскости. Поэтому необходимо учитывать влияние на динамику мишени малых возмущений, которые могут возрастать до величин, существенно нарушающих сферичность сжатия. При моделировании сферических мишеней установлено, что сжатие мишени сопровождается развитием рэлей-тейлоровской неустойчивости. Это усложняет проблему симметризации. Специальное профилирование внешней оболочки мишени ограничивает деформацию пушера допустимыми значениями с достижением параметров сжатия, близких к термоядерным. Полученные практические доказательства правильности передачи методикой эволюции возмущений означают, что отсутствие критического роста возмущений обусловлено удачным профилированием оболочки.

При моделировании цилиндрической мишени с урановой оболочкой установлен эффект усиления кумуляции энергии. Сжатие вещества инициирует загорание БТ-топлива, а горение порождает мощный поток первичных нейтронов. Под их воздействием начинается ядерное энерговыделение в окружающей БТ-топливо урановой оболочке. В зависимости от геометрии мишени и параметров энерговложения цепная ядерная реакция может не начаться, т.е. нейтронные процессы могут быть подкритичны, либо в урановом слое может возникнуть самоподдерживающаяся цепная реакция. В каждом из этих двух случаев энерговыделение в уране вызывает дополнительное сжатие, разогрев

и выгорание DT-топлива. Происходит практически мгновенное взаимоусиление нейтронно-ядерных и термоядерных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов основаны на применении хорошо зарекомендовавших себя вычислительных методов и концепции 3 адаптивного моделирования сверхбыстрых процессов. Точность разработанных методов проверялась с помощью решения задач-тестов, доказательства теорем о сходимости, а также с помощью сравнения с другими методиками и средствами внутреннего контроля.

Автор защищает следующие положения:

1. Общие принципы включения расчета теплопроводных процессов в газодинамическую модель.

2. Методы построения явно-итерационных схем численного интегрирования по времени параболических уравнений. Обоснование новых схем первого и второго порядка точности на основе многочленов Чебышева.

3. Метод пространственной аппроксимации нестационарного уравнения теплопроводности на криволинейных подвижных сетках.

4. Исследование и построение алгоритмов генерации блочно-структуриро-ванных сеток на основе теории квазиизометрических отображений.

5. Параллельную программную реализацию комплекса НЗТ.

6. Результаты численного моделирование сферических и цилиндрических мишеней ИТИС, включая результаты расчетов гибридной мишени, имеющей дополнительный источник нейтронного энерговыделения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на различных конференциях и семинарах, в том числе на: VII Всесоюзной школе-семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", 1989 г.; Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" памяти К.И. Бабенко, 1998 г., 2000 г.; Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных

сеток и высокопроизводительные вычисления", ВЦ РАН, 2004 г.; Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С. К. Годунова, Новосибирск, 2009 г.; XVI Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Arcachon, 1998 г.; Международной конференции по физике высоких плотностей энергии (Забабахинские научные чтения), Снежинск, 2005 г.; совместных конференциях ВНИИЭФ, ВНИИТФ, ИПМ; семинарах им. К.И.Бабенко в ИПМ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы, включая 13 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов докторских диссертаций, 2 статьи в рецензируемых журналах, 8 препринтов ИПМ им. М.В. Келдыша, 9 публикаций в сборниках тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях, в научно-технических отчетах. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [1-25].

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в рамках научных планов ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований. Результаты использовались для развития и обоснования концепции ИТИС, которая разрабатывалась по инициативе академика В.И. Субботина в Научном Совете РАН по физико-техническому анализу энергетических систем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 265 страниц, 50 рисунков и 13 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 133 наименования.

Содержание работы

Во Введении формулируется цель исследования, обосновывается актуальность математического моделирования процессов в мишенях термоядерного синтеза, аргументируется научная новизна полученных результатов, показывается практическая значимость, представляются выносимые на защиту научные положения. Кратко излагается содержание глав. Приводится список работ автора по теме диссертации.

В главе 1 рассматривается современное состояние исследований по тер-

моядерному синтезу на пучках тяжелых ионов, формулируются физическая и математическая модели, дается изложение вычислительной технологии НЗТ. Основные результаты опубликованы в [3], [8] - [10], [14], [22], [23].

В разделе 1.1 приведены основные причины интереса к термоядерной энергетике. В разделе 1.2 изложены принципы инерциального тяжелоионного синтеза. В соответствии с общей схемой ИТИС топливо (смесь дейтерия и трития) помещается в сферическую или цилиндрическую капсулу, в которой оно подвергается сжатию до колоссальных плотностей ~ 300-1000 г/см3 за счет импульса давления, обеспечиваемого внешним источником энергии.

На рис. 1 и 2 показаны соответственно сферическая мишень с профилированной внешней оболочкой и цилиндрическая мишень. Мишени представляют собой системы вложенных оболочек, выполненных из различных веществ. Сечение цилиндрической мишени плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, показано на рис. 3, характерные размеры и возможный состав слоев приведены на рис. 4. Такой же вид имеет сечение сферической мишени центральной плоскостью, геометрические размеры примерно такие же.

В центральной части мишени находится ВТ-топливо, окруженное оболочкой из тяжелого металла. Этот слой - пушер - выполняет роль сжимающего поршня. В гибридной мишени пушер должен быть выполнен из урана или другого делящегося вещества. В цилиндрической мишени энергия тяжелых ионов вкладывается в следующий слой - тампер, пучки облучают мишень с торцов, они направлены вдоль оси и вращаются с большой частотой, обеспечивая практически однородное по углу вложение энергии. В случае сферической мишени ионные пучки располагаются в одной (экваториальной) плоскости и вложение энергии происходит в два внешних слоя. Размеры мишени и характеристики ионных пучков таковы, что вложение энергии ионами в вещество происходит практически равномерно по массе. Внешняя оболочка служит для сдерживания разлета вещества. В момент наибольшего сжатия достигаются необходимые условия по плотности и температуре и происходит зажигание топлива, т.е. начинает идти ядерная реакция синтеза с выделением энергии в виде нейтронов и альфа-частиц. Нейтроны покидают зону реакции, а альфа-частицы тормозятся и отдают свою энергию БТ-топливу, содействуя развитию самоподдерживающегося процесса термоядерного горения.

Рис. 1. Модель сферической мишени с профилированной внешней оболочкой

Аи

Рис. 2. Модель цилиндрической мишени

Рис. 3. Сечение мишени

DT-топливо Пушер Тампер Au

Плотность, г/см3 0.05 20 6 20

Радиус, см 0 0.20 0.21 0.39 0.44

Рис. 4. Состав и размеры мишени

К несомненным достоинствам ИТИС следует отнести безопасность: при выключении ускорителя термоядерные микровзрывы становятся невозможными. Использование концепции7 безударного сжатия и конкретных формул, определяющих динамику вложения энергии, открывает перспективный способ оптимизации мишеней.

В разделе 1.3 приведена трехтемпературная модель8 мишени ИТИС. Эта модель представляет собой сплошную среду, в которой протекают физические процессы и которая состоит из трех видов частиц: ионов, электронов и фотонов. Среда описывается как газ с единой плотностью частиц р и общим вектором их скорости й = (и, v). Температура Т, давление р и удельная внут-

7 Долголева Г.В., Забродин A.B. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. - М.: Физматлит, 2004, 72 с.

8 Забродин A.B., Прокопов Г.П. Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов. 1998, вьш. 3, с. 3-16.

ренняя энергия е (для единицы массы среды) ионов, электронов и фотонов различаются между собой в каждой точке пространства (х, г) и времени I и отмечаются индексами г, е, / соответственно. Система дифференциальных уравнений для такой модели среды имеет вид 8:

О, О,

(Иу^^дгасЩ) + сег(Те — г4) + Яи <Цу(Кедга<1Те) +

<Иь{К}дга<1Т}) +

Левые части этих уравнений описывают газодинамические процессы. Слагаемые <Иу(Кдга<1Т) описывают перенос тепла ионами и электронами и процесс диффузии энергии излучения в приближении "серой материи". Следующие слагаемые в правой части моделируют релаксационные процессы обмена энергией между ионами и электронами и неравновесность процесса переноса излучения фотонами. Коэффициенты релаксации сег, се/ и теплопроводности Кг, Ке, К; могут зависеть от искомых функций, пространственных переменных и времени. Качественная форма основного варианта коэффициентов теплопроводности имеет вид: К^ = Т^2, Ке = Т^2, Kf = Следующие члены в правых частях <5 = {<3г> <5е, <Э/} учитывают энерговложение в ионы, электроны и фотоны от различных источников: внешнего источника, термоядерных реакций в топливе, нейтронно-ядерных реакций в делящемся веществе пушера в случае гибридной мишени.

Для замыкания модели записывается система уравнений кинетики термоядерного горения, уравнения состояния, начальные и граничные условия.

Конструирование разностной схемы производится для уравнений, записанных в виде интегральных законов сохранения. Такая запись соответствует фундаментальным принципам, развитым С.К. Годуновым, о термодинами-

— -I- сИурй —

— (рй) + (Иь(рй й) + дгай р —

— (/>£*) + (Иу(рЕгй) +р1(Иьй =

^ (рее) + (Цу (ре еи) + ресйии =

+

д

—(ре/) + (Ну (ре ¡и) + р ¡сЦуй =

+

чески согласованных уравнениях, образующих симметрические гиперболические системы, составленные из дивергенций - законов сохранения (см., например, работу 9 и цитированную там литературу). Приводится вид уравнений в локальной криволинейной системе координат, который непосредственно используется для построения разностных уравнений.

Раздел 1.4 посвящен описанию основных элементов вычислительной методики, представлению геометрии и топологии расчетных областей, общему описанию дискретизации уравнений. Методика НЗТ предназначена для расчета течений в областях сложной формы, поэтому первым шагом является декомпозиция области. Эта операция включает 3 этапа: геометрическое разбиение исходной области на подобласти (введение дополнительных границ), движение границ, построение сетки в каждой подобласти. Разбиение исходной области определяется в основном необходимостью ее представления набором топологических четырехугольников. Несколько подобластей могут объединяться в структуру, называемую ярусом, если при этом для объединения сохраняется топология четырехугольника, а сами подобласти составляют в ярусе прямоугольную решетку. Каждая из подобластей является либо физической областью с заданными материальными параметрами, либо ее частью. В каждом ярусе строится четырехугольная криволинейная сетка, схематически показанная на рис. 5. Фрагмент реальной сетки, адаптирующейся к контактным границам сферической мишени, приведен на рис. 12.

Гладкость сетки через границы ярусов не предполагается, более того, сетки на границах ярусов могут быть не состыкованы. Ярус является основной структурой: на каждом шаге по времени исходные уравнения решаются последовательно (а на многопроцессорной системе - параллельно) во всех ярусах с краевыми условиями в каждом из них. Внутренние и внешние границы ярусов могут представлять выделенные разрывы. Именно границы областей служат опорными для построения координатных линий. Сетка в каждом ярусе строится на каждом шаге по времени либо интерполяцией, либо минимизацией некоторого вариационного функционала. Стороны ячеек называются ребрами и аппроксимируются дугами окружностей или отрезками прямых.

9 Годунов С.К., Пешков И.М. К симметризации нелинейной системы уравнений газовой динамики// Сиб. матсм. жури., 2008, т. 4Э, № 5, с. 1010-1053.

Рис. 5. Схематическое изображение сетки в ярусе

Сетка задается декартовыми координатами своих узлов и метрическими параметрами 0 ребер. Объектами сетки являются ячейки, ребра, вершины и центры ячеек, середины ребер. Центр ячейки определяется как точка, в которой дуги окружностей, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаясь, делятся пополам. Формулы расчета площадей ячеек, длин ребер для плоского случая, а также объемов ячеек, площадей поверхностей, заметаемых ребрами при их вращении относительно оси симметрии для осе-симметрического случая приведены в (23]. В определение сетки включаются также середины граничных ребер и четыре вершины области Г2 (см. рис. 5); на этой сетке определены сеточные функции. Центры ячеек называются внутренними узлами и соответствующая каждому внутреннему узлу (к, т) ячейка сетки обозначается как Бкт-

Сетка является подвижной и ее объекты на момент времени f называются I -слоем. Система разностных уравнений связывает величины на двух слоя: I - нижнем и Ь-\-т — верхнем. Шаг по времени т переменный и вычисляется в процессе расчета. Сначала находится положение всех границ на момент времени Ь + т, а затем строится и сама сетка. На каждом слое вычисляются следующие сеточные функции: (и, у) - декартовы компоненты скорости, р -плотность, Е - удельная внутренняя энергия, Т - температура. Для трех-температурной модели функции Е и Т являются вектор-функциями. Эти величины (и, V, р, Е) - "малые" - считаются постоянными по ячейке и, как и температура Т, относятся к центрам ячеек.

Формулы перехода на верхний слой строятся для отдельной ячейки сетки на интервале времени от Ь до £ + т с учетом движения этой сетки. На рис. 6 показана ячейка сетки как шестигранник в трехмерном пространстве х. у, Ь: его нижним и верхним основаниями являются, соответственно, ячейки (к. т) на плоскостях £ и £ + т, а боковыми гранями - поверхности, образуемые при перемещении криволинейных ребер ячейки за время т.

Рис. 6. Ячейка сетки как шестигранник в пространствс-врсмени х,у,1,

Для расчета величин на момент Ь + т, кроме известных величин на нижней грани, необходимо знать газодинамические и тепловые потоки через боковые грани (эти потоки предполагаются постоянными в течение шага т). Потоки определяются по величинам, которые для краткости называются "большими величинами", в отличие от "малых величии", отвечающих нижнему и верхнему основаниям шестигранника. К большим величинам относятся нормальная и касательная к боковой грани компоненты вектора скорости II, плотность вещества Л, его давление Р и внутренняя энергия Е, тепловой поток в теплопроводном случае. Значения первых четырех величии находятся из решения задачи о распаде разрыва [23]. Алгоритм расчета тепловых потоков приводится в главе 3.

Все величины на верхнем слое помечаются двумя чертами, а величины на нижнем слое не имеют черты. Суммарное давление на ребре и суммарная энергия складываются из ионной, электронной, фотонной компонент соответственно. Так же получается полный тепловой поток.

Векторная форма записи дискретной системы уравнений имеет вид (для простоты записи ограничимся случаем "плоского" течения):

т

Здесь J и J - площади нижней и верхней граней шестигранника, а векторы / и А^ имеют в одно- и трехтемпературном случаях соответственно вид:

/ = {р,ри,рь,е), А/ = [Л^Л^Л"",^],

/ = (р, рщ рь, е, рее, ре;), А* = {А", А»и, АЛе, Ар£% А Компонентами вектора

л/ являются потоки массы, импульса и энергии через боковую поверхность шестигранника в направлении вектора внешней нормали в единицу времени. Вложение энергии может выполняться покомпонентно и включается в выражения для Ае, Ар£е, Ар£/ . Полное вложение энергии в ячейке получается сложением отдельных компонент: = (¿1 + Сде +

Детальная запись разностных уравнений в криволинейной системе координат является достаточно громоздкой и полностью приведена в [23].

Тепловые потоки через боковые грани пространственно-временных ячеек определяются по температуре Т (отнесенной к верхнему временному слою) -она вычисляется с помощью явно-итерационной схемы ЛИ-М, см. главу 2 диссертации. Аппроксимация потока тепла Ду через грань, определяемую ребром у, имеет вид

12 /=1

где 5 = 0, если ребро внутреннее, или 5 - значение, определяемое граничным условием, если ребро граничное, Д - разностные коэффициенты, отвечающие 12- точечному шаблону узлов (см. рис. 7). Шаблон регулярный, он определяет локальную криволинейную систему координат (£,77), в которой записываются формулы расчета коэффициентов {А}. Сначала строятся по тройкам узлов (5,6,7) и (6,7,8) дуги окружностей, как это делается при восполнении сеточных линий, по ним определяется средняя дуга, которая является опорной для построения системы координат. В примере на рис. 7 эта

Рис. 7. Ребро аЬ, 12-точечный шаблон узлов и локальная система координат

дуга окружности определяет семейство £-линий, а ортогональное построенной дуге направление определяет семейство т?-лшшй.

Алгоритм расчета коэффициентов {А} основан на аппроксимации поля температуры в окрестности ребра многочленом (линейным, квадратичным или квадратично-кубическим), см. главу 3 диссертации.

В трехтемпературном случае (Дг, Де, представляют тепловые потоки через грани ячеек для трех компонент среды и эти потоки определяются аналогично однотемпературному случаю. Для расщепления схемы (1) на газодинамический и теплопроводный этапы она переписывается в виде

¿1^1 = _Ая _ ) + П{Т) } + д (2)

г

где Ад = (Ар,Ари,Ар1',А3%А3',А9') - газодинамические потоки, А(Т) - тепловые потоки, В(Т) - обменные члены, <5 - источник. Подразумевается, что последние три выражения тоже векторы, имеющие ненулевые компоненты, отвечающие уравнениям для энергий ионов, электронов и фотонов. Разделим исходную систему (2) на две подсистемы

3ЛлИ = _А9 + (2 (3)

^—^ = -Д(Г) + Я(Г) 7 . (4)

Здесь /9 = (Р, рй, Ру, Ре?, р еде, р е^) - результат решения системы (3), не содержащей членов, описывающих тепловые потоки и релаксационные процессы. Подсистема (4), наоборот, содержит опущенные члены. Этот прием -разностный аналог расщепления по физическим процессам: в сумме уравнения (3)-(4) дают исходное уравнение (2). Источник <2 обычно распределяется между процессами.

Уравнения подсистемы (4) можно записать для ко = г, е, / так:

;ЗР = - дето+ад,те,7))}. (5)

Так как удельная энергия связана с Тк0 уравнением состояния е^0 = Е{р,Тка), то (5) можно рассматривать как нелинейную неявную разностную схему относительно векторной сеточной функции Т = (Тг-,Те,Т/). Заметим, что эти три уравнения связаны между собой, т.к. релаксационные слагаемые содержат все компоненты температуры Т или их попарные комбинации.

В однотемпературном случае (5) представляет собой одно уравнение. Без учета источника, и вводя вместо е^0 обозначение Е, оно переписывается в виде

}р (Я - Е9)/т = -Д(Т). (6)

Именно для использования такого уравнения в главе 2 обосновывается явно-итерационная процедура ЛИ-М, в процессе которой находится Т и делается пересчет (6), обеспечивающий выполнение закона сохранения. В данном случае схема ЛИ-М записывается в виде:

(,к) 1 Г (к-1) т (к-1) )

Е=—-<Е9 + так Е -—Д[Т)\, к = 1,...,гр, (7)

1 + так[ I

(к) (к) (к)

где Е, Т= Е{Е) - итерационные приближения, ^ - функция, определяе-

(к~ 1)

мая уравнением состояния Е — Е(р,Т); Д( Т )- поток тепла через границу

(0)

ячейки, начальное приближение Т ~ температура с нижнего слоя. Число итераций (шагов) гр зависит от производной дЕ/дТ, коэффициента теплопроводности и определяется "теплопроводным числом Куранта" (ф х \/т/№, где Н - сеточный параметр); по гр определяется набор чебышевских параметров {а^}. Среди них по построению есть нулевой; при выборе щр — 0 легко

видеть, что последняя итерация эквивалентна шагу (6). Это означает, что схема ЛИ-М представима в виде процедуры "предиктор-корректор" - предиктор вычисляет Т, а корректором является (6).

В (7) может быть использована линеаризация зависимости энергии от температуры, и тогда процедура (7) является линейной, так как коэффициенты, зависящие от решения, рассчитываются на нижнем слое и не изменяются во время итераций. Подобным образом схема ЛИ-М применяется к системе

трехтемпературных уравнений. В этом случае на каждом шаге итераций воз-

(.к) (к) (к)

пикает линейная система относительно трех неизвестных Т%, Те, Т j (в силу линейности обменных членов в (5)).

Если в качестве температуры Т для расчета теплового потока взять температуру Т с нижнего слоя, то схема (6) становится явной и требует для устойчивости жесткого ограничения на шаг по времени.

Следует отметить, что предложенная схема, основанная на расщеплении по процессам, обеспечивает выполнение закона сохранения полной энергии.

После расчета концентраций в центрах ячеек на верхнем слое вычисляется энерговыделение от термоядерных реакций, что позволяет определить энерговложение от всех внешних и внутренних источников. Включение релаксационных членов в итерации позволяет одновременно учесть релаксационные обмены энергией и теплопроводность, что приводит к релаксации температур во всей физической области влияния этих взаимосвязанных процессов.

В разделе 1.5 обсуждается проблема расчета сеток в нестационарных задачах. В частности, изучается возможность построения сетки, необходимой в качестве начальной сетки, или сетки для переинтерполяции, когда решено прервать нестационарный расчет и продолжить его с новой сеткой. Исследовано предложение С.К. Годунова строить сетки на основе квазиизометрических отображений 10. Математические основы и вычислительные алгоритмы построения квазиизометрических сеток являются достаточно трудными. Приведено описание метода построения квазиизометрических сеток, оценена его

10 Годунов С.К., Гордиенко В.М., Чумаков Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны// Siberian Advances in Mathematics, 1995, т. 5, № 2, с. 1-20.

работоспособность [10]. Следует отметить, что в качестве основной в вычислительной методике НЗТ принята технология расчета сеток, восходящая к первым работам С.К. Годунова и Г.П. Прокопова, и развитая Г.П. Прокоповым в публикациях 1988, 1998, 2001, 2003, 2006 гг., см. работу11 и цитированную там литературу.

В главе 2 рассмотрены принципы построения схем интегрирования по времени параболических уравнений и представлен основной вклад автора диссертации в развитие численных методов. Изложен подход, основанный па использовании явных итераций с чебышевскими параметрами и послуживший отправным пунктом для создания новых схем, названных схемами локальных итераций ЛИ-М, ЛИ-2. В главе систематизируются сведения о разработанных автором схемах. Основные результаты опубликованы в [2], [3], [7], [16], [17].

В разделе 2.1 приведены принципы, принятые для построения явно-итерационных схем: нужно обеспечить аппроксимацию уравнений, сохранение баланса тепла для каждой ячейки сетки, правильно описывать эволюцию решения. Кроме того, число итераций должно определяться из условия устойчивости. Основу конструкции схем ЛИ составляют явные итерации с параметрами, являющимися корнями многочленов Чебышева 1 рода. Главная идея таких конструкций принципиально отличается от стандартного чебы-шевского ускорения итераций: выбор числа итераций и итерационных параметров диктуется условиями аппроксимации и устойчивости, а не оптимизацией сходимости итераций к решению неявной схемы. В нестационарных задачах часто применяют схемы расщепления по пространственным переменным, оптимизирующие порядок числа операций для узкого класса задач. Но схемы расщепления хуже поддаются распараллеливанию, и во многих ситуациях (области неправильной формы, сложные краевые условия, неструктурированные, нерегулярные или косые сетки, требование сохранения баланса тепла по ячейкам сетки и т.п.) вызывают трудности при реализации. Такие схемы могут приводить к значительной потере точности 12.

11 Прокопов Г.П. Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006, препринт Л"» 14, 32 с.

12 Белякова Г.В., Грынъ В.И., Чарахчьян A.A. Применение составных разностных схем для расчета нестационарных течений с узкими тепловыми слоями// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, № 3, с. 481 - 489.

В разделе 2.2 дана постановка задачи. Конструкция схем ЛИ объясняется на примере первой начально-краевой задачи для линейного дифференциального параболического уравнения:

— = ~Lu + f(x,t), х € G С Rd, t € (О, Г).

(8)

Здесь L - эллиптический самосопряженный положительно-определенный оператор с коэффициентами, зависящими от х и t.

Для простоты считается, что искомая функция равна нулю на dG, G -с?—мерный параллелепипед, d > 1 и в G х [О, Т] построена пространственно-временная сетка Q.h,T = Од х Q,T с шагами т, h. Здесь h - шаг сетки, характеризующий средний размер (диаметр) ячеек; сама сетка может быть неравномерной и даже неструктурированной. Вводятся обозначения: Int Г2д - внутренность Пд, <9Г2д - теоретико-множественная граница Г2д.

Обычным образом определяется пространство сеточных функций со скалярным произведением и Ь2(Од)-нормой, а также разностный оператор аппроксимирующий с точностью 0(/i2) исходный оператор L. Конкретный вид оператора £д не важен, поэтому он представляется в общей форме. Для этого с каждым внутренним узлом i сетки связывается шаблон узлов дискретизации Si- Тогда Lh : w L^w и в узле г

где 1\ - разностные коэффициенты, из - сеточная функция. Предполагается, что оператор Ьд - самосопряженный, его собственные значения неотрицательны и лежат на отрезке [0, Аоо] вещественной оси, их набор обозначается как <5ф(£д). В качестве А^ берется оценка сверху максимального собственного значения \тах, получаемая по теореме Гершгорина о кругах.

Для уравнения (8) записывается двухслойная схема 13, частными случаями которой являются явная, симметричная и чисто неявная схемы. Для устойчивости явной схемы должно выполняться обременительное ограничение т < 2/\тах . В неявной схеме для нахождения решения ип+1 на верхнем

13 Самарский А. А. Теория разностных схем. - М/. Наука, 1977, 656 с.

keSi

слое часто используется, например, чебышевский метод с итерационными параметрами {шj,э — 1, ...,р}:

уЗ = у1^+шЛ(Е + тЬн)у1-1-(ип + тР)}, ¿ = у0 = ип, и'1+1 =

Хорошо известно математическое решение задачи о выборе оптимальных параметров в этом методе с использованием корней многочленов Чебышева, Тр(х) = соз(рагссоз(,г)), — 1 < 2 < 1, и алгоритм упорядочивания этих параметров, приводящий к устойчивому итерационному процессу, см. 14 и 15. Число итераций р при решении неявной схемы обычно назначается из условия уменьшения нормы начальной невязки в заданное число раз.

Для нестационарных задач число итераций должно быть подчинено требованию устойчивости. Это высказывание иллюстрируется па примере уравнения

ди д2и , „,

Ж = (10)

Пусть, например, при реализации простейшей трехточечной по х разностной схемы для уравнения (10) сделано р итераций и результат принят в качестве решения ип+1 на новом временном слое. Тогда справедливо представление

«Г1 = 1о< + Е*т№-ш+ «?+„,)■

ш=1

Эту формулу можно трактовать как явную схему на расширенном шаблоне

узлов г — р,____, г — 1, г, г + 1, ...,г + р. Граничные узлы такого шаблона

удалены от центрального узла на расстояние Н = р/г, которое и определяет область влияния на решение и"+1 данных со слоя п. Тогда в предположении т//г2 = сопвЬ , а г, /г —> 0 , необходимое ограничение на число итераций р дается теоремой И.М. Гельфанда - О.В. Локуциевского 16, (см. также 17) и

14 Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - M.: Наука, 1978, 592 с.

15 Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом ыетоде//'Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11, № 2, с. 42o~i3S.

10 Гелъфанд И.М., Локуциевский О.В. О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. В ки.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. - М.: Фнзматгнз, 1962, с. 275-282.

17 Бабенко К.И. Основы численного анализа. - Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2002. 848 с.

это ограничение имеет вид

г < \РЧ\ (И)

В частности, это означает, что в итерационном процессе вида (9) при реализации разностной схемы для уравнения (10) нужно проделать не менее popt итераций,где

р<#=\у/2? 1, г = т//г2. (12)

Здесь использовано обозначение \х\ для наименьшего целого, большего или равного х: fx] = min{re € Z | п > х]. Заметим, что ограничение (11) совпадает при р = 1с условием устойчивости явной схемы.

Для эволюционных задач можно дополнительно ввести промежуточную дифференциально-разностную схему, сводя задачу (8) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = -Lhu+m, (is)

где и = (u\,u2,...,ui), / = (fu /2,...,//) - вектор-функции непрерывного аргумента t, щ(£) = u(x,t), х £ Int ilh- Система (13) дополняется начальными условиями ^¿(0) = u(x, 0), х £ Int tth-

Для интегрирования системы (13) известный способ получения устойчивых явных методов заключается в построении методов Рунге—Кутты с использованием многочленов Чебышева. В разделе 2.6 диссертации приведен пример метода такого типа, в котором минимум (12) p^t достигается, т.е. метод оптимален. Но он приводит к резкой потере точности вследствие ухудшения аппроксимации по пространству. В этом принципиальное отличие явно-итерационных схем от явной схемы, для которой условие устойчивости естественным образом обеспечивает точность численного решения. Поэтому для исследования качества явно-итерационных схем нужно использовать приемы, приведенные в разделе 2.6 диссертации.

В разделе 2.3 приводится алгоритм схемы ЛИ 18. Операторная форма

18 Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. - М.-. ИГШ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 99, 32 с.

алгоритма имеет вид:

Уп+1 = Бу" + т£п, 0 < п < ЛГ, у° = и°,

<2'г = (Е- Zp_1)i?-1/',+1 + V/"

Здесь п - номер слоя но времени,

в = (Е + тЬ^В-1 ~ оператор перехода со слоя п на слой п -+- 1 (он может зависеть от п),

771—2 ^

в = Е + тЬн, гр-1 = Ц(Е~——в), рр = -тькгр-1.

1 ~г ТОугП

гп—р

Итерационные параметры {ат,тп = 1, ...,£>}, выражающиеся через нули многочлена Чебышева, упорядочены для устойчивости, и так, что а^ = 0. В практических задачах, когда уравнение теплопроводности входнт в систему других уравнений, параметры берутся в обратном порядке и последняя итерация делается в рамках всей системы, как это реализовано в НЗТ. По построению есть многочлен Чебышева 1 рода, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [До, Ах>]> гДе Ао = А(х^2(7г/(4р)) £ [—1/т,0], с условием нормировки Рр(—1/т) = 1. На отрезке [0, Аю] выполнено: |^Р(А)| < 1 и Рр(0) = 0. Многочлен Ер легко выражается через многочлен Чебышева степени р на стандартном отрезке [—1,1].

Оценку в сеточной ¿2 -норме уклонения приближенного решения у11 = у(х, 1п), полученного с помощью схемы ЛИ (14), от решения ип дифференци-ально-разностпой задачи (13) дает следующее утверждение.

Теорема18. Пусть выполнено ограничение на временной шаг

1 „ 7Г

Аоо 4 р

Тогда при решении задачи (13) с помощью схемы ЛИ (14) для погрешности ип — уп приближенного решения при пт <Т справедлива оценка

||и"-1;п|| <Спт\

где постоянная С не зависит от р.

На основе схемы ЛИ в разделах 2.4, 2.5 строятся две новые схемы ЛИ-М и ЛИ-2. Проводится их теоретическое обоснование и исследование. Эти схемы записывается с помощью операторов Ер, следующим образом. Схема ЛИ-М:

уп+1 = 8+уп + тдп; о < П < Аг, ь° = и°,

Б+ = {Е- Е2)В~\ Яп = (Е- +

Схема ЛИ-2:

г,»+1 = (Е -тЬн!3+)уп + тдп+\ 0 < п < ЛГ, и0 = и0,

9п+1 = ^п+1/2 _ о.5тЬлд"+1/2,

дп+1/2 = _ +

В схеме ЛИ-М входные данные определяются точно также, как в схеме ЛИ, а в схеме ЛИ-2 величина р и операторы 5+, Ер, 1, 5 вычисляются как в схеме ЛИ-М, но с заменой т на 0.5т. Схема ЛИ-2 основана на конструкции предиктор-корректор, в котором предиктором является схема ЛИ-М. Для схем ЛИ-М и ЛИ-2 доказана сходимость в сеточной Ьг -норме приближенных решений со скоростью 0(т + к2) и 0(т2 4- к2) соответственно.

В разделе 2.6 приведен анализ схем ЛИ для объяснения их высокой фактической точности. Анализ основан на изучении спектров операторов послойного перехода и функции источника схем для модельной задачи.

В разделе 2.7 описываются результаты расчетов, связанных с некоторыми точными решениями одномерного или двумерного уравнения теплопроводности. Результаты одного из расчетов - нелинейного уравнения с коэффициентом теплопроводности к(и) = и4 и решением в виде бегущей температурной волны показаны на рис. 8. Расчеты проводились на сетках с числом шагов 32,64,128 и шагом по времени т = 0.5/г (за это время волна проходит половину ячейки сетки). На графике в логарифмическом масштабе приведена сеточная Ьг-норма погрешности приближенного решения, средняя на отрезке времени расчета (0, 11/16). Как показывается в разделе 2.6, более

высокая фактическая точность схем ЛИ по сравнению с чисто неявной схемой объясняется правильным описанием эволюции основных мод решения.

Рис. 8. Зависимость погрешности от числа шагов сетки: 2 - неявная схема, 3 - ЛИ, 4 - ЛИ-М, 5 - ЛИ-2

Глава 3 посвящена описанию дискретизации по пространству нестационарного уравнения теплопроводности. Дискретизация строится на неортогональных криволинейных сетках с ячейками четырехугольной формы на основе интегрального закона сохранения тепла, записанного для каждой ячейки сетки. Основные результаты опубликованы в [1], [3], [18) - [20].

На неортогональных сетках традиционные схемы оказываются недостаточно точными, а их сходимость может отсутствовать 1Э. В такой ситуации строят более сложные схемы; общим для большинства из них является наличие дополнительных неизвестных. Например, в схеме 20 неизвестными являются температура и компоненты вектора теплового потока в центре и на сторонах ячеек. В аппроксимационно-инвариантной схеме 21 (В.Е. Трощиев,

19 Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности иа неортогональных сетках// Диффсренц.уравнепия, 1985, т. XXI, № 7, с. 1273-1276.

20 Гаджиев А.Д., Писарев В.П., Шестаков Л.А. Метод расчета двумерных задач теплопроводности на неортогональных сотках// Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 1982, т. 22, № 2, г. 339-347.

21 Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности// Сб. Численные методы механики сплошной срсды, Новосибирск, 1081, т. 15, .V1 4. с. 131-157.

2

3

4

5

64

123

P.M. Шагалиев) температура определена в центре и вершинах ячеек, см. также работу 22.

Кроме упомянутых работ, методы пространственной аппроксимации для уравнения теплопроводности на неортогональных сетках разрабатывались в работах российских ученых С.К. Годунова, A.B. Забродина, Г.П. Прокопова, A.A. Самарского, В.М. Головизнина, А.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского, A.A. Чарахчьяна и др.

Предложенные в диссертации способы пространственной дискретизации используют значения температуры только в центрах ячеек, где заданы основные газодинамические функции, и являются универсальными по отношению к геометрии сетки; конкретная реализация осуществлена для случал, когда границами ячейки служат отрезки прямых либо дуги окружностей. Основное внимание уделено построению схем и их практической проверке.

В разделе 3.1 приведены принципы дискретизации. В методике НЗТ трудности дискретизации теплопроводных членов связаны с тем, что сетки являются подвижными, они подстраиваются под характер газодинамических течений. Поэтому, во-первых, сетки могут состоять из существенно различных ячеек, и, во-вторых, стороны ячеек могут быть криволинейными. Простейший способ - восполнение ребер сетки отрезками прямых - далеко не всегда дает удовлетворительный результат. Следует отметить, что в задачах моделирования сверхбыстрых процессов крайне важно по возможности точно передавать законы сохранения массы, импульса и энергии для каждой из ячеек сетки и обеспечить высокую фактическую точность этих значений. Поэтому в НЗТ реализован и показал надежность алгоритм гладкого восполнения сеточных линий, который и достаточно прост, и является естественным для трех частных случаев: одномерного плоского течения, одномерного течения с цилиндрической симметрией и сферически симметричного течения.

При выбранном способе восполнения сеточных линий схема НЗТ обладает важным свойством сохранять симметрию решения, т.е. какую бы группу сдвигов или вращений ни выдерживало решение исходной краевой задачи, разностное решение будет обладать той же симметрией.

22 Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Проблема совмещения конечпо-разпостцых и конечно-элементных схем в задачах газовой динамики с теплопроводностью// Матсм. моделирование, 2000, т. 12, S- 2, с. 3-11.

Более того, схема НЗТ обладает свойством сильного сохранения симметрии 23. Последнее свойство означает, что, например, в случае угловой симметрии и полярной сетки сеточное решение во всех узлах, лежащих па одной окружности, постоянно, и эта постоянная не зависит от числа узлов по угловой переменной. Свойство сохранения симметрии важно для задач моделирования физических неустойчивостей, например, неустойчивости Рэлея-Тейло-ра, см. главу 4.

В разделе 3.2 приведена постановка задачи, в разделе 3.3 - общая схема дискретизации, в разделах 3.4 и 3.5 приведены соответственно интерполяционная и аппроксимациоппая схемы и результаты их исследования для линейного и нелинейного уравнений теплопроводности. Эти схемы основаны на следующих положениях: температура как сеточная функция считается заданной в центрах ячеек, поток тепла на каждой стороне ячейки находится интерполяцией значений температуры (или её степени) на шаблоне узлов, связанным с рассматриваемой стороной четырехугольной ячейки. Рассмотрены два способа интерполяции: лагранжева, когда аппроксимирующий многочлен строится из условия совпадения в узлах шаблона с искомой функцией, и среднеквадратичная интерполяция, основанная на аппроксимации температурного поля в окрестности каждой из сторон ячеек сетки многочленом, построенным методом наименьших квадратов. В результате получаются две схемы -И-схема (интерполяционная) и А-схема (аппроксимациоппая). В И-схеме интерполяционный многочлен строится по значениям функции на 12-точечном шаблоне, своем для каждой из сторон (см. рис. 7). Результирующий шаблон дискретизации всего уравнения является 21-точечным.

В А-схеме результирующий шаблон дискретизации зависит от локальной топологии сетки и формально является 21-точечным, но фактически разностные коэффициенты, удаленные от рассматриваемой ячейки, могут быть нулевыми, т.е. А-схема является адаптивной и в отличие от И-схемы на квазиравномерных косоугольных сетках может переходить в традиционные 5-, 7- или 9-точечные схемы.

Аппроксимация потока тепла записывается в локальной криволинейной

23 Шведов A.C. Разностная схема для уравнений газовой динамики, сохраняющая групповые свойства решений// Матсм. заметки. 1990, т. 4, вып. 4, с. 140-151.

системе координат, кратко описанной в разделе 3.6. Эта система строится с учетом расположения узлов шаблона ребра, что вместе с восполнением ребер дугами окружностей обеспечивает для А-схемы свойство сохранения симметрии решений. При наличии у сетки той или иной симметрии криволинейная система координат непрерывно переходит в прямоугольную декартову или полярную систему координат. С формальной точки зрения оба предлагаемых способа являются специфическими вариантами интегро-интерполяционного метода.

Дискретизация проводится для каждого внутреннего узла (к,т) (т.е. центра ячейки) сетки. Рассматривается уравнение (8) с оператором

где к - коэффициент теплопроводности, записанное относительно температуры Т(Ь,х,у) в интегральной форме

Здесь Бкт ~ ячейка сетки, ограниченная контуром а>*т, который состоит из четырех криволинейных или прямолинейных ребер. Для приближенного вычисления двойных интегралов записывается простейшая квадратурная формула. Контурный интеграл разбивается на сумму четырех интегралов по числу ребер ячейки и интеграл вдоль каждого ребра аЬ записывается приближенно

в виде линейной комбинации значений температуры 7} = Т(х1,у{) на связанном с ребром некотором шаблоне узлов Шаь — {(х1,у1),1 = 1 , ¿} сетки. Максимальный шаблон состоит из 12 узлов, см. рис. 7. Эта процедура является основной при составлении разностных уравнений. Важными элементами этой процедуры являются:

1. Построение локальной криволинейной системы координат.

2. Выбор базисных функций для построения многочлена.

Ь и = —(Иу(к дгай и)

(15)

3. Назначение весов узлам шаблона (в случае, когда ставится задача среднеквадратичного приближения).

4. Формирование матрицы, определяющей коэффициенты многочлена через неизвестные значения сеточной функции в узлах шаблона.

5. Расчет контурных интегралов от производных базисных функций.

6. Расчет среднего значения коэффициента теплопроводности на ребре.

Для каждой ячейки (к, ттг) после суммирования четырех контурных интегралов получается непрерывное по времени £ и дискретное по пространству уравнение

на шаблоне узлов 1Щ,т, полученном объединением шаблонов четырех ребер ячейки (к, т),1- номер узла шаблона Д - разностные коэффициенты, а сумма берется по всем узлам шаблона.

В разделе 3.7 приведены выводы из результатов практической проверки схем на задачах-тестах для нелинейного уравнения теплопроводности с решениями типа температурных воли. Приведенные результаты показывают работоспособность, условия применимости и фактическую точность построенных схем.

Глава 4 посвящена численному исследованию динамики сферических мишеней тяжелоионного термоядерного синтеза. Основные результаты опубликованы в [4]- [6], [21].

В разделе 4.1 приведены основные характеристики сферической мишени и проблемы, связанные с ее работоспособностью. Известно, что благоприятным фактором для создания условий термоядерного горения является сферическое сжатие вещества. Однако, для систем ИТИС характерно несферическое облучение мишеней. Степень несферичности зависит от многих причин: количества и формы пучков ионов, распределения интенсивности энергии по сечению пучков, их пространственного расположения и т.д. Это существенно усложняет задачу симметризации сферического сжатия. Поэтому необходимо учитывать влияние на динамику мишени малых возмущений, которые неизбежно возникают по указанным причинам и могут возрастать до величин, существенно нарушающих сферичность сжатия. Задача расчета динами-

ки мишени с учетом возмущений в полной постановке является трехмерной. В данном исследовании рассматривается двумерный осесимметричный случай. В качестве инструмента для численного исследования использовалось однотемпературное приближение. В разделе 4.2 приведена краткая формулировка задачи. Для изучения влияния асимметрии облучения на процесс сжатия мишени и оценки конструктивных способов симметризации ставятся две модельные задачи 1 и 2. Подробно они описаны разделах 4.3 и 4.4 соответственно. В задаче 1 рассматривается сферически-симметричная мишень, представляющая собой 4 вложенных друг в друга сферических слоя, как и на рис. 3, но состав слоев другой. Внешние области выполнены из бериллия (Ве) и свинца (РЪ) и являются приемниками энергии тяжелых ионов, пушер выполнен из золота (Аи). Удельная мощность энерговложения в сферических координатах (г, <р, в) зависит в каждой из областей Ве и РЪ только от угла в (полярного расстояния):

(¿(9) = О0(Ц-тсо5пе), (16)

где <3о ~~ постоянная (своя для каждой области ), т - амплитуда возмущения, п - номер гармоники (волновое число). Вложение энергии постоянно во времени и его продолжительность (17 не) сравнима с характерным гидродинамическим временем мишени (20 не). Асимметрия вида (16) моделирует, например, неоднородности облучения. В основе выбора амплитуды и номера гармоники лежат эмпирические соображения, согласно которым интерес представляют, в частности, значения т = 0.05, п — 8. Можно сразу сказать, что указанная амплитуда близка к критической величине для сжатия центральных областей мишени.

В задаче 2 внешняя оболочка (РЬ) мишени профилировалась специальных образом: форма оболочки подбиралась так, чтобы пучки ионов (они направлены перпендикулярно оси вращения) останавливались на внешней границе пушера (Аи), отдавая свою энергию в областях РЬ и Ве. Такое профилирование внешнего слоя проводилось для компенсации несимметрии энерговложения и обеспечения условий кумуляции, близких к условиям сферического сжатия. Энерговклад в каждой из двух внешних областей задавался постоянным и соответствовал среднему энерговложению <5о задачи 1.

Каждая из задач 1 и 2 имеет самостоятельный интерес, но между ними есть связь методического характера, обусловленная явлениями гидродинамической неустойчивости, присущими этим задачам. Убедительное решение задачи 1 дополнительно обосновывает правильность выбора формы внешней оболочки мишени в задаче 2.

Раздел 4.5 носвящеи изложению принципов и результатов параллельной реализации программы НЗТ на многопроцессорных компьютерах, представляющих вычислительные ресурсы, адекватные сложности процессов в мишенях ИТИС. Отметим, что параллельная реализация алгоритма такой сложности и серийные многовариантные расчеты были, по-видимому, одними из первых в стране. На рис. 9 показана эффективность параллельной программы; по горизонтальной оси отложено число процессоров, по вертикальной - ускорение расчета. Вариант 1 означает использование обычного геометрического параллелизма, а в варианте 2 использован дополнительно функциональный параллелизм: расчет границ и сеток был совмещен с расчетом теплопроводности, а также были буферизованы обмены данными по границам сеточных фрагментов.

Рис. 9. Эффективность расчетов по параллельной программе

В разделе 4.6 приведены выводы. Результаты расчетов показали, что динамика мишени ИТИС - существенно нелинейный процесс, сопровождаемый развитием рэлей-тейлоровской неустойчивости на границах пушера. Развитие неустойчивости усложняет проблему симметризации сжатия. В задаче 1

малые угловые возмущения энерговложения приводят к значительным деформациям пушера. В рассматриваемой модели возмущение с относительной амплитудой в 5% приводит к различию максимальной и минимальной толщины пушера в 10 раз. Теплопроводность выполняет роль симметризу-ющего фактора, но не снимает проблему симметризации сжатия полностью. Указанное возмущение энерговложения генерирует в волновом спектре внешней границы пушера гармоники с более высокими номерами п < 24, но среди всех них наиболее заметны лишь основная 8-ая и 16-ая гармоники (их амплитуды в конце расчета составляют 19% и 8% соответственно). Это значит, что в задачах такого типа следует исходить при выборе сетки из соображений правильного описания эволюции не только заданной основной гармоники, но и более высоких гармоник, возбуждаемых ею.

В задаче 2 специальное профилирование внешней оболочки мишени обусловлено асимметричным облучением тяжелоионными пучками. В расчетах показывается, что этим профилированием обеспечивается допустимая деформация пушера с достижением параметров сжатия, близких к термоядерным. Полученные при исследовании задачи 1 практические доказательства правильности передачи методикой эволюции возмущений означают, что отсутствие критического роста возмущений в задаче 2 обусловлено удачным профилированием внешней оболочки, а не погрешностью методики (например, выглаживанием возмущений аппроксимационной вязкостью). В этом состоит методическая связь двух задач.

Средствами внутреннего контроля и сравнением с другими методиками показана работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных газодинамических и тепловых процессов в термоядерных мишенях. На рисунках 10, 11 показаны на момент окончания расчета трехмерные изображения сферической и профилированной мишеней с отдельными кадрами центральных частей. Хорошо видно, что для профилированной мишени рост возмущений на границах пушера приводит к не столь заметным деформациям пушера. К этому моменту достигнуты высокие параметры сжатия, близкие к параметрам термоядерного горения (плотность топлива более 800 г/см3, средняя температура более 1 кэВ).

Рис. 10. Деформация сферической мишени

Рис. 11. Деформация мишени с профилированной оболочкой

На рис. 12 показана сетка в центральной части сферической мишени (изображено для наглядности полное сечение, а расчет проводился, конечно, для одной четверти ввиду наличия оси и плоскости симметрии).

Рис. 12. Сетка в деформированной центральной части сферической мишени

Глава 5 посвящена изложению результатов численного моделирования цилиндрических мишеней ИТИС, облучаемых с торцов пучками тяжелых ионов. Основные результаты опубликованы в [9|, [15], [25]. Для классических цилиндрических мишеней с пушером из неделящегося вещества получены с помощью методики НЗТ многочисленные результаты, достаточно полно представленные в диссертации 24, при подготовке которой автор данной работы выступал в качестве научного консультанта.

Новый этап работы связан с перспективным направлением безопасного процесса получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и гибридной термоядерной мишени с урановым пушером 25. В таком пушере в процессе сжатия БТ-топлива выделяется энергия в результате деления

24 Гиззаткулов Н.М. Численное моделирование двумерной нестационарной газовой динамики в трехтемпературном приближении с учетом термоядерного горения// Дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук, М., ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006.

25 Кошкарев Д.Г., Шарков Б.Ю. Ядерное деление с инерционным удержанием// Письма в ЖЭТФ, 2002, т. 75, вып. 7, с. 371-373.

урана под действием нейтронов, рожденных в термоядерных реакциях в DT-топливе. Термоядерные нейтроны попадают в урановый пушер и обеспечивают дополнительное энерговыделение, усиливающее сжатие топлива. Помимо вынужденного деления урана возникает возможность получения цепной реакции. Математическая модель для описания вклада в энерговыделение ядерных реакций в урановом пушере предложена B.C. Имшенником 26.

В разделе 5.1 приведены сведения о конструкции и параметрах цилиндрической мишени с урановым пушером. Обсуждаются вопросы достижения критических условий в пушере и использования такого пушера для существенного увеличения энерговыделения в гибридной мишени.

В разделе 5.2 приведен алгоритм расчета критических параметров уранового пушера на основе прямого решения интегрального уравнения Пай-ерлса, записанного для концентрации нейтронов в цилиндрически-симметричном случае при некоторых упрощениях.

Раздел 5.3 содержит описание вклада в энерговыделение ядерных реакций вынужденного деления урана под действием термоядерных нейтронов.

В разделе 5.4 описаны расчеты гибридной мишени и приведены полученные результаты. В качестве характерной выбрана четырехоболочечная мишень, схематически изображенная на рис. 2, но с урановым пушером. Для достижения достаточно высоких сжатий по радиусу, важных для повышения вклада нейтронно-ядерных реакций, энерговложение в тампер (равномерное по его массе) задается профилированным по времени 7. Такое профилирование обеспечивает достаточно продолжительно безударный режим сжатия мишени и высокий коэффициент усиления.

Предварительные двумерные расчеты показали, что движение центральной части мишени остается не возмущенным и одномерным. Так как исследование гибридной мишени носит поисковый характер, то расчеты были одномерными. На рис. 13 приведены графики внешней (R) и внутренней (-R1) границ пушера для гибридной и традиционной мишеней. Критические условия в данном варианте не достигались. Как видно из графиков, вынужденное

26 Имшенник B.C. Аналитический метод определения параметров цепной реакции деления для цилиндрического уранового стержня и оценки энерговыделения гибридных мишеней ИТИС// Ядерная физика, 2006, т. (¡9, .V 10, с. 1690-1700.

деление урана усиливает сжатие БТ-топлива по сравнению с традиционной мишенью. В итоге коэффициент усиления возрастает с 18 до 54, выгорание урана при этом составляет около 2 %.

г-( сНадгат оГ 235 и - зЬеН алс! Аи-зЬе11. Е,

= 12 MJ

1*3

в

*

<р

0.2

103.1

103.15

Ате, 10"8 эес

103.2

Рис. 13. г — £ -диаграммы границ пушера для гибридной мишени (сплошная линия) и традиционной мишени с золотым пушером (пунктир)

Раздел 5.5 содержит выводы, полученные на основании расчетов. Подтверждается, что использование гибридных мишеней ИТИС: 1) существенно повышает энергетический выход установки; 2) способствует эффективности термоядерного горения; 3) значительно повышает сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе пушер+топливо; 4) приближает достижение критического состояния пушера, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает цепная реакция деления. Критические условия в пушере не достигались в рассматриваемых (неоптимизи-рованных) мишенях, но были близкими в исследованном режиме безударного сжатия. Вклад цепной реакции деления может быть увеличен с использованием иного делящегося вещества, а также по пути оптимизации сочетания термоядерных и нейтронно-ядерных реакций в гибридных мишенях.

Основные результаты

1. Для моделирования мишеней ИТИС развиты и реализованы принципы расчета теплопроводных процессов, протекающих в фотонно-электронпо-ион-ной среде.

2. Разработаны и исследованы новые методы дискретизации по пространству и времени нелинейной системы уравнений трехтемпературпой теплопроводности на криволинейных подвижных сетках. Методы обеспечивают выполнение законов сохранения, а также сохранение симметрии решений исходной дифференциальной задачи. В классе явно-итерационных схем с чебышевски-ми параметрами построены две новые схемы интегрирования по времени. Для линейного случая доказаны теоремы о сходимости схем, проведена практическая проверка построенных схем на многочисленных задачах-тестах. Дано объяснение причин высокой фактической точности схем с помощью исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач.

3. На основе предложенных методов развит комплекс программ НЗТ для расчета мишеней ИТИС, функционирующий на многопроцессорных системах, получено подтверждение его параллельной эффективности.

4. Исследован подход к построению блочно-структурированных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, оценена его работоспособность и эффективность.

5. Проведено численное моделирование двух сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. В расчетах изучен рост возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

6. Исследована динамика цилиндрической мишени ИТИС при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается коэффициент усиления; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс са-

моподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка + термоядерное топливо"; 3) помимо вынужденного деления урана, может быть достигнуто критическое состояние с возникновением цепной реакции.

Средствами внутреннего контроля показана работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных тепло-газодинамических процессов в термоядерных мишенях. Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена также сравнением с другими расчетными методиками.

Таким образом, сделан крупный вклад в математическое моделирование безопасного процесса получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени: развита вычислительная модель, построены алгоритмы и программы для исследования динамики мишеней на многопроцессорных компьютерах. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, обоснованными, исследования выполнены на высоком научном уровне, имеют значительную научную и практическую ценность.

Публикации по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

[1] Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы решения нестационарного двумерного уравнения теплопроводности на криволинейных сетках и их реализация на параллельной вычислительной системе// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1992, вып. 3, с. 66-71.

[2] Жуков В. Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып. 4, с. 40-46.

[3] Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, № 8, с. 1246-1256.

[4] Гусев А.В., Жуков В.Т., Забродин А.В., Лацис А.О., Луцкий А.Е., Пет-рущенков И.Л., Поздняков Л.А., Феодоритова О.Б. Решение задач газовой динамики и аэродинамики на параллельных ЭВМ// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып. 2, с. 44-54.

[5] Жуков В. Т., Забродин А.В., Феодоритова О.Б. Особенности численного моделирования мишени инерциалыгого термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газовой динамики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, т. 34, № 12, с. 1852-18G6.

[6] Жуков В. Т., Забродин А.В., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное исследование процесса сжатия несферической мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении двумерной теплопроводной газодинамики// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1994, вып. 1, с. 8—18.

[7] Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1998, v. 13, № 2, p. 133-148. [In English]

[8] Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V. T. Algorithm for construction of quasi-isometric grids in curvilinear quadrangular regions. In: XVI Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Physics. - Springer, 1998, v. 515, p. 49-54.

[9] Алексеев H.H., Баско MM., Забродина E.A., Имшенник B.C., Кошка-рев Д.Г., Чуразов М.Д., Шарков Б.Ю., Долголева Г.В., Забродин А.В., Жуков В. Т., Орлов Ю.Н., Субботин В.И. Разработка энергетической установки, сочетающей синтез и деление на основе микромишеней прямого действия и мощного тяжелоионного драйвера// Атомная энергия, 2004, т. 97, вып. 3, с. 200-209.

[10] Godunov S.K., Feodoritova О.В., Zhukov V.T. On one Class of Quasi-isometric Grids. (Chapter 2), In: O.V. Ushakova (Ed.), Advances in Grid Generation. - New York: Nova Science Publishers, 2005, p. 53-68.

[11] Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметричных гиперболических уравнений // Ж. вычпсл. матем. и матем. физ., 2006, т. 46, № 6, с.1041—1053.

[12] Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, № 3, с. 445-459.

[13] Godunov S.K. , Feodoritova О.В., Zhukov V.T. Computation of Eigenspaces of Hyperbolic Systems. In: Computational Fluid Dynamics 2006, H. Deco-ninck, E. Dick (Eds.). - Springer, 2009, p. 143-148.

Статьи в рецензируемых изданиях

[14] Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Об одном классе квазиизометрических сеток. Труды Всерос.конфер. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". - М.: ВЦ РАН, 2004, с. 5-16.

[15] Imshennik VS., Zhukov V.T. Contribution of neutron reactions in hybrid targets of inertial heavy ion fusion (HIF). American Institute of Physics Conference Proceedings: 2006, v. 849, p. 221-236, (Zababakhin scientific talks - 2005: Internat. Conf. on High Energy Density Physics). In English.

Прочие публикации автора по теме диссертации

[16] Жуков В. Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций. - М.: ИПМ iim. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 97, 22 с.

[17] Жуков В. Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, препринт № 183, 20 с.

[18] Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. - М.:ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, препринт № 80, 32 с.

[19] Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы для уравнения теплопроводности на основе локальных среднеквадратичных приближений. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1989, препринт № 97, 20 с.

[20] Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, препринт № 18, 28 с.

[21] Жуков В.Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное моделирование мишени тяжелоионного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993, препринт № 41, 32 с.

[22] Жуков В. Т., Феодоритова О .Б. Многосеточный метод решения эллиптических уравнений с использованием чебышевских итераций. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, препринт № 16, 20 с.

[23] Алалыкин Г.Б., Жуков В. Т., Забродин A.B., Забродина Е.А., Новожилова Г.Н., Плинер Л.А., Прокопов Г.П., Феодоритова О.Б. Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении в областях сложной формы с подвижными границами (НЗТ). - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, отчет НИР 8-1-04, 2004, 244 с.

[24] Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Алгоритм спектрального анализа для симметрических гиперболических систем. - М.:ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, препринт № 91, 32 с.

[25] Жуков В. Т., Имшенник B.C. Модели гибридных мишеней ИТИС с использованием безударного сжатия. Сб. научных трудов. Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, с. 95-109.

Подписано к печати 01.07.2010. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ 9-21. ИПМ им.М.В.Келдыша. 127047, Москва, Миусская пл., 4

ВВЕДЕНИЕ

1 ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ МИШЕНИ ИТИС

1.1 На пути к термоядерной энергетике.

1.2 Инерциальный тяжелоионный синтез

1.3 Основные уравнения трехтемпературной газодинамики

1.3.1 Законы сохранения.

1.3.2 Кинетика термоядерных реакций.

1.3.3 Дополнительные соотношения

1.3.4 Интегральная форма уравнений.

1.3.5 Уравнения состояния.

1.3.6 Начальные и граничные условия.

1.4 Основные элементы расчетной методики

1.4.1 Описание геометрии и топологии.

1.4.2 Общее описание дискретизации.

1.4.3 Теплопроводность

1.4.4 Учет релаксационных процессов.

1.4.5 Промежуточные итоги.

1.5 О расчете квазиизометрических сеток.

1.5.1 Введение.

1.5.2 Постановка задачи.

1.5.3 Общая схема алгоритма.

1.5.4 Расчет отображений, определяющих сетку.

1.5.5 Построение сетки в многообластном случае.

1.5.6 Замечания.

1.6 Выводы.

2 ЯВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Конструкция и основные свойства схемы ЛИ.

2.3.1 Алгоритм схемы ЛИ.V.

2.3.2 Свойства схемы ЛИ

2.4 Схема ЛИ-М

2.5 Схема ЛИ-2 второго порядка точности.

2.6 Качественный анализ схем

2.6.1 Исследование множителей роста гармоник.

2.6.2 Исследование асимптотической устойчивости схем

2.6.3 Исследование монотонности схем.

2.6.4 Схема с "оптимальным"числом итераций.

2.7 Примеры расчетов.

2.8 Выводы.

3 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ПРОСТРАНСТВУ

3.1 Принципы пространственной дискретизации.

3.2 Постановка задачи.

3.2.1 Модель

3.2.2 Сеточная структура.

3.3 Общая конструкция дискретизации

3.4 Интерполяционная схема.

3.4.1 Линейная схема (схема 1).

3.4.2 Нелинейная схема (схема 2).

3.4.3 Одномерный аналог.

3.4.4 Результаты численных экспериментов.

3.4.5 Обсуждение.

3.5 Аппроксимационная схема.

3.5.1 Конструкция схемы

3.5.2 Обсуждение схем

3.5.3 Результаты расчетов.

3.6 Выбор опорной линии.

3.7 Выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ МИШЕНИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ОДНОТЕМПЕРАТУР

НОЙ ГАЗОДИНАМИКИ

4.1 Введение.

4.2 Математическая модель.

4.3 Сферическая система при неравномерном облучении

4.4 Система с профилированной внешней оболочкой.

4.5 О реализации методики на многопроцессорной системе

4.6 Выводы.

5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБРИДНЫХ МИШЕНЕЙ ИТИС

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ

5.1 Введение.

5.2 Определение критических параметров уранового пушера

5.3 Вынужденное деление урана в пушере.

5.4 Газодинамическое моделирование гибридных мишеней

5.5 Выводы.

Объект исследования и актуальность темы.

Диссертация посвящена развитию вычислительных моделей и алгоритмов для исследования высокотемпературных динамических процессов в мишенях термоядерного синтеза.

Исследования по управляемому термоядерному синтезу (УТС) в наше время определяют не только будущее энергетики, но и прогресс во многих областях науки и техники. Интерес к проблеме УТС объясняется несколькими причинами - исчерпанием в ближайшее столетие запасов органического топлива, безопасностью термоядерной энергетики, немаловажен и военный аспект.

Актуальным направлением в УТС является инерциальный тяжелоионный термоядерный синтез (ИТИС). Проблема ИТИС всесторонне рассмотрена в книге [116]. Авторский коллектив этой книги включает известных в нашей стране и за рубежом ученых, которые работают в различных областях физики плазмы, ядерной энергетики, теплофизики, вычислительной математики, термоядерного синтеза, радиационного материаловедения, экономики атомной энергетики. Достижения на этом направлении включают теоретические и экспериментальные аспекты разработки мишеней термоядерного синтеза, создание мощных и безопасных источников нагрева плазмы, концептуальную проработку ядерной энергетической установки на основе ИТИС [129], [16].

В настоящее время работы по инерциальному термоядерному синтезу на пучках тяжелых ионов проводятся в Европейском Союзе, Японии, США и России. Следует отметить большие возможности математического моделирования в проблеме инерциального (в том числе и лазерного) термоядерного синтеза. Например, в США при разработке ядерных вооружений используются суперкомпьютеры высокой производительности для комплексного моделирования и расчетов импульсных ядерных и термоядерных процессов в динамике работы ядерного оружия.

Математическое моделирование мишеней для инерциального синтеза соответствует сегодняшним знаниям, так как хорошо известны основные уравнения физических процессов и константы взаимодействий частиц с веществом.

В Институте прикладной математики (ИПМ) им. М.В. Келдыша РАН под руководством члена-корреспондента РАН A.B. Забродина сформировалось научное направление по математическому моделированию мишеней ИТИС в тесном сотрудничестве с Институтом теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ) им. А.И. Алиханова, где в течение многих лет ведутся работы по развитию концепции инерциального термоядерного синтеза на основе использования ускорителей тяжелых ионов.

В результате этого сотрудничества в ИПМ им. М.В. Келдыша создан и работает уникальный исследовательский компьютерный код НЗТ на основе комплексной физико-математической модели, в число компонент которой входит: а) нестационарная трехтемпературная газодинамическая модель с учетом переноса тепла ионами, электронами, фотонами и обменом энергией между ними; б) специальный режим вложения энергии пучками тяжелых ионов; в) кинетика термоядерных реакций в термоядерном дейтриево-тритиевом (DT) топливе; г) модели переноса нейтронов для учета нейтронно-ядерных реакций в случае гибридной мишени с урановой оболочкой.

Таким образом, работа актуальна в связи с потребностью исследования процессов термоядерного синтеза в приложении к проблемам науки и промышленности.

Цель работы.

В работе рассматриваются несколько основных направлений исследований, подчиненных главной цели: поиску методами математического моделирования путей безопасного получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени.

Научные цели диссертации включают создание методов решения нелинейных уравнений теплопереноса на подвижных криволинейных сетках, создание многофункционального компьютерного кода для многопроцессорных систем, проведение расчетных исследований мишеней ИТИС.

Методика исследований.

Базовым элементом в компьютерном коде НЗТ является алгоритм [32] (см. разделы, написанные A.B. Забродиным, Г.П. Прокоповым и С.К. Годуновым) решения начально-краевых задач для системы нестационарных уравнений газовой динамики в областях сложной формы с подвижными границами. В основе алгоритма лежит схема С.К. Годунова [26]. Главными принципами алгоритма являются консервативность, адаптируемость к особенностям течений с использованием криволинейных подвижных сеток, сохранение групповых свойств дифференциальной задачи.

Для расчетов тепловых процессов автором диссертации построена дискретизация, согласованная с газодинамическим этапом. Для решения на каждом шаге по времени системы трех дискретных уравнений теплопроводности (или одного уравнения в случае однотемпературной модели) используется явно-итерационная схема с чебышевскими параметрами. Эта схема обеспечивает высокую фактическую точность и эффективное функционирование на многопроцессорных системах. Она построена на основе схемы, предложенной в [78], [79] В.О. Локуциевским и О.В. Локуциевским.

Для аппроксимации по пространству записывается закон сохранения тепла для каждой сеточной ячейки и потоки тепла па сторонах ячеек находятся интерполяцией значений сеточной функции. Рассмотрены два способа интерполяции: лагранжева, когда аппроксимирующий многочлен строится из условия совпадения в узлах сеточного шаблона с искомой функцией, и интерполяция методом наименьших квадратов.

В качестве средств разработки параллельной программы использовался набор функций межпроцессорных обменов для обеспечения геометрического и функционального параллелизма.

Расчетные исследования гибридной мишени с учетом нейтронно-ядерных реакций в урановом слое основаны на предложенной B.C. Имшен-ником [65] модели односкоростного уравнения Пайерлса, которое позволяет в хорошем приближении учесть эффект вынужденного деления урана под действием термоядерных нейтронов, порожденных горением DT-топлива, определить критические параметры урановой оболочки (пушера) в газодинамической модели сжатия и горения, а также развитие цепной реакции деления урана при выполнении критических условий.

Научная новизна.

Диссертационная работа обеспечила решение крупной актуальной научной проблемы создания высокоэффективных средств математического моделирования безопасного процесса получения ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени. В диссертации развита вычислительная модель, алгоритмы и программы для исследования динамики мишеней термоядерного синтеза на многопроцессорных компьютерах, созданы средства математического моделирования мишеней.

Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Разработаны, исследованы и реализованы в комплексе программ НЗТ новые методы дискретизации по пространству нелинейной системы уравнений трехтемпературной теплопроводности на подвижных криволинейных сетках. В классе явно-итерационных схем с чебышев-скими параметрами построены две новые схемы интегрирования по времени параболических уравнений. Для линейного случая доказаны теоремы о сходимости с указанием порядков точности, проведена практическая проверка построенных схем, показавшая их высокую фактическую точность. Проведено качественное объяснение этого факта на основе исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач. Новые методы обеспечивают выполнение законов сохранения и обладают свойством сохранять симметрию решений, что важно для моделирования мишеней ИТИС.

2. Исследован подход к построению блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, построены алгоритмы минимизации вариационного функционала, оценена их работоспособность.

3. На основе предложенных методов развит программный комплекс НЗТ для расчета мишеней ИТИС, функционирующий на многопроцессорных системах. Параллельный код сочетает геометрический и функциональный параллелизм; получено подтверждение его эффективности.

4. Проведены расчетные исследования двух сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки мишени для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. В расчетах изучен рост возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

5. Исследована динамика цилиндрической мишени при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается КПД; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка +термоядерное топливо"; 3) может быть достигнуто критическое состояние, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает кратковременная цепная реакция.

Практическое значение. Разработанные методы и программы используются для моделирования мишеней ИТИС на основе современных данных и с учетом новейших достижений в этой области в рамках работ по получению ядерной энергии на основе тяжелоионного ускорителя и термоядерной мишени. Важное прикладное значение имеют установленные при расчетных исследованиях следующие факты.

1. При моделировании сферических термоядерных мишеней установлено, что динамика мишени ИТИС - существенно нелинейный процесс, сопровождаемый развитием неустойчивости Рэлея-Тейлора на границах тяжелой оболочки - пушера. Это обстоятельство повышает значение симметризации сжатия, так как малые угловые возмущения энерговложения могут приводить к значительным деформациям пушера. Теплопроводность выполняет роль симметризующего фактора, но не снимает проблему симметризации сжатия полностью. Известно, что сферическое сжатие вещества является благоприятным фактором для создания условий термоядерного горения. Однако, для систем ИТИС характерно несферическое облучение мишеней - в силу специфики конструкции ускорителей ионные пучки располагаются в одной (экваториальной) плоскости. Степень несферичности облучения мишени зависит от многих причин: количества и формы пучков ионов, распределения интенсивности энергии по сечению пучков, их пространственного расположения и т.д. Это существенно усложняет задачу симметризации сферического сжатия. Поэтому необходимо учитывать влияние на динамику мишени малых возмущений, которые неизбежно возникают по указанным причинам и могут возрастать до величин, существенно нарушающих сферичность сжатия. В расчетах установлено, что малые низкочастотные возмущения энерговложения генерируют на границах пушера возмущения с большими частотами. Это значит, что в задачах такого типа следует исходить при выборе сетки из соображений правильного описания эволюции не только предполагаемого возмущения, но и более высокочастотных возмущений, возбуждаемых в процессе сжатия БТ-топлива.

2. Установлено в расчетах, что специальное профилирование внешней оболочки мишени ограничивает деформацию пушера допустимыми значениями с достижением параметров сжатия, близких к термоядерным. Полученные при вышеупомянутом исследовании неустойчивости Рэлея-Тейлора практические доказательства правильности передачи методикой эволюции возмущений означают, что отсутствие критического роста возмущений обусловлено удачным профилированием внешней оболочки, а не погрешностью методики (например, выглаживанием возмущений аппроксимацион-ной вязкостью).

3. При моделировании цилиндрической мишени с урановым пушером установлен эффект усиления кумуляции энергии. Сжатие вещества инициирует загорание БТ-топлива, а горение порождает мощный поток первичных нейтронов. Под их воздействием начинается ядерное энерговыделение в урановой оболочке. В зависимости от геометрии мишени и параметров энерговложения цепная ядерная реакция может не начаться, т.е. нейтронные процессы могут быть подкритичны, либо в урановом пушере может возникнуть самоподдерживающаяся цепная реакция. В каждом из этих двух случаев энерговыделение в уране вызывает дополнительное сжатие, разогрев и выгорание БТ-топлива. Происходит практически мгновенное взаимоусиление нейтронно-ядерных и термоядерных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов основаны на применении хорошо зарекомендовавших себя вычислительных методов и известной концепции [32] адаптивного газодинамического моделирования сверхбыстрых процессов. Точность разработанных методов проверялась на решении задач-тестов с известными решениями, а также сравнением с другими методиками и средствами внутреннего контроля (в частности, измельчением расчетных сеток). Достоверность принципиальных физических результатов контролировалась обсуждениями с учеными-физиками, решения подвергались тщательному качественному анализу. Многовариантные расчеты различных модельных конструкций мишеней ИТИС подтверждают работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных газодинамических и тепловых процессов в термоядерных мишенях.

Автор защищает следующие положения:

1. Общие принципы включения расчета теплопроводных процессов в газодинамическую модель.

2. Методы построения явно-итерационных схем численного интегрирования по времени параболических уравнений. Обоснование новых схем первого и второго порядка точности на основе многочленов Чебышева.

3. Метод пространственной аппроксимации нестационарного уравнения теплопроводности на криволинейных подвижных сетках.

4. Исследование и построение алгоритмов генерации блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений.

5. Параллельную программную реализацию комплекса НЗТ.

6. Результаты численного моделирование сферических и цилиндрических мишеней ИТИС, включая гибридную мишень, имеющую дополнительный источник нейтронного энерговыделения.

Личный вклад автора.В процессе работы автор участвовал наряду с другими исполнителями и представителями заинтересованных организаций в решении многих вопросов методического характера. Благодаря такому сотрудничеству, под руководством A.B. Забродина был создан комплекс программ НЗТ. Из вышеперечисленных положений, выносимых на защиту, пункты 1, 2 выполнены автором. Пункты 3 и 5 выполнены автором и О.Б. Феодоритовой с равным творческим вкладом. Пункт 4 выполнен автором в сотрудничестве с С.К. Годуновым и О.Б. Феодоритовой. Пункт 6 выполнен автором в сотрудничестве с B.C. Имшенником и О.Б. Феодоритовой. В диссертацию не вошли результаты моделирования цилиндрических мишеней [37], [38], полученные Н.М. Гиззаткуловым [39] при научном консультировании автора диссертации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на различных конференциях и семинарах, в том числе на: VII Всесоюзной школе-семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", 1989 г., Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" памяти К.И. Бабенко, 1998 г., 2000 г.; Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления", ВЦ РАН, 2004 г.; Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С. К. Годунова, Новосибирск, 2009 г.; XVI

Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Arcachon, 1998 г.; Международной конференции по физике высоких плотностей энергии (ФВПЭ)(Забабахинские научные чтения), Снежинск, 2005 г.; совместных конференциях ВНИИЭФ, ВНИИТФ, ИПМ; семинарах им. К.И.Бабенко в ИПМ РАН.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в рамках научных планов ИПМ им. М.В. Келдыша, поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований. Результаты использовались для развития и обоснования концепции ИТИС, которая разрабатывалась по инициативе академика В.И. Субботина в Научном Совете РАН по физико-техническому анализу энергетических систем.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы, включая 13 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов докторских диссертаций, 2 статьи в рецензируемых журналах, 8 препринтов ИПМ им. М.В. Келдыша, 9 публикаций в сборниках тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях, в научно-технических отчетах. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [1-25].

Список основных публикаций автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых оюурналах, рекомендованных ВАК.

1. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы решения нестационарного двумерного уравнения теплопроводности на криволинейных сетках и их реализация на параллельной вычислительной системе// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов,

1992, вып. 3, с. 66-71.

2. Жуков В. Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып. 4, с. 40-46.

3. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, № 8, с. 1246-1256.

4. Гусев A.B., Жуков В. Т., Забродин A.B., Лацис А. О., Луцкий А.Е., Пет-рущенков И.Л., Поздняков Л. А., Феодоритова О.Б. Решение задач газовой динамики и аэродинамики на параллельных ЭВМ // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, вып.2, с.44-54.

5. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Особенности численного моделирования мишени инерциального термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газовой динамики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, т. 34, № 12, с. 1852-1866.

6. Жуков В. Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б.Численное исследование процесса сжатия несферической мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении двумерной теплопроводной газодинамики// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1994, вып. 1, с. 8—18.

7. Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1998, v. 13, № 2, p. 133148. [In English]

8. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. Algorithm for construction of quasi-isometric grids in curvilinear quadrangular regions. In: XVI Internat. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Phys., Springer, Berlin, 1998, v. 515, p. 49-54.

9. Алексеев H.H., Баско M.M., Забродина E.A., Имшенник B.C., Кошкарев Д.Г., Чуразов М.Д., Шарков В.Ю., Долголева Г.В., Забродин А.В., Жуков В. Т., Орлов Ю.Н., Субботин В.И. Разработка энергетической установки, сочетающей синтез и деление на основе микромишеней прямого действия и мощного тяжелоионного драйвера// Атомная энергия, 2004, т. 97, вып. 3, с. 200-209.

10. Godunov S.K., Feodoritova О.В., Zhukov V.T. On one Class of Quasi-isometric Grids. (Chapter 2), In: O.V. Ushakova (Ed.), Advances in Grid Generation. - New York: Nova Science Publishers, 2005, p. 53-68.

11. Годунов C.K.j Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметричных гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, т. 46, № 6, с. 1041-1053.

12. Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.В. О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, № 3, с. 445-459.

13. Godunov S.К. , Feodoritova О.В., Zhukov V. Т. Computation of Eigenspaces of Hyperbolic Systems. In: Computational Fluid Dynamics 2006, H. Deconinck, E. Dick (Eds.). - Springer, 2009, p. 143-148.

Статьи в рецензируемых изданиях.

14. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Об одном классе квазиизометрических сеток. Труды Всерос.конфер. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". - М.: ВЦ РАН, 2004, с. 5-16.

15. Imshennik V.S., Zhukov V.T. Contribution of neutron reactions in hybrid targets of inertial heavy ion fusion (HIF). American Institute of Physics Conference Proceedings: 2006, v. 849, p. 221-236, (Zababakhin scientific talks

- 2005: Internat. Conf. on High Energy Density Physics). In English.

Некоторые другие публикации автора по теме диссертации.

16. Жуков В. Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 97, с. 22.

17. Жуков В. Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, препринт № 183, 20 с.

18. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, препринт № 80, 32 с.

19. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы для уравнения теплопроводности на основе локальных среднеквадратичных приближений.

- М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1989, препринт № 97, с. 20.

20. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, препринт № 18, 28 с.

21. Жуков В.Т., Забродин A.B., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное моделирование мишени тяжелоионного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993, препринт № 41, 32 с.

22. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Многосеточный метод решения эллиптических уравнений с использованием чебышевских итераций. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, препринт № 16, 20 с.

23. Алалыкин Г.Б., Жуков В.Т., Забродин A.B., Забродина Е.А., Новожилова Г.Н., Плинер Л.А., Прокопов Г.П., Феодоритова О.Б. Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении в областях сложной формы с подвижными границами (НЗТ). - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, отчет НИР 8-1-04, 2004, 244 с.

24. Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Алгоритм спектрального анализа для симметрических гиперболических систем. - М.:ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, препринт № 91, 32 с.

25. Жуков В.Т., Имшенник B.C. Модели гибридных мишеней ИТИС с использованием безударного сжатия// Сб. научных трудов. Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, с. 95-109.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 265 страницы, в общей сложности 50 рисунков и 13 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 133 наименования.

5.5. Выводы

Приближенный метод описания нейтронно-ядерных реакций в урановой оболочке дает возможность проводить газодинамические расчеты для гибридных мишеней ИТИС. Для гибридных мишеней особенно важным является использование режима безударного сжатия [45]. Этот режим предназначен для достижения столь высоких плотностей вещества в пуше

Ж "Цп®: 4 А „ Об" + а о * и *

Сш 0Х> йд

Е *[ 61 А 81<П&0Е%„. „ С6" +

6! о ■н.

Сг1ш <М Ф 01 (й

2*0 Сс*

Ж. ±/ <3' Аз5ТТ»е<эз» Я ' эТТ ъ

-н. ойё аЬ

ОН аЬ Р

•®с5 1

М цЬ

-и Со5*

Сс1 йЬ

Рис.5.2. На двух верхних кадрах даны г — £ диаграммы внешнего, внутреннего и критического радиусов уранового пушера. Внизу в рамке г — Ь диаграммы для гибридной мишени (сплошная линия) и мишени золотым пушером (пунктир).

А ^/Вт" <а' УВОзЯ^/Е^ ? 01 АТ „06" Аэ^шие^ „ Об"

Рис.5.3. Средняя по радиусу пушера концентрация термоядерных нейтронов (вверху) и локальные энерговыделения внутри оболочек урана и топлива (внизу) ре (а также в топливе), что вклад нейтронно-ядерных реакций сравним с вкладом термоядерных реакций в общее энерговыделение мишеней. Полное энерговложение, а также его характерные мощности (в максимуме) сохраняются теми же, что были обоснованы для энергетических мишеней ИТИС с точки зрения физики тяжелоионных драйверов.

Полученные результаты подтверждают, что использование гибридных мишеней ИТИС: 1) существенно повышает энергетический выход установки; 2) способствует эффективности термоядерного горения; 3) значительно повышает сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе пушер+топливо; 4) приближает достижение критического состояния пушера, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает цепная реакция деления.

Критические условия в пушере не были достигнуты в рассматриваемых (неоптимизированных) мишенях ИТИС, но были весьма близкими. Заметим, что вклад цепной реакции деления может быть увеличен с использованием иного делящегося вещества пушера, а также по пути оптимизации сочетания термоядерных и нейтронно-ядерных реакций в гибридных мишенях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлена математическая модель и вычислительная технология для моделирования процесса безопасного получения ядерной энергии в концепции ИТИС - на основе ускорителя тяжелых ионов и дейтриево-тритиевых мишеней различных конструкций, включая традиционные и гибридные, с урановой оболочкой. Подводя итоги, можно в качестве основных результатов указать следующие.

1. Для моделирования мишеней ИТИС развиты и реализованы принципы расчета теплопроводных процессов, протекающих в фотонно-электронно-ионной среде.

2. Разработаны и исследованы новые методы дискретизации уравнений нелинейной теплопроводности на криволинейных сетках. В классе явно-итерационных схем с чебышевскими параметрами построены две новые схемы интегрирования по времени; для линейного случая доказана их сходимость. Проведена практическая проверка схем на многочисленных задачах-тестах. Дано объяснение причин высокой фактической точности схем на основе исследования эволюции основных мод решения и разностных функций источника для модельных задач. Новые методы обеспечивают выполнение законов сохранения и обладают свойством сохранять симметрию решений, что важно для моделирования мишеней ИТИС.

3. На основе построенных методов развит комплекс программ НЗТ, функционирующий на многопроцессорных системах, получено подтверждение его высокой параллельной эффективности. Разработан параллельный алгоритм, сочетающий геометрический и функциональный параллелизм. Экспериментально показана работоспособность численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных тепло-газодинамических процессов в мишенях ИТИС.

4. Исследован подход к построению блочно-структурных сеток на основе теории квазиизометрических отображений, построены алгоритмы минимизации вариационного функционала, оценена их работоспособность и эффективность.

5. Проведено численное моделирование сферических мишеней в условиях развития гидродинамической неустойчивости. Подтверждена возможность профилирования внешней оболочки для компенсации асимметрии облучения и достижения необходимых параметров сжатия. Изучен рост рэлей-тейлоровских возмущений на границах раздела сред и получена оценка допустимых начальных возмущений.

6. Исследована динамика цилиндрической мишени ИТИС при режимах безударного сжатия, в том числе и динамика гибридной мишени, имеющей источник нейтронного энерговыделения в урановой оболочке. В расчетах установлено, что в гибридной мишени: 1) существенно повышается КПД; 2) значительно повышается сжатие топлива, порождая процесс самоподдерживающегося горения в системе "урановая оболочка -{-термоядерное топливо"; 3) может быть достигнуто критическое состояние, в котором помимо реакций вынужденного деления урана возникает цепная реакция.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена сравнением с другими расчетными методиками (ИТЭФ, ВНИИЭФ) и средствами внутреннего контроля - доказательством теорем о сходимости схем, исследованием свойств построенных методов, расчетами с измельчением сеток. Достоверность принципиальных физических результатов контролировалась обсуждениями с учеными-физиками, решения подвергались тщательному качественному анализу. Многовариантные расчеты различных модельных конструкций мишеней ИТИС подтверждают работоспособность данной численной модели и ее возможность служить инструментом исследования сложных газодинамических и тепловых процессов в термоядерных мишенях.

Таким образом, сделан крупный вклад в развитие концепции энергетической установки на основе тяжелоионного синтеза и созданы основы для математическое моделирование безопасного процесса получения ядерной энергии в рамках этой концепции: развита вычислительная модель, построены алгоритмы и программы для исследования динамики термоядерных мишеней на многопроцессорных компьютерах. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, обоснованными, исследования выполнены на высоком научном уровне, имеют научную и практическую ценность.

1. Азаренок В.Н. Об одном вариационном методе построения пространственных сеток. Сообщения по вычислительной математике. М.: Вы-числ. Центр им. A.A. Дородницына РАН, 2006, 51 с.

2. Аксёнов А.Г., Васко М.М., Забродина Е.А., Кошкарёв Д.Г., Чуразов М.Д., Шарков В.Ю. Волна термоядерного горения в мишени релятивистского драйвера// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 2008, вып. 2, с. 60-65.

3. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Сравнение нескольких вариантов построения разностных сеток посредством интерполяционных формул// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1994, вып. 1, с. 78-84.

4. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет гладких сложно-составных сеток прямой минимизацией вариационных функционалов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1997, вып. 2, с. 17-23.

5. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет квазиортогональных сеток минимизацией вариационных функционалов. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1998, препринт № 31, 32 с.

6. Артемьев А.Ю., Делов В.И., Дмитриева Л.В. Методика расчета трехмерных нестационарных задач газовой динамики в переменных Лагранжа// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1989, вып. 1. с. 30-39.

7. Ахиезер А.И., Померанчук И.Я. Некоторые вопросы теории ядра. -М. Л.: ГИТТЛ, 1950, 417 с.

8. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2002, 848 с.

9. Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 47, № 3, 2007, с. 445-459.

10. Баско М.М. GITTAM программа для численного моделирования одномерных мишеней ТИС. Система уравнений. - М.: ИТЭФ, 1987, препринт № 87, 20 с.

11. Баско М.М., Имшенник B.C., Кошкарев Д.Г., Чуразов И.Д., Шерст-нев К. Б. Управляемый тяжелоионный синтез и дейтериевые мишени// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1989, вып. 3, с. 84-97.

12. Баско М.М., Гуськов С.Ю., Недосеев C.J1., Чуразов МД. Мишени ИТС. В сб. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Под. ред. Б.Ю. Шаркова. М.: Физматлит, 2005, разд. 3.3, с. 53-56.

13. Баско М.М., Медин С.А., Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Сквозной расчет термоядерного горения и разлета плазмы в реакторе ИТС на тяжелых ионах. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010, препринт № 18, с. 36.

14. Бахрах С.М., Жарова Г.В., Спиридонов В.Ф. Консервативная схема счета осесимметричных течений (явно-неявный алгоритм)// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1982, вып. 3, с. 15-21.

15. Белякова Г. В., Грынь В. И. , Чарахчьян А. А. Применение составных разностных схем для расчета нестационарных течений с узкими тепловыми слоями// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, №3, с. 481-489.

16. Гавурин М.К. Применение полиномов наилучшего приближения к улучшению сходимости итеративных процессов// Успехи матем. наук, 1950, 5:3(37), с. 156-160.

17. Гаджиев А.Д., Писарев . В.И. Неявный конечно-разностный метод "Ромб" для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью//Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1979, т. 19, № 5, с. 1288-1303.

18. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н., Рыкованова В.В., Шестаков A.A. Методика и программа ТОМ I для решения двумерного уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1985, вып. 1.

19. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н., Шестаков Л.А. Метод расчета двумерных задач теплопроводности на неортогональных сетках// Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, № 2, с. 339-347.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.

21. Гельфанд И.М., Локуциевский О. В. О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. В кн.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962, с. 275-282.

22. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений газодинамики // Матем. сборник, 1959, т. 47(89), № 3, с. 271-306.

23. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979, 392 с.

24. Годунов С.К., Гордиенко В.М., Чумаков Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны// Siberian Advances in Mathematics, 1995, т. 5, Na 2, с. 120.

25. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Об одном классе квазиизометрических сеток. Труды Всерос.конфер. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления ВЦ РАН, 2004, с. 5-16.

26. Годунов С.К., Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Алгоритм спектрального анализа для симметрических гиперболических систем. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, препринт № 91, 32 с.

27. Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметричных гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, т.46, № 6, с.1041-1053.

28. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400 с.

29. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т.7, № 5, с. 1031-1059.

30. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 2, с. 429-440.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. -М.: Физматгиз, 1962, 340 с.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (Введение в теорию)- М.: Наука, 1973, 400 с.

33. Гиззаткулов Н.М. Модифированная численная схема комплекса НЗТ.- М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2003, препринт № 63, 19 с.

34. Гиззаткулов Н.М. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении// Математическое моделирование, 2004, т. 16, JV2 10, с. 107-119.

35. Гиззаткулов Н.М. Численное моделирование двумерной нестационарной газовой динамики в трехтемпературном приближении с учетом нейтронного и термоядерного горения// Дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005.

36. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Самарский А.А., Чуданов В.В. Метод факторизованных тепловых смещений для решения двумерных задач теплопроводности на нерегулярных расчетных сетках. М.: ИП-Матем. АН СССР, 1985, препринт № 58.

37. Гуськов С.Ю., Демченко H.H., Розанов В.Б., Степанов Р.В., Змит-ренко Н.В., Карузо А., Странгио К. Симметричное сжатие мишеней "лазерный парник" малым числом лазерных пучков// Квантовая электроника, 2003, т. 33, № 2, с. 95-104.

38. Грынь В.И., Фролова A.A., Чарахчьян A.A. Сеточный генератор барьерного типа и его применение для* расчета течений с подвижными границами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с. 902908.

39. Долголева Г. В., Методика расчета движения двухтемпературного излучающего газа (СНД спектральная неравновесная диффузия)// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1983, № 2(13), с. 29—33.

40. Долголева Г.В., Забродин A.B. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. М.: Физматлит, 2004, с.72.

41. Жуков В. Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций. М.: ИПМатем. АН СССР, 1984, препринт № 97, с.22.

42. Жуков В. Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, препринт № 183, 20 с.

43. Жуков В.Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1993, № 4, с. 40-46.

44. Жуков В. Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Схема решения нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, препринт № 18, 28 с.

45. Жуков В.Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, Я2 8, с.1246-1256.

46. Жуков В.Т., Забродин A.B., Феодоритова О.Б. Особенности численного моделирования мишени итерационного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газовой динамики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, т. 34, № 12, с. 1852-1866.

47. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. М.: ИПМатем. АН СССР, 1988, препринт № 80, 28 с.

48. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Разностные схемы для уравнения теплопроводности на основе локальных среднеквадратичных приближений. М.: ИПМатем. АН СССР, 1989, препринт № 97, 20 с.

49. Жуков В. Т., Забродин А. В., Имшенник В. С., Феодоритова О. В. Численное моделирование мишени тяжелоионного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993, препринт № 41.

50. Жуков В. Т., Феодоритова О.Б. Многосеточный метод решения эллиптических уравнений с использованием чебышевских итераций. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996, препринт № 16.

51. Жуков В.Т., Имшенник B.C. Модели гибридных мишеней ИТИС с использованием безударного сжатия. Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики. Сб. научных трудов. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, с. 95-109.

52. Змитренко Н.В.,Прончева Н.Г.,Розанов В.Б., Яхин P.A. Модель перемешивания оболочек термоядерной лазерной мишени при сферическом сжатии// Квант, электроника, 2007, 37 (8), с. 784—791.

53. Иваненко С.А. Построение невырожденных сеток.// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, т. 28, № 10, с. 1498-1506.

54. Иваненко С.А., Чарахчъян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, т. 28, № 4, с. 503-514.

55. Имшенник В. С. Аналитический метод определения параметров цепной реакции деления для цилиндрического уранового стержня и оценки энерговыделения гибридных мишеней ИТИС// Ядерная физика, 2006, т. 69, № 10, с. 1690-1700

56. Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ. Сб. научных трудов под ред. К. И. Бабенко. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, 163 с.

57. Калиткин H.H. Численные методы. М.:Наука, 1978, 512 с.

58. Калиткин H.H., Риту с И. В. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.: ИПМатем. АН СССР, 1981, препринт № 32.

59. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности на неортогональных сетках// Дифференц.уравнения, 1985, т. XXI, № 7, с. 1273-1276.

60. Кошкарев Д.Г., Чуразов М.Д., Баско М.М. и др. Мощный тяжелоионный драйвер для зажигания термоядерной ДТ мишени. М.: ИТЭФ, 2001, препринт 4-01.

61. Кошкарев Д.Г., Шарков Б.Ю. Ядерное деление с инерционным удержанием// Письма в ЖЭТФ, 2002, т.75, вып. 7, с. 371-373.

62. Кошкарев Д.Г. Тяжелоионный драйвер мегаватного уровня мощности. М.: ИТЭФ, 2006, препринт 03-06.

63. Красноборов H.A. Алгоритм программы численного решения двумерных задач газовой динамики с теплопроводностью. М.: ИТЭФ, 1986, препринт № 117, 28 с.

64. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ГИФМЛ, 1958, 678 с.

65. Лебедев В. И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений. В кн.: Вычислительные процессы и системы. Под. ред. Г. И. Марчука. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 237-291.

66. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом методе //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11, № 2, с. 425-438.

67. И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

68. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. -М.: ИПМ им.М.В. Келдыша АН СССР, 1984, препринт № 99, с.32.

69. Локуциевский В. О., Локуциевский О.В. О численном решении краевых задач для уравнений параболического типа// Докл. АН СССР, 1986, т. 291, № 3, с. 540-544.

70. Локуциевский О.В., Гавриков М.В. Начала численного анализа. М.: ТОО "Янус", 1995, 581 с.

71. Люстерник Л.А. О разностных аппроксимациях оператора Лапласа// Успехи матем. наук, 1954, т. IX, вып. 2(60), с. 3-66.

72. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, 688 с.

73. Отрощенко И.В., Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностного бигармонического уравнения//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № 4.

74. Писарев В.Н. О параметрическом семействе схем "Ромб|,для нелинейного уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1986, вып. 3.

75. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1974, препринт № 17.

76. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 1998, вып. 1, с. 37-46.

77. Прокопов Г.П. Задача о распаде разрыва в трехтемпературной газовой динамике. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004, препринт № 66, 28 с.

78. Прокопов Г.П. Аппроксимация уравнений состояния в трехтемпературной модели нестационарных течений теплопроводного газа. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2000, препринт № 32, 20 с.

79. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2001, препринт № 1, 36 с.

80. Прокопов Г.П. Вариационные методы расчета двумерных сеток прирешении нестационарных задач. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2003, препринт № 4, 32 с.

81. Прокопов Г.П. Реализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005, препринт № 116, 36 с.

82. Прокопов Г. П. Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006, препринт № 14, 32 с.

83. Самарский A.A., Тихонов А.Н. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, т. 2, № 5, с. 812-832.

84. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, 656 с.

85. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 592 с.

86. Саулъев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток //Под ред. JI. А. Люстерника. М.: Физматгиз, 1960, 324 с.

87. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.Н. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей// Числ. методы механики сплошной среды, 1981, т. 12, № 5, с. 106-124.

88. Соловьев A.B., Шашков М.Ю. Разностная схема метода «частиц Дирихле» в цилиндрических координатах, сохраняющая плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, препринт № 188.

89. Тишкин В. Ф., Никишин В.В., Попов И.В., Фаворский А.П. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова// Матем. моделирование, 1995, т. 7, № 5, с. 15-25.

90. Тишкин В.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П. Разностные схемы расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах. — М.: ИПМ АН СССР, 1978, препринт № 23.

91. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Аппроксимация потоковых схем для уравнения теплопроводности на нерегулярных криволинейных сетках. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, препринт № 93.

92. Трощиев В.Е. О классах сеток, допускающих консервативные аппроксимации двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором/ / Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т. 16, № 3, с. 793-797.

93. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Класс интерполяционно-инвариантных схем для численного решения уравнения теплопроводности// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1983, вып. 3 (14), с. 73-76.

94. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: 1984, т. 15, № 4.

95. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Проблема совмещения конечноразностных и конечно-элементных схем в задачах газовой динамики с теплопроводностью// Матем. моделирование, 2000, т. 12, № 2, с. 3-11.

96. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений //Успехи матем. наук, 1973, т. XXVIII, вып. 2(170), с. 121-182.

97. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994, 528 с.

98. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. -М.: Мир, 1999, 685 с.

99. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций. Сочинения, т. 1. СПб: 1899.

100. Чжао-Дин Ю. Некоторые разностные схемы решения первой краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений с частными производными// Дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1958.

101. Чуразов М.Д., Аксенов А.Г., Забродина Е.А Зажигание термоядерных мишеней пучком тяжелых ионов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физических процессов, 2001, вып. 1, с. 113.

102. Шведов А. С. Инвариантные разностные схемы для уравнений газовой динамики// ДАН, 1987, т. 292, № 1, с. 46-50.

103. Шведов А. С. Разностная схема для уравнений газовой динамики, сохраняющая групповые свойства решений// Матем. заметки, 1990, т. 4, вып. 4, с. 140-151.

104. Шведов А.С. Тривиальность одной разностной схемы с переменными шагами по времени для уравнения теплопроводности// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997, т. 37, № 1, с. 69—73.

105. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978, 462 с.

106. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики. Ред. Б.Ю. Шарков. М.: Физматлит,2005, 264 с.

107. Basko М.М., Imshennik V.S., Churazov M.D. Overwiew of directly driven H3F targets// Particle Accelerators, 1992, v. 37-38, p. 505-512

108. Flanders D., Shortley G. Numerical determination of fundamental modes // J. Appl. Phys., 21(1950), № 12, p. 1326-1332.

109. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. On one Class of Quasi-isometric Grids. In: O.V. Ushakova (Ed.), Advances in Grid Generation,(Chapter 2). New York: Nova Science Publishers, 2005.

110. Godunov S.K., Feodoritova O.B., Zhukov V.T. Computation of Eigenspaces of Hyperbolic Systems. In: Computational Fluid Dynamics2006, H. Deconinck, E. Dick (Eds.). Springer, 2009, p.143-148.

111. Houwen P.J. van der. Explicit Runge Kutta formulas with increased stability boundaries// Numer. Math., v. 20, № 2, 1972, p. 149-164.

112. Medin S.A., Churazov M.D., Koshkarev D.G. et al Evaluation of a power plant concept for fast ignition heavy ion fusion// Laser and Particle Beams, 2002, v. 20, p. 419-423.

113. Medin S.A., Churazov M.D., Koshkarev D.G., et al. Reactor Chamber and Balance-of-Plant Characteristics for Fast-Ignition Heavy-Ion Fusion Power Plant// Fusion Science and Technology, 2003, v. 43, № 3, p. 437-446.

114. Medin S.A., Basko M.M., Koshkarev D.G., Orlov Yu.N., Parshikov A.N., Sharkov B.Yu., Suslin V.M. Power Plant Design and Accelerator Technology for Heavy Ion Inertial Fusion Energy // Nuclear Fusion, 2005, v. 45, p. 291-297.

115. Richardson L.F. The approximate solution by finite differences of physical problems involving differential equations with an application to the stresses in a masonry dam // Roy. Soc. Philos. Trans., 210A (1910), p. 307-357.

116. Schur F. Ueber den Zusammenhang den Räume Konstanten

117. Riemannschen kriimmungsmasses mit den projectiven Raiimen // Math.Ann., 1848, № 27 (German).

118. Sharkov B. Yu. Overview of Russian heavy-ion inertial fusion energy program. In: Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. -Elsevier, 2007, v. 577, № 1-2, p. 14-20.

119. Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1998, v. 13, № 2, p. 133-148. In English.

120. Verwer J.G. A class of stabilized three-step Runge Kutta methods for the numerical integration of parabolic equations// J. Comp. Appl. Math., 1977, v. 3, p. 155-166.

121. Verwer J. G. An implementation of a class of stabilized explicit methods for the time integration of parabolic equations// ACM Trans. Math. Software, 1980, v. 6, p.188-205.

122. Verwer J.G., Sommeijer B.P., Hundsdorfer W. RKC time-stepping for advection-diffusion-reaction problems// J. of Computational Physics, 2004, v. 201, № 1, p. 61-79.