автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование двумерной нестационарной газовой динамики в трехтемпературном приближении с учетом термоядерного горения

На правах рукописи

Гиззаткулов Наиль Минивасимович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В ТРЕХТЕМПЕРАТУРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ С УЧЕТОМ ТЕРМОЯДЕРНОГО ГОРЕНИЯ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель- доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН A.B. Забродин

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

В.Т. Жуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Г.В. Долголева

кандидат физико-математических наук, Н.Я. Моисеев

Ведущая организация: ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова

Защита диссертации состоится "_"_в_на заседании

диссертационного совета № К 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН

Автореферат разослан " " дс^^аа^ 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Н.Г. Прончева

2оо£А 28 2,3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена численному моделированию двумерных нестационарных течений газа в трехтемпературном приближении с учетом термоядерного горения в задачах управляемого термоядерного синтеза (УТС), точнее в задачах ИТИС - инерциалыгого тяжелоионного синтеза. Работы по решению проблемы управляемого термоядерного синтеза ведутся в настоящее время в крупнейших лабораториях мира в таких странах, как США, Франция, Япония, Германия и Россия. Наибольшие средства в настоящее время затрачиваются на стационарные установки с магнитным удержанием (ТОКАМАКи), лазерный и тяжелоионный термоядерный синтез с инерционным удержанием плазмы. Работы по лазерному и тяжелоионному термоядерному синтезу требуют создания установок с энергией выхода в несколько мегаджоулей и соответственно миллиардных затрат.

Тяжелоионный термоядерный синтез является перспективным направлением в данной области, так как энергия выхода в такой системе может быть гораздо выше, чем в других. Для реализации концепции кумуляции энергии в слоистых системах необходимо разработать мишень и камеру, в которой будет проходить процесс обжатия мишени, а также установку на тяжелых ионах, способную вложить необходимую энергию в эту мишень.

Теоретической основой для реализации тяжелоионного термоядерного синтеза послужили работы по кумуляции энергии. Еще Релеем и Гюгонио было показано, что используя класс автомодельных волн Римана, можно в процессе изоэнтропического сжатия плоского слоя политропного газа получить сколь угодно большую плотность газа. Кумулятивные процессы и способы их реализации стали важнейшим направлением исследований в нашей стране с середины пятидесятых годов. Разнообразные типы кумуляции энергии были глубоко изучены академиком Е.И.Забабахиным, который привлек к этой проблеме большую группу теоретиков и экспериментаторов. Е.И.Забабахиным были рассмотрены различные случаи кумуляции энергии при фокусировке сферических и цилиндрических оболочек и ударных волн, дан анализ влияния вязкости, теплопроводности и сжимаемости на

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

характер кумуляции. Были рассмотрены сходящиеся волны в веществах с фазовыми переходами и ударные электромагнитные волны, решены задачи о кумуляции энергии при несимметричной фокусировке и в не сходящейся ударной волне. Был открыт новый класс автомодельных кумулятивных течений в слоистых периодических системах с чередующимися слоями из легких и тяжелых веществ. В таких системах степень возрастания энергии на фронте ударной волны выше, чем в однородном веществе. Также в работах Е.И. Забабахина, И.Е. Забабахина, Дж. Г. Накколлсона было отмечено, что процессы безударного сжатия газа являются энергетически более выгодными, так как не приводят к большому росту внутренней энергии и сильному разогреву вещества, что наблюдается при ударном сжатии. Продолжению исследований о безударном сжатии и кумуляции энергии в рамках модели идеального газа были посвящены работы А.Ф. Сидорова и ряда других авторов, где рассматривались задачи о безударном коллапсе. Н.В. Змитренко и С П. Курдюмов рассмотрели автомодельные режимы сжатия конечной массы плазмы, построили законы оптимального управления процессом с одной точкой переключения управления.

В работах Г.В. Долголевой и A.B. Забродина рассматривались движения оболочечных слоистых систем при мгновенном энерговложении во внешние слои. Были построены последовательности асимптотик, описывающие основные закономерности движения систем при схождении к центру.

С.П. Баутиным были продолжены исследования по безударному сжатию идеального газа.

На теоретическом этапе исследований термоядерных мишеней рассматривались модели в рамках идеального газа, без учета диссипативных процессов и других физических эффектов. Поэтому на следующей стадии, для того, чтобы учесть диссипативные процессы и другие физические эффекты, использовались численные методы, что послужило развитию специализированных методик (ЭРА - 1D, ТИГР - ОМЕГА - ЗТ - 2D, SND - 1D, НЗТ-2D и д.р.). Первые расчеты сжатия призм, тетраэдров и конусообразных объемов газа проводились по методикам сквозного счета. Газодинамические расчеты по специализированным методикам подтвердили полученные аналитические эффекты сверхкумуляции, а также показали потенциальную возможность решать достаточно надежно двумерные задачи до максимального сжатия вещества в несколько тысяч раз и трехмерные в несколько сот раз. В число таких методик входит комплекс НЗТ - многофункциональный программный комплекс численного решения двумерных неста-

ционарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении, развиваемый в Институте прикладной математики под руководством A.B. Забродина. Рассмотрим основные этапы развития комплекса НЗТ. На первой стадии для моделирования термоядерных мишеней использовалась методика HIT, которая включала в себя систему уравнений газовой динамики и уравнение теплопроводности для единой температуры среды. Для решения данной системы использовался метод расщепления по физически процессам, при этом на газодинамическом этапе использовался обобщенный метод Годунова, а на теплопроводном - локально-итерационный метод (ЛИМ). ЛИМ хорошо зарекомендовал себя в таком роде задач. Далее A.B. Забродиным и Г.П. Прокоповым была предложена ЗТ модель, описывающая движение трехкомпонентного газа, состоящего из ионов, электронов и фотонов, движущихся с общим вектором скорости и имеющих различные газодинамические параметры: температуру, энергию, давление. Для решения нелинейной системы уравнений методики НЗТ также используется метод расщепления по физически процессам, при этом на газодинамическом этапе используется новое обобщение метода Годунова. Система уравнений теплопроводного этапа НЗТ является существенно нелинейной и включает нелинейные процессы переноса тепла и обмена энергией между тремя компонентами среды. Поэтому для решения ее предварительно линеаризуют, а уже потом применяют локально итерационный метод. В итерационном алгоритме H3T-LIM итерации ведутся по линеаризованной системе, количество итераций определяется по теплопроводному числу Куранту как

у К jp (К - коэффициент теплопроводности). Последнее условие при значениях у К Jß >> 1 приводит к необходимости считать на шаге по времени

систему уравнений с большим числом итераций. Стоит отметить, что была предпринята попытка расщепить уравнения модели ЗТ по процессам, а именно решать релаксационные уравнения, описывающие обмен энергией между тремя компонентами среды и содержащие нелинейные члены, на отдельном этапе. Это позволило бы решать поточечно нелинейные релаксационные уравнения по методу Ньютона, а уравнения теплопроводности решать с помощью ЛИМ. Данная попытка оказалась не успешной. Таким образом, переход на трехтемпературную модель (ЗТ) привел к появлению нелинейных членов в уравнениях теплопроводности, усложнению уравнений состояний, что привело к необходимости модификации методики на

основе новых принципов.

В процессе моделирования термоядерных мишеней возникают различные счетные трудности, которые требуют вмешательств исследователя в процесс расчета. Например, при расчете двумерных задач со сложной структурой течения, таких, как задача о вытекании вещества через торцы мишени, возникают трудности, связанные с изломом подвижных границ. С задачами построения границ тесно сопряжены задачи построения адаптивных сеток. Качество последних непосредственно зависит от качества построенных границ. Поэтому, на данном этапе актуальны не только проблемы построения качественной сетки в расчетной области, а также и проблемы построения фронтов ударных волн и контактных границ.

На современном этапе практическому применению термоядерных мишеней уделяется большое внимание. Примером является проект ИТЭР, многочисленные успешные опыты по лазерному термоядерному синтезу и т.д. Важно развитие различных направлений термоядерного синтеза, так как еще не известно на каких принципах будут основаны будущие термоядерные электростанции.

В ИТЭФ развивается установка на тяжелых ионах - драйвер, теоретически позволяющая вложить необходимую энергию для загорания термоядерной цилиндрической митпени. Такого рода установки дороги и их коммерческая реализация требует надежных математических результатов Поэтому, в ИПМ совместно с ИТЭФ разработана единая концепция, включающая в себя, установку - драйвер, камеру и мишень.

В рамках этой единой концепции на этапе математического моделирования возникли следующие задачи:

• Повышение энерговыделения в мишени.

• Верификации вычислительной методики НЗТ.

• Верификация математической модели ЗТ.

Остановимся подробнее на каждой из задач. Для повышения энерговыделения в мишени предложена идея гибридных мишеней, где золотой пушер(тяжелая оболочка) заменяется урановым (Забродин A.B., Кошка-рев Д.Г., Алексеев H.H., Баско М.М. и др., 2004 г.). Предполагается, что "делящаяся" урановая оболочка будет способствовать увеличению энерговыделения рабочей БТ(дейтерий - тритий) области с термоядерным топливом, сдерживая ее разлет. Задачи по повышению энерговыделения в DT-

области являются актуальными на сегодняшний день. Повышение энерговыделения в ОТ-области позволит уменьшить энерговложение в мишень и снизит требования к энергетической установке. Основным параметром установки является величина €}тах (пиковое обострение энерговложения, которое может выдать установка), чем ниже эта величина, тем дешевле производство.

Для задач ИТИС важен этап верификации решений, полученных численными методами. Существует несколько возможностей. Первый способ - это расчет на последовательности сгущающихся сеток. Второй способ -это реализация нескольких методов аппроксимации исходной системы, что позволяет более широко судить о качестве получаемого решения, а также дает понять, какие эффекты вносятся численной схемой, а какие действительно имеют место. Третий способ - сравнение результатов расчетов по программным комплексам, реализованным на основе схожих математических моделей.

Математические модели играют важную роль на стадии предварительного проектирования, позволяют выявить диапазон допустимых параметров для дальнейшего их изучения на основе численных расчетов. Таким образом, разработка, развитие и верификация существующих программных комплексов, позволяющих решать широкий класс задач термоядерного синтеза, является актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

• Разработка, реализация и апробация неявной разностной схемы для нелинейной системы уравнений теплопроводного этапа программного комплекса НЗТ для численного моделирования двумерной нестационарной газовой динамики в трехтемпературном приближении с учетом термоядерного горения.

• Реализация нового алгоритма построения фронтов ударных волн и контактных границ с искусственной вязкостью и его экспериментальное исследование.

• Проведение численного моделирования цилиндрических мишеней ИТИС с учетом термоядерного горения.

• Выполнение методических и тестовых расчетов по верификации методики НЗТ.

• Исследование в цилиндрической геометрии режимов безударного сжатия, обоснованных для плоского случая.

• Исследование оптимальности конструкции мишени.

• Исследование влияния открытых торцов мишени на ее динамику с использованием нового алгоритма построения контактных границ с искусственной вязкостью.

• Реализация и исследование модели 2Т-1Р, в которой в отличие от ЗТ модели вместо уравнения теплопроводности для фотонов решается уравнение переноса излучения с учетом анизотропии излучения энергии фотонами по углам и частотам спектра. Сравнение моделей 2Т-1Р и ЗТ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

Разработана неявная разностная схема для нелинейной системы уравнений теплопроводного этапа программного комплекса НЗТ для численного моделирования двумерных нестационарных течений газа в трехтемпературном приближении с учетом термоядерного горения.

Реализован новый алгоритм построения контактных границ и фронтов ударных волн с искусственной вязкостью, проведено его исследование. Показано, что введение искусственной вязкости позволяет избежать нефизических изломов границ. Корректный расчет движения границ обеспечивает построение хорошей адаптивной сетки и приводит к надежному расчету мишени.

Реализована модель 2Т-1Р, учитывающая анизотропность излучения энергии фотонами по углам и частотам спектра. Проведено ее сравнение с моделью ЗТ. Показано, что учет анизотропности излучения энергии фотонами не приводит к существенному повышению энерговыделения в БТ-слое мишени. Эта модель подтверждает адекватность ЗТ модели.

Реализована программа оптимизации конструкции мишени. Проведено исследование и показана практическая оптимальность конструкции мишени, принятой для данной стадии исследований ИТИС.

Разработанные алгоритмы и схемы внесены в комплекс программ НЗТ. На ряде тестовых задач показана эффективность предложенных алгоритмов.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты диссертации, относящиеся к вопросам сходимости и точности предложенных алгоритмов, исследованы и подтверждены вычислительными экспериментами. Достоверность полученных результатов для задач расчета обжатия термоядерных мишеней подтверждается сравнением с апробированными методиками, а также результатами экспериментального оценивания сходимости приближенных решений на последовательности сгущающихся сеток.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Научная ценность диссертации состоит в разработке новых алгоритмов и численных методов для решения задач обжатия термоядерных мишеней. Решенные в диссертации прикладные задачи показывают, что методы могут быть эффективно использованы. Разработанная и реализованная неявная разностная схема для нелинейной системы уравнений теплопроводного этапа программного комплекса НЗТ позволяет более эффективно решать задачи моделирования термоядерных мишеней Алгоритм тратит меньше процессорного времени, чем предыдущий алгоритм ЛИМ, и более надежен Реализованный новый алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искусственной вязкостью позволяет избежать вычислительных трудностей, возникающих при расчете сложных двумерных конструкций. Реализованная модель 2Т-1Р, учитывающая анизотропность излучения энергии фотонами, позволила верифицировать математическую модель ЗТ. Выполненные методические и тестовые расчеты позволили верифицировать численную модель НЗТ. Проведенное численное моделирование цилиндрических мишеней ИТИС с учетом термоядерного горения позволило провести анализ влияния термоядерных реакций на параметры мишени. Исследования формулы безударного сжатия, полученной для

плоского случая, показало ее применимость в RZ-геометрии. Исследование влияния открытых торцов мишени на ее энергетику показало, что существенная часть мишени сохраняет одномерность движения. Практическая и научная ценность данного результата заключается в том, что оптимизацию мишеней можно проводить по одномерным методикам.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Н.М. Гиззаткулов, Алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искуственпой вязкостью. XV Всероссийская конференция Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам, посвященная памяти К.И. Бабенко (7-12 сентября, 2004) Абрау-Дюрсо, Новороссийск.

2. A.B. Забродин, Н.М. Гиззаткулов, Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов - 2004"МГУ, Москва, апрель, 2004.

3. Т.Т. Гарштов, Н.М. Гиззаткулов, А.Х. Пергамент, Эволюция напряженно - деформированного состояния пористых насыщенных сред в процессе нефтедобычи, Повышение нефтеотдачи пластов. Освоение трудноизвлекаемых запасов нефти. Труды 12- го Европейского симпозиума "Повышение нефтеотдачи пластов "(Казань, 8-10 сентября 2003 года).

4. Н.М. Гиззаткулов, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Регуляризован-ные алгоритмы решения уравнения теплопроводности на криволинейных сетках. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов - 2003"МГУ, Москва, апрель, 2003.

5. Н.М. Гиззаткулов, Численное моделирование двумерного нестационарного течения теплопроводного газа в трехтемпературном приближении,Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам

построения сеток и XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики"(Дюрсо, 15 - 22 сентября 2002).

6. Семинар Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством д.ф.-м.н., профессора Е.И. Леванова, январь, 2006.

7. Семинар отдела N8 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН A.B. Забродина, октябрь, 2005.

8. Семинар отдела N8 ИПМ им. М.В Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН A.B. Забродина, ноябрь, 2004.

9. Семинар отдела N8 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН A.B. Забродина, март, 2003.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все формулы и рисунки занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку. Текст изложен на 123 страницах, содержит 135 рисунков и 12 таблиц в основном тексте. Список литературы включает 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сделан обзор существующих теоретических результатов по термоядерному синтезу, приведены основные результаты математического моделирования термоядерных мишеней, сформулированы цели работы и показана научная новизна. Приведена концепция реализации безударного сжатия, разработанная совместно в ИПМ и ИТЭФ. Рассматривается многофункциональный программный комплекс НЗТ для расчета нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках, излагаются

применяемые в нем методы и обсуждаются направления его совершенствования. Дается общая характеристика работы, и формулируются основные результаты работы.

В первой главе предлагается неявная разностная схема H3T-NLA (nonlinear algebra) для нелинейной системы уравнений теплопроводного этапа программного комплекса НЗТ для счета на блочно-структурных сетках. Технические возможности ЭВМ предыдущих лет определили численные схемы, применяемые в НЗТ. При современных объемах памяти и тактовых частотах процессоров локально- итерационная схема с Чебышевским набором параметров теплопроводного этапа является узким местом вычислительного комплекса, так как в областях с существенно большими коэффициентами теплопроводности счет приходится вести с очень большим числом итераций либо с обременительным ограничением на шаг по времени. Применение неявной схемы позволяет снять эту проблему. Нелинейная система уравнений теплопроводного этапа линеаризуется. Для решения СЛАУ линеаризованной системы НЗТ уравнений используется стандартный пакет программ Sparskit (метод GMRES - метод обобщенных невязок). Далее проводятся итерации по методу Ньютона, при этом ведется контроль невязок исходной нелинейной системы и законов сохранения. Также разработан алгоритм контроля над сходимостью метода Ньютона. При превышении заданного количества итераций алгоритм уменьшает шаг по времени, тем самым, обеспечивая лучшее приближение к решению нелинейной системы. Если итерации не сходятся, то тогда происходит измельчение шага по времени и возврат на один шаг назад.

Далее приводятся результаты сравнение расчетов по модифицированной методике H3T-NLA и немодифицированной методике H3T-LIM, основанной на локально-итерационном методе. На модельных задачах получено совпадение результатов. Излагается алгоритм сшивки решения для блоч-но - структурной сстки. Рассматривается вопрос параллелизации схемы с использованием параллельной библиотеки 8рагзНЬ(параллельный вариант метода GMRES). Приводится таблица зависимости времени счета модельной задачи (2-х мерное уравнение теплопроводности на прямоугольной сетке размером 200 на 200, первая краевая задача) от количества процессоров.

Основные преимущества новой предложенной схемы NLA:

• В H3T-LIM решается линеаризованная задача итерационным методом LIM, число итераций которого определяется НЗТ-числом Куранта; В

НЗТМЧЬА методике рассчитываются нелинейные уравнения, ведется контроль консервативности схемы; стратегия выбора шага по времени основана на контроле невязки;

• На этапе загорания мишени НЗТ-ЫМ требует большого числа итераций. В НЗТ-Р^ЬА время счета шага практически постоянно; схема в целом экономичнее в 2 - 3 раза;

• Реализованный алгоритм сшивки температур и потоков на границах ярусов обеспечивает консервативность при любых соотношениях длин смежных границ счетных блоков;

Во второй главе рассматривается алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искусственной вязкостью. Алгоритм предложен С К. Годуновым для расчета выделенных стационарных волн. Но в диссертационной работе алгоритм распространен для расчета лагранже-вых границ. Известно, что расчет обтекания тел по схеме Годунова с выделенным фронтом ударной волны, передвигаемым по нормальной компоненте скорости, сложен из-за нефизических изломов фронта ударной волны. Такие нефизические осцилляции фронта на грубых сетках гасятся схемной вязкостью. Наиболее простой способ внесения сглаживающей вязкости заключается в движении точек фронта выделенной ударной волны по суммарной компоненте касательной и нормальной составляющих скорости. Такого рода алгоритмы не достаточно обоснованы с точки зрения вычислительной математики, так как вязкость, вносимая при перестановке точек по касательной компоненте, пе поддается контролю. С.К. Годуновым был предложен новый метод расчета движения фронта ударной волны по нормальной компоненте скорости с введением искусственной вязкости, регулируемой малым параметром 6 = 0(К). В данной главе приводится его реализация и его изучение. Данный алгоритм был применен для построения контактных границ в задачах ИТИС. В продолжение исследований оценки влияния открытых торцов мишени, на основе нового алгоритма движения контактных границ проведены расчеты по НЗТ методике для урановой мишени, которые показали, что есть существенно одномерная зона. Полученный результат имеет практическую ценность, так как показывает, что можно использовать одномерные методики для оптимизации конструкции мишени. Новый алгоритм движения контактных границ позволил избежать вычислительных трудностей, свойственных старому алгоритму.

Преимущества алгоритма:

• Новый алгоритм, вносит контролируемую вязкость порядка 0(h) и гасит нефизичные высокочастотные гармоники

В третьей главе приводятся результаты прикладных расчетов, целью которых является верификации методики и модели программного комплекса НЗТ. В первом параграфе ставится задача об обжатии термоядерной мишени, где в качестве "пушера"(слоя, сжимающего дейтерий - тритиевую смесь) выступает уран - 238 (B.C. Имшенник, В.Т. Жуков). Расчеты ведутся по алгоритму, предложенному в первой главе. Предполагается, что "делящаяся" урановая оболочка будет способствовать увеличению энерговыделения рабочей DT-области, сдерживая ее разлет. Задачи по повышению энерговыделения в DT-области являются наиболее актуальными на сегодняшний день, так как это позволит уменьшить энергию, которую следует вложить в мишень для достижения достаточного КПД (здесь КПД есть величина, равная отношению выделенной энергии от горения топлива к вложенной энергии ). Это позволит также уменьшить требования к самой энергетической установке, основным параметром которой является величина Qmax ~ пиковое обострение энерговложения, которое может выдать установка. Задача рассчитывалась на последовательности сгущающихся сеток. Демонстрируется, что интегральные величины сходятся с порядком 0(h). Проводится анализ влияния термоядерных реакций на параметры мишени.

Во втором параграфе проводится сравнение двух методик расчета: СНД - движения двухтемпературного излучающего газа в одномерном случае (ВНИИЭФ, рук. Г.В. Долголева) и НЗТ - движение трехтемпературного газа в двумерном случае (ИПМ, рук. A.B. Забродин) на одной задаче. Методики СНД и НЗТ основаны на единой, общепризнанной физиками, физической модели, а именно, газовой динамике с трехтемпературной теплопроводностью. Отличие методик заключается в реализации конечно - разностного счета газовой динамики с трехтемпературной моделью сплошной среды, а также в уравнениях кинетических термоядерных реакций Сравнение двух методик является важным этапом. Совпадение результатов верифицирует подходы, применяемые для расчетов в обоих методиках. Также в параграфе два в 2D RZ - геометрии исследуется режим безударного сжатия, обоснованный для плоского случая A.B. Забродиным. Демонстрируется, что полученная формула энерговложения, обеспечивающая в плоской геометрии безударное сжатие, может быть применена для RZ - геометрии

с энерговложением по объемным или плоским массам (последний вариант эффективнее). Показывается практическая оптимальность выбранной конструкции мишени. В третьем параграфе приводится реализация 1D методики Н2Т-1Р (в DT-слое с термоядерным топливом - для фотонов решается уравнение переноса). Уравнение теплопроводности для фотонов, введенное в трехтемпературной модели, является идеализацией процесса переноса энергии фотонами, так как при таком подходе пе учитывается неравномерность излучения энергии по частотам спектра. Для того чтобы учесть неравномерность излучения энергии по частотам спектра, введено уравнение переноса фотонов в DT-слое (B.C. Имшенник); данное уравнение наиболее точно описывает физику процесса переноса фотонов. Основной предпосылкой для модификации системы уравнений НЗТ явилась необходимость в верификации модели ЗТ и оценки влияния более точной модели на кумуляции энергии в DT-смеси. Проведены расчеты для модельной характерной задачи, которые показали, что для ЗТ модели с объемным энерговложением и модели 2Т-1Р с переносом фотонов основные характеристики процесса заключительной стадии сжатия мишени практически одинаковы Например, критическое значение параметра Qmax ~ пикового обострения эперговложения - уменьшается на 5% в модели 2Т-1Р по сравнению с моделью ЗТ. Этот факт свидетельствует об адекватности ЗТ модели, применяемой в комплексе НЗТ.

Автор выражает благодарность A.B. Забродину, В.Т. Жукову, С.К. Годунову, B.C. Имшеннику за предложенные задачи и конструктивные замечания, высказанные в процессе работы, В Т Жукову, Е.А. Забродиной и Л.А. Плинер за помощь при освоении комплекса НЗТ и при реализации новых вычислительных алгоритмов для него.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Разработана новая неявная схема для нелинейной системы уравнений теплопроводности и релаксации энергии фотонов, электронов и ионов в программном комплексе НЗТ - численного моделирования двумерного нестационарного движения газа совместно с переносом тепла в трех-температурном приближении (ЗТ) и учетом термоядерного горения. Выполнены расчеты по сравнению новой схемы с другими известны-

ми схемами и расчеты на сходимость. Показана эффективность новой схемы по точности и времени счета. Выполненные расчеты показывают адекватность математической модели и достоверность расчетных исследований.

• Реализован новый алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ путем введения искусственной вязкости. Алгоритм обеспечивает подавление нефизических искажений подвижных границ и существенно повышает надежность методики.

• На основе разработанных алгоритмов выполнено численное моделирование работы мишеней ИТИС с целью глубокого изучения процессов сверхсжатия и определения зависимости энерговыделения мишеней от входных параметров. Исследована оптимальность конструкции мишени и показана ее практическая эффективность. Исследовано влияние открытых торцов мишени на ее энергетику и динамику с использованием предложенного алгоритма. Показано, что существенная часть мишени сохраняет одномерность движения.

• Разработана и реализована новая 1Б модель переноса тепла фотонами в кинетическом, анизотропном приближении в ОТ-топливе. Вычислительные эксперименты по сравнению старой и новой модели подтвердили адекватность новой модели для описания сжатия и горения мишеней ИТИС.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Н.М. Гиззаткулов, Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении. // Журнал "ММ", т.16, №10, 2004 г., стр. 107-119.

2. Н.М. Гиззаткулов, Модифицированная численная схема комплекса НЗТ. // Москва: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N63, 2003.

3. Н.М. Гиззаткулов, Алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ. // Москва: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N109, 2005.

4. Т.Т. Гарипов. Н.М. Гиззаткулов, А.Х Пергамент, Эволюция напряженно - деформированного состояния пористых насыщенных сред в процессе нефтедобычи, повышение нефтеотдачи пластов Освоение труд-ноизвлекаемых запасов нефти. Труды 12- го Европейского симпозиума "Повышение нефтеотдачи пластов "(Казань, 8-10 сентября 2003 года).

5. Н.М. Гиззаткулов, Алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искуственной вязкостью. XV Всероссийская конференция Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам, посвященная памяти К.И. Бабенко (7-12 сентября,2004) Абрау-Дюрсо, Новороссийск.

6. A.B. Забродин, Н.М. Гиззаткулов, Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении, тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов - 2004"МГУ. Москва. Апрель, 2004 г..

7. Н.М. Гиззаткулов, Численное моделирование двумерного нестационарного течения теплопроводного газа в трехтемпературном приближении, тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток и XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики"(Дюрсо, 15 - 22 сентября 2002).

8. Н.М. Гиззаткулов, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент, Регуляризован-ные алгоритмы решения уравнения теплопроводности на криволинейных сетках, тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов 2003"МГУ, Москва, апрель, 2003 г..

к исполнению 02/02/2006 Исполнено 03/02/2006

Заказ № 51 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www autoreferat.ru

¿OO

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Модифицированная численная схема теплопроводного этапа комплекса программ НЗТ

§1. Введение.

§2. Система дифференциальных уравнений модели.

§3. Разностная схема.

§4. Тестовый расчет.

§5. Параллельные аспекты схемы

Бурное развитие науки, в частности физики, в начале двадцатого века привело к появлению такого понятия, как ядерная энергия. Если учесть, что все предыдущие виды энергии были найдены обычными людьми и исследователями, то здесь за дело взялись ученые-физики. Уже в пятидесятые годы прошлого века ученые нашли способ управлять процессом расщепления урана, и были построены первые атомные электростанции. Наступила новая эра энергетики. Энергия мирового запаса урана сейчас превышает в десятки раз все существующие запасы энергии, рассмотренные ранее. Ситуация сейчас сложилась такая, что некоторые виды энергии начинают исчерпывать свой ресурс. В начале становления человечества и технологий люди потребляли энергию и не особо заботились о том, что будет далее. В настоящее время уже достаточно оскудели запасы угля и нефти. Возникли также всевозможные экологические проблемы. Один из возможных подходов решения этой задачи заключается в альтернативных источниках энергии, многие институты и компании занимаются этой проблемой. Одно из самых перспективных направлений в этой области является кумуляции энергии в слоистых системах. Данная проблема затрагивает различные области математики и физики. Поэтому для решения этой задачи важно развивать как теоретические подходы, так и экспериментальные. Однако эксперименты в данной области очень дороги, а порой и невозможны, так как с технической стороны еще не существует таких источников тяжелых ионов, которые смогли бы обеспечить необходимую степень кумуляции энергии в термоядерной мишени, хотя такие работы ведутся. Поэтому, на данном этапе математическое моделирование кумуляции энергии в слоистых системах оболочек является важнейшей задачей на пути к созданию термоядерных мишеней.

Работы по решению проблемы управляемого термоядерного синтеза ведутся в настоящее время в крупнейших лабораториях мира в таких странах, как: США, Франция, Япония, Германия и Россия. Наибольшие средства в настоящее время затрачиваются на стационарные установки с магнитным удержанием (ТОКАМАКи), лазерный и тяжелоионный термоядерный синтез с инерционным удержанием плазмы. Работы по лазерному и тяжелоионному термоядерному синтезу требуют создания установок с энергией выхода в несколько мегаджоулей и соответственно миллиардных затрат.

Тяжелоионный термоядерный синтез является наиболее перспективным направлением в данной области, так как энергия выхода в такой системе гораздо выше, чем в других. Для реализации концепции кумуляции энергии в слоистых системах необходимо разработать мишень и камеру, в которой будет проходить процесс обжатия мишени, а также установку на тяжелых ионах [1], способную вложить необходимую энергию в эту мишень.

Теоретической основой для реализации тяжелоионного термоядерного синтеза послужили работы по кумуляции энергии. Еще Релеем и Гюгонио было показано, что используя класс автомодельных волн Римана, можно в процессе изоэнтропического сжатия плоского слоя политропного газа получить сколь угодно большую плотность газа [2]. Кумулятивные процессы и способы их реализации стали важнейшим направлением исследований в нашей стране с середины пятидесятых годов. Разнообразные типы кумуляции энергии были глубоко изучены академиком Е.И.Забабахиным, который привлек к этой проблеме большую группу теоретиков и экспериментаторов. Е.И.Забабахиным были рассмотрены различные случаи кумуляции энергии при фокусировке сферических и цилиндрических оболочек и ударных волн, дан анализ влияния вязкости, теплопроводности и сжимаемости на характер кумуляции. Были рассмотрены сходящиеся волны в веществах с фазовыми переходами и ударные электромагнитные волны, решены задачи о кумуляции энергии при несимметричной фокусировке и в не сходящейся ударной волне. Был открыт новый класс автомодельных кумулятивных течений в слоистых периодических системах с чередующимися слоями из легких и тяжелых веществ. В таких системах степень возрастания энергии на фронте ударной волны выше, чем в однородном веществе. Также в работах [3],[4] было отмечено, что процессы безударного сжатия газа являются энергетически более выгодными, так как не приводят к большому росту кинетической энергии и сильному разогреву вещества, что наблюдается при ударном сжатии. Продолжению исследований о безударном сжатии и кумуляции энергии в рамках модели идеального газа были посвящены работы А.Ф. Сидорова [5]- [8] и ряда других авторов, где рассматривались следующие задачи о безударном коллапсе:

• движением непроницаемых подвижных сжимающих поршней сжать в точку массу газа, занимающую первоначально заданный объем, при этом получить неограниченно растущую плотность вещества и найти законы управления движением поршней;

• получить в заданный момент времени требуемую степень сжатия исходной массы газа с наименьшими затратами энергии на движение сжимающих поршней, конфигурация которых известна в начальный момент времени.

Обзор данных работ по кумуляции энергии при безударном сжатии газов приведен в [9]. В [9] выделяется два периода исследований. На первом этапе изучаются автомодельные задачи, для цилиндрических и сферических течений, определяются степени кумуляции энергии для основных газодинамических величин. К примеру: в работах [10],[11] рассматриваются автомодельные режимы сжатия конечной массы плазмы. Также с использованием аналитических конструкций строятся соответствующие законы оптимального управления процессом с одной точкой переключения управления. Строятся не автомодельные режимы безударного сжатия плоских газовых слоев для получения локального роста плотности газа при конечных затратах энергии. Исследуются процессы безударного сжатия призм, тетраэдров. Идет поиск оптимальных форм мишеней, в которых при меньших энергозатратах достигаются более высокие степени кумуляции плотности и энергии, чем при одномерном сферическом подходе. Рассматриваются вопросы устойчивости процесса сжатия при возмущении законов управления сжатием. Исследования первого этапа показали, что существуют формы мишеней, для которых при меньших энергозатратах можно достичь более высокие степени кумуляции плотности и энергии, чем при одномерном сферическом подходе. Все процессы первого этапа рассматривались в рамках модели идеального газа, без учета диссипативных процессов и других физических эффектов. Эти обстоятельства явились исходными для детального исследования многомерных процессов с целью конструирования мишеней новых нетрадиционных форм и учитывающих диссипативные процессы и другие существенные физические эффекты. Поэтому на следующей стадии исследований использовались численные методы. Первые расчеты сжатия призм, тетраэдров и конусообразных объемов газа проводились по методикам сквозного счета. Газодинамические расчеты по серийным методикам подтвердили полученные аналитические эффекты сверхкумуляции, а также показали, что неадаптированные специально для задач сверхсжатия методики позволяют решать достаточно надежно двумерные задачи до максимального сжатия в несколько тысяч раз и трехмерные в несколько сот раз. Был проведен анализ влияния лучистой теплопроводности для случая сжатия плоского слоя [12]. Была выполнена приближенная оценка степени кумуляции плотности с учетом теплопроводности, которая показала, что эта степень увеличивается в полтора раза по сравнению с аналитическим решением Релея - Гюгонио. Расчеты также показали, что среднее сжатие с учетом теплопроводности при одинаковых затратах вложенной энергии ухудшается, максимальное сжатие части слоя у поршня намного выше и кумуляция плотности увеличивается. Также отмечается, что в [13] были, приведены расчеты безударного сжатия газовой призмы и тела вращения, у которых есть неподвижная жесткая стенка. Расчеты проводились как без учета, так и с учетом горения. Результаты сравнивались с аналитическими решениями, полученными в [7]. Было показано, что до начала энерговыделения энтропийная функция остается близкой к начальному значению, т.е. сжатие осуществляется в безударном режиме. Во всех рассмотренных выше случаях в сжимаемых объемах присутствовали неподвижные непроницаемые стенки, реализовать которые в экспериментах затруднительно из - за возник- • новения зон больших давлений. Поэтому предпочтение было отдано изучению процессов неограниченного безударного сжатия замкнутых объемов газа специальных форм, на внешнюю границ которых действуют распределенное по времени и по поверхности давление. Исследования в этом направлении проводились как аналитически, так и численно. Были исследованы особенности нестационарных полей течений, возникающих при безударном сжатии осессиметричных конусообразных со сферическим сектором объемов полит-ропного газа. В работах [14],[13] под руководством А.В. Забродина впервые были рассчитаны безударные сжатия и горения двумерных замкнутых конструкций DT - газа. Горение газа при этом происходило с высоким энерговыделением. На основе этих построений численно конструировались мишени. Для реализации безударного сжатия DT - газа было найдено распределение энерговложения по направлениям. В [14],[13] также отмечалось, что в при заданном асимметричном энерговложении не разрушающуюся кумуляцию получить не удалось. В [9] также были выделены проблемы, которые по сей день остаются открытыми. Эти задачи заключаются в следующем: математическое проектирование физического эксперимента по реализации этого подхода к неодномерному безударному сжатию газов, поиск оптимальных путей реализации этого процесса при использовании различных физических полей для сжатия вещества. Отмечаются также определенные результаты, достигнутые при расчетном конструировании оболочечных слоистых микромишеней на основе реализации концепции безударного сжатия. В большинстве из работ кумуляция реализуется за счет геометрических особенностей картины течения. В [15] впервые был опубликован пример сконструированной кумуляции, когда ударная волна проходила по системе из чередующихся плоских слоев тяжелого и легкого веществ, толщины которых подбирались специальным образом.

Физика развития гидродинамических неустойчивостей, приводящих к нарушениям симметрии сжатия мишеней оказалась одной из наиболее важных, трудных и интересных проблем в инерциалыюм термоядерном синтезе. В ИПМ им. М.В. Келдыша [17] исследована неустойчивость Релей-Тейлора, возникающая при обжатии термоядерных мишеней. В работе [16] дан анализ экспериментальных и теоретических работ зарубежных и отечественных лабораторий в этой области. В частности, представлены результаты натурных и вычислительных экспериментов по изучению роста неустойчивостей в плоской и цилиндрической геометриях при действии лазерного или рентгеновского излучения на образцы. Эти данные связывают характеристики развивающихся возмущений с отклонениями от симметрии в начальных условиях, внесенными неоднородностями облучения или технологией изготовления мишеней. Стоит также отметить обзор теоретических работ по ИТС, проведенных в РФЯЦ-ВНИИТФ, где представлены результаты расчетов мишеней для ИТС, проведенных по одномерной программе ЭРА и комплексу двумерных программам ТИГР-ОМЕГА-ЗТ. Расчетно подтверждена возможность достижения коэффициентов усиления по энергии около 100 при быстром инициировании мишеней с помощью лазеров с энергией менее 500 кДж и длительностью импульса 20-50 псек.

В работах [18]-[21] были рассмотрены движения оболочечных слоистых систем при мгновенном энерговложении во внешние слои. Были построены последовательности асимптотик, описывающие основные закономерности движения систем при схождении к центру. Построенные последовательности приближенных решений для вычисления величины кумулирующейся энергии в слоистых системах не только описывают качественную зависимость от исходных параметров, но и с хорошим приближением дают количественные значения. С использованием полученных результатов в [22], [23] была исследована возможность реализации безударного сжатия одномерных слоистых систем. Также было установлено, что для практического осуществления безударного сжатия газа можно построить слоистую оболочечную и реализовать энерговложение в один из внешних слоев так, чтобы фактически оболочечную систему можно было рассматривать как мишень, внутри которой будет происходить безударное сжатие [24]. Показано, что требуемые параметры по температуре и плотности при минимальном вложении энергии, необходимом для зажигания мишени, достижимы. Проведено сравнение с известной мишенью ИТИС [25],[26].

При обжатии термоядерных мишеней до высоких плотностей и энергий инициируется процесс их загорания. Возгорание мишени напрямую зависит от энергии, сконцентрированной в горючей смеси. В работах [27] - [30] построена математическая модель, реализующая уравнения одномерной радиационной гидродинамики с теплопроводностью и кинетикой термоядерного горения. Эта же модель используется в программном комплексе НЗТ для реализации кинетики термоядерного горения. При безударном сжатии температура горючей смеси недостаточно высока для возгорания, поэтому начиная с некоторого момента времени нарушают этот режим и энергию вкладывают по закону Q = Qmax• При этом возникающие ударные волны повышают температуру горючей смеси. В [31] приведены результаты расчетов с различными параметрами энерговложения.

На основе вышеперечисленных работ была разработана концепция реализации безударного сжатия [32], которая позволяет учитывать конструктивные характеристики установки, на которой планируется проводить эксперимент. Выделяются две стадии предложенной концепции: первая - теоретическая, целью которой является определение величины кумулирующейся энергии и выявления ее зависимости от параметров конкретной конструкции микромишени и способов энерговложения. Указанные зависимости позволяют предварительно исследовать различные способы организации мишеней и отобрать наиболее подходящие из них по выходным параметрам кумуляции, что позволяет существенно сузить множество вариантов, которые следует рассматривать на последующей стадии. На следующей стадии численными методами исследуются мишени, отобранные на первой стадии, а именно те, которые в первом приближении удовлетворяют конструктивным характеристикам установки и выходным параметрам кумуляции энергии. Целью численных расчетов является подтверждение величины кумулирующейся энергии при обжатии мишени с использованием более точных математических моделей, а также всестороннее ее изучение. Такого рода задачи очень трудны и требуют для своего решения использования точных численных методов. В институте прикладной математики им. М.В. Келдыша под руководством А.В. Забродина разрабатывается многофункциональный программный комплекс НЗТ для расчета нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с теплопроводностью на подвижных криволинейных сетках. Для возможности изучения влияния диссипативных процессов и других физических эффектов на кумуляцию энергии и прочих выходных параметров мишени необходимо было поставить соответствующую математическую модель. Математическая модель комплекса НЗТ изложена в [33], плазма представлена в виде трех компонент - ионов, электронов и фотонов, движущихся с общей скоростью, но имеющих разные плотность, давление и энергию. Данная модель позволяет учитывать теплопроводные и релаксационные процессы, проходящие в трехкомпонентной плазме в приближении серой материи.

Как уже отмечалось ранее, решение задач термоядерной физики требует применение как точных математических моделей, способных учесть основные физический процессы, происходящие в мишени, так и точных численных методов. Как правило при написании разностных схем для такого рода задач применяют метод расщепления по процессам [34],[35],[36]. Шаг по времени равномерно дробится на количество равное количеству выделенных процессов. На первом шаге рассчитывается первый физический процесс, определяются неизвестные величины. Далее шаг за шагом рассчитываются остальные физические процессы, результаты которых рассматриваются как поправки к величинам найденным на предыдущем шаге. Использование данного метода позволяет реализовывать для разных физических процессов различные по своей идеологии разностные схемы. В программном комплексе НЗТ используется расщепление исходной математической модели на газодинамический и теплопроводный этапы.

Для расчета газодинамики существует огромное множество различных методов, каждый из которых обладает как положительными, так и отрицательными чертами. Можно выделить два основных подхода: первый - схемы, основанные на методе Годунова [45], [37] - [43]; второй - схемы сквозного счета [45], [44]. Рассмотрим каждый из подходов по отдельности. В схемах, основанных на методе Годунова, общая идея заключается в расчете задачи о распаде произвольного разрыва - задаче Римана, точно или приближенно. Результатом расчета являются промежуточные газодинамические величины. Они используются как величины промежуточного слоя по времени в аппроксимации исходной системы. Различия схем данного подхода заключаются в способе написания аппроксимации исходной системы, методов счета распадов разрыва, а также способе задания функции для газодинамических величин в пределах ячейки: постоянная, кусочно - линейная или кусочно - полиномиальная функция, TVD схемы реконструкции функций [46]. Для расчета газовой динамики в НЗТ используется обобщенный метод Годунова с выделением разрывов. Этот метод является первого порядка точности по пространству и времени, позволяет выделять основные разрывы. Использование разностных методов сквозного расчета газовой динамики без применения специальных мер не может в достаточной степени гарантировать сохранение энтропии и потенциальности движения. Более подробный обзор по схемам газовой динамики изложен в работах [44],[47].

При расчете сложных газодинамических задач возникает необходимость в построении на каждом временном слое адаптивной сетки. Простейшие алгоритмы построения сетки приведены в [45]. Более сложные методы описаны в следующей литературе: построение ортогональных разностных сеток посредством расчета конформных отображений [48]-[54]; итерационные методы построения сетки, с минимизацией некоторого функционала, отвечающего за геометрические особенности сетки [55]. В комплексе НЗТ используются итерационные методы построения сетки, а также методы описанные в [45]. При решении задачи о вытекании вещества с торцов мишени возникают весьма сложные геометрические конфигурации, что и приводит к необходимости использовать итерационные методы построения сетки. Функционалы, отвечающие за геометрические особенности сетки, имеют свободные параметры, управляя которыми возможно изменять внутреннюю структуру сетки. Данный произвол позволяет избегать большинства неприятных ситуаций с сеткой, таких как перехлестывание ячеек и т.п., однако иногда это и не помогает. Таким образом, проблема построения адаптивных сеток до сих пор является актуальной. Также следует отметить, что при решении задач в сложных с точки зрения геометрии областях возникает проблема построения регулярной сетки. Один из способов преодоления данной проблемы является метод разбиения исходной области на топологические четырехугольные подобла-сти(с!отат decomposition) [56]-[58]. При этом, в каждой из подобласти сетка строится регулярным образом вышеперечисленными методами. Данный метод позволяет сохранить регулярность сетки в расчетной области, но одновременно ставит проблему сшивки решения на границе двух подобластей.

Как уже отмечалось ранее, на теоретических этапах исследований термоядерных мишеней полагалось, что газ является идеальным, в реальности же плазма имеет весьма сложные уравнения состояния трехкомпонентной среды. Поэтому возник вопрос, как задавать эти уравнения состояния. Один из подходов заключает в сплайн - аппроксимации уравнений состояний [59]. В [33] для трехкомпонентной среды: ионы, электроны, фотоны, в рамках модели комплекса НЗТ, выполнено локальная аппроксимация двучленными уравнениями состояния.

Для аппроксимации теплопроводных членов в задачах термоядерной динамики, как правило, используют консервативные схемы [60],[61]. На теплопроводном этапе комплекса НЗТ учитываются теплопроводные и релаксационные процессы. Для аппроксимации теплопроводных членов комплекса НЗТ в работах [62], [63] была построена консервативная разностная схемы на основе локальных среднеквадратичных приближений на криволинейных сетках. В работах [62],[63], [25] было проведено исследование динамики мишеней тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. Также стоит отметить метод опорного оператора, позволяющего построить консервативную разностную схему для теплопроводных членов на криволинейной сетке [64],[65].

Таким образом, для каждого выделенного этапа были построены разностные схемы, каждая из них в отдельности обладает консервативностью, устойчивостью и аппроксимирует исходные интегральные уравнения [66]-[68]. Из теории разностных схем [35] известно, что порядок аппроксимации не расщепленной системы будет иметь суммарный порядок аппроксимации, а также обладать консервативностью, если каждая из схем обладала данным свойством. Известно, что явная схема Годунова [45] устойчива при выполнении условия Куранта. Система уравнений теплопроводного этапа НЗТ является нелинейной, поэтому для аппроксимации системы ее предварительно линеаризуют. В итерационном алгоритме H3T-LIM (локально итерационный метод) итерации ведутся по линеаризованной системе, количество итераций определяется по теплопроводному числу Куранту как yjKj^ № ~ коэффициент теплопроводности). Последнее условие при К » 1 приводит к необходимости считать систему уравнений с большим числом итераций.

Для задач тяжелоионного термоядерного синтеза важен этап верификации решений, полученных численными методами. При этом существенно количество и качество различных вариантов. Первый способ - это расчет на последовательности сгущающихся сеток [66]-[68]. Второй способ - это реализация нескольких методов аппроксимации исходной системы, что позволяет более широко судить о качестве получаемого решения, а также дает понять, какие эффекты вносятся численной схемой, а какие действительно имеют место. Третий способ - сравнение результатов с результатами полученными другими программными комплексами, основанных на общих математических моделях, например с программным комплексом СНД[69], разработанным под руководством Г.В. Долголевой для решения одномерных задач тяжелоионного термоядерного синтеза.

Теоретические модели играют важную роль на стадии предварительного проектирования, позволяют выявить диапазон допустимых параметров для дальнейшего их изучения на основе численных расчетов. Таким образом, разработка, развитие и верификация существующих программных комплексов, позволяющих рассчитывать широкий класс задач термоядерного синтеза, является наиболее актуальной задачей.

Диссертационная работа посвящена:

1. Совершенствованию методики НЗТ для расчета двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении на криволинейных сетках;

2. Верификации методики и модели программного комплекса НЗТ;

3. Численному моделированию цилиндрических мишеней ИТИС с учетом термоядерного горения;

Настоящая работа продолжает цикл работ [18]-[33],[62],[63],[71],[72],[74], посвященных моделированию мишеней тяжелоионного термоядерного синтеза и является развитием программного комплекса НЗТ.

В главе 1 предлагается неявная разностная схема H3T-NLA (nonlinear algebra) для нелинейной системы уравнений теплопроводного этапа программного комплекса НЗТ для счета на блочно-структурных сетках. Для решения СЛАУ линеаризованной системы НЗТ уравнений используется пакет программ Sparskit. Проведено сравнение результатов расчетов по модифицированной методике H3T-NLA и немодифицированной H3T-LIM (локально итерационный метод). Получено совпадение результатов. Преимущества схемы:

• В H3T-LIM решается линеаризованная задача итерационным методом LIM, число итераций определяется НЗТ-числом Куранта; В H3T-NLA методике рассчитываются нелинейные уравнения, ведется контроль консервативности схемы; стратегия выбора шага по времени основана на контроле невязки;

• На этапе загорания мишени H3T-LIM требует большого числа итераций. В H3T-NLA время счета шага практически постоянно; схема в целом экономичнее в 2 - 3 раза;

• Реализованный алгоритм сшивки температур и потоков на границах ярусов обеспечивает консервативность при любых соотношениях длин смежных границ счетных блоков;

В Главе 2 рассматривается алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искусственной вязкостью, алгоритм предложен С.К. Годуновым для расчета выделенных стационарных волн, проводятся тестовые расчеты. В продолжение исследований влияния открытых торцов мишени, на основе нового алгоритма движения контактных границ проведены расчеты по НЗТ методике для урановой мишени, которые показали, что есть существенно - одномерная зона. Новый алгоритм движения контактных границ позволил избежать вычислительных трудностей, свойственных старому алгоритму.

Преимущества алгоритма:

• Новый алгоритм, вносит контролируемую вязкость порядка 0(h) и гасит нефизичные высокочастотные гармоники

В Главе 3 приведены результаты прикладных расчетов, целью которых является верификации методики и модели программного комплекса НЗТ:

• На последовательности сгущающихся сеток в НЗТ рассчитана задача обжатия мишени с учетом термоядерных реакций в урановой оболочке (B.C. Имшенник, В.Т. Жуков), показано, что интегральные величины сходятся с 0(h). Проведен анализ влияния термоядерных реакций на параметры мишени;

• На серии 1D задач получено совпадение результатов с 1D методикой SND ( Г.В. Долголева );

• На задаче с энерговложением F—30, Q*=50 без учета горения получено совпадение результатов НЗТ и SND (объемный случай); В задаче с энерговложением F=30, Q*=50 (плоский случай) с учетом горения получено качественное совпадение результатов;

• В 2D RZ - геометрии исследована формула безударного сжатия ( А.В. Забродин ), полученная для плоского случая. Показано, что она может быть применена для RZ - геометрии с энерговложением по объемным или плоским массам( последний вариант эффективнее)

• Реализована программа оптимизации модели, она позволяет подобрать оптимальную толщину слоев для обеспечения более высокого энерговыделение в DT; показана практическая оптимальность выбранной конструкции мишени;

• B.C. Имшенником предложена модель, учитывающая неравномерность излучения энергии фотонами по углам и частотам (2Т-1Р). В DT - слое вместо уравнения теплопроводности для фотонов решается уравнение переноса. На основе новой модели реализована методика Н2Т-1Р. Проведены расчеты для F=30, которые показали, что для ЗТ модели с объемным энерговложением точка загорания Q*=78.5, т.е. при меньших Q* горения нет. Расчеты Н2Т-1Р показали, что учет неравномерности излучения позволяет незначительно: понизить энерговложение в мишень для ее загорания, при Q*=75 горение есть, что подтверждает трехтем-пературную модель, применяемую в комплексе НЗТ.

Основные результаты диссертационной работы сформулированы в заключении.

Результаты диссертационной работы опубликованы в работах [79],[80]-[82] и докладывались на пяти конференциях:

1. Н.М. Гиззаткулов. Алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ с искусственной вязкостью. XV Всероссийская конференция Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам, посвященная памяти К.И. Бабенко (7-12 сентября,2004) Абрау-Дюрсо, Новороссийск;

2. А.В. Забродин, Н.М. Гиззаткулов. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов - 2004"МГУ. Москва. Апрель, 2004;

3. Н.М. Гиззаткулов, Численное моделирование двумерного нестационарного течения теплопроводного газа в трехтемпературном приближении, Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток и XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики"(Дюрсо, 15 - 22 сентября 2002);

4. Н.М. Гиззаткулов, М.Ю. Заславский, А.Х. Пергамент. Регуляризован-ные алгоритмы решения уравнения теплопроводности на криволинейных сетках. Тезисы докладов конференции молодых ученых "Ломоносов - 2003"МГУ. Москва. Апрель, 2003;

5. Т.Т. Гарипов, Н.М. Гиззаткулов, А.Х. Пергамент, Эволюция напряженно - деформированного состояния пористых насыщенных сред в процессе нефтедобычи, Повышение нефтеотдачи пластов. Освоение труд-ноизвлекаемых запасов нефти. Труды 12- го Европейского симпозиума "Повышение нефтеотдачи пластов"(Казань, 8-10 сентября 2003 года);

Диссертация и отдельные ее части докладывались на семинарах в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автор выражает благодарность А.В. Забродину, В.Т. Жукову, С.К. Годунову, B.C. Имшеннику за предложенные задачи и конструктивные замечания, высказанные в процессе работы, В.Т. Жукову, Е.А. Забродиной и JI.A. Плинер за помощь при освоении комплекса НЗТ и при реализации новых вычислительных алгоритмов для него.

§3.8 Выводы

Разработана комбинированная 2Т-1Р модель переноса излучения DT области, проведены сравнительные расчеты с моделью ЗТ. Отличие 2Т-1Р модели от трехтемпературной заключается в том, что для фотонов решается уравнение переноса, которое позволяет учесть неравномерность излучения энергии фотонами в различных частотах спектра. Учет неравномерности излучения позволит ответить на вопрос существенно ли его влияние на энергетику мишени или нет. Проведенные вычисления по методике Н2Т-1Р показали, что отличие методик НЗТ и Н2Т-1Р не существенно, т.е. учет неравномерности излучения энергии по частотам спектра не позволяет радикально снизить необходимое энерговложение в термоядерную мишень для ее загорания (здесь и далее под загоранием подразумевается, что энергетический выход от горения мишени больше, чем было вложено в нее изначально). Таким образом, ЗТ модель комплекса НЗТ достаточно хорошо описывает физику происходящих процессов в DT - слое мишени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации:

• Разработана новая неявная схема для нелинейной системы уравнений теплопроводности и релаксации энергии фотонов, электронов и ионов в программном комплексе НЗТ - численного моделирования двумерного нестационарного движения газа совместно с переносом тепла в трех-температурном приближении (ЗТ) и учетом термоядерного горения. Выполнены расчеты по сравнению новой схемы с другими известными схемами и расчеты на сходимость. Показана эффективность новой схемы по точности и времени счета. Выполненные расчеты показывают адекватность математической модели и достоверность расчетных исследований.

• Реализован новый алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ путем введения искусственной вязкости. Алгоритм обеспечивает подавление нефизических искажений подвижных границ и существенно повышает надежность методики.

• На основе разработанных алгоритмов выполнено численное моделирование работы мишеней ИТИС с целью глубокого изучения процессов сверхсжатия и определения зависимости энерговыделения мишеней от входных параметров. Исследована оптимальность конструкции мишени и показана ее практическая эффективность. Исследовано влияние открытых торцов мишени на ее энергетику и динамику с использованием предложенного алгоритма. Показано, что существенная часть мишени сохраняет одномерность движения.

• Разработана новая 1D модель переноса тепла фотонами в кинетическом, анизотропном приближении в DT-топливе. Вычислительные эксперименты по сравнению старой и новой модели подтвердили адекватность новой модели для описания сжатия и горения мишеней ИТИС.

1. Д.Г. Кошкарев, М.Д. Чуразов, М.М. Баско и др., Мощный тяжелоионный драйвер для зажигания термоядерной ДТ мишени. //Препринт 4-01 ИТЭФ, 2001.

2. К.П. Станюкович, Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Го-стехиздат, 1955 г., 805 с.

3. Е.И. Забабахин, И.Е. Забабахин, Явление неограниченной кумуляции, М.: Наука, 1988 г.

4. Дж. Г. Накколлс Осуществимость инерциального-термоядерного синтеза // Успехи физ. наук, 1984 г., Т. 143, N3, с. 467 482.

5. А.Ф. Сидоров, Избранные труды, Математика и механика, (Избранные работы. Математика и механика), Москва: Физмат литература, 2001.

6. А.Ф. Сидоров, Безударное сжатие баротропного газа // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 5.

7. А.Ф. Сидоров, Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313. N2.

8. А.Ф. Сидоров Двумерные процессы неограниченного безударного сжатия газа // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 5.

9. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, О.Б. Хайруллина, Расчетное конструирование микромишеней на основе реализации концепции безударного сжатия, Труды института математики и механики УрО РАН, Том 9, N2, 2003.

10. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы // ДАН АН СССР. 1974. Т. 218, N 6. С. 1306-1309.

11. И. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Возникновение структур при автомодельном режиме сжатия плазмы // ДАН АН СССР. 1974. Т. 219, N 3. С. 578-581.114

12. М.Г. Анучин, Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // Прикладная механика и техническая физика, 1998, Т. 39, N 4.

13. Я.М. Гао, Численное исследование реализации безударного сжатия и термоядерного горения несферической мишени тяжелоионного термоядерного синтеза. Препринт N66. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2001.

14. Я.М. Гао, Расчетная реализация безударного сжатия и термоядерного горения двумерных(цилиндрических и осесимметричных) конфигураций DT газа. Препринт N 21. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2000.

15. И.Е. Забабахин, Явление неограниченной кумуляции. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1970. Т. 2.

16. Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша академии наук СССР / Сборник научных трудов под редакцией К.И. Бабенко, 1981.

17. Г.В. Долголева , А.В. Забродин, Построение последовательности асимптотик для определения величины кумулирующейся энергии при схождении слоистой системы оболочек // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Матем. модел. физ. процессов. 1992. Вып. 1.

18. Г.В. Долголева , А.В. Забродин, Поэтапное построение решения в задаче схождения слоистой системы оболочек. Определение величины кумулирующейся энергии // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Матем. моделю физ. процессов, 1993, Вып. 4, с. 8-14.

19. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, Построение последовательности приближенных решений для определения величины кумулирующейся энергииlibпри схождении слоистой системы оболочек // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1993. N2, с. 116-123.

20. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, Построение решения в задаче движения слоистых оболоче, Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математическое моделирование физических процессов, 1996, вып.З, с. 27-34.

21. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, Воспроизведение безударного сжатия в оболочечных конструкциях микромишеней. Препринт N53, М.: ИПМ М.В. Келдыша РАН, 1999.

22. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, Разработка термоядерных мишеней на основе реализации концепции безударного сжатия // Аэромеханика и газовая динамика, 2002 г., N2, стр. 48 54.

23. С.П. Баутин, Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997.

24. В.Т. Жуков, А.В. Забродин, B.C. Имшенник ,О.Б. Феодоритова, Численное моделирование мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. Препринт N 41 М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993.

25. M.D. Churazov, Ya.B. Sharkov, Е.А. Zabrodina Magnetized deuterium targets in heavy ion fusion // Fusion Engineering and Design. 1996. N 32 33. p. 577 - 584.

26. M.M. Баско, Уравнения одномерной радиационной гидродинамики с теплопроводностью и кинетикой термоядерного горения: Препринт N145. М.: ИТЭФ, 1985.

27. М.М. Баско, GITTAM программа для численного моделирования одномерных мишеней ТИС.1. Система уравнений: Препринт N87-89. М.-.ИТЭФ, 1989.

28. М.М. Basko, V.S. Imshennik, M.D. Churazov, Overview of directly driven HIF targets. Particle Acceletators, 1992, v. 37-38, pp. 505 - 512.116

29. М.М. Баско, B.C. Имшенник, Д.Г. Кошкарев, М.Д. Чуразов, К.Б. Шерст-нев, Управляемый тяжелоионный синтез и дейтеривые мишени. ВАНТ. Сер. Матем. моделирование физ. процессов. М.: 1989. в. 3, с. 84 - 97.

30. Г.В. Долголева, А.В. Забродин, Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

31. А.В. Забродин, Г.П. Прокопов, Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпера-турном приближении. ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. 1998, вып.З.

32. Н.Н. Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

33. А.А. Самарский, Теория разностых схем. М.: Наука,1983.

34. В. Вазов, Дж. Форсайт, Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.М.:ИЛ, 1963.

35. Г.Б. Алалыкин, С.К. Годунов, И.Л. Киреева, Л.А. Плинер, Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках, М.: Найка, 1970.

36. A. Harten, P.D. Lax, and В. van Leer, Upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws, SIAM Rev., 25, 1983.

37. S. Osher, F. Solomon, Upwind difference Schemes for Hyperbolic systems of conservation laws, MAth. Comput., 38, 1982.

38. J. Quirk, A contribution to the Great Riemann Solver Debate, Int. J. Num Met. in Fluids, 18, 1986.

39. RL. Roe, Characteristic Based Schemes for the Euler Equations, Ann. Rev. Fluid Mech., 18, 1986.

40. B. van Leer, flux Vector Splitting for the Euler Equations, ICASE Report, no. 82 - 30, 1982.

41. A. Harten, B. Engquist, S. Osher, S.R. Chakravarthy, Uniformly high order accurate essentially non oscillatory schemes, Appl. Numer. Math. 2, No. 3 -5, 1987.

42. А.Г. Куликовский, H.B. Погорелов, А.Ю. Семенов, Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М: Физ-матлит 2001 г.

43. Численное решение многомерных задач газовой динамики, / Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976.

44. N.V. Pogorelov, TVD Lax-Friedrichs scheme and its application to gas dynamics and magnetogasdynamics, in Proc. 2nd Asian Comput. Fluid. Dyn. Conference, 1, 231 236, 1996, Tokyo University.

45. Ю.А. Бондаренко, В.В. Башуров, Ю.В. Янилкин, Математические модели и численные методы для решения задач нестационраной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы, Препринт РФЯЦ ВНИИЭФ, N88, 2003

46. С.К. Годунов, Г.П. Прокопов, О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток, ЖВМФ, т. 7, N5, 1967

47. С.К. Годунов, Г.П. Прокопов, Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах, ЖВМФ, т. 12, N2, 1972

48. Г.П. Прокопов, Построение ортогональных разностных сеток посредством расчета конформных отображений. Препринт N45. М.:ИПМ АН СССР, 1970 г.1. J.1S

49. Г.П. Прокопов, О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. Препринт N17. М.:ИПМ АН СССР, 1974 г.

50. Г.П. Прокопов, Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток. Препринт N98. М.:ИПМ АН СССР, 1987 г.

51. Г.П. Прокопов, Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток. Препринт N98. М.:ИПМ АН СССР, 1987 г.

52. П.П. Белинский, С.К. Годунов, Ю.Б. Иванов, И.К. Яненко, Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. ЖВМФ, т. 15, N б, 1975 г.

53. С.А. Иваненко, Адаптивно гармонические сетки, Вычислительный центр РАН, Москва 1997 г.

54. С. Bernardi, Y. Maday, and A. Paetra (1989), A new nonconforming approach to domain decompositions. The mortar element method. I. H. Bretis and J.L. Lions (eds) Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications. Ditmch and Wiley.

55. C. Bernardi, Y. Maday, G. Sacchi Landriani Nonconforming matching conditions for coupling spectral and finite element method, Appl. Num. Math., 1989.

56. P.E. Bjorstad, O.B. Widlund Iterative methods for the solution of elliptic problems on regions partioned into substructures, SIAM J. Numer. Anal. 23, 1986, pp 1097 - 1120.

57. Г.М. Елисеев, Г.Е. Клинишов, Уравнение состояния твердых веществ и его сплайн аппроксимация. // Препринт ИПМ РАН, 1982, N173.

58. Попов Ю.П., Самарский А.А., Полностью консервативные схемы. Журнал вычисл.мат. и мат. физ., 1969, т.9, N4.11У

59. К. Флетчер Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1990.

60. А.А. Самарский, В.А. Колдоба, Ю.А. Повещенко, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский, Разностные схемы на нерегулярных сетках. ИММ РАН, Минск: 1996.

61. А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, Ю.П. Попов, Об одном алгоритме решения теплопроводности на неортогональных сетках. Дифференц. уравнения. 1985, т.

62. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики/ Под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1979.

63. С.К. Годунов, B.C. Рябенький, Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977.

64. B.C. Рябенький, Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие: Для вузов. М.: Физматлит, 1994.

65. Долголева Г.В., Методика расчета движения двухтемпературного излучающего газа(СНД) // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1983, Вып. 2.

66. Н.Н. Алексеев, М.М. Баско, Е.А. Забродина, B.C. Имшенник, Д.Г. Кош-карев, М.Д. Чуразов, Б.Ю. Шарков(ГНЦ РФ ИТЭФ им. А.И. Алиха-нова), Г.В. Долголева, В.Т. Жуков, А.В. Забродин, М.В. Маслеников,

67. Ю.Н. Орлов, В.И. Субботин (ИПМ РАн им. М.В. Келдыша), Разработка энергетической установки синтеза и деления на основе микромишеней прямого действия и мощного тяжелоионного драйвера, Атомная энергия, Т. 97, вып. 3,' 2004.

68. А.В. Забродин, JI.A. Плинер, А.В. Северин, Численные расчеты некоторых режимов безударного сжатия. Препринт N4, М.:ИПМ М.В. Келдыша РАН, 1996.

69. В.Т. Жуков, А.В. Забродин, О.Б. Феодоритова, Метод решения двумерных уравнений динамики теплопроводного газа в областях сложной формы // Журнал вычисл. мат. и мат. физ. 1993, Т.ЗЗ, N 8.

70. В.Т. Жуков, О.Б. Феодоритова, Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N80, 1988.

71. В.Т. Жуков, Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N173, 1986.

72. SPARSKIT: a basic tool-kit for sparse matrix computations (Version 2). -University of Minnesota Department of Computer Science and Engineering. www.cs.umn.edu/Research / arpa/SPARSKIT

73. A.H. Крайко, B.E. Макаров, Н.И. Тилляева, К численному построению фронтов ударных вол, ЖВМФ, том 20, N3, 1980 г.

74. С.К. Годунов, А.В. Забродин, Г.П. Прокопов, Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной, ЖВМФ, том 1, N6, 1961 г.

75. Ю.Я. Михайлов., Замечание об устойчивости нелинейной схемы расчета движения ударной волны. ЖВМФ., том 23, N5, 1983 г.

76. Н.М. Гиззаткулов, Модифицированная численная схема комплекса НЗТ,// Москва: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N63, 2003 г;1.l

77. H.M. Гиззаткулов, Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики в трехтемпературном приближении. // Журнал "ММ", т. 16, №10, 2004 г., стр. 107-119.

78. Н:М. Гиззаткулов, Алгоритм построения фронтов ударных волн и контактных границ. // Москва: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N109, 2005.

79. Р. Белман, Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976

80. М.А. Бочев, JI.A. Крукиер, Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ, т. 37, N 11.

81. A. Greenbaum, L. Trefethen, GMRES/CR and Arnoldi/Lanczos as matrix approximation problems // SIAM J. Sci. Comput. 15, p. 359 368.

82. Y. Saad, M. Schultz, GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 7, p. 856 869.

83. D. Young, Iterative solution of large linear systems, N.Y. &; London, Academic Press, 563 p., 1971.

84. N.B. Peter, S.W. Carol, Preconditioning strategies for fullz implicit radiation diffusion with material energz transfer,SIAM, J. Sci. Comput. 10, 2000.

85. J. Zhang, Preconditioned iterative methods and finite difference schemes for convection diffusion // Appl. Math, and Сотр. 109, p. 11 - 30, 2000.

86. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун, Матричные вычисления: Пер. с англ. М.:Мир, 1999.1.Z

87. D. Heller(1978), "A survey of Parallel Algorithms in Numerical Linear Algebra", SIAM Review 20, p. 740 777.

88. K.A. Gallivan, R.T. Plemmons, A.H. Sameh (1990), "Parallel algorithms for dense linear algebra computations", SIAM Review, 32, N 1, p. 54 135.

89. Р.П. Федоренко Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие: Для вузов. М.: Изд - во Моск. физ. - техн. ин - та, 1994.

90. J.-Ch. Robinet, J. Gressier, G. Casalis and J.-M. Moschetta, Shock Wave Instability and Carbuncle Phenomenon: same intrinsic origin?, Journal of Fluid Mechanics Vol. 417, pp. 237-263 (2000).

91. Д.Г. Кошкарев, Б.Ю. Шарков, Ядерное деление с инерционным удержанием, Письма в ЖЭТФ, том 75,вып. 7, 2002.

92. B.C. Имшенник, Н.А. Боброва, Динамика столкновительной плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1997.

93. С.К. Годунов, Уравнения математической физики, М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1971.

94. Г.Г. Черный, Газова я динамика: Учебник для университетов и втузов. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1988.

95. JI. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. IV/В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Квантовая электродинамика. 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1989.

96. А.И. Зуев, Н.Г. Карлыханов, В.А. Лыков, В.Е. Черняков, О роли быстрых электронов и ограничения электронной теплопроводности в экспериментах с газонаполненными оболочками, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, N11, 1980.

97. Я.М. Каждан, Адиабатическое сжатие газа под действием цилиндрического поршня. Препринт N 56, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1980.1Z0

98. Долголева Г.В., Забродин А.В., Исследование оптимальной конструкции цилиндрической мишени с урановым пушером, сжимаемой безударным способом.

99. B.C. Имшенник. Лучистый теплообмен оптически толстых сферических оболочек через слой горячей почти прозрачной плазмы. ВАНТ. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. М.: 1987. в. 1, с. 29 39.

100. Т.А. Гермогенова, Регулярные компоненты асимптотических приближений к решениям уравнений переноса в оптически плотных средах //Ж. вычислит, математики и математической физики. 1997 Т. 37. N4, рр464-482

101. Г.П. Прокопов, Задача о распаде разрыва в трехтемпературной газовой динамике, Москва: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N66, 2004 г;

102. Н. И. Глебов, Ю. А. Кочетов, А. В. Плясунов, Методы оптимизации, учебное пособие Новосибирск: Новосибирский государственный университет;