автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Развитие теории нечетких мер для описания неопределенности в моделях принятия решений, логического вывода и анализа изображений

На правах рукописи

БРОНЕВИЧАндрей Георгиевич

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МЕР ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ, ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА И АНАЛИЗА ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.13.17 - Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Таганрог - 2004

Работа выполнена в Таганрогском государственном радиотехническом университете.

Научный консультант:

Доктор физико-математических наук, профессор А.Н. КАРКИЩЕНКО

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Г.А. КОШЕВОЙ

Доктор физико-математических наук, профессор В.А. ПЕРЕПЕЛИЦА

Доктор физико-математических наук, профессор А.В. ЯЗЕНИН

Ведущая организация: Вычислительный центр Российской академии наук

Защита состоится 21 октября 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДР 212.259.09 при Таганрогском государственном радиотехническом университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Автореферат разослан «_» июля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук,

; Л. К. Бабенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время особую практическую и теоретическую ценность в различных разделах математики приобретает исследование нелинейных моделей, позволяющих более адекватно описывать постановки задач, которые не поддаются решению традиционными методами. Так теория вероятностей не позволяет моделировать виды неопределенности, отличные от случайности, которые могут быть вызваны, например, неточностью, нечеткостью, неполнотой или противоречивостью имеющейся информации. Такая ситуация возникает при моделировании принятия решений или приближенных рассуждений в интеллектуальных системах, при анализе и классификации неполных, а также неточных статистических данных, в частности, в задачах обработки и анализа изображений.

Обобщением классической вероятностной модели может служить модель, основанная на понятии нечеткой (неаддитивной) меры, т.е. нормированной, монотонной функции множества. При этом значения нечеткой меры интерпретируются как верхние или нижние оценки вероятностей событий. Следует подчеркнуть, что в основном до сих пор использовались только частные виды нечетких мер, в частности, разложимые меры, меры возможности и необходимости, -меры Сугено, искаженные вероятности, меры доверия и правдоподобия. Это вызвано тем, что задание произвольной нечеткой меры на конечной алгебре всех подмножеств конечного пространства X связано с определением 2'*' - 2 ее значений, что значительно усложняет использование более широкого класса нечетких мер в практических приложениях. С другой стороны, модели неточных вероятностей, основанные на разложимых мерах, оказываются недостаточно выразительными. С учетом этого, является важной и актуальной задача исследования алгебраических свойств различных семейств нечетких мер на конечных и -алгебрах в рамках вероятностного подхода с целью поиска эффективных способов представления нечетких мер, а также эффективных методов логического вывода из такого рода неопределенной и неточной информации. Следует подчеркнуть, что модели логического вывода, разработанные в теории неточных вероятностей, оказываются малопригодными в практических приложениях, так как основаны на решении систем линейных неравенств высокой размерности.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является получение алгебраического представления различных выпуклых

руемых как нижние или верхние оценки вероятностей на конечной алгебре и а -алгебре, и применение полученных результатов для построения моделей принятия решений, логического вывода и анализа изображений в условиях неопределенности.

В связи с поставленной целью необходимо было решить следующие задачи:

- исследовать алгебраические свойства основных выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как верхние или нижние оценки вероятностей, на конечной алгебре;

- разработать и исследовать модели представления нечетких мер на основе функций агрегирования;

- разработать и исследовать математический аппарат канонических последовательностей нечетких мер для изучения аддитивных свойств 2-монотонных и других нечетких мер на -алгебрах;

- разработать и исследовать возможностную модель принятия решений при неполной информации о функции полезности;

- разработать и исследовать возможностные модели логического вывода в рамках понятия «верхняя-нижняя» вероятность;

- разработать и исследовать модели обработки изображений и представления контурной графической информации на основе мер информативности.

Методы исследований основываются на теории неаддитивных мер и интеграла Шоке (в частности, классической теории меры и теории вероятностей), теории возможностей, теории линейных неравенств, функционального анализа, теории полезности, теории нечетких множеств.

Научная новизна. Данная диссертационная работа вносит существенный вклад в теорию нечетких мер как развитие одной из моделей теории неточных вероятностей. Найденные алгебраические свойства нечетких мер, а также свойства их представления через агрегирующие функции дают принципиально новые возможности построения гибких моделей описания неопределенности. Разработанные эффективные модели принятия решений, логического вывода, анализа и обработки изображений дают принципиально новые подходы в данных прикладных областях применения теории нечетких мер и теории возможностей для описания различных видов неопределенности.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- проведено исследование алгебраических свойств основных выпуклых семейств нечетких мер, включающее найденные необходимые и достаточные точной нижней вероятности, статисти-

чески непротиворечивых мер, к -монотонных мер, свойств данных мер относительно операции сужения, а также свойств их теоретико-множественного включения;

- введены и исследованы понятие идеалов на множестве нечетких мер, а также алгебраические операции над такими идеалами;

- исследованы модели представления нечетких мер на основе функций агрегирования с точки зрения наследования свойств агрегируемых мер;

- найдены обобщения основных выпуклых семейств нечетких мер на алгебре нечетких множеств и исследованы их свойства;

- получены свойства полилинейного расширения, связанные с агрегированием нечетких мер;

- разработан математический аппарат построения канонических последовательностей нечетких мер для описания аддитивных свойств нечетких мер и получения мер с заданными аддитивными свойствами;

- предложена модель принятия решений при неполной информации о функции полезности, основанная на индексе включения нечетких множеств и функции предпочтения;

- предложена модель логического вывода в рамках теории возможностей, основанная на вероятностных принципах;

- найдены выражения для вычисления максимальной дисперсии нечеткого интервала;

- разработаны и исследованы модели анализа контурных изображений, а также методы сглаживания и сегментации изображений, основанные на нечетких мерах информативности.

Практическая ценность работы состоит в том, что на основе проведенного алгебраического исследования нечетких мер и функций агрегирования удалось получить новые гибкие иерархические модели описания неопределенности, решающие проблему комбинаторной сложности задания мер из выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как нижние или верхние оценки вероятностей. Разработанные модели принятия решений, логического вывода, анализа и обработки изображений позволяют организовать вычислительно эффективные процедуры обработки различной статистической и образной информации за счет адекватного моделирования неопределенности и, таким образом, добиваться в указанных случаях результатов, которые не могут быть улучшены без дополнительной априорной информации.

Реализация результатов работы. Разработанные методы и алгоритмы анализа и обработки изображений на основе мер информативности внедрены в системах обработки и классификации графической видеоинформации,

разработанных в ОАО НКБ Вычислительных систем (г. Таганрог). Отдельные положения диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Таганрогском государственном радиотехническом университете.

Ряд результатов диссертационной работы получен в рамках гранта РФФИ (грант №98-01-00013).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в Бременском университете (Германия, июнь-июль, 2003 г.) по неаддитивным мерам под руководством профессора Дитера Деннеберга (Dieter Denneberg), на Международном симпозиуме по неточным вероятностям и их применениям (Лугано, Швейцария, 2003 г.), на Международном конгрессе ассоциации нечетких систем (Стамбул, Турция, 2003 г.), на Международном научно-практическом семинаре «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна, Россия, 2001 г., 2003 г.), на Международной конференции по мягким методам в вероятности и статистике (Варшава, Польша, 2002 г.), на Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (1998 г., 2000 г., 2001 г., 2002 г.), на конференции IEEE AIS'02, CAD-2002 (Геленджик, Россия, 2002 г.), на Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, Россия, 2002), на Международном конгрессе «Искусственный интеллект в XXI веке» (Геленджик, Россия, 2001 г.), на Международной конференции по управлению, робототехнике и зрению (Сингапур, 2000 г.), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2000 г.), на Национальных конференциях по искусственному интеллекту (Россия, 1998 г., 2000 г.), на Международной научной конференции «Искусственный интеллект 2000» (Крым, Украина, 2000 г.), на Международной конференции по мягким и интеллектуальным вычислениям (Будапешт, Венгрия, 1999 г.), на Европейских конгрессах по интеллектуальным технологиям и мягким вычислениям (Аахен, Германия, 1995 г., 1996 г., 1997 г., 1999 г.), на Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные многопроцессорные системы-99» (Таганрог, Россия, 1999 г.), на Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (Санкт-Петербург, Россия, 1998 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 56 печатных работ, в том числе монография «Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей» / А.Г. Броневич, А.Н. Каркищенко. - Таганрог: ТРТУ, 1996. - 194 с. Кроме того, результаты исследований отражены в 5-ти отчетах о НИР.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести тематических глав, заключения, списка литературы и приложений.

Общий объем основного текста - 299 стр., включая 26 рисунков и 5 таблиц. Список литературы изложен на 20 стр. и содержит 198 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава диссертации посвящена исследованию алгебраических свойств нечетких мер на конечной алгебре, значения которых можно интерпретировать как нижние или верхние оценки вероятностей.

Пусть X - конечное пространство и SI = 2Л - конечная алгебра всех подмножеств X. Функция множества ¡л называется нечеткой {неаддитивной) мерой, если 1) //(0) = О, ц(Х) = 1; 2) /л{А) < ¡л{В) при Ас В. Нечеткая мера v, вычисляемая по правилу v(A) = \-p(A), АеШ, называется двойственной к нечеткой мере /л. Этот факт обозначается v = Далее для нечеткой меры ц также будут рассматриваться нечеткие меры

Нечеткая мера цв называется сужением ц на множество В. Отметим, что . Нечеткие меры являются обобщением вероятностных мер, так как в общем случае не обладают свойством аддитивности. Обозначим через Мй множество всех нечетких мер на 8!. Легко заметить, что Мй является выпуклым множеством,

crefO,l]. Можно показать, что экстремальными точками множества М0 являются так называемые примитивные меры, принимающие значения из множества {0,1}. Для описания примитивных нечетких мер удобно использовать некоторые определения теории частично упорядоченных множеств. Будем рассматривать алгебру как частично упорядоченное множество относительно обычного теоретико-множественного включения. Фильтром в называется подмножество такое, что если

По определению считаем, что никакой фильтр не содержит 0. В каждом фильтре можно выделить множество минимальных элементов {Al,A2,...,Ak}, т.е. множество таких попарно несравнимых элементов в f, что f = {А 6 21| ЗА, ст А|. Ясно, что минимальные элементы однозначно определяют или порождают фильтр. Этот факт записывают в виде f = {Ах,Аг,...,А^. Фильтр f называют главным, если он порождается одним

элементом, т.е.

Лемма 1. Пусть f - некоторый фильтр 2!, TJf(A) = j - ха-

рактеристическая функция фильтра Тогда rjf - примитивная нечеткая

мера. И обратно, любая примитивная мера ассоциирована с некоторым фильтром алгебры 91.

Можно показать, что любая нечеткая мера может быть выражена в виде линейной комбинации примитивных мер, однако такое представление . в общем случае определяется неоднозначно.

В диссертации рассматриваются следующие семейства нечетких мер:

Мр - семейство всех вероятностных мер;

Мх = е Мй | ЗРе Мр :ц<Р} - семейство всех нижних вероятностей;

Мг = {ц€Мй |У5€Ш,/1(В) - семейство всех обобщен-

ных точных нижних вероятностей;

= /л{А) = Р(А)} - семейство всех

точных нижних вероятностей;

Нк, к = 2,3,... - семейства всех ¿-монотонных нечетких мер. Согласно определению нечеткая мера ц является ¿-монотонной, если

е (-1)'чавфо о)

для любой системы множеств

В частности, нечеткая мера является 2-монотонной, если удовлетворяет неравенству +р(В)<.(л{А(ЛВ) +(¿(А^В) для всех А,В е Ш. Если последнее свойство выполняется только для непересекающихся множеств, то ¡л называется супераддитивной. Если нечеткая мера является к монотонной для всех к = 2,3,..., то она называется полностью монотонной или мерой доверия. Семейство всех мер доверия обозначается через Можно рассматривать также семейства нечетких мер, двойственные к рассмотренным. В частности, если называется верхней вероятностью. Данное название оправдано тем обстоятельством, что при моделировании неопределенности значение дает нижнюю оценку вероятности события Ле21, а -\{л(А) - верхнюю оценку вероятности, т.е. можно считать, что точное значение вероятности события неизвестно и заключено внутри отрезка [/л(А),-лц(А)\. В этом заключается основной смысл моделирования неопределенности с помощью нечетких мер. Пусть // е Мх и "Е.-\Р е.Мр Тогда, пользуясь данной интерпретацией, значения оценок вероятностей можно уточнить по формуле = АеШ.

Видно, что цас е Мъ. Таким образом, оценки вероятностей, задаваемые мерами из , не уточняются без дополнительной априорной информации. Нечеткие меры, двойственные к Л-монотонным, называются к-

альтернирующими. В частности, 2-альтернирующая мера удовлетворяет характеристическому неравенству /¿(А) + ц{А(~\В)+ /{(А*иВ) для

всех А,ВеШ. Если последнее свойство выполняется только для непересекающихся множеств, то нечеткая мера называется субаддитивной. Нечеткая мера, двойственная к мере доверия, называется мерой правдоподобия. Меры доверия и правдоподобия являются основой теории Демпстера-Шейфера, а также теории случайных множеств. В диссертации рассмотрена схема статистического порождения нечетких мер, обобщающая статистический эксперимент с неточными наблюдениями, описанный Демпстером.

Рассмотрим эксперимент, в котором не удается фиксировать наступление элементарного события, а лишь имеется возможность утверждать, что произошли некоторые события из множества {Я,,...,.^}. При этом

получаемые сведения будут противоречивыми в случае, если и непротиворечивыми - в противоположной ситуации. В этой модели событие В можно считать точно наступившим, если найдется индекс По аналогии событие В возможно наступило, если

А1пВ*0 для некоторого индекса ь Это означает, что для описания результатов эксперимента можно использовать нечеткие меры:

(в\ _ / если зМ1.....к} А £ в>

Пи ~ 1 л

\" '"ч [0, в противном случае,

если Э/е{1,...,£} Агп>В*0, в противном случае.

При этом нечеткая мера г}^ ^ является примитивной нижней вероятностью, а мера —¡Т]^ ^ - примитивной верхней вероятностью, если сведения о наступивших событиях являются непротиворечивыми. В

противном случае указанные примитивные меры будут принадлежать классу противоречивых нечетких мер. Далее предположим, что частота наступления исходов эксперимента характеризуется статистической устойчивостью. Тогда каждый возможный исход эксперимента г],, будет характеризоваться некоторой вероятностью и можно рассматривать вероятность необходимости наступления произвольного события В. Данная вероятность

описывается с помощью нечеткой меры

^ .>(*>={о,

множество

возможных исходов эксперимента. При этом нечеткая мера является нижней вероятностью, если каждый возможный исход эксперимента является непротиворечивым. Двойственная к нечеткая мера будет характеризовать вероятность д(В) возможности наступления события В. Отметим,

что в модели Демпстера-Шейфера в результате эксперимента фиксируется наступление лишь одного события, поэтому меры g и q представляются в виде линейной комбинации примитивных мер вида (А-Ф0) и

являются соответственно мерами правдоподобия и доверия. В дальнейшем нечеткие меры, представимые в виде линейной комбинации примитивных нижних вероятностей, будем называть статистически непротиворечивыми, и семейство всех таких мер на алгебре 21 будем обозначать UiA.

Рассмотрим наиболее важные результаты, описывающие свойства нечетких мер из рассматриваемых семейств.

Показано, что нечеткие меры из Мг являются супераддитивными,

кроме того, пусть - это множество всех аддитивных мер

на для которых в общем случае не выполняется

в том и только том случае, если Последнее свойство

объясняет название, данное мерам из Мг. Показано, что min если ¡лх,цг е Мг. Отметим, что данное свойство выполняется также для мер из однако перестает быть справедливым для других рассматри-

ваемых семейств нечетких мер. Пусть нечеткая мера ц задана на алгебре пространства тогда можно построить нечеткую ме-

ру v на алгебре Щ =2Г про с Ут^^а^нЬ нтот^вЛ)^и А е Шх . Последнее свойство говорит о том, что Мг — это «минимальное» выпуклое множество нечетких мер, содержащее и замкнутое относительно операции сужения.

Пусть при этом если для

всех указанных множеств BefH, то /1еНг. Аналогично, если (леМг, то при этом если для всех указанных множеств

Для исследования агрегирующих функций оказывается важным следующий результат.

Лемма 2. тогда и только тогда, когда Vf?e21, 3Р1гР2

что M(OnB)u(CnS))<i{(D)ju(B) + Р2(С)(1 -/л{В)) для всех D,CefH. Пусть jueJit, тогда ¡лв еМА (ju(B)* 0). Для мер из Mt оказывается

удобным следующее представление ^ = ' где

«,>0,1 = 1,2,...,и . С его помощью доказывается следующая теорема.

Теорема 1. pie. МА в том и только том случае, если найдется такая система вероятностных мер Рв, /л{В)Ф 0, что 1) /лв<:РЙ; 2) функции

множества \>к{В) = ц{В)Рв{:Ве$1, к = 1,2,...,п, являются монотонными.

Отметим, что условие 1) последней теоремы является необходимым и достаточным условием того, что це.Мг. С помощью теоремы 1 на примере показано, что М4 <£ Мъ.

Отметим, что свойства 2-монотонных мер достаточно хорошо известны в литературе (например, в теории кооперативных игр). Далее формулируются свойства 2-монотонных мер, которые важны для понимания их особенностей.

Теорема 2. Пусть тогда следующие условия являются экви-

валентными: 1) ; 2) для любых множеств АсВсХ существует

РвМр, что Р^ц, Р(А) = //(А), Р(В) = р(В); 3) нечеткие меры (—¡¿1(В)&0) являются субаддитивными; 4) нечеткие меры (/л{В)^\)) являются супераддитивными; 4) функция веса УЛ{хк) = р(А\{хк\),

А е 21, хк е X, является монотонной, т. е. УЛ(хк)< ув {хк) при Ас В с!.

Некоторые свойства из последней теоремы можно усилить. Так, например, если /леН2, то для любой цепи множеств существует Р еМр, что Р(АХ) = /и{Ах),...,Р(Ак) = ц(Ак) и ц<Р, кроме того, нечеткие меры 0) и ць являются 2-монотонными.

В диссертации получен удобный необходимый и достаточный признак -монотонности через системы непересекающихся множеств, в том и только том случае, если

^(-»^(^ц^фо (2)

для любой системы попарно непересекающихся множеств

Следует обратить внимание на отличия последнего условия от условия (1), введенного Шоке.

Из найденных свойств нечетких мер следуют включения:

г> #2 ... эЯ.э Мр. Однако

Для дальнейшего исследования алгебраических свойств нечетких мер в диссертации вводится понятие идеала, т.е. выпуклого семейства нечетких мер, замкнутого относительно обычной операции перемножения. Показано, что семейства Мк, £ = 0,...,4, Нк, & = 2,...,оо, являются замкнутыми идеалами. Здесь замкнутость понимается в топологическом смысле - каждую

нечеткую меру можно представить в виде (2" —2)-мерного вектора в обычном векторном пространстве, так чтобы его координатами были значения нечеткой меры на всех собственных подмножествах X, исключая 0. Тогда выбираем в Ж2 '2 традиционное определение открытых и замкнутых множеств. Вводится следующее определение, позволяющее описывать структуру идеалов.

Определение 1. Пусть М - выпуклое семейство нечетких мер. Нечеткие меры называются образующими (или порождающими) элементами множества М, если любая нечеткая мера представляется в виде выпуклой комбинации нечетких мер . Система образующих называется минимальной, если никакая мера gk е } не представляется в

виде выпуклой суммы других мер из

Теорема 3. Пусть выпуклое множество МсМ^ порождается конечной системой образующих тогда множество Мявляется идеалом, если для любой пары индексов ¡,к е {1,2,..., и} gtgk е М,

Отметим, что каждое из рассматриваемых семейств нечетких мер

является замкнутым идеалом с конечной системой образующих, поскольку каждое семейство можно описать конечной системой нестрогих линейных неравенств. В диссертации рассмотрены различные способы порождения замкнутых идеалов, которые основаны на следующем определении.

Определение 2. Пусть М - это произвольное множество нечетких мер, тогда через обозначается минимальный замкнутый идеал, со-

держащий множество М. Минимальность идеала означает, что лю-

бой другой замкнутый идеал , удовлетворяющий условию , также

должен содержать идеал

Теорема 4. Для любого непустого множества МсМ^ идеал {)(•<#) существует и определяется единственным образом.

В диссертации подробно исследован случай, когда минимальный идеал порождается одной нечеткой мерой g. Показано, что любая нечеткая

мера представляется в виде

Показано, что идеал имеет конечную систему об-

разующих в том и только том случае, если

В диссертации вводятся алгебраические операции над идеалами, основанные на определении 2 и теореме 4:

1) пересечение идеалов д, ,д2: д = д, п д2;

2) сложение идеалов д,,д2: 9 = д, = д(д, ид2);

3)умножение идеалов д,,д2: д = д,д2 = 1 & е д, е д,}).

Показано, что если идеалы д,,д2 имеют конечные системы образующих {<71 >—><?»,} соответственно, то также конечными будут системы образующих для идеалов д,пд2, д,+д2, д,д2, кроме того,

~ это система образующих идеала д, + д2;

и ~ это система образующих идеала Свойства операции пе-

у*)*/*

ремножения идеалов описывает следующая теорема.

Теорема 5. Пусть д - произвольный идеал, тогда справедливы следующие соотношения: 1) д" с д, п = 1,2,...; 2) ^0д2Й>' 3) ^дс-^",.

Во второй главе исследуются представления нечетких мер на основе агрегирующих функций. Будем рассматривать нечеткие меры на алгебре всех подмножеств Ш — 2п конечного пространства О = {<»,,..., Через g = (g1,...,g)1)e.#д обозначается декартово произведение нечетких мер g■^,...,gя&Ma. Тогда функция (р\[0,1]" —>[0,1] называется п -агрегирующей (или просто агрегирующей) функцией, если где символ обо-

значает композицию функций для любого

причем последнее свойство должно выполняться для всех вне зависимости от выбора пространства О. Ясно, что агрегирующая функция индуцирует отображение <р: М^ М0. В данной главе решается задача поиска необходимых и достаточных условий, накладываемых на <р, при которых <р:Лк ¿е{0,...,3}, а также (р\Н\-^Нк, ¿е{2,...,оо}. При этом для описания функций, агрегирующих меры из Нк, оказывается очень важной следующая характеризация к -монотонных мер с помощью теории разностей.

Пусть тогда разность первого порядка от данной функ-

ции определяется как

По индукции вводятся разности произвольного порядка:

= 4?(х + Дх, + Ах2)-0>(х + Дх1)-0>(х + Дх2) + ^(х), х,Дх,,Дх2 ей",

Л'9?(х;Лх,,Дх2,...,Дх|) = Д(Д'>(х;Дхр...,Лхм);Дх,) =

.«с», Л

Обозначим Д(. л}^(х) = Л*^(х;Дх4,...,Дх(1), Ьа(р-<р(\). Тогда

$>(х + Дх,+Дх2 + ... + Дх,) = ]Г Д^(х).

1)

Отметим, что последнюю формулу можно рассматривать как аналог обратного преобразования Мёбиуса для функций множества. Данную связь, а также характеризацию ¿ -монотонных мер можно получить, если ассоциировать каждую нечеткую меру £ на 21 с функцией {0,1}" ->[0,1], чтобы

~ — 11 СО- б А.

g(A) = g(A), если А = (аи...,ан) иа,= ' ' 'В этом случае объединено, ¿у, й А.

ние непересекающихся множеств можно описывать суммой векторов из бинарного куба, и с помощью критерия (2) доказывается следующая теорема.

Теорема 6. Пусть %: {0,1}" —»[0,1]. Данная функция ассоциирована с нечеткой мерой g на алгебре 21 в том и только том случае, если О £(0) = 0, §(1) = 1,где 0 = (0,...,0), 1 = (1,...,1); 2) Д|(Л;Д)>0 длявсех А,А,,А + А, е{0,1}\ Кроме того, g^Hk в том и только том случае, если / = 1,2,..,&, длявсех А,А1,А2,...,А1,А + А,+... + А,е{0,1}".

Введем важные классы функций, которые будут использоваться для описания агрегирования ¿-монотонных мер. Пусть ¿?:[0,1]" —>[0,1], тогда

ё&Йк, ¿ = 1,2..... если g(0) = 0, г(1) = 1; Д^Ах,,...,^)^, 1 = 1,...,к,

для всех х,Дх1,...,Дх(,х+Дх,+... + Дх(е[0,1]". Следующие результаты характеризуют их свойства относительно операции композиции и дают важный дифференциальный признак принадлежности этому семейству.

Теорема 7. Пусть g=(g1,g2~ это декартово произведение функций gug2,—,g„ еЯ, и <ре.Ну, тогда (р°%<гНк.

Теорема 8. Пусть £:[0,1]" ->[0,1], #(0) = 0, ^(1) = 1, и g является непрерывной на [0,1]" вместе со своими частными производными до порядка к включительно. Тогда geHk в том и только том случае, если

--->0 для любой точки Х€[0,1]л и любой последовательности

дх,дх,...дх,

'з

индексов (/',,12,...,/,„), ц,12,...,1т е {1,2,...,и}, т<,к.

В диссертации найдено описание классов агрегирующих функций, которые индуцируют отображения <р: М[ —> Мк, к е {0,...,3}, <р: Н\ —» Н1, к е {2,. ..,оо}.

Утверяедение 1. -»[0,1] - это п-агрегирующая функция в

том и только том случае, если 1) д>{0) = 0, (р{\) = \; 2) <р(х)<<р(у) при х < у (монотонность).

Далее агрегирующие функции нам будет удобно описывать с помощью теории нечетких множеств, а именно каждому вектору х = (*„...,*„)£[0,1]" поставим в соответствие нечеткое подмножество А:2 ->[0,1] множества 2 - {1,...,и} так, чтобы х1 = Л(/), I е 2. Обозначим

через 21 все нечеткие подмножества множества 2. При этом будем использовать следующие операции над нечеткими множествами:

1) С = А + В,еели С(/) = А(Г) + В(}) для всех /е 2 и А,В,Сей;

2) С = АВ, если С(г) = А(г)В(0 для всех г ег и А,В,СеШ;

3) С-А, если С(г') = 1 - Л(/) для всех I е 2 и А,С е Ш;

4) ^сВ, если А(1) <В{{) для всех ¡^2 и А,ВеШ;

Отметим, что нечеткие множества являются обобщением обычных (четких) множеств. При этом в рамках нечетких множеств четкие множества идентифицируются со своими характеристическими функциями. Так операцию 1) для четких множеств можно интерпретировать как объединение непересекающихся множеств, операцию 2) - как пересечение множеств, унарную операцию 3) - как дополнение множества. Понятие нечеткой меры также может быть обобщено на алгебру нечетких множеств. Согласно определению отображение <р:Ш-+[0,1] называется нечеткой мерой, если <р{0) = 0, <р(2) = 1 и <р(А) <<р{В) при Ас В. Для нечетких мер на алгебре Й сохраняются многие конструкции, которые использовались для мер на алгебре четких множеств. Так будем обозначать через <рв нечеткую

меру, образованную из <р при <р(В)*0 по правилу: <рв(А)= ^^^, АеШ.

<Р(Ю

Для упрощения изложения полученных результатов далее вводятся следующие семейства нечетких мер на алгебре нечетких множеств.

Мй - множество всех нечетких мер на Й, которое, очевидно, совпадает с множеством всех агрегирующих функций;

МР^{<реМ0\УА,В,А + Ве1!1-.<р(А) + <р(В) = <р(А + В)} - семейство

всех вероятностных мер на Й (можно показать, что функции из МР явля-

ются линейными, те. Мр состоит из функций вида = , где

* = (*!.....хя)е[0,1]п, Х;>, = 1, ос, ¿0,1 = 1,...,и);

Мх = {р е М0 | ЗР е Мр: <р <, - семейство всех нижних вероятностей

на Ш ;

М2={реМа1\/Ве 21, <р(В) *0:<рв еМ,} - семейство всех обобщенных точных нижних вероятностей на 21;

Мъ - семейство всех точных нижних вероятностей, определяемое как (р б , если УВеЙ , Щ,Рг<=МР, что <р({ОВ)+(СВ)) < Р, (П)<р(В) + +Рг{С)0.-<р(В)) для всех £>,Се Й;

Нк, к = 2,3,... - семейства всех ¿-монотонных нечетких мер на 21; - семейство всех полностью монотонных мер на Ш если

<ръНк для всех к = 2,3,...).

Отметим, что данные расширения семейств нечетких мер на алгебру нечетких множеств оправданы с той точки зрения, что сужение каждой нечеткой меры из семейств Мк, к=0,...,3,Р, Нк, к = 2,3,...,оо, на алгебру

четких множеств 21 = 22 будет принадлежать семействам Мк, к = 0.....3,Р,

Нк, к = 2,3,...,оо, соответственно (см. лемму 2 и теорему 6). Более того, как показывают результаты, приведенные ниже, можно всегда построить расширение нечеткой меры с алгебры 21 на алгебру Ш так, чтобы сохранялась принадлежность указанным семействам. Данные определения подтверждает также следующее утверждение, описывающее свойства рассматриваемых семейств нечетких мер на Ш как классов агрегирующих функций.

Утвермздение 2. Справедливы следующие высказывания

1) <р е Мр о ф: МЛР -> Мр;

2) <реМк=><р:МЦ ->Мк, к = 1,2,3;

3) <реНк о<р:Няк-*Нк,к =2,3,...,оо.

Отметим, что для 1-агрегирующих функций можно доказать, что <р: Мк -> Мк => <р еМк, £ = 1,2,3. В диссертации это доказано для ¿ = 1. Уточняет утверждение 2 следующее свойство агрегирующих функций относительно операции композиции.

Утверждение3. Пусть я = ,...^„)еМк, ке{1,2,3,Р}, - декартово произведение нечетких мер из Мк и (ре Мк, тогда <р° g е Мк.

Отметим, что данное утверждение дополняет теорему 7, т.е. все рассматриваемые семейства нечетких мер (агрегирующих функций) являются

замкнутыми относительно операции композиции. В диссертации доказано, что имеют место следующие включения:

М0 з Л?, Г) Мг п М} гэ Нг з... => Нл о МР. В качестве примеров функций агрегирования могут служить функции ^,(х) = тт(дг|,х2), фг(х) = х1хг, ^?3(х) = ад:1+(1-а)х2, ае[0,1]. Легко убедиться, что <рх€.М3, однако <рх £ Н2, <р2еНх, однако <р2 £ МР, <рг еМр. Из

свойств функций непосредственно следует, что все рассматривае-

мые семейства нечетких мер являются выпуклыми, а также идеалами (за исключением ).

В диссертации найдены уникальные свойства полилинейного расширения, позволяющего продолжить нечеткую меру с алгебры четких множеств на алгебру нечетких множеств, так чтобы сохранялось свойство принадлежности нечеткой меры указанным семействам. Пусть - это функция множества на 31, тогда полилинейное расширение этой функции вводится через преобразование Мёбиуса т(А) = У,(—Р^^УС^?), АеШ, как

Отметим, что функцию ф можно рассматривать как и функцию нечеткого множества на алгебре есть рас-

ширение на алгебру При доказательстве свойств полилинейного расширения использовалась слелуютттая важная гЬопмула

В<гЯ кВ кВ

дающая значения непосредственно через значения . В результате был получен следующий основной результат.

Утверждение 4. Пусть <р —функция множества на 81, ф —ееполи-линейноерасширение. Тогда 1) фъ.Мк при (р&Мк, к = 0,...,3,Р; 2) феНк при <реНк, к = 2,3,...,оо.

В качестве следствия утверждения 4 был получен экономный признак -монотонности. При его формулировке для функции множества используются разности вида:

/,,...,/„ ег\А. Пусть тогда реНк в том и только том случае, если

Ав<р{А) > 0 для всех непересекающихся множеств А, В е 21 при \В\<к.

В диссертации было упрощено описание 1-агрегирующих функций из семейств Нк, к = 2,3,...,».

Утверждение 5. Пусть <р - ото I-агрегирующая функция. Тогда <р&Нк(к!>2)в том и только том случае, если 1) <р - {к-2)-дифференцируемая на [0,1);

2)

<ы

>0 для всех хе[0,1), 1 = \,...,к-2;

V ~~—возрастает, непрерывна и выпукла на [0,1). &с

Отметим, что из утверждения 5 следует, что тогда и только

тогда, когда <р абсолютно дифференцируема на [0,1) и ^ >0 для всех хе[0,1),г = 1,2,...

Утверждение 6. Пусть <р — 1-агрегирующая функция. Тогда <р е Мъ в том и только том случае, если

1) <р{ху) < хф{у) для всех х, у е [0,1] ;

2) <р(у + х(1 - >>)) <<р(у) + х(1 - <р{у)) для всех х, у е [0,1].

Отметим, что условие 1) последнего утверждения является характеристическим для 1-агрегирующих функций из Мг.

В третьей главе разрабатывается математический аппарат канонических последовательностей нечетких мер, позволяющий исследовать аддитивность нечеткой меры на подалгебрах, а также получать нечеткие меры с заданными аддитивными свойствами, в частности, позволяющий исследовать свойства ядер 2-монотонных и 2-альтернирующих мер.

Будем рассматривать нечеткие меры на измеримом пространстве X с -алгеброй множеств

Ш. Отметим, что практически все рассмотренные определения для этого более общего случая остаются прежними, но добавляются некоторые свойства непрерывности. Нечеткая мера £ на 21 является непрерывной снизу, если для любой возрастающей последовательности

9 Л

1М

= 1ип^р(/4п); непрерывной сверху, если для любой убы-

; непрерывной,

/« л

вающей последовательности

если она непрерывна сверху и снизу; вероятностной мерой, если аддитивна и непрерывна; нижней вероятностью, если существует вероятностная мера Р , что £<Р; точной нижней вероятностью, если для любого В е $1 существует вероятностная мера

монотонной, если g{A) + g(B) <g(Aг^B) + g(AuB) для всех А,ВеШ. Будем использовать те же обозначения для семейств нечетких мер. Пусть

geMl, тогда для любой убывающей последовательности {Д^сШ, что

= <2'> имеет место limg(4) = 0. Пусть тогда g непрерывна

сверху. Через отношение двойственности вводятся верхние вероятности (—1.Ä,), точные верхние вероятности ^—¡М^), 2-альтернирующие меры (-i//2). При этом описание двойственных мер выводится из свойств данного отношения. Например, непрерывность снизу верхних точных вероятностей выводится из того, что непрерывность меры g сверху имплицирует непрерывность меры -ig снизу. При исследовании непрерывности 2-альтернирующих мер оказывается полезным следующий признак: пусть g - субаддитивная мера, тогда она непрерывна, если для любой убывающей

последовательности выполняется

limg(.4) = 0. Следствием этого является утверждение: пусть gi,g2e—\H2, причем g-, <,g2 и g2 непрерывна, тогдатакже непрерывна.

Далее будем рассматривать последовательности и два

вида сходимости. Поточечная сходимость к предельной мере g означает, что §(Л)=1цп£л(А), ЛеЗК. Равномерная сходимость означает, что

При равномерной сходимости сохраняется свойст-

"-*» АЛ

во непрерывности предельной меры снизу или сверху, если таким свойством обладают все меры из последовательности при поточечной сходимости такое свойство в общем случае не выполняется.

Пусть ¿i0eUt0 и Г = тогда каноническая последователь-

ность нечетких мер строится с помощью правила

+ к = 1,2,... (3)

Если д,еЯ2, то //<,</*,<... и существует предел pr(A) = limfik(A) для

i —КС

всех А е 81, причем рТеН2. Если /г0 е -,#2, то //„>//,>... и существует предел fij.(A) = limjut(A) для всех АеЖ, причем /лг е ~^Н2. Последний

факт подтверждает следующая лемма.

Лемма 3. Пусть {/¿„J^ — каноническая последовательность, построенная по последовательности тогда двойственная последовательность {-|Д,}°°0 строится по последовательности {/?„} _ ■

Утверждение 7. Пусть {д,}^ — каноническая последовательность, ассоциированная с {Ву ^ с 2!, причем 0сВ1с1В2с:...с:Впс.Х. Тогда

Оказывается, что последнее утверждение описывает общий случай. Введем определение. Последовательности на-

зываются эквивалентными (Г, ~Г2), если //Г1 для любой порождающей нечеткой меры /и0. При исследовании свойств эквивалентных последовательностей вначале показывается, что для любых А, В ей {А,В}~ ~{АпВ,А,АиВ}, {А,А}~{а}, {А,В}~{В,А} при АсВ.А затем с помощью указанных правил эквивалентного преобразования последовательностей доказывается следующая теорема.

Теорема 9. Пусть с21. Тогда существует последова-

тельность Г8={51}"1:|сЩ, Вх сВг с...с5,, что Г<~Гв. Минимальные алгебры ША и 21,, порожденные Г^ и Гя соответственно, совпадают.

Отметим, что порождающее правило (3), используемое при построении канонической последовательности {д}^, по можно описать с помощью линейного оператора Ь{В) :Ла Мй, Ве 21, согласно которому 1т[А(А) = ц(АиВ)-ц{В) + ц{Ас\В)1 Ле21, тогда Д^Дм,]» А = = = ПРИ этом свойство линейности состоит в том, что

Отметим, что оператор также будет линейным как композиция линейных операторов Введенное определение эквивалентных последовательностей множеств выражается в том, что Для исследования аддитивности

нечеткой меры на подалгебрах вводится понятие аддитивного элемента. Пусть называется аддитивным элементом отно-

сительно Аддитивными элементами являются всегда

множества 0 и X.

Теорема 10. Множество ЗЯ всех аддитивных элементов относительно является алгеброй. ЕсШ— это-алгебра /нинепрерыв-на сверху или снизу, то ЗИ - это с-алгебра; /л аддитивна на ЗН.

Теорема 11. Пусть {//, - это каноническая последовательность нечетких мер, порожденная последовательностью {Впс 81. Обозначим через алгебру, состоящую из аддитивных элементов относительно меры . Тогда

1) 9

2) ця является аддитивной на алгебре

3) если С то д,(С) = //4(С) для к£п;

4) {В„Вг,..,Вя)сШя.

В диссертации исследованы условия равномерной сходимости канонической последовательности к предельной мере, описанные в следующих утверждениях.

Утверждение 8. Пусть /и0 е ->Нг и - каноническая последо-

вательность, ассоциированная с возрастающей последовательностью Г = из 21, т.е. 2?, с/?2с.... Кроме того, )шца(ВЛ)=¡^(В), где

СО

\^ВЯ=В. Тогда сходится равномерно к предельной мере

Утверждение 9. Пусть ¡1й е -лНг и {//„}"=0 - каноническая последовательность, ассоциированная с убывающей последовательностью

Г = {5„}"1 из 21, т.е. э /?2 а-• Кроме того, 1нп>ц)(511\5) = 0, где

®

Вп - В. Тогда {сходится равномерно к предельной мере цТ.

л=1

В диссертации линейный оператор на множестве 2-альтерниру-ющих мер обобщен для случая произвольной цепи Г с 21. Данное обобщение базируется на следующей теореме, основанной лемме Цорна.

Теорема 12. Пусть и Г - произвольная цепь из 21. Тогда су-

ществует аддитивная мера Р, что Р<ц и Р(В) = /¿(В) для всех В е. Г. Если ц непрерывна, то Р является вероятностной мерой на 21.

С помощью последней теоремы оператор можно определить как

\[ц]{А) = щ>Р,{А), 2

где ц е -лЫ1, Ле21, Е = - это множество всех аддитивных мер на 21, что Р < ц и Р(В) = /х(В) для всех В е Г. Можно показать, что е -пЯ2; оператор £г - это обобщение введенного оператора для конечных цепей множеств; является линейным; кроме того, если Г,,Г2 - цепи из 21 и Г, и Г2 - также цепь, то ^ [и]] = ¿^ [//].

В четвертой главе диссертации исследуется модель принятия решений при неполной информации о функции полезности, когда известен только линейный порядок на пространстве доходов. Такая ситуация возникает в том случае, когда полезность решений измеряется не в количественной, а в порядковой шкале.

Рассмотрим постановку задачи. Пусть Я - измеримое пространство с о -алгеброй 31, на котором задан линейный порядок ^. В теории полезности элементы пространства R называются доходами, а само Л - пространством доходов. Отношение ^ можно рассматривать, как индуцируемое некоторой неизвестной функцией полезности. Будем предполагать существование точных верхних и нижних граней для любых множеств из 31. Более того, считаем, что если то всегда существуют после-

довательности {*,}", с В, {у,}", ей, что х, >г^—, —, и

т^дс,}*, = д:, эир- у. Обозначим -оо = шГ{Я}, -ко = зир{й}, а также г,-<г}, если и г}-£гг Будем считать, что а-алгебра 31 содержит все интервалы вида [г/,-ню] = {гуеЯ|^Кгу| и является минимальной <т-

алгеброй, порожденной этими интервалами. В теории принятия решений каждому решению ставится в соответствие вероятностная мера поэтому будем отождествлять решения с вероятностными мерами. При известной измеримой функции полезности решение по

крайней мере, такое же предпочтительное, как и если

< fadPJ. В нашем случае известен только линейный порядок на веро-л я

ятностных мерах Р1 вида Р, {г,} = 1. При этом Р, Р} о ^ ^ ^.

В диссертации показано, что порядок можно распространить на все вероятностные меры на Особен-

ностью на множестве всех вероятностных мер является то, что для него перестает выполняться свойство линейности, т.е. - это частичный порядок, и возникает проблема выбора решения среди несравнимых альтернатив. В работе предлагается оценивать несравнимость альтернатив количественно с помощью индексов включения нечетких множеств на основе следующего описания порядка в рамках теории нечетких множеств и теории возможностей. Можно считать, что каждое Р, е Мр порождает нечеткое множество с функцией принадлежности

тогда Отметим, что каждое множество обладает свой-

ством нормальности, так как //,(-<») = 1. Это позволяет по функции по-

строить меру возможности П,(Л) = sup//((jc) при (П,(0) = О) и меру

необходимости (Л) = 1-П,(Л), Aefi. В работе доказано, что Р, Pj <=> Nf < Р, < Пу. Условие < /J < П; эквивалентно следующему:

(Vp е [0,1])Р, {F} (/>)} > р, где Fj (р) = {х € R |//,(*) > 1 - р) - строгие (1 - р)-

срезы нечеткого множества Ff. Связь порядка ■< с нечеткими множествами

также проявляется в том, что каждое таким образом построенное нечеткое множество F, определяет вероятностную меру Pt однозначно, кроме того, :< обладает свойствами дистрибутивной решетки нечетких множеств, т.е. если PVP2 и они порождают нечеткие множества FX,F2, то существу-

ет Р3еМр, являющаяся точной нижней гранью множества \РХ,Р2} (Р} = Р1лРг), причем FJ = i]n/72. Аналогично, существует точная верхняя грань РА = Pt vР2 множества {/},Рг}, причем F4 = ijnfa. Здесь мы использовали традиционные операции пересечения и объединения над нечеткими множествами, основанные на операциях «min» и «шах».

Полученные результаты, описывающие < на Мр, позволяют говорить о том, что для количественного описания ■< можно использовать индексы включения нечетких множеств, при этом наиболее важную информацию несут вероятности строгих -срезов данных множеств. Следует отметить, что порождаемые нечеткие множества являются ко-монотонными, т.е. для любых р^р2 е[0,1] либо Fi(pl)cF2(p2), либо Более того, можно показать, что каждый срез Ft{pt) принадлежит цепи Г с St, состоящей из множеств вида [-<»,>'), t-00,.)']- В работе предложен так называемый возможностный индекс включения, который использовался для классификации статистических классов. Данный индекс включения вначале вводится для так называемого регулярного случая, когда функции непрерывны: и

строго убывают: Показано, что для этого случая

P,{FXP)} = P,P^[0,1}.

Пусть Ру,РгвМр и описываются нечеткими множествами Ft,F2. Тогда локальный индекс включения для определяется как

Для локального индекса включения справедливо

т.е. с его помощью можно получить линейный порядок на

Лг, эквивалентный линейному порядку на (1 — р) -срезах. Однако более полезным оказывается интегральный индекс включения

так как кроме того, он обладает свойствами, близ-

кими к свойствам классической ожидаемой полезности, которые приведены ниже.

Пусть (далее функцию у/ будем называть

функцией предпочтения), тогда для регулярного случая:

С4. Пусть Р-аР, +(1 -а)Рг, а е [0,1], - это смесь решений РХ,Р2, тогда решению Р соответствует нечеткое множество Т7 = аРх + (1 - а)Рг и

Отметим, что из С2 и СЗ следует, что является билинейной формой. Это свойство является основным при аксиоматическом построении индекса включения для общего случая. Введем некоторые обозначения и определения. Через обозначим множество всех комонотонных, нечетких множеств относительно цепи

обладающих свойством нормальности. Пусть тогда

^ П^,/7, +(1— а~)Рг Нечеткое множество называется про-

стым, если у него простая функция принадлежности, т.е. принимающая конечное число значений. Любое простое множество Р е единственным образом представляется в виде

Заметим также, что любое можно предста-

вить как предел равномерно сходящейся последовательности

простых множеств, при этом равномерная сходимость означает, что Нтзир|д (*) - //(■*)] = 0.

Теорема 13. Пусть для функции ->[0,1] выполняется

2) у{аРх + (1 = -а)|г(ЗД),аб[0,1];

Д/ для любых четких множеств Т7,,/*^ е Г

а; = если 6; = если

если {/■], с - убывающая последовательность множеств, равномерно сходящаяся к Рх, то Ит1р(Ри,Р1) = 1р(Р1,Рг).

Условия 1), 2), 3), 4) определяют у/ однозначно, а следовательно, и индекс включения с = Вычисление у/

производится по формуле

= 0-5 +1 - {ДГ2 {Рх{р))0р , (4)

\.о о у

где / = 1,2, - это меры необходимости, порождаемые функциями принадлежности нечетких множеств

Далее будем писать в качестве аргументов индекса включения и функции предпочтения вероятностные меры, т.е. считаем, что ^Р2) = у/(Р1 ^Р2), [Р(Р\>Рг) = ¥(Р\>Рг)• ® работе показано, что для общего случая остаются справедливыми свойства С2, СЗ, С4 и С5 индекса включения, однако остальные свойства выполняются только для регулярного случая. Формула (4) выражается через вероятностные меры Рх, Рг как

(I | N

40 о )

и имеет следующую вероятностную интерпретацию. Предположим, что Рх, Рг порождаются независимыми случайными величинами со значе-

ниями в Л,тогда у(Р1гРг) = 0-5(Рг{£ :<£}+Рг{£ -<&}).

Пусть задано множество решений £> = [с1],с!г,...,с1т\, которым соответствуют вероятностные меры РХ,...,РЯ. Тогда принятие решений с помощью индекса включения связано с анализом отношения Ч* с £>, х , (¿„¿^еЧ'.если у/{Р,<Р1)>у/(Р1^Р1) или у(Р„Р^ >0.5. При этом основная сложность может возникнуть из-за того, что отношение ¥ в общем случае нетранзитивно. В работе также предлагается использовать метризованное отношение Т, задаваемое матрицей 5 = ¡^|м1<м,

Показано, что в случае, когда отношение ¥ сильно транзитивно, т.е. тах <5,4 при ^ >0, $^>0, то процесс принятия решений может

быть сведен к вычислению функционала ожидаемой полезности. Показано, что Т сильно транзитивно, если ^¡díj—••• —-^и-

В пятой главе разработана модель логического вывода на нечетких высказываниях, обоснованная в рамках теории неточных вероятностей.

Пусть X - измеримое пространство с а -алгеброй 21. Далее будем рассматривать нечеткие подмножества пространства с измеримыми функциями принадлежности д :Х—>[0,1], удовлетворяющими условию нормальности sup//J(.*) = l. С помощью нечетких множеств вводятся нечеткие высказывания £ е Д . Обычно говорят, что нечеткие множества Д определяют совокупность ограничений на область допустимых значений нечеткой (в нашем случае случайной) величины £. В рамках теории возможностей функцию nt рассматривают в качестве функции распределения возможностей, которая определяет меру возможности

AefH, А&0 (П,(0) = О) и меру необходимости N,=-111,. Значения имеют вероятностную интерпретацию, а именно, они дают верхнюю и нижнюю оценки вероятности принадлежности ¿j множеству А:

К,{А)й?г{1;еА}<1ПХА),АеП. (5)

Отметим, что функция множества />(Л) = Рг{£еЛ}, АеШ, является вероятностной мерой на Ш. С учетом этого, рассмотрим семейство вероятностных мер, удовлетворяющих неравенствам

S, - {Р € Мг |ЛГ,(Л) á Р{А) < П,(А),А е Ш}.

Пусть задано множество высказываний {¿¡ е е -Д,} • Данные вы-

сказывания называются непротиворечивыми, если pj^E, #0. Показано,

что необходимое и достаточное условие противоречивости высказываний выражается через строгие (l-/>t)-срезы Ak(pk) = {xeX\l-fti(x)<pl] и при т-2 состоит в том, что 3pt,p2 e[0>X]:Ai(p¡)nA1{pl) = <Z),pl+p1 >1.

Это условие обобщается для произвольного т: 3p¡,...,р„ е [0,1]:

однако последнее условие уже не является необходимым.

Комбинирование непротиворечивых нечетких высказываний связано с применением логических правил вида £ е Д,...,£е Д, А, при этом должно выполняться S(sE, где Е,,...,Нт,Е - это соответствующие

семейства вероятностных мер для высказываний

Оказывается, что традиционный способ комбинирования нечетких выска-

зываний, основанный на операции минимума не обоснован в рамках вероятностного подхода. Это связано с тем, что функция - мера возможности в том и только том случае, если либо Лг(а)сЛ,(а)> гДе А,(а) = {хеХ\д1 = 1,2.

В работе предложены правила вывода на нечет-

ких высказываниях, которые основаны на следующей лемме.

Лемма 4. Пусть [Ак ^ с 21 и непустое множество Н £ Мр задано условием: Р еНо Р{Ак}е: рк, /?4е[0,1], к = 1,...,п,тогда

Оценка (б) не улучшаема без наличия дополнительной информации, если

Отметим, что неулучшаемость оценки здесь совпадает с принципом естественного продолжения в рамках теории неточных вероятностей. На основе этой леммы доказано следующее утверждение.

Утверждение 10. Пусть <рк : [0, +<»)—>• [0,+со), ¿ = 1,2, - непрерывные строго возрастающие функции, причем <рх(Х) + фг(Х) = А для всех Я е[0,-н»). Тогда для непротиворечивых высказываний Д, Д справедливо £е Д,£е Д еЛ, где ц{х) А(р2{/лг{х)), хеХ.

В частном случае при <р1(Х) = <рг(А) = Х12 получается правило логического вывода, в котором /г(х) = I л2/^(х)л2^2(х).

При практической реализации данной схемы логического вывода также требуется осуществлять выбор наиболее точного высказывания среди имеющихся высказываний. Для этого в работе предлагается использовать показатели неточности нечетких интервалов в основанные на вычислении верхних и нижних оценок математических ожиданий, а также верхней оценки дисперсии (максимальной дисперсии нечеткого интервала). Первый показатель просто вычисляется с помощью интеграла Шоке. Для вычисления второго показателя решается оптимизационная задача. В результате получены формулы для вычисления максимальной дисперсии для нечетких интервалов определенной геометрической формы с непрерывной функцией принадлежности.

В шестой главе рассмотрено применение нечетких мер в задачах обработки и анализа изображений. Базовым подходом является введение монотонных функционалов на множестве всех допустимых представлений исходного изображения, называемых мерами информативности, и решение

!—(«—!)>0 и А1п(~)А1*0 длялюбого ¿е{1,...,и}.

оптимизационных задач, связанных с выбором наиболее информативного или наименее информативного представления из заданного множества. При этом в дискретном случае указанные задачи хорошо описываются в рамках теории нечетких мер. Рассмотрим предложенный аксиоматический подход к определению мер информативности полигональных представлений контуров.

Будем считать, что каждый плоский контур можно задать с помощью множества точек (вершин) X = {х,,,.^^, при этом считаем, что соседние точки х(._,,х(.,1 — , (х0 = хд,) соединены отрезком прямой. Под полигональным представлением контура будем понимать любой контур, заданный множеством точек В =|х1),х(1,...,х,4|, 1 </, <12 <... </4 < N. Ясно, что любое

полигональное представление задается некоторым подмножеством множества X. Отметим, что при обработке изображений получаются контуры, содержащие большое число точек, и возникает задача выбора информативного (сохраняющего информацию о геометрической форме), и в то же время простого полигонального представления, содержащего небольшое число точек. В работе предлагается формализация данной задачи с помощью мер информативности. Мерой информативности называется функция определяемая на Ш = 2х и удовлетворяющая следующим аксиомам:

2) {¿(А)<ц{В), если АсВ (монотонность);

3) пусть 5 = |х;1,...,х, ^х^.х^.-.х^ | и точки лежат на одной прямой, тогда

4) значение меры информативности не изменяется при ортогональных аффинных преобразованиях координат на плоскости, т.е. таких, как масштабирование, параллельный перенос и вращение контура.

Примерами мер информативности являются: где

ЦВ) - длина контура ВеЭД, а также ^(£) = 5,(Я)/5(А'), где 5(2?) - площадь области, охватываемой контуром В е 3!, причем последняя мера информативности определяется только для выпуклых контуров. В алгоритмах поиска оптимального полигонального представления важное значение имеет функция веса уй(х) =/л[В)-ц{В\{х}), 2?е81, хеХ.Для мер информативности эта функция соответственно имеет вид:

= тщ(|У ~ Х1+Iх " " |У - 71)' = 23от1<У - х - 2)|,

где - соседние вершины для в контуре - операция векторного

произведения. Показано, что функция веса обладает следующими свойствами: а) неотрицательная; б) ув(х) = 0, если соседние вершины у,г к х и

вершина х лежат на одной прямой; в) инвариантная относительно ортогональных аффинных преобразований координат; г) у„(х) + у„,_,(у) = у„(у) + +ув{у)(х) ДЛЯ всех и обратно, любая функция Уа(х) с данными

т

свойствами задает меру информативности по формуле //(5) = ^Ул(ул),

«и

где Л, ={У|},^2 ={у,,у2}.....Л. ={УрУ2'-.Уя} = в>если =

Задача выбора оптимального полигонального представления по мере информативности формулируется следующим образом. Пусть Я с $1 -некоторое множество допустимых полигональных представлений. Контур ВеЛ называется Л -оптимальным, если ¿¿(2?) = тахр(А). В работе рассматриваются различные варианты определения множества Л. Это может быть множество контуров, содержащих в точности п вершин. Тогда ставится задача поиска п -оптимального контура. Другой вариант определения множества Я связан с анализом функции веса, например, можно включить в только те контуры, все вершины которых имеют вес больше некоторого порога е > 0. В этом случае контуры, обладающие этим свойством, называются е -обусловленными, а функция £(А) = шш ^(у), 0 с А с X, называется функцией обусловленности контура. Таким образом, е-обусловленность контура В эквивалентна условию: 8(В)>е . Другой важной характеристикой полигонального представления является функция точности Г (А) = тахУ^Ду) контура А, 0с Ас.Х. Контур В называется -точным, если . Таким образом, -точный контур В обладает тем свойством, что добавление к нему любой вершины из множества увеличит его информативность не более, чем на . В работе предложены алгоритмы поиска -оптимального, а также оптимального обусловленного контура, основанные на итеративной процедуре добавления информативных и удаления малоинформативных вершин в полигональном представлении. Исследованы условия сходимости данных алгоритмов. В частности показано, что оптимальный е -обусловленный контур является £ -точным. Анализ алгоритмов показывает, что желательными свойствами для мер информативности были бы свойства антимонотонности функции обусловленности и функции точности, т.е. и т(А)<т(В) при А^>В. Показано, что 2-альтернируемость меры // индуцирует антимонотонность функций бит. С другой стороны, если 5 - антимонотонная, то для любого аналогично, если

- антимонотонная, то для любого . В работе по-

казано, что при рассмотрении условных мер информативности , исполь-

зуемых в случае, когда по каким-либо причинам нужно искать оптимальный контур, содержащий базовое множество вершин В, антимонотонность каждой из функций 8В или тв для всех допустимых ВеШ влечет 2-альтернируемость исходной меры /л. Отметим, что меры /л5 не являются 2-альтернирующими, однако в работе найдены условия, при которых это условие практически выполняется. Если контур X - выпуклый, то мера

является 2-альтернирующей. Пусть Аг = {х,,х2,...,ха,} - выпуклый контур, причем выполняются неравенства:

- 2-альтернирующая мера, если

Меры информативности и ц5 обобщены для случая кусочно-гладких контуров. Пусть X - кусочно-гладкий замкнутый контур, задан-

ный параметрически X: r(i) =

, se[0,/], и,у- параметр, опреде-

ляющий длину кривой между точками г(0) И r(s). Не умаляя общности, можно считать, что длина контура X равна 1, т.е. 1 = \. Тогда мера информативности fiL определяется на с -алгебре Ш всех измеримых по Лебегу множеств отрезка [0,1] по правилу: 1) если множество А €21 состоит из конечного числа точек г(5,),г(5г),...,г(5я), s, <s2 <... <sK, то в качестве значения меры информативности выбираем сумму длин сторон многоугольника с вершинами r(s,),r(j2),...,r(in); 2) пусть Л - множество конечных подмножеств 21, тогда для любого множества Be 21 определяем меру информативности как Таким же образом определяется мера информативности кусочно-гладкого выпуклого контура , где опять для простоты считаем, что площадь области, охватываемая контуром X, равна 1. Показано, что меры fiL и /is являются непрерывными снизу. Тем же образом может быть введена мера информативности ц на 21 кусочно-гладкого контура путем определения ее значений на полигональных представлениях, содержащих конечное число вершин.

Пусть ц - мера информативности кусочно-гладкого контура X . Из интуитивных соображений ясно, что вес каждой точки в контуре

X должен быть равен нулю, поскольку значение r(i) можно восстановить, используя непрерывность г. Поэтому следует рассматривать функцию веса части Ле21 контурЖ, определяемую и

использовать дифференциальную характеристику

v(i0,/iy)= sup ил[50-аД5,50+(1-а)Дл]. Следующие результаты показы-

вают, что данная характеристика связана с функцией кривизны контура для мер nL и ps.

Лемма 5. Пусть X: r(s)= | ^ , js[0,l], причем jc(.s),^(s) - дифференцируемые вплоть до третьей производной и x"(s),ym(s) - непрерывные в окрестности точки s0. Тогда pL обладает свойством:

v(s0,As) =

K\s0)

24

As3 + o(As3),

где K(s0) — кривизна в точке s0.

Лемма 6. Пусть контур X: r(s)

UoJ

, i6[0,/], - выпуклый, при-

чем дс(5),>'(5) - дифференцируемые вплоть до второй производной и х"($),у'($) [^(д )| ш точки 50. Тогда р5 обладает

свойством: v(50,As):

12

В работе также введены меры информативности полутоновых, контурных и сегментированных изображений, позволяющих строить эффективные процедуры сглаживания и сегментации изображений. При этом эффективность достигается за счет более адекватного моделирования искажающих помех, а также ошибок дискретизации изображений, имеющих интервальный характер.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты.

1. Исследованы основные выпуклые семейства нечетких мер на конечной алгебре, значения которых могут интерпретироваться как верхние или нижние оценки вероятностей событий. Получены алгебраические свойства нечетких мер, включающих нижние вероятности, обобщенные точные нижние вероятности, точные нижние вероятности, статистически непротиворечивые меры, 2-монотонные меры. При этом обобщенные точные нижние вероятности и статистически непротиворечивые меры рассматривались впервые. Получены новые необходимые и достаточные признаки принадлежности произвольной нечеткой меры указанным семействам, в частности, важным результатом является найденный необходимый и достаточный признак к -монотонности нечеткой меры. Исследованы свойства теоретико-множественного включения рассматриваемых семейств нечетких мер.

2. Введено понятия идеала - выпуклого семейства нечетких мер, замкнутого относительно обычной операции перемножения. Показано, что

все рассматриваемые основные выпуклые семейства нечетких мер, интерпретируемые как нижние оценки вероятностей, являются замкнутыми идеалами. Исследована структура минимального идеала, порождаемого одной нечеткой мерой. Показано, что данный идеал имеет конечное число экстремальных точек в том и только том случае, если множество значений порождающей нечеткой меры содержит не более трех элементов. Введены и исследованы алгебраические операции над идеалами, включающие пересечение, объединение, а также перемножение идеалов.

3. Исследованы представления нечетких мер с помощью функций агрегирования. Найдены необходимые и достаточные условия, накладываемые на функцию агрегирования, при которых нечеткая мера, являющаяся агрегацией к -монотонных мер, является также к -монотонной. Для остальных семейств нечетких мер найдены только достаточные условия, которым должна удовлетворять функция агрегирования. Введенное представление функций агрегирования как нечетких мер на алгебре нечетких множеств позволило дать ясную интерпретацию полученных результатов, а также ввести аналогичные семейства нечетких мер, но уже на алгебре нечетких множеств. Показано, что данное определение является корректным, т.е. сужение нечеткой меры с алгебры нечетких множеств на алгебру четких множеств сохраняет принадлежность указанным семействам нечетких мер. Исследованы свойства теоретико-множественного включения введенных семейств нечетких мер на алгебре нечетких множеств. Показано, что введенные семейства агрегирующих функций (нечетких мер) являются замкнутыми относительно операции композиции. Важными промежуточными результатами являются полученное описание к -монотонных мер с помощью теории разностей, а также полученный эффективный необходимый и достаточный признак к -монотонности. Показано, что любую нечеткую меру на конечной алгебре можно продолжить на алгебру нечетких событий так, чтобы сохранялось принадлежность нечеткой меры рассматриваемым семействам. В качестве такого продолжения можно использовать полилинейное расширение, которое в этом смысле обладает уникальными свойствами.

4. Введены канонические последовательности нечетких мер для описания аддитивных свойств нечетких мер, в частности, 2-монотонных и 2-альтернирующих мер. Показано, что механизм порождения данных последовательностей можно описать как последовательность линейных операторов определенного вида, действующих на все множество нечетких мер. С каждым оператором можно ассоциировать элемент алгебры и последовательность операторов также можно задавать последовательностью мно-

жеста. Была полностью решена задача эквивалентности различных последовательностей операторов или последовательностей множеств. Найдены правила эквивалентного преобразования данных последовательностей, и на основе этого показано, что любая последовательность множеств эквивалентна некоторой монотонно возрастающей последовательности множеств. Для последнего случая найдена явная формула, выражающая значения нечетких мер из канонических последовательностей. Рассмотрено также понятие эквивалентных последовательностей для фиксированной порождающей нечеткой меры. Показано, что для 2-монотонных мер эквивалентные последовательности образуют некоторую решетку множеств относительно операций объединения и пересечения. Исследованы условия равномерной сходимости канонических последовательностей 2-альтернирующих (2-монотонных) мер, при которых сохраняются свойства непрерывности предельной нечеткой меры. Показано, что нарушение найденных условий может приводить к отсутствию равномерной сходимости, что предельная мера уже не будет, например, непрерывной снизу, если таким свойством обладает порождающая нечеткая мера. Введенные линейные операторы, описывающие нечеткие меры из канонической последовательности, были обобщены для произвольной цепи алгебры на основе вероятностной интерпретации 2-альтернирующих мер из канонической последовательности. В частности, доказана линейность данных операторов и условия их перестановочности. В качестве важных промежуточных результатов можно отметить полученные свойства ядер 2-альтернирующих мер на произвольных сг-алгебрах, полученные с помощью леммы Цорна и свойств канонических последовательностей.

5. Рассмотрена постановка задачи принятия решений в условиях не полностью заданной функции полезности, когда решения описываются вероятностными мерами на линейно упорядоченном пространстве доходов. Показано, что в этом случае решения оказываются частично упорядоченными и данный порядок можно описать с помощью отношения теоретико-множественного включения комонотонных нечетких множеств или с помощью теории возможностей. Показано, что данный порядок обладает свойствами дистрибутивной решетки. Для количественного описания данного порядка введен индекс включения нечетких множеств, исследованные свойства которого, а также связанного с ним функции предпочтения, оказываются близкими к функционалу классической ожидаемой полезности. На основе полученных свойств рассмотрено продолжение индекса включения и функции предпочтения на так называемый нерегулярный случай, ко-

л^ЙЙ^ЙЩ"ЛВДМКиМ множеств необя-

гда функции принадлежности

ШЩ'

10ТЕКА I гйаг I

МБЛ ПОТЕКА СЛстсИдо М « ш

зательно являются непрерывными и строго возрастающими при сохранении билинейных свойств. Рассмотрено применение индекса включения и функции предпочтения при принятии решений. Показано, что в случае, когда индуцируемое метризованное отношение предпочтений является сильно транзитивным, то принятие решений сводится к вычислению классической ожидаемой полезности.

6. Рассмотрена схема логического вывода на нечетких высказываниях, когда используется вероятностная интерпретация нечетких множеств в рамках теории возможностей. Показано, что в этом случае традиционный способ комбинирования нечетких высказываний на основе операции минимума не обоснован с вероятностной точки зрения. Поэтому на основе вероятностных принципов исследованы необходимые и достаточные признаки непротиворечивости нечетких высказываний, а также предложены способы комбинирования высказываний, обоснованные в рассматриваемой вероятностной интерпретации. Для выбора результирующего наиболее точного высказывания предложены количественные характеристики его точности, в частности, одной из таких характеристик является максимальная дисперсия нечеткого интервала. Для вычисления этой характеристики была теоретически исследована и решена оптимизационная задача, что позволило получить аналитические формулы для вычисления максимальной дисперсии нечетких интервалов определенной геометрической формы.

7. Рассмотрено применение мер информативности для анализа и обработки изображений. Введены меры информативности полигональных представлений контуров, полутоновых, а также сегментированных изображений. Рассмотрены и предложены методы решения оптимизационных задач выделения наиболее оптимального полигонального представления контура по мере информативности, сглаживания полутоновых и контурных изображений, а также яркостной сегментации. Меры информативности полигональных представлений контуров были исследованы теоретически: рассмотрено аксиоматическое определение меры информативности, введены две меры информативности по длине и по площади, охватываемой контуром, а также рассмотрено введение меры информативности по эвристической функции веса, позволяющее рассматривать меры информативности по площади контура для невыпуклых контуров. Рассмотрены различные постановки задачи выбора оптимального полигонального представления по мере информативности, а также исследованы условия, накладываемые на меру информативности, позволяющие организовать эффективную процедуру поиска оптимального контура. Данные условия формулируются через введенные контура, а также им двои-

ственные аналоги. Показано, что «хорошими» свойствами обладают меры информативности, принадлежащие семейству верхних вероятностей, в частности, 2-альтернирующих мер. Для введенных мер по длине контура и по площади, охватываемой контуром, найдены геометрические свойства контуров, при которых указанные меры информативности обладают свойствами близкими к 2-альтернируемости. Рассмотрено введение мер информативности для кусочно-гладких контуров, а также дифференциальных характеристик, обобщающих вес вершин в полигональном представлении по мере информативности. Найдена связь данных характеристик с кривизной контура.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей. - Таганрог: ТРТУ, 1996.-196 с.

2. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об эффективном управлении порядком задания вопросов в экспертной системе// Программное обеспечение новых информационных технологий. Тверь, 1991,36-37.

3. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе формализации экспертного оценивания неравномерности расположения объектов // Мат-лы Всерос-кой НТК "Интеллектуальные САПР". Таганрог, 1992, с. 43-44.

4. Броневич А. Г., Каркищенко А.Н. Статистические классы при распознавании и цифровой обработке информационных сигналов// Мат-лы III Международной науч.-тех. конф. "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей". - Харьков, 1993, с. 132.

5. Броневич А. Г., Каркищенко А.Н. Теоретико-множественный подход к классификации статистических классов // Автоматика и телемеханика, 1994, №2,78-87.

6. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Статистические классы в моделях самообучения САПР // Интеллектуальные САПР. - Таганрог: ТРТИ, 1994, вып. 4,34-38.

7. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Семейство мер близости экспертных оценок и выбор оптимальной меры // Автоматика и телемеханика, 1994, №4,133-143.

8. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. On a statistical method of construction of fuzzy decision rules in situational control systems // Proceedings of the Third European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing, Aachen, Germany, August 28-31,1995, v. 2,1270-1272.

9. Berstein L.S. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. Zakharevitch V.G. Statistical classes and possibilistic models of classifying probability distributions // BUSEFAL, 1996, No 65,19-26.

10. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Мера включения Хэмминга вероятностного распределения в нечеткий интервал // Известия ТРТУ. -Таганрог: ТРТУ, 1996, №3,67-69.

11. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. Fuzzy classification of probability distributions// Proc. of the Fourth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing, Aachen, Germany, September 2-5, 1996, v. 1, 120-124.

12. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе упорядочения вопросов в экспертных системах // Теория и системы управления, 1996, № 2, 152-157.

13. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Принятие решений с помощью воз-можностных мер включения // Известия ТРТУ. - Таганрог: ТРТУ, 1997, №3, с.91-97.

14. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. Application of possibility theory for ranking probability distributions// Proc. of the Fifth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing, Aachen, Germany, 1997, v. 1, 310314.

15. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Обобщение понятия статистического класса и меры возможностного включения // Автоматика и телемеханика, 1997, №6,84-94.

16. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе классификации электроэнцефалограмм // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, №4,1997.

17. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об алгебраической структуре нечетких мер, порождаемых нижними и верхними оценками вероятностей// Мат-лы Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-98. - Санкт-Петербург, 1998,57-60.

18. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Классификация вероятностных распределений с помощью нечетких интервалов // Мат-лы Пятой Всероссийской школы-коллоквиума по стохастическим методам. 6-12 декабря 1998 г. - Йошкар-Ола, Научное издательство "ТВП", 1998.

19. Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Обобщения преобразования Хау на основе теоретико-множественного подхода классификации изображений // Мат-лы Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-98. - Санкт-Петербург, 1998, 113-116.

20. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Логический вывод в теории возможностей, основанный на понятии верхней (нижней) вероятности // Мат-

лы VI Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ'98, т.1. - Пущино, 1998,329-335.

21. Каркищенко А.Н., Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Вариационный подход к сглаживанию и определению характерных точек черно-белых изображений // Известия ТРТУ. Интеллектуальные САПР. - Таганрог: ТРТУ, 1998, №2, 117-121.

22. Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Модели теории графов для выделения контуров по градиентному изображению// Известия ТРТУ. Интеллектуальные САПР. - Таганрог: ТРТУ, 1998, №2,103-107.

23. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. The structure of fuzzy measure families induced by upper and lower probabilities // Proc. of EUROFUCE-SIC'99. The Fourth Meeting of the EURO Working Group on Fuzzy Sets and the second International Conference on Soft and Intelligent Computing. Budapest, Hungary, 1999,528-531.

24. Karkishchenko A.N., Bronevich A.G., Andonova N.S. Fuzzy set representations for image processing and Hough Transform // Proceedings of the Fourth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing, Germany, Aachen, September 13-16,1999, 6 pp.

25. Каркищенко А.Н., Броневич А.Г., Андонова Н.С. Градиентные методы предварительной обработки изображений при нечетких ограничениях// Мат-лы Международной научно-технической конференции "Интеллектуальные многопроцессорные системы -99" Таганрог, 1999,73-75.

26. Броневич А.Г. Применение локального метода для обнаружения краев полутоновых изображений // Мат-лы Всероссийской науч.-техн. конференции "Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности". - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999,22-25.

27. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Вероятностные и статистические основы теории нечетких мер// В сб. трудов Седьмой Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ'2000, Переславль-Залесский, 24-27 октября, 2000, т.2, с. 485-492.

28. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. О классе нечетких мер, интерпретируемых как нижние или верхние оценки вероятностей// Тезисы докладов. Седьмая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики, Т.7 , Вып. 3, 2000 г., 479-480.

29. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Обобщения теории Демпстера-Шейфера в рамках теории нечетких мер// Тезисы докладов. Седьмая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.7, Вып. 3, 2000 г., с. 480-481.

30. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Теория нечетких мер и обобщения байесовской схемы классификации статистических данных // Новости искусственного интеллекта, № 3, Москва, 2000, 122-128.

31. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Аксиоматический подход в определении полигонального представления контура изображения // Тезисы докладов. Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Обозрение прикладной и промышленной математики Т. 7, Вып. 3,

2000 г., 322-323.

32. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Два подхода к получению минимального полигонального представления контура// Тезисы докладов Международ, науч. конференции "Искусственный интеллект 2000", Крым, 2000,173-175.

33. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Два подхода к получению минимального полигонального представления контура // "Искусственный интеллект", науч.-теор. журнал Национ. академии наук Украины, №3,2000,421-427.

34. Bronevich A.G., Itenberg I.I., Karkishchenko A.N. The application of a local method for edge detection // Proc. 6th International Conference on Control, Robotics and Vision (ICARCV 2000), Singapore, 2000,6 pp.

35. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Некоторые эффективные подходы к распознаванию изображений трехмерных объектов по внешнему контуру // Труды VII Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием, Переславль-Залесский, 2000, Т. 2,557-565.

36. Броневич А.Г. Условные нечеткие меры. Вероятностный подход// Сборник научных трудов. Международный научно-практический семинар «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте». Коломна: Наука, Физматлит, 2001 г., 106-111.

37. Броневич А.Г. Нечеткие величины и функциональные нечеткие распределения в рамках вероятностного подхода// Труды международ, конгресса «Искусственный интеллект в XXI веке», том 2. - М.: Физматлит, 2001,590-598.

38. Броневич А.Г. Об идеалах на множестве нечетких мер// Тезисы докладов. Восьмая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8, Вып. 2,

2001 г., с. 748.

39. Броневич А.Г., Лепский Е.А. Операторы свертки нечетких мер// Тезисы докладов. Восьмая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8, Вып. 2,2001 г., 748-749.

40. A.G. Bronevich, A.N. Karkishchenko. The logical inferences in possibility theory based on the concept of upper (lower) probability. Proc. of 10-th IEEE International Conference on Fuzzy Systems, Melbourne, Australia, 2001,6 pp.

41. Броневич А. Г. Вычисление максимальной дисперсии нечеткого интервала // Труды международн. конгресса «Искусственный интеллект в XXI веке», Т. 2, Москва, Физматлит, 2001, 552-559.

42. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Применение теории нечетких мер к оцениванию информативности полигонального представления контура изображения// Сб. научных трудов. Международный научно-практический семинар «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте». - М.: Наука, Физматлит, 2001 г., 112-116.

43. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. The structure of fuzzy measures families induced by upper and lower probabilities// Statistical Modeling, Analysis and Management of Fuzzy Data. Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2002, 160-172.

44. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. About ideals on the set of fuzzy measures// Soft methods in probability, statistics and data analysis. Heidelberg. New York: Physica-Verl., 2002,76-83.

45. A.G. Bronevich, A.E. Lepskiy. Convolution operators of fuzzy measures. Soft methods in probability, statistics and data analysis. Heidelberg. New York: Physica-Verl., 2002, 84-91.

46. Каркищенко А.Н. Броневич А.Г., Лепский Е.А. Разности функций множеств// Тезисы докладов. Девятая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8 , Вып. 2,2002 г., 117-118.

47. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. Statistical classes and fuzzy set theoretical classification of probability distributions // Statistical Modeling, Analysis and Management of Fuzzy Data. Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2002,173-198.

48. Лепский А.Е., Броневич А.Г., Бачило С.А. Выделение контрольных точек на основе меры информативности контура // Доклады 4-й Международн. конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, Россия, 2002,288-290.

49. Lepskiy A.E., Bronevich A.G., Bachilo SA Extraction of control points based on an informative quantity measure // Proc. of the 4-th International Conference "Digital signal processing and its applications", 2002, Moscow, Russia, p. 291.

50. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Меры информативности сегме тированных изображений // Труды конференции IEEE AIS'02, CAD-200 138-143.

51. Броневич А.Г. Индекс включения нечетких мер, основанный на иш грале Шоке // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов И-го Международ, научно-практического семинара. - М: Физматлит, 2003,112-118.

52. Лепский А.Е., Броневич А.Г. Аксиоматический подход к определению индекса неточности нечеткой меры // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов П-го Международ, научно-практического семинара. - М: Физматлит, 2003,127-130.

53. Bronevich A.G. The maximal variance of fuzzy interval// ISIPTA'03. Proc. in informatics 18, 2003, Carleton Scientific, 77-90, http://www.carleton-scientific.com/isipta/preface.html.

54. Bronevich AG, Lepskiy A.E. Geometrical fuzzy measures in image processing and pattern recognition // Proc. of the 10th IFSA World Congress, 2003, Istanbul, Turkey, 151-154.

34.M 2005-4 13118

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, включает развитие алгебраического подхода при описании нечетких мер из различных выпуклых семейств; разработку и исследование представлений нечетких мер с помощью функций агрегирования; введение и исследование индексов (мер) включения статистических классов и использование полученных результатов в модели принятия решений при неполной информации о функции полезности; разработку вероятностного подхода логического вывода на нечетких высказываниях в рамках теории возможностей; а также разработку и теоретическое исследование идеологии обработки и анализа изображений на основе мер информативности.

Типография ТРТУ, ГСП 17А, Таганрог, ул. Энгельса,!. Заказ. № 48, Тираж 100 экз.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОСНОВНЫХ ВЫПУКЛЫХ СЕМЕЙСТВ НЕЧЕТКИХ

МЕР В РАМКАХ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА

1.1. Введение.

1.2. Представление нечеткой меры в виде линейной комбинации примитивных нечетких мер.

1.3. Вероятностная интерпретация нечетких мер.

1.4. Обобщенные точные нижние вероятности.

1.5. Статистическое порождение нечетких мер.

1.6. Исследование статистически непротиворечивых нечетких

1.7. Свойства 2-монотонных нечетких мер.

1.8. Два определения ^-монотонности. щ 1.9. Алгебраические операции над фильтрами.

1.10. Идеалы.

1.11. Некоторые способы построения идеалов.

1.12. Алгебраические операции над идеалами.

1.13. Выводы.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НЕЧЕТКИХ

МЕР С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ АГРЕГИРОВАНИЯ

2.1. Введение и постановка задачи.

2.2. Характеризация ^-монотонных мер с помощью теории разностей.

2.3. Исследование агрегирующих функций.

2.4. Агрегирующие функции и нечеткие меры на алгебре нечетких множеств

2.5. Построение агрегирующих функций с помощью полилинейного расширения.

2.6. Искаженные нечеткие меры.

2.7. Выводы.

Глава 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

НЕЧЕТКИХ МЕР.

3.1. Введение.

3.2. Основные понятия и определения.

3.3. Канонические последовательности нечетких мер (конечный случай).

3.4. Канонические последовательности нечетких мер (счетный случай).

3.5. Канонические последовательности нечетких мер (общий случай).

3.6. Выводы.

Глава 4. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ

ИНФОРМАЦИИ О ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

4.1. Введение.

4.2. Основные определения и постановка задачи.

4.3. Определение частичного порядка на множестве вероятностных распределений.

4.4. Алгебраические операции на множестве вероятностных распределений

4.5. Индекс возможностного включения.

4.6. Свойства индекса включения (регулярный случай).

4.7. Аксиоматический подход к построению индекса включения

4.8. Выбор оптимального решения с помощью индекса включения 4.9. Выводы.".

Глава 5. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД В ТЕОРИИ 1 * ВОЗМОЖНОСТЕЙ, ОБОСНОВАННЫЙ В РАМКАХ

ТЕОРИИ НЕТОЧНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

5.1. Введение.

5.2. Основные определения.

5.3. Комбинирование функций распределения возможностей

5.4. Оценки неточности нечеткого высказывания.

5.5. Постановка задачи вычисления максимальной дисперсии

5.6. Решение оптимизационной задачи.

5.7. Практическое вычисление максимальной дисперсии.

5.8. Выводы.

Глава 6. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ МЕР ИНФОРМАТИВНОСТИ.

6.1. Введение.

6.2. Полигональное представление контура и его информативность

6.3. Способы определения нечетких мер информативности контура.

6.4. Выбор оптимального полигонального представления контура по мере информативности.

6.5. Алгебраические свойства нечетких мер информативности

6.6. Алгоритмы выделения оптимального полигонального представления контура.

6.7. Мера информативности кусочно-гладкого контура.

6.8. Применение мер информативности для обработки и сглаживания изображений.

6.8.1. Сглаживание полутоновых изображений с помощью меры информативности.

6.8.2. Сглаживание контурных изображений с помощью меры информативности.

6.8.3. Мера информативности сегментированных изображений

6.8.4. Реализация разработанных методов в системе обработки и анализа изображений.

6.9. Выводы.

Математика второй половины XX столетия подверглась сильному влиянию бурного развития вычислительной техники, открывшему новые возможности численного решения задач, которые до этого считались неразрешимыми. Так разработка первых экспертных систем стала одной из причин появления нечеткой математики, а распознающие системы дали толчок развитию статистической теории классификации. Особенностью этой новой математики стало рассмотрение нелинейных моделей, которые нашли применение в теории дифференциальных уравнений, в теории принятия решений, в робастных методах обработки и классификации статистических данных. Многие исследователи пришли к выводу, что ограничения классической вероятностной схемы оказываются малопригодными во многих реальных задачах для моделирования неопределенности и возникает необходимость создания новой теории, которая позволяла бы моделировать кроме случайности и другие виды неопределенности, включающие противоречивость, неточность и неполноту имеющейся информации. В этой новой теории вероятности событий следует задавать неточным образом с помощью монотонных функций множества (нечетких мер), таким образом определяя верхние или нижние границы вероятностей событий. При этом нечеткие меры в отличие от вероятностных мер не обладают свойством аддитивности в общем случае, а их продолжение на функциональные пространства приводит к построению нелинейных функционалов.

Именно развитию теории нечетких мер, направленному на исследование вопросов моделирования неопределенности и применению полученных результатов в различных прикладных областях - в теории принятия решений, в моделях приближенных рассуждений, в задачах обработки и распознавания изображений, и посвящена данная диссертационная работа.

Рассмотрим вначале основные положения предлагаемого подхода. По-видимому, разрабатываемая теория нечетких (неаддитивных) мер должна:

1) наследовать основные принципы классической теории (аддитивных) мер и ее основные конструкции (измеримое пространство, измеримая функция, а -алгебра множеств, интеграл,.);

2) иметь качественное объяснение в рамках теории вероятностей, т.е. значения нечетких мер следует рассматривать как некоторые оценки вероятностей, и по аналогии вводить такие понятия как условная вероятность, независимые события, случайная величина и др.;

3) иметь прикладное значение, что означает реализуемость вводимых теоретических конструкций на практике.

Следует иметь в виду, что рассматриваемая конструкция, основанная на монотонной функции множества, исследовалась во многих приложениях. Имеются различные эквиваленты данного понятия - емкость Шоке в теории меры и потенциала [1,2], характеристическая функция игры в кооперативной теории игр [3,4], неаддитивная вероятность [5,6] в литературе по экономическим приложениям. Также иногда используют нейтральные термины [7,8]: монотонная мера или неаддитивная мера. Термин «нечеткая мера» был введен Сугено [9,10] и в настоящее время широко используется в приложениях искусственного интеллекта и теории принятия решений [11-14].

Основными первоисточниками данной работы являются:

• фундаментальная работа Шоке [1], где были введены и исследованы к -монотонные и к -альтернирующие емкости;

• работа Демпстера [15], где рассматривались многозначные случайные отображения (впоследствии названные случайными множествами) для описания экспериментов с неточными измерениями, и где были введены верхние и нижние вероятности для описания исходов эксперимента. Верхние и нижние вероятности Демпстера Шейфер [16] применил в теории принятия решений и назвал их функциями правдоподобия и доверия;

• теория возможностей, аксиоматические основы которой предложил Заде [17], и которая затем была детально разработана Дюбуа и Прадом [1В];

• результаты, полученные Шепли [19,20] и Шмайдлером [21], описывающие важные свойства супермодулярных и точных игр;

• работа [22], где дается характеризация различных монотонных емкостей через обратное преобразование Мёбиуса;

• теория неточных вероятностей, независимо разработанная Питером Волли [23] (Peter Walley) и В.П.Кузнецовым [24]. Важные результаты по теории неточных вероятностей изложены в книге Хьюбера [25].

Некоторые варианты изложения теории нечетких (неаддитивных) мер можно найти в монографиях [7,12,26], теории возможностей [18,27,28], кооперативной теории игр [3,4]. Очень много полезных материалов по теории неточных вероятностей находятся на сайте ISIPTA http:// www.sipta.org. Основные направления современного развития теории нечетких мер хорошо отражены в книге [29]. Принимая во внимание, что основные результаты по теории нечетких мер опубликованы только на английском языке, автор пытался следовать самодостаточному изложению, может быть, в ущерб разумной краткости.

Кратко рассмотрим основные положения теории неточных вероятностей, обращая основное внимание на модели, в основе которых лежат функции множества. "

Пусть X = {xx,x2,.,xN) - конечное пространство и 21 = 2х - алгебра всех подмножеств X. Тогда любая вероятностная мера Р на 21 определяется своими значениями на одноэлементных множествах, т.е. значениями N

Р{х,}, / = , при этом Р{х;}>0 и = 1. Отметим, что в классической теории вероятностей предполагается, что в исследуемой модели всегда известен вероятностный закон, определяемый некоторой вероятностной мерой Р. Такая ситуация является вполне оправданной только на модельных задачах, когда вероятностную меру Р можно восстановить со сколь угодно заданной точностью, или же в классических задачах с идеальной колодой карт или игральной костью. На практике идеальные условия эксперимента не выполняются [23,30]. Вероятностное распределение мы можем восстановить лишь с некоторой точностью, которая оценивается, как правило, с помощью доверительных интервалов. Далее обычно выбирается самая правдоподобная гипотеза о виде распределения, и рассчитываются по ней необходимые характеристики, строится байесовское решающие правило и пр. Ясно, что данный переход зачастую оказывается не очень корректным с математической точки зрения. Более того, рассматриваемая вероятностная модель перестает быть адекватной, если экспериментальные измерения неточны [15], частоты наблюдаемых событий неустойчивы [31,32], получаемая информация неполна (может быть, например, ситуация, когда мы наблюдаем не все координаты многомерной случайной величины £, в этом случае вероятностное распределение £ не может быть восстановлено однозначным образом [33]). В этом случае более оправданно моделировать возникающую неопределенность некоторым семейством вероятностных мер Е, т.е. таким образом мы не постулируем категорично, что рассматриваемый процесс или явление описывается определенной вероятностной мерой, мы выдвигаем более достоверную гипотезу о том, что

11 вероятностный закон нам точно не известен, но он описывается одной из вероятностных мер, принадлежащих Е.

Далее по множеству Е можно оценить математическое ожидание произвольной функции /: X М . В результате получим N

1) нижнюю оценку £[/] = inf^]/(jcI)P{xJ} математического ожидания /; N

2) верхнюю оценку £[/] = sup ]>]/(я, математического ожидания /.

Обозначим через ? линейное пространство функций на X со значениями в К. Тогда функционал Е обладает следующими свойствами:

О + с] = ЛЯ[/] + с, /е-^, Л,сеМ, Л>0 (положительная однородность);

2) E[fx]<E[f2],ecsm /, </2, /,,/2 <=? (монотонность);

3) E[fx + f2}> E[fx} + Elfi], fltf2 e^ (супераддитивность).

При этом значения функционала Е полностью определяются значениями Е, так как £[/] = -£[-/],/ еЗ^.

Можно поставить вопрос, можно ли по функционалу Е восстановить семейство вероятностных мер Е, т.е. в каком случае семейство вероятностных мер

Е ' = \Р N

Е/ОО^М^/] для всех fejr\ (В1) i совпадает с г. Ясно, что НсЕ', причем равенство а = Е' выполняется в том и только том случае [23,25], если Е является выпуклым замкнутым множеством в плоскости <(ах,.,аы) Н при отождествлении i=i

Е с множеством векторов ^Р^^.^Р^^Рен! из R*. Также можно показать [23,25], что всякий функционал Е, удовлетворяющий условиям 1), 2), 3) определяет некоторое непустое множество вероятностных мер Е' по формуле (В1). На практике модель представления неопределенности с помощью нижних или верхних оценок математического ожидания является вполне приемлемой [23,34], т.е. можно ограничиться случаем выпуклого замкнутого порождающего множества вероятностных мер. Тем не менее, данная модель не получила широкого применения на практике [35] в силу того, что реализация «чистой» модели и механизма логического вывода, основанного на решении систем неравенств высокой размерности, не представляется оправданным как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения точности в том смысле, что точность выводов должна соответствовать надежности имеющихся статистических данных, экспертных оценок и пр. С учетом этого, на практике целесообразно строить, может быть, «грубые», но вычислительно нетрудоемкие правила логического вывода, например, как это делается в теории нечетких множеств [11, 36] на основе операций максимума и минимума, поскольку такое упрощение модели нисколько не отразится на качестве получаемых выводов. С другой стороны, по-видимому, нужно сохранить вероятностный смысл и обоснование получаемых правил вывода.

Первым естественным упрощением модели нижних (верхних) оценок математических ожиданий может быть задание функционала Е не на всех возможных функциях / е ?, а только на конечном подмножестве с &, в частности это может быть множество характеристических функций тогда функция множества ц{А) = Е\\А\, Ае%X, дает точные нижние оценки вероятностей событий. Можно ввести также и функцию точной верхней вероятности /л{А) = Е\\а\, АеШ. Данные функции связаны между собой отношением двойственности /л{А) = 1 -jj.(A), Aes21, что является следствием свойств, перечисленных для Е, Е, а также

1) ju(0) = ц{0) = 0, jd{X) = ju(X) = 1 (нормированность);

2) ju, ju - монотонные функции множества;

3) /л{А) +^{В)< ц(АиВ) при АпВ=0, (супераддив-ность);

4) ju(A) + ju(B) > ju(A kj В) при Ar\B = 0, А,В<=$I (субаддивность).

Отметим, что на практике, как правило, не удается получить согласованные оценки вероятностей событий, т.е. для имеющейся функции g: 21 ->[0,1], дающей нижние оценки вероятностей, мы можем потребовать, чтобы семейство вероятностных мер Е = {Р | Р(А) > g(A), А е 21} не было пустым, т.е. чтобы задание g было бы непротиворечивым. Далее теоретически можно построить согласованную функцию множества ju(A) = inf Р(А), А е 21, причем, очевидно, что g(A) <ju(A), Ае 21. Одна— — ко реализация данного уточнения вычислительно трудоемкая процедура

37] даже для конечного пространства X с относительно небольшим числом элементов |A"j. Реализуемым уточнением для g может быть выбор уточненной оценки в классе монотонных или супераддитивных функций множества. С учетом этого, мы приходим к модели описания неопределенности, основанной на понятии нечеткой меры, т.е. функции множества /л, обладающей свойствами нормированное™ (//(0) = О, /л{Х) = 1) и монотонности (ju(A)< ц{В), если А с. В), при условии, что значения ju дают нам нижние или верхние оценки вероятностей событий. При этом, если нечеткая мера /л дает нижние оценки вероятностей, то двойственная ей нечеткая мера —>/л{А) = \-/и{А) дает верхние оценки вероятностей, т.е. построение основных теоретических конструкций мы можем проводить для нечетких мер нижней вероятности. Результаты для верхних вероятностей всегда можно получить с помощью отношения двойственности.

Отметим, что не построено таких простых необходимых и достаточных условий принадлежности нечеткой меры к классу точных нижних вероятностей [23,25,38], как для функционала Е (см. условия 1), 2), 3)). Такие условия достаточно сложны или не являются достаточными. Поэтому имеет смысл найти подкласс нечетких мер точной нижней вероятности, обладающий регулярными свойствами. Такие функции множества независимо были введены Шоке [1] (2-монотонные емкости) и Шепли [19,20] (супермодулярные или выпуклые игры). Мы будем называть их 2-монотонными мерами. Они обладают характеристическим свойством: ju(A) + ju(B) < ju(A пВ) + ju(A и В) для всех А,В е 21.

Можно показать [19,20,22], что 2-монотонные меры принадлежат семейству точных нижних вероятностей. Более того, пусть ju — 2монотонная мера, тогда для любой максимальной цепи множеств г = {Я*}Г=о' Во=0> = = веР°" ятностная мера Рг, определяемая равенствами: Рг{Вк} = ju{Bk}, k = 0,.,N, обладает свойством: РГ(А)> ju(A) для всех Ае%1. При этом вероятностные меры указанного вида являются экстремальными точками [22] и образуют систему образующих выпуклого множества вероятностных мер 3 = {Р\Р{А)>/л{А),Ае'Щ. Это свойство позволяет получить аналитическую формулу

Ш] = inf = )м{/ > a)da

1 о для неотрицательной функции /е^". Впоследствии правая часть последнего выражения, вычисляемая для произвольной функции множества была названа интегралом Шоке [7,39].

В практических приложениях широкое применение нашли важные подклассы 2-монотонных мер: функции доверия [15,16] (и им двойственные функции правдоподобия), меры необходимости [18] (и им двойственные меры возможности). Важное теоретическое значение имеют кмонотонные меры [1] (емкости), введенные Шоке. Они обладают характеристическим свойством: z (-1)"ЦП,егС,)>0 (В2) которое должно выполняться для произвольной системы множеств C,,.,CW e2l, т<к. Отметим, близость формулы (В2) к формуле включения-исключения из комбинаторики [40]. Если нечеткая мера является к-монотонной для любого к = 1,2,., то она называется полностью монотонной или функцией (мерой) доверия. Функции доверия являются основой теории свидетельств [16], представляющей одно из направлений современной теории принятия решений. В теории свидетельств часто используется другое эквивалентное описание функций доверия и правдоподобия, основанное на выражениях:

2?е/(Л) = 2>(Z?), Pl(A) = X (В3)

ВсА АпВ*<2 где т — это неотрицательная функция множества, обладающая свойством ^Tm(Z?) = 1 и называемая основным вероятностным назначением [16] (Ьа

ВсХ sic probability assignment). Отметим, что функцию т всегда можно восстановить с помощью преобразования т(А)= £(-1)м^Яе/(Я), АеШ,

ВсА называемого преобразованием Мёбиуса [22]. Данное преобразование и обратное к нему можно применять для произвольных функций множества, однако функция т является неотрицательной в том и только том случае [16], если преобразование Мёбиуса применено к мере доверия.

Пусть Bel - это мера доверия на 21 и т - ее преобразование Мёбиуса. Тогда'{Л е 21J т(А) Ф 0} называется множеством фокальных элементов.

Если это множество образует цепь в алгебре 21, то Bel называется мерой необходимости [18], а двойственная ей - мерой возможности [18]. Рассмотрим меру возможности П на 21. Тогда функция тт(х) = Щх}, хеХ, называется функцией распределения возможностей. С ее помощью можно выразить меру возможности

П(Л) = тахя-(*) при А*0 (П(0) = О), хеА а также меру необходимости

N{A) = 1 - П( А) = min[l - я(х)] при А* X { N{X) = 1). хеЛ

Отметим, что меры возможности и необходимости широко применяются в различных моделях логического вывода [11,18], принятия решений [11,17,18], но без вероятностного обоснования, предлагаемого в данном исследовании. В указанных моделях в большей степени используется «интуитивное» понимание нечетких множеств, предложенное Заде [41].

Подчеркнем, что хотя нечеткие меры представляют более простые модели по сравнению с функционалами Е и Е для моделирования неопределенности, тем не менее, непосредственное применение нечетких мер может оказаться затруднительным при решении реальных задач. Это связано с тем, что даже в конечном случае задание нечеткой меры связано с хранением - 2 значений на алгебре 21. Можно использовать меры возможности и необходимости, тогда, как и для вероятностных мер, требуется знать значения нечеткой меры только на одноэлементных множествах, т.е. объем хранимых данных оценивается как |Х|. Однако в реальных задачах выразительных свойств мер возможности и необходимости может оказаться явно недостаточно [34,35].

Рассмотрим известные упрощения задания нечетких мер.

Разложимые меры [18,42-45]. Исследователи обратили внимание, что как при определении вероятностных, так и возможностных мер используется некоторая бинарная коммутативная и ассоциативная операция 1 на [0,1], которая в случае вероятностных мер является обычным сложением, а для мер возможности операцией «шах». Данная операция должна обладать свойством монотонности а X Ъ > max [a, bj, a,be[ 0,1]. Тогда, задавая значения нечеткой меры (л на одноэлементных множествах таким образом, чтобы //() JL //(дг2) JL= мы можем определить значение ji для произвольного множества А = } как ц{А) - /л(хн) JL Отсюда видно, что разложимые меры обладают характеристическим свойством: fi{A\jB)-/j(A) JL /л(В) при АпВ = 0. Основываясь именно на этих рассуждениях, Сугено предложил класс Л-мер [9], а затем независимо друг от друга была независимо введена концепция разложимой меры в работах [42,43]. Отметим, что разложимые меры основаны на операциях триангулярных норм и конорм [46], которые используются для определения операций над нечеткими множествами, и которые не обязательно являются традиционными операциями максимума и минимума, предложенными Заде [41].

Искаженные вероятности (distorted probabilities) [7,45]. Пусть (р\ [0,1] ->[0,1] - монотонно возрастающая функция на [0,1], для которой (р(0) = 0 и (р{\) = 1, Р - вероятностная мера на 21. Тогда функция множества /л-(роР называется искаженной вероятностью; при этом, если функция (р выпукла вниз [7], то нечеткая мера ju является 2-монотонной. Такой способ моделирования неопределенности нашел широкое применение в робастной статистике [47], страховании и экономике [8,48-50]. Покажем, что искаженные вероятности являются частным случаем разложимых мер, если (р ИхМеет единственную обратную функцию на [0,1]. Определим бинарную операцию 1 как а \-Ъ = (р{(р~х{а) + (р~\Ь)} для всех допустимых значений а,Ъ из [0,1]. Тогда при АпВ = 0

М(Аи В) = (р (Р(А) + Р(В)) = (р{(р-{ (ц{А)) + <р~х (М(В))) = М(А) 1 м(В). к-аддитивные меры ввел в рассмотрение Грабиш (Grabisch) [51,52] применительно к многокритериальным задачам принятия решений. В данных задачах аддитивность функции множества интерпретируется как отсутствие взаимодействия критериев [13], которое приводит к выбору функции агрегирования в виде взвешенной суммы. При этом для построения агрегирующей функции обычно используется интеграл Шоке [13,14]. Переход к нелинейным функциям агрегирования, как правило, объясняется наличием взаимодействия критериев. Для оценки взаимодействия критериев Грабиш ввел преобразование взаимодействия и [51-54], которое просто рассчитывается через преобразование Мёбиуса т нечеткой меры //:

Отметим, что значения этого преобразования на одноэлементных множествах (l>{x,},.,l>{xv}) образуют вектор Шепли [3,4,20], который хорошо известен в теории кооперативных игр. Значение и(В) имеет качественную интерпретацию - оно показывает «положительное» или «отрицательное» взаимодействие критериев в коалиции В. Аксиоматическое обоснование преобразования взаимодействия в кооперативной теории игр можно найти в [55].

Пусть fi - нечеткая мера на 21 и и (m) - ее преобразование взаимодействия (преобразование Мёбиуса). Тогда согласно определению нечеткая мера /л называется &-аддитивной (к eN), если и(£) = 0 (т(#) = 0)для всех Be21, |Z?|>& и существует множество Л €21, = что и(А)^0 т(А)ф 0). Таким образом, &-аддитивная мера соответствует случаю, когда для всех коалиций В е 21, > к, нет взаимодействия, и существует коалиция АеИI, = в которой присутствует отрицательное или положительное взаимодействие. В математическом плане [13] обычно ищут неизвестную нечеткую меру в классе к -аддитивных мер как решение оптимизационной задачи на основе некоторого количественного критерия, включающей систему ограничений на вид функции множества, в частно-. сти, одним из ограничений является аксиома монотонности нечеткой меры.

Отметим, что А:-аддитивные меры дают достаточно гибкий способ представления нечетких мер. Множество 1-аддитивных мер совпадает с семейством вероятностных мер, 2-аддитивные меры несколько сложнее, чем вероятностные меры, поскольку требуют задания (*)+(/ коэффицикая мера на 31 является А:-аддитивной для некоторого к е {\,.,N}. Аппроксимация произвольной функции множества на 31 к -аддитивной функцией множества аналогична аппроксимации действительной функции многих переменных полиномом степени к, поскольку полиномы степени т<к, так и т-аддитивные функции множества для т <к образуют линейное подпространство, и в этом подпространстве необходимо найти наилучшую аппроксимацию. Основной трудностью данного подхода является то, что не найдено легко проверяемых необходимых и достаточных условий, при которых к -аддитивная функция множества является монотонной, тем более принадлежит классу, например, 2-монотонных мер.

Рассмотренные подходы представления нечетких мер позволяют утверждать, что до сих пор не создано моделей, которые были бы универсальными в смысле выразительных свойств и простыми при практической реализации. Решение данной проблемы может заключаться, по-видимому, в следующем.

1. Вначале нужно выбрать семейство нечетких мер, которое в дальнейшем будет использоваться для моделирования неопределенности. Данное семейство должно обладать свойством замкнутости относительно правил логического вывода, т.е. обладать каким-то набором свойств. Например, рассмотренные семейства нечетких мер, включающие точные нижние вероятности, 2-монотонные меры, функции доверия (за исключением большинства разложимых мер), обладают свойством выпуклости. ентов. Это число для произвольного к равно

2. Необходимо исследовать алгебраические свойства выбранного семейства нечетких мер, позволяющие в дальнейшем построить реализуемые алгоритмы идентификации, аппроксимации и др. Например, если рассматриваемое семейство нечетких мер М выпуклое, т.е. замкнутое относительно операции взвешенной суммы: а/их +{\-а)/и2 еМ, если //,,//2 еМ, a е [0,1], то одной из важнейших задач является описание экстремальных точек множества М. Если М - замкнутое множество и число экстремальных точек конечное (теорема Крейна-Мильмана [56]), то любая мера из М может быть представлена в виде линейной выпуклой комбинации экстремальных точек. Можно показать, что экстремальными точками множества всех нечетких мер на алгебре 21 являются примитивные меры [57,58], т.е. принимающие значения из {0,1}, экстремальными точками семейства мер доверия являются примитивные меры необходимости. Задача же описания экстремальных точек других семейств нечетких мер, например, 2-монотонных мер достаточно трудна. Попытки ее решения для 2-монотонных мер, принадлежащих классу искаженных вероятностей, можно найти [59]. Другими алгебраическими свойствами могут быть замкнутость семейства относительно операции сужения, т.е. pi е М => цв е М при ju(B)^ 0, где juB(A) = ^ Ле21; для нижних вероятностей - свой

М{В) ства ядра Е = {Р\Р> /л), состоящего из вероятностных мер, мажорирующих нечеткую меру /и сверху и др. Может оказаться перспективным также исследование выпуклых семейств нечетких мер, которые замкнуты относительно других алгебраических операций, в частности относительно произведения или минимума. Операция произведения позволит наделить выпуклое семейство нечетких мер свойствами алгебраической структуры, которая близка к структуре кольца или идеала, рассматриваемого в алгебре. Операция «min». также интересна, так как очевидно, что любая точная нижняя вероятность ц на 21 может быть представлена как минимум вероятностных мер, являющихся экстремальными точками ядра п для меры /и, т.е. /л можно выразить через вырожденные вероятностные меры Pt (/J{jt,} = l), i = \,.,N, используя взвешенную сумму и операцию минимума. Обобщением данных бинарных операций является использование монотонно возрастающих функций вида: ^:[0,1]2 ->[0,1], <р(0,0) = 0, #>(1,1) = 1. Тогда можно получить нечеткую меру /л с помощью композиционного преобразования ^(A) = <p({il(A),ju2(A)), АеШ, нечетких мер

Следующее обобщение связано с переходом от бинарных операция к я-нарным ц(А) = (р(/лх{А),.,/лп{А)), АеШ, при этом агрегирующая функция (р: [0,1]" [0,1], должна быть монотонно возрастающей, а также #>(0,.,0) = 0, #>(1,.,1) = 1. Исследование агрегирующих функций должно быть связано с изучением условия замкнутости, т.е. если еМ, где

М - исследуемое семейство нечетких мер, то и /л е М. Такие условия были детально исследованы для возможностных и разложимых мер [60,61], в частности показано [62,63], для вероятностных мер единственно возможной операцией агрегирования является взвешенная сумма. При этом основным способом доказательств является нахождение решений функциональных уравнений типа Коши [64]. Отметим, что данные исследования проводились в рамках теории принятия решений. Задача ставилась, как получение агрегирования оценок (например, группы экспертов), заданных разложимыми мерами. В данной постановке задачи обычно вводят следующую дополнительную аксиому на вид функции (р\ (р{с,.,с) = с, се[0,1]. Показано [65], что если эта аксиома выполняется, то единственно возможной функцией агрегирования для мер доверия является взвешенная сумма.

3. Необходимо построить правила логического вывода, позволяющие производить обновление и обработку имеющейся неточной, неопределенной информации. При этом вводимые правила должны удовлетворять условию замкнутости и быть практически реализуемыми. Такие правила могут включать аналоги правила Байеса, уравнения полной вероятности и др., т.е. некоторые обобщения классической теории вероятностей: условные вероятности и математические ожидания, случайные величины и др. Подчеркнем, что данные конструкции разработаны в теории неточных вероятностей, однако, как отмечалось ранее, они сложны для практической реализации. Выходом из данной ситуации является построение моделей, может быть, менее точных, но использующих более простые модели логического вывода. Это означает, что вычисления следует проводить не обязательно в классе точных верхних или нижних вероятностей или функционалов Е или Е . Например, для оценок математических ожиданий можно использовать интеграл Шоке, который дает точные нижние оценки математического ожидания только для 2-монотонных мер.

4. Создать модели «верхнего уровня» связанные с выбором числовых характеристик степени неопределенности, противоречивости, а также неточности информации, моделируемой с помощью нечетких мер. В классической теории вероятностей такой характеристикой является энтропия. В [66,67] можно найти достаточно полный обзор основных достижений в данной области, рассматривается система аксиом, которым должны удовлетворять указанные характеристики. Показано, что наилучшими свойствами обладают мера Хартли (Hartley) для оценки неточности информации, и максимальная энтропия для оценки полной неопределенности. Следует отметить, что большинство результатов получено для мер возможности и функций доверия.

Мы рассмотрели вопросы моделирования неопределенности с помощью нечетких мер на конечной алгебре. Как и для теории вероятностей, при решении реальных задач возникает потребность распространения основных результатов теории на общий случай, когда нечеткая мера определена на сг -алгебре 21 множеств некоторого измеримого пространства X. Основными особенностями этого случая являются:

1) практическая неосуществимость логического вывода, предложенного в «чистых» моделях теории неточных вероятностей;

2) теоретически трудная проблема идентификации нечетких мер. Если следовать аксиоматике Колмогорова, то нечеткие меры (точной) нижней вероятности должны наследовать некоторые свойства непрерывности. При этом определить принадлежит или нет нечеткая мера, например, классу верхних или нижних вероятностей не представляется возможным. Известны достаточные признаки [25,68] только для частных видов 2-альтернирующих емкостей Шоке. (Нечеткая мера называется к -альтернирующей, если двойственная ей мера является к -монотонной.);

3) в практических реализациях в основном используются наиболее простые модели: меры возможности, Я-меры Сугено, искаженные вероятности.

Зададимся вопросом - в какой аксиоматике рассматриваемая теория нечетких мер была бы в большей степени приемлемой для инженерных разработок? Конечно, известные результаты для емкостей Шоке при различных топологических предположениях являются красивыми в математическом плане, но мало пригодными, чтобы предложить реальный алгоритм или метод. Большинство доказательств, основанных на трансфинитной индукции, лемме Цорна, включая теорему Хана-Банаха [69], являются неконструктивными, т.е. в них доказывается существование, скажем, линейного функционала с требуемыми свойствами, но не дается его конструктивного описания. Поэтому, по-видимому, целесообразно при расширении введенных понятий на произвольные измеримые пространства руководствоваться наиболее простыми определениями, основанными на обычной индукции. Исходя из этого, мы будем говорить, что нечеткая мера является (точной) нижней вероятностью (вероятностной или 2-монотонной мерой), если она обладает этим свойством на любой конечной подалгебре исходной алгебры

21. Это приводит к тому, что расширением вероятностных мер на произвольную алгебру являются конечно аддитивные меры, которые в общем случае не являются счетно-аддитивными. Следует иметь в виду, что существуют теории вероятностей [70,71], в которых аксиома счетной аддитив1 ности опускается. Кроме того, согласно теореме Стоуна [72,73] можно всегда построить вложение вероятностного пространства (АГ,21,Р) с конечно аддитивной мерой Р в вероятностное пространство [X*,Р*так чтобы вероятностная мера Р*, являющаяся расширением Р, была счетно-аддитивной на 21*. С этой точки зрения, свойство непрерывности просто дает в математическом плане некоторые удобства задания вероятностных мер, поскольку позволяет и при том единственным образом продолжить [73] счетно-аддитивную меру с полукольца К на минимальную <х-алгебру, содержащую К. Подчеркнем, что не следует умалять достоинства топологической теории, которая может быть полезной в задачах построения нечетких мер с заданными топологическими свойствами. Здесь только приводится обоснование того, что наряду со счетно-аддитивными мерами следует рассматривать более общий случай конечно-аддитивных мер.

Отметим, что как и для случая конечной алгебры важное значение имеет описание ядра Е0 = {Р|/3> ju0] произвольной нечеткой меры /л0. В качестве Р могут быть согласно соглашению либо счетно-аддитивные, либо конечно-аддитивные вероятностные меры. Для случая произвольной алгебры задача описания ядра уже не решается обычным способом, основанным на решении системы нелинейных неравенств, например, методами линейного программирования. Приемлемым способом установления того, что Е ^ 0 можно было бы считать построение монотонно возрастающей последовательности нечетких мер Мо-Мj - — » которая бы сходилась к аддитивной мере Р. Пусть Р является экстремальной точкой выпуклого множества Е0. Известно (это следует из теории линейных неравенств [74]), что для конечного случая множество ju0(A) = Р(А)} полностью определяет вероятностную меру Р, т.е. минимальная алгебра, содержащая 9Л, совпадает с 21. Можно ожидать, что такое свойство может выполняться и для других алгебр, например, со счетным базисом. Теперь рассмотрим следующее преобразование функции множества ju0:

Vl(A) = juQ(AvB) + ju0(AnB)-ju0(B), ВеШ, Ае21.

Нетрудно проверить, что функция множества //, удовлетворяет всем аксиомам для нечеткой меры, кроме того, в силу того, что ju0(B) = P(B) и juQ<P, ядро Е{ нечеткой меры /их будет содержать вероятностную меру Р. При этом ju0< ju{, если нечеткая мера juQ является 2-монотонной. Предположим, что множество счетное, т.е. = }"=1 > тогда последовательность нечетких мер [цк , порождаемая по правилу: M^iAvВк) + ju^AnB,)-мМ), к = \,2,-., ВеЯП, Ае21. назовем канонической последовательностью нечетких мер. Исследование таких последовательностей представляет интерес, поскольку дает индуктивное описание ядер 2-монотонных мер, кроме того, позволяет исследовать свойства аддитивности нечеткой меры на подалгебрах. Действительно, аддитивность может быть выявлена, если juk = цкЛ для некоторого к, т.е. множество Вк ведет себя аддитивным образом по отношению к другим элементам алгебры.

Рассмотрим применение теории нечетких мер в моделях принятия решений, приближенных рассуждений, а также обработки изображений.

Теория принятия решений. Пусть (А",21) - измеримое пространство и - линейное пространство измеримых функций на 21 со значениями в R. В классической теории полезности [75-77] каждое решение идентифицируют с некоторой функцией из ?, и вводится линейный квазипорядок ■< на , удовлетворяющий определенной системе аксиом, которая гарантирует существование вероятностной меры Р на 21, что для любых fvf2 е ? выполняется fxdP* \f2dP (В4)

X X

Отметим, что решение / е ? можно интерпретировать в качестве случайной величины, а интеграл J fdP как математическое ожидание дохода (пох лезности) при принятии решения /. Заметим, что любая функция ft е ? также индуцирует вероятностное распределение Pt (Р,(Л) = P{f~l{A)},

1) на сг -алгебре множеств интервала (-со,+оо), тогда условие

В4) эквивалентно

J xdPx{x)< j xdP2(x) (B5)

00,+<я) (-<Ю,+ао)

Выражение (В5) дает основание утверждать, что получается более общая постановка задачи (рассмотренная в [78]), когда мы идентифицируем решения с вероятностными распределениями, определенными на некотором измеримом пространстве (Х,21), а линейный квазипорядок -< на этом множестве вероятностных распределений ? определяется с помощью измеримой функции и '. X —(-оо,+оо):

РХ^Р2^> \udPx < \udP2, PVP2 е J>,

X X которая называется функцией полезности. В условиях неопределенности классическая схема может обобщаться в различных направлениях.

1. Было замечено [79,80], что в некоторых задачах лицу, принимающему решение, (ЛПР) свойственно более осторожное поведение. В результате отношение < на 21 начинает обладать другими свойствами. Это приводит к другим формулам для ожидаемой полезности [61,81-83], в частности, основанным на интеграле Шоке [5,80] или Сугено [61,84] по нечеткой мере."

2. В условиях неопределенности отношение квазипорядка ^ может потерять свойство линейности, т.е. могут наблюдаться несравнимые решения. Такая ситуация может моделироваться с помощью семейства вероятностных мер [85,86] Е, при этом /, z</2, если и

2], где /|,/2 ef. В противном случае решения считаются несравнимыми.

3. Решения из ? измеряются не в числовой, а в порядковой шкале. В этом случае каждая функция из ? есть отображение У -> R, где R - это некоторое линейно упорядоченное множество. Такая ситуация свойственна качественным суждениям об окружающем мире. Отметим, что один из подходов решения данной задачи связан с введением порядковых интегралов [8,87], которые дают лишь частичное упорядочение решений. Другая постановка задачи аналогична (В4). Можно заметить, что функции fx <= ^ индуцируют вероятностные распределения Pt (Pl(A) = P{f~\A)},

А)е.ЪI) на измеримом пространстве R. Однако в данном случае пространство R является только линейно упорядоченным, и возникает задача упорядочения вероятностных распределений. Эта задача может решаться, например, следующим образом. Обозначим через U - множество всех ограниченных измеримых функций и: R -> (-оо, +оо), которые согласованы с порядком ■< на R, т.е. и{х) < и(у) при х ■< у, х,у е R. Тогда полагаем, что

Р1^Р2<=> (уи eU) juc/Pl < JudP2 для вероятностных мер PVP2.

R R

Отметим, что таким образом введенный порядок дает только частичное упорядочение решений, и мы «знаем» функцию полезности только с точностью до возрастающего преобразования. Это случай неопределенности, который можно характеризовать как неполное или частичное задание функции полезности. Также отметим, что, как правило, порядковые шкалы приводят к конструкциям, которые хорошо описываются в теории возможностей [27,28,88].

Модели приближенных рассуждений. Одним из простейших видов классической аристотелевой логики является представление информации с помощью высказываний вида хеА, означающих, что интересующий нас объект х принадлежит множеству А. Можно показать [89], что такая теоретико-множественная интерпретация является достаточной для описания большинства моделей пропозициональной логики. При практической реализации данной схемы используются правила логического вывода следующего вида: хе Al,xeA2,.,,xsAn ->д:еВ, п если ^\Ак т.е. в данном случае алгебра логики эквивалентна булевой

Лг=1 алгебре обычных множеств. Заде [41] предложил для описания размытости, неточности и неопределенности информации использовать понятие нечеткого множества. Согласно определению произвольное нечеткое подмножество А базового множества X определяется функцией принадлежности p,A: X ->[0,1], при этом значение juA(x), хеХ, интерпретируется как степень принадлежности элемента х множеству А. Для нечетких множеств можно получить правило логического вывода, аналогичное (В5), если использовать, например, традиционные операции над нечеткими множествами, основанные на операциях максимума и минимума. Критики теории нечетких множеств [90], в частности, отмечают следующие сложности аргументированного применения данной теории.

1. Субъективность при определении функции принадлежности. Как правило, данная задача решается эвристически инженером-разработчиком системы принятия решений или интеллектуальной системы. Хотя и существуют методики построения функций принадлежности на основе психометрических измерений [11,91, 92].

2. Недостаточно обоснованный выбор операций над нечеткими множествами. Предпочтение min-max операциям отдается лишь по причине близости их алгебраических свойств к обычным теоретико-множественным операциям. Хотя следует отметить, что есть множество работ [93-96], где отдается предпочтение вероятностной логике Лукасеви-ча или другим операциям, основанным на триангулярных нормах или ко-нормах.

С другой стороны, известна практическая реализуемость и эффективность моделей, основанных на нечеткой логике [11,92,97]. Поэтому, по-видимому, было бы разумным пытаться искать общие связи теории нечетких множеств и теории вероятностей и на основе этого строить реализуемые и вычислительно эффективные модели, например, с помощью конструкций теории неточных вероятностей. В этом случае можно использовать одну из известных вероятностных интерпретаций [90,98,99] нечеткого множества. Наиболее обоснованной в теории возможностей [18,88,99] является следующая схема.

Пусть - это измеримое пространство и А — нормальное нечеткое подмножество X с измеримой функцией принадлежности п . Тогда к интерпретируется как функция распределения возможностей, по которой можно рассчитать меру возможности n(J4) = sup^(^:) при АеЧИ, хсА

А ф0 (П(0) = 0), а также меру необходимости N(A) = 1 - ЩА), АеШ. С учетом этого, считаем, что А индуцирует семейство вероятностных мер Е = Теперь рассмотрим правило логического вывода х е Ах,х е А2,.,х е Ап -» х е В (В6)

Предположим, что нечеткие множества Ак индуцируют семейства вероятностных мер Ек, к = \,.,п, а с нечетким множеством В ассоциировано семейство вероятностных мер Нд. Тогда справедливость правила (В6) означает, что Q^-в- Подчеркнем, что реализация вероятностных прин-ы\ ципов логического вывода в теории возможностей особенно актуальна, когда возникает необходимость обрабатывать разнородную лингвистическую и статистическую информацию, имеющую вероятностную интерпретацию.

Анализ изображений является, по-видимому, одной из наиболее сложных, трудно формализуемых областей для применения математических методов [100-103]. Неопределенность в задачах обработки плоских изображений трехмерных объектов может быть вызвана следующими причинами:

1) неточностью и неопределенностью исходной информации, которая может быть вызвана как дискретизацией, так и зашумлением обрабатываемого изображения;

2) неполной информацией об объекте на изображении. Известно, что изображение является лишь двумерной проекцией трехмерного мира и задача восстановления трехмерности в общем случае не поддается решению;

3) искажениями, которые могут быть вызваны неточной фокусировкой видео-камеры, бликами, частичным слиянием анализируемых объектов с фоном, перекрытием объектов.

С учетом этого, задача распознавания изображений может быть качественно решена только при условии использования в полном объеме всей статистической, априорной и эвристической информации. В качестве эвристик могут служить: симметрия объектов искусственного происхождения, априорная информация о возможном положении объектов в пространстве, представления о «правильных» геометрических формах объектов. Так, например, благодаря эвристикам, человек видимые круглые объекты воспринимает как шарообразные, пытается восстановить геометрическую форму полиэдральных объектов, пользуясь эвристикой, что плоские углы в большинстве ситуаций являются прямоугольными.

Данные рассуждения позволяют говорить, что существует некоторая иерархия объектов по критерию сложности, и когда информация о распознаваемых объектах не полна или искажена, человек выбирает самую простую гипотезу о геометрической форме объекта, которая не противоречит исходной статистической и априорной информации.

Как правило, обработка изображений представляет собой некоторую последовательность процедур, позволяющих получить набор представлений исходного изображения [100-102]. При этом каждое представление можно рассматривать как инвариантное относительно исходных неизвестных параметров. Фильтрация или сглаживание изображений очищает изображение от помех, контурные изображения инвариантны относительно освещенности сцены, векторные представления контуров, основанные на дескрипторах Фурье [104,105], инвариантны относительно подгруппы аффинных преобразований.

Пусть J - это множество различных представлений исходного изображения, и иерархия данных представлений может быть описана количественно с помощью функционала Q:? ->[0,+со). Значение Q(f), f е J, будем интерпретировать как степень информативности представления /. Для векторных представлений множество ? можно рассматривать как некоторую область пространства R". Далее в силу неточности, неопределенности и неполноты исходной информации мы можем лишь гарантировать, что интересующее нас представление / принадлежит области J2"*. Тогда, пользуясь эвристикой выбора наиболее простого представления из всех допустимых, мы можем «восстановить» /, полагая, что

• / = argmin0(g).

St?

Такой подход можно использовать в алгоритмах сглаживания полутоновых и контурных изображений, выбирая подходящим образом функционал Q.

При анализе геометрической информации, например, контуров требуется решать другую задачу [106-110] - упрощения исходного векторного представления. Например, если рассматривать полигональные представления контуров, координатами векторного представления / = (fv—,f„) являются координаты ft вершин многоугольников (полигонов), и задача сводится к упрощению векторного представления, т.е. снижению его размерности. Упрощение представления / = {f\,—,fn) заключается в исключении из рассмотрения некоторого множества малоинформативных вершин из полигонального представления. Эту задачу можно также решать с помощью меры информативности Q. Будем считать, что индексы координат оставленных вершин принадлежат множеству А с: {1,.,«}, т.е. {/ |/ е А). Далее условно считаем, что координаты вершин, индексированных множеством А, известны, а множеством А = {1,.,л}\Л - не известны. Тогда наименее информативное представление /А с фиксированными значениями координат с индексами из множества А следует искать во множестве представлений ^r(/,^) = {(g,,.,g„)e^r|g, = /,/еЛ], тогда л = аrg min 0(g). ge?(f,A)

С учетом этого, можно поставить задачу поиска наиболее информативного представления fA, для которого |Л| = т, т<п. Отметим, что данная задача может быть сформулирована в рамках теории нечетких мер. Действительно, каждому представлению fA или множеству А можно поставить в соответствие меру информативности

М/(А)= min 0(g).

Данная функция множества является монотонной, причем всегда можно добиться, чтобы juf{0)= 0, /i/({l,.,«}) = l, соответствующим образом выбирая строго возрастающее преобразование функционала Q. Тогда преды дущая задача связана с выбором множества В с: {1,.,/?}, \в\ = т, удовлетворяющего условию:

Отметим, что нечеткие меры широко используются при обработке и анализе изображений [111-113], в частности, в моделях нелинейной фильтрации [114], основанных на различных интегралах по нечеткой мере, при распознавании образов [115], где в качестве решающих функций используются интегралы Сугено или Шоке, а также для агрегирования информации [111,112], например, полученной с помощью различных алгоритмов классификации [116]. Рассмотренная здесь концепция меры информативности близка по своей сути к мерам сложности, рассматриваемых в теории систем [117]. Своеобразный подход к распознаванию изображений в рамках теории возможностей предложен в работах [118,119].

Целью настоящей диссертационной работы является получение алгебраического описания и эффективных способов представления различных выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как нижние или верхние оценки вероятностей, на конечной алгебре и а -алгебре, и применение полученных результатов для построения моделей принятия решений, логического вывода и анализа изображений в условиях неопределенности.

В связи с поставленной целью необходимо было решить следующие задачи:

• исследовать алгебраические свойства основных выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как верхние или нижние оценки вероятностей, на конечной алгебре;

• разработать и исследовать модели представления нечетких мер на основе функций агрегирования;

• разработать и исследовать математический аппарат канонических последовательностей нечетких мер для изучения аддитивных свойств 2-монотонных и других нечетких мер на а -алгебрах;

• разработать и исследовать возможностную модель принятия решений при неполной информации о функции полезности;

• разработать и исследовать возможностные модели логического вывода в рамках понятия «верхняя-нижняя» вероятность;

• разработать и исследовать модели обработки изображений и представления контурной графической информации на основе мер информативности.

Методы исследований основаны на использовании теории неаддитивных мер и интеграла Шоке (в частности, классической теории меры и теории вероятностей), теории возможностей, теории линейных неравенств, функционального анализа, теории полезности, теории нечетких множеств.

Материалы диссертационной работы распределены по главам в соответствии перечисленными задачами.

В главе 1 исследованы алгебраические свойства различных выпуклых семейств нечетких мер на конечной алгебре, такие как (точные) нижние вероятности, 2-монотонные меры, меры доверия, а также семейства обобщенных точных нижних вероятностей и статистически непротиворечивых мер, которые до этого не рассматривались в литературе. Были найдены новые необходимые и достаточные признаки того, что нечеткая мера принадлежит классам (обобщенной) точной нижней вероятности, А:-монотонных мер, статистически непротиворечивых мер. Полученные свойства позволили исследовать теоретико-множественное включение указанных семейств. В частности, показано, что любая 2-монотонная мера является статистически непротиворечивой, с другой стороны, не всякая точная нижняя вероятность является статистически противоречивой, и обратно, не каждая статистически непротиворечивая мера является точной нижней вероятностью. Была введена алгебраическая структура, замкнутая относительно взвешенной суммы и обычного произведения нечетких мер и названная идеалом. Показано, что все основные выпуклые семейства мер нижней вероятности являются идеалами. Рассмотрены способы порождения идеалов, основанные на введенных операциях пересечения, объединения и произведения идеалов. Исследованы условия того, когда замкнутый идеал, порождаемый одной нечеткой мерой, имеет конечное число экстремальных точек.

В главе 2 рассмотрена и исследована модель представления нечетких мер на основе функций агрегирования. Исследованы необходимые и достаточные условия, накладываемые на функцию агрегирования, которые гарантируют, что результирующая мера будет принадлежать тому же семейству нечетких мер, что и агрегируемые меры. Такое исследование проведено для нижних вероятностей, (обобщенных) точных нижних вероятностей, для А--монотонных мер. С учетом этого, введены классы функций агрегирования, которые наследуют свойства указанных семейств нечетких мер. Показано, что данные классы функций являются замкнутыми относительно операции композиции функций. С другой стороны, функции агрегирования можно рассматривать как монотонные функции нечеткого множества или как нечеткие меры на алгебре нечетких множеств. Это позволяет определить основные семейства нечетких мер с теми же названиями на алгебре нечетких множеств. При этом для сужений нечеткой меры с алгебры нечетких множеств на алгебру четких множеств выполняется свойство сохранения принадлежности основным семействам нечетких мер, т.е., например, если исходная обобщенная нечеткая мера является точной нижней вероятностью, то и ее сужение на алгебру четких множеств также является точной нижней вероятностью. Поэтому можно рассматривать задачу продолжения нечеткой меры с алгебры четких множеств на алгебру нечетких множеств так, чтобы, например, точная нижняя вероятность продолжалась бы на точную нижнюю вероятность. Показано, что такое продолжение существует для всех рассматриваемых семейств нечетких мер и в качестве этого расширения можно взять полилинейное расширение функции множества. Показано, что интеграл Шоке, используемый в качестве продолжения, не обладает такими хорошими свойствами. В качестве важных промежуточных теоретических результатов получены характеризация к -монотонных функций множества с помощью теории исчисления разностей, а также экономный необходимый и достаточный признак к -монотонности. Рассмотрены также упрощения полученных результатов для функций агрегирования одной переменной, когда результирующая нечеткая мера называется искаженной нечеткой мерой (в частности, искаженной вероятностью).

В главе 3 дается определение и исследуются свойства канонических последовательностей нечетких мер. Показано, что такие последовательности порождаются посредством последовательного применения к исходной мере линейных операторов определенного вида, причем каждый оператор ассоциирован с некоторым элементом алгебры. Действие оператора на нечеткую меру приводит к тому, что она становится аддитивной относительно указанного ассоциированного элемента. Множество аддитивных элементов образует алгебру, на которой нечеткая мера аддитивна. Показано, что условие перестановочности операторов эквивалентно линейной упорядоченности ассоциированных множеств, получены формулы преобразования последовательности операторов, с помощью которых любую конечную последовательность операторов можно преобразовать в эквивалентную последовательность, в которой ассоциированные множества линейно «упорядочены. Для случая линейно упорядоченных ассоциированных множеств получена явная формула, выражающая значения нечетких мер в канонической последовательности. Для каждой нечеткой меры из канонической последовательности можно рассматривать алгебру, состоящую из адцитивных элементов, на которой она аддитивна. Показано, что таким образом генерируется последовательность вложенных алгебр, причем действие оператора состоит в том, что к предыдущей алгебре добавляется аддитивный элемент, являющийся ассоциированным множествохм для данного оператора. Показано, что для 2-монотонных мер каноническая последовательность нечетких мер является монотонно возрастающей, а для 2-альтернирующих - монотонно убывающей. Исследован вероятностный смысл канонических последовательностей для данных случаев. Это позволило расширить понятие канонической последовательности для 2-монотонных (2-альтернирующих) мер для произвольных (не обязательно счетных) цепей множеств и получить для них аналогичные свойства (например, перестановочности операторов), как и для конечных канонических последовательностей. Данные результаты позволили дать описание ядра 2-монотонных (2-альтернирующих) мер. Для счетного случая также исследованы условия равномерной сходимости канонической последовательности, которые гарантируют, что предельная мера сохраняет свойства непрерывности порождающей нечеткой меры.

В главе 4 рассмотрена и исследована возможностная модель принятия решения при неполной информации о функции полезности. Постановка задачи состоит в том, что функция полезности неизвестна, а известен лишь индуцируемый ею линейный порядок на пространстве доходов, и необходимо упорядочивать вероятностные распределения, ассоциированные с решениями. Показано, что в данном случае удается лишь частично упорядочить решения, и этот порядок изоморфен отношению включения ко-монотонных нечетких множеств или отношению доминирования соответствующих им мер возможности. Из вероятностных соображений на порождаемых нечетких множествах вводится индекс -включения, предоставляющий ЛПР дополнительную информацию по принятию решения в условиях несравнимости альтернатив. Данный индекс включения вводится вначале для так называемого регулярного случая, когда просто вычисляются вероятности строгих срезов генерируемых нечетких множеств. Для общего случая индекс включения строится аксиоматически. Для этого исследуются свойства индекса включения для регулярного случая через вводимую функцию предпочтения, обладающую свойством билинейности. А затем это свойство используется в аксиомах для функции предпочтения и индекса включения. Показано, что введенные аксиомы определяют индекс включения для общего случая однозначно. Рассмотрен процесс принятия решения, основанный на анализе метризованного отношения, построенного по значениям индекса включения или функции предпочтения.

В главе 5 рассмотрена возможностная модель логического вывода, обобщающая классическую модель пропозициональной логики. В этой модели высказывания задаются нечеткими множествами, однако в них вкладывается вероятностная интерпретация - каждое нечеткое множество задает распределение возможностей на базовом измеримом пространстве, а значение меры возможности интерпретируется как верхняя оценка вероятности. Показано, что известные схемы вывода, основанные на нечеткой логике, не обоснованы в рамках предлагаемого подхода. С учетом этого проведено исследование, связанное с выделением необходимых и достаточных условий противоречивости высказываний и построения правил логического вывода. Рассмотрена также задача выбора показателей неточности имеющейся информации, когда высказывания описываются нечеткими интервалами, на основе вероятностных принципов. В частности, для этого предложено использовать максимальную дисперсию нечеткого интервала, вычисление которой приводит к дополнительному математическому исследованию. В главе 6 рассмотрены модели обработки и анализа изображений на основе мер информативности. Показано, как применять меры информативности для сглаживания изображений и контуров. Но наиболее насыщенной математически оказалась задача анализа контурных изображений с помощью мер информативности. Меры информативности вводятся аксиоматически для полигональных представлений контуров. Рассмотрены примеры мер информативности, построенные по длине контура и по площади, ограниченной контуром. Данные меры обладают свойствами монотонности и нормированности, т.е. являются нечеткими мерами на множестве вершин исходного полигонального представления. Некоторые особенности есть у меры по площади, ограниченной контуром, поскольку она обладает свойством монотонности только для выпуклых контуров. С учетом этого, возникает проблема продолжения данной меры на невыпуклые контуры. Эта задача была решена с помощью вводимой функции веса вершин, которая определяется как изменение меры информативности полигонального контура при удалении вершины. Предлагаемый подход состоял во введении эвристической положительной функции веса вершин и построении меры информативности таким образом, чтобы конструируемая мера информативности сохраняла в наибольшей степени свойства функции веса. Функция веса также использовалась при решении практической задачи поиска наиболее информативного, но в тоже время наиболее простого полигонального представления. С учетом этого, были введены понятия п-оптимального, б -обусловленного, б -точного контура. Теоретически было показано, что наиболее хорошими свойствами при решении этой задачи обладает мера информативности, обладающая свойством субмодулярности (2-альтернируемости). Было показано, что свойствами, близкими к субмодулярности, обладает мера информативности по длине выпуклого контура. Для меры информативности по площади контура также найдены аналогичные условия. Завершает исследование введение указанных мер информативности для кусочно-гладких контуров и исследование их дифференциальных свойств. •

В приложении приведены копии актов о внедрении и использовании результатов работы.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

- проведено исследование алгебраических свойств основных выпуклых семейств нечетких мер, включающее найденные необходимые и достаточные признаки мер (обобщенной) точной нижней вероятности, статистически непротиворечивых мер, к -монотонных мер, свойства данных мер относительно операции сужения, а также свойства их теоретико-множественного включения;

- введены и исследованы понятие идеалов, а также алгебраические операции над идеалами;

- исследованы модели представления нечетких мер на основе функций агрегирования на предмет наследования свойств агрегируемых мер;

- найдены обобщения основных выпуклых семейств нечетких мер на алгебре нечетких множеств и исследованы их свойства;

- получены свойства полилинейного расширения, связанные с агрегированием нечетких мер;

- разработан математический аппарат построения канонических последовательностей нечетких мер для описания аддитивных свойств нечетких мер и получения мер с заданными аддитивными свойствами;

- предложена модель принятия решений при неполной информации о функции полезности, основанная на индексе включения нечетких множеств и функции предпочтения;

- предложена модель логического вывода, в рамках теории возмож-' ностей, основанная на вероятностных принципах;

- найдены выражения для вычисления максимальной дисперсии нечеткого интервала;

- исследованы модели анализа контурных изображений, а также методы сглаживания и сегментации изображений, основанные на мерах информативности.

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в Бременском университете (Германия, июнь-июль, 2003 г.) по неаддитивным мерам, руководимом профессором Дитером Деннебергом (Dieter Den-neberg), на Международном симпозиуме по неточным вероятностям и их применениям (Лугано, Швейцария, 2003 г.), на Международном конгрессе ассоциации нечетких систем (Стамбул, Турция, 2003 г.), на Международном научно-практическом семинаре «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна, Россия, 2001 г., 2003 г.), на Международной конференции по мягким методам в вероятности и статистике (Варшава, Польша, 2002 г.), на Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (1998 г., 2000 г., 2001 г., 2002 г.), на конференции IEEE AIS'02, CAD-2002 (Геленджик, Россия, 2002 г.), на Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, Россия, 2002), на Международном конгрессе «Искусственный интеллект в XXI веке» (Геленджик, Россия, 2001 г.), на Международной конференции по управлению, робототехнике и зрению (Сингапур, 2000 г.), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2000 г.), на Национальных конференциях по искусственному интеллекту (Россия, 1998 г., 2000 г.), на Международной научной конференции «Искусственный интеллект 2000» (Крым, Украина, 2000 г.), на Международной конференции по мягким и интеллектуальным вычислениям (Будапешт, Венгрия, 1999 г.), на Европейских конгрессах по интеллектуальным технологиям и мягким вычислениям (Лахнг, Гер'г.ич';;, 1995 i . 1996 1. , 1997 г, !''99 ;.), на М<г, луил.ч^мкы чпм-юч'.и юс, vm

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА ренции «Интеллектуальные многопроцессорные системы-99» (Таганрог, Россия, 1999 г.), на Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (Санкт-Петербург, Россия, 1998 г.).

По теме диссертации опубликовано 56 печатных работ, в том числе монография «Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей» / А.Г. Броневич, А.Н. Каркищенко. - Таганрог: ТРТУ, 1996. - 194 с. Кроме того, результаты исследований отражены в 5-ти отчетах о НИР.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, шести тематических глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем основного текста - 299 стр., включая 26 рисунков и 5 таблиц. Список литературы изложен на 20 стр. и содержит 198 наименований.

6.9. Выводы

1. Предложено аксиоматическое описание меры информативности для описания полигональных представлений контура. Приведены примеры мер информативности на основе длины контура и площади области, охватываемой контуром. Поскольку мера информативности по площади области, охватываемой контуром, определяется только для выпуклых контуров, то проведено исследование, как продолжить эту меру информативности для произвольных контуров на основе вводимой функции веса вершин полигонального представления. Для этого исследованы свойства, которым должна удовлетворять функция веса и предложен способ определения меры информативности с помощью вводимой эвристически функции веса.

2. Исследованы различные постановки задачи поиска оптимального полигонального представления по мере информативности. На основе этого введены характеристики полигональных представлений такие как, функции точности контура, его обусловленности, невырожденности и др. Данные характеристики позволяют выяснить, какими желательными свойствами должна обладать мера информативности для реализации эффектив-г<", >рик'\,' ' ]и ' • I wi о nni:i оп?л: нога представления. Поs казано, что мера информативности обладает «хорошими» свойствами, если она принадлежит к классу верхних вероятностей, в частности, 2-альтернирующих мер. Для введенных мер по длине контура и по площади, охватываемой контуром, найдены геометрические свойства контуров, при которых указанные меры информативности обладают свойствами близкими к 2-альтернируемости.

3. Предложены алгоритмы поиска п -оптимального и оптимального е -обусловленного контура, исследованы условия их сходимости. Показано, что оптимальный е -обусловленный контур является также е -точным.

4. Введены меры информативности по длине контура и по площади контура для кусочно-гладких контуров. Показано, что вводимые нечеткие меры на множествах, измеримых по Лебегу, являются непрерывными снизу. Рассмотрены дифференциальные характеристики данных мер информативности, обобщающие функцию веса для непрерывного случая. Показано, что они связаны с кривизной контура в точках, где наблюдается непрерывность дифференциальных характеристик контура.

5. Рассмотрено введение мер информативности полутоновых, контурных и сегментированных изображений. Показано, как могут строиться процедуры сглаживания полутоновых и контурных изображений на основе решения оптимизационных задач градиентными методами. Показано построение меры информативности сегментированных изображений, оптимальной при аппроксимации исходного полутонового изображения по евклидовой метрике. Найдено представление данной меры информативности с помощью монотонной функции множества. Все рассмотренные методы были апробированы на реальных изображениях и входят в состав системы обработки и анализа»изображений. Приведены иллюстрации работы предложенных методов и алгоритмов.

ЗАКЛЮ ЧЕНИЕ

Основной научный результат диссертационной работы заточается в найденных алгебраических описаниях различных семейств нечетких мер на конечных и сг-алгебрах, исследованных представлениях нечетких мер с помощью агрегирующих функций, введенного аппарата канонических последовательностей нечетких мер для описания аддитивных свойств нечетких мер, а также в применении теории нечетких мер и теории возможностей в моделях принятия решений при не полностью заданной функции полезности, логического вывода на нечетких высказываниях, а также моделях обработки и анализа изображений на основе мер информативности.

При проведении исследований и разработке по теме настоящей работы были получены следующие теоретические и прикладные результаты.

1. Исследованы основные выпуклые семейства нечетких мер на конечной алгебре, значения которых могут интерпретироваться как верхние или нижние оценки вероятностей событий. Получены алгебраические свойства нечетких мер, включающих нижние вероятности, обобщенные точные нижние вероятности, точные нижние вероятности, статистически непротиворечивые меры, 2-монотонные меры. При этом обобщенные точные нижние вероятности и статистически непротиворечивые меры рассматривались впервые. Получены новые необходимые и достаточные признаки принадлежности произвольной нечеткой меры указанным семействам, в частности, важным результатом является найденный необходимый и достаточный признак k -монотонности нечеткой меры. Исследованы свойства теоретико-множественного включения рассматриваемых семейств нечетких мер.

2. Введено понятия идеала - выпуклого семейства нечетких мер, за*'м:у'<'1о г,;: v и.го он:л;-.ой oiiq чзч и переключения. Показано, что n все рассматриваемые основные выпуклые семейства нечетких мер, интерпретируемые как нижние оценки вероятностей, являются замкнутыми идеалами. Исследована структура минимального идеала, порождаемого одной нечеткой мерой. Показано, что данный идеал имеет конечное число экстремальных точек в том и только том случае, если множество значений порождающей нечеткой меры содержит не более трех элементов. Введены и исследованы алгебраические операции над идеалами, включающие пересечение, объединение, а также перемножение идеалов.

3. Исследованы представления нечетких мер с помощью функций агрегирования. Найдены необходимые и достаточные условия, накладываемые на функцию агрегирования, при которых нечеткая мера, являющаяся агрегацией А'-монотонных мер, является также А'-монотонной. Для остальных семейств нечетких мер найдены только достаточные условия, которым должна удовлетворять функция агрегирования. Введенное представление функций агрегирования как нечетких мер на алгебре нечетких множеств позволило дать ясную интерпретацию полученных результатов, а также ввести аналогичные семейства нечетких мер, но уже на алгебре нечетких множеств. Показано, что данное определение является корректным, т.е. сужение нечеткой меры с алгебры нечетких множеств на алгебру четких множеств сохраняет принадлежность указанным семействам нечетких мер. Исследованы свойства теоретико-множественного включения введенных семейств нечетких мер на алгебре нечетких множеств. Показано, что введенные семейства агрегирующих функций (нечетких мер) являются замкнутыми относительно операции композиции. Важными промежуточными результатами являются полученное описание А:-монотонных мер с помощью теории разностей, а также полученный эффективный необходимый и достаточный признак А-монотонности. Показано, что любую нечеткую меру на конечной алгебре можно продолжить на алгебру нечетких событий, так чтобы сохранялась принадлежность нечеткой меры рассматриваемым семействам. В качестве такого продолжения можно использовать полилинейное расширение, которое в этом смысле обладает уникальными свойствами.

4. Введены канонические последовательности нечетких мер для описания аддитивных свойств нечетких мер, в частности, 2-монотонных и 2-альтернирующих мер. Показано, что механизм порождения данных последовательностей можно описать как последовательность линейных операторов определенного вида, действующих на все множество нечетких мер. С каждым оператором можно ассоциировать элемент алгебры и последовательность операторов также можно задавать последовательностью множеств. Была полностью решена задача эквивалентности последовательностей операторов или последовательностей множеств. Найдены правила эквивалентного преобразования данных последовательностей, и на основе этого показано, что любая последовательность множеств эквивалентна некоторой монотонно возрастающей последовательности множеств. Для последнего случая найдена явная формула, выражающая значения нечетких мер из канонических последовательностей. Рассмотрено также понятие эквивалентных последовательностей для фиксированной порождающей нечеткой меры. Показано, что для 2-монотонных мер эквивалентные последовательности образуют некоторую решетку множеств относительно операций объединения и пересечения. Исследованы условия равномерной сходимости канонических последовательностей 2-альтернирующих (2-монотонных) мер, при которых сохраняются свойства непрерывности предельной нечеткой меры. Показано, что нарушение найденных условий может приводить к отсутствию равномерной сходимости, что предельная мера уже не будет, например, непрерывной снизу, если таким свойством обладает порождающая нечеткая мера. Введенные линейные операторы, описывающие нечеткие меры из канонической последовательности, были обобщены для произвольной цепи алгебры, на основе вероятностной инs терпретации 2-альтернирующих мер из канонической последовательности. В частности, доказана линейность данных операторов и условия их перестановочности. В качестве важных промежуточных результатов можно отметить полученные свойства ядер 2-альтернирующих мер на произвольных сг-алгебрах, полученные с помощью леммы Цорна и свойств канонических последовательностей.

5. Рассмотрена постановка задачи принятия решений в условиях не полностью заданной функции полезности, когда решения описываются вероятностными мерами на линейно упорядоченном пространстве доходов. Показано, что в этом случае решения оказываются частично упорядоченными и данный порядок можно описать с помощью отношения теоретико-множественного включения комонотонных нечетких множеств или с помощью теории возможностей. Показано, что данный порядок обладает свойствами дистрибутивной решетки. Для количественного описания данного порядка введен индекс включения нечетких множеств, исследованные свойства которого, а также связанной с ним функции предпочтения, оказываются близкими к функционалу классической ожидаемой полезности. На основе полученных свойств рассмотрено продолжение индекса включения и функции предпочтения на так называемый регулярный случай, когда функции принадлежности рассматриваемых нечетких множеств необязательно являются непрерывными и строго возрастающими при сохранении билинейных свойств. Рассмотрено применение индекса включения и функции предпочтения при принятии решений. Показано, что в случае, когда индуцируемое метризованное отношение предпочтений является сильно транзитивным, то принятие решений сводится к вычислению классической ожидаемой полезности.

6. Рассмотрена схема логического вывода на нечетких высказываниях, -когда используется вероятностная интерпретация нечетких-множеств в рамках теории возможностей. Показано, что в этом случае традиционный способ комбинирования нечетких высказываний на основе операции минимума не обоснован с вероятностной точки зрения. Поэтому на основе вероятностных принципов исследованы необходимые и достаточные признаки непротиворечивости нечетких высказываний, а также предложены способы комбинирования высказываний, обоснованные в рассматриваемой вероятностной интерпретации. Для выбора результирующего наиболее точного высказывания предложены количественные характеристики его точности, в частности, одной из таких характеристики является максимальная дисперсия нечеткого интервала. Для вычисления этой характеристики была теоретически исследована и решена оптимизационная задача, что позволило получить аналитические формулы для вычисления максимальной дисперсии нечетких интервалов определенной геометрической формы.

7. Рассмотрено применение мер информативности для анализа и обработки изображений. Введены меры информативности полигональных представлений контуров, полутоновых, а также сегментированных изображений. Рассмотрены и предложены методы решения оптимизационных задач выделения наиболее оптимального полигонального представления контура по мере информативности, сглаживания полутоновых и контурных изображений, а также яркостной сегментации. Меры информативности полигональных представлений контуров были исследованы теоретически: рассмотрено аксиоматическое определение меры информативности, введены две меры информативности по длине и по площади, охватываемой контуром, а также рассмотрено введение меры информативности по эвристической функции веса, позволяющее рассматривать меры информативности по площади контура для невыпуклых контуров. Рассмотрены различные постановки задачи выбора -оптимального полигонального представления по мере информативности, а также исследованы условия, накладываемые на меру информативности, позволяющие организовать эффективную процедуру поиска оптимального контура. Данные условия формулируются через введенные функции точности и обусловленности контура, а также им двойственные аналоги. Показано, что «хорошими» свойствами обладают меры информативности, принадлежащие семейству верхних вероятностей, в частности, 2-альтернирующих мер. Для введенных мер по длине контура и по площади, охватываемой контуром, найдены геометрические свойства контуров, при которых указанные меры информативности обладают свойствами близкими к 2-альтернируемости. Рассмотрено введение мер информативности для кусочно-гладких контуров, а также дифференциальных характеристик, обобщающих вес вершин в полигональном представлении по мере информативности. Найдена связь данных характеристик с кривизной контура.

1. Choquet G. Theoiy of capacities. Aim. 1.st. Fourier, v. 5, 1954, 131-295.

2. Мейер П.-Л. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

3. Воробьев Н. Н. Теория игр. М.: Наука, 1985.

4. Данилов В.И. Лекции по теории игр. /KJI/2002/001. М.: Российская экономическая школа, 2002.

5. Gilboa I. Expected utility with purely subjective non-additive probabilities// J. Math. Econ., v. 16, 1987, 65-88.

6. Marinacci M. Limit Laws for Non-additive Probabilities and Their Frequen-tist Interpretation// Journal of Economics Theory, v. 84, 1999, 145-195.

7. Denneberg D. Non-additive measure and integral. Dordrecht: Kluwer, 1997.

8. Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integral. Trans. SICE, 1972,v.8, 95102.

9. Sugeno M. Theory of fuzzy integrals and its applications. PhD thesis, Tokyo Institute of Technology, 1974.

10. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта// Под. Ред. Д.А. Поспелова. М: Наука, 1986.

11. Grabisch М., Nguyen Н.Т., Е.А. Walker. Fundamentals of Uncertainty Calculi, with Applications to Fuzzy Inference. Kluwer Academic, 1995.

12. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by multivalued mapping//Ann. Math. Statist., v. 38, 1967, 325-339.

13. Shafer G. A mathematical theory of evidence. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1976.

14. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility// Fuzzy sets and systems, v. 1, 3-28.

15. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

16. Shapley L.S. Cores of convex games. International Journal of Game Theory v. 1, 1971, 11-26.

17. Shapley L.S. A value for n-Person Games // H.W. Kuhnand, A.W. Tucker (eds), Contributions to theTheory of Games, v. 2 // Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton, 1953, 307-317.

18. Schmiedler D. Cores of exact games// I. J. Math. Analysis. Appl., v. 40, 1972,214-225.

19. Chateauneuf A., Jaffray J.Y. Some characterizations of lower probabilities and other monotone capacities through the use of Mobius inversion. Mathematical Social Sciences, v. 17, 1989, 263-283.

20. Walley P. Statistical reasoning with imprecise probabilities. London: Chapman and Hall, 1991.

21. Кузнецов В.П. Интервальные статистические модели. М.: Радио и связь, 1991.

22. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

23. Wang Z., Klir G.J. Fuzzy measure Ihcoiy. New-York: Plenum, 1992. •

24. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.:: Едиториал УРСС. 2000.

25. De Cooman G. Possibility theory I-III// International Journal of General Systems, v. 25, 1997,291-371.

26. Grabisch M., Murofushi Т., Sugeno M. (eds.) Fuzzy measures and integrals Theory and applications. Studies on fuzziness and soft computing, Physica-Verlag, Heidelberg, 2000.

27. Walley P. Inferences from multinomial data: learning about a bag of marbles (with discussion)//J.R. Statist. Soc., v.58, 1996, 3-57.

28. Fine T.L. Lower probability models for uncertainty and non-deterministic processes// J. Statist. Planning Inf., v. 20, 1988, 389-411.

29. Walley P., Fine T.L. Towards a frequentist theory of upper and lower probability // Ann. Statist, v. 10, 1982, 741 -761.

30. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: Справ, изд./ Под. ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1989.

31. Walley P. Towards a unified theory of imprecise probability// International Journal of Approximate Reasoning, v. 24,2000, 125-148.

32. Walley P. Measures of uncertainty in expert systems// Artificial Intelligence, v. 83, 1996, 1-58.

33. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

34. Danilov V.I., Koshevoy G.A. Cores of cooperative games, superdiffereen-tials of functions and the Minkowski difference of sets// Journal of Mathematical Analysis and Applications, v. 247,2000, 1-14.

35. Murofushi Т., Sugeno M. An interpretation of fuzzy measures and the Cho-quet integral as an integral with respect to a fuzzy measure// Fuzzy Sets and Systems, v. 29,1989,201-227.

36. G.-C. Rota. On the foundations of combinatorial theory I. Z. Wahr-scheinlichkeitstheorie. Verwandte, 1964.

37. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

38. Dubois D. Belief structure's possibility theory and decomposable confidence measures on finite sets// Computers and Artificial Intelligence, v. 5, 1986,403-416.

39. Weber S. ±-decomposable measures and integrals for Archimedean t-norms 1// J. Math. Anal. Appl., v. 101, 1984, 114-138.

40. Dubois D., Prade H. A class of fuzzy measures based on triangular norms -A general framework for the combination of uncertain information// Int. J. of General Systems, v. 8, 1986,205-210.

41. Chateauneuf A. Decomposable capacities, distorted probabilities and concave capacities// Mathematical Social Sciences, v. 31, 1996, 19-37.

42. Schweizer В., Sklar A. Probabilistic metric spaces. Amsterdam: North-Holland, 1983.

43. Buja A. On the Huber-Strassen theorem// Probability theory and related fields, v. 73, 1986, 149-152.

44. Denneberg D. Premium calculation: why standard deviation should be replaced by absolute deviation// ASTIN Bulletin, v. 20, 1990, 181-190.

45. Wang S.S. Premium calculation by transforming the layer premium density. ASTIN Bulletin v. 26, 1996, 71-92.

46. Denneberg D. Distorted probabilities and insurance premiums // Proc.'of 14. SOR, Ulm, Frankfurt, 1989.

47. Giabisch И. k-oidcr r.dditivc fii/zy k/:l<:uicsV Free, of Int. Cenf or 1ч for mation Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems (IPMU), Granada, Spain, 1996, 1345-1350.

48. Grabisch M. k-order additive discrete fuzzy measures and their representation// Fuzzy sets and systems, v. 92, 1997, 167-189.

49. Denneberg D., Grabisch M. Intersection transform of set functions over a finite set// Information Sciences, v.121, 1999, 149-170.

50. Grabisch M., Roubens M. An axiomatic approach to the concept of interaction among players in cooperative games// Int. J. Game Theory, v. 28, 1999, 547-565.

51. Фелпс P. Лекции о теоремах Шоке. М.: Мир, 1968.

52. Karkishchenko A.N. Invariant fuzzy measures on a finite algebra. Proc. of the North American Fuzzy Information society, NAFIPS'96, USA, Berkeley, June 20-22, 1996, v. 1.

53. Каркищенко A.H. Математические модели классификации и адаптивной оптимизации в интеллектуальных системах принятия решений. Докторская диссертация. Москва, 1997.

54. Delbaen F. Convex games and extreme points// J. Math. Analysis Appl., v. 45, 1974 ,210-233.

55. Dubois D., Prade H. Aggregation of possibility measures // J. Kasprzyk and M. Fedrizzi (eds). Multiperson decision making using fuzzy sets and possibility theory. Dordrecht: Kluwer, 1990, 55-63.

56. Dubois D., Fodor J.C., Prade H., Roubens M. Aggregation of decomposable measures with application to utility theory// Theory and Decision, 41, 1996,59.95.

57. McConway K. Marginalization and linear opinion pools// J. Amer. Staticti-cal Assoc., v. 76, 1981,410-414.

58. Lehrer K., Wagner C.G. Rational consensus in science and society. Boston: D. Reidel Publ. Co., 1981.

59. Aczel J. Lectures on functional equations and applications. New-York: Academic Press. 1966.

60. Wagner C.G. Consensus for belief functions and related uncertainty measures// Theory and decision, v. 26, 1989,295-304.

61. Harmanec D. Measures of uncertainty and information// G. de Cooman, P. Walley (eds.),The Imprecise Probabilities Project, http://ensmain.rug.ac.be /ipp/documentation, 1997.

62. Klir G.J. Uncertainty and information measures for imprecise probabilities: An overview// Proc. of the 1st International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, Ghent, Belgium, 1999.

63. Bruning, M., Denneberg, D., 2002. Max-min a-additive representation of monotone measures// Statistical Papers, v. 34,23-35.

64. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984.

65. De Finetti В. Theory of probability: a critical introductory treatment. London: Wiley, 1975.

66. Fine T.L. Theories of probabilities: an examination of foundations. -New-York: Academic Press, 1973.

67. Denneberg. D. Representation of the Choquet integral with the a -additive Mobius transform// Fuzzy Sets and Systems, v. 92,1997, 139-156.

68. Rao M.M. Measure Theory and Integration. New York: Wiley, 1987.

69. Черников C.H. Линейные неравенства. M.: Наука, 1968

70. Savage L.G. The foundations of statistics.-New-York: Dover, 1972. *

71. Von Mcuman J., Mor^ciistera O. Theory of games and economic behavior. -Pn'nccle:}. i4TJ: Piiijccton iiwivcr. iiy pi лs, 1944.

72. Herstein I.N., Milnor J. An axiomatic approach to measurable utility// Econometrica, v. 21, 1953, 291-297.

73. Де Гроот M. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974.

74. Ellsberg D. Risk, ambiguity and the Savage axioms// Quart. J. Econom., v. 75, 1961,643-669.

75. Chateauneuf A. Ellsberg paradox intuition and Choquet expected utility// Mathematical models for handling partial knowledge in artificial intelligence. New-York: Plenum Press, 1995.

76. Keeney R.L. Multiplicative utility functions// Operations research, v. 22, 1974, 22-34.

77. Dubois D., Grabisch M., Modave F., Prade H. Relating decision under uncertainty and multicriteria decision models// Int. J. of Intellectual Systems, v. 15, 2000, 967-979.

78. Shmeidler D. Subjective probability and expected utility without additivity// Econometrica, v. 57, 1989, 571-587.

79. Cozman F. A brief introduction to the theory of sets of probability measures // http: // www.cs.cmu.edu/~fgcozman/qBaves.html. 1999.

80. Giron F. J., Rios S. Quasi-Bayesian behavior: A more realistic approach to decision-making// J. M. Bernardo, J.H. Degroot, D. V. Lindley, and A. F. M. Smith (eds). Bayesian Statistics. Valencia, Spain: University Press, 17-28.

81. Denneberg D., Grabisch M. Measure and integral with purely ordinal scales//J. of Mathematical Psychology, 48/1,2004, 15-26.'

82. Dubois D., Prade H. When upper probabilities are possibility measures// Fuzzy sets and systems, v. 49, 1992, 65-74.

83. Владнмнроь Д.А. Булеглд глгсбрп. M.: Наукх, гл. г с д. физ-м.п. чз:т., 1969.

84. Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств//Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986,285-292.

85. Норвич A.M., Турксен И.Б. Фундаментальное измерение нечеткости //Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986, 51-64.

86. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М. Радио и связь, 1989.

87. Batyrshin I., Wagenknecht М. Noninvolutive negations on 0,1.// Journal of Fuzzy Mathematics, vol. 5, No 4, 1997, 997-1010.

88. Batyrshin I. Z. On the structure of involutive, contracting and expanding negations // Fuzzy Sets and Systems, v. 139, No 3, 2003, 661-672.

89. Трильянс Э., Альсина, Вальверде А. Нужны ли в теории в теории нечетких множеств операции max, min, 1 j //Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986, 199-228.

90. Смете Ф. Простейшие семантические операторы //Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р. Ягера. -М.: Радио и связь, 1986, 177-186.

91. Dubois D., Prade H. The tlirce semantics of fuzzy sets// Fuzzy Sets arid Systems, v. 90, 1997, К1-150.

92. Дуда P., Харт П. Распознан: нис образов и анализ сцсн. М. : Мир, 1976.

93. Павлндис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. М.: Радио и связь, 1986.

94. Gonzalez R. С., Woods R. Е. Digital Image Processing, 2nd ed., NJ.: Prentice Hall, Upper Saddle River, 2002.

95. Shapiro L. G., Stockman G. C. Computer Vision. NJ.: Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2001.

96. Persoon E., Fu K.S. Shape discrimination using Fourier descriptors of the boundary curve// IEEE Trans. Syst. Man Cybern. SMC-7, 1977, 170-179.

97. Kuhi E.P., Giardina C.R. Elliptic Fourier features of a closed contour// Computer Graphic Image Process., v. 18,1982, 236-258.

98. Rosenfeld A., Johnston E. Angle detection on digital curves// IEEE Trans. Computers, v. 22, 1973, 875-878.

99. Rosenfeld A., Weszka J.S., An improved method of angle detection on digital curves// IEEE Trans. Computers, v. 24, 1975, 940-941.

100. Freeman H., Davis L.S., A corner finding algorithm for chain-coded curves// IEEE Trans. Computers, v. 26, 1977, 297-303.

101. Beus H.L., Tiu S.S.H. An improved corner detection algorithm based on chain-coded plane curves// Pattern Recognition, v. 20, 1987,291-296.

102. Latecki L. J., Rosenfeld A. Recovering a Polygon from Noisy Data// Computer Vision and Image Understanding, v. 86, 2002, 32-51.

103. Tahaniand Н., Keller J.M. Information fusion in computer vision using the fuzzy integral // Fuzzy Measure Theory. New York: Plenum, 1992, 319-341.

104. Keller J. Fuzzy set theory in computer vision: A prospectus// Fuzzy Sets and Systems, v. 90, 1997, 177-182.

105. Keller J., Krishnapuram R., Gader P., Choi Y.-S. Fuzzy rule-based models in computer vision// W. Pedrycz (ed.) Fuzzy Modelling: Paradigms and Practice. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996,353-371.

106. Bezdek J.C., Pal S.K. (Eds.). Fuzzy Models for Pattern Recognition. -New York: IEEE Press, 1992.

107. Gader P.D., Mohamed M.A., Keller J. M. Fusion of hand written word classifiers// Pattern Recognition Letters, v. 17, 1996, 577-584.

108. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. -М.: Радио и связь, 1990.

109. Пытьев Ю.П., Животников Г.С. Теоретико-вероятностные и теорети-ко-возможностные модели распознавания. Сравнительный анализ// Интеллектуальные системы, том 6, вып. 1-4, 2001 г.

110. Pyt'ev Yu. P., Zhivotnikov G. S. On the methods of possibility theory for morphological image analysis// Pattern Recognition and Image Analysis, v. 14, No. 1,2004, 60-71

111. Броневич А.Г., Каркищенко A.H. Об алгебраической структуре нечетких мер, порождаемых нижними и верхними оценками вероятностей// Мат-лы Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-98. -Санкт-Петербург, 1998, 57-60.

112. Броневич А.Г. Условные нечеткие меры. Вероятностный подход// Сборник научных трудов. Международный научно-практический семинар «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте», Наука, Физматлит, Коломна, 2001 г., 106-111.

113. Броневич А.Г. Нечеткие величины и функциональные нечеткие распределения в рамках вероятностного подхода// Труды международного конгресса «Искусственный интеллект в XXI веке», том 2, Москва, Физматлит, 2001, 590-598.

114. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. The structure of fuzzy measures families induced by upper and lower probabilities// Statistical Modeling, Analysis and Management of Fuzzy Data. Heidelberg; New York: Physica-Verl.,2002, 160-172.

115. Броневич А.Г. Об идеалах на множестве*нечетких мер// Тезисы докладов. Восьмая Всероссийская школа -коллоквиум по стохастическимметодам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8 , Вып. 2, 2001 г., с. 748.

116. Bronevicli A.G., Karldsliclienko A.N. About ideals on the set of fuzzy measures// Soft methods in probability, statistics and data analysis. Heidelberg. New York: Physica-Verl., 2002, 76-83.

117. Ghirardato P., Le Breton M. Choquet rationalizability// California Institute of Technology, Pasadena, 1996.

118. Koshevoy G.A. Distributive lattices and products of capacities// Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1998, v. 219, 427-441.

119. A.G. Bronevich, A.E. Lepskiy. Convolution operators of fuzzy measures. Soft methods in probability, statistics and data analysis. Heidelberg. New York: Physica-Verl., 2002, 84-91.

120. Каркищенко A.H. Броневич А.Г., Лепский E.A. Разности функций множеств// Тезисы докладов. Девятая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8 , Вып. 2, 2002 г., 117-118.

121. Прасолов В.В. Многочлены. М.: Изд. МЦНМО, 2001.

122. Броневич А.Г., Лепский Е.А. Операторы свертки нечетких мер// Тезисы докладов. Восьмая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 8 , Вып. 2, 2001 г., 748-749.

123. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

124. Zhong Q. On fuzzy measure and fuzzy integral on fuzzy set// Fuzzy sets and Systems, v. 37, 1990,11-92.

125. Grabisch M., Marichal J.-L., Roubens M. Equivalent representations of set functions// Mathematics of operations research, vol. 25,2000, 157-178.

126. Owen G. Multilinear extensions of games// A.E. Roth .(ed.) The Shapley Value. Essays in Honor of Lloyd S. Shapley. Cambridge. UK.: Cambridge UniveisityPivbY 19SS, 139-151.

127. Hammer P.L., Iludecnu S. Boolean Methods in Operational Research and Related Arrcas. Berlin, Germany: Springer, 1968.

128. KL Rolcils A.W. D.E. Ccnvc^ functions. Ке;/ Veil;: \cH<":imo1. Press, 1973.

129. Briining M. Products of monotone measures, Mobius transform, and k-monotonicity. Phd. thesis. Bremen University. 2003.

130. Wallner A. Bi-elastic neighbourhood models// Proc. of the 3-th international symposium on imprecise probabilities and their applications, Lugano, Switzerland, 2003, 591-605.

131. Bronevich A.G. Canonical sequences of fuzzy measures // Proc. of Int. Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems (IPMU-2004), Perugia-Italy, 2004, 8 pp.

132. Садовничий B.A. Теория операторов. M.: Изд-во Московского ун-та, 1979.

133. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Принятие решений с помощью возможностных мер включения // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 1997, №3,91-97.

134. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей. Таганрог: ТРТУ, 1996. 196 с.

135. Berstein L.S. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. Zakharevitch V.G. Statistical classes and possibilistic models of classifying probability distributions // BUSEFAL, 1996, No 65, 19-26.

136. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Обобщение понятия статистического класса и меры возможностного включения // Автоматика и телсмехпшп::. 3 997, JCC , ZA-4.

137. Bronevich A.G., Karkishchenko A.N. Statistical classes and fuzzy set theoretical classification of probability distributions // Statistical Modeling, Analysis and Management of Fuzzy Data. Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2002, 173-198.

138. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Статистические классы и их применение в задачах идентификации и классификации экспериментальных данных//Депонировано в ВИНИТИ, N1044-B93 от 23.04.93. -16 с.

139. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Теоретико-множественный подход к классификации статистических классов // Автоматика и телемеханика, 1994, N2, 78-87.

140. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Теория нечетких мер и обобщения байесовской схемы классификации статистических данных // Новости искусственного интеллекта, N 3, Москва, 2000, 122-128.

141. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Нечеткая модель представления статистических классов// Мат-лы 38-й НТ и НМК ТРТИ. -Таганрог: ТРТИ, 1992, с. 37.

142. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Мера включения Хэмминга вероятностного распределения в нечеткий интервал // Известия ТРТУ. -Таганрог: ТРТУ, 1996, №3, 67-69.

143. Bronevitch A.G., Karkishchenko A.N. Fuzzy Classification of Probability Distributions // Proceedings of the Fourth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing, Aachen, Germany, September 2-5, 1996, v. 1, 120-124.

144. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе классификации электроэнцефалограмм // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, №4, 1997.

145. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Статистические классы при распознавании и цифровой обработке информационных сигналов// Мат-лы III Международной НТК "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей". -Харьков, 1993, с. 132.

146. Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Обобщения преобразования Хау на основе теоретико-множественного подхода классификации изображений // Мат-лы Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-98. -Санкт-Петербург, 1998, 113-116.

147. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Статистические классы в моделях самообучения САПР // Интеллектуальные САПР. Таганрог: ТРТИ, 1994, вып.4, 34-38.

148. Броневич А.Г. Индекс включения нечетких мер, основанный на интеграле Шоке // Интегрированные модели и мягкие вычисления в исn cciicini-" .л.iv.j- ,0 ч\ i , 'д.-с h-гс ] k; ~ . > - » j л * ^ i „но-практического семинара. М: Физматлит, 2003, 112-118.

149. Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. -М.: Радио и связь, 1990.

150. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Выбор оптимальной меры близости экспертных ранжирований// Депонировано в ВИНИТИ, N1043-B93 от 21.04.93.-16 с.

151. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Семейство мер близости экспертных оценок и выбор оптимальной меры // Автоматика и телемеханика, 1994, No 4, 133-143.

152. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об эффективном управлении порядком задания вопросов в экспертной системе// Программное обеспечение новых информационных технологий. Тверь, 1991, 36-37.

153. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе упорядочения вопросов в экспертных системах // Теория и системы управления, 1996, No 2, 152-157.

154. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Логический вывод в теории возможностей, основанный на понятии верхней (нижней) вероятности // Мат-лы VI Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ'98, т.1. Пущино, 1998, 329-335.

155. A.G. Bronevich, A.N. Karkishchenko. The logical inferences in possibility theory based on the concept of upper (lower) probability. Proc. of 10-th IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2-5 December, Melburne, Australia, 2001. 6 pp.

156. Броневич А.Г~ Вычисление максимальной дисперсии нечеткого интервала // Труды международного конгресса «Искусственный интеллект d XXI j с::с:ч го. г 2. Москва, Физматлит, 2001, 552-559.

157. Bronevich A.G. 'flic maximal variance of fuzzy interval// IS1PTA'03. Proceedings in infonnatics 18, 2003, Carlcton Scientific, 77-90, http://www.carleton-scientific.com/isipta/preface.html.

158. Dubois D., Prade H. The mean value of fuzzy number// Fuzzy sets and systems, v. 24,1987,279-300.

159. Каркищенко А.Н., Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Вариационный подход к сглаживанию и определению характерных точек черно-белых изображений // Известия ТРТУ. Интеллектуальные САПР. Таганрог:1. ТРТУ, 1998, №2, 117-121.

160. С2. Броиеснч А.Г., Кср::иидсш:о А.Н. Меры пкформатшлюстн сегментированных изображений И Труды конференции IEEE AIS'02, CAD-2002, с. 138-143.

161. Bronevich A.G, Lepskiy A.E. Geometrical fuzzy measures in image processing and pattern recognition // Proc. of the 10th IFSA World Congress, 2003, Istanbul, Turkey, 151-154.

162. Лепский A.E., Броневич А.Г., Бачило С.А. Выделение контрольных точек на основе меры информативности контура // Доклады 4-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», 27 февраля 1 марта, Москва, России, 2002,288-290.

163. Броневич А.Г., Лепский A.E. Два подхода к получению минимального полигонального представления контура// Тезисы докладов Международной научной конференции "Искусственный интеллект 2000", Крым, 2000,173-175.

164. Броневич А.Г., Лепский А.Е. Два подхода к получению минимального полигонального представления контура // "Искусственный интеллект" , науч.-теор. журнал Национ. академии наук Украины, №3, 2000, 421-427.

165. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г.Дж. Нуссбаумер и др.; Под ред. Т.С. Хуанга. -М.: Радио и связь. 1984.

166. Каркищенко А.Н. Броневич А. Г. Бутенков С.А. Лепский А.Е. и др. Исследование возможностей построения системы пониманияизображений ограниченного класса сцен для задачи «Автопоиск» // Отчет о НИР. Руководитель А.Н.Каркищенко. Таганрог, 1997. -139 стр.

167. Каркищенко А.Н. Броневич А. Г. Бутенков С.А. Лепский А.Е. и др. Разработка методов распознавания изображений ограниченного класса сцен для задачи «Автопоиск»// Отчеты о. НИР. Руководитель А.Н.Каркищенко. Таганрог, 1999,2000,2001 гг.

168. Броневич А.Г., Зюзерова Н.С. Модели теории графов для выделения контуров по градиентному изображению// Известия ТРТУ. Интеллектуальные САПР. Таганрог: ТРТУ, 1998, №2, 103-107.

169. Bronevich A.G., Itenberg I.I., Karkishchenko A.N. The Application of a Local Method for Edge Detection // Proc. 6th International Conference on Control, Robotics and Vision (ICARCV 2000), Singapore, 5-8 December 2000, 5 pp.

170. Броневич А.Г., Каркищенко A.H. Теоретико-множественный метод кластеризации экспериментальных данных на стационарные участки // Мат-лы 38-й НТ и НМК ТРТИ. -Таганрог: ТРТИ, 1992, с.36.

171. Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Об одном методе формализации экспертного оценивания неравномерности расположения объектов // Мат-лы Всерос-кой НТК "Интеллектуальные САПР". Таганрог, 1992, 43-44.

172. Canny J. A. Computational approach to edge detection // Image Vision Comput., v. 4, 679-691.n

173. Lee D. Coping with discontinuities in computer vision: Their detection, classification and measurement // IEEE Trans, on Pattern Analysis and Machm. JnicHi-u'cc. v. 11\ lb'90, 321-V<.