автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие специальных итерационных методов для моделирования процесса изменения донной поверхности водоемов

084604942

На правах рукописи

ЧИКИНА ЛЮБОВЬ ГРИГОРЬЕВНА

РАЗВИТИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ДОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВОДОЕМОВ

Специальность 05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010 год

1 7 ИЮН 2010

004604042

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации Южного федерального университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Крукиер Лев Абрамович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Елизаров Александр Михайлович (НИИМ и М КГУ, г. Казань)

доктор физико-математических наук, профессор Козодеров Владимир Васильевич (МГУ, г. Москва)

доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович (ТТИ ЮФУ, г. Таганрог)

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

Ведущая организация:

(г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится "24" июня 2010 г в . на засе-

дании диссертационного совета Д212.208.22 при ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-

406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

¿ссоиХ^

2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.22 , /,- , 1

доктор технических наук, профессор / Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С интенсивным внедрением в современные исследования методов математического моделирования, описывающих различные процессы и явления, связано появление систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в различных областях науки. Известно1, что конечным этапом решения задач математического моделирования становится необходимость решить СЛАУ, как правило, большой размерности, достаточно точно и быстро. В настоящее время, по оценке аналитиков, около 80% задач, решаемых на ЭВМ, являются задачами линейной алгебры, т.е. решение СЛАУ. По этой причине теория итерационных методов решения СЛАУ является быстро развивающейся областью современной математики.

Изучаемая в данной работе математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов также свелась к необходимости решения СЛАУ, матрица которой обладала некоторыми важными свойствами, что позволило развить специальный класс итерационных методов, которые эффективно решают поставленную задачу. Таким образом, удалось разработать устойчивые вычислительные алгоритмы, описывающие процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта.

В качестве исследуемого объекта был выбран Таганрогский залив Азовского моря. Мелководность Таганрогского залива сильно усложняет подход судов к портам городов Таганрог и Ейск, а также к устью реки Дон. Для решения этой проблемы в мелководных районах сооружаются подходные судоходные каналы. В процессе эксплуатации данные каналы заиливаются и требуют регулярного очищения. Наиболее распространенным способом борьбы с заилением являются периодические дноуглубительные работы, которые обеспечивают заданную проходную глубину. Извлеченный из каналов грунт транспортируют на одну из свалок, расположенных на акватории Таганрогского залива. Данные мероприятия являются достаточно трудоемкими и требуют больших материальных затрат, поэтому изучение процессов размывания дна, переноса размытого грунта и его оседания имеют особую актуальность.

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении гидрофизических задач для водоемов различной морфологии методами математического моделирования. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, ИВМ и МГ СО РАН. Очень важное значение для моделирования гидрофизических процессов в Азовском море представляют результаты натурных исследований гидрологии моря, полученные учеными ЮНЦ РАН (рук. академик Г.Г. Матишов) и ТТИ ЮФУ (рук. профессор А.И. Сухинов). Поэтому в настоящее время актуальным становится соз-

1 А.А.Самарский, Е.С.Николаев Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, 1978

дание комплексной математической модели, учитывающей современные натурные данные и различные факторы, влияющие на процесс изменения донной поверхности водоемов, а также эффективных методов ее реализации.

Важной особенностью предлагаемой модели является то, что гидродинамическая составляющая содержит не только модель ветрового течения, но также и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

При рассмотрении модели транспорта вещества в канале учитывается изменение формы дна судоходного канала, происходящего за счет размывания и оседания взвешенного донного грунта, и, как следствие, изменение расчетной области для гидродинамической составляющей.

Учет затопленной струи от гребного винта корабля сильно увеличивает конвективные процессы в канале, что приводит к преобладанию в задаче конвективных процессов и вызывает необходимость решения, в конечном счете, больших сильно несимметричных СЛАУ.

Целью диссертации является развитие специальных итерационных методов, их теоретическое исследование, численная и программная реализация для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. Это связано с разработкой устойчивых вычислительных алгоритмов, описывающих процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта. Учет в модели струи от гребного винта, движущегося по каналу корабля, существенно усложняет численное решение задачи, так как в этом случае процессы конвективного переноса становятся преобладающими. Это накладывает существенное ограничение на использование стандартных разностных схем и приводит к необходимости разработки новых итерационных методов их решения.

Таким образом, одной из основных целей работы стала разработка численных методов, эффективно решающих задачи с преобладающей конвекцией.

В соответствии с поставленными целями необходимо решить следующие задачи:

• построить модель течений в подходных судоходных каналах;

• построить модель переноса донного материала;

• предложить способы аппроксимации построенных моделей, которые сводят исходную задачу к СЛАУ с известными свойствами;

• разработать специальные итерационные методы решения полученных в результате аппроксимации задач СЛАУ;

• программно реализовать алгоритмы, используемые для решения построенных моделей.

Объектами исследования в представляемой работе являются подходные судоходные каналы, прорытые по дну Таганрогского залива к портам Таганрог, Ейск, а также к основному руслу реки Дон.

Научная новизна. Данная работа посвящена развитию специальных итерационных методов для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов, включающей в себя гидродинамику ветрового течения совместно с перемещающейся струей от гребного винта корабля, а также процессы взмучивания, оседания и переноса взвешенного донного осадка. Представляемая комплексная модель процесса заиления подходных судоходных каналов ранее никем не рассматривалась.

Разработана специальная методика исследования сходимости двухпа-раметрических итерационных методов, которая была использована, в частности, для исследования кососимметрических итерационных методов.

Получены условия сходимости специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, найдены оптимальные итерационные параметры.

Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала.

Получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Применение разработанных автором итерационных методов решения задач с преобладающей конвекцией сильно несимметричных СЛАУ, эффективность которых установлена численным сравнением с существующими подобными методами, представляет основной элемент новизны.

Методы исследования. За основу теоретического исследования взята методология математического моделирования и вычислительного эксперимента, предложенная академиком A.A. Самарским и развитая в работах ученых его научной школы, а также других российских и зарубежных исследователей. Эта методология включает в себя фундаментальные положения и общие принципы теории операторно-разностных схем, а так же теории итерационных методов и матричных вычислений.

Достоверность. Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, полученные данные вычислительных экспериментов хорошо согласуются с теоретическими результатами, а также с результатами других авторов.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации итерационные методы могут быть использованы при решении задач, сводящихся к решению сильно несимметричных СЛАУ. Результаты работы были представлены в следующих грантах:

• РФФИ, грант №03-01-00005 "Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией итерационными методами с переобуславливателями". Руководитель Крукиер Л.А. 2003-2005.

• Университеты России, грант №УР.03.01.273 "Численное решение задач математического моделирования конвективно-диффузионных про-

цессов в средах с преобладающей конвекцией". Руководитель Круки-ерЛ.А. 2003-2005.

• Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и обоснование математических моделей гидрофизических процессов во внутренних водоемах и их реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л. А. гос регистрация 01 2006 10871, 2006-2008.

• В рамках программы № 14 фундаментальных исследований Президиума РАН раздел II: «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы» "Создание математической модели процесса миграции радионуклидов в районе Ростовской АЭС и ее численная реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. 2006-2008.

• РФФИ, грант №06-01-00038-а "Разработка эффективных методов решения задачи конвективно-диффузионного переноса вещества в несжимаемых средах с доминирующей конвекцией". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2006 10873,2007-2008.

• Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и реализация комплексной математической модели распространения радионуклидного загрязнения в водной и воздушной среде на высокопроизводительных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2009 56227, с 2009.

• РФФИ, грант №09-01-00023-а "Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2009 56226, с 2009.

Рассмотренная в работе модель позволяет анализировать гидродинамические и транспортирующие процессы в судоходном канале для оценки состояния донной поверхности.

Полученные теоретические результаты исследований могут быть использованы в образовательных целях для студентов и аспирантов в виде специальных курсов по математическому моделированию и вычислительной математике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

• Advanced Mathematics, Computations and Applications (AMCA-95). (Novosibirsk, June 20-24,1995).

• Международная конференция «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике», ИММ, ИПМ УРО РАН, г. Ижевск, 1996.

• IMPC'97.Czech-U.S. Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing. Milovy, Czech Republic, June 16-21, 1997.

• International Conference on Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (EMMNA' 99), г.Ростов-на-Дону, 1999.

• 16th IMACS WORLD CONGRESS 2000. On Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Lausanne-Switzeland. August 21-25, 2000.

• IV Международная конференция но неравновесным процессам в соплах и струях (NPNG-2002) / XIX Международный семинар по струйным отрывным и нестационарным течениям. 24-28 июня, 2002, Санкт-Петербург.

• The First International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics" (CMAM-1), Minsk, Belarus, June 20-24,2003.

• The First International Conference on Numerical Algebra and Scientific Computing (NASC06), 2006.

• International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics», MSU, Moscow, 2006.

• European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH). 10.-14.09.07. Graz, Austria.

• Международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» (к 75- летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского университета). РФ, Казань, 7-14 октября 2009 г.

На Всероссийских и региональных конференциях и Школах-семинарах:

• Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 1997 г.

• Конференция «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.

• VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова, Пущино 2000 г.

• Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Абрау-Дюрсо, 2000 г.

• I, II, III Всероссийские конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященные памяти академика А.Ф.Сидорова, п. Абрау-Дюрсо, 2002,2004,2006 гг.

• Молодежные школы «Комплексные гидробиологические базы данных: ресурсы, технологии и использование» и «Адаптация гидробионтов», Ростов-на-Дону, 2005.

• I-XV Всероссийские Школы-семинары«Современные проблемы математического моделирования », п. Абрау-Дюрсо, 1990 -2009 годы.

• XIV, XV, XVI Всероссийские конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященные памяти К.И. Бабенко, п. Абрау-Дюрсо, 2004,2006,2008 гг. Публикации. По теме диссертации опубликованы 57 работ, из них 1 монография, 10 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК. Имеется 2 свидетельства об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 307 наименований. Работа содержит 37 рисунков, 28 таблиц. Полный объем диссертации составляет 333 страницы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Л.А. Крукиеру за ценные советы и замечания при подготовке и написании диссертации. Автор также признателен коллективу сотрудников ЮГИНФО ЮФУ за помощь при численной реализации созданных программ.

Содержание работы

Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность, новизна и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов.

Рассматривается прямолинейный подходной судоходный канал, проложенный по дну водоема. Модель содержит гидродинамическую и транспортирующую составляющие (Рис. 1).

Гидродинамическая составляющая содержит две подмодели: модель ветрового течения и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

Модель ветрового течения основывается на двухслойной модели2, разработанной ранее А.Л. Чикиным, так как исследуемая область представляет собой водоем, где есть глубоководная часть (каналы) и обширная область мелководья (собственно сам водоем в целом). Модель струи, образованной вращением гребного винта корабля, основана на теории затопленной свободной струи. При движении вдоль канала винт корабля из-за эффекта скольжения выбрасывает свободную затопленную струю воды со скоростью и:(). Струя, попадая в массу окружающей ее жидкости, постепенно расширя-

2 Чикин А.Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах с большой неоднородностью глубин//Водные ресурсы, 2005. Т. 32. № 1. С. 55-60.

ется и, в конечном счете, рассеивается в жидкости. Общее поле скоростей получается сложением векторов скоростей от каждой подмодели.

Для расчета осесимметричной струи вводится система цилиндрических координат (г, (р, г), где г, г - осевая и радиальные координаты. Центр, расположен на пересечении оси симметрии струи ОБ и прямой ОВ, проходящей через срез насадки ОА истечения струи. Расчетная область представляет собой прямоугольник ОВСБ (0 < г < 2\О < г < Л) (Рис. 2).

Математическая модель

Рис. 1. Схема модели изменения донной поверхности судоходного канала

а, - - с

о о

Рис. 2. Область расчета свободной струи

Система уравнений движения и неразрывности имеет вид:

ди г диг диг 1 др

—- + иг—- + и2—- =---— + уг

сЧ дг дг р дг

Гд\ дг2

д2и,

^ 1 диг

дг2 г дг

(1)

диг

"а

- + и.

ди2 ~дг

ди,

!к

\_др_ р дг

• =---+ ^

Гд2и

д2и

V

диг | сиг | иг дг дг г

дгг

дг

1 ди2

2 „

(2)

(3)

Здесь иг и? - радиальная и осевая компоненты вектора скорости, считается, что все переменные величины не зависят от угла ф.

Граничные условия задаются следующим образом. На оси симметрии ОБ:

= — = 0; г/г = О

дг дг

На срезе ОА:

иг=иг0,иг= 0; р = р0

На свободных границах:

АВ: иг =ил,иГ=ип,р = р0,

диг ди2 СБ: —с- = —-г- = 0, р = р0 дг 02

диг ди, ВС: ~ = = р = р0

дг дг

В качестве начального условия можно брать известное поле скоростей ветрового течения или брать состояние покоя.

Перенос взвешенного вещества описывается уравнением конвекции-диффузии с граничными условиями 3-го рода.

Пусть все донные отложения состоят из к фракций (к=1.....Л/). Распределение концентрации взвешенных частиц консервативного вещества {/3=0) в водоеме, где отсутствуют внутренние источники (/(х,у,г)=0), можно описать уравнением конвекции-диффузии, конвективная часть которого записана в симметричной форме

дБк \( дБк дБк . Ж, Э(м^) 5(иУ4)

-- + — и-- + У-+ -- + —-—+ —--— Н--^----

<Э/ 2 дх ду дг дх ду дг

(4)

Гэ2^ з2яЛ е( а^

дх ду ) дг ^ дг где Як - концентрация к-ой фракции; г/,у,н' - компоненты скорости, н'^ -собственная скорость оседания к-ой фракции (гидравлическая крупность к -ой частицы); рху, /4 - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно.

Принято, что вертикальный поток примеси на свободной верхней границе водоема отсутствует

Л, ^--(и-"0^=0

дг

Вертикальный поток примеси на дне (области взвешенных наносов) принимается равным разности расходов отрывающихся от дна частиц примеси Еы (размывания) и оседающих частиц йМ: (аккумуляции)

дг

На открытых боковых границах

где Уп - нормальная составляющая скорости. Толщина ила задается уравнением деформации основания

лу

р,{\-а)^ = оь-Еь, (5)

д(

где а - пористость дна; р$ - осредненная плотность донного ила, Бь, Еь -суммарные расходы всех фракций, 2, - толщина придонного ила.

Во второй главе приводятся разностные аппроксимации составляющих общей модели, рассматриваются методы решения уравнения конвекции-диффузии.

В первом разделе приводится конечно-разностная аппроксимация гидродинамической составляющих модели. Все уравнения движения аппроксимировались неявными противопотоковыми схемами.

Второй раздел посвящен разностной аппроксимации трехмерной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода.

Уравнение конвекции-диффузии записывается в операторном виде

—+ = (6) 8(

где Ь = ЬВ + Ьс + Ьр - оператор конвективно-диффузионного переноса. В (6) Ь0 - оператор диффузионного переноса, который определяется выражением

I -А[ —) + —

° дх\ ** дх) ду

' дБЛ

Эу.

Ьс - оператор конвективного переноса, записанный в недивергентной

г „ дБ дБ дБ Ьс Б = и--1- V--—

г дх ду дг

или симметричной форме 1'

2

д(иБ) 3(у5) дБ дБ дБ

——'- + —-—- + —--- + и-+ V-+ \У—

V

дх ду дг дх ду дг Оператор описывает взаимодействие вещества с водой

ЬрБ = рБ. (7)

Задача (6) замыкается начальными

и краевыми условиями третьего рода на границе Г области П:

р^ + ХБ = г, (8)

дп

где — означает производную по направлению внешней нормали к границе дп

области П.

При исследовании конечно-разностных аппроксимаций от свойств краевой задачи (6)- (8) требуется формально только достаточная гладкость ее решения.

Разностное решение задачи конвекции-диффузии должно наследовать основные свойства поставленной дифференциальной задачи. В силу того, что в задаче (4) присутствуют конвективные члены, дифференциальный оператор Ь в (6) является несамосопряженным. Следовательно, от конечномерного оператора Ьи = А, аппроксимирующего на основе конечноразностного подхода исходный оператор Ь, естественно ожидать несамосопряженности. В разностной форме необходимо сохранить знаковую определенность дифференциального оператора, что позволит решать проблему создания и реализации эффективных алгоритмов расчета.

Расчетная область произвольной формы помещается в прямоугольный параллелепипед О. и вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка О,, = и Гк, размера Ых х N х Иг, с векторным параметром

Ь = {Ьх,ку,Н2где - соответствующие шаги сетки вдоль осей

ОХ, ОУ, 02. После проведения индексации ячеек определяется - множество внутренних узлов сетки и Г, - множество граничных узлов.

Пусть = {?„, п = 0,1,...,г0 = 0, ^ = Г} - сетка на отрезке 0 < / < Т с шагами т = (п -/„_,. Сеточная функция = - функция дис-

кретных аргументов. При каждом фиксированном I = 1„ функция .ч"к является элементом пространства Яи.

Начальное условие аппроксимируется в каждой точке сетки точно

„о „о

Аппроксимация свободного члена (7) осуществляется стандартным образом

= ДЛ"

Всю сеточную область можно условно разделить на внутреннюю, приграничную и граничную подобласти.

Аппроксимация краевых условий означает снос границы /"рассматриваемой нерегулярной области VI на кусочно-линейную границу Гь сеточной области . При аппроксимации граничных условий третьего рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем, когда выбор направления аппроксимации производной зависит от знака составляющей вектора скорости V, участвующей в граничном условии. Семито-

чечный шаблон, попадая в любой узел из внутренней подобласти, не выходит за пределы расчетной сеточной области. Если же шаблон попадает в узел из приграничной области, то хотя бы один из узлов шаблона оказывается на границе.

В общем виде, аппроксимация граничного условия третьего рода (8) будет иметь вид:

8вЗ+Рв*=гв, (9)

где - значения концентрации вещества соответственно в некотором граничном и приграничном узле. Для коэффициентов gв,pв,re¡ справедливы равенства

50 ; ' У в , ' '0 '0'

к к

где "0" заменяется на символы IV, Б, В, Т, N. Е, если граница области приходится соответственно на (г-1),(у-1),(А-1),(г + 1),(у + 1),(А: + 1)-й узел семиточечного шаблона, а=х,у,г соответствует осям \УЕ, ВТ.

Аппроксимация задачи (6)- (8) проводится в два этапа. Сначала эта задача аппроксимируется в области х С1( по пространственным переменным. В результате, задаче (6)— (8) ставится в соответствие дифференциально-разностный аналог

дя

0), х,ГеЯ„х{0},

где оператор Ьк = Ьм + Ьа + , в котором:

Ьм - разностный оператор диффузионного переноса,

Ьа - разностный оператор конвективного переноса,

ЬрН - разностный аналог функции взаимодействия вещества.

Исключив решение в граничных точках области Г2Й, учитывая разностные краевые условия, можно перейти, например, к неявной (или можно использовать явную) операторно-разностной схеме:

л+1 __ п _

п>о.

т

Здесь ¿А - это оператор Ьн, в который уже включены граничные условия. Оператор ¿А представим в виде = Ьм + Ьа + , где Ьш - разностный оператор диффузионного переноса с учтенными граничными условиями, Ьа

- разностный оператор конвективного переноса, где также учтены граничные условия.

Для сохранения свойств исходных дифференциальных операторов при пространственной аппроксимации уравнений системы (6) конвективная часть записана в симметричной форме и выбрана центрально-разностная схема, а при недивергентной записи конвективных членов - противопотоко-вая схема.

Любую матрицу А е Я"" можно единственным образом разложить на

сумму

А = А0+А„ (10)

где а 0= -ЦА + А') = А о _ симметричная, А ,= ^-(л - А') = -А |, - кососимметрт-

ная составляющие.

Матрица А е Я"'" называется:

• диссипативной, если для Ух ф 0 ее симметричная часть положительно определена ( А0х,х) > 0 (операторное неравенство Д, >0 );

• М-матрицей, если А - невырожденная, а,у < 0 при / ^ у и обратная матрица А'1 поэлементно неотрицательна;

• устойчивой, если ее спектр расположен в правой полуплоскости

Обозначим через

-^й = + ^ + Ьрк

разностный аналог оператора Ь уравнения (6) в случае, когда оператор конвективного переноса описывает конвективный процесс в симметричной форме, а симметричная форма аппроксимируется центральными разностями. Оператору Ьсн соответствует следующая разностная схема:

/С „ I Сс „ I вС „ . пС„ . тС„ , \тС ,

;д + V»-* + + щк5т + + Щкз^к +

|С

(О)Цк '

+ЕС у = /" - У Б 0е

в которой

2к> 4Й

\

{ -XV . . .XV . Л

с„(0)»» '

4А.

¿¡«-и ,.2 -и

4 К

2й2 4й,

2Л2 4А.

"" С1 - 3в){Втщ + ЯС„(0№ )• - —

4Л.

-(1 +7с„(0)/,*)' ^„(О)«* :

4Й,

2Л.2

4Л„

= (1 ^Л,)(лго(о),д +Л,С„{0)!/()' ^сь(о)/,* - ' У

4Л„

2Л2 4А

"I1 +ЕС„(0),у*,|> СС0(0»~

Вклады граничных условий вошли в диагональ:

где с>0 - символ Кронекера:

1, е П,

Оператор представим в виде суммы симметричной и кососиммет-ричной составляющих:

—с —с —с Ьк = ¿о(0)Л + Ьс„11.

—с —с

Оператор ¿одл соответствует диффузионному переносу, а оператор ¿с„/, -

конвективному.

Теорема 1. Пусть в уравнении конвекции-диффузии, записанном в симметричной форме, конвективные члены аппроксимируются центральными разностями. Тогда для того, чтобы оператор Ьсь - разностный аналог стационарной задачи конвекции-диффузии был диссипативной матрицей, достаточно выполнение неравенств

( Г

1

V V

©с +£е 0с

С0 у*

>0,

¿ = 1,2,.7 = 1,2,...,^ -1, Лг = 1,2.....

(П)

при условии, что хотя бы одно из неравенств является строгим. Здесь 0сО!/* ~~ элементы разностной схемы, соответствующие диффузионному и конвективному переносу, с>0 - символ Кронекера для соответствующей границы, gв,pв - коэффициенты разностного аналога граничных условий.

Обозначим через

Ц = ^та + £с2Л +

разностный аналог оператора I уравнения (6) в случае, когда оператор конвективного переноса описывает конвективный процесс в недивергентной форме, а недивергентная форма аппроксимируется противопотоковыми разностями.

Разностный оператор в области имеет вид

^ = Къ-и* + ^ V« + К^ + + + + Е

Значения коэффициентов следующие:

2Н1 2К

\ (

2А; 2И,

2/г2 2й,

2А? 2Л

2/г2 2\

2/г2 2/г.

= (1"<5в)5(0)!,*'

Вклады граничных условий вошли в диагональ:

- X ©и,*- X

0=1^,5 ,В,Т,Н,Е 0=Г,5,г,Г,Л',£ Й0

где д& - символ Кронекера:

4 =

1, ^ еД

Таким образом, при конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии получается СЛАУ, матрица которой имеет специальную семидиагональную структуру, причем диагональные элементы линейного оператора Ик положительны, а внедиагональные элементы отрицательны.

Теорема 2. Пусть в уравнении конвекции-диффузии, записанном в недивергентной форме, конвективные члены аппроксимируются разностями «против потока». Тогда для того, чтобы оператор -разностный аналог

стационарной задачи конвекции-диффузии был М-матрицей, достаточно выполнение неравенств

\ + £е.Л

ß,jk' I

®=W,S,B,T,N,E V 6 6 У

i = 1,2,....AT, — 1, j = 1,2.....JV-1, * = 1,2,...,ЛГ,-1

при условии, что хотя бы одно из неравенств является строгим. Здесь 0,^,

(12)

,р

(о)№

- элементы разностной схемы, <5е - символ Кронекера для соответствующей границы, g0,^>0 - коэффициенты разностного аналога граничных условий (9)

Итак, показано, что если в случае третьей краевой задачи для аппроксимации конвективных членов использовать центрально-разностную схему, то получается разностная схема, матрица которой является диссипативной (Теорема 1), а при использовании для аппроксимации конвективных членов противопотоковой схемы получаются М-матрицы (Теорема 2).

В третьем разделе доказаны теоремы устойчивости по начальным данным разностных схем с весами.

Рассматривается двухслойная схема с весами

+ aLsn+l+{\-a)Lsn =fn, s(0) = j° (13)

где Ь - оператор (разностный аналог уравнения конвекции-диффузии с включенными граничными условиями), действующий в вещественном конечномерном пространстве Нн, со скалярным произведением (,), а ст - числовой параметр.

— s"

Определение I3. Разностная схема -+ As" =0, s(o) = s° на-

т

зывается устойчивой по начальным данным, если для решения этой задачи выполняется оценка ([^'Ц ^ ^Ц5"!' ~ положительная константа.

Следуя теории устойчивости, доказаны

—с

Теорема 3. Пусть для оператора Ьи выполнено условие (11). Тогда разностная схема с весами (13), безусловно устойчива по начальным данным при а > 0,5 и условно устойчива при 0<сг<0,5 если

1 Х-1

0<г<-—2Ятт

1-2(7

in (¿Ао)

3 Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

ТЕОРЕМА 4. Пусть для оператора 17 выполнено условие (12). Тогда разностная схема с весами (13) безусловно устойчива по начальным данным при а = 1 и условно устойчива при 0 < сг < 1 в Ь,г, если

г<-

1

1-с-

тах

1<*<у

I

-8

+Д»

/

< 5°|| + Г

При этом для разностного решения верна априорная оценка

- х к^вг

Здесь 0^ — элементы оператора Ь^, 3& - символ Кронекера для соответствующей границы, gв,pв - коэффициенты разностного аналога граничных условий (9).

В конце раздела приводятся оценки решения на основе принципа максимума.

Теорема 5. Для решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии, записанного в недивергентной форме, с краевыми условиями третьего рода в случае использования разностей «против потока» при выполнении условий (12) для неявной схемы справедливы оценки: при условии консервативности вещества (0 = 0)

Г

Jm

114 *+11/1

„ +тах

с п>0

+ Г

при условии неконсервативности вещества (Р>0)

Л* , а

У <Ы| + РЧ +тах

л 1Ы1 Нк-%

1 +

где %т ~ К0ЭФ-

при а = £ "в" „. _

фициент схемы в приграничном узле для соответствующей границы,

Ре' ёв' гв--коэффициенты разностного аналога граничных условий, д@ -

символ Кронекера для соответствующей границы.

В конце главы приводится обзор литературы.

В третьей главе исследуется сходимость двухпараметрических итерационных методов на основе спектрального и энергетического подходов.

В первом разделе приводятся понятия энергетического и спектрального подходов к исследованию итерационных методов.

Во втором разделе излагается теоретическое исследование сходимости двухпараметрических итерационных методов, основанное на обобщении леммы Келлога на случай двух параметров.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений

Ах=/ (14)

рассматривается класс двухпараметрических итерационных методов, записанных в канонической форме, с некоторым начальным вектором х0

В(а)Хк+1~Хк +Ахк = /, ¿ = 0,1,2,..., (15)

т

и матрицей перехода

в (а, г) = В'1 (а)(В (а?) - г А)

где т>0, со>0 итерационные параметры (параметр со входит только в матрицу метода В).

Матрица А представляется в виде разложения

А=-В-—И (16)

(О со

где N и В невырожденные матрицы, действующие в конечномерном гильбертовом пространстве Н, В=В(а>) - N + 0,5соА - матрица двухпараметрическо-го итерационного метода. В этом случае матрица перехода двухпараметриче-ского итерационного метода имеет вид:

в{т,а) = (Ы + 0,5соА)~х + 0,5соА - тА)

>

Матрица перехода представляется в виде, удобном для исследования:

С(г,ю) = (£ + 0,5й^)"'(£ + (0,5й>-г)^), (17)

где F = F(cu) = (в(ю)-0,5й)Л)"1 А = 1Г1А.

Существуют два подхода к исследованию итерационных методов: спектральный и энергетический. В первом случае исследуется спектральный радиус р матрицы перехода/?(б) < 1 (критерий сходимости), а во втором -его энергетическая матричная норма |С?||<1 (достаточное условие сходимости)

Лемма.1. (Спектральный аналог леммы Келлога). Пусть А и Е + аА -невырожденные матрицы, а и Р - действительные числа а> 0 и а + р> 0. Тогда условие

-а<р<а + 2ттКъХк(А~х} (18)

является необходимым и достаточным для выполнения оценки

р{(Е + аА)~\Е-рА)}< 1. (19)

Следствие 1. Пусть А — диссипативная матрица, аир- действительные числа, причем а > 0. Тогда условие

\р\<а

является достаточным для выполнения оценки (19). Это позволяет доказать следующий критерий сходимости:

Теорема 6. Для сходимости двухпараметрического итерационного метода (15) необходимо и достаточно, выполнение условий

О < г < + 2tnin Re/tj {f~1 j

где F = F{co) = (B(a) - 0,5^)"' A = N'lA.

Следствие 2. Для сходимости однопараметрического итерационного метода (со=т) необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы F = N~lA лежал в правой полуплоскости.

В этом же разделе получена формула для нахождения оптимальных параметров двухпараметрического итерационного метода. При оптимизации двухпараметрического итерационного метода исследован квадрат модуля спектрального радиуса, как функции двух переменных и при некоторых предположениях получены формулы для нахождения оптимальных параметров.

Вместе с тем, гораздо проще работать с фиксированным итерационным параметром a> = w0= const > 0 и исследовать матрицу перехода как функцию одной переменной на интервале сходимости 0 < г < со + 2 min Re Ak [F'1)

Теорема 7. Пусть в итерационном методе (15) ю = а>0 = const > 0 и 0,5íü0+ininReAí^F'1(0o)^>O. Тогда итерационный метод (15) сходится

для 0 < г < ш0 + 2minRe^¿. (®0))> и оптимальный параметр находится по формуле

ТоР1 = 0,5&>0 + шш Re (®0))

Теорема 8. Пусть спектр матрицы F = N~]A лежит в правой полуплоскости. Тогда однопараметрический итерационный метод сходится, и оптимальный параметр находится из формулы

V = 2у/шшЛe^(F-l(rJ)/^minR^(f(top,)) .

следствие 3. -Пусть спектр матрицы F = N'lA действителен, лежит в правой полуплоскости. Тогда однопараметрический итерационный метод сходится, и оптимальный параметр находится из формулы

2

т - —========•

^mm(F(rJ)Amm(F(rop,))

При использовании энергетического подхода для двухпараметриче-ских методов исследуется норма матрицы перехода метода (5)

Цс?(г,й>)|= (£' + 0,5^)"1(£ + (0,5ю-г)^)||<1,где F = ^VЛl, (20)

которая должна была меньше единицы. Доказана лемма, которая является некоторым обобщением леммы Келлога и на основе которой получена оценка (20).

Лемма.2. Пусть АиЕ + аА - невырожденные матрицы, а и Р -действительные числа а> 0 и а + /?> 0. Тогда условие

-а</?<а + 2ЛтЬ(А-% (21)

где (/гМ = ————, является необходимым и достаточным для выполнения V к 2

оценки

|(£ + а А)' (Е- < 1. (22)

Теорема 9. Для сходимости двухпараметрического итерационного метода (15) достаточно выполнение условий:

0<г<ш + 22тт((^1)о),

где ^ =

Формулировки и доказательства теорем оптимизации итерационных параметров в случае использования энергетического подхода эквивалентны соответствующим результатам спектрального подхода.

Третий раздел посвящен треугольным кососимметрическим итерационным методам.

Матрица А называется сильно несимметричной, если в какой-либо

\\А II»11/1 II А. = -(А-АГ)

норме || 41 II о||, где 2х ' - кососимметричная, а

А0=^А + АТ^ - симметричная части матрицы А.

К краевым задачам, где в результате аппроксимации могут возникнуть сильно несимметричные матрицы, относятся, в первую очередь, задачи в быстро движущихся средах или задачи, описывающие процессы на быстро движущихся объектах в несжимаемых или сжимаемых средах.

Кососимметрические итерационные методы, разработанные Л.А. Кру-киером4, основаны на идеи включения в матрицу метода В итерационной схемы

+ Ахк = /, ¿ = 0,1,2,... (23)

4 Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. ВУЗов. Математика, 1979, №7, стр. 41-52

треугольных частей Кц или Кь лишь кососимметрической составляющей^ ) матрицы А системы (14), причем таким образом, чтобы

кососимметричная составляющая матрицы метода была пропорциональна кососимметрической составляющей матрицы системы В{ = тА1. При таком

подходе в операторе перехода С = Вл{^В-тА) оператор В-тА = В0-тА0

является симметричным. Условия В0 > 0 позволяют исследовать оператор

перехода в виде С = В~]'2(Е + (Е~тР0)вЦ\ где

Р0 = В^11А0В^12 =Р„ > 0, Р1= £01/2Л,5(;|/2 = -Р' в энергетической норме

Получены оценки скорости сходимости треугольных кососимметри-ческих методов (ТКМ) с матрицами метода В = ВС+ 2тК, или В = ВС + 2тКи, где К1,Ки - треугольные части кососимметрической составляющей Л1, а Вс - некоторая диагональная матрица.

Получены оценки скорости сходимости попеременно-треугольных ко-сосимметрических методов (ПТКМ) с оператором метода В = (Вс + тК1)В-,(Вс + тКи).

Получено достаточное условие сходимости двуциклического треугольного кососимметрического метод (ДТКМ), разработанного автором ранее

(Яс+2г к^-^—^ + Ах^/, т

(Вс + 2тКи)Х"л -Х^+Ах„=/. т

В конце раздела проведено численное исследование рассмотренных методов на двумерной модельной задаче.

В четвертом разделе разработанная теория исследования сходимости двухпараметрических итерационных методов используется для исследования кососимметрических итерационных методов. Практический интерес представляют двухпараметрические треугольные кососимметрические методы (ТКМ(т,со)) с матрицами метода В(а>) с нижней треугольной формой В1(й)) = 01+а>К1, й1= Diag(BL(co)} и с верхней треугольной формой

Ви (<а) = Би+ (оКу, Би = (ю)) в (15).

В этом случае для кососимметрических составляющих имеют место соотношения

(Я»), =0,5йЦ ={Ви{Со)\, (24)

которые обеспечивают симметричность оператора N в разложении (16).

Лемма 3. Для положительной определенности матрицы N = В0- 0,5соА^ достаточно, чтобы элементы диагонали О = Diag(в(co)}

матрицы треугольного кососимметрического метода вычислялись по формуле

(25)

где числовой параметр 5>0 достаточно добавить хотя бы в одно из равенств (25).

В случае, когда матрица N симметрична и положительно определена для устойчивости матрицы Р = Ы~х А будет достаточно диссипативности матрицы А в (14).

Теорема 10. Пусть матрица А в (14) диссипативна. Тогда если диагонали Вь{со) или В у (&>) вычислялись по формуле (25), то двухпарметриче-

ский ТКМ(х, со) сходится для 0 < г < со.

Следствие 4. Пусть матрица А в (14) диссипативна. Тогда однопар-метрический (со = т) ТКМ(т,т) сходится для любого г>0, если диагонали Вь {со) илиВц (<у) вычислялись по формуле (25).

Теорема 11. Для диссипативной матрицы А системы (14) двухпара-метрический попеременно-треугольный кососимметрический метод (ПТКМ)

( ^пткм + й'Л'/) Опткм ( Т)!ПКЫ

т

сходится, если для диагональной матрицы йпткм выполняется неравенство

ТЕОРЕМА 12.Для сходимости двухпараметрического двуциклического треугольного кососимметрического метода (ДТКМ)

{DTKM+WKL)

-х.

- Ахп = /,

(А™ + ®Ки f"+l Х"+/г + Ах„ = /.

(26)

достаточно выполнения условий 0 < г < а + 2 min

Практическую значимость имеют беспараметрические итерационные методы.

Пусть в однопараметрическом ТКМ г = с = const >0 ив (25) со = 8 = с = const > 0, тогда в итерационном методе

(D + cKL)^L + Axk =f, {D}^ =0,5сХ(|Й},НН},|) + С

константы с = const > 0 сокращаются.

Возможен еще один вариант построения беспараметрического ТКМ, когда второй сомножитель в матрице перехода (17)

G(r,a>) = (£4 O^íu/7) ' (i- + (0,5а>- r)fj равен единичному оператору, то

есть при т = 0.5со = const = c>0=>íü = 2c.

Теорема 13. Для диссипативной матрицы А системы (14) беспараметрический ТКМ

{Рткм + ) + Axk = /

сходится, если - диагонали Dtkm вычислялись по формуле (25) при а> = 2,5 = \.

В конце третьего и четвертого разделов приводятся результаты численного тестирования предложенных кососимметрических итерационных методов, которые проводились на двумерной модельной задаче конвекции-диффузии5.

В замкнутой области Q = [0,1]х[0,1] рассматривалось стационарное уравнение конвекции-диффузии

\(d2S d2s) if dS dS 5(uS) ЭГи^ .

---—г +- и — + v— + —^—- + —-—- = f(x,y)

Ре{дх2 ду2 J 2{ дх ду дх ду ) к '

На границе ставились условия 1-го рода. В рассматриваемой области строилась равномерная сетка с одинаковыми шагами по обоим направлениям coh = {(г/г, jh); i,j = 0,1,..., N, h = /N}. Итерационный процесс прекращался,

если р>| /р»| < £, £ = Ю"6, где и г<0) - невязки соответственно на к-ой

и 0-ой итерациях. В качестве точного гладкого решения бралась функция s(x,у) = еху sin лха'тлу, обращающаяся в ноль на границе.

Таблица 1. Поля скоростей для четырех вариантов задаиия поля скоростей

задача 1 задача 2 задача 3 задача 4

X X X X X 4 4 \ ч 4 f / / t f t ч 4 4 4 \ 4 x -» iff,

X X X X X X X 4 ч X / t f t 1 \ \\ \ >4 4 "*» -if 1 i 1 ■

ч ч 4 WW X ч ч J* f f * ч к V \ i J

XXXXXXXXXX J. » « ч 1 1 ' 11. » 1

4 4 X ч x 4 X 4 X X - . . . . «- — 4 * i

4\4\4 4X XXX — ~ ~ — ' i

\ ч ч ч 4 4 4 \ ч 4

w ч \ ч ч ч 4 4 \ "». 4 4 4* » / * . „ * * * ^ * s , * *» ' f

ХХХХХЧХЧХЧ 44 ч 4 » í i d r' . ... * г t !* J>

X X X X X X 4 X X X ХЧ 4 ^t i Í / ¿ / , . , / Í л f / /

и = —1, u = 2y-\, u-x-y, и = sin 2 7tx,

V = 1 v = 1 -2x v-x + y v = -2^jcos2^x

5 Elman H.C. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for non-self-adjoint linear systems, BIT, 29(4), 1989, p.890-915

При проведении численного исследования было рассмотрено четыре варианта задания коэффициентов при конвективных членах (Таблица 1). Наибольший интерес при проведении численных тестов вызывает четвертая задача, так как для нее поле скоростей создает более сложную картину. Число узлов выбиралось равным N = 32. Расчеты проводились при числах Ре=103,104,1&.

Таблица 2. Сравнение кососимметрических итерационных методов по числу итераций для единичной диагонали 0=Е и диагонали Э=Откм, элементы которой вычислялись по формуле (25) (вторая строка), для различных вариантов итерационных

SOR TKM ПТКМ ДТКМ SSOR

D(A) E Dtkm E Dtkm Dtkm Dtkm Dtkm Dtkm Dtkm D(A)

Ре (2t,T) (2,t) (T,T) (T,T) (2,2) (2,t) (co,t) (2t,t) (2,t) (t,t)

Задача 1, v=l, и=-1

10 122 220 122 107 116 128 64 62 103 62 112

ю4 1100 1530 1021 723 822 849 457 453 753 441 842

1 оь 10899 11681 7540 5560 6426 6568 3642 3639 5725 3434 6573

Задача 2, v=l-2x, и=2у-1

10 185 362 106 129 52 62 51 50 470 34 111

ю4 799 1325 455 424 298 316 289 286 611 195 437

10> 7936 9727 2467 3162 1918 1984 1846 1842 4733 1132 3362

Задача 3, и=х-у, v=jc+j>

10 186 320 129 189 63 68 66 64 118 50 106

ю4 1063 1437 644 566 286 306 285 283 629 221 629

105 10357 11586 4988 4571 1659 1682 1674 1671 4733 1476 5023)

Задача 4, v=sin2nx, u~2nycos2TK

10 362 538 199 128 55 67 44 43 225 42 157

ю4 3009 3962 1101 900 389 439 223 221 1601 197 1054

10* 29620 33750 7927 7098 2718 3058 1492 1489 13714 1159 7334

Таблица 3. Отношение числа итераций SOR и SSOR к кососимметрическим итера_иионным методов (КМ) для данных (Таблица 2). _

Задача 1 2 3 4

KM со t 10 104 104 10J 104 103 10 104 10* 10J 104 10*

SOR E 2т X 0,55 0,72 0,93 0,51 0,60 0,82 0,58 0,74 0,89 0,67 0,76 0,88

D 2t t 1,00 1,08 1,45 1,75 1,76 3,22 1,44 1,65 2,08 1,82 2,73 3,74

h D 2t t 1,09 1,12 1,15 0,24 0,72 0,71 0,90 1,00 1,06 0,70 0,66 0,53

c¿ n t=t D 2 t 1,81 1,91 1,91 3,26 2,24 2,97 2,12 2,85 3,40 3,74 5,35 6,33

E t t 1,05 1,16 1,18 0,86 1,03 1,06 0,56 1,11 1,10 1,23 1,17 1,03

ir¡ tz) h D x t 0,97 1,02 1,02 2,13 1,47 1,75 1,68 2,20 3,03 2,85 2,71 2,70

с d -2, 2 0,88 0,99 1,00 1,79 1,38 1,69 1,56 2,06 2,99 2,34 2,40 2,40

D 2 t 1,75 1,84 1,80 2,18 1,51 1,82 1,61 2,21 3,00 3,57 4,73 4,92

ТКМ сравнивался с SOR, для которого оператор в итерационном методе (15) имеет вид BL{r) = D(Á) + tL, где D(Á) - диагональ матрицы А, а L - нижняя треугольная часть матрицы А. ПТКМ и ДТКМ сравнивались с SSOR, который имеет вид (26) с операторами метода BL (г) = D(A) + tL и Ви (V) = D[A)+ tU , соответственно (Таблица 2). Использование диагонали Dtkm, элементы которой вычислялись по формуле (25), позволяет получить ускорение базовых кососимметрических итерационных методов (D=E). Из (Таблица 3) видно, что отношение числа итераций ДТКМО(2,т) к SSOR(t,t) более 6. Практический интерес представляет ПТКМ(2,2), так как этот метод, являясь беспараметрическим, на первой задаче незначительно уступает SSOR(t,t) с оптимальными параметрами, на следующих задачах с ростом числа Ре преимущество более чем в два раза.

Все расчетные данные получены с помощью программы, позволяющей в диалоговом режиме не только подсчитывать число итераций и время счета, но и визуализировать поведение логарифма невязок (Рис. 3).

.......A_JLjfLJ

МЛ Took Hftía

Имрацитиди Jpj&^SbtKS^I« Пекле lOOOOO Шаг парал*. ;о

Т«у нач. 3 937

Омеге

Сетка

Коэффмцжштъх скоростей

' Абсйлю-тая a С О 00064132 « L2 «,00233489

Относительная » ¡У.) ■ С 0.04в98&«1 ■>L2 oomuii

Коп-ео ыгсрацми и ерше 1492 11«

ф5т0р

Рис. 3. Диалоговое окно программы исследования кососимметрических методов

В четвертой главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. В качестве исследуемого объекта рассматривался прямолинейный канал трапециевидного поперечного сечения длиной 200 м, шириной 120 м, глубиной

7 м. Подобные каналы построены для подхода судов к портам Таганрогского залива - Таганрог, Ейск, Мариуполь, а также для подхода к реке Дон (Рис. 4).

Предполагалось, что течение во всей расчетной области не меняется вдоль продольной оси канала, а также процесс размывания или оседания грунта вдоль оси происходит одинаково. _

ветер западного направления ветер восточного направления

Рис. 5. Движение воды при действии ветра 10 м/с в течение 10 часов

Рис. 4. Схема основных судоходных путей в Таганрогском заливе

В первом разделе приводятся результаты расчетов течений в Таганрогском заливе при различных ветровых ситуациях.

На (Рис. 5) показана картина течений при действии западных и восточных ветров. Черными отрезками прямых обозначены подходные каналы к порту Таганрог и устью р. Дон.

Таганрог

Видно, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон - продольные. Дальнейшие численные исследования размывания дна и переноса взвеси проводились для трех видов течений по отношению к каналу: продольного, поперечного и косого.

Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Влияние струи, созданной гребным винтом корабля, на течение вблизи дна канала показано на (Рис. 6).

»1®

ВЙВ

явак

—1

на поверхности у дна канала

Рис. 6. Влияние струи от гребного винта на поперечное ветровое течение в канале на

разных горизонтах

Видно смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

Второй раздел посвящен расчету изменения донной поверхности подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе.

Известно6, что основная часть донного грунта в Таганрогском заливе имеет различный гранулометрический состав (Рис. 7). При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания с учетом размеров частиц фракций, а так же рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Заиление канала может происходить как за счет принесения извне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по стенке.

6 Матишов Г.Г. Сейсмопрофилирование и картирование новейших отложений дна Азовского моря // Вестник Южного научного центра РАН, Т. 3, №3, 2007, с.32-40.

При продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном и косом.

Морской Чулек

'аганрог

/.....V. / \

ёесело-Ваэнасемк?''

Петру шина

Порт- Кзтон

Глафи ровна ¿йский4-^.

ЕйсЛ "•

38'0'Е

Круглое

• песок средне-мелкозернистый (фракция 1-0,1 мм >70%) песок алеврит о -илистый (фракция 1-0,1 мм - 50-70%)

алеврит о -п есчанныи -или стыи (Vфракции 1-0,1 мм - 30-40%)

илистый алеврит (фракция 0,1 -0,01 мм - 50-70%) алеврит (фракция 0,1 -0,01 мм >70%)

глинистый ил (фракция менее 0,01 мм >70%)

? глинистый ил ! (фракция менее 0.01 мм >85%)

Рис. 7. Карта донных отложений восточной части Таганрогского залива

Как было отмечено выше, движение корабля оказывает существенное влияние на процесс заиления канала. Под действием струи воды из-под гребного винта донный осадок в канале сначала размывается, а затем часть его ветровым течением выносится из исследуемой области, часть взвеси оседает на дне канала.

при прохождении корабля при удалении корабля

Рис. 8. Распределение взвешенного осадка

В момент прохождения корабля наибольшая концентрация наблюдается в районе соприкосновения струи от гребного винта, когда она имеет макси-

мальную скорость, с донной поверхностью канала. При удалении корабля часть взвеси оседает, и концентрация ее начинает падать (Рис. 8).

ширина канала(м)

-Начальный профиль —-1=30 сут - - -1=60 сут - - -1=90 сут ----------1=120 сут

Рис. 9. Процесс изменения донного профиля при поперечном ветровом течении

ширина канала(м)

-Начальный профиль — 1=30сут - - ■ 1-60 с/т - 1=90 сут -- -4=120сут

Рис. 10. Процесс изменения донного профиля при поперечном ветровом течении и

наличии корабля

На (Рис. 9, Рис. 10) показано изменение донной поверхности судоходного канала в течение 120 суток модельного времени. Действие струи от гребного винта корабля (Рис. 10) существенно меняет картину донной поверхности канала. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части

из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта.

Изменение профиля дна канала оказывает влияние на картину течения. На (Рис. 11) показана картина течения в поперечном сечении канала при наличии свалки грунта в начальный момент времени. На (Рис. 12) показана картина течения в том же канале через 120 суток модельного времени после действия ветрового течения и струи от гребного винта корабля. Видно, что свалка грунта к этому времени почти вся размылась, и размытый донный материал осел на дне канала.

Рис. 11. Картина течения в поперечном сечении канала на начало вычислительного эксперимента.

Рис. 12. Картина течения в поперечном сечении канала через 120 суток модельного времени

В (Таблица 4) отражено сравнение данных наблюдений5 и результатов расчета.

Таблица 4. Среднегодовая высота осажденного материала в судоходных каналах (м)

Мариупольский канал Таганрогский канал Ейский канал Азово-Донской канал

Расчетные данные 0.77 0.81 0.72 0.43

Данные наблюдений 0.8 0.4-0.5; 1.0 0.45-0.75 0.4-0.5

Проведенные вычислительные эксперименты на построенной математической модели процесса заиления также отражают приведенные выше закономерности перемещения донного материала в акваториях судоходных каналов.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

Работы в изданиях, рекомендованных ВАК

1.Чикина Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, Т. 9, № 2, 1997, с. 20 - 25.

2.Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Известия вузов, Математика., 2000. -№11.- с.62-76.

3.Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия вузов, Математика, 2001. - №5. - с.36-42.

4. Чикина Л.Г, Чикин А.Л. Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США). // Математическое моделирование. - 2001. -Т.З. - №2. - С.93-98.

5.Чикина Л.Г., Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // Вычислительные технологии. Том 9, № 5, 2004. -с.102-113.

6.Чикина Л.Г., Шабас И.Н. Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции диффузии с граничными условиями третьего рода. // Вычислительные технологии. Том 10, № 6,2005. - с.102-113.

7.Чикина Л.Г. Двухпараметрические итерационные методы. // Вычислительные технологии. Том 11, № 4,2006. - с.87-101.

8.Чикина JI.Г. Трехмерная математическая модель переноса вещества в Мо-билском заливе. // Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, №3, 2006, с.52-57.

9. Л. Г. Чикина, А. Л. Чикин. Математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе // Математическое моделирование, 2009, том 21, № 2, с 29-35

10. Л.Г. Чикина, А.Л. Чикин. Моделирование процесса заиления подходных судоходных каналов. // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион. Естественные науки. 2009. Спецвыпуск "Актуальные проблемы математической гидродинамики". С. 216-219.

Коллективная монография

11. Л.А. Крукиер. А.Л. Чикин, Л.Г. Чикина. И.Н. Шабас. Моделирование гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья. Изд-во ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2009, 244 с. (Математическое моделирование и современные информационные технологии. Выпуск 7)

Свидетельства об официальной регистрации программ

12. Шабас И.Н., Чикин А.Л., Мерзляков В.А., Белоконь O.A., Чикина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2005612496 «Расчет распространения примесей в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

13. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2005612497 «Расчет гидродинамических параметров в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

Работы в реферируемых журналах и сборниках трудов

14. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations. Applied Numerical Mathematics. N.41,2002. P.89-105.

15. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method. Computational methods in applied mathematics. V.3 (2003), N. 4.p. 647-650.

16. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Некоторые вопросы использования проти-вопотоковых разностных схем при инженерных расчетах загрязнения в мелких водоемах. Инженерно-физический журнал. Т. 71, № 2, 1998, с. 349 - 352. (Минск, Республика Беларусь)

17. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией итерационными методами. Сборник трудов Междунар. конференции «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике», ИММ, ИПМ УРО РАН, г. Ижевск, 1996, с. 190 - 201.

18. Чикина JI.Г. Исследование сходимости итерационного метода решения сильно несимметричных систем в различных энергетических нормах. Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 16-12 сентября 1999 г, с. 251-258.

19. Чикина Л.Г. Два подхода к условиям сходимости двухпараметрическо-го треугольного итерационного метода решения несимметрических систем. Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 17-21 сентября 2001 г, с. 410-413.

20. Чикина Л.Г. Использование отношения Релея для исследования сходимости двухпараметического ТКМ. Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 15-22 сентября 2003г, ЮГИНФО РГУ 2004. с 245-248.

21. Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода. Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 15-22 сентября 2004г, ЮГИНФО РГУ 2004. с 249-260.

22. Чикина Л.Г., Пичугина O.A., Крукиер Б.Л. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений вариационными методами с переобуславливателями специального вида. Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции. «Параллельные вычисления в задачах математической физики». ЮГИНФО РГУ, 2004. с. 159-170.

23. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Два подхода к исследованию двухпарамет-рического попеременно-треугольного кососимметричного метода. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 407-419.

24. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический треугольный кососимметрический метод (ДТКМ) и его ускорение. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 420-427.

25. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Трехмерная модель распространения вещества в Мобилском заливе. Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2005 г, ЮГИНФО РГУ 2005. с 428-436.

26. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Математическая модель процесса оседания взвеси в водоемах с судоходным каналом. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.313-320.

27. Чикина Л.Г. Крукиер Б.Л. Беспараметрические методы решения сильно несимметричных СЛАУ. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.321-331.

28. Чикина Л.Г. Чикин А.Л. Численное исследование процесса заиления подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе. Труды Южного научного центра РАН. Изд. ЮНЦ РАН, 2009, с. 154-160.

29. Л.Г. Чикина, А.Л. Чикин. Моделирование процесса заиления подходных судоходных каналов. // Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион. Естественные науки. 2009. Спецвыпуск "Актуальные проблемы математической гидродинамики". С. 216-219.

Вклад автора в совместные работы: [4, 9,25,26, 28, 29] - постановка проблемы в целом, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [17] - структура ТКМ для одномерной задачи, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [14] - теоремы оценки скорости сходимости, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [2] - теоремы оценки скорости сходимости ТКМ и ПТКМ, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [3] - идея ДТКМ, проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов; [22] - переобуславливание ДТКМ и анализ результатов; [5, 23, 24, 27] - постановка проблемы в целом, исследования на сходимость; [13] - доказана в двухлараметрическом случае лемма Келлога; [12] - исследования на сходимость ТКМ(ВС), лемма Келлога в норме С=С*>0, оптимизация ББ'ПМг; [11, 15, 16] - теоретическое исследование разностных аналогов составляющих модели; [6, 21] - постановка проблемы в целом, исследования на устойчивость.

Подписано в печать 28.04.2010 г. Формат 60x84 1/1в. Усл. печ. л 2,19. Тираж 100 экз. Заказ № 1053.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

Введение.

Глава 1. Математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов и обзор методов ее решения.

1.1. Гидродинамическая модель.

1.1.1. Моделирование ветрового течения.

1.1.2. Модель свободной затопленной струи.

1.2. Транспортная модель.

1.2.1. Перенос и оседания вещества.

1.2.2. Основные уравнения модели переноса взвешенного вещества.

1.3. Обзор литературы по главе 1.

Математическое моделирование широко используется для понимания сущности и прогноза поведения многих физических процессов. В данной работе методы математического моделирования использованы для описания процессов заиления подходных судоходных каналов и переноса вещества во внутренних водоемах. I

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении гидрофизических задач для водоемов различной морфологии методами математического моделирования. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, ИВМ и МГ СО РАН. Очень важное значение для моделирования гидрофизических процессов в Азовском море представляют результаты натурных исследований гидрологии моря, полученные учеными ТТИ ЮФУ (рук. профессор А.И. Сухинов) и ЮНЦ РАН (рук. академик Г.Г. Матишов).

Наличие большого количества натурных данных позволяет более точно настраивать математические модели. Поэтому в настоящее время актуальным становится создание математических моделей, учитывающих многие факторы, влияющие на тот или иной процесс. [127, 130, 194, 227, 242]. В работах [3, 21,152,153] приведены данные по Азовскому морю.

Широкое применение математическое моделирование получило в экологии [28 , 41, 81, 90, 97, 98, 106, 114, 109, 117, 135, 307]. Среди проблем экологии особое место занимают проблемы сохранения качества природных вод. На всякий водоем оказывают влияние условия формирования поверхностного или подземного водного стока, разнообразные природные явления, индустрия, промышленное и коммунальное строительство, транспорт, хозяйственная и бытовая деятельность человека. Становится актуальным моделирования происходящих в водоемах процессов распространения и оседания загрязнения [10, 26, 61, 157, 182, 239, 249, 253], изменение солености вод [4, 13, 137] и температурного водного режима [6, 92], моделирование колебаний уровня и циркуляции вод водоема [29, 52, 143, 150, 151, 185, 206]. Разработанные методы расчета течений позволили подойти к решению задачи переноса в морской среде загрязняющей примеси (динамически пассивной, химически нейтральной) от источников различного типа на основе гидродинамических циркуляционных моделей. В соответствии с проектом "Моря" под общим руководством ГОИНа подготовлена серия монографий Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Методика совместного использования математических моделей и дайных наблюдений для изучения и прогнозирования эволюции природных процессов в атмосфере, океане и окружающей среде представлена в работе [109, 110]. Для данного класса задач использованы вариационные принципы для построения дискретных моделей, методов прямого и обратного моделирования, а также теории чувствительности моделей к вариациям входных данных. Рассматриваются постановки задач и вариационные методы, как со строгими, так и со слабыми ограничениями. Модели записываются в вариационной форме с помощью интегральных тождеств. В работе [111] обсуждается проблема долгосрочного экологического прогнозирования с помощью математического моделирования с использованием доступной фактической информации о многолетней динамике климата. Здесь же приводится описание методики количественных оценок риска на основе прямого и обратного моделирования и методов теории чувствительности, а также рассмотрены примеры расчетов областей риска для озера Байкал.

Крупным вкладом в построение и применение высокоточных математических моделей задач водной экологии Азовского моря являются результаты, полученные учеными Южного федерального университета и Южного научного центра РАН [46, 72, 73, 74, 77, 75, 76, 131, 136,135, 136 154, 239]. Структуры течений Азовского моря, которые вначале были обнаружены численным экспериментом, были подтверждены экспериментально в результате экспедиций [98, 99, 101, 102, 134, 135]. Полученные результаты подчёркивают важность применения математических моделей для анализа и прогнозирования процессов, происходящих в экологических системах.

В настоящее время широкое развитие получило космическое землеведение - междисциплинарное научное направление, охватывающее географические, геологические, геохимические, геофизические и другие спутниковые исследования [60]. Это направление позволяет объединить исследования физиков, математиков, химиков, биологов, географов и многих других специалистов, изучающих природные объекты по их многоспектральным аэрокосмическим изображениям. В [59] приводится описание моделей климата, биосферы как наиболее традиционных средств получения информации о земной геофизической, биогеохимической и климатической системе. Дается математическая формулировка основных этапов моделирования процессов в атмосфере, гидросфере и биосфере.

Развитию теории вариационных краевых задач с неизвестными границами, созданию численно-аналитических методов исследования задач оптимизации формы в механике жидкости и газа, а также разработке методов оптимального аэродинамического проектирования гидропрофилей и крыловых профилей посвящена работа [44]. Приводятся методы решения задач оптимального проектирования формы в гидрогеологии, почвоведении и теории дисперсных сред, а также задач по определению оптимальных гидроаэродинамических форм и режимов обтекания. Решению обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) для плоских течений посвящена монография [43]. В ней изложены основные методы решения подобных задач, содержатся результаты по решению различных ОКЗА на основе классических гидродинамических моделей: идеальной несжимаемой жидкости, идеального газа и вязкой несжимаемой жидкости с большими числами Рейнольдса. В работе использованы математические модели течения идеальной жидкости, пограничного слоя и газа Чаплыгина.

В проекте 97-05-64001 (рук. Н.Е. Вольцингер), выполненном в СПбФ ИО РАН, решена задача по моделированию трехмерной прибрежной динамики, процессов эрозии и седиментации осадочного материала при сильной нелинейности, выраженной бароклинности и резком изменении рельефа дна. Разработана и верифицирована модель придонного логарифмического пограничного слоя для описания процессов эрозии, седиментации и взаимодействия полей скорости, турбулентности и концентрации взвеси. Выполнено двумерное и трехмерное моделирование приливной динамики Баренцева и Ирландского морей, Восточно-Сибирского Арктического шельфа и прилегающей глубоководной зоны, Мессинского и Гибралтарского проливов.

В силу объективных причин - специфики режима морей, степени изученности, различного уровня теоретических разработок - в освещении некоторых вопросов по разным морям имеются существенные различия. Каждый водоем обладает своими уникальными свойствами, которые нельзя не учитывать, а созданные программные модули требуют большой перенастройки, что в ряде случаев соизмеримо объему работ по созданию новой модели. Несмотря на то, что проблемой математического моделирования переноса веществ во внутриматериковых морях и их заливах занимались многие известные специалисты, остается не решенной задача построения трехмерной математической модели морских заливов с судоходными каналами и, на ее основе, анализ трехмерных процессов распространения вещества и заиливания каналов.

В представляемой работе рассмотрены три основные проблемы моделирования распространения различных веществ в системе внутриматерико-вого водоема и судоходных каналов.

• Первая состоит в получении эффективных моделей, описывающих процессы переноса. Она включает в себя проблемы определения и моделирования различных аспектов переноса загрязняющих веществ, оседания и взмучивания взвесей, получение описания геометрии водоема.

• Следующая проблема заключается в развитии методов дискретизации исходных дифференциальных уравнений, сохраняющих основные физические свойства непрерывной модели.

• Третья проблема связана с развитием эффективных численных алгоритмов, позволяющих использовать возрастающие мощности современной компьютерной техники.

Для решения задач математической физики широко используются методы дискретизации исходных дифференциальных или интегральных уравнений, а также краевых и начальных условий. Эти методы позволяют преобразовать исходную непрерывную задачу в дискретную, т.е. перейти из бесконечномерного пространства в конечномерное, как правило, достаточно большой размерности. Далее, в этом конечномерном пространстве задачу преобразуют в систему линейных алгебраических уравнений, которую затем надо решить на ЭВМ [20, 107, 108]. Такая технология решения сложных научно-технических задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнении, краевых и начальных условий была разработана в начале 60-тых годов академиком А.А.Самарским и была названа им вычислительным экспериментом [16, 17].

В данной работе особое внимание уделяется предпоследнему этапу технологии вычислительного эксперимента - решению системы линейных алгебраических уравнений. В соответствии с мировой статистикой 80% задач, решаемых на ЭВМ - это задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В работе рассматриваются итерационные методы решения этой задачи, т.к. речь идет о СЛАУ содержащих сотни тысяч неизвестных и уравнений, а прямые методы их решений при таком разI мере СЛАУ не эффективны. Несмотря на то, что теория итерационных методов в достаточной степени разработана для достаточно большого класса матриц, остаются проблемы по созданию новых эффективных итерационных методов решения СЛАУ для матриц, обладающих достаточно специфическими свойствами. Одним из таких классов матриц являются сильно несимметричные матрицы, которые получаются, например, при центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.

В связи с этим актуальность работы обусловлена потребностью в эффективных методах решения такого класса СЛАУ.

Построение автором «быстрых» итерационных методов решения сильно несимметричных систем основываются на включении в обращаемый оператор итерационного метода треугольной части лишь кососимметриче-ской составляющей исходной матрицы. Применение разработанных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, эффективность которых установлена численным сравнением с существующими подобными методами, также представляет элемент новизны.

Таким образом, работа посвящена разработке, теоретическому исследованию, численной и программной реализации комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов, в частности, прорытых по дну Таганрогского залива к портам Таганрог, Ейск, а также к основному руслу реки Дон. Моделирование связано с разработкой соответствующих математических моделей, описывающих процессы движения жидкости в судоходном канале, размывания, переноса и оседания взвешенного донного материала. Учет в модели струи от гребного винта, движущегося по каналу корабля, существенно усложняет численное решение задач, так как в этом случае процессы конвективно-диффузионного переноса становятся преобладающими. Это накладывает существенное ограничение на использование стандартных разностных схем и итерационных методов их решения. Таким образом, одной из целей работы стала разработка и дальнейшее развитие численных методов, эффективно решающих задачи с преобладающей конвекцией. Представляемая комплексная модель процесса заиления подходных судоходных каналов ранее никем не рассматривалась.

Математическая модель процессов переноса и распространения вещества в водной среде состоит из двух составляющих: модели гидродинамики рассматриваемого водоема и модели, описывающей конвективно-диффузионный перенос субстанции. Модель гидродинамики водоемов с наличием судоходного канала состоит, в свою очередь, из модели ветрового течения и модели распространения свободной затопленной струи.

Предполагается, что изменение донной поверхности водоемов происходит только за счет изменения активного слоя донных отложений, поэтому основной задачей является определение динамики изменения толщины указанного слоя. Это позволит определить районы, где происходит размывание дна и где происходит заиление.

Представленные в диссертации теоретические результаты имеют строгое математическое обоснование. Результаты вычислительных экспериментов хорошо согласуются с полученными теоретическими результатами, а также с результатами других авторов.

Рассмотренная в работе модель позволяет получать оперативную оценку текущего состояния донной поверхности водных объектов и делать прогноз его развития. Разработанные в диссертации итерационные методы могут быть использованы при решении задач с преобладающей конвекцией.

Полученные теоретические результаты исследований могут быть использованы в образовательных целях для студентов и аспирантов в виде специальных курсов по математическому моделированию и вычислительной математике.

Содержание работы

Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность, новизна и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводится комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов. Важной особенностью предлагаемой модели является то, что гидродинамическая составляющая содержит не только модель ветрового течения, но также и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

В первом разделе рассматривается модель гидродинамики водоемов с наличием подходного судоходного прямолинейного канала, прорытого по дну водоема.

Гидродинамическая составляющая содержит две подмодели: модель ветрового течения и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.

Модель ветрового течения основывается на разработанной ранее двухслойной модели [154], так как исследуемая область представляет собой водоем, где есть глубоководная часть и обширная область мелководья.

Модель струи, образованной вращением гребного винта корабля, основана на теории затопленной свободной струи. При движении вдоль канала винт корабля из-за эффекта скольжения выбрасывает свободную затопленную струю воды со скоростью Струя, попадая в массу окружающей ее жидкости, постепенно расширяется и, в конечном счете, рассеивается в жидкости. Для расчета осесимметричной струи вводится система цилиндрических координат. Расчетная область представляет собой прямоугольник.

Общее поле скоростей получается сложением векторов скоростей от каждой подмодели.

Во втором разделе перейос и оседание взвешенного вещества описывается уравнением конвекции-диффузии с граничными условиями 3-го рода, конвективная часть которого записана в симметричной форме. Предполагается, что все донные отложения состоят из к фракций.

Принято, что вертикальный погок примеси на свободной верхней границе водоема отсутствует.

Вертикальный поток примеси на дне (области взвешенных наносов) принимается равным разности расходов отрывающихся от дна частиц примеси Еък (размывания) и оседающих частиц Оьк (аккумуляции).

Во второй главе рассматриваются разностные аппроксимации составляющих общей модели, предлагаются методы решения уравнения конвекции-диффузии.

В первом разделе приводится конечно-разностная аппроксимация гидродинамической составляющих модели. Все уравнения движения аппроксимировались неявными противопотоковыми схемами.

Второй раздел посвящен построению разностной аппроксимации трехмерной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода.

Т.к. разностное решение .задачи конвекции-диффузии должно наследовать основные свойства поставленной дифференциальной задачи, рассмотрим три формы записи этого уравнения дt ^ дх, V дх,) дх! где у - параметр вида уравнения. Если / = 1, то конвективные слагаемые записаны в дивергентной (консервативной) форме. Если у = 0, то конвективные слагаемые записаны в недивергентной форме, а при у=1/2 в симметричной форме.

В дальнейшем предполагается, что поле скоростей известно в любой момент времени. Рассматривается несжимаемая среда (¿//V У-0), то есть формы записи уравнения конвекции-диффузии эквивалентны.

Для сохранения свойств исходных дифференциальных операторов при пространственной аппроксимации уравнений конвекции-диффузии конвективная часть записана в симметричной форме и выбрана центрально-разностная схема, а при недивергентной записи конвективных членов - про-тивопотоковая схема.

Задача конвекции-диффузии замыкается начальными и краевыми условиями третьего рода на границе Г области ^. Предполагается, что граница области решения гладкая, а также что решение задачи 5, = 5'(х) также обладает достаточной гладкостью, включая границу области.

Расчетная область произвольной формы помещается в прямоугольный параллелепипед П и вводится равномерная по всем направлениям разностная сетка размера Л^хТУ хЛ^., с векторным параметром

Ь = где кх,Ъу,к, - соответствующие шаги сетки вдоль осей

ОХ,ОУ\01. После проведения индексации ячеек определяется - множество внутренних узлов сетки и Гн - множество граничных узлов.

При аппроксимации граничных условий третьего рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем, когда выбор направления аппроксимации производной зависит от знака составляющей вектора скорости V, участвующей в граничном условии. Семиточечный шаблон, попадая в любой узел из внутренней подобласти, не выходит за пределы расчетной сеточной области. Если же шаблон попадает в узел из приграничной области, то хотя бы один из узлов шаблона оказывается на границе.

Аппроксимация задачи конвекции-диффузии проводится в два этапа. Сначала эта задача аппроксимируется в области С1к х С11 по пространственным переменным.

Исключив решение в граничных точках области , учитывая разностные краевые условия, можно перейти к неявной операторно-разностной схеме. л+1 /; г = «Л п>о Т

Здесь Ьк — это оператор Ьк разностный аналог оператора конвекции-диффузии, в который уже включены граничные условия.

Оператор 1И представим в виде 1И = Ьт + Ьси + Ьрк, где Ьт - разностный оператор диффузионного переноса с учтенными граничными условиями, ЬСк - разностный оператор конвективного переноса, где также учтены граничные условия.

Любую матрицу А е /Г'" можно единственным образом разложить А - А Ахь на симметричную А0=— (а + А'} = А*0, и кососимметричную = -А{ составляющие. Матрица А е Я"'" называется:

• диссипативной, если для \/х Ф 0 ее симметричная часть положительно определена (А^х,х) > 0 (операторное неравенство А^> 0 );[280]

• М-матрицей, если А — невырожденная, а^>0, а- < О при ] и обратная матрица А"1 поэлементно неотрицательна;

• устойчивой, если ее спектр расположен в правой полуплоскости. При конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекциидиффузии, получается СЛАУ, матрица, которой имеет специальную семи-диагональную структуру. Когда конвективная часть записана в симметрич —с ной форме и выбрана центрально-разностная схема, то в операторе Ьь - Ьи симметричная часть |Ьь | = Ьан- разностный аналог оператора диффузионного переноса, а кососимметрчная часть уЬь j = ¿а, - разностный аналог конвективного переноса. Когда конвективная часть записана в недивергентной форме и выбрана противопотоковая аппроксимация, то диагональные —р элементы линейного оператора Ьн - Ьн положительны, а внедиагональные элементы отрицательны.

Получены достаточные условия:

7е диссипативности разностного аналога Ьи стационарной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода, записаной в симметричной форме, где конвективные члены аппроксимируются центральными разностями (Теорема 2.5);

М-матричности разностного аналога Ьрь стационарной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями третьего рода, записаной в недивергентной форме, где конвективные члены аппроксимируются противопотоковыми разностями (Теорема 2.7).

В третьем разделе рассматриваются вопросы устойчивости разностной схемы задачи конвекции-диффузии при центрально-разностной и проти-вопотоковой аппроксимации конвективных членов.

Определение [118]. Разностная схема -= 0, 5(о) = 5° т называется устойчивой по начальным данным, если для решения этой задачи выполняется оценка м, где М, — положительная константа.

Следуя теории устойчивости по начальным данным, доказаны теоремы устойчивости для разностной схемы с весами л+1 п аЬзп+1 + (1 - СТ)18П = Г, 5 (0) = /

7е при условии диссипативности разностного аналога Ьн стационарной задачи конвекции-диффузии (Теорема 2.8); при условии М-матричности разностного аналога стационарной задачи конвекции-диффузии (ТЕОРЕМА 2.10).

В конце раздела приводятся оценки разностного решения по неявной схеме нестационарного уравнения конвекции-диффузии, использующие принцип максимума при выполнении условий М-матричности разностного оператора по пространству (Теорема 2.13, Теорема 2.14).

В третьей главе разработаны итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ, к которым сводится решение задач с преобладающей конвекцией. Эффективность методов установлена численным сравнением с существующими итерационными методами.

Матрица А называется сильно несимметричной, если в какой либо 1 норме

Ах » А0 , где А 1 = АТ") - кососимметричная, а

А 0= ^[А + Ат ) - симметричная части матрицы А. Для определения числа кососимметрии используется максимальная строчная норма)! || . Для исследования СЛАУ

Аи=/ используется каноническая форма записи итерационных методов т где В - матрица итерационного метода, т - итерационный параметр, А - исходная матрица СЛАУ.

В первом разделе рассматриваются спектральный и энергетический подходы к исследованию сходимости итерационных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений. В первом случае исследуется спектральный радиус рматрицы перехода/?(С) < 1 (критерий сходимости), а во втором - его энергетическая матричная норма < 1 (достаточное условие сходимости).

Во втором разделе разработаны двухпараметрические итерационные методы

В(св)Хк+1'Хк +Ахк=/, к = 0,1,2,. т итерационный параметр со>0 входит только в матрицу метода В).

Матрица перехода двухпараметрического итерационного метода представлена в виде удобном для исследования

7 (т, а) = (Е + 0,5а>Г)~1 (Е + (0,5& где Р - Е{со) = ^В[со)-0,5й)АуХ А = Ы~ХА.

Теоретическое исследование сходимости двухпараметрических итерационных методов основанно на обобщении леммы Келлога на случай двух параметров в энергетическом (Лемма 3.3) и в спектральном (Лемма 3.4) подходах.

Решены задачи сходимости двухпараметрического итерационного метода при исследовании спектра (Теорема 3.8, Теорема 3.9) и при исследовании нормы (Теорема 3.13) матрицы перехода.

Рассмотрены вопросы нахождения оптимальных параметров в зависимости от свойств матрицы F = Г (¿у) = (В (<у) - 0,5 со А} 1 А = А: (Теорема

3.10, Теорема 3.11, Теорема 3.12) - для устойчивой и (Теорема 3.14, Теорема 3.15) - для диссипативной матрицы Т7.

В третьем разделе рассматриваются однопарметрические кососиммет-рические итерационные методы, разработанные в [65]. Основаная идея — включать в матрицу метода В итерационной схемы треугольные части Ки или KL лишь кососимметрической составляющей Ах = —^А - ATj = KL + Ки матрицы А СЛАУ. Причем таким образом, чтобы кососимметричная составляющая матрицы метода была пропорциональна кососимметрической составляющей матрицы системы =тА}.

Далее исследован класс треугольных (ТКМ), попеременно-треугольных (ПТКМ) и двуциклических (ДТКМ) кососиметрических итерационных методов (Лемма 3.5, Теорема 3.16, Лемма 3.8, Теорема 3.17, Лемма 3.8 Теорема 3.18, Теорема 3.19).

Проведено численное исследование на двумерной модельной задаче. В замкнутой области = [0,1]х[0,1] рассматривалось стационарное уравнение конвекции-диффузии.

К классам краевых задач, где в результате аппроксимации могут возникнуть сильно несимметричные матрицы, относятся, в первую очередь, задачи в быстро движущихся средах или задачи, описывающие процессы на быстро движущихся объектах в несжимаемых или сжимаемых средах.

При проведении численного исследования было рассмотрено четыре варианта задания коэффициентов при конвективных членах. Все варианты кососимметричных методов сравнивались со стандартными вариантами таких известных и близких по структуре обращаемой матрицы методам, как SOR для ТКМ и SSOR для ПТКМ и ДТКМ. Преимущество разработанных кососимметричесих итерационных методов имеет место при сильной косо-симметрии, причем большой интерес при проведении численных тестов вызывает четвертая задача, так как для нее поле скоростей быстро меняется и получаемая матрица имеет более сложную структуру.

В третьем разделе разработанная теория исследования сходимости двухпараметрических итерационных методов применяется для исследования кососимметрических итерационных методов.

Практический интерес представляют СЛАУ с диссипативными матрицами, так как в этом случае удается получить устойчивую матрицу А.

Исследован класс двухпарметрических кососиметрических итерационных методов: треугольных (ТКМ) (Теорема 3.20, Лемма 3.9, Теорема 3.23), попеременно-треугольных (ПТКМ) (Теорема 3.26, Лемма 3.10, Теорема 3.27) и двуциклических (ДТКМ) (Теорема 3.28).

Рассмотрены вопросы нахождения оптимальных параметров (Теорема 3.21, Теорема 3.22)

Отметим, что наибольшую практическую значимость имеют беспараметрические итерационные методы (Теорема 3.24, Теорема 3.25).

Численное исследование этих методов было проведено на модельной задаче, описанной во втором разделе этой главы. Для численной реализации ПТКМ и ДТКМ был разработан программный комплекс, позволяющий строить график логарифма невязок, выводить число итераций и время счета. Особенный интерес представляет собой беспараметрический ПТКМ(2,2), где со = т = 2 с использованием диагонали {Откм} .

В четвертой главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. В качестве исследуемого объекта рассматривался прямолинейный канал трапециевидного поперечного сечения длиной 200 м, шириной 120 м, глубиной 7 м. Подобные каналы построены для подхода судов к портам Таганрогского залива - Таганрог, Ейск, Мариуполь, а также для подхода к реке Дон.

Предполагалось, что течение во всей расчетной области не меняется вдоль продольной оси канала, а также процесс размывания или оседания грунта вдоль оси происходит одинаково.

В первом разделе приводятся результаты расчетов течений в Таганрогском заливе при различных ветровых ситуациях.

Показано, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон - продольные. Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Влияние струи, созданной гребным винтом корабля, на течение вблизи дна канала показано в виде смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

Второй раздел посвящен расчету изменения донной поверхности подходных судоходных каналов в Таганрогском заливе.

Известно [149], что основная часть донного грунта в Таганрогском заливе имеет различный гранулометрический состав. При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания. При проведении вычислительных экспериментов рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Заиление канала может происходить как за счет принесения- извне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения, стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по стенке.

Численно установлено, что при продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном или косом течении. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта. Здесь же показано, что изменение профиля дна канала оказывает влияние на картину течения.

Проведенные вычислительные эксперименты на построенной математической модели процесса заиления также отражают приведенные закономерности перемещения донного материала в акваториях судоходных каналов.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, доктору физико-математических наук профессору Л.А. Крукиеру за ценные советы и замечания при подготовке и написании диссертации. Автор также признателен коллективу сотрудников ЮГИНФО ЮФУ за помощь при численной реализации созданных программ.

4.3. Основные выводы по Главе 4.

В главе представлены результаты численной реализации математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов.

Показано, что для подходного канала к порту Таганрог преобладают поперечные течения, а для канала к устью р. Дон — продольные.

Расчеты показали, что корабль оказывает существенное влияние на картину течений в канале. Струя от гребного винта вызывает смещение направления движения ветрового течения вдоль траектории движения корабля.

При проведении вычислительных экспериментов было сделано условное разделение донного грунта на различные категории в зависимости от критических значений напряжения отрыва и оседания, кроме того при проведении вычислительных экспериментов рассматривалось как наличие, так и отсутствие свалки вдоль берега канала.

Численно установлено, что заиление канала может происходить как за счет принесения извне взвешенных частиц размытого донного грунта, так и за счет обрушения стенок свалки и канала. Процесс размывания начинается с разрушения верхнего уступа стенки канала, а затем перемещается вниз по i стенке. При продольном течении оседание взвеси происходит не так активно, как при поперечном и косом.

Действие струи от гребного винта корабля существенно меняет картину донной поверхности канала. Заиление канала уменьшается за счет вытеснения взвешенного донного материала к границе канала или вообще выноса его части из расчетной области. Кроме того, в канале образуется локальный фарватер за счет размывания дна струей от гребного винта.

Проведенный вычислительный эксперимент в течение 120 суток модельного времени после начала действия ветрового течения и струи от гребного винта корабля показал, что свалка грунта к этому времени почти вся размывается, и размытый донный материал оседает на дне канала.

Заключение

Разработана и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов. Данная модель включает в себя модель ветрового течения, модель свободной затопленной струи, модель переноса взвешенного вещества вследствие размывания донного материала и модель перемещения донного ила.

С помощью построенной модели установлено, что на процесс заиления судоходных каналов существенное влияние оказывают факторы наличия свалки донного грунта на берегу канала, а также степень судоходности самого канала. При расчете среднегодовой величины осевшего в канале донного осадка принимались во внимание скорость и направление течения воды, продолжительность этого течения, а также степень судоходности канала. Перечисленные факторы учитывались через весовые коэффициенты для каждого из рассмотренных каналов. Сравнение полученных результатов с результатами наблюдений позволяет утверждать, что представленная математическая модель заиления судоходных каналов достаточно адекватно описывает указанный процесс.

Для решения поставленной задачи были предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели, а также разработаны новые итерационные методы, позволяющие эффективно решать системы линейных алгебраических уравнений с кососим-метричной матрицей.

В результате проведенных теоретических исследований были получены условия устойчивости для уравнения- переноса с краевыми условиями 3 рода, а также необходимые и достаточные условие сходимости специального класса итерационных методов, позволяющих решать рассмотренные задачи.

Наиболее существенные результаты, полученные автором:

1. Развита теория специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, получены условия сходимости методов, найдены оптимальные итерационные параметры. Численно показана эффективность указанных методов при решении сильно несимметричных СЛАУ по сравнению с классическими треугольными итерационными методами.

2. Построена и численно реализована комплексная математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов, учитывающая наличие движущегося корабля. Проведена серия вычислительных экспериментов, выявившая условия изменения донной поверхности.

3. Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала. Доказано, что при различных аппроксимациях уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 3 рода получаются разностные операторы со специальными свойствами.

4. Проведены теоретические исследования составляющих частей указанной модели, получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.

1. Абалакин И.В., Антонов А.Н., Антонов М.А., Четверушкин Б.Н. Использование кинетически-согласованных разностных схем для описания струйных течений // Математическое моделирование, 2000, т. 12, № 1. С.25-37.

2. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960, 515 с.

3. Азовское море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. Т.5. 238 с.

4. Альтман Э.Р. Расчет солености Азовского моря. Тр. ГОИН., 1975, вып. 125.

5. Амосов. A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. Пособие. -М: Высш. Шк., 1994.-544 с.

6. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М: Мир, 1990, 384 с.

7. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский C.B. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987

8. Атавин A.A., Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Шургин С.М. Численные методы решения одномерных одномерных задач гидродинамики. // Водные ресурсы., 1983, №4, С. 38-47

9. Беклемешев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры- М.: Наука, 1983

10. Белов И.В., Беспалов М.С., Клочкова JI.B., Кулешов A.A., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Транспортная модель распространения газообразных примесей в атмосфере города //Математическое моделирование, М., т. 12, №11, 2000, с.38-46.

11. Белолипецкий В.М., Генова С.Н. Вычислительный алгоритм для определения динамики взвешенных и донных наносов в речном русле // Вычислительные технологии, Т.9, № 2, 2004, с.9-25.

12. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984, 520 с.

13. Бондаренко A.JI. Течения Каспийского моря и формирование поля солености Северного Каспия // РАН, Ин-т водных проблем. М.: Наука, 1993

14. Бочев М.Б. Об устойчивости несамосопряженных разностных схем с М-матрицами для эволюционных краевых задач с эллиптическими операторами по пространству. // Известия Вузов. Математика, 1995, №9 (400), с. 15-22

15. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989.

16. Вабишевич П.Н. Численное моделирование М. Изд. МГУ, 1993

17. Вабищевич П.Н. Итерационные методы решения задач конвекции-диффузии.// Труды Международной летней школы молодых ученых "Итерационные методы и матричные вычисления". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002, стр. 328-367.

18. Вабищевич П.Н. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции/диффузии. М.: Инст. Математ. Моделир. РАН, 1994, № 3, 21 с.

19. Вабищевич П.Н. Разностные схемы с центральными разностями для задач конвекции-диффузии. М.: Инст. Математ. Моделир. РАН, 1993, № 17, 16 с.

20. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963, 488 с.

21. Васильев А.С Гидродинамическая модель Черного и Азовского морей. Труды ГОИН, вып.207, 1999, с.28

22. Владимиров.!*.С., Жаринов В.В. Уравнение математической физики. М: Наука, 2000

23. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984

24. Войтековская Э.А. Обобщение исследований по определению коэффициентов продольной дисперсии и диффузии. // Водоотведение и охрана вод.- Минск.: Наука и техника, 1982, с.33-42

25. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В., Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977

26. Галлахер Д., Хоббс Дж.Л. Распространение загрязнения в эстуарии. — В кн. Математические модели контроля загрязнения воды, под ред. Джеймса А., М.: Мир, 1981, с. 229 243

27. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М: Наука, 1966

28. Георгиевский В.Б. Идентификация и верификация моделей водных экосистем. //Проблемы сохранения, защиты и улучшения качества природных вод. Сб. ст.-М.: Наука, 1982.

29. Герман В.Х. Левиков С.П. Вероятностный анализ и моделирование колебаний уровня моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 288 с.

30. Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат, 1970

31. Гидрометеорологический справочник Азовского моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1962

32. Гиргидов А.Д. Уравнение диффузии с конечной скоростью в двух- и трехмерном пространствах. //Извести АН СССР. 1973, т. 9, № 1, с. 92 -93.

33. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977

34. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1973

35. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, Москва: Мир, 1999

36. Гришанин K.B. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.211 с.

37. Гулин A.B. Теоремы об устойчивости несамосопряженных разностных схем.// Мат. сборник, 1979, т. 110 (152), № 2, с. 297-303.

38. Гулин A.B. Устойчивость разностных схем и операторные неравенства. // Дифф. уравнения, 1979, т. 15, № 12, с. 2238 2250.

39. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001

40. Добросельский К.Г., Просянник А.Г. Симметрия уравнений Рейнольд-са и полуэмпирические теории турбулентной затопленной струи //Моделирование систем, 2004, № 1(7). С.37-43.

41. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. Л., Гидрометеоиздат, 1989

42. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений //ДАН СССН 1962, т. 144, № 1, с. 29 - 32

43. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Физматлит ВО "Наука", 1994. - 436 с.

44. Елизаров A.M. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике : Монография / А. М. Елизаров, А. Р. Касимов, Д. В. Маклаков. М.: Физматлит, 2008. - 478 с.

45. Еремин А.Ю., Капорин И.Е. Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности. в кн. Многопроцессорные вычислительные структуры, Таганрог, ТРТИ, 1985, вып.7, стр. 43-46

46. Жданов Ю.А., Ворович И.И., Горстко А.Б., и др. Имитационная модель экосистемы Азовского моря. Разработка и использование // Известия СКНЦВШ. Естественные науки, 1981, № 2, С.7-13.

47. Жуков В.Т., Новикова Н.Д., Страховская Л.Г., Федорченко Р.П., Фео-доритова О.Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии.// Препринт ИПМ РАН №8, Москва, 2001 г. 11 стр.

48. Залогин Б.С., Косарев А.Н. Моря. М., Мысль. 1999

49. Зенкевич Л.А. Биология морей СССР. М., АН СССР. 1963

50. Знаменский В.А. Гидрологические процессы и их роль в формировании качества воды. Л., Гидрометеоиздат, 1981

51. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 345 с.

52. Инжебейкин Ю.И. Колебания уровня Белого моря. Екатеринбург, УрО РАН. 2003, С. 150.

53. Иппен А.Т. Осолонение Эстуариев // В сборнике Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат., 1970, с. 326-356.

54. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М: Наука, 1984.-752 с.

55. Караушев A.B. Методические основы оценки и регламентирования антропогенного влияния на качество поверхностных вод. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 285 с.

56. Караушев A.B. Модель и численное решение задачи о диффузии в водоеме. Матер. 6 Всесоюз. симпоз. по современным проблемам самоочищения водоемов и регулирования качества воды. 4.1, Талин, ТПИ, 1979, с. 45-47.

57. Караушев A.B. Речная гидравлика. Л., Гидрометеоиздат, 1969

58. Клочкова Л.В., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф. Метод численного расчета конвекции в транспортно-диффузионной модели.// Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". Абрау-Дюрсо, 2001 г, стр. 217-131

59. Козодеров B.B. Описание моделей климата/биосферы. В кн. «Космическое землеведение: информационно-математические основы /Под ред. акал. РАН В.А. Садовничего.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. С. 133-212.

60. Козодеров В.В., Садовничий В.А., Ушакова JI.A., Ушаков С.А. Космическое землеведение: диалог природы и общества. Устойчивое развитие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000.-640 с.

61. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М: Наука, 2000.

62. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика, М: Мир, 1969

63. Криксин Ю.А., Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвекции-диффузии.// Математическое моделирование, 1995, т. 7, № И, стр. 95108

64. Крукиер Л.А., Бочев М.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.// ЖВМ и МФ, т. 37, №11, 1997, стр. 1283-1293

65. Крукиер Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. СКНЦ ВШ. Ест. Науки, 1989, №4, стр. 52-54

66. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.// Изв. ВУЗов. Математика, 1997, №4, стр.77-85.

67. Крукиер Л.А. Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвекции-диффузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВМиМФ, т. 39, №11, 1999, стр. 1821-1827

68. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. ВУЗов. Математика, 1979, №7, стр. 41-52

69. Крукиер Л.А. Об одном достаточном условии сходимости итерационных методов с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. ВУЗов. Математика, 1981, №9, стр. 75-76

70. Крукиер Л.А. О некоторых способах построения оператора В в неявных двухслойных итерационных схемах, обеспечивающего их сходимость в случае диссипативного оператора А.// Изв. ВУЗов. Математика, 1983, №5, стр. 41-47

71. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов, Матем., 2000. №11.- с.62-76.

72. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы// Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 9, с. 3 20.

73. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Сурков Ф.А. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского зали-ва//Морской гидрофизический журнал, 1989, №6, Х1-ХИ, с.55-62.

74. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Никитенко О.Б., Чикин А.Л. Модель термического режима водоема. В кн. Экосистемные исследования Азовского моря и побережья. Отв. ред. Матишов Г.Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2002. С.139-150.

75. Крукиер JI.A., Муратова Г.В., Чикин А.Л. ППП POLLUTION для расчета распространения загрязнения в мелких водо-емах//Вычислительные технологии, т.2, №6, Новосибирск, 1993, Институт вычислит, технологий СО РАН, с. 133-146.

76. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный кососим-метрический итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия высших учебных заведений. Математика, №5, 2001, стр. 36-42

77. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Некоторые вопросы использования проти-вопотоковых разностных схем при инженерных расчетах загрязнения в мелких водоемах. Инженерно-физический журнал. Т. 71, № 2, 1998, с. 349 352.

78. Кукса В.И. Южные моря (Аральское, Каспийское, Азовское и Черное) в условиях антропогенного стресса // С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1994.

79. Куприн B.C. Процесс перемещения и отложения илистых наносов и его значение для заносимости морских каналов // Изв. АН СССР, сер. географ., 1956. № 1. С. 56 73.

80. Курант Р., Фридрихе К.Ю., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики //Успехи математических наук. 1940. - т. VIII, № 125.-е. 125- 160.

81. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // Успехи матем. наук, 1957, т. XII, № 5, с. 123-148.

82. Лазарев A.B., Застенкер H.H., Трубников Д.Н. Аналитические оценки параметров свободной струи одноатомного газа, истекающей в вакуум.// Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 2. Химия. 2003, Т. 44, № 4. С. 238-242.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц.Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988

84. Лебедев В.И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе.// ЖВМ и МФ, 1971, т. И, №2

85. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1970.

86. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М.: Наука, 1972.

87. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме ркружаю-щей среды. М: Наука, 1982.

88. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1989

89. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974

90. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б, Лысоков В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984

91. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залессный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации — Л., Гидрометеоиздат, 1987, 296 с.

92. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы (математические модели и численные эксперименты). Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 296 с.

93. Марчук Г.И., Саркисян Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988

94. Математические модели контроля загрязнения воды // под ред. Джеймса А., М. М.: Мир, 1981

95. Матишов Г. Г., Гаргопа Ю. М., Бердников С. В., Дженюк С. Л. Закономерности экосистемНых процессов в Азовском море. Южн. Научн. Центр РАН.-М.: Наука, 2006

96. Матишов Г.Г. Сейсмопрофилирование и картирование новейших отложений дна Азовского моря//Вестник южного научного центра РАН, Т. 3, №3, 2007, с.32-40.

97. Матишов Г.Г., Польшин В.В.,. Ильин Г.В., Новенко Е.Ю., А. Карагеоргис. Закономерности литохимии и палинологии современных донных отложений Азовского моря. Вестник ЮНЦ РАН. Ростов н/Д: Изд-во ЮНЦ РАН, 2006.

98. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. Москва: Мир, 1991

99. Ортега Джеймс и Рейнболдт Вернер. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Москва: Мир, 1975.

100. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во иностр. литературы., 1963, 220 с.

101. Пантюлин А.Н. Актуальные проблемы мореведения. М., Русский университет. 2002

102. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование решения задач тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984, 288 с.

103. Пейре Роже, Тейлор Томас Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 352 с.

104. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. -Новосибирск: Наука, 1985

105. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1981. 352 с.

106. Пененко В.В., Цветова Е.А. Математические модели для изучения рисков загрязнения природной среды // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 2, с. 136-146.

107. Петров А. Г., Петров. Ц. Г. Вектор расхода наносов в турбулентном потоке над размываемым дном.//Прикладная механика и техническая физика. 2000 г. Т. 41, № 2. с. 102-112

108. Полыпин В.В. Распределение современных донных отложений в открытой части Азовского моря. // Экосистемные исследования Азовского, Черного, Каспийского морей. Том VIII. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2006. С. 42-49.

109. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря: Математические модели. Под ред. И.И. Воровича. М.: Наука, 1981

110. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.-М.: Мир, 1972

111. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

112. Самарская Е.А., Сузан'Д.В., Тишкин В.Ф. Построение математической модели распространения загрязнения в атмосфере.// Математическое моделирование, 1997, Т. 9, № 11, стр. 59-71

113. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем, М: Наука, 1971

114. Самарский A.A. Введение в численные методы. М: Наука, 1987

115. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений М: Наука, 1978

116. Самарский A.A. Некоторые вопросы теории разностных схем //ЖВМиМФ, 1966, т. 6, № 4, с. 665 682.

117. Самарский A.A. Теория разностных схем М: Наука, 1989

118. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Изд. УРСС, Москва, 1998

119. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями, Минск, 1998

120. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

121. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989

122. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: Наука, Физматлит, 1997.

123. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978

124. Симонов А.И. Двухслойная модель динамики и качества вод сильно стратифицированного водоема. М.: ВЦ АН СССР, 1982

125. Современные проблемы математического моделирования /отв. ред. О.М. Белоцерковский, В.А. Гущин; Ин-т автоматизации проектирования. -М.: Наука, 2005.

126. Сухинов А.И., Алексеенко Е.В. Сравнительный анализ математических моделей турбулентного обмена в задачах морской гидродинамики на примере Азовского моря и лагуны Этан Де Бер. // Известия ЮФУ. Технические науки № 10, 2008

127. A.A. Сухинов, Реконструкция экологической катастрофы в Азовском море на основе математических моделей. Математическое моделирование, 20:6 (2008), стр. 15-22.

128. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна «Акванавт». // Океанология, 2003, т. 43, №1, с.44-53.

129. Сухинов А.И., Васильев B.C. Прецизионные математические модели мелких водоемов// Математическое моделирование, 2003, №10, С. 1734

130. Сухинов А.И., Сурков Ф.А., Белоконь A.B., Наседкин A.B. Реализация проектов геоэкологической направленности на корпоративной кафедре математического моделирования и прикладной математики РГУ, ТРТУ и ЮРГТУ. Издательство СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону, 2005.

131. Тамсалу Р.Э. Моделирование динамики и структуры вод Балтийского моря. Рига: «Звайгзне», 1979

132. Тартышников Е.Е. Краткий курс численного анализа, Москва: ВИНИТИ, 1994

133. Тихонов А.Н., Самарский. A.A. Уравнение математической физики, М.: Изд-во МГУ, 1999

134. Ульянов О.В. Об одном классе течений вязкой жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2003, т. 9, № 2. С. 129-136.

135. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Спб: Лань, 2002, 736 стр.

136. Филиппов Ю.Г. Об одном способе расчета морских течений //Тр. ГО-ИН. 1970. Вып. 103. С.87-94.

137. Фролов A.B. "Моделирование многолетних колебаний уровня Каспийского моря: теория и приложения". Москва, ГЕОС, 2003

138. Фрязинов И.В. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уравнения параболического типа //Журн. выч. математики и матем. физики— 1969, т. 9, № 6, с. 1316- 1326.

139. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990

140. Халфин И.Ш. Моделирование и расчет размыва дна вокруг вертикального цилиндра большого диаметра под воздействием волн//Водные ресурсы, 2007, Е. 34,в № 1, с.56-67.

141. Хейгеман JI. Янг Д. Прикладные итерационные методы, Москва: Мир, 1986

142. Хорн Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989

143. Хрусталев Ю.П., Ивлиева О.В. Проблемы антропогенной морской се-диментологии (на примере Азовского моря). Ростов-на-Дону: Изд. «Гефест», 1999, 196 с.

144. Цветова Е. А. Математическое моделирование циркуляций вод озера // Течения в Байкале. Новосибирск : Наука, 1977. - С. 63-81.

145. Цветова Е. А. Нестационарные ветровые течения в озере Байкал //Численные методы расчета океанических течений. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1974. - С. 115-128.

146. Черное море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Том IV. Вып.1. Гидрометеорологические условия. // С-Пб: Гидрометеоиздат, 1991, 430 е.

147. Черное море. Справочное издание. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Том IV. Вып. 2. Гидрохимические условия и океанологические основы формирования биологической продуктивности. // С-Пб: Гидрометеоиздат, 1992, 220 с.

148. Чикин А.Л. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах с большой неоднородностью глубин// Водные ресурсы, 2005. Т. 32. № 1.С. 55-60.

149. Чикина Л.Г. Двухпараметрические итерационные методы. // Вычислительные технологии. Том 11, № 4, 2006. с.87-101.

150. Чикина Л.Г, Чикин А.Л. Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США). // Математическое моделирование. -2001. Т.З. - №2. - С.93-98.

151. Чикина Л.Г. Двуциклические треугольные кососимметрические итерационные методы решения сильно несимметричных систем. // Тез. докл. на школе-семинаре молодых ученых. Абрау-Дюрсо, 1997. С.155-159

152. Чикина JT.Г. Кососимметричные итерационные методы решения СЛАУ с оператором метода Е + тКн. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. 2000,Т.7, Выпуск 2, С 443444.

153. Чикина Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 2, стр. 20-25.

154. Чикина Л.Г. Трехмерная математическая модель переноса вещества в Мобилском заливе. //Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, №3, 2006, с.52-57.

155. Чикина Л.Г., Шабас И.Н., Условия диссипативности и М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода. // Вычислительные технологии, т. 10, №6, 2005

156. Чикина Л.Г., Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // Вычислительные технологии. Том 9, №5, 2004. -с.102-113.

157. Чугаев P.P. Гидравлика: Учебник для вузов. Л.: Энергоиздат, 1982. 672 с.

158. Шамсутдинов Э.В. Моделирование стационарного течения объемной осесимметричной свободной затопленной струи вязкой жидкости. // Фундаментальные исследования, № 10, 2006. С.68-69.

159. Шаповалов П.Б. Заносимость Ейского канала // Тр. АзЧерморпути. 1957. 129 с.

160. Шишкин А.И. Основы математического моделирования конвективно-диффузионного переноса примесей. Л., ЛТИ ЦПБ, 1976

161. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий.//Дифференциальные уравнения, 1996, 32 (5), 689-701.

162. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук А.Г., Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука, 1989.1

163. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

164. Alan С. Avoiding BDF stability barriers in the MOL solution of advection-dominated problems.// Appl. Numer. Math.-1995-17, N 3- c.311-318.

165. Alefed G., Varga R.S. Zur konvergenz des symmetrischen relaxation sver-fahrens, Numer. Math., vol 25, p.291-295

166. Andreas Frommer and Daniel B. Szyld, H-splittings and two-stage iterative metods, Numer. Math., 63, pp.345-356, 1992

167. Axelsson O. A generalized SSOR method.// BIT, 1972, 12, p. 443-467

168. Axelsson, 0. On Preconditioning and Convergence Acceleration in Sparse Matrix Problems, CERN Technical Report 74-10, Data Handling Division,Geneva. 1974

169. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994

170. Axelsson O., Vasilevski P.S. A black box generalized conjugate gradient solver with inner iterations and variable-step preconditioning.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1991, №12, p.625-644

171. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijk-hout V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA, 1994

172. Bai Z.Z., Golub G., Ng M. Hermitian and Skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive definite systems, SIAM J.Matrix Anal.Appl., 24, 2003, pp.603-626

173. Blumberg, A.F., Mellor, G.L. A Description of a three-dimensional coastal ocean circulation model. In: Heaps, N.S. (Ed.), Three-Dimensional Coastal Ocean Models, American Geophysical Union, Washington, 1987,DC, pp. 1-16.

174. Bottom M. A variant of the ADI method for two-phase flow calculations //Computers Fluids 1994.- V. 23, N 2. - P. 305 - 321.

175. Buleev N.I. A numerical method for solution of two-dimensional and three -dimensional equations of diffusion.//Math. Sb., 1960, №51, p. 227-238

176. Gene H. Golub; Dianne P. O'Leary SIAM Review, Vol. 31, No. 1. (Mar., 1989), pp. 50-102.

177. Cesari L. wrote the paper Sulla risoluzione dei sistemi di equazioni lineari per approssimazioni successive (La Ricerca Scientica, 8, 1937, pp. 512522

178. Chan T.F., Galloloulos E., Simoncini V., Szeto T., Tong C.H. A quasiminimal residual variant of the BiCGSTAB algorithm for nonsymmetric systems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1994, №15, p. 338-347

179. Chow L.C., Tien C.L. An examination of four differencing shemes for some elleptic-type convection equations // Numer. Heat Trasfer., 1978. -V.l.-P. 87-100.

180. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method. Computational methods in applied mathematics. V.3 (2003), N. 4.p. 647650.

181. Cross M., Moscardini A.O. Learning the Art of Mathematical Modelling.— N.Y.: Wiley, 1985.

182. D'Sylva E., Miles G.A. The SSOR iteration scheme for equations with cr-orderings.//Computer J., 1963, №6, p.271-273

183. DeLong M. SOR as preconditioner, Doctor of Philosophy (Computer Science) Dissertation, University of Virginia, 1997

184. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. SLAM, Philadelphia, 1997

185. Dey S., Sarkara A. Computation of Reynolds and boundary shear stress in submerged jets on rough boundaries // Journal of Hydro-environment Research, Volume 1, Issue 2, 4 December 2007, P. 110-117

186. Dongarra Jack., J. Duff Iain., S. Sorensen Danny C., Van der Vorst H. Numerical Linear Algebra for high-performance computers. SLAM, Philadelphia, 1998

187. Douglas J., Rachford H., On the numerical solution of heat conductiob problems in two and three space variable. // Trans. Amer. Math. Soc., 1956,82,2

188. Dube S.K. & ets. Numerical modeling of storm surges in the Arabian Sea///Appl. Math. Model, 1985,v.9,4, pp. 289-294.

189. Ehrilich L.W. The block symmetric successive overrelaxation method.//J. Soc. Indust. Appl. Math. 12, 1964, 807-826

190. Evans, D. J. (1968) "The Use of Pre-conditioning in Iterative Methods for Solving Linear Equations with Symmetric Positive Definite Matrices," J. Inst. Maths. Applies. 4, pp. 295-314.

191. Elman H.C. A stability analysis of incomplete LU factorization.// Math. Comp., 1986, №47, p. 191-217

192. Elman H.C. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for nonselfad-joint linear systems, BIT, 29(4), 1989, p.890-915

193. Flather R.A., Heaps N.S. Tidal computations for Morecable bay. Geophys. J. of the Royal Ast. Sol., 1975, v. 42, 2, pp. 489-517.

194. Frankel S.P. Convergence Rates of Iterative Treatments of Partial Differential Equations. Math. Tables Aids Comput.,4: 65-75, 1950

195. Golub G.H., Van der Vorst H. A. Closer to the solution: Iterative linear solvers.// in I.S. Duff and G.A.Watson (eds), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 63-92

196. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part I, Numer. Math., 1961, V.3, p. 147-156

197. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part II, Numer. Math., 1961, V.3, p. 157-166

198. Golub Gene, Van Loan Ch. Matrix Computations, Oxford, North Oxford Academic Publishing, 1983

199. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 1997

200. Gresho P.M., Lee R.L. Don't suppress the wiggles they're telling you something! // Computers Fluids - 1981.- V. 9-P. 223-253.

201. Grote M., Huckle T. Parallel preconditioning with sparse approximate inverses.// SIAM J. Sei. Comput., 1997, №18, p. 838-853

202. Hackbush W. Iterative solution of large sparse systems of equations Berlin: Springer-Verlag,- 1994.-429 p.

203. Hadjidimos A. A survey of the iterative methods for the solution of linear systems by extrapolation, relaxation and other techniques.// J. Comput. Appl. Maths., 1987, №20, p. 37-51

204. Hadjidimos A. Accelerated Overrelaxation method.// Math. Comp., 1978, №32, p. 149-157

205. Hadjidimos A., Psirmani A., Yeyios A.K. On the convergence of the modified accelerated overrelaxation method (MAOR).// Applied Numerical Math., 1992, №10, p. 115-127

206. Hadjidimos A., Yeyios A. On Some Extensions of the Accelerated Overrelaxation (FOR) Theory. // Internat. J.Math. & Math. Sei., 1982, №5,p.49-60

207. Hadjidimos A., Yeyios A.K. Symmetrie accelerated overrelaxation method (SAOR).// Math. Comput. Simulation, 1982, №24, p. 72-76

208. Harris Courtney K., Wiberg Patricia L. A two-dimensional, time-dependent model of suspended sediment transport and bed reworking for continental shelves//Computers & Geosciences, V. 27, Issue 6 , July 2001, p. 675-690

209. Hayes L.J., and Young D.M. The Accelerated SSOR Method for Solving Large Linear Systems. CAN-123, Center for Numerical Analysis< University of Texas at Austin, 1977

210. Householder, A.S., Principles of numeric analysis, McGraw-Hill, 1953

211. Huleta C., Briensa C., Berrutia F. and Chanb E. W. Effect of a shroud on entrainment into a submerged jet within a fluidized bed //Chemical Engineering and Processing: Process Intensification, Volume 47, Issues 9-10, September 2008, P. 1435-1450

212. Ipsen I., Meyer C. The ides behind Krylov Methods. Technical Report CRSC-TR97-3 Center of Research in Scientific Computation. Department of Mathematics. North Carolina University.

213. Jacoby J.L.S., Kowalik J.S. Mathematical Modeling with Computers. -Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, Inc, 1980

214. Jiang J., Fissel D.B., TophambD. 3D numerical modeling of circulations associated with a submerged buoyant jet in a shallow coastal environment // Estuarine, Coastal and Shelf Science, Volume 58, 2003. P. 475-486

215. Johnson C.R. Inequalities for a complex matrix whose real part is positive definite.//Trans. Amer. Math. Soc. 1975. v. 212. p. 149-154.

216. Kahan W. Gauss-Seidel Methods of Solving Large Systems of Linear Equations. Doctoral Thesis, University of Toronto, Toronto, Canada, 1958

217. Kaporin I.E., A practical algorithm for faster matrix multiplication, Numerical Linear Algebra Appl., 1999, v.6, 687-700

218. Kaporin. I.E. Explicitly preconditioned conjugate gradient method for the solution of unsymmetric linear systems, Int.J.Comp. Math., 40, 1992, p. 169-187

219. Kaporin. I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition.- Numer. Linear Algebra Appls., N 1, 1999.

220. Karakashian O.A. On Runge-Kutta methods for parabolic problems with time-dependent coefficients // Math. Comp.- 1986.-175 P. 77 - 101.

221. Karamzin Yu. N. Zakharova I.G. On new additive difference method for parabolic equations, Math. Mod. Meth. Appl. Science., 6 (1996), pp. 353363.

222. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Block SSOR preconditionings for high order 3D FE systems.// BIT., 1989, v. 29, №4, p. 805-823

223. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Factorized sparse approximate inverse preconditionings.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1993, №14, p. 45-58

224. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.// Applied Numerical Mathematics, 2002, №41, p. 89-105

225. Krukier L.A., Nicolaev I.A., Surkov F.A., Dombrovsky Yu.A. Numerical methods in water ecology-Math. Modeling and Appl. Math., 1992, IMACS Elsevier Science Publishers B.V. North Holland, p. 337-343.

226. Kuznetsov Y.A. Matrix Iterative Methods in subspace.// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Warszawa, August 16-24, 1983, North Holland, Amsterdam

227. Lanczos C. Chebyshev polynomials in the solution of large-scale linear systems.// Toronto Symposium on Computing Techniques, 1952, p. 124133

228. Lehman R.S. Computer, Simuliton and Modeling: An Introduction-N.Y.: Wiley, 1977

229. Liu Wen-Cheng, Hsu Ming-His, Kuo Albert Y. Modelling of hydrodynamics and cohesive sediment transport in Tanshui River estuarine system, Taiwan/Marine Pollution Bulletin, V. 44, Issue 10 , October 2002, p. 1076-1088.

230. Logan J.D., Zlotnik V. The convection-diffusion equation with periodic boundary condition.// Applied mathematics letters, 1995, v. 9, №3, p. 55-61

231. Lumborg U. and Windelin A. Hydrography and cohesive sediment modelling: application to the Rjamo Dyb tidal area .Journal of Marine Systems Volume 38, Issues 3-4 , January 2003, Pages 287-303.

232. Lutz A. Numerical solution of second-order elliptic equations on plane domains. Math. Model, and Numer. Anal., 1991 - 25, N 2, P.169- 191.

233. Lynn M.S. On the equivalence of SOR, SSOR and USOR as applied to <r-ordered systems of linear equations.// Computer J., 1964, №7, p.72-75

234. Mahieux G., Lerche I. Dynamic modeling of turbidite erosion, transport and deposition in three dimensions//Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Series IIA - Earth and Planetary Science, V. 331, Issue 5,15 September, 2000, pp. 345-351.

235. Malcherek A., LeNormant C., Peltier E., Teisson C., Markofsky M and Zielke W. Three Dimensional Modeling of Estuarine Sediment Transport.// Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.42-55.

236. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the non-symmetric Tchebychev iteration.// Numerical Math., 1978, v. 31, p 183208

237. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems.// Math Comp., 1980, V. 34, p. 473-497

238. Manteuffel T.A. The Tchebychev iteration for nonsymmetric linear systems.// Numerical Math., 1977, v. 28, p. 307-327

239. McDonald E.T., Cheng R.T. Issues Related to Modeling the Transport of Suspended Sediments in Northern San Francisco Bay, California. // Estuarine and Coastal Modeling. 1998, pp.551-563

240. McDowell L.K. Variable Successive Overrelaxation. // Report №244, Dept. Computer Sciences, University of Illinois, Urbana, IL, 1967

241. Meijerink J.A., Van Der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix.// Math. Comp., 1977, №31(137), p. 148-162

242. Meurant G. Computer solution for large linear systems. Elsevier Science B.V., 1999

243. Mitchel A.R. Computational mathods in partial differential equatin.// j. Wiley and SONS, 1969

244. Morton K.W. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chapman&Hall, 1996

245. Nachtigal N. A look-ahead variant of the Lanczos algorithm and its application in quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems, Ph. D. Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA, 1991

246. P. Stein. Some general theorems on iterates. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 48(1): 82-83, January 1952.

247. Paige C.C., Saunders M.A. Solution of sparse indefinite systems of linear equations.// SIAM J. Numerical Anal., 1975, №12, p. 617-629

248. Pandoe W.W., Edge B.L. Three-dimensional hydrodynamic model, study cases for quarter annular and idealized ship channel problems//Ocean Engineering, 30 (2003), p. 1117-1135

249. Pandoe Wahyu W. and. Edge Billy L. Cohesive sediment transport in the 3D-hydrodynamic-baroclinic circulation model, study case for idealized tidal inlet //Ocean Engineering, Volume 31, Issues 17-18 , December 2004, P. 2227-2252.

250. Parlett B.N., Taylor D.R., Lin Z.A. A look-ahead Lanczos algorithm for unsymmetric matrices.// Math. Comp., 1985, №44, p. 105-124

251. Peaceman D. W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equation. // J. Soc. Indust. Appl. Math.,1955, v.3, Nol, p. 28-41

252. Okumura H, Kawahara M. Stabilized Bubble Element for Incompressible Navie-Stokes // Equation Finite Element in Flov Problem 2000. Austin, Texas

253. Raithby G.D. A critical evaluation of upstream differencing applied to problems involved fluid flow// Comp. Math. Appl. Mech. Engrg-1977-10.-p. 54 -63.

254. Raithby G.D. Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow // Comp. Math. Appl. Mech. Engrg.-l 976.-9.-p. 153 -164.

255. Russell D.B. On obtaining Solutions to Navier-Stokes equations with automatic digital computers.// Aeronautical research council report R&M 3331 Engineering Laboratory, Oxford, 1963

256. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.// SIAM J. Scientific Computing., ,1993, №14, p. 461-469

257. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1995

258. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical Computing., 1986, p. 856-869

259. Saad Y., Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the 20th century. // J. of Computanional and Applied Mathematics, Elsevier Science, 2000, №123, p. 1-33

260. Schroeder W. W., Pennock J. R. and Wiseman W. J. Jr. A Note on the Influence of a Deep Ship Channel on Estuarine-Shelf Exchange in a Broad, Shallow Estuary. Coastal and Estuarine Studies. American Geophysical Union, 1996, V. 50, p. 159-170.

261. Schwarze R., Klostermanna J.,Bruckera C. Experimental and numerical investigations of a turbulent round jet into a cavity // International Journal of Heat and Fluid Flow, Volume 29, Issue 6, December 2008, P. 1688-1698

262. Segal A. Aspects of numerical methods for elliptic singular pertubatin problems // SIAM J. Sci. Stat. Comput.-1982.- V. 3, N 3. P. 327 349.

263. Sheldon J. On the numerical solution of the elliptic difference equations.// Math Tables Aids Comput. 1955, 9, p. 101-112

264. Sonnoveld P. CGS: a fast Lanzos-type solver for nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1989, №10, p. 36-52

265. Southwell R.V. Relaxation Methods in Theoretical Physics. Clarendon Press, Oxford, 1946

266. Taussky O. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices.// Adv. Math., 1968, v.2, p. 175-186

267. Taylor P.J. A generalization of Systematic Relaxation methods for consistently ordered matrices.// Num. Math., 1969, №13, p. 377-395

268. Todd J. The condition of a certain matrix.// Proc. Cambridge Philos., 46, p.l 16-118

269. Turing, A. M. (1948) "Rounding-off Errors in Matrix Processes," Quart. J. of Mech. and Appl. Math. 1, pp. 287-308.

270. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant if Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1992, №3, p. 631-644

271. Van Der Vorst H.A. Iterative solution methods for certain sparse linear systems with a non-symmetric matrix arising from PDE problems.// J. Comput. Phys., 1981, №44, p. 1-19

272. Van der Vorst H.A. Krylov Subspace Iteration.// Computing in Science and Engineering, Vol. 2(1) January/February 2000, p. 32-37

273. Van der Vorst, H.A. Vuik C. GMRESR: a family of nested GMRES methods.//Numerical linear Algebra with Applications, 1994, №1, p. 369-386

274. Van Rijn L.C. Principles of Sediment Transport in Rivers, Estuaries and Coastal Seas. Aqua Publications, Amsterdam, The Netherlands, 1993.

275. Varga R.S. Factorization and normalized iterative methods.// R.E. Langer (Ed), Boundary Problems in Differential equation, University of Wisconsin Press, Madison, 1960, p. 121-142

276. Varga R.S. Matrix iterative analysis, Aprentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962

277. Varga R.S., Eiermann M., Niethammer W. Acceleration of Relaxation Methods for Non-Hermitian linear systems.// SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1991, №13, p. 979-991

278. Velasco F.J.S., Prâa C. L. and Herranza L. E. Expansion of a radial jet from a guillotine tube breach in a shell-and-tube heat exchanger// Experimental Thermal and Fluid Science, Volume 32, Issue 4, February 2008, P. 947961

279. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996

280. Whitehouse R., Soulsby R.R., Roberts W., Mitchener H. Dynamics of Es-tuarine Muds. Thomas Telford Publ., London, UK, 2000.

281. Woznicki Z.I. Matrix splitting principles.// International Journal of mathematics and mathematical sciences, № 28(1.4.5), 2001, p.251-284

282. Woznicki Z.I. Nonnegative splitting theory.// Japan Journal of industrial and applied mathematics, 1994, V.l 1, №2, p. 289-342

283. Woznicki Z.I. The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the illustration of the SOR iterative method.// Math. Comp., 62, 1994, p. 619644

284. Wu W., Rodi W., Wenka Th. 3D numerical modeling of flov and sediment transport in open channels. J. of Hydr. Endineering, 2000. Vol. 126, №1, p.4-15

285. Young D.M. Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type, Doctoral Thesis, Harvard University, Cambridge, MA, 1950

286. Young D.M. Iterative Methods for Solving Partial Differential equations of Elliptic Type. Trans. Amer. Math. Soc., 1954, 76: p. 92-111.

287. Young D.M. Iterative solution of large linear iterative systems.// Academic Press, New York, 1971

288. Young D.M. On accelerated SSOR method for solving large linear systems.// Advances in Mathematic, V.23, 1977, p.215-271

289. Young D.M. On the accelerated SSOR method large linear system. Adv. in Mathematics 23, 1977, p.'215-271

290. Zhang J. Accelerated high accuracy multigrid solution of the convection-diffusion equation with high Reynolds number.// Numerical methods Partial differential eq. 1997, № 77(1), p. 73-89

291. Zhang J. Preconditioned iterative methods and finite difference schemes for convection-diffusion.// Applied mathematics and computation, 109(2000) p. 11-30

292. Zheleznyak VJ The mathematical modeling of radionuclide transport by surface water from the vicinity of Chernobyl Nuclear Power Plant. Condensed Matter Physics, №12, 1997, pp. 37-50