автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидрофизических процессов в мелких водоемах

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Р Г Б ОД РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

1 о Ш ^ На правах рукописи

КРУКИЕР ЛЕВ АБРАМОВИЧ

УДК 519.6 : 532.5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В МЕЛКИХ ВОДОЕМАХ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учепой степени доктора физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на Вычислительном центре Ростовского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н.В.Арделян;

доктор физико-математических наук профессор А.Д.Ляшко; доктор физико-математических наук В.Ф.Тишкин.

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения Российской Академии наук

Защита состоится "_" ¿Т/С^ГЯ^Х-1994 г. на заседании

специализированного совета Д003.91.01 при Институте Математического Моделирования Российской Академии Наук по адресу:

г. Москва, Миусская площадь, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им.Ц.В.Келдыша Российской Академии Наук.

Автореферат разослан "

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физико-математических наук ¿^^/Х^* Н. В. Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Реализации любого крупного научно-техни-¡еского или народно-хозяйственного проекта, связанного с существенным воздействием на природную среду, должно предшество-тть создание математической модели. позволяющей оценить все 1спекты этого воздействия как в перспективе, так и в экстремальных ситуациях. Проведение на основе математического моде-шрования серии вычислительных экспериментов позволяет оценить злияние проектируемых изменений и других внешних факторов на зб'ект исследования, предсказать те возможные изменения в эко-югической ситуации, которые могут произойти при реализации 1роекта.

Экологическая ситуация в мелких водоемах (небольших озе-зах, водохранилищах, морях) может быстро меняться, при измене-тп внешних факторов, в силу низкой инерции экосистемы. Вместе з тем, сама экологическая ситуация в мелких водоемах очень тпряженная, т.к. проведенные ранее работы, связанными с из'-^тием части стона рек, впадающих в эти водоемы, строительством з них гидросооружении и другие мероприятия, изменили гидрофизические характеристики водоема и привели к ухудшению в нем экологической ситуации. Такая ситуация приводит к выдвижению эазличных проектов реконструкции экосистем таких водоемов, тредлагающих постройку других гидротехнических сооружений, су-кающих или вовсе отделяющих какую-то часть водоема, с целью улучшения в нем экологической ситуации или повышения каких-то эго экономических показателей.

Однако, реализация таких проектов без научно-обоснованной экспертизы может привести к необратимым явлениям в гидрологин зодоема. Поэтому, знание пространственно-временного распределения я изменения гидрофизических характеристик водоема необходимо при экспертизе.

Таким образом, методология математического моделирования, предложенная и обоснованная академиком Л.А.Самарским, является гем инструментом научных исследований, который позволяет дать иаучно-Ьбоснованную оценку тех или иных мероприятий, их экологических последствий и экономической эффективности.

Цель работы. Целью работы является создание, обоснование и численная реализация на ПЭВМ математической модели гидрофизики мелких водоемов, основанной на применении метода сеток для решения системы квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в частных производных в многосвязной области произвольной формы с краевыми условиями I—III рода на границе.

В качестве примера использования математической модели рассмотрено Азовское море, для которого предлагаются различные проекты рекострукции его экосистемы.

Нетоди исследования. Основой теоретического исследования рассматриваемых разностных схем и итерационных методов их решения является операторный подход, предложенный академиком А.А.Самарским и развитый его учениками l,"s)i а также общая теория устойчивости операторно-разностных схем 6), теория итерационных методов 7> и теория матриц 8>.

Научная новизна. Предложен новый способ построения разностных схем для систем квазилинейных дифференциальных уравне-

11.Самарский A.A. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1983, 616с .

2).Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.- М.: Наука, 1975, 351с.

3).Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений,- Ы.: Наука, 1976, 352с.

4'.Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский A.n., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы.- Диф. ур-ния, 1981, т.17, N7, с 1317-1327

5,.Арделяк Н.В., Космачевский К.В., Черниговский C.B. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики.-П.: Изд.МГУ, 1987, -112с.

6'.Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -

М.: Наука, 1973, 415с.

7'.Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - M , Наука, 1978, - 592 с.

Маркус П., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам.- 11 . Наука, 1972, 232с.

ний специального вида [1], к которым, в частности, относится преобразованные уравнения мелкой воды, где разностные операторы по пространству обладают некоторыми наперед заданными свойствами (диссипативность, кососимметрия, монотонность). При разносе нелинейных членов на разные слои по времени и использования неявной разностной схемы удается показать, что в случае применения центрально-разностной схемы разностное решение ограничено, а в случае использования схемы с весами для проти-вопотоковой аппроксимации задачи при <г * 1/2 выполняется необходимое условие устойчивости.

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений с несимметричной исходной матрицей было разработано в рамках теории итерационных методов 7> несколько вариантов треугольного 12,4,6,9) и попеременно-треугольного итерационных методов, являющихся для несимметричного случая аналогом метода Зейделя и ПТМ.

Достоинство и новизна предложенных методов в том. что найденный вид оператора В, обеспечивает анализ методов в рамках "энергетического подхода" , в отличии от сходных исследований *>-1С>) в рамках "спектрального подхода", который менее конструктивен.

Кроме того, отличительной особенностью треугольных методов является экспериментально наблюдающаяся быстрая сходимость на начальных итерациях, что позволило использовать для их ускорения многосеточную процедуру {11, 14]. Предложенный вид несамосопряженного попеременно-треугольного оператора В, позволил использовать его в качестве переобуславливателя при решении сильно несимметричных задач методом GMRES (я), что повысило эффективность этого алгоритма.

Для реализации в виде ППП этих алгоритмов был проведен модульный анализ итерационных схем [5], используемый в дальнейшем для построения ППП по принципу "сверху-вниз" [8, 10J и

Albrecht P., Klein М.Р. Extrapolated iterative methods for linear systems.-SIAM J.Humer. Anal., 1984. v.21. 1, p.192-201

101.Hadjidimos A. Accelerated overrelaxation method.-Math.

Comp., 1978, V.32, p. 149-157.

создан ППП "ЭК01.10Д", предназначенный для решения задачи математического моделирования гидрофизических характеристик мелкого водоема.

Практическая и теоретическая ценность. Предлагаемый под ход и построению, разностных схем может быть применен не толью для решения уравнений "мелкой воды" [3], но и к другим задачам, уравнения которых удовлетворяют условиям, описанным в [1 Используемый для оценки роста разностного решения метод расширяет набор уже известных методов исследования устойчи вости разностных схем, а предложенные для решения систем ли нейных алгебраических уравнений с несамосопряженной исходно; матрицей итерационные методы, представляют самостоятельный ин терес и могут быть использованы при составлении ППП дл; численного решения задач линейной алгебры.

Расчеты течений, перепада уровня и распространения заЬ рязнения в Азовском море, проведенные с помощью ППП "ЭКОМОД" сравнивались с результатами натурных наблюдений и показали хо рошее количественное и качественное совпадение. После такс: проверки адекватности математической модели и алгоритмов е реализации, были проведены расчеты гидрофизических характеристик Азовского моря, моделирующие два варианта постройк дамбы в гирле Таганрогского залива [7] и в Керченском пролив [9], что позволило провести научно-обоснованную экспертиз; этого проекта.

Реализация результатов работы. Математическая модель гид рофизики мелкого водоема реализована в виде пакета прнкладнч программ, написанного на языке PASCAL для ПЭВМ [12]. Модульна структура пакета и развитый интерфейс с пользователем позволп ет проводить на нем экспертизу различных вариантов реконструк ции экосистемы мелкого водоема.

В качестве исходных данных вводится геометрия конкретног водоема, значения глубин в узлах сетки, аппроксимирующей это водоем, указываются точки впадания рек и участки открытой гра ницы, задаются расходы и ширина рек, скорость и направлена ветра над водоемом, шаги сетки по пространству и времени, на чальное состояние переменных, используемых в расчете [13].

В случае моделирования каких-то гидросооружений в водоо ме, указываются точки сетки, через которые они проходят,

правила их эксплуатации формализуются в специальном алгоритме, описывающим их функционирование 115).

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях:

- IFIP TTG 2.5 Working Conference 6, 1991 (IFIP)

- Math. Modelling and Appl. Math., 1992 (IMACS)

- Int. Syfnp. on Hyd. , Chem. and Biol. Proc. of Transform, and Transport of Cont. in Aquatic Environments, 1993 (IAHS)

на Всесовэных, Республиканских и региональных конференциях и школах-семинарах:

- Численные методы механики вязкой жидкости, г. Кунгур, 1976

- Математическое моделирование и проблемы рационального природопользования, п.Абрау-Дюрсо, 1986-1992

- Географические и экономические проблемы изучения и освоения южных морей, г.Ленинград, 1987

- научная сессия Даг. филиала АН СССР, г.Махачкала, 1988

- Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС, г.Рига, 1990

- Комплексы программ математической физики, г.Ростов н/Д, 1990

- Математическое моделирование и вычислительный эксперимент, г. Казань-, 1991

- Численные методы механики вязкой жидкости, г.Новосибирск, 1992

а также на научных семинарах:

- лаборатории разностных методов ВМК МГУ, 1981 (рук. с.н.с. Е.С.Николаев)

- кафедры вычислительной математики КГУ, 1986 (рук.

проф.А.-Д.Ляшко)

- отдела численных методов института математики АН БССР, 1987 (рук. проф.В.М.Абрашин)

- ВЦ СО АН СССР, 1991 (рук. проф. В. В. Шайд-уров)

- ИММ РАН, 1994 (рук. акад.А.А.Самарский)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы. Структура и об'ем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, изложена на 245 страницах машинописного текста, включает 46 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 2?5 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность и • важность темы исследования, дается обзор результатов по методам решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной исходной матрицей и обсуждаются полученные в диссертации результаты ,

Первая глава состоит из четырех разделов, в первом из которых дается краткое описание теории морских течений и ее особенностей в мелких водоемах. Приводятся уравнения мелкой воды, записанные как в дивергентной, так и в недивергентной форме, получаемые при интегрировании уравнений Навье-Стокса по вертикали при некоторых стандартных, для мелких водоемов, предположениях о течениях, давлении и силах, действующих на водоем.

Вместе с тем, как дивергентная, так и недивергентная форма записи уравнения не позволяет построить разностную схему с наперед заданными свойствами. Поэтому, с помощью подстановки Н — Н1/2Н1,г, где Н - полная глубина водоема (положительная функция), дивергентная форма записи уравнения преобразуется к необходимому, для построения разностной схемы, виду (1), а с помощью подстановки с2 ■» 2gH недивергентная форма записи преобразуется к виду (2).

Во втором разделе этой главы выводятся дивергентная и недивергентная форма записи уравнений теплопроводности и конвекции-диффузии и с помощью той же подстановки дивергентная форма этих уравнений преобразуется к зиду (1).

Исходные уравнения, которые будут решаться, имеют вид

+ иЁЙ + М + у ) + -

и ах еу ау ' эх

аи эТ , 1 , аии 2 4 э5Г

- ыУ +■ А ЛИ -

ау а! , 1 , ЭиУ т 2 1 И

- ы5 + А^У

'¿Те + вон1'^ эх

ЭБ аТ + § <«1 +

ат Ш +1 <»8+

ах

+ и 12 + ^ - V «V ) + 8н"а!£

Эх еу эу Б эу

♦ - о _ из

пу

относительно неизвестных 5 = ( О, V, Б, Т ).

Если же в качестве неизвестных рассматриваются переменные 0 = { и.у.с.Б.Т], то система уравнений, которая будет решаться имеет следующий вид

эи М + ах + ау - ас ьлг - с-г— + А Ди - йи + ах 1 а. г„х + 2ах

ЭУ эЕ + и^ ах + ау - ас -ии - с^- + А Ду - dv + в у I ТпУ + Йэу

.ас ах аис + avc т ах ау

*ау

эв вГ + эх + ау - к ДБ - цБ + Г (х.у.Ь); в в

эт эГ + ах + ау - ктДТ + ^(х.у.Ь);

+ и^

(2)

В системах (1) и (2) Н = Ъ + С - полная глубина водоема, Ь -

Iе 1 5

глубина, ^-перепад уровня, и - ^ /ийг, V - ^ j'vdz -осредненные

— —л ~ —к

по вертикали скорости, и = Н1/2и, V Н V, с2 = 2g(£ + Ю,

Т = ^ Б = ^ J'Sdz - осредненые по вертикали температура и

концентрация вещества, Б = Н1/23, Т = Н1/аТ, А1 , кз, кт - соответственно, коэффициенты горизонтального„турбулентного обмена количества движения, вещества и температуры, ы -постоянная Кориолиса, Д - оператор Лапласа, х^^ - проекции на оси Ох и Оу силы трения ветра о поверхность моря. Эта величина определяется в виде нелинейной зависимости от скорости ветра И

х = у|

_п 1

V».

Ив1 Vй'

3.25"10"

где

< "в„

К >

Ву

В

Вх

ординат

- проекции скорости ветра на соответствующие оси коВ у

d

0<и2 + у2),/2/Н,

2.6

10"

ц - коэффициент

з • ^т - Функции, описывающие стоки и источники веще-

распада, Г ства и температуры, f

л/г

1X2

* Н1/г.

5Н ' Гт - Ггн"~. т„

К системе уравнений (1) в области расчета П добавляются

начальные условия 01

Фои, у)

1 «.»О »■„• 1» ' I I

и краевые условия на границе дО области П

и:

33 »ап

о.

( У:е$п> о

I а п

1 О Й О

* п

где V - скорость течения по нормали п к 80 и

п ~

к 1 тал!

■ сап

а(Т - Т )

(3)

(4)

(5)

где Т^ - заданное значение температуры.

Для системы (2) краевые условия для неизвестных и, V, а, Т имеет такой же вид, как и (4)-(6). Для функций £ и с краевые условия на границе не задаются, что соответсвует физическому смыслу задачи.

В третьем разделе этой главы дана постановка задачи. Сначала оцениваются числа Рейнольдса, Пекле и Шмидта для рассматриваемой задачи ( в частности, для Азовского моря они равны Яе - 0.52, Ре - 10®, Бс - 103), а затем системы (1) и (2) с начальными условиями (3) и краевыми условиями (4)-(6) записываются в операторной форме.

Четвертый раздел посвящен краткому обзору работ по расчету течений, перепада уровня й распространению загрязнений в мелких водоемах и, в частности, в Азовском море. В ней дано сравнение методов конечных разностей и конечных элементов, применяемых для решения этой задачи. Особое внимание обращено на аппроксимацию краевых условий на открытых участках границы, построение сетки и расположение неизвестных в счетной ячейке, ка методы решения получаемых сеточных уравнений.

Основные теоретические результаты по построению и исследованию разностных схем и методам ее решения изложены во второй и третьей главах диссертации.

В первом разделе второй главы приведены вспомогательные сведения из теории матриц, сформулированы и доказаны леммы, используемые в дальнейшем. В них дан критерий существования обратного к полудиссипативному оператору, оценки расположения спектра оператора АВ при наличии априорной информации о расположении спектра произвольного оператора А'и самосопряженного Положительно определенного оператора В, устанавливается связь между границами хаусдорфова множества прямого и обратного операторов . Особо важна при построении итерационного метода лемма 2.4, определяющая треугольную структуру оператора В, который обеспечивает сходимость итерационного метода

В У>""г У* + Ауь - {; Г, у0 « Н, к - 1, 2, ... (7) при несимметрии исходного оператора А.

Второй раздел этой главы посвящен построению разностных ежей для задач (1). (3), (4)-{6) (задача 1) и (2), (3),(4)-(6) (задала 2). Для задачи 1 строится центрально-разностная схема,

которой пространственные производные заменялись разностями 1ким образом, чтобы оператор С был полудиссипативным. Именно эзтому, исходная система была преобразована к виду (1), Раз-устные уравнения для характерной счетной ячейки с номером 1,к) имеют следующий вид

и + и

1 к 1 -1 к

-*-

V ¥ V 1 к 1 -11с

и + и 1 к 1к«1

Т7

—2—г) •

в

, Н + Н % 1/2 ( 1к 1к»1 1

I-2-1 '

\ а . 2 '

1 »к

2 Н1"1

С.. +

г I к

7 + 7

I к 1к + 1 .

Ь" \1У2 21к

* К л п> ' «

2 Н1к

§[аЛ + <»,<». + + + сх<- ~ V»0 + <4° "

••х X у у** X

- 2(7 +7+7 +7 );

4 1 — I к »к 1-гк*» 1к»1

|[аа7в + Саг7>. + Ъа7. + СЪ^), ] + с2<_-

^ X х, I к»1 у у,!**»-1 у

А|Дй7 + с!г7 + «(О,.

а +о 1*1к 1к»1

о ); 1* 1к»1 *

(СО) 1 »

(с27)

(в)

У >1 к*1

^Гиг + (иЗ) + + ОЗ} 1 - к 4 3 +

б| ♦ • • в I • Л

I. у. X V V4

И'

иГ + (иТ) + уТ

. + (И1).]. - МнТ ;

V V"

к у У

Для задачи 2 строится противопотоковая схема, в которой 1роетранственные производные заменялись разностями таким обра-$ои, чтобы оператор I. был суммой операторов с известными

Пп

свойствами. Именно поэтому, исходная недивергентная система 5ыла преобразована к виду (2). Разностные уравнения для нее в характерной счетной ячейки с номером (1,к). имеют следующий вид

и + и 1 к 1 »1 к

-2-

е + е

1 1к

НкН

ср1 к

С

1 (к

&

1 1 к

<и?

сР1к

)1/*/Н

ср! к

21к

V . + V I к I .

-тг—- ,

е + е 2 1 к 2 1 - 1 к .

. --2--,

+ С .

1 к

I к»1

Си

ср 1 к

а

О

и I <-и _ + 1и _ + |е I-

1 к 1 1 к + 1 с р I к 1 с р 1 к + 1 1 1 к 1

1,к »IV 2 |.у' 21к_= Ьч ' 5|е |ЗГ~

.+ < ср!к' ср!к, 1 1 к 1 1 к ,+ 1 2I к' 211

ь =---к--— Ь = -*--Ь = -*-

1 1 к ,2 '21к 2 Э1 к 2

н = е + ь ),

1к 1 к 4 1Ик 1 + 1 к + 1 1к»1

а"и + а*и + Ь~и + Ь^и + с с - ич - А 4 и + Й и;

* 1 — с р 1 п 1

X

с с + ии - А А V + с1 V;

2 у с р ■ 1 п 2

1 — 1 X 1 — 1 у

X у

а" V +■ + ЬЧ + ьч

г — 2 х 2 — г у

X У

а"е + + Ь~ с + Ь*с +

з — 3 х 3 — 3 у

X У

+ Ь"й +

з — 3 х 3 — з у

X У

к; Л Б;

а Ь

)_ ; (9)

У

а Т + а Т + Ь Т + Ь Т - к А Т;

3— 3 X 3— ЗуТП

Х у

"Значение переменных в задачах 1 и 2 определено ранее, расположение переменных в счетной ячейке для схем (8) и (9) показано на рис 1. Благодаря такому расположению неизвестных в ячейке, схема (8) имеет второй порядок аппроксимации по пространству, а схема (9) - первый. Далее проведено сравнение этих схем на модельном примере (квадрат с постоянной глубиной,, над каждой половиной которого задан ветер противоположного направления) и численно показана консервативность каждой схемы и преимущество центрально-разностной схемы при расчете в замкнутых водоемах, а противопотоковой - при расчетах в областях с открытой границей. Следующий пункт этого раздела посвящен численной аппроксимации краевых условий (4)-(6).

В третьем разделе этой главы изучаются свойства полученных разностных операторов С и Ь . Доказано, что'оператор С

и пь ь

полуднесипативен и невырокден (теорема 2.1), а оператор I,

Г

при использовании краевых условий 1 рода является суммой М -матрицы, кососимметричной матрицы и матрицы Стильтьеса (теорема 2.3).

При использовании неявной операторно-разностной схемы, в которой нелинейные члены разнесены на разные слои по времени таким образом, чтобы получаемый пространственный оператор был

линейным, доказано, что для решения и"*1 разностной схемы (8) выполняется неравенство (теорема 2.2)

II б"*1 |!в < || 0" цв

Третьи глава диссертации посвящена построению треугольных и попеременно-треугольник итерационных методов решения системы

а. Центрально-разностная схема б. Противопотоковая схема

Рис. 1 Расположение неизвестных в ячейке

И Волрд [ Рзсчрт Рмд-игггы Реил*

Качммкв ПОЛ« ахрхпн В КИ^ГрЛ"«

39.0

над С4ААСТ1Л

Я.О

ал

Узг по ереиочи (с) " СОЮ Количество иигсв ► 20о 1Ьг еиии 2

Прололит ) Ошз

■V

V' .

к"' ч

Л

Кзцетениг параметре» прогнозз

П-поноши

Рис. 2 Ввод и вывод данных в ППП ЭКОМОД

линейных алгебраических уравнений

Аи - г (и

их ускорению и переобуславливанию для диссипативного операто А ( Оператор, симметричная часть которого положительно опред лена называется, диссипативным).

В первом разделе этой главы рассмотрен итерационный мет (7) с треугольный оператором В следующего вида

1. В - Вс+ 2КН (1

2. В - Вс+ тКн (1

3. В - В + 2тК (1 • си

где Вс«* Вс - достаточно произвольная матрица, вид которой д различных частных случаев приведен в теоремах 3.7-3.10 и 3.1 К - нижняя часть треугольной кососимнетричной матрицы А,,

И X

представления

А " Ал + А, - А + К„ + К„. А - А" А - К + Км, К - - К

■ . . О I О Я Н О О 1 в , н к

Доказан критерий сходимости (теорема 3.1) итерационного мете (7) в терминах расположения спектра оператора Г — А"1 где К "В - А, И достаточное условие сходимости метода в при М»Н*»0'в'0<т<2 (теорема 3.2). .

В теореме 3.3 на основе леммы 2.4, показано, что при выбранном по формуле (11), обеспечивается выполнение досч точного условия сходимости. При наличии априорной информации расположении спектра оператора Г вида О < Г^ ЯеАк а Г2 |1Я *к| * Гэ

где А^ « йе А^ + 11т Л^- собственные числа оператора Г, най; оптимальный итерационный параметр х и дана оценка числа ите! ций, необходимых для достижения точности с (теорема 3.4).

В случае, когда оператор В задан равенством (12), до1 зано достаточное условие сходимости метода в (теорема 3.! где показано, что метод сходится при т > О и выполнении опе] торного неравенства

Во " I (А0 - К8 " КИ) - Ь' > 0 Оператор перехода в этом случае имеет вид

в » Е - хС

где

С - (¡Б + Ь»/аА-Ч*уа)-»

В теореме 3.6 были найдены г2 , Г3, из неравенства

rtE з CQa ггЕ, Tj > 0," CQ - (С + С )/2 (14)

|| Ct || s y3, Ci - (C - C*)/2 , (15)

через значения e1, ca, с , а, 0 из неравенств

О < сгЕ з А"'* саЕ, А^1 - ( А"*+ (А-,)*)/2

II А, II 3 <V К1 - < А"1- (А_1)*>/2 1 •

О < «Е 1 L « L

и параметр т".

В случае, когда оператор В имеет вид (13), дан критерий сходимости метода в пространстве Н (теорема 3,11) вида

, 0

| |(Е + tPjT^E - rPo)j| < 1

где _

В» В - т(К - К ) - в* > о Ос в и о

Было также доказано достаточное условие сходимости метода, в

Н (теорема 3.12) вида

0 В > ?А > О

о ■ <1 о

обобщающее на случай нееамосопряжеяного. оператора А условие сходимости, полученное А.А.Самарским для случая самосопряженного оператора А.

При В - Е и наличии априорной информации о расположении

С

спектра оператора вида

О < ?,Е а А s 1 Е х о г

ЯР Е " уз

где Kjj-элементы матрицы А4. Сь-ло получено оптимальное значение итерационного параметра t# и дана оценка числа итераций, необходимых для достижения заданной точности с (теорема 3.13).

Необходимо отметить, что все результаты этой главы справедливы и в том случае, когда вместо матрицы К,, в операторе

п

В стоит матрица К .

Во втором пункте этой главы рассмотрен метод ПТМ для несамосопряженного случая с

1) В - (аЕ + гКв)(ЙЕ - тКи) (16)

2) В - (Е + тК'ХБ + гКГ„) (1?)

в» Я

В первом случае оператор В-В и за счет выбора а положительно определен. Тогда к нему применимы результаты A.A. Самарского. Во втором случае, оператор В несамосопряжен, но у него, как и у оператора В, заданного формулой (13), кососимметричная часть

Bt « I (В - В*) - TAt

и к нему применимы результаты раздела 3.1. Вместе с тем, вид оператора Во в этих случаях различный и значение оптимального параметра тфф отличается от найденного ранее значения тф для треугольного метода, хотя достаточные условия сходимости этих методов и совпадают (теорема 3.16).

Третий раздел этой главы посвящен вопросам ускорения сходимости и переобуславливания (дается обзор в этом направлении) рассмотренных выше методов.

Ранее [1] было замечено, что треугольные методы вида (11) - (13) ведут себя при погашении ошибки вычислений аналогично методу Зейделя, т.е. хорошо гасят высокочастотные составляющие ошибки и плохо сходятся на низких гармониках. Это привело к мысли об использовании в качестве ускоряющей процедуры многосеточный метод, а появление работ 11),12) позволило дать теоретическое обоснование сходимости всего алгоритма в целом (теорема 3.20).

Для ПТМ, в качестве ускоряющей процедуры, использовался метод вариационного типа - GMRES (га)13', обобщающий на несамосопряженный случай метод сопряженных градиентов. По сути GMRES (т) минимизирует норму || г - Az | | по всем векторам z подпространства Крылова К - span Cr. Ar , . . . , Am_1r ) и

m * О О О

полученный оптимальный вектор z используется в качестве поправкй для вычисления нового решения.

В четвертой главе диссертации приведены результаты вычислительного эксперимента по моделированию, гидрофизических процессов в Азовском море, описан ГОШ "Экомод", с помощь»

11' Mandel Y. Multigrid Convergence for Nonsymmetríс, Indefinite Variational Problems and One Smoothing Step.-Appl.Math. and Comput., 1986, N19, p.201-216.

12' Cao Z. Convergence of Multigrid Methods for nonsymmetric inlefinite problems. - Appl.Math.Comp.,1988, N28, P.269-28Ö.

13> Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.- SIAM J. Sei. Stat. Comput., 1986, 7, p. 856-869.

которого выполнялись эти эксперименты.

В разделе 4.1 приведена структура и описание этого пакета и подробно изложен интерфейс с пользователем. Особое внимание уделено вопросам ввода и вывода информации в пакете (рис.2).

В разделе 4.2 описаны вычислительные эксперименты, позволяющие оценить возможные последствия реализации проектов реконструкции экосистемы Азовского моря, связанные со строительством дамбы в гирле Таганрогского залива и регулирующего сооружения в Керченском проливе

Азовское море аппроксимировалось сеткой (рис.3) с шагом по пространству = Ь2 = 10 км. Глубины были сняты с навигационной карты. Участок впадения р.Дон представлен в виде 3 узлов, где задавался постоянный поток с коэффициентом 0.25 в крайних точках и 0.5 в центральной. Втон р.Кубань задавался в одной точке постоянным потоком. Учитывая динамику развития течений в Азовском море, шаг по времени брался в первые 12 часов расчета равным 2 часам, а затем увеличивался до 6 часов.

Для проверки адекватности математической модели Азовского моря расчитанные гидродинамические характеристики (рис.4а) сравнивались с данными натурных наблюдений (рис.46) и расчетами, выполненными другими авторами.

Аналогичное сравнение с данными натурных наблюдений было выполнено и для проверки правильности расчета распространения загрязнений (рис.5).

После проверки модели она была использована для прогнозирования возможных последствий строительства в море различных гидросоружений.

Было показано, что при постройке дамбы в гирле Таганрогского залива в нем появляется циркуляционное течение, сонаправ-ленное с течением в оставшейся части Азовского моря (рис.6). Это может привести к накоплению в Таганрогском заливе вредных веществ, поступающих туда со стоком Дона.

Проверка этой гипотезы на модели (раздел 4.2.3) показала ее обоснованность (рис.7).

Кроме того, в случае реализации обоих проектов появляются точки, где перепад уровня будет существенно превышать естественные значения (рис.8), да и самим гидросооружениям грозят значительные опасности (рис.9).

Рис. 3 Сетка, аппроксимирующая Азовское море

1К

Т-24 час

• - » » ««44 • 9*1

« • > t Г >

» • » • • # r r » » •

/ /

• » » » • • ■ 1111(114 1 1 < 1 1 9 < •

• а 1 < ! Il t ! i t t « 1 1 1 1 1 1 « 1

< » 1 1 1 / / * i / / # 1 1 ( 1 ( 1 I • «

• 1 1 ttétiitit» 1 ( 1 1 1 •

1 1 # • > » 1 •

t 1 1 I . l 1 • » • •

9 # « • в »

Рис. 4.а Расчитанное течение в Азовском море при юго-западном ветре 10 м/сек

Рис. 4.6 Картина течений, наблюдаемая летом 1957 года а Азовском море при действии равномерного юго-западного ветра скоростью 7-10 м/с

б)

ОЛ %Л ЯЛ Ш V.* 31Л

Уаимтщм ншии ИМС«# ГУН}

Рас. 5 Распространение взвешенных наносов в придельтовой части Таганрогского залива:

а) натурные наблюдения (1963 г.);

б) расчет.

Ветер юго-западный

« I Аа!^ / « 4 « «« «¿»а«* * > / » « • « ► / <

I < I I I . ,

- - ** ч •• —• «« ч ч Г 4 4/44

/» ч Ч ч ё Ч V Ч 4 / / / 4 4 /4/4

✓ ✓ * * 4 4 4 4 ✓ 4 * ^ 4 4 / / 4 1 //II

* «г ✓ / «С 4 «г / ;// / 4 4 / / 4 / «Г / * 1

/ / / / < ^ / 4/4 / 4 4 У / / / ✓ / / «

« i 4 / ✓ > / // / 4 4 / 4 ^; 4 4 4

* <* / ✓ 4 4 4 Г * 4 4 ✓ 4 * 4 4 ; / 4 г

✓ / ✓ ✓ ✓ <Г Г г - * 1 4 !

/ л 4 < Л 4 , 4 < 1 * 4 4 4 ✓ 4 4 /

Ветер западный

< *»»» »» »» »•«»»••»»•»'

«• *» С* е» ^

/ Г Г >

с» / •

+ & * Ф 9 «■««•Я«'* 4к * * • #

• »

» «

у Л < • «

^ I» * « «

р * * ■ «

» * »

* Г

9 »

Рис. 6 Течение в Азовском море при равномерном ветре 10 м/сек через 48 ч после начала действий ветра, расчитанные п0 программе Дамба!.

I

20

16

12

8

Ореп Вау ап<1 ВатЬ

—Ореп Вау

ОатЬ

Рнс. 7 Изменение концентрации примеси по центральной линии залива Ь для открытого и суженного гирла при постоянном сбросе

Рис. 3 Изменение перепада уровня в районе г. Мариуполя прп юго-западном ветре скорости 10 м/с: М - без дамбы, Ш - при реализации проекта Дамба!, В2 - при реализации проекта Дамба2

Рис. 9 Изменение перепада уровня в районе Керченского пролива при юго-западном ветре скорости 10 м/с при работе регулирующего сооружения п режиме: 1 - открыто, 2 открыто-закрыто, 3 - закрыто-открыто-закрыто. 4 -закрыто

Таким образом, проведенный вычислительный эксперимент еще раз подтвердил, что без такой проверки нельзя принимать никаких решений о строительстве гидросооружений в водоемах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Методология математического моделирования использована для решения гидрофизических задач мелкого водоема. Показано, как преобразовывать исходные уравнения задачи к виду, позволявшему в разностной форме получить сеточные операторы с наперед заданными свойствами.

2. В рамках развития операторного подхода исследованы свойства полученных разностных операторов. Получена оценка на рост разностного решения для квазилинейной системы дифференциальных уравнений в случае использования центрально-разностной схемы и доказано необходимое условие устойчивости схемы с весами для устойчивого оператора.

3. Построен и исследован новый класс треугольных и попеременно-треугольных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричными диссипативными матрицами. Рассмотрены я исследованы вопросы ускорения сходимости предложенных треугольных методов многосеточным методом. Рассмотрены вопросы использования попеременно-треугольного оператора для переобуславливания системы линейных алгебраических уравнений с последувщим решением ее методом типа сопряженных градиентов.

4. Разработан и реализован на ПЭВМ ППП "ЭКОМОД", предназначенный для решения гидрофизических задач в мелком водоеме. На основе этого пакета проведен вычислительный эксперимент, позволивший предсказать возможные последствия реализации проектов реконструкции экосистемы Азовского моря при строительстве гидросооружений в гирле Таганрогского залива и в Керченском проливе.

Основные результаты работы опубликовыны в следующих работах:

1. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений. - Изв. ВУЗов, Математика, N7, 1979, с.41-52

2. Крукиер Л.А. Об одном достаточном условии сходимости итерационных методов с несамосопряженным исходным оператором. -Изв. ВУЗов,Математика, N9, 1981, с.75-76

3. Загускин B.J1. , Крукиер Л.А. Об одном методе расчета течений и перепада уровня в мелком море -Изв. СКНЦ ВШ, ест. науки, 1981, N2, с.22-26.

4. Крукиер Л.А. О некоторых способах построения оператора В в неявных двухслойных итерационных схемах, обеспечивающего их сходимость в случае диссипатнвного оператора А. - Изв. ВУЗов, Математика, N5, 1963, с.41-47

5. Крукиер Л.А. Симонович ИВ. Модульный анализ итерационных алгоритмов решения сеточных уравнений и требования к языку программирования. - в кн.: Вычислительные системы и алгоритмы. Ростов н/Дону, Изд. РГУ, 1983, с.74-86

6. Крукиер Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором. - Изв. СКНЦ ВШ Ест. науки, 1989, N4, с.52-54

7. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Сурков Ф.А. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива,- Морск.гндрофизич. ж., 1989, К 6, XI-XII, с. 55-62

В. Крукиер Л.А., Николаев И.А. Проект ППП РАСЕРАСК - Тез. докл. I Всесоюзн. конф. "Однородные вычислительные среды и систолические структуры", Львов, из-во ИПП Механики и Математики, 1990, т.З, с.158-163

Э. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов 'реконструкции его экосистемы. - Матем. моделирование, 1991, Т.З, N9, с.3-20

10.Krukier L.A., Nikolaev I.A.. Zharinov S.A. Complex application of graphical, symbolic and numerical methods in packages for solving mathematical modelling problems// IFIP WG 2.5 Working Conference 6, Karlsruhe, 1991

11.Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Решение систем линейных алгеб-

2.5

раическнх уравнений с несимметричной матрицей многосеточным методом.- Вычисл. технологии, т.1, Н2, ч.2, Новосибирск, 1992, Ин-Т вычисл. технологий СО РАН, с.180-189

12.Krukier L.A., Nicolaev I.A., Surkov F.A., Dorabrovsky Yu.A. Numerical methods in water ecology. - Math. Modelling and Appl.Uath., 1992, IMACS Elsevier Science Publishers B.V, Horth. Holland, p.337-343

13.Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Чикин А.Л. ППП POLLUTION для расчета распространения загрязнения в мелких водоемах. -Вычис. технологии, т.2, N6, Новосибирск, 1993, Ин-т вычисл. технологий СО РАЯ, с.133-146

14.Крукиер Л.А.,Муратова Г.В., Николаев И.А. Использование многосеточного метода в качестве ускоряющей процедуры при решении СЛАУ с диссипативными матрицами. Математ. моде-лир. (под редак. А.Н.Тихонова, В.А. Садовничий и др.), Ы.: из-во МГУ, 1993, (Программа "Университеты России"), с.45-52

15.Krukier L.A., Muratova G.V. Numerical investigation of the contaminant transport in the shallovj water bodies.- Hyd. , Chera. and Biol. Proc. of Transform, and Transport of Cont. in Aquatic Environments (Proceedung of the Rostov on Don Simposium, May 1993) IAHS Publ., N 219, 1994. p.223-230