Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений

Каландарбеков, Имомёрбек .

Строительная механика

автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений

доктора технических наук: Каландарбеков, Имомёрбек .
город: Москва
год: 2009
специальность ВАК РФ: 05.23.17
цена: 450 рублей

Диссертация по строительству на тему «Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений»

Автореферат диссертации по теме "Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений"

003485875

На правах рукописи

КАЛАНДАРБЕКОВ Имомёрбек

РАЗВИТИЕ МЕТОДА СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТАМ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПОДАТЛИВОСТИ СОЕДИНЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

- 3 ДЕК 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2009

003485875

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете и Таджикском техническом университете

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

доктор технических наук, профессор Смирнов Владимир Анатольевич

доктор технических наук, профессор Мамин Александр Николаевич

Ведущая организация: Центральный научно-исследователь-

ский и проектный институт по градостроительству РААСН

- // °° Защита состоится « И « 2009 г. в «/7« час на заседа-

нии диссертационного Совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан « УД.« Ц О А ^ X 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Анохин Н. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью. Поэтому актуальным является вопрос разработки метода расчета, в наилучшей степени учитывающего конструктивные особенности элементов. Метод сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной работе, позволяет учитывать свойства этих систем. Кроме того, этот метод менее трудоемок по сравнению с МКЭ.

Разработка эффективных методов решения динамических задач строительной механики, в том числе задач теории сейсмостойкости, имеет важное народнохозяйственное значение. Метод упругих сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р. Ржаницыным для пластинок, нагруженных в своей плоскости, являющийся разновидностью метода конечных элементов, оказался особенно эффективным для расчета диафрагм зданий и других конструкций, составленных из прямоугольных блоков и панелей. Метод упругих сосредоточенных деформаций получил развитие в работах М.И. Додонова, в которых были введены понятия о реальных, фиктивных и комплексных швах при расчете железобетонных конструкций.

В настоящей диссертации развит метод сосредоточенных деформаций применительно к динамическим задачам, позволяющий с меньшей трудоемкостью и достаточной точностью получить полную картину напряженно-деформированного состояния несущих конструкций зданий.

Учет специфики деформирования железобетона с помощью применяемых в распространенных программных комплексах универсальных конечных элементов требует составления сложных и громоздких расчетных схем. Так, даже при упругих расчетах монолитного многоэтажного здания число узлов в расчетных схемах достигает нескольких десятков тысяч. Поскольку в расчетной модели МКЭ предполагается постоянство характеристик в пределах каждого конечного элемента, учет физической нелинейности и податливости соединений между сборными конструкциями требует введения дополнительных узлов. Их общее количество начинает измеряться сотнями тысяч, что приводит к значительному усложнению ввода исходных данных и анализа результатов, повышению вероятности ошибок, резкому возрастанию трудоемкости и длительности выполнения и проверки расчетов.

Актуальность работы состоит в том, что развитый метод позволяет учитывать конструктивные особенности элементов без дополнительных узлов, что существенно упрощает расчеты и уменьшает трудоемкость подготовки к расчетам.

Одним из важнейших направлений является также анализ упругопласти-ческих колебаний сооружений, который составляет одну из центральных проблем современной теории сейсмостойкости.

Цель диссертационной работы - развитие метода сосредоточенных деформаций для статических и динамических задач строительной механики с учетом податливости соединений.

Научная новизна работы состоит в том, что:

-метод сосредоточенных деформаций впервые развит и применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил; при этом формирование матрицы внутренней жесткости в трехмерных задачах выполняется с учетом податливости реальных связей;

-впервые метод сосредоточенных деформаций применен к решению динамических задач по расчёту балок и плит на упругом основании и плоской динамической задачи теории упругости;

-разработана методика и получены новые результаты расчета многомассовой системы с учетом физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмического воздействия;

-разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач;

-получено решение динамических задач с учетом продольно - сжимающей силы;

-сформирована дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий; с учетом податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

Научная ценность определяется комплексом проведенных исследований, включая развитие метода сосредоточенных деформаций, на основе которого разработаны алгоритмы и программы, позволяющие получить решения прикладных задач строительной механики, имеющих важное народнохозяйственное значение.

Достоверность полученных результатов, сформулированных в диссертации, определяется корректным применением основных закономерностей и гипотез механики деформируемого твердого тела, численным исследованием сходимости решений, многочисленными сопоставлениями полученных результатов с известными, в том числе и с имеющимися точными решениями, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

Практическое значение работы заключается в том, что:

- разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением ЭВМ;

- разработанный метод решения динамических задач строительной механики применен при исследовании напряженно-деформированного состояния пластинчатых систем с учетом податливости связей;

- предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать односвязные и многосвязные системы при статических и динамических воздействиях;

- предлагаемая модель трехмерной системы может быть использована для решения задач сейсмостойкости с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.

- рассчитаны диафрагмы жесткости, диск перекрытия и многоэтажных монолитных каркасных зданий, возводимые в республике Таджикистан.

Реализация работы. Результаты разработок использованы в Институте сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан при расчёте зданий на сейсмические воздействия по теме «Формирование динамических расчетных схем и разработка математических моделей сооружений для решения задач теории сейсмостойкости» и внедрены в практику проектирования и научно-исследовательских работ Акционерного общества открытого типа «Гипропром», Государственного унитарного предприятия «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Общество с ограниченной ответственностью «Ориён Арк» и Общество с ограниченной ответственностью «Файз-2003». Теоретические и прикладные задачи диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета (ТТУ) по специальностям 2903 - ПГС, 2911- мосты и транспортные туннели, Хорогского государственного университета по специальности 2904 - Гидротехническое строительство. Акты о внедрении даются в приложении диссертации.

спективы развития науки и образования в XXI веке" (Душанбе, 2007 г.); на республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» "Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий" (Душанбе, 2007 г.); на международной научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и развитие инженерной мысли в XXI веке» Худжандский филиал Таджикского технического университета им. акад. М.С. Осими (Худжанд, 2007 г.); в лаборатории «Моделирования сейсмических явлений и воздействий» института сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (Душанбе, 2008 г.); на расширенном заседании кафедры строительной механики и сейсмостойкости сооружений ТТУ (Душанбе, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов и строительной механики Московского государственного строительного университета (Москва, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета (Москва, 2009 г.);

На защиту выносятся:

1 .Математические модели статических и динамических состояний стержневых систем, разработанные на основе МСД с учетом податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

2. Решение статических и динамических задач плит и балок на упругом основании при различных воздействиях и результаты расчета крупнопанельного здания на винклеровом основании по МСД (с применением сплайновой аппроксимации скоростей и ускорений).

3.Численные результаты расчета пластинок на действие статических и динамических нагрузок с учетом реальных связей; решение тестовых статических и динамических задач односвязных и многосвязных пластин на действие равномерно распределенного мгновенного импульса.

4. Результаты статического и динамического расчета пластинчатых систем с учетом податливостей соединений.

5. Динамические модели зданий при сейсмических воздействиях, а также с учетом гасителя колебаний.

6.Результаты динамического расчета зданий с учетом физической нелинейности и податливости соединений.

Публикации: по теме диссертационной работы опубликована монография "Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики» (соавтор Низомов Д.Н.). Основное содержание диссертации опубликовано в 44 статьях в России и республике Таджикистан.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, общих выводов, списка литературы из 352 наименований, приложения и содержит 392 страниц основного текста, включая 143 рисунков, 103 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении изложены направление исследований, их актуальность, дан обзор литературы по численным методам, излагаются цели диссертационной работы, научная новизна, практическая ценность и достоверность полученных результатов.

Развитию методов расчета конструкций посвящены работы А.В.Александрова, Д.В. Вайнберга, В.З.Власова, А.С.Городецкого, Б.Г.Коренева, А.М.Масленникова, А.Р.Ржаницына, Л.А.Розина,

А.Ф.Смирнова, В.А.Смирнова А.П.Филина, Н. Н.Шапошникова, Дж. Аргири-са, К. Бате, Е. Вилсона, О. Зенкевича, Р. Клафа, Дж. Одена и др.

Методы, идейно близкие к методам теории потенциала, предложены в работах В.И. Андреева, С.К.Годунова, С.С.Заргаряна, А.Б.Золотова,

A.А.Касумова, Б.Г.Коренева, Н.Н.Леонтьева, О.В.Лужина, Л.Г.Петросяна,

B.И.Прокопьева, В.С.Рябенко, В.Н.Сидорова, Д.Н.Соболева, В.И.Травуша, А.И.Цейтлина и др.

Методам граничных интегральных уравнений посвящены работы Р. Бат-терфнлда, П. Бенерджи, К. Бреббия, Л. Вроубеля, Р.В. Гольдштейна,

C.Н.Гордиевой, В.П. Ильина, В.П. Клепикова, С. Крауча, C.B. Кузнецова, A.M. Линькова, С.Е. Михайлова, В.А.Сорокина, А. Старфилда, Ж. Теллеса, А.Г. Угодчикова, С. Уокера, Н.М.Хуторянского и других.

Предложенный А.Ф.Смирновым численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью специальной числовой матрицы, позволяющей последовательно выражать младшие производные через старшие, получил дальнейшее развитие в работах A.B. Александрова, Р.Ф.Габбасова, Б.Я.Лащеникова, В.А.Смирнова.

Первыми работами, относящимися к динамическому расчету сооружений за пределом упругости на воздействие импульсивного характера, являются исследования А.А.Гвоздева и И.М.Рабиновича. В дальнейшем аналогичные работы провели Я.Г.Пановко, А.Р. Ржаницын, а применительно к сейсмостойкости сооружений - Я.М.Айзенберг, И.И.Гольденблат, С.С.Дарбинян, Н.А.Николаенко, A.C. Тян, Э.Е.Хачиян и др.

К достоинствам МСД относятся: простота формирования матриц жесткости; четкое деление сложного напряженно-деформированного состояния на элементарные составляющие (изгиб, растяжение-сжатие и др.); простота учета податливых соединений между элементами или в опорных устройствах, а также учета концентрации напряжений в угловых точках конструкций; возможность резко снизить число элементов МСД по сравнению с обычным применяемым числом конечных элементов без потери точности в описании напряженно-деформированного состояния, лучше отражает реальное поведение конструкций зданий в узлах.

К недостатку МСД можно отнести: ограничения на применение разработанного метода к конструктивным элементам сложной конфигурации.

Завершается введение формулировкой задач исследования.

В первой главе приведён обзор работ по МСД. Рассмотрены области применения МСД. На примерах численно исследован вопрос о точности и сходимости МСД. Разработана математическая модель МСД.

Вторая глава посвящена реализации МСД на примере плоской задачи поперечного изгиба балок с учётом продольной деформации. Материал этой главы имеет методический характер, где на примере статического и динамического расчёта балок с тремя и десятью элементами демонстрируется реализация МСД.

Строительные конструкции в основном состоят из отдельных элементов, соединенных между собой швами, имеющих соответствующие коэффициенты жесткости при растяжении (сжатии), изгибе и сдвиге. Учет податливости реальных швов в расчетной схеме строительных конструкций зданий и сооружений представляет практический интерес.

В отличие от расчета сплошной конструкции, где в фиктивных швах сосредотачивались деформации, при расчете конструкций с реальными швами возникает необходимость в введении понятия комплексного шва. Комплексный шов состоит из реального шва заполнения и фиктивного шва.

Податливость такого шва с учетом соединения разнотипных элементов вычисляется исходя из последовательного соединения элементов тремя швами по формуле,

В = В,+ВМ+В0, (1)

где В - податливость комплексного шва,

В, + Вм - податливость фиктивного шва, обусловленная деформациями смежных элементов,

Во - податливость реального шва.

Реальный шов с высотой Л и толщиной 8а (рис. 1), где <50 значительно меньше длины элемента МСД, представим как дополнительный элемент с упругими характеристиками при растяжении (сжатии), изгибе и сдвиге. При растяжении (сжатии) удлинение реального шва определяется по формуле

г /г

где £0— модуль упругости материала шва, чения реального шва.

: кЬ0 - площадь поперечного се-

с? \ ' N

-1-

Д.,

Рис.1. Комплексный шов.

Приводим для примера коэффициент жесткости комплексного шва при растяжении (сжатии):

рЛ' __' -£^141__(-ЛЧ

Я ЕР ЕР ' ^ '

' ' гс

^о1 о

где Е0Р0, ЕГ„ ЕРМ - соответственно жесткости реального шва и примыкающих к нему элементы е, и .

На основе полученного алгоритма разработана программа статического расчёта балки.

Для учёта влияния податливости опорных закреплений рассматривается дискретная модель с упругоподатливыми опорами.

Учет влияния податливости реальных швов позволяют получить уточняющие результаты до 20%. Примеры расчета приведены в диссертации.

Во второй главе также рассмотрено применение МСД к решению динамических задач плоских стержневых систем и динамических задач по расчёту балок. Из общего динамического состояния и при учете сжимающих сил в балке следует, что система уравнений равновесия может быть представлена в матричной форме

МР + ОР + ЯГ-К1Г = Р, (3)

где М = (Иа$(ти,т12,—,тт)- диагональная матрица масс; О- матрица демпфирования; К,- матрица геометрической жесткости; У = (У,,У1,-,У„)- вектор-столбец перемещений; У = (Ц,У2,...,Уп)- вектор-столбец ускорений;

У = (У1,У2,.....У„)~ вектор-столбец скорости; Р = (Р1,Р2...,?„)- вектор-столбец

внешних динамических сил.

Матрица жесткости Я формируется так же, как при решении статической задачи.

Записав систему уравнений (3) в момент времени дискретной оси времени и используя аппроксимации

А, (4)

ДI

получим

Цш^ + + КУ^ - ку^ = +

г г

т т г

(6)

где а,, Д - коэффициенты аппроксимации, г - шаг по времени. Систему уравнений (6) можно представить в виде

Д'П., = С,- (7)

в которой приведенная матрица жесткости приобретает вид

Д* + + (8)

г г

Г„+1 = + + +

, - % % <9>

- вектор свободных членов.

Из решения (7) определяется вектор искомых перемещений У,, соответствующий моменту времени /,. Далее вычисляется вектор деформаций, соответствующий также моменту времени г,

Л,=-А% (10)

а затем формируется вектор внутренних усилий

5,= С\. (11)

На тестовых примерах исследуются вопросы сходимости, устойчивости решений и точности метода при решении динамических задач.

Рассматривались поперечные колебания балки ступенчато-переменного поперечного сечения при действии мгновенного импульса.

В третьей главе рассматривается решение плоских статических и динамических задач теории упругости. Матрицу внутренней жесткости для к-го элемента с учетом совместного действия всех сил получаем исходя из учета его взаимодействия с другими элементами при равенстве внутренних усилий на плоскостях сосредоточенных деформаций.

Матрица внешней жесткости для к-го элемента формируется по формуле К/, - Аг.

Система дифференциальных уравнений дискретной расчетной модели плоской задачи представляется в виде

Mf + Df + RV = P( г), (12)

где М = diag(m¡I¡m¡...ml: 1„т„),

У = (и, (3, V, ...и„ <рп у„), У = (и, фу у,...н„ ф„ 1>„),

У = («,.^1. у,......«л,Р„, У Л

Р = (Р„ А/, Р,,-Р„Л/„Р„у). /„ - момент инерции поворота плиты; М„ - момент, действующий в плоскости пластинки.

Используя аппроксимирующие функции векторов скоростей и ускорений (4) и (5) из (12) получим систему алгебраических уравнений (7), в которой обобщенная матрица внешней жесткости определяется по формуле.

Л'-Я+Щ-М + ^О (13)

г г

Разработанный алгоритм решения динамической задачи плоских систем позволяет получать и решения статических задач.

Рассматривалась также плоская система, состоящая из элементов, соединенных между собой реальными швами. Предполагается, что каждый е(;-й элемент соединен с окружающими его элементами вы, ek.m, et+m, вы с помощью комплексных швов, на которых сосредотачиваются деформации элемента и шва. Если при разбивке реальные швы совпадут с фиктивными швами, то количество неизвестных внутренних усилий не изменится, а изменятся главные коэффициенты матрицы внутренней жесткости. При этом формулы для определения главных и побочных коэффициентов - к„ заменяются на:

(14)

где г,, - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов на сжатие- растяжение между элементами e¡ и ej. Заменив в (14) на^, получим главные коэффициенты матрицы внутренней податливости k-го элемента, соответствующие изгибу, например

(15)

где co^a'j - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов, соответствующие повороту граней между элементами e¡ и ег Заменив в (15) ац на т];/, получим главные коэффициенты матрицы внутренней податливости k-го элемента, соответствующие сдвигу; приведем как пример формулу для k'i}:

й^м-.Мъ-иМ^-.ГГ. 06)

где hjrfj - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов, соответствующие сдвигу между элементами e¡ и e¡. После того как сформирована матрица внутренней жесткости системы, дальнейшие вычисления проводятся как обычно. МСД позволяет определять перемещения и напряжения в зоне концентрации напряжений.

На основе разработанного алгоритма решены тестовые задачи. Рассмотрено решение статической задачи по расчету квадратной балки-стенки с жестко защемленными боковыми гранями под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной к верхней грани (рис. 2). Полученные результаты сопоставлены с решениями Р.Ф. Габбасова по МПА, H.H. Шапошникова по МКЭ и М.И. Длугача по МКР (табл.1).

В третьей главе также рассматривается плоское напряженное состояние многосвязных пластин. Отмечаются работы В.Кирша, Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили, Г.Н.Савина по определению напряженного состояния пластинки, ослабленной отверстием.

Таблица 1

Результаты статического расчета балки - стенки при разбивке 6x12

МКЭ МКР МПА мед

№ 6x12 6x12 6x12 6x12

точек <т"> <т({) <т"> <7«>

00 -1 -0,684 -1 -0,755 -1 -0,774 -1 -0,741

20 -0,804 -0,104 -0,798 -0,103 -0,810 -0,113 -0,806 -0,110

40 -0,441 0,013 -0,442 0,010 -0,446 0,011 -0,443 0,013

60 -0,146 0,041 -0,151 0,042 -0,145 0,046 -0,147 0,043

80 0 0,268 0 0,299 0 0,330 0 0,296

Решение задач многосвязных пластин методом сосредоточенных деформаций строится на основе обшей процедуры расчета односвязной области, в которой учитываются граничные условия на внутреннем контуре. Граничные условия на внутреннем контуре пластинки могут быть учтены введением уп-ругоподатливых элементов по направлениям степеней свободы. При этом на внутреннем контуре записываются дополнительные условия, соответствующие свободному краю, где коэффициенты жесткости упругих опор стремятся к нулю. Численные эксперименты, проведенные на тестовых задачах, показали, что развитый МСД имеет хорошую сходимость и достаточную точность.

С целью учета податливости реальных швов решена динамическая задача пластинки размером 80x100м при разбивке 10x10.

Результаты, представленные в табл. 2, соответствуют моментам времени / = 12т и f = 16г для перемещения и нормальной силы без учета реального шва(первая строка) и t = 20г и t = 24г с учетом реального шва(вторая строка).

Сравнение показывает, что учет податливости шва приводит к увеличению перемещения и уменьшению нормальной силы.

Таблица 2

Сравнение результатов с учетом деформации реального шва_

и-10\л<

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

0,029 0,085 0,158 0,228 0,302 0,362 0,407 0,460 0,516 0,562

0,018 0,056 0,106 0,155 0,217 0,352 0,431 0,505 0,575 0,642

кН/м

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 1 8-9 9-10

77,7 47,7 22,2 2,3 -12 -18,3 -20,6 -24,9 -32,5 -41,6

42,0 25,4 12 1,7 -6,3 -12,6 -15,8 -16,4 | -15,3 -14,8

На рис.3, показаны графики изменения горизонтального перемещения элемента 91 без учета (кривая 1) и с учетом податливости реального шва (кривая 2). Можно отметить, что податливость шва приводит к увеличению перемещения на 14% и периода основного тона колебаний на 21%.

Четвертая глава посвящена численному решению динамических задач по расчёту изгибаемых пластин.

Для получения дискретной динамической модели исходная пластина разбивается на прямоугольные элементы размером ак х Ьк (рис.4), которые рассматриваются как абсолютно жесткие, а их собственная деформативность при изгибе, кручении и сдвиге сосредотачивается по границам между ними введением фиктивных связей соответствующего типа.

Уравнения равновесия к-го элемента выражают равенство нулю суммарного момента всех сил вокруг осейХ, У,' проходящих по центру элемента и сумму проекций всех сил элемента на ось г. Уравнение моментов всех сил относительно оси X запишется так:

-Нк,к-1 - Мук|к.т- Оук,к-тЬк/2+Мук,к+т- Оук,к+щЬк/2+Нк,к+1- Мхк- 1Л <Р„ =0, (17) где НК,К-1=Я«-А, С>ук,к-м=£?,4.4-,,ак, МУк.к+м= М^Мтак,

С2ук,к+м> М, Я, б-распределенные по граням элемента внутренние усилия; Мхк- заданный момент; Iлфх - инерционный момент.

Система дифференциальных уравнений движения дискретной расчетной модели пластинки представляется в форме (12).

Рис.4. Равновесие конечного элемента.

Матрица внешней жесткости пластинки формируется на основе матрицы внутренней жесткости, которая включает в себя жесткости фиктивных и реальных связей между элементами. Например, в случае комплексного шва между элементами ек и ек+1 жесткость связей на изгиб определяется по формуле

= К' + ^1./ + Г', (18)

где соу,а)М{-жесткости фиктивных связей, отражающих изгибную жесткость к-то к + 1 -го элементов; акми -жесткость реальных связей между этими элементами. По аналогичной формуле вычисляются жесткости комплексных швов на линиях сосредоточенных деформаций вдоль границ опирания пластинки:

в>к, о =[<+<'+<]"'. (19)

где ш0-изгибная жесткость опорной конструкции (ригель); о\г -изгибная жёсткость реального шва между ригелем и плитой. При жестком защемлении края пластинки

й,о=®о.г-а> и е)„0=ш¥. После того как сформирована матрица внутренней жесткости, формируется матрица внешней жесткости пластинки. Решение динамической задачи сводится к системе уравнений, аналогичной (7)

(АСАт+а,-М + ДД)Г = Р', (20)

где м, д- диагональные матрицы масс и демпфирования пластинки. Затем вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий.

В качестве тестовой задачи рассмотрена квадратная шарнирно опертая по внешнему контуру плита с квадратным отверстием, имеющим свободные края (рис.5). Результаты статического расчета сравниваются с решениями Р.Ф. Габбасова по МПА и Д.В. Вайнберга, полученным вариационно-разностным методом, а также с результатами МКЭ, полученными с использованием гибридных элементов (табл. 3).

_____-г

С а!4 \ т

а¡4 ч

а! 4 , а! 4 \

/ У /

Рис. 5. Схема разбивки четверти плиты.

Рассматривалось также численное решение динамических задач изгибаемой пластинки на основе разработанного алгоритма метода сосредоточенных деформаций. Разработан алгоритм решения задач МСД по определению перемещений и изгибающих моментов в угловых точках изгибаемых плит. Исследована (численно) сходимость и устойчивость решения динамических задач на тестовых примерах. Результаты статических и динамических расчётов были сопоставлены с аналитическими решениями. Сравнение показывает, что результаты численного решения достаточно хорошо совпадают с результатами аналитического решения.

Таблица 3

Результаты статического расчета и их сравнение

Наименование метода УСС мсу м/ М/

МПА п = 8 0,00094 0,0151 0,00171 0,0361 0,00245 0,0214

МПА п —16 0,00099 0,0147 0,00184 0,0433 0,00259 0,0214

МПА п =32 0,00101 0,0144 0,00189 0,0515 0,00263 0,0214

МКЭ п =8 0,00109 0,0107 0,00207 0,0338 0,00286 0,0220

ВРМ п =8 0,00130 0,0179 0,00246 0,0367 0,00342 0,0274

МСД п =8 0,00127 0,0165 0,00238 0,0365 0,00331 0,0271

п=16 0,00132 0,0161 0,00249 0,0394 0,00346 0,0270

п=32 0,00134 0,0159 0,00253 0,0428 0,00351 0,0270

В пятой главе МСД применяется к решению статических и динамических задач по расчету балок и плит на упругом основании. Рассматривается балка на винклеровом основании при её разбивке на три элемента. Задача решается вручную как пример.

Учет упругого основания осуществляется тремя главными коэффициентами - , Г,л, г„ матрицы жесткости, а остальные коэффициенты остаются без изменений. В результате находим прогиб в середине балки

с л

4^(4« + 5) + -^=7- (За + 4)

1бв? + С„(/(20 +1 За) + - Ат- (За + 4) С/-'

(21)

где а = сРе!2/£/, ¿ = 112. Из (22), при С„ = О следует прогиб балки без упругого основания

(22)

ре} 5 ре -+-

2 27Е1 ПвР ' а при С0 -> да стремится к нулю.

Из вышеизложенного примера можно заключить, что матрицу жесткости балки на упругом основании можно получить из матрицы жесткости обычной

балки путем добавления параметра С0 (в диагональных элементах, соответствующих вертикальным перемещениям

ДЛ'.О = .Я(м) + С01> / = 3,6,...,3т. (23)

Полученные результаты численного решения сравниваются с результатами аналитического решения.

Система динамических уравнений равновесия для дискретной модели балки на упругом основании представляется в виде (12) с заменой Я на Я,, , где Яг- матрица жесткости балки с учетом реактивного давления. Матрица жесткости Я„ формируется как сумма двух матриц

Яг =й + Я0, (24)

где Я, Я„ - матрицы жесткости балки и основания соответственно. Матрица Я0 является диагональной.

Внося аппроксимирующие функции (4) и (5) в (12), получим систему разрешающих уравнений, которая записывается в матричной форме в виде (7) с заменой Я' на Я'. Обобщенная матрица жесткости в зависимости от вида представления матрицы Л может быть записана по-разному.

Например: Я'у =Д0+(1 + 60/8')Д + (а' + а0Д')М, (25)

или Я'у=Яа+Я + а1М + /з; ЩЛГ'-Д)"2 Г, (26)

где Г = ФГхФл - матрица коэффициентов потерь в связях системы, Ф -матрица нормированных собственных форм, Г, -диагональная матрица коэффициентов потерь для каждой формы собственных колебаний.

Предлагаемый алгоритм расчета позволяет исследовать динамическое поведение балок на упругом основании при различных внешних воздействиях.

На основе изложенного можно заключить, что динамическая модель на основе МСД позволяет получать в достаточной степени удовлетворительные результаты в рамках технической теории изгиба балок. Исследован вопрос (численно) устойчивости, сходимости и точности МСД. На основе численных экспериментов было установлено, что предлагаемый алгоритм динамического расчета является устойчивым. Сравнение показывает, что с уменьшением шага по времени результаты приближаются к истинному решению задачи.

В этой же главе на основе МСД рассматриваются задачи расчёта балки на упругом основании при действии вибрационной нагрузки, а также решение динамической задачи прямоугольной плиты, лежащей на упругом основании. Реакция упругого основания учитывается только в главных коэффициентах матрицы внешней жесткости по направлению третьей степени свободы элемента пластинки

гкк = ем_, + ем+1 + <2к,к.п + йкМт+ск. (27)

Следовательно, матрица внешней жесткости пластинки на упругом основании формируется, как сумма двух матриц = Я + Л0, где Я0 - диагональная матрица жесткости основания

Л0 =diag (ООС, ООС2 •••ООС„ ). Из решения системы дифференциальных уравнений + Dlf + RVW = P{t)

(29)

определяется вектор перемещений, а затем по аналогичному алгоритму, как для пластинки без упругого основания, вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий.

На рис.6 представлены кривые изменения прогиба, изгибающего момента в центре пластины и углового элемента в зависимости от т / л г - шаг по

На основе проведенных численных экспериментов установлено, что разработанный алгоритм по МСД позволяет получать решения динамической задачи балки и плит на упругом основании с достаточной степенью точности.

Рис. 6. Графики колебания пластинки на упругом основании: 1-прогиб в центре, 2-прогиб в центре углового элемента, 3-изгибающий момент в центре.

Шестая глава посвящена развитию МСД в расчете пластинчатых систем. Моделирование пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций сводится к следующему. Несущие конструктивные элементы системы плоскостями сосредоточенных деформаций О, разбиваются на конечные элементы е, (рис. 7).

При этом каждый конечный элемент может иметь шесть степеней свободы. Несущие конструктивные элементы соединяются между собой при помощи шпонок, выпуска арматуры или закладных деталей, создавая тем самым вертикальные и горизонтальные швы. Плоскостями С1Г отмечаются комплексные швы, состоящие из реальных и фиктивных связей. На торцевых гранях элемента е, концентрируются деформации данного элемента. Эти деформации могут быть выражены через податливости упругих связей, распределенные по граням элемента. В результате пересечения плоскостей £1, со срединными плоскостями конечных элементов е,, е1 образуются линии I,, в которых стекаются деформации смежных элементов. Два смежных элемента в силу своих физико-механических данных могут иметь различные характеристики податливости, сконцентрированные на линиях . В пространственной модели на

времени.

10 'м.иН

.0,5 0

линиях 4 могут быть сосредоточены деформации двух, трех и четырех элементов, а также одного обобщенного реального шва. Предполагается, что реальный шов между элементами является непрерывным и его податливость (жесткость) равномерно распределена по граням элементов. Для определения деформаций реальный шов рассматривается как невесомый элемент с заданными размерами поперечного сечения. Стеновые панели могут быть установлены на ленточном фундаменте или на фундаментной плите. Ленточный фундамент, в зависимости от податливости основания, моделируется либо как отдельный элемент с упругоподатливыми опорами, либо заменяется невесомыми опорными стержнями. В случае фундаментной плиты учитывается упругое основание с двумя коэффициентами постели.

Рис. 7. Фрагмент пространства элементов МСД.

Двумя взаимно перпендикулярными плоскостями несущие конструкции разбиваются на конечные элементы МСД. Колонны и ригели аппроксимируются пространственными призматическими стержнями, в которых внутренние усилия являются функциями координат в продольном направлении. При этом каждый элемент как твердое тело имеет шесть степеней свободы. Элементы плит перекрытия и диафрагм жесткости рассматриваются как пластины, каждая из которых деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости. Эти элементы также имеют по шесть степеней свободы. Навесные стеновые панели учитываются как присоединенная масса к несущим конструкциям.

В рамках трехмерной модели МСД можно также рассматривать массивные системы (толстые пластины, массивные фундаменты, плотины и др.). Поверхностями сосредоточенных деформаций, которые могут иметь любое очертание, массивное тело разбивается на конечные элементы. Каждый элемент МСД, как твердое тело, независимо от его формы, будет иметь по шесть степеней свободы. Если тело разбивается на тетраэдры, то деформации сосредотачивают на четырех гранях, а в случае призматического прямоугольного элемента таких граней будут шесть.

Несущие элементы крупнопанельного здания (продольные и поперечные стены, плиты перекрытия) соединяются между собой реальными горизонталь-

ными и вертикальными швами, объединяющими, как правило, два, три или четыре элемента. Линию пересечения срединной плоскости элементов в реальных швах обозначим через!, (г = 1,2,...,яг), где пг-число реальных швов. Множество этих линий образует «каркас» пространственной системы, который «заполняется» несущими элементами. Если в первом приближении ограничиться разбивкой пространственной системы в пределах указанного каркаса, то получим расчетную модель объекта, состоящую из суперэлементов МСД, каждый из которых имеет область С2, (я = 1,2,..., л). В этом случае на линиях сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. В общем, такая расчетная модель будет иметь 6п степеней свободы, где п- число суперэлементов, включая элементы фундаментной плиты на упругом основании. По полученным данным напряженного состояния пространственной модели производится расчет каждого из суперэлементов на заданные усилия по их граням.

С целью более точного анализа напряженно-деформированного состояния системы область П, с помощью плоскостей О, (/ = х,у,2), перпендикулярных к срединным поверхностям суперэлементов, разбивается на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов П„ еП, (е = 1,2,..., л,), где л,- число элементов, на которые разбивается каждый суперэлемент. На линиях , полученных в результате пересечения плоскостей П: со срединными поверхностями , сосредотачиваются собственные деформации элементов С1с. Таким образом, расчетная модель пространственной системы метода сосредоточенных деформаций состоит из множества конечных элементов, соединенных между собой упругими или упругопластическими связями, в которых сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных швов. Три линейных и три угловых перемещения, соответствующих центру масс элемента, определяют его деформированное состояние. Положение произвольного элемента как твердого тела в пространстве можно определить относительно неподвижной (инерциальной) системы прямоугольных координат аг^х,. Положение подвижной системы неизменно связанной с те-

лом, относительно неподвижной системы ох^х, определяется тремя координатами ее полюса о1 и тремя углами между осями ох1х2х] и которые характеризуются направляющими косинусами.

Рассматривается модель МСД, состоящая из элементов, в которых помимо мембранных усилий возникают также изгибные усилия из плоскости (рис. 8). Элементы будут соединены между собой горизонтальными и вертикальными швами, где сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. Две взаимно перпендикулярные срединные плоскости элементов П, и пересекаются и образуют линию £, в ребрах системы. Предполагается, что линия X, является осью невесомого элемента Пг сечением д, хд у и длиной, равной длине граней соединяемых элементов. Ве-

личины Д^хД^можно принять равными соответствующим толщинам элементов. Мысленно отделив элемент П, (рис. 9), из его статического условия равновесия получим

(30)

М°=-Я,г> Я,,=М,°, М]Г=М,Г, (31)

Рис. 8. Элемент МСД. Рис. 9. Элемент углового шва.

где и ¿Г,М1Г - мембранные (нормальные и сдвигающие силы,

моменты) и изгибные усилия (поперечные силы, крутящие и изгибающие моменты) на гранях элементов. Равенства (31) имеют место только в том случае, если влиянием моментов от сдвигающих и поперечных сил можно пренебречь ввиду малости ДгиД, по сравнению с размерами элементов. Из (30) и (31) следует, что количество неизвестных усилий в ребрах сокращается от 12 до 6. В случае, когда 1Г является линией пересечения трех плоскостей, на трех гранях элемента Пг будут действовать 18 внутренних усилий. Если принять, что элементы П,и С2( лежат в одной плоскости, а элемент С1к лежит в плоскости, перпендикулярной к ним, то исходя из условия статического равновесия элемента Пг(рис. 10), получим

(32)

Из условия (32) следует, что независимых усилий в реальной связи с тремя элементами остается 12.

Далее рассматривается реальный шов с четырьмя элементами О, ,С^и О,,, О,, попарно расположенными во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 11). В этом случае из условия статического равновесия следует, что все 24 внутренних усилий, входящие в векторы , 5,, ^, £„,, являются неизвестными.

Рис. 10. Элемент реальной связи

на стыке из трех пластин. Рис. 11. Реальный шов на

стыке четырех пластин.

Таким образом, если пространственная модель из суперэлементов имеет л, =п2+л3+л4 реальных швов, где п2, л3, щ - число реальных швов с двумя, тремя и четырьмя элементами соответственно, то общее число неизвестных внутренних усилий будет равняться: т = 6п2 + 12и3 + 24л„. Например, коробка из шести суперэлементов, опирающаяся на упругое основание, где п = 6, иг =12, п3 = п4 = 0, имеет разрешающую систему уравнений с вектором перемещений из 6п = 36 компонентов, при этом вектор внутренних сил будет содержать т = 72 компонента. Если внутреннюю область коробки разделить на четыре подобласти, где и = 16, п2 = 12,л3 = 12,я4 =1, то вектор искомых перемещений будет иметь 6я = 96 неизвестных, а вектор внутренних усилий - т = 240 элементов. Число т определяет порядок матрицы внутренней жесткости [С], элементы которой для каждого компонента внутренних сил вычисляется по формуле

+<£]"', (33)

где коэффициенты сх), в зависимости от вида деформации, могут быть представлены в виде

е„ = 2/о,, с„ = /3а,, с, = 50,6,Л, 11а,, что соответственно относится к деформациям изгиба, кручения и сдвига, /,, = 6Д3 /12- момент инерции поперечного сечения элемента толщиной А,.

Разработанный алгоритм расчета пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций является универсальным и применим к любой системы. Характерными также являются приграничные элементы. Если одна из 1раней элемента совпадает с вертикальным или горизонтальным ребром, то на этой грани будет действовать только сдвигающее усилие. В элементах, где опорные стержни установлены непосредственно в центре грани, их влияние учитывается введением дополнительного члена в коэффициент жесткости.

Таким образом, с учетом граничных условий составляются системы уравнений для всех элементов, на основе которых составляется общая система уравнений с неизвестными внутренними усилиями в сечениях комплексных и собственных швов. Для учета жесткости реальных связей рассматривается пластинчатая система, которая состоит из пластинок, соединенных между собой связями.

Для решения динамической задачи необходимо сформировать обобщенную матрицу жесткости. Система динамических уравнений равновесия, записанная для динамической модели метода сосредоточенных деформаций, где каждый конечный элемент представляет собой твердое тело с соответствующей степенью свободы, записывается в виде (12).

Используя выражения для векторов скоростей и ускорений (4) и (5), получим:

[М]-щ{и}^ +{D]-p;{U}„tt +[*]■{£/}„, =[M}-{ct\{U}n +«;{#}„+«,{#}.)+

+[Щ-{р'ЛЩ„ + А {£>}. + Р1Ф), )+{/>«},,„, (34)

(л = 0,1,2,... )

где {U}- вектор, компонентами которого являются линейные перемещения и углы вращения центра масс. Систему уравнений (34) запишем в форме (7). Вектор правой части {-Р*},,^ (7) можно записать в виде суммы трех составляющих:

Í^U-^J. + WJ.+WOU. (35)

где {P„l=[M]{LU„, №}„=[£>]{tU„>

{О. =«¡{U)„ + аг{Щ„+а,ф}„, {ÚJ = p[{U)n+ рг{Щ„+ ЫРЪ{0}„.

Реализация предлагаемой математической модели динамического расчета пластинчатой системы рассмотрена на конкретных примерах.

На основе разработанного алгоритма проведены численные эксперименты и получены результаты расчета пластинчатой модели с учетом податливости реальных связей на сдвиг. Горизонтальные и вертикальные опорные реакции совместно с опорными моментами удовлетворяют уравнениям равновесия сил в направлении оси у и моментов относительно оси х, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Полученные уравнения МСД использованы для статического расчета экспериментальной модели фрагмента АЭС (рис. 12,а). Модель представляет собой пластинчатую систему в виде куба с размерами в плане 140x140 мм и толщиной пластины о=8мм.

Вследствие симметрии рассмотрена выделенная из рис 12,а пунктирными линиями четверть конструкции (рис.12,6). Обозначим плоскости: 1-крыша, II- первая грань, III- днище, IV- передняя грань. На рис. 13 показаны: безразмерные длины рассчитываемых участков, представлена развертка четвертинки куба со схемой разбивки системы по направлениям координатных осей и номера сечений. Сечение V-V рассекает половину четвертой части, выделенной

из куба пунктирной линией (I- II- III- IV). Рассчитываемая конструкция рассмотрена как система соединенных между собой пластин, каждая из которых деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости.

б)

'о___В

/т~ч

Рис.12. Пространственная пластинчатая система.

1/2

Рис.13. Разбивка системы и направление координатных осей.

Разработанный алгоритм расчета для пластинчатой системы с учетом податливости соединения элементов с помощью обобщённых уравнений МСД был реализован по фортран - программе на ЭВМ.

Расчет пластинчатой системы выполнен на сетке 10x10. На рис.14 представлены результаты расчета МСД и результаты, полученные на основании линейной и нелинейной теории по обобщенным уравнениям МКР и экспери-

ментальные данные. Сравнение результатов показывает, что напряженное состояние конструкции по МСД качественно совпадает с данными эксперимента.

Рис. 14. Эпюры нормальных напряжений на наружном контуре в сеч. У-У. {-по эксперименту, 2- по нелинейным уравнениям МКР, 3- по линейным уравнениям МКР, 4- по МКЭ, 5- по МСД.

Седьмая глава посвящена решению задач теории сейсмостойкости по МСД. Рассматривается формирование расчётных динамических моделей сооружений при сейсмических воздействиях.

Рассматривается элемент МСД, в котором помимо продольных деформаций, деформации изгиба и сдвига возникает деформации кручения.

При наличии эксцентриситета между центрами масс и жесткостей возможны и крутильные колебания в плоскости перекрытий (рис. 15,а).

При учете крутильно-поступательного движения массы перемещения выражаются следующими зависимостями (рис. 15,6):

V = И'0 + IV 1

(36)

Система уравнений представляется в виде (опускаем индекс т)

(У = 1,2,...,».)

а)

/П1л

г г

Рис. 15. Поступательные и крутильные движения диска перекрытия.

где г".к-реактивная сила от линейных и угловых перемещений, - реактивные моменты от единичных линейных и угловых перемещений.

Уравнения (37), записанные для всех точек дискретной модели, можно представить в матричной форме

М,д + Я,0 = -М,Ёйо(1), (38)

М/ + Д2К = -МЛ(0, (39)

т2х ... т„),

М2 = diag(lyX т{! 1а 1у1 т21 1Л.....1уп тК /„)

М3 =(т, т2 т3 ...тп)\ т: = т„ /„)

и = (и, и2 щ ... м„), К=(й ц в, й ...«, н> в„),

V. = (Д> "о «о)-

Здесь: 0- вектор - столбец из п элементов продольных перемещений; V - вектор - столбец из 3п элементов угловых, крутильных и линейных перемещений; Л/, - диагональная матрица сосредоточенных масс; £- единичный вектор; м;,м>у- линейные перемещения в продольном (вертикальном) и поперечном направлениях; <рп в)- угловые и крутильные перемещения масс относительно оси УX \ М2- диагональная матрица с сосредоточенными и инерционными массами; тр = тр - сосредоточенные массы, совершающие поступательные движения вдоль осиХиг; М3- матрица масс размера пхЗ; п- число этажей; т,-

матрица сосредоточенных масс; V- вектор-столбец сейсмического воздействия; ы„(0, й'ДО-ускорения грунта основания в продольном (вертикальном) и поперечном направлениях; «„(/), Д,(/) - ускорения вращательных движений основания вокруг оси А'и У соответственно.

Объединив (38) и (39) в единую систему, можно получить матричное уравнение, которое с учетом затухания записывается в виде (12), где М = сИа§(ти1ьт^1и ...тш

Р = <Ру IV, м„ (р„ и>„ в„),

У = (щ ф, м>, ы„ ф„ И'„ в„),

У = (и1 ф\ в„...,иа Ф„ И1,, вп),

Р = (тихщ,1)Лх щ,1 упхра,тп!хйа,! тха0).

Особенность предлагаемой модели состоит в том, что она позволяет определять напряженно-деформированное состояние здания при многокомпонентном сейсмическом воздействии и с учетом поворота и кручения масс.

Податливость связей, сосредоточенных по линиям между смежными г'-м и г+1-м элементами, с учетом кручения будет характеризоваться матрицей, составленной по аналогии с (1).

В том случае, когда опорные закрепления являются упругоподатливыми, с учетом деформации кручения и коэффициента жесткости бруса при кручении

Мм, мы „ слзг.

С1,Л сш ™ оСи+С

(40)

где Мхл - крутящий момент на опоре А, получим матрицу податливости СЖ< „ С^Е1уЛ С«СРА

Отсюда следует, что матрица внутренней жесткости опорного сечения является диагональной матрицей четвертого порядка

СА=сНа§(КхлКмКгАКт-). (42)

Общая матрица внутренней жесткости системы представляется в виде

С = (43)

Рассматривалось многоэтажное здание, для которого можно выбрать динамическую расчетную схему в виде многомассовой консольной системы. Сосредоточив массу здания на уровне перекрытий, а также принимая во внимание массу фундамента, получим динамическую расчетную схему, где помимо поступательных учитываются вращательные движения масс. При этом предполагается, что фундамент здания покоится на упругом основании с коэффициентами жесткостиС„,С„и С^, соответствующим линейным движениям и повороту. Принимая в качестве неизвестных перемещения точек сосредоточе-

ния масс, получим динамическую расчетную модель со 3(и +1) степенями свободы. Продольную деформацию, деформации изгиба и сдвига сосредоточим в узлах ОД,..., п.

Таким образом, разработанная динамическая расчетная схема позволяет исследовать сейсмическую реакцию здания при кинематическом возбуждении основания с учетом податливости последнего.

Исследована (численно) устойчивость и сходимость решения динамической модели. Численные эксперименты, проведённые на тестовых задачах, показали, что предлагаемая динамическая модель и разработанный алгоритм на основе МСД позволяют проводить исследования задачи сейсмостойкости.

Следует отметить, что учет податливости основания и реальных связей приводит к увеличению перемещения в конце консоли и уменьшению момента и поперечной силы в опорном сечении.

Рассматривалось решение динамической задачи по расчету зданий на действия вибрационной горизонтальной нагрузки.

В этой же главе также рассматривается учёт влияния динамического гасителя колебаний. Сравнение результатов показывает, что введение гасителя в систему приводит к значительному снижению ее сейсмической реакции. Предлагаемый алгоритм расчета дает устойчивое решение. Сопоставление результатов при различных разбиениях по времени и пространству показывает, что имеет место достаточно хорошая сходимость.

В восьмой главе рассматривается решение динамических задач с учётом упругопластических деформаций. Учет пластических деформаций при расчете сооружений на сейсмические воздействия приводит к существенному уменьшению величин сейсмических нагрузок по сравнению с методами упругого расчета, что имеет большое значение для сейсмостойкого строительства. Этим обстоятельством объясняется актуальность исследования задач упруго-пластических сейсмических колебаний.

Рассматривается решение динамической задачи со многими степенями свободы на основе билинейной диаграммы деформирования, в которой восстанавливающая сила / определяется в предположении, что свойства рассматриваемой системы характеризуются законом линейного упрочнения. Из равновесия сил, действующих на массу т,, для систем рассматриваемого типа получаем следующие уравнения свободных колебаний

щу, + с, (у, - ) - СМ (ум ->>,) + /,- /,+1 = ^ (О ,ДЛЯ I = 1,2,3.....и -1, (44)

г",Уп+сЛУп~У,-1) + /, =^,(0. ДЛЯ / = и,

где с, - коэффициенты затухания. С учетом / и из (44), получим

т,у, + с,&у,-сыАум+к,([-р1А1)Ау,- км (1 - /}м Лы) А Ум = р, + Р,,

1=1,2,3,...,п-1, (45)

т„у„ + с„Ау„ +¿„(1- АА)ЛЛ =р„ + /г„, где Д -постоянный коэффициент, принимающий значения 0 или 1 в зависимости от того, в какой зоне диаграммы находится колебательный процесс; Я, - коэффициент упрочнения.

Приращения скоростей и смещений по высоте здания выражаются следующими формулами

&у,=у1-у,-ч Ьу,=у,-у,-1. / = 1,2,3,...,и. При этом считается, что перемещение в опорной части здания у0 будет задано согласно начальным условиям.

Систему уравнений (45) представим в векторно-матричной форме

МУ+СУ+КУ^Р+Р, (46)

где К = матрица жесткости с учетом упругопластических деформаций,

Ка - матрица начальной жесткости

"(*,+*г) -кг О 0 ••• О"

-к2 (к2+к,) -кз 0 •■■ О

ло ~

О 0 •■• 0 -к„ к„

к: - коэффициенты жесткости несущих элементов; Ку - матрица жесткости за пределом упругости.

к =

'(¿.М+^уЗД ~КРА О О -КРА (Ь&Ъ+ЬРЛ) -к,РА о

0 0 •••о -КРА КРА.

Диагональные матрицы масс и демпфирования для системы с сосредоточенными параметрами представляются в виде

М = (т, ти2 т3 • • • тп), С = diag(clc2c} ■■■ сп). Векторы свободных членов в (46) отражают влияние остаточных деформаций и действия динамической нагрузки

Р = (Р,,Р2,Р3...Р„\ ^ = где р„ - динамические нагрузки.

Если внешнее воздействие характеризуется акселерограммой землетрясения у0(г), то вектор Р записывается в виде

Ш = -АГУ0(О = -МЩО. (47)

где I - единичный вектор-столбец.

Для произвольного момента времени из (46) можно получить вектор ускорения

У = М~\Р + Р -С? - КУ). (48)

Записав уравнения (46) для моментов времени t и t + Ai, из их разности получим матричное уравнение в приращениях

M & Y(0 + С Д У(0 + К A Y(I) = Д Р(0 + &F(1), (49)

I t 1 t 1

где приращение динамической нагрузки в зависимости от внешнего воздействия может быть представлено в одном из следующих видов

Д F{t) = F(t + ДО - F(l), AF(t) = -Mfy0(.t + M)~ у0 (i)].

С целью численного интегрирования уравнения (49) используем выражения (4) и (5). Векторы приращения ускорений, скоростей и перемещений определяют соответствующие кинематические параметры в конце интервала времени.

Внося (4) и (5) в (49), получим систему разрешающих алгебраических уравнений, в которой неизвестным является вектор приращения перемещений.

Из единой системы дифференциальных уравнений получена единая система алгебраических разрешающих уравнений с изменяющимися во времени матрицами жесткости и затухания. Разработанная программа позволяет управлять динамическим процессом в зависимости от наступления предельного состояния в тех или иных конструктивных элементах здания.

На основе предлагаемого алгоритма и разработанной программы получены результаты динамического расчёта системы с двумя и шестью степенями свободы при действии мгновенного импульса и при учете акселерограмм зем-лятресений.

В девятой главе показано применение МСД к реальным задачам: к расчету 12-этажного монолитного каркасного здания при действии сейсмических нагрузок и монолитных диафрагм жесткости многоэтажных каркасно-панельных зданий. Следует отметить, что разработанный алгоритм и программа расчета внедрены в практику проектирования некоторых проектных институтов г. Душанбе. Акты о внедрении даются в приложении к диссертации. На рис. 16 представлена конструкция отдельной плоской монолитной диафрагмы жесткости 6-ти этажного каркасно-панельного здания строящегося в г. Душанбе. Разбивка диафрагмы на элементы МСД выполнено согласно рис. 17 (всего получено 672 элемента МСД). На рис. 18 приведены эпюры внутренних усилий, перемещений и изгибающих моментов шестиэтажной диафрагмы. Предварительно с использованием ПК «Лира», был выполнен расчет пространственной системы здания. Сравнение результатов расчета диафрагмы по МКЭ и МСД показывает, что характер напряженно- деформированного состояния полностью совпадает.

В результате расчета на ЭВМ было получено подробное представление о напряженно-деформированном состоянии диафрагмы жесткости 12- этажного монолитного жилого дома, строящегося в поселке Навбахор в г. Душанбе. Разбивка диафрагмы на элементы МСД выполнено по схеме суперэлементов.

Рис. 16. Конструкция шестиэтажной диафрагмы жесткости.

39* 334

т т

т 393

м т

де т

139 ¡44

ззз т

91 за

и н

а и

43 14

я 43

и и 3* 30 33 23 33 34 33 и 37 21 29 9* и 33

2 » 4 3 4 1 1 9 19 и О 13 и 35 и

*л | ля | вое , вое , 4ее 1 вое í т во» 1 л» 1 ею , вое вое 1 вое 1 аоо | ш

иое

Рис.17. Схема разбивки двух нижних этажей по МСД.

1 2

В)

Й» Ш 100 300 IX о о 0.4 ОЯ12 1.6 1.0

жВи

300 200 100

Рис. 18. Шестиэтажная диафрагма жесткости.

а) нормальные силы; 1-МКЭ; 2-МСД;

б) прогибы; 1-МКЭ; 2-МСД;

в) изгибающие моменты.

Всего получено 70 элементов МСД. С целью подробного анализа напряженно-деформированного состояния после вычисления внутренних усилий из 12- этажной диафрагмы жесткости был выделен суперэлемент. Суперэлемент разбивался на 120 элементов (рис. 19).

В результате расчета 12- этажной монолитной диафрагмы жесткости были построены эпюры нормальных и сдвигающих усилий, а также эпюры прогибов по высоте диафрагмы.

Также был выполнен расчет на ЭВМ по МСД 12- этажного монолитного каркасного жилого дома, строящегося по ул. Набережная в г. Душанбе с учетом акселерограммы Гиссарского землетрясения.

В результате расчета здания для момента времени / = 4.6с были построены эпюры М и д. Также получены максимальные значения крутящих моментов, линейные перемещения по оси X и 2, поворота вдоль оси У и кручения вокруг оси X. Расчетная динамическая модель по МСД, эпюры Л/ и () приведены на рис. 20.

С целью учета влияния податливости стыковых соединений при расчете сборных железобетонных дисков перекрытий был рассмотрен расчет натурного диска перекрытия размером в плане 6x6м каркасно-панельного шестиэтажного здания «Столичный сервис центр», строящегося по ул. М. Турсунзаде в г. Душанбе.

Рис.19.Суперэлемент 12- этажного монолитного жилого дома.

1- перемещения; 2- нормальные силы; 3- сдвигающие силы.

Из полученных графиков распределения сосредоточенных нормальных усилий в межплитных швах следует, что при действии горизонтальной нагрузки в направлении ригеля, они концентрируются в приопорных участках. Эти усилия в средней части по длине шва являются двузначными, имея максимальные ординаты по линии приложения внешней нагрузки. Наибольший интерес представляет закон распределения сдвигающих усилий в диске перекрытия. Представляет несомненный интерес в практическом плане и распределение сдвигающих усилий в реальных швах диска перекрытия (рис.21). Деформированное состояние в основном носит сдвиговой характер, определяемый податливостью реальных швов между элементами диска перекрытия.

Максимальные значения сдвигающих усилий в фиктивных швах ригелей диска перекрытия объясняются тем, что последние в своей плоскости и из плоскости деформируется больше, чем плиты перекрытий. Отметим, что результаты расчета диска перекрытия качественно совпадают с полученными автором экспериментальными данными.

Рис. 21. Эпюры сдвигающих усилий в реальных швах.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1.В диссертационной работе развивается численный метод динамического расчета - метод сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р.Ржаницыным и развитый далее для статических задач М.И.Додоновым, применительно к расчету конструкций с учетом податливости соединений. Показана наглядность и сравнительная простота метода и удобство его использования в практических расчетах.

2.Предложенный в диссертации алгоритм статического и динамического расчетов стержневых и пластинчатых систем прост и компактен, его применение в исследовательской практике позволяет численно решать многие задачи и отказаться от трудоемких, дорогостоящих и продолжительных экспериментов. Внедрение изложенной методики в практику проектных организаций, оснащенных ЭВМ, позволит получать более экономичные и надежные конструктивные решения. Алгоритм метода является достаточно универсальным и хорошо приспособленным для программирования. Разработаны также алгоритм и программы: решения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей, динамического расчета пластин, расчета многоэтажного здания с учетом кручения и физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмических сил.

3.Развитый метод сосредоточенных деформаций позволяет учитывать конструктивные особенности элементов без дополнительных узлов, что существенно упрощает расчеты и уменьшает трудоемкость подготовки к расчетам.

4. Впервые метод сосредоточенных деформаций применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил.

5. Метод сосредоточенных деформаций впервые применен к решению динамических задач по расчёту плит и балок на упругом основании.

6. Предлагается дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий, податливости основания, податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

7.Разработанная методика расчета многомассовой системы позволяет исследовать динамическое поведение здания с учетом упругопластических деформаций при различных значениях коэффициента упрочнения с использованием единой обобщенной системы уравнений. Предлагаемый алгоритм реализован при решении задач сейсмостойкости на воздействие в виде мгновенного импульса, а также при учете акселерограмм землетрясений.

8.Разработанная модель и алгоритм расчета пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций на основе принятых допущений о взаимодействии элементов в реальных связях позволяют проводить исследования напряженно-деформированного состояния многоэтажных зданий с учетом пространственной работы при различных воздействиях. Составлены программы численного решения задач статики и динамики пластинчатых систем.

9.Разработанная математическая модель метода сосредоточенных деформаций позволяет проводить исследования различных динамических задач. Модель метода хорошо согласуется с реальной работой сборных элементов зданий. Полученные дифференциальные уравнения интегрируются по времени с использованием сплайн-аппроксимаций шаговым методом. Проведены численные эксперименты по анализу сходимости и точности решения при сгущении сетки.

10. Разработана математическая модель статических и динамических состояний стержневых систем, основанные на МСД с учетом податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

11 .Показан метод определения перемещений, внутренних усилий, нормальных и касательных напряжений во внутренних и внешних угловых точках в плоской задаче и изгибаемых пластинах. Алгоритм решений апробирован на тестовых задачах. Сравнение полученных результатов с известными решениями показывает достаточно хорошее совпадение.

12.Основные положения метода подтверждены проведением численных экспериментов, связанных с решением тестовых примеров и сравнением полученных результатов с аналитическими решениями и результатами расчетов по МКЭ и другим численным методам, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

13.Результаты расчета по развитому методу использованы при расчете монолитных диафрагм жесткости 6 и 12- этажного каркасного здания, 12-этажного монолитного каркасного здания и сборного железобетонного диска

перекрытия при действии сейсмических нагрузок в г. Душанбе. Результаты расчета модели помещения атомной электростанции, полученные МСД, показывают, что характер напряженного состояния хорошо согласуется с данными эксперимента.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.Каландарбеков И., Валиев Ш., Близнюк И.В. Применение МСД к расчету мостовых конструкций //Сб. Повышение технического уровня дорожного хозяйства Таджикистана в свете решений XXVII Съезда КПСС, Душанбе, 1988,-Зс.

2.Каландарбеков П., Музофирова Т.Е. Метод сосредоточенных деформаций для расчета упругих стержней // Вестник Хорогского университета, Серия естественные науки, Хорог, 1999.- №1.- С.82-87.

3.Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций для расчета перемещений статически неопределимых железобетонных стержней // Вестник Хорогского университета, серия 1 .Хорог, 2003. - №6.- С. 106-109.

4.Каландарбеков И., Низомов Д.Н. Численное решение задач балок на упругом основании /Труды III- го Центрально-Азиатского международного геотехнического симпозиума «Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах». Душанбе, 2005,- С.272-275.

5.Каландарбеков И., Низомов Д.Н. Метод сосредоточенных деформаций в решении динамических задач балок на упругом основании //Материалы Республиканского симпозиума «Экономика Горно-Бадахшанской Автономной области: прошлое, настоящее и будущее» Хорог, 2005.- С.23-26.

6.Каландарбеков И., Низомов Д. Н. Анализ устойчивости, сходимости и точности МСД при решении динамических задач //там же. - С.28-30.

7.Каландарбеков И. Динамический расчет балок переменного поперечного сечения на упругом основании //Материалы международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» Душанбе, 2006,-С.100-103.

8.Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении стрежневых конструкций на динамических нагрузках // Вестник Хорогского университета, серия 1. Естественные науки, Хорог, 2006.- №7,- С.78-82.

9.Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении задач балок на неоднородном упругом основании //ДАН Республики Таджикистан, 2006, Т.49,- №5.- С. 480-484.

Ю.Каландарбеков И. К учету продольно - сжимающей силы //ДАН Республики Таджикистан, 2007,- Т.50.-№3,- С.291-296.

11 .Каландарбеков И. Динамическая модель метода сосредоточенных деформаций и уравнение движения //Вестник Хорогского университета, 2007,-№8,- С. 13-16.

12.Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении динамических задач плоских стержневых конструкций //ДАН Республики Таджикистан, 2007,- Т.50.-№5,- С.483-490.

13.Каландарбеков И. Анализ поведения многоэтажных зданий на основе расчета с учетом упругопластических деформаций при действии мгновенного импульса //ДАН Республики Таджикистан, 2007,- Т.50, №6 - С.560-568.

14.Каландарбеков И. Применение метода сосредоточенных деформаций к динамическим нелинейным задачам //Известия АН Республ. Таджикистан,

2007.-№3(128).-С.69-78.

15. Каландарбеков И. Решение динамической задачи пластинчатой системы //Вестник МГСУ, 2008.- №4,- С. 88-92.

16.Каландарбеков И. Некоторые результаты численного решения динамической задачи за пределом упругости // Докл. АН Респуб. Таджикистан,

2008. - Т.51, №4. - С.305 - 310.

17.Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении задач теории сейсмостойкости //Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, 2009,- №1.- С. 22-24.

18. Каландарбеков И.Свободные колебания систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций // Промышленное и гражданское строительство, 2009.-№1.- С. 37-38.

19. Каландарбеков И. Исследование сейсмической реакции здания методом сосредоточенных деформаций// Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений, 2009.- №3,- С. 27-28.

20.Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительных конструкций //Материалы Межд. науч. - практ. конф,- Душанбе, 2002.- С.27.

21.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики,-Душанбе: Ирфон, 2005.-289с.

22.Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Уравнение сейсмических колебаний и его решение на основе МСД /Труды III- го Центрально-Азиатского международного геотехнического симпозиума «Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах» Душанбе, 2005,-С.279-282.

23.Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Численное решение некоторых динамических задач теории сейсмостойкости /Труды Международной научной конференции « Современные аспекты развития сейсмостойкого строительства и сейсмологии 27-29 сентября 2005 г., Душанбе, Таджикистан.- С. 152-159 .

24.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Развитие метода сосредоточенных деформаций в решении динамических задач строительной механики // Материалы 1-ой международной научно-практической конференции « Перспективы развития науки и образования в XXI веке» Душанбе, 2005 .- С.45-47.

25.Низомов Д. Н., Каландарбеков И., Музофирова Т. Е. Метод сосредоточенных деформаций в решении одномерных статических задач //Вестник

Хорогского университета, серия 1. Естественные науки, Хорог, 2006. .- №7,-С.89-96.

26.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических задач балок на упругом основании //ДАН Республики Таджикистан, 2006,- Т.49,- №2.- С.190-194.

27.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении одномерных динамических задач //ДАН Республики Таджикистан, 2006,- Т.49.- №3,- С.284-288.

28.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Динамический расчет многоэтажных зданий на основе метода сосредоточенных деформаций // Известия АН Республики Таджикистан, 2007,- №1(126).- С.98-106.

29.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических задач теории упругости // Известия АН Республики Таджикистан, 2007,- №2(127).- С.98-106.

30.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Численное решение динамических задач систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций //Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий. Материалы республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» Душанбе, 2007,- С. 148153.

31 .Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Влияние коэффициента упрочнения на характер изменения упругопластических деформаций многомассовой системы //там же.-С.155-159.

32.Низомов Д. Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач плит на упругом основании // Промышленное и гражданское строительство, 2007.- №12.- С. 35-36.

33.Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Решение динамических задач многомассовой системы на основе метода сосредоточенных деформаций/Материалы первой Межд. науч.-практ. конф,- Худжанд, 2007.- С.48-55.

34.Низомов Д.Н., Каландарбеков И.Метод сосредоточенных деформаций в решении динамических задач многосвязных пластин // Промышленное и гражданское строительство, 2008.-№4.- С. 31-32.

35.Низомов Д. Н., Каландарбеков И., Ходжибоев A.A., Ходжибоев O.A. Трехмерное моделирование методом сосредоточенных деформаций //Докл. АН Республики Таджикистан, 2008,- Т.51.- №5,- С. 388 - 398.

36.Низомов Д. Н., Каландарбеков И., Ходжибоев A.A., Ходжибоев O.A. Пространственная модель с учетом жесткости реальных связей //Докл. АН Республики Таджикистан, 2008,- Т.51,- №6,- С. 489 - 498.

37.Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Применение метода сосредоточенных деформаций в решении задач пространственных систем от сейсмических воздействий // Промышленное и гражданское строительство, 2009.- №7.- С. 5657.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086

Оглавление автор диссертации — доктора технических наук Каландарбеков, Имомёрбек .

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 .МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ-ЗАДАЧ ПО РАСЧЕТУ НЕСУЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЗДАНИЙ

1.1. Обзор работ по методу сосредоточенных деформаций.

1.2. Обзор экспериментальных исследований.

1.3. Обзор публикаций по сейсмостойкости с учетом нелинейности.

1.4. О сущности метода сосредоточенных деформаций в развитом варианте.

1.5. Иллюстрация идеи метода на примерах расчета балок.

1.6. Математическая модель метода сосредоточенных деформаций.59 Выводы по первой главе.

Глава 2. МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

2.1. Основные матричные уравнения упругих стержневых систем.

2.2. Реализация метода сосредоточенных деформаций на примере балок.

2.3.Учет податливости опорных закреплений и деформации реальных связей.

2.4. Решение статической задачи балок ступенчато - переменного поперечного сечения.

2.5. Динамическая модель метода сосредоточенных деформаций и уравнение движения.

2.6. Влияние продольно - сжимающей силы.

2.7. Результаты динамического расчета балок постоянного и ступенчато - переменного поперечного сечения с различными граничными условиями.

Выводы по второй главе.

Глава 3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

3.1. Основы теории расчета.

3.2. Матрица внутренней жесткости.

3.3. Матрица уравнений равновесия.

3.4. Матрица внешней жесткости динамической задачи.

3.5. Учет деформации реальных связей.

3.6. Плоское напряженное состояние многосвязных прямоугольных пластин.

3.7. Численные примеры.

3.8. Определение перемещений и усилий в угловых точках в решении плоской задачи.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО

РАСЧЕТУ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИН.

4.1. Основы теории расчета пластин.

4.2. Уравнения движения.

4.3. Матрица жесткости.

4.4. Численные примеры.

4.5. Определение усилий в угловых точках в расчете плит с прямоугольным отверстием.

4.6. Анализ сходимости численного решения динамической задачи изгиба плит.

Выводы по четвертой главе.

Глава 5.МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ БАЛОК И ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ.

5.1. Основы теории расчета балок на упругом основании.

5.2. Колебания балок на упругом основании.

5.3. МСД в решении статических задач для балок на упругом основании.

5.4. МСД в решении динамических задач для балок на упругом основании.

5.5. Численный анализ устойчивости, сходимости и точности.

5.6. Результаты расчета балки на упругом однородном основании на действие вибрационной нагрузки.

5.7. Расчет балок постоянного поперечного сечения на неоднородном основании.

5.8. Пример расчета фундамента 11-этажного каркасного здания.

5.9. Пластины на упругом основании.

Выводы по пятой главе.

Глава 6. МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РАСЧЕТЕ

ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ.

6.1.Трехмерное моделирование методом сосредоточенных деформаций.

6.2.Система из элементов, которые деформируются как в своей плоскости, так и из плоскости.

6.3 .Матрица внутренней жесткости.

6.4.Матрица коэффициентов уравнений равновесия.

6.5.Учет жесткости реальных связей. б.б.Численное решение динамической задачи пластинчатой системы

6.7.Численные примеры.

6.8.Расчет экспериментальной модели помещения атомной электростанции.

6.9. Алгоритм расчета пластинчатой системы. Численная реализация алгоритма.

Выводы по шестой главе.

Глава 7. МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ.

7.1. Математическая модель.

7.2. Матрица жесткости стержня с учетом крутильных деформаций.

7.3. Уравнение сейсмических колебаний и его решение.

7.4.Численные исследования устойчивости и сходимости решений динамических задач на примере консольной динамической модели.

7.5.Примеры расчета по исследованию свободных и вынужденных колебаний расчетной модели здания.

7.6. Спектры сейсмических колебаний многомассового осциллятора при учете заданной акселерограммы.

7.7. Учет влияния динамического гасителя колебаний.

Выводы по седьмой главе

Глава 8. РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

8.1. Численное решение динамических задач систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций.

8.2. Численные примеры расчета зданий на сейсмические воздействия по предложенной методике.

Выводы по восьмой главе.

Глава 9. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ К РАСЧЕТУ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ И ИХ НЕСУ

ЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

9.1 Учет податливости стыковых соединений и экспериментальные исследования жесткости железобетонных плит перекрытий.

9.2. Расчетные модели железобетонных дисков перекрытий.

9.3. Расчет сборных железобетонных дисков перекрытий МСД на действие горизонтальной (сейсмической) нагрузки.

9.4. Расчет вертикальных несущих элементов многоэтажных зданий.

9.4.1. Расчет шестиэтажной монолитной диафрагмы жесткости.

9.4.2. Расчет двенадцатиэтажных монолитных диафрагм жесткости.

9.5. Расчет 12- этажного монолитного каркасного здания на сейсмические воздействия.

Выводы по девятой главе.

Введение 2009 год, диссертация по строительству, Каландарбеков, Имомёрбек .

Актуальность темы. Проектирование зданий и сооружений в районах с высокой сейсмичностью опирается на результаты исследований в области теории сейсмостойкости, которая непосредственным образом связана с теорией колебаний. Экономический эффект в строительстве зависит от совершенствования методов расчёта конструкций, в частности методов расчета конструкций и сооружений на динамические нагрузки. Развитие и совершенствование методов расчёта является одной из важнейших задач строительной механики.

В настоящее время разработано большое число приближенных методов расчета: метод конечных элементов, метод конечных разностей, вариационно-разностный метод и другие. Главным требованием к методам расчета является уменьшение трудоемкости расчетов при сохранении достаточной точности полученного решения. Существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью. Поэтому актуальным является вопрос разработки метода расчета, в наилучшей степени учитывающего конструктивные особенности элементов. Метод сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной работе, позволяет учитывать свойства этих систем. Кроме того, этот метод менее трудоемок по сравнению с известными вариантами МКЭ.

Обеспечение необходимой надежности строительных конструкций и снижения их стоимости остается одним из важнейших направлений в области строительной механики. Разработка эффективных методов решения динамических задач строительной механики, в том числе задач теории сейсмостойкости, имеет важное народнохозяйственное значение.

Разнообразие используемых расчётных схем и методов расчета конструкций вызвано тем, что каждый из методов имеет обычно определенную область применения, обусловленную положенными в его основу допущениями, гипотезами. Следует, однако, отметить, что при меньшем числе допущений шире область их применения, но это ведет к увеличению трудоемкости расчета конструкций. При расчете тех или иных несущих систем многоэтажных зданий выбирается та расчетная модель, которая в лучшей степени будет отражать действительную работу конструкций.

Современный этап развития строительной механики связан с широким использованием численных методов и применением высокоскоростных электронно-вычислительных машин (ЭВМ), позволяющих проводить расчеты конструкций по весьма сложным расчетным схемам. С появлением ЭВМ получили широкое распространение различные приближенные методы расчета конструкций. К таким методам можно отнести: метод конечных разностей, метод Бубнова - Галеркина, метод коллокаций, метод Релея-Ритца, метод взвешенных невязок, метод ВЗ. Власова, метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод дискретных связей и др. [15, 19, 20, 27, 36, 40 - 42, 45, 46, 101, 102, 157, 237, 239- 242, 252, 253, 289].

Метод внутренних граничных условий (МВГУ) предлагается в работах С.К. Годунова и B.C. Рябенького [49], где основная идея заключается в переходе от исходной разностей краевой задачи к системе уравнений на границе рассматриваемой области. Метод разностных потенциалов (МРП), который является дальнейшим развитием МВГУ, предлагается; в работе [243], где вычисление разностного потенциала сводится к решению; вспомогательной разностной задачи. Вместо1 функции Грина используется непосредственно оператор^Грина^ который;соответствует решению вспомогательной;задачи!

Метод разностных потенциалов получил дальнейшее развитие в работах А.Б. Золотова, В. И. Сидорова, В.А. Харитонова [101], где рассматриваются вопросы численной реализации метода расширения заданной системы. В работах JI.Г. Петросяна и А.И. Цейтлина [210, 297] показано, что применение обобщенных интегральных преобразований сводит задачу к решению граничных уравнений: интегральных при непрерывном спектре и алгебраических -при дискретном.

Близким к методу компенсирующих нагрузок - расширения области является метод обобщенных решений, который предлагается в работах В.И. Тра-вуша [283]. Исходя из интегро-дифференциальной системы уравнений с учетом разрыва искомой функции и ее производных при переходе через границы и с использованием интегрального преобразования Фурье, получена система интегральных уравнений второго рода относительно функций плотности.

В настоящее время в решении задач механики деформируемых твердых тел широко применяется метод граничных элементов (МГЭ). Суть метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения, и затем отыскании численного решения этого уравнения [44]. Одной из наиболее важных сфер его применения является решение задач регулярных бесконечных областей, задач для полубесконечного пространства с полостями и без них [143, 179].

Метод граничных элементов - это по определению, приведенному в монографии А.Г. Угодчикова и.Н.М Хуторянского [286], есть метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. В книге П. Бенерджи, Р. Баттерфилда [20] приведено последовательное изложение всех аспектов МГЭ, связанных с применением к решению задач механики, физики и техники.

В книгах К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела [26] в основном рассматривается прямая формулировка- [141] МГЭ. В работе [26], кроме-вопросов-применения МГЭ к решению различных задач механики, рассматривается вопрос об использовании МГЭ совместно с другими методами, в частности с методом конечных элементов.

Использованию метода граничных элементов в решении нелинейных задач посвящена работа [276], где главным образом используется прямая формулировка. В [138] для решения плоских задач теории упругости предлагаются методы фиктивных нагрузок и разрывных смещений. Развитие метода граничных интегральных уравнений и его применение для решения задач механики сплошных сред приведены в работах [55, 276].

В работе [26] комбинированным методом на основе метода конечных элементов и метода граничных элементов представлен расчет здания на упругом основании. Решение, полученное комбинированным методом, сравнивается с результатами расчетов, при которых конечными элементами представлялась вся область. Второе направление в применении комбинированных методов связано с теми задачами, где имеются зоны больших градиентов искомых функций. В этом случае можно сначала строить решение на грубой сетке, а затем использовать МГЭ, дающий возможность уточнять решения в зонах большого градиента [33].

Третье направление в применении комбинированных методов связано с нестационарными задачами, где совместно с граничными интегральными уравнениями используются численные методы [177 - 179, 313, 315, 316, 318, 320, 324, 331, 334, 336, 343, 348, 351].

Предложенный А.Ф. Смирновым [259] численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений краевых задач с помощью специальной числовой матрицы, позволяющей последовательно выражать младшие производные через старшие, получил дальнейшее развитие в работах [8, 40, 145, 261]. Р.Ф. Габбасовым [40], этот метод назван методом последовательных аппроксимаций. Одновременное обеспечение высокой точности и простоты метода, приводящего к сходящимся решениям, достигается последовательной аппроксимацией искомой функции и её производных кусочнополиномиальными функциями. МПА универсальнее и проще по сравнению с МКР, так как позволяет решать задачи, не прибегая к законтурным точкам, не сгущая расчетную сетку вблизи разрывов и особенностей. Учет разрывов, одинаковый порядок погрешностей вычислений напряжений и перемещений также являются преимуществами МПА. Метод последовательных аппроксимаций был применен в решении динамических задач в работе [43].

Б.Я. Лащениковым в [145] была получена формулировка численного интегрирования, учитывающая разрывы первого рода, где дается пример расчета балки на сосредоточенную силу с использованием предложенной методики.

С применением кусочно-полиномиальных функций в работе [42] получены формулы численного интегрирования и дифференцирования, учитывающие разрывы функций и её производной.

Р.Ф. Габбасовым в [41] предложена разностная модификация метода последовательных аппроксимаций. На основе разностной формы метода последовательных аппроксимаций в работе [41] получены решения различных задач строительной механики. Дальнейшее развитие метода последовательных аппроксимаций применительно к решению динамических задач по расчету балок, плит и пологих оболочек, а также разработка соответствующих алгоритмов и программ, даны в [179].

Методика расчета, использующая матрицу дифференцирования работы [8], была распространена на двумерные задачи В.А.Смирновым [262 - 264]. Им же показано применение метода к расчету пластин на упругом основании [265] и к расчету плит на динамические нагрузки [266].

Численные методы, используемые в задачах строительной механики, связаны с аппроксимацией искомой функции.

Положительная особенность сплайнов заключается' в том, что они хорошо приспособлены для решения интерполяционных задач. Развитие теории^ сплайн - функций изложены в работах [7, 275, 340]. Дальнейшее развитие теории сплайн - функций получила в работах [17, 32, 97, 105, 134, 155]. Применение теории сплайнов для численного решения интегральных уравнений излагается в работах [97, 106,179, 317, 340].

В МКЭ непрерывные функции, описывающие физические и механические величины, заменяются приближенными выражениями, которые, являясь гладкими в пределах каждого конечного элемента, будут непрерывными и кусочно-дифференцируемыми во всём теле. Эти приближенные функции конструируются с использованием неизвестных параметров, таких, как их значения в узловых точках, и интерполяционных функций, так что распределение физических величин в каждом конечном элементе может быть определено однозначно по их значениям в узловых точках. Следовательно, исходные дифференциальные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений, которые определяют неизвестные параметры [31].

Наиболее важными и первыми среди работ зарубежных исследователей по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются работы [311, 321, 324, 345].

Развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов, таких как вариациониые принципы со смягченными условиями непрерывности [328], принцип Германа для несжимаемых или почти несжимаемых материалов и для задач изгиба пластин [324, 326, 352 и т.д.]. Практическое использование этих принципов при формулировке МКЭ изложено в работах [328, 337, 340].

Хорошо известно, что метод взвешенных невязок (МВН), метод Релея-Ритца (МРР), метод конечных разностей (МКР) являются тремя основными методами дискретизации. Если для рассматриваемой задачи можно сформулировать вариационный принцип, то решение можно получить с помощью обычного метода конечных элементов, построенного на основе метода Релея-Ритца, в котором неизвестные параметры определяются из решения системы алгебраических уравнений. Если же вариационный принцип сформулировать нельзя, то для определения неизвестных параметров следует использовать метод взвешенных невязок.

МВН, который содержит в качестве частных случаев некоторые методы дискретизации, такие, как метод коллокации и метод Галеркина, является основой методов дискретизации и позволяет разъяснить свойства отдельных методик. МВН можно использовать для решения многих инженерных задач, и, следовательно, он обладает универсальностью при решении практических задач [31].

В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчёта строительных конструкций является МКЭ [9, 16, 31, 45, 46, 57, 98, 99, 111, 125, 126, 144, 159, 161, 162, 169, 170, 175, 176, 200, 202, 208, 212, 215, 216, 218, 239, 240, 241, 242, 246, 248, 249, 255, 256, 260, 290, 291, 296, 301, 303 - 308, 311, 352 и др.].

Современный этап науки о сейсмостойкости сооружений характеризуется интенсивным развитием экспериментальных и теоретических методов исследований, направленных на углубленное изучение физических свойств реальных зданий и сооружений в условиях интенсивных сейсмических движений. При этом одним из важнейших направлений является анализ упругопла-стических колебаний сооружений, который составляет одну из центральных проблем современной теории сейсмостойкости. Сказанное выше свидетельствует об актуальности темы.

В практике научных исследованный и инженерных расчетов в области прочности. все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела. Во-первых, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, а во-вторых, с возможностями компьютерной техники, которые позволяют проводить расчеты со значительными объемами вычислительных операций для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, и использование аналитических методов решения уравнений становится проблематичным. Поэтому вопросы построения алгоритмов численного решения уравнений, удобных для реализации на ЭВМ, становятся актуальными.

Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса можно заключить, что существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью; поэтому актуально создание расчетной модели, в наилучшей степени отражающей конструктивные особенности элементов при действии динамических нагрузок.

Цель диссертационной работы - развитие метода сосредоточенных деформаций для динамических задач строительной механики.

Научная новизна работы состоит в том, что:

-разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач;

-получено решение динамических задач с учетом продольно - сжимающей силы;

-сформирована дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий; с учетом» податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

Практическое значение работы заключается в том, что:

- разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением ЭВМ;

- разработанный метод решения; динамических задач строительной механики применен при исследовании* напряженно-деформированного состояния пластинчатых систем с учетом податливости связей;

- предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать односвязные и многосвязные системы при статических и-динамических воздействиях;

- предлагаемая» модель трехмерной системы может быть использована для решения задач сейсмостойкости с учетом пространственного характера сейсмического воздействия. рассчитаны диафрагмы, жесткости, сборные железобетонные диски пе-, рекрытий и: многоэтажных монолитных каркасных зданий, возводимые в> республике Таджикистан.

Реализация работы. Результаты разработок использованы в Институте; сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики

Таджикистан при расчёте зданий на сейсмические воздействия по теме «Формирование динамических расчетных схем и разработка математических моделей сооружений для решения задач теории сейсмостойкости» и внедрены в практику проектирования и научно-исследовательских работ Акционерного общества открытого типа «Гипропром», Государственного унитарного предприятия «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Общество с ограниченной ответственностью «Ориён Арк» и Общество с ограниченной ответственностью «Файз-2003». Теоретические и прикладные задачи диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета (ТТУ) по специальностям 2903 - ПГС, 2911- мосты и транспортные туннели, Хорогского государственного университета по специальности 2904 - Гидротехническое строительство. Акты о внедрении даются в приложении.

Апробация диссертации. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались: на X координационном совещании "Исследование, конструирование и расчет дисков перекрытий высоких зданий различных конструктивных систем" (Москва, 1984); республиканских научно-теоретических конференциях (Душанбе, 1984, 1985, 1988, 1989 г.г.); итоговой научно-теоретической конференций (Душанбе, 1989 г.); расширенном заседании кафедры промышленного и гражданского строительства ТТУ (Душанбе, 2004 г.); на областных научно - технических конференциях (Хорог, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008г. г.); на международной конференции "Развитие горных регионов Центральной Азии в XXI веке" (Хорог, 2001 г.), международной научно - практической конференции "16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и её историческая значимость в1 развитии науки и образования" (Душанбе, 2002 г.); международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке" (Душанбе, 2004 г.); III Центрально - Азиатском международном геотехническом симпозиуме "Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах"; том 2 (Душанбе, 2005 г.); на республиканском симпозиуме " Экономика и наука ГБАО: прошлое, настоящее и будущее" (Хорог, 2005 г.); международной научной конференции "Современные аспекты развития сейсмостойкого строительства и сейсмологии" (Душанбе, 2005 г.); на международной научно — практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке" (Душанбе, 2007 г.); на республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» "Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий" (Душанбе, 2007 г.); на международной научно-практической конференции «Научно - технический прогресс и развитие инженерной мысли в XXI веке» Худжандский филиал Таджикского технического университета им. акад. М.С. Осими (Худжанд, 2007 г.); в лаборатории «Моделирования сейсмических явлений и воздействий» института сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (Душанбе, 2008 г.); на расширенном заседании кафедры строительной механики и сейсмостойкости сооружений ТТУ (Душанбе, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры строительной механики и сопротивление материалов Московского государственного строительного университета (Москва, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета (Москва, 2009 г.).

На защиту выносятся:

4. Результаты статического и динамического расчета пластинчатых систем с учетом податливостей соединений.

5. Динамические модели зданий при сейсмических воздействиях, а также с учетом гасителя колебаний.

6.Результаты динамического расчета зданий с учетом физической нелинейности и податливости соединений.

Заключение диссертация на тему "Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений"

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1.В диссертационной работе развивается численный метод динамического расчета конструкций - метод сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р.Ржаницыным и развитый далее для статических задач М.И.Додоновым, применительно к расчету конструкций с учетом податливости соединений. Показана наглядность и сравнительная простота метода и удобство его использования в практических расчетах.

2.Предложенный в диссертации алгоритм статического и динамического расчетов стержневых и пластинчатых систем прост и компактен, его применение в исследовательской практике позволит численно решать многие задачи и отказаться от трудоемких, дорогостоящих и продолжительных экспериментов. Внедрение изложенной методики в практику проектных организаций, оснащенных ЭВМ, позволит получать более экономичные и надежные конструктивные решения. Алгоритм метода является достаточно универсальным и хорошо приспособленным для программирования. Разработаны также алгоритм и программы: решения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей, динамического расчета пластин, расчета многоэтажного здания с учетом кручения и физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмических сил.

4.Впервые метод сосредоточенных деформаций применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил;

6.Предлагается дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий, податливости основания, реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

8.Разработанная модель и алгоритм расчета пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций на основе принятых допущений о взаимодействии элементов в реальных связях позволяют проводить исследования напряженно-деформированного состояния- многоэтажных зданий с учетом пространственной работы при различных воздействиях. Составлены, программы численного, решения задач статики и динамики пластинчатых систем.

9.Разработанная математическая модель метода сосредоточенных деформаций позволяет проводить исследования различных динамических задач. Модель метода хорошо согласуется с реальной работой сборных элементов зданий. Полученные дифференциальные уравнения интегрируются- по времени с использованием сплайн-аппроксимаций шаговым методом: Проведены численные эксперименты по анализу сходимости и точности решения при сгущении сетки.

Ю.Разработана математическая модель, статических и динамических состояний стержневых систем; основанные на МСД с учетом, податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

11.Показан метод определения перемещений, внутренних усилий, нормальных и касательных напряжений во внутренних и внешних угловых

391 точках в плоской задаче и изгибаемых пластинах. Алгоритм решений апробирован на тестовых задачах. Сравнение полученных результатов с известными решениями показывает достаточно хорошее совпадение.

12.0сновные положения метода подтверждены проведением численных экспериментов, связанных с решением тестовых примеров и сравнением полученных результатов с аналитическими решениями и результатами расчетов по МКЭ и другим численным методам, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

13.Результаты расчета по развитому методу использованы при расчете монолитной диафрагмы жесткости 6 и 12 -этажного каркасного здания и 12-этажного монолитного каркасного здания и сборного железобетонного диска перекрытия при действии сейсмических нагрузок в г.Душанбе. Результаты расчета модели помещения атомной электростанции, полученные МСД, показывают, что характер напряженного состояния хорошо согласуется с данными эксперимента.

Библиография Каландарбеков, Имомёрбек ., диссертация по теме Строительная механика

1. Айзенберг Я. М. О распределении горизонтальной сейсмической нагрузкимежду поперечными стенами зданий с жесткой конструктивной схемой. //Сб.: Исследования по сейсмостойкости зданий и сооружений. М., 1960.-С.139-154.

2. Айзенберг Я. М. Распределение горизонтальной сейсмической нагрузки между вертикальными диафрагмами зданий. Автореф. дисс. канд. тех. наук. М.,1961.- 18с.

3. Айзенберг Я. М. Модель сейсмического воздействия для расчета сооружений при неполной сейсмологической информации// Сб. Сейсмическая шкала и методы измерения сейсмической интенсивности.- М.: Наука, 1975. С. -170- 178.

4. Айзенберг Я. М. Сооружения с выключающимися связями для сейсмических районов. -М.: Стройиздат, 1976. 229с.

5. Айзенберг Я. М. Управление механизмом неупругих деформаций и повреждений конструкций при сейсмических воздействиях// Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №1. - С. 64 - 68.

6. Айзенберг Я. М. Килимник JI. Ш. О критериях предельных состояний и диаграммах «восстанавливающая сила перемещение» при расчетах на сейсмических воздействия// В кн: Сейсмостойкость зданий и инженерных сооружений.- М.: Стройиздат, 1972. - С. 46 - 60.

7. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.1. М.: Мир, 1972. 320с.

8. Александров А. В: Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования/Тр. МИИТ, Строительная механика. М., 196Г, вып.133. - С. 253 - 266.

9. Александров^ А. В., Шапошников- Hi Н." и др. Расчетная* модель, многоэтажного ^здания на основе метода конечных элементов и некоторые результаты ее применения. Доклад на международном симпозиуме «Многоэтажные здания».- М., 1972. С. 51 - 58.

10. Амбарцумян В. А. Влияние нормальных сил на периоды и формы свободных колебаний каркасных зданий //Сейсмостойкое строительство, 1976.-вып.1.-С. 37-40.

11. Аубакиров А.Т. К расчету зданий на сейсмоизолирующих фундаментах с элементами сухого трения //Строительная механика и расчет сооружений-1986. -№3.- С. 70-74.

12. Байков В. Н., Карабанов Б. В. Анализ деформативности узлового соединения крайнего ригеля с колонной при кручении// Сб. научн. трудов /ЦНИИЭП жилища. М., 1981,- Полносборные унифицированные конструкций в гражданском строительстве. - С. 60 - 68.

13. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноусько Ф. Л. О разностно-квадратичных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов //ДАН СССР. 1976. -Т.231. - №2. - С. 269 - 272.

14. Бате К., Вилсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982.- 447с.

15. Бахвалов Н: С. Численные методы: М:: Наука, 1973:. - T.I. - 632с.

Похожие работы

Строительство
05.23.00