автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие коллокационного варианта метода декомпозиции к решению задач изгиба и свободных колебаний сплошных и сетчатых пластинок

На правах рукописи

Быкодеров Максим Викторович

РАЗВИТИЕ КОЛЛОКАЦИОННОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИЗГИБА И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СПЛОШНЫХ И СЕТЧАТЫХ ПЛАСТИНОК

Специальность 05.23.17 - СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2004

Работа выполнена в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Галишникова Вера Владимировна

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Николаев Анатолий Петрович кандидат технических наук, доцент Коновалов Олег Владимирович

Ведущая организация

Саратовский государственный технический университет

Защита состоится «24» июня 2004 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. 203 Б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан «21» мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.В. Кукса

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Конструкции в виде сплошных и сетчатых оболочек и пластинок находят широкое применение в различных областях современной техники (строительство, судостроение, машиностроение и т.д.).

Однако большие возможности применения таких конструкций сдерживаются трудностями их расчета и проектирования. Определение напряженно-деформированного состояния этих конструкций, как систем с усложненной внутренней структурой, с неклассическими граничными условиями, сложным контуром вызывает не только вычислительные, но и принципиальные затруднения.

Применение к таким конструкциям хорошо разработанных численных методов, таких как МКЭ, приводит к решению систем линейных уравнений высоких порядков, что сказывается на точности вычислений, приводит к большим затратам машинного времени и в конечном счете делает расчет таких конструкций не экономичным.

Если учесть, что на стадии предварительного проектирования требуется знать лишь приближенную оценку напряженно-деформированного состояния конструкции и иметь для этого аналитические или полуаналитические зависимости или методы, позволяющие делать быстрый пересчет при изменении параметров конструкций, то разработка таких методов представляется актуальной и практически важной проблемой.

Цель диссертационной работы развитие одного из наиболее перспективных приближенных методов решения краевых задач математической физики, метода декомпозиции, предложенного Г.И. Пшеничновым в его работах, и разработке на его основе алгоритма построения аналитических и численно-аналитических решений для упруго защемленных по контуру прямоугольных в плане пластинок. Получение приближенных аналитических формул

РОС. НАЦИОНАЛЬНА« I

БИБЛИОТЕКА С. Пет*

О»

ниIЬЛП . I

тона свободных колебаний упруго защемленной сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

на основе метода декомпозиции Г. И. Пшеничнова, разработан алгоритм применения коллокационного варианта метода декомпозиции для упруго защемленной пластинки;

получены приближенные аналитические формулы для задачи изгиба и определения низшего тона собственных колебаний прямоугольной упругозащемленной по контуру сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней;

получено приближенное решение по методу декомпозиции для Г-образной пластинки, с шарнирными и жестко-защемленными по контуру краями.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

Получены приближенные формулы для практического расчета сплошных и сетчатых пластинок с различными видами краевых условий, которые имеют место в практике эксплуатации конструкций.

Получены приближенные аналитические зависимости для оценки основного тона свободных колебаний сплошных и сетчатых пластинок с четырьмя семействами стержней.

Достоверность результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики. В ходе выполнения исследований на вспомогательных тестовых задачах был осуществлен анализ полученных результатов и их сравнение с результатами, известными из литературы и полученными, как на основе классических методов строительной механики, так и на основе МКЭ в форме метода перемещений.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на III международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов» (Волгоград, март 2003), на региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ноябрь 2003) и ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии в 2001-2003 г.г. Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Строительной механики и САПР» ВолгГАСУ (Волгоград, январь 2004).

Публикации. Основные результаты по теме диссертационной работы отражены в 4 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения, изложена на 128 страницах текста, содержит 56 рисунков и 36' таблиц. Список использованной литературы включает 189 наименований. На защиту выносятся:

коллокационный вариант метода декомпозиции и построенный на его основе алгоритм решения задачи изгиба континуальных прямоугольных пластинок, упруго защемленных по контуру, а также со свободными краями.

построенный на основе метода декомпозиции алгоритм решения задачи о свободных колебаниях упруго защемленной по контуру сетчатой пластины с четырьмя семействами стержней.

приближенные аналитические формулы для определения низших частот собственных колебаний прямоугольной упруго защемленной по контуру сетчатой пластинки.

решения конкретных задач и сопоставительный анализ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи диссертационных исследований, дано краткое описание содержания глав, указана научная новизна, практическая ценность и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор литературы по методам расчета пластинок, дано описание метода декомпозиции и метода коллокации

Отмечены работы, оказавшие значительное влияние на развитие методов расчета сплошных пластин. Приведен краткий список этих работ, классифицированный по основным методам расчета как сплошных, так и сетчатых пластинок. В этом же разделе отмечено, что в настоящее время в развитии приближенных теорий сетчатых пластин и оболочек сложилось два основных направления: методы, основанные на использовании дискретных расчетных моделей, и методы, основанные на использовании континуальных расчетных схем.

Приведен обзор литературы для задач о свободных колебаниях сетчатых пластинок. В связи с постановкой задачи для сетчатой пластинки именно по континуальной расчетной схеме особо отмечены работы, основанные на теории Г.И Пшеничного. Наиболее полно общая теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок в континуальной постановке разработана Г.И. Пшеничновым и его учениками.

Дан краткий обзор методов декомпозиции. Определены основополагающая идея и принципы декомпозиции Отмечено особое место методов расщепления дифференциальных операторов, развитых в работах Г И. Марчука.

Особое внимание уделено методу расчленения дифференциальных операторов математической физики, изложенному в работах Л.А. Розина, и методу декомпозиции Г.И. Пшеничнова. Отмечено, что метод расщепления является методом дискретизации исходной континуальной задачи, а метод

декомпозиции является методом как точного, так и приближенного аналитического или численного решения дифференциальных уравнений математической физики путем расчленения их на отдельные уравнения меньшей мерности и уравнения взаимосвязи Решаемые методом декомпозиции уравнения могут быть как дифференциальными, так и более общего вида.

Расчленение операторов позволяет придать исходной задаче различные эквивалентные формулировки. Как показано в работах В.А. Игнатьева и его учеников, принципы декомпозиции применимы также к конечно-разностным уравнениям и системам конечно-разностных уравнений.

Для исследования напряженно-деформированного состояния гибких пластин и оболочек широко применяются приближенные методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Канторовича-Власова, конечных разностей и др. Хотя проекционные методы и менее универсальные, чем сеточные, однако для широкого круга задач их применение более целесообразно. Из проекционных методов наиболее простым в реализации, по сравнепию с методом Ритца и Галеркина, является метод коллокации, а метод наименьших квадратов наиболее трудоемок, так как требует вычисления большего количества интегралов при алгебраизации задачи. В то же время метод коллокации имеет существенный недостаток, связанный с зависимостью результатов решения от вида аппроксимирующей функции и положения точек коллокации.

Приведенный обзор по методу коллокации содержит информацию об основных системах расположения точек коллокации, показана математическая сущность метода, и основные разновидности, а также перечень задач, решенных этих методом.

Метод декомпозиции, предложенный Г.И. Пшеничновым, доказал свою эффективность для отыскания как точных, так и приближенных аналитических или численных решений. Развитие метода декомпозиции, в комбинации с другими методами на этапе формирования вспомогательных

задач позволит повысить точность расчета и расширить круг решаемых задач самого различного класса сложности.

Во второй главе изложен коллокационный вариант метода декомпозиции. Его применение показано на примере задач изгиба тонких упругих прямоугольных пластинок из изотропного материала с упругим относительно угла поворота нормали контуром. Для удобства получения аналитических зависимостей решение производится в безразмерном виде. При этом вводятся безразмерные координаты и нагрузка

В задаче используются также безразмерные коэффициенты упругости

Г^ — коэффициенты упругости контура на соответствующих краях пластинки, имеющие размерность силы. Так как 0 < Пд < °о, то безразмерные коэффициенты упругости контура принимают значения Случай

к,-= 0 соответствует жесткой заделке, а к, = 1 — шарнирному опиранию.

На этапе решения уравнения взаимосвязи используется упрощенная постановка метода коллокации. Функция невязки минимизируется в четырех точках коллокации. В табл. 1 приведены безразмерные значения прогибов в центре шарнирно опертой пластинки, полученные с использованием предложенной методики В графе 3 приведены значения прогибов,-полученных в диссертации В.В. Галишниковой. Как видно по низким значениям погрешностей, при всех соотношениях сторон, коллокационный вариант метода декомпозиции позволил существенно улучшить результаты.

Значения максимальных погрешностей изгибающих моментов в центре шарнирной пластинки не превышают 1,8%. Для жестко защемленной пластинки погрешности по прогибам пе превышают 0,9%., по изгибающим моментам в центре не превышают 1,3%, а на краю пластинки - 1,9%.

(1)

контура, определяемые по формулам

X Прогибы в центре пластинки и (0,0)х10*

Точное шачение мд Погрешность, % МД (4 точки коллокации] Погрешность, %

1 2 3 4 5 6

1.0 6,50 6,41 -1,4 6,41 -1,5

1.1 7,76 7,62 -1,8 7,68 -1,1

1.2 9,02 8,78 -2,7 8,91 -1,3

1,3 10,21 9,86 -3,4 10,07 -1,4

1,4 11,28 10,88 -3,6 11,15 -1,1

1,5 12,35 11,81 -4,4 12,15 -1,6

1,6 13,28 12,66 -4,7 13,06 -1,6

1.7 14,13 13,43 -5,0 13,89 -1,7

1.8 14,90 14,12 -5,2 14,64 -1,8

1.9 15,58 14,75 -5,3 15,31 -1,7

2,0 16,16 15,31 -5,3 15,91 -1,5

3,0 19,52 18,62 -4,6 19,33 -1,0

4,0 20,48 19,83 -3,2 20,45 -0,2

5,0 20,80 20,33 -2,3 20,82 0,1

00 20,80 20,80 0,0 20,83 0,2

Таблица 1

Краевая задача изгиба пластинки, три края которой упруго оперты, четвертый свободен (рис.1 ),

и = к[ -^-^-Т^-к])—= 0 при а = 0 и при а = 1, За2 Яп

,3и

32о

'За >50

„.к^-О-к^-О при Р = 0,

ор- Сф

0р=-М

((2-ц) з3и | 1 ¿V

- 3а23р X3 Зр3,

при р = 1,

= и З^и 1х2'зр2

32и

При р = 1.

В соответствии с методом декомпозиции исходная краевая задача (2), (3) раскладывается на три вспомогательных задачи. Первая задача (краевая):

а4и(»

да „®.к

(4)

За' ' За Вторая задача (краевая)

зр

(5)

д2и® др2

Я (2)

-0-*1)^гвО при Р = 0.

др

Ор—

м

Г(2-ц) 32и«3и<2> 1 З3и<2>

+ ——'

,0)

За2 зр X.3 зр3

(6)

( 1 32и(2> , = - ----- и

V ар2

За

при р = 1.

Третья задача (решение дифференциального уравнения взаимосвязи):

(7)

1 *• А-» * ЯП * 1 *

X За Эр X'

Отметим, что в граничные условия (6) вошла функция и(1), которая меняет свое значение вдоль оси а. В связи с этим возникает необходимость заменить равенства нулю Мр и <3р в любой точке края р = 1 условиями

равенства нулю суммы работ всех Мр(а,1) на углах поворота 0(а,1) и

приведенных поперечных сил 0р(а,1)на прогибах и(а,1) вдоль края пластины. Такая замена называется смягчением граничных условий, и окончательно граничные условия (6) при Р = 1 примут вид (8)

(8)

Подчиняем решение вспомогательных задач условию (9) Неизвестные функции приняты в виде:

где ^¡(О, 0 = 1,4) - произвольные функции аргументов а и р.

Решением первой вспомогательной краевой задачи (4) является функция

и(|) = — (а4 - 2а3 - 2(-1 + к, )/(1 + к, )а2 + 2к,а/(1 + к,))\(/,(р). (И)

24

Рассмотрим вторую вспомогательную задачу. Решением дифференциального уравнения (5) является функция:

где Cj (i=0..11) - произвольные коэффициенты при функции р, определяемые при подчинении функции (12) граничным условиям (8). Несмотря на сложность аналитического решения данной краевой задачи, использование программы Maple позволяет получить универсальные аналитические зависимости для постоянных интегрирования. Найденные

коэффициенты подставляем в выражение (12) и получаем безразмерную функцию прогибов • О^. Выполнение УСЛОВИЯ- 0^=0^ позволяет определить функции

произвольные постоянные, определяемые из решения третьей

вспомогательной задачи, при условии При тождественном

равенстве нулю функции невязки решение задачи будет точным.

Решение третьей вспомогательной задачи (уравнения взаимосвязи) осуществляется методом переопределенной коллокации. Для рассматриваемой задачи приняты равномерно расположенные точки коллокации по всей площади пластинки. Для данных точек составляются уравнения равенства нулю функции невязки (15):

11

^Ф(а.р)^аас1р=0. ^=6(а-а^р-р,), 1 = 1,2,

(15)

оо

где координаты точек коллокации.

Решая переопределенную систему линейных уравнений, отыскиваем неизвестные постоянные значения которых подставляются в

выражение безразмерной функции прогиба (12). Задавая численные значения параметров определяем безразмерные значения прогибов в любой точке

пластинки. Результаты расчета продемонстрировали, что коллокационный вариант метода декомпозиции дает очень хорошие результаты с низкими величинами относительных погрешностей по сравнению с известным

величинами относительных погрешностей по сравнению с известным решением и решением по МКЭ для всех значений Х. В качестве примера приводятся значения прогибов на краю шарнирно опертой пластинки (табл.2).

Таблица 2

Прогибы на свободном краю при к1=1 (шарнирное опирание)

X Прогибы на свободном краю пластинки и(0,5; 1)х 1 ООО

Точи, решен. МКЭ адц Погрешность точн.решен.]- мкэ, % Погрешность [точн. решен.]-МД, % Погрешность МКЭ-МД, %

1 2 3 4 5 6 7

1/2 7,10 7,09 7.17 0,1 -1,0 -1,1

1/1,4 10,23 10,28 10,40 -0.5 -1,7 -1.1

1/1,3 10,92 10,91 11,03 0,1 -1,0 -1,0

1/1,2 11,58 11,56 11,67 ОД -0,8 -0,9

1/1,1 12,32 12,21 12,30 0,9 0,1 -0,8

1,0 12,86 12,85 12,93 0.1 -0,5 -0,6

1,2 13,84 13,82 13,88 0,1 -0,3 -0,4

1,4 14,42 14,40 14,45 0,1 -од -0,3

2,0 15,07 15,05 15Д4 0,1 -1,1 -1,3

3,0 15,20 15,19 15,69 0,20 -3,1 -3,3

Значения прогибов и моментов для жестко защемленной пластинки, также хорошо согласуются с решением по МКЭ. Размерные значения прогибов и изгибающих моментов в любой точке пластинки могут быть определены по формулам:

где интенсивность поперечной нагрузки,

цилиндрическая жесткость пластинки,

и- безразмерная функция прогибов, определяемая формулой (17).

Приведено решение для пластинки, два края которой упруго оперты,

два - свободны. Постановка задачи аналогична предыдущей с главным

отличием в том, что для второй краевой задачи оба граничных условия на

свободных краях имеют вид (8).

Неизвестные функции приняты в виде:

^(а>Р)= ЧМ Г (2)М)= Ч/2(а)+Р ■ У4(а). (17)

Для решения третьей краевой задачи, также как и в предыдущей задаче воспользуемся методом переопределенной коллокации. Точки коллокации размещаем равномерно по всей пластинке, и составляем систему линейных уравнений, из которой находим неизвестные постоянные П|,п2. Приведенные результаты значений прогибов в середине и на свободном краю жестко защемленной пластинки сравниваются с результатами, полученными по МКЭ (табл.3).

Таблица 3

Значения прогибов пластинки при к1=0 (жесткая заделка).

а. Прогибы пластинки и

г>(0,5;0,5)х1000 г>(0,5; 0)х1000

МКЭ мд Погрешность, % МКЭ МД. Погрешность, %

1 2 3 4 5 6 7

0,75 2,57 2,61 1,7 2,91 2,74 -5,9

1,00 - 2,56 2,56 0,1 2,91 2,83 -2,5

1,25 2,57 2,56 -0,4 2,90 2,85 -1,5

1,50 2,59 2,57 -0,5 2,87 2,84 -1,2

2,00 2,62 2,60 -0,7 2,83 2,80 -1,2

3,00 2,67 2,64 -1,2 2,80 2,75 -1,7

Третья глава, посвящена получению аналитических зависимостей для частоты основного тона свободных колебаний сетчатых пластинок с четырьмя семействами стержней с упругим относительно угла поворота нормали контуром.

На основе континуальной расчетной модели Г.И. Пшеничнова выведено уравнение свободных колебаний сетчатой пластинки (рис.2). Поперечные сечения стержней первого и второго семейств приняты одинаковыми. Дифференциальное уравнение изгиба такой пластинки при

= 2а35 = 2а4с имеет«

Ф = Ф1=-Ч>2»

= а,=

1(18):

О

ах4

дк2ду2

■+о

д V/ со ц ду* ~Е-с-р2

•О + в + с),

(18)

где „з

Б, = с +<14 ч-у-в -с,

=53-1§ф + (1з ^Бф + у-Б2 с, Э3 = 6-52 -с + у-(с-1 -б52с+е3 •tgф +е4),

5 = 51Пф,С = С05ф,е

01.

11

Е1

Е-1,

ср|ф.

1 I '

\< I

♦ . 1

IX

Рис. 2 Схема структуры сетки Рис. 3. Геометрическая схема пластинки

Приводится постановка задачи и ее декомпозиция для прямоугольной пластинки, изображенной на рис. 3. При граничных условиях (20)

дгУН

дх'

уу = к,а~-(1-к,)~ = 0,х=0>ху = к2а— + (1_к2)^ = 0, х =а, ~-2 дх дх

аг\у

| слу

ах!

д1™

дх1 дх дх2

дх

краевая задача (18) в соответствии с методом декомпозиции раскладывается на три вспомогательные задачи:

1. о, ^ = <•(>>(*,у) .

дх4

2. 02^^>(х,У) .

(21)

3. О

3 Зх2ду2 Ер2с Неизвестные функции приняты в виде

^>(х>У)= ф,(у). Г(2)(х,у)=Ч/2(х) (22)

Решением первой вспомогательной краевой задачи (21) является функция

01ХУУ)=ч/(1)(У)

(23)

где С[ (1 = 0,1,2,3)- произвольные функции. Выполняя граничные условия (20), получим выражения для произвольных функций С,. Подставляя их в (23), получим

¥(1)(У)Г5х4к,к, +х+ +3х4к, +3х4к, -8ах3к, -2ах3 = —^--—---!-í-+

1 1 "" 5к1к2 +1 + 3(к4 +к2)

5а х к2 +а2х2 -5а х2к|к2 -а2х2к, 5к,к2+1 + 3(к!+к2)

(24)

24

\

-10ах3к|к2 -4ах3к1 ^ + 5к,к2 +1 + 3(к, + к2) ]+ 24

+10к1к2а3х + 2к1а3х + 5к,к2+1 + 3(к1+к2)у

Решением второй краевой задачи является функция, аналогичная выражению (24) с заменой х ->у,к1 -»к3,к2 ->к4. Выполнение условия

№(1) =№(2)позволяет определить функции \|/(1)(у), *)/(2)(х): /"',41,1, , Э.,4,, ои-.Зь -п.,,3

Ч\.)(У>=§

5у к3к4 + у +3у к4 + 3у к3 -8ЬуЧс4 -2Ьу' 5к3к4+1 + 3(к3 + к4)-Э2

-10Ьу3к3к4 -4Ьу к3 +

5к3к4 + 1 + 3(к3 +к4)-Р2

24

+ 5Ь у к4 + Ь у -5Ь у к3к4 5к3к4+1 + 3(к3 + к4)-02

(25)

-Ь у к3 +10к3к4Ь у+ 2к3Ь у + 5к3к4 +1 +З(к3 +к4)-02

где С - неизвестная константа Подставив формулы (25) в (24) получим выражения для \у(1) ич®:

1 у(у-ЬХу2(Зк„ +Зк3 +5к,к4 + 1)-уЬ(1+5к,к4 + к, +5к4)~ ~ 576* (1+Зк4+Зк,+5к3к4).

-2Ь2(к,+5к3к4)) х(х-аХх2(Зк, +3к2 Ч-Зк^ +1)-

1 Х (5к,к2+1+Зк2+Зк,)0,02

-ха(1+5к,к2 +к! + 5к2)-2а2(к, + 5к,к2))-С 1

При решении третьей задачи будем использовать метод Бубнова-Г^леркина, приняв при этом \у<3) и

(26)

Использование пакета вычислительной математики Maple позволяет решать подобные задачи в аналитическом виде без особого труда. Выполнив условие (27), получим формулу для определения квадрата круговой частоты основного тона свободных колебаний для сетчатой пластинки. Если придавать коэффициентам к, значения, равные 0 и 1, можно получить формулы для безразмерного параметра собственных частот прямоугольных сетчатых пластинок при всех возможных комбинациях защемления и шарнирного опирания сторон. Приведем формулы для kL23 4 =1 (шарнирное

опирание) (28) и для k[ jj 4 = 0 (жесткая заделка) (29). (868D2a4 + 867Р,аУ +868Р[Ь'|)Ер2с

о =

961

Ha4b+(l + s + c)

2 _ 72(7Р2а4 + 2P3a2b2 + 7P|b4)Epzc

и =

na"V(l + s + c)

(28)

(29)

По полученным формулам произведен расчет частоты

собственных колебаний для металлической сетчатой пластинки с углами

сетки ср=(30в, 45°, 60°). Элементы решетки пластинки имеют круговое сечение: труба электросварная прямошовная 0 89x3 по (ГОСТ 10704-91).

Значения круговой частоты О (с"1) вычислены для соотношения сторон

Х = а/ь от 1 до 5 при шаге сетки (0.5 и 1 м). Базовое значение стороны Ь

принималось равным 5 и 10 м. Сравнение производилось с расчетом по ПК

"ЛИРА", реализующему МКЭ в форме метода перемещений. Результаты

сведены в таблицы и графики. Низкие значения погрешностей (табл. 4) в

сравнении с МКЭ показывают эффективность применения указанных формул

для расчета низшей частоты свободных колебаний сетчатой пластики.

Таблица 4

Значения круговой частоты сетчатой пластинки <р=45°

2 5 о>, 1/с

е А. Масса, шарннрно опертая жестко защемленная

и са а Е т мкэ мд Погрет ностъ, % мкэ мд Погреш ность, %

«Л в 1 0,605 86,689 85,587 -1,3 148,719 152,51 2,5

и 1.2 0,720 73,291 71,637 -2,3 127,913 129,27 1.1

X о 1.4 0,835 65,132 63,465 -2,6 116,607 116,94 0,3

о. э 1.6 0,949 59,801 58,287 -2,5 109,986 109,82 -0,1

и о 1.8 1,064 56,129 54,799 -2,4 105,852 105,41 -0,4

<0 2 1,179 53,494 52,322 -2,2 103,128 102,49 -0,6

X 3 1,752 47,234 46,545 -1,5 97,587 96,41 -1,2

§ 4 2,326 45,041 44,499 -1,2 95,998 94,49 -1,6

с 5 2,899 44,028 43,534 -1,1 95,336 93,62 -1,8

Проведено численное исследование точности расчета для пластинок с различными коэффициентами упругости контура.

Таблица 5

Основные варианты защемления и шарнирного опирания сторон

к|=0 , 216 (26602а4 + 306Р3а V + 65 Ю,Ь4)Ер2с ~ 589 }1а4Ь4(1 + 5 + с)

к2=1

кз=1

к4=1

............................ к|=0 2 _ 648 (13302а4 + 720,а2Ь2 + 1330,Ь4)Ер2с "361 )ла4Ь4(1 + б + с)

кг=1

кз=1

кч=0

к|=0 2 72 (42Э2а4 + 5Ш3а2Ь2 + 2170,Ь4)Ер2с И 31 ца4Ь4(1 + 8+с)

к2=0

кз=1

к4=1

к|=0 2 _ 72 (13302а4 +3603агЬ2 + бЗО,Ь4)Ер2с "19 ца4Ь4(1 + 5 + с)

к2=1

кэ=0

к4=0

По полученным формулам произведен расчет частоты собственных колебаний для сетчатой пластинки с углами сетки ф=(30°, 45°, 60°), с базовой стороной Ь=10м и шагом ячейки в 1м.

Таблица 6

Значения круговой частоты сетчатой пластинки <р=45°

Пластинка со стороной Ь =10ш, шаг сетки 1м X м, 1/с

1 1 1 1

МКЭ мд % МКЭ МД %

1,0 25,473 26,443 3,8 29,015 28,87 -0,5

1Д 22,581 23,207 2,8 24,691 24,32 -1,5

1,4 20,887 21,357 2,3 22,226 21,80 -1,9-

1,6 19.814 20,203 2,0 20,709 20,28 -2,1

1.8 19,092 19,430 1,8 19,716 19,30 -2,1

2,0 18,584 18,882 - 1,6 19,035 18,62 -2,2

2,5 17,820 18,055- 1,3 18,046 17,65 - -2,2

3,0 17,414 17,603 1,1 17,542 17,14 -2,3

Полученные формулы (28), (29) и из табл. 5, позволяют достаточно просто находить частоты свободных колебаний пластинки с четырьмя семействами стержней при различных соотношениях геометрических параметров и различных граничных условиях.

Четвертая глава, посвящена приближенному расчету тонких упругих плит, работающих в сложных граничных условиях.

На примере Г-образной пластинки изложены основные теоретические положения гибридного метода декомпозиции. Основное дифференциальное уравнение имеет вид (30):

(30)

В соответствии с методом декомпозиции исходное уравнение записывается в виде трех уравнений, каждое из которых представляет собой краевую задачу, и тогда преобразованное уравнение имеет вид (31)

ЬхК.у)+ЧК.у)+ЧК.у)=Г(Х'У)- (31)

Из выражения (31) получается расщепленная система уравнений (32)

Решения отдельных уравнений, удовлетворяющих граничным условиям, записываются в виде обобщенных функций прогибов для каждой подобласти:

(33)

Вводя неопределенные множители при каждой одномерной функции прогиба, получаем следующее выражение для функции прогибов:

*|(х,у):а,\у,(х)а2\у2(у)-а3\у3(х,у)

После подстановки этих выражений в (30) получаем:

1Л*(х, у)=Г(х,у)^(х,у)

(34)

(35)

(36)

Невязка:

1лу(х,у)-ш(х,у)= Г(х,у)~ Г(х,у)=Д^х.у)

Эту невязку можно минимизировать применением процедуры Бубнова-

Галеркина. Решив полученную систему уравнений относительно получаем решение исходной задачи.

Решение можно улучшить путем введения дополнительных точек коллокации и составления для них уравнения (30). Принимая число точек коллокации и решая эту систему уравнений (переопределенную),

находим решение поставленной задачи.

Реализация гибридного метода декомпозиции осуществлена на примере задачи изгиба тонкой изотропной Г-образной шарнирно опертой пластинки. Исходная краевая задача (30) расщепляется на две задачи - (31, 32). Разобьем пластинку (рис. 4) на три подобласти и в каждой подобласти введем неизвестные функции прогибов.

Рис. 4. Геометрическая схема пластинки. Для нахождения неизвестных функций прогибов в каждой подобласти применим метод декомпозиции, в соответствии с которым для каждой одномерной функции (33) записывается краевая задача, которая должна удовлетворять граничным условиям. Неизвестные функции для одномерных задач приняты в виде:

U(х,У)~ 4^3 (Л (х.у) = V4W

fi(x,y)=Vi(y), f2(x,y)=Va(x)> (37)

f5(x,y)=Vs(yX ^(х,у)=¥6(х).

Подчиняем решение вспомогательных задач условию (38)

(38)

В результате получим общее выражение для функции прогибов:

где произвольные постоянные, значения которых определяются из

решения третьей вспомогательной задачи. Подставляя выражение (39) в уравнение (36), получим выражение для функции невязки.

Решение уравнения взаимосвязи будем осуществлять методом переопределенной коллокации. Располагая точки коллокации равномерно по Г-образной области (33 точки), составляем уравнения равенства нулю функции невязки (40):

|Г|ф(х,у)Ш,с1хау = 0. (40)

Пределы интегрирования задаются в виде кусочных функций (41), которые описывают геометрические границы Г-образной пластинки:

Решая преопределенную систему линейных алгебраических уравнений, отыскиваем неизвестные постоянные которые подставляются в

выражение функции прогиба (39).

В качестве контрольного примера был произведен численный расчет Г-образной пластинки по МКЭ со следующими физико-геометрическими параметрами: Е=200 111а, (1 = 0,3; а=Ь=0,8 м, Ь = 0,02 м. Нагрузка принята равномерно распределенной по площади пластинки с интенсивностью кН.

Результаты расчета приведены для характерных точек в табл. 7. Значения прогибов и изгибающих моментов имеют удовлетворительные результаты. Для шарнирно опертой пластинки результаты заняли промежуточное значение между МКЭ и расчетами, выполненными В А, Смирновым.

Таблица 7

Шарнирное опирание Жесткое защемление

Реше-

Координата точки, (у.*) МКЭ ние по Смирнову В.А. мд Координата точки, (У,х) МКЭ МД

1 2 3 5 6 7 8

(0,1; o.l) 0,618 0,906 0,758 (0,1; 0,1) 0,118 0,135

Прогиб w=l/105 (0,2; 0,2) 1,497 2,482 1.653 Прогиб w-1/103 (0,2; 0,2) 0,547 0,601

(0.3; 0,3) 1,282 2,815 1,385 (0,3; 0,3) 0,576 0,625

(0,4; 0,2) 1,398 2,566 1,785 (0,4; 0,2) 0,537 0,585

(0.6; 0,2) 1,109 1,596 1,365 (0,6; 0,2) 0,339 0,360

(0,1; 0,1) 0,528 0,970 0,690 (0,2; 0,2) 0.453 0,512

(0,2; 0,2) 0,967 2,120 1,155 (0,2; 0,4) 0,661 0,745

(0,3; 0,3) 0,426 2,310 0.687 (0,2.0,8) -0,112 -0,185

Mx=l/10J (0,4; 0,2) 1,313 1,430 1,415 Mx=l/10J (0,4; 0,2) 0,196 0,222

(0,6; 0,2) 1,072 1,040 1,168 (0.6; 0,2) 0,243 0,265

(0,2; 0,4) 0,295 2,970 0,436 (0,8,0,2) -0,505 -0,611

(0.2; 0.6) 0,655 2,300 0,754 (0,0; 0,4) -0,961 -1,235

Использование в качестве аппроксимирующих функций полиномов более высоких степеней позволит улучшить результаты. Подобная методика может быть развита для расчета пластинок, имеющих вырезы, и пластинок со смешанными граничными условиями.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. В диссертационной работе получил дальнейшее развитие один из наиболее перспективных методов решения краевых задач математической физики - метод декомпозиции; На его основе в комбинации с методом коллокации разработан коллокационный вариант метода декомпозиции.

2. Предложены эффективные алгоритмы построения аналитических и численно-аналитических решений для упругозащемленных по контуру прямоугольных сплошных и сетчатых пластинок.

3. Получены аналитические и численно-аналитические решения задач изгиба сплошных пластинок при различных краевых условиях.

4. Использование вычислительного пакета Maple позволяет значительно снизить затраты машинного времени на получение таких решений.

5. На основе метода декомпозиции получено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях для стержневой пластинки с четырьмя семействами стержней и различными коэффициентами упругости по сторонам контура.

6. Получены простые приближенные аналитические решения для частоты основного тона сетчатой пластинки. Численное исследование для различных углов наклона стержней ячейки (30°, 45°, 60°), а также для различных соотношений сторон пластинки, показало высокую точность полученных формул.

7. Получил развитие гибридный метод декомпозиции. Для Г-образной шарнирно опертой и жестко защемленной пластинки по этому методу получены приближенные численно-аналитические решения.

8. Разработанные на основе коллокационного варианта метода декомпозиции алгоритмы могут быть обобщены на широкий круг задач расчета пластинок, имеющих сложный контур, а также вырезы.

Основные положения диссертационной работы изложены в следующих публикациях.

1. Решение задачи изгиба прямоугольной пластинки с упругим контуром с применением метода коллокации // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Междунар науч. конф, 27-29 марта 2003 г., Волгоград. В 4-х чУВолгГАСА. Волгоград, 2003. Ч.И. - С.144-150. (соавт. Галишникова В.В.).

2. Применение коллокационного варианта метода декомпозиции к расчету изгибаемой пластинки с упругим закреплением сторон // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Тех. науки. - 2003. - № 2-3(8). - С. 3-10. (соавт. Игнатьев В. А., Галишникова В.В.).

3. Игнатьев В.А. Применение коллокационного варианта метода декомпозиции к расчету изгибаемой пластинки, три края которой упруго закреплены, четвертый свободен /В.А. Игнатьев, М.В. Быкодеров, В.В. Галишникова// Вестник ВолгГАСА. Сер.: Стр-во и арх. - 2003. - №3(9). -С.101-113.

4. Быкодеров М.В. Развитие и применение коллокационного варианта метода декомпозиции в расчете пластин, имеющих сложный контур // VIII Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области (8; 2003; Волгоград). Направление №16: Экология, охрана среды, строительство. 11-14 ноября. Волгоград, 2004. - С. 23-25.

Быкодеров Максим Викторович

РАЗВИТИЕ КОЛЛОКАЦИОННОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИЗГИБА И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СПЛОШНЫХ И СЕТЧАТЫХ ПЛАСТИНОК

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 20.05.04. Формат 64x84/16

Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура Тайме. Уч.-изд.л. 1,6. Усл. печ.л. 1,5. Тираж 100. Заказ № 66.

Отпечатано НП ИПД «Авторское перо»

1-96 59

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО МЕТОДАМ РАСЧЕТА ПЛАСТИНОК.

1.1. Методы расчета пластин.

1.1.1. Задачи изгиба пластин.

1.1.2. Основные направления расчета сетчатых пластинок и оболочек.

1.1.3. Свободные колебания сетчатых пластинок и оболочек.

1.2. Метод декомпозиции.

1.2.1. Редукционные методы расчета в задачах математической физики.

1.2.2. Метод расчленения дифференциальных уравнений.

1.2.3. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач.

1.3. Метод коллокации.

2. КОЛЛОКАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЛОШНЫХ ПЛАСТИНОК.

2.1. Алгоритм расчета изгибаемых пластинок коллокационным вариантом метода декомпозиции.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Теория коллокационного варианта метода декомпозиции.

2.2. Изгиб прямоугольной изотропной пластинки с симметричным закреплением сторон.

2.3. Изгиб прямоугольной пластинки три края которой упруго оперты, четвертый свободен.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Декомпозиция задачи.

2.3.3. Коллокационный вариант метода декомпозиции.

2.4. Изгиб прямоугольной пластинки два края которой упруго оперты, два свободны.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Декомпозиция задачи.

2.4.3. Коллокационный вариант метода декомпозиции.

3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЕТЧАТОЙ ПЛАСТИНКИ.

3.1. Свободные колебания сплошной пластинки.

3.2. Свободные колебания сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней.

3.2.1. Свободные поперечные колебания сетчатой пластинки

3.2.2. Постановка задачи.

3.2.3. Декомпозиция задачи.

3.2.4. Численное исследование точности расчета для жестко защемленных и шарнирно опертых пластинок.

3.2.5. Численное исследование точности расчета для пластинок с различными коэффициентами упругости контура.

4. РАСЧЕТ Г-ОБРАЗНОЙ ПЛАСТИНКИ.

4.1. Гибридный метод декомпозиции.

4.2. Расчет шарнирно опертой Г-образной пластинки.

4.3. Расчет жестко защемленной Г-образной пластинки.

4.4. Численное исследование Г-образной пластинки.

Конструкции в виде пологих оболочек и пластинок, как сплошные, так и сетчатые, находят применение в различных областях современной техники (строительство, судостроение, машиностроение и т.д.). К таким конструкциям на современном этапе развития строительной механики предъявляются все более жесткие требования по экономичности расходуемого материала, прочности, а в последнее время и совершенству архитектурной формы.

Однако большие возможности применения таких конструкций сдерживаются трудностями их, расчета и проектирования. Определение напряженно-деформированного состояния этих конструкций, как систем с усложненной внутренней структурой, с неклассическими граничными условиями, сложным контуром вызывает не только вычислительные, но и принципиальные затруднения.

Несмотря на значительное количество работ, связанных с изучением колебаний конструкций, особенности динамического и статического поведения сплошных и сетчатых пластинок наиболее полно исследованы лишь для случая свободного опирания краев. При динамическом расчете таких конструкций необходимо определение частот собственных колебаний, причем наибольший интерес представляет основной тон свободных колебаний.

Учет сложной геометрии, переменной толщины, различных граничных условий - все это связано с вычислительными трудностями. Проектировщик на этапе выполнения поставленной задачи должен задаться рамками приближенного расчета, выполненного на основании простых приближенных численно-аналитических методов, а затем, пользуясь современными конечно-элементными программами, реализовать более точный расчет, ориентируясь на результаты предварительного анализа. В то же время, следует иметь в виду, что в результате численного расчета проектировщик не получает аналитической связи силовых и деформационных параметров, необходимых для оптимального проектирования.

Одним из развитых методов считается МКЭ, большой интерес к которому был проявлен в начале 1960-х гг. Использование МКЭ имело два важных следствия: во-первых, он породил впечатляющее количество работ по численным методам и эффективным инженерным подходам к решению задач и, во-вторых, привел к углубленному исследованию основных физико-математических принципов, таких как вариационные подходы и методы взвешенных невязок.

Первое из указанных следствий непосредственно связано с появлением мощных вычислительных машин, которые могли решать инженерные задачи, требующие хранения большого числового материала и проведения значительного объема вычислений. На некоторое время прогресс в вычислительной технике отвлек ученых от развития математических методов и их физических основ, т.е. от указанного выше второго следствия.

В связи с этим разработка и развитие существующих эффективных аналитических и полуаналитических приближенных методов расчета обычных и стержневых пластинок с учетом реальных граничных условий представляется актуальной и практически важной задачей. Математический аппарат и методы, которые смогли бы справиться с такими задачами, должны иметь в тоже время достаточно высокую точность, поэтому возникает вопрос о необходимости комбинирования методов на различных этапах постановки и решения задачи.

Целью диссертационной работы является развитие одного из наиболее перспективных приближенных методов решения краевых задач математической физики — метода декомпозиции, предложенного Г.И. Пшеничновым в [87 - 95] и других работах; и разработка на его основе алгоритма построения аналитических и численно-аналитических решений для упруго защемленных по контуру прямоугольных и сложного очертания в плане пластинок; получение приближенных аналитических формул для определения частот основного тона свободных колебаний упруго защемленной сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) на основе метода декомпозиции Г.И. Пшеничнова, разработан алгоритм применения коллокационного варианта метода декомпозиции для упруго защемленной пластинки;

2) получены приближенные аналитические формулы для задачи изгиба и определения низшего тона собственных колебаний прямоугольной упруго защемленной по контуру сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней;

3) получено приближенное решение по методу декомпозиции для Г-образной пластинки, с шарнирными и жестко защемленными по контуру краями.

Практическая значимость работы заключается в следующем: получены приближенные формулы для практического расчета сплошных и сетчатых пластинок с различными видами краевых условий, которые имеют место в практике эксплуатации конструкций. Получены приближенные аналитические зависимости для оценки основного тона свободных колебаний сплошных и сетчатых пластинок с четырьмя семействами стержней.

Достоверность результатов следует из использования общепринятых допущений теории изгиба стержней и пластинок, а также из сравнения полученных результатов с имеющимися аналитическими и численными решениями. Для отдельных частных случаев приведено сравнение с результатами расчета с помощью программных комплексов, реализующих МКЭ в форме метода перемещений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на III международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов» (Волгоград, март 2003), региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ноябрь 2003) и ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии в 2001-2003 г.г. Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСУ (Волгоград, январь 2004). Основное содержание диссертационной работы опубликовано в четырех работах [12, 13,42,43].

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 189 наименования и приложения. Содержит 127 страниц машинописного текста, 36 таблиц, 56 рисунков.

Основные результаты работы

1. На основе метода декомпозиции в комбинации с методом коллокации разработан новый коллокационный вариант метода декомпозиции.

2. Предложены эффективные алгоритмы построения аналитических и численно-аналитических решений для упругозащемленных по контуру прямоугольных сплошных и сетчатых пластинок.

3. Получены аналитические и численно-аналитические решения задач изгиба сплошных пластинок при различных краевых условиях.

4. Использование вычислительного пакета Maple позволяет значительно снизить затраты машинного времени на получение таких решений.

5. На основе метода декомпозиции получено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях для стержневой пластинки с четырьмя семействами стержней и различными коэффициентами упругости по сторонам контура.

6. Получены простые приближенные аналитические решения для частоты основного тона сетчатой пластинки. Численное исследование для различных углов наклона стержней ячейки (30°, 45°, 60°), а также для различных соотношений сторон пластинки, показало высокую точность полученных формул.

7. Получил развитие гибридный метод декомпозиции. Для Г-образной шарнирно опертой и жестко защемленной пластинки по этому методу получены приближенные численно-аналитические решения.

8. Разработанные на основе коллокационного варианта метода декомпозиции алгоритмы могут быть обобщены на широкий круг задач расчета пластинок, имеющих сложный контур, а также вырезы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получил развитие один из наиболее перспективных методов решения краевых задач математической физики -метод декомпозиции, предложенный Г.И. Пшеничновым. Выполнено исследование изгиба упруго опертой пластинки при различных граничных условиях, на основе коллокационного варианта метода декомпозиции. Исследован основной тон свободных колебаний прямоугольной упруго опертой сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней на основе метода декомпозиции и теории тонких упругих сетчатых обоолчек Г.И. Пшеничнова. Развит гибридный метод декомпозиции для расчета пластинки со сложным контуром.

1. Бабанов В.В. Общие принципы расчета конструкций на упругом основании методом конечного элемента // Тр. / ЛИСИ.- 1976.-Вып. 1 (119).

2. Барташевич Б.П. О расчете конструкций, лежащих на упругом основании / Б.П. Барташевич, А.И. Цейтлин // Строит, механика и расчет сооружений.- 1965. № 4. С. 44-46.

3. Бате К., Вшсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М: Стройиздат, 1982.

4. Бегун Г.Б. Осесимметричные задачи прочности, устойчивости и колебаний сетчатого гиперболоида вращения // Тр. / МИСИ.-1974.-№ 118.

5. Беликов Г.И. Прочность, устойчивость и колебания сетчатой оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны / Г.И. Беликов, Г.И. Пшеничнов // Надежность и долговечность строительных конструкций / Волгогр. политехи, ин.-т. Волгоград, 1974.

6. Белинский Б.П. Применение метода задачи Рилена — Гильберта к исследованию устойчивости, колебаний и изгиба пластин со смешанными краевыми условиями / Б.П. Белинский, А.З. Локшин // Прочность судовых конструкций. 1978. - № 1. - С. 8-13.

7. Борисов М.В. Расчет прямоугольной пластины с помощью интегрирующих матриц / М.В. Борисов, М.Б. Вахитов // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов: Сб. Казань, 1976. - Вып. 1.-С. 7-11.

8. Бреббия К. Методы граничных элементов: Пер. с англ. / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. М. Вроубел. М.: Мир. - 1987.

9. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Т. 2. СПб. - 1914.

10. Бубнов И.Г. Теория кораблестроения. Т. 2. СПб. - 1914.11 .Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехиздат, 1953.

11. Вайнберг Д.В. Пластины, диски, балки-стенки / Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг // Киев: Госстройиздат УССР, 1959.

12. Ъ.Ванюшенкое М.Г. Расчет тонких упругих пластинок методом начальных функций // Тр. / МИСИ.-1965.

13. Варвак П.М. Некоторые задачи поперечного изгиба пластин // Сб. тр. / Ин.-т. строит, механики АН УССР. 1949. - №13.

14. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок // Сб. тр./ Ин.-т. строит, механики АН УССР. 1949. - ч.1.

15. Ъ.Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок // Сб. тр./ Ин.-т. строит, механики АН УССР. 1952. - 4.11.

16. Варвак П.М. Метод сеток в приложении к расчету пластинок и оболочек / П.М. Варвак, А.В. Вайнберг // Справ, проектировщика расчетно-теоретическмй в 2-х кн. / Под. ред. А.А. Уманского. - кн. 2., Разд. 15. -М.: Стройиздат, 1973.

17. Варвак П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций / П.М. Варвак, JI.M. Варвак. М.: Стройиздат, 1977.2\.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир. - 1987.

18. Волченко В.И. Изгиб сетчатых пластин: Депонир. рукопись / ЦИНИС Госстрой СССР. НТЛ. Разд. 5. Вып. 3. М., 1979.

19. ВольмирА.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.2А.Вольмир А.С. Устойчивость деформированных систем. -М.: Наука, 1967.

20. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. М.; JI.: ОНТИ, 1933.

21. Галеркин Б.Г. //Тр. / Ленингр. ин-т сооружений. 1935. - № 2. - С. 3-21.

22. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений: В 12 т. Т.Н. М.: 1953.

23. Галишникова В.В. Решение задачи изгиба прямоугольной пластинки с упругим контуром методом декомпозиции. / В.В. Галишникова, Г.И. Пшеничное // Расчеты на прочность.: Сб. ст. Вып. 32. — М.: Машиностр., 1990.

24. Ъ2.Голоскоков П.Г. Решение задачи об изгибе прямоугольной пластины при помощи полиномов специального вида / П.Г. Голоскоков, К.А. Разживин // Тр. / Ленингр. ин-т инженеров водного транспорта. 1977. - № 158. -С. 177-182.

25. ЪЪДаревский В.М. Об одном методе решения уравнений с частными производными//Дифференциальные уравнения. 1973. - №1. - С. 79-90.

26. Даревская Е.В. Изгиб, колебания и устойчивость защемленных по контуру прямоугольных пластин: Дис. . канд. техн. наук. М.: МИСИ, 1980.

27. Ь.Емец В.П. Экспериментальные исследования поперечного изгиба прямоугольной пластинки методом муаров // Расчет пространственных строит, конструкций.: Сб. 1979. - С. 138-144.

28. ЪЬ.Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков.: Изд-во «Основа» Харьк. ун-та, 1991.37Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чаш. М.: Недра, 1974.

29. Ъ%.3енкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

30. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1979.

31. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988.

32. Калманок А.С. Расчет пластинок: Справ, пособие. М.: Стройиздат, 1959.

33. Ь.Канторович JI.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АНСССР -1934 -№9.

34. М.Канторович JJ.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.;Л., 1962.

35. Клабукова Л.С. О применении метода декомпозиции для решения некоторых задач математической физики. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1989.

36. Колесников И.Ю. К расчету пластин со смешанными граничными условиями // Тр. / Моск. авиац. ин-т. 1979. - № 491. - С. 70-74.

37. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М.: Наука, 1980.5\.Корнишин М.С. Применение метода коллокации к решению некоторых линейных и нелинейных задач теории пластин // Изв. Казанского филиала АНСССР.-I960 -№ 14.

38. Корништ М С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., 1964.

39. ЪЪ.Корнишин М.С. Применение метода коллокации к решению линейных и геометрически нелинейных задач изгиба пластин и пологих оболочек / М.С. Корнишин, В.В. Рогалевич // Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 1. Тбилиси, 1975.

40. Корякова О.Л. Расчет пологой сферической сетчатой оболочки // Тр. / МИСИ.-М., 1973. -Ко 112.55 .Коялович В.М. Исследования о бесконечных системах линейных уравнений // Изв. Физ.-мат. ин-та им. Стеклова / АН СССР. М., 1930. -Т. 3.-С. 41-167.

41. Зб.Куйдин В.А. Метод коллокации и наименьших квадратов в некоторых задачах устойчивости прямоугольных пластин // Изв. вузов. Исследования пространственных конструкций: Сб. Свердловск, 1981. - С. 84-91.

42. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.

43. Луковенко С.А. Свободные колебания и устойчивость замкнутых сетчатых цилиндрических оболочек / С.А. Луковенко, Г.И. Пшеничное // Тр. / МИСИ. — 1974. № 118.

44. Лужин О.В. Расчет плит при сложном очертании края // Исследования по теории сооружений: Сб. Вып. XII. - М.: Госстройиздат, 1963. - С. 227-234.

45. Лужин О.В. Статический и динамический расчет балок, плит и оболочек приемом «расширения» заданной системы // Исследования по теории сооружений: Сб. Вып. ХШ. - М.: Стройиздат, 1964. - С. 63-76.

46. Максименко В.И. Применение вариационного метода последовательного определения функции к расчету прямоугольных пластинок /

47. В.И. Максименко, B.C. Цабриков II Изв. Северокавказского науч. центра высшей школы. Сер. техн. наук. 1975. - № 4. - С. 14-16.

48. Мальцев Л.Е. Выбор точек коллокаций в зависимости от системы координатных функций / JI.E. Мальцев, Е.Ю. Куриленко // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. Киев: Буд1вельник, 1973. - Вып. XXII.

49. Мальцев JI.E. Решение задач изгиба пластинки методом коллокации / Л.Е. Мальцев, Е.Ю. Куриленко // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. Киев: Буд1вельник, 1974. - Вып. XXIII. - С. 160-169.

50. Ю.Малышев Б.А. Пластина, загруженная внутри контура касательной нагрузкой // Механика стержневых систем и сплошных сред: Сб. Л., 1976. -Вып. 9.-С. 13-18. И.Марчук Г.И. Методы расщепления переменных направлений. - М. Изд-во

51. АН СССР, 1986. И.Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука.

52. ПЪ.Медич Душаи Л. Расчет прямоугольных пластин вариационным методом В.З. Власова при различных граничных условиях // Теор. и практ. механика. 1976. - С. 77-84.

53. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. АС. Сахарова и А. Альтенбаха. К.: Вшца шк.; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферлаг. - 1982.

54. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение. - 1979.

55. Нурмаганбетов Е.К Свободные колебания пологой сферической оболочки с упругим контуром. / Е.К. Нурмаганбетов, А.В. Скориков //Строит, механика и расчет сооружений. 1989. - № 3.

56. SO.Образцов И.Ф Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. М.: Высш. шк. - 1985.81 .Папкович П.Ф. Труды по строительной механика корабля. Т. 3. Л., 1962.

57. Пономарев В.В. К расчету усеченных сетчатых круговых конических оболочек / В.В. Пономарев, Г.И. Беликов // Надежность и долговечность строит, конструкций. Волгоград, 1976.

58. Постное В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И .Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974.

59. Прокопьев В.К. Вариационный метод решения задачи об изгибе конечной пластины / В.К. Прокопьев, М.В. Сухотерин // Прикладная механика. -1978. Т. 14. - № 5. - С. 122-127.

60. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. -М: Наука, 1982.

61. Пшеничное Г.И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач // Докл. АН СССР. М., 1985. - Т. 282, № 4. - С. 792-794.

62. Пшеничное Г.И. Метод декомпозиции решения некоторых задач строительной механики методом декомпозиции // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 12-17.

63. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988.98 .Рогалееич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием кубических сплайнов // Строит, механика и расчет сооружений. 1977. - №5.

64. Рогалевич В.В. Метод коллокации и наименьших квадратов в нелинейных задачах изгиба прямоугольных пластин и пологих оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. 1979. - № 3. - С. 5-9.

65. Рогалевич В.В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости и колебаний пластин и оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. 1982. - № 5. - С. 33-38.

66. Рогалевич В.В. Исследование устойчивости неравномерно сжатых прямоугольных пластин методом переопределенной коллокации /

67. B.В. Рогалевич, А. В. Куйдин // СИА. 1982. - № 1. - С. 37-40.

68. Рогалевич В.В. Об одном эффективном проекционном методе решения нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек // Теория пластин и оболочек (XIII Всесоюз. конф.). Таллинн, 1983. - ч.4.

69. Рогалевич Я А Метод коллокации в задачах статики гибких пологих оболочек переменной толщины / В.В. Рогалевич, С.Д. Корсаков // Изв. вузов. Стр-во и арх. 1985. - № 5. - С. 32-35.

70. Рогалевич В.В. Расчет полигональных пластин с круговым вырезом методом граничной коллокации. / В.В. Рогалевич, С.А. Клячин, М.В. Перухов, А. А. Чусовитин // Изв. вузов. Стр-во. и арх. 1999. - № 8.1. C. 111-114.

71. Розин JI.A. О расчете конструкций методом расчленения // Информ. сб. Ленчидэпа. 1961. - № 21. - С. 22-38.

72. Розин Л.А. Метод расчленения в теории оболочек. // Прикладная математика и механика. 1961. - Т. XXV, № 5. - С. 921-926.

73. Розин Л.А. Схема метода расчленения и применение вариационного метода к расчлененному уравнению // Методы вычислений. Л., 1967. -№4.-С. 87-96.

74. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд-во ЛГУ. - 1976.

75. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977.

76. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

77. Скориков А.В. Свободные колебания пологих оболочек при различных краевых условиях: Дис. . канд. техн. наук. — М., 1988.

78. Скориков А.В. Изгиб прямоугольной пластины с упругим контуром методом декомпозиции / А.В.Скориков, Е.А. Яковлева // Вычислит, центр РАН. 1995.

79. Скориков А.В. Изгиб прямоугольной сетчатой пластины с упруго закрепленными краями // Теор. и эксперим. исследования прочности и жесткости элементов строит, конструкций: Сб. научн. тр. М.: МГСУ, 1997.-С. 59-62.

80. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М., Стройиздат, 1978.

81. Соболев И Д. Решение задачи квадратной пластины на упругом основании методом декомпозиции // Вопросы теор. и прикладной механики / МИСИ. Деп. в ВИНИТИ. № 3799-В87. - 1987. - С. 235-238.

82. Соболев Н.Д. Решения задач о кручении стержней и изгибе пластин методом декомпозиции: Дис. . канд. техн. наук. М. 1990.

83. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. В 2-х кн. Кн. 2 / Под. ред. А.А. Уманского. -М.: Стройиздат. 1973. -С.363.

84. Столяров Н.П. Решение краевых задач теории пластин релаксационным методом Федоренко / Н.П. Столяров, Л.В. Нерогов // Числ. методы решения задач теории упругости и пластичности: Сб. -Новосибирск, 1976. 4.2. - С. 105-113.

85. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.

86. Филоненко-Бородич М.М. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой два противоположных края закреплены // Вестник Моск. ун-та. 1947.- № 3. (март).

87. Фролов И.И. К расчету прямоугольной тонкой плиты, защемленной по контуру / И.И. Фролов, Ю.Л. Спиваков, Р.И Жукова // Тр. /Ташкент, ин-та инж. ирригации и механизации сельского хозяйства. 1976. - Вып. 82.- С. 138-147.

88. Хайруллин С.Х. О применении метода коллокации к решению линейных уравнений изгиба пластин // Изв. вузов. Сер. Математика. 1978. - №8. -С. 103-108.

89. Хисамов Р.И. Приближенный расчет пространственных стержневых покрытий // Строит, механика и расчет сооружений. 1965. - № 1.

90. Цыдзик П.В. Применение метода малого параметра для решения задач о собственных колебаниях пластин, близких к прямоугольным // Прикладная математика и механика. 1952. - Т. 16, Вып. 3.

91. Черняк A.M. Расчет пластин сложного очертания с применением сплайнов // Исследования по строит, механике и строит, конструкциям. -Томск, 1989. С. 162-167.

92. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. JL: Машиностроение, 1983.

93. Шрамко В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния плит с особенностями с помощью разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. М., 1981.

94. Павлова Ю. Решение на гаюча въерху еластина основа метода на крайните элемента в перемествания // Петшца. 1977. - Т. 16, №10. - С. 1819.

95. Altiero. N.J. A boundary integral method applied to plates of arbitrary plan form / N.J. Altiero, D.I. Sikarskie // Computer and Structures, 1978. - № 9. — C. 163-168.

96. Argiris J.H. Energy theorems of structural analysis. Part 1. General theories, // Aircraft Engineering. -1954. -V. 26, № 308. -C. 347-356. № 309.- C. 383-387. 1955. -V. 27, № 312. -C. 42-58. - № 313. - С 80-94. -№ 314. - С. 125-134.-№315.-С. 145-158.

97. Bassily S.F. On the use of beam functions for problems of plates involving free edges. / S.F Bassily, S.M. Dickinson, // Trans ASME- 1975. -E42, № 4. -C. 858-864.

98. Bernulli J. Essay theorigue sur les vibrations de plagnes elastiques restangularies et libres // Nova Acta Acad. Petropolit. 1789. -№5. -C. 197-219.

99. Bezine G.P. A new integral equation formulation for plate bending problems, in Resent Advances in Boundary Element Methods / G.P. Bezine, and D.A. Gamby- London: (C.A. Brebbia, Ed.). Penteeh Press. 1978.

100. Bezine G.P. Boundary integral formulation for plate flexure with arbitrary boundary conditions // Mech. Res. Commun. -1981- № 5.

101. Brebbia C.A. Symplified boundary elements, for radiation problems / C.A. Brebbia, S. Walker // Res. Notes Appl. Math. Modelling. -1978. -V. 2, №2.

102. Bubnov I.G. On the stresses in ships bottom plating due to water pressure I I Trans. Inst. Naval Architects. London. -1902. -№ 44 C. 15-47.

103. Burton M. V. Finite difference equations for the analyses of thin rectangular plates, with combinations of fixed & free edges // Defence Res. Lab. (University of Texas, Austin). 1984. -Rep. №175. Aug. 1984.

104. Cendrowicz J. Automatyzaeja obliczen statycznych plyt fundamentowych / J. Cendrowicz, R. Tribillo // Arch. Inz. Led. (Wars.).- 1977. -V. 23, №2.- С 287-295.

105. Chladni E.F.F. Die akustik. Leipzig. - 1802.

106. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and variation // Bulletine of the American mathematical Society. 1943, -№49.-C. 1-23.

107. Czerny F. Die an drie Randern starr eingespamte Reehteekplatte. -'Festschrift Alf. PfKlger 65, Geburstag' Hannover. 1977. - C. 27-34.

108. Danson D.J. Plate bending analysis using the boundary element method. -Technical Report, Computational Mechanics Centre, Southampton, England. — 1981.

109. Dietrich G. Berechnung von Platten mit dem Ombert ragungsverfahren // Maschinenbautechnik. -1977,-V. 26, №2. C. 72-74.

110. Douglas J. On the numerical solution of heat conduction problem in two and three space variables / J. Douglas, H. Rachford // Trans. Amer. Meth. Soc. -1956. -V. 82, №2. C. 421-439.

111. Euler L. De motu vibratorio tympanorum// Novi Commentari Acad. Petropolit. -1766.-№10. C. 243-260.

112. Favre H. Le calcul des plaques obliques par la methode des equations aux differences // Publ. Intern. Assoc., Bridge Struct. Eng.-1938. -№7. — C. 91-104.

113. Foppl A. Technische Mechanik. -1907. №5. - С. 132.

114. Fredholm I. Su rune classe d'equations fonctionelles I I Asta Mathematica. — 1903.-№27.-C. 365-390.

115. Fredholm 1. Solution d'un probleme fundamental de la theorie de l'elasticite // Arkiv for Mathematik, Astronomi och Fycic. -1906. -V. 2, № 28. C. 3-8.

116. Gatti G. Analisi numerica di una piastra rettangolare su semisparzio elastico/ G. Gatti, G. Gioda // Riv. ital. geotech. -1976. -10, №4 C. 269-281.

117. Green G. An assay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity and magnetism. -Nottingham. -1828.

118. Haugender F. Automatishe Berechnung der durchbiegungen und der shnittgrossen dunner platen mit Hilfe der Funktionen theorie / F. Haugender, W. Prochazka // Bauingenieur. -1978. -53, №7. -C. 243-248.

119. Hencky H. Der Spannungszustand in rechteekigen Platten. Miinchen. -1913.

120. Hraby К. Umfangsgelagerte Rechteekplateen auf elastisher bettung // Baumtechnik. -1979. -B.56, №9. C. 313-319.

121. HrennikoffA., Solution of problems of elasticity by the framework method // Journal of Applied Mechanics. 1941. - № 8. - C. 169-175.

122. Iyengar N.G.R. Note on the bending of clamped plates on elastic foundation under combined inplane and lateral load / N.G.R. Ivengar, A.J. Valsangkar // Journal struct. Mech. -1976. -V.4, №2, -C. 227-234.

123. Jaswon. M.A. An integral formulation of plate bending problems/ M.A. Jaswon and M. Maiti // Journal Engng. Math. -1968. -№ 2. C.83-93.

124. Kamiua. N.Y. Boundary element nonlinear bending analysis of clamped sandwich plates and shells in Boundary Element in Engineering (C. Brebbia. Ed.) / N. Kamiua, Y. Sawaki, Y. Nakamura // Berlin; Springer, 1982.

125. Karman Th. Festikeit im Maschinenbaw // Encycl. Math. Wiss. 1910. B.4. -C.311.

126. Katayomo T. Fundamental equations for thermaelastic deformation of skew plates / T. Katayomo, E. Matumoto, T. Sekiya // Bull. Univ. Osaka Prefect. -1967. -16, №2.

127. Khadakkar A.G. Deflection measurement of a canilever plate by holographic interferometry / A.G. Khadakkar, R. Narayanon, N.R. Iyer // Strain. -1972. -15, №2.-C. 63-65.

128. Kim. J.W. On the computations of the stress intensity factors in elastic plate flexure via boundary integral equations, in Boundary Element in Engineering / C. Brebbia Ed. — Berlin: Springer, 1982.

129. Kirchgoff G. Vorlesungen iiber mathematishe Physik. Mechanik.-! 877.

130. Krylov A.N. On stresses experienced by an ship in a sea way // Trans. Inst. Naval Architects. (London). 1898. - № 40. - C. 197-209.

131. Leissa A. W. Vibrathions of plates. Washington. -NASA.-1969.

132. Marcus H. Die theorie elastischen Gevebe und ihre Anwendung auf die Berechnung biegsamer platen. — Berlin; Springer, 1924.

133. Mang H. Trapezplatten mit rechten winkeln. Ein Beitzag zur funktionenthoretischen Berechnung von Plattentragwerken // Stahlbau. -1974. -V. 43, № 8. C.242-248.

134. Newmarr N.M. Numerical methods of analysis of bars plates and elastic bodies. Numerical methods of analysis in Engineering // Proceedings of a symposium held of the Illinois Institute of Technology.N.Y. 1949. -C. 138-168.

135. Niwa.Y. An application of the integral equation method to plate bending / Y. Niwa, S. Kobayashi, T.Fukui // Faculty Engng., Kyoto Univ.— 1974. -№36(Pt 2).-C. 140-158.

136. Norris D.H. Finite element bibliography / D.H. Norris, G de Vries // New York: Plenum Press. -1976.

137. Petrovic P.S. A contribution to the bending analysis of champed rectangulsr plates // Int. Sump. Innovative number. Anal. Appl. Eng. Sci. Versailles. -1977. -SI.-1977.-C. 3/13-3/16.

138. Pickett G. Solution of rectangular clamped plate with lateral load by generalized energy method // J. Appl. Mech. Dec. -1939. C. 168-170.

139. Posche Th. Ober eine mdglidie Verbesserung der Ritzschen Methode // Ing. Archiv. 1955. - XXIII, N. 5.

140. Pschenichnov G.I. A theory of Latticed plates and shells // World Scintific. Series in Mathmatics for Applied Sciences. -1993. -Vol. 5. C. 310.

141. Quade J. Rechteekige Platten auf elastigh — isotropen Halbraum unter Einzelkraftbelastung // Wiss. Z. Hochsch. Bauw (Leipzig). 1976. - № 4. - C. 223-228.

142. Reddy J.N. An improved finite-difference analysis of bending of thin rectangular elastic plates / J.N. Reddy, R. Gera // Compit. & Struct. 1979. — V.10, № 3. -C. 431-438.

143. Schikora K. Dtome elastiche platen mit begrenzten geraden und gerrummten Linienlasten // Bauingeuieur. 1976. - b.51. № 8. - C. 299-302.

144. Segedin CM. Integral equation method for corner plates / C.M. Segedin, D.G.A. BrickellHI. Struct. Div. Proc. ASCE. 1968. -V. 94. -C.41-52.

145. Shmidt K. Hyperkomplexe Behandlung der Platten beigung unter Punktlasten I I Forsh. Ingeniurw. 1987. - b. 43, № 5. - C. 133-140.

146. Stanisic M.M. On the response of thin elastic plates by means of Green*s functions U Ing. Arch. -1979. - V.48, № 4. -C.279-288.

147. Stern M. A general boundary integral formulation for the numerical solution plate bending problems // Int. J. Solids. Structures.-1979. -№15, C. 769-782.

148. Stern M. Boundary integral equations for bending of thin plates, in Progress in Boundary Element Methods. Vol. 2. - London: Penteeh Press; New York: Springer. -1983.

149. Synge J.L. The hypercircle in mathematical physics // Cambridge University Press (London.). -1957.

150. Szilard R. Theory & analysis of plates classical & numerical methods.-Prentice-Hall. Englewood Cliffs. -1974.

151. Tanaka. N. Integral equations approach to small and large displacements of thin elastic plates. / C. Brebbia. Ed. Berlin: Springer, 1982.

152. Turner M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / MJ. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. - № 23. - C. 805-823.

153. Wasowski J. Badanie ugie5 plit metoda morg. I J J. Mech. Theor I stosow. -1978. V. 16, № 4. - C. 439-455.