автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие и применение вихревого метода для изучения нелинейной стадии эволюции неустойчивых границ раздела несжимаемых жидкостей

1 3 т?

на правах рукописи

Паршуков Игорь Энгельсович

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ВИХРЕВОГО МЕТОДА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАДИИ ЭВОЛЮЦИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ГРАНИЦ РАЗДЕЛА НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

специальность 05.13.18 "Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск-1997

Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском

институте технической физики (РФЯЦ-ВНИИТФ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Неуважаев В.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Змитренко Н.В. (ИММ РАН), доктор физико-математических наук Зубов А.Д. (ВНИИТФ).

Ведущая организация: Всероссийский научно-исследовательский

институт экспериментальной физики (РФЯЦ-ВНИИЭФ)

Защита состоится "■?/ " Л Я Л 1997 года в_часов

на заседании диссертационного совета Д 064.19.03 при Челябинском государственном университете по адресу:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан "_//_" 1997 г.

Ученый секретарь

454136, г.Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Свиридюк Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Необходимость изучения динамики границ раздела жидкостей возникает во многих физических приложениях, при этом часто такие течения оказываются неустойчивыми. Достаточно вспомнить о неустойчивостях Релея-Тейлора, Кельвина-Гельмгольца и Рихтмайера-Мешкова в физике энергий высокой плотности (лазерный термоядерный синтез, физика взрыва и др.), астрофизике (некоторые задачи физики сверхновых звезд), физике атмосферы и океана. Развитие всегда имеющихся малых возмущений оказывает существенное влияние на общую картину течения и конечный результат. Понятно, что знание закономерностей развития гидродинамических неустойчивостей играет важную роль в описании подобных течений.

В последнее время гидродинамические неустойчивости интенсивно изучаются различными методами: аналитическими, экспериментальными и численными. Однако аналитическими методами удается исследовать лишь узкий класс задач. Возникающие при этом трудности заставляют ограничиваться в основном линейным приближением. При трактовке результатов экспериментов возникает ряд сложностей, обусловленных тем, что на развитие неустойчивых течений оказывают значительное влияние множество различных факторов, учет которых на практике сильно затруднен. Поэтому большую роль в изучении подобных явлений играет численное моделирование.

В идеале необходим численный метод, позволяющий отслеживать процесс развития течения с поверхностью раздела произвольной формы при различных соотношениях параметров жидкостей вплоть до возникновения режима турбулентности. Но в настоящее время для развития и проверки новых методов и построения теоретических моделей необходимо иметь достаточно точные решения простейших задач

развития регулярных возмущений границы раздела. При этом зачастую нет необходимости описывать все аспекты конкретной физической задачи. Для ряда имеющихся моделей, описывающих развитие ширины зоны смешения жидкостей, более важным является сходимость к асимптотическим значениям, описывающих рост экстремумов границы раздела, известных как "пики" и "пузыри".

Большинство существующих методик использует эйлерову сетку и лагранжевы частицы для маркировки жидкостей. Наличие сетки при этом дает эффект численной вязкости, кроме того сеточные методы достаточно дороги (в смысле требуемых вычислительных ресурсов). Поэтому для расчетов желательно иметь относительно простой и эффективный лагранжев метод, пригодный для решения достаточно широкого класса задач. За основу был взят метод1, основанный на представлении поверхности раздела жидкостей в виде потенциально-дипольного (вихревого) слоя, являющийся обобщением классического метода точечных вихрей.

Цель работы.

Развитие вихревой методики описания эволюции границы раздела несжимаемых жидкостей с целью расширения класса изучаемых задач; создание компьютерных программ, реализующих данный метод; проведение вычислительных экспериментов с целью установления количественных и качественных характеристик развития возмущений границы раздела на нелинейной стадии.

Научная новизна.

Обоснована возможность применения вихревого метода для задачи о развитии неустойчивости границы раздела жидкостей в случае

' Baker G.R., Meiron D.I., Orszag S.A. Generalized vortex method for free-surface flow problems//J.Fluid Mech. 1982. V.123. p.477-501.

воздействия импульсного ускорения, приближенно соответствующего прохождению ударной волны через границу раздела.

Для случая импульсного ускорения установлены характеристики развития одномодового возмущения границы на нелинейной стадии; изучено взаимодействие гармоник.

Показана применимость метода для приближенного описания реальных газодинамических течений (на примере расчета опытов на ударных трубах).

Проведено численное изучение случая совместного действия импульсного и постоянного ускорений в широком диапазоне изменения начальных данных.

Практическая ценность результатов работы.

Метод реализован в виде комплекса программ, позволяющих быстро и эффективно проводить расчеты задач гидродинамической неустойчивости границ раздела жидкостей. Полученные расчетные результаты могут быть использованы как тестовые при разработке и проверке сложных методик, а также при построении моделей нелинейной стадии развития неустойчивостей и перехода к турбулентности. Результаты имеют определенную практическую ценность при оценке развития возмущений в сложных системах.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

Математическая модель эволюции границы раздела несжимаемых жидкостей в случае импульсного ускорения. Комплекс программ, реализующих метод вихрей.

Количественные и качественные характеристики нелинейной стадии развития возмущений границ раздела двух сред в случае импульсного ускорения, а также при совместном действии импульсного и постоянного ускорений.

Метод приближенного решения задачи описания развития одномодовых возмущений контактной границы сжимаемых газов после прохождения через нее плоской стационарной ударной волны.

Достоверность полученных результатов подтверждается расчетами тестовых задач, а также сравнениями с существующими приближенными теориями, результатами расчетов по другим методикам и экспериментами.

Апробация результатов.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: Международной конференции IMACS "Математическое моделирование и прикладная математика" (Москва, 1990); Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991); 1-ом и 2-ом Всесоюзном семинаре по динамике пространственных и неравновесных течений жидкости и газа (Миасс, 1991 и 1993); Ш-их Забабахинских научных чтениях (Кыштым, 1992); 19-ом международном симпозиуме по ударным волнам (Марсель, 1993); 4-ой международной встрече по физике турбулентного перемешивания (Кембридж, 1993); 4-ой совместной конференции ядерных центров России и США по вычислительной математике (Снежинск, 1996); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); 5-ом Российско-Японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Новосибирск, 1996); XXIV Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 1997); ежегодных математических конференциях ВНИИТФ (Челябинск-70, 1990-1995), ВНИИЭФ (Арзамас-16, 1991), ИПМ (Москва, 1990).

Публикации.

Результаты работы изложены в 5 статьях, 2 препринтах и 6 тезисах докладов международных и всесоюзных конференций.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 115 страницах машинописного текста и состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка цитированной литературы из 121 наименований. Диссертация содержит 24 рисунка на 22 страницах и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность темы, сформулированы цели исследований и основные полученные результаты, определены их новизна и практическая ценность.

В первой главе дан обзор основных результатов, достигнутых при изучении задач неустойчивости границ раздела жидкостей различными методами. Основной упор делается на использование двумерных численных методов. Учитывая достоинства и недостатки существующих методик, для получения достаточно точных решений простейших задач предлагается использовать простой и эффективный вихревой метод.

Многие течения несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса характеризуются наличием в потенциальном поле течения конечных областей завихренности. Динамика течения определяется в основном взаимодействием таких областей, поэтому естественны попытки моделировать подобные течения системой вихревых дискретных элементов, что приводит к качественному упрощению вычислительных алгоритмов. Классическая теория потенциала показывает, что потенциал любого течения идеальной несжимаемой жидкости может быть выражен в виде поверхностного интеграла от простых или вихревых источников, расположенных на поверхности обтекаемых жидкостью твердых тел или на границе раздела жидкостей, и задача описания течения сводится к определению формы границы раздела и интенсивности распределенных на ней источников. Вместо начально-краевой задачи для нелинейных

уравнений с частными производными метод требует решения начально! задачи для конечномерной системы обыкновенных дифференциальны: уравнений. Тем самым, в частности, снимается проблема построения сето! для описания границ сложной конфигурации.

Подобные методы достаточно широко используются для решенш задач аэродинамики, поверхностных волн и т.д.. Можно выделить такие особенности метода дискретных вихрей как наглядность и простот) реализации на ЭВМ, устойчивость и точность расчетов, наличие рядг потенциальных возможностей, позволяющих осуществлять новыг обобщения.

Во второй главе описывается математическая модель эволюции границы раздела идеальных несжимаемых жидкостей, основанная на представление границы потенциально-дипольным (вихревым) слоем. Обосновано применение метода для случая импульсного ускорения, приближенно отвечающего прохождению ударной волны через границу раздела. Получены уравнения, позволяющие через изменение начальных условий задачи точно учитывать действие импульса. Описан алгоритм численного решения задач такого рода.

Рассматривается плоское течение двух невязких несжимаемых жидкостей в поле силы тяжести g. Прямая у= 0 является невозмущенной границей раздела, а плотности жидкостей, заполняющих полупространства у<О и >>>0 равны, соответственно, рх и р2. В момент времени / плоскость (х,у) разбита на две области О, и Г22, разделенные гладкой кривой {(х,у) еЯг: х = х(1,1),у = у(1^)} (далее в качестве

лагранжевой переменной 1 используется координата х начального положения точек границы раздела при /=0). Потенциальное движение жидкостей описывается известными уравнениями

Аф1 = 0, / = 1,2;

(л Р^ц.)- щу дп

^ + ,)*+£- + & = 0, г = 1,2,

где г), /?,(*, у,/) - потенциал скорости и давление, определенные,

соответственно, в областях Г2,. На границе раздела имеют место условия

<у д(рх _ д<р2

дп ,,, но до

где ст - коэффициент поверхностного натяжения, Я - радиус кривизны границы раздела. Начальные условия

4=0 =1о> Ы=о = <Р?{х,у), ' = 1>2-

Потенциал течения идеальной несжимаемой жидкости может быть выражен в виде поверхностного интеграла от расположенных на границе раздела жидкостей дипольных (или вихревых) источников с плотностью дипольного момента ц(1) = <рх -(рг, определяющего скачок потенциала при переходе через границу раздела. Исходная задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений, определяющих изменение во времени комплексного положения границы раздела Г) = х(/, /■) + гу(/, /) и плотности дипольного момента //(/,0 (предполагается, что течение 2л-периодично пох, т.е. г(1 + 2 л к) = г{1) + 2л к, /и(1 + 2л к) =/ц(1), к вЪ)

= = + , (1) о Г 2г,

+к<>. (2)

где

, , 2а

12,(1)2](/) ад(р,+р2)

2сг

Начальные условия

1 1

Здесь = — [/"/С ) —[^(0 — )] . Звездочка

¡Г 2

означает

комплексное сопряжение, Ие и 1т - соответственно, вещественная и мнимая части комплексной величины. А = (р1- р2)/ (р] + р2) - число Атвуда, нижний индекс I означает дифференцирование по лагранжевой координате /.

Параметр | ог| < 1 - весовой коэффициент (скорость точек границы раздела определяется как взвешенное среднее скоростей частиц, расположенных по ее сторонам). Такой подход не нарушает кинематики границы, но позволяет в дальнейшем при численных расчетах (путем выбора подходящего значения параметра а) контролировать тангенциальную составляющую скорости лагранжевых частиц, описывающих положение границы раздела, и таким образом, избегать раннего ухода расчетных точек из одних районов границы и чрезмерного их скопления в других.

В настоящей работе рассмотрен случай, когда действующее ускорение имеет вид g(t) = 115(1), где <5(/) - функция Дирака. До начала действия импульсного ускорения граница раздела имела положение и плотность дипольного момента ¿1(1) = 2(/,г)|(гг0_ , (/) = /л(/,г)|(=0_.

Показано, что после воздействия импульсного ускорения положение границы раздела остается прежним

Ч (/) = z0" (/) = z0, где z0+ (/) = lim z(7, г).

При этом плотность дипольного момента изменяется скачкообразно

= ~Im ¡So(nzol(nctghzQV)-z0(r)]dr+Г](1), (3)

2 к J 2

где (/) = lim ju(l, г) ,

г-»0+

г, (/) = Im f fi(/') 20i(Л) c/gi[z0(/) - z0(/')] J/' + ^(/) ■- 2A Uy0(l). 2л J 2

Таким образом, действие импульсного ускорения моделируется изменением начальных условий задачи.

Уравнения (2) и (3) являются интегральными уравнениями Фредгольма 2-го рода относительно функций dpi dt и ^ и могут быть эффективно решены методом итераций.

2т

Воспользовавшись тождеством jz,(/')ctg—[z(Z)-z(/')]dl'= 0, можно

о 2

записать уравнения движения (1), (2) в регуляризованном виде, и таким образом устранить сингулярности в подынтегральных функциях при /' = /, превращающиеся в устранимые особенности.

Опишем кратко процесс численного решения задачи. Пусть в момент времени t известны значения функций z(/), /л{1). Вычислив скорость границы раздела q'(l), из (1) находим положение границы z(l) на следующий момент времени. Уравнение (2) для функции дц / dt решается методом итераций и по найденному с требуемой точностью значению скорости изменения плотности дипольного момента определяем значение /л(1) на следующий момент времени.

При дискретизации задачи граница раздела представляется набором N точек (диполей), для каждой из которых задаются значения ее координат г/ = и плотности дипольного момента ¡л) - , / = \,2,...И.

Интегралы могут быть достаточно точно вычислены методом трапеций, для вычисления производных используются периодические кубические сплайны. Для численного решения получающейся в итоге системы 2М обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Адамса-Мултона 4-го порядка типа прогноз-коррекция.

Для неустойчивого случая при \А\ < 1 на границе за конечное время развиваются особенности, связанные с потерей аналитичности вихревого слоя, и расчет, проводимый описанным методом, останавливается. В реальном течении, т.к. вязкость сглаживает вихревой слой, особенность не возникает и граница раздела сворачивается. Для описания сворачивания поверхности раздела необходимо вводить в расчет эффекты, сглаживающие границу.

Для расчетов будем использовать так называемый метод "вихревых капель"2, достаточно хорошо зарекомендовавший себя при изучении неустойчивости Релея-Тейлора, где он успешно отслеживает развитие одиночной моды и позволяет установить асимптотические значения скоростей пика и пузыря, которые зависят от числа Атвуда и не зависят от используемого размера вихревых капель. С целью устранения особенностей применяется сглаживание подынтегральных функций в

уравнениях движения, заключающееся в представлении ctg^[z(l) - г(Г)]

в виде -г .

сЬ ЫП - у(Г)] - с08[*(/) - х{Г)] + ¿>2

2 Kerr R.M. Simulation of the Rayleigh-Taylor instability using vortex blobs// J.Comp.Phys.1988. v.76. p.48-84.

Учитывая используемое сглаживание, для продвижения по времени нет необходимости в методах высокого порядка, поэтому в расчетах по методу вихревых капель используется метод Рунге-Кутта второго порядка.

Расчеты показывают, что рост возмущений границы раздела при использовании вихревых капель замедляется. При <5 = 0 численное решение существует до некоторого критического времени tc. При использовании S > 0 численное решение существует при t > tc и наблюдается сходимость результатов при S —» 0; для t <tc этот предел совпадает с решением 8 = 0 (однако вопрос о связи предела при t > tc с точным решением все еще остается открытым).

Исходный вихревой метод и метод вихревых капель были реализованы автором настоящей работы на ЕС-1066 в виде комплекса программ (основу комплекса составляют 12 программ, написанных на Фортране и имеющих общий объем порядка 2000 операторов), позволяющем проводить расчеты развития границ раздела несжимаемых жидкостей для произвольных значений числа Атвуда А и действующего ускорения (g(0 = US(t) + const) далеко во времени при небольших затратах машинного времени.

В главе 3 приводятся результаты численного изучения задачи о развитии возмущений границы раздела жидкостей в случае действия импульсного ускорения US(t), приближенно соответствующего прохождению ударной волны через границу (неустойчивость Рихтмайера-Мешкова).

При описании развития возмущений границ раздела качественно выделяют несколько стадий развития процесса. На начальной линейной стадии возмущения растут симметрично. Линейная теория3 определяет

3 Richtmyer R.D. Taylor instability in shock acceleration of compressible fluids// Commun.Pure Appl.Math. 1960. УЛЗ.р.297-319.

рост амплитуды синусоидального (у0 = а0 соб(Ь:)) возмущения границы раздела следующим выражением

а{{) = а0(1 - Аик{). Дальнейший рост возмущения приводит к искажению исходной формы границы раздела и асимметричному проникновению жидкостей друг в друга. На этой нелинейной стадии тяжелая жидкость проникает в легкую в виде "пиков", легкая в тяжелую - в виде "пузырей"; происходит замедление роста амплитуды возмущения. На переходной стадии происходит отход от первоначальной пространственной структуры: наблюдается укрупнение и разрушение пузырей, на концах пиков возникают вихревые грибообразные структуры. Все это приводит к турбулизации течения.

Вихревой метод позволяет отслеживать эволюцию границы раздела далеко во времени на нелинейной стадии. Наиболее успешно он решает предельный случай |А|=1, обеспечивая высокую точность расчетов, в то время как другие существующие численные методики при решении данного случая сталкиваются со значительными трудностями.

В настоящей работе показано, что при изучении развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова следует отслеживать отдельно эволюцию пиков и пузырей, особенно для случаев с числами Атвуда близкими к 1, что позволяет определить границу применимости линейной теории значительно точнее, чем если брать в рассмотрение только отклонение средней амплитуды (равной половине расстояния между вершинами пика и пузыря) от формулы Рихтмайера. Результаты вычислительных экспериментов позволяют сделать вывод, что линейная теория удовлетворительно, в пределах 10% отклонения от решения задачи, описывает развитие возмущения границы раздела до момента, когда значение отношения амплитуды пузыря к длине волны становится равным 0.05-0.1.

По результатам расчетов вихревым методом установлены количественные и качественные характеристики развития одномодовых возмущений границы раздела несжимаемых жидкостей на нелинейной стадии.

Для |А|=1 выявлены выход скорости пика на постоянное значение, зависящее от амплитуды начального возмущения (при этом при а0к -> О существует предел Пш(у / у0) = 1.92 , где у0 = а0кАи- линейная скорость

Г-»со

Рихтмайера) и стремление скорости пузыря к нулю (как 1//). Имеет место выход кривизны пузыря на постоянное значение.

Для |А|<1 скорости пика и пузыря стремятся к нулевому значению, при этом была обнаружена зависимость характера изменения скорости пика от амплитуды начального возмущения (существует критическое значение амплитуды начального возмущения а$г такое, что при а0 < а$г есть конечный интервал времени, в течение которого скорость пика растет). Во всех случаях уменьшение скорости роста средней амплитуды на далекой нелинейной стадии происходит по закону, близкому к 1//.

Изучение взаимодействия гармоник проводилось на примерах, когда начальное возмущение границы раздела задавалось в виде у0 = а, соб(л) + ак соъ{кх). Также рассматривался случай, когда при изначально плоской границе раздела имело место аналогичное двухмодовое возмущение плотности дипольного момента. Результаты расчетов сравнивались с оценками, полученными в предположении, что начальные гармоники развиваются независимо друг от друга. Показано, что для случая 1А|=1 при наложении на длинноволновое возмущение границы раздела коротких волн их рост в районе пузыря длинной волны явно замедляется, в то время как в районе пика сначала несколько усиливается, а затем постепенно ослабевает. Для |А|<1 рост коротких волн сразу замедляется и в районе пика и в районе пузыря длинной волны. Во

всех случаях на нелинейной стадии определяющую роль в развитии границы раздела играет длинноволновая компонента начального возмущения.

В случае сжимаемых жидкостей Рихтмайер, на основании численного решения линеаризованных уравнений газовой динамики, показал, что после небольшого переходного периода скорость роста амплитуды возмущения границы раздела газов выходит примерно на постоянное значение

уй=\сЫ<Ь\=\ШАа( 0+)|, где V- приращение скорости границы раздела, вызванное прохождением ударной волны, А,а(0+) - число Атвуда и амплитуда возмущения, устанавливающиеся после прохождения ударной волны через контактную границу. В рамках данной модели сжимаемость газов имеет существенное значение лишь в некоторой окрестности ударной волны, и учитывается только в начальный момент времени как изменение амплитуды начального возмущения, которое, например, для случая прохождения ударной волны из легкого вещества в тяжелое дается приближенной формулой а(0+) = а0(1 - и /£>), где О - скорость падающей на границу раздела ударной волны.

Условие применимости линейной теории (ак<< 1) зачастую не выполняется в реальных течениях для больших времен, где существенную роль играет нелинейность. Учитывая, что скорости роста линейных возмущений границы раздела малы по сравнению со скоростью звука, а на нелинейной стадии наблюдается уменьшение скорости роста возмущений, для описания течения вполне применимо приближение несжимаемости. Таким образом, вихревой метод позволяет, оставаясь во всем остальном в рамках модели Рихтмайера, дополнительно учитывать нелинейность изучаемого процесса.

Показана применимость вихревого метода для приближенного описания нелинейной стадии развития одномодового возмущения границы раздела сжимаемых газов после прохождения через нее плоской стационарной ударной волны (в приближении несжимаемости рассчитывается задача с начальными данными А,и,а(0+),к, где А,и получены в результате аналитического или численного решения одномерной задачи для идеальных политропных газов). Полученные результаты качественно и количественно соответствуют и подтверждаются расчетами тестовых задач по другим методикам и экспериментами.

Отметим, что в случае использования такого подхода при правильном описании скорости роста возмущения границы раздела на нелинейной стадии начальная стадия описывается неверно, т.к. в случае несжимаемых жидкостей в результате действия импульсного ускорения скорость роста возмущения границы раздела изменяется мгновенно скачком, в то время как в сжимаемом случае есть конечный переходный период выхода скорости на данное значение.

Для случая идеальных несжимаемых жидкостей развитие границы раздела можно записать в общем виде (при фиксированных значениях а0, А) как

V, =У07?(У0&), 1 = 1,2,3, где У0=а0Ы{/- линейная скорость. Функционалы , ^ , /'=1,2,3, описывают развитие, соответственно, пика, пузыря и средней амплитуды. В случае сжимаемых жидкостей, с учетом сделанных ранее замечаний относительно применимости приближения несжимаемости для описания развития первоначально линейных возмущений границы раздела, имеют место такие же закономерности, как и в случае несжимаемых сред. При этом с целью правильного учета начального влияния сжимаемости в

полученное из решения линеаризованных уравнений газовой динамики.

Таким образом, в настоящей работе для построения приближенного решения задачи о развитии одномодового возмущения границы раздела сжимаемых сред предлагается следующий алгоритм: 1) решая каким-либо образом линеаризованные уравнения газовой динамики, получаем v;i„; 2) для соответствующих исходной задаче значений A,U,k,a{Q+) проводим расчет несжимаемого случая вихревым методом, и для пика, пузыря и средней амплитуды получаем искомые зависимости v¡ / v0 = Ff(v0Aí), где v0 = a(0+)kAU; 3) в итоге получаем оценки в виде v, = VfaF^Vfakt), i= 1,2,3. Для сжимаемых жидкостей в случае "классической" неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, когда возмущения границы раздела проходят последовательно линейную и нелинейную стадии развития и эффект сжимаемости доминирует только на начальной стадии развития неустойчивости, предложенный метод оценки развития одномодовых возмущений границы раздела позволяет достаточно точно описывать как начальную линейную, так и нелинейную стадии, что подтверждается сравнениями с результатами расчетов тестовых задач, полученными по газодинамическим методикам.

В главе 4 рассматривается задача об устойчивости границы раздела двух жидкостей в случае, когда действующее на жидкости полное ускорение имеет вид g=U5(t) + g, где <5(/)- функция Дирака, g=const -постоянно действующее ускорение. Линейная теория дает следующий результат для амплитуды синусоидальной границы раздела:

ÍAk

a(t) = a0(cosú)t - U —sinü>/)> если 4g>0, т.е. имеет место V S

устойчивый случай. При Ag<0 граница раздела неустойчива

a{t) = aa(chcot - U -shot), где со = ^\Agk\.

V 8

В настоящей работе для границы раздела идеальных несжимаемых жидкостей рассмотрен случай, когда постоянная составляющая ускорения действует стабилизирующим образом. Проведено численное изучение развития одномодового возмущения границы на линейной и нелинейной стадиях.

Показано, что вывод линейной теории об определяющем влиянии постоянного ускорения на устойчивость границы раздела справедлив лишь в определенном диапазоне начальных данных. Соотношение вкладов постоянной и импульсной составляющих ускорения предлагается

оценивать через безразмерный параметр Л- = а0кА11-^к1 g (являющийся аналогом числа Фруда). При малых значениях параметра определяющее влияние на развитие границы оказывает постоянное ускорение, при этом в устойчивом случае влияние нелинейности проявляется в значительном искажении первоначально синусоидального профиля границы раздела и постепенном увеличении периода ее колебаний по сравнению с линейной теорией. При Т7»5 разрушение регулярной структуры границы и переход к стадии турбулентности происходит раньше, чем становится заметным стабилизирующее действие постоянного ускорения, и развитие границы раздела на нелинейной стадии определяется импульсным ускорением.

Изучаемый класс задач был подсказан опытами А.М.Василенко4 по исследованию неустойчивости и перемешивания на синусоидальной границе раздела газов, подвергавшихся воздействию замедляющейся ударной волны (постоянное ускорение усиливает развитие неустойчивости границы раздела, возникшей первоначально под действием импульсного

4 Василенко A.M., Буряков О.В., Куропатенко В.Ф. и др. Экспериментальное исследование гравитационной неустойчивости и турбулизации течения на границе раздела благородных газов // Препринт №56, ФИАН. М., 1990. с.32-51.

ускорения). Имеет место удовлетворительное согласие экспериментальных и полученных по вихревой методике расчетных результатов, дается их расчетно-теоретическая интерпретация. Результаты расчетов позволяют предположить, что в опытах наблюдается нелинейная и переходная стадия развития, не вышедшая еще на автомодельный режим гравитационного перемешивания. Показывается, что необоснованное расширение области обработки результатов экспериментов путем включения в нее нелинейной стадии, а также наличие вызванной прохождением ударной волны через границу раздела начальной кинетической энергии слоя (которая при данном соотношении импульсной и постоянной составляющих действующего ускорения оказывает существенное влияние на развитие процесса в течение рассматриваемого интервала времени) приводит к завышению определяемого в опытах значения постоянной перемешивания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Для описания эволюции границы раздела несжимаемых жидкостей в двумерном случае используется модель потенциально-дипольного (вихревого) слоя. Обоснована возможность применения метода вихрей для случая импульсного ускорения, получены соответствующие уравнения для начальных условий.

Создан комплекс программ, реализующих вихревой метод. Метод экономичен и обладает высокой точностью описания параметров гидродинамических течений при сравнительно небольшом количестве расчетных точек. Вихревой метод наиболее успешно решает предельный случай |А|=1, позволяя отслеживать эволюцию границы раздела далеко во времени и обеспечивая высокую точность расчетов, в то время как другие существующие численные методики при решении данного случая сталкиваются со значительными трудностями.

На основании расчетов для случая действия импульсного ускорения установлены количественные характеристики развития одномодовых возмущений границы раздела несжимаемых жидкостей на нелинейной стадии. Изучение особенностей взаимодействия гармоник показало, что на нелинейной стадии определяющую роль в развитии границы раздела играет длинноволновая компонента начального возмущения.

Показана применимость метода для приближенного описания развития одномодового возмущения границы раздела сжимаемых газов после прохождения через нее плоской стационарной ударной волны. Предложенный метод оценки развития возмущений границы раздела на основе соответствующих расчетов случая несжимаемых жидкостей и линеаризованных уравнений газовой динамики позволяет описывать как начальную, так и нелинейную стадии.

Проведено исследование развития одномодовых возмущений границы раздела несжимаемых жидкостей при совместном действии импульсного и постоянного ускорений, для учета количественного соотношения которых предлагается использовать безразмерный параметр /•V = а0кА иё ■ При малых значениях параметра определяющее влияние на развитие возмущений границы оказывает постоянное ускорение. При Гг> 5 эволюция границы на нелинейной стадии определяется импульсным ускорением и переход к стадии турбулентности происходит раньше, чем становится заметным действие постоянного ускорения.

Основные результаты, полученные автором диссертации, изложены в следующих публикациях:

1. Кузьмин А.Ю., Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э., Фролов В.Д. Численное моделирование неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в опытах на

ударной трубе // III Забабахинские научные чтения, 14-17 января 1992. Кыштым, Дальняя дача. Тезисы докладов, с. 106.

2. Кузьмин АЛО., Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э., Фролов В.Д. Численное моделирование неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в задачах В.Руперт по методике ТИГР и вихревым методом. Препринт №. 17.ВНИИТФ. Челябинск-70. 1993. 39с.

3. НеуважаевВ.Е., Паршуков И.Э. Изучение неустойчивости Рихтмайера-Мешкова вихревым методом. Препринт №.4, ВНИИТФ. Челябинск-70. 1991. 29с.

4. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Изучение неустойчивости Рихтмайера-Мешкова вихревым методом//Моделирование в механике. 1991. т.5 (22), №.2. с.81-100.

5. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Исследование неустойчивостей Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова вихревым методом // Всесоюзный семинар по динамике пространственных и неравновесных течений жидкости и газа, 1-3 октября, 1991. г.Миасс Челябинской обл. Тезисы докладов.

6. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Изучение нелинейной стадии развития неустойчивости Релея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова вихревым методом // III Забабахинские научные чтения, 14-17 января 1992. Кыштым, Дальняя дача. Тезисы докладов, с. 105.

7. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Изучение устойчивости границ раздела жидкостей при совместном действии импульсного и постоянного ускорений//Математическое Моделирование. 1993. т.5, №.2 . с. 16-24.

8. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Нелинейная стадия развития возмущений границ раздела жидкостей при совместном действии импульсного и постоянного ускорений // Второй Всероссийский семинар по динамике пространственных и неравновесных течений

жидкости и газа, 5-7 октября, 1993. г.Миасс Челябинской обл. Тезисы докладов, с.75.

9. Неуважаев В.Е., Паршуков И.Э. Нелинейная стадия развития возмущений границ раздела жидкостей при прохождении ударной волны // Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной конференции./ под ред. Шокина Ю.И. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1996. с.416-417.

10.Neuvazhayev V.E., Parshukov I.E. Investigation of Richtmyer-Meshkov instability by vortex method // Mathematical modelling and applied mathematics. International IMACS Conference, June 18-23, 1990. Moscow-Vilnius. Abstracts, p.173-174.

11 .Neuvazhayev V.Ye., Parshukov I.E. Study of the Richtmyer-Meshkov instability by vortex method // Mathematical Modelling and Applied Mathematics, A.A.Samarskii and M.P.Sapagovas (Editors). Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), IMACS. 1992. p.323-335.

12.Neuvazhayev V.E., Parshukov I.E. Non-linear stage in development of perturbation of interfaces between liquids under joint action of impulsive and constant accelerations // The Proceedings of the 4th International Workshop of Physics of Compressible Turbulent Mixing. / edited by P.F.Linden, D.L.Youngs and S.B.Dalziel. Cambridge University Press, Cambridge, England. 1993. p.250-259.

13.Neuvazhayev V.E., Parshukov I.E. Non-linear stage in development of perturbation of interfaces between liquids under joint action of impulsive and constant accelerations // Shock Waves@ Marseilee IV / Editors: R.Brun, L.Z.Dumitrescu. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1995. p.261-264.