автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аппроксимация поля скоростей при моделировании течений жидкости вихревыми методами

На правах рукописи

БОГОМОЛОВ ДМИТРИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ ВИХРЕВЫМИ МЕТОДАМИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени

Москва-2008

003452847

Работа выполнена в Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент Сетуха Алексей Викторович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Пивень Владимир Федотович

доцент Крутицкий Павел Александрович

Ведущая организация - ФГУП «НИИ парашютостроения»

Защита состоится 4 декабря 2008г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 215.001.01 при Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Планетная, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского.

- кандидат физико-математических наук,

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Вихревые методы являются одной из важных групп численных методов для решения аэрогидродинамических задач. В диссертации рассматривается метод дискретных вихрей (вихревых особенностей), основный на аппроксимации поверхностей обтекаемых тел и вихревых следов за ними системами дискретных вихревых элементов: дискретных вихрей в плоском случае, вихревых отрезков и замкнутых вихревых рамок в трехмерном случае.

По своей идеологии метод дискретных вихрей хорошо приспособлен к современной вычислительной технике и позволяет эффективно решать задачи обтекания тел сложной формы, проводить широкий численный эксперимент. Достоинством метода является его универсальность: с помощью единого подхода он позволил решить различные классы аэродинамических задач: от простейших линейных плоских до пространственных нелинейных.

Следует отметить преимущества метода, особенно четко видные в рамках схемы идеальной несжимаемой среды. Во-первых, он обладает уникальными возможностями по выстраиванию вихревых следов и свободных границ (например, при изучении струй), по отслеживанию их эволюции в процессе развития. Во-вторых, здесь существенно снижается размерность задачи, поскольку нужно следить не за всем пространством, а только за вихрями в следе и на поверхности тела.

В данной работе рассмотрены вопросы, связанные с корректным вычислением поля скорости и моделированием движения вихревых следов при использовании дискретных вихревых элементов. Необходимость решения этих вопросов направлена на повышение точности и устойчивости вычислений, расширение спектра решаемых задач.

При решении большинства задач аэродинамики возникает необходимость вычисления полей скоростей и давления в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела и на самой этой поверхности. Дискретное представление поля скорости в виде суперпозиции полей скоростей, индуцируемых отдельными вихревыми элементами, не может напрямую быть использовано для вычисления скорости вблизи этих элементов. Точные выражения для скоростей, индуцируемых вихревыми элементами, дают значения компонент вектора скорости, стремящиеся к бесконечности, при приближении к этим вихревым элементам. При расчете аэродинамических нагрузок на поверхности тела, данную трудность обходят за счет того, что краевые значения вектора скорости вычисляются в специально выбранных контрольных точках на поверхности тел. Вычисление скорости внутри вихревых следов осуществляется с использованием так называемых вихрей конечного радиуса. В каждом таком вихре завихренность размазана по некоторой области и за счет этого устраняются бесконечные скорости. Такой подход математически обоснован в случае, когда ищется поле скоростей с гладким объемным распределением завихренности. Однако, при вычислении вектора скорости вблизи поверхности, моделируемой тонким вихревым слоем, использование вихрей конечного радиуса сглаживает скачок скорости на этой

поверхности и не позволяет правильно вычислить краевые значения вектора скорости, а также значения вектора скорости, на расстояниях от этой поверхности, меньших радиуса вихря. Вместе с тем, при моделировании отрывного обтекания тел часто приходится моделировать движение завихренности вблизи обтекаемой поверхности и следовательно нужно уметь правильно вычислять скорость жидкости вблизи поверхности.

В связи с этим в диссертации проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Это исследование проводилось на примере двумерных задач.

Другое направление исследований, связано с усовершенствованием численных схем моделирования движения вихревых следов в трехмерном случае. В работах Белоцерковского С.М. и его учеников развиты численные схемы решения трехмерных задач обтекания тел, в которых поверхности тел и вихревые области внутри течения аппроксимировались системами замкнутых вихревых рамок или системами вихревых отрезков, соединяемых в замкнутые ячейки. Существенное внимание уделялось тому, чтобы в дискретной схеме нашло отражение свойство замкнутости вихревых линий (линий ротора вихревого поля). Последнее требование, однако, вызывает определенные трудности при практической реализации, вызванные сильным растяжение вихревых элементов. Данная ситуация возникает, например, при огибании вихревой пеленой твердого объекта или при моделировании обтекания парашюта под некоторым углом атаки, когда часть вихревой пелены, сходящая с подветренной стороны, попадает внутрь купола, а другая часть сносится наружу. В этих случаях не удается правильно моделировать явление.

Поэтому возникает необходимость в создании альтернативных численных схем. Один из подходов к построению таких схем основан на использовании изолированных вихревых элементов. Вопросы аппроксимации векторных полей такими элементами, а также их применение в практических расчетах ранее рассматривались в работах Басина М.А., Корнева Н.В., Трешкова В.К., Сетухи A.B., Кирякина В.Ю., Beale J.T., Majda А., Caflish R., Lowengrub J., Hou T.Y.

В данной диссертации разработан вариант численной схемы моделирования трехмерных вихревых течений в безграничном объеме при заданном начальном распределении завихренности, основанный на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведено численное исследование точности аппроксимации мгновенного поля скоростей при заданном распределении завихренности. Осуществлена численная реализация полного алгоритма решения нестационарной задачи о переносе завихренности и осуществлено тестирование этого алгоритма на примере классической задачи о «чехарде вихревых колец». Произведено сравнение полученных результатов с результатами численных исследований других авторов, выполненных по другим вихревым схемам, а также с известными данными физического эксперимента.

Цели и задачи исследования

• исследовать различные алгоритмы вычисления поля скоростей в методе дискретных вихрей и оценить их области применимости при вычислении характеристик течения на близких расстояниях от границы области течения;

• разработать алгоритм расчета поля скоростей и давления вблизи обтекаемой поверхности;

• разработать алгоритм аппроксимации трехмерных вихревых полей изолированными вихревыми отрезками

• осуществить численное моделирование трехмерных нестационарных течений с использованием изолированных вихревых отрезков

Научная новизна работы состоит в том, что

• осуществлены численная реализация и тестирование новых формул для расчета характеристик течения вблизи твердой поверхности и их краевых значений в рамках известной схемы метода дискретных вихрей для плоских нестационарных задач отрывного обтекания тел;

• разработан и апробирован новый вариант численной схемы расчета трехмерных вихревых течений изолированными вихревыми отрезками

Достоверность результатов численных расчетов обоснована и подтверждается математической корректностью постановок краевых задач, сравнением полученных результатов с результатами аналитических решений и известными экспериментальными данными.

Основные положения, выносимые на защиту

• результаты тестирования различных алгоритмов вычисления поля скорости вблизи границы области течения и усовершенствованный алгоритм, позволяющий осуществлять устойчивое вычисление поля скоростей и давления в любых точках течения вблизи поверхности;

• разработка и реализация на ЭВМ численной схемы расчета трехмерных вихревых течений, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков

• результаты тестирования алгоритма расчета поля скоростей по заданному распределению завихренности, направленного на оценку точности и устойчивости вычислений в зависимости от вычислительных параметров на основе численного эксперимента.

• результаты тестирования предложенной численной схемы расчета трехмерных вихревых течений на примере моделирования эффекта «чехарды вихревых колец».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: V международной школе-семинаре молодых ученых России и Украины «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орел, ОГУ, 2006г.); XIII международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, ХГУ, 2007г.); Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.Н. Белоцерковского (г. Москва, ЦАГИ, 2008г.); Научном семинаре факультета ФН-2 кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана 2008г.); VII международной конференции

«Авиация и космонавтика -2008» (г. Москва, МАИ, 2008г.); Научном семинаре кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (г. Москва, ВВИА, 2008г.); Научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВВИА, 2008г.)

Публикации. По теме диссертационной работы имеется 6 научных публикаций, причем работы [3, 4] представлены в журналах, входящих в «перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней кандидата и доктора наук».

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем составляет 116 страниц машинописного текста, включая 50 рисунков, библиографию, содержащую 126 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, отмечается научная новизна результатов, приводятся положения, выносимые на защиту.

В первом разделе представлены основные уравнения метода дискретных вихрей в плоских задачах. Представлена физическая постановка задачи о нестационарном обтекании профиля и описывается численная схема метода дискретных вихрей.

Ищется поле скоростей жидкости w, которое всюду вне тела и вихревого следа удовлетворяет условиям:

div IV = 0; rot w = 0, (1)

а на поверхности тела удовлетворяет условию равенства нулю нормальной составляющей. Вихревые следы, образующиеся при отрыве потока с кромок профиля, рассматриваются как тонкие линии, на которых терпит разрыв касательная составляющая вектора скорости. На этих кривых ставится условие непрерывности нормальной составляющей скорости жидкости и давления.

В методе дискретных вихрей поверхность профиля и след за ним заменяют вихревыми слоями, а затем эти вихревые слои аппроксимируются системой точечных вихрей, причем, вихри, моделирующие след, движутся со скоростью жидкости.

В задаче об обтекании тонкого профиля, аппроксимируемого разомкнутой кривой L, поле скоростей представляется в виде

2

и'(г,^) = и+Jv(r-r0(s))y(í,s)í/s + t ¡v{r-r,(t,r))s(t,T)dT (2)

L i=l L,

где r = (x,y) - радиус вектор точки в плоскости течения, в которой вычисляется скорость, t - время, it - заданный вектор невозмущенной скорости по-тока на бесконечности, ro{s) ~ векторная функция, параметрически задаю-щая контур L, s - естественный параметр на кривой

Ь, /-,(/,г), / = 1,2 - векторные функции, задающие формы вихревых следов, сходящих с концов профиля, в момент времени / (гД/,г) есть радиус вектор точки, в которой в момент времени / находится частица жидкости, сошедшая в поток в момент времени г с точки отрыва с номером /'), у(/,5) и (/,г) -интенсивности вихревых слоев, аппроксимирующих поверхность профиля и вихревые следы,

*{?)~{гУ>х) (3)

2.71

поле скоростей, индуцируемое точечным вихрем, где а = Мг2, г = л/дг + у2 , Я = (*,>>), (см. рисунок 1).

V

--->

Ф) Х

Рисунок 1 - Сход пелены с поверхности тонкого профиля

В дискретной вихревой модели в каждый момент времени 1к - кА1, где Д/ > О - шаг дискретизации по времени, профиль аппроксимируется

к I

системой дискретных вихрен с циркуляциями у1 п, расположенными в точках г;, которые размещены на поверхности профиля с шагом А, / = 1,2,.,.,/г. Вихревые следы аппроксимируются системой дискретных вихрей с циркуляциями 5'"Д/, расположенными в подвижных точках , так, что д"' ~ 61 (¡т), г^ 1 ~ г,- 0к ,/„,). При этом поле скоростей аппроксимируется выражением

Н' (г) = и(!к) + i уЯг - г А А + I I ЗГ • - гЧд/ (4)

1=1 = = ' I \п, О К '

При решении большинства задач аэродинамики возникает необходимость вычисления полей скоростей и давления в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела и на самой этой поверхности. Дискретное представление поля скорости в виде (4) (т.е. в виде, суперпозиции полей скоростей, индуцируемых отдельными вихревыми элементами) не может напрямую быть использовано для вычисления скорости вблизи этих элементов. Точные выражения для скоростей, индуцируемых вихревыми элементами, дают значения компонент вектора скорости, стремящиеся к бесконечности, при приближении к этим вихревых элементов.

В связи с этим во втором разделе диссертации проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи

поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Сначала анализируются различные подходы к вычислению скорости, индуцируемой вихревыми элементами, находящимися на поверхности профиля. Такое исследование проводится на примере простейшей задачи о потенциальном стационарном обтекании профиля. Затем полученные формулы для вычисления компонент вектора скорости жидкости вблизи профиля применяются в нестационарной задаче.

Вопрос о численном определении поля скоростей вблизи тонкого профиля при его стационарном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью рассмотрен в параграфе 2.2 на примере задачи о безвихревом обтекании под углом атаки а пластины, расположенной на отрезке [0,1] оси ОХ. Поле скоростей описывается уравнениями (1) при условии на бесконечности:

lim iv(r) = M, u = (cosa,sina). (5)

На поверхности пластины ставится условие непротекания, которое записывается в виде w-n = 0, где п - вектор нормали к поверхности пластины. Дополнительно ставится условие безциркуляционности обтекания:

/щ/7 = 0 (6)

где L.r - гладкий замкнутый контур, охватывающий пластину.

Скорость жидкости в точке г ищется в виде:

w(F) = и + Jvp -г0 (х)Ы*) dx, (7)

о

где: у(v)- интенсивность вихревого слоя размещенного на профиле, v -поле скоростей, индуцируемое точечным вихрем, которое определяется формулой (3), r0(.v) - радиус вектор точки М0(х) = (х,0) на пластине.

Решение поставленной задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению, выражающему условие непротекания:

= л'0 e(0,l), /(*„) = sina

В методе дискретных вихрей ищутся приближенные значения функции у(х) в точках л", =1 + /•/?, где /г = 1 /« - шаг разбиения, п - число точек разбиения пластины, в виде y(x)&TJh и для неизвестных Г; (циркуляции дискретных вихрей), записывается система уравнений:

¿¿^ = /Ы,=/ 1,2,...,«-!

¿л (=1 J Xj

¿1>0

где: x0j- = х, + h / 2 - контрольные точки (точки коллокации).

После того, как решена последняя система, приближенное значение вектора скорости в точке с радиусом вектором г определяется по формуле:

(8)

1=1

В работе было исследовано поведение численных значений вектора скорости при приближении к пластинке со стороны главной нормали. Была взята контрольная точка, отстоящая от левого края пластины на расстояние, равное % длины пластины. В области пространства между контрольной точкой и вихрем были проведены прямые, перпендикулярные профилю так, чтобы первая прямая проходила через контрольную точку, а последующие равномерно распределялись до соседнего вихря, и чтобы последняя прямая проходила через вихрь (см. рисунок 2).

Исследовалось поведение полученных численно компонент вектора скорости при приближении к пластине вдоль этих прямых. Отметим, что рассматриваемая задача для поля скоростей имеет аналитическое решение. Компоненты краевого значения вектора скорости на положительной стороне пластины имеют вид: = н\ +//2, и'* = 0, где н'д - прямое значение компоненты скорости, получаемое непосредственно из выражения (7), у = 2(х+ 0.5)^(х+ х$та . Из приведенных формул для рассматриваемой

контрольной точки получаем =1,152 .

На рисунке 3 показаны зависимости касательной компоненты скорости от координаты V', полученные при приближении точки, в которой вычислялась скорость к поверхности вдоль указанных прямых, при помощи непосредственно выражения (8) и с использованием различных способов регуляризации этого выражения. В этих расчетах использовалось разбиение пластины на п = 40 вихрей с шагом Л = 0.025 .

{ рассматриваемая контрольная точка \ п* *

" ■—_Гу ' 1

_----* Н • рассматриваемый ви>рь

V.

-ч-

Рисунок 2 - Расположение линий, на которых вычислялась скорость При использовании формулы (8) с точечными вихрями, индуцирующими поле скоростей, определяемое формулой (3), полученные скорости могут принимать сколь угодно большие значения при приближении к поверхности, причем, поведение компонент скорости существенно зависит от положения точки, в которой вычисляется скорость по отношению к точкам разбиения поверхности (см. рисунок За).

Для увеличения устойчивости вычислений приходится искусственно сглаживать поле скоростей, индуцируемое системой дискретных вихрей, что обычно делается за счет применения так называемого «вихря конечного радиуса».

Поле скоростей, индуцируемое таким вихрем ограничивается вблизи центра вихря и совпадает с полем скоростей точечного вихря на расстояниях от центра больших некоторого заданного, именуемого «радиусом вихря».

у 1 0.05 .-■■'' h 0.00 —Г— —гг~ Vy 0.00 0.05 0.10 а) исходная схема У 1 ' 5 0,05 Г" 0,00 . •' 0,00 0,05 0,10 б) полное обнуление скорости в ядре вихря, rv = 0.03

У '. • 5 0,05 _.:'' Гч 0,00 • ••' ., Vy 0,00 0,05 0,10 в) гладкий профиль скорости в ядре вихря, rv = 0.03 У "" s 0.05 /V 0,00 0,00 0,50 1,00 г) схема с экстраполяцией из вн области Мх ешней

Рисунок 3 - Профили касательной компоненты вектора скорости у поверхности пластинки.

Сначала был проведен численный эксперимент по вычислению поля скоростей по формуле (8) с использованием вихрей, индуцируемые скорости которых определяются формулой (3) с а(г) = 0 при г < rv и а(г) = г~2 при г > rv (см. рисунок 36). На графиках отчетливо видна граница раздела области с гладким профилем скоростей и области с явно выраженными колебаниями составляющих скорости. Эта граница проходит на расстоянии примерно равном радиусу вихря от поверхности пластины. Обнуление скорости в области радиуса вихря приводит лишь к исчезновению бесконечно больших значений компонент вектора скорости, но при этом результаты вычисления сильно зависят от положения точки, в которой вычисляется скорость, по отношению к точкам разбиения поверхности.

Более устойчивые вычисления происходят при использовании вихрей с гладким профилем скорости внутри ядра. На рисунке Зв представлены результаты, полученные при использовании формул (3),(8) с выражением

а(г) = 1.5 г- г"3 - 0.5/'3 • при г < rv, а(г) = при г > rv (9) При этом исчезает разброс значений компонент скорости на близких расстояниях к пластине, и результат вычислений становится устойчивым по отношению к положению точки, в которой вычисляется скорость,

относительно точек разбиения поверхности. Однако значение касательной составляющей скорости не соответствует точному значению на поверхности пластины.

Правильные значения компонент вектора скорости вблизи поверхности пластины удалось получить с использованием вихрей с гладким профилем скорости и с одновременным применением процедуры экстраполяции скорости из внешней области, применяемой для точек, расстояние от которых до пластины меньше радиуса вихря гу.

Пусть вычисление скорости проводится в точке с координатами (л\ г) где |.у|<г„. Определим значения вектора скорости н>, и н'2 в точках 1 и 2 с координатами (х,л;,) и (х,2 гу) соответственно прямым применением формулы (8). Результирующую скорость найдем по формуле: VI' = IV, + (2 • гу - у0)(И', - н-2) / гу

• у«

Рисунок 4 - Схема экстраполяции скорости из внешней области При этом удалось добиться хорошего совпадения численных значений компонент вектора скорости со значениями, полученными из аналитического решения (различие не более 2%) (см. рисунок Зг).

Вопросы определения краевых значений скорости и давления в нестационарной задаче об обтекании профиля рассмотрены в §2.3. Запишем выражение (4) для поля скоростей в виде:

И' р) = и0 + №тетСг) + КкЛа(г)

где 1УП1е1а(г) и \¥С1 а)и(г) есть скорости, индуцируемые в точке г вихревыми системами, аппроксимирующими тело и вихревой след соответственно. Для вычисления этих скоростей использовались следующие выражения:

1=1/71=0

V - сглаженное поле, индуцируемое вихрем радиуса /;,, которое вычисляется по формулам (3),(9). Скорость, индуцируемая вихрями на обтекаемом теле, будет определяться:

К,,1аСг) = яЩг') + (\-д)щГ), г*=(х\/), г"=(х",у*), X* = х** = X, / = 5/70, у* = 25/)о, ^ = (2/г0-\у\)Пц где: = 1 если у > 0 или вычисляется краевое значение вектора скорости с положительной стороны пластинки, 5 = -1 если у < 0 или вычисляется краевое значение вектора скорости с отрицательной стороны пластинки,

(х,у) - координаты радиус вектора г точки, в которой вычисляется скорость,

Щ7) = £г!:Цг-~п)!г, ¡=1

вычисления проводились при значении параметра И0 = г„.

Определение краевых значений касательной составляющей скорости обычно, производится с использованием формулы

(10)

± -иУ

где >ух есть прямое значение компонент вектора скорости, получаемое из выражения (8), аппроксимирующего выражение (2), у - есть интенсивность вихревого слоя на пластине. Сравнение значений тангенциальной составляющей краевого значения скорости со стороны главной нормали, вычисленное по разработанным формулам и формуле (10), при обтекании пластинки под углом атаки а =30° для различных значений времени г представлено на рисунке 5.

1 - формула (10), 2 - предложенные формулы Рисунок 5 - Касательная составляющая краевых значений скорости Видно хорошее согласование результатов, полученных обоими способами. При этом применение формулы (10) возможно только в контрольных точках на пластине. Разработанные формулы могут быть применены для определения краевых значений скорости в произвольной точке на пластине и значений скорости в окрестности пластины.

В диссертации, также, реализованы формулы расчета давления вблизи поверхности пластины, основанные на интеграле Коши Лагранжа:

■2 р\? _д<р

Р = Роо +

ри

2 2

где рх - давление на бесконечности, <р - потенциал течения, определенный вне обтекаемой пластины и вихревых следов. При вычислении краевых значений давления на поверхности, краевые значения скорости вычислялись по предложенным формулам.

Для определения потенциала <р в каждый момент времени осуществлялся переход от вихрей к вихревым парам суммарный потенциал течения вычислялся как сумма потенциалов вихревых пар. Производная потенциала д(р/дt определялась численным дифференцированием значений потенциала по времени.

По полученным краевым значениям коэффициента давления определялись аэродинамические коэффициенты суммарной силы. Сравнение осредненного по времени коэффициента сопротивления для пластины обтекаемой под углом атаки а = 90 показало хорошее совпадение с известными результатами физического эксперимента: в расчетах получено значение С, =2.05, экспериментальное значение С, = 1.96 (Fage A., Johansen F.C.).

В третьем разделе рассматривается трехмерная модель движения вихревого следа.

Пусть М = (x,y,z) - точка, в которой расположена жидкая частица,

причем, А/= Л/( £/), где f= ) - лагранжевы координаты частицы,

вводимые как ее начальное положение, t - время. Пусть w = w(M,t) -

скорость жидкости, со = rot w - завихренность. Движение точки М и

изменение вектора завихренности со в точке М описываются уравнениями:

dM — da dw dw dw ....

-= w, -= cox— + wv — + caz— (11)

dt dt дх ' dy 8z

где d/dt - производная по времени в индивидуальной жидкой частице, т.е.

при £ = const, с начальными условиями:

(o = (Uo, М = | при 7=0, (12)

со0 есть начальное распределение завихренности, причем, вектор й>0 отличен от нуля только в ограниченной области В.

Вектор w в точке М выражается через завихренность с помощью закона Био-Савара:

(13)

4л" В U

где со - завихренность в точке N с лагранжевыми координатами

r = NM. Интеграл в правой части выражения (13) является несобственным. Осуществим его регуляризацию за счет искусственного сглаживания особенности. Введем параметр е > 0 - радиус области сглаживания вокруг особой точки. Будем решать задачу (11)-(12), где

ш в

^('") = (4яр) '|г| г, у£(г) = 0е||г||уо(г), £>0, _ сглаживающая

функция. В расчетах эта функция бралась в виде = 0,(|г|/£), = 1

при г>\, 0,(/-) = (63г5-9Ог7+35/-9)/8 при г<1.

В §3.2 предложена численная схема решения задачи (11)-(12), основанная на использовании дискретных вихревых отрезков.

Осуществим разбиение области В на ячейки у' = 1,...,л, так, что

область В есть объединение всех ячеек В^ и пересечение двух разных ячеек есть множество нулевого объема (смотри рисунок 6). Пусть Ь■ есть объем ячейки В;. В каждой ячейке Ву выберем точку М®. Построим для каждой точки закрепленный вектор (т.е. вектор с фиксированными началом и

концом) Ь = №]К° длинны / и число Г: (циркуляцию отрезка) так, чтобы

м апп«

точка М® являлась серединой этого отрезка и чтобы выполнялось равенство

-О — /-0 о \

Г7=6у -й)о(А/у). Построенные вихревые элементы I//,Гу I аппроксимирует начальное распределение завихренности. В

Рисунок 6 - Дискретизация задачи Далее в каждый момент времени к = 1,2,..., где Д7>0 - шаг

дискретизации по времени, будем аппроксимировать поле завихренности

вихревыми элементами (7у,Г*), где 7у = , числа Г, считаем не зависящими от времени.

Пусть (/ /, Гу) - некоторая система вихревых элементов и пусть М ■ -

центр отрезка 7у. Определим поле скоростей, индуцируемое этими вихревыми элементами, по формуле:

и(М) = 11} х (г ]) Г,-, где г, = М]М. (14)

j=^

Из аппроксимации уравнения переноса завихренности (11) вытекают уравнения движения концов вихревых отрезков:

dN: V Ж, V

которые решались численно по схеме Эйлера с уточнением (метод Рунге-Кутта второго порядка):

л+1

где

V? =0.5р(Л^|*) + й(ЛГ*+,))> IV? = 0.5р(К*) + й(К*+'))

векторы и и и,

-.к

определяются формулой (14) по вихревым элементам (/./,Г;) и (/,,Г -),

соответственно, где / / = Л^*.

В §3.3. исследованы вопросы точности аппроксимация мгновенного поля скоростей системой вихревых отрезков по формуле (14). Было рассмотрено поле скоростей, индуцируемое вихревым кольцом в форме тора (рисунок 7). Пусть центр тора совпадает с началом координат, Я - радиус окружности, вокруг которой образован тор, и гп - радиус круга в сечении тора. Положение точки М = (х,у,г) внутри тора определяются координатами г,ср,у/ : х = (Я + гсо$у/)со5<р, у = (Я + гсо8Ц/)-¿тер, г = г-вту/.

Пусть поле завихренности а>0 распределено так, что а>0(М) есть вектор, сонаправленный с вектором кхОМ, где к - орт оси Ог, и |й>0| = й>0(г0 -г)/г0, со0 - заданная величина модуля вектора завихренности в центре сечения тора.

ра кчюппс, равномерное по параметрам

Рисунок 7 - дискретизация начального распределения завихренности в

форме тора

Построим систему точек с тороидальными координатами г, =(/-0.5)Дг,/ = 1...ЛГг, ^=0'- 1)Ду, = <Рк=кА<р, к =

где Аг = г0 / , Аср = 2 тг/ , А у/ = 2л 1 Д'|;/. Каждая точка лежит в ячейке определяемой неравенствами |/--г(|< Дг/2, Д1///2,

\(р-<рк\< А(р12. Объем ячейки В,-^ приближенно определяется по формуле

Пусть есть орт вектора а>0 в точке М к. Положим / = 0.8 ■ Я ■ Аср и

построим

совокупность векторов

1к

так,

Г ик-1цк =Ь1]к-соа{М,]к).

Для тора с радиусом г0 = 0.25 и со0 = 1 были получены распределения вектора скорости и по формуле (14) (при сквозной перенумерации вихревых

элементов) при различных значениях параметров е, Ыг (при условии Л/^ =2.5Л^., ЛГр =5ЛГД На рисунке 8 показаны зависимости компоненты вектора скорости от координаты х на оси Ох.

Для оценки точности аппроксимации поля скоростей были рассчитаны значения циркуляции (7 вектора скорости по окружностям различных радиусов г, лежащим в плоскости Охт, и имеющим центр в точке (1,0,0) (центре сечения тора). На рисунке 9 приведены зависимости С(г), полученные в расчетах для наборов параметров е= 1-Ю"2, 7.5-10~2,5-10~2 и Иг= 4,8,16 соответственно, а также полученная применением теоремы Стокса.

аналитическая зависимость,

£=0.05

£=0.1

Л;=16

£=0.05

Л'г=16

£=0.1

Рисунок 8 - зависимость компоненты вектора скорости их от координаты

х на оси Ох

Видно, что уже при £ = 7.5 -10-2, Л^ =8 достигается хорошее совпадение

ОХ 0 35 0 40 /* 045

численнои и аналитической зависимостей.

000 0 05 0 10 015 020

в

^чЧ.

\\ -—4

\\ -16

— ТОЧНОЕ

Рисунок 9 - значения циркуляций вектора скорости по окружностям различных радиусов Анализ этих результатов показывает, что при малом значении параметра е возникают значительные погрешности при вычислении скорости. Параметр е (радиус вихря) должен быть существенно больше, чем расстояния между вихрями. Уменьшение параметра е можно производить только с одновременным измельчением разбиения.

В четверной главе осуществлено тестирование численной схемы решения полной нестационарной задачи о движении завихренности в идеальной жидкости на примере численного моделирования известного эффекта «чехарды» вихревых колец. Исследовалось развитие течения с начальным распределением завихренности в виде двух коаксиальных вихревых колец конечной толщины (торов) с одинаковым направлением вектора завихренности. Одно кольцо имело конфигурацию и распределение завихренности, описанные в параграфе 3.3, с и соо=(7ГГс^З)-'

(значение а>0 взято так, чтобы циркуляция вектора скорости по контуру, охватывающему сечение тора была равна 1). Второе кольцо получалось смещением первого по оси 07 на расстояние к = 1.2.

@©<5>©®е>8 8

/ = 00 /=1 8 /=36 /=54 /=" 2 / = 90 / = 108 /=126

_ -- ё>

<5> Ф ®

/=144 / = 16 2 /=180 /=198 ( = 21 6 /=234 / = 252 /=2~0

Рисунок 10 - Фазы процесса «чехарды»

В ходе численных экспериментов установлено, что схема позволяет моделировать явление «чехарды» вихревых колец, заключающееся в прохождении одного кольца сквозь другое. Развитие этого явления во времени показано на рисунке 10.

Для количественного описания поведения вихревых колец в каждом кольце в начальный момент времени выбиралось одно сечение и определялся центр масс системы вихревых отрезков, аппроксимирующих это сечение для каждого момента времени. Положения этих центров масс трактовались как центры сечений торов. Исследовались зависимости координат сечений торов от времени.

Исследование поведений численный решений на сходимость при уменьшении параметров дискретизации показало, что радиус области сглаживания е должен быть больше, чем расстояние между вихревыми отрезками и что схема Эйлера с уточнением дает существенное повышение устойчивости решений по сравнению с простой схемой Эйлера.

Результаты, полученные по разработанной схеме (схема 1) также, сравнивались с результатами, полученными по схемам, с использованием других типов вортонов: сферического вортона (схема 2) и по схеме с вортонами отрезками и дифференцированием полем скорости (схема 3), а также с данными физического эксперимента. Расчеты по схемам 2 и 3

проводились И.К. Марчевским и Г.А. Щегловым. По результатам этих исследований написана совместная публикация [4].

На рисунке 11 показана зависимость расстояния между кольцами от времени, полученная по указанным численным схемам.

Рисунок 11 - Зависимость расстояния между кольцами от времени На рисунке 12 показаны фазовые траектории: зависимости радиуса одного из колец от разности проекций координат центров колец на ось Ог, полученные по этим же численным схемам, а также взятые из эксперимента (Уатас1а Н., Ма1вш Т.). Видно хорошее согласование результатов, полученным по схемам 1 и 3 на временном интервале, соответствующем 3-м первым циклам и удовлетворительное согласование этих результатов с данными эксперимента.

NN

Л

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.'

Рисунок 12. Фазовые траектории

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие результаты и выводы:

• предложены уточненные расчетные формулы, позволяющие правильно вычислять вектор скорости и давление на любом сколь угодно малом расстоянии от моделируемой поверхности, в том числе и вблизи дискретных вихрей. Численными экспериментами подтверждена возможность правильного вычисления вектора скорости всюду в области вблизи поверхности тела, а также краевых значений вектора скорости на поверхности. Достоинством этих формул является то, что для вычисления краевых значений давления в методе вихревых пар не нужно вычислять градиент от скачка потенциала вектора скорости на поверхности тела.

• сформулирована модификация вихревого численного метода для трехмерного уравнения переноса завихренности в идеальной жидкости, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков. Численные методические исследования показали возможность вычисления поля скоростей с высокой точностью при правильной регуляризации интегральных представлений.

• осуществлено численное решение задачи о движении пары вихревых колец конечной толщины. В расчетах был смоделирован эффект чехарды вихревых колец. Удалось получить устойчивые решения на временном интервале, за который кольца делают несколько полных оборотов. Сравнение численных решений для различных значений вычислительных параметров показывает тенденцию к сходимости получаемых решений при стремлении к нулю параметров дискретизации. Полученные решения удовлетворительно согласуются с решениями, полученными по другим схемам, и с имеющимися данными физического эксперимента.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Богомолов Д.В. Методика построения разгонного вихря Прандтля. // Труды V международной школы-семинара молодых ученых России и Украины «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» Орел: ОГУ. - 2005, с. 37-42

2. Богомолов Д.В. Некоторые исследования по уточнению вычислений полей скоростей в методе дискретных вихрей. // Сборник трудов XIII международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» МДОЗМФ-2007. - Харьков. - 2007. с. 58-62

3. Богомолов Д.В., Сетуха A.B. О численном моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». - 2008. № 125(1) - с. 73-78.

4. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха A.B., Щеглов Г.А. Численное моделирование пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. // Инженерная физика - 2008 №4 с. 8-17

5. Богомолов Д.В., Сетуха A.B. О вычислении поля скоростей вблизи обтекаемой поверхности. // Вюник Харювського нащонального ушверситету, - 2008. - № 809. Серш. «Математичне моделювання. 1нформацшш технологи. Автоматизоваш системи управлшня», вип. 9. - с. 32-41.

6. Богомолов Д.В., Сетуха A.B. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методом дискретных вихревых элементов. // VII международная конференция «Авиация и космонавтика-2008»: Тезисы докладов. - М.: МАИ-ПРИНТ, 2008. - с.90-91.

Подписано в печать 30.10.2008 г. Печать лазерная цифровая Тираж 100 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: (495) 785-00-38 www.autoref.webstolica.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ.

1.1 Общая характеристика метода дискретных вихрей в плоских задачах.

1.2 Основные уравнения метода дискретных вихрей в плоской задаче об отрывном обтекании тонкого профиля.

1.2.1 Физическая постановка задачи. Интегральное представление для поля скоростей.

1.2.2 Вихревая математическая модель.

1.2.3 Численная схема метода дискретных вихрей.

2 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

2.1 Проблема вычисления поля скоростей на обтекаемой поверхности и в непосредственной близости от нее.

2.2 Вычисление поля скоростей вблизи твердой поверхности в задаче о стационарном обтекании пластины.

2.2.1 Расчет поля скоростей по прямой формуле.

2.2.2 Расчет поля скоростей с применением радиуса вихря.

2.2.3 Расчет поля скоростей с использованием радиуса вихря и гладкого профиля при г <rv.

2.2.4 Расчет поля скоростей с использованием радиуса вихря, гладкого профиля при г <rv и экстраполяции скорости из внешней области.

2.3 Алгоритмы расчета краевых значений скорости и давления в нестационарной задаче.

2.4 Примеры расчета краевых значений скорости и давления в нестационарной задаче.

3 ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВИХРЕВОГО СЛЕДА.

3.1 Исходные уравнения вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости в Лагранжевых координатах.

3.2 Дискретизация задачи.

3.3 Аппроксимация поля скоростей при заданном распределении завихренности.

4 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕВЫХ ОТРЕЗКОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ЧЕХАРДЕ ВИХРЕВЫХ

КОЛЕЦ.

4.1 Дискретизация задачи.

4.2 Результаты моделирования явления чехарды вихревых колец.

В диссертации рассмотрены вопросы корректного вычисления поля скорости и моделирования движения вихревых следов в рамках вихревых методов.

Вихревые методы являются одной из групп численных методов для решения аэрогидродинамических задач. В теоретической гидродинамике [59, 62] известны классические результаты, относящиеся к динамике уединенных простейших вихрей и их систем. Практический интерес к подобным течениям вполне объясняет факт раннего возникновения имитационных методов вихревых частиц, которые прямо моделировали некоторые из этих течений. Впервые исследование вихрей можно найти в работе Г. Гельмгольца [103]. Теоремы Г. Гельмгольца о вихрях используются практически во всех вариантах вихревого метода. В работе JI. Розенхеда [122] был предложен вихревой метод для моделирования динамики тангенциального разрыва. Можно считать, что исторически это вообще был первый расчет методом «частиц». Интенсивное развитие и применение вихревых методов с использованием ЭВМ началось в шестидесятых годах.

Другой аспект использования вихревого подхода связан с моделированием границы области течения. Н.Е. Жуковский ввел понятие присоединенных (неподвижных относительно крыла) вихрей, стал родоначальником так называемой вихревой теории подъемной силы. В работе Н.Е. Жуковского [53] и в работе С.А. Чаплыгина [88] были сформулированы основы аэродинамической теории несущей поверхности. Задача обтекания тонкого профиля крыла идеальной несжимаемой жидкостью в плоском случае заключается в следующем. Определяется векторное поле скоростей на плоскости w(M) = (wl(M),w2(M)), М = М(х,у) - точка на плоскости. Ставится условие на бесконечности в виде: lim w(M\ = и, м|—>00 v } где: и = (cos a,sin a) - вектор скорости набегающего потока, а — угол атаки

Необходимо выполнение условий rot w = 0 и div w = 0 вне профиля. В каждой точке поверхности профиля ставится условие непротекания wn = 0. Одновременно была выдвинута идея, что при решении задачи стационарного обтекания профиля необходимо определять векторное поле, которое ограничивается вблизи задней кромки и возможно не ограничено в окрестности передней кромки.

В работах Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина и JL Прандтля [52, 74, 89] рассматривается возможность моделирования несущей поверхности вихревыми нитями. Для плоской задачи об обтекании тонкого профиля это равносильно тому, что возмущенное поле скоростей можно представить в виде суперпозиции особенностей типа вихрь, распределенных вдоль разомкнутой кривой L. w(M)= \y(s)v(M - МL(s))ds L где: s - естественный параметр на кривой L; Ml (s)- (xl (8)>Уь (~ точки кривой L; y(s) - неизвестная плотность вихревого слоя; v - векторное поле, вычисляемое согласно закона Био-Савара; 1 v(M)

2 71

V г2 J

5 г — Jx +у~ - векторная функция v(M) называется полем скоростей точечного вихря.

Задача о безвихревом обтекании профиля сводится к нахождению интенсивности вихревого слоя, которым заменяется поверхность этого профиля. С.М. Белоцерковский в 50-х годах XX века предложил метод численного нахождения интенсивности вихревого слоя, названый методом дискретных вихрей. В данном методе контур L аппроксимируется системой точечных вихрей, размещаемых в точках Mi i = 1,., п, равномерно распределенных по длине контура. Тогда возможно определить приближенное поле скоростей по формуле: 1 где: Г,- - неизвестные циркуляции точечных вихрей.

Для нахождения неизвестных циркуляций решается система линейных алгебраических уравнений, которые аппроксимируют граничное условие в точках коллокации (контрольных точках). Математическое обоснование данного метода было получено И.К. Лифановым в работах (см. [66, 64])

В 80-90-х годах XX века был разработан метод дискретных вихревых рамок, позволяющих решать трехмерные задачи аэродинамики [3]. В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на ячейки четырехугольной и треугольной формы и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара.

В дальнейшем метод был применен для расчета нестационарного отрывного обтекания тел. Обтекаемая поверхность заменялась системой присоединенных вихрей, которые в силу теоремы о сохранении циркуляции порождают свободные (не несущие) вихри, движущиеся вместе с жидкой средой. При этом задача сводится к определению интенсивности всех вихрей и положения свободных вихрей.

В нашей стране наиболее обширные исследования в области вихревых методов были выполнены в школе С.М. Белоцерковского. Существенный вклад в развитие таких методов и их применение принадлежит ученым ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского М.И. Ништу, В.А. Апаринову, В.В. Гуляеву, А.И. Желанникову, А.В. Двораку, В.Н. Котовскому, Б.Н. Крицкому,

И.К. Лифанову, Н.В. Хлапову и др. Вопросами обоснования вихревых методов занимались И.К. Лифанов, Л.Н. Полтавский, А.Ф. Матвеев, А.В. Сетуха, В.Ю. Кирякин. Обзор отечественных исследований вплоть до начала девяностых годов можно найти в монографиях С.М. Белоцерковского, А.С. Гинев-ского, М.И. Ништа и их коллег [15, 22, 17, 24]. Среди других отечественных работ необходимо отметить исследования новосибирской школы (Н.Н. Янен-ко, А.Н. Веретенцев, В.Я. Рудяк, П.А. Куйбин [31]), киевских ученых (Н.В. Салтанов, В.А. Горбань, С.А. Довгий [42], А.Н. Майборода [67]). Отметим также работы А.Б. Айрапетова [1], Г.Я. Дынниковой [48, 49, 50], Васина М.А., Н.В. Корнева [57, 9]

По своей идеологии метод дискретных вихрей хорошо приспособлен к современной вычислительной технике и позволяет проводить широкий численный эксперимент. Достоинством метода является его универсальность: с помощью единого подхода он позволил решить задачи от простейших линейных плоских до пространственных нелинейных. В МДВ расчетные схемы обтекания различных тел конструируют с помощью простейших вихревых элементов (вихревой отрезок, кольцевой и подковообразный вихри, замкнутые четырехугольные и треугольные вихревые рамки). Очень важно, что скорости, индуцируемые ими, удовлетворяют уравнению неразрывности, поэтому далее это уравнение можно исключить из рассмотрения. Все используемые в расчетах вихревые элементы строятся с учетом следующих теорем о вихрях:

• циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкой средой, во времени не изменяется;

• циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему вихревую нить, постоянна вдоль длины нити.

Следует отметить преимущества метода, особенно четко видные в рамках схемы идеальной несжимаемой среды. Во-первых, он обладает уникальными возможностями по выстраиванию вихревых следов и свободных границ (например, при изучении струй), по отслеживанию их эволюции в процессе развития. Во-вторых, здесь существенно снижается размерность задачи, поскольку нужно следить не за всем пространством, а только за вихрями в следе и на поверхности тела.

Среди зарубежных исследователей следует отметить работы Т. Сарпкайя [79] и Mosher М.С. [116]. Существенный вклад внес Leonard А. [112]. В области математического обоснования вихревых методов для решения задач вихревого движения можно отметить работы Beale J.T., Majda А. [91], Grengard С. [101], Hou T.Y., Lowengrub J.S. [106] и др.

Подробный обзор развития вихревых методов за последнее время представлен в работах Н.В. Корнева [57] и А.Е. Таранова [82]. Среди публикаций, посвященных практическому применению вихревых методов для решения инженерных задач, следует отметить работу Marshall J.S. and Grant J.R. [115], в которой вихревые частицы использовались для расчета взаимодействия лопасти и вихревого шнура, находящегося в вихревом потоке невязкой несжимаемой жидкости.

При представлении поля скорости в виде суперпозиции полей скоростей, индуцируемых этими особенностями, возникают бесконечные значения компоненты вектора скорости вблизи центров этих особенностей.

Для увеличения устойчивости вычислений приходится искусственно сглаживать поле скоростей, индуцируемое системой дискретных вихрей, что обычно делается за счет применения так называемого «вихря конечного радиуса»: поле скоростей, индуцируемого таким вихрем ограничивается вблизи центра вихря и совпадает с полем скоростей точечного вихря на расстоянии от центра больших некоторого заданного, именуемого «радиусом вихря».

В работе [23] на основании опыта, накопленного при решении задач об обтекании тел, рекомендуется использовать вихри конечного радиуса в случаях, когда происходит глобальное разрушение вихревых слоев и вихри могут подходить близко друг к другу и к контрольным точкам. При моделировании точечными вихрями это приводит к сильным выбросам вихрей и забросам давления в контрольных точках, для избегания которых предлагается использовать вихри радиуса rv = к At О < к < 1, причем, шаг интегрирования по времени А^, в свою очередь равен расстоянию между вихрями, моделирующими поверхность тела Ах. Параметр к при этом подбирается эмпирически.

В большинстве задач аэродинамики возникает необходимость вычисления полей скоростей и давления в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела и на самой этой поверхности. При вычислении вектора скорости вблизи поверхности, моделируемой тонким вихревым слоем, использование вихрей конечного радиуса сглаживает скачок скорости на этой поверхности и не позволяет правильно вычислить краевые значения вектора скорости, а также значения вектора скорости, на расстояниях от этой поверхности, меньших радиуса вихря. Вместе с тем, при моделировании отрывного обтекания тел часто приходится моделировать движение завихренности вблизи обтекаемой поверхности и, следовательно, нужно уметь правильно вычислять скорость жидкости вблизи поверхности.

В связи с этим в диссертации проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Это исследование проводилось на примере двумерных задач.

Другое направление исследований связано с разработкой численных схем моделирования трехмерных вихревых течений. В работах С.М. Бело-церковского и его последователей [17, 64] развиты численные схемы решения трехмерных задач обтекания тел, в которых поверхности тел и вихревые области внутри течения аппроксимировались системами замкнутых вихревых рамок или системами вихревых отрезков, соединяемых в замкнутые ячейки. При этом существенное внимание уделялось тому, чтобы в дискретной схеме нашло отражение свойство замкнутости вихревых линий (линий ротора вихревого поля). Последнее требование, однако, вызывает определенные трудности при практической реализации, вызванные сильным растяжение вихревых элементов. Данная ситуация возникает к примеру при моделировании обтекания парашюта под некоторым углом атаки, когда вихревая пелена, сходящая с подветренной стороны попадает внутрь купола, при этом не удается правильно моделировать явление. Поэтому возникает необходимость в создании альтернативной численной схемы. В частности предлагается использовать изолированные вихревые элементы. Вопросы аппроксимации векторных полей такими элементами, а также их применение в практических расчетах рассмотрено в работах М.А. Басина, Н.В. Корнева [9], А.В. Сетухи, В.Ю. Кирякина [56], Beale J.T., Majda А. [91], Caflish R., Lowengrub J., Hou T.Y. [105]

В данной диссертации разработан вариант численной схемы моделирования трехмерных вихревых течений в безграничном объеме при заданном начальном распределении завихренности, основанный на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведено численное исследование точности аппроксимации мгновенного поля .скоростей при заданном распределении завихренности. Осуществлена численная реализация полного алгоритма решения нестационарной задачи о переносе завихренности и осуществлено тестирование этого алгоритма на примере классической задачи о «чехарде вихревых колец». Произведено сравнение полученных результатов с результатами численных исследований других авторов, выполненных по другим вихревым схемам, а также с известными данными физического эксперимента.

Цели и задачи исследования

• исследовать различные алгоритмы вычисления поля скоростей в методе дискретных вихрей и оценить их области применимости при вычислении характеристик течения на близких расстояниях от границы области течения;

• разработать алгоритм расчета поля скоростей и давления вблизи обтекаемой поверхности;

• разработать алгоритм аппроксимации трехмерных вихревых полей изолированными вихревыми отрезками;

• осуществить численное моделирование трехмерных нестационарных течений с использованием изолированных вихревых отрезков.

Научная новизна работы состоит в том, что:

• осуществлены численная реализация и тестирование новых формул для расчета характеристик течения вблизи твердой поверхности и их краевых значений в рамках известной схемы метода дискретных вихрей для плоских нестационарных задач отрывного обтекания тел;

• разработан и апробирован новый вариант численной схемы расчета трехмерных вихревых течений изолированными вихревыми отрезками.

Основные положения, выносимые на защиту

• результаты тестирования различных алгоритмов вычисления поля скорости вблизи границы области течения и усовершенствованный алгоритм, позволяющий осуществлять устойчивое вычисление поля скоростей и давления в любых точках течения вблизи поверхности;

• разработка и реализация на ЭВМ численной схемы расчета трехмерных вихревых течений, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков;

• результаты тестирования алгоритма расчета поля скоростей по заданному распределению завихренности, направленного на оценку точности и устойчивости вычислений в зависимости от вычислительных параметров на основе численного эксперимента;

• результаты тестирования предложенной численной схемы расчета трехмерных вихревых течений на примере моделирования эффекта «чехарды вихревых колец».

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на:

• V международной школе-семинаре молодых ученых России и Украины «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орел 2006г.);

• XIII международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007г.);

• международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.Н. Белоцерковского (г. Москва, ЦАГИ-ВВИА, 2008г.);

• научном семинаре кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008г.);

• VII международной конференции «Авиация и космонавтика -2008» (г. Москва, МАИ, 2008г.);

• научном семинаре кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (г. Москва, ВВИА, 2008г.);

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВВИА, 2008г.).

По теме диссертационной работы имеется 6 публикаций.

1. Богомолов Д.В. Методика построения разгонного вихря Прандт-ля. // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск 4. Орел: ОГУ. - 2005, с. 17-23;

2. Богомолов Д.В. Некоторые исследования по уточнению вычислений полей скоростей в методе дискретных вихрей. // Труды XII международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2007». - Харьков-Херсон. - 2007. с.67-70;

3. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О численном моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». - 2008. № 125(1) - с.73-78;

4. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха А.В., Щеглов Г.А. Численное моделирование пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. // Инженерная физика — 2008 №4 с. 8-17;

5. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О вычислении поля скоростей вблизи обтекаемой поверхности. // Вюник Харювського нащонального ушверситету, - 2008. - № 809. Сер1я. «Математичне моделювання. 1нформацшш технолоп1. Автоматизоваш системи управлшня», вип. 9. -с. 32-41;

6. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методом дискретных вихревых элементов. // VII международная конференция «Авиация и космонавтика - 2008»: Тезисы докладов. - М.: МАИ-ПРИНТ, 2008. - с.90-91.

Краткое содержание диссертации.

В разделе 1 представлены основные уравнения метода дискретных вихрей в плоских задачах. Представлена физическая постановка задачи и вихревая математическая модель. Описывается численная схема метода дискретных вихрей для нелинейной нестационарной задачи об обтекании профиля.

Раздел 2 посвящен исследованию вопросов аппроксимации поля скоростей в непосредственной близости от твердой поверхности и на самой обтекаемой поверхности в рамках метода дискретных вихрей в плоских задачах. Проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Сначала анализируются различные подходы к вычислению скорости, индуцируемой вихревыми элементами, находящимися на поверхности профиля. Такое исследование проводится на примере простейшей задачи о потенциальном стационарном обтекании профиля. Затем полученные формулы для вычисления компонент вектора скорости жидкости вблизи профиля применяются в нестационарной задаче.

В разделе 3 рассматривается трехмерная модель движения вихревого следа. Выполнено исследование вопросов регуляризации уравнения переноса завихренности для идеальной несжимаемой жидкости. Приведена схема дискретизации поля завихренности и схема аппроксимации поля скоростей. Предложена численная схема моделирования трехмерного вихревого течения в неограниченном объеме, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведено численное исследование точности аппроксимации поля скоростей при заданном мгновенном распределении завихренности.

В разделе 4 осуществлено тестирование численной схемы решения полной нестационарной задачи о движении завихренности в идеальной жидкости на примере численного моделирования известного эффекта «чехарды» вихревых колец. Исследовалось развитие течения с начальным распределением завихренности в виде двух коаксиальных вихревых колец конечной толщины (торов) с одинаковым направлением вектора завихренности. Проведено численное исследование получаемых решений на сходимость при уменьшении параметров дискретизации. Произведено сравнение получаемых результатов с численными результатами других авторов, полученными по другим вихревым схемам, а также с данными физического эксперимента.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие результаты и выводы:

• Предложены уточненные расчетные формулы, позволяющие правильно вычислять вектор скорости на любом сколь угодно малом расстоянии от моделируемой поверхности, в том числе и вблизи дискретных вихрей. В этих формулах вычисление скорости, индуцируемой свободными вихрями, моделирующими вихревой след, осуществляется непосредственно в рассматриваемой точке вблизи поверхности с использованием сглаживания поля скоростей, индуцируемого дискретным вихрем. Для вычисления скорости, индуцируемой дискретными вихрями, аппроксимирующими поверхность, применяется процедура экстраполяции из внешней области. Численными экспериментами подтверждена возможность правильного вычисления вектора скорости всюду в области вблизи поверхности тела, а также краевых значений вектора скорости на поверхности.

• На основании разработанных формул вычисления скорости вблизи поверхности получены и протестированы формулы для нахождения давления в жидкости вблизи поверхности тела и краевых значений давления на поверхности тела. Достоинством этих формул является то, что для вычисления краевых значений давления в методе вихревых пар не нужно вычислять градиент от скачка потенциала вектора скорости на поверхности тела.

• Сформулирована модификация вихревого численного метода для трехмерного уравнения переноса завихренности в идеальной жидкости, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведены методические исследования по проверке точности алгоритма нахождения поля скорости по заданному распределению завихренности, в которых решения, полученные при различных вычислительных параметрах сравнивались между собой и с аналитическими данными. Эти исследования показали возможность достижения высокой точности вычислений поля скоростей при правильной регуляризации интегральных представлений.

• Осуществлено численное решение задачи о движении пары вихревых колец конечной толщины. В расчетах был смоделирован эффект чехарды вихревых колец. При этом удалось получить устойчивые решения на длительном временном интервале, за который кольца делают несколько полных оборотов. Сравнение численных решений для различных значений вычислительных параметров показывает тенденцию к сходимости получаемых решений при стремлении к нулю параметров дискретизации. Полученные решения удовлетворительно согласуются с решениями, полученными по другим схемам, и с имеющимися данными физического эксперимента.

1. Айрапетов Б.А. О корректности в среднем задачи Коши для системы обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, Труды ЦАГИ, вып. 1784, 1976, с. 18-23.

2. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. 184 с.

3. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Михайлов А.А. -Расчет нестационарных аэродинамических характеристик тел при отрывном обтекании. ЖВМиМФ, 1988. - т.2, №16. - с 1558-1566

4. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Соколова О.Н. О математическом моделировании в идеальной жидкости отрывного обтекания крыла и разрушения вихревой плены // Доклады АН СССР. 1976. № 4(227)

5. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и ее приложения. — Алматы: Гылым, 1997 — 448с.

6. Аэродинамика боевых летательных аппаратов и гидравлика их систем. М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского 1993. - 570с.

7. Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989, 208с.

8. Буланчук Г.Г., Буланчук О.Н., Довгий С.А. Моделирование взаимноговлияния двух пластин на изменение их суммарного сопротивления. Вестник Харьковского национального университета №775. — Харьков, 2007,-с. 50-61.

9. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде // ЖТФ. т. 64. - 1994. - С. 179-185.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы / под общ. ред. Н. И. Тихонова. 2-е изд. - М.: Физматлит: Лаб. базовых знаний; СПб.: Невск. Диалект. - 2002. - 630 с.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632с.

12. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М., Ништ М.И., Моделирование отрывных течений на ЭВМ. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1984.

13. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. - 1984. - 520 с.

14. Белоцерковский О.М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана. В кн.: Численные методы в динамике жидкостей. М.: «Мир», 1981

15. Белоцерковский С. М., Гиневский А. С. Моделирование турбулентности струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Наука, 1995.

16. Белоцерковский С. М., Хлапов Н. В. Моделирование влияния диффузии вихрей на турбулентные характеристики струй /Там же. С. 94-103.

17. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтеканиетонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978

18. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. Исследование особенностей обтекания пластинки при больших углах атаки // Известия АН СССР. МЖГ. 1973. № 5

19. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. О двух режимах срывного обтекания пластины // Доклады АН СССР. 1973. № 4(213)

20. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука 1965

21. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Компьютерная концепция вихревой турбулентности // Изв. вузов. Нелинейная механика. 1995. Т. 3, № 2. С. 72-93.

22. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания

23. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра // Изв. АН СССР, МЖГ. 1983.- № 4. - С. 138-147.

24. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости и электродинамике, М.: Наука, 1985

25. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Котовский В.Н., Федоров P.M. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. М.: ЦАГИ, 2000

26. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О численно моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». -2008. № 125(1). С. 73-78.

27. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха А.В., Щеглов Г.А. Численное моделирование пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. // Инженерная физика 2008 №4 с.8-17

28. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкостей. — М.: Издательство «Мир» 1973, 778с.

29. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложениях. М.: Янус-К, 2001.-508с.

30. Валландер С.В. Лекции по .гидроаэромеханике. Учебное пособие. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1978, 296с.

31. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей, Препринт 29, СО АН СССР, ИТПМ, 1982, 15 стр.

32. Вилля Г. Теория вихрей. — М.:, Ленинград: ОНТИ Главная редакция общетехнической литературы 1936, 266с.

33. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К., Гидромеханика, 2-е изд., перераб. и доп. — Л: Судостроение. 1982. - 456 с.

34. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640с.

35. Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. М.: - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 88с.

36. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979

37. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. -1976.-400 с.

38. Годунов С.К., Уравнения математической физики. М.: Наука. - 1971. -416с.

39. Голубев В.В. К теории вихревых дорог Кармана. Математический сборник, 1933, т. 40, вып. 1.

40. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М.: Гостехиздат, 1949.

41. Голубев В.В. О строении спутной зоны за плохо обтекаемым телом. Изв. АН СССР, ОТН, 1954, № 12

42. Горбань И.Н., Горбань В.А., Салтанов Н.В. Численные дискретно-вихревые модели некоторых плоских отрывных течений, Гидродинамика больших скоростей, Чебоксары, 1989, с 16-17.

43. Горелов Д.Н., Куляев Р.Л., Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью // МЖГ. 1971. - № 6. -С. 38-47.

44. Гуржий А.А., Константинов М.Ю., Мелешко В.В. Взаимодействие коаксиальных вихревых колец в идеальной жидкости. // МЖГ. 1988, №2. — С.78-84.

45. Гусев А.А., Попов С.Г. О формировании некоторых вихревых поверхностей. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1963, № 6

46. Гутников В.А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании аэродинамики зданий и сооружений методом замкнутых вихревых рамок. // Изв.

47. РАН МЖГ, 2006, №4. -с.78-92.

48. Довгий С.А., Лифанов И.К. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения. Киев. Наукова думка, 2002. - 343с.

49. Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости // МЖГ. 2000. - № 1.-С. 31-41.

50. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // ДАН. т. 399. - 2004. - № 1. - С. 42-46.

51. Дынникова Г.Я. Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. РАН МЖГ.-2001.-№2.-с. 128-138.

52. Жуковский Н.Е. Вихревая теория лобового сопротивления Кармана, 1914, Собрание сочинений, т IV, М.: Гостехиздат, 1949

53. Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях. — Собрание сочинений. Т.6, М.: Гостехиздат, 1948

54. Жуковский Н.Е. Теоретические основы воздухоплавания. Собрание сочинений. Т.6, М.: ГостехизДат, 1948

55. Каменков Г.В. О вихревой теории лобового сопротивления. Труды III Всесоюзной конференции по аэродинамике, ч. И, ЦАГИ, 1935

56. Кирякин В.Ю. Моделирование обтекания объектов методом дискретных вихрей с представление вихревой пелены изолированными вихревыми частицами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». 2008. № 125(1). - С. 79-83.

57. Кирякин В.Ю., Сетуха А.В. О сходимости вихревого численного методарешения трехмерных уравнений Эйлера в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т.43, № 9. - С. 1263-1276,

58. Корнев Н.В., Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля: диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Санкт-Петербург. - 1998. - 254 с.

59. Космодемьянский А.А. Некоторые вопросы аэродинамической теории сопротивления. Уч. зап. МГУ, 1940, вып. 46

60. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. ч. 1.-М.: Физматгиз.- 1963. - 583 с.

61. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. ч. 1. - М.: Физматгиз. - 1963. - 583 с.

62. Кочин Н.Е. О неустойчивости вихревых цепочек Кармана. Доклад АН СССР, 1939, т. XXIV №1

63. Ламб Г., Гидродинамика. М.: Гостехиздат. - 1947. - 928 с.

64. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 733с.

65. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТО Янус, 1995

66. Лифанов И.К. О построении следов в методе дискретных вихрей. // ДАН, 1993, т.ЗЗО, № 5 с.574-578

67. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений. // ПММ. 1975, т.39, №4 - с. 742-746

68. Майборода А.Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пелресекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости.

69. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика, М.: Издательство «Мир» 1964, 660с.

70. Мусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968, 512с.

71. Жуковский Н.Е. «Заметка о движении вихревых колец» Математический сборник т. XXVI 1907 г.

72. Петров Г.И., Штейнберг Р.И. Исследование потока за плохообтекаемы-ми телами. Труды ЦАГИ, 1940, вып. 46

73. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных жидкости. Орел. Изд-во ГОУ ВПО «Орловский госуниверситет». 2006. 508 с.

74. Прандтль JI. Теория несущего крыла. — Перевод с немецкого. М.: 1931

75. Прандтль JL, Титьенс О. Гидро- и аэромеханика / Перевод с немецкого М.: ОНТИ, 1935. Т. 1,2.

76. Полонский Я.Е. Некоторые вопросы машущего крыла. Инж. Сборн. института механики АН СССР, 1950, т. VIII

77. Полтавский JI.H. Математическое обоснование некоторых численныхсхем в аэродинамике: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Москва. — 1991. — 264 с.

78. Самарский А.А., Попов Ю.П., Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука. — 1980. 352 с.

79. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Современное машиностроение. Серия А, 10, 1989, 1-60

80. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука 1980

81. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Издательство иностранной литературы, 1963, 257с.

82. Таранов А.Е., Применение метода вихревых частиц для решения задач динамики вязкой жидкости: диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Санкт-Петербург. - 2001. - 152 с.

83. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. / Под ред. С.М.Белоцерковского. М.: ЦАГИ, 2000. - 266 с.

84. Устинов М.Д. Задача о движении идеальной несжимаемой жидкости около полубесконечной пластины с учетом вихревого отрыва. Изв. АН СССР, ОТН, 1959, №9.

85. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ.-М.: Мир.-т. 1.-1991.-504 с.

86. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ.-М.: Мир.-т. 2.- 1991.-552 с.

87. Харин В.Г. О свертывании вихревых слоев в идеальной жидкости, Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1960, №1.

88. Чаплыгин С.А. К общей теории крыла моноплана. — Собрание сочинений. Т.2, М.: Гостехиздат, 1948

89. Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела. Собрание сочинений. Т.2, М.: Гостехиздат, 1948

90. Anderson C.R, A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs // J. Сотр. Physics. 62. - 1986. -pp.111-123.

91. Beale J.T., Majda A., Vortex method higher order accuracy in two and three dimensions, Math, of computation, vol. 39, №159, 1982, pp. 29-52

92. Bernard P.S., Dimas A.A, Collins J.P., Turbulent flow modeling using a fast, parallel, vortex tube and sheet method // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. — 7. 1999. - pp.4655.

93. Chorin A.J., Microstructure, renormalization and more efficient vortex methods //Esaim: proceedings, v. 1. - 1996. — pp. 1-14

94. Chorin A .J., Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. — v. 57.- 1973.-pp. 785-796

95. Chorin A.J., On the convergence of discrete approximations to the Navier-Stokes equations // Math. Сотр. v. 23. - 1969. - p. 341.

96. Chorin, A.J., Hairpin removal in vortex interactions ii, // J. Сотр. phys. — v. 107.-1993, pp. 1-9.

97. Chorin, A.J., Haiipin Removal in Vortex Interactions, // J. Сотр. Phys. v. 91,-1990.-pp. 1-21.

98. Coates С. V. On circular vortex rings // Quart. J. Pure Apple. Math. 1879.- 16, №62.-P. 170-179.

99. Dyson F. The potential of an anchor ring. Pt. 2 // Phil. Trans. R. Soc. Lond.1893. — A 184. —P. 1041 — 1106.

100. Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid //J. Fluid Mech. 1972. - 51, p. I.- P. 119 - 135.

101. Greengard C. The core spreading method approximated the wrong equation, J. Comput. Phys., 61, 1985, pp. 345-348.

102. Greengard L., Rokhlin V., A fast algorithm for particle simulations, // J. Comput. physics. v. 73. - 1987. - pp. 325-348.

103. Helmholtz, H., Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen // Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik. LV. - 1858. - pp. 485-512.

104. Hicks W.M. On the steady motion and small vibrations of a hollow vortex // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1884. - 175, pt. 1. - P. 161 - 195. Hicks W.M. Researches on the theory of vortex rings // Ibid. - 1885. - 17в, pt. 2. - P. 725-780.

105. Hou T.Y., Lowengrub J.S. and Shelley M.J., Removing the stiffness from interfacial flows with surface tension // Journal of Comput. Phys. v. 114.— 1995.-p. 132.

106. Hou T.Y., Lowengrub J.S., Convergence of the point vortex method forthe 3DEuler equation, Commun. On pure and applied math., XLIII, 1991, pp. 965-981.

107. Iida A., Kamemoto K., Ojima A., Prediction of aerodynamic sound spectraby using an advanced vortex method // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. -pp. 235-242.

108. Karman Th. Flussigkets und Luftwiderstand. Phisik. Zeitschrift, 1912, Bd. XIII.

109. Kamemoto K., Engineering application of the vortex methods developed in Yokohama National University // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. - pp. 197-209.

110. Kornev N., Leder A., Mazaev K., Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field // Schiffbauforschung. v. 40. - 2001. - 1. - pp. 47-55.

111. Krutitskii P.A., Kwak D.Y., Huon Y.K., Numerical treatment of a skew-derivative problem for the Laplace equation in the exterior of an open arc. // Journal of Engineering Mathematics, 2007, v.59, pp.25-60.

112. Leonard A., Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements. // Annu. Rev. Fluid Mech., 17, 1985, pp. 523-599.

113. Lewis Т.О. On the images of vortices in a spherical vessel // Quart. J. Pure Appl. Math. 1879. - 16, N 64. - P. 338-347.

114. Lichtenstein L Uber einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homoge-ner, unzusammendriickbater, reibangsloser Flussigkeiten und die Helmholtz-schen Wirbelsatze//Math. Zeibchrift. 1925. - 23, - S 8 - 154.

115. Marshall J.S., and Grant J.R., Penetration of a blade into a vortex core: vor-ticity response and unsteady blade forces // J. Fluid Mech v. 306. — 1996. — pp. 83-109.

116. Mosher M.C., A Method for computing three-dimensional vortex flow,

117. Zeitschrift flier Flugwissenschaften, 9, Heft 3, 1985, pp. 125-133

118. Norbury J. A family of steady vortex rings //J. Fluid Mech. — 1973. — 57, pt. 3. -P.4I7 — 431

119. Ojima A., Kamemoto K. Numerical simulation of unsteady flow around three dimensional bluff bodies-by an advanced vortex method.// JSME International Journal, Series B, Vol.43, No.2 (2000) pp. 127-135.

120. Ota S., Kamemoto K., Study on higher resolution of vorticity layer over a solid boundary for vortex methods // Proc. of The Second Intern. Conf. on Vortex Methods September 26-28, Istanbul. Turkey. - 2001. - pp. 33-40.

121. Prandtl L. Uber die Entstehung von Wirbeln in der idealen Fliissigkeit mit Anwendungen auf die Tragfliigeltheorie und andere Aufgaben. Vortrage aus dem gebiet der Hydro und Aerodynamik (Insbruk, 1922)

122. Prandtl L. The Generation of Vortices Fluids of Small Viscosity. The Journal of the Royal Aeronautical Society, 1924

123. Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuity, // P. Roy. Soc. bond.-A134.- 1931.-pp. 170-192.

124. Saffman P.G. The velocity of viscous vortex rings // Stud. Appl. Math. — 1970. —49, N4. —P. 371-380.

125. Taranov A., Kornev N., Leder A., Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation // Schiffbauforschung. v. 39. - 2000. - 2. - pp. 95-105.

126. Winckelmans G.S., Leonard A. Contributions to Vortex Particle Methods for the computation of Three-Dimensional Incompressible Unsteady Flows // Journal of сотр. Physics, 109, 1993. P. 247-273.

127. Yamada H., Matsui Т., Mutial slip-through of a pair of vortex rings // Phys. Fluids. 1979. - 22, №7. - pp. 1245-1249.