автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Быстрые матричные вычисления в методе дискретных вихрей

На правах рукописи

/

09

602377

Апаринов Андрей Александрович

Быстрые матричные вычисления в методе дискретных вихрей

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

2 О МАЙ 2310

004602377

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Сетуха Алексей Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович

доктор технических наук, профессор Вышинский Виктор Викторович

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится « 26» мая 2010 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН по адресу; 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан « 26 » апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.045.01 ^ //

доктор физико-математических наук сМи^у^^ Бочаров Г. А.

Общая характеристика работы

Объект исследования и актуальность темы. Метод дискретных вихрей (МДВ) и его модификации - одно из наиболее активно развивающихся и широко применяемых направлений среди вихревых методов аэрогидродинамики.

В настоящее время метод дискретных вихрей применяется для решения задач в различных областях: аэродинамика летательных аппаратов, парашютов, зданий и сооружений, изучение вопросов образования и развития вихревых структур, таких как, например, спутные следы за самолетами.

При моделировании вихревых течений рассматриваемыми методами основные вычислительные затраты по числу операций и следовательно времени расчета приходятся на преобразования формы вихревых структур, осуществляемые на каждом шаге интегрирования по времени. Каждое такое преобразование можно свести к задаче умножения некоторой матрицы большой размерности на вектор.

В настоящей работе рассматриваются возможность и эффективность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в рамках метода дискретных вихревых отрезков для трехмерного моделирования вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области, а также при обтекании системы тел.

Следует отметить, что разделение задач на два класса: распространение завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости; трехмерное моделирование обтекания тел; обусловлено тем фактом, что развитие численного метода (МДВ) и его внедрение в практическую деятельность происходило существенно быстрее, чем развитие математического аппарата, дающего строгое обоснование применимости метода. В настоящий момент существует обоснованная математическая теория только для задач первого класса, в рамках которой в настоящей работе формулируются новые теоремы и приводятся доказательства, обосновывающие применение предложенных идей

ускорения вычислений. Что касается второго класса задач, то практика показывает, что использование МДВ дает хорошие результаты (при сравнении с экспериментальными данными). Таким образом, учитывая сложившуюся практику апробации численных методов МДВ для задач трехмерного обтекания системы тел, в работе проводится ряд исследований, позволяющих продемонстрировать хорошее совпадение результатов моделирования с данными физических экспериментов.

В связи с изложенными обстоятельствами объектом исследования в настоящей работе являются метод дискретных вихрей, трехмерные математические модели движения идеальной жидкости в безграничном объеме и обтекание тел идеальной жидкостью, а предметом исследования - вопросы ускорения вычислений в методе дискретных вихрей.

Целью диссертационной работы является формулировка, обоснование и программная реализация «быстрого» численного алгоритма для задач, решаемых методом дискретных вихрей («быстрого» означает ускорение в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях).

Для достижения указанной цели в работе решены задачи:

1) разработка модификации метода дискретных вихревых отрезков (МДВО) эффективно совместимой с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций для решения трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области и задач обтекания тел;

2) доказательство сходимости решений, полученных сформулированным численным методом, к решению непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области;

3) теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов;

4) интеграция программных комплексов, реализующих МДВО и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций;

5) проведение исследовательских расчетов по оценке эффективности быстрых алгоритмов.

Методы исследования. Вихревые методы, методы вычислительной линейной алгебры, дифференциальные уравнения, численное моделирование.

Научная новизна.

1) Сформулирована новая модификация метода дискретных вихревых отрезков с использованием мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения вычислений для трехмерных задач переноса завихренности в безграничном объеме и задач обтекания тел идеальной жидкостью.

2) Доказаны сходимость численных решений, получаемых модифицированным алгоритмом, к решению исходной непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области на сетке.

3) Получено теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.

4) Произведена оценка возможностей по ускорению вычислений за счет использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в новой области: вихревых методах вычислительной аэродинамики.

Научная и практическая значимость.

1) В характерных аэродинамических задачах сформулированный «быстрый» алгоритм позволяет получить ускорение времени расчета в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях.

2) Сформулированный «быстрый» алгоритм открывает возможности для решения принципиально новых аэрогидродинамических задач, которые до настоящего времени не решались ввиду их большой вычислительной сложности.

3) Возросшая скорость вычислений позволяет проводить расчеты на более мелких сетках и правильно моделировать тонкие аэродинамические эффекты, такие, как, например, расчет подсасывающей силы на передней кромке крыла.

В диссертации получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1) сформулирована модификация алгоритма метода дискретных вихревых отрезков с применением мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения расчетов;

2) доказана сходимость на сетке численных решений, получаемых с помощью сформулированного численного алгоритма, к решению исходных уравнений для трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;

3) интегрированы программные комплексы, реализующие метод дискретных вихревых отрезков и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций;

4) произведено тестирование алгоритмов ускоренного умножения матриц на основе мозаично-скелетонных аппроксимаций в трехмерных модельных задачах о переносе завихренности в безграничном объеме и об отрывном обтекании тел. Получены данные об ускорении вычислений при применении ускоренного алгоритма.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• международная школа-семинар «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», 2008 год, Орел;

• международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования», 2009 год, Москва;

• XX школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», 2009 год, пос. Володарка, ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского;

• конференция Тихоновские чтения - 2009 год, Москва;

Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:

• отчетная сессия Института Вычислительной математики РАН, декабрь 2008;

• семинар имени проф. С.М. Белоцерковского, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского - ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, февраль 2009;

• семинар на факультете ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Е.В.Захарова;

• семинар «Вычислительные и информационные технологии в математике» ИВМ РАН под руководством чл.-корр РАН, проф. Е.Е. Тыртышникова, сентябрь 2009.

Публикации: По теме работы опубликовано 4 статьи, 2 тезиса докладов на конференциях. Основные результаты содержатся в работах [1-6], в том числе [5,6] из перечня ВАК РФ.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 124 страницы. Список литературы включает 83 наименования.

Личный вклад автора. Личный вклад автора в совместные работы оценивается как равный с соавторами.

Краткое содержание работы

Во введении описываются цели работы, обосновывается ее актуальность и практическая значимость, приводится обзор работ по исследуемому вопросу.

В первой главе формулируются постановки трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости и трехмерной задачи отрывного обтекания системы тел идеальной жидкостью. Обе задачи ставятся в лагранжевых координатах: в каждый момент времени положения жидких частиц и завихренность в них рассматриваются как функции от их начальных положений.

Задача переноса завихренности в безграничном объеме описывается следующей интегро-дифференциальной системой уравнений:

= = (1.1)

(1.2)

1-1

(1.3)

где х=х(^,/)еЛ3 - точка, в которой в момент времени г находится частица с лагранжевыми координатами ^ = \у(х,/) - скорость жидкости в

точке х в момент времени (£, г) = , о> = го! лу - завихренность, со0

- заданное начальное распределение завихренности, причем предполагается, что функция со0© равна нулю вне некоторой ограниченной области В, 8, = 81 сх!, 8, =8/81, х, / = 1,2,3 - координаты точки х.

Автором предложена модификация численной схемы решения трехмерной задачи распространения завихренности в безграничном объеме, эффективно совместимая с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций. Вопросы эффективной совместимости подробно рассматриваются в Главе 3. Численная схема получается при дискретизации системы уравнений (1.1)-(1.3). При этом осуществляется разбиение исходной области на ячейки В. (рис. 1) и

для каждой ячейки строится вихревой элемент (1ЯГ.), такой что

Г\-1у =£уса0(хр, где Г - вихревой отрезок заданной длины /, Г\ -

интенсивность отрезка, Ь] - объем ячейки В}, ю0(х/ ) - завихренность,

сосредоточенная в ячейке, X; - середина отрезка / = I,..., Л', х*(/) и х~(/) -

конец и начало отрезка Далее в каждый момент времени / > О будем

аппроксимировать поле завихренности вихревыми элементами (1у,Г;), где

1у =1 ;(?) = х*(?)-хТ(?), значения |Гу1; | не меняются с течением времени.

Рис. 1

Аппроксимация уравнений (1.1)-(1.3) осуществляется следующей дискретной системой уравнений, описывающих движение концов вихревых

¿X*

отрезков: —*- = \г(х±,,(), / = 1х* = х°± при Г = 0,/ = 1,...,п. <Л ' 1

Выражение для скорости получается путем регуляризации

несобственного интеграла в формуле (1.3)

п

= , где у(ху,0)^ = Г, (1.4)

м

9е(г) - функция, которая должна сгладить особенность в указанном интеграле.

Перемещение вихревых отрезков во времени аппроксимируется схемой Эйлера с уточнением:

х1м = х% + уу*(х^)Л/, = + 0.5(>у*(х*,) + уИ+1(^+0)Л',

где уу*(х) = W

г , (1-5)

.....= .....п](х),

ЧМ1< 1(х)=хгд1уху£(х-х;)],

1 .....-1 №

1.=х;-х;,х;=(х;+хр/2

При постановке трехмерных задач об отрывном обтекании системы тел идеальной несжимаемой жидкостью поверхности обтекаемых тел и вихревой след, образующийся за ними, заменяются вихревыми слоями. Предполагается, что течение жидкости является потенциальным всюду вне обтекаемых тел и вихревых следов, возникающих при отрыве потока с заданных линий отрыва, а вихревые следы представляют собой тонкие поверхности разрыва касательной составляющей поля скоростей. При такой постановке поле скоростей жидкости в каждый момент времени может быть представлено в виде градиента потенциала двойного слоя, размещенного на поверхностях обтекаемых тел и вихревой пелене. В диссертации приводится полная постановка краевой задачи для поля скоростей и давления и вытекающая из нее система интегро-

дифференциальных уравнений для траекторий движения точек вихревого следа и плотностей потенциала двойного слоя, размещенного на поверхностях обтекаемых тел и вихревой пелене.

Дискретизация трехмерной задачи обтекания системы тел осуществляется методом дискретных вихревых отрезков. Его суть сводится к тому, что непрерывный вихревой слой, заменяющий поверхности обтекаемых, объектов и вихревые следы аппроксимируются системой дискретных вихрей так, чтобы в пределе при увеличении числа вихрей получить исходный вихревой слой (рис.

В работе рассмотрен подход, при котором в вихревом следе выделяются две зоны: «ближний» след и «дальний» след. Поверхность обтекаемого объекта и «ближний» вихревой след аппроксимируются системой замкнутых вихревых рамок, а «дальний» след системой изолированных вихревых отрезков.

При численном решении задачи вихревые рамки и вихревые отрезки, моделирующие вихревой след перемещаются по скорости жидкости. При этом необходимо рассчитать скорость жидкости в массиве точек приемников (угловых точках рамок, в концах вихревых отрезков). Такая процедура является наиболее трудоемкой с точки зрения затрат машинного времени в ходе решения всей задачи. Выполнение этой процедуры можно свести к умножению матрицы большой размерности на вектор.

Во второй главе доказывается сходимость описанного в первой главе численного метода решения трехмерной задачи переноса завихренности в безграничной области.

2).

Численная схема

Дальний след

Поверхносг о5ьокт«

Рис. 2

Для исследования уравнений (1.1)-(1.3) вводятся следующие функциональные пространства. Пусть Ha(Q), где а е (0,1) , О с Ii1 есть пространство действительных функций, определенных и непрерывных по Гельдеру с показателем а на множестве П, с нормой |/|я =sup|/(x)| + sup |/(х)-/(у)|/|х-уР и Н'а(Q) - пространство

xeft x,y6ß,x*y

действительных функций /(х), хеП, таких, что Э,/еЯа(0), с нормой 11Д,а=1И1+Х1М1- Обозначим, также, Н°(П) и Н la(Q) , as (0,1) -

/-I

пространства векторных функций ->х(§) = (х,,х2,д:,) е^3 таких, что

*,еЯ»(П) или х, еHla{Q) с нормами |Х||а = ¿f*,j|a . |х|ы =114,« ■

м f-i

Пусть Н*а =H''a(Q0)xHa(Q0) - нормированное пространство, элементами которого являются пары отображений и = (Х,Т), ставящих в соответствие элементу § е Q0 векторы х = х(£) и 4/ = i|/(<;), а норма определена формулой |HL=|XL+WL- Предполагается, что задача (1.1)-(1.3) имеет и при том единственное решение, определенное на отрезке времени [0,Г] такое, что при каждом /е[0,Г] выполнено условие и(1) = (х(£,/),ц/(£,?)) е Н'а (существование такого промежутка времени доказано ранее в работе Сетухи A.B., Кирякина В.Ю).

Численно задача решается по схеме, предложенной в Главе 1, причем, предполагается, что при каждом вычислении вектора скорости по формуле (1.6) может возникать дополнительная ошибка, по модулю не превосходящая величины S0. В диссертации доказана теорема.

ТЕОРЕМА. Для задачи (1.1)-(1.3) существуют константы £(1 >0, /г0 = /¡о (г) > 0, такие, что для любых £ е (0,г0) и разбиения Т с диаметром И е (0,/г0) дискретная задача, аппроксимирующая задачу (1.1)-(1.3) имеет решение и,*, такое, что при каждом к выполнены щенки |х* —

-у&.ф^. |(хагде

К

- константа, Гк = ¿А/.

В третьей главе рассматриваются вопросы ускорения вычислений с использованием метода мозаично-скелетонных аппроксимаций и программной реализации предложенного алгоритма.

На каждом шаге интегрирования по времени происходит преобразование массива неизвестных величин, которое можно свести к умножению матрицы на вектор, которое при прямом счете требует порядка 0(Ы2) операций. Метод мозаично-скелетонных аппроксимаций позволяет сократить число операций до 0(ЛПо§2 Лг), а соответственно и время расчета, за счет приближенного представления исходной матрицы.

В основе метода мозаично-скелетонных аппроксимаций лежит идея разбиения матрицы на блоки, каждый из которых затем аппроксимируется суммой матриц скелетонов (скелетоном называется матрица ранга 1, причем, элементы такого скелетона можно представить в виде ан =Ь,с;).

Автором показано, что:

во-первых, модификация МДВ предложенная в Главе 1, является эффективно совместимой с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций в том смысле, что она позволяет аппроксимировать только одну скалярную матрицу, в то время как другие известные модификации МДВ требуют аппроксимации трех и более матриц того же размера;

во-вторых, предложенная модификация МДВ позволяет избежать проблемы неэффективной аппроксимации матрицы при наличии в ней больших нулевых блоков. При аппроксимации блока матрицы методом мозаично-скелетонных аппроксимаций выбираются опорные строки и столбцы блока, на основе которых строится приближение блока. Все элементы этих строк и столбцов вычисляются. Если строка или столбец оказываются полностью нулевыми, то они не могут быть использованы в качестве опорных. Выбирается новая строка или столбец и опять вычисляются все элементы. Т.е. вычисления нулевых строк/столбцов происходит «вхолостую». При наличии в матрице больших нулевых блоков мозаично-скелетонная аппроксимация может не только не уменьшить общее время счета, но и увеличить его.

Применение методов мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц, возникающих при аппроксимации ядер интегральных операторов, основано на следующей теореме, доказанной в работах Тыртышникова Е.Е.: Теорема: Пусть К(х,у) - асимптотически гладкая функция по у, {х,.} и {у,}, / = 1у = 1- две сетки, принадлежащие семейству квазиравномерных сеток Т в некотором кубе О, пространства Ит. Тогда для любого <5 > О супцествует С такое, что матрица А = [/(х, ,уу)]„,„ может быть

представлена в виде А = А + К, где тгА<СЛо%™*хп,\Щ <Сп~* (здесь|/?||р = | - норма Фробеииусаматрицы Я = (г )).

Асимптотическая гладкость функции /0(х,у) = 1/[х-у|3 (ядро интегрального оператора Био-Савара) доказана в работах Тыртышникова Е.Е..

Автором доказана квазиравномерность сеток, возникающих при решении задачи распространения завихренности в безграничном объеме численным методом, предложенным в Главе 1.

Предположим, что П - куб с достаточно большой стороной а и центром в начале координат, и пусть сетка {!;,} удовлетворяет условию

квазиравномерности с параметром г0. Пусть Q' -некоторый куб со стороной Ъф0, такой что fi'cfi.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Сетки {х } = {х'}, {у,+} = {х^}, {у^} = {х^}, возникающие в момент времени tk при решении дискретной задачи (1.5)-(1.6) принадлежат классу квазиравномерных сеток с параметрами

Mix rttfm

M - некоторая константа, зависящая от начальных условий исходной задачи (1.1)-(1.3), N - число вихревых элементов, F(Q) - объем куба.

В четвертой главе осуществлено тестирование предложенных численных алгоритмов в задачах гидродинамики. При решении ряда модельных задач: чехарды вихревых колец; обтекания полусферы; обтекания цилиндра; обтекания прямоугольного крыла с удлинением Я = 5; обтекания системы зданий и сооружений - показано, что предложенные численные алгоритмы дают ускорение времени счета более 10 раз, по сравнению с прямыми методами расчета. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с данными физических экспериментов.

На примере задачи о «чехарде» вихревых колец проводятся исследования устойчивости предложенных алгоритмов по времени. На Рис. 3 изображены зависимости параметра h - разности координат проекций центров сечений торов на ось Ох} от времени, полученные при использовании различной априорной точности аппроксимации матрицы скоростей (кривая 1 - <5 = 10~4, кривая 2 - <5 = 10~3, кривая 3 - 8 = 10"2, а также полученные при точном вычислении этой матрицы (кривая 4)).

Теоретический анализ явления «чехарды» предсказывает наличие периодической зависимости h{t). Накопление вычислительных ошибок может приводить к быстрому разрушению вихревых колец. Так, например, из Рис. 3 видно (кривая 5), что при использовании схемы Эйлера 1-го порядка точность аппроксимации поля скоростей на начальных шагах достаточно высокая

(кривые 4 и 5 при К 9 практически совпадают). Однако, по схеме Эйлера 1-го порядка, не удается смоделировать в полной мере даже один период движения. При расчете по схеме Эйлера с уточнением и с использованием ускоренного алгоритма вычисления матрицы скоростей удается смоделировать около 1 периода (в зависимости от параметра 5) при высокой точности совпадения траекторий центров вихревых колец с траекторией, полученной при точном вычислении матрицы, вплоть до момента разрушения решения.

Рис. 3

На Рис. 4 приведены результаты обтекания полусферы. Предполагалось, что отрыв потока происходит по всей кромке. Приведены формы вихревых структур, полученные при расчете с приближенным вычислением матрицы скоростей, зависимости коэффициента сопротивления от безразмерного времени и времени выполнения одного шага расчета для вариантов с точным и ускоренным вычислением матрицы скоростей.

С. (эксперимент)= 0.71 С, (расчет среднее значение) = 0.72

1

О ,5

3 м

0,4 -

02 -О -О

§ 120

16 32 48 64

Безразмерное время

16 32 48 6 4

Безрз^лерное время

Рис. 4

На левом графике: а - зависимость Сг (г) при «быстром счете», б -зависимость Сх (г) при «прямом счете», в - экспериментальное значение С^ =0.71. На правом графике: 1 - время счета одного шага алгоритма при «быстром счете», 2 - время счета одного шага алгоритма при «прямом счете».

На Рис. 5 приведены аналогичные результаты, полученные в задаче об обтекании восьмигранного цилиндра с удлинением Я = 5, ориентированного одним из ребер в сторону набегающего потока.

Публикации по теме диссертации

1. Апаринов A.A. О применении метода мозаично-скелетонных аппроксимаций при вычислении поля скоростей в двумерных вихревых течениях в безграничной области. // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» - ГОУ ВПО «Орловский государственный университет». 2008. -Вып. 6. - С. 6-12

С, (эк.сперимент)= t.01 С^ (расчет среднее значение)^ 1 .СИ-

26 50 74 98 122 Безразмерное врем я

На левом графике: а -зависимость Сх (т) при «быстром счете», б -

зависимость Сх (т) при «прямом счете», в - экспериментальное значение

С.х =1.01,3- прогнозируемое время счета одного шага при «прямом счете».

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту.

2,1 Ii 1.5 Ii 0,9

26 SO 74 да Безразмерное время

Рис. 5

2. Апаринов A.A., Сетуха A.B. Применение мозаично-скелетонных аппроксимаций в методе дискретных вихрей. // Труды Международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», - Орел: издательство ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2009. - Вып. 7. -С. 12-16.

3. Апаринов A.A., Сетуха A.B. О применении ускоренного умножения матриц в вихревом методе для трехмерных задач гидродинамки. // Тезисы докладов международной научно-образовательной конференции «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования». -М.:РУДН. 2009. - С. 322-333

4. Апаринов A.A., Сетуха A.B. Использование методов быстрого матричного умножения для ускорения вычислений при моделировании трехмерных вихревых течений. //Материалы XX школы семинара «Аэродинамика летательных аппаратов» - ЦАГИ. 2009. - С. 8

5. Апаринов A.A., Сетуха A.B. О применимости мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц для ускорения вычислений в вихревом методе для трехмерных уравнений Эйлера. //Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45. № 9. - С. 1329-1340

6. Апаринов A.A. Сетуха A.B. О применении метода мозаично-скелетонных аппроксимаций при моделировании трехмерных вихревых течений вихревыми отрезками. //ЖВМ и МФ. 2010. - Т. 50. №5. - С. 937-948

Подписано в печать 23 апреля 2010 г.

Формат 60x90/16

Объём 1,1 п. л.

Тираж 150 экз.

Заказ №230410297

Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 7728572912\772801001

Адрес: 119333, г. Москва, Университетский проспект, д. 6, кор. 3.

Тел. 740-76-47,989-15-83.

http://www.univerprint.ru

Введение.

Глава 1. Постановка задач гидродинамики и вихревые методы.

1.1. Трехмерная задача о переносе завихренности в неограниченном объеме идеальной жидкости.

1.2. Трехмерная задача об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью.

1.2.1. Постановка задачи для потенциала скорости и давления.

1.2.2. Интегро-дифференциальная система уравнений для трехмерной задачи об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью.

1.3. Вихревые численные методы.

1.3.1. Численный метод для трехмерной задачи распространения завихренности в неограниченном объеме.

1.3.2. Численная схема моделирования движения завихренности с использованием условия вмороженности вихревых линий в жидкость

1.4. Численный метод для трехмерной задачи обтекания тел идеальной жидкостью.

1.4.1. Метод вихревых рамок для трехмерного моделирования.

1.4.2. Метод вихревых отрезков.

1.5. Выводы.

Глава 2. Обоснование сходимости численного метода в задаче переноса завихренности в безграничном объеме.

2.1. Регуляризация интегрального представления поля скоростей в задаче о переносе завихренности в безграничной области.

2.1.1. Дискретизация по пространству.

2.1.2. Дискретизация по времени.

Объект исследования и актуальность темы. Метод дискретных вихрей (МДВ) и его модификации — одно из наиболее активно развивающихся и широко применяемых направлений среди вихревых методов аэрогидродинамики. Считается, что начало развития вихревых методов было положено в теоретических работах Гельмгольца [73]. Впервые метод «вихревых частиц» был применен в работе Л. Розенхеда [81] для моделирования развития тангенциального разрыва. В шестидесятых годах XX века началось интенсивное развитие и применение вихревых методов, направленное на изучение вопросов отрывного обтекания двумерного контура. Следующим этапом в развитии вихревых методов стало их применение для моделирования трехмерных вихревых течений и обтекания тел. Среди работ, посвященных двумерному и трехмерному моделированию переноса завихренности в безграничном объеме, следует отметить работы [38, 48, 62, 68].

Среди отечественных исследователей того времени наиболее значимых результатов добились С.М. Белоцерковский и его школа [16, 34, 35]. Работы западных ученых наиболее полно представлены в обзоре вихревых методов Т. Сарпкайи [42], а также в работе Г.-Х. Коте и П. Комотсакоса [68]. Также нужно отметить работы Э. Леонарда [77-78], посвященные детальному изучению обтекания импульсно стартующего цилиндра, с большим количеством моделей и сравнений с экспериментальными данными.

2.2. Выводы.71

Глава 3. Ускорение вычислений.72

3.1. Общий обзор методов быстрого умножения.72

3.2. Мозаично-скелетонные аппроксимации.75

3.3. Интеграция программных комплексов, реализующих метод дискретных вихрей и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.88

3.4. Число уровней дерева кластеров.92

3.5. Скелетонная аппроксимация.95

3.6. Выводы.97

Глава 4. Результаты численного моделирования.98

4.1. Задача о чехарде вихревых колец.98

4.2. Обтекание полусферы.103

4.3. Обтекание восьмигранного цилиндра.106

4.4. Обтекание прямоугольного крыла.108

4.5. Обтекание системы зданий и сооружений.111

4.6. Выводы.114

Заключение.115

Литература.116

Новым шагом в развитии метода дискретных вихрей стало появление метода замкнутых вихревых рамок, описанного в работах В.А. Апаринова, A.B. Дворака и Е.Д. Ковалева, И.К, Лифанова, A.A. Михайлова, М.И. Ништа, Г.Г. Поликарпова [11, 56], а за ним метода дискретных вихревых отрезков, изложенного в работах В.Ю. Кирякина и A.B. Сетухи [27, 28].

Параллельно с развитием вихревых методов появлялись строгие математические обоснования. Обоснование численных схем учета граничных условий методом дискретных вихрей приводится в работах [15, 18, 31]. В работе [18] показана интегральная сходимость метода замкнутых вихревых рамок к решению граничного интегрального уравнения. В работе [44] доказана равномерная сходимость метода замкнутых вихревых рамок к решению граничного интегрального уравнения.

В работах [72, 74] доказана сходимость численного метода дискретных вихрей в задаче переноса завихренности в безграничной области для двумерного случая. В работе [75] доказана сходимость численного метода к решению непрерывной задачи переноса завихренности в безграничной области для трехмерного случая в интегральных метриках.

В работах [43, 46] изучены вопросы движения вихревой пелены и обоснования метода дискретных вихрей для двумерного вихревого слоя при аналитических начальных условиях. В работе [44] приводится обоснования для метода дискретных вихрей для уравнений Эйлера в двумерной области с границей.

В работе [28] доказывается равномерная сходимость метода дискретных вихрей к решению непрерывной задачи для трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области.

Примеры приложения метода дискретных вихрей в задачах аэрогидродинамики летательных аппаратов, зданий и сооружений, ветроустановок других областях можно найти в работах [35, 36, 39, 40, 48, 79].

Учитывая постоянно растущую вычислительную сложность решаемых задач, естественным образом стал возникать вопрос об ускорении вычислений, которое бы позволило не только повысить эффективность моделирования уже решаемых задач, но и открыло возможности для моделирования обтекания новых классов объектов и аэрогидродинамических эффектов, которые не удавалось моделировать ранее ввиду их вычислительной сложности. При моделировании вихревых течений рассматриваемыми методами основные вычислительные затраты по числу операций и следовательно времени расчета приходятся на преобразования формы вихревых структур, осуществляемые на каждом шаге интегрирования по времени. Каждое такое преобразование можно свести к задаче умножения некоторой матрицы большой размерности на вектор. Поэтому одним из актуальных направлений исследований стало применение в вихревых методах приближенных алгоритмов быстрого матричного умножения. В работах [26, 58-60, 76, 82] рассматриваются возможности использования мультипольного метода, метода Барнса-Хата в задачах об ансамбле частиц, решаемых вихревыми методами. В настоящей работе рассматривается возможность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в рамках метода дискретных вихревых отрезков для трехмерного моделирования течений идеальной жидкости в безграничной области, а также при обтекании системы тел.

Следует отметить, что разделение задач на два класса:

1) распространение завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;

2) трехмерное моделирование обтекания системы тел; обусловлено тем фактом, что развитие численного метода (МДВ) и его внедрение в практическую деятельность происходило существенно быстрее, чем развитие математического аппарата, дающего строгое обоснование возможности применения указанных методов. В настоящий момент существует обоснованная математическая теория только для задач первого класса, в рамках которой в настоящей работе формулируются новые теоремы и приводятся доказательства, обосновывающие 4 применение предложенных идей ускорения вычислений. Что касается второго класса задач, то практика показывает, что использование МДВ дает хорошие результаты (при сравнении с экспериментальными данными). Таким образом, учитывая сложившуюся практику апробации численных методов МДВ для задач трехмерного обтекания системы тел, в работе проводится ряд исследований, позволяющих продемонстрировать хорошее совпадение результатов моделирования с данными физических экспериментов.

В связи с изложенными обстоятельствами объектом исследования в настоящей работе являются метод дискретных вихрей, трехмерные математические модели движения идеальной жидкости в безграничном объеме и обтекание тел идеальной жидкостью, а предметом исследования — вопросы ускорения вычислений в методе дискретных вихрей. Целью диссертационной работы является формулировка, обоснование и программная реализация «быстрого» численного алгоритма для задач, решаемых методом дискретных вихрей («быстрого» означает ускорение в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях).

Для достижения указанной цели в работе решены следующие задачи.

1) Разработка модификации метода дискретных вихревых отрезков (МДВО), эффективно совместимой с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций для решения трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области и задач обтекания тел.

2) Доказательство сходимости решений, полученных сформулированным численным методом, к решению непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области.

3) Теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.

4) Интеграция программных комплексов, реализующих МДВО и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.

5) Проведение исследовательских расчетов по оценке эффективности быстрых алгоритмов.

Научная новизна.

1) Сформулирована новая модификация метода дискретных вихревых отрезков с использованием мозаично-скелетонных аппроксимаций для; ускорения вычислений для трехмерных задач переноса завихренности в безграничном объеме и задач обтекания тел идеальной жидкостью.

2) Доказана сходимость численных решений, получаемых модифицированным алгоритмом, к решению исходной непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области.

3) Получено теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.

4) Произведена оценка возможностей по ускорению вычислений за счет использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в новой области: вихревых методах вычислительной аэродинамики.

Научная и практическая значимость.

1) В характерных аэродинамических задачах сформулированный «быстрый» алгоритм позволяет получить ускорение времени расчета в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях.

2) Сформулированный «быстрый» алгоритм открывает возможности для решения принципиально новых аэрогидродинамических задач, которые до настоящего времени не решались ввиду их большой вычислительной сложности.

3) Возросшая скорость вычислений позволяет проводить расчеты на более мелких сетках и правильно моделировать тонкие аэродинамические эффекты, такие, как, например, расчет подсасывающей силы на передней кромке крыла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• международная школа-семинар «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», 2008 год, Орел;

• международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования», 2009 год, Москва;

• XX школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», 2009 год, пос. Володарка, ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского;

• конференция Тихоновские чтения — 2009, 2009 год, Москва.

Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:

• отчетная сессия Института вычислительной математики РАН, декабрь 2008;

• семинар имени проф. С.М. Белоцерковского, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского - ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, февраль 2009;

• семинар на факультете ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Е.В.Захарова;

• семинар «Вычислительные и информационные технологии в математике» ИВМ РАН под руководством чл.-корр РАН, проф. Е.Е. Тыртышникова, сентябрь 2009.

Публикации: По теме работы опубликовано 4 статьи, 2 тезиса докладов на конференциях. Основные результаты содержатся в работах [510], в том числе [6,10] из перечня ВАК РФ.

Структура работы.

Работа состоит из введения и четырех глав, в которых отражены основные результаты, полученные в процессе исследований.

В первой главе приводится математическая постановка задач распространения завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости и обтекания системы тел потоком идеальной жидкости. Также формулируются методы численного решения поставленных задач.

Во второй главе предлагается модификация численного метода, наиболее эффективная с точки зрения использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций. Формулируются утверждения и теоремы, приводятся доказательства, дающие строгое математическое обоснования сходимости решения, получаемого с помощью предложенной модификации численного метода в задачах распростренения завихренности в безграничном объеме к непрерывному решению.

В третьей главе обосновывается возможность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций к поставленным задачам и приводится численный алгоритм использования мозаично-скелетонных аппроксимаций в рамках МДВ.

В четвертой главе приводятся результаты численного решения ряда тестовых задач: моделирования эффекта чехарды вихревых колец, расчетов обтеканий полусферы, восьмигранного цилиндра, прямоугольного крыла, системы зданий и сооружений. Проводится сравнение результатов численного моделирования с данными физических экспериментов, а также сравнение времени выполнение расчета «ускоренным» и «прямым» алгоритмами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

4.6. Выводы

В четвертой главе описаны численные эксперименты, проведенные с использованием разработанного программного комплекса.

На примере задачи о «чехарде» вихревых колец продемонстирована численная устойчивость предложенного алгоритма.

В задачах нестационарного обтекания полусферы и восьмигранного цилиндра показано хорошее совпадение результатов вычислений и экспериментальных данных для аэродинамических характеристик указанных объектов.

Расчет распределения давления по поверхности прямоугольного крыла демонстрирует возможности моделирования тонких аэродинамических эффектов, которые затруднительно моделировать без ускорения вычислений.

В задаче моделирования обтекания системы зданий продемонстрированы два возможных варианта применения мозаично-скелетонных при необходимости моделировать поверхность раздела, а также приведены данные по соотношению вычисляемых элементов матрицы к общему числу элементов матрицы в зависимости от размера матрицы.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты, которые выносятся на защиту.

1) Сформулирована модификация алгоритма метода дискретных вихревых отрезков с применением мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения расчетов;

2) Доказана сходимость на сетке численных решений, получаемых с помощью сформулированного численного алгоритма, к решению исходных уравнений для трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;

3) Интегрированы программные комплексы, реализующие метод дискретных вихревых отрезков и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.

4) Произведено тестирование алгоритмов ускоренного умножения матриц на основе мозаично-скелетонных аппроксимаций в трехмерных модельных задачах о переносе завихренности в безграничном объеме и об отрывном обтекании тел. Получены данные об ускорении вычислений при применении ускоренного алгоритма.

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2002. - 320 с.

2. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир. - 1990. - Т. 1. — 384 с.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир. - 1990. - Т. 2. - 336 с.

4. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных аэродинамических нагрузок. М. Издательство Моск. Университета. 2006. — 184 с.

5. Апаринов A.A. Сетуха A.B. О применении метода мозаично-скелетонных аппроксимаций при моделировании трехмерных вихревых течений вихревыми отрезками. //ЖВМ и МФ. 2010 — Т. 50, №5 С. 937-948

6. Апаринов A.A., Сетуха A.B. Использование методов быстрого матричного умножения для ускорения вычислений при моделировании трехмерных вихревых течений. //Материалы XX школы семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». — ЦАГИ. 2009. С. 8

7. Ю.Апаринов A.A., Сетуха A.B. О применимости мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц для ускорения вычислений в вихревом методе для трехмерных уравнений Эйлера. //Дифференциальные уравнения. 2009 Т. 45. № 9 - С. 1329-1340

8. Апаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками. // М.:Труды ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского. 1986. Вып. 1313 - С. 424-432

9. Апаринов В. А., Локтев Б.Е., Ништ М.И. Нелинейные аэродинамические модели. Вопросы кибернетики, М.: Научный совет АН СССР. 1986. С. 47-69

10. Атлас аэродинамических характеристик. Издание БНТ НКАТ при ЦАГИ. 1940.-340 с.

11. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде // ЖТФ. 1994. Т. 64. - С. 179-185.

12. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука. 1985. 256 с.

13. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука. 1978. - 352 с.

14. Богомолов Д.В., Сетуха A.B. О численном моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. //Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». 2008. № 125(1). - С. 73-78

15. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский JI.H. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. — М.: "Янус-К". 2001. -508с.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: «Наука». 1981.-512 с.

17. Гирча А.И. Быстрый алгоритм решения задачи «N тел» в рамках программной реализации метода вязких вихревых доменов. // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 4.2(30). - С. 239242.

18. Горейнов С. А., Замарашкин Н.Л., Тыртышников Е.Е. Псевдоскелетонные аппроксимации матриц. // Докл. РАН. 1995. -№343(2).-С. 151-152.

19. Горейнов С.А. Мозаично-скелетонные аппроксимации матриц, порожденных асимптотически гладкими и осцилляционными ядрами. -М.: Институт вычислительной математики РАН. 1999. С. 42-76

20. Гуржий A.A., Константинов М.Ю., Мелешко В.В. Взаимодействие коаксиальных вихревых колец в идеальной жидкости. // Изв. АН СССР МЖГ. 1988 №2. - С. 78-84

21. Гутников В.А, Лифанов И.К., Сетуха А.В: О моделировании аэродинамики зданий и сооружений методом замкнутых вихревых рамок // Изв. РАН МЖГ. 2006. №4. - С. 78-92.

22. Дмитрук С.А. Расчет двумерного отрывного обтекания кругового цилиндра в нестационарном потоке идеальной жидкости // Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладная аэродинамика» КИИГА. Киев. 1979.

23. Дынникова Г.Я. Расчет обтекания кругового цилиндра на основе двумерных уранений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса с высоким разрешением в пограничном слое.// Доклады академии наук. 2008. Т. 422. №6. - С. 755-757

24. Кирякин В.Ю. Моделирование обтекания объектов методом дискретных вихрей с представлением вихревой пелены изолированными вихревыми частицами. // Научный вестник МГТУ ГА. серия Аэромеханика и прочность. 2008. №125(1). - С. 78-82

25. Кирякин В.Ю., Сетуха A.B. О сходимости численного метода решения трехмерных уравнений Эйлера в лагранжевых координатах. //Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. №9. - С. 1263-1276

26. Корнев Н.В. Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля: Дисс. д.т.н. Спб. 1998. - 184 с.

27. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1, изд. шестое. М.: Физматгиз. 1963. - 584 с.

28. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.:ТОО "Янус". 1995. — 520 с.

29. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. 1978. — 736 с.

30. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки / В.А. Гутников, И.К. Лифанов, A.B. Сетуха, В.Ю. Кирякин М.: Изд-во «Пасьва». 2002. - 244 с.

31. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983.-№4. С. 138-147.

32. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел./ С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров М: Наука. 1988. - 232 с.

33. Морозов В.И., Понамарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.:Физматлит. 1995. — 735 с.

34. Нечепуренко Ю.М. Быстрые численно устойчивые алгоритмы для широкого класса линейных дискретных преобразований // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука. 1987 - Вып. 5. - С. 292-301

35. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) //ЖЭТФ. 1983. Т. 3. - С. 975-981.

36. Рекомендации по оценке аэрации территории в жилой застройке г. Москвы. Отв. редактор Лифанов И.К. М:.МАКС Пресс. 2006.-2-е изд., переработанное и доп. - 160 с.

37. Савицкий Г.А. Ветровая нагрузка на здания и сооружения. -М.: Издательство литературы по строительству. 1972. — 111 с.

38. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Сер. «А». 1989. №10. - С. 160.

39. Сетуха A.B. Обоснование метода дискретных вихрей в задаче о движении конечной вихревой пелены при аналитических начальных условиях. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №9. - С. 12721279

40. Сетуха A.B. Обоснование численного метода дискретных вихрей для уравнений Эйлера в области с границей. // Дифференциальные уравнения. 1997. Т.ЗЗ. №9. - С. 1268-1277

41. Сетуха A.B. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на отрезке в классе обобщенных функций. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 9. - С. 1208-1218

42. Сетуха A.B. Численное решение задачи о движении вихревой пелены при аналитическом начальном условии. // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. №9. - С.1529-1537

43. Справочник авиаконструктора. Т.1. Аэродинамика самолета. М.: ЦАГИ. 1937.

44. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. / Т.О. Аубакиров, А.И. Желанников, П.Е. Иванов, М.И. Ништ Моделирование на ЭВМ. Алматы: Гылым. 1999. - 448 с.

45. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. / Под редакцией Белоцерковского. — М. ЦАГИ. 2000. 266 с.

46. Труды Международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Вып. 7. Орел: издательство ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2009.-С. 12-16.

47. Тыртышников Е.Е. Методы быстрого умножения и решение уравнений // Матричные методы и вычисления, М.: Институт вычислительной математики РАН. 1999. - С. 4-41.

48. Тыртышников Е.Е., Методы численного анализа. М.: Издательский центр «Академия». 2007. - 320 с.

49. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - Т. 1. - 504 с.

50. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ. М.: Мир. 1991. - Т. 2. - 552 с.

51. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. / Д.В. Богомолов, И.К. Марчевский, А.В. Сетуха, Г.А. Щеглов // Инженерная физика, 2008. -№4-С. 8-14.

52. Численный метод расчета летательного аппарата с телесным фюзеляжем / Е.Д. Ковелев, И.К. Лифанов, А.А. Михайлов, М.И. Ништ, Г.Г. Поликарпов //ЖВМ и МФ 1989. Т. 29. №4. - С. 589-597.

53. Щеглов Г.А. Об одном способе распараллеливания вычислений в методе дискретных вихрей // Информационные технологии и программирование. Межвузовский сборник статей. 2005. №1(13) - С. 45-47.

54. Ambrosiano J. Greengard L., Rokhlin V. The fast multipole method for gridless particle simulation. // Computer Physics Communications. 1988. -V. 48(1). P. 117-125.

55. Anderson C. A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs. // J. Comput. Physics. 1986. V. 62. -P. Ill- 123.

56. Barnes J., Hut P. A hierarchical 0(N Log N) force calculation algorithm // Nature. 1986. V. 324. №4. - P. 446-449.

57. Basin M.A. and Kornev N.V., Incorporation of the Viscosity in the Vortex Method // ZAMM. 1998. №5. - P. 335-344 (in German).

58. Beale J.T., Majda A., Vortex Methods II: Higher Order Accuracy in Two and Three Dimensions // Math, of Computation. 1982. V. 39. №159. - P. 29-52.

59. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. Method of Discrete Vortices. CRC Press, USA, 1993 - 447 p.

60. Beylkin G., CoifmanR., Rokhlin V. Fast wavelet transform and numerical algorithms. // Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44 - P. 141-183

61. Bliss D.B., Epstein R.J., Novel approach to aerodynamic analysis using analytical-numerical matching // AIAA Journal. 1995. V. 34 №11. - P. 2225-2232.

62. Brandt A., Lubrecht A.A. Multilevel Matrix Multiplication and fast solution of integral equations // J. Comput. Phys. 1990 V. 90 - P. 348-370.

63. Canning F.X. The impedance matrix localization (IML) metod for moment-method calculations // IEEE Antennas Propagat. Mag. 1990 V. 32 - P. 1830

64. Cottet G.-H., Koumoutsakos P., Vortex methods: theory and practice. -Cambridge University Press. 2000. 320 p.

65. Goreinov S.A., Tyrtyshnikov E.E., Zamarashkin N.L. A Theory of Pseudo-Skeleton Approximations. // Linear Algebra Appl. 1997. V. 261 - P. 1-21

66. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations.// J. Comput. Physics. 1987. V. 73 - P. 325-348

67. Hackbush W., Novak Z.P. On the fast matrix multiplication in he boundary element method by panel clustering // Numer. Math. 1989 V. 54(4). - P. 463-491

68. Hald O. Convergence of vortex methods II. // CIAM J. Cs. Stat. Comp. 1979.-V. 16.-P. 726-755

69. HelmhoItz H., Uber integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen // Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik. LV. - 1858 - P. 485-512

70. Hold O.H. and Del Prete V.M. Convergence of Vortex Methods for Euler's Equations. // Math. Comput. 1978. V.32 - P.791-809.

71. Hou T.J., Lowengrib J. Convergence of the Point Vortex Method for the 3D Euler equations // Comm Pure Appl. Math. 1990. V.43. - P.965-981

72. Kornev N., Leder A., Mazaev K. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three dimensional vortex field // Schiffbauforschung. 2001 -40(1). P. 47-55

73. Koumoutsakos P., Leonard A., High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods, // J. Fluid Mech. 1995. V. 296. - P. 1-38.

74. Koumoutsakos P., Leonard A., Pepin F., Boundary Conditions for Viscous Vortex Method, // J. Comput.Phys. 1994. -V. 113. P. 52-61.

75. Rokhlin V. Rapid solution of integral equations of classical potential theory // J. Comput. Physics. 1985. V. 60 - P. 187-207

76. Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuity // P. Roy. Soc. Lond.- A134. 1931. - P. 170-192.

77. Taranov A., Kornev N., Leder A., Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation // Schiffbauforschung, 2000 V. 39(2) - P. 95-105.

78. Tyrtyshnykov E.E. Mosaic-Skeleton approximations. // Calcolo. 1996. V. 33 № 1-2. - P. 47-57.