автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости

ДЫННИКОВА ГАЛИНА ЯКОВЛЕВНА

ВИХРЕВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 8 ИЮЛ 2011

Москва-2011

4851811

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН Александр Марксович Гайфуллии

Ведущая организация - Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана (г. Москва)

Защита состоится 22 сентября 2011г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.215.001.01 при ВУНЦ ВВС "Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" по адресу: 125167, г. Москва, ул. Планетная д.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВУНЦ ВВС "Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина"

Автореферат разослан 0?- 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Доктор физико-математических наук, профессор

Сергей Александрович Исаев

Доктор технических наук, профессор

Владимир Александрович Апаринов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Важнейшими задачами аэрогидродинамики является исследование силового воздействия жидкости на движущиеся в ней или омываемые ею тела и поиск способов управления этим воздействием. Известно, что существует тесная связь между вихревой структурой течения и силами, действующими на тела. В связи с этим исследование механизмов вихреобразования и динамики вихрей является актуальным. Для исследования вихревых течений наиболее органичным является использование методов, в основе которых лежит моделирование вихревого поля течения. Среди таких методов особо привлекательными являются бессеточные вихревые методы. Их преимущества состоят в отсутствии необходимости построения сеток, что особенно актуально при расчете сложного движения и изменения формы обтекаемых тел, а также при решении сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил.

Сопряженные постановки задач важны при моделировании явлений авторотации, аэроупругости, аэродинамики высокоманевренных летательных аппаратов, ветродвигателей и иных устройств типа маятников, флюгеров, вертушек, при анализе машущего полета, устойчивости парашютных систем, отыскании способов предотвращения штопора летательных аппаратов и во многих других случаях.

Исследование процессов вихреобразования представляет интерес также в задачах термогидравлики, так как эти процессы, с одной стороны, интенсифицируют теплообмен, а с другой стороны, увеличивают гидравлическое сопротивление теплообменников. Необходимость опережающего повышения скорости теплообмена по сравнению с увеличением сопротивления обуславливает актуальность исследований в этой области и разработки эффективных методов расчета нестационарных течений теплопроводящей жидкости.

Отрывные течения описанных классов в большинстве представляющих практический интерес случаев характеризуются наличием вихревых структур широкого спектра пространственных и временных масштабов. Для расчета таких течений требуются методы либо учитывающие мелкомасштабные пульсации статистически (модели турбулентности), либо позволяющие проводить расчеты на основе уравнений движения жидкости с высокой степенью разрешения (прямое численное моделирование DNS), либо сочетающие оба эти подхода: large eddy simulation (LES), detached eddy simulation (DES). В настоящее время не существует универсальной модели турбулентности, пригодной для любых типов задач, поэтому повышение степени разрешения при расчете течений на основе прямого численного моделирования является актуальным. Развитие бессеточных вихревых методов в этом отношении представляется перспективным, так как эти методы позволяют сосредоточить вычислительные ресурсы в тех областях течения, где это необходимо, достигая там высокой степени разрешения.

Целью диссертации является:

Разработка и реализация в виде комплексов программ эффективных экономичных методов моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости для проведения исследований нестационарных гидродинамических нагрузок на тела, совершающие произвольное движение, включая изменение формы, для решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, для исследований теплоотдачи нагретых поверхностей и ее связи с процессами вихреобразования.

Научная новизна работы.

1. Выведены новые, адаптированные для применения в вихревых лагран-жевых методах, интегральные представления давления в поле течения, сил и моментов, действующих на тела при их произвольном движении в вязкой жидкости, включая изменение формы, при различных граничных условиях (прилипание, скольжение, вдув и отсос жидкости на поверхности), через характеристики вихревого поля.

2. Разработаны новые алгоритм и программа расчета на ЭВМ двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых доменов» ВВД) на основе уравнений Навье-Стокса.

3. На основе метода ВВД и полученных в работе выражений сил и моментов разработан новый метод решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, основанный на объединении уравнений движения тела и жидкости в единую систему, не требующую расщепления процесса на гидродинамическую и динамическую части и проведения итераций.

4. Построена новая математическая модель свободной конвекции на основе приближения Буссинеска. Разработаны новые алгоритм и программа расчета нестационарных течений вязкой теплопроводной жидкости «метод вязких вихревых и тепловых доменов» (ВВТД) решения уравнений Навье - Стокса и теплопроводности в лагранжевых координатах.

5. Построена новая математическая модель трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности и разработаны основы нового численного метода «дипольных доменов».

Метод исследований. В диссертации применяются аналитические и численные методы исследований. С помощью аналитических методов исследования получены формулы, связывающие эволюцию вихревого поля с силовыми характеристиками течения. Численные методы использованы при разработке программ расчета течений.

Достоверность полученных результатов. Достоверность рассмотренных математических моделей, методов, алгоритмов и численных расчетов обоснована и подтверждена: (а) сравнениями с результатами аналитических решений тестовых задач; (б) сравнением с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов для аналогичных задач в некоторых частных случаях; (в) феноменологической проверкой.

Достоверность аналитических результатов подтверждается строгостью применения математического аппарата и переходом полученных формул в общеизвестные для частных случаев.

Практическая значимость результатов.

Разработанные алгоритмы и программы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса являются эффективными и экономичными инструментами проведения научных исследований отрывного обтекания произвольно движущихся тел, расчета нестационарных гидродинамических нагрузок на тела и нестационарного теплообмена. Благодаря полученным в работе выражениям, связывающим действующие на тела силы с характеристиками вихревого поля, уравнения движения тел объединены с гидродинамическими уравнениями в единую систему, что существенно расширяет возможности решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил.

1. Разработанные алгоритмы и программы систематически использовались при проведения научных исследований, выполненных в рамках реализации фантов РФФИ № 01-01-00595-а «Множественный гистерезис пространственных отрывных течений, суммарных и распределенных нестационарных аэродинамических нагрузок», № 02-01-00670-а «Расчет и профилирование плохообтекаемых тел и каналов с аэродинамическим управлением», №04-01-00554-а «Исследование влияния нестационарных вихревых процессов на аэродинамические силы и моменты при отрывном обтекании несжимаемой жидкостью подвижных тел и проницаемых экранов», № 06-08-01217-а «Исследование механизмов преобразования энергии потока в ветроустановках волнового типа», № 08-01-12046-офи «Оптимальные решения для перспективных конструкций подводных газонефтепроводов, находящихся в турбулентном поперечном потоке жидкости», № 09-08-01190-а «Исследование вихревых механизмов формирования термогидравлических свойств поверхностных впадин и выступов».

2. Результаты диссертационных исследований внедрены в практику работ лаборатории аэромеханики и волновой динамики НИИ механики МГУ, использованы в научно-исследовательской работе кафедрой «Аэрокосмические системы» МГТУ им. Баумана, а также кафедрой «высшей математики» Военно-воздушной академии им. Н.Е.Жуковского и Ю.А. Гагарина.

3. Произведена регистрация программных средств в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007612503 «Ротор» (авторы: Григоренко Д.А., Андронов П.Р., Гирча А.И. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я.); Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616504 «VVHDFlow» (авторы: Дынников Я.А., Малахова Т.В., Сыроватский Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я.).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: IV European Conference on Computational Mechaics, Paris, May 16 - 21 2010, The International Conference on Vortex Methods 2010, Nov. 8-10, 2010 San Leucio (CE) Italy, Taiwan - Russian Bilateral Symposium on Problems in Advanced Mechanics. Москва, сент. 2010 г., IX - XIV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 2000г., Херсон, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009гг.), «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (2004, 2006 гг.), V, VIII, X Международных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики», (г. Евпатория, 2005, 2008гг.), Международной конференции «Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке» (Жуковский, Россия, ЦАГИ, 1994 г), XII - XV школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики», (г. Туапсе, «Буревестник» МГУ 2004, 2005, 2006, 2007гг.), IV Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, МЭИ, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006г.), XVII школе-семинаре ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (2007г.), научных конференциях "Ломоносовские чтения" (г. Москва, МГУ, 2003 - 2010гг.), на семинаре НИИ Механики МГУ (Москва, 2007, 2008гг., руководитель академик РАН Г.Г. Черный), на семинаре кафедры волновой и газовой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова (2010г.), на семинаре ЦАГИ по фундаментальным проблемам аэродинамики (2010г.), на семинаре кафедры гидромеханики МГУ им. М.В. Ломоносова (2011г., руководитель академик РАН А.Г. Куликовский), на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.М. Белоцер-ковского (2006, 2008, 2010, 2011гг.)

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 54-х работах [1-54], среди которых одна монография и 16 статей в журналах из списка ВАК.

На защиту выносятся:

• Результаты аналитических исследований взаимосвязи силовых характеристик течения с эволюцией поля завихренности, формулы для вычисления давления, сил и моментов, ориентированные на использование в численных вихревых методах, в частности, обобщение формулы Коши-Лагранжа на случай вихревых течений вязкой жидкости в неодносвязных областях.

• Численный метод решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых доменов»),

• Метод решения сопряженных задач аэродинамики и динамики тел, движущихся под действием аэродинамических сил.

• Метод расчета нестационарных течений вязкой теплопроводящей несжимаемой жидкости с учетом свободной конвекции в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых и тепловых доменов»).

• Теоретические основы бессеточного метода расчета трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности.

Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 269 стр. Список литературы содержит 237 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор существующих методов расчета нестационарных течений, обосновывается актуальность темы диссертации и кратко излагается содержание ее глав.

Первая глава написана по материалам работ [1-5, 17 (глава 2), 20-24]. В ней представлены результаты аналитических исследований взаимосвязи гидродинамических сил, действующих на обтекаемые тела, и давления в вязкой несжимаемой жидкости с эволюцией вихревого поля.

Вихревое поле течения дополняется вихревыми полями в областях, занятых погруженными в жидкость телами и представляется совокупностью объемных, поверхностных и изолированных вихревых элементов dT, соответственно равных Cid т, yds, Г ¡di , где dx,ds,dl элементы объема, площади и длины соответственно, í2 = VxV, y = (V+ - V_)xn+, Г, - циркуляция изолированного вихря, V - скорость, V+, V. - значения скорости на поверхностях разрыва, 11+ - нормаль к поверхности, внешняя к области с индексом «+». Если область течения имеет внешнюю границу, то последняя рассматривается как поверхность разрыва скорости, с внешней стороны которой V = 0. Скорость в областях, занятых телами, может быть задана произвольно, содержать поверхности разрыва (в том числе на поверхности тела), а также источники, распределенные в объеме, на поверхностях разрыва или в виде точечных источников. Соответствующие элементы dQ равны qdx, qsds, Q¡, где q = W, qs = -(V+ - V_ )n+.

Эволюция вихревого поля представляется как результат двух процессов: перемещения вихревых элементов, и возникновения новых вихревых элементов. Известно, что в идеальной жидкости вихревые трубки «вморожены» в жидкость, т.е. вихревые линии при перемещении их точек со скоростью u = V остаются вихревыми линиями, а циркуляция скорости жидкости по контуру, охватывающему трубку, сохраняется. При этом скорость изменения величины

dT равна — dT =(í/TV)u . В работе [5] показано, что в двумерных (плоских и dt

незакрученных осесимметричных) течениях аналогичное свойство имеет место при движении вихревых трубок со скоростью u = V + Vd, где

V,=-^£2x(Vxíl), (1)

V - коэффициент кинематической вязкости. При этом эволюция завих-

dSl , V

ренности описывается уравнением — = V х (u х Í1J, а новые вихревые элемен-

ты образуются только на поверхностях тел. Скорость их образования равна

В общем случае трехмерных течений <Л*ре„ = п х ((и - ) х , и, - скорость движения поверхности.

Помимо изменения, связанного с перемещением вихревых элементов, имеет место дополнительное изменение их интенсивности под действием гипотетических внешних сил в жидких объемах, моделирующих тела (включая поверхность), которое обозначим как = —¿/Г-(с/ГУ)и, здесь и - скорость

Л

движения вихревых элементов, заданная внутри области тела, (для поверхности и = и,). Совокупность элементов <1ГШ вместе с элементами ¿Гобозначим как <Л\„.. Показано, что эти элементы образуют соленоидальное поле, индуци-

дУ да

рующее потенциальное поле вектора ускорения вне тела —— = V- """

dt dt Доказана следующая формула

+ + ^ + ^ = (2)

1 R-г Л

р V2

где В - трехчлен Бернулли В = — + — + П, ¿ф = -и

сТх

47i|R-r|3

Р

Ф? - потенциал источников. Выражение в скобках представляет собой скорость, индуцированную элементом с/Г в точке R.

Интеграл J с/ф по замкнутой вихревой трубке (или по бесконечному

гл>

прямолинейному вихрю в случае плоскопараллельного течения) представляет собой производную по времени потенциала скорости, индуцированной таким вихрем в точке R при его движении без изменения циркуляции. Известно, что потенциал замкнутой вихревой трубки фтр (или прямолинейного бесконечного вихря) является многолистной функцией, однако при движении вихря с сохранением циркуляции изменение потенциала ф^ на всех листах происходит одинаково и функция йфтр ¡dt является однозначной. Очевидно, что формула (2)

переходит в формулу Коши-Лагранжа в случае потенциальных течений в одно-связной области.

Получены следующие формулы, для сил и моментов сил. Сила давления равна

F = p J (V-u)xrfT—2- f rxdTlu!w-pjVdQ + ^ J pVdx,

г Kip n dt

1 ftWl' 1 new f V

к - размерность пространства.

Момент сил давления относительно точки гс равен

M = p J r'x((V-u)xi/r) + ^ J г'2(1Гиек -pjr'xVdQ + p— J г'хУЛ,

Г&оЛ> Г«»- 0 ^bojy

r' = r-rf.

Помимо давления на поверхности имеется напряжение трения, определяемое формулой

= pv((n х П) - 2х (V, х us) + 2n(Vsu,)),

Полученные выражения давления, сил и моментов, справедливы при произвольном движении тел (включая изменение формы) в вязкой и идеальной жидкостях, при различных граничных условиях (прилипание, скольжение, вдув и отсос жидкости на поверхности). Входящие в них величины dT, dtnm при вихревом моделировании течений известны, так как они вычисляются в ходе расчета течения без участия давления.

Следует отметить, что полученные зависимости играют важную роль при постановке сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, о чем будет сказано в следующей главе.

Глава 2 посвящена бессеточному численному методу «вязких вихревых доменов» (ВВД), разработанному для решения уравнений Навье-Стокса плоских и незакрученных осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости. Метод основан на том, что в таких течениях циркуляция вектора скорости сохраняется на контурах, движущихся относительно жидкости с диффузионной скоростью Vj , определенной формулой (1).

Это свойство было использовано также в работе [Ogarai Y., Akamatsu Т. Сотр. & Fluids. 1991. Vol 19. N. 3/4, P. 433-441] для моделирования плоскопараллельных течений. Метод, развитый в этой работе, получил название метода диффузионной скорости (ДС). Общая схема метода ВВД имеет сходство со схемой метода ДС, но способ аппроксимации диффузионной скорости имеет ряд принципиальных отличий от способа, предложенного в методе ДС, что позволило устранить ряд его недостатков. Кроме того, в отличие от метода ДС в методе ВВД отсутствуют произвольные параметры, влияющие на результаты расчетов.

В разделе 2.1 излагается общая схема метода ВВД.

Пространство с ненулевой завихренностью моделируется набором мелких областей (вихревых доменов), движущихся относительно жидкости с диффузионной скоростью. На каждом временном шаге на поверхности тела образуются новые домены. В процессе движения циркуляция домена Г остается постоянной. В каждом домене имеется контрольная точка R, в которой вычисляется скорость жидкости V и диффузионная скорость Vj, после чего точка перемещается в соответствии с суммарной скоростью V + \j . Для сталкивающихся доменов разноименной циркуляции имеется механизм аннигиляции.

По положению контрольных точек и значениям циркуляции соответствующих им доменов можно восстановить поля скоростей и завихренности с помощью интегральных представлений, которые будут приведены ниже.

Новые вихревые домены в отсутствие неконсервативных сил рождаются только на контуре обтекаемых тел. При достаточно малом значении шага по

9

времени можно считать, что образовавшиеся за время этого шага домены находятся в непосредственной близости от тела, и задать положение новых контрольных точек непосредственно на контуре тела. Циркуляции вновь образовавшихся доменов определяются из граничных условий на поверхностях.

В разделе 2.2 описывается математическая модель течения в лагранже-вых координатах г|, связанных с эйлеровыми координатами г уравнениями

д(

= у + у,

В этой системе координат уравнение эволюции завихренности, вытекающее из уравнений Навье-Стокса, имеет вид

1 ' о(^)

Скорость выражается формулой

V (И) = | уйГГ + | + У„,

где интегрирование проводится по всем вихревым элементам й?Г = ,

включая вихри в гипотетическом течении в области тела, и источникам dQ, моделирующим тела. Вектор V - скорость, индуцируемая в точке К вихревой линией единичной циркуляции (прямолинейной, в случае плоскопараллельного течения и кольцевой в осесимметричном случае), V, - аналогичный вектор для источников.

Граничное условие, накладываемое на скорость, приводит к интегральному уравнению

—(пУ ) = п

дГ ''

Г—¿г+ Г уаг^+Цум

Iд( г} д({ 4

где - скорость движения поверхности, частные производные по / берутся при фиксированных латранжевых координатах, (1ГптГ- совокупность элементов потока завихренности с поверхности и изменяющихся присоединенных

вихревых элементов ¿Г^, где =-(пУ^ОхИ (¿1 - элемент длины контура

поверхности) =—(¿/Г). При условии скольжения поток завихренности с

поверхности принимается равным нулю, а в случае условия прилипания считается равной нулю присоединенная завихренность с внешней стороны поверхности тела.

Это уравнение является сингулярным интегральным уравнением первого рода. Методы решения таких уравнений в настоящее время разработаны и

10

обоснованы [Лифанов И.К. Сетуха A.B. Дифференциальные уравнения т.35, №9, 1999. С. 1227-1241.]. Уравнение дополняется условием на суммарную циркуляцию J dt=0.

г„„

В разделе 2.3 приводятся аппроксимационные формулы, используемые в методе ВВД.

Формулы для вычисления диффузионной скорости по положению дискретных вихревых элементов и их циркуляциям основаны на следующем интегральном представлении функции П

fi(R) = lim—,

0 /

R-r

ds.

/„(R) = ^JexP

R-r

ds.

Показано, что при £ -» 0 /[//0 = П^) + 0(£ ).

Вытекающие отсюда дискретные выражения диффузионной скорости в точке ^ имеют вид

VQ

V. = —v-= —v

' а

чЛ hj f

2ле; ; г,.-гJe,

е,

( | ^ |Г| _ r i

Г, - Г,

(rt+rttl)

Значение параметра е,- выбирается на каждом шаге для каждой /-ой точки следующим образом. Путем перебора всех точек определяется расстояние до ближайшей к нейу'-ой точки (или до ближайших нескольких точек), после чего величина е, полагается равной этому расстоянию, умноженному на некоторый

коэффициент запаса с (с > 1). При суммировании по у используется не зависящее отно зависящее от г значение £ = е,.

В выражение диффузионной скорости входят два слагаемых. Первое представляет собой сумму вкладов от всех вихревых доменов, каждый из которых является вектором, направленным вдоль линии, соединяющей их контрольные точки, и носит характер отталкивания для доменов одного знака и притяжения для доменов разных знаков. По мере увеличения расстояния между точками этот вклад экспоненциально убывает. Второе слагаемое в соответствие с (2.3.7) является суммой вкладов отрезков контура и независимо от знака циркуляции вихря носит характер отталкивания.

Отметим следующие принципиальные отличия аппроксимации, используемой в методе ВВД, от аппроксимаций в методе ДС и в методах сглаженных частиц. Вклад у'-й точки зависит не только от ее характеристик, но также от положения /-ой точки относительно границы области течения и плотности точек вблизи нее. Еще одним отличием от аппроксимации ДС является то, что под знаком экспоненты используется первая степень расстояния между точками. Благодаря этому диффузионная скорость не стремится к нулю при сближении контрольных точек и они «не слипаются», а распределяются более равномерно. Кроме этого, параметр ei выбирается по фактическому расположению точек в каждый момент времени, что повышает точность при удалении частиц друг от друга.

Таким образом, в результате всех усовершенствований аппроксимации диффузионной скорости метода ВВД более точны, чем в методе ДС, вблизи поверхностей, а также при близком и далеком расположении точек.

Интегральное уравнение для нахождения неизвестных циркуляций новых вихревых элементов Г\ = АГяси, аппроксимируется системой линейных уравнений.

=ь<> % =-п.Е\г, Xv.fi. -V,),

* / т

где Уц - скорость движения г'-го отрезка контура, V*,- - скорость индуцированная на нем к-ым элементом единичной интенсивности, вычисленная в контрольной точке или как осредненная по отрезку. В первом случае система оказывается близкой к вырожденной, во втором строго вырожденной. В обоих случаях она дополняется условием на суммарную циркуляцию + = 0. При этом в

* 1

первом случае добавляется неизвестный регуляризирующий источник, а во втором отбрасывается одно из уравнений.

При решении сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил неизвестные составляющие скорости V,,-, умноженные на нормаль, переносятся в левую часть уравнений, и система дополняется уравнениями движения тела, а также выражением сил через циркуляции движущихся и вновь образовавшихся вихревых элементов. Как было показано в первой главе, эти выражения линейны относительно неизвестных значений циркуляции. Таким образом, получается единая линейная система уравнений, позволяющая

решать сопряженные задачи без итераций и расщепления на гидродинамическую и динамическую части. Это имеет особо важное значение в случае, когда тело обладает малой инерционностью, например, при движении парашютных систем или тонких оболочек. В предельном случае нулевой массы динамическая часть задачи оказывается вырожденной, и отдельное решение ее становится невозможным, а при конечной, но малой массе динамические уравнения становятся так называемыми «жесткими». Для их решения требуется малый шаг по времени или применение неявных численных схем, что в сочетании с гидродинамической частью задачи серьезно осложняет решение. Метод, разработанный в данной работе, позволяет решить эти проблемы.

В разделе 2.4 приведены численные схемы для решения различных типов задач, таких как двухстороннее омывание произвольно движущейся поверхности идеальной и вязкой жидкостью, обтекание тел при произвольном движении, включая изменение формы. При этом рассматриваются различные типы граничных условий: скольжение, прилипание, наличие вдува и отсоса жидкости на поверхности. Во всех рассмотренных случаях приводятся формулы для вычисления давления в жидкости, гидродинамических сил и моментов, действующих на тела, а также формулируется постановка соответствующих сопряженных задач.

В разделе 2.5 описывается быстрый алгоритм решения задачи N тел, использованный при решении задач методом ВВД. Задача N тел в вихревых методах возникает при вычислении скорости движения вихревых элементов в связи с тем, что для каждого элемента необходимо вычислить сумму скоростей, индуцированных другими элементами. Таким образом, количество необходимых операций пропорционально N1, где N - число элементов. Быстрые алгоритмы позволяют снизить вычислительную сложность задачи до N log N и даже до N. В данной работе разработана модификация такого алгоритма, адаптированная для расчета течений жидкости бессеточными вихревыми методами. Она основана на построении иерархической структуры областей, объединяющих группы вихревых элементов. При вычислении вклада в скорость от группы, расстояние до которой велико по сравнению с ее линейными размерами, используются приближенные формулы. В результате количество необходимых операций оказывается пропорциональным Л'log N. Использование быстрого алгоритма позволило существенно повысить производительность программных кодов и увеличить количество расчетных точек до миллиона и выше.

Основные результаты главы опубликованы в [5, 6, 10, 17 (раздел 5)].

В главе Ш приведены примеры решения разнообразных задач, демонстрирующих возможности метода ВВД.

В разделе 3.1 представлены результаты тестирования метода на задаче обтекания продольной пластины при малых значениях числа Рейнольдса. В этом случае для течения в пограничном слое существует автомодельное аналитическое решение, называемое профилем Блазиуса. Результаты расчета показали хорошее согласование распределений скорости и напряжения трения с распре-

делениями Блазиуса. Возможность адекватного моделирования течения в пограничном слое и прямого вычисления напряжения трения без дополнительных гипотез и построений является достижением и преимуществом метода ВВД по сравнению с другими бессеточными вихревыми методами.

Раздел 3.2 посвящен тестированию метода ВВД на задаче обтекания цилиндра при значениях числа Яе < 103. Результаты расчетов методом ВВД (крупные крестики на рис. 1) сравниваются с экспериментальными данными и расчетами другими методами. Показано, что метод ВВД позволяет адекватно рассчитывать силы, действующие на тело, распределение коэффициента давления, напряжения трения, положение точек отрыва, число Струхаля, линии тока и другие характеристики течения.

—>—1—»- | «— г » '1............. 1 (а) о , «г * 4й 1 —«-Г^........Г.......* г—"........1........ -г- <Ь) в Л

п о 4 1 0 1 А А 5 А а •

О 20 4(1 (.0 8!) н»

0 2(1 ¡4 60 80 100

. Вгагз(19811 . Малина (1978) о аяшм&Сйа1)8(1970) » Ншиекк & Кца! (1969) о Тизпп & ОЬоп ¡1978) ■ Та ИшосЬх (19751 «■ 'Пюгаш & &аяияук 11969) ► $оп&Нзпг«су(19б9) . На МтМ 19791 « ГгтиЦНЛ!) X Сошслсези & Нош«) (1977; ч Оготе««/. <1ЧМ> • РепШоп&Вгага 2Б (1998) 4 РегеШоп&Вгага ЗБ (1998) АШкадоваВ.П. (1979)

Рис. 1. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными, а) - длина отрывной области, Ь) - коэффициент сопротивления

В разделе 3.3 рассматривается обтекание цилиндра при высоких значениях числа Яе (до 10б). При таких значениях числа Кс течение становится турбулентным и возможность его расчета двумерными методами без привлечения моделей турбулентности, вообще говоря, является неочевидной. В то же время при решении двумерных уравнений Навье-Стокса наблюдаются нестационарные явления, которые можно интерпретировать как «двумерную турбулентность». И хотя ее свойства отличаются от трехмерной турбулентности, тем не менее, представляет интерес, в какой степени двумерные уравнения способны воспроизводить турбулентное обтекание двумерных тел. Для ответа на этот вопрос, прежде всего необходимо, чтобы схемная вязкость, присущая численному методу, была много меньше физической, заложенной в расчетах. Как показано в следующей главе, метод ВВД обладает достаточно низкой схемной вязкостью, что позволило провести расчеты до Яе ~ 106. При этом благодаря использованию быстрого алгоритма решения задачи N тел количество расчетных точек было увеличено до миллиона и выше, а плотность точек вблизи

поверхности была порядка 109 на единицу безразмерной площади (площадь обезразмерена на квадрат радиуса цилиндра).

В результате расчетов был воспроизведен эффект кризиса сопротивления, наблюдающийся в экспериментах при Re > 2 -10 (рис. 2). И хотя имеется количественное отличие полученных результатов от экспериментальных, можно сделать вывод о том, что неустойчивость двумерного пограничного слоя играет важную роль в возникновении кризиса сопротивления. Аналогичный вывод сделан в работе [Singh S.P. and Mittal S., Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 2005. V. 47. P. 75-98.], где расчеты выполнены методом стабилизированных элементов.

Рис. 2

Сравнение расчетных значений коэффициента сопротивления цилиндра с экспериментальными данными

На рис. 3 изображены вихревые картины течений вокруг цилиндра при различных значениях числа Ле. Из приведенных рисунков видно, что при увеличении числа Ке вихревые области меньше размываются, и точки отрыва смещаются вниз по потоку. Кроме этого, вихревой след становится более хаотичным.

Рис. 3

Вихревые картины течений вокруг цилиндра при различных значениях числа Re

Раздел 3.4 посвящен расчету обтекания профиля, совершающего угловые колебания по гармоническому закону. Явление резкого увеличения подъёмной силы при нестационарном движении колеблющегося профиля представляет собой актуальную практическую и фундаментальную проблему. Для правильного понимания вихревых механизмов данного процесса необходимо адекватное численное моделирование. Расчеты, выполненные методом ВВД, позволили воспроизвести картину течения, наблюдаемую в эксперименте, и объяснить механизмы образования вихревых структур, приводящие к гистерезису гидродинамической силы, действующей на профиль. На рис. 4 результаты расчетов течения совмещены с экспериментальными картинами дымовой визуализации [Panda J., Zaman K.B.M.Q. J. Fluid Mech. 1994. V. 265. P. 65-95]. Светлые (незакрашенные кружки) соответствуют доменам положительной циркуляции, темные - отрицательной. Здесь же пунктирными кривыми изображены рассчитанные положения пассивной примеси, "выпускаемой" из точек, перед профилем.

Рис. 4 Обтекание профиля, совершающего угловые колебания; слева увеличение угла атаки, справа - уменьшение

В разделе 3.5 воспроизведены численно наблюдаемые в экспериментах режимы неустойчивости «уловленного вихря» в так называемых вихревых ячейках на поверхности кругового цилиндра. Вихревая ячейка представляет собой выемку цилиндрической формы на гладкой стенке обтекаемого тела в направлении, перпендикулярном течению. Идея применения вихревых ячеек для предотвращения отрыва на толстом крыле была впервые выдвинута и практически опробована Л.Н. Щукиным (патент № 2015941 от 14.10.1991) и затем подхвачена многими исследователями в России и за рубежом.

Известно немалое количество работ, в которых течение с уловленным вихрем моделируется в рамках осредненных по Рейнольдсу моделей турбулентного движения. Расчетные параметры уловленного вихря достаточно хорошо согласуются с результатами измерения осредненных характеристик в эксперименте. Однако на границе уловленного вихря, возможно развитие неустойчивости типа Кельвина-Гельмгольца, приводящей к образованию и сходу в основной поток крупных вихревых образований. Этот механизм неустойчивости уловленного вихря не воспроизводится в рамках осредненных уравнений турбулентного движения. Вихревые методы моделирования более приспособлены для описания явлений, связанных с потерей устойчивости вихревых слоев и возникнове-

нием нестационарных разномасштабных вихревых структур. Расчеты, выполненные методом ВВД, позволили воспроизвести и объяснить наблюдавшиеся в экспериментах процессы.

В разделе 3.6 рассматривается задача осесимметричного вязкого взаимодействия кольцевого вихря с плоской поверхностью. В работе [Гиневский A.C., Погребная Т.В., Шипилов С.Д. Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 1. С.55-57.] на основе расчета методом дискретных вихрей в сочетании с моделью пограничного слоя было обнаружено, что при натекании вихревого кольца на плоский экран возникают вторичные отрывы, приводящие к возникновению вихревого кольца противоположного знака, движущегося от экрана. Расчеты, выполненные методом ВВД, позволили воспроизвести и подтвердить данный эффект.

В разделе 3.7 впервые численно воспроизведен наблюдаемый в эксперименте [Taneda S. J. of the Physical Society of Japan, 1978. Vol. 45. No. 3. P. 10381043.] эффект стабилизации следа за круговым цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания.

Отсутствие опубликованных сведений о численном моделировании эксперимента может быть связано с трудностями расчета течений, требующих высокого разрешения пространственной и временной структуры пограничного слоя. В частности, причиной может быть неустойчивость численных схем, присущая многим методам при решении задач с достаточно высоким значением местного числа Re, а также представления о недостаточной практической значимости эффекта стабилизации при столь высокой, как в опытах Танеды, частоте вынужденных колебаний цилиндра. Тем не менее, численное воспроизведение данного эффекта представляет интерес, как для понимания физической причины явления, так и для проверки возможностей численных методов.

Визуализированные в эксперименте Танеды и полученные в расчетах методом ВВД картины мгновенных линий тока около неподвижного и колеблющегося с высокой частотой цилиндра (п — отношение вынужденной частоты к частоте дорожки Кармана, 9о - амплитуда угловых колебаний) хорошо согласуются между собой, см. рис. 5. Несмотря на то, что след на рис 56 выглядит стабильным, в узком слое вблизи поверхности цилиндра частицы жидкости увлекаются вращением поверхности, поэтому течение нестационарное. Было проведено исследование в широком диапазоне параметров. Показано, что в режиме стабилизации следа среднее значение коэффициента сопротивления давления оказывается более низким, чем у неподвижного цилиндра, однако существенно возрастает сопротивление трения. В результате полное сопротивление оказывается более высоким, чем у неподвижного цилиндра.

Показано, что обнаруженный экспериментально эффект стабилизации следа за быстро осциллирующим цилиндром объясняется действием механизмов диффузии и аннигиляции вихрей в тонких концентрических слоях знакопеременной пристеночной завихренности. Для воспроизведения этих механизмов в вычислительном эксперименте необходимо обеспечить высокое разрешение поля завихренности в пристеночной области и устойчивость вычислительной схемы по отношению к резким градиентам этого поля. Разработанный в данной

работе численный метод ВВД удовлетворяет перечисленным требованиям и с его помощью удалось воспроизвести эффект стабилизации следа за круговым цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания.

Рис. 5

Обтекание неподвижного цилиндра (а) и цилиндра, совершающего высокочастотные вращательные колебания (б) при Яе =111, 0О = 45°, п = 20.4; слева эксперимент.

В разделе 3.8 представлены результаты решения сопряженных задач самодвижения квази-биологических объектов, обусловленного изменением формы тела по заданному периодическому закону. Рассмотрены двумерные модели «медузы», «головастика» и «рыбки». Для модели «медузы» расчеты выполнены для случаев нулевой и конечной массы. Решение сопряженной задачи с нулевой массой тела демонстрирует возможности метода ВВД проводить расчеты без ограничения на инерционные свойства тел, что обусловлено объединением гидродинамических уравнений и уравнений движения тела в единую систему уравнений, не требующую расщепления задачи на гидродинамическую и динамическую составляющие. Аналогичные расчеты в литературе не найдены.

Показано, что метод ВВД может быть применен для оценки энергоэффективности различных типов движения и поиска наиболее оптимальных из них.

Представленные в главе результаты опубликованы в [6-11, 17, 30, 41, 47,

50-53]

Рис.6

Вихревые картины течения при движении «медузы», «головастика» и «рыбки»

Глава IV посвящена бессеточному моделированию нестационарных течений вязкой теплопроводящей жидкости. Дано обобщение метода ВВД для моделирования нестационарных явлений вынужденной и свободной (в рамках приближения Буссинеска) тепловой конвекции. Разработаны новый алгоритм и создана программа расчета нестационарных течений вязкой теплопроводной жидкости — «метод вязких вихревых и тепловых доменов» (ВВТД) решения уравнений Навье - Стокса и теплопроводности в лагранжевых координатах. Даны примеры решения тестовых задач, имеющих аналитические и экспериментальные физические аналоги.

Благодаря низкой схемной диссипации и устойчивости численных схем метод ВВТД позволяет проводить расчеты нестационарных течений и теплопередачи с высоким разрешением в высокоградиентных областях.

В разделе 4.1 дана формулировка метода ВВТД для задач вынужденной тепловой конвекции. Метод основан на представлении уравнения теплопроводности в виде

д, \\ " ) ) « рг т

откуда следует, что величина 0 = TAS внутри контура, движущегося со скоростью V + V'/\ сохраняется. Выведены интегральные представления диффузионной скорости, позволяющие корректно описывать поведение лагранжевых точек вблизи поверхности, что является чрезвычайно важным для расчета теплоотдачи.

В разделе 4.2 показано, каким образом классические граничные условия постоянства температуры или заданного потока тепла с поверхности учитываются при лагранжевом рассмотрении.

В разделе 4.3 дан пример применения метода ВВТД к расчету обтекания и теплоотдачи нагретого цилиндра. Результаты сопоставлены с известными экспериментальными данными и расчетами сеточными методами. Сравнение с функцией, аппроксимирующей экспериментальные данные приведено на рис. 7.

Re

Рис. 7

Зависимость числа Нуссельта от числа Рейнольдса при Рг = 1

• - результаты расчетов; -- функция, аппроксимирующая

экспериментальные данные1

Рис. 8

Распределение тепловых частиц при обтекании нагретого цилиндра (Рг=1) В разделе 4.4 формулируется обобщение метода ВВТД для задач свободной конвекции в поле силы тяжести. Предложена новая модель учета генерации

1 Жукаускас А., Макарявичюс В., Шланчяускас А. Теплоотдача пучков труб в поперечном потоке жидкости. Вильнюс: «Минтис», 1968. 189 с.

завихренности в объеме, основанная на добавлении на каждом шаге вихревых элементов с циркуляцией, пропорциональной векторному произведению диффузионной скорости тепловой частицы на вектор ускорения свободного падения.

В разделе 4.5 представлены примеры решения задач естественной конвекции около нагретого цилиндра и свободной конвекции нагретых областей в неограниченном пространстве вязкой жидкости. На рис. 9 представлены распределения тепловых частиц в последовательные моменты времени.

Gr = 2.32-10 , Рг = 0.7

Ш "

О

10 f = 0.2 0.4

Рис. 9 Естественная конвекция около нагретого цидиндра.

1.Е+05

1.Е+06

1.Е+07

1.Е+08

Ra(l+(0.559/Pr)'"6)"

расчет ВВТД,

О эксп.,

-аппроксимация эксп. данных

Рис. 10 Сравнение результатов расчета числа N11 при естественной конвекции около цилиндра с экспериментальными данными

На рис. 10 результаты расчета сравниваются с эксперименальными данными различных авторов [Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V. Heat Transfer. Texbook. Third edition. Cambridge, MA : Phlogiston Press. 2003.].

В разделе 4.6 на примере решения одномерного уравнения теплопроводности сопоставляется устойчивость численных схем при сеточном и лагранже-вом подходах. Анализируется устойчивость численной схемы ВВД и ВВТД в одномерной и двумерной задачах. Показано, что численная схема методов ВВД и ВВТД устойчива, если аналог числа Куранта СЕ < 2. В противном случае возникают локальные хаотические флуктуации в распределении вихревых и тепловых частиц, которые могут приводить к некоторому снижению точности, но не приводят к неограниченному росту параметров и остановке вычислений.

В разделе 4.7 получены оценки схемной вязкости методов ВВД и ВВТД. Исследована зависимость схемной вязкости от шага по времени и параметров дискретизации по пространству при интегрировании уравнений движения вихревых элементов с помощью схем первого и второго порядка. Получены формулы, позволяющие оценивать схемную вязкость, и обеспечивать преобладание физической вязкости над схемной уменьшением шага по времени, измельчением вихревых элементов, а также применением схемы интегрирования второго порядка.

Основные результаты главы опубликованы в работах [34, 35, 44, 45,48].

В главе V разработан новый подход к решению уравнений Навье-Стокса нестационарных трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости в лагран-жевых координатах. Метод основан на введении новой векторной функции О, названной плотностью диполей, через которую выражаются скорость и завихренность в поле течения. Выведены уравнения эволюции плотности диполей, отвечающие изменению гидродинамических полей в соответствие с уравнениями Навье-Стокса, и сформулированы граничные условия для нее в виде интегрального уравнения. Построен бессеточный численный метод (Метод ди-польных доменов) и дан пример прямого численного моделирования движения вихревых колец.

В настоящее время существуют разнообразные подходы к вихревому моделированию трехмерных течений. В прикладных расчетах течений идеальной жидкости широко распространенным является применение замкнутых вихревых рамок, а также разнообразных незамкнутых вихревых элементов (вортонов, вихревых отрезков и сгустков различной конфигурации).

Вихревые рамки используются для моделирования течений идеальной жидкости с заданными линиями отрыва (как правило, на острых кромках). Обобщение данного подхода на течения вязкой жидкости с неизвестным положением линии отрыва на гладкой поверхности представляется проблематичным.

Методы, основанные на использовании незамкнутых вихревых элементов, имеют недостатки, связанные с несоленоидальностью получаемого поля завихренности. Несоленоидальность рассматриваемого вихревого поля приводит к нарушению известных инвариантов движения жидкости: гидродинамического и вращательного импульсов, что в ряде случаев является причиной больших погрешностей при вычислении сил, действующих на тела.

Наибльший успех в вихревом моделировании вязких течений в настоящее время достигнут в гибридных методах, использующих наряду с лагранжевыми

частицами эйлеровы сетки для пересчета характеристик течения. К сожалению, гибридные методы теряют одно из главных преимуществ чисто лагранжевых методов, а именно отсутствие сеток. Кроме того, пересчет значений параметров на узлы сетки приводит к увеличению схемной вязкости.

В связи с вышесказанным разработка новых лагранжевых методов расчета трехмерных течений является актуальной.

В данной работе предлагается представлять поле завихренности в вязкой жидкости распределенными диполями О, где ротор поля Б совпадает с ротором поля скорости V, но в отличие от него поле Б имеет не равную нулю дивергенцию. Ранее идея применения диполей использовалась в работе [Чефранов С.Г. ЖЭТФ 1987. Т. 93, с. 151-158], где рассматривалось взаимодействие точечных диполей для анализа характеристик турбулентности в идеальной жидкости. В данной работе распределение диполей предполагается непрерывным, что позволяет устранить сингулярность в законе их взаимодействия после дискретизации по пространству и учесть вязкость жидкости.

Выведено новое уравнение, описывающее эволюцию плотности диполей, эквивалентное уравнению Навье - Стокса для несжимаемой жидкости.

— + (УУ)Б = -(ВУ)У-БхП + УУ20.

Эквивалентность уравнению Навье-Стокса подтверждается тем, что после применения оператора ротор к обеим его частям оно превращается в уравнение эволюции завихренности, вытекающее из уравнений Навье-Стокса. Поэтому, если в начальный момент V х Б = V х V, то при эквивалентных граничных условиях, накладываемых на скорость, это равенство будет сохраняться.

Скорость выражается через поле О формулой, вытекающей из закона Био-Савара

У(К)=-0 + |(0У)К£/Т + ^(У!хп)ХКЛ-^>(У1П)К^-|(В(ХП)ХКС;Л-У„,

3 г 5 $ х

где У, - скорость движения поверхности У„ - скорость на бесконечности (в случае неограниченного пространства). Граничным условием для функции Б является интегральное уравнение, полученное приравниванием скорости, выраженной через Э к скорости движения поверхности, что соответствует условию прилипания.

Разработана численная схема решения уравнения эволюции плотности диполей, обеспечивающая сохранение гидродинамического импульса.

В качестве примера применения предлагаемого метода приведены результаты расчета движения вихревых колец в идеальной жидкости. В начальный момент времени кольцо моделируется равномерным распределением диполей внутри диска конечной толщины. Вектор В направлен вдоль оси диска.

-0.5

1 = 1

t = i

С = 4

л»

V

■1.0 43.5 0.0 0.5 1.0

Рис. 9

Взаимодействие двух вихревых колец

Па рис. 9 приведены результаты расчета движения двух соосных вихре вых колец. Воспроизведен эффект «чехарды», когда кольцо, идущее сзади, до гоняет идущее впереди, и затем обгоняет, проходя сквозь него.

Глава написана по материалам работ [12, 49].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод расчета плоских и осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах на основе уравнений На-вье-Стокса - метод «вязких вихревых доменов» (ВВД). Метод не требует построения сеток, не содержит эмпирических параметров, лагранжевы точки концентрируются в высокоградиеитных областях, позволяя достигать там высокого разрешения структуры течения, метод обладает низкой схемной вязкостью, численная схема устойчива (не бывает авостов из-за неограниченного роста переменных). Разработанный метод существенно расширяет возможности численного исследования механизмов вихреобразования и структуры нестационарных отрывных течений при произвольном движении и изменении формы обтекаемых тел. Созданы программы для ЭВМ.

2. Выведены новые, адаптированные для применения в вихревых бессеточных методах, выражения давления в поле течения, сил и моментов, действующих на тела при их произвольном движении и изменении формы в вязкой жидкости, при различных граничных условиях (прилипание, скольжение, вдув и отсос жидкости на поверхности), через характеристики эволюции поля завихренности. В отличие от существовавших ранее способов расчета этих величин, полученные формулы не требуют вычисления частных производных по пространству и их интегрирования или решения уравнения Пуассона, что является проблематичным в бессеточных методах. Выражение давления в частном случае потенциальных течений переходит в формулу Коши-Лагранжа, а выражение для силы - в формулу, соответствующую теореме Жуковского.

3. На основе метода ВВД и полученных в работе выражений сил и моментов разработан новый метод решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, Создан эффективный алгоритм, позволяющий моделировать нестационарное движение жидкости и подвижного деформирующегося тела как единую динамическую систему, не требующую расщепления процесса на гидродинамическую и динамическую части. Это позволяет, в частности, ставить и эффективно решать сопряженные задачи движения в жидкости тел без ограничения на их инерционные свойства.

4. Построена новая математическая модель свободной конвекции в приближении Буссинеска, основанная на генерации новых вихревых частиц в результате диффузионного движения тепловых частиц. Разработаны новый алгоритм и программа расчета нестационарных течений вязкой теплопроводной жидкости «метод вязких вихревых и тепловых доменов» (ВВТД) решения уравнений Навье - Стокса и теплопроводности в лагранжевых координатах. Разработанный метод позволяет эффективно исследовать связь процессов теплопереноса и вихреобразования и находить пути интенсификации теплообмена там, где это необходимо.

5. Построена новая математическая модель трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления за-

вихренности. Выведено уравнение эволюции плотности диполей, эквивалентное уравнениям Навье-Стокса.

6. Разработаны основы нового бессеточного численного метода «дипольных доменов» расчета трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Использование дипольного представления завихренности позволило решить одну из главных проблем бессеточного моделирования вихревых течений -обеспечение соленоидальности вихревого поля - и построить численную схему с сохранением гидродинамического импульса. Предложенный метод открывает новые возможности прямого численного моделирования трехмерных течений в лагранжевых координатах.

7. Решен ряд задач нестационарной гидродинамики, таких как обтекание профиля, совершающего угловые колебания, взаимодействие вихревого кольца с плоским экраном, задачи самодвижения квази-биологических объектов за счет изменения формы и др. Продемонстрирована эффективность метода при решении сложных задач взаимодействия вязкой среды с подвижным телом. Впервые численно воспроизведено и исследовано известное из физических экспериментов Танеды (1978) явление угнетения нестационарных колебаний вихревого следа за цилиндром, совершающим высокочастотные угловые колебания. В задаче об отрывном обтекании цилиндра с цилиндрической выемкой на боковой поверхности дано объяснение наблюдавшихся в физическом эксперименте особенностей визуализированных нестационарных картин течения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах из списка ВАК:

1. Дынникова Г.Я. Моделирование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца модифицированным методом дискретных вихрей. // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т.22, N 3. С. 25-34.

2. Дынникова Г.Я. Моделирование свободного сдвигового течения методом непрерывного вихревого слоя. // Известия РАН МЖГ. 1999. № 1. С. 42-50.

3. Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости. //Известия РАН МЖГ.

2000. №1. С. 31-41.

4. Дынникова Г.Я. Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью. // Известия РАН МЖГ.

2001. №2. С. 128-138.

5. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости // Известия РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 11-19.

6. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса// ДАН 2004. Т.399. №1. С. 42-46.

7. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я.. Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов. Н Известия РАН. МЖГ. 2007. № 1. С. 3-14.

8. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я.. Численное моделирование самовращения пластин в потоке вязкой жидкости. // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 47-60.

9. Дынникова Г.Я. Расчет обтекания кругового цилиндра на основе двумерных уравнений Навье-Стокса при больших числах Re с высоким разрешением в пограничном слое. //ДАН. 2008. Т. 422, № 6. С. 755-757.

10. Дынникова Г.Я. Использование быстрого метода решения «задачи N тел» при вихревом моделировании течений // ЖВМ и МФ. 2009. Т. 49, № 8. С. 1458-1465.

И.Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Дынников Я.А., Малахова Т.В. О стабилизации следа за круговым цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания И ДАН. 2010. Т. 432, № 1. С. 45-49.

12. Дынникова Г.Я. Расчет трехмерных течений несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности // ДАН. 2011. Т. 437, №1. С. 35-38.

13. Дынникова Г.Я. К расчету критического течения неравновесного газа в сопле Ла-валя. // Ученые записки ЦАГИ. 1985. Т. 16, N5. С. 115-118.

14. Дынникова Г.Я. О влиянии течения газа на функцию распределения диссоциирующих молекул по колебательным уровням. // Журнал прикладной механики и технической физики. 1987. N 5. С. 23-29.

15. Дынникова Г.Я. Приближенное решение уравнения Больцмана для функции распределения электронов в слабоионизированной молекулярной плазме в постоянном электрическом поле. // Журнал прикладной механики и технической физики. 1988. N 5. С. 3-9.

16. Андронов П.Р., Досаев М.З., Дынникова Г.Я., Селюцкий Ю.Д., Стрекалов С.Д. Моделирование ветродвигателя волнового типа. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 4. С. 86-91.

Монография:

17. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я.. Вихревые методы расчёта нестационарных гидродинамических нагрузок. Москва: Изд-во Моск. ун-та. 2006. 184с.

Другие работы:

18. Дынникова Г.Я. Моделирование процесса возникновения и развития турбулентности в свободном слое смешения модифицированным методом дискретных вихрей. // Турбулентный пограничный слой. Сборник докладов ежегодной научной Школы-семинара ЦАГИ «Механика жидкости и газа» 29 янв.-З фев. 1991г. ЦАГИ. 1992. С.88-94.

19. Dynnikova G.Ya. Numerical investigation of the flow around the airfoil with moving spoiler. // Int. conf. Fundamental research in aerospace science (22-24 sept. 1994) TsaGI. 1994. P. 43-45.

20. Дынникова Г.Я. Аналог интеграла Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости. Препринт ЦАГИ N 117. Издательский отдел ЦАГИ. 1998. 16 с.

21. Дынникова Г.Я. Обобщение теоремы Жуковского на случай нестационарного вихревого отрывного обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью. Препринт ЦАГИ N 119. Издательский отдел ЦАГИ. 1999. 12 с.

22. Дынникова Г.Я. Обобщение формулы Коши-Лагранжа и теоремы Жуковского на случай нестационарных вихревых отрывных трехмерных течений идеальной не-

сжимаемой жидкости. / X школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов» 17-19 февраля 1999г. п. Володарского. Тезисы докладов. 1999.

23. Дынникова Г.Я. Зависимость давления и аэродинамических сил от характеристик особенностей, моделирующих тела, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью. // Труды IX международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 29 мая- 2 июня 2000 г.). Орел, Орловский госуниверситет. 2000. С. 196-200.

24. Дынникова Г.Я. Расчет давления и сил при решении задач гидродинамики методом дискретных вихрей с учетом вязкости // Труды X международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2001). 2001. С. 129-133.

25. Дынникова Г.Я. Использование притяжения и отталкивания вихрей для моделирования вязкости в течениях несжимаемой жидкости. // Труды XI международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» Харьков-Херсон. 2003. С.103-107.

26. Андронов П.Р., Герценштейн С.Я., Дынникова Г.Я., Исванд X. О влиянии толщины трехмерного вихревого слоя на его устойчивость // Вестник Харьковского национального университета. 2003. № 590. Серия "Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления". Вып. 1.С. 3-8.

27. Андронов П.Р., Баранников С.Н., ГирчаА.И., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Зубков А.Ф., Титов А.С., Хинцицкий И.П. Использование многопроцессорных вычислительных систем для моделирования автоколебаний и авторотации тел, движущихся в сплошной среде. Отчет № 4676, Институт механики МГУ. Москва. 2003. 48 с.

28. Дынникова Г.Я. Моделирование течений вязкой жидкости в методе дискретных вихрей. // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция механики. Издательство Московского университета. Москва. 2003. С. 51.

29. Дынникова Г.Я. Моделирование течений вязкой жидкости модифицированным методом дискретных вихрей. Отчет №4698, Институт механики МГУ, 2004. 36 с.

30. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., ЗубинМ.А., Зубков А.Ф. Отрывное обтекание цилиндрических тел с вихревыми ячейками // Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». М.: Издательство Московского университета. 2004. С.13.

31. Дынникова Г.Я. Решение уравнений Навье-Стокса методом дискретных вихрей // Материалы международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (16-21 февраля 2004 г.). Издательство Московского университета. 2004. С. 116-117.

32. Андронов П.Р., Гирча А.И., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Некоторые результаты тестирования метода вязких вихревых доменов при решении задач динамики несжимаемой жидкости // Материалы Пятой Международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики». Москва. МЦНМО. 2005. С. 12-13.

33. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Численное моделирование управления отрывом на диффузорных участках двумерных поверхностей // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция механики. Издательство Московского университета. Москва. 2005. С. 24-25.

34. Андронов П.Р, Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Лагранжев численный метод решения двумерных задач свободной конвекции. // Труды четвёртой Российской национальной конференции по теплообмену, т.З. Москва, Издательский дом МЭИ, 2006. С.38-41.

35. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Лагранжев вихревой метод решения двумерных задач нестационарной гидродинамики и тепловой конвекции. // Материалы Международной юбилейной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». Москва, Издательство Московского университета, 2006. С.38-39.

36. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Григоренко Д.А., Гирча А.И., Дынникова Г.Я. Алгоритм численного моделирования методами дискретных вихрей и вязких вихревых доменов. Отчет № 4831, Институт механики МГУ. Москва. 2006.49 с.

37. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Стрекалов С.Д.. Авторотация и автоколебания двумерных тел в вязкой жидкости. // Материалы XVIII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов". Изд-во ЦАГИ, 2007 год. С. 15-16.

38. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Моделирование вязких вихревых течений в нестационарных задачах гидродинамики и свободной тепловой конвекции. // Труды XIII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗМФ-2007), Харьковский Государственный Университет, Харьков-Херсон. 2007. С. 13-16.

39. Andronov P.R., Dosaev M.Z., Dynnikova G.Ya., Seliutsky Yu.D., Strekalov S.D. Mathematical Models of the Wave Type Wind Turbine. // International Summer School "Computer technologies of engineering mechanical problems". Institute of Mechanics of the Lomonosov {MSU} (Russia), Ching-Yun University (Taiwan), 2007. P. 99-106.

40. Гирча А.И., Дынникова Г.Я.. Быстрый алгоритм решения «задачи N тел» в рамках программной реализации численного метода вязких вихревых доменов. // Современные проблемы аэрогидродинамики. 100 лет со дня рождения академика Л.И. Седова. Тезисы докладов XV школы-семинара, 5-15 сентября 2007 года, Сочи, «Буревестник» МГУ. - М.: изд-во Московского университета, 2007. С. 34-35.

41. Dynnikova G.Ya., Dr. Andronov P.R., Gircha A.I. The report on viscous vortex domain (WD) method code development. // VortexCeI12050 project. The fundamentals of actively controlled flows with trapped vortices, http://www.vortexcell2050.org

42. Дынникова Г.Я. Численное решение двумерных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости с высоким разрешением в пограничном слое при больших числах Рейнольдса. // Материалы Восьмой международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики». Москва: МЦНМО 2008.

43. Дынникова Г.Я. Вихревое моделирование течений с применением быстрого метода вычисления конвективной скорости. // Труды XIV Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ-2009) Харьков-Херсон, 2009. С. 99-102.

44. Дынников Я.А., Дынникова Г.Я.Оценка эффектов схемной вязкости при расчете течений несжимаемой жидкости вихревыми методами. // Труды XIV Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ-2009) Харьков-Херсон, 2009. С. 291-294.

45. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Дынников Я.А., Малахова Т.В. Расчет нестационарной теплоотдачи цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Отчет №¡5000, Институт механики МГУ. 2009. 84 с.

46. Дынникова Г.Я. Вихревое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости с использованием быстрого метода решения «задачи N тел». // Сборник трудов ХШ Всероссийской молодежной конференции-школы «Современные проблемы математического моделирования», Всероссийской научной школы для молодежи «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

(ред. Крукиер Л.А.) 14-19 сентября 2009г. Пос. Дюрсо ISBN 5-7507-0485. ЮГИНФО ЮФУ. 2009. С. 226-232.

[Dynnikov Ya.A., Guvernyuk S.V., Andronov P.R., Dynnikova G.Ya. Numerical Simulation of the Flow-Structure Interaction by the WD Method. // Proc. of The 5th International Conference of Vortex Flows and Vortex Models, Caserta, Italy 7-10 nov. 2010. Paper N.31.

47. Malakhova Т.V., Dynnikova G.Ya., Guvernyuk S.V., Investigation of the heat transfer from oscillating cylinder by the VVHD Method. / Proc. of The 5th International Conference of Vortex Flows and Vortex Models, Caserta, Italy Nov. 7 - 10, 2010. Paper N.30.

48.Дынникова Г.Я. О применении лагранжевых методов дискретных особенностей для моделирования трехмерных течений вязкой жидкости. // XVI школа-семинар Современные проблемы аэрогидродинамики. Москва, Издательство Московского Университета. 2010. С. 46-47.

49.Гувернкж С.В., Дынников Я.А., Малахова Т.В., Дынникова Г.Я. О механизмах стабилизации следа за цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания. // Материалы Десятой Международной школы-семинара Модели и методы аэродинамики, Москва, Издательство Московского Университета.2010. С. 52-53.

50.Гувернюк С.В., Дынников Я.А., Малахова Т.В., Дынникова Г.Я. Численное моделирование эффекта Танеды при обтекании цилиндра, совершающего высокочастотные угловые колебания. //Материалы XXI научно-технической конференции по аэромеханике. Москва. Издательство ЦАГИ. 2010. С. 63-65.

51. Dynnikova G.Ya., Guvernyuk S.V., Dynnikov Ya, A. Modelling locomotion of quasi-biological objects in viscous fluid. // Сборник трудов симпозиума «Taiwan - Russian Bilateral Symposium on Problems in Advanced Mechanics».Под ред. проф. Марты-ненко Ю,Г. Москва, Издательство Московского Университета. 2010 г. Р. 58-64.

52. Dynnikova G.Ya. The Viscous Vortex Domains (WD) method for non-stationary viscous incompressible flow simulation. II Proc. of the IV European Conference on Computational Mechanics, Paris, May 16-21, 2010. http://www.eccm2010.org/complet/fullpaper 193.pdf.

53. Гендугов B.M., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. К вопросу размывания подводных насыпей. //Статья в книге "Динамика деформируемых сред (памяти академика Е.И. Шемякина)" 2010, С.75-84 в электронном виде на сайте http://math.msu.su/department/volnogaz/contentsl.htm.

Подписано в печать 09.06.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1120 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Глава 1. Представление нестационарных гидродинамических полей и сил, действующих на тела, через характеристики эволюции вихревого поля.

1.1. Эволюция вихревых полей, основные кинематические соотношения.

1.1.1. Изолированные вихревые нити, поверхностное и объемное распределения вихрей.

1.1.2. Выражение скорости жидкости через завихренность при наличии произвольно движущихся тел и внешних границ области течения.

1.1.3. Понятие движения вихрей.

1.1.4. Движение вихрей в вязкой жидкости.

1.1.5. Представление занятых телами областей виртуально движущимися вихрями.:.

1.2.Выражение давления через характеристики вихревого поля.

1.3.Некоторые теоремы о потоках завихренности через контур и обобщение теоремы Жуковского «в малом».

1.4.Касательные напряжения на обтекаемых поверхностях.

1.5.Силы, действующие на тело при его произвольном движении.

1.6.Момент силы.

Глава 2. Метод вязких вихревых доменов (ВВД).

2.1. Общая схема метода.

2.2.Математическая модель.

2.3.Аппроксимация уравнений.

2.4.Численные схемы при решении различных типов задач.

2.4.1. Деформируемая поверхность в идеальной жидкости.

2.4.2. Деформируемая поверхность в вязкой жидкости.

2.4.3. Поступательное движение твердых тел.

2.4.4. Произвольное движение тела.

2.4.5. Обтекание тел при наличии вдува и отсоса жидкости на поверхности.

2.5.Использование быстрого алгоритма решения задачи N тел для повышения производительности вычислительных кодов.

Глава 3.Примеры решения задач методом ВВД.

3.1.Продольное обтекание пластины.

3.2.Поперечное обтекание кругового цилиндра при Re <

3.3.Обтекание цилиндра при высоких значениях числа Re (эффект кризиса сопротивления).

3.4. Аэродинамические нагрузки на колеблющийся крыловой профиль.

3.5.Неустойчивость «уловленного вихря».

3.6.Взаимодействие вихревого кольца с плоским экраном.

3.7.Обтекание цилиндра, совершающего высокочастотные угловые колебания вокруг своей оси.

3.8.Моделирование самодвижения квази-биологических объектов в жидкости.

Глава 4. Метод вязких вихревых и тепловых доменов (ВВТД).

4.1.Общая схема метода, интегральное представление диффузионной скорости для решения уравнения теплопроводности в лагранжевых координатах.

4.2.Способы удовлетворения граничным условиям на обтекаемых поверхностях.

4.3.Тестирование метода ВВТД на примере решения задачи о теплоотдаче цилиндра в поперечном потоке несжимаемой жидкости.

4.4.Обобщение метода ВВТД для задач свободной конвекции.

4.5.Примеры решения некоторых задач свободной конвекции методом ВВТД.

4.6. Анализ устойчивости численной схемы в методах ВВД и ВВТД.

4.7.Исследование схемной вязкости в методах ВВД и ВВТД.

Глава 5. Метод дипольных доменов как перспектива моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости.

5.1.Плотность диполей. Эволюция распределения диполей в вязкой несжимаемой жидкости.

5.2.Численная схема решения уравнения эволюции плотности диполей в лагранжевых координатах.

5.3.0 сохранении гидродинамических инвариантов в численной схеме.

5.4.Пример применения метода дипольных доменов в задаче движения вихревых колец.

Несмотря на многовековую историю гидродинамики, ведущую отсчет с работ Торричелли и Ньютона XVII века [97], многие ее проблемы до сих пор остаются нерешенными. В первую очередь это относится к турбулентным течениям. Существование резко различающихся ламинарных и турбулентных режимов течения было замечено еще в первой половине XIX века, но начало теории турбулентности положено лишь в конце того же столетия в, работах Осборна Рейнольдса [206]. Описывающее движение ньютоновской жидкости уравнение Навье - Стокса, написанное в первой половине XIX века, содержит проблемы, которые на рубеже XX и XXI веков Математическим институтом Клея объявлены одной из семи проблем тысячелетия [225]. Проблема расчетного предсказания характеристик течений, имеющих реальный практический интерес, зачастую далека от решения и чрезвычайно актуальна.

В настоящее время наиболее распространенными методами моделирования турбулентных течений являются методы, основанные на решении уравнений Рейнольдса, возникающих вследствие применения осреднения уравнений Навье-Стокса (RANS, URANS) [25], [180], [233]. Вместе с тем, результаты расчетов по этим методам очень чувствительны к выбору той или иной замыкающей полуэмпирической модели турбулентности, а иногда и просто не способны отразить характерные особенности, присущие турбулентным течениям. Свойственная этим моделям генерация высокого уровня турбулентной вязкости препятствует развитию крупномасштабных трехмерных пульсаций, которые в действительности определяют структуру осредненного движения [119]. Этот подход не в состоянии обеспечить приемлемую для практики точность описания турбулентных течений при наличии в потоке обширных отрывных зон. Более того, хотя возможности усовершенствования полуэмпирических моделей, в принципе, еще не исчерпаны, существенный прогресс в этой области едва ли возможен. Это объясняется специфическими физическими особенностями отрывных течений, в частности, наличием в них, так называемых, организованных (когерентных) вихревых нестационарных структур, геометрические параметры которых определяются конкретными характеристиками рассматриваемого,течения и граничными условиями. Это делает построение универсальной полуэмпирической модели турбулентности для расчета отрывных течений исключительно сложной, если вообще разрешимой задачей [118], [119]. Метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) [138], [165], [207], [230] предполагает аккуратный расчет переноса импульса' и тепла лишь крупными, энергетически важными структурами, что позволяет рассчитывать термоконвективные течения- при высоких значениях числа Рейнольдса с привлечением сравнительно простых замыкающих моделей [121], [98]. Однако моделирование турбулентных течений в присутствии твердых границ на основе метода LES в чистом виде сопровождается требованиями по сеточному разрешению пристеночных областей, в которых присутствуют относительно мелкие вихри [174]. Стремление преодолеть ограничения RANS и LES привело к появлению гибридного подхода в 1997г. В работе [218] был сформулирован новый подход к моделированию отрывных течений, получившего название метода Моделирования Отсоединенных Вихрей (Detached Eddy Simulation, DES). В этом методе пристеночные области рассчитываются на основе RANS, а вне их используется LES* [220], [221], [219].

Среди названных подходов к численному описанию турбулентности все возрастающей привлекательностью обладает метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS). Однако метод DNS обеспечивает надежность результатов расчетов только при полном разрешении всех составляющих движения. Выполнение данного условия налагает жесткие требования к вычислительным ресурсам, быстро возрастающие при желании продвинуться вверх по числу Рейнольдса. Поэтому характерной особенностью течений, исследованных до настоящего времени в рамках DNS, является их пространственная ограниченность (течения в канале, пограничный слой) и сравнительно небольшое число Рейнольдса.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что развитие новых подходов к исследованию и численному моделированию течений продолжает оставаться актуальным.

Одним из развивающихся направлений вычислительной гидродинамики является вихревое моделирование течений. Перспективность вихревых методов1 обусловлена тем, что во многих практических задачах обтекания тел завихренность сосредоточена в относительно небольших объемах - следах тел. Это позволяет сосредоточить вычислительные ресурсы в этих областях, достигая там высокого разрешения структуры течения с относительно небольшими затратами. Вихревые модели допускают бессеточную реализацию, что является их значительным преимуществом, так как построение сеток с существенно различной степенью детализации в разных областях течения является достаточно сложной задачей, особенно при рассмотрении обтекания тел изменяющейся формы и в задачах с подвижными границами течения. Еще одним важным преимуществом вихревых бессеточных методов является простота удовлетворения граничных условий на бесконечности при решении задач внешнего обтекания.

Вихревые методы помимо прикладного значения для инженерных расчетов представляют большую ценность для фундаментальных исследований в гидродинамике, так как позволяют глубже понять механизмы формирования завихренности, играющие первостепенную роль в нестационарных течениях. Исследования развития вихревой структуры течений представляются перспективными для проникновения в тайны турбулентности и могут способствовать созданию адекватных моделей этого явления.

Изучение вихревых движений жидкости, начатое в основополагающей работе Гельмгольца [164] и продолженное выдающимися учеными позапрошлого и начала прошлого века Кельвином [166] - [169], Прандтлем [201], [202], Пуанкаре [198], Жуковским [88] и др., остается актуальным, до настоящего времени, о чем свидетельствует большое количество монографий и статей, обзоры которых можно найти в [177], [114], [184], [142], [179], [203].

Среди относительно недавно вышедших книг, посвященных аналитическим и численным, исследованиям вихревых течений можно назвать монографию Ф. Дж. Сэффмэна, изданную на русском языке в 2000 году [120], Дж. Котэ и ГГ. Кумутсакоса (G-H Cottet и P.D. Koumoutsakos) [146], а также книги российских авторов C.B. Алексеенко, П.А. Куйбина и B.JI. Окулова [2], Борисова A.B., Мамаева И.С. и И.С.Соколовского [36], Гайфуллина A.M. [42], Вышинского В.В. и Судакова Г.Г. [41], Петрова A.C. [111], Гиневского A.C., и Желанникова [46], А.И.Головкина М.А., Головкина В.А. и Калявкина В.М. [49].

Родоначальником вихревых методов является метод дискретных вихрей, созданный для моделирования течений идеальной жидкости [209]. Метод успешно использовался для расчетов нестационарного обтекания тел с отрывом преимущественно на острых кромках [33]. Для моделирования отрыва на гладкой поверхности метод дискретных вихрей применялся в сочетании с моделью пограничного слоя [31], [29]. В работах [106], [102],

129] реализованы схемы, имитирующие генерацию завихренности на всей поверхности обтекаемых тел. С этой целью свободные дискретные вихри создавались на каждом шаге по времени во всех узлах контура тела и отодвигались от него на некоторое расстояние 5, зависящее от числа Рейнольдса. Точки отрыва потока от поверхности получались автоматически. Метод чувствителен к выбору параметров дискретизации и значения 5. Подбором этих величин достигалось соответствие эксперименту.

Метод дискретных вихрей* был обобщен на трехмерные течения с представлением завихренности* в виде П-образных вихрей [27], замкнутых вихревых рамок [19], вихревых отрезков [35, 17, 92] и других элементов.

Основателем научной школы, специализирующейся на применении и развитии метода дискретных вихрей в нашей стране является С.М. Белоцерковский. В его работах, и работах его учеников, соратников и последователей [18-23, 27-33, 46, 47, 56, 96, 123] разработаны основы метода и широко представлены результаты решения разнообразных задач, имеющих практическое значение. Вопросы обоснования метода рассмотрены в работах [28, 99, 117, 100,38,91, ИЗ].

Учет вязких эффектов- в методе дискретных вихрей является нетривиальной задачей [218]. Имеется большое число подходов к ее решению. Одним из наиболее ранних, получивших широкое распространение, является метод случайных блужданий (random walk) А. Чорина [144]. Метод состоит в моделировании броуновского движения вихревых частиц через расщепление уравнений Навье — Стокса на конвективную и диффузионную составляющие и добавления случайного смещения вихревых элементов на диффузионном шаге. Сходимость метода была доказана только для безграничных потоков [136], [162]. Однако сходимость очень медленная. Она пропорциональна l/л/n , где N — число частиц [188], [160], [185]. Кроме того, метод дает большие флуктуации распределения завихренности, не оправданные физически.

В [175] для учета вязкости предложено использовать вихревые элементы с расширяющимися ядрами (The core spreading vortex method), согласно которому каждый вихревой элемент представляется гауссовым распределением с изменяющейся во времени дисперсией. Однако, как было показано в [161], решение сходится к уравнениям, отличающимся от уравнений Навье — Стокса. Ошибка связана с тем, что расширяющееся гауссово распределение завихренности перемещалось без деформации, имеющей место в реальных течениях. Л. Росси [211, 212] модифицировал метод, решив проблему сходимости. Ядра расширяются до определенного предела, после чего вихрь разбивается на несколько меньших. Однако расщепление вихря увеличивало численную диффузию и возникающая погрешность оказалась сравнимой с методом случайных блужданий [132].

В работе [150] предложена схема учета вязкости, основанная на обмене интенсивностями между вихревыми частицами (particle strength exchange PSE). Развитием этого подхода явились схемы, использующие процедуру, получившую название «remeshing» [171], [172], [178], [148]. Эта процедура состоит в перераспределении циркуляции по узлам регулярной сетки. Каждая такая интерполяция вносит численную диффузию, кроме того, бессеточная природа вихревых методов оказывается утраченной. Поэтому возникновение этих методов вызвало дебаты [132]. Аналогичные вопросы возникают в отношении метода, получившего название «вихрь в ячейке» [145, 108] и также сочетающего черты лагранжева и эйлерова подходов [163]. Лагранжевы частицы, представляющие элементы жидкости, движутся в фиксированной эйлеровой сетке, которая в свою очередь используется для описания переменных поля. Несмотря на определенные успехи реализации обоих подходов, использующих PSE [196], [197], и «вихрь в ячейке» [199],

149], имеются сомнения в возможности их применения при высоких значениях числа Рейнольдса [132].

В работе [214] был предложен метод VRM (vortex redistribution method), отличающийся от PSE тем, что часть циркуляции вихревой частицы, определяемая путем решения системы уравнений, перераспределяется между соседними частицами. Если система уравнений не может быть удовлетворена, добавляются новые частицы. Этот метод является бессеточным, однако, количество операций возрастает из-за "необходимости решения систем уравнений. Кроме того, он содержит эмпирический параметр, определяющий масштаб перераспределения.

Еще один способ учета вязкости используется в методе [157]. Он основан на прямом вычислении вторых производных от функции, аппроксимирующей распределение завихренности. Схема теряет точность при хаотизации положения частиц. В. [190] эта проблема устранялась применением процедуры «rezoning», сходной с «remeshing», в том смысле, что поле частиц пересчитывается на прямоугольной сетке, но вместо интерполяции циркуляции старых частиц вычисляются добавки к значениям их циркуляции и образуется, некоторое количество новых частиц.

Огами (OgamiY.) и Акаматсу (AkamatsuT.) [192], построили метод решения уравнений Навье - Стокса для плоскопараллельных течений, названный методом диффузионной скорости (Diffusion velocity method). Особенностью этого метода является то, что закон движения вихревых частиц в нем строго определен уравнениями Навье-Стокса, а не является модельным, как во всех выше перечисленных подходах. Частицы перемещаются со скоростью, равной сумме скорости жидкости и диффузионной скорости Vd = - V Vin где v - коэффициент кинематической вязкости, Q - завихренность. При таком перемещении циркуляция частицы сохраняется. Для вычисления диффузионной скорости распределение завихренности в поле течения представляется как суперпозиция гауссовых распределений с заданной дисперсией, образованных вихревыми элементами. Было показано, что этот метод дает более гладкие результаты, чем метод случайных блужданий. Основная проблема наблюдается в следе, когда вихри слишком сильно расходятся [223]. Причина состоит в том, что выражение диффузионной скорости, принятое в [192], быстро убывает при удалении от центра вихревого элемента. В результате вихревое облако перестает размываться, как только расстояние между частицами становится достаточно большим: Чтобы обойти эту проблему в работе [142] применяли диффузионную скорость вблизи тела и метод случайных блужданий вдали. Следует отметить также, что аппроксимации диффузионной скорости, принятые в [192] имеют низкую точность вблизи поверхности.

Как было отмечено в [132] наличие большого количества подходов к конструированию вихревых методов свидетельствует об отсутствии согласия в выборе наилучшей схемы учета вязкости. Каждый метод имеет свои достоинства и недостатки.

Вихревое моделирование течений осуществляется на основе уравнений, не содержащих давления, так как уравнение эволюции поля завихренности получается из уравнений Навье - Стокса после применения к нему оператора rot, в результате чего давление выпадает. Это облегчает решение уравнений, однако в случае, когда требуется вычисление сил, действующих на тела, или распределения давления в пространстве течения, необходимо иметь формулы для восстановления этих величин из характеристик вихревого поля. Для расчета давления в безвихревых областях нестационарного течения в методе дискретных вихрей обычно применяется формула Коши - Лагранжа. При этом потенциал скорости вычисляется как интеграл от потенциалов прямолинейных или замкнутых вихревых нитей. Но эта формула неприменима в вихревых и неодносвязных областях. Поэтому приходилось интегрировать уравнения движения жидкости, предварительно вычисляя производные скорости по пространству и времени [29], что в случае дискретного распределения вихрей является довольно сложной процедурой. Задача еще более усложняется при вихревом моделировании вязких течений, для которых в уравнениях движения'жидкости присутствуют вторые производные по пространству. Решение уравнения Пуассона, для. давления, применяемое на.эйлеровых сетках, в бессеточных методах трудно реализуемо; В зарубежных работах (см. например, [140]) для- вычисления распределения давления в вихревых методах используется интеграл Ульмана [229]. Применение данного подхода, осложнено необходимостью предварительного вычисления давления на поверхностях тел и границах области течения. Необходимо было получение более простых формул для расчета давления в вихревых течениях вязкой жидкости по характеристикам поля завихренности.

Целью данной работы является:

• разработка эффективных экономичных, бессеточных методов расчета течений вязкой* несжимаемой жидкости для проведения исследований нестационарных вихревых течений, решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, исследований теплоотдачи нагретых поверхностей и ее связи с процессами вихреобразования, их реализация в виде комплексов программ для ЭВМ и апробация;

• аналитическое исследование связи процессов вихреобразования, динамики вихрей с силовыми характеристиками вязких течений несжимаемой жидкости, вывод формул для вычисления давления, сил и моментов, ориентированных на использование в численных вихревых методах.

Первая глава диссертации посвящена выводу соотношений между силовыми характеристиками течения вязкой несжимаемой жидкости и эволюцией вихревого поля. Получено новое интегральное представление давления через характеристики вихревого поля для вихревых течений идеальной и вязкой жидкости, обобщающее формулу Коши-Лагранжа. Теорема Жуковского «в малом»" обобщена на случай вязких течений при произвольном' движении поверхности, включая изменение формы, и при различных граничных условиях: скольжении, прилипании, а также при наличии источников и стоков. Получены интегральные соотношения для сил, действующих на тела при их произвольном движении, наличии вдува и отсоса на поверхностях и различных граничных условиях. Выведенные соотношения позволяют находить нагрузки на тела при вихревом моделировании течений путем простого суммирования по вихревым элементам, возникшим на очередном шаге. Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в [65] - [74], [13 глава 2].

Во второй главе дается формулировка нового вихревого метода расчета двумерных (плоских и незакрученных осесимметричных) течений, названного методом вязких вихревых доменов (ВВД). Схема метода состоит в следующем. Пространство с ненулевой завихренностью моделируется набором мелких областей (вихревых доменов), движущихся относительно жидкости с диффузионной скоростью. На каждом временном шаге на поверхности тела образуются новые домены. В процессе движения циркуляция домена остается постоянной. В каждом домене имеется контрольная точка, в которой вычисляется скорость жидкости V и диффузионная скорость Vd, после чего точка перемещается в соответствии с суммарной скоростью V + У</ . Для сталкивающихся доменов разноименной циркуляции имеется механизм аннигиляции. Схема метода аналогична используемой в методе диффузионной скорости С^апн У., Акании Т. [192], но имеются принципиальные отличия в ее реализации. В отличие от [192] метод ВВД не содержит произвольных параметров, используются иные аппроксимационные формулы, позволившие корректно моделировать эволюцию завихренности вблизи поверхностей и вычислять напряжение трения. Последнее свойство является преимуществом метода ВВД, по сравнению с другими бессеточными вихревыми методами.

Во втором разделе главы дается обоснование математической модели, лежащей в основе метода ВВД. Доказывается- ее сходимость к уравнениям Навье — Стокса при измельчении вихревых доменов и шага по времени.

В третьем разделе представлены формулы, аппроксимирующие диффузионную скорость. Обсуждаются их принципиальные отличия от аналогов.

В четвертой части главы представлены численные схемы для различных типов задач и граничных условий. Рассмотрены задачи обтекания идеальной и вязкой жидкостью поверхностей и объемных тел при их произвольном движении, изменении формы, наличии источников. Приведены схемы решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил. Благодаря полученным в работе формулам для гидродинамических сил, уравнения движения тел объединены в единую систему с гидродинамическими уравнениями. В результате составлена схема решения задачи без расщепления на гидродинамическую и динамическую части.

В пятой части описывается быстрый алгоритм решения задачи N тел, использованный при решении задач методом ВВД. Задача N тел в вихревых методах возникает при вычислении скорости движения вихревых элементов в связи с тем, что для каждого элемента необходимо вычислить сумму скоростей, индуцированных другими элементами. Таким образом, количество необходимых операций пропорционально N2, где N - число элементов. Быстрые алгоритмы позволяют снизить вычислительную сложность задачи до NlogN и даже до N. В данной работе разработана модификация такого алгоритма, адаптированная для расчета течений жидкости бессеточными вихревыми методами. Она основана на построении иерархической структуры областей, объединяющих группы вихревых элементов. При вычислении вклада в скорость от группы, расстояние до которой велико по сравнению с ее линейными размерами, используются приближенные формулы. В результате количество необходимых операций оказывается пропорциональным^ log N. Использование быстрого алгоритма позволило существенно повысить производительность программных кодов и увеличить количество расчетных точек до миллиона и выше.

Основные результаты главы опубликованы в [77], [82], [13], [53], [8].

В главе 3 выполнены тестовые расчеты на примерах решения задач о диффузии вихря, об обтекании пластин, цилиндров, колеблющихся крыловых профилей и др. Продемонстрирована эффективность метода при решении сложных задач взаимодействия вязкой среды с подвижным телом. Решен ряд задач нестационарной гидродинамики о самодвижении подводных квази-биологических объектов за счет изменения их формы. Эффективность метода ВВД и разработанных программных кодов продемонстрирована также на примерах решения сложных задач, плохо поддающихся исследованию другими численными методами. Впервые численно воспроизведено и исследовано известное из физических экспериментов Танеды (1978) явление угнетения нестационарных колебаний вихревого следа за цилиндром, совершающим высокочастотные угловые колебания.

В задаче об отрывном обтекании цилиндра с цилиндрической выемкой на боковой поверхности дано объяснение наблюдавшихся в физическом эксперименте особенностей визуализированных нестационарных картин течения.

Результаты, изложенные в этой главе опубликованы в работах [77], [81], [13], [53], [54], [152], [156].

В главе 4 формулируется обобщение метода ВВД для расчета теплопроводящих течений - метод вязких вихревых и тепловых доменов ВВТД.

Выведены интегральные представления диффузионной скорости, позволяющие корректно моделировать поведение лагранжевых точек вблизи поверхности, что является чрезвычайно важным для расчета теплоотдачи.

Показано, каким образом классические граничные условия постоянства температуры или заданного потока тепла с поверхности учитываются при лагранжевом рассмотрении.

Дан пример применения метода ВВТД к расчету обтекания и теплоотдачи нагретого цилиндра. Результаты сопоставлены с известными экспериментальными данными и расчетами сеточными методами.

Построена новая математическая модель свободной конвекции на основе приближения Буссинеска. Учитывается эффект генерации завихренности в объеме, занятом всплывающими тепловыми доменами под действием силы тяжести. Представлены примеры решения задач свободной конвекции нагретых областей в неограниченном пространстве вязкой жидкости.

На примере решения одномерного уравнения теплопроводности сопоставляется устойчивость численных схем при сеточном и лагранжевом подходах. Анализируется устойчивость численной схемы ВВД и ВВТД в одномерной и двумерной задачах.

Получены оценки схемной вязкости методов ВВД и ВВТД.

Результаты опубликованы в [14], [55], [58], [186].

В главе 5 Предложен новый подход к решению нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости, в лагранжевых координатах. Построена новая математическая модель трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой, жидкости на основе дипольного представления завихренности и разработаны основы нового численного метода «дипольных доменов». Метод основан на введении новой векторной функции Б, названной плотностью диполей, через которую выражаются скорость и завихренность в поле течения. Выведены уравнения эволюции плотности диполей, эквивалентные уравнениям Навье-Стокса, и сформулированы граничные условия для нее в виде интегрального уравнения. Использование дипольного представления завихренности позволяет решить одну из главных проблем бессеточного моделирования вихревых течений - обеспечение соленоидальности вихревого поля — и построить численную схему с сохранением гидродинамического импульса. Создана программа трехмерного численного моделирования эволюции вихревых структур в неограниченной1 области вязкой жидкости. Дан пример бессеточного численного решения задачи о пространственном взаимодействии пары вихревых колец, воспроизведено явление развития трехмерных возмущений и потери симметрии первоначально осесимметричных вихревых структур.

Результаты опубликованы в [85], [86].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод расчета плоских и осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах на основе уравнений Навье-Стокса - метод «вязких вихревых доменов» (ВВД). Метод не требует построения сеток, не содержит эмпирических параметров, лагранжевы точки самоорганизуются, концентрируясь в высокоградиентных областях,.позволяя достигать там высокого разрешения структуры течения, метод обладает низкой схемной вязкостью, численная схема устойчива (не бывает авостов из-за неограниченного роста переменных). Разработанный метод существенно расширяет возможности численного исследования механизмов вихреобразования и структуры нестационарных отрывных течений при произвольном движении и изменении формы обтекаемых тел. Созданы программы для ЭВМ.

2. Выведены новые, адаптированные для применения в вихревых бессеточных методах, выражения давления в поле течения, сил и моментов, действующих на тела при их произвольном движении и изменении формы в вязкой* жидкости, при различных граничных условиях (прилипание, скольжение,„вдув, и„отсосжидкости-на-поверхности),-через-характеристики---эволюции поля завихренности. В отличие от существовавших ранее способов расчета этих величин, полученные формулы не требуют вычисления частных производных по пространству и их интегрирования, что является проблематичным в бессеточных методах. Выражение давления в частном случае потенциальных течений переходит в формулу Коши-Лагранжа, а выражение для силы — в формулу, соответствующую теореме Жуковского.

3. На основе метода ВВД и полученных в работе выражений сил и моментов разработан новый метод решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, Создан эффективный алгоритм, позволяющий моделировать нестационарное движение жидкости и подвижного деформирующегося тела как единую динамическую систему, не требующую расщепления процесса на гидродинамическую и динамическую части.

4. Построена новая математическая модель свободной конвекции в приближении Буссинеска, основанная на генерации новых вихревых частиц в результате диффузионного движения тепловых частиц. Разработаны новый алгоритм и программа расчета нестационарных течений вязкой теплопроводной жидкости «метод вязких вихревых и тепловых доменов» (ВВТД) решения уравнений Навье - Стокса и теплопроводности в лагранжевых координатах. Разработанный метод позволяет эффективно исследовать связь процессов теплопереноса и вихреобразования и находить пути интенсификации теплообмена там, где это необходимо.

5. Построена новая математическая модель трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности. Выведено уравнение эволюции плотности диполей, эквивалентное уравнениям Навье-Стокса.

6. Разработаны основы нового бессеточного численного метода «дипольных доменов» расчета трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Использование дипольного представления завихренности позволило решить одну„изглавных. проблем „бессешчного .моделирования ^вихревых течений — обеспечение соленоидальности вихревого поля — и построить численную схему с сохранением гидродинамического импульса. Предложенный метод открывает новые возможности прямого численного моделирования трехмерных течений в лагранжевых координатах.

7. Решен ряд задач нестационарной гидродинамики, таких как обтекание профиля, совершающего угловые колебания, взаимодействие вихревого кольца с плоским экраном, задачи самодвижения квази-биологических объектов за счет изменения формы и др. Продемонстрирована эффективность метода при решении сложных задач взаимодействия вязкой среды с подвижным телом. Впервые численно воспроизведено и исследовано известное из физических экспериментов Танеды (1978) явление угнетения нестационарных колебаний вихревого следа за цилиндром, совершающим высокочастотные угловые колебания. В задаче об отрывном обтекании цилиндра с цилиндрической выемкой на боковой поверхности дано объяснение наблюдавшихся в физическом эксперименте особенностей визуализированных нестационарных картин течения.

1.Б. Вихревая модель плоской турбулентной струи. // Труды ЦАГИ. 1976. Вып. 1784. С. 3-17.

2. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН. 2003. 504с.

3. Анашкин А.Г. Бондаренко В.М., Желанников А.И. Исследование аэродинамических характеристик самолета Як-40 в дальнем аэродинамическом следе за самолетом Ил-76НММ по аэродинамике летательных аппаратов. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковскогою 1989. 169 с.

4. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Численное моделирование самовращения пластин в потоке вязкой жидкости. // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 47-60.

5. Андронов П.Р., Григоренко Д.А., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Стрекалов С.Д. Авторотация и автоколебания двумерных тел в вязкой жидкости. / Материалы XVTII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов". Изд-во ЦАГИ, 2007 год. С. 15-16.

6. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Григоренко Д.А., Гирча А.И., Дынникова Г.Я.Алгоритмчисленногомоделирования методами, дискретных-вихрейи вязких вихревых доменов. Отчет № 4831, Институт механики МГУ. Москва. 2006. 49 с.

7. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчёта нестационарных гидродинамических нагрузок. Москва: Изд-во Моск. ун-та. 2006. 184с.

8. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Лагранжев численный метод решения двумерных задач свободной конвекции /Труды четвёртой Российской национальной конференции по теплообмену, т.З. Москва, Издательский дом МЭИ. 2006. С. 38-41.

9. Андронов П.Р., Досаев М.З., Дынникова. ГЛ., Селюцкий Ю.Д., Стрекалов С.Д. Моделирование ветродвигателя волнового типа. //Проблемы машиностроенияш надежности машин. 2009. № 4, с. 86-91.

10. Апаринов A.A. Сетуха A.B., О применении метода мозаично-скелетонных аппроксимаций при моделировании: трехмерных вихревых течений вихревыми отрезками. //ЖВМ и МФ, 2010, том 50, №5, с. 937948.

11. Апаринов В.А., Васильченко А.Г., Овчинников В.В. Математическая модель планирующего парашюта. // Труды XI Международногосимпозиума" •«Методы7 дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ-2003) Харьков-Херсон. 2003. С. 2024.

12. Апаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных, вихрей с замкнутыми вихревыми рамками // В кн.: Применение ЭВМ для исследования аэродинамических. характеристик летательных аппаратов. Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1986. Вып. 1313. С. 424-432.

13. Апаринов В.А., Делеган В.М. Нелинейная математическая модель процесса неустановившегося движения на закритических режимах самолета и его вихревого следа. // Техника воздушного флота. 1998. T. LXXII, №6(635). С. 8-15.

14. Апаринов В.А., Морозов В.И. Численное исследование нелинейных колебаний тонкого крыла бесконечного размаха при отрывном и безотрывном обтекании. / Научно-методические материалы по аэродинамике летательных аппаратов. ВВИА, 1979.

15. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и ее приложения. Алматы: Гылым. 1997. -448с.

16. Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука. 1989. 208с.

17. Баранов П.А., Гувернюк C.B., ЗубинМ.А., Исаев С.А. Численное и физическое моделирование циркуляционного течения в вихревой ячейке на стенке плоскопараллельного канала // МЖГ. 2000. №5. С. 44-56.

18. Белов И.А. Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та. 2001. 108с.

19. Белов И.А., Исаев С.А. Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Ленинград «Судостроение». 1989. 256с.

20. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука. 1965. 244 с.

21. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. Москва: Наука. 1985. 256с.

22. Белоцерковский С.М., Гиневский A.C. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физ-мат. лит., 1995. 367с.

23. Белоцерковский С. М., Гиневский А. С., Хлапов Н. В. Моделирование круглой турбулентной струи методом дискретных вихрей // ДАН. 1995. Т. 345, № 4. С. 479-482.

24. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука. 1988. 232 с.

25. Белоцерковский С.М.: Локтев Б.Е., Ништ М.И. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов. М.: Машиностроение. 1992. 220с.

26. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 351с.

27. Березенцев М.Ю., Гувернюк C.B., Зубин M.Ä., Зубков А.Ф:, Мосин А.Ф. Визуализация дозвукового обтекания цилиндрических тел с вихревыми ячейками // Аэромеханика и газовая динамика. 2001. № 1. С. 11-17.

28. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха A.B., Щеглов.Г.А. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов// Инженерная физика. 2008. №4. С. 8-14.

29. Борисов A.B., Мамаев И.С., Соколовский И.С. Фундаментальные и прикладные проблемы вихрей. Москва Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003': С. 414-440.-----------37Бэтчелор~Дж.-Введение-вданамику-жидкости.-М.:-Мир.4-973. 760с.— —

30. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.:«Янус-К», 2001. 508с.

31. Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир. 1986. 184с.

32. Вышинский В.В. Вихревой след самолета, безопасность полетов и кризис аэропортов. «Полет», ЦАГИ. 1998, с. 12-19.

33. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Вихревой след самолета в турбулентной атмосфере // Труды ЦАГИ. Вып.2667. 2006. 155с.

34. Гайфуллин A.M. Исследование вихревых структур, образующихся при обтекании тел жидкостью и газом. М.: Изд. отд. ЦАГИ. 2006. 139с.

35. Галин Г.Я.; Голубятников А.Н. и др. Механика сплошных сред в задачах и упражнениях, т. 1, 2 (под ред. Эглит М.Э.) М.: Московский лицей, 1996.-396 с.

36. Гиневский A.C., Власов Е.В. Когерентные структуры в турбулентных струйных течениях. Модели механики сплошной среды. Новосибирск: Наука. 1983. С. 91-117.

37. Гиневский A.C., Желанников А.И. Вихревые следы самолетов. М.: Физматлит. 2008. 172с.

38. Гиневский A.C., Погребная Т.В., Шипилов С.Д. Моделирование натекания кольцевого вихревого жгута на плоский твердый экран. //Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 1. С.55-57.

39. Головкин М.А., Головкин В.А., Калявкин В.М. Вопросы вихревой гидромеханики. М.: Физматлит. 2009. 264 с.

40. Гоман О.Г., Карплюк В.И., Ништ М.И., Судаков А.Г. Численное моделирование осесимметричных отрывных течений несжимаемой жидкости/ Под ред. М.И. Ништа. -М.: Машиностроение. 1993.

41. Гувернюк C.B., Дынников Я.А., Малахова Т.В., Дынникова Г.Я. О механизмах стабилизации следа за цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания. / Материалы Десятой

42. Международной школы-семинара Модели и методы аэродинамики. Москва, Издательство Московского Университета.2010. С. 52-53.

43. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Моделирование обтекания* колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов. // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 1.С. 3-14.

44. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Дынников Я.А., Малахова Т.В. О стабилизации следа за круговым цилиндром, совершающим высокочастотные вращательные колебания // ДАН. 2010. Т. 432, № 1. С. 45-49.

45. Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я., Дынников Я.А., Малахова Т.В. Расчет нестационарной теплоотдачи цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости //Отчет №5000, Институт механики МГУ. 2009. 84 с.

46. Гутников В.А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании ~аэродинамики~зданий~~и вооружений- методом~заШнутых~1шхрЖьТх~ рамок // Изв. РАН МЖГ, 2006. №4. С. 78-92.

47. Дынников Я.А. Анализ эффектов* схемной диссипации в лагранжевых вихревых методах. / В сб.: Труды конференции-конкурса молодых ученых. 2008 г. Под ред. академика РАН Г.Г. Черного, проф. В.А. Самсонова. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 2009. С. 85-91.

48. Дынникова Г.Я. К расчету критического течения неравновесного газа в сопле Лаваля. // Ученые записки ЦАГИ 1985. Т. 16, N5. С. 115-118.

49. Дынникова Г.Я. О влиянии течения газа на функцию распределения' диссоциирующих молекул по колебательным уровням. // Журнал прикладной механики и технической физики. 1987. N. 5. С. 23-29.

50. Дынникова Г.Я. Приближенное решение уравнения Больцмана для функции распределения электронов в слабоионизированной молекулярной плазме в постоянном электрическом поле. // Журнал прикладной механики и технической физики. 1988. N 5. С. 3-9.

51. Дынникова Г.Я. Моделирование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца модифицированным методом- дискретных вихрей. // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т.22, N3. С. 25-34.

52. Дынникова Г.Я. Численное исследование нестационарного обтекания профиля с отклоняемым интерцептором Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке. Сборник тезисов международной конференции. Жуковский, Россия, 22-24 сентября 1994г. С. 43-45.

53. Дынникова Г.Я. Аналог интеграла Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости. Препринт ЦАГИ 1998. N 117. Издательский отдел ЦАГИ. 1998. 16 с.

54. Дынникова Г.Я. Обобщение теоремы Жуковского на случай нестационарного вихревого отрывного обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью. Препринт ЦАГИ. 1999. N 119. Издательский отдел ЦАГИ. 1999. 12 с.

55. Дынникова Г.Я. Моделирование свободного сдвигового течения методом-непрерывного вихревого слоя. // Известия РАН МЖГ. 1999. № 1.С. 42-50.

56. Дынникова. Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для----нестационарного^вихревого-течения-идеальной-несжимаемой- жидкости----

57. Известия РАН МЖГ. 2000, №1. С. 31-41.

58. Дынникова Г.Я. Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном, обтекании идеальной несжимаемой жидкостью. // Известия РАН МЖГ. 2001, №2. С. 128-138.

59. Дынникова Г.Я. Расчет давления и сил при решении задач гидродинамики методом дискретных вихрей с учетом вязкости /Труды X международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2001) С. 129-133.

60. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости // Известия РАН. МЖГ. 2003, №5 С. 11-19.

61. Дынникова Г.Я. Моделирование течений вязкой жидкости в методе дискретных вихрей. / Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция механики. Издательство Московского университета. Москва. 2003. С. 51.

62. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса//ДАН! 2004. Т. 399. №1. С. 42-46.

63. Дынникова Г.Я. Моделирование течений вязкой жидкости модифицированным, методом« дискретных вихрей. Отчет №4698, Институт механики МГУ, 2004. 36 с.

64. Дынникова Г.Я. Расчет обтекания кругового цилиндра на основе двумерных уравнений Навье-Стокса при больших числах 11е с высоким разрешением в пограничном слое.// ДАН. 2008. Т.422, № 6. С. 755-757.

65. Дынникова Г.Я. Использование быстрого метода решения «задачи N тел» при вихревом моделировании течений. // ЖВМ и МФ. 2009. Т. 49. № 8. С. 1458-1465.

66. Дынникова Г.Я. Вихревое моделирование течений с применением быстрого метода вычисления конвективной скорости. / Труды XIV

67. Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ-2009) Харьков-Херсон, 2009. С. 99-102.

68. Дынникова Г.Я. О применении лагранжевых методов дискретных особенностей для моделирования трехмерных течений вязкой жидкости. / XVI школа-семинар Современные проблемы аэрогидродинамики. Москва, Издательство Московского Университета. 2010. С. 46-47.

69. Жуковский H. Е. О присоединённых вихрях. Полн. собр. соч., т. 5, М.-Л., 1937.

70. Ильичев К.П., Постоловский С.Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №2. С. 72-82:

71. Исаев С.А., Баранов П.А., Кудрявцев H.A. Жукова Ю.В. Численное моделирование нестационарного теплообмена при турбулентном обтекании кругового цилиндра. Ч. 2. Анализ автоколебательного режима. //Теплофизика и аэромеханика. 2005. Т. 12. № 2. С. 271-283.

72. Кирякин В.Ю., Сетуха A.B. О сходимости вихревого численного метода решения 3-х мерных уравнений Эйлера в Лагранжевых координатах. // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №9. С. 1263-1276.

73. Корнев Н.В. Метод вихревых частиц и его приложение к задачам, гидроаэродинамики корабля. Дисс. д-ра техн. Наук. СПб. 1998. 184 с.

74. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. М.: Наука. 1965.426с.

75. Кравцова М.А., Рубан А.И. О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания. // Ученые записки ЦАГИ. 1985. Т. XVI. № 6. С. 99-102.

76. Крицкий Б.С. Проблемы математического моделирования аэродинамики винтокрылых летательных аппаратов. / Труды XI Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах"математической "физики» (МДОЗМФ-2003) ~"Харьков-Херсон:"2003г С.154-158.

77. Кудрявцев П.С. Курс истории физики. М.: Просвещение, 1982. 448с.

78. Кузьминов A.B. Лапин В.Н., Черный С.Г. Метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе двухслойной (к е)- модели / Вычисл. технологии. 2001,№5. Т. 6. С. 73-86.

79. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Наука. 1995. 520с.

80. Лифанов И.К. Сетуха A.B. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных уравнений. // Дифференциальные уравнения 1999. Т.35, №9. С. 1227-1241.

81. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848с.

82. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к расчету аэродинамических характеристик профиля в идеальной жидкости методом дискретных вихрей // Вестник Харьковского национального университета. Серия М. 2005. № 6, вып.4. С. 182-191.

83. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Модель симметричного вортона-отрезка для численного моделирования пространственных течений идеальной несжимаемой среды // Вестник МГТУ им. Баумана. Серия «Естественные науки». 2008. №'4. С. 62-71.

84. Никонов В.В. Моделирование эффектов диффузии и конвекции завихренности в вихревых методах: дис. . канд. техн. наук : 01.02.05. / Никонов Валерий Владимирович. М., 2006. 172с.

85. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) //ЖЭТФ. 1983. Т. 84. вып. 3. С. 975-981

86. Павловец Г.А., Петров A.C. Об одной возможной схеме расчета отрывного обтекания тел // Труды ЦАГИ. 1974. Вып. 1571. 12с.

87. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. Москва.: Наука. 1984. 288 с.

88. Пейре Р. Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики---жидкости.-Ленинград^:-Гидрометеоиздат.-1986.-352с.—----------

89. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Физматлит, 2009. 520с.

90. Петров A.C. Метод расчета нестационарного отрывного обтекания тел потоком вязкой несжимаемой жидкости. // Труды ЦАГИ. 1978. Вып. 1930.1. С. 13-38

91. Петров A.C. Теория аэрогидродинамических сил при дозвуковых скоростях. Учебное пособие. М.: МФТИ. 2007. 236с.

92. Постоловский С.Н., Ильичев К.П. О ламинарном отрыве потока маловязкой жидкости // Известия вузов. Машиностроение. 1992. №1-3. С.50-54.

93. Рыжаков Г.В., Сетуха A.B., О сходимости некоторого численного метода решения гиперсингулярного интегрального уравнения на замкнутой поверхности. // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, №9. С. 13431353.

94. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение, серия А, 1989. №10. С.1-60.

95. Сборник задач по механике сплошной среды (под ред. Эглит М.Э.). М.: Издательство Московского государственного университета. 1991.176 с.

96. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448с.

97. Сетуха-А. В. Численные методы решения некоторых краевых задач с обобщенными граничными условиями и их приложения к аэродинамике : Дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.07 : Москва, 2003 372 с. РГБ ОД, 71:04-1/234.

98. Гидроаэродинамика») http://aero.spbstu.ru/publ/smirnovl.pdf

99. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. 376с.

100. Черный С.Г., Шашкин П.А., Грязин Ю.А. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе (к Б)моделей // Вычисл. технологии. 1999. Т. 4. № 2. С. 74-94.

101. Теория тепломассообмена / под ред. А. И. Леонтьева. М.: Высшая школа. 1979. 496с.

102. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы / Под ред. С.М. Белоцерковского. М.: ЦАГИ. 2000. 265 с.

103. Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к летательным аппаратам интегральной компоновки (численное и физическое моделирование) / Под ред. А.В: Ермишина и С.А. Исаева/ М.: МГУ. 2003. 362с.

104. Чефранов С.Г. Динамика точечных вихревых диполей и спонтанная-сингулярность в трехмерных турбулентных потоках. //Журнал экспериментальной^ теоретической физики. 1987. Т. 93. С. 151-158;

105. Шкадова В.П:, Шкадов. В.Я., Алексюк А.И. Численное решение уравнений Навье-Стокса для нестационарного отрывного обтекания. Отчет НИИ механики МГУ. 2008. № 4969, 95с.

106. Alkemade, A.J.Q.: On vortex atoms and vortons. PhD thesis TU-Delft, The Netherlands 1994. 209 p.

107. Andronov P.R., Dosaev M.Z., Dynnikova G.Ya., Seliutsky Yu.D., Strekalov S.D. Mathematical Models of the Wave Type Wind Turbine. / International

108. Summer School "Computer technologies of engineering mechanical problems". Institute of Mechanics of the Lomonosov {MSU} (Russia), Ching-Yun University (Taiwan), 2007. P. 99-106.

109. Barba L.A., Leonard A., Allen C.B. Advances in viscous vortex methods-meshless spatial adaption based on radial basis function interpolation. // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2005. V. 47. P 387-421.

110. Baek S.J., Sung H.J. Numerical simulation of the flow behind a rotary oscillating circular cylinder. //Phys. Fluids. 1998. V. 10. N. 4. P. 869-876.

111. Barnes J., Hut P., A hierarchical 0(N logN) force-calculation^ algorithm // Nature. 1986. V. 324. N. 4. P". 446-449.

112. Barrett D.S., Triantafyllou M.S., Yue D.K.P., Grosenbauch M.A., and Wolfgang MJ. Drag reduction in fish-like locomotion. // J. Fluid Mech. 1999. V. 392. P. 182-212.

113. Beale J.T., Majda A. Rates of convergence for viscous splitting of the Navie -Stokes equations. //Math, of Computation. 1981. V. 37. P. 243-259.

114. Kamemoto K. On contribution of advanced vortex element methods toward virtual reality of unsteady vortical flows in the new generation of CFD. // Braz. Soc. Mech. Sci. & Eng. 2004. V. 26, N 4. P. 368-378.

115. Clarke N.R. Two-dimensional flow simulation using discrete vortex methods on Mimd Processor Arrays. / Phd Thesis, University of Southhampton. 1992.

116. Clarke N.R., Tutty O.R. Construction and Validation of a Discrete Vortex Method for Two-dimensional Incompressible Navie Stokes Equations. //Comp. Fluids. 1994. V. 23. No 6. P. 751-783.

117. Chen H., Marshall J. S. A Lagrangian vorticity method for two-phase particulate flows with two-way phase coupling // J. Comput. Phys. 1999. V.148. P. 169-198.

118. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow. // J. Fluid. Mech. 1973. V. 57, part 4. P 785-796.

119. Christiansen J:P. Roberts K.V. Topics in computational fluid mechanics // Comp. Phys. Comm.1972. V. 3. P. 14 32.

120. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex Methods: theory and practice. Cambridge University Press 2000. 320p.

121. Cottet G.-H., Mas-Gallic S. A particle method to solve the Navier-Stokes system. //Numer. Math. 1990. V. 57. P. 805-827.

122. Cottet GH, Poncet P: Particle methods for direct numerical simulations of three-dimensional wakes. // Journal of Turbulence 2002. V.3 p. 3-038.

123. Degond P., Mas-Gallic S. The weighted particle method for convection-diffusion equations. Part 1. The case of an isotropic viscosity. // Math. Comp. 1989. V. 53. P.485-507.

124. Dennis S.C.R., Nguyen.P., Kocabiyik S. The flow induced by a rotationally oscillating and translating circular cylinder // J. Fluid Mec. 2000. V. 407. P. 123-144.

125. VFM 2010, Nov. 8-10, San Leucio (CE) Italy. ISBN 978-88-905218-6-7. Paper N.31.

126. Dynnikova G.Ya. Numerical investigation of the flow around the airfoil with moving spoiler. / Int. conf. Fundamental research in aerospace science (22-24 sept. 1994) TsaGI. 1994. P. 43-45.

127. Dynnikova. G.Ya., Dr. Andronov P.R., Gircha A.I. The-report on viscous vortex domain (WD) method code development. / VortexCell2050 project. The fundamentals of actively controlled flows with- trapped vortices. http://www.vortexcell2050 .org .

128. Fishelov-Dr,-A new vortex-scheme for viscous flowsr/AJrComp. Phys.rl990: V. 86. P. 211-224.

129. Ghoniem A.F., Sherman F.S. Grid-free simulation of diffusion using random walk methods// J. Сотр. Phys. 1985. V. 61. P. 1-37.

130. Ghoniem A.F. Heidarinejad G., Krishan A. Numerical simulationof a thermally stratified shear layer using the vortex element method. /Я. Сотр. Phys. 1988. V. 79. P. 135-166.

131. Goodman J. Convergence of the random vortex method.// Communications in Pure and Applied Mathematics. 1987. V. 40. P. 189-220.

132. Greengard C. The core spreading vortex method approximates the wrong equation. // J. Сотр. Phys. 1985. V.61. P. 345-348.

133. Hald O.H. Convergence of vortex methods II. SIAM J. //Sc. Stat. Сотр. 1979. V. 16. P. 726-755.

134. Harlow F. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics. / Methods in computational phys., (Eds., B. Adler et al.), Academic press. 1964. V. 3. P. 319-343.

135. Helmholtz H. Uber die Integrate der hydromechanischen Gleichung //Crelles J. 1858. Bd. 55. S. 25-55.

136. Hughes T.J.R. Oberai A.A., Mazzei L. Large eddy simulation of turbulent channel flows by the variational multiscale method. // Phys. of Fluids. 2001. №13. P. 1784-1799.

137. Kelvin Lord. On vortex atoms // Phil. Mag. 1867. V. 34, P.15-24.

138. Kelvin Lord. The translatory velocity of a circular vortex ring // Phil. Mag. 1867. V. 33. P. 511-512.

139. Kelvin Lord. On vortex motion. Trans. Royal Soc. Edinburgh. 1868. V. 25. P. 217-260.

140. Kelvin Lord. Vortex statics. Collected works. 1875. V.4. P. 115-128.

141. Korn G., Korn A. Mathematical handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill Book Company. 1968. (Корн Г., Корн А., Справочник поматематике длянаучных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.832с.)

142. Koumoutsakos P. High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods / P. Koumoutsakos, A. Leonard // J. Fluid Mech. 1995. V. 296. P. 1-38.

143. Koumoutsakos P. Inviscid axisymmetrization of an elliptical vortex. //Journal of Computational Physics 1997. V. 138. p. 821-857.

144. Koumoutsakos P. Multiscale Flow Simulations Using Particles. // Pr. The 5th Int. Conf. of Vortex Flows and Vortex Models. Caserta, Italy, 8-10 Nov. 2010. Paper 1.

145. Kress W. High Order Finite Difference Methods in Space and Time: Doctoral thesis. Uppsala: Uppsala University, 2003. 28 p.

146. Kuwahara K, Takami H. Numerical studies of two-dimensional vortex motion by a system of points. //Journal of the Physical Society of Japan 1973. V. 34. P. 247-253.

147. Lee S.-J., Lee J.-Y. Temporal evolution of wake behind a rotationally oscillating circular cylinder. //Phys. Fluids. 2007. V. 19: P. 105104.

148. Leonard A. Review: Vortex methods for flow simulation. // J. Comput. Phys. 1980. N. 37. P. 289-335.

149. Leonard A, Shiels D, Salmon JK, Winckelmans GS, Ploumhans. P. Recent advances in high resolution vortex methods for incompressible flows. //AIAA № 97-2108, 1997.

150. Leonard A. Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements. // Annual Review of Fluid Mechanics 1985. V. 17. P.' 523-559.

151. Levis R.I. Vortex element methods for fluid dynamic analysis of engineering system. Cambridge University Press. 2005. 567 p.- 182-Lienhard-J.H.JV,-Lienhard J.H.-V-.-Heat Transfer. Texbook. Third edition.----

152. Cambridge, MA : Phlogiston Press. 2003. 750 p.

153. Lighthill MJ. Note on swimming of slender fish. // Journal of Fluid Mechanics. 1960. V. 9, Part2. P. 305-317.

154. Liu L., Ji F., Fan J.Cen K.-F. Recent development of vortex method in incompressible viscous bluff body flows. // J Zhejiang Univ SCI 2005. 6A(4). P. 283-288.

155. Long DG. Convergence of the random vortex method in two dimensions. //Journal of the American Mathematical Society 1988. V. 1. P. 779-804.

156. Malakhova T., Dynnikova G., Guvernyuk S. Investigation of the heat transfer from oscillating cylinders by the WTD method / Proc. of ICVFM 2010, Nov. 8-10, SanLeucio (CE) Italy. ISBN 978-88-905218-6-7. Paper N.30.

157. McAlister K.W., Pucci S.L., Mc Croskey W.L., CarrL.W. An experimental study of dynamic stall in advanced airfoil sections. V.2. Pressure and force data NASA TM 84245. 1982.

158. Milinazzo F., Saffman P.G. The calculation of large Reynolds number two-dimensional flow using discrete vottices with Random Walk. // J. Comp. Phys. 1977. V. 23. P. 380-392.

159. Naguib A.M., Koochessfahani M.MI On wall-pressure sources associated with the unsteady separation in a vortex-ring/wall interachion // Phys. Fluids. 2004. V. 16. № 7. P. 2613-2622.

160. Nordmark H. Rezoning for higher order vortex methods. Journal of Computational Physics 1991. V. 97. P: 366-397.

161. Ogami Y. Simulation of heat-vortex interaction dy the diffusion velocity method. //ESAIM: Proceedings of Third International Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods, 1999. V. 7. P. 314-324.

162. Ogami Y., Akamatsu T. Viscous flow simulation using the discrete vortex method the diffusion velocity method. // Computers & Fluids. 1991. V 19. N.3/4. P. 433-441.

163. Ojima A., Kamemoto K. Numerical simulation of unsteady flow around three dimensional bluff bodies by advanced vortex method // JSME International Journal, Series B. 2000. V. 43. No 2, p. 127-135.

164. Panda J., Zaman K.B.MIQ. Experimental investigation of the flow field of an oscillating airfoil and estimation of lift from wake surveys // J: Fluid Mech. 1994. V. 265. P. 65-95.

165. Persillon Hi, Braza M. Physical analysis of the transition-to turbulence in the wake of a circular cylinder by three-dimensional Navier-Stokes simulation. //J. Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 23-88.

166. Ploumhans P, Winckelmans GS. Vortex methods for high-resolution simulations of viscous flow past bluff bodies of general geometry. // Journal of Computational Physics. 2000. V. 165. P. 354-406.

167. Ploumhans P., Winckelmans G.S., Salmon J.K. Leonard A., Warren M.S. Vortex methods for direct numerical simulation of three-dimensional bluff body flows: Application to the sphere at Re=300,500 and 1000 // J. Comp. Phys. 2002. V. 178. P.427-463.

168. Poincare, H. Theorie des tourbillons. Paris: Geoges Carre. 1893 Пуанкаре A. Теория вихрей. M. Ижевск: из-во РХД, 1893. 2000.

169. Poncet P. Vanishing of mode В in the wake behind a rotationally oscillating circular cylinder. //Physics of Fluids. 2002. V. 14, p. 2021-2023.

170. Praeger W. Die Druckverteilung an Korpern in ebener Potentialstromung. //Physikalische Zeitschrift. 1928. V.XXIX. P. 865-869.

171. Prandtl, L. Tragflügeltheorie. I Mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften Zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1918. P. 151-177. (Also: Gesammelte Abhandlungen. V. 1. P. 322-345).

172. Prandtl, L. Tragflügeltheorie. II Mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften Zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1919. P. 107-137. (Also: N.A.C.A. T.N. Calculation of core of rolled up vortex by energy. 1920. P. 10).

173. Puckett EG. Vortex methods: an introduction and survey of selected research „topics.In.Incompressible Computational Fluid Dynamics: Trends and

174. Advances, Gunzburger MD, Nicolaides RA (eds). Cambridge University Press: Cambridge, 1993. P. 335-408.

175. Rankin W.T. A Portable Distributed Implementation of the Parallel Multipole Tree Algorithm. High Performance Distributed Computing, 1995., Proceedings of the Fourth IEEE International Symposium on 2-4 Aug 1995. P. 17-22.

176. Raviart P.-A. An analysis of particle methods. In, Numerical Methods in Fluid Dynamics, /F. Brezzi, editor/ Lecture Notes in Math. Springer-Verlag: NY, Berlin, 1985. V. 1127.

177. Reynolds O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A. 1895. V. 186. P. 123.

178. Rembold B., Kleiser L. B. Large-eddy simulation of compressible rectangular duct flow // PAMM. 2003. V. 2. P. 352-353.

179. Rosenhead L. The spread of vorticity in the wake behind f cylinder // Proc. Roy. Soc. Soc., series A. 1930. V. 127, p. 590-612.

180. Rosenhead L. Formation of vortices from a.surface of discontinuity // Proc: Roy. Soc., series A. 1931. ,V. 134, p.170-192.

181. Roshko A. Experiments on-the flow past a circular cylinder at very high Reinolds number.//Jornal of flued mechanics. 1961. V. 10. P. 345-356.

182. Rossi L.F. A spreading blob vortex method for viscous bounded flows. / Phd thesis, University of Arizona, 1993.

183. Rossi L.F. Resurrecting core spreading methods: a new scheme that is both deterministic, and convergent, SIAM //J.Sci.Com. 1996.V. 17. N 2, p. 370397.

184. Rossinelli D., Bergdorf M., Cottet G.-H., Koumoutsakos P. GPU accelerated simulations of bluff body flows using vortex particle methods // J. of Comp.-----Phys. 2010. V.~229,-№-9.~P.3316-3333.----------- - ----------

185. Shankar S., van Dommelen L. A new diffusion procedure for vortex methods. //J.Comp. Phys. 1996. V. 127. P. 88-109.

186. Singh S.P. and Mittal S., Flow Past a Cylinder: Shear Layer Instability and Drag Crisis. // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. V. 47. P. 75-98.

187. Smith P.A. Impulsively started flow around a circular cylinder by the vortex method / P.A. Smith, P.K. Stansby // J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 45-77.

188. Smith P.A., Stansby P.K. An efficient surface algorithm for random-particle simulation of vorticity and heat transport. // J. Comp. Phys. 1989. V.81. P. 349-371.

189. Spalart P.R. Detached-Eddy Simulation, 1997 -2000 // Fluid Mechanics and its applications, 2004. V. 65. N 5, p 235-237.

190. Strelets M., Detached Eddy Simulation of massively Separated Flows. //AIAA Paper 2001-0879.

191. Strickland J.H., Baty R.S. An overview of fast multipole methods. Sandia National Laboratories Report SAND95-2405, November, 1995.

192. Takeda K., Tutty O.R. Fitt A.D. A comparison of four viscous models for the discrete vortex method. // AIAA Paper 97-1997. 1997, 11 p.

193. Taneda S. Visual Observation of the Flow past a Circular Cylinder . Performing a Rotary Oscillation-// J; of the Physical: Society of Japan. 1978.

194. V. 45. N. 3. P. 1048-1043.

195. The Millenium Prize Problems / http://www.claymath.org/millenium .

196. Thiria, B., Goujon-Durand S;, Wesfreid J. E. Wake of a cylinder performing rotary oscillation. // J. Fluid Mech. 2006. V. 560. P. 123-14.

197. Thiria B., Wesfreid J.E. Stability properties of forced wakes.// J. Fluid Mec. 2007. V. 579. P. 137-161.

198. Triantafyllou MS, Triantafyllou GS, Yue DKP. Hydrodynamics of fishlike swimming. //Annual Review of Fluid Mechanics 2000. V. 32 p. 33-53.

199. Uhlman Jr. J. S. An integral equation formulation of the equations of motion of an incompressible fluid. NUWC-NTP TechnicalO269 'report 10,086. 15 My 1992. 30 p. http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?Location=U2&doc=GetTRDoc.pdf&AD=ADA416252 .

200. Wang M., Moin P. Computation of trailing-edge flow and nois using large-eddy simulation // AIAA J. 2000. V. 38. P. 2201-2209.

201. Wen C.-Y., Lin C.-Y. Non-dimensional vortex shedding of circular cylinder. //Physics of Fluids, 2001.V.13. N 3. P.557-560.

202. Wieselsberger C. Neuere feststellungen über die gesetze des flussigkeits-und luftwiderstands. //Rhys. Z. 1921. V. 22. P. 321-328.

203. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD D.C. Wilcox. La Canada, California: CDW Industries Inc. 1998. 537 p.

204. Wu J.Z., Wu J.V. Vorticity Dynamics on Boundaries. //Advances in Applied Mechanics. V. 32, ed. by J. W. Hutchinson, T.Y.Wu. 1996. P. 120-224.

205. Wu T.Y. Swimming of a waving plate. // Journal of Fluid Mechanics. 1961. V. 10. P. 321-344.