автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.02, диссертация на тему:Разработка вариационного метода и его компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений геофизической исследовательской ракеты

На правах рукописи УДК 629.756:517.97

ДАНГ НГОК ТХАНЬ

Разработка вариационного метода и его компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений геофизической исследовательской ракеты

Специальность 05.07.02 - «Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА-2005 г.

Диссертация выполнена на кафедре «Проектирование аэрогидрокосмических систем» Московского авиационного института (государственного технического университета) МАИ.

Грущанский В.А. Доктор технических наук, Золотое А.А.

Ведущая организация: НПО «машиностроение» - 143966, г. Реутов, ул. Гагарина 33.

Защита состоится «_»_2005 г. в_ часов на заседании

диссертационного совета Д.212.125.09 в Московском авиационном институтом по адресу 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Авиационного Института (МАИ).

Отзыв, заверенный печатью, просим направлять в одном экземпляре по адресу: 125993, ГСГТ-3, Москва А-80, Волоколамское шоссе, д.4, Ученый совет МАИ.

Научный руководитель:

Доктор технических наук, Профессор Тарасов Е.В. Доктор технических наук,

Официальные оппоненты:

Автореферат разослан «_ _» сентября 2005 г.

Ученный секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук

_ Кудрявцева Н. С.

гоо6-4 \ъего

РЕШАЕМАЯ ЗАДАЧА

В диссертации рассматривается задача, которая, в конечном счете, направлена на оптимизацию проектных решений геофизической исследовательской ракеты (ГИР). По своему существу эта задача ориентирует на поиск оптимального проектного решения ГИР, в частности, для подъема заданной полезной нагрузки на заданную высоту при минимальном стартовом весе, базирующейся на вариационном методе оптимального проектирования

Процесс проектирования ГИР связан с раскрытием и изучением внутренних связей между различными проектными характеристиками и с таким совокупным (комплексным) их выбором, при котором вся совокупность полученных характеристик будет определять оптимальный облик ГИР.

В связи с этим возникает необходимость построения такой модели ГИР, которая учитывала бы основные требования проектирования на предварительном этапе проектно-конструкторских разработок и позволяла, несмотря на вводимые допущения, вызывающие некоторую идеализацию проектных исследований, результаты их анализа с полным основанием использовать в дальнейшем при проектировании реального ГИР.

При построении математической модели ГИР важно определить лишь тот круг взаимосвязей проектных параметров, который определяющим образом влияет на выбранный критерий оптимальности, поскольку излишняя детализация, сильно усложняющая решение задачи, может и не привести к качественно новым результатам.

Современное проектирование летательных аппаратов базируется на различных математических методах, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Разнообразие математических методов является вполне естественным, поскольку процесс проектирования является многогранным, а требования, предъявляемые к решаемым задачам, могут быть различными.

(МОП).

М>С. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА .

г/743г 7

4

Вариационный (МОП) [40], [42], [38] более трех десятилетий успешно применяется при оптимизации проектных решений летательных аппаратов, включающих оптимизацию проектных параметров, фазовых траекторий и режимов движения летательных аппаратов. В этой диссертации рассматривается вариационный МОП, в основном базирующийся на методах классического вариационного исчисления, и на принципе максимума Понтрягина [35],[38] Целью исследования являются: разработка вариационного метода и его компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений летательного аппарата (ГИР); построение его математической модели, учитывающее взаимосвязь проектных параметров ГИР, зависимость массы двигателя от номинальной тяги, а также дроссельную характеристику двигательной установки (ДУ); на основе вариационного метода оптимального проектирования и его компьютерного алгоритма определяется оптимальное проектное решение, включающее оптимальные значения основных проектных параметров и режимы движения, позволяющих доставлять на заданную высоту полета заданную полезную нагрузку при минимальной стартовой массе ГИР.

Практическая актуальность работы состоит в разработке компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений геофизической исследовательской ракеты, что расширяет программные возможности систем автоматизированного проектирования (САПР) и позволяет использовать вариационный метод оптимального проектирования в САПР летательных аппаратов (ЛА), тем самым, проводить научно-обоснованную оптимизацию проектных решений различных типов исследовательских ЛА.

Практическая полезность работы состоит в формировании программного комплекса, включающего:

-теоретическую модель объекта (ГИР) в виде проектных уравнений, характеристик двигателя, уравнения движения с учетом особенностей аэродинамической силы и силы тяги, начальные и конечные условия полета;

-математический формализм вариационного метода оптимального проектирования ГИР;

-алгоритм решения краевой задачи;

что дает возможность его широкого использования в практике проектирования ГИР.

Новизна исследования состоит в построении математической модели исследовательского летательного аппарата, которая включает основные требования проектирования современных летательных аппаратов на предварительном этапе проектно-конструкторских разработок, и позволяет, несмотря на вводимые допущения, вызывающие некоторую идеализацию исследований, с полным основанием, использовать результаты анализа при проектировании реального объекта. Теоретическим элементом новизны является введенные в модель зависимости массы двигателя от номинальной тяги и дроссельной характеристики двигателя.

Показана необходимость при оптимизации проектных решений ГИР дополнить принцип максимума Понтрягина условием оптимизации граничных значений функции управления.

Новым положением в теоретических исследованиях оптимизации проектных решений ГИР является указание о взаимосвязи условия принципа максимума Понтрягина с условиями оптимизации проектных параметров.

Впервые показано, что с учетом дроссельной характеристики двигателя ГИР оптимальным режимом управления тягой />(*)при I, е является режим работы ДУ при номинальной тяге Рй. Элементом новизны в работе является алгоритм решения нетиповой краевой задачи определения оптимальных обликовых характеристик ГИР, математический формализм которой в математических пакетах \iathCAD еще не разработан.

Апробация работы и публикации

Вторая международная конференция «Авиация и космонавтика». "Компьютерные исследования вариационного метода оптимизации проектных решений геофизической ракеты с ЖРД". Москва. МАИ 2004.

Всероссийский институт научной и технической информации Российской академии наук (ВИНИТИ). "Разработка вариационного метода и его компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений исследовательского летательного аппарата". Москва 2005.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 10 частей: введения, глав (1,2,3,4,5,6,7), заключения и приложений. Она содержит 85 страниц основой работы и 28 страницы приложений, в том числе 23 рисунков, 8 таблиц, и 4 модулей вычислительных программ обеспечения. Список использованных источников содержит 44 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение: вводная часть работы посвящена вопросам, связанным с проблемой проектирования ГИР, которая используется в области исследования атмосферы Земли и ближнего космоса и является одним из средств наблюдения за состоянием земной поверхности. На основе проблем проектирования ГИР раскрываются подходы к рассмотрению оптимизации проектирования ГИР на основе вариационного метода оптимального проектирования. Вариационный МОП играет важную роль на этапе проектных исследований летательных аппаратов и может быть использован для поиска оптимального решения проектных задач ГИР, включающего оптимизацию проектных параметров, фазовых траекторий и режимов движения ГИР.

Вариационные методы оптимизации проектных решений летательных аппаратов строится на работах В.П.Мишина, И.В.Остославского, Л.С. Пон-трягина, C.B. Румянцева, Е.В.Тарасова и др. [28], [34], [36] [38], [40], [42].

В данной работе предлагается решение задачи поиска оптимального проектного решения ГИР, в частности, для подъема заданной полезной на-

грузки на заданную высоту при минимальной стартовой массе, базирующееся на вариационном МОП.

Глава I: в первой главе формируется математическая модель ГИР, описывающая взаимосвязь между собой проектных уравнений, уравнений движения ГИР переменной массы и граничных условий полета.

Основные результаты, полученные в первой главе, следующие:

Состав проектных параметров ГИР:

т ,т ,т ,т ,т ,т ,т ,т ,т

о * ге ду сг кэ не пн то о

Проектные уравнения или условие физического существования

Р,

(1.1)

1 + а т

ТО о

В = т -а т и =0

гъ то то о

В -т -у -Р =0

ду ,ду -

1 + а т

В = 1Т-1г{т ,и ,т ,и ,т ,<{)

Г 5 * пнтг^тт ду ион 0 !

В ,и ,т ,и_,Л1 ,<¿1=0

гь * пн 'гг ду ^кон о /

(1.2)

где: т0- стартовая масса ГИР; тк - конечная масса ГИР; ттг - суммарный запас топлива; тЛУ - масса двигательной установки; тГУ - масса систем управления; тю - масса конструкционных элементов; тгш - масса полезной нагрузки; тИЭ - масса неучтенных элементов; тт - масса топливного отсека; Р0- номинальная тяга двигателя; й- диаметр миделя ; /- длина ; IV- объем ГИР,

= (!-/< )м >

V г пн > г кон '

/Я*. "*гтН

/<,=—, Ипн = — т„ т„

т _ т т +т +т

— „ — то су кэ нэ Мт£ ~ » ато ~~ »

шо ттт т0

а =(тпн,Мг1,т/Т1,,тТ0,ик.,Ра,та,№,1^)- вектор проектных параметров. Зависимость удельной массы двигателя от тяги у = /(Р)

В практике проектирования ГИР важную роль играет зависимость массы двигателя т от номинальной тяги двигателя Р0. Обычно она заменяется за-

висимостью удельной массы двигателя у ^ от Р0:

о-з)

где\т (кг) - масса ДУ и компонентов топлива, заполняющих его магистрали и агрегаты при работе ДУ, Р„ (Н) - номинальная тяга двигателя.

Учитывая сложный характер зависимости коэффициента у от тяги,

для упрощения расчета целесообразно представить ее как функцию от рЛгду =/('„» на основе статистических зависимостей удельной массы хду

различных типов ДУ от их тяги Р„ [21]. Использование этих данных позволило в среде МаАСАБ построить зависимость у =/(Р)

ода»

\ ¡1

* .1 ■ 1 '

--' \ Г

-1

|»> 11/ «(Я)

Рис. 1.1. Зависимость у от Л

' ду 0

Уравнения движения и переменной массы

р х

Ф2=Ь~У = о

ф =(1+-

^ Р т

уд о л

= 0

(1.4)

(1.5)

(1.6)

где: Х- сила лобового сопротивления ГИР, причем Х = Х(У,с1,р),Руд-

удельная тяга двигателя, Р = - изменения тяги по времени. Дроссельная характеристика ДУ

-зависимость удельной тяги Р от тяги Р (см. рис. 1.2)

дР

-зависимость производной удельной тяги -—^оттяги Р(см. рис. 1.3)

отзоямьюслонолзшиянотмогппп I

(1.7)

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Граничные условия полета ГИР

Начальные условия г = г0 = 0:

ЯтВ=К _й('о) = 0, ягж=1-//(/о) = 0.

Конечные условия ¡ = 1К:

=^ЛГ-^0АГ) = °. Я-2ЛГ -А('*) = 0, = ^ -//(<,)= 0. (1.8)

Допуская после активного участка наличие пассивного участка полета и пренебрегая в первом приближении силой сопротивления X на этом участке, можно записать условия на конце активного участка полета в момент времени / = /.: ки = V\ - - й„)= 0, кга = цк - ) = 0, /*(/„) = ц\}к) (1.9) Входные и выходные данные проектной задачи:

Множество входных данных

-значения переменных в начальной *„ = 0 и конечной точках :

*(0=о,к(г,)=о, (1.Ю)

-задаются значения цкон,аТО, как правило, из статистики по прототипам

-зависимость?- =г (р),^^- = /(р)нР = Р (Р),^- = /(р);

'уд 'уд"о>' др ■'"о' уд уду " др ' "о''

8Р_

-в соответствии с техническим заданием (ТЗ), считаются заданными

т ; (1.11)

пн к' 4 '

-из условий компоновки ГИР задан его диаметр миделя - й; -предельные значения проектных параметров:

Множество выходных данных S : -список варьируемых искомых данных S"

-критерий эффективности (оптимальности) SJ = J: J = т„. (114)

Допустимые проектные решения и задача оптимизации: -допустимое множество проектных решений R:

* = jr|Vû е {я <а <а ii = l,...,8; (1.15)

M / * imn I гпах г N '

ЭД(я);/ = 1.....6; <j>J = ¿,. - fj (х, Р ,а)=0; 0 < /> s; Р ; у = Û ; ;г,0(х0,а)=Ю;

/ = Гз; кш(ха,а) = 0; / = 1Д} -критерий эффективности: Jcp, = шш т0 (1.16)

Глава II: основное содержание главы состоит в постановке задачи оптимизации ГИР в терминах вариационного МОП. Оптимальное решение поставленной задачи имеет вид: Jopl = min т„, (2.1)

где: rt - допустимое проектное решение, R - допустимое множество проектных решений, J - критерий эффективности,

Задача оптимизации проектного решения ГИР практически сводится к поиску допустимого решения, при котором критерий оптимальности J = mo,

являющейся в тоже время одним из проектных параметров, достигает минимального значения J = m ^. В терминах вариационного МОП критерий:/ = т„ называется функционалом. Условия физического (1.2) и функционального существования (1.5)-(1.7) характеризуются как уравнения связи. Предельные значения проектных параметров (1.13) выражают замкнутую область изменения составляющих вектора параметров: а = {а,}, (2.2) причем: a = (2.3)

т.е. я1гап <а, <aimx,i = ij. (2.4)

Для учета этого фактора используется формальный прием, позволяющий заменить условия (2.4) условиями в виде равенств: (*,-«,-)■ («,--«,)-"¿=0,« = £7 где: wm - условный параметр, причем когда

К, = 0 => а, = altm ИЛИ а, = aima; 0 => а1<т < а< а1т1Х . (2.5)

Если к уравнениям связи добавить граничные условия (1.8)- (1.10), то придем к вариационной задаче с условным функционалом, в ней присутствуют вектор параметров (2.3), независящих от /, с ограничениями (2.4), вектор фазовых переменных, а также функция управления u(t)=P(t) с ограничениями: 0 < P{t) u^, = Р0. (2.6)

Здесь следует обратить внимание на важную особенность условия (2.6), в которой в качестве и^ выступает проектный параметр - номинальная тяга Р0 двигателя. Это позволяет в результате решения вариационной задачи определить не только и^, но также ее оптимальное значение.

Глава III: в ней разработан алгоритм вариационного метода оптимального проектирования ГИР. В соответствии с теорией вариационного метода оптимального проектирования [38], составим безусловный функционал

\

I: 1 = т +В +Я + \Ф dt, (3.1)

о л л J л 4 '

где: Вл - лагранжиан условий физического существования, Фд - лагранжиан условий функционального существования, Пл - лагранжиан граничных

условий и взаимодействия условий физического и функционального существования. Они образованы таким образом, что Вл = 0; Пл - 0; Фд = 0.

Лагранжиан условий физического существования В имеет вид:

К'

а + и т

то кои | пн

1 + а

а + и

| то ^ кон

1 + а

1 + а т

г I I ^ то о V т / го о I

ц -Ь- и )\+ г \т -а т ■ и )+ г • 1т -у • Я)+

"л V лг " то то о./г£' < " ду ' ду о/

,и ,т ,ц ,т ,</) + Х •[/-/(»',

"оя гг£' ду кон о /i б 1 у

(3.2)

+ Ж -я)-(р-р -а )-(и -а)-и*21=0

лр Опт о ' * О Отш' р> и/ пап' "я» т J

где:г,,/ = 1,т(т = 6),^,, - постоянные коэффициенты Лагранжа.

Лагранжиан условий функционального существования Ф имеет вид: Ф = А -К + А А + Я ш(0-Я = 0, (3.3)

Я = Я

р-

+ А -К-А -о-

■> 1 '

Я т г

уд о "

(3.4)

т и т -и

о ^ о п

где-. А, (/)>'" = 1....3 - переменные коэффициенты Лагранжа. Здесь функция управления Р с областью ограничения (2.6) заменена функ-

(3.5)

р(Л

цией управления р :р = —±1(0< р£1) Рц

Лагранжиан краевых условий П имеет вид:

П, = Л,,-КК

(3.6)

где р01,1-1,-,3= 1,..,2 - постоянные коэффициенты Лагранжа. Глава IV: в этой главе представлена теоретическая модель оптимального решения на основе вариационного метода МОП ГИР.

Основные результаты, полученные в четвертой главе, следующие: 1. Уравнения Эйлера-Лагранжа [38]

Л-Л---

т„ -ц д¥ т„- ц дп

—\рри-х) (4.1)

т„ц

В связи с независимостью (автономностью) / в явной форме от г, система уравнения Эйлера-Лагранжа (4.1) имеет первый интеграл Н =-С , при-

чем Со - постоянная интегрирования. Так как функционал равен У = посредственно не зависит от ¡к, то Со = 0, и гамильтониан (3.4) равен:

Н = X ■

р-

-г

+А У-Л р

Р т

уд ° а

- = 0.

т -и т ■ ц

о п о ^

2. Условия трансверсальности [38]

при 1=10: Д,0 =~р01,Л20 =-ро2.Ло =~Рог

приг = г:

я

3. Условия оптимальности проектных параметров [38]

а + и

I то ^кон

1 + а

то

т г Р

пн | ду о

-у о -М

Лз т 'гх

т -х--+

Л> дт

р-Р

т и т • и

\ ч ^ о

-X

то о

Р-Р

• Л

ЪР гп £

УД 0 е

Л = 0,

Р ,+Х.+Х,= О,

о2 i 2

X ~Х -о "I ~Х---о т =0,

л2 3 то о л5 ощ то о ' то

Х-Х-—-= 0,

дт

ду

у +Р

• т/ I

ду

' п

х,-

ду ° ЭР

_о_

(1 + а )т

4 то' о

-+х-

ду )

• т/

у +Р

' ду а др

I-г ЬР -Р -Р )+

О Отах Опт'

4)

М 8-Р

рЛ = О,

уд у

дХ

т -и Ы

\ О о/

Л = 0,

т и не-

0

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9) (4.Ю)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

■" = 0' р р

(4.14)

причём

(4.15)

Опвх *

(4.16)

Здесь приняты х= О.' = 1.6 • 4. Условия оптимальности функции управления и(() = />(;); принцип максимума Л.С.Понтрягина, условие Еейерштрасса Принцип максимума Л.С.Понтрягина [35], [38]

В соответствии с принятыми ограничениями на область изменения функции управления р (О £ и(<) = р й 1), для определения оптимального значения и(/) = р (при каждом значении * нужно обращаться к принципу

максимума Л.С.Понтрягина= Н(Л,х,и,а)Л = 1,/ (4.17)

' «(еО

где и" (/)- оптимальное значение ¡-ой функции управления в данный

момент времени, приводящее среди допустимых значений и (0 гамильтониан

Н к точной верхней границе.

Условие Вейерштрасса [38]

При исследовании принципа максимума Л.С.Понтрягина полезно принимать во внимание условие Вейерштрасса, позволяющего в некоторых случаях облегчить нахождение оптимального значения функции управления и"(/), которое представим в виде: н{х,х,и ,а)> н(Я,х,и,а) (4.18)

Глава V: в этой главе разработан алгоритм выполнения условий оптимального управления тягой и условий оптимальности проектных параметров.

На основе принципа максимума Понтрягина и условия Вейерштрасса, условия оптимального управления можно привести к виду:

Н'р = sup Нр ИЛИ H'F = sup Hp, H'P~2.HP,

0iP{t%Pa OiflSi

p p p-p pp

где: H = A —-—A----или Я = A--°—Я--2—,

' 1 т р 3 Р т g F 1 т ц 3 Р т g

л ' vn п ° л г зд О

(5.1)

— Я •

УД о р'

Я =/1 ■ ' 1 от и ' Р т ■ г

О ^ УД О °

Условия оптимальности при t = ta

р X.

р'р р'р

или Я = А--°—Л -

р 1 т и 3 Р т g

О п УД с °

Гамильтониан Н: я = А

+ А -Г -А -:-

г. « ъ* р т .д

vn п °

= 0 (5.2)

Пренебрегая в первом приближении силой сопротивления X и учитывая условие трансверсальности (4.5) на конце активного участка полета ГИР, можно записать при / = :

' Л А

Н = Н =Р р

А

т ■ и Р -т •g

О К уд О

= 0,

при ! = /„.: Н = —^ Лз° =0, (Нр =~-)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

при г = /0+: Я = 0 или р = О Условия оптимальности p(t) (или p(t)), при г, е (t0, ta)

На основе условия Вейерштрасса можно утверждать, что при P{t)>0

(или P{f)>0): я = p(t\

А —---А ■- 1

m и 3 Р т -г

" ^ уд о ",

>0,

Я = А —!--А---->0

(5.6)

(5.7)

о уд о

Для выполнения принципа максимума Понтрягина обратимся к иссле-

дН дИ х дованию производной —-: —р---'

А Р дР

ЭР дР т ц Р т g Рг т g дР

О ^ уд о ° уд 0

(5.8)

дР

В соответствии с дроссельной характеристикой ДУ имеем -^->0.

Видно, что знак вполне зависит от знака А, на интервале г, е(/„,/„). На

основе доказательства Я^>0 на всем интервале е('„.'„), приведенного в

диссертации, доказано (при /, е('„.О) ™>0. Режимом оптимального

управления силой тяги, отвечающим требованиям принципа максимума Пон-трягина, условиям Вейерштрасса и в соответствии с дроссельной характеристикой ДУ, является только режим максимальной тяги Р' (/,) = Р0 или р = 1. Определение Р0'(*0) при < = <„

Я при t = t0 равно:

Я •——Л

Р т g

уд 0 s

— А

К 1 —

при /0 значение К0 0, что

Л -Л--—

ю 30 г Р

" vr.

--л g

in °

Учитывая А,0 > О, равенство:Р = т^ • g ■Р^ имеем:

дН

дт

J_ т

(A g-P -А )+А g-m

\ IS ° УД 30/ "1 °

ар

_уд

10 = уд 30/ 10 ° ts от

>0.

+ А V = 0 (5.9)

20 0 4 7

(5.10)

(5.11)

Условие принципа максимума Понтрягина Н"р I = sup НР реализуется при равенстве: Р' (/„ )= Р0, что в соответствии с дроссельной характеристикой

ЭР

приходим к условию:

дт

= 0.

Таким образом, оптимальным уравнением тягой при / = г0 является режим максимальной тяги Р0.

Условия оптимальности проектных параметров ГИР при допущении ^опип < ро < -Рот» сводятся к уравнениям:

1——[Я т 3<

а + и

то ^кои

1 + а

X

+ (л

* 1 т -и ; т

П ' А

и Р -г

г уд 6

д(Р у )

4 о ' лу'

дР

, (

1+А

-л = Г

3« 1

я г-Р,

А,причем

д(Р у ) дт

у о ' ду' _ ду

ду

дР

дР

Л]=0, (5.12)

(5.13)

В работе показано, что полученное, согласно принципу максимума Понтрягина, условие оптимальности управления тягой Р' (г,) = я„ соответствует и условию (5.13).

Варианты выполнения условий оптимальности проектных параметров в пределах: Р^ <Р0< Р0шх. дт

1. При —— >0 возможно в допустимых для математической модели ГИР

о

пределах определить такое значение Р0, при котором выполняются условия оптимизации проектных параметров и т„= т01ш,, а Р0 = Р0ор,.

дт

2. Если Р0 незначительно влияет на увеличение т , т.е: —— -»0 то, пред-

ду

б(Р ■у )

' о ' ду'

дР

ставляя уравнение (5.13) в виде: -Л^= ]

/< 8-Р,

ДУ

г-Р т

можно показать, что оптимальным значением тяги Р0 является Р,]тх.

дт

3. Если Р0 значительно влияет на увеличение т^, т.е:—ао то можно

о

показать, что оптимальным значением номинальной тяги Р0 является Р0гт.

Глава VI: в этой главе сформирована краевая задача выбора облико-вых характеристик ГИР. Обращение к краевой задаче означает переход от теоретических исследований выполнения условий стационарности безусловного функционала (которые связанны с уравнениями Эйлера-Лагранжа, с условием оптимизации режима управления силой тяги в виде принципа макси-

мума Понтрягина, с условиями оптимизации проектных параметров, трансверсальности) к получению численных результатов, определяющих численные значения оптимального режима управления силой тяги и численные значения оптимальных проектных параметров, а также численных значений оптимальных фазовых переменных и их значений в конце активного участка полета К(/о),Л(/а) и Расчеты должны проводиться при заданном множестве входных данных и данных ТЗ .

Принципиальная трудность в проведении численных расчетов системы дифференциальных уравнений заключается в отсутствии части данных в начальной точке и наличия ряда условий и данных в конце активного полета. Все это говорит о неизбежности перехода к краевой задаче, которая имеет вид:

Начальные условия (при / = 10)

I = 10 = 0; У«0) = Г0 = 0; й(/0) = 0; т„н; Ик; /, (<0) = 0; /г (г0) = 0;

ч1н >

(6.1)

(6.2)

тю = "ттоМтх'' тду =Гду-ро>Гду =/(Р0). Конечные условия ( при / = г „)

(6.3)

-1=0,/,,-1=0/(,''-1 = 0; (6.4)

0 дР

(6.5)

' дт ™ дт ' и 31

ду то \ о

ду

(6.6)

Система дифференциальных уравнений

Л = г

Р

м =--2-

Р т г

уд 0 й 1 ЯУ

(6.7)

Сложность и нестандартность сформированной краевой задачи заключается в следующем:

- конечное значение независимой переменой га не задано;

- в правые части дифференциальных уравнений системы входят параметры (т0 я Р0), значения которых не заданы;

- в конечные условия входят интегральные выражения;

- в системе дифференциальных уравнений и в конечных условиях коэффициенты Лагранжа не нормированы.

На основе преобразований приведем к следующей типовой краевой задаче выбора оптимального проектного решения ГИР, недостающими в которой являются Я, то, А)о. Краевая задача имеет вид:

Начальные условия при г = г„: г = г0,И(г0) = Г0,Л(г0)=0, /,(то)=0,Я20 =1; (6.8)

1-

(6-9)

Конечные условия при г = г„ = 1

V

.Я -р яр 0 i. к

-1 = 0, (6.10)

где:/^]

- + 1

МВт

рЛ +

а/

51

дт (1 + а ) дт

ДУ 4 ТО' л

дХ

Л (6.11)

Система дифференциальных уравнений:

НУ ¿г

рт

/1-т

1-й р кон

йг у" 1 + а

уя 1 + а

г и 8 тп

(1-м )

* ^кон

¿м <1т

йх _

</г

Р т г

уд о °

р

О Р

уя 1 + а

(1~М ) * ^кон'.

р

о

г-т

г-(г+гс Ус р V , _

д '_XV' ! ^ о Л-?*)

1-м

уя 1 + а

2-рто

4 ^ кон'.

1 ~М

ах _2_

¿X

"А.

<1г

2 М"

1 УД 1+ап

8™„

г-г1.

х

I

'-Л

л __!_

М

гс с р у

° XV Я

1 -м

ад 1+а

71

¿Р

-1 = 0 4т

ёт

_0_

¿Г

¿>т г/я

О п в н

1-я

~ к

(6.12)

= 0

аг

Здесь принято =

(6.13)

Решение такой типовой краевой задачи является весьма сложным и продолжительным процессом. Оно может быть более эффективным, когда значения Ро, т^, Лю относятся к допустимым значениям. В ряде случаев

можно значительно улучшить сходимость процесса нахождения решения, обратившись к некоторым допущениям. В частности одним из таких допу-

щений является принятие в первом приближении сх = 0. В этом случае решение краевой задачи представляется в аналитическом виде и сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений:

- проектное уравнение: ¡л -.

а + и т

то ^кои | пи

1 + а т

1 + а

+ = (6.14)

1+а т

т о

- уравнения движения: V +

= 0,

{г-Р У т

У5 уд/ о

- условие окончания активного участка:

- условие оптимальности проектных параметров:

е?ду

■+Р°'~эГ Р,-Руд-У.

1 +--

А

к

1 + а

Я, Я

- условие трансверсальности: * -1 = 0,

причем Я =-Р 1п(и ),я =-я-Рг ■

г 10 уд V*' 30 д уп

1--

(6.15)

= 0, (6.16)

(6.17)

(6.18) (6.19)

= 0.

В результате решения системы нелинейных алгебраических уравнений могут бьггь найдены значения Р , тд, А для решения краевой задачи в первом

приближении. В МаЛСАБ имеется встроенная функция решения систем дифференциальных уравнений, заданных в форме краевых задач. С ее помощью можно лишь преобразовать краевую задачу в форму Коши для определения недостающих на левой границе начальных условий без оценок невязок. Поэтому оптимальное проектное решение, включающее оптимальные проектные параметры и оптимальную фазовую траекторию, может быть оконча-

тельно найдено с помощью программного комплекса, построенного в MathCAD.

Программный комплекс решения проектной задачи содержит: Подпрограмму 1: нахождения первого приближения в результате решения краевой задачи при Сх=0, сводящейся к системе нелинейных алгебраических уравнений (с использованием встроенной функции MathCAD "Find"). Входными данными для этой программы являются только начальные приближения для скорости и высоты активного участка Va и ha, стартовой массы Шо и тяги Р0, (они являются начальными приближениями для решения системы нелинейных уравнений). Выходными данными являются значения стартовой массы и тяги шо и Р0, а также коэффициента Лагранжа Хю и др. Подпрограмму 2: решения краевой задачи, использующую результат выполнения подпрограммы 1 в качестве начального приближения (решение осуществляется с применением встроенной функции "sbval"). Входными данными здесь являются начальные значения стартовых массы и тяги Шо и Р0, и коэффициента Лагранжа Х10, а выходными - их уточнённые значения. В подпрограмму 2 включен вызов подпрограммы 1 с помощью встроенной функции MathCAD "reference" (ссылка на программный объект (MathCAD документ)), которая позволяет хранить вложенные друг в друга результаты расчетов полученные в разных подпрограммах.

Подпрограмму 3: решения задачи Коши с использованием данных подпрограммы 2 для получения и оценки значений невязок, позволяющих сделать выводы по результатам оптимизации проектных решений ГИР (использует встроенную функцию "Rkadapt"). Входными данными здесь являются значения стартовых массы и тяги то и Ро, и коэффициента Лагранжа Хю из подпрограммы 2 , а выходными - оптимальные проектные параметры, оптимальная фазовая траектория, значения невязок, конечные данные полета и условия оптимальности проектных параметров. В подпрограмму 3 включен вызов подпрограммы 2 с помощью встроенной функции "reference".

Блок-схема алгоритма нахождения оптимального решения ГИР в МаЛСАЭ показан на рис. 6.1.

Начальные приближенные h„ V., Р„, Шо, (I,

Исходные данные

а», руд. d Po, В, ftp-Boge'9''

nw h.

ho. Vo,(io

-2--1 = 0, a -u(t ) = 0

Система нелинейных уравнений СЬуеп-РикЗ

Сх = 0 Хг-1

НЕТ

Po, то. Х|0

Краевая задача Load, D(t,x), Score(t,x),Sbval

т

Задача Коши

D(t,x), Rladapt(x,To, r,,n,D)

Ч

У(1),Ь(0,м(0 Невязка

К, V., й,, (.

МО, Mt), f,(t)

M

м

т 1 г

П1о - Шо +Дп\) Коней

Ро=Ро +ДРо Роари ПЧ>«р1

оптимальное про-

ектное решение

Рис. 6.1. Блок-схема алгоритма нахождения оптимального решения ГИР

Некоторые результаты решения двухточечной краевой задачи по определению оптимального проектного решения ГИР в зависимости от коэффициента силы лобового сопротивления ГИР Сх при заданных значениях полезной нагрузки т = 400кг и конечной высоты Ик = 120000м , представлены в таблице № 1.

Таб. № 1

Сх />„(Н) /я0(кг) Мк MTZ mm( кг) m (КГ) ду ' Р. (м/с) ЛДм)

0 23580 1357 0,494 0,506 34,332 188,64 1233 42460

0,1 23890 1395 0,485 0,515 35,921 191,12 1227 43190

0,2 24160 1432 0,477 0,523 37,447 193,28 1222 43900

0,3 24410 1467 0,469 0,531 38,949 195,28 1217 44500

Глава VII: Основное содержание главы состоит в определении влияния коэффициента силы лобового сопротивления с , статистических коэф-

дт

фициентов тТ0,цК0Н и производной массы ДУ —— на оптимальное проект-

о

ное решение ГИР.

Влияние коэффициента силы лобового сопротивления с диапазоном изменения Сх =0+0.3

Рис.7.1

Влияние а (ато= 003,0.035,...О 07)

1

—

г' .

ЭаКааТС % -

Рис.7.2 Рис.7.3

Влияние и (мко„ =0,05-0,15)

б ГП г т'7~г"Г --------- _

ь________

J 2

О S 10 15 20 25 30 3S СХКяаТО*

Рис. 7.4 Рис.7.5

Эт Эу

Влияние производной массы ДУ —— = г + Р —— на оптимальное

v дР w 0 дР

о о

проектное решение ГИР.

Графическое представление оптимального проектного решения ГИР

дт

при изменении производной массы ДУ —— в диапазоне 0,00001- 0,028 при

о

значениях тт = 400кг и hk = 120000л) представлено на рис.7.6 и 7.7.

Рис.7.6

Рис.7.7

Основные результаты работы

1. Разработан вариационный метод и его компьютерный алгоритм, позволяющий проводить оптимизацию проектных решений ГИР в рамках сформированной полномасштабной теоретической модели ГИР на множестве фазовых координат, на множестве проектных параметров и функций управления, взаимосвязанных условиями функционального и физического существования, граничными условиями и условиями ТЗ.

2. Для решения проектной задачи оптимизации, удовлетворяющего теоретической модели ГИР, разработанный вариационный МОП позволил развить ряд важных положений вариационных задач:

- интегральный функционал заменить на функционал в виде проектного параметра стартовой массы ГИР т0,

- существенно изменить формулировку и направленность вариационной задачи за счет дополнения к множествам фазовых переменных и функций управления множества проектных параметров с введением системы проектных уравнений,

- к типовым условиям равенства нулю первой вариации безусловного функционала Sf = 0: уравнениям Эйлера-Лагранжа и условиям трансверсальности добавить условия оптимальности проектных параметров, что имеет принципиальное значение в определении оптимального проектного решения для ГИР.

3. Впервые в вариационной задаче оптимизации ГИР, при определении оптимального управления силой тяги, была учтена дроссельная характеристика двигателя, что позволило однозначно определить оптимальное управление тягой.

4. Фундаментальным результатом разработанного метода является дополнение принципа максимума Понтрягина условием оптимизации граничных значений изменения функции управления P(t).

5. Разработанный вариационный МОП ГИР показал:

- задача оптимизации проектного решения ГИР может дать правильный ответ только при учете взаимных связей условий оптимизации проектных параметров и условий оптимизации режимов движения ГИР,

- выбор оптимального значения номинальной тяги двигателя Ра в открытой области и оптимальных предельных значений Рт и Р0тт во многом зависит от

дт

значения производной ——.

о

6. Разработан программный комплекс (в среде МаЛСАБ) решения нетиповой краевой задачи (конечное значение независимой переменной гк не задано, система дифференциальных уравнений зависит от параметров, условия на конце представлены нелинейными уравнениями и уравнениями, включающими интегральные выражения), позволяющие численным образом определить оптимальное проектное решение ГИР.

7. Проведенная оценка влияния численных значений статистических коэффициентов !лкои, аТО (в пределах возможных изменений ркон, ото на 1520%, численные значения оптимальных проектных параметров отклоняются незначительно, в частности т„ и р0 не более 2%).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Данг Нгок Тхань. Компьютерные исследования вариационного метода оптимизации проектных решений геофизической ракеты с ЖРД. -М.: Материалы второй международной конференции «Авиация и космонавтика » 2004, с 45.

2. Данг Нгок Тхань. Разработка вариационного метода и его компьютерного алгоритма оптимизации проектных решений исследовательского летательного аппарата.- М.: депонирование научных работ в ВИНИТИ №883-В2005.

И 74 2 7

РНБ Русский фонд

2006-4 13620

Оглавление.

Основные сокращения и условные обозначения.

Введение.

Глава I. Математическая модель объекта исследования.

1.1.Состав проектных параметров и проектные уравнения.

1.1.1 Зависимость удельной массы двигателя от тяги.

1.2. Уравнения движения и переменной массы или условия функционального существования.

1.2.1. Дроссельная характеристика ДУ.

1.2.2. Граничные условия полета ГИР.

1.3. Входные и выходные данные проектной задачи.

1.4. Допустимые проектные решения и задача оптимизации.

Глава II: Постановка задачи оптимизации ГИР в терминах вариационного

Глава III: Формирование алгоритма вариационного метода оптимального проектирования ГИР.

Глава IV. Теоретическая модель оптимального решения на основе вариационного метода оптимального проектирования ГИР.

4.1. Уравнения Эйлера-Лагранжа.

4.2. Условия трансверсальности.

4.3. Условия оптимальности проектных параметров.

4.4. Условия оптимальности функции управления и(/)= р(г):принцип максимума Л. С. Понтрягина, условие Вейерштрасса.

4.4.1. Принцип максимума Л.С.Понтрягина.

4.4.2. Условие Вейерштрасса.

Глава V: Алгоритм выполнения условий оптимального управления тягой и условий оптимальных проектных решений.

5.1. Алгоритм выполнения условий оптимального управления тягой.

5.1.1. Условия оптимальности при t = t

5.1.2. Условия оптимальности />(/)(или /?(/)) при t. е (f0,'e).

5.1.3. Определение ^0*(f0) при t = tg.

5.1.4. Определение P*ifQ) при t = tQ.

5.2. Алгоритм выполнения условий оптимальных проектных решений.

5.2.1. Условия оптимизации проектных параметров при допущении

Р <Р <Р и — = 0.

Отгап 0 Oma*

5.2.2. Варианты выполнения условий оптимальности проектных параметров.

5.2.3. Варианты граничных (предельных) решений условий оптимальности проектных параметров.

Глава VI: Краевая задача.

6.1. Формирование краевой задачи.

6.2. Алгоритм решения краевой задачи.

6.2.1. Алгоритмическое построение краевой задачи.

6.2.2. Алгоритмическое построение краевой задачи при допущении С =0.

6.3. программный комплекс оптимизации проектных решений ГИР.

Глава VII: Влияние аэродинамической характеристики и статистических коэффициентов на оптимальное проектное решение.

7.1. Влияние аэродинамической характеристики на оптимальное проектное решение ГИР.

7.2. Влияние статистических коэффициентов на оптимальное проектное решение ГИР.

7.2.1. Влияние а на оптимальное проектное решение ГИР.

7.2.2. Влияние относительной массы конструкционных элементов /л на оптимальное проектное решение ГИР.

7.2.3. Влияние производной массы уду на оптимальное проектное решение ГИР.

Эффективность народнохозяйственных отраслей, таких как сельское, лесное, водное, рыбное хозяйство, геология, нефтяная и газовая промышленность, существенно зависит от изученности и рационального использования природных ресурсов Земли.

Космические аппараты и высотные зонды вследствие большой высоты полета обладают, по сравнению с традиционными средствами исследования земных ресурсов, широкой полосой захвата, высокой оперативностью доставки информации, возможностью наблюдения труднодоступных районов, низкой удельной стоимостью съемки единицы площади. Высокая информативность наблюдения дает возможность быстро и объективно оценивать запасы быстроменяющихся природных ресурсов (запасы снега, растительной массы пастбищ и тому подобное), состояние посевов, лесных массивов, возникновение и развитие опасных природных явлений (наводнений, лесных пожаров, ураганов, циклонов), загрязнение природной среды, что позволяет существенно повысить эффективность народнохозяйственных отраслей за счет своевременного принятия мер по рациональному использованию природных ресурсов и предотвращению ущерба.

В конце 60-х начале 70-х годов усиливаются исследования по определению возможностей дистанционной индикации городов. Целью этих исследований становятся получение оперативной информации о динамике городов и разработка системы мониторинга (системы наблюдения за ними).

Проводимые в указанных целях наземные наблюдения, как правило, локальны, повсеместно их организовать затруднительно. Особенно это касается динамических явлений, быстро изменяющихся в пространстве и во времени. Получаемая только на основе наземных наблюдений информация о воздействии городов на окружающую среду недостаточна. Как правило, это данные о вредном воздействии на природу в отдельных точках. Они не дают полного представления о взаимодействии города и окружающей среды. Изменения экологии городов в настоящее время вызывает необходимость поиска нового подхода к решению этой проблемы.

Дистанционные изображения содержат обобщенную информацию, позволяющую понять взаимосвязь многих отдельных явлений. Они дают необходимую пространственную информацию о ландшафтах и различных его компонентах: геологическом и геоморфологическом строении, почвенном покрове, растительности и т.д.

С помощью снимков могут быть составлены карты природных процессов и явлений в различных масштабах. При этом особенно важно отметить их большую обзорность, позволяющую изучать распространение динамических природных явлений на протяжении нескольких десятков и сотен километров.

Очерченная сфера деятельности космических аппаратов и высотных зондов непосредственно связанна с проблемами Земли, причем в ряде случаев космическая техника является едва ли не единственным (но в любом случае несомненно эффективнейшим) средством для принятия мер по предотвращению и защите от природных катаклизмов, которые в последнее время не редкость на нашей планете, для проведения систематических наблюдений и исследований земной поверхности или отдельной ее области.

Наиболее распространенным средством наблюдения из космоса и проведения космических исследований являются спутники. Об их преимуществах и недостатках достаточно сказано в научной литературе, и нет смысла повторяться, однако заметим, что их авторитет в области решения глобальных задач с орбиты Земли на данный момент непоколебим. Однако в настоящее время многие государства, находящиеся в трудном экономическом положении, вынуждены экономить на многих важных государственных программах, а запуск спутника является очень дорогостоящим предприятием.

Выход из данной ситуации может быть в разработке новых проектов, стоимость которых была бы дешевле, а объем выполняемой работы являлся достаточным для решения некоторых наиболее насущных проблем, связанных с проведением высотных исследований.

Геофизические исследовательские ракеты (ГИР), занимающие свою нишу в решении этих задач, относительно просты, имеют более дешевую конструкцию, что позволяет в кратчайший срок создавать модификации ракет из недефицитных материалов с целью максимального удовлетворения требованиям проводимого исследования. Эксплуатация ГИР возможна в различных климатических поясах при сохранении их мобильности. Информация при полете ГИР может быть получена непрерывно в диапазоне высот до 200 км. Поступающая информация является оперативной, что очень важно при изучении и получении информации о кратковременных явлениях.

Процесс проектирования ГИР связан с раскрытием и изучением внутренних связей между различными его характеристиками и с таким совокупным (комплексным) их выбором, при котором вся совокупность полученных характеристик будет определять оптимальный облик ГИР.

В связи с этим возникает необходимость построения такой модели задачи проектирования, которая включала бы в себя все требования проектирования современных ГИР на рассматриваемом этапе проектно-конструкторских разработок и позволяла бы, несмотря на вводимые допущения, вызывающие некоторую идеализацию исследований, с полным основанием использовать результаты анализа при проектировании данного реального объекта.

При построении математической модели необходимо строго определить лишь тот круг взаимосвязей, который определяющим образом влияет на выбранный критерий оптимальности, поскольку излишняя детализация, сильно усложняющая решение задачи, может не привести к качественно новым результатам.

В практике проектирования ГИР наибольшее распространение в качестве критерия оптимальности получили следующие условия:

1. условие обеспечения определенной высоты полета ГИР при заданной массе полезной нагрузки с минимальным значением суммарной стартовой массы;

2. условие получения максимальной массы полезной нагрузки при заданных стартовой массе и высоте полета;

3. условие получения максимальной высоты полета ГИР при заданных массе полезной нагрузки и суммарной стартовой массе .

При использовании проектировочных критериев массы каждой из составных частей ГИР может быть выражен как функция проектных параметров.

Поставленная в задании на проектирование задача может быть выполнена при практически неограниченном числе сочетаний фазовых переменных, функций управления, проектных параметров. Однако не все они будут оптимальными. В результате же решения задачи должна быть найдена только одна (оптимальная) взаимозависимая совокупность проектно-баллистических характеристик.

Современное проектирование ГИР базируется на различных математических методах, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Разнообразие математических методов является вполне естественным, поскольку процесс проектирования является многогранным, а требования, предъявляемые к решаемым задачам, могут быть различными. К тому же определённое значение имеют традиции, сложившиеся в тех или иных конструкторских коллективах. Поэтому сейчас трудно выделить какой-нибудь один метод, как наиболее приспособленный для решения ряда задач оптимизации ГИР.

Одним из методов вариационного исчисления, который уже около двух десятилетний успешно применяется при решении задачи оптимизации режимов движения ГИР, связан с управлением тягой.

Первый американский исследователь в области ГИР Р.Г. Годдард [8], [15] в своей работе «Метод достижения очень больших высот» впервые обратил внимание на проблему программирования тяги. Задача, сформированная им, может быть представлена в следующем виде: какова должна быть зависимость скорости ГИР от времени, чтобы при данной полезной нагрузке достигнуть заданных высоты и скорости таким образом, чтобы начальная масса ГИР была минимальной?. При математическом исследовании этой проблемы Годдард рассматривал идеализированный ГИР в виде прямого кругового конуса, в верхней части которого размещена полезная нагрузка. Оболочка ГИР непрерывно отбрасывается (с нулевой скоростью относительно остающейся части ракеты) по мере продвижения фронта горения топлива.

Годдард доказал существование минимальной начальной массы (т.е. минимума топлива), необходимой для того, чтобы поднять заданную полезную нагрузку на установленную высоту путем следующих рассуждений:

Допустим, что на некоторой высоте по пути подъема ГИР скорость подъема будет очень велика. Тогда сила сопротивления воздуха (пропорциональная квадрату скорости) также будет очень велика. С другой стороны, при очень малой скорости подъема в течение длительного периода времени нужна будет сила для уравновешивания силы тяжести. В обоих случаях требуемый запас топлива будет очень велик. Отсюда следует, что скорость подъема должна иметь строго определенное значение в каждой точке пространства».

Годдард выдвинул положение, что определение зависимости оптимальной скорости от времени представляет новую и еще нерешенную задачу вариационного исчисления. Поэтому он отказался от строгого решения и предложил приближенное решение этой задачи. Необходимо отметить, что основные допущения Годдарда состоят в том, что аэродинамическое сопротивление, сила тяжести и ускорение принимались постоянными на большом числе участков траектории. В последнее время другие исследователи (в том числе Тзян и Эванс [43], Лейтманн [24] и др.) исследовали необходимые условия существования минимальной начальной массы ГИР, необходимой для полета на заданную высоту при заданной массе пустого ГИР вариационным исчислением.

В 1927 г. Г. Гамель [6] решал методами вариационного исчисления задачу Годдарда [8], формулируемую следующим образом: заданы конечная масса ГИР т , максимальная высота полета ГИР Я, начальная скорость V и постоянная скорость истечения газов V . Требуется определить минимальное значение начальной массы ГИР.

В 1951 г. С. Тзян и Р. Эванс решали [43] задачу об оптимальном регулировании тяги высотной ракеты-зонда и сделали вывод о том, что во всех случаях оптимального режима полета существует определенная начальная скорость, которая должна создаваться начальным (разгонным) импульсом тяги.

В 1956 г Г. Лейтманн решал [23] задачу об оптимальном регулировании тяги высотных ГИР и пришел к выводу: идеальная программа изменения тяги по времени может быть заменена приближено соответствующей ей реальной программой с разгоном при большой конечной тяге вместо импульсного разгона; при этом максимальная высота полета ГИР уменьшается незначительно. Вопрос о целесообразности программирования тяги и соответствующего усложнения системы регулирования двигателя для увеличения максимальной высоты полета ГИР сверх достижимой при наиболее выгодной постоянной тяге следует решать отдельно в каждом конкретном случае. Далее Г. Лейтманн решил задачу Годдарда методами вариационного исчисления для исследования соотношений, необходимых для нахождения минимальной начальной массы ГИР, и, наконец, он решил задачу об оптимальных траекториях для высотной ГИР с отделяющимся ускорителем.

Таким образом, задача об оптимизации режимов движений ГИР, связанная с управлением тягой, уже много десятилетий была предметом рассмотрения многих известных ученых. Однако их решение оптимального управления содержит ошибки методического характера, так как не учитывалась связь величины тяги с характеристиками массы двигателя ГИР и другими параметрами. Поэтому дальнейшее рассмотрение постановки задачи оптимизации проектных решений ГИР является актуальным и представляет научный интерес.

В последующее время вариационные методы нашли отражение в многочисленных работах русских и зарубежных авторов.

Вариационный метод оптимального проектирования (МОП) может быть использован для поиска оптимальных решений проектных задач с различными математическими моделями объектов проектирования проектных процедур при дифференциальных и смешанных связях [38].

Используя вариационные методы при решении задач оптимизации ГИР, исследователи учитывают, что этот метод наиболее полно отвечает специфическим особенностям таких задач, включающим различного рода ограничения, большое количество связей и противоречивых тенденций. Кроме того, исследователей привлекает тот факт, что вариационная задача позволяет ещё до конца её решения получить ряд важных выводов и рекомендаций.

Последние работы по оптимизации параметров ГИР свидетельствуют о существенной эволюции проводимых исследований, связанных не только с обогащением теории вариационного исчисления новыми разработками [42], [40], [38] но и со всеми возрастающими возможностями вычислительной техники. Эти обстоятельства позволили значительно расширить и углубить возможности вариационного метода оптимизации ГИР, в результате чего оказалось возможным перейти от решения чисто теоретических задач к решению практических задач оптимального проектирования ГИР.

Первым шагом в этом направлении явилась работа [42], в которой указывались на необходимость и возможность совместной оптимизации баллистических характеристик и параметров.

В работе [38] математическая модель ГИР представлена в широком плане и учитывает фазовое пространство, пространство функций управления и пространство проектных параметров, что позволяет рассматривать вариационную задачу как задачу оптимального проектирования на начальной стадии проектно-конструкторских разработок.

В данной работе исследуется задача оптимального проектного решения ГИР, в частности, для подъема заданной полезной нагрузки на заданную высоту при минимальном стартовом весе, базирующейся на вариационном методе оптимального проектирования МОП.

В первой главе строится математическая модель ГИР, описывающая взаимосвязь между собой проектных уравнений, уравнений движения и переменной массы и граничных условий полета ГИР.

Во второй главе рассмотрена постановка задачи оптимизации ГИР в терминах вариационного МОП.

В главе III представлен алгоритм вариационного метода оптимального проектирования ГИР.

В главе IV представлена теоретическая модель оптимального решения на основе вариационного МОП ГИР. Рассмотрены уравнения Эйлера-Лагранжа, условия трансверсальности, условия оптимальности проектных параметров и условия оптимальности функции управления- принцип максимума JI.C. Понтрягина и условие Вейерштрасса.

В главе V разработан алгоритм выполнения условий оптимального управления тягой и условий оптимальности проектных решений.

В главе VI сформирована краевая задача выбора обликовых характеристик ГИР.

В главе VII показано влияние коэффициента силы лобового сопротивления, статистических коэффициентов на оптимальное проектное решение ГИР.

Работа имеет приложение, в котором в качестве частного примера дан расчет задачи оптимизации проектных решений ГИР.

При выполнении данной работы учитывались рекомендации и методические разработки по проектированию современных ГИР, а также некоторые теоретические исследования, выполненные на кафедре 608 Московского авиационного института (государственного технического университета).

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации докладывались на научно-технических семинарах профессорско-преподавательского состава кафедры «Проектирования аэрогидрокосмиче-ских систем» МАИ.

По материалам диссертации сделан доклад на международной конференции « Авиация и космонавтика - 2004» (Москва, ноябрь 2004г), и представлена депонированная научная работа в Всероссийский Институт Научной и Технической Информации Российской академии наук (ВИНИТИ), 2005.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан вариационный метод и его компьютерный алгоритм, позволяющий проводить оптимизацию проектных решений ГИР в рамках сформированной полномасштабной теоретической модели ГИР на множестве фазовых координат, на множестве проектных параметров и функций управления, взаимосвязанных условиями функционального и физического существования, граничными условиями и условиями ТЗ.

2. Для решения проектной задачи оптимизации, удовлетворяющего теоретической модели ГИР, разработанный вариационный МОП позволил развить ряд важных положений вариационных задач:

- интегральный функционал заменить на функционал в виде проектного параметра стартовой массы ГИР т0,

- существенно изменить формулировку и направленность вариационной задачи за счет дополнения к множествам фазовых переменных и функций управления множества проектных параметров с введением системы проектных уравнений,

- к типовым условиям равенства нулю первой вариации безусловного функционала 81 = 0: уравнениям Эйлера-Лагранжа и условиям трансверсальности добавить условия оптимальности проектных параметров, что имеет принципиальное значение в определении оптимального проектного решения для ГИР.

3. Впервые в вариационной задаче оптимизации ГИР, при определении оптимального управления силой тяги, была учтена дроссельная характеристика двигателя, что позволило однозначно определить оптимальное управление тягой.

4. Фундаментальным результатом разработанного метода является дополнение принципа максимума Понтрягина условием оптимизации граничных значений изменения функции управления Р(/).

5. Разработанный вариационный МОП ГИР показал:

- задача оптимизации проектного решения ГИР может дать правильный ответ только при учете взаимных связей условий оптимизации проектных параметров и условий оптимизации режимов движения ГИР,

- выбор оптимального значения номинальной тяги двигателя Р0 в открытой области и оптимальных предельных значений Р^ и Р0т[а во многом зависит от дт

ЛУ значения производной £ -. о

6. Разработан программный комплекс (в среде МаЛСАО) решения нетиповой краевой задачи (конечное значение независимой переменной не задано, система дифференциальных уравнений зависит от параметров, условия на конце представлены нелинейными уравнениями и уравнениями, включающими интегральные выражения), позволяющие численным образом определить оптимальное проектное решение ГИР.

7. Проведенная оценка влияния численных значений статистических коэффициентов /икон, аТО (в пределах возможных изменений /лКон-> ато на 1520%, численные значения оптимальных проектных параметров отклоняются незначительно, в частности т0 и Ра не более 2%).

82

1. Авдуевский В, С , Успенский Г. Р. Народнохозяйственные и научные космические комплексы.- М.: Машиностроение 1985.

2. Алеексеев В. М., Тихомиров В.М. и Формин СВ. Оптимальное управление.- М.: Паука 1979.

3. Алемасов В. Е., Дрегалин А.Ф. и Тишин А.П. Теория ракетных двигателей, третье издание/ Под редакцией В.П. Глушко.- М.: Машиностроение 1980.

4. Аппазов Р.Ф., Лавров С., Мишин В.П., Баллистика управляемых ракет дальнего действия. - М.: Наука, 1966.

5. Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов. -М.: Высшая школа, 1983.

6. Гамель Г.Об одной задаче вариационного исчисления, связанной с движением ракет.- Berlin: vol 1, 1927.

7. Гахун Г.Г., Баулин В.И., Володин В.А,, Курпатенков В.Д., Краев М.В. и Трофимов В.Ф. Конструкция и проектирование жидкостных ракетных двигателей.- М.: Машиностроение, 1989.

8. Годдард Р., Метод достижения очень больших высот. Goddard R., А Method of Reaching Extreme Altitudes, Smithsonian Misc, Coll., 1919, vol.71, No.2.

9. Димитрий Кирьянов Самоучитель MathCAD 11. - Санкт-Петербург, 2004.

10. З.Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели. - М.: Машиностроение 1968. И.Игнатенко В.И., Позин А.А. Современные исследовательские ракеты.-М.: Наука, 1975.

11. Исследование оптимальных режимов движения ракет, сборник переводов иностранных статей/ Под ред. И.П. Садовского. - М.: Изд-во Оборонной Промышленности, 1959.

12. Космическая техника под редакцией Сейферта Г.(8расе Technology, edited by Howard S. Seifert).-M.: Наука, 1964. П.Космодемьянский A.A., Механика тел переменной массы. - М.: Воен-издат, 1949.

13. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Вариационное исчисление. - М.: Изд-во УРСС , 2002.

14. Краснов Н.Ф. Аэродинамика.- М.: Высшая школа, 1980.

15. Краснов Н.Ф. Основы аэродинамического расчета.-М.: Высшая школа, 1981.

16. Кудрявцев В.М.Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей - М.: Высшая школа, 1993.

17. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов.-М.: Машиностроение, 1973.

18. Лейтман Г., Введения в теорию оптимального управления. Пер. с англ К.А Лурье. Главная редакция физико-математической литературы - М.: Наука, 1968.

19. Лейтман Г., Решение задачи Годдарда методами вариационного исчисления. Leitmann G., А Calculus of Variations Solution of Goddard's Problem, "Astronautica Acta", 1956, vol. II, Fasc.2.

20. Лоуден Д., Оптимальные траектории ракеты. Lawden D., Stationary Rocket Trajectories, " Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics", 1951, vol. 7, Part IV.

21. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета/ Под редакцией Дж. Лейтмана и др. Пер. с англ. Главная редакция физико-математической литературы. - М.: Наука, 1965.

22. Микеладзе В. Г., Титов В. М. Основные геометрические и аэродинамические характеристики самолетов и ракет (справочник).-М.: Машиностроение, 1982.

23. Мишин В.П., Панкратов Б.М., Родионов А.Д., Определение основных проектных параметров ракет-носителей. - М.: Изд-во Труды МАИ, 1968.

24. Основные данные зарубежных исследовательских ракет по материалам открытой иностранной печати, 1972. ЗЗ.Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет, т.Х, вып.2. - М.: Изд-во Прикладная математика и механика, 1946.

25. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мисцнеко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961.

26. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. Главная редакция физико-математической литературы. - М.: Наука, 1989.

27. Румянцев СВ. Исследование экономичность полета и скороподъемности самолета с турбореактивными двигателями. - М.: Обронгиз, 1958.

28. Ракетно-космическая корпорация, "Энергия" имени П. Королева (1945-1996).-М.: МЕНОНСОВПОЛИГРАФ. с 670.

29. Тарасов Е.В. и Балык В.М. Методы проектирования летательных аппаратов. - М.: Изд-во МАИ, 2000.

30. Тарасов Е.В., Балык В.М,Устинов А. и Шипов О.В. Методы оптимизации обликовых характеристик технических объектов на примере ЛА и ДСА. - М.: Изд-во МАИ, 1992.

31. Тарасов Е.В.Алгоритмы оптимального проектирования летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1970.

32. Тарасов Е.В., Устинов А.и Шипов О.В. Общее проектирование двух- средных аппаратов. - М.: Изд-во МАИ, 1992.

33. Тарасов Е.В. Оптимальные режимы полета летательных аппаратов. - М.: Оборонгиз, 1963.

34. Тзян и Эванс Р., Оптимальное программирование тяги высотной ракеты. Tsien И. and Evans R., Optimum Thrust Programming for a Sounding Rocket, "Journal of American Rocket Society", 1951, vol.21, No.5.

35. ХИЛТОН У.Ф., Аэродинамика больших скоростей. - М.: ИЛ, 1965.