автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Оптимальное проектирование конструкций башенного типа

На правах рукописи

КЛЮЕВ Сергей Васильевич

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ БАШЕННОГО ТИПА

Специальность 05.23.01 — Строительные конструкции, здания и

сооружения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Белгород - 2006

Работа выполнена в Белгородском государственном технологическом университете им. В.Г. Шухова

Научный руководитель: - доктор технических наук, профессор

А.Г. Юрьев

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

В.А. Гордон

- кандидат технических наук, доцент АЛ. Ахтямов

Ведущая организация: - Воронежский государственный

архитектурно строительный университет, г. Воронеж

Защита состоится 21 дек.а«*ря 2006г. а 10.00 на заседании диссертационного совета Д 212.014.01 в Белгородском государственном технологическом университете им. В. Г. Шухова по адресу: 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46, БГТУ им. В.Г. Шухова, главный корпус, ауд. 242.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова.

Автореферат разослан ^ ноября 2006 г.

Ученый секретарь __

диссертационного совета ■■ — — Г.А. Смоляго

Актуальность темы исследования. В настоящее время теория оптимального проектирования является одним из актуальных и развивающихся разделов в механике деформируемого твердого тела, на которой базируются проектные расчеты строительных конструкций. Число публикаций в этой области постоянно увеличивается. Тем не менее проектированию конструкций башенного типа уделяется недостаточное внимание.

В задачах оптимизации стержневых пространственных систем осуществляется управление основными характеристиками конфигурации, в том числе рассосредоточение массы по площадям поперечных сечений.

Значительное развитие теории оптимального проектирования стержневых конструкций связано с совершенствованием вычислительной техники. Появление быстродействующих вычислительных машин способствовало интенсивному применению методов вариационного исчисления, математического программирования, оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи оптимизации стержневых конструкций.

Процедура оптимизации по своему характеру часто является итерационной в силу высокого уровня нелинейности задачи. Преобразование переменных проекта производится в соответствии с избранными критериями оптимальности.

Если усилия в элементах конструкций в значительной мере чувствительны к размерам их поперечных сечений, как это наблюдается в многостержневой статически неопределимой ферме, представляющей конструкцию башенного типа, то может потребоваться большое число итераций для достижения оптимального проекта. В целях совершенствования этого процесса в последнее время привлекаются эволюционные стратегии.

Цель диссертационной работы заключается в разработке способов и алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статических и динамических нагрузках с использованием физически обоснованных критериев оптимальности и усовершенствованных эволюционных стратегий оптимизации.

Для достижения поставленной цели поставлены следующие задачи:

1. Представление критерия оптимальности стержневых систем на основе общефизического принципа стационарного действия.

2. Формирование системы уравнений для оптимального проектирования конструкций башенного типа.

3. Совершенствование эволюционной стратегии оптимизации строительных конструкций.

4. Построение эволюционного алгоритма оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении.

Построение алгоритма расчета конструкции башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.

б. Реализация эволюционного алгоритма оптимального проектирования башен при статическом и динамическом нагружениях.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

— энергетический подход к разработке критерия оптимальности стержневых систем;

— вариационная постановка задачи структурного синтеза конструкций башенного типа;

— эволюционная стратегия оптимизации с переменной длительностью существования индивидов;

— эволюционный алгоритм оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении;

— алгоритмы расчета и оптимального проектирования конструкций башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.

Достоверность результатов основывается на соответствии положений работы вариационным принципам механики деформируемого твердого тела, эволюционной теории, а также в непротиворечивости результатов оптимизационных расчетов известным решениям.

Практическая ценность результатов исследований. Результаты данной работы позволяют эффективно вести оптимальное проектирование строительных конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагруженнях. Полученные результаты и основанные на них рекомендации позволяют повысить надежность и экономичность конструкций башенного типа. При внедрении результатов работы в производство достигнуто обеспечение оптимального распределения материала, реализованное на основе предложенной методики расчета конструкций башенного типа. При этом достигнута экономия материала на 15-20 % в связи с оптимизацией геометрии и параметров элементов башни. Результаты работы использованы также в учебном процессе в дисциплинах строительного профиля.

Положения, выносимые на защиту работы:

— энергетический критерий оптимальности стержневых систем, моделирующих конструкций башенного типа;

— система нелинейных уравнений из вариационной постановки задачи структурного синтеза стержневой системы и программа для ее решения;

— введение в эволюционную стратегию оптимизации переменной длительности существования индивидов (проектов); .

— алгоритмы оптимального проектирования башен при статическом нагружении, линейных и нелинейных колебаниях и их реализация.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследований и основные материалы диссертационной .работы доложены на II Международном студенческом форуме (Белгород, 2004); на региональных научно-практических конференциях (Старый Ос кол, 2004 — 2006); на Международной научной конференции (Старый Оскол, 2004); на межвузовской молодежной конференции (Набережные Челны, 2005); на 5-м Всероссийском семинаре "Проблема оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2005); на Международных научно-практических конференциях "Современные технологии в промышленности строительных материалов и строй индустрии" (Белгород, 2003, 2005); на Всероссийской выставке научно-

технического творчества молодежи при поддержке ЮНЕСКО (Москва, 2005). Материалы диссертационной работы были представлены на открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (г. Новосибирск, 2002 — 2004; Томск 2004); на областном конкурсе научных молодежных работ "Молодежь Белгородской области" (Белгород, 2002 - 2006).

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 14 работ, в том числе 1 монография и 1 статья в издании, входящем в перечень ВАК.

' Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация содержит 153 страницы основного текста, в том числе 13 таблиц, 26 рисунков, 150 наименований литературы и 3 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается общая характеристика работы. Приводятся цели и задачи исследования, определяются научная новизна и достоверность результатов работы. Аргументируется практическая ценность диссертации, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дано современное состояние проблемы оптимизации строительных конструкций и, в частности, конструкций башенного типа.

Представлены аннотации работ по избранной теме, авторами которых являются Н.В.Баничук, В.А.Гордон, Г.И.Гребенюк, В.А.Игнатьев, В.П.Малков, Я.И.Ольков, А.В.Угодчиков, А.П.Филин, И.С.Холопов, В.Г.Шухов, А.Г.Юрьев, Я.Арора, К.Мажвд, Ф.Ниордсон, Ф.Отто, В.Прагер, Э.Хог, Л.Шмит и др.

Обращено внимание на современные тенденции в оптимизации строительных конструкций, в частности, иерархический подход к синтезу систем и эволюционные стратегии оптимизации.

Указаны характерные ограничения при проектировании оптимальных систем, касающиеся -напряжений, перемещений, деформаций, конструктивных и эстетических требований.

Во второй главе рассматривается специфика стержневых пространственных конструкций башенного типа, области их применения и характерные нагрузки.

Подробно рассмотрены конструктивные схемы башен. Наибольшее распространение имеют четырехгранные башни, которые рассматриваются в последующих главах. Трехгранные и многогранные башни уступают им по конструктивным и технологическим показателям.

Рассмотрены основные виды конфигурации конструкций башенного типа. Обращено внимание на призматические и пирамидальные башни, а также башни с переломами граней по высоте. Тип и конфигурация конструкций башенного типа во многом определяются их назначением и действующими нагрузками.

Дан полный анализ схем решеток, обеспечивающих совместную работу поясов башен. Установлены области их рационального применения с позиций обеспечения надлежащих требований к проекту, в первую очередь прочности и устойчивости стержней.

При директивных габаритах башни варьированию подлежат сечения элементов поясов, топология, геометрия и параметры элементов решетки. Из стандартных профилей, преобладающее распространение имеют трубчатое, коробчатое и крестовое сечения.

Представлены варианты соединения металлических поясов и сопряжения их с решеткой (заводские при помощи сварки и монтажные на болтах), а также опорные узлы башен.

В третьей главе представлены проектные расчеты на основе обобщенных вариационных принципов, сформулированных в работах А.Г.Юрьева.

Априорный критерий оптимальности, представленный в виде условия максимума или минимума целевой функции, чаще всего имеет экономическую основу типа минимума массы, стоимости. При вариационной постановке такого рода задачи уравнения Эйлера — Лагранжа выражают условия стационарности функционала цели, но не гарантируют его глобального экстремума. В итоге, экстремальная форма, развившаяся на основе осмысления физических процессов, получив относительную самостоятельность в задачах оптимального проектирования, не всегда приводит к ожидаемым результатам.

Таким образом, постановка во главу угла проектной задачи экономической стороны часто ведет к выхолащиванию ее физического содержания и, как следствие, к неверным результатам. Не случайно многочисленные решения задач минимизации объема, массы, веса конструкции не привели к созданию стройной теории оптимизации.

Единство физических форм движения материи выражается общефизическим принципом, дающим возможность вывести из него частные законы. Им является принцип стационарного действия. Особенность, различие форм движения материи выражается в специальном подборе (на основе обобщения опытных данных) функции Лагранжа, имеющей энергетический смысл и входящей в выражение интеграла по времени, называемое действием.

В частном случае однородности времени лагранжева функция замкнутой системы (а также системы, находящейся в не связанном со временем внешнем поле) не зависит явно от времени. При этом энергия системы имеет стационарное собственное значение - минимум по функциям перемещений максимумов по функциям конфигурации и (или) модулей материала тела (критерий оптимальности).

Полный функционал прямой задачи имеет в качестве уравнений Эйлера — Лагранжа и естественных граничных условий уравнения и граничные условия теории деформирования. Функционал проектной задачи связан с дополнительными уравнениями, свидетельствующими о зависимости изме-

нения энергии системы от изменения конфигурации и модулей материала тела.

Частный функционал проектной задачи можно получить из общего, рассматривая некоторые уравнения Эйлера — Лагранжа и естественные граничные условия полного функционала как дополнительные условия, если это не противоречит постановке задачи. В большинстве случаев остается неизвестным напряженно-деформированное состояние. Поэтому постановки задач структурного синтеза следует связывать с обобщением известных вариационных принципов теории упругости.

В общем случае, в проектных задачах стационарность функционала по варьируемым параметрам рассматривается при дополнительных условиях (в форме уравнений связи), накладываемых на искомые функции ф, в числе которых — функции напряженно-деформированного состояния, конфигурации, модулей материала:

ф(?) = 0. {ф (*)*> = е. (1)

*

где со - допустимая область интегрирования, с — заданная постоянная.

Эти условия отражают геометрические и конструктивные ограничения, а также ограничения на нагрузку и поведение конструкции. Они имеют вид алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.

Вариационная задача с дополнительными условиями приводится к свободной задаче с помощью метода множителей Лагранжа.

Достаточное условие для достижения глобального экстремума функционала цели может дать лишь введение энергетического начала в процедуру оптимального проектирования, что следует из двойственности постановки задач на условный экстремум с интегральными связями: Так, целью изопе-риметрической задачи формообразования является расположение материала заданного объема У0 таким образом, чтобы доставить абсолютный (глобальный) минимум функционалу потенциальной энергии системы, зависящей от векторов функций перемещений q и конфигурации фс. При этом функционал свободной вариационной задачи (на основе функционала Лагранжа I) имеет вид

+ »]■ (2) где — множитель Лагранжа, имеющий постоянное значение.

В то же время можно задать величину потенциальной энергии системы /0 и определять конфигурацию из условия, чтобы функционал объема

достиг стационарного значения. В этом случае функционал свободной вариационной задачи получает вид

(з)

В силу двойственности постановки задачи имеем соотношение . цг =1/ц,. Следовательно,

и мы по существу приходим к предыдущей задаче о глобальном минимуме . Решения рассмотренных задач совпадают, с точностью до постоянного множителя ц.

Таким образом, постановка задачи минимизации объема строго согласуется с общефизическим принципом стационарного действия лиш^в отдельных случаях, подобных рассмотренному выше.

В частном случае конструкция может быть равнонапряженной по всему объему, и тогда, по теореме Васютинского для линейно-упругого тела, ей соответствует минимум потенциальной энергии деформации. Так как последняя пропорциональна объему тела, то в качестве критерия рациональности здесь может выступать минимум объема.

Проектный расчет в общем случае можно построить в форме итерационного процесса, в основу которого положен аналитический расчет и корректировка параметров. Однако, может случиться, что сходимость данного процесса потребует большого числа циклов. Предпринимаемый для выхода из этого положения анализ чувствительности для инженеров-проектировщиков имеет сложную форму. Поэтому в настоящее время, в особенности при большом числе варьируемых параметров, предлагаются новые подходы к оптимизации конструкций, основанные на аналогиях с эволюцией природных систем и организмов. Это так называемые эволюционные и генетические алгоритмы.

Проектная задача, как правило, решается при дополнительных условиях, которые накладывают ограничения на искомые параметры.

Изопериметрическая задача формообразования конструкции из однородного материала решается при заданном объеме У0 . Обобщенный функционал Кастильяно для стержневой системы имеет вид:

где И/ — продольное усилие в /- м стержне; п — число стержней; /, и Д- — длина и площадь поперечного сечения / - го стержня соответственно; Е — модуль продольной упругости; ц, — множитель Лагранжа.

Следствием стационарности функционала являются т уравнений совместности деформаций (т — число лишних связей)

ал/элг„=о, (6)

уравнение объема

Ы=Уо (7)

1«!

и г уравнений структурообразования (г — число варьируемых параметров); в частности, при варьировании углов а,, определяющих геометрию конструкции, имеем

dly/da, = 0. (8)

При варьировании площадей сечений растянутых стержней получаем

JV,2 /(2 ЕА* ) = ц,(= const). (9)

В системах со сжатыми стержнями необходимо выполнение условия безопасной устойчивости. Это эквивалентно введению виртуального состояния с внутренними силами N,/<pl для сжатых стержней (<р, — коэффициент уменьшения расчетного сопротивления). Таким образом, по аналогии с формулой (9) получаем уравнение

Nj /(2Е<р,2Л,2) = ц, = (const) . (10)

В качестве тестового примера рассмотрено проектирование четырех-стержневой пространственной системы (рис. 1). Определяются угол а и площади поперечных сечений стержней 1, 2 и 3. На основе предварительного анализа можно предположить, что стержень 1 растянут, а стержни 2 и 3 сжаты. F

Рис. 1. Четырехстержневая пространственная система

Из условия стационарности функционала вытекают 6 уравнений: —{F - N3 sin а)<рjq>j Л2Ai - 2 V2 (Fctga—2jV3 cos а)ф3 At A¡sina eos a+

+Ar3tpj44¡sina = 0; (11)

AJ+2-J2AJ cos a+A3l — V0 cos a = 0; (12)

---kt

1

2 E

2(F/ sin a-N2) F(- cos a / sin a) cos a+(F / sin a—) sin a +

A^ cos2 a

4%/2(Fctga - 2N3 cos a)(-F / sin1 a+2N3 sin a) N* sin a

<Pj4j фз cos2 a

+\i1(Ai +A3Xsino./cos2 a) = 0; (13)

(F/sina—7У3)2 ц _ (Fctga -2N3 cos a)2 Nj

Решение системы уравнений (11) — (14) позволяет найти несколько со-четаний'параметров a, Ль Аг и А3, которые удовлетворяют условию стацио-

нарности функционала, но лишь один вариант определяет оптимальный проект, соответствующий минимальной энергии деформации.

Может случиться, что среди полученных сочетаний параметров есть такие, которые ведут к нарушению предварительно принятых знаков усилий. Это влечет за собой необоснованное введение или отсутствие (¡>. Корректировка системы уравнений типа (11) — (14) приводит к новому семейству решений и т.д. Разработана программа проектного расчета.

При 1 = 3м, р = 20 кН, У0 =0,00144 м\ Е = 2Л&МЦа и <р2 = <р3 = 0,65 рациональный проект содержит следующие величины: а=1,11 рад; А, =0,0001014 м2; Аг =0,0000705 мг; А} =0,0000233 м2.

Таблица 1

Зависимость объема материала и потенциальной энергии _деформации от угла а .__

а V, м1 и, Дж

30 0,0027 179,2

45 0,00175 84

61,5 0,00144 76,9

75 0,00188 109,7

Как видно из табл. 1, при а = 61,5° получено оптимальное решение для заданного функционального пространства. Оно отвечает минимальному расходу материала и минимальной потенциальной энергии деформации. Можно также сказать, что оптимальный вариант фермы является конструкцией наибольшей жесткости, поскольку ему соответствуют минимальные перемещения и минимальная работа внешних сил.

Уместно заметить, что проблеме безопасной устойчивости стержней ферм на уровне их оптимального проектирования не уделялось должного внимания. Часто встречающаяся в литературе теорема Леви сформулирована без учета потери устойчивости стрежней. Теория Максвелла - Мичелла и ее развитие не получили большого практического применения при проектировании ферм главным образом из-за того, что конструкции обнаруживают неудовлетворительное поведение в отношении устойчивости равновесия.

Исходя из величин напряжений и принятого модуля продольной упругости подбираем материал с необходимой прочностью.

Рассмотрен также пример проектирования многостержневой статически неопределимой пространственной фермы (рис. 2) при статической нагрузке. С целью выявления знаков внутренних усилий в первом приближении произведен ее расчет при постоянной нагрузке по методу сил.

Предложен алгоритм решения изопериметрической задачи формообразования конструкции из однородного материала при заданной величине потенциальной энергии системы. В этом случае функционал имеет вид

"Р'-АШ-1-

(15)

Следствием стационарности функционала являются т уравнений совместности деформаций ( т — число лишних связей)

дГ/Жя= О, (16)

уравнение энергии

У—= /о 07)

м2 ЕА, 0

и г уравнений структурообразования (г — число варьируемых параметров). При варьировании площадей сечений растянутых и сжатых стержней получаем соответственно

Рис. 2. Статически неопределимая пространственная ферма

В качестве /„ условно принята потенциальная энергия статически определимой фермы. При Лу ~ 260 МП а (сталь С390) и <р=0,6 для стержней

5-8, 7-8 (6-7), 7-11, 2-6, 1-5, 4-8, 3-7, 8-11, 1-6, 3-6 (1-8), 3-8, 2-5 определены площади сечений: 3,762; 9,635; 11,842; 6,117; 1,548; 39,5; 8,573; 33,564; 1,997;

6,531; 26,077; 1,997 см1 соответственно. Для стержней с нулевыми усилиями площади сечений принимаются по конструктивным соображениям.

Полученный оптимальный вариант конструкции башенного типа обладает наибольшей жесткостью, ему соответствуют минимальные перемещения.

В четвертой главе представлена эволюционная стратегия оптимизации и проектирование на ее основе конструкций башенного типа. Приведен обзор литературы по вариантам стратегии, в том числе двучленной и многочленным формам.

В связи с относительной независимостью индивидов популяции многочленная эволюционная стратегия оптимизации хорошо приспособлена к.;', разнообразным вычислительным ресурсам.

Эволюционная (цД) -стратегия, где ц — родители, X — потомки, реализует минимальную длительность существования индивидов, ограниченную одной генерацией. Это может привести к большим колебаниям в изменении целевой функции и нарушению качества сходимости, так как благоприятная информация из родительской популяции не будет переходить в последующую родительскую популяцию.

(ц+X) -стратегия, напротив делает возможной неограниченную длительность существования отдельных индивидов, чему, однако, препятствует способность к саморегулирующейся адаптации длины шага. Краткосрочные качественные потери, которые могут быть вполне выгодными для достижения глобального оптимума, здесь также исключены.

По этим причинам предлагается реализация не только (цД)- и

(ц4-Х.)-форм как экстремальных стратегических проявлений с минимальной (максимальной) продолжительностью существования индивидов (проектов), но и промежуточных форм с переменной длительностью существования, так называемых (ц,кД) -стратегий, использующих преимущества обеих экстремальных форм. Здесь величина к отражает максимально допустимую длительность существования отдельных индивидов. Схема селекции этой стратегической формы представлена на рис. 3.

Рис. 3. Расширенная схема селекции (ц,кД) -стратегии: Р'(<) — популяция родителей; Р"(1) — популяция потомков

Таким образом, в ходе этой стратегической формы получается на основе предыдущих генераций временная величина р промежуточного селекционного пула, из которого выбирается родительская популяция предков последующей генерации. При этом X 5 р <. ц+А..

Введенная саморегулирующаяся шаговая адаптация расширяет вектор проекта (индивида). Он охватывает дополнительно к п переменным проекта х1 дальнейшие п нормальных отклонений , которые смотря по обстоятельствам присоединяются к соответствующим переменным проекта:

* = {(х,.о,),(х2.а2).....(*.,а„)} = {х,а}. (19)

Согласно этому оптимизационный процесс связан не только с собственными переменными проекта (объекта), но и со стратегическими переменными а/. Посредством этой связи достижение качества (путем выгодного регулирования переменных) и благоприятных размеров шагов осуществляется селекцией исходя из выгодного регулирования важных стратегических параметров. Этот процесс адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям поставленной задачи.

Введение требований дискретности к переменным проекта вызывает необходимость модификации операторов рекомбинации и мутации. Определение области допустимых значений ( континуальной переменной хс1

ведется путем задания нижней Хц и верхней хы ¡ границы области значений:

А- = {*«, б к\хи * ^ (20)

Количество доцустимых значений £>// дискретных переменных проекта х^/ определяется путем соответствующего введения элементов <¡¡¿,...,<1^, которые автоматически распределяются в возрастающей последовательности:

.....(21)

Появление допустимых дискретных значений следует косвенно через индекс на отобранных величинах, прежде чем может последовать после округления индекса соответствующая реализация операторов рекомбинации г и операторов мутации т (рис. 4).

Рис. 4. Рекомбинация для дискретных я континуальных переменных проекта.

Формулировка задачи оптимизации конструкции охватывает: 1) целевую функцию исходя из минимизации веса проектируемой конструкции; 2) различные виды ограничений на поведение конструкции; 3) назначение континуальных и д искретных переменных проекта.

Предполагается, что существует конечно-элементное представление конструкции. При принятии в пределах объема элемента V/ однородного материала с объемным весом р,- выражение для веса конструкции имеет вид

= (22) <=1

а целевая функция, базирующаяся на методе штрафных функций —

/(х) = #'(х)+г/>(5с). (23)

Параметр штрафа Р{х) . содержит ограничения постановки задачи,

причем учитываются исключительно ограничения в виде неравенств. Ограничения в виде равенств, имеющие место при оптимизации конструкций ограниченного использования, здесь не рассматриваются.

Так как числовые значения И'(х) и Р(х) в зависимости от постановки задачи могут сильно отличаться друг от друга, ограничения вводятся в целевую функцию в стандартизированной форме. Тем самым применяемая целевая функция приводится к виду

/(ЗЕ) = Ж(5)(1+гР(5)). (24)

Чтобы можно было достичь сходимости /(X) при решении связанной

ограничениями исходной задачи в процессе генерации, параметр штрафа г,

исходящий из начальной величины г® = 1, на каждом шаге повышается, например, удваивается. Этот метод алгоритмически прост и в различных применениях к оптимизации конструкций отмечен как приемлемый.

Рассматриваются геометрические переменные проекта (геометрическая оптимизация) и ориентированные на элемент переменные (оптимизация параметров). При смешанной постановке задачи для определения допустимых вариаций целесообразно собирать в группы элементы или узлы. Эта концепция обозначается как переменный массив. Тем самым поддерживается близкое к действительности описание конструкции и одновременно уменьшается число переменных проекта.

Для выяснения этой связи на рис. 5,а представлена модель конструкции с геометрическими переменными и тремя группами переменных поперечных сечений (^,.¿2,/4}), а на рис. 5,6 — возможный вариант конфигурации.

а

Рис. 5. Модель с переменными проекта и вариант конфигурации конструкции

Независимо от исходных величин в модели конструкции переменные проекта разделяются также по их соответствию области величин на дискретные и континуальные переменные. Чтобы установить близкую к реальной оптимизационную модель, часто целесообразно такие параметры, как площади поперечных сечений или толщины стенок, определять через дискретные переменные проекта. В таком случае можно ввести в модель находящиеся в распоряжении ряды профилей, нормированные толщины стальных листов или другие стандартные серии строительных элементов. Для представления таких геометрических величин, как, например, длины стержней, координаты элементов, чаще пользуются внутри заданной области величин континуально меняющимися переменными проекта.

Для производства начальной популяции Р(1) в распоряжении имеются два способа:

1. При учете верхней и нижней границ в соответствии с требованиями к дискретности величины п переменных проекта х„ всех ц родителей принимаются случайно равномерно распределенными.

2. Исходя из заданной начальной конфигурации

-ГЧ'и"^}

генерируются дальнейшие ц —1 родителей путем введения шага мутации с повышенным размером с-а^, например, с с— 10:

*Г=*10)+//(0,с-о<0)), к = 2.....р.. (26)

Преимущество 2-го метода состоит в том, что он позволяет информацию об известной конфигурации включать в оптимизационный расчет.

При установлении 3 абсолютных и относительных критериев сходимо-стей ограничиваются расхождением между: лучшей и худшей величинами целевой функции; приведенной величиной целевой функции двух последующих генераций и ее средней величиной цикла генераций (или лучшей величиной).

Рассмотрен пример проектирования 25-стержневой фермы (рис. 6) при статическом нагружении (проекции нагрузок: в узле 1 Ру = 20 кН, =-5 кН\ в узле 2 ^ =-20 кН, ^ =- 5 кН).

3 (37,5;-37,5; 100), 4 (37,5; 37,5; 100), 5 (-37,5; 37,5; 100); 6(-37,5;-37,5; 100)

7 (100; -100; 0), 8 (100; 100; 0), 9 (-100; 100; 0), 10 (-100; -100; 0).

Объемный вес конструкции р = 10 кН/м3, модуль продольной упругости Е = 1-105 МЛ а, расчетное сопротивление Л = 400Л07я.

При формировании оптимизационной модели используется план объединения переменных. В части поперечных сечений получаются независимые переменные оптимизации: Д, Д = А3 = Д, = Д, Д. = Д = Д = Д,, Д0 = Д,, А1г = Д3, Д4 = Д5 = Д6 = Д7, Д, = Д9 = Д„ = Д,, Агг = А23 = Д, = Д5.

Параметризация геометрии конструкции производится так, что позволяет обнаружить симметрию системы относительно плоскостей хг и уг . Три

переменных и z^ получаются га вариационных возможностей узлов 3, 4, 5 и 6 в направлении осей х,у и г. Переменные хг и уя получаются из вариационных возможностей узлов 7, 8, 9 и 10 в направлении осей х и у. Тем самым задача охватывает 8 параметров поперечного сечения Д , Аг, Д, А,о, Д2» А,,, А21 и пять геометрических параметров хл, у4, г4, х> и у,. Затем устанавливаются для всех элементов ограничения по напряжениям и по устойчивости (всего 15).

Осуществлены три постановки задачи, которые различаются характеристиками переменных проекта: 1) континуальная - непрерывные переменные поперечных сечений и геометрические переменные: 0,01< Д < 2 ; / = 2,6,10,12,14,18,22; 5<х4<70; 52у4<70; 50:£г4<Л50; 50 < < 120 ; 50 ^ у, £ 120; 2) дискретно-континуальная — дискретные переменные поперечных сечений и непрерывные геометрические переменные: Д е £>,; / = 2,6,10,12,14,18,22; Ц = (0,1; 0,2;...; 2}; 5<х4<70; 5^у4570; 50^я, <150; 50 5 :< 120 ; 50<у, <120; 3) дискретная - дискретные переменные поперечных сечений и геометрические переменные:

4еЛ,; 1 = 2,6,10,12,14,18,22; Хл е Рг; у4 е 2<е£>2; х, е£>2;

у,е02; Ц ={0,1;0,2;...;2};.Х)1={1;2;3;...;100}.

Решение произведено с использованием трех эволюционных стратегий: 1) ц=20, к = 20, А. = 200; 2) ц=25, к = 20, А = 200; 3) р=25, к = 20, X = 300 при трех критериях сходимости. При примерно одинаковом весе начальных генераций в 3 задачах {2,3 — 2,4 кН) окончательный вес сказался равным 1,24; 1,35; 1,36 соответственно. Лучший вариант конфигурации (рис. 7) и сечений получен в 1-й задаче, потребовавшей 256 генераций, а б

Сопоставление результатов для трех задач с решениями другими методами показали преимущества эволюционных стратегий.

В пятой главе рассмотрена оптимизация динамически нагруженных конструкций башен. Дан краткий аналитический обзор работ в этой области. При оптимизации конструкции, подверженной колебаниям, используется итеративная процедура Ньютона-Рафсона, основанная на методе Ньюмарка для линейного и нелинейного анализа систем. В нелинейной постановке предполагается, что только матрица жесткости зависит от перемещений, матрица массы и матрица затухания остаются постоянными.

Для итерационного процесса используются следующие формулы: \а„М+а,С + К] Дг, = - + М [а0г' + а2г' + а3г" ] +

+С[а/ +а4г' + а5г']-(а0М + а1С)г/*л', (27)

гГы = г,T+Ar„ (28)

г"" = а0[г"ы -г')-агг'-а/', (29)

г'^=г'+а6г'+а7г'+4',

(30)

где К',*^ — тангенциальная матрица жесткости; - вектор зависящих от узловых сил = К',*"г',*"); i -указатель итераций; а0, ..., а7 -

сокращенные обозначения:

аАГ

а, =

аЛ/

«2:

аЛг

а3=--1, а4

-1,

лах: 5 2:

а,---1, а. =(1-5)Д/, а7=8Д<.

2а

Параметры а и 5 должны быть установлены соответственно в преде-

1 ^ О 5 1 1

—; а>—16+—I . В случае, когда о = —, а = — , для введения малого

искусственного затухания эти параметры можно также легко видоизменить: 5 = 0,5+0,05, а=0,25(1+0,05)3.

Предложенная блок-схема итеративного оптимизационного расчета согласуется с усовершенствованной многочленной эволюционной стратегией оптимизации, представленной в главе 4.

В качестве примера рассмотрена динамически нагруженная решетчатая башня из горячекатаной равнобокой уголковой стали (рис. 8). 154 элемента системы разделены на 10 групп в зависимости от зоны расположения и назначения.

тп «я

Рис. 8. Решетчатая башня

Нагрузки не башню: в узле А - Я,(/) = -10,7027(0; = -5,356 кН; в узле В - «,(/) =-10,702Г(<); Я, =-5,356 в узле С - Й,(0 = -9,771Г(/);

Яг —-5,356к11; в узле Б - Д,(/) = -8,5157"(0; К = -4,817*//. Здесь Г(0 = 2/ при 02/50,04с; Т(0 = 25(0,08-/) при 0,04 £/^0,08с; Г(0 = 0 / >0,08с.

Площади поперечных сечений 10 групп элементов являются оптимизационными переменными задачи. В качестве предпочтительных дискретных значений переменных рассматривались уголковые профили по ГОСТ 850993. Дополнительные условия связанны с напряжениями в элементах и перемещениями в направлении оси х узлов АЗ,С и О. Расчетное сопротивление +240МПа, допускаемое перемещение — 10 см. Данные о материале:

р = 7,85-10"гЛ07я, £ = 2,1-105ЛЯ7д. Для определения перемещений узлов системы использовалось интегрирование по времени по методу Ньюмарка. Интегрирование проводилось во временном пространстве от 0 до 0,1с с величиной шага Д/ = 0,01с. По эволюционной стратегии 10+10 система оптимизировалась каждый раз без учета и с учетом нелинейных колебаний системы. 10 случайно выбранных начальных величин объема для обоих случаев не идентичны. Объем лучшей начальной величины составляет в обоих случаях У= 0,3514л<3.

На рис. 9. представлен итерационный процесс при линейных и нелинейных уравнениях движения. Расхождение объемов оптимальной конструкции оказалось довольно малым, что позволяет рекомендовать линейный расчет.

к,*3

0.4 —— лвнейвыеураввевлядважгння

.... велинейныетряваеноядвижения

0.3 \

0.2 к

0.1 ■ •N 0,0820

0.0825 :

" 20 40 60 80 100 120 134 генерации

Рис. 9. Итерационный процесс в примере в главе 5

Выводы по работе

1. Представлены новые математические.модели оптимизации конструкций башенного типа, базирующиеся на обобщенных вариационных принципах механики деформируемого твердого тела.

2. Предложенные математические модели позволяют вести оптимизацию башен на уровне топологии, геометрии и параметров элементов.

3. Показано, что энергетический критерий оптимальности, выявленный при постановке изопериметрической задачи структурного синтеза, является основополагающим критерием качества конструкции.

4. Математическая модель оптимизации, проистекающая из вариационной постановки с переменными параметрами проекта, обеспечивает Тло-

бальный экстремум целевой функции. При этом наряду с обеспечением надлежащей прочности и жесткости конструкции решается проблема безопасной устойчивости сжатых стержней.

5. Показана приемлемость многочленной эволюционной стратегии оптимизации к проектным расчетам конструкций башенного типа. Процесс саморегулирующейся шаговой адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям проекта.

6. Предложенная эволюционная стратегия с переменной длительностью существования индивидов оправдывает себя в оптимизационных расчетах с дискретными переменными проекта, имеющими место при проектировании стержневых конструкций башен из стандартных профилей.

7. Для оптимизации системы, подверженной колебаниям, предложена итерационная процедура по методу Ньютона-Рафсона.

8. Реализация предложенных эволюционных алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружении показала их преимущества перед другими методами в отношении выявления экономичных решений.

Публикации:

1. Клюев C.B. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций [Текст] / А.Г. Юрьев, C.B. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2006. - 134 с. (лично 67 с.)

2. Клюев C.B. Энергетический критерий структурообразования несущих конструкций [Текст] / А.Г. Юрьев, C.B. Клюев // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. — 2006. — №2. — С. 90 — 91. (лично 1 с.)

3. Клюев C.B. Эволюционное моделирование в области проектирования строительных конструкций [Текст] / C.B. Клюев // Образование, наука, производство: сб. тез. докл. Междунар. студ. форума. — Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2002. -Ч. 3. - С. 130.

4. Клюев C.B. Оптимизация, пространственной фермы [Текст] / C.B. Клюев // Молодые ученые — науке, образованию, производству: сб. науч. тр. регион, научн.-практ. конф. — Старый Оскол: Изд-во СТИ МИСиС, 2004. — С. 32-35.

5. Клюев C.B. Проектирование башен на основе эволюционной стратегии [Текст] / C.B. Клюев // Образование, наука, производство: сб. тез. докл. II Междунар. студ. форума. — Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2004. -Ч.5.-С.94.

6. Клюев C.B. Генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций [Текст] / А.Г. Юрьев, C.B. Клюев // Образование, наука, производство и управление в XXI веке: сб. тр. Междунар. науч. конф. — Старый Оскол: Изд-во ООО "ТНТ", 2004. - Т. 4. - С. 238 - 240. (лично 1 с.)

7. Клюев C.B. Оптимизация конструкций башенного типа [Текст] / C.B. Клюев // Всероссийская выставка науч.-техн. творчества молодежи НТТМ - 2005: сб. материалов. - Москва: Изд-во ОАО "ГАО ВВЦ". - С. 238 -239.

S. Клюев C.B. Рациональное проектирование стержневой пространственной конструкции [Текст] / C.B. Клюев, А.Г. Юрьев // Проблемы оптимального проектирования сооружений: сб. докл. 5-го Всероссийского семинара / Новосиб. гос. архит.-строит, ун-т. — Новосибирск: НГАСУ, 2005. — С. 178 - 181. (лично 2 с.)

9. Клюев C.B. Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы [Текст] / C.B. Клюев, А.Г. Юрьев // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. -2005. - №10. - С. 375 - 378. (лично 2 с.)

10. Клюев C.B. Рациональное проектирование стержневой пространственной конструкции башенного типа на основе эволюционной стратегии [Текст] / C.B. Клюев // Молодые ученые — производству: сб. науч. тр. регион, конф. - Старый Оскал: СТИ МИСиС, 2005 - С. 141 - 145.

11. Клюев C.B. Оптимизация строительных конструкций [Текст] / C.B. Клюев // Молодые ученые — производству: сб. науч. тр. регион, конф. — Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2006. - С. 242 - 247.

12. Клюев C.B. Оптимизация строительных конструкций на основе иерархической вероятностной модели [Текст] / C.B. Клюев // Молодые ученые — производству: сб. науч. тр. регион, конф. — Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2006.-С. 247-251.

13. Клюев СЛ. Эволюционная стратегия оптимизации [Текст] / C.B. Клюев, А.В. Клюев // Студенчество. Интеллект. Будущее: сб. матер. Межвуз. молодеж. конф. — Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2005. — С. 292 — 294. (лично 2 с.)

14 Клюев C.B. Эволюционная стратегия оптимизации строительных конструкций [Текст] / C.B. Клюев // Научные ведомости Бел ГУ. Серия Информатика и прикладная математика, 2006. -№1, вып. 3. — С. 143 — 147.

КЛЮЕВ Сергей Васильевич

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ БАШЕННОГО ТИПА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

05.23.01 — Строительные конструкции, здания и сооружения

Подписано в псчать 24.10.2006 Формат 60x84/16 Бум. тип. Усл-печ. л. 1,0. Уч.-издл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ л/2.1*1 Бесплатно

Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете им. ВТ. Шухова 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46

Введение.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Общий подход к оптимальному проектированию строительных конструкций.

1.2. Иерархический принцип формирования строительных конструкций.

1.3. Многокритериальность в оптимальном проектировании.

1.4. Тенденции в оптимизации строительных конструкций.

1.5. Краткий обзор работ по оптимизации конструкций в классической постановке.

1.6. Расширенные постановки задач оптимизации конструкций.

1.7. Оптимизация стержневых систем.

1.7.1. Стержневые пространственные конструкции.

1.7.2. Математическое моделирование стержневой пространственной системы.

1.7.3. Основные виды оптимизации стержневых конструкций „

1.8. Требования, предъявляемые к оптимальному проектированию стержневых пространственных конструкций.

1.8.1 Ограничения на напряжения.

1.8.2. Ограничения на перемещения.

1.8.3. Ограничение по условию совместности деформаций.

1.8.4. Конструктивные ограничения.

1.8.5. Эстетические ограничения.

1.9. Выбор материала для проектируемой конструкции.

Выводы.

2. КОНСТРУКЦИИ БАШЕННОГО ТИПА.

2.1. Общие сведения.

2.2. Область применения конструкций башенного типа.

2.3. Нагрузки, действующие на конструкцию башни.

2.4. Конструктивные схемы башен.

2.4.1. Конфигурация башни.

2.4.2. Схемы решеток.

2.5. Конструктивное оформление башен.

2.5.1. Типы сечений элементов башни.

2.5.2. Соединения поясов.

2.5.3. Узлы сопряжения поясов с решеткой.

2.5.4. Опорные узлы башен.

Выводы.

3. ПРОЕКТНЫЕ РАЧЕТЫ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ.

3.1. Вариационные принципы для прямых задач.

3.2. Вариационные принципы для проектных задач.

Проектные критерии.

3.3. Проектная задача для стержневой системы.

3.4. Пример проектирования многостержневой пространственной фермы.

3.4.1. Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы.

3.4.2. Проектная задача.

Выводы.

4. ОПТИМИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ БАШЕН

НА ОСНОВЕ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СТРАТЕГИИ.

4.1. Основные формы эволюционной стратегии.

4.1.1. Двучленная эволюционная стратегия.

4.1.2. Основные формы многочленных эволюционных стратегий.

4.2. Совершенствование форм эволюционной стратегии.

4.2.1. Саморегулирующаяся шаговая адаптация.

4.2.2. Эволюционные стратегии с переменной длительностью существования.

4.3. Модификации с учетом требований дискретности.

4.4. Выбор стратегических форм.

4.5. Связь оптимизации конструкции и эволюционной стратегии.

4.5.1. Целевая функция.

4.5.2. Ограничения.

4.5.3. Переменные проекта.

4.5.4. Начальная популяция.

4.5.5. Критерии сходимости.

4.6. Пример.

4.6.1. Описание задачи.

4.6.2. Решение с использованием эволюционных стратегий.

4.6.3. Сравнение результатов по различным стратегическим формам.

Выводы.

5. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

5.1. Аналитический обзор.

5.2. Решение нелинейных задач, связанных с колебаниями.

5.2.1. Общие соображения.

5.2.2. Метод Ньюмарка.

5.2.2.1. Линейное уравнение движения.

5.2.2.2. Нелинейные уравнения движения.

5.2.3. Ускорение сходимости

5.2.4. Нахождение внутренних усилий и напряжений.

5.2.5. Управление итеративным решением.

5.3. Пример.

Выводы.

Актуальность темы исследования. В настоящее время теория оптимального проектирования является одним из актуальных и развивающихся разделов в механике деформируемого твердого тела, на которой базируются проектные расчеты строительных конструкций. Число публикаций в этой области постоянно увеличивается. Становятся все более разнообразными постановки задач и методы их решения.

Задачи оптимизации стержневых пространственных систем делятся на две группы. К первой группе относятся задачи оптимизации параметров системы. В этих задачах осуществляется управление основными характеристиками конфигурации, в том числе рассосредоточение массы по площадям поперечных сечений. Ко второй группе относятся задачи оптимизации материала конструкции, например, при переменном модуле продольной упругости.

Значительное развитие теории оптимального проектирования стержневых конструкций связано с совершенствованием вычислительной техники. Появление быстродействующих вычислительных машин способствовало интенсивному применению методов вариационного исчисления, математического программирования, оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи оптимизации стержневых конструкций.

Процедура оптимизации по своему характеру часто является итерационной в силу высокого уровня нелинейности задачи. На каждом шаге процедуру итерационного расчета можно разделить на две фазы. Сначала проводится расчет конструкции для определения внутренних усилий, возникающих при действии заданных нагрузок. Затем производится преобразование переменных проекта на основе соотношений, выведенных из критериев оптимальности.

Преимуществом такого подхода является то, что число итераций, необходимых для достижения оптимума, фактически не зависит от числа элементов конструкции. Если усилия в элементах конструкции в значительной мере чувствительны к размерам их поперечных сечений, как это наблюдается в задаче оптимизации многостержневой статически неопределимой фермы, то может потребоваться большое число итераций для достижения оптимального проекта. В целях совершенствования этого процесса в последнее время привлекаются эволюционные стратегии.

Цель диссертационной работы заключается в разработке способов и алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статических и динамических нагрузках с использованием физически обоснованных критериев оптимальности и усовершенствованных эволюционных стратегий оптимизации.

Для достижения поставленной цели поставлены следующие задачи:

1. Формулировка критерия оптимальности стержневых систем на основе общефизического принципа стационарного действия.

2. Формирование системы уравнений для оптимального проектирования конструкций башенного типа.

3. Совершенствование эволюционной стратегии оптимизации строительных конструкций.

4. Построение эволюционного алгоритма оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении.

5. Построение алгоритма расчета конструкции башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.

6. Реализация эволюционного алгоритма оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружении.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

- энергетический подход к формулировке критерия оптимальности стержневых систем;

- вариационная постановка задачи структурного синтеза конструкций башенного типа;

- эволюционная стратегия оптимизации с переменной длительностью существования индивидов;

- эволюционный алгоритм оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении;

- алгоритмы расчета и оптимального проектирования конструкций башенного типа при линейном и нелинейном характере колебаний.

Достоверность результатов основывается на использовании вариационных принципов механики деформируемого твердого тела, эволюционной теории и сопоставлении результатов оптимизационных расчетов с известными решениями.

Практическая ценность результатов исследований.

Результаты данной работы позволяют эффективно вести оптимальное проектирование строительных конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружениях. Полученные результаты и основанные на них рекомендации позволяют повысить надежность и экономичность конструкций башенного типа. Они также использованы в учебном процессе в дисциплинах строительного профиля. При внедрении результатов работы в производство достигнуто обеспечение оптимального распределения материала, реализованное на основе предложенной методики расчета конструкций башенного типа. При этом достигнута экономия материала на 15-20 % в связи с оптимизацией геометрии и параметров элементов башни.

Положения, выносимые на защиту работы:

- энергетический критерий оптимальности стержневых систем, моделирующих конструкции башенного типа;

- система нелинейных уравнений из вариационной постановки задачи структурного синтеза стержневой системы и программа для ее решения;

- введение в эволюционную стратегию оптимизации переменной длительности существования индивидов;

- алгоритм расчета и оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом нагружении и нелинейных колебаниях.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследований и основные материалы диссертационной работы доложены на II Международном студенческом форуме (Белгород, 2004); на региональных научно-практических конференциях (Старый Оскол, 2004 - 2006); на Международной научной конференции (Старый Оскол, 2004); на межвузовской молодежной конференции (Набережные Челны, 2005); на 5-м Всероссийском семинаре "Проблема оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2005); на Международных научно-практических конференциях "Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии" (Белгород, 2003, 2005); на Всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи при поддержке ЮНЕСКО (Москва, 2005). Материалы диссертационной работы были представлены на открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (г. Новосибирск, 2002 - 2004; Томск 2004); на областном конкурсе научных молодежных работ "Молодежь Белгородской области" (Белгород, 2002 - 2006).

Публикации: Материалы диссертационной работы опубликованы в 13 статьях и тезисах докладов конференций, а также 1 монографии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, приложения, акта и справки внедрения. Диссертация содержит 163 страницы основного текста, в том числе 13 таблиц, 26 рисунков, 150 наименований литературы и 6 приложений.

Основные выводы по работе

1. Представлены новые математические модели оптимизации конструкций башенного типа, базирующиеся на обобщенных вариационных принципах механики деформируемого твердого тела.

2. Предложенные математические модели позволяют вести оптимизацию башен на уровне топологии, геометрии и параметров элементов.

3. Показано, что энергетический критерий оптимальности, выявленный при постановке изопериметрической задачи структурного синтеза, является основополагающим критерием качества конструкции.

4. Математическая модель оптимизации, проистекающая из вариационной постановки с переменными параметрами проекта, обеспечивает глобальный экстремум целевой функции. При этом наряду с обеспечением надлежащей прочности и жесткости конструкции решается проблема безопасной устойчивости сжатых стержней.

5. Показана приемлемость многочленной эволюционной стратегии оптимизации к проектным расчетам конструкций башенного типа. Процесс саморегулирующейся шаговой адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям проекта.

6. Предложенная эволюционная стратегия с переменной длительностью существования индивидов оправдывает себя в оптимизационных расчетах с дискретными переменными проекта, имеющими место при проектировании стержневых конструкций башен.

7. Для оптимизации системы, подверженной колебаниям, предложена итерационная процедура по методу Ныотона-Рафсона.

8. Реализация предложенных эволюционных алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружении показала их преимущества перед другими методами в отношении выявления экономичных решений.

Заключение

Проведенные исследования были направлены на разработку способов и алгоритмов оптимального проектирования конструкций башенного типа при статических и динамических нагрузках. Изучение большого числа литературных источников по оптимальному проектированию конструкций позволило выявить как определенные достижения, способствующие прогрессу инженерной деятельности, так и остающиеся проблемы.

Неоднозначно толкование критерия оптимальности. Его альтернативные варианты не способствуют уверенности инженера в окончательной справедливости решения. Автор считает, что достоверная формулировка критерия оптимальности проистекает из общефизического принципа стационарного действия. При этом соблюдается методологическое единство подходов к анализу и синтезу конструкций. В работе показано, что весовая оптимизация и примыкающий к ней критерий минимума объема материала не лишены физического смысла лишь при дополнительных условиях, имеющих энергетическое содержание.

Исходя из этого представления, автор стремился прежде всего представить способ оптимизации конструкций башенного типа на основе обобщенных вариационных принципов, которые сами по себе приводят к оптимальному решению. На числовых примерах показано, что оптимальная конструкция имеет как минимум потенциальной энергии системы, так и минимум объема материала. Это не всегда достигается при других критериях.

В то же время автор отдает отчет в том, что представленный подход при большом числе переменных параметров может привести к сложному математическому алгоритму. Поэтому, оставляя принципиальную основу выбора критерия, он предлагает и другие подходы, в частности, эволюционную стратегию оптимизации.

В результате исследования сильных и слабых сторон эволюционных стратегий выбора оптимальной конструкции были намечены пути их совершенствования, среди которых основным является принятие переменной длительности существования индивидов.

В двух отдельных главах представлены эволюционные алгоритмы оптимизации конструкций башенного типа при статическом и динамическом нагружении. В последнем случае рассматриваются как линейный, так и нелинейный характер колебаний.

Автору представляется, что полученные результаты исследования могут найти непосредственное практическое применение, поскольку построенные на фундаментальной теории способы оптимизации вполне доступны инженерам, имеющим в наличии современные средства автоматизации расчетов.

Во введении к работе оговорены цель и задачи исследования, охватывающие основы постановки задач оптимизации конструкций башенного типа. Решение частных задач, а также выход за рамки линейно-упругих решений составляют перспективу исследований в рассматриваемой области.

1. Александров А.В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников // под ред. Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

3. Аннин Б.Д. Оптимальное проектирование анизотропных неоднородных тел / Б.Д. Аннин // Теоретична и приложна механика. Трити на-циональни конгресс: докл. София, 1977. - С. 275 - 279.

4. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций / Ж.-Л.П. Арман. -М.: Мир, 1977. 142 с.

5. Арора Д. С. Оптимальное проектирование больших конструкций, способных выдерживать повреждения / Д.С. Арора, Л.Ф. Хаскелл, А.К.Гониль // Ракет, техника и космонавтика. 1980. - №6. - С. 105 - 114.

6. Баничук Н.В. К задаче оптимизации конструктивно-силовой схемы при использовании анизотропной модели / Н.В. Баничук, В.И. Бирюк, Д.М. Епураш // Учен. зап. Центр, аэрогидродинам. ин-та. 1984. - С. 134 — 138.

7. Баничук Н.В. Максимизация жесткости анизотропных пластин при изгибе / Н.В. Баничук, В.И. Бирюк, Д.М. Епураш // Учен. зап. Центр, аэрогидродинам. ин-та. 1986. - С. 89 - 94.

8. Баничук Н.В. Оптимизация формы и распределение модулей упругих тел / Н.В. Баничук // Тр. 14-го Югославского конгресса по теоретической и прикладной механике. Порторож, 1978. - С. 319 - 326.

9. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел / Н.В. Баничук. — М.: Наука, 1980.-256 с.

10. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. -М.: Стройиздат. 1982. 447 с.

11. Бидерман В.Jl. Механика тонкостенных конструкций. Статика. / B.JI. Бидерман. М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

12. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу // пер. с англ. В.В. Кобелева, А.П. Сейраняна; под ред. Н.В. Баничука. -М.:Мир, 1987.-542 с.

13. Васильков Г.В. Адаптационные методы определения энергетически равнопрочных систем / Г.В. Васильков, С.А. Холькин // Известия вузов. Строительство 2002. - №10. - С. 28 - 34.

14. Верлань А.Ф. Эволюционные методы компьютерного моделирования / А.Ф. Верлань, В.Д. Дмитриенко, Н.И. Корсунов, В.А. Шорох. Киев: Наукова думка, 1992. - 255 с.

15. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годун, B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1973.-400 с.

16. Горев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций: учеб. пособие / В.В. Горев, В.В. Филипов, Н.Ю. Тезиков. М.: Высш. школа, 2002. - 206 с.

17. Горев В.В. Металлические конструкции. В 3 т. Т. 3. Специальные конструкции и сооружения: Учеб. для строит, вузов / В.В. Горев. М.: Высш. школа, 1999. - 544 с.

18. Деннис Дж. Численные методы безусловной минимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Деннис, Р. Шнабель: пер. с англ. О.П. Бурдакова. М.: Мир, 1988. - 440 с.

19. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушенко. М.: Наука, 1982. -432 с.

20. Жденкинс Дж. Эквивалентность метода минимальной нормы и градиентного метода в задачах оптимизации при наличии ограничений / Дж. Жденкинс // Ракет, техника и космонавтика. 1972. - №7. - С. 94 - 96.

21. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975.-541 с.

22. Каминскас С.А., Мацюлявичюс Д.А. Шаговый алгоритм оптимизации шарнирно-стержиевых конструкций с учетом нагрузок собственного веса / С.А. Каминскас, Д.А. Мацюлявичюс // Лит. мех. сб. 1980. - №20. -С. 109-116.

23. Клюев С.В. Моделирование в конструкционной бионике / С.В. Клюев // Междунар. студ. науч.-техн. конф.: Сб. тез. докл. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2001. -Ч. 1. - С. 223.

24. Клюев С.В. Оптимизация конструкций башенного типа / С.В. Клюев // Всероссийская выставка науч.-техн. творчества молодежи НТТМ 2005: сб. материалов. - Москва: Изд-во ОАО "ГАО ВВЦ". - С. 238 - 239.

25. Клюев С.В. Оптимизация пространственной фермы / С.В. Клюев // Молодые ученые науке, образованию, производству: сб. науч. тр. регион. научн.-практ. конф. - Старый Оскол: Изд-во СТИ МИСиС, 2004. -С. 32-35.

26. Клюев С.В. Оптимизация строительных конструкций / С.В. Клюев // Молодые ученые производству, сб. науч. тр. регион, конф. - Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2006. - С. 242 - 247.

27. Клюев С.В. Оптимизация строительных конструкций на основе иерархической вероятностной модели / С.В. Клюев // Молодые ученые -производству, сб. науч. тр. регион, конф. Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2006.-С. 247-251.

28. Клюев С.В. Проектирование башен на основе эволюционной стратегии / С.В. Клюев // Образование, наука, производство: сб. тез. докл. II Междунар. студ. форума. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2004. -Ч. 5. - С. 94.

29. Клюев С.В. Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы / С.В. Клюев, А.Г. Юрьев // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2005. - №10. - С. 375 - 378.

30. Клюев С.В. Рациональное проектирование стержневой пространственной конструкции башенного типа на основе эволюционной стратегии / С.В. Клюев // Молодые ученые производству: сб. науч. тр. регион, конф. - Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2005 - С. 141 - 145.

31. Клюев С.В. Эволюционное моделирование в области проектирования строительных конструкций / С.В. Клюев // Образование, наука, производство: сб. тез. докл. Междунар. студ. форума. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2002. -Ч. 3. - С. 130.

32. Клюев С.В. Эволюционная стратегия оптимизации / С.В. Клюев,

33. A.В. Клюев // Студенчество. Интеллект. Будущее: сб. матер. Межвуз. мо-лодеж. конф. Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2005. - С. 292 - 294.

34. Клюев С.В. Эволюционная стратегия оптимизации строительных конструкций / С.В. Клюев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Информатика и прикладная математика, 2006. -№1, вып. 3. С. 143- 147.

35. Клячин А.З. Металлические решетчатые пространственные конструкции регулярной структуры: Разработка, исследование, опыт применения / А.З. Клячин. Екатеринбург: Дианмант, 1994. - 276 с.

36. Крысько В.А. Оптимизация форм термоупругих тел /

37. B.А.Крысько, С.П. Павлов. Саратов: Изд-во СГТУ, 2000. - 160 с.

38. Кунташев П.А. О некоторых свойствах оптимальных термоупругих проектов при фиксированных полях напряжений или деформаций /

39. П.А. Кунташев, Ю.В. Немировский // ПММ. 1985. - Т. 49. - №3. - С. 476 -484.

40. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. М.: Изд-во АСВ, 1996. -541 с.

41. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике / В.Г. Литвинов. М.: Наука, - 1987. - 366 с.

42. Малков В.П. Оптимизация упругих систем / В.П. Малков, А.Г.Угодчиков. М.: Наука, 1981.-288 с.

43. Мацюлявичюс Д.А. Задача синтеза оптимальной конфигурации шарнирно-стержневой конструкции при постоянной нагрузке с учетом нагрузки собственного веса / Д.А. Мацюлявичюс // Лит. мех. сб. 1969. -№2.-С. 5-14.

44. Мацюлявичюс Д.А. Синтез упругих шарнирно-стержневых конструкций в случае многих загружений с учетом нагрузки собственного веса / Д.А. Мацюлявичюс // Лит. мех. сб. 1969. - №2. - С. 17 - 28.

45. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений / А.С. Городецкий, В.И. Заворицкий, A.M. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов. -М.: Транспорт, 1981. 143 с.

46. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов / С.Г.Михлин. М.: Наука, 1966. - 432 с.

47. Ольков Я.И. Оптимизационные методы в совершенствовании конструктивных форм стальных каркасов зданий: Дисс. .докт. техн. наук / Я.И. Ольков; УПИ. Свердловск, 1990. - 418 с.

48. Отто Ф. Форма усилие - масса / Ф. Отто // Каталог выставки в Москве: Легкая конструкция в архитектуре и в природе. Природообразова-ние конструкции. - Штутгарт, 1983. - 134 с.

49. Паппас М. Развитие методов синтеза крупномасштабных конструкций / М. Паппас // Ракет, техника и космонавтика. 1981. - №10. - С. 19-24.

50. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов И.Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. -344 с.

51. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций / В. Прагер // пер. с англ. А.Г. Лапиги; Под ред. Г.С. Шапиро. -М.: Мир, 1977.- 103 с.

52. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике / Я.А. Пратусевич. М. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 400 с.

53. Рабинович И.М. Некоторые вопросы теории статически неопределимых ферм / И.М. Рабинович // Исследования по теории сооружений. -М. Л.: Госстройиздат, 1959. - Вып. 8. - С. 485 - 498.

54. Рейтман Г.И. Методы оптимального проектирования деформируемых тел (постановки и способы решения задач оптимизации параметров элементов конструкций) / Г.И. Рейтман, Г.С. Шапиро. М.: Наука, 1976.-258 с.

55. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л.А. Розин. М.: Стройиздат, 1977. - 320 с.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. М.: Наука, 1983.-616 с.

57. Сергеев Н.Д., Проблемы оптимального проектирования конструкций / Н.Д. Сергеев, А.И. Богатырев. Л.: Стройиздат, 1971. - 126 с.

58. Снитко Н.К. Статическая устойчивость телевизионной стальной башни / Н.К. Снитко // Исследования по теории сооружений. М. - Л.: Госстройиздат, 1965. - Вып. 14. - С. 23 - 28.

59. Снитко Н.К. Устойчивость стержневых систем в упруго-пластической области / Н.К. Снитко. Л.: Стройиздат, 1968. - 248 с.

60. Строительная механика. Стержневые системы / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников. М.: Стройиздат, 1981.-512 с.

61. Талеб-Ага Дж. Метод оптимального проектирования конструкций типа ферм / Дж. Талеб-Ага, Р. Нельсон // Ракет, техника и космонавтика. 1976. - №4. - С. 28 - 38.

62. Темнов В.Г. Методы перехода к безусловным задачам расчета и оптимизации стержневых систем / В.Г. Темнов // Пространственные конструкции в гражданском строительстве: сб. науч. тр. ЛенЗНИИЭП. Л.: Стройиздат, 1974. - С. 29 - 33.

63. Темнов В.Г. Общая математическая модель оптимизации больших стержневых систем / В.Г. Темнов // Расчет и проектирование пространственных конструкций гражданских зданий и сооружений: сб. науч. тр. ЛенЗНИИЭП. Л.: Стройиздат, 1975. - С. 35 - 46.

64. Темнов В.Г. Применение метода сопряженных градиентов для упругого расчета и оптимизации стержневых систем / В.Г. Темнов // Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость: сб. науч. тр. -Л.: Стройиздат, 1973. С. 228 - 232.

65. Троицкий В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. М.: Наука, 1982. - 432 с.

66. Трофимов В.И. Структурные конструкции: Исследование, расчет и проектирование / В.И. Трофимов, Г.Б. Бегун. М.: Стройиздат, 1972. -247 с.

67. Фаддеев Д.К. Линейные алгебраические системы с прямоугольными матрицами / Д.К. Фаддеев, В.Я.Кублановская, В.Н. Фаддеева // Современные численные методы. М., 1968. - Вып. 1. - С. 16-75.

68. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. М.: Физматгиз, 1959. - 364 с.

69. Фукс М. Метод оптимизации по норме в проектировании конструкций / М. Фукс, М. Брулл // Ракет, техника и космонавтика. 1978. - №1. -С. 28-37.

70. Фултон Р., Маккомб Г. Автоматизированное проектирование конструкций в авиационной и космической технике/Р. Фултон, Г. Маккомб // Тр. амер. строительства инженеров-механиков. 1974. - Т. 96. -№1. - С. 125- 133.

71. Хечумов Р.А. Сопротивление материалов и основы строительной механики: Учебник для вузов / Р.А. Хечумов, А.Г. Юрьев, А.А. Толбатов. -М.: Изд-во АСВ, 1994. 387 с.

72. Хог Э. Прикладное оптимальное проектирование. / Э. Хог, Я.Арора // Механические системы и конструкции: пер. с англ. М.: Мир, 1983.-488 с.

73. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности /

74. B.И.Цурков.-М.: Наука, 1981.-352 с.

75. Чирас А.А. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем / А.А. Чирас. Вильнюс: Мокслас, 1982. - 112 с.

76. Чирас А.А. Математические модели задач оптимизации нагрузки для идеально упругой системы // А.А. Чирас // Лит. мех. сб. 1973. - №1.1. C. 5 -11.

77. Чирас А.А. Основные виды задач оптимизации в механике твердого деформируемого тела и их математические модели / А.А. Чирас // Лит. мех. сб. 1980. - №20. - С. 5 - 28.

78. Шапиро Э. Обобщенная обратная матрица: метод минимизации / Э. Шапиро, X. Декарли // Ракет, техника и космонавтика. 1976. - №10. -С. 168- 169.

79. Шимановский В.Н. Оптимальное проектирование пространственных решетчатых покрытий / В.Н. Шимановский, В.Н. Гордеев, М.Л. Гринберг. Киев: Буд1вельник. 1987. - 224 с.

80. Шмит Л.А. Применение двойственных методов для синтеза конструкций с дискретным и непрерывным множествами допустимых значений параметров / Л.А. Шмит, К. Флери // Ракет, техника и космонавтика. -1980. -№12. С. 133- 144.

81. Юрьев А.Г. Вариационные постановки задач структурного синтеза в статике сооружений / А.Г. Юрьев. М.: Изд-во МИСИ, 1987. - 94 с.

82. Юрьев А.Г. Вариационные постановки проектных задач термоупругости / А.Г. Юрьев // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Воронеж: ВГАСА, 1998. - С. 71-74.

83. Юрьев А.Г. Вопросы рационального проектирования конструкций / А.Г. Юрьев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. - №6. -С. 182.

84. Юрьев А.Г. Генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев // Образование, наука, производство и управление в XXI веке: сб. тр. Междунар. науч. конф. Старый Оскол: Изд-во ООО "ТНТ", 2004. - Т. 4. - С. 238 - 240.

85. Юрьев А.Г. Естественный фактор оптимизации конструкций / А.Г. Юрьев // Известия вузов. Строительство. 1999. - №5. - С. 46 - 51.

86. Юрьев А.Г. Категория генезиса в конструкционной бионике / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев // Проблемы и перспективы развития строительства в XXI веке: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. Магнитогорск: Изд-во МГТУ, 2002. - С. 24.

87. Юрьев А.Г. Оптимизация ферм на основе энергетического критерия / А.Г. Юрьев // Вестник БелГТАСМ. 2002. - №2. - С. 59 - 61.

88. Юрьев А.Г. Основы проектирования рациональных несущих конструкций / А.Г. Юрьев. Белгород: БТИСМ, 1988. - 94 с.

89. Юрьев А.Г. Принцип стационарного действия в биологии и в теории синтеза несущих конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев // Вестник БелГТАСМ, №3. 2003. - С. 48 - 52.

90. Юрьев А.Г. Решение задач подбора материала на основе вариационных принципов / А.Г. Юрьев // Физико-математические методы в исследовании свойств строительных материалов и в их производстве. М., 1982.-С. 179- 183.

91. Юрьев А.Г. Решение изопериметрической задачи термоупругости для ферм / А.Г. Юрьев, А.В. Дрокин // Современные методы статическогои динамического расчета сооружений и конструкций. Воронеж, 2000. -С. 154- 158.

92. Юрьев А.Г. Решение проектных задач термоупругости / А.Г.Юрьев // Изв. вузов. Строительство. 2000. - №12. - С. 18 - 20.

93. Юрьев А.Г. Строительная механика: синтез конструкций / А.Г. Юрьев. М.: Изд-во МИСИ, 1982. - 100 с.

94. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. Белгород: Изд-во БГТУ, 2006.- 134 с.

95. Юрьев А.Г. Энергетический критерий структурообразования несущих конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. 2006. - №2. - С. 90 - 91.

96. Back Т. Application of evolutionary algorithms: Technical report / T.Back, F. Hoffmeister, H.-P. Schwefel. Dortmund: Universitat, 1993. - 88 p.

97. Back T. Evolution strategies I: Variants and their computational implementation / T. Back, H.-P. Schwefel // Genetic algorithms in engineering and computer science. Las Palmas de Gran Canaria, 1995. - P. 120 - 132.

98. Booz G. Eine Dekompositionsmethode zur optimalen Bemessung von Tragwerken unter dynamische Belasturng / G. Booz // Diss., Univasitat GH Essen, Fachbereich 10, 1986. 143 S.

99. Bushnell D. PANDA interactive program for minimum weight design of stiffened cylindrical panel and shells / D. Bushnell // Comput. and Struct.- 1983. V.l6. - № 4. - P. 167 - 185.

100. Bushnell D. PANDA 2 - program for minimum weight design of stiffened, composite, locally buckled panel / D. Bushnell // Comput. and Struct.- 1987. V.25. - № 4. - P. 469 - 605.

101. Cai J. Diskrete Optimierung dynamisch belasteter Tragwerke mit sequentiellen und parallelen Evolutionsstrategien: Dissertation / J. Cai: Universitat GH Essen, Fachbereich Bauwesen. Essen, 1995. - 100 P.

102. Cai J. Evolution strategy, its parallelization and application to discrete optimization problems: Technical report / J. Cai, G. Thierauf. Essen: Universitat, 1994. - 86 p.

103. Cardoso J.B. Design sensitivity analysis of nonlinear dynamic response of structural and mechanical systems / J.B. Cardoso, J.S. Arora // Struct. Opt., 4, 1992.-P. 37-46.

104. Dobbs M. Minimum weight design of stiffened panels with fracture constraints / M. Dobbs, R. Nelson // Comput. and Struct. 1978. - V.8. - №6. -P. 205-209.

105. Eshelman L.J. Biases in the crossover landscape: Technical report / L.J. Eshelman, R.A. Caruana, J.D. Schaffer. New York: Philips Laboratories, North American Philips Corporation, 1989. - 10 p.

106. Esping B. The OASIS structural optimization system / B. Esping // Comput. and Struct. 1986. - V.23. - № 3. - P. 365 -377.

107. Fretcher R. A rapidly convergent descent method for minimization / R. Fretcher, M.J.D. Powell // Сотр. J. 1963. - V. 6. - №2.- P. 163 - 168.

108. Goff R.F. Decision theory and shape of structures / R.F. Goff // Journ. of Royal Aeronaut. Society. 1966. - V.70. - №63. - P. 405 - 412.

109. Greene W.H. Computational aspects of sensitivity calculations in transient structural analysis / W.H. Greene, R.T. Hafitka // Сотр. & Struct. -1989.-V. 32.-P. 433-443.

110. Grill H. Ein objectorientiertes Programmsystem zur diskret -kontinuierlichen Strukturoptimierung mit verteilten Evolutionsstrategien / H.Grill // Fortschr. Ber. VDI Reihe 10. - Dusseldorf: VDI Verlag, 1998. -№520.- 179 S.

111. Haftka R. Programs for analysis and resizing of complex structures / R. Haftka, B. Prasad // Comput. and Struct. 1979. - V. 10. - P. 323 - 330.

112. Hansen S.R. Approximation method for configuration optimization of trusses / S.R. Hansen, G.N. Vanderplaats // AIAA Journal. 1990. -№28(1). -P. 161-168.

113. Hartmann D. Computer aided numerical and structural optimization by means of evolution strategies: Technical report UCB/SESM-84/7 / D. Hartmann. Berkeley, California: University of California, Department of Civil Engineering, 1984.-88 p.

114. Hoffmeister F. Genetic algorithms and evolution strategies: similarities and differences: Technical report SYS-1/92/ F. Hoffmeister, T. Back. -Dortmund: Universitat, 1992. 94 p.

115. Horak V. Inverse variational principle of continuum mechanics / V.Horak. Praha: Ceskoslovenske akademie УЁО, 1969. - 88 p.

116. Hupfer P. Optimierung von Baukonstruktionen / P. Hupfer. -Berlin: VEB Verlag fur Bauwesen, 1970. 146 S.

117. Kanenko J. Minimum norm solutions to linear elastic analysis problems / J. Kanenko, R.J. Plemmons // Int. Journ. Numer. Meth. Engng. 1984. -№6.-P. 983-998.

118. Klosowicz B. On the optimal distributions of elastic module of a non-homogeneous body / B. Klosowicz, K.A. Lurie // Journ. Optimiz. Theory and Appl. 1973. - №1. - P. 32 - 42.

119. Kirsch U. Decomposition in optimum structural design / U. Kirsch, F.Moses // Proc. ASCE. 1979. - V. 105. - № 1. - P. 312 - 316.

120. Kramer G.J.E. Computer automated design of structures under dynamic loads / G.J.E. Kramer, D.E. Grierson // Сотр. & Struct. 1989. - V. 32. -P. 313-325.

121. Lawo M. Optimierung im Konstruktiven Ingenieurbau / M. Lawo. -Wiesbaden, 1987. S. 240 - 248.

122. Levit J. The NOM in structural optimization using Gauss-Leided approximate analysis / J. Levit, M. Fuchs // Сотр. and Struct. 1983. - V.16. -№6.-P. 749-753.

123. Lim O.K. Dynamic response optimization using an active set RQP algorithm / O.K. Lim, J.S. Arora // Int. J. Num. Meth. Engrg. 1987. - V. 24. -P. 1827- 1840.

124. Liu P. Optimierung von Kreisplatten unter dinamischer nicht rota-tionssymmetrischer Last: Diss. / P. Liu; Ruhr Univ. Bochum, 1988. 138 S.

125. Manheim M.L. Hierarchical Structure. A model of design and planning processes / M.L. Manheim. Cambridge, Massachusetts, London, 1966. -180 p.

126. McCart B.R. Optimal design of structures with constraints on natural frequency / B.R. McCart, E.J. Huag, Т.О. Streeter // AIAA J. 1970. - V. 8. №6. -P. 1012-1119.

127. Paerson C.E. Structural design by high-speed computing machines / C.E. Paerson // Conf. on Electronic Computation of ASCE. Kansas City, 1958. -P. 501 -505.

128. Pereshk S. Optimal design of planar frames based on stability criterion / S. Pereshk, K.D. Hjelmstad // J. Struct. Engrg., ASCE. 1991. - V. 117. -P. 896-913.

129. Rajeev S. Discrete optimization of structures using genetic algorithms / S. Rajeev, C.S. Krishnamoorthy // J. of Struct. Engrg., ASCE. 1992. -№118 (5).-P. 1233- 1250.

130. Rechenberg I. Evolutionstrategie'94 / I. Rechenberg. Stuttgart: Fromman - Holzboog - Verlag, 1994. - 158 s.

131. Rechenberg I. Evolutionstrategie: Optimierung technischer Systeme nach Prinzipen der biologischen Evolution / I. Rechenberg. Stuttgart: Fromman - Holzboog - Verlag, 1973. - 162 s.

132. Rozvany G. Optimization of unspecified generalized forces in structural design / G. Rozvany // Trans. ASME. 1974. - V.41. - №4. - P. 1143 -1145.

133. Rubin C.P. Minimum weight design of complex structures subjects to a frequency constraint / C.P. Rubin // AIAA J. 1970. - V. 8. - №5. - P. 923 -927.

134. Sadek E.A. An optimality criterion method for dynamic optimization of structures / E.A. Sadek. // Int. J. Num. Meth. 1989. - V. 28. - №3. - P. 579 -592.

135. Salajegheh E. Optimum design of trusses with discrete sizing and shape variables / E. Salajegheh, G.N. Vanderplaats // Structural Optimization. -1993.-№6.-P. 79-85.

136. Schwefel H.P. Contemporary evolution strategies / H.P. Schwefel,

137. G.Rudolph // Advances in Artificial Life. Dortmund, 1995. - P. 893 - 907.

138. Schwefel H.P. Numerische Optimierung von Computer-Modellen mittels der Evolutionstrategie / H.P. Schwefel. Dortmund: Birkhauser Verlag, 1977.- 152 s.

139. Sheu C.Y. Elastic minimum weight for specified fundamental frequency / C.Y. Sheu. // Int. J. Soly. Struct. 1968. - V. 4. -№10. - P. 953 - 958.

140. Simoes L. Approximate design of structures using pseudo-inverses / L.Simoes // Сотр. and Struct. 1987. - №2. - P. 311 - 316.

141. Spires D. Optimal design of tall RC-framed tube building / D. Spires, J.S. Arora // J. Struct. Engrg, ASCE. 1990. - V. 116. - P. 877 - 897.

142. Taylor J.E. Minimum mass bar for axial vibrations at specified frequencies / J.E. Taylor // AIAA J. 1967. - V. 5. - № 10. - P. 1911 - 1913.

143. Turner M.J. Design of minimum mass structures with specified natural frequencies / M.J. Turner // AIAA J. 1967. - V. 5. - №3. - P. 406 - 412.

144. Venkateswara Rao G. Optimization of cylindrically orthotropic circular Plates including geometric nonlinearity with a constraint on the fundamental Frequency / Rao G. Venkateswara, Raju K. Kanaka // Сотр. & Struct. -1984. V. 18. - № 2. - P. 301 - 305.

145. Yates D.F. The complexity of procedures for determining minimum weight trusses with discrete member sizes / D.F. Yates, A.B. Templeman, T.B. Boffey // Int. J. Soli. Struct. 1982. - V. 18. - №6. - P. 487 - 495.