автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов

На правах рукописи

ХАЛКЕЧЕВ Руслан Ксмалович

РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

Специальность

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 ОКТ 2014

Москва 2014

005553012

005553012

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС».

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник, руководитель группы высоковольтной электронной микроскопии Института металлургии и материаловедения им. A.A. Байкова Российской академии наук Ермишкин Вячеслав Александрович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории геодинамики Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук

Коваленко Михаил Денисович

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела прикладных проблем оптимизации Вычислительного центра им. A.A. Дородницина Российской академии наук Дикусар Василий Васильевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится «26» декабря 2014г. в -/О часов на заседании диссертационного совета Д 212.048.09 Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 105187, г. Москва, ул. Кирпичная, д. 33, ауд. 503.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, д. 20 и на сайте: http://www.hse.ru/sci/diss/. Автореферат разослан «24 » сентября 2014г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

¡h

Назаров Станислав Викторович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Среди существующих теоретических и практических проблем управления, информатики и вычислительной техники особое место занимает проблема математического моделирования трудноформализуемых объектов. Трудноформализуемые объекты - это такие объекты, при математическом моделировании которых невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку.

На данный момент при упоминании термина «трудноформализуемый объект» в первую очередь к ним относят системы с заметным вмешательством людей, такие как экономические и социальные системы. При этом не совсем обоснованно к трудноформализуемым объектам не относят класс объектов, именуемых естественными или природными, или наконец, реально существующими мультифракталами. Действительно, поведение большинства природных мультифрактальных объектов сопровождается заметным вмешательством людей, и по этому признаку они могут быть по праву отнесены к трудноформализуемым.

Словосочетания природные (естественные, реально существующие) мультифракталы применяют для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде мультифрактального множества как математического понятия структуры. В тоже время предполагается, что они (природные мультифракталы) хорошо моделируются мультифракталами - математическими объектами, являющимися, согласно М. Шредеру, расширением понятия фрактала на сложные структуры с более чем одним показателем скейлинга. Более строгое определение сформулировал Ю.А. Данилов: «Фракталы, характеризуемые целым спектром размерностей, представляют собой как бы несколько «втиснутых» одна в другую фрактальных структур и называются мультифракталами».

Приведенное определение отражает важный отличительный признак мультифрактальных объектов. Однако ни это определение, ни более строгие определения, не дают полного представления о мультифракталах. Это утверждение, как нетрудно заметить, справедливо также и для фракталов, на основе которых строится определение мультифракталов. К тому же наличие в определении мультифрактала нечетких терминов, таких как «несколько» и «втиснутых», увеличивают и так существующую неопределенность в понятии «мультифрактал». Все это, от начала исследований природных мультифракталов до настоящего времени, не способствует построению общей теории мультифрактального моделирования. Не способствует этому и вынужденный отказ от самого эффективного подхода к изучению трудноформализуемых объектов - «метода

аналогий».

Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств математических моделей - их универсальности, т. е. их приложимости к объектам принципиально различной природы. Однако достаточно изученных объектов для проведения аналогии с природными мультифракталами до сих пор не существует. Здесь речь идет о привычной аналогии в рамках существующих методов ее проведения. В данном случае такой аналогии не проглядывается. И поэтому был выбран путь отличный от того, который предполагает «метод аналогий» - самый эффективный метод исследования трудноформализуемых объектов, в данном случае, таких как природных мультифрактальных объектов. Этот выбранный путь заключался в следующем.

Естественно, что вначале наблюдалось стремление при решении проблемы не слишком удаляться от привычной немультифрактальной терминологии и немультифрактальных математических методов, приспособляя их, так или иначе, к новым обстоятельствам. Так, например, понятие «мультифрактал» подменяется термином «тело», понимаемое как бесконечное множество частиц, которым можно поставить во взаимнооднозначное соответствие упорядоченные тройки вещественных чисел, называемых координатами. В качестве же математического аппарата используется классический математический анализ, в рамках которого математические модели сводятся к локальным дифференциальным уравнениям в частных производных. При этом приходилось добавлять придуманные дополнения, без чего нельзя было, конечно, получить нужных ответов. Такой подход является всегда искусственным из-за пренебрежения осторожным применением уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот).

Другой подход состоит в том, что каждая конкретная проблема трактуется уже как мультифрактальная, но индивидуально, с применением того или иного, наиболее к ней подходящего метода, и с учетом ее специфических особенностей. Этот подход, конечно, сам по себе правилен. В его рамках ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие все свое значение и в настоящее время. Сюда в первую очередь нужно отнести работы Б.Б. Мандельброта, Дж. Э. Мартина, X. Де Виджеса, Е. Федера, П. Микина, X. Э. Стенли, Л. Нимайера, Т.А. Виттена и др., сыгравшие существенную роль в развитии интересующей нас области. И в настоящее время иногда удобно в том или ином случае идти в данном направлении исследований.

Но при этом необходимо отметить, что фактически такие решения отдельных задач, которые не имели достаточного математического обоснования, а именно: ограничивались определением спектра фрактальной размерности, и делалась попытка связать его с числом существенных параметров системы, вряд ли целесообразны. Эти решения в таком виде не ведут к установлению той базы, как математической, так и физической, которая необходима для разработки теоретических положений мультифрактального моделирования

трудноформализуемых объектов.

Отсутствие математической базы особенно проявляется при решении конкретных задач о деформировании и разрушении природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов. В то время как участие «человеческого фактора» сводится в большинстве своем к воздействию, при котором происходит деформирование с последующим разрушением этих природных мультифрактальных объектов. И вот еще одна причина, по которой имеет смысл в первую очередь обратиться к исследованию задач деформирования и разрушения, при этом не нарушается общность - разработанные методы применимы и для других физических и технических задач.

А между тем в рамках метода аналогий, основы математического аппарата, адекватного не только отдельным задачам, но и всему циклу проблем фрактального моделирования относительно процессов деформирования и разрушения, которые тесно связаны с мультифрактапьным моделированием, существуют относительно давно. Они заложены в известных работах В. Фойгта, А. Ройсса, Дж. Эшелби, Р. Хилла, Е. Кренера, 3. Хашина, С. Штрикмана, И. А. Кунина, С. К. Канауна, Т.Д. Шермергора, К. В. Халкечева, Д.Д. Ивлева, Г.А. Иосифьяна, Г.П. Черепанова и др., преследовавших, правда, другие цели. Но решенных в этих работах отдельных задач, не допускающих должного обобщения, и разработанного математического аппарата, а также методов математического моделирования недостаточно для того, чтобы они стали основой, в полном смысле этого слова, разработки теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов. В частности, методы исследований математических моделей, или в случае указанных работ попросту говоря - решений полученных математических задач, не отличаются той необходимой общностью, чтобы их (методы) применить при исследовании мультифрактальных моделей природных мультифракталов с включениями в виде объектов с произвольными группами нечувствительности, ответственными за агрегатное состояние. Особенно это актуально, когда речь идет о мультифрактальных моделях природных мультифрактальных объектов, в которых среди ' «втиснутых» фракталов есть объекты с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой.

Во всех существующих разработках есть еще один недостаток, не позволяющий адекватно описывать как природные фрактальные, так и мультифрактальные объекты. С одной стороны, при исследовании математических моделей вводится процедура усреднения по ансамблю полей неоднородностей, которая фактически является отказом от механического описания. Это вызвано непомерно огромным числом участников в исследуемой системе, в результате состояние индивидуальной неоднородности почти не сказывается на состоянии системы в целом. А такая система является термодинамической, и I в связи с этим, для ее описания должны быть использованы термодинамические понятия. С ( другой стороны, система в целом является механической, и поэтому для ее описания

используются макроскопические механические понятия, как в уравнениях, так и в ее решениях, т. е. не используются термодинамические понятия. При таком некорректном описании невозможно получить адекватную модель исследуемого природного мультифрактального объекта.

Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о необходимости и возможности разработки теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов, которые можно квалифицировать как научное достижение по направлению - управление, вычислительная техника и информатика.

Цель исследования - разработка теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов.

Основная идея работы. Математическое моделирование трудноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов следует производить на основе мультифрактального подхода. Он заключается в построении для исследуемого объекта мультифрактальной модели, представляющей собой совокупность связанных между собой математических моделей фрактальных сред. При этом каждая из данных сред описывает фрактальные объекты, входящие в состав исследуемого трудноформализуемого объекта -природного мультифрактала.

Методы исследований. Выполненный комплекс исследований включает совокупность методов математического моделирования, численную реализацию на ЭВМ и сравнение с известными точными решениями в простейших случаях, с натурными и экспериментальными (лабораторными) исследованиями для отдельных объектов.

Объект исследований - класс природных мультифрактапьных объектов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- мультикомпонентная математическая модель природного мультифрактала первого порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств, описывающая упругое и упругопластическое состояния, а также с учетом ' полученного закона изменения количества движущихся дислокаций: упругопластическое с упрочнением, идеально-пластическое, нечеткое идеально-пластическое, нечеткое упругопластическое с упрочнением и нечеткое пограничное состояния;

- мультифрактальные математические модели природных мультифракталов второго, I третьего, четвертого и пятого порядков сложности как трудноформализуемых объектов относительно деформационных свойств;

- мультифрактальные математические модели природных мультифракталов различных порядков сложности и фракталов как трудноформализуемых объектов относительно полей напряжений;

- представленный в алгоритмическом виде фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта, позволяющий определить границы ! применимости разработанных мультифрактальных математических моделей природных I

мультифракталов как трудноформализуемых объектов;

- перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде внезапных выбросов пород и газа, на основе которой разработан алгоритм проверки газосодержащего породного массива на предмет такого динамического проявления;

- перколяционная мультифрактальная математическая модель динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней, на основе которой разработан алгоритм проверки жидкостьсодержащего породного массива на предмет данного динамического проявления;

- комплекс программ компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения природных мультифрактальных объектов различных порядков сложности.

Научная новизна работы состоит:

- в разработке нового математического метода мультикомпонентного моделирования, отличающегося тем, что переход из одного состояния объекта в другое осуществляется посредством разработанной динамической модели;

- во введении нечеткого тензора - нового научного понятия, позволяющего описать напряженно-деформированное состояние природного мультифрактала в рамках теории нечетких множеств, когда отсутствуют достаточно точные знания о трудноформализуемом анизотропном объекте мультифрактальной структуры;

- в разработке комплексного метода самосогласованного поля, развивающего методы приближенного исследования многокомпонентных систем и их моделей, разрешающего противоречие между термодинамическим и механическими подходами к решению проблем деформирования трудноформализуемых объектов мультифрактальной структуры;

- в построении мультикомпонентной математической модели природного мультифрактала первого порядка сложности относительно деформационных свойств, позволяющей адекватно описать полную диаграмму «напряжение - деформация» для объектов мультифрактальной структуры, путем учета изменения количества линейных дефектов в процессе деформирования;

- в разработке нового математического метода мультифрактального моделирования труноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов различных порядков сложности относительно деформационных свойств, расширяющего возможности применения вновь разработанного комплексного метода самосогласованного поля к фрактальным и мультифрактальным средам, составленным из компонент, сильно отличающихся по упругим свойствам;

- в построении мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности относительно деформационных свойств. Развитый при этом математический аппарат позволяет свести локальные начально-краевые задачи к усредненным, более адекватно описывающим неоднородные

моделируемые объекты;

- в разработке мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов различных порядков сложности и фракталов относительно полей напряжений, каждая из которых сводится к уравнениям в частных производных в рамках теории обобщенных функций - аппарата адекватно описывающего физическую теорию поля;

- в разработке эффективного численного метода определения представительного объема природного объекта, представленного в виде алгоритма. Данный метод позволяет различать между собой природные и незавершенные мультифракталы, и тем самым определять границы применимости разработанных мультифрактальных математических моделей природных мультифракталов как трудноформализуемых объектов;

- в построении перколяционной мультифрактальной математической модели динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде внезапных выбросов пород и газа. Главной особенностью, отличающей ее от аналогов, является то, что в построенной модели при определении напряженно-деформированного состояния природного мультифрактала и его последующего разрушения, приводящего к выбросу, учитывается главный фактор - влияние газа как агрегатного состояния природного мультифрактального объекта, группа преобразований которого совпадает с унимодулярной группой. На основе данной модели предложен новый алгоритм проверки газосодержащего породного массива на предмет динамического проявления в виде внезапного выброса пород и газа;

- в разработке перколяционной мультифрактальной математической модели динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности в виде оползней. Главной особенностью данной модели, отличающей ее от аналогов, является то, что в ней при определении напряженно-деформированного состояния природного мультифрактала и его последующего разрушения, приводящего к сходу оползня, учитывается главный фактор - влияние жидкости как агрегатного состояния природного мультифрактального объекта, группа преобразований которого совпадает с унимодулярной группой. На основе данной модели предложен новый алгоритм проверки жидкостьсодержащего породного массива на предмет динамического проявления в виде

оползня;

в разработке комплекса программ компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения природных мультифракталов различных порядков сложности, позволяющий осуществлять оперативный мониторинг состояния газосодержащего (или жидкостьсодержащего) породного массива как природного мультифрактала пятого порядка сложности на предмет выбросоопасносги (или реализации оползневого процесса).

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждается следующим:

- корректностью применения апробированного математического аппарата: методов математического моделирования трудноформализуемых объектов, теории потенциала, тензорного исчисления, теории псевдодифференциальных операторов, теории интегральных уравнений, методов фрактальной и мультифрактальной геометрии, нечеткой теории динамических систем, теории возможностей, уравнений в частных производных, понимаемых в смысле обобщенных функций;

- корректностью применения методологий информационных технологий: объектно-ориентированного проектирования и программирования, унифицированного языка моделирования;

- согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей, с экспериментальными данными других исследователей и натурных наблюдений.

Результаты диссертационной работы имеют практическую ценность:

- при исследовании трудноформализуемых объектов в виде природных мультифракталов различных порядков сложности;

- при разработке методов контроля и снижения рисков возникновения выбросов пород и газа в горных выработках;

- при составлении проектной документации на строительство инженерных сооружений в районах, опасных по оползневым процессам.

Результаты исследования реализованы на спецкурсах для студентов, специализирующихся по профилям: математическое и компьютерное моделирование, материаловедение, вычислительные методы в физике с применением компьютерных технологий, инженерия программного обеспечения, а также для студентов инженерных специальностей.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:

- на девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия (г. Кисловодск, май 2008г.);

- на девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Осенняя сессия (г. Волгоград, октябрь 2008г.);

- на тринадцатом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Летняя сессия (г. Петрозаводск, июнь 2012г.);

- на тринадцатом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Осенняя сессия (г. Сочи, октябрь 2012г.);

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 28 научных статьях, из которых 21 статья опубликована в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 229 наименований, включает 1 таблицу, содержит 116 рисунков.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель и задачи исследования, раскрыты научная новизна и перечисляются результаты, выносимые на защиту.

В первой главе проведен анализ существующих методов математического моделирования трудноформализуемых объектов. Проведенный анализ позволил сделать вывод о том, что каждая из существующих теорий и решенных отдельных задач, которые не имели достаточного математического обоснования, не могут составить основу для теории мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов. Кроме того не наблюдается явной связи методов математического моделирования, используемых в данных работах, с методами мультифрактального моделирования. Для нахождения связей между существующими математическими моделями по деформированию и разрушению с мультифрактальным моделированием было произведено исследование структур. Поэтому была выбрана сначала простая абстрактная математическая структура, а затем она была связана с внутренним строением реальных природных систем. На основе этого были идентифицированы природные мультифрактальные объекты различных порядков сложности. В результате появилась возможность использования одного из эффективных подходов к изучению трудноформализуемых объектов - «метода аналогий». Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств математических моделей - их универсальности, т. е. их приложимости к объектам принципиально различной природы.

Во второй главе разработаны: мультикомпонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности как трудноформализуемого объекта относительно деформационных свойств; мультифрактальные математические модели природных мультифрактальных объектов второго, третьего, четвертого и пятого порядков сложности как трудноформализуемых объектов относительно деформационных свойств; мультифрактальные математические модели природных мультифракталов различных порядков сложности и фракталов как трудноформализуемых объектов относительно полей напряжений.

Мультикомпонентная математическая модель природного мультифрактала первого ! порядка сложности относительно деформационных свойств представляет собой набор взаимодействующих друг с другом моделей (которые назовем компонентными), согласованных по функциям и форматам данных, предназначенных для определения деформационных свойств природного мультифрактала первого порядка сложности в различных состояниях. I

Разработаем компонентую математическую модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в упругом состоянии. Природный мультифрактальный объект первого порядка сложности представляет собой фрактал, состоящий из вплотную

прилегающих друг к другу природных фракталов (фрактальных неоднородностей). Рассмотрим трехмерную неограниченную анизотропную упругую сплошную среду со случайно-ориентированными в пространстве неоднородностями в эллипсоидальных

(ш)

областях V, которые соответствуют природным фракталам. Обозначим через С тензор модулей упругости эллипсоида, который является случайной величиной. Здесь и далее, буквенно-числовое сочетание, заключенное в скобки над тензорной величиной, является пометой, а не индексом, и указывает на семантическое значение данной величины.

(т)

Поместим в матрицу, с упругими свойствами равными усредненным значениям < С > , указанные эллипсоидальные неоднородности и тем самым получим модель сплошной среды для рассматриваемого природного мультифрактала первого порядка, которую назовем сплошной средой со структурой. Тогда полученную среду с неоднородностями

(ш) (т) (1т)

будем характеризовать тензором модулей упругости С(х)-< С > + С У(х), где х(х1,х2,х)) - точка среды; У(х) - характеристическая функция области V, т.е. Г1 при* б V

У(х) = < (поскольку неоднородности вплотную прилегают к друг другу, то

[О при д: е V

(1т) (т) (т)

К(д:) = 1); С =С-< С > - случайный четырехвалентный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности и меняющийся скачком на границе эллипсоидов. В

(т)

результате С (х) является кусочно-постоянной положительно-определенной функцией,

(От)

имеющей разрыв на границе эллипсоидов. Обозначим через тензор е (*) непрерывное

(1т)

внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С = 0 в матрице при заданных

(т)

внешних силах. А через тензор £ (х) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

Рассматриваемая среда описывается следующими системами уравнений, понимаемых в смысле обобщенных функций: 1) уравнения равновесия:

(т) (т) (т) (От)

ЭД С*ы{х)дк и, (х)] = -/'(*). «,(*)-> и, (*) при X ^ со, (1)

(т) (От) 1

где д{кип(х)= ек1(х) = -

( (т) (т)

д ик д и, дх, дхк

/'(х) - внешние силы, которые в силу

(От)

непрерывности еи (х) не содержат сингулярностей типа простого и двойного слоев; 2) кинематические уравнения:

(т) (т) 1

(т) (т)^

ди, | диу дх, дх,

3) определяющие уравнения:

(т) (т) (га)

(3)

Отсутствие простых слоев в уравнении (1) является причиной непрерывности

(т) (т)

нормальной составляющей напряжений а0(х) = С'1 (х)еи(х) на границе 5 области V. Поскольку уравнения записаны в аффинной инвариантной форме, то без ограничения общности можно считать, что .У - единичная сфера, т.е. х:-х = 1.

Используя работу И.А. Кунина об эллипсоидальной неоднородности в упругой среде в рамках метода аналогии, сведем систему (1) к следующему интегральному уравнению:

(1т) (От) (1т) (1т) (От) (1т) (От)

е ц

у

+ | К ¡до (х-х') С е „„(х')сЬс' = -1 К ¡до(х-х') С Ытп е тп(х')с1х , (4)

(От) (От) (От) Г (т) V1

где К уы(х-х') = -[3(.3, С ]к{х-х')\тп, <7 = -V < С > V - тензорная функция

Грина матрицы, V - градиент по л:.

Применяя метод аналогии с исследованиями из работы И.А. Кунина об эллипсоидальной неоднородности в упругой среде, получим решение уравнения (4) для

(ш)

поля деформаций внутри изолированного включения е в области V, наведенного

(От)

постоянным внешним полем деформаций е :

(1т) ( (га) (1т)у! (От)

е = 1+ В - С • е , (5)

(т) ) (От)

где I - единичный четырехвалентный тензор; В = — I К (Ак) ей1; А - тензор, определяющий невырожденное аффинное преобразование трехмерного пространства;

(От) (От)

К (к) - преобразование Фурье-ядра К ^и(х-х'); - поверхность единичной сферы в ; Фурье-пространстве.

Для учета взаимодействия неоднородностей и влияния его на поле деформаций внутри включения разработан комплексный метод самосогласованного поля, который применительно к рассматриваемой задаче, может быть сформулирован следующим образом: 1) каждое из включений любой конкретной реализации случайного поля неоднородностей рассматривается как изолированное эллипсоидальное включение в

(Еш)

матрице; 2) поле деформаций е , в котором находится каждое из включений,

(Сш)

складывается из собственного поля в как изолированной неоднородности, внешнего

(От) (N14)

поля £ и поля наведенного окружающими неоднородностями е . Поскольку

(Еш)

необходимо задаться некоторой аппроксимацией поля е , то будем считать, что оно постоянно.

В рамках данного метода получено следующее выражение для подсчета эффективного

(еГт)

тензора модуля упругости С :

(ейп) (т) (!т)

С=<С1+В С >-<1+В-С >.

(т) (1т)

(6)

Теперь перейдем к разработке компонентной математической модели природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии. Эта модель сводится к

(т)

уравнению относительно вектора перемещений и (я:):

(1т) (От) (0т)(1т) (От)

. ^иш/ (цш дин; • (От) (2т)

и (л:) = -|у С с*-*') С й (х')еЬс'-|У С О-*') С с1 (х')сЬс',

(V)

(1т)

где (I - поле дислокационных моментов, индуцированное внешним полем напряжений, которое линейно связано с последним и приводит к изменениям модуля упругости в точках

(2т)

среды, с1 - поле дислокационных моментов, которое определяет пластические

(т) (От) (1т) (т) (От)

деформации, и = и + и , и (х) —> и (х) при х —> °о;

Уравнение (7) относительно приращения полной деформации имеет вид:

(т) (От) Г(1т) (т)/ , Л

ё £ + ] К (х - х') С -с1 -£/;(и(стеДи(®е,+е,®и()®(и,.®е, + е,®и,.)1х (8)

(т)

х С

1 д, Ут>

® е' + е1 ® )® ® е' + е( ® ) с +1

2 ¿=1 . )

(т) (От)

й £ сЬс' = 6? £ ,

(т) (т) (Рт) (Цт)

где (1 £ - приращение полной деформации £ = в + е ; I - единичный четырехвалентный тензор.

(От)

Решение уравнения (8) при постоянном внешнем поле (I е имеет следующий вид:

От)

а £ =

(т)

1+ В

(1т) (т)( 1 N

С -С I -Х/Х",0"«.)(", ® е, + е,. ® п,.)®(п,. ® е, + е,. ® л,.)

(т)(71 " Ут)

х С| I ®е1 ®и,)®(л, ®е(. +е1 ®и,)1 С+ I

(ш)

X С

(¡ш)

(1ш) (т)/" 1 "

- < С - С I -2]/(«,-сге,.)(/?,. ®е1 +е, ®и,.)®(и,. ® + е, ®и,)

1А Ут) V'

-¿^/¡(п,сге1.Хп, ®е,+е, ® л,)® (и,. ®е< +е, ® л,)1 С + 1 I >

V1

(От)

<1 е ,

где й £ - приращение поля деформации внутри изолированного включения; N -постоянное количество дислокаций.

Применяя разработанный комплексный метод самосогласованного поля, окончательно получим выражение для эффективного тензора модулей упругости природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии:

(ейл) (ш)/ (ш)

С =< С 1+ В

(ш)

X С

"(1т) (т)Г I N \

С - С\-^/,(п1ае1)(п1®е1+е/®п1)®(п1®е,+е,®п1)\х

(щ)

От) (т)

(1 " Ут>Г (1 "

Х1 2 ® +е< ®е, + е, ®и,) I С II -^/(/«/хвДл, ® е, + (10)

(т)

(т)

>■< 1+ В

(!т) (п.)/ I n с -

+е,. ® и,)®(и, ®е, +е,. ® С + ^ >

Мт)/'/'] N

X (и, ® е. + е, ® и,.)®(л, ® е, + ® е< + е/ ® ",) ® («, ® е/ +

Мт) у1 (1т) (т){ n \

+е, ® Л/)J С+ IJ - < С - С I®е,- + ®«()®(я,. ®е,+е,®п1) 1х

(т)

X С

— ®е,. +е, ® и,.)® (и,. ®е, + е( ® и,.) С + 1 >

(т)

Из упругопластического состояния природный мультифрактал первого порядка сложности может перейти в одно из следующих взаимоисключающих состояний: упругопластическое с упрочнением, идеально-пластическое, нечеткое упругопластическое с упрочнением, нечеткое идеально-пластическое и нечеткое пограничное. Выбор такого состояния определяется на основе разработанной математической модели изменения количества движущихся дислокаций в структуре природного мультифрактального объекта первого порядка сложности, имеющей следующий вид:

— = +рЫ-¡>, ш

(П)

где д - нечеткий параметр, характеризующий процесс увеличения коэффициента прироста движущихся дислокаций; р - нечеткий начальный параметр прироста движущихся дислокаций; § - скорость поглощения поверхностными дефектами движущихся дислокаций. Здесь и далее параметры, задаваемые в нечеткой форме, имеют помету «~».

Решая уравнение (11), получим закон изменения количества дислокаций N(1), совершающих движение в структуре природного мультифрактала первого порядка:

I - ехр , ' + --—-'— х 1п

т

(р-^яй + р2)

ф У4Ч2 + Р2)

^ЯЁ + Р2

V

2 д

К

Р +

+ Р'

¿Я

2 Я

ехр

Ч

(>/4гё+р2)3

р1

:1п

К+-

+ Р'

2 Я

Р +

+р2

2д

, (12)

/ у

где Ы0 - начальное количество дислокаций.

Подставляя функцию N(1) из (12) в (10) вместо постоянного N получим компонентную математическую модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в упругопластическом состоянии с упрочнением:

(еЛл) и /(еГт) N (еГт) \"| .(ейп) , (е(.т) Ч

С (0= С (,)| с (Г>Л= и Ш С,,,«^,,« I,

(13)

где

(е(т)

С (/)

нечеткий эффективный тензор модулей упругости;

• (1с'т) 1 / / - • Г(еГт) ^ (еГт)

С[,](г) =^|Лг[,](Лг(0))< №с £[/](') _ степень принадлежности элемента С[()(/)

(еГт)

нечеткому тензору С (/), ~~ степень принадлежности элемента

(ейп)

нечеткому параметру Ы{ Г); С(/] (?) - четкий тензор, получаемый подстановкой | € зирр(А^(/)) в выражение (10); - функция, определяющая количество

(ейп)

упорядоченных пар в нечетком множестве С (?).

Компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в идеально-пластическом состоянии эквивалентна

представленной выше математической модели природного мультифрактала первого порядка в упругопластическом состоянии с упрочнением. Единственным отличием данной модели является то, что функция N(t) при идеально-пластическом состоянии является возрастающей.

И наконец, последняя компонентная математическая модель природного мультифрактального объекта первого порядка сложности в любом из нечетких состояний (нечетком идеально-пластическом, нечетком упругопластическом и нечетком пограничном) может быть представлена в следующем виде:

(efm)

С =

{ ((efm)4 (efm Л / —Ч I

¿у ст кп > Мип С[2]

V \ j к К J J

(14)

(efm) (efm) (efm) (efm)

где С'.. = СД, = с' ; С'

'(U ~ C2J

четкий тензор, получаемый подстановкой N0 в выражение

(Ю); му

\

С' j = w

(Щ, +PNi)-N0 Pn, +

\ ( (efm)\

> №ип II

^ J V

As +аы,

PN, -

динамической системы (11), соответственно; w =

модальное значение, левый и правый коэффициенты нечеткости репеллера N = М,

Г1 ,для тщ - а ^ < N. < тщ + /3^ у 0, в других случаях Разработаем мультифрактальную математическую модель природного мультифрактального объекта второго порядка сложности. Природный мультифрактальный объект второго порядка сложности представляет собой фрактал, состоящий из вплотную прилегающих друг к другу фрактальных неоднородностей, каждая из которых содержит микровключение, обладающее группой нечувствительности, совпадающее с унимодулярной группой. Разделим мультифрактальную сплошную среду, соответствующую природному мультифракталу второго порядка, на две вложенные одна в другую и связанные между собой фрактальные среды. Первая из них, назовем ее фрактальной средой первого порядка, является трехмерной сплошной средой со случайными неоднородностями, соответствующими природным фракталам. А вторая - фрактальная среда второго порядка, представляет собой трехмерную сплошную среду с эффективными деформационными свойствами первой фрактальной среды со случайным полем эллипсоидальных неоднородностей в виде микровключений, разнесенных в пространстве. Разработаем для каждой из данных фрактальных сред свою математическую модель. В результате получим мультифрактальную математическую модель природного мультифрактального объекта второго порядка сложности.

Математическая модель фрактальной среды первого порядка полностью совпадает с разработанной выше мультикомпонентной математической моделью природного

мультифракталыюго объекта первого порядка сложности относительно деформационных свойств.

Разработаем математическую модель фрактальной среды второго порядка. Построение такой модели полностью зависит от того, описываются ли деформационные свойства первой фрактальной среды четкими или нечеткими эффективными упругими константами. Рассмотрим случай, когда эффективные тензоры модулей упругости и упругих податливостей фрактальной среды первого порядка имеют четкий вид.

Используя содержательную модель и работу И.А. Кунина об эллипсоидальной неоднородности в упругой среде в рамках метода аналогии, получим следующее уравнение

(ms)

для кусочно-непрерывного поля деформаций £ (л:) во фрактальной среде второго порядка:

(ms) (ms) (Ims)(ms) (Oms)

s (*) + j K(x-x') С e (x'W(x')dx' = s , (15)

(1ms) (efm)

где С = /?01 - С ; p0 - первоначальное давление в микровключении; W(x) -

il при* e К

характеристическая функция области V, т.е. W(x) = { ; оператор

[0 при xîV

(ms) (m) (m)

к = -def G def ; G - тензорная функция Грина матрицы первого порядка; def -

(0ms)

оператор, соответствующий симметризованному градиенту; е (х) - непрерывное

(1ms)

внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С = 0 в матрице первого порядка при заданных внешних силах.

(ms)

Из (15) для поля деформаций е внутри эллипсоидальной неоднородности получим уравнение:

(ms) -(ms) (lms) (ms) (0ms)

W(x) s (x)+j К (x-x1) С £ (x'W(x')fV(x)dx' = IV(x) £ . (16)

С другой стороны поле деформаций внутри любого включения в рамках комплексного метода самосогласованного поля имеет следующий вид:

(ms) f (ms) (lms)y' (£ms)

£ = 1+ H- С • £ , (17)

(ms) J (ms) (ms) (ms)

где II = -— I К (Ak)dS, К (к) - преобразование Фурье-ядра К1Ш(х-х'); 4 л" ; '

(£ms) (0ms) (ms) (ms) (0ms) (JVms) (Mus)

£ = £ + £■, ê=£+£; £ - поле, наведенное другими неоднородностями. Решая совместно (16) и (17), окончательно для эффективного тензора модулей

(ейш)

упругости фрактальной среды второго порядка С получим.

г

I

(££ гш)

(ейш) (сйп) у (¡тз)/ (п^) (1пв)У'

С = С +<~Т С 1+ н- с >

' (ВУт1)

V

(Ин«)

(0п]5) у Опн)/ (1ТО) ОпиЛ-1

Н -<7^7 С 1+ Н- С >

' (ДИм)

V

(та) (Огщ) 1 (пв)

где Н = Н =- ¡К(Ак)с®, при А= 1;

Ак *

(Ышб) (ВГгш)

V и V

- (18)

соответственно объем

эллипсоида и объем блока Вороного во фрактальной среде первого порядка с микровключениями.

Рассмотрим второй случай - эффективный тензор модулей упругости фрактальной среды первого порядка имеет нечеткий вид. В этом случае деформационные свойства природного мультифрактала будут определяться нечетким эффективным тензором модулей

(еГшэ)

упругости С (/), имеющим следующий вид:

(сГш)

С (О

(еЛпэ)

с (0= и /=1

(еГгти) \ (ейт)

см О > сш (0

, . ч , (Нт!)

< ((сй™0 > < Г (ейи) \ (ейш) (еЛп) у (1ш5) ( (гт) (1пв)

где Не у Ст (t)j = Не у с,,, (0]; С,„ (0 = с,, (0 + < ст + Н[(](0 • ст со

(19)

>х

(Или) (Он«) у (1т5)

V

(Ш5)

(1Ш5)

\ Лейл) N

> ; А с (0

V У

функция,

(с(т)

определяющая количество упорядоченных пар в нечетком множестве С (!); квадратные скобки с индексом у тензоров указывают на порядок (номер) пары в соответствующих упорядоченных нечетких множествах.

В рамках подхода к мультифрактальному моделированию трудноформализуемых объектов получены мультифрактальные математические модели природных мультифракталов третьего, четвертого и пятого порядков сложности относительно деформационных свойств

Природный мультифрактал третьего порядка сложности представляет собой фрактал, который наряду с микровключениями во фрактальных неоднородностях содержит полости, соответствующие макровключениям, обладающим группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой. При этом каждое макровключение занимает некоторый объем, величина которого больше объема фрактальной неоднородности исследуемого природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности.

Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности относительно деформационных свойств состоит из математических моделей фрактальных сред первого, второго и третьего порядков сложности. Модели фрактальных сред первого и второго порядка полностью совпадают с ранее разработанными - мультикомпонентной математической моделью природного мультифрактала первого порядка сложности и мультифрактальной математической моделью природного мультифрактального объекта второго порядка сложности.

Математическая модель фрактальной среды третьего порядка сводится к следующему уравнениям:

а) если эффективный тензор модулей упругости фрактальной среды второго порядка имеет четкий вид, то

(££ ПН) _.

(ейт) (еГпк) у (1т1)/ (т!) (1т!)Л

С = с с [1+ с ) >■

(££ т!)

(От!) у (1т1)^ (ш!) (1т1)

I- 2 <7^гг С \ 1+ 2 С

(вуш1)

V

>

. (20)

(1т1) (еГт5) (гп1) (От!) 1 (т!)

где С =р01- С ; 2= 2 = —\К(Ак)118, при А = 1

4тг ;

(Ш1)

К =

(тэ) (тэ)

-с/е/ С с!е/\ в -

тензорная функция Грина матрицы второго порядка (трехмерной сплошной среды с

(еите) (еш1) (вут1)

эффективными деформационными свойствами С ); V и V - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в рассматриваемой фрактальной среде, б) если эффективный тензор модулей упругости фрактальной среды второго порядка задан в нечеткой форме, то

(ейл!)

(еСтэ)

с (О

(еСпЛ)

(еГт!)

С (0 = у 1,^,(0

(£Ьт1)

Лей) Л ((еСтэ) Л (ейм) (еГтэ) у (1т1) ( (т!)

где ц'с у Сщ (Г) J = /4 ^ С(, (0Ст (0 = Сщ (0+ < щггу С(„(0^1 + х

(21)

(|Ш1)

I >

V

(йт!)

(От!) у (1|М) ( (тЦ (1т!)

(ВУтМ) *-'[/]

(0 1 + ^(0-^(01 >

V1

; Л

(ейщ)

С (0 \ - функция,

(ейл5)

определяющая количество упорядоченных пар в нечетком множестве С (0 •

Природный мультифрактал четвертого порядка представляет собой фрактал, состоящий из природных мультифракталов третьего порядка вплотную прилегающих друг к другу, каждый из которых принадлежит к одному определенному виду. При этом природные мультифракталы третьего порядка, относящиеся к одному виду, имеют идентичные

деформационные свойства.

Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта четвертого порядка сложности, состоящего из трех видов природных мультифракталов третьего порядка сводится либо к уравнению:

(£ЛшГ) .

(ейтО (еГс1тО у (НтО/ (1тС) (ИтПу1

С = С +<1^ТТ с 1^1+ Н- С J >х (22)

( (ЕИт!) . Л"1

(ОИпГ) у (ИтО/ (ИпС) (ИтГ)У'

х I- н .Кщяя С н ■ с J >

V V )

(ИтГ) (ейпО (еИтО (1тО ((НтО 1 (1тО (1тГ) (йтГ) (с!тГ)

где С = С-С;Н=Н =—Г К (Ак)с15, при А = 1; К =-с1г/ С с1е/; С

- тензорная функция Грина двухкомпозиционной матрицы четвертого порядка (трехмерной

(еГсМ) (ШтпГ) (ВУтГ)

сплошной среды с эффективными деформационными свойствами С ); V и V -соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в рассматриваемой

(1тС)

трехкомпозиционной фрактальной среде четвертого порядка; К (к) - преобразование

(Ей шГ) ,

(1тС) (еГ<!тО (е&тО у (ЛпО (МтОу1 ( (0<1тГ)

Фурье-ядра Кт(х - х); С = С +<ТШщ С г ■ С J г х

у (ИтО/' (<1тО (МтГ)'

<тшгг) с \1+ 2 ■ с >

V К

-1

(ШтГ) (ейт) (еГзтО (ЛпО (О&пГ) | Дс1тО

; С = С- С,г=г=— I К (Ак)с15

47Ч

(сМ) (5шГ) (5тО

при /4 = 1; К =-с!е/ С def; С - тензорная функция Грина однокомпозиционной матрицы четвертого порядка (трехмерной сплошной среды с эффективными

(еГвтО (Шш() (ВУЛт()

деформационными свойствами С ); V и V - соответственно объем эллипсоида

(йтО

и объем блока Вороного в рассматриваемой фрактальной среде; К (к) - преобразование

(ЛпО (еГзтГ) (ейм)/ ЫО (ЬтГ)

Фурье-ядра (х - х'); С =< С 1+ В • С \ >■<

(ЬтО

1+ В • С I >-'; С =

(ейп!) (Сбп|) (8шГ) } .(зтО (зтО (т1) (тЦ

= С - < С >; В=- К (Ак) ¿Б; К = -с!е/ <7 йе[; С - тензорная функция

Грина матрицы третьего порядка (трехмерной сплошной среды с деформационными

(еГпч) (БтО (втО

свойствами < С >); К {к) -преобразование Фурье-ядра Кт(х-х'), либо к уравнению:

(efdmf) (llmf) '

h С (0 h С (!)

(eftmf)

с (0 =

/(efdmf) (Uraf) (eitmf)/(efdmf) (Umf)

U U (Дсм 'Cm«J, С ,cw(0

/'(efdmf) (Umf) \ ( /(erdmf)\ /(Itmf)\\ (eftmf)/(efdmf) (Umf)

где/4^ C,„ , Cw (f)J = MEAN^c^ C[(J J,/^ Cm JJ; С ^ С[0 , Cy] (t)

(ШтГ)

у (Umf)/' (imf) (llmf)

+ <ЩШ) Clj\ ^I + H[/J" С1Л I >

(fitmf) , Л

(Otmf) у (Umf)/ (tmf) (Umf)y'

I - Hr;, <75«Сы I I + H[/f C[j] I >

*[>'] (SHmf) "-(Л

V

/(efdmf) \

\h с (0

k /

/(Umf) '

и A C (/)

- функции, определяющие количество упорядоченных пар в нечетких

(efsmf)

'(efsmf) '(Idmf) '

с (0 h С (о

(efdmf) (Umf) (efdmf) . I , , -

множествах С (f) и С (/) соответственно; С (t)= |J U |/¿с| Cv]

i=1 j=1

(efsmf) (Idmf)

(Idmf) N (efdmf)/ (efsmf) (Idmf) \\

cm (Oj, С ^ c,, , сы CO JJ; q„ . Cm (0J = ЛЖЛЛ^ C,„

(efsmf)

(Idmf) ^

СШ

(efdmf)/'(efsmf) (Idmf)

(£idmf)

(efsmf) у (Idmf)/ (dmf) (ldmf)\

С | CV] , Cy] (0 j - C[f] + < (fiHdmf) CU) j^1 + Z[i] ' CUi J > ZV\ ' ^ (efdmf) C[y]

(Kdmf) (Odmf) у (Idmf)

/ (dmf) (Idmf)

x \+zm- cU]

-1 /(efsmf) > /(Idmf) Л

> ; h С (/) и h с (0

^ У

— функции, определяющие количество

(efsmf) (Idmf) (efsmf)

упорядоченных пар в нечетких множествах С (t) и С (t) соответственно; С (t) =

(efmt) ' (Ismf)

С (/) h с (0

. . '(efmt) (Ismf) (efsmf)/-(efmt) (Ismf) /(еГгт) (Ismf)

U у I /41 , сш(0 ], С | с(„, cU} (I)) |, Cin, с„, (0 j =

= MEAN

((efmt)\ /(lsmf)\\ (efsmf)/(efmt) (Ismf) Л (efmt) / (smf) (Ismf)

¿[q.J.^C^JJ; С [с(1,,с[л(/^=<с[(](0[1+вм(0-сш(0| >x

(smf) (Ismf)

X < I + B[f] (/) • C,(0 > ; MEAN - оператор, возвращающий среднее

'(efmt) '

с (О

и h

-in'

f (Ismf) '

С (О

значение;

- функции, определяющие количество упорядоченных пар

(сГш!) (ЬшГ)

нечетких множествах С (?) и С (?) соответственно; квадратные скобки с индексом у тензоров указывают на порядок (номер) пары в соответствующих упорядоченных нечетких множествах.

Природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности представляет собой фрактал, состоящий из вплотную прилегающих друг к другу природных мультифракталов четвертого порядка, каждый из которых принадлежит к одному определенному виду. При этом природные мультифракталы четвертого порядка, относящиеся к одному виду, имеют идентичные деформационные свойства.

Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности, состоящего из трех видов природных мультифракталов четвертого порядка сводится к уравнению:

(Н1шЧ)

(сйшч) (еГсЬтц) у (Нт<$( (1тч) (ЦтчЛ

С = С +<1Щ С (^1+ Н - С j >х (24)

(£11 гач)

(01тч) у (Игач)А (1тч) (ИтчЛ 1

н <(№ с 1+ н - с >

у К /

(Пшч) (ейтС) (сГатч) (1шч) (Омпц) I _(1шч) (1тч) (¿тч)

где С = С - С ; Н=Н =— К {Ак)с18, при А = \\ К = -с/е/ С def;

(^тч)

С - тензорная функция Грина двухкомпозиционной матрицы пятого порядка

(еГс]тч)

(трехмерной сплошной среды с эффективными деформационными свойствами С ); (Штч) (ВПгиц)

У и V - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в

(1шЧ)

рассматриваемой трехкомпозиционной фрактальной среде четвертого порядка; К (к) -

(£¿<1 шЧ)

(1Л1Ч) (еГатч) (еГзтч) у (Мтч)/ (с!тч)

преобразование Фурье-ядра К. к1(х -х'); С = С + < С 1+ ^ х

V ^

(ШтчГ

>

( (Ис)тч)

(Ойтч) у (Мтч)/' (dшч) (МгтцЛ4

2 <тт^) С 1+ 2 ■ С >

V ^ } ■ J

(Мтч) (еПтО (еГ$шч) (<1тч)

С = С - С ; г =

((МтЧ) | .(¿тч) (£1с1тч) (ВСс1тч)

= 2 К (^4А:)йВ,при /1 = 1; V и V - соответственно объем эллипсоида

и объем блока Вороного в рассматриваемой двухкомпозиционной фрактальной среде

(¿тч) (этч) (Бтч)

пятого порядка; К = -йе( С с1е/; С - тензорная функция Грина однокомпозиционной матрицы пятого порядка (трехмерной сплошной среды с

20

(еГэтч) (с1пц)

эффективными деформационными свойствами С ); К (к) - преобразование Фурье-

(С5П1Я) (еГэшч) (евшГ)/' (5тЧ) (15тЧ)Л"' ( (зтЧ) (ЬгшОу1 (ЬтЧ) (еЛшГ)

ядра К.ы (х- х'); С =< С1+В-С >•< 1+ В• С >"'; С = С -

(е(1тО (5тч) ] .(5тч) (бгпч) ^тц)

-< С >; В =— К (Ак)с18; К (к) - преобразование Фурье-ядра К и{х-х)\ 47Г

(5тя) (1тС) (1тГ)

К =-с!е/ С с1е/; С - тензорная функция Грина матрицы четвертого порядка

(еЛгпГ)

(трехмерной сплошной среды с эффективными деформационными свойствами < С >);

(еЛшч)

В свою очередь нечеткий аналог С можно получить путем применения к выражению (24) принципа обобщения.

Используя разработанный подход к мультифрактальному моделированию трудноформализуемых объектов, а также полученные мультифрактальные математические модели природных мультифракталов различных порядков сложности относительно деформационных свойств, получим следующие математические модели. 1) Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта четвертого порядка сложности относительно упругого поля напряжений сводится к уравнению:

а)

(гапО (еПшГ)/ (итц) (1тц)

а = С " ~

. 1/ V....., 1 ,(1тч) (1тч)

1+ Н • С • I + — | К (х-х')- Ф (х-х')сЬс'

(0(пк])

г , (25)

(птС)

где (7 - поле напряжения внутри любой неоднородности, соответствующей природному

(0(тя) (еЛтч)(01шч) ((Ктя)

мультифрактальному объекту четвертого порядка сложности; е = С' ег ; а -определяемое экспериментально внешнее поле напряжений, действующее на природный

(1ШЧ)

мультифрактапьный объект пятого порядка в целом; Ф (х-х1) - часть среднего по ансамблю полей неоднородностей (природных мультифракталов четвертого порядка), связанная с попаданием точек в разные неоднородности, б) если какой либо тензор из (25) имеет нечеткий вид:

& I

(птО V. )( {(птО (птГ)

= 1) К| (26)

2) Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности относительно упругого поля напряжений сводится к уравнению:

а)

(nfl) (сПл!)/ (tmf) (Umf)

a = С 1+ H ■ С

у ,(tmf)

I + - К (х -х')- Ф (x-x')dx'

и J

(tmf)

(tmq) (ltmqA

Х| 1+ H • С

\ ,(tmq) (Iraq)

I + - i К (x-x')- Ф (x-x')dx'

n *

' (Otmq) s ,

(nfl)

где сг - поле напряжении внутри неоднородности, соответствующей природному

ОтО

мультифракталу третьего порядка; Ф (дг-д:') - часть среднего по ансамблю полей неоднородностей (природных мультифракталов третьего порядка), связанная с попаданием точек в разные неоднородности.

б) если какой либо тензор из (27) имеет нечеткий вид:

{(nml) h\ <т

(nmt) ^ >( /(nml) ^ (rant)

à = и I Дт1 o-i,](')!. о-1(1 (о

(28)

3) Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактала второго порядка сложности относительно упругого поля напряжений сводится к уравнению:

а)

(nms) (nfin)/ (n/л») (lnfVri)

a =< С 1+ В • С

(nfm) (Infm)

>•<1 1+ В • с

(tmf) (ltmf)V

>-' -I 1+ H • с

I+-X n

.(tmf) \tiiu /

J К {x-x')- Ф (x-x')dx'

(tmf)

(tmq) (Umq)A

1+ H • с

-(tmq)

(tmq)

I + - f К (x-x')- Ф (x-x')dx' n J

(29)

' (Otmq)

(nms)

где a - поле напряжений внутри неоднородности, соответствующей природному

(nfin)

мультифракталу второго порядка; С - тензор модулей упругости природного фрактала с

(lnfm) (nfm) (efmt) (nfm) | -(nfm) (nfin)

микровключением; С = С — С ; В = — i К (Ак) dS ; К (к) - преобразование

4л- „J

(nfm) (nfm) (mte) (mte)

Фурье-ядра K:jkl(x-x1) ; К =-def G def ; G - тензорная функция Грина эффективной матрицы третьего порядка (трехмерной сплошной среды с эффективными

(efmt)

деформационными свойствами С ).

б) если какой либо тензор из (29) имеет нечеткий вид:

| (nms) h\ à

(nms) V Jf ( (nms) Л (nms)

(30)

4) Мультифрактальная математическая модель природного мультифрактального объекта

22

первого порядка сложности относительно упругого поля напряжении сводится к

уравнению:

а)

(nm)

(nf)[ (nf) (Inf)

(пГ) (1пГ)

(traf) (ltmf)Y1

CT = < С | I + В • С | > • < | I + В • С | >"' I + H • С

I+Ix

(tmf) (tmf)

cj К (x-x)- Ф (x-x')dx'

(tmq) (Itmq) V

1+ H • с

I r(lmq) Vu..4,

I + - f К (x-x)- Ф (x-x')dx'

yt J

(tmq)

' (Otmq)

e ,

(nm)

где сг - поле напряжении внутри неоднородности, соответствующей природному

(пО

мультифракталу первого порядка; С - тензор модулей упругости природного фрактала;

("О (пГ)

\К(Ак)с13: К(к) - поеобоазование Фупье-ялоа

4 ж

(Inf) (nf) (efms) (nf) J (nf) („.,

С = С- С ; В =-— \ К (Ak)dS; К (к) - преобразование Фурье-ядра KiU(x-x")\

(пГ) (т5) (пГ) (пи) (пи)

К =-с1е/ С с!е/ имеет ядро К^к1(х - х) = —[ЗД ; С - тензорная функция

Грина матрицы второго порядка (трехмерной сплошной среды с эффективными

(ейш)

деформационными свойствами С ). б) если какой либо тензор из (31) имеет нечеткий вид:

Г (пт)>

А а-

(nm) I )( Лпт) (пт) А

ö = U ^^(Oj.^wj.

(32)

5) Мультифрактальная математическая модель природного фрактала относительно упругого поля напряжений сводится к уравнению: а)

(пГ) {л()С (пГ) (1ПОУ1 (пГ)А (ПО (1пГ)у' (пГ)/' (пГ) (1пГ)у' ( (пГ)

сг = С I + В • С •< С 1+ В - С >-'•< С 1+ В - С >•< 1+ В X (33)

(tmf) (ltmf)

>-' -I 1+ н ■ с

(Inf)

X С

(tmq) (ltmq)

xl 1+ Н • С

(tmf)

1 ,(tmf)

I + - f К (x-x')- Ф (x-x')dx' n i

1 r(tmq) (tmq)

I + - f К (x-x')- Ф (x-x')dx' n J

(eftmq) (Otmq)

■ С' а ,

(nf)

где а - поле напряжении внутри неоднородности, соответствующей природному фракталу.

б) если какой либо тензор из (33) имеет нечеткий вид:

((nf)' А ö

(пГ) >[ , f (nf) Л (nf) N

6) Мультифрактальная математическая модель природного фрактала с микровключением относительно поля давлений сводится к уравнению:

а)

и( и (пГт,и ( (пГ) ЛпГ> ,У'<пГ>

р8" = р0ГЛ 1"™+ В р0Iй"'"- С """" - с . (35)

р8'; — поле давлений в неоднородности, соответствующей микровключению; р0 -первоначальное давление в микровключении.

б) если какой либо тензор из (35) имеет нечеткий вид:

р5« = р01

С Гпйп! / (пО и /(п1) Л " (пГ)

Р | _ £ рдтп

(пйп)

04

** ■ (36)

Следует особо отметить, что воспользовавшись разработанным мультифрактальным подходом, могут быть получены мультифрактальные математические модели относительно деформационных свойств и полей напряжений природных мультифрактальных объектов более высокого порядка сложности: шестого, седьмого, ..., до л-го порядка включительно.

В третьей главе построены математические модели анализа природных объектов различных порядков сложности, и на их основе разработан фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта, позволяющий отличить природные мультифракталы от незавершенных мультифракталов, и тем самым определить границы применимости разработанных теоретических положений мультифрактального моделирования.

До сих пор мы рассматривали такие объекты как природные мультифракталы, т.е. фракталы, характеризуемые целым спектром размерностей и представляющие собой несколько вложенных друг в друга фрактальных объектов. Однако на практике довольно часто встречаются незавершенные мультифракталы - объекты, не являющиеся фракталами, но состоящие из нескольких агрегируемых друг в друга природных фракталов.

Назовем незавершенные и природные мультифракталы - природными объектами. В соответствии с рассмотренными в предыдущей главе задачами следует выделять природные объекты первого, второго, ... и л-го порядка сложности, каждый из которых может быть как природным мультифракталом, так и незавершенным мультифракталом. На данный момент не существует математических методов и моделей, позволяющих отличить природный мультифрактал от незавершенного мультифрактала.

В связи с этим были разработаны математические модели анализа природных объектов различных порядков сложности, применение которых позволяет исследовать любой трудноформализуемый объект на предмет его принадлежности к природным или незавершенным мультифракталам исходя из следующих условий. Любой природный объект л-го порядка сложности следует считать природным мультифракталом, если посредством

исследования соответствующих структур будет установлено, что представительный объем существует: 1) для каждого природного объекта первого, второго, ... и л-1-го порядка, входящего в состав исследуемого объекта; 2) для природного объекта п -го порядка как целого. В свою очередь представительный объем природного объекта определяется как минимальный объем этого объекта, начиная с которого его можно рассматривать как природный фрактал.

Как показало дальнейшее исследование, все полученные математические модели анализа основываются на одном едином фрактальном численном методе определения представительного объема природного объекта. Данный метод, разработанный в алгоритмическом виде с помощью нотации Д. Кнута, имеет следующий вид.

Численный метод РЫгу (Фрактальный численный метод определения представительного объема природного объекта) Ршс1гу1- [Обработать входные данные графического вида природного объекта]. Произвести обработку входных данных графического вида исследуемого природного объекта. { Для природных объектов первого и второго порядков данный шаг заключается во введении декартовой системы координат на графическом виде структуры данных объектов. Для всех остальных природных объектов на данном шаге осуществляется построение эквивалентной структуры этого объекта, ввод декартовой системы координат в соответствующей эквивалентной структуре, а также выполняются процедуры по формированию блоков Вороного.}

[с! <— 1 ]. Счетчику количества плоскостей с{ присвоить значение 1, т.е. рассмотрим структуру исследуемого природного объекта в первой плоскости ХОУ. (Для плоскостей ХОУ, 20У и Х02 переменная с1 соответственно равна 1,2 и 3.} Ргк^З. [Определить множество вспомогательных параметров Аа]. Для каждого структурного элемента природного объекта определить вспомогательный параметр, состоящий из координаты маркера (центр фрактальной неоднородности или центр макровключения в блоке Вороного) и характеристического вектора (вектора с наибольшей длинной, исходящий из маркера до точки на границе структурного элемента). Полученные параметры объединить во множество АС] = {{х^,ух,1х),{хг,уг,1г),...,{хГ1,уы,111)}, где N -количество элементов в природном объекте в соответствующей плоскости. {Для природного объекта первого и второго порядков сложности структурными элементами являются соответственно природный фрактал (фрактальная неоднородность) и природный фрактал с микровключением. Для всех остальных природных объектов структурным элементом является блок Вороного.} Ртйге4- <- 1 ]• Установить счетчик горизонтального уровня ? равным 1. Рт1!гу5. [и <— 1 ]. Установить счетчик общего количества элементов п в природном объекте равным 1.

?т<1г»6. [Установить длину Р0 природного объекта]. Определить длину Р0 исследуемого природного объекта.

Рт<1гу7. [к 1 ]. Установить счетчик вертикального уровня к равным 1.

Рт()г,8. [Выбрать первый структурный элемент природного объекта на !-м уровне]. Из

множества Аа найти аЕ = (хЕ,уЕ,1Е) = т\пта.х{(хх,ух,1х),{х2,у1,11),...,(хы,у„,1„)} .

Полученное значение будет соответствовать маркеру структурного элемента, находящегося на I -м горизонтальном и на к -м вертикальном уровнях.

РтС1гу9. [Определить и добавить параметр ¡лп к множеству параметров структуры М ]. Для структурного элемента, находящегося на / -м горизонтальном и к -м вертикальном уровнях, определить параметр структуры цп и добавить его к множеству М . { Для природного объекта первого порядка - /лп = 8„ и М = б, где

= (/"„, /„, (р„, уп , тп), гп — радиус-вектор центра п-ой неоднородности; 1п -характеристический вектор п-ой неоднородности; срп — угол между векторами гп и /„; V„ и тп - номера горизонтального и вертикального уровней неоднородности в структуре природного объекта первого порядка <— г и тп <— к}. Для объекта второго порядка -= Л, и М = Л, где Лп е Л, Лп = (г„,1п,<Р„,уп,чп,т^), уп - площадь микровключения. Для остальных объектов — Цп=м>п и М = Ж, где ю^еРУ, = тп), — отношение

площади п-го макровключения к площади всего блока.}

РтйгЛО. [Удалить аЕ из Лст]. Удалить параметры описанного структурного элемента из Асэ. Рш<1г»11- [Аа =0?]. Если множество/^ является пустым, то перейти к шагу 19, иначе к шагу 12.

Рт11„12. [Выбранный структурный элемент последний в горизонтальном уровне?]. Если

хе +1 ^е I- ро> то перейти к шагу 13, иначе к шагу 15.

Рт<)гу13. [г <-г + 1]. Увеличить счетчик горизонтального уровня / на 1.

Ртаг»14. [п<— п + 1]. Увеличить счетчик общего количества структурных элементов в

природном объекте на 1. Перейти к шагу 7.

Ртс)гу15. [Определить структурные элементы природного объекта, с которыми выбранный элемент, описываемый параметром ае, имеет общую границу]. Определить множество

В = {(х,у, I): ^(х - хЕ)2 + (у - уЕ)2 < |/ + 1Е |}, Вс4.

Рт1!ге16- [Выбрать следующий структурный элемент согласно горизонтальному вектору трансляции]. Провести векторы, соединяющие маркер выбранного структурного элемента с маркерами структурных элементов из множества В. Один из полученных векторов, имеющий наименьший угол с осью - ОХ (при с/ = 1 или <1 = 3) или ОУ (при с/= 2), укажет на маркер следующего структурного элемента.

Рт(1ге17- [к*-к + \]. Увеличить счетчик вертикального уровня к на 1.

Ртсз™ 18. [л <— «+ 1 ]. Увеличить счетчик общего количества структурных элементов в природном объекте на 1. Перейти к шагу 9.

Рта™ 19. [Построить структурную матрицу Я]. Сформировать структурную матрицу Н = , при этом ^ = /(/,у,«.

{Для природных объектов первого порядка - /(/,7, £) = (| / \,<р), где £, - (г, 1,<р,1, _/), Для природных объектов второго порядка - /(',./,£) = (| I \,<р,у), где £, = (>,/,(р,у,1,У), ^ е. \ . Для остальных природных объектов: /(/,= г<Эе £ = ($,/, у), ^ е РГ .} Рт()„20. [Л^як <—2]. Присвоить количеству структурных элементов Л^^ в примитивной ячейке природного объекта, согласно горизонтальному вектору трансляции, значение равное 2.

Р|гк)гу21. [т 1 ]. Установить счетчик количества подмножеств совокупности структурных элементов равным 1.

Рт(]г1,22. [/ <— 1 ]. Установить счетчик строк матрицы Н равным 1.

¥тй„23. [у 1 ]. Установить счетчик столбцов у матрицы Н равным 1.

РГшс1п'24. [¡<пснг>]. Если значение счетчика меньше общего количества строк и столбцов

псн матрицы Я, то перейти к шагу 25, иначе к шагу 34.

Рш1)гу25. и <{псн NЕсли значение счетчика у не превышает максимума обрабатываемых элементов матрицы Я в строке, то перейти к шагу 26, иначе к шагу 33. Рт()гу26. [Добавить элемент Л . в 0т]. Элемент матрицы Я, получаемый пересечением

строки с номером / и столбцом с номером у, добавить в подмножество совокупности структурных элементов с номером т.

Рщ{1гу27. [6<—1]. Установить счетчик Ь количества структурных элементов в примитивной ячейке равным 1.

Рш<!гу28. [Добавить элемент в 6„,]- Элемент матрицы Я, получаемый пересечением

строки с номером / и столбцом с номером + добавить в подмножество совокупности структурных элементов с номером т.

?тдп29- [Ь = NРНУ1]. Если счетчик Ь достиг предполагаемого количества элементов NРНУ в примитивной ячейке, то перейти к шагу 31, иначе к шагу 30.

Рт(]гу30. [¿><—6 + 1]. Увеличить счетчик Ь количества структурных элементов в примитивной ячейке на 1. Перейти к шагу 28.

Рт(]гу31. [т<г-т +1]. Увеличить счетчик количества подмножеств совокупности структурных элементов т на 1.

Рт(|„32. [у <— у + NеНУ ]. Перейти на номер столбца, с которого начнется нумерация первого

27

элемента последующего подмножества £>т. Перейти к шагу 25.

Рт(1геЗЗ. [г <е- 1 + 1]. Увеличить счетчик строк / на 1. Перейти к шагу 23.

Рт<1г,34. [Построить функции распределения Р{<21),Р(0,2),...,Р(<2т)}. Для каждого ЫРНУ-

элементного подмножества построить функцию распределения )> -^(бг).....-^Сб»,) ■

Р,гк!гу35. [Получить х2\ >Х22'-->Х2<,]- Сравнить функции распределения

F(Q),.F(g2),...,.F(g„,) друг с другом при помощи критерия согласия %2 ■ В результате

„ 2 2 2 п2 гп\

получим совокупность приведенных значении х 2<---'Х „>гДе 0 - =-.

2\{т - 2)!

Рт()„36. [Определить Х2^п]- Среди приведенных значений Х21 > Х22>---> Х2„ найти минимальное значение.

Рт<1г»37. [/„„>(^),?]. Если (для одной степени свободы и уровня

значимости ог = 0,05 нормативное значение (х2)„ =3,841), то перейти к шагу 38, иначе к шагу 40.

Р[п<1су38. [Определить объемы Ув1,Ув2 >—Вычислить объемы Уд1, Уд2,-..,Удт, формируемые совокупностью структурных элементов, описываемых подмножествами

Рт()ге39. [УРНу <- тах(Уд1,Уд2,...,Уд/)]. Объем примитивной ячейки УРНУ природного объекта согласно горизонтальному вектору трансляции равен тах(Уд1,Уд2,...,Уд1). Перейти к шагу 43.

Рпи)ге40. [ЫРНУ <псн1]. Если количество структурных элементов N РНУ в предполагаемой примитивной ячейке меньше или равно количеству строк и столбцов псн матрицы связей, то перейти к шагу 41, иначе к шагу 42.

Ет<)ге41. [№РНу <г-NРНуУвеличить количество структурных элементов N рну в примитивной ячейке на 1. Перейти к шагу 21.

Рт<1г»42. [ Упр <— 0 ]. Представительный объем рассматриваемого природного объекта равен 0. Перейти к шагу 75.

Рт(1гу43. [Н <— НТ]. Транспонировать структурную матрицу Н .

Рщ(1п'44. \_Npyy <-2]. Присвоить количеству структурных элементов Nрп в примитивной ячейке, согласно вертикальному вектору трансляции, значение равное 2. Рт<1еу45. [т 1 ]. Установить счетчик количества подмножеств совокупности структурных элементов равным 1.

Ртапг4б. [/<— 1]. Установить счетчик строк г матрицы Н равным 1.

[у <-1]. Установить счетчик столбцов у матрицы Я равным 1. [/<ис„?]. Если значение счетчика / меньше общего количества строк и столбцов псн матрицы Я, то перейти к шагу 49, иначе к шагу 58.

Ртс1г»49. [у <(псн ¿к NР„)-Ыруу1\ Если значение счетчика у не превышает максимума обрабатываемых элементов матрицы Я в строке, то перейти к шагу 50, иначе к шагу 57. Рт()„50. [Добавить элемент Л . в Элемент матрицы Я, получаемый пересечением

строки с номером / и столбцом с номером у, добавить в подмножество совокупности структурных элементов с номером т.

ртс1су51. [ Ь 1 ]. Установить счетчик Ъ количества структурных элементов в примитивной ячейке равным 1.

Рт<!гу52. [Добавить элемент ^ в ]. Элемент матрицы Я, получаемый пересечением

строки с номером / и столбцом с номером j + b, добавить в подмножество совокупности структурных элементов с номером т.

рп>^53. [Ь = N^7]. Если счетчик Ь достиг предполагаемого количества структурных

элементов Ы рт в примитивной ячейке, то перейти к шагу 55, иначе к шагу 54.

Рт(1„54. [Ь<-Ь +1]. Увеличить счетчик Ь количества структурных элементов в примитивной ячейке на 1. Перейти к шагу 52.

Рт(1е»55. [т<~т + \]. Увеличить счетчик количества подмножеств совокупности структурных элементов т на 1.

Рт^56. [j *-j + NPyy]. Перейти на номер столбца, с которого начнется нумерация первого элемента последующего подмножества <2т. Перейти к шагу 49. Рт<)г«57. [/<-/ + 1]. Увеличить счетчик строк / на 1. Перейти к шагу 47. Ртйг»58. [Построить функции распределения F(Q,),F(Q1),...,F{QJ]. Для каждого элементного подмножества построить функцию распределения ).

Рта™59. [Получить Х21>Х22'-~>Х2о]- Сравнить функции распределения ^ХШ.^СбгЭ.-.^Сб™) друг С другом при помощи критерия согласия %2. В результате

получим совокупность приведенных значений %21 <Х22.•••.Х2 . гДе о = С2 =_т!

" 2!(от-2)!

[Определить ^2т|п]. Среди приведенных значений %г1, X2 X2 „ найти минимальное значение.

Рш11п.61- 1Х2тт-(Х2\^]- Если Х2тт-(Х2)„ (для одной степени свободы и уровня значимости а = 0,05 нормативное значение = 3,841), то перейти к шагу 62, иначе к

шагу 64.

¥т1}СУ62. [Определить объемы Вычислить объемы >^е™>

формируемые совокупностью структурных элементов, описываемых подмножествами

Рт<1™63. [Р^ тах(Уе1,Ке2,...,Ке,)], Объем примитивной ячейки Уруу природного объекта согласно вертикальному вектору трансляции равен тах(Уд,, Уд/). Перейти к шагу 67. Рт()гу64. < псн ?]. Если количество структурных элементов Nруу в предполагаемой

примитивной ячейке меньше или равно количеству строк и столбцов псн матрицы Н, то перейти к шагу 65, иначе к шагу 66.

Рт<1г«65. [ NРУ]/ <— Nруу +1]. Увеличить количество структурных элементов Nруу в примитивной ячейке на 1. Перейти к шагу 45.

Рщ^бб. [ У„р <-0 ]. Представительный объем рассматриваемого природного объекта равен 0. Перейти к шагу 75.

Ртйг»67. [А1 рНу > NРуу1]. Если размер примитивной ячейки NPHy, согласно горизонтальному вектору трансляции больше величины Nруу, то перейти к шагу 68, иначе к шагу 70. Ртс1г»б8. [NNРНу]. Количеству структурных элементов в примитивной

ячейке исследуемого природного объекта в плоскости с1 присвоить величину N рн„. Ршс1губ9. [ У„ап[с/] <— 2УР11у ]. Представительному объему У„е„[с^] исследуемого природного объекта в плоскости с1 присвоить значение 2УРНГ ■ Перейти к шагу 72.

Ртйгу70. [Л^„[£/] №Руу\. Количеству структурных элементов в примитивной

ячейке исследуемого природного объекта в плоскости с/ присвоить величину Nруу . Рт<1ге71. [Ут„[Л]<—2УРуу]. Представительному объему У„„„[с1] исследуемого природного объекта в плоскости с1 присвоить значение 2Урп,.

Рт()г»72. [с1 = 3?]. Если счетчик количества плоскостей равен 3, то перейти к шагу 74, иначе к шагу 73.

Рт<1гу73. [с/ <— (1 +1 ]. Увеличить счетчик количества плоскостей на 1. Перейти к шагу 3. Рт11„74. [Упр <-тгх(Упеп[1],Упвп[2],Утп[3])]. Представительный объем природного объекта

равен наибольшему из объемов Упт[ 1], Утп[2], Утп[3]. Рш<)ге75. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

Таким образом, нами определены границы применимости разработанных теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов. Применение данных положений является правомерным и адекватным, если для природного

объекта как целого и всех структурных составляющих (природных объектов первого, второго, ... и л-1-го порядка сложности, входящего в состав исследуемого объекта) существует представительный объем.

В четвертой главе разработаны перколяционные мультифрактальные математические модели динамических проявлений в природном мультифрактальном объекте пятого порядка сложности, позволяющих определить механизмы возникновения и спргнозировать такие стихийные явления как оползни и техногенные катастрофы в виде внезапных выбросов пород и газа. На основе всех полученных в данной диссертации математических моделей разработан комплекс программ компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения природных мультифракталов различных порядков сложности.

В качестве объекта приложения теоретических положений мультифрактального моделирования могут быть выбраны следующие природные мультифрактальные объекты с различными порядками сложности. Например, к объектам первого порядка сложности относятся - минералы, металлы, группа нечувствительности которых является подгруппой ортогональной группы; к объектам второго порядка сложности - гидросмеси (при этом микровключения обладают группой нечувствительности, являющейся подгруппой ортогональной группы), минералы с газонаполненными или наполненными жидкостью порами, жидкости с пузырьками воздуха (оба компонента являются объектами с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой); к объектам третьего порядка сложности - минералы с газовыми или наполненными жидкостью включениями; к объектам четвертого порядка сложности - горные породы, композиты, неоднородные жидкости; к объектам пятого порядка сложности - породный массив.

При этом необходимо помнить, что есть ограничение на применение разработанных теоретических положений мультифрактального моделирования, связанное с существованием представительного объема у исследуемого трудноформализуемого объекта.

К динамическим проявлениям напряженно-деформированного состояния в природных мультифракталах могут быть отнесены: внезапные выбросы пород и газа, оползни, паводки, землетрясения и т.д. Не нарушая общности, в качестве объекта исследований были выбраны природные мультифракталы пятого порядка сложности (наивысшего из приведенных) в виде породных массивов, для которых возможно применение разработанных теоретических положений мультифрактального моделирования. В них могут быть реализованы такие динамические проявления как стихийные явления в виде оползней и техногенные катастрофы в виде внезапных выбросов пород и газа.

В связи с этим, были разработаны две перколяционные мультифрактальные математические модели на основе разработанных мультифрактальных и мультикомпонентных математических моделей природных мультифрактальных объектов

относительно деформационных свойств и полей напряжений. Причем эти модели лежат за пределами традиционной теории перколяции. Так порог перколяции в данных моделях связан с конкретными изучаемыми свойствами (в нашем случае - деформационные свойства) и физическими процессами (формирование поля напряжений) в исследуемых объектах. При этом исследование на предмет перколяции осуществляется по разрушению отдельных элементов согласно разработанным критериям, учитывающим наличие включений с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой.

Первая перколяционная мультифрактальные математические модели позволяет описать процесс разрушения природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности в виде газосодержащего породного массива, приводящего к возникновению техногенной катастрофы в виде внезапного выброса пород и газа. А вторая - описывает те же самые процессы, но только для такого природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности как жидкостьсодержащий породный массив, подверженного оползневому процессу.

Полученные перколяционные мультифрактальные математические модели не предназначены для оперативного мониторинга природного мультифрактала на предмет динамических проявлений. По этой причине на основе данных моделей с помощью нотации Д. Кнута были разработаны следующие алгоритмы.

Алгоритм Айсь (Алгоритм проверки газосодержащего породного массива на предмет

АаеЬ1. [Построить трехмерную перколяционную решетку, соответствующую выбросоопасной области исследуемого соляного пласта как газосодержащего породного массива]. Для исследуемого соляного пласта определить выбросоопасную область и аппроксимировать ее многогранником АВСБЕЕ. Разбить данный многогранник на одинаковые кубики, объем каждого из которых равен среднему объему зерна соляного пласта.

А^ь2. [Определить элементы множества Л]. Для каждого кубика из исследуемой трехмерной перколяционной решетки сопоставить параметр г = (х,у,г,Л) где х, у, г -координаты центра кубика; Л - индикатор разрушения, определяемый следующим

- общее количество кубиков в рассматриваемой решетке), описывающее рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку.

А,]еЬ3. [Определить подмножества Ьг,...,Ьт множества /?]. Разделить трехмерную решетку на совокупность слоев параллельных плоскости . Каждому такому слою сопоставить двухмерную перколяционную решетку, описываемую подмножеством Ь,:

динамического проявления в виде внезапного выброса пород и газа)

1, если кубик разрушен О, в противном случае

. В результате получим множество Я = {г1,г2,...,гп} (п

¿1 = {г : х = /г,.}, г е Я, г = 1.. т, 32

где А, - набор значений, указывающих соответственно на координаты центра кубика по оси ОХ; т - количество слоев в направлении плоскости У02 в рассматриваемой трехмерной перколяционной решетке.

{Шаги 4-11 определяют комплексный порог перколяции в исследуемой трехмерной перколяционной решетке,}

А(1еь4. [Р0 <—0,01]. Вероятности разрушения Р0 зерна с газонаполненной порой присвоить значение, равное 0,01.

Айеь5. [/ <— 1 ]. Установить счетчик / количества подмножеств равным 1. Ааеьб- [Для двухмерной решетки, описываемой подмножеством , произвести компьютерный эксперимент]. Произвести компьютерный эксперимент для двухмерной решетки, описываемой подмножеством . Этот эксперимент заключается в следующем.

Вначале все квадраты рассматриваемой двухмерной перколяционной решетки установить в состояние «свободно от трещины» и закрасить в белый цвет, при этом ] = \..т, /(гу, 0) - функция, возвращающая элемент г. с

присваиванием индикатору разрушения Я этого элемента значения, равного 0.

Далее, для каждого квадрата из рассматриваемой решетки с помощью генератора равномерно распределенных случайных чисел сгенерировать случайное число Р от 0 до 1. Если полученное значение Р окажется меньше вероятности разрушения Р0, то квадрат переходит в состояние «занято трещиной» и закрашивается в черный цвет, при этом гк=/(гкЛ), ке\..т, /(^,1) - функция, возвращающая элемент гк с

присваиванием индикатору разрушения Я этого элемента значения, равного 1. В противном случае, квадрат сохраняет свое состояние - «свободно от трещины». Айеь?. [В двухмерной решетке, описываемой подмножеством Li, существует объединенный бесконечный кластер?]. Исследовать элементы подмножества на предмет наличия объединенного бесконечного кластера, состоящего из одного горизонтального и двух вертикальных бесконечных кластеров. Если такой кластер в двухмерной решетке, описываемой подмножеством существует, то перейти к шагу 8, иначе к шагу 11.

Ас1сь8. [1<т1]. Если счетчик г количества подмножеств меньше т, то перейти к шагу 9, иначе к шагу 10.

АйеЬ9. [¡' <— I +1 ?]. Увеличить счетчик количества подмножеств на 1. Перейти к шагу 6. А^Ю. [Рс <-/'„]. Комплексному порогу перколяции Рс присвоить значение вероятности разрушения Р0. Перейти к шагу 12.

АйсЬ11. [Рв <— Р0 + 0,01 ]. Увеличить вероятность разрушения Р0 на 0,01. Перейти к шагу 5. {Шаги 12-35 определяют текущее значение вероятности разрушения в исследуемой трехмерной перколяционной решетке.}

АйеЬ12. [Рко <- 0 ]. Текущему значению вероятности разрушения Ряо присвоить значение, равное 0.

(гв) (г»)

Ас|еь13. [Определить < р >]. Определить среднюю величину давления < р > в газовых

макровключениях выбросоопасной области.

А^ьМ. [<7,4 <~0]. Присвоить количеству состояний при которых происходит

разрушение зерна с порой посредством поля напряжений, значение равное 0.

АйеЬ15. [(?„<-0]. Присвоить количеству состояний дв, при которых происходит

разрушение зерна посредством поля давлений, значение равное 0.

(еГш) (ей™) (е(тчО (сИшГ) (еЛпц)

Айеь1б. [Определить С , С , С , С , С ]. С помощью мультифрактапьных математических моделей природных мультифрактапьных объектов относительно деформационных свойств и полей напряжений определить эффективные тензоры модулей упругости соляного пласта и составляющих его геоматериалов. (еГш)

{С - эффективный тензор модулей упругости такого природного мультифрактального

(еГтэ)

объекта первого порядка сложности в упругом состоянии как минерал. С -эффективный тензор модулей упругости такого природного мультифрактального

(ейм)

объекта второго порядка сложности как минерал с газонаполненными порами. С -эффективный тензор модулей упругости такого природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности как минерал с газовыми макровключениями. При вычислении данного эффективного тензора в качестве первоначального давления р0 в

(го) (еПтС)

макровключении положить < р >. С - эффективный тензор модулей упругости такого природного мультифрактального объекта четвертого порядка сложности как

(еЛшч)

горная порода. С - эффективный тензор модулей упругости такого природного мультифрактального объекта пятого порядка сложности как соляной пласт.}

ОтО (1тч) (ипч)

АйеьП. [Определить Ф (х-х') и Ф (х-ж')]. Построить функцию Ф (х-х'), задавшись конкретной моделью случайного поля неоднородностей в виде природных мультифракталов четвертого порядка в среде, соответствующей природному мультифрактальному объекту пятого порядка сложности. Аналогичным образом построить ОтО

функцию Ф (дс — дс').

(01тч) (01гш))

АасЬ18. [Определить а ]. Определить внешнее поле напряжений ст , действующее на соляной пласт в целом как на природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности. Данное действие заключается в следующем.

Для соляного пласта сформировать выборку зерен, изъятых из выбросоопасной области.

Далее, для каждого зерна из полученной выборки экспериментальным способом определить поле напряжений, в котором находилось зерно в выбросоопасной области. В результате

(пО

получим массив тензоров напряжений ег[1,..,и>], где ™ - количество зерен в выборке.

(01шЧ)

После этого необходимо получить массив значений ст [1,..,и>], посредством следующего выражения:

(Отц) <7 [*]<-

(пГ)( (пГ) (1пГ)

С 1+ В • с

(пГ) (1пС)

< 1+В - С >-■• 1+ Н. С

(Шк)) (кшя)

X 1+ Н ■ С

Ы)( (пГ) ЦпОу1 (п()[ („Г) (1„Г)у1

•< С 1+ В. с >-■< с 1+ В. С >х

(1шГ) (ИтС)

1 г(1тГ) (1тГ)

1 + - К {х-х')- Ф (х-х')с1х' п 1

1 ,(1™Ч) (1тч)

1 + - К {х-х')- Ф (х-х')с1х' п '

(ейтЧ)

• С'

("О

о [к] , при к = 1..и>.

(0(тч)

{Данное выражение получено путем разрешения уравнения (33) относительно ^.}

И наконец, необходимо найти среднее всех элементов массива "ст"'^.., м/]. Полученное

(01шя)

среднее и определит внешнее поле напряжений а , действующее на соляной пласт в целом как на природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности:

(Оипч) (Оипч)

а <-АГв( а

А„сЬ19. [Определить сгр]. Определить для зерен из выбросоопасной области предел прочности ар на растяжение.

АаеЬ20. [<р <— 0]. Присвоить углу гр значение равное 0. АйсЬ21. [в <г- 0 ]. Присвоить углу в значение равное 0. А<1еь22. [ V <— 0 3- Присвоить углу у значение равное 0. (пО

А„еЬ23. [Определить а {<р,в,у) ]. Определить значение тензора напряжений в зерне как природном фрактале на основе следующего выражения:

(пС)

(пС)

("О (1пГ)

(пГ) (1пГ)

(пГ)

(пО (1пГ)

ОтС) (ИтГ)

1 ,ОтО (1тО

1 + -[ К {х-х')- Ф (х-х')сЬс'

П

1 + - К (х-х')- Ф {х-х')с!х' п '

(1тЧ) (11тч)>

(1тЧ)

1+ Н ■ С J X

(сйгтцНОипч)

■ С' а .

(пГ) (пС) (пГ)

А^еЬ24. [а-22(<р,в,ц/)>сгр или о-п((р,6,у') > с ?]. Если компонента а72(<р,в,ц/) или

(пГ)

агъ{(р,9,ц/~) превышает или равна пределу прочности зерна ар на растяжение, то перейти к шагу 25, иначе к шагу 26.

А„сь25. [д^ <— дА + 1 ]. Увеличить число состояний цА на 1.

Алл2в. [Определить поле давлений р6и в зерне с ориентацией (<р,в,ц/)]. Определить р5''

в

зерне с ориентацией ((р,в,ц/) на основе следующего выражения: р8''(<р,в,ц/) <— р0Г: х

( (пГш) ( (пГ) Л пГ) V1 (пП

х в ' \с"п"'(<р,в,ч/)\

Алл21. [р>^сгр?]. Если давление р в поре, находящейся в зерне с ориентацией (<р,в,у/)

больше от предела прочности на растяжение ар, то перейти к шагу 28, иначе к шагу 29.

А(!еь28. [<7а <— +1 ]• Увеличить число состояний цв на 1.

АЛсЪ29. [ц/ = 2л-?]. Если ц/ = 2л, то перейти к шагу 31, иначе к шагу 30.

к п

АйеЬ30. [(//<—!// Увеличить величину угла ц/ на —. Перейти к шагу 23.

А^ь31. [0 = 2л?]. Если в = 2л\ то перейти к шагу 33, иначе к шагу 32.

7Г Л

А,]сЬ32. [в <— в + — ]. Увеличить величину угла 0 на —. Перейти к шагу 22.

А„еЬ33. [<р = 2ж ?]. Если <р = 2л, то перейти к шагу 35, иначе к шагу 34.

к л

АйсЬ34. [<р <— <р + ~]. Увеличить величину угла <р на —. Перейти к шагу 21.

А,)еЬ35. ]. Текущему значению вероятности разрушения Р'1Ю, присвоить

и>

Ял+Яи ,

значение ——— (число возможных состоянии и> отдельного зерна с газонаполненной

И'

порой в рамках рассматриваемого алгоритма равно 13824).

{Шаги 36-38 определяют, безопасен ли соляной пласт по требованию к выбросоопасности} А(1сЬ36. [РИ)>РС?]. Если текущая вероятность разрушения Р^ больше или равна комплексному порогу перколяции Рс, то перейти к шагу 37, иначе к шагу 38. А^сь37. [Вывод: «На момент исследования, рассматриваемый соляной пласт небезопасен на предмет динамического проявления»].

АйеЬ38. [Вывод: «На момент исследования, рассматриваемый соляной пласт безопасен на предмет динамического проявления»].

Adcb39. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

Алгоритм проверки жидкостьсодержащего породного массива на предмет динамического проявления в виде оползня (алгоритм Adc|) процедурно эквивалентен алгоритму Adcb. В связи с этим и большим объемом алгоритма Adcj и связанным с ним возможным ущербом полного необходимого освещения теоретических положений мультифрактального моделирования в данном автореферате он (алгоритм) не приводится (ознакомиться с ним, в случае необходимости, можно в тексте диссертации на сайте Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»).

На основе полученных математических моделей и алгоритмов с помощью интегрированной среды Delphi 7.0 разработан комплекс программ компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения природных мультифракталов различных порядков сложности. Используя данный комплекс программ, было установлено:

1) Результаты компьютерного мультифрактального моделирования относительно деформирования вырожденных плоских задач регулярной структуры природных мультифракталов первого и третьего порядков сложности практически совпадают с их точным решением, когда отношение модуля упругости изотропной неоднородности к модулю упругости изотропной матрицы Е находится в диапазоне 0,05 < EJE <20.

2) Величины представительных объемов таких природных мультифракталов как геоматериалы калийных соляных месторождений равны соответственно: 12d, 14d, 16d -для минералов и минералов с газонаполненными порами (d - средний объем зерна калийной соли); 16и, 18«, 20и, 22и - для минералов с газовыми макровключениями и горных пород {и - средний объем соответствующего блока Вороного).

3) Применение разработанного комплекса программ к реальным природным мультифракталам пятого порядка показало, что формирование динамических проявлений в натурных условиях реализуется согласно разработанным алгоритмам Adeb и AdC|.

В заключении приводятся основные полученные в диссертации результаты и сформулирована практическая значимость работы.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Халкечев Р.К. Математическое моделирование стихийных явлений. Теоретико-катастрофическая модель оползней // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2008.-Т. 15.-Вып. 6.-С. 1138-1139. (0,14 пл.).

2. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Математическое моделирование техногенных катастроф. Фрактальная кластерная модель внезапных выбросов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 5. - С. 937-939. (0,13 пл., вклад автора 0,07 пл.).

3. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Математическое моделирование техногенных катастроф. Фрактальная кластерная модель горных ударов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 5. - С. 939-940. (0,12 п.л., вклад автора 0,06 п.л.).

4. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Кластерная модель локализации реологической деформации поликристаллов. Зарождение ледникового оползня // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16. - Вып. 1. - С. 183-184. (0,1 п.л., вклад автора 0,05 п.л.).

5. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Случайная фрактальная модель локализации пластической деформации поликристаллов. Зарождение оползней полнокристаллических геоматериалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т.16. - Вып. 1. - С. 184-186. (0,1 п.л., вклад автора 0,05 п.л.).

6. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель с масштабом неоднородности эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2012. -№3. - С. 68-70. (0,3 п.л.).

7. Халкечев Р.К. Скейлинг газосодержащих породных массивов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2012. — №2. - С. 102-104. (0,29 п.л.)

8. Халкечев Р.К. Масштаб неоднородности газосодержащих породных массивов // Методы математического моделирования в горной промышленности: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2011. - № 12. - С. 3-7. (0,24 п.л.).

9. Халкечев Р.К. Математическая модель эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов мультифрактальной структуры // Методы математического моделирования в горной промышленности: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). — 2011. - № 12. - С. 7-12. (0,2 п.л.).

10. Халкечев Р.К. Математическая модель упругопластического деформирования пористых минералов с учетом изменения количества дислокаций // Методы математического моделирования в горной промышленности: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2011. - № 12. - С. 12-18. (0,22 п.л.).

11. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. О свойствах математической модели: эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Методы математического моделирования в горной промышленности: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). -2011.-№ 12.-С. 18-22. (0,15 п.л., вклад автора ОД п.л.).

12. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. Математическая модель разрушения

поликристаллов при квазистатнческнх и ударных нагрузках // Методы математического моделирования в горной промышленности: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2011. - № 12. - С. 22-26. (0,23 п.л., вклад автора 0,15 п.л.).

13. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. - № 2. - С. 38—41. (0,26 п.л.)

14. Халкечев Р.К. Разработка метода усреднения упругих свойств геоматериалов на основе теории мультифрактального моделирования // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. - № 3. - С. 17-21. (0,25 п.л.).

15. Халкечев Р.К. Об одном методе усреднения упругопластических свойств геоматериалов на основе теории мультифрактального моделирования // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. - № 4. - С. 39-43. (0,24 п.л.).

16. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель неоднородного поля давлений в газонаполненных порах поликристалла при постоянном внешнем поле // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2012. - № 7. - С. 3-7. (0,25 п.л.).

17. Халкечев Р.К. Математическая модель неоднородного напряженно-деформированного состояния минерала с газонаполненными порами при постоянной скорости изменения внешнего поля деформаций // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2012. - № 7.-С. 8-12. (0,18 п.л.)

18. Халкечев Р.К. Алгоритм определения элементарного объема горной породы // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2012. - № 7. - С. 12-16. (0,21 п.л.).

19. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель распространения трещин в поликристаллах при ударных нагрузках // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2012. - № 7. - С. 17-23. (0,36 п.л.).

20. Халкечев Р.К. Разработка архитектуры комплекса программ определения деформационных свойств газосодержащих породных массивов // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи

(специальный выпуск). - 2012. - № 7. - С. 23-27. (0,15 п.л.).

21. Халкечев Р.К., Халкечев К.В. Математическое моделирование давления горных пород в массиве с поликристаллическим упругопластическим пластом (обратная задача) // Математическое моделирование трудноформализуемых объектов: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2012. - № 7. - С. 27-31. (0,2 п.л., вклад автора 0,14 п.л.).

22. Халкечев Р.К. Структурно-функциональный метод математического моделирования трудноформализуемых объектов (на примере задачи определения деформационных свойств геоматеориалов). // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2012. - Т. 19. -Вып. 3. - С. 470—471. (0,05 п.л.).

23. Халкечев Р.К. Фрактальный алгоритм определения элементарного объема геоматериалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2012. - Т. 19. -Вып. 5. - С. 757-758. (0,06 п.л.).

24. Халкечев Р.К. Теоретические основы мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов // Прикладная и промышленная математика: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2013. - № 9. - С. 8-16. (0,3 п.л.).

25. Халкечев Р.К. Нечеткий тензор как основа для определения деформационных свойств природного мультифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением // Прикладная и промышленная математика: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск).-2013.-№ 9.-С. 16-19. (0,11 п.л.).

26. Халкечев Р.К. Об одной распространенной ошибке при математическом моделировании трудноформализуемых объектов мультифрактальной структуры. Комплексный метод самосогласованного поля при исследовании мультифрактальных сред // Прикладная и промышленная математика: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2013. - № 9. - С. 20-23. (0,15 п.л.).

27. Халкечев Р.К. Динамические проявления напряженно-деформированого состояния природных мультифрактальных объектов. Внезапные выбросы горных пород и газа // Прикладная и промышленная математика: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). -2013. - № 9. - С. 23-27. (0,19 п.л.).

28. Халкечев Р.К. Динамические проявления напряженно-деформированого состояния природных мультифрактальных объектов. Оползни // Прикладная и промышленная математика: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2013. - № 9. - С. 28-32. (0,18 п.л.).

40

Лицензия ЛР № 020832 от «15» октября 1993 г. Подписано в печать ВО/1/ г. Формат 60x84/16

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,3.

Тираж 100 экз. Заказ №63 Типография издательства НИУ ВШЭ, 125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.