автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Взаимный мультифрактальный анализ. Приложение к параметризации минеральных структур

На правах рукописи

Светова Нина Юрьевна

ВЗАИМНЫЙ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПАРАМЕТРИЗАЦИИ МИНЕРАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Специальность 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕТРОЗАВОДСК — 2004

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет на кафедре геометрии и топологии

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент С.С. Платонов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Морозов

кандидат физико-математических наук, А.К. Полин

Ведущая организация:

Карельский государственный педагогический университет

Защита состоится "-/¿Г " декабря 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 в Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В.В. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важнейших фундаментальных задач современного естествознания является строгое количественное описание структуры природных объектов. Традиционный подход для аппроксимации изучаемой структуры предполагает использование геометрических фигур с целыми размерностями (точки, линии, поверхности и т.д.). Однако во многих случаях, с одной стороны, применение топологически не эквивалентных моделей приводит к потере значительной части информации, а с другой — такой подход позволяет количественно описать лишь отдельные элементы, не учитывая свойств всей структуры в целом1.

Новым подходом в решении задачи является описание структур с помощью использования методов фрактальной геометрии2. В частности, концепция мультифрактального формализма дает эффективный инструмент для изучения и количественного описания широкого многообразия неоднородных, иррегулярных, сложных систем. Этот подход также имеет очевидные преимущества перед стандартным статистическим, поскольку представляет информацию как о локальных, так и о глобальных свойствах изучаемой системы.

Целью мультифрактального анализа является поиск методов для изучения и характеристики мультифрактальных мер. В общей схеме анализа меры анализируются с помощью так называемого "мультиф-рактального спектра", который позволяет получить как геометрическую, так и вероятностную информацию о распределении точек, имеющих одинаковую сингулярность.

К сожалению, появление большинства ошибок в практических приложениях мультифрактального анализа связано с тем, что в отличие от идеальных фрактальных структур реальные природные системы являются самоподобными только лишь над конечным числом уровней масштабов. Поэтому разные меры могут дать почти одинаковые муль-тифрактальные спектры, и для сравнения распределений мер с муль-тифрактальной точки зрения этот метод не является достаточно корректным. Вследствие этого актуальной является тема разработки методов анализа не только распределения единственной меры, но и опре-

1Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мулыпифракталъную параметризацию структур материалов. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 116 с.

2Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002. 656 с. .......

I ЮС НАЦИОНАЛЬНА!

| БИБЛИОТЕКА

делении количественных характеристик влияния двух разных распределений на геометрию друг друга.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка теоретических положений и реализация нового подхода к количественному описанию тонких структурных изменений, происходящих в сложных природных системах.

В процессе исследования решался ряд взаимосвязанных задач:

1) Систематизация и анализ теоретических основ фрактального и мультифрактального формализмов и приложений их к исследованию природных систем.

2) Развитие теоретических положений нового подхода к анализу геометрии распределений двух мер на основе строгого мультифрактального формализма, оценка взаимной хаусдорфовой и взаимной упаковочной размерностей, обсуждение частных случаев предложенного анализа.

3) Создание численных алгоритмов взаимного мультифрактального анализа распределений двух мер.

4) Разработка, реализация и отладка программы, осуществляющей взаимный мультифрактальный анализ применительно к исследованию 2D носителей информации (в частности, микрофотоизображений минеральных структур).

5) Тестирование работы численных алгоритмов взаимного мультиф-рактального анализа на классических фрактальных множествах, оценка погрешностей и ограничений, возникающих при переходе к дискретной аппроксимации.

6) Приложение метода взаимного мультифрактального анализа к задаче количественного описания изменений в минеральных структурах, происходящих под воздействием внешних факторов.

Методы исследования и фактический материал. Проведенные в диссертационной работе теоретические исследования основаны на методах фрактальной геометрии, строгом мультифрактальном формализме, разработанным Л. Олсеном, используют методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, а также при доказательстве некоторых теорем используется техника доказательств К.-С. Ло и С.-М. Нгаи. Основным ядром численных алгоритмов являлся модифицированный метод равноячеечного разбиения. При реализации алгоритма мультифрактального и взаимного мультифрактального анализа, а также его частных случаев автором создана программа MMA2D в среде Compaq Visual Fortran 6.0 для Windows 98/XP с использованием

пакета визуализации многомерных данных Compaq Array Viewer 1.5. Апробация методики, а также тестирование разработанной программы, проводилось на модельных фрактальных агрегатах, сформированных в специальных компьютерных экспериментах. Результаты расчетов частного случая (классического мультифрактального анализа) сравнивались с результатами, полученными из литературных источников и программным продуктом MFRDrom99, переданным д.ф.-м.н. Г.В. Встовским (ИМЕТ РАН, г. Москва) для тестирования. Программа MMA2D использовалась для оценки структурных изменений в шунгитовом веществе до и после термического и химического воздействия по результатам данных электронной микроскопии, любезно предоставленных к.ф.-м.н В.В. Ковалевским (Институт геологии КарНЦ, г. Петрозаводск).

Научная новизна заключается в следующем:

1) Предложен новый подход к анализу распределений двух мер с позиций теории фракталов и мультифракталов.

2) Разработаны теоретические положения взаимного мультифракталь-ного анализа.

3) Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров.

4) На основе предложенного подхода разработана и реализована в программе MMA2D методика выполнения взаимного мультифрактального анализа.

5) Предложенная теория, впервые применяемая к задаче количественного анализа изменений, происходящих в минеральных структурах шунгитового вещества под воздействием внешних факторов, позволяет получить численные характеристики структурных изменений.

Практическая значимость работы. Разработанный в диссертационной работе подход к изучению взаимных влияний геометрий двух распределений мер позволяет уточнить и существенно дополнить представления о сложных эволюционных процессах, протекающих в структурах.

Результаты экспериментальных исследований структур шунгито-вого вещества до и после воздействия внешних факторов (термического окисления и ионного травления) могут быть использованы для установления корреляции между структурными отличиями и физико-химическими свойствами. Также предложенная методика представляет практический интерес при исследовании различных объектов с изменяющимися структурными характеристиками под воздействием

разного рода факторов, способствует получению интегральных количественных характеристик отличий и зависимостей исследуемых структур. Кроме того, отдельные теоретические результаты являются определенным вкладом в теорию фрактальной геометрии.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертационного исследования опубликованы в шести научных работах. Основные прикладные результаты были представлены на конференциях: "Геология и геоэкология Фенноскандии, Северо-Запада и Центра России" (г. Петрозаводск, 2000 г., 2003 г.), "Новые идеи в науках о Земле" (г. Москва, 2001 г.). Выводы диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались при проведении междисциплинарных научных семинаров на кафедре геометрии и топологии, физики твердого тела ПетрГУ и Институте геологии КарНЦ РАН в ходе выполнении исследований по проекту РФФИ 01-05-64228.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1) Разработанные теоретические положения взаимного мультифрак-тального анализа.

2) Численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к двумерным носителям информации.

3) Программа, реализующая разработанные методы и алгоритмы.

4) Результаты апробации методики на модельных фракталах и численных исследований изменений в структурах шунгитового вещества под воздействием термического окисления и ионного травления.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, имеет общий объем 156 страниц машинописного текста, включая 25 листов двух приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 118 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, методы исследования, основные результаты, практическая значимость, приводится описание структуры диссертации.

Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. В ней приводится краткий исторический обзор развития идей мультифрактального анализа, анализ литературы, затрагивающей тему приложений мультифрактального подхода в геологии и ма-

териаловедении. Приведены основные понятия, определения и основы строгого мультифрактального формализма Л. Олсена3. А также даны формулировки теорем о покрытиях4, необходимые для доказательств ряда теорем главы 2.

Вторая глава посвящена разработке теоретических положений анализа одной меры относительно другой, базирующегося на идеях мультифрактального формализма Л. Олсена. Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров. Подробно рассмотрены частные случаи взаимного мультифрактального анализа.

Пусть X — произвольное метрическое пространство с заданной метрикой d, В(Х) — ст-алгебра всех борелевских подмножеств пространства X. Под мерой ¡1, определенной на В(Х), подразумевается вероятностная борелевская мера. Множество всех борелевских вероятностных мер обозначим через V{X). Напомним, что носителем меры ц (или топологическим носителем меры) называется множество всех точек, все окрестности которых имеют положительную меру. Через Вг(х) обозначим замкнутый шар с центром в точке х и радиусом г. Для любого 6 > О S-покрытием множества Е С X называется счетное или конечное семейство множеств Ei С X таких, что Е С и diam(£?i) < 8 для любого ». Центрированным S-покрытием множества Е С X называется ¿-покрытие {Bri(ar,)}i множества Е замкнутыми шарами с центрами в Е. Счетное семейство {Bri(xi)}i дизъюнктных замкнутых шаров с центрами в Е к diam(Bri (аг,)) < 5 для любого i называется центрированной S-упаковкой множества Е. Следуя JI. Олсену5 в качестве функции ipq положим

Для непустого подмножества Е С X, действительных параметров q,t, /I, v S V{X), {Br;(a;i)}i — центрированного ¿-покрытия Е определим взаимную хаусдорфову меру множества Hfys(E) и для {Bri(xi)}i

301sen L. A multifractal formalism// Advances in mathematics. 1995. vol. 116. P.

4Песин Я.Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 404 с.

501sen L. Multifractal geometry// Progress in probability. 2000. vol. 46. P. 3-37.

OO, X = 0, Xq, X > 0,

<7<0; 9 = 0; q > 0.

ipq(x) = 1,

0, x = 0, Xя, x> 0,

82-195.

Точная нижняя (верхняя) грань берется по всем конечным или счетным покрытиям (соответственно, упаковкам) множества Е замкнутыми шарами диаметра не превосходящего 8.

При д = 0(^ = 0)ив>0 получим классические мультифрактальные хаусдорфову (соответственно, упаковочную и предупаковочную) меры пересечения множества Е с пересечением носителей мер для меры и (и, соответственно, ц).

Существуют критические значения <Нт®'*„(.Е), АЧ^1/(Е)

— взаимные мультифракталъные хаусдорфова, упаковочная размерности и взаимныймультифрактальныйлогарифмический индексмно-жества Е, для которых справедливы равенства

Взаимные мультифрактальные хаусдорфову, упаковочную размерности и взаимный мультифрактальный логарифмический индекс, определенные на пересечении носителей мер, обозначим, соответственно, через Ь^, А^.

Показано, что функции являются невозрастающими,

а А/1и — выпуклыми.

Значения ®)» «^„(х) назовем нижней и верхней взаимными локальными размерностями меры ц в точке х £ X, (} (х), х) — нижней и верхней взаимными локальными размерностями меры и в х, где

{lim inf

r-»0+ 0,

\лр[Вг{х)) In г

In г '

X 6 supp fl П supp V, X $ supp (1 П supp V,

x € supp ц П supp и, x £ supp /i П supp v.

Для значений aMi„(x) и „(ж) в определении взаимных локальных размерностей inf следует заменить на sup.

Если = (ß^ v(x) = ß^ix)), то их общее значение бу-

дем обозначать а^и(х) (ßfL^{x)) и называть взаимной локальной размерностью меры [J, в точке х £ X (взаимной локальной размерностью меры и в х).

Пусть K(a,ß) — множество точек, принадлежащих пересечению носителей мер /х и и, для которых взаимная локальная размерность меры ß в точке равна а, а взаимная локальная размерность и равна ß. Нижним и верхним точными взаимными мультифрактальными спектрами fn,v{a>,ß), F>ltl>(a,ß) будем называть, соответственно, взаимные хаусдорфову и упаковочную размерности, определенные на множестве K(a,ß).

Одной из основных задач исследования является оценка точных взаимных мультифрактальных спектров /^(а,/?), F/1^1J(a, ß).

Пусть /* — сопряженная к / функция, int Dom /* — внутренность эффективной области сопряженной к / функции. Во второй главе

показано ( < (-Ь„,„)*(а,13), если (a,ß) G int DomЬ*^;

Ч - \ = 0, если (a,ß) i int Dom

o\ jp / m _ / < (-B^)*(a,ß), если (a,ß) e intDomb^;

; ~ \ = о, если (a,ß) i int Dom

3) Пусть X — метрическое пространство, a, ß > 0, ß, v € V{X).

Если борелевское множество А С K(a,ß), причем Hfy" (А) > 0,

4) Пусть X — метрическое пространство, а, ß > 0, ц, v € ~Р{Х). Если борелевское множество А является подмножеством K(a,ß), причем Vfy'(A) > 0, где q, t, s G R и aq + ßt + s > 0, тогда

Теорема 4. Если функция В^ дифференцируема на int Dom Bßtl/, тогда пара (int Dom B^fB^^) имеет преобразование Лежандра (D, д)

Предполагая, что B*^(a,ß) > 0 и Р$в"Ая'г)(К(а^)) > 0 имеем

Теорема 5. Если функция ¿>М)„ — выпуклая, замкнутая (т. е. bßtl/ тождественно равна замыканию своей выпуклой оболочки) и дифференцируемая на int Dom тогда пара (int Dom имеет пре-

Кроме того, в этой главе по аналогии с классическим формализмом вводятся нижний и верхний емкостные взаимные мультифрактальные спектры (/c""je3, j ), взаимные емкостные размерности для упаковок (тУ^иbi), т^Ы)), покрытий (r^fa.t), r^(q,t)), разбиений {Tii,v(q,t), 0) и размерности для увеличенных ячеек (jJ£„(q, t),

взаимные спектры Хентшель-Прокачиа (НР^„(д, f), HP/¿^(q, t)), а также взаимные мультифрактальные спектры Лежандра

для упаковок и разбиений 7J!" )• Показано, что точ-

ные взаимные мультифрактальные спектры ограничены сверху соответствующими емкостными взаимными спектрами, а те, в свою очередь, взаимными спектрами Лежандра для разбиений.

Для нижних и верхних размерностей и спектров Хентшель-Прокачиа (т™„кр(д, t) равно °?p(q,t) или z™?p(q,t), аналогично и для других размерностей) получены следующие оценки:

1) Если q,t< 0, тогда

T%„{q,t) < HP^fo.t) < T™K*{q,t) = T»»(q,t) < r^t).

2) Если q, t е (0; 1), тогда

HP = T™K?(q,t) = Tj>»(q,t) = Т^АЧЛ) = (?,«)•

3) Если q,t> 1, тогда

rZKp(q,t) < HP„,„(<?, i) = = V,„(?,*) = T%v{q,t).

4) Если q > 1, t e (0; 1) или q £ (0; 1), t > 1, тогда

rZKP(4,t) < q,t) = r,AQ,t) = г^ЛчЛ

5) Если q G (0; 1), t < 0 или q < 0, t e (0; 1), тогда

HP„,< T™Kp(q,t) < T%(q,t) < ъАчЛ

6) Если q < 0, t > 1 или q > 1, t < 0, тогда

rZKp(Q,t) < г^Ш) < ъАяЛ

Взаимный мультифрактальный анализ позволяет получить информацию о сложном, взаимном влиянии двух распределений в контексте геометрической интерпретации, а при некоторых специально заданных значениях параметров q и t, в качестве следствий, позволяет получить спектры, которые уже ранее встречались в литературе, но математически строго не были определены и рассматривались только с позиций численных приложений к анализу мер.

При заданных параметрах q — 0 и t G К придем к строгому аналогу условного мультифрактального анализа меры ц по отношению к базисной мере г/, предложенному Р. Риеди6. Определим верхнюю и нижнюю

6Riedi R.H., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra// Fractals.

условные размерности Реньи меры ц по отношению к базисной мере V для покрытий, упаковок и разбиений:

Трпок Р

(9,0)

т;г;р(<7>о)

(9-0)

Dt, W) =-

Щч) =

q- 1 ' _ T^jq, 0)

9-1 '

Щя)

9-i :

чФЬ чФ i; чФ 1;

■jytotcp, у _ ТтЗ/п.У

•In 5'

DnuOKp'y{\) = Dln'v{\) = W(l) = liminf

7~M —w i->о — In J .

CiCPn,Ciflsupp/ifisuppi/^O,diamCi <<5> ,

где Vn-разбиение пространства Rd уровня n на ячейки С—JJ ^ j,

¡1,..., Id € Z, — — размер ячейки.

Аналогично можно положить t = 0 и для любого действительного параметра q рассмотреть условные размерности Реньи меры v по отношению к базисной мере ц.

Выбрав вместо параметра t значение 1 — q, q £ К, в качестве относительных размерностей Реньи для покрытий, упаковок и разбиений (отличая их от относительных размерностей Реньи, которые встречаются в работах Р. Риеди и Д. Кол7) положим

тт,окр(а 1 - а)

К7""(<1) = ; q), и;7р'Чя) = ^ г; 9 Ф I;

■угПОКр, О

H,V -=гпок р, о

7-покр(а 1 _ \

р,"(п\ _ -P." 1 Ч)

9-1

9-1

= lim Т£Г°(9), = Jim D™r'°(q);

(9) = -,

КЛч) =

_ ТцЛ<1> 1 - 9)

9-1

Ts"» (a 1 _ о")

= lim^rt?);

n<> ,, г^Лч, i - g) , л

= t—-

7Cole J. Relative multifractal analysis// Chaos, solitons & fractals. 2000. №11. P. 2233-2250.

В ходе исследования оказалось, что рассмотренные спектры являются строгими, теоретически обоснованными с мультифрактальной точки зрения аналогами нового относительного мультифрактального спектра размерностей Р. Дансеро и В. Кинснера8.

В третьей главе описываются численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа, свойства взаимных мультифрактальных характеристик и методика проведения взаимного мультифракталь-ного анализа применительно к параметризации эволюции структур. Приводятся критерии отбора корректных взаимных мультифракталь-ных спектров, анализируются погрешности расчетов характеристик, а также кратко описывается программа, реализующая методы и численные алгоритмы предложенного подхода. Кроме этого, приводятся результаты экспериментальных исследований, специальным образом сгенерированных, структур модельных фракталов (модификаций треугольного ковра Серпинского) в случае совпадения носителей мер и в случае, когда носители различны и имеют непустое пересечение.

Кратко опишем численный алгоритм взаимного мультифракталь-ного анализа.

Рассмотрим подмножество U объемлющего евклидова пространства размерности d, d = 1,2,3,..., содержащее носители двух заранее заданных определенным образом мер

1) Покроем U произвольной сеткой, состоящей из кубических (в случае d — 3, квадратных, если d = 2 и т.д.) ячеек одинакового размера S. Определим каждую из двух мер ячейки с помощью суммирования (в случае дискретно распределенной меры) или интегрирования (для непрерывно распределенной) меры в каждой точке по всем точкам, принадлежащим ячейке Cs

Количество ячеек, для которых меры ц и и являются строго положительными, обозначим через

2) Реализуя несколько разбиений множества U на ячейки размером равным найдем минимальное значение по всем возможным разбиениям обобщенной статистической суммы

8Dansereau Я., Kinser W. New relative multifractal dimension measures// 26th International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP'2001). Salt Lake City. Utah. May 7-11. 2001. 4 p.

где параметры д, г принимают любые действительные значения, а суммирование проводится по всем ячейкам разбиения, имеющим непустое пересечение с пересечением носителей мер. Использование нескольких (а лучше многих) последовательных произвольных разбиений пространства в дальнейшем обеспечит отсутствие эффекта влияния способа покрытия сеткой на полученные характеристики.

3) Оценку емкостных размерностей получим из формулы

1пМг(<7, Ь)

ТцЛЫ) = Ит

о—>0

1п5

Зависимость ТцАя% I) показывает насколько произведение моментов мер цк и зависит от размера ячейки 5.

4) В случае дифференцируемой и выпуклой функции используя теоремы 4, 5 и оценки точных взаимных мультифрактальных спектров, получим приближенные значения взаимных локальных размерно-

дд ' г«'"'" Э1 В качестве оценки спектра Лежандра для разбиений положим

,«)«+ О*-т„,„(«>*). "Ы)<7+ *) > 0;

а{д,1)я + р(я,1)1-т{я,1)< 0.

Полученная оценка спектра Лежандра позволяет мажорировать сверху емкостные и точные взаимные мультифрактальные спектры, которые несут информацию как статистического, так и геометрического характера о влиянии исследуемых мер друг на друга.

5) Задавая значения параметров д или г быть равными нулю и в качестве частных случаев, вычислим условные и относительные обобщенные размерности Реньи

о»сл(я) =

х>Г(0 =

=

ТцЛя* о)

д-1 '

ъА о,*) ¿-1 ' ъАяА-я)

9-1 ' условные локальные размерности

2>£Г(1) = 0,

<*(?) = «(<7,0),

и оценку условных спектров Лежандра

Методика расчета взаимных мультифрактальных характеристик для двумерных изображений состоит из следующих этапов: предварительная подготовка изображений, генерация сеток (разбиений) и формирование мер, расчет взаимных мультифрактальных характеристик и проверка спектров на корректность.

Использование классического примера треугольного ковра Серпин-ского с различными параметрами построения позволило выполнить апробацию методического и программного обеспечения для дальнейшего анализа.

В четвертой главе приведены результаты классического и взаимного мультифрактального анализа структур шунгитового вещества месторождений центральной Карелии (Нигозеро и Шуньга) до и после термического окисления и ионного травления (под шунгитом понимается природное вещество, состоящее из аморфного углерода и сильно диспергированного графита, с неорганическими примесями веществ, которое характеризуется блестящим черным цветом, твердостью около 4 и плотностью 1848-1980 кГ/м3 9). Показаны преимущества использования взаимного мультифрактального анализа для исследования тонких структурных отличий. Значимость проведения данного исследования связана с уникальными физико-химическими свойствами исследуемого вещества и широкими перспективами в его технологическом применении10'11.

Сравнение классических мультифрактальных характеристик образцов исходной структуры структуры после термического окисления и после ионного травления Нигозерского месторождения не позволило получить удовлетворительного количественного описания тонких структурных отличий.

С помощью приложения взаимного мультифрактального анализа удалось выяснить, что наиболее тонкие локальные структурные отли-

9 Советский энциклопедический словарь. М.: Изд-во Сов. энциклоп. 1979. 1600 с.

10Филгагаов М.М. Природные фуллерены: Перспективы использования шунги-товых пород Карелии для их промышленного получения (обзор)// Геология и полезные ископаемые Карелии. Петрозаводск: Изд-во КарНЦ. 1991. №3. С. 91-96.

11KovaIevski V.V. et al. Fullerene - like structures in shungite and their physical properties// Mol. Mat. 1994. vol. 4. P. 77-80.

чия изображений в данном случае прослеживаются в областях с повышенной степенью размещения точек одного множества и пониженной степенью размещения точек другого множества, а также получить количественные характеристики этих различий.

Классический мультифрактальный анализ структур поверхностей образцов шунгитов месторождения Шуньга до ^Ы) и после обработки (Sh2 и Sh3) позволил выявить характер существенных структурных изменений. Использование взаимного мультифрактального анализа способствовало получению дополнительных количественных характеристик, описывающих сложные отношения и зависимости геометрий двух распределений по отношению друг к другу. В процессе исследования был проведен более детальный анализ и уточнен характер эволюции рассматриваемых структур. Сравнение условных размерностей с классическими мультифрактальными размерностями позволило выявить степень зависимости распределения меры от простого присутствия точек носителя другой меры, а относительные размерности показали степень отличия исследуемых структур.

Выполненные экспериментальные расчеты показали, что взаимные мультифрактальные спектры для реальных природных структур в значительной степени следуют теоретическому поведению. Изменение структурных свойств отражается в количественных характеристиках, имеется возможность получения информации об эволюции множеств с любой допустимой сингулярностью. Предложенная методика позволяет в некоторых случаях уловить трудно различимые для классического мультифрактального анализа структурные отличия, а в других получить более полную картину динамики структуры. Несомненно, требуется дальнейшее развитие и усовершенствование как численных алгоритмов, так и программы, связанное, например, с генерацией более сложных мер (мер, определенных для черно-белых изображений с использованием градаций серого, цветных изображений). Также для широкого использования необходимо автоматизировать подготовительные работы по оформлению исходных данных. Итак, предложенный в диссертационной работе подход действительно может применяться к исследованию реальных природных систем, и в дальнейшем установлению связи структурных отличий от физико-химических свойств.

На взгляд автора возможными перспективными областями приложения взаимного мультифрактального анализа могут быть исследования, связанные с любыми объектами (природные или синтетические

материалы, биологические ткани и т.д.) с изменяющимися структурными характеристиками под воздействием как внешних, так и внутренних факторов. Данная методика также может быть полезной при изучении окружающей среды (например, разного рода загрязнений, эрозий, таяния льдов), развития популяций животных, качества изображений и многих других областей науки и техники.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы:

1) Разработаны теоретические основы метода на базе классического мультифрактального анализа. Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных размерностей, проведена оценка хаусдорфо-вой и упаковочной размерности, рассмотрены частные случаи: условный и относительный анализы.

2) Созданы численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Рассмотрены свойства взаимных мультифрактальных характеристик.

3) На основе предложенного подхода разработана методика выполнения взаимного мультифрактального анализа применительно к исследованию двумерных носителей информации. Проведена оценка погрешностей и предложен метод проверки спектров на корректность.

4) Разработана программа, реализующая предложенные методы и численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа.

5) Выполнена апробация методики, численных алгоритмов и программы на модельных фрактальных множествах в случае совпадения носителей мер и в случае различных пересекающихся носителей.

6) Выполнены экспериментальные исследования структур шунгито-вого вещества до и после обработки (термического окисления и ионного травления), в ходе которых было получено количественное описание изменений в минеральных структурах под воздействием внешних факторов.

В приложении 1 представлены таблицы взаимных мультифрак-тальных характеристик, полученных для модельных фрактальных множеств.

В приложение 2 вынесены таблицы основных взаимных мультиф-рактальных характеристик, полученных для исследуемых природных структур.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Светова Н.Ю., Фофанов А.Д. Аспекты применения мультифрак-тального анализа к геологическим системам// Геология и полезные ископаемые Карелии. №6. Петрозаводск: Изд-во КарНЦ РАН. 2003. С. 122-127.

2) Светова Н.Ю. Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. "Математика". Вып. 10. Петрозаводск: Изд-во Петр ГУ. 2003. С. 41-58.

3) Светова Н.Ю. Основы мультифрактального анализа и его применение в геологии// Геология и геоэкология северо-запада России. Материалы XIV молодежной научной конференции, посвященной памяти К.О. Кратца. Петрозаводск: Изд-во КарНЦ РАН. 2003. С. 143-145.

4) Светова Н.Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. "Математика". Вып. 11. Петрозаводск: Изд-во Пет-рГУ. 2004. С. 42-47.

5) Светова Н.Ю. Взаимные мультифрактальные спектры П. Взаимные спектры Лежандра, Хентшель-Прокачиа и спектры, определенные для разбиений// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. "Математика". Вып. 11. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. 2004. С. 48-57.

6) Светова Н.Ю. Численный алгоритм взаимного мультифракталь-ного анализа// Электронный журнал "Исследовано в России". 185. 2004. С. 1971-1981. Режим доступа: http://zhurnal.ape. relarn.ru/articles/2004/185.pdf

Подписано в печать 1.11.04. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд.л. 1. Усл. кр.-отт. 7. Тираж 100 экз. Изд. №210 Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет Типография Издательства Петрозаводского государственного университета 185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

№2 63 4 8

Введение

1. Основы мультифрактального анализа

1.1. История развития мультифрактального анализа

1.2. Строгий мультифрактальный формализм.

1.2.1. Хаусдорфова, упаковочная меры и размерности.

1.2.2. Мультифрактальный формализм.

1.2.3. Теоремы о покрытиях.

2. Взаимный мультифрактальный анализ

2.1. Взаимные хаусдорфова упаковочная мультифрактальные меры и размерности

2.2. Взаимные точные мультифрактальные спектры.

2.3. Емкостные взаимные спектры.

2.4. Взаимные спектры Лежандра и взаимные спектры Хентшель - Прокачиа.

2.5. Взаимные емкостные размерности, определенные для разбиений

2.6. Оценка точных взаимных мультифрактальных спектров

2.7. Частные случаи взаимного мультифрактального анализа.

3. Численные алгоритмы и реализация алгоритмов взаимного мультифрактального анализа

3.1. Численные алгоритмы осуществления взаимного мультифрактального анализа.

3.2. Свойства взаимных мультифрактальных характеристик.

3.3. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к параметризации минеральных структур.

3.3.1. Предварительная подготовка изображений

3.3.2. Генерация сеток (разбиений), формирование мер и расчет взаимных мультифрактальных характеристик.

3.3.3. Проверка спектров на корректность, погрешности расчетов

3.3.4. Краткое описание технической реализации алгоритмов взаимного мультифрактального анализа.

3.4. Тестирование программы MMA2D

3.4.1. Случай совпадения носителей мер.

3.4.2. Случай различных носителей мер, имеющих непустое пересечение

Одной из важнейших фундаментальных задач современного естествознания является строгое количественное описание структуры природных объектов. Традиционный подход для аппроксимации изучаемой структуры предполагает использование геометрических фигур с целыми размерностями (точки, линии, поверхности и т.д.). Однако во многих случаях, с одной стороны, применение топологически не эквивалентных моделей приводит к потере значительной части информации, а с другой такой подход позволяет количественно описать лишь отдельные элементы, не учитывая свойств всей структуры в целом [10].

Новым подходом в решении задачи является описание структур с помощью использования методов фрактальной геометрии [22, 44, 43, 62]. В частности, концепция мультифрактального формализма [3, 10, 28] дает эффективный инструмент для изучения и количественного описания широкого многообразия неоднородных, иррегулярных, сложных систем. Этот подход также имеет очевидные преимущества перед стандартным статистическим, поскольку представляет информацию о локальных и о глобальных свойствах изучаемой системы [82].

Целью мультифрактального анализа является поиск методов для изучения и характеристики мультифрактальных мер [49]. В общей схеме анализа меры анализируются с помощью так называемого "мультифрактального спектра", который позволяет получить как геометрическую, так и вероятностную информацию о распределении точек, имеющих одинаковую сингулярность [103].

К сожалению, появление большинства ошибок в практических приложениях мультифрактального анализа связано с тем, что в отличие от идеальных фрактальных структур реальные природные системы являются самоподобными только лишь над конечным числом уровней масштабов. Поэтому разные меры могут дать почти одинаковые мультифрактальные спектры, и для сравнения распределений мер с мульти-фрактальной точки зрения этот метод не является достаточно корректным. Вследствие этого актуальной является тема разработки методов анализа не только распределения единственной меры, но и определении количественных характеристик влияния двух разных распределений на геометрию друг друга.

Цели и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ и реализация нового подхода к количественному описанию тонких структурных изменений, происходящих в сложных природных системах.

В процессе исследования решался ряд взаимосвязанных задач:

1) Систематизация и анализ теоретических основ фрактального и мультифрак-тального формализмов и приложений их к исследованию природных систем.

2) Развитие теоретических положений нового подхода к анализу геометрии распределений двух мер на основе строгого мультифрактального формализма, оценка взаимной хаусдорфовой и взаимной упаковочной размерностей, обсуждение частных случаев предложенного анализа — условного и "нового" относительного анализа.

3) Создание численных алгоритмов взаимного мультифрактального анализа распределений двух мер.

4) Разработка, реализация и отладка программы, осуществляющей взаимный муль-тифрактальный анализ применительно к исследованию 2D носителей информации (микрофотоизображений минеральных структур).

5) Тестирование работы численных алгоритмов взаимного мультифрактального анализа на классических фрактальных множествах, оценка погрешностей и ограничений, возникающих при переходе к дискретной аппроксимации.

6) Приложение метода взаимного мультифрактального анализа к задаче количественного описания изменений в минеральных структурах, происходящих под воздействием внешних факторов.

Методы исследования и фактический материал

Проведенные в диссертационной работе теоретические исследования основаны на методах фрактальной геометрии, строгом мультифрактальном формализме, разработанным Л. Олсеном, используют методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, а также при доказательстве некоторых теорем используется техника доказательств К.-С. Ло и С.-М. Нгаи. Основным ядром численных алгоритмов являлся модифицированный метод равноячеечного разбиения. При реализации алгоритма мультифрактального и взаимного мультифрактального анализа, а также его частных случаев автором создана программа "MMA2D" в среде Compaq Visual Fortran

6.0 для Windows 98/ХР с использованием пакета визуализации многомерных данных Compaq Array Viewer 1.5. Апробация методики, a, также тестирование разработанной программы, проводилось на модельных фрактальных агрегатах, сформированных в специальных компьютерных экспериментах. Результаты расчетов частного случая (классического мультифрактального анализа) сравнивались с результатами, полученными из литературных источников и программным продуктом MFRDrom99, переданным д.ф.-м.н. Г.В. Встовским (ИМЕТ РАН, г. Москва) для тестирования. Микрофотографии структур шунгитового вещества, использованные для апробации методики на реальных природных системах, предоставлены к.ф.-м.н. В.В. Ковалевским (Институт геологии КарНЦ, г. Петрозаводск).

Научная новизна

Научная новизна заключается в следующем:

1) Предложен новый подход к анализу распределений двух мер с мультифракталь-ной точки зрения.

2) Разработаны теоретические положения взаимного мультифрактального анализа.

3) Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров.

4) На основе предложенного подхода разработана и реализована методика выполнения взаимного мультифрактального анализа.

5) Предложенная теория впервые применяется к задаче количественного анализа изменений, происходящих в минеральных структурах шунгитового вещества под воздействием внешних факторов (термического окисления и ионного травления).

Практическая значимость работы

Разработанный в диссертационной работе подход к изучению взаимных влияний геометрий двух распределений мер позволяет уточнить и существенно дополнить представления о сложных эволюционных процессах, протекающих в структурах.

Результаты экспериментальных исследований структур шунгитового вещества до и после воздействия внешних факторов (термического окисления и ионного травления) могут быть использованы для установления корреляции между структурными отличиями и физико-химическими свойствами. Также предложенная методика представляет практический интерес при исследовании различных объектов с изменяющимися структурными характеристиками под воздействием разного рода факторов, способствует получению интегральных количественных характеристик отличий и зависимостей исследуемых структур. Кроме того, отдельные теоретические результаты являются определенным вкладом в теорию фрактальной геометрии.

Публикации и апробация работы

Результаты выполненных исследований по теме диссертации опубликованы в пяти статьях и материалах тезисов докладов. Основные прикладные результаты исследования были представлены на конференциях: "Геология и геоэкология Фенноскан-дии, Северо-Запада и Центра России" (г. Петрозаводск, 2000 г., 2003 г.), "Новые идеи в науках о Земле" (г. Москва, 2001 г.). Основные выводы диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались при проведении междисциплинарных научных семинаров на кафедре физики твердого тела ПетрГУ и Институте геологии КарНЦ РАН в ходе выполнении исследований по проекту РФФИ 01-0564228.

Основные результаты, выносимые на защиту

1) Разработанные теоретические положения взаимного мультифрактального анализа.

2) Численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к двумерным носителям информации.

3) Программа, реализующая разработанные методы и алгоритмы.

4) Результаты апробации методики на модельных фракталах и численных исследований изменений в структурах шунгитового вещества под воздействием внешних воздействий.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, имеет общий объем 156 страниц машинописного текста., включая 25 листов приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 118 наименований.

Заключение

В диссертационной работе предложен метод анализа отношений и зависимости геометрий двух распределений мер по отношению друг к другу. Получены следующие основные результаты:

1) Разработаны теоретические основы метода на базе классического мультифрактального анализа. Установлены основные свойства взаимных мультифракталь-ных размерностей, проведена оценка хаусдорфовой и упаковочной размерности, рассмотрены частные случаи: условный и "новый" относительный анализы.

2) Созданы численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Рассмотрены свойства взаимных мультифрактальных характеристик.

3) На основе предложенного подхода разработана методика выполнения взаимного мультифрактального анализа применительно к исследованию двумерных носителей информации. Проведена оценка погрешностей и предложен метод проверки спектров на корректность.

4) Разработана программа, реализующая предложенные методы и численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа.

5) Выполнена апробация методики, численных алгоритмов и программы на модельных фрактальных множествах в случае совпадения носителей мер и в случае различных пересекающихся носителей.

6) Выполнены экспериментальные исследования структур шунгитового вещества до и после обработки (термического окисления и ионного травления), в ходе которых было получено количественное описание изменений в минеральных структурах под воздействием внешних факторов.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука. 1977. 368 с.

2. Базай А.В., Иванюк Г.Ю. Механо-химическая дифференциация железистых кварцитов с позиций теории самоорганизации// ЗВМО. 1996. №5. С. 67-82.

3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мулътифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 128 с.

4. Вадковский В.Н., Соколов С.Д., Захаров B.C., Лубнина Н.В. Аккреционная тектоника и фрактальная размерность // 4-е геофизические чтения им В.И.Федынского. Тезисы докладов. М.: Геос. 2002. С. 57-58.

5. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф. Мультифрактальный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена// Металлы. 1993. №4. С. 164-178.

6. Встовский Г.В., Бунин И.Ж. Мулыпифракталъная параметризация структур в материаловедении// Перспективные материалы. 1995. №3. С. 13-21.

7. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Псевдомультифрактальный анализ геометрической асимметрии// Математическое моделирование процессов в синергетических системах. Сб. статей. Улан-Удэ Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1999. С. 277-281.

8. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 116 с.

9. Горобець Ю.И., Кучко A.M. Вступ до ф{зики фрактальних структур. Киев: Наукова думка. 2000. 145 с.

10. Зайнетдинов Р.И. Подтверждение мулътифракталъной природы последовательности отказов с использованием вейвлет-анализа// Методы расчета и оценки надежности. 2000. №9. С. 21-26.

11. Зельдович Я. Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика/ / Успехи физических наук. 1985. т. 146. №3. С. 493-506.

12. Иванов Л.И., Масляев С.А., Пименов В.Н., Сасиновская И.П., Цепелев А.Б., Никель X., Линке Дж., Дуве Р. Поведение псевдосплава вольфрам — медь при интенсивных стационарных и импульсных тепловых воздействиях// Перспективные материалы. 1996. №4. С. 35-46.

13. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука. 1994. 383 с.

14. Каштанов А.В. Фрактальная модель разрушения упругой плоскости с угловыми вырезами// Вестник молодых ученых. Сер.: Прикладная математика и механика. 2000. №. С. 91-95.

15. Колмаков А.Г. Взаимосвязь мулътифракталъных характеристик структур поверхностей разрушения молибдена с его механическими свойствами// Металлы. 1996. №6. С. 60-69.

16. Колмаков А.Г., Встовский Г.В., Масляев С.А., Пименов В.Н. Исследование структур медных сплавов после лазерного воздействия с использованием мультифрактального анализа// Перспективные материалы. 1999. №4. С. 5-13.

17. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет. 2000. 352 с.

18. Малышев В.Н., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Оптимизация режимов получения и свойств оксидных покрытий на алюминиевом сплаве с использованием мультифрактального анализа// Физика и химия обработки материалов. 1997. №5. С. 77-84.

19. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества// В кн. "Фракталы в физике". Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985). М.: Мир. 1988. С. 9-47.

20. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002. 656 с.

21. Масляев С.А., Платов Ю.М., Пименов В.Н. Повреждаемость материалов первой стенки термоядерных реакторов при нестационарных тепловых воздействиях// Физика и химия обработки материалов. 1990. №4. С. 9-13.

22. Масляев С.А., Неверов В.И., Пименов В.Н., Платов Ю.М., Бецофен С.Я., Саси-новская И.П. Воздействие импульсного лазерного излучения на сплавы ванадий титан// Физика и химия обработки материалов. 1992. №5. С. 38-45.

23. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 160 с.

24. Новиков В.У., Кобец Л.П., Деев И.С., Козицкий Д.В. Анализ структуры и свойств углеродных волокон с использованием мультифрактального формализма/ / Материаловедение. 2003. №5. С. 29-41.

25. Оксогоев А.А., Бунин И.Ж., Колмаков А.Г., Встовский Г.В. Мультифрактальный анализ изменения зеренной структуры алюминиевого сплава при ударном воздействии скоростной частицей// Физика и химия обработки материалов. 1999. №4. С. 63-71.

26. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды// Успехи физических наук. 1993. т. 163. №12. С. 1-50.

27. Песин Я.Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 404 с.

28. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 471 с.

29. Светова Н.Ю., Фофанов А.Д. Аспекты применения мультифрактального анализа к геологическим системам// Геология и полезные ископаемые Карелии. Петрозаводск. 2003. №. б. ИГ КарНЦ РАН. С. 122 127.

30. Светова Н.Ю. Основы мультифрактального анализа и его применение в геологии// Геология и геоэкология северо-запада России. Материалы XIV молодежной научной конференции, посвященной памяти К.О. Кратца. Петрозаводск. Изд-во ИГ КарНЦ. 2003. С. 143 145.

31. Светова Н.Ю. Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. "Математика". Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. Вып. 10. 2003. С. 41-58.

32. Светова Н.Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры// • Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. "Математика".

33. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. Вып. 11. 2004. С. 42 47.

34. Светова Н.Ю. Численный алгоритм взаимного мультифрактального анализа. Электронный журнал "Исследовано в России". 2004. (в печати)

35. Смирнов Б.М., Физика фрактальных кластеров. М.: Наука. 1991. 136 с.

36. Советский энциклопедический словарь. М.: Иэд-во Сов. энциклоп. 1979. 1600 с.

37. Соколов И.М., Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания// Успехи физических наук. 1986. т. 150. №2. С. 221— 255.

38. Турбин А.Ф., Працевитый В. Фрактальные множества, функции, распределения. Киев.: Наукова думка. 1992. 207 с.

39. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 528 с.

40. Филиппов М.М. Природные фуллерены: Перспективы использования шунгито-вых пород Карелии для их промышленного получения (обзор)// Геология и полезные ископаемые Карелии. Петрозаводск: Изд-во КарНЦ. 1991. №3. С. 91-96.

41. Фракталы в физике. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985). М.: Мир. 1988. 672 с.

42. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 254 с.

43. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир. 1984. 752 с.

44. Alber М., Peinke J. Improved multifractal box-counting algorithm, virtual phase transitions, and negative dimensions// Physical review E. May 1998. vol. 57. №5. P. 5489-5493.

45. Allegre C.J., Lewin E. Scaling laws and geochemical distributions// Earth and planetary science letters. 1995. vol. 132. P. 1-13.

46. Arbeiter M., Patzschke N. Random self-similar multifractals// Math. Nachr. 1996. №181. P. 5-42.

47. Barreira L., Pesin Y.B., Schmeling J. On a general concept of multifractality: multifractal spectra for dimensions, entropies, and Lyapunov exponents. Multifractal rigidity// Chaos. 1997. №7. P. 27-38.

48. Barreira L., Pesin Y.B., Schmeling J. Dimension and product structure of hyperbolic measures// Ann. of Math. 1999. vol. 149. №2. P. 755-783.

49. Batakis A., Heurteaux Y. On relations between entropy and Hausdorff dimension of measures// Preprint. Orsay. 1998.

50. Berntson G. M., Stoll P. Correcting for finite spatial scales of self-similarity when calculating the fractal dimensions of real-world structures// Proc. R. Soc. Lond. B.1997. vol. 264. P. 1531-1537.

51. Cole J. Relative multifractal analysis// Chaos, solitons & fractals. 2000. №11. P. 2233-2250.

52. Cole J. The geometry of graph directed self-conformal multifractals Ph.D. Thesis. University of St. Andrews. 1998. 93 p.

53. Das M. Local properties of self-similar measures// Illinois journal of mathematics.1998. № 42. P. 313-332.

54. Dansereau R., Kinser W. New relative multifractal dimension measures// 26th International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP'2001). Salt Lake City. Utah. May 7-11. 2001. 4 p.

55. Genyuk J. A typical measure typically has no local dimension// Real Analysis Exchange. 1997/98. vol. 23. №2. R 525-537.

56. Genyuk J. Topics in Multifractal Formalism (local dimension, global scaling). Ph.D. Thesis. The Ohio State University. 1999. 64 p.

57. Grassberger P. Generalized dimension of strange sets// Phys. Lett. A. 1983. vol. 97. P. 227-230.

58. Grassberger P., Proccacia I. Characterization of strange attractors// Phys. Rev. Lett. 1983. vol. 50. P. 346-349.

59. Goncalves M.A. Characterization of geochemical distributions using multifractal models// Mathematical Geology. 2001. vol. 33. №1. P. 41-61.

60. Goryainov P.M., Ivanyuk G.Yu. On genesis of banded iron-formation of the Kola peninsula. Synergetic aspects// Theophrastus contributions to advanced studies in geology, vol. 2. Theophrastus Publications A. E., Athens. 1998. P. 249-267.

61. Integral, probability, and fractal measures, by G. Edgar, Springer- Verlag, New York, 1998// Bulletin (New Series) of the american mathematical society. 2000 vol. 37. №4. P. 481-498.

62. Edgar G.A. Packing measure in general metric space// Real Analysis Exchange. 2001. №26. P. 831-852.

63. Falconer K.J. Generalized dimensions of measures on self-affine sets// Nonlinearity. 1999. №12. P. 877-891.

64. Feng D.-J., Wu J. The Hausdorff dimension of recurrent sets in symbolic spaces// Nonlinearity. 2001. №14. P. 81-85.

65. Ficker T. Unconventional multifractal formalism and image analysis of natural fractals// Czechoslovak Journal of Physics. 1999. vol.49. №10. P. 1445-1459.

66. Jezewski W. Complex multifractal measures and a generalized multifractal formalism// Physica A. 2001. vol. 298. P. 419-430.

67. Havlin S., Amaral L.A.N., Ashkenazy Y., Goldberger A.L.,Ivanov P.Ch.; Peng C.-K., Stanley H.E. Application of statistical physics to heartbeat diagnosis// Physica A. 1999. vol. 274. P. 99-110.

68. Hanan W.G., Heffernan D.M. Geometrical multifractality of the perimeter of DLA clusters// Chaos, Solitons & Fractals. 2001. №12. P. 193-195.

69. Hentschel H., Proccacia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors// Physica D. 1983. vol. 8. P. 435-444.

70. Howroyd J.D., On the theory of Hausdorff measures in metric spaces. Ph.D. Thesis. University of London. 1994. 73 p.

71. Halsey Т., Jensen M., KadanofF L.P., Procaccia I. and Shraiman B. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets// Phys. Rev. A. 1986. №33. P. 1141-1151.

72. Hutchinson J.E., Ruschendorf L. Self similar fractals and selfsimilar random fractals// Progress in probability. 2000. vol. 46. P. 109-123.

73. Ivanov P.C., Amaral L.A.N., Goldberger A.L., Havlin S., Rosenblum M.G., Struzikk Z.R., Stanley H.E. Multifractality in human heartbeat dynamics// Nature. 1999. vol. 399. №3. June. P. 461-465.

74. Kestener P., Lina J.M., Saint-Jean P., Arneodo A. Wavelet-based multifractal formalism to assist in diagnosis in digitized mammograms// Image Anal. Stereol. vol. 20. P. 1-6.

75. Khue P.N., Huseby O., Saucier A., Muller J. Application of generalized multifractal analysis for characterization of geological formations// J. Phys.: Condens. Matter. 2002. №14. P. 2347-2352.

76. Kolmakov A.G., Geminov V.N., Vstovsky G.V., Terentev V.F., Zabolotny V.T., Starostin E.E. Effect of rhenium coating on the mechanical behavior of molybdenum wires// Surface and coatings technology. 1995. vol. 72. P. 43-50.

77. Lanterman A.D., O'Sullivan J.A., Miller M.I. Kullback-Leibler distances for quati-fying clutter and models// Optical engineering. 1999. vol. 38. №2. P. 2134-2146.

78. Lau K.S., Ngai S. Multifractal measures and a weak separation condition// Advances in mathematics. 1999. №141. P. 45-96.

79. Levy Vehel J. Numerical computation of the large deviation multifractal spectrum// In CFIC'96. Rome. 1996.

80. Levy Vehel J. Introduction to the multifractal analysis of images// In Fractal image encoding and analysis. 1996. Springer. 52 p.

81. Levy-Vehel J., Vojak R. Higher order multifractal analysis// In INRIA research report. RR-2796. February. 1996. 32 p.

82. Levy Vehel J., Vojak R. Multifractal analysis of Choquet capacities// Advances in applied mathematics. 1998. № 20. P. 1-43.

83. Mach J., Mas F., Saques F. Two representations in multifractal analysis)/ J. Phys. A.: Math. Gen. 1995. vol. 28. P. 5607-5622.

84. Mainieri R. On the equality of Hausdorff and box-counting dimensions// Chaos. 1993. vol. 3. №2 P. 119-125.

85. Makarov N.G. Fine structure of harmonic measure// Алгебра и анализ. 1998. т. 10. вып. 2. С. 1-62.

86. Mandelbrot В., Riedi R.H. Multifractal formalism for infinite multinomial measures// Advanses in applied mathematics. 1995. vol. 16. P. 132-150.

87. Morters P. Five lectures on Hausdorff dimension, random trees and brownian motion. University of Bath. Material zur Winterschule des Graduiertenkollegs Stochastische Prozesse und probabilistische Analysis. Stralsund. April 2003. 36 p.

88. Ngai S. A dimension result arising from the L9 -spectrum of a measure// Proceedings of the American Mathematical Society. 1997 vol. 125. №10. P. 2943-2951.

89. Olsen L. A multifractal formalism// Advances in mathematics. 1995. vol. 116. P. 82-195.

90. Olsen L. Multifractal dimensions of product measures// Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1996. vol. 120. P. 709-734.

91. Olsen L. Self-affine multifractal Sierpinski sponges in Rd// Рас. J. Math 1998. vol. 183. P. 143-199.

92. Olsen L. Geometric constructions in multifractal geometry// Periodica Marhematica Hungarica. 1998. vol. 37 №1-3. P. 81-99.

93. Olsen L. Multifractal geometry// Progress in probability. 2000. vol. 46. P. 3-37.

94. O'Neil T. The multifractal spectra of projected measures in Euclidean spaces// Chaos, solitons & fractals. 2000. №11. P. 901-921.

95. Pastor-Satorras R., Riedi R. Numerical estimates of generalized dimensions dq for negative q// J. Phys. A: Math. Gen. 1996. vol. 29. P. L391-L398.

96. Pesin Y.B. Generalized spectrum for the dimension: the approach based on Caratheodory's construction// In Constantin Caratheodory: An International Tribute. World Sci. Teaneck. NJ. 1991. P. 1108-1119.

97. Pesin Y.B. On Rigorous mathematical definitions of correlation dimension and generalized spectrum for dimensions// J. Stat. Phys. 1993. №71. P. 529-547.

98. Pesin Y.B., Weiss H. The multifractal analysis of gibbs measures: motivation, mathematical foundation, and examples// Chaos. 1997. №7. P. 89-106.

99. Pesin Y.B., Weiss H. A multifractal analysis of equilibrium measures for confor-mal expanding maps and Markov Moran geometric constructions// J. Statist. Phys. 1997. vol. 86. P. 233-275.

100. Reljin I.S., Reljin B.D. Fractal geometry and multifractals in analyzing and processing medical data and images// Archive of Oncology. 2002. vol. 10. №4. P. 283-93.

101. Riedi R.H. An improved multifractal formalism and self-similar measeres// Journal of math analysis and application. 1995. №189. P. 462-490.

102. Riedi R.H., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra// Fractals. 1997. Vol. 5. №1. P. 153-168.

103. Riedi. R.H. An introduction to multifractals. Technical report. Rice University. 1999. 23 p. Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.dsp.rice.edu/~riedi.

104. Soille P., Rivest J.-F. On the validity of fractal dimension measurements in image analysis// Journal of visual communication and image representation. 1996. vol. 7. №3. P. 217-229.

105. Saucier A., Muller J. Textural analysis of disordered materials with multifractals// Physica A. 1999. vol. 268. P. 221-238.

106. Saucier A., Richer J., Muller J. Assessing the scope of the multifractal approach to textural characterization with statistical reconstructions of images// Physica A. 2002. vol. 311. P. 231-259.

107. Turcotte D.L. Fractals in petrology// Lithos. 2002. vol. 65. P. 261-271.

108. Vstovsky G.V., Bunin I.Zh. Multifractal parametrization of structures in material science// Journ. of advanced materials. 1994. vol. 1. №3. P. 230-240.

109. Vstovsky G.V., Kolmakov A.G., Terentjev V.F. Using multifractal information for quantitative evaluation of broken symmetries of materials structures// Medziago-tyra (Materials Science). 1999. vol. 9.№2. P. 62-65.

110. Williford R.E. Multifractal fracture// Scripta Metallurgica. 1988. vol. 22. №11. P. 1749-1753.

111. Yu Z.-G., Ren F.-Y., Liang J.-R. HausdorjJ dimension, Mean quadratic variation of infinite self-similar measures // arXiv: math. CA 9812138 vl 24 Dec 1998. 8 p.

112. Xiao Y. Packing dimension, hausdorff dimension and cartesian product sets// Math, proc. Cambridge phil. Soc. 1996. vol. 120. P. 535-546.

113. Zheru Z., Huahai M., Cheng Q. Fractal geometry of element distribution on mineral surfaces// Mathematical geology. 2001. Vol. 33. №. 2. P. 217-228.

114. Zindulka O. Hentschel-Procaccia spectra in separable metric spaces Электронный ресурс] Режим доступа к ст.: http://mat.fsv.cvut.cz/zindulka/Papers/Spectra.ps