автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение спектра обобщенных фрактальных размерностей Реньи для сравнения текстур изображений

На правах рукописи

Спиридонов Константин Николаевич

ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ОБОБЩЁННЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ РЕНЬИ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ТЕКСТУР ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

ииз453047

Петрозаводск 2008

003453047

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петрозаводский государственный университет»

Научный руководитель:

д.т.н., профессор

Рогов Александр Александрович

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Платонов Сергей Сергеевич к.ф.-м.н.

Чуйко Юлия Васильевна

Ведущая организация: Институт информатики и математического моделирования технологических процессов Кольского НЦ РАН

Защита состоится «_ 11 .» декабря 2008г. в « -10 » часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 в Петрозаводском государственном университете по адресу 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан «.

9

2008г.

Учёный секретарь ^ диссертационного совета

В.В. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время активно создаются электронные коллекции документов. Условно их можно разделить' на текстовые и графические. Несмотря на возникающие проблемы при обработке текстовой информации, в данной области существуют достаточно эффективные и универсальные методы. В тоже время, в области цифровой обработки изображений существующие методы часто применимы только для решения определенного класса задач для типовых изображений. Существенный вклад в разработку методов цифровой обработки изображений внесли такие известные учёные как: А. Розенфельд, Г. Фриман, У. Претт, В.А. Сойфср и др.

Среди множества актуальных на сегодняшний день задач в данной области выделим следующие:

1) выявление инвариантных признаков изображения относительно различных преобразований (преобразование изменения яркости, поворота и др.);

2) поиск заданного изображения по базе данных;

3) сегментация изображения.

Качество решения двух последних задач напрямую зависит от выбора решения первой.

Как правило, при цифровой обработке изображения чаще всего используют методы, основанные на его стохастической модели, что является не всегда оправданным. Новым направлением в данной области является использование метода мультифрактального анализа изображения и его мультифрактальной модели.

Метод мультифрактального анализа позволяет получить как вероятностную так и геометрическую информацию о точках изображения. В качестве базовой характеристики изображения в данном методе используется так называемый «мультифрактальный спектр». Метод мультифрактального анализа основан на теоретических выводах фрактальной геометрии, родоначальником которой является Бенуа Мандельброт.

Для оценки теоретических значений мультифрактальных характеристик разработаны соответствующие методы. Все они в основном являются вариантами метода равноячеечного разбиения. Так, в лаборатории механических свойств конструкционных материалов Института Металлургии и Материаловедения (ИМЕТ) РАН Встов-ским Г.В. и другими сотрудниками данной лаборатории был разработан метод мультифрактальной параметризации структур.

Несмотря на то, что мультифрактальный анализ несёт в себе большой объем информации о цифровом изображении, его использование недостаточно активно в данной области. В литературе по цифровой обработке изображений не приведено описания свойств мультифрактальных характеристик относительно различных преобразований, а также недостаточно представлены методы выделения признаков изображения на основе его мультифрактальной модели. Цель работы: выявление инвариантов графического изображения на основе его мультифрактальной модели.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) разработать программу расчёта мультифрактальных характеристик по изображению;

2) выявить свойства мультифрактальных спектров на природных и искусственных текстурах;

3) получить численные характеристики мультифрактальных спектров при обработке изображений петроглифов Карелии.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе использовались методы фрактальной геометрии, прикладной статистики и цифровой обработки изображений. Основу численных алгоритмов для расчётов спектров составляет метод равпоячеечного разбиения. Основные результаты, выносимые на защиту:

1) выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости изображения;

2) выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота изображения;

3) алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения;

4) компьютерная реализация метода расчёта мультифрактальных характеристик изображения с реализованными алгоритмами автоматической коррекции контрастности и общей яркости изображения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) установлены основные свойства мультифрактальных спектров на ряде естественных и искусственных текстур;

2) на основе полученных свойств спектров выработаны рекомен-

дации по выбору признаков изображения;

3) на основе предложенного подхода разработан алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения. Практическая значимость. На основе выявленных свойств спектра фрактальных размерностей Репьи па естественных и искусственных текстурах можно формировать новые, более адекватные реальным структурам, признаки изображения для решения различных задач цифровой обработки изображений, в частности, для решения задачи сегментации, поиска изображений в базе данных и др.

Разработано программное обеспечение для расчётов спектров фрактальных размерностей Репьи Fractal Dimension vl.O с дополнительной функцией бинарной сегментации изображения. Данный продукт пригоден для решения задачи сегментации изображений петроглифов, но может быть применён и для изображений с другими текстурными свойствами.

Публикации и апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались и обсуждались па Международной конференции «Развитие вычислительной техники в России и странах бывшего СССР: история и перспективы» (Петрозаводск, 2006); IX международной конференции «Интеллектуальные системы и компьютерные науки» (Москва, 2006); XXXVIII научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Саикт - Петербург, 2007); Ежегодном международном научном семинаре «Передовые методы информационных и коммуникационных технологий» (Петрозаводск, 2007); XIII Всероссийской научной конференции «Математические методы распознавания образов» (Санкт -Петербург, 2007). По теме диссертации опубликовано девять научных работ, из них три входят в список ВАК. Разработанное программное обеспечение было апробировано для задачи обработки цифровых изображений петроглифов Карелии и зарегистрировано в ОФАП №10856 от 10.06.2008г. Работа поддержана грантами РГНФ №05-01-12118в, №08-01-1211в (руководитель Н.В. Лобанова). Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трёх приложений, имеет общий объем 133 страницы машинописного текста, включая 21 лист приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, формулируется цель диссертации, методы исследования, практическая значимость работы и описание структуры диссертации.

В первой главе приводятся основные задачи и методы цифровой обработки изображений, описание стохастической модели изображения и примеры признаков, сформированных на основе данной модели.

Вторая глава посвящена элементам фрактальной геометрии и методу мультифрактальной параметризации структур. В тексте приводится определение Топологической размерности сНт?-, размерности Минковского сНгпд/, размерности Хаусдорфа (Нт# и фрактала (по Мандельброту). Понятие мультифрактала является обобщением понятия фрактала: мультифрактал может включать в себя множество входящих друг в друга фракталов.

После этого приводится описание метода мультифрактальной параметризации структур. Данный метод предназначен для численного расчёта мультифрактальных характеристик изучаемых объектов по двухмерным носителям информации. В частности — спектра обобщённых фрактальных размерностей Реньи £>,. В качестве двухмерного носителя информации об изучаемом объекте в данной работе используется его цифровая фотография (изображение). Метод включает в себя четыре основных этапа:

1) предварительную подготовку изображений изучаемых структур;

2) алгоритм генерации мер огрубленных разбиений;

3) алгоритм генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков;

4) алгоритм перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрак-тальным спектрам.

Этап предварительной подготовки изображений изучаемых структур существенно влияет на результат работы последующих, т.к. результат анализа изучаемой структуры напрямую зависит от качества его представления в виде изображения. Часто на данном этапе изображение подвергают предварительной обработке для улучшения его качества. В данной работе изображение предварительно подвергается последовательно следующим двум преобразованиям: у = х + а — преобразование изменения яркости изображения и

у = с ■ х1 — гамма-коррекция изображения. Преобразование изменения яркости изображения необходимо для усреднения его общей яркости, а гамма-коррекция расширяет его цветовой диапазон.

В алгоритме генерации мер огрубленных разбиений решается задача определения и расчёта меры по изображению. Таким образом, представив изображение в виде поверхности, его можно разбить на кубические ячейки со стороной г. Такое разбиение называется огрубленным разбиением с размером ячейки г.

Рассмотрим К огрубленных разбиений изучаемого объекта с размером ячейки г к- В качестве меры ячейки г для к-го огрубленного разбиения в работе рассматривается следующее выражение:

Ы = = (1)

где — количество точек изображения, попавших в ячейку г для к-го огрубленного разбиения, а N — общее количество точек изображения. Идея расчёта спектров фрактальных размерностей Репьи заключается в вычислении функции т(д) через оценку величии в преобразовании Лежандра:

/Ш)=а(д)-д-т(Ч). (2)

Пусть Б к — количество ячеек в к-ом огрубленном разбиении, для которых [1гк > 0. Тогда выражение а (г/) и /(а(д)) для к-го разбиения можно представить следующим образом:

- где = (3)

Рассмотрим общую последовательность шагов при расчёте мульти-фрактальпых характеристик:

1) для всех К огрубленных разбиений при фиксированном д рассчитываются величины Ак(д) и Таким образом, в системе координат или имеется К точек, которые нужно аппроксимировать прямой;

2) методом наименьших квадратов по выражениям (3) и (4) рассчитываются величины а(д) и /(а(г/));

3) используя выражение (2), по рассчитанным a(q) и f(a(q)) рассчитывается величина т(д);

4) рассчитывается значение спектра обобщённых фрактальных размерностей Реньи Dq = ^у, Di = F(a(l)) = а(1).

И так для всех выбранных д. При этом для q = 0,1, 2 значения спектров Репьи Dq носят следующий физический смысл: D0 — хау-сдорфова размерность анализируемого множества, Di — информационная размерность, a D2 — корреляционная размерность.

В алгоритме генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков решается задача генерации огрубленных разбиений.

В алгоритме перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мулътифракталъ-ным спектрам решается задача перебора сгенерированных разбиений для получения корректных оценок величин Dq. В работе был использован метод перебора огрубленных разбиений FE (from edges). В процессе перебора огрубленных разбиений для каждого подмножества огрубленных разбиений рассчитывается значение спектра Dq для фиксированного q. По полученным значениям спектра Dq для фиксированного q рассчитывается среднее арифметическое значение m(Dq). Величина m(Dq) рассматривается в качестве исходного значения спектра Dq для фиксированного q.

Третья глава посвящена применению спектров Реньи Dq для анализа изображений. Приводятся результаты анализа, проводимые на текстурах Бродаца и петроглифах Карелии. На текстурах Брода-ца проверялись свойства спектров Dq относительно преобразования изменения яркости, поворота и масштаба. Для каждого преобразования проводилось 10 экспериментов.

В качестве преобразования изменения яркости в различных графических редакторах (Photoshop, GIMP, Krita и др.) используют преобразование вида: у = х + а. В каждом эксперименте при дан-пом типе преобразования рассматривалось 10 изображений Бродаца. Ниже приведена общая схема эксперимента:

1) получение различных уровней яркости изображений, подвергая их преобразованию у = х + а, при а = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 90, 100, -10, -20, -30, -40, -50, -60, -70, -80, -90, -100;

2) расчёт спектра Реньи Dq по всем полученным изображениям для q = -100, -80, -60, -50, -40, -30, -20, -15, -10, -5,

-4, -3, -2, -1, О, 1, 2, 3 , 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100;

3) анализ изменения значений спектров Dq для различных уровней яркости.

Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 210 изображений.

При анализе величин стандартных отклонений спектров Оя были выявлены свойства спектров характерные для всех анализируемых изображений:

1) при отрицательных д величина стандартного отклонения значений Юч значительно больше чем при положительных д;

2) при увеличении величина стандартного отклонения значений возрастает.

Поэтому, в качестве признаков изображения можно использовать значения спектров Бч только при д > 0.

Положительные значения спектров £>, можно рассматривать в качестве координат текстуры в т-мерном пространстве, где то — количество значений в спектре В качестве меры расстояния между двумя спектрами и П'ц в данной работе используется расстояние Чебыпгёва:

р = тах- Б' |, г = 1... т (5)

9«

Была проведена классификация всех анализируемых изображений на К классов методом классификации по минимальному расстоянию с указанием типичных членов класса (К — количество оригинальных текстур).

Будем считать, что признак изображения будет устойчивым к преобразованию, если процент ошибок классификации изображений с использованием данного преобразования меньше заданного процента а. В данной работе значение а принято за 20%. На Рис. 1 представлены результаты 5-ти различных классификаций. При анализе результатов классификации можно сделать вывод о том, что в классификациях 4 и 5 (Рис. 1) ошибка классификации незначительна и спектр Реньи инвариантен относительного данного типа преобразования. Стоит отметить, что при рассмотрении несимметричных интервалов (в плоскости положительных значений или в плоскости отрицательных значений величины а в выражении у = х+а) ошибка классификации значительно меньше. Так при классификации изображений с уровнями яркости от 0 до 50 ед. ошибка классификации составляет 6,8%.

5 5

а , « .

К •§■ '

5 '

и.

(О

з о

<37,1%

1 2 3 4 5 Рис. 1. Результат классификации текстур при преобразовании изменения яркости изображения: 1 — с уровнями яркости от —100 до 100 ед., 2 — от -70 до 70 ед., 3 — от -60 до 60 ед., 4 — от -50 до 50 ед., 5 — от —40 до 40 ед

Для проверки изменения значений спектра Ич при изменении угла поворота изображения необходимо иметь набор одного и того же изображения с разными углами поворота. Для этого в каждом эксперименте рассматривалось 10 изображений Бродаца. Затем путём поворота каждой текстуры относительно ее центра были получены текстуры со следующими углами поворота: 30°, 60°, 90°, 120°, 150° и 200°. Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 70 изображений. Последовательность действий при анализе данных текстур аналогична последовательности при анализе текстур с разными уровнями яркости. При классификации текстур с различными углами поворота ошибка классификации составляет порядка 8,6% от общего количества фрагментов.

Для проверки изменения значений спектра Ич при изменении масштаба, одного и того же изображения необходимо иметь набор изображений с различными масштабами. В каждом эксперименте из альбома Бродаца рассматривалось 10 изображений. Затем каждая из текстур подвергалась процедуре масштабирования путём увеличения и уменьшения на 9%, 12%, 15%, 18%, 21%, 24%, 27%, 30%, 33%, 36%, 39% и 42%, 45%. Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 260 изображений. По результатам проведённых классификаций (Рис. 2) можно говорить о том, что существует зависимость спектров фрактальных размерностей Реньи от данного типа преобразования, т.к. при данном типе преобразования наименьшая ошибка классификации составляет порядка 30%.

В качестве основной характеристики изображений петроглифов предлагается использовать спектр фрактальных размерностей Ре-

я \ / \

■е- \/ ^

35,5% \

1 2 3 4 5 6

Рис. 2. Результат классификации текстур при масштабировании изображения: 1 — используются все изображения с масштабами от 9% до 45% (увеличенные и уменьшенные копии) ,2 — от 9% до

42%, 3 — от 9% до 39%, 4 — от 9% до 36%, 5 — от 9% до 15%, 6 — от 9% до 12%

ньи. Рассмотрим свойства признаков изображения, наличие которых желательно при анализе петроглифов Карелии:

1) различие значений Вд для фрагментов между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке;

2) близость значений Бд для фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа;

3) различие значений для фрагментов из областей петроглифа различных петроглифов.

Рассмотрим значения двух спектров Реньи и для фиксированного д и значения их стандартных отклонений 5д и 6'ч соответственно. Два спектра будут близки друг к другу, если найдётся такое д, для которого верно следующее неравенство: |£)? — Б'ч\ < а ■ + 6^). В результате экспериментов было установлено, что значение величины а можно принять за 0,8.

■"«!•-;-■ - ■ - -„•,_ . ... -

Рис. 3. Петроглиф Е1к на фотоснимке Е1к2

11

На предмет различия значений между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке было проанализировано 50 цифровых фотоснимков петроглифов. Анализ проводился следующим образом:

1) из области петроглифа (скалы) «вырезалось» от 1000 до 3000 квадратных фрагментов изображения размером 30 х 30 пиксел;

2) для каждого из фрагментов рассчитывался спектр фрактальных размерностей Реньи (для д = 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100);

3) для каждого q рассчитывалось среднее значение Вч и стандартное отклонение для фрагментов из области петроглифа (области скалы).

2'62 ^ i 4 1(1 " 20 40 ^60^ ^-а -о—б г—-в -г

Рис. 4. Результат анализа петроглифа Elk на фотоснимке Elk2 при размере фрагментов 30 х 30 пиксел из области петроглифа и скалы: а) среднее значение спектров Dq скалы; б) среднее значение спектров Dq петроглифа; в) станд. отклонение значений Dq скалы; г) станд. отклонение значений Dq петроглифа

Рис. 5. Петроглиф Board на фотоснимке Boardi

12

На Рис. 3 приведён петроглиф Elk на фотоснимке Elk^, а на Рис. 4 показан результат его анализа в области петроглифа и скалы с размерами фрагментов 30 х 30 пиксел. Аналогичный результат почти полного разделения спектров из области петроглифа и скалы наблюдается у 80% анализируемых изображений. У остальных изображений графики, показанные на Рис. 4, могут налагаться друг на друга. В случае незначительного наложения графиков для разделения двух областей можно использовать частотные характеристики.

Для выявления близки ли спектры одного и того же петроглифа на различных фотоснимках был проанализирован ряд его фотоснимков (от 2 до 3 в зависимости от петроглифа) для 20 петроглифов. Как выяснилось, на близость значений спектров одного и того же петроглифа сильно влияет большое различие в масштабе двух фотоснимков одного и того же петроглифа. Изображение при большом масштабе будет выглядеть достаточно сглаженным, хотя на самом деле таковым не является. Также следует отметить, что влияние на близость спектров может оказать влажная поверхность скалы (например, поверхность скалы после дождя). В данном эксперименте использовались фотоснимки петроглифов, сделанных преимущественно в сходных погодных условиях, примерно в одном масштабе. В 90% случаях наблюдалось незначительное отклонение друг от друга средних значений спектров.

На Рис. 5—7 приведено 3 фотоснимка одного и того же петроглифа Board. На Рис. 8 приведён результат их совместного анализа.

При анализе 3-го свойства был выявлен довольно интересный факт. Оказалось, что все анализируемые петроглифы можно разделить на два больших класса — беломорских и заонежских петроглифов (Бесов нос). Внутри каждого класса разделение затруднено близостью значений спектров различных петроглифов. Результат совместного анализа пяти беломорских и пяти заонежских петроглифов приведён на Рис. 9.

Рис. 6. Петроглиф Board на фотоснимке

Board2

Рис. 7. Петроглиф Board на фотоснимке

Boards

nui)

2.86 2.S4 2.822.80 2.78 2.7 fv 2.74

2.72- ...... , . ,

2.70

2.68- 1 !

2,661 0 2 4 10 20 ~4б 60 100

-o—a a-ñ i -в п-г

Рис. 8. Результат анализа петроглифа Board на различных фотоснимках при размере фрагментов 30 х 30 пиксел: а) среднее значение спектров Dq ; б) станд. отклоненение для петроглифа на фотоснимке Boards в) станд. отклонение для петроглифа на фотоснимке Board2; в) станд. отклоненение на фотоснимке Boards

По графикам на Рис. 9 можно заметить, что средние значения Dq, рассчитанные на беломорских петроглифах, отличаются от средних

значений D9, рассчитанных на заонежских.

»«/>

2.86 2.84 2,821 2,8о[

2.78' 2.761 2.74 2.72 2.7(1 2.6» 2.66: 2.64

2.62 -

I) 2 4 10 2(1 40 60 100 '/

-в -г

Рис. 9. Результат анализа пяти беломорских и пяти заонежских петроглифов при размере фрагментов 30 х 30 пиксел: а), б) — среднее значение Dq у заонежских и беломорских петроглифов соответственно; в), г) — станд. отклонение у заонежских и беломорских петроглифов соответственно

В свойствах 1 3, приведённых выше, величина стандартного отклонения значений Dq зависит от размеров квадратных фрагментов, по которым проводится анализ. Для установления зависимости между величиной стандартного отклонения значений Dq и размером квадратных фрагментов было проанализировано 50 фотосним-

ков петроглифов с размерами квадратных фрагментов 12 х 12, 30 х 30 и 40 х 40 пиксел. Процедура анализа изображений описана ранее.

Рис. 10. Петроглиф Petr на фотоснимке Petri

На Рис. 10 приведено одно из изображений (петроглиф Petr). По результатам его аиализа (Рис. 11) можно выделить несколько особенностей, характерных и для остальных изображений:

1) для положительных q среднее значение Dq слабо зависит от размеров квадратных фрагментов, по которым проводится анализ;

2) при увеличении размера квадратных фрагментов стандартное отклонение величин Dq для q > 0 убывает.

-6 , ! - с -г

Рис. 11. Результат анализа петроглифа Petr на фотоснимке Petri с различными размерами квадратных фрагментов: а) среднее значение; б) станд. отклонение при размере фрагментов 12 х 12 пиксел; в) станд. отклонение при размере фрагментов 30 х 30 пиксел; г) станд. отклонение при размере фрагментов 40 х 40 пиксел

На основе свойств спектров Dq, определённых на изображениях петроглифов, был разработан человеко-машинный алгоритм бипар-

пой сегментации изображений петроглифов. Функционирование данного алгоритма включает следующую последовательность шагов:

1) загрузка изображения;

2) предварительная обработка изображения;

3) предложение пользователю выбрать область петроглифа Spe.tr и область скалы Ягоск,

4) автоматическое разбиение областей 5рсгг и 8госк на квадрат- пые фрагменты размером п х п пиксел;

5) расчёт спектров Репьи Бч для каждого квадратного фрагмента и д = 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100;

6) расчёт среднего значения, стандартного отклонения и частотных характеристик Вч для области петроглифа 5регг и скалы Бгоск (пусть 2/ре<г[<?] и Ьгоск[ч\ ~ зпачепие среднего по для каждого д для выделенных областей петроглифа и скалы, а .!>£..Оеире{г[д] и ££..Оег>Госк[<?] — стандартные отклонения, Freqpf.trИ[тп] и Ргедтось[д}[гп\ — частота попадания спектров

тп интервалов для области петроглифа и скалы для каждого д);

7) классификация пиксел изображения.

В результате серий экспериментов был установлен минимальный (12 х 12) и оптимальный (30 х 30) размеры квадратных фрагментов (пункт 4 в последовательности шагов).

Пусть ггц'уд] = тт{£)у(?)} и тгИ = тах{^(д)}, где для каждого фиксированного д В3{д) — значения спектров Реньи, полученных при анализе выбранных областей петроглифа и скалы. Тогда частотные характеристики Ргедре1Г[д\[т\ и Ргедгоск[д][т\ можно рассчитать следующим образом:

1) отрезок \т\[д\,гп2[д}) разбивается на т частей для каждого д;

2) для каждого д рассчитывается частота попадания в т. интервалов отрезка [тп\\д\,т2[д\[ значений спектров (д), рассчитанных по выделенной пользователем области петрогли-фа(скалы). Т.е. заполняются значениями следующие массивы Ргедре1гЫ[тп] и Ргедгоск\д][т].

В данном алгоритме классификация проводится по группам пиксел размером 2x2. Группа пиксел ряг вписывается в квадратный фрагмент размером п х п пиксел (см. Рис. 12). Для такого фрагмента рассчитывается спектр Юд. В результате при классификации возможны два варианта:

1) все точки спектра Вч лежат в области стандартного отклонения ОДНОЙ ИЗ кривых Ьре4г[д] ИЛИ Ьгоск[ч}',

2) разные точки спектра £), лежат в области стандартного отклонения разных кривых Ьрв1 г[д], Ьтоск[ч] или обоих сразу.

_п_

К

щ

Рис. 12. Квадратный фрагмент размером к х к пиксел, вписанный в квадратный фрагмент размером п х п пиксел

Во втором случае для классификации фрагмента используются частотные характеристики ^гедре^[д][т] и ^гедгоск^]^]:

1) для каждого д по частотам Ргедре(г [д] [ш] и -Рге<7госд. [д] [ш] определяется к какой из кривых Ьре^Щ или Ьтоск[я\ ближе значение

2) спектр £>д будет ближе к той кривой (£регг[д] или ЬГОск[ч]), У которой этих точек будет больше.

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1) на основе модификации метода мультифрактальной параметризации структур, разработанного в лаборатории механических свойств конструкционных материалов ИМЕТ РАН, разработано программное обеспечение для расчёта мультифрак-тальных характеристик по изображению с функциями автоматической коррекции цвета и контрастности. Работа данной программы была апробирована на модельных фрактальных множествах. Результаты работы программы были сравнены с результатами, представленными в литературе. Данное сравнение показало адекватность значений получаемых характеристик;

2) в результате анализа текстур Бродатца было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости у = х + а. Значения спектров не зависят от данного типа преобразования при значениях уровня яркости от —50 ед. до 50 ед. (ошибка классификации составляет порядка 17%);

3) в результате анализа текстур Бродатца было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно

преобразования поворота. Эксперименты показали, что поведение мультифрактальных спектров можно считать инвариантными относительно данного вида преобразования. При классификации всего множества текстур с различными углами поворота на S классов, где S — количество оригинальных текстур, наблюдалось порядка 8,6% ошибок классификации;

4) в результате анализа фотографий петроглифов Карелии у 80% фотографий было выявлено различие значений спектров Dq фрагментов, между областями петроглифа и скалы. При анализе на близость значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа было выявлено, что данное свойство наблюдается в 90% случаях. При анализе на различие значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках различных петроглифов было выявлено, что множество всех петроглифов можно разбить на два больших класса — беломорских и заонежских петроглифов;

5) на основе выявленных свойств спектров Dq был разработан алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения. Его апробация была проведена на множестве изображений петроглифов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Спиридонов К. Н. Об одном инварианте графического изображения // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж: «Научная книга», 2007.— №4.1(30). — С. 195-199.

2) Рогов А. А., Спиридонов К. Н. Применение спектра фрактальных размерностей Реньи как инварианта графического изображения // Вестник Санкт-Петербургского университета. — 2008. — Сер. 10. — Вып. 2. — С. 30-43.

3) Рогов А. А., Рогова К. А., Спиридонов К. Н., Быстрое М. Ю. Информационно-поисковая система петроглифов Карелии // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2008. — №6. — С. 6-12.

4) Спиридонов К. Н. Применение мультифрактального анализа при изучении петроглифов Карелии // Материалы IX международной конференции «Интеллектуальные системы и компьютерные науки». — М: ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. - Т. 2, Ч. 2. - С. 278-280.

5) Спиридонов К. H. Спектр фрактальных размерностей Реньи как инвариант графического изображения // Процессы управления и устойчивость: Материалы 38-й научной конференции аспирантов и студентов / Под. ред. Н.В. Смирнова. — СПб.: СПбГУ, 2007. — С. 23-28.

6) Спиридонов К. Н. Об инварианте графического изображения // Информационные технологии моделирования и управления, 2007. — №6. - С. 724-728.

7) Спиридонов К. Н. К вопросу об инварианте графического изображения // Математические методы распознавания образов: 13-я Всероссийская научная конференция: Сборник докладов. — М: МАКС Пресс, 2007. - С. 393-396.

8) Rogova К. A., Spiridonov К. N., Bystrov M. U. Application of modem information technologies to the study of Karelian petroglyphs // Abstracts of Conference «Advances in Method of Information and Communication Technology». Petrozavodsk: PetrSU, 2008. — P. 233-234.

9) Рогов А. А., Рогова К. А., Спиридонов К. H., Быстров M. Ю. Система поиска в электронной коллекции изображений петроглифов Карелии // Труды 10-й Всероссийской научной конференции «Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции». — Дубна, 2008. — С. 246-251.

Подписано в печать 28.10.08. Формат 60 х 84/16 Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Изд. №251.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33

Введение

1 Обзор основных задач и методов цифровой обработки изображений

1.1 Улучшение качества изображений.

1.1.1 Восстановление изображений.

1.1.2 Поэлементные преобразования.

1.1.3 Фильтрация изображения. Медианная фильтрация

1.2 Геометрические преобразования над изображениями.

1.3 Выделение контуров на изображении

1.4 Признаки изображения

1.4.1 Вероятностные признаки. Стохастическая модель дискретного изображения.

1.4.2 Вероятностные признаки в случае произвольной функции X{j. Плотность нормального распределения

1.4.3 Вероятностные признаки в случае эргодической и стационарной случайной функции х

1.5 Сегментация изображений.

1.5.1 Пороговая бинарная сегментация.

1.5.2 Текстурная сегментация на основе моментов.

1.6 Распознавание изображений.

1.7 Поиск по электронным коллекциям графических документов

1.8 Выводы.

2 Элементы фрактальной геометрии.

Метод мультифрактальной параметризации структур

2.1 Размерность Минковского и Хаусдорфа. Примеры регулярных фракталов.

2.2 Определение мультифрактала и спектра фрактальных размерностей Реньи dq. Преобразование Лежандра.

2.2.1 Значение спектра Реньи dq на фрактальных множествах

2.2.2 Преобразование Лежандра.

2.3 Метод мультифрактальной параметризации структур.

2.3.1 Предварительная подготовка изображений изучаемых структур.

2.3.2 Алгоритм генерации мер огрубленных разбиений.

2.3.3 Алгоритм генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков

2.3.4 Алгоритм перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам.

2.3.5 Корректность мультифрактальных спектров.

2.4 Выводы.ъ.

3 Применение спектров dq для анализа изображений

3.1 Свойства спектров dq при изменении яркости одного и того же изображения.

3.2 Свойства спектров dq при повороте одного и того же изображения.

3.3 Свойства спектров dq при масштабировании одного и того же изображения.

3.4 Анализ фотографий петроглифов Карелии с помощью спектров фрактальной размерности Рсньи.

3.4.1 1-ое свойство спектров dq.

3.4.2 2-ое свойство спектров dq.

3.4.3 3-ое свойство спектров dq

3.4.4 Зависимость между стандартным отклонением значений dq и размером квадратных фрагментов.

3.4.5 Задача сегментации изображений петроглифов

3.4.6 Задачи об авторском инварианте петроглифов и о порядке заполнения скалы петроглифами.

3.5 Программа для вычисления мультифрактальных характеристик изображения Fractal Dimension vl.O.

3.6 Выводы.

Актуальность темы. В настоящее время активно создаются электронные коллекции документов. Условно их можно разделить на текстовые и графические. Несмотря на возникающие проблемы при обработке текстовой информации, в данной области существуют достаточно эффективные и универсальные методы [15, 16]. В тоже время, в области цифровой обработки изображений существующие методы часто применимы только для решения определенного класса задач для типовых изображений. Существенный вклад в разработку методов цифровой обработки изображений внесли такие известные учёные как А. Розенфельд, Г. Фриман, У. Претт, В.А. Сойфер и др. Среди множества актуальных на сегодняшний день задач в данной области выделим следующие [14, 18]:

1. выявление инвариантных признаков изображения относительно различных преобразований (преобразование изменения яркости, поворота и др.);

2. поиск заданного изображения по базе данных;

3. сегментация изображения.

Качество решения двух последних задач напрямую зависит выбора метода решения первой.

Как правило, при цифровой обработке изображения чаще всего используют методы, основанные на его стохастической модели [49, 75, 89, 93], что является не всегда оправданным. Новым направлением в данной области является использование метода мультифрактального анализа изображения и его муль-тифрактальной модели [87, 98].

Метод мультифрактального анализа позволяет получить как вероятностную так и геометрическую информацию о точках изображения [59]. В качестве базовой характеристики изображения в данном методе используется так называемый «мультифрактальный спектр». При этом изображение рассматривается как объединение множеств Ха точек с различной степенью иррегулярности а. Множества Ха можно изучать отдельно или во взаимосвязи друг с другом. Метод мультифрактального анализа основан на теоретических выводах фрактальной геометрии, родоначальником которой является Бенуа Ман-дельброт.

Для оценки теоретических значений мультифрактальных характеристик разработаны соответствующие методы. Все они в основном являются вариантами метода равноячеечного разбиения. Так, в лаборатории механических свойств конструкционных материалов ИМЕТ РАН Встовским Г.В. и другими сотрудниками данной лаборатории был разработан метод мультифрактальной параметризации структур.

Несмотря на то, что мультифрактальный анализ несет в себе большой объем информации о цифровом изображении, его использование недостаточно активно в данной области. В литературе по цифровой обработке изображений не приведено описания свойств мультифрактальных характеристик. относительно различных преобразований, а также недостаточно представлены методы выделения признаков изображения путем анализа его мультифрактальной модели.

Цель работы. Целью диссертационной работы является выявление инвариантов графического изображения, на основе его мультифрактальной модели. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. разработать программу расчёта мультифрактальных характеристик по изображению;

2. выявить свойства мультифрактальных спектров на природных и искусственных текстурах;

3. получить численные характеристики мультифрактальных спектров при 6 обработке изображений петроглифов Карелии.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе использовались методы фрактальной геометрии, прикладной статистики, цифровой обработки изображений. Основой численных алгоритмов для расчётов спектров составляет метод равноячсечного разбиения. Основные результаты выносимые на защиту:

1. выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости изображения;

2. выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота изображения;

3. алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения;

4. компьютерная реализация метода расчёта мультифрактальных характеристик изображения, с реализованными алгоритмами автоматической коррекции контрастности и общей яркости изображения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. установлены основные свойства мультифрактальных спектров па ряде естественных и искусственных текстур;

2. на основе полученных свойств спектров выработаны рекомендации по выбору признаков изображения;

3. на основе предложенного подхода разработан алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения.

Практическая значимость. На основе выявленных свойств спектра фрактальных размерностей Реньи на естественных и искусственных текстурах можно формировать новые, более адекватные реальным структурам, признаки изображения для решения различных задач цифровой обработки изображений, в частности, для решения задачи сегментации, поиска изображений в 7 базе данных и др.

Разработано программное обеспечение для расчётов спектров фрактальных размерностей Реньи Fractal Dimension vl.O с дополнительной функцией бинарной сегментации изображения. Данный продукт пригоден для решения задачи сегментации изображений петроглифов, но может быть применён и для изображений с другими текстурными свойствами.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные задачи и методы цифровой обработки изображений, описание стохастической модели изображения и сформированных на её основе признаков изображения. Вторая глава посвящена элементам фрактальной геометрии и методу муль-тифрактальной параметризации структур. Фрактальная геометрия является одним из новых и прогрессивных разделов неклассической математики, родоначальником которой является Бенуа Мандельброт. Основными понятиями в теории фракталов является понятие самого фрактала и понятие фрактальной размерности, которая принимает дробные значения для фрактальных множеств. Существует несколько различных определений размерностей геометрического объекта. Наиболее важными из них являются: топологическая размерность, размерность Минковского и размерность Хаусдорфа. Размерности Минковского и Хаусдорфа могут принимать дробные значения и лежат в основе фрактальной теории. В тексте приводятся определение размерности Минковского dinijV/ и Хаусдорфа dim#. Так же приводятся их основные свойства и теоремы.

Фракталы являются моделями первого приближения для описания природных объектов, хотя и более точными чем модели из классической Евклидовой геометрии. Более гибкими, чем фракталы, с описательной точки зрения являются мультифракталы с их характеристиками. Понятие мультифрактала является обобщением понятия фрактала. Мультифрактал может включать в себя множество входящих друг в друга фракталов.

В тексте приводится определение мультифрактала и его основные характеристики и свойства в виде определений и теорем. Приводится описание одной 8 из основных характеристик мультифрактала — спектра фрактальных размерностей Реньи.

Далее приводится описание метода мультифрактальной параметризации структур. Данный метод предназначен для численного расчёта мультифракталь-ных характеристик по изображениям, в частности, спектров фрактальных размерностей Реньи dq. Метод включает в себя четыре основные этапа:

1. Предварительная подготовка изображений изучаемых структур.

2. Алгоритм генерации мер огрубленных разбиений.

3. Алгоритм генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков.

4. Алгоритм перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальиым спектрам.

Этап предварительной подготовки изображений изучаемых структур существенно влияет на результат работы последующих, так как результат анализа изучаемой структуры напрямую зависит от качества его представления в виде двухмерных изображений (например, в виде цифровой фотографии). Часто на данном этапе изображение подвергают предварительной обработке для улучшения его качества.

С помощью алгоритма генерации мер огрубленных разбиений решается задача определения и расчёта меры для огрубленного разбиения. С помощью алгоритма генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков решается задача генерации огрубленных разбиений.

С помощью алгоритма перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам решается задача перебора сгенерированных разбиений для получения корректных оценок величин dq. Существует два основных метода перебора разбиений: FE (from edges) и OR (overall range). После получения ряда 9 значений Dq для фиксированного q рассчитывается среднее значение M[Dq]. Полученное значение рассматривается в качестве исходного значения спектра Dq для фиксированного q.

Третья глава посвящена применению спектров Реньи Dq для анализа изображений. Приводятся результаты анализа проводимые на текстурах Бродаца и петроглифах Карелии. На текстурах Бродаца проверялись свойства спектров Dq относительно преобразования изменения яркости, преобразования поворота и масштабирования. Под преобразованием изменения яркости изображения понимают преобразование вида: у = а + х, где х — изображение до преобразования, у — изображение после преобразования, а — константа. При анализе каждой из выше упомянутых текстур были выявлены характерные черты поведения спектров при изменении яркости одного и того же изображения. Далее была проведена классификация всех анализируемых изображений на К классов методом классификации по минимальному расстоянию с указанием типичных членов класса (К — количество оригинальных текстур).

Электронные коллекции петроглифов Карелии представляют собой набор цветных фотографий [45, 46]. У некоторых изображений фактически отсутствует его часть, а также часто невозможно определить их верх и низ. Петроглиф выбивался при помощи ударов о скалу более крепкой каменной породы, играющей роль инструмента художника. Бугристость его поверхности, как правило, выше бугристости скалы, хотя может наблюдаться и обратная картина. В качестве основной характеристики изображений петроглифов рассматривается спектр обобщённых фрактальных размерностей Реньи. Рассмотрим свойства признаков изображения, наличие которых желательно при анализе петроглифов Карелии:

1. различие значений Dq для фрагментов между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке;

2. близость значений Dq для фрагментов из области петроглифа на раз

10 личных фотоснимках одного и того же петроглифа;

3. различие значений dq для фрагментов из областей петроглифа различных петроглифов;

На основе выявленных свойств спектров dq, определённых на изображениях петроглифов, был разработан человеко-машинный алгоритм бинарной сегментации изображений петроглифов, описание которого приводится далее. Так же была предпринята попытка решения задачи об авторском инварианте и задачи о порядке заполнения скалы петроглифами. Задача об авторском инварианте петроглифов связана с предположением о том, что люди в разных племенах (или в одном племени) могли использовать различную технику выбивания петроглифов, что должно было отражаться на структуре поверхности изображений.

Задача о порядке заполнения скалы петроглифами возникает, когда петроглифы пересекаются между собой и появляется необходимость понять, какой петроглиф был выбит раньше, а какой позже. Для решения данной задачи предлагается рассчитать спектры фрактальной размерности Реньи dq для первого и второго петроглифа, а также их общей части. Далее на основании полученной информации сделать вывод о порядке заполнения скалы. Далее приводится описание програмы «Fractal Dimension vl.O», разработанной автором, а также примеры работы алгоритма сегментации на изображениях петроглифов Карелии.

3.6 Выводы

Таким образом, следует отметить, что положительные значения спектра фрактальных размерностей Реньи можно рассматривать как инвариант относительно преобразования изменения яркости у = а + х при изменении уровня яркости от —50 ед. до 50 ед. (« 17% ошибок при классификации), что

93 во многих случаях является приемлемым результатом. Относительно преобразования поворота спектр Dq также можно считать инвариантом, т.к. при классификации фрагментов наблюдалось всего лишь и 8% ошибок. Однако стоит отметить, что результат классификации зависит от количества текстур и их удалённости друг от друга относительно выбранной меры близости. Тем не менее, установлено важное свойство спектров Dq: возможность не только разделять текстуры, но и разделять их с точностью до поворота и среднего уровня яркости. При анализе свойств спектров Реньи при преобразовании масштабирования наблюдалась зависимость данной характеристики от данного типа преобразования (наименьшая наблюдаемая величина ошибки классификации порядка 30%).

По результатам анализа изображений петроглифов Карелии можно утверждать, что спектры Реньи Dq удовлетворяют первому свойству (80% анализируемых петроглифов), второму (90% анализируемых петроглифов). Различные фотоснимки петроглифа выбирались примерно в одном масштабе, преимущественно в сходных погодных условиях. При анализе третьего свойства спектров Dq было выявлено, что спектры Dq незначительно отличаются друг от друга внутри групп беломорских и заонежских петроглифов, но их можно разделить между этими двумя группами петроглифов. Данный факт говорит о близости текстурных характеристик внутри групп беломорских и заонежских петроглифов pi их отличии между ними. Но, к сожалению, нельзя однозначно утверждать, что это является подтверждением гипотезы о том, что разные люди (или племена) использовали различную технику выбивания петроглифов, т.к. на различие текстурных характеристик с четырёх тысяч лет до н.э. влияют естественные разрушающие силы, изменяющие структуру поверхности скалы. При решении задачи о порядке заполнения скалы рассмотрено три возможных варианта при пересечении двух петроглифов. Показано, что невозможно решить задачу, используя цифровую обработку изображений при последнем варианте пересечения петроглифов, когда оба петроглифа почти «стёрты». На основе метода мультифрактальной параметризации структур был разработан программный продукт Fractal Dimension vl.O с дополнительной возможностью сегментации изображений. Работа программы апробирована на текстурах Бродаца [101] и петроглифах Карелии [45, 46].

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. На основе метода мультифрактальной параметризации структур разработанного в лаборатории механических свойств конструкционных материалов ИМЕТ РАН разработано программное обеспечение для расчёта мультифрактальных характеристик по изображению с функциями автоматической коррекции цвета и контрастности. Работа данной программы была апробирована на модельных фрактальных множествах. Результаты работы программы были сравнены с результатами представленными в литературе. Данное сравнение показало адекватность значений получаемых характеристик.

2. В результате анализа текстур Бродаца [101] было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости у = х + а. Значения спектров независят от данного вида приобразования при значениях уровня яркости от —50 ед. до 50 ед. (ошибка классификации составляет порядка 17%)

3. В результате анализа текстур Бродаца [101] было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота. Эксперименты показали, что поведение мультифрактальных спектров можно считать инвариантными относительно данного вида преобразования (§3.2). При классификации всего множества текстур с различными углами поворота на S классов, где S — количество оригинальных текстур, наблюдалось всего порядка 8, 6% ошибок классификации.

4. В результате анализа фотографий петроглифов Карелии у 80% фотографий было выявлено различие значений спектров Dq фрагментов, между областями петроглифа и скалы. При анализе на близость значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа было выявлено, что данная закономерность наблюдается в 90% случаях. При анализе на различие значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках различных петроглифов было выявлено, что множество всех петроглифов можно разбить на два больших класса — беломорских и заонежских петроглифов.

5. На основе выявленных свойств спектров Dq был разработан алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения. Его апробация была проведена на множестве изображений петроглифов.

1. Авто-Инспектор — система распознавания автомобильных номеров Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://www.iss.ru/products/auto/, свободный. — Загл. с экрана.

2. Барышев И. В. Фильтрация изображений, искаженных смесью аддитивной и импульсной помех на основе модели фрактального броуновского движения / И. В. Барышев, М. JL Усс // Успехи современной радиоэлектроники. — 2005. — №2. — С. 51-67.

3. Беликова Т. П. Синтез линейных фильтров для выделения диагностически важных объектов в задачах медицинской интроскопии // Цифровая оптика в медицинской интроскопии: Сб. науч. тр. — М., 1992. — С. 57-72.

4. Беликова Т. П. Цифровая обработка томограмм и измерение статистических признаков в задаче ранней дифференциальной диагностики шаровидных образований легких // Цифровая оптика в медицинской интроскопии: Сб. науч. тр. — М., 1992. — С. 73-88.

5. Беликова Т. П. Задача измерения количественных характеристик томографических изображений в дифференциальной диагностике перибронхиальных изменений в легких // Цифровая оптика в медицинской интроскопии: Сб. науч. тр. — М., 1992. — С. 89-101.

6. Билинейная интерполяция Электронный ресурс. — Электрон. дан. — Режим доступа:http://ru.wikipedia.org/wiki/Билинeйнaяинтepпoляция, свободный. — Загл. с экрана.

7. Биометрические технологии для систем распознавания человека по изображению лица Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://www.asia-soft.com/frs/ru/products/, свободный. — Загл. с экрана.

8. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 128 с.

9. Венцель Е. С. Терия вероятностей: Учеб. для вузов. — 7-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2001. — 575 с.

10. Верденская Н. В. Сегментация изображений — статистические модели и методы // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2002. — №12. — С. 33-47.

11. Восстановление изображений с оцениванием функции рассеяния точки Электронный ресурс] / Авторы: В. В. Белов, Е. С. Артамонов, К. Т. Протасов. — Электрон, дан. — Режим доступа:. http://www.ict.nsc.ru/ws/elpub2001/1911/, свободный. — Загл. с экрана.

12. Встовский Г. В., Колмаков А. Г., Бунин И. Ж. Введение в мультифрак-тальную параметризацию структур материалов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 116 с.

13. Гашников М. В. и др. Методы компьютерной обработки изображений /

14. Под ред. В.А. Сойфера. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -784 с.

15. Горохов Д. Методы организации хранения данных в СУБД // Открытые системы. — 2003. — № 3. — С. 64-67.

16. Громов Г. Ю. Использование стоимостного оптимизатора СУБД ORACLE для повышения производительности выполнения SQL-запросов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2003. — Т.46, №2. — С. 33-36.

17. Грузман И. С., Киричук В. С., Косых В. П., Перетягин Г. И., Спек-тор А. А. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. — 168 с.

18. Губанов П. В. Автоматическая сегментация текстурных изображений на основе локальных распределений характеристик // Вестник Томского Государственного Университета. — 2000. — № 271. — С. 74-77.

19. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация // Наука и жизнь, 2001. — №5. С. 44-52.

20. Идентификация по отпечаткам пальцев. Часть 1 Электронный ресурс] / авт. В. Задорожный. — Электрон, текс. дан. — Режим доступа: http://www.4delo.ru/inform/articles/419372.html, свободный. — Загл. с экрана.

21. Идентификация по отпечаткам пальцев. Часть 2 Электронный ресурс] / авт. В. Задорожный. — Электрон, текс. дан. — Режим доступа: http://www.4delo.ru/inform/articles/419370.html, свободный. — Загл. с экрана.

22. Интерактивная карта почв России Электронный ресурс] / Факультет почвоведения МГУ. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://soil.msu.ru/iesoil/, свободный. — Загл. с экрана.

23. Канторово множество Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Kaнтopoвoмнoжecтвo, свободный. — Загл. с экрана.

24. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах / Пер. с анг.; Под ред. Т.Э. Кренкеля. —2-е изд., доп. — М.: Техносфера, 2006. — 488 с.

25. Кривая Коха Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/KpHBanKoxa, свободный. — Загл. с экрана.

26. Куликов А. Ю. Восстановление изображений, полученных активной телевизионной системой при работе в сложных метеоусловиях / / Радиотехника. — 2003. — № 5. — С. 83-86

27. Линейная интерполяция Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http-.//ru.wikipedia.org/wiki/Линeйнaяинтepпoляция, свободный. — Загл. с экрана.

28. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Пер. с анг.; Под ред. А.Р. Логунова. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

29. Матрица линейного преобразования Электронный ресурс]. — Электрон. текст. дан. — Режим доступа: http: / / elib.ispu.ru/library/math/seml / pyartli 1 / node77.html, свободный. — Загл. с экрана.

30. Методы и алгоритмы компьютерной графики в примерах на Visual С++ Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://rsdn.ru/article/Gdi/gdilll.xml#ENAAG, свободный. — Загл. с экрана.

31. Методы сегментации изображений: автоматическая сегментация Электронный ресурс] / Авторы: О. Барино-ва, А. Вежневец. — Электрон, журнал. — Режим доступа: http://cgm.graphicon.ru/content/view/147/62/, свободный. — Загл. с экрана.

32. Модуль распознавания лиц Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые дан. — Режим доступа: http://www.itv.ru/products/intellect/additionalmodules/facerecognition/ свободный. — Загл. с экрана.

33. Музеи Московского Кремля Виртуальные выставки Электронный ресурс] . — Электрон, дан. —2002. — Режим доступа: http://www.kreml.ru/ru/main/virtual/, свободный. — Загл. с экрана.

34. НПП «Геосистема» Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://vingeo.com/Rus/, свободный. — Загл. с экрана.

35. Обзор биометрических технологий Электронный ресурс] / авт. В. Задорожный. — Электрон, текс. дан. — Режим доступа: http://www.4delo.ru/inform/articles/419415.html, свободный. — Загл. с экрана.

36. Области применения данных с космических РСА на примере обработки данных РАДАРСАТ Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://www.racurs.ru/?page=67, свободный. — Загл. с экрана.

37. ОБРАЗ++. Биометрическая система для правоохранительных органов Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://www.asia-soft.com/frs/ru/products/prodobr.asp, свободный. — Загл. с экрана.

38. Однородные координаты Электронный ресурс] / Автор: А. Иг-натенко. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://www.ict.edu.ru/ft/002405/num4coord.pdf, свободный. — Загл. с экрана.

39. Пакет программ для обработки изображений ER Mapper Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://www.esti-map.ru/Default.aspx?alias=www.esti-map.ru/ermapper, свободный. — Загл. с экрана.

40. Петроглифы Карелии Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://smalt.karelia.ru/~petroglyphs/, свободный. — Загл. с домашней страницы Интернета.

41. Признаки, используемые при распознавании изображений дефектов в автоматизированной системе контроля качества автомобильных стекол Электронный ресурс] / Авторы: И. В. Кузьмич,

42. A. А. Козлов, А. П. Павлова. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://konftm.tltsu.ru/stat/kyzmich/inputl.html, свободный. — Загл. с экрана.

43. Промышленное телевидение Харьковского метрополитена Электронный ресурс] / Авторы: А. Б Бойник, С. Э. Половец. — Электрон. дан. — М. — Режим доступа: http://gortransport.kharkov.ua/subway/books/surst/surst.php, свободный. — Загл. с экрана.

44. Прэтт У. К. Цифровая обработка изображений: В 2 т. / Пер. с анг.; Под ред. Д.С. Лебедева. — М.: Мир, 1982. — Т.2.

45. Равдоникас В. И. Наскальные изображения Онежского озера и Белого моря. — Ч. 1-2. — М.: Акад. наук СССР, 1936.

46. Разработка системы бесконтактных измерений для промышленного применения Электронный ресурс] / Автор:

47. B. А. Князь. — Электрон, дан. — М. — Режим доступа: http://labl8.ipu.rssi.ru/projects/conf2004/3/010%20Дoклaд%20(Kнязь).htп свободный. — Загл. с экрана.

48. Райфельд М. А. Ранговая бинарная сегментация полутоновых изображений // Автометрия. — 1995. —№5. — С. 116-120.

49. Рогов А. А., Рогова К. А. Возможности современных информационных технологий при изучении петроглифов Беломорья // Сборник научных статей и докладов. Архангельск: СОЛТИ, 2006. — С. 473—479.

50. Рогов А. А., Спиридонов К. Н. Применение спектра фракталных размерностей Реньи как инварианта графического изображения // Вестник Санкт-Петербугского университета. —2008. — Сер. 10. — Вып. 2. — С. 30-43.

51. Рогов А. А., Рогова К. А., Спиридонов К. Н., Быстров М. Ю. Информационно-поисковая система петроглифов Карелии // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2008. — №6. — С. 6— 12.

52. Рогова К. А. Информационно-поисковая система «Петроглифы Карелии» // Интеллектуальные системы и компьютерные науки. — М: ЦПИ при мех.-мат. факультете МГУ, 2006. — С. 262-264.

53. Рогова К. А., Быстров М. Ю. Задачи анализа изображений в информационно-поисковой системе PIRS. // Материалы XIII Всероссийской конференции «Математические методы в распознавании образов», М: МАКС Пресс, - 2007. - С. 528-530.

54. Светова Н. Ю. Взаимный мультифрактальный анализ. Приложение к параметризации минеральных структур // Автореф. дис. канд. техн. наук. Петрозаводск, 2004. — 18 с.

55. Седатек — Металлургия Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — М. — Режим доступа: http://www.sedatec.ru/ru/362/403/, свободный. — Загл. с экрана.

56. Система распознавания автомобильных номеров «ДИГНУМ АВТО» Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://www.dignum.ru/dignumauto/, свободный. — Загл. с экрана.

57. Система контроля проезда автотранспорта с распознаванием номеров и внешнего вида автомобилей Senesys-Avto Электронный ресурс]. — Электрон, текстовые дан. — Режим доступа: http://elvees.ru/index.php?id=229, свободный. — Загл. с экрана.

58. Система «Видеопоток» Электронный ресурс]. — Электрон.дан. — Режим доступа: http://www.ladacom.ru/prodvpk.html, свободный. — Загл. с экрана.

59. Смежные вопросы из теории размерностей. Топологическая размерность Электронный ресурс]. — Электрон.дан. — Режим доступа: http://multifractal.narod.ru/3dimantions/3topology.htm, свободный. — Загл. с экрана.

60. Спиридонов К. Н. Об инварианте графического изображения // Информационные технологии моделирования и управления, 2007. — №6. — С. 724-728.

61. Спиридонов К. Н. К вопросу об инварианте графического изображения // Математические методы распознавания образов: 13-я Всероссийская научная конференция: Сборник докладов. — М: МАКС Пресс, 2007. — С. 393-396.

62. Спиридонов К. Н. Об одном инварианте графического изображения // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж: Издательство «Научная книга», 2007. — №4.1(30). — С. 195— 199.

63. Тепловизионная система «СВИТ» Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые дан. — Режим доступа:. http://www.sbras.nsc.ru/dvlp/rus/pdf/052.pdf, свободный. — Загл. с экрана.

64. Треугольник Серпинского Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые дан. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/TpeymnbHHKCepmracKoro, свободный. — Загл. с экрана.

65. Трубин И. С. Адаптивная нелинейная цифровая фильтрация полутоновых изображений / И. С. Трубин, И. Е. Тихонов // Радиотехника. — 2003. — №12. -С. 27-30.

66. Ту Д., Гонсалес Р. Принципы распознования образов / Пер. с англ. И. Б. Гуревича; Под ред. Ю. И. Журавлева. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 368 с.

67. Фараджев А. А. К вопросу о современном состоянии петроглифов За-лавруги // Вестник Карельского краеведческого музея: Сб. науч. тр. Вып. 3. — Петрозаводск, 1995. —С. 88-97.

68. Харина Н. JI. Метод моделирования цифровых полутоновых изображений на основе дискретозначных марковских процесов // Автореф. дис. канд. техн. наук. Ижевск, 2007. — 23 с.

69. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 161 с.

70. Что такое фракталы / А. А. Богуш и др. ] // Наука и инновации. — 2004. -т. С. 36-43.

71. Шер А. Я. Алгоритм распознавания стилистических типов в петроглифах (к теории стиля в первобытном искусстве) // Математические методы в историко-экономических и историко-культурных исследованиях. М., 1977. — С. 138.

72. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая / М. Шредер ; Пер. с англ. Ю.А. Данилова, А.Р. Логунова ; Под ред. А.В. Борисова. — Москва ; Ижевск : R&C Dynamics, 2001. — 527 с.

73. Щербаков М. А. (зав. каф. «Автоматика и телемеханика» ПГУ). Адаптивная полиномиальная фильтрация / М. А. Щербаков, Ч. 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. — 2004. — №2. — С. 31-44.

74. Электронный музей отечественного плаката Электронный ресурс] / Авторы: В. Ситницкий. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://www.plakaty.ru/, свободный. — Загл. с экрана.

75. Adaptive Edge Detection for Real-Time Video Processing using FPGAs Электронный ресурс] / Автор: S. N. Hong, A. Hazanchuk. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://www.altera.com/literature/cp/gspx/edge-detection.pdf, свободный. — Загл. с экрана.

76. Brightness Calculation in Digital Image Processing Электронный ресурс] / Авторы: S. Bezryadin, P. Bourov, D Ilihin. — Электрон. дан. — Режим доступа: http://www.kweii.com/site/colortheory/200TLV/BrightnessCalculation.pc свободный. — Загл. с экрана.

77. Canny J. A Computational approach to edge detection // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. — 1986. — V. 8. — №. 6, P. 679-698.

78. Caron Y., Markis P., Vincent N. A method for detecting objects using Legandre transform // Maghrebian Conference on Computer Science MCSEAI, 2002. P. 219-225.

79. Chaudhuri В., Sarkar N., Kundu P. Improved fractal geometry based texture segmentation technique // Proc. IEE Part E, v. 140, № 5, 1993. — P. 223241.

80. Cross G. C., Jain A. K. Markov random field texture models // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, PAMI-5, 1983. P. 25-39.

81. Cubic Hermite spline Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Cubicinterpolation, свободный. — Загл. с экрана.

82. Gamma correction Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Gammacorrection, свободный. — Загл. с экрана.

83. Geographical Information System for Geoscientists Encom Discover 7.0 Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://www.digimap.com/pdf/discover70.pdf, свободный. — Загл. с экрана.

84. Haralick R.M. Statistical and Structural approaches to texture // Proceedings of the IEEE, 1979. — P. 786-804.

85. Haralick R. M., Shamnugan K., Dinstein I. Textural Features for Image Classification // IEEE Trans,1973. V.SMC-3. —№ 6. — P. 610-621.

86. Kenneth F. Fractal Geometry. — 2nd ed. — UK: WILEY, 2003. — p. 337.

87. Marr D., Hildreth E Theory of edge detection // Proceedings of the Royal society of London. — 1980. — Series В. —V. 207. — P. 187-217.

88. Sarkar N., Chaudhuri B. «Multifractal and generalized dimension of gray-tone digital images» // Signal Processing, v. 42, 1995. — P. 181-190.

89. The State Hermitage Museum: Exhibitions Электронный pe-СУРС] / Государственный Эрмитаж. — Электрон. дан. — 2006. — Режим доступа: hhttp://www.hermitagemuseum.org/fcgi-bin/db2www/browse.mac/category?selLang=Russian, свободный. — Загл. с экрана.

90. Tuceryan М. Moment Based Texture Segmentation // Pattern Recognition Letters, v. 15, 1994. — P. 659-668.

91. USC-SIPI Image Database Электронный ресурс]. — Электрон, дан. — Режим доступа: http://sipi.usc.edu/database/, свободный. — Загл. с экрана.

92. Ziou D., Tabbone S. Edge detection techniques-an overview // Int. J. of Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — V. 8. — №. 4. — P. 537559.