автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование самоорганизации диссипативных структур в облучённых металлических материалах средствами компьютерных технологий

На правах рукописи

Бондаренко Владимир Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ САМООРГАНИЗАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР В ОБЛУЧЁННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ СРЕДСТВАМИ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

09-4 3833

Обнинск-2009

Диссертация выполнена на кафедре "Компьютерные сети, системы и технологии" Обнинского государственного технического университета атомной энергетики (ОИАТЭ)

Научные руководители ■

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор Куликова Нэлли Васильевна;

доктор физико-математических наук, профессор Хмелевская Вита Сергеевна

доктор физико-математических наук, Панас Андрей Иванович;

доктор технических наук,

профессор Крапошин Валентин Сидорович;

Ведущая организация -

Ярославский государственный университет

Защита состоится «13» мая 2009 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 521.019.01 при Российском новом университете по адресу: 105005, г. Москва, ул. Радио, д.22

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского нового

университета

Автореферат разослан« 6 » апреля 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Д. В. Растягаев

/

Г О С У Д А Н ь I В н « и VI 1 БИБЛИОТЕКА

2009 1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Внимание к теоретическим и экспериментальным исследованиям свойств неравновесных систем было привлечено сравнительно недавно, несмотря на то, что большая часть окружающих нас процессов относится именно к подобным системам. Неравновесные состояния часто сопровождаются явлениями самоорганизации структурных элементов, составляющих эту систему. Динамика процессов самоорганизации в таких системах оказывается крайне сложной и нерегулярной, что отражается на поведении многих физических характеристик системы.

Наряду с этим, во многих областях физики в последнее время стало вызывать большой интерес исследование фрактальных множеств. Известно, что многие случайные природные среды являются фрактальными структурами. Самоорганизация диссипативных структур сопровождается нарушением симметрии исходного состояния в системе и может быть охарактеризована величиной фрактальной размерности. Иными словами, в процессе самоорганизации изменяются фрактальные характеристики этой системы, что определяет возможность объединения подходов описания явлений самоорганизации и теории фракталов.

В некоторых новейших технологиях, в том числе атомной и космической технике, вещество находится в радиационном поле. В этих случаях мы имеем дело с открытой неравновесной системой, подвергающейся притоку энергии или вещества извне. В объёме облучённого вещества в результате внешнего воздействия на систему непрерывно создаются дефекты, которые вследствие происходящих в твёрдом теле процессов также непрерывно исчезают. В результате баланса этих процессов поддерживается некоторая стационарная концентрация дефектов. Сами дефекты распределены по объёму приблизительно равномерно.

Однако экспериментально были получены состояния, в которых картина радиационных повреждений существенно отличается от описанной. В этих состояниях наблюдаются пространственно самооргаиизованные структуры с элементами самоподобия на разных масштабных уровнях. Диссертационная работа посвящена исследованию и описанию с помощью фрактальных характеристик явлений самоорганизации при взаимодействии ионного и лазерного излучения с металлическими сплавами. Такие явления в ряде случаев сопровождаются сильнейшим изменением физических свойств системы и не могут быть описаны в рамках классических принципов равновесной термодинамики. В настоящее время завершённой картины всего комплекса физических явлений, возникающих при высокоэнергетическом

воздействии на исследуемые материалы и сопровождающихся процессами пространственного упорядочивания, не имеется. Актуальность данной работы обусловлена необходимостью выявления подходов к описанию процессов самоорганизации и необходимостью разработки с помощью теории фракталов компьютерных моделей, описывающих эти процессы. Создание подобных моделей даст возможность осуществлять вероятностно-статистические исследования связей между изменениями физических свойств системы и различными типами процессов самоорганизации, позволит описать развитие самоорганизации на временных интервалах и взаимосвязи самоорганизации с изменениями условий внешнего воздействия. Прогресс в создании подобных компьютерных моделей даст возможность разработки принципов управления структурой материалов в неравновесных условиях для получения материалов с заданными свойствами. Создание алгоритмов прогнозирования поведения исследуемых материалов в закритической области воздействия и определение взаимосвязи особенностей пространственного упорядочивания с изменением физических свойств этих материалов в условиях высоких доз и температур облучения представляется актуальным.

Основной целью работы является моделирование процесса самоорганизации средствами компьютерных технологий, детализация и уточнение механизмов самоорганизации после ионного и лазерного облучения металлических сплавов, а именно разработка метода идентификации и количественной параметризации эффектов самоорганизации, установление связи фрактальных характеристик самоорганизованной структуры со свойствами материала и параметрами внешнего воздействия, исследование процесса перехода самоорганизованной структуры от одной фазы к следующей в зависимости от параметров внешнего воздействия.

Научная новизна полученных в работе результатов заключена в следующем:

-показано, что при высоких уровнях радиационного повреждения структурные элементы в различных облучённых металлических материалах оказываются пространственно самоорганизованными. Показано, что эти состояния могут быть идентифицированы как фрактальные объекты, причём фрактальная размерность изменяется в зависимости от параметров внешнего воздействия, а также зависит от внутренних характеристик структуры;

-проведено исследование структур пространственной самоорганизации с помощью методов фрактальной и мультифрактальной параметризации. Для разных типов структур получено значение фрактальной размерности и набор мультифрактальных параметров, позволивший установить характер поведения самоорганизации в зависимости от

параметров внешнего воздействия и внутренних характеристик системы. С помощью методов фрактальной параметризации показано, что для рассматриваемых явлений пространственного упорядочивания существуют определённые пороговые значения фрактальной размерности, после которого можно с уверенностью говорить о наличии самоорганизации. Показано, что используя это пороговое значение, методами компьютерного анализа можно достаточно точно распознать области формирования пространственной самоорганизации на поверхности облучённого материала. Кроме того, используя параметры однородности и упорядоченности, можно не только обнаружить, но и идентифицировать различные типы самоорганизованных структур;

-проведено сравнение значений фрактальных характеристик для различных доз и температур облучения. Показано, что характер наблюдаемой самоорганизации может изменяться в зависимости от интенсивности радиационного воздействия. При этом с увеличением интенсивности воздействия строение самоорганизованной структуры усложняется, и одна форма самоорганизации сменяется следующей;

-с целью изучения развития процесса самоорганизации проведены эксперименты по лазерному облучению сплавов с разным числом импульсов. Показано, что с увеличением количества поступившей в систему энергии объекты пространственной самоорганизации могут перестраиваться или эволюционировать в сторону усложнения;

-выявлены взаимосвязи между эффектами пространственного упорядочивания в системе и изменением её механических характеристик. В частности, показано, что при лазерном облучении характер изменения фрактальной размерности и микротвердости поверхностного слоя облучённого материала коррелируют в зависимости от числа импульсов;

-показано, что наблюдаемые элементы самоорганизованных структур разного типа могут быть объединены в фрактальные кластеры. Для моделирования развития происходящих при лазерном облучении процессов самоорганизации были использованы представления о фрактальных структурах и основы теории клеточных автоматов. Полученные в результате проведённого эксперимента по набору доз облучения самоорганизованные структуры были кластеризированы двумя типовыми самоподобными объектами. Было показано, что с набором дозы полученная система кластеров начинает осциллировать. Кроме того, было показано, что при определённых дозах количество кластеров, соответствующих разным типам самоорганизации, в системе резко меняется. Изменение количества кластеров разного типа в зависимости от числа импульсов, а также изменение расположения кластеров по поверхности облучённого материала определяет эволюционную динамику процесса самоорганизации;

-для моделирования процесса самоорганизации применена модель работы клеточного автомата, реализованная в двумерном пространстве с взаимодействием с ближайшими соседями. Было показано, что в результате работы автомата можно получить изображения, близкие по форме к кластеризованным изображениям, полученным в реальном эксперименте. Кроме того, было показано, что работа автомата не зависит от начальных условий. Пропорции между количеством кластеров разного типа на каждом шаге работы клеточного автомата и количеством кластеров этого же типа на соответствующей дозе облучения согласуются удовлетворительно;

-обнаружено, что после ионного облучения среди зерен поликристалла наблюдаются две разные кристаллографические ориентировки, которым соответствует два типа самоорганизации с различными фрактальными параметрами;

-показано, что наблюдаемые после облучения структуры могут характеризоваться наличием свойства инвариантности своего строения на разных масштабных уровнях. Данное явление обнаружено для разных материалов при лазерном и ионном облучении.

Практическая иеиность работы. Выявление характера самоорганизации сложных систем является существенным фактором, позволяющим понять закономерности поведения этих систем в неравновесных условиях. Представление об эволюции самоорганизации при воздействии ионного или лазерного излучения открывает возможность практических методов контроля изменения физических свойств облучённых материалов. При обнаружении в облучённых материалах эффектов пространственного упорядочивания важным является тот факт, что материал может обладать новыми физическими свойствами. В связи с этим предложен простой способ распознавания и количественной параметризации процессов самоорганизации в облучённых металлических материалах.

Исследования закономерностей эволюции самоорганизации позволяют оценить условия формирования и устойчивость поверхностных наноструктур при создании материалов с новыми свойствами. Результаты данной работы могут быть использованы для описания широких классов процессов пространственного упорядочивания на разных масштабных уровнях.

Личный вклад автора. Автор лично участвовал в планировании и проведении экспериментов по лазерному облучению материалов и обработке экспериментальных данных, создал программный комплекс для выполнения необходимых расчётов:

-применил метод фрактальной и мультифрактальной параметризации для описания процессов самоорганизации в облучённых металлических материалах;

-разработал методику обнаружения эффектов пространственного упорядочивания, методики классификации различных типов самоорганизации, методики описания эволюции процесса самоорганизации;

-разработал модель, прогнозирующую направление осцилляции класс-теров самоорганизации в системе;

-разработал программный комплекс, реализующий фрактальную и мультифрактальную параметризацию процессов самоорганизации, выполняющий кластеризацию изображения поверхности облучённого материала с эффектом пространственного упорядочивания в зависимости от значений мультифрактальных характеристик, и моделирующий эволюцию самоорганизации с использованием правил работы клеточного автомата;

-провёл серию экспериментов, исследующих процессы самоорганизации в металлических сплавах после лазерного облучения, обработал результаты экспериментов с помощью созданной новой компьютерной технологии и получил нетривиальные выводы о характере процессов самоорганизации.

На защиту выносится:

1. Компьютерная технология, предполагающая:

а. способ определения фрактальных и мультифрактальных свойств самоорганизованных структур в облучённых металлических сплавах.

б. методику определения масштабной инвариантности процесса самоорганизации в облучённых металлических сплавах.

в. способ описания эволюции самоорганизации в облучённых металлических сплавах.

2. Компьютерная методика определения областей возникновения самоорганизованных структур на облучённой поверхности и распознавания различных типов самоорганизации.

3. Программный комплекс, реализующий количественную параметризацию процессов пространственного упорядочивания, и моделирующий эволюцию самоорганизации.

Апробация работы:

П-й международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (2004, г. Обнинск); УШ международный семинар «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий» (МЫТ) (2005, г. Об-нинск); IX международный семинар «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий» (МНТ) (2007, г. Обнинск); VIII международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» «ХАОС-2007» (2007, г. Саратов); научный семинар кафедры «Компьютерные системы и сети» государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (2007, г. Москва); научный семинар кафедры «Компьютерные системы и сети» Обнинского Государственного Технического Университета (2008, г. Обнинск); XI всероссийская научная школа-семинар физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова «ВОЛНЫ - 2008» (2008, г. Москва); 6

научный семинар кафедры математического моделирования Ярославского Государственного Университета (2008, г. Ярославль);

Публикации. Основные результаты работы отражены в 5 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и 3 тезисах Международных и Всероссийских конференций. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и заключения. Общий объём работы составляет 167 страниц, в том числе 15 таблиц, 64 рисунка и список использованных источников из 134 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор основных направлений исследования свойств неравновесных систем и сопровождающих их явлений пространственной самоорганизации. Обосновывается актуальность исследований, раскрывается научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также излагается краткое содержание диссертации.

Первая глава является обзорной, и описывает условия возникновения эффектов пространственного упорядочивания в неравновесных динамических системах,

В §1.1 сформулированы необходимые сведения о неравновесных линейных и нелинейных термодинамических системах и условия возникновения переходов от порядка к беспорядку и обратно.

В §1.2 описываются свойства самоорганизованных структур. Организующим началом при их формировании является нелинейность. При переходе от равновесных условий к условиям, далёким от состояния равновесия, система становиться неустойчивой, её макроскопические свойства радикально изменяются. При большом числе взаимодействующих объектов и их совместном, кооперативном действии получаются структуры, более организованные и упорядоченные, чем до начала воздействия. В определённых интервалах параметров внешнего воздействия они обладают устойчивостью. В результате в системе возникают крупномасштабные корреляции, т.е. происходит самоорганизация, а сама система приобретает неоднородное распределение параметров (тепла, деформаций, повреждений, концентраций и т.д.). Этот процесс обретения системой неоднородностей самоподобен и распространяется на всё большие масштабы.

В §1.3 приводится формальное описание динамических информационных структур и анализируется возможность моделирования ансамблей взаимодействующих осцилляторов методом клеточного автомата.

Каждая расчетная ячейка или частица среды рассматривается как клеточный автомат, жизнь которого зависит, в том числе, от состояния ближайших соседей.

При анализе графических изображений пространственной самоорганизации для заданного набора точек облучённой поверхности иногда требуется определить, какие из них лежат в пределах заданной области. С этой целью проводится обзор структур данных для решения задач поиска, и описывается применение многомерных деревьев поиска, основанных на рекурсивной декомпозиции пространства.

В §1.4 рассматривается возможность объединения подходов описания явлений пространственного упорядочивания и теории фракталов. Возникновение самоорганизации тесно связано с самоподобием. Объекты, которые обладают свойством самоподобия на разном масштабном уровне, называются фракталами. В более строгом смысле фракталами называют геометрические объекты, хаусдорфова размерность которых строго отличается от топологической и принимает дробное значение. Фрактальная размерность является величиной, которая характеризует форму поверхности объекта и представляет собой показатель меры заполнения пространства фрактальной структурой: для одномерных кривых на плоскости она изменяется от 1 (гладкие евклидовые линии) до 2 (бесконечно извилистые кривые, заполняющие плоскость), выступая мерой извилистости или сложности изучаемого контура. Самоорганизация диссипативных структур сопровождается нарушением симметрии исходного состояния в системе и может быть охарактеризована величиной фрактальной размерности. Иными словами, в процессе пространственного упорядочивания изменению подвергаются и фрактальные характеристики этой системы.

Во второй главе рассматриваются состояния в металлических материалах, подвергнутых ионному облучению, а также облучению лазером. При высоких уровнях радиационного повреждения структурные элементы на поверхности этих материалов оказываются пространственно самоорганизованными. Эффекты самоорганизации наблюдаются в различных металлических материалах. Одновременно с этим в области изменения структурной морфологии поверхности облучённого материала наблюдается сильное изменение физических свойств материала. Например, наблюдается увеличение микротвердости в 2-3 раза в сравнении с исходными образцами. Характер наблюдаемых модулированных структур меняется в зависимости от кристаллографической ориентировки материала, а особое состояние материала формируется в некотором диапазоне значений внешних радиационных параметров - доз, интенсивностей потока и температур облучения.

В §2.1 рассматриваются эффекты пространственного упорядочивания после ионного облучения различных материалов (Fe-Cr, Ni-Cr, V-Cr-Ti, Ni-Cr-Fe), при различной кристаллографической ориентировке зёрен материала (Fe-Cr, Ni-Cr), на разном масштабном уровне или увеличении (Fe-Cr, Ni-Cr), и при разной температуре облучения (400°С, 500°С, 700°С). В облучённом ионами твёрдом теле превалируют два процесса - непрерывная генерация дефектов (вакансий и межузельных атомов) и их рекомбинация при встрече разноимённых дефектов. В объёме облучаемого вещества в результате внешнего воздействия в системе непрерывно создаются дефекты, однако вследствие происходящих в твёрдом теле процессов они непрерывно исчезают. В результате баланса этих процессов поддерживается некоторая стационарная концентрация дефектов. В данном случае мы имеем дело с типичной слабо неравновесной системой, которая ведёт себя подобно замкнутой равновесной системе, однако эволюционирует не к состоянию равновесия, а к стационарному состоянию с некоторой концентрацией дефектов в объёме. На микроскопическом уровне происходят парные соударения, не связанные друг с другом, пока дефектов не слишком много. Дефекты распределены по объёму приблизительно равномерно, если не учитывать области каскадов, которые играют роль флуктуаций концентрации дефектов. В некоторой области значений радиационных параметров эти флуктуации локальны и пока не в состоянии изменить поведение системы

В параграфе рассматривается поведение системы при воздействиях, которые уже не могут считаться малыми. В этом случае картина радиационных повреждений радикально изменяется - наблюдаются явления пространственной и временной самоорганизации. Примеры таких структур, полученные методом оптической металлографии на поверхности сплава Fe-Cr после облучения его в ионном ускорителе "Vita" ионами Аг+ с энергией

а - продольные цсгш 6 - сетка

Рис.1 Пространственно самоорпшизованпые структуры 8 поликристалличсском сплаве Ре-18Сг, облучённом ионами АН-, ЗОкэБ, температура мишени 500°С, для двух, различных зйрен (а, б)

30 кэВ до дозы 1,5 * 1018 ион/см2 при температуре 500°С показаны на рис.1. До облучения поверхность сплава была гладкой и однородной. Рис. 1а и рис. 16 соответствуют двум различным зёрнам поликристаллического материала.

В §2.2 рассматриваются пространственно самоорганизованные структуры после облучении поверхности металлов (Ре, Ре-Сг-№, Бе-Сг, №-Сг) твердотельным импульсным лазером (ЛТИ-406,УАО:Ш с длиной волны 1,06 мкм и длительностью импульса 10-20 не, мощность 3Вт на частоте 25 Гц, 25 импульсов в секунду, 120 млДж в импульсе). Пространственно организованные состояния, полученные после лазерного воздействия, представляют существенный интерес ещё по следующим обстоятельствам. Микроструктура, зарегистрированная после ионного облучения, становится видимой вследствие того, что в материале образуются области, в которых вещество находится в различном состоянии (разная концентрация дефектов в кристалле). При лазерном воздействии на материал посылается мощный пучок когерентного светового излучения. Однако каждый отдельный квант не в состоянии сместить атом с его места в решётке и образовать дефект -вакансию или межузельный атом. Квант в состоянии подействовать только на электроны твёрдого тела. Таким образом, можно предполагать, что появление самоорганизованной структуры после лазерного воздействия является следствием существования коллективных эффектов, т.е. при возникновении пространственного упорядочивания в системе проявляется когерентное поведение структурных элементов системы.

Таким образом, изменение структуры сплавов при облучении определяется соотношениями между интенсивностью воздействия, уводящего систему от термодинамического равновесия и формирующего неустойчивые структурные состояния, и кинетикой их релаксации, обеспечивающей формирование структурных состояний с разной свободной энергией. В этой связи, представляется целесообразным подход к разработке технологических процессов получения изделий из сплавов, основанный на регулировании степени неравновесности структуры, формируемой на каждой стадии процесса. В этом случае появляется возможность управлять процессами формирования структуры и её свойствами путём создания промежуточных состояний с заданным уровнем свободной энергии, обеспечивающих активизацию необходимых структурных изменений на последующих стадиях.

В третьей главе с целью поиска количественных критериев для описания наблюдаемых процессов пространственного упорядочивания обосновывается возможность применения метода фрактальной параметризации и вводится понятие фрактальной размерности. Действительно, наблюдаемые объекты имеют крайне нерегулярное и

запутанное строение, которое невозможно описать или задать традиционными аналитическими или геометрическими способами, уравнениями, или соотношениями. Эти объекты часто обладают свойством самоподобия на разном масштабном уровне (часть элементов из множества геометрически подобна более крупным элементам), т.е. вблизи крупного элемента самоорганизованного объекта наблюдаются определённое число подобных по своей форме более мелких объектов. Показано, что эти структурные элементы могут быть идентифицированы как фрактальные объекты, причём фрактальная размерность этих объектов изменяется в зависимости от параметров внешнего воздействия, а также в зависимости от внутренних характеристик материала.

Известно, что метод фрактальной параметризации в течение ряда лет используется в материаловедении, однако в этих работах объектом исследования были зеренная структура или пористые материалы. В данной работе рассматриваются фрактальные характеристики пространственно самоорганизованных объектов после ионного облучения, а также объекты после лазерного облучения, в которых гетерофазная структура формируется в результате радиационного воздействия.

Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта: фрактальная размерность (также называемая размерностью Минковского, или боксовой размерностью), топологическая размерность и размерность Хаусдорфа-Безиковича (иногда называемая метрической размерностью). Следуя Б. Мандельброту, будем считать фракталом такое множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Для самопоподобных множеств размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью самоподобия. Возьмем множество и уменьшим его в N раз (N- натуральное число). То есть каждой точке х исходного множества поставим в соответствие точку гх, 0 < г < 1. Полученное множество будет уменьшенной копией своего оригинала. Если исходное множество можно составить с помощью М копий, допуская их пересечение лишь в граничных точках, то будем считать его самоподобным. Размерность самоподобия ds вычисляется как ds = log„ М .

Класс самоподобных множеств очень узок. Поэтому часто рассматривается еще размерность Минковского, которая совпадает с размерностью самоподобия и размерностью Хаусдорфа-Безиковича для самоподобных множеств, но проще вычисляется, чем размерность Хаусдорфа-Безиковича. Пусть d - обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится фрактальный объект (d= 1 - линия, d=2-плоскость, d-3 - трехмерное пространство). Покрыв этот объект целиком d-мерными "шарами" радиуса I, предположим, что потребовалось для этого не менее, чем N(1) шаров. Тогда, если при достаточно малых I величина N(1)

меняется с I по степенному закону

щ)~т°, (1)

Логарифмируя левую и правую части формулу (1) можно переписать

в виде:

д=-ИтМ№ (2)

Если предел существует, то выражение (2) определяет размерность Минковского для рассматриваемого множества. Это общее определением фрактальной размерности D. Величина D является локальной характеристикой данного объекта.

Наряду с этим, существует метрическая или Хаусдорфова размерность. При оценке фрактальной размерности получается тот же результат, если использовать процедуру покрытия фрактала кубами (квадратами, если фрактальный объект располагается на плоскости). Иногда покрытие осуществляется элементами, из которых состоит данный фрактал. Если на некотором этапе покрытия фрактала использовать, как минимум, N(1) таких элементов характерного размера I, а на другом N(I') элементов размера I'. Тогда величина фрактальной размерности может быть вычислена по формуле

(Щ1)'

In

(Ж т

Dr- viol (3)

■4)

эту формулу можно переписать в виде

N(I) /7'Y

" ' ' (4),

ЩГ) \1

что является следствием выражения (1). Размерность Хаусдорфа-Безиковича является близким понятием по отношению к размерности Минковского, и во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

В силу того, что для природного фрактала интервал самоподобия ограничен, размер ячейки покрытия для него может варьироваться в определённом диапазоне, максимальное значение которого определяется размерами объекта, а минимальное - его элементарным структурным элементом (в случае изображения - пикселем). Таким образом, для оценки размерности необходимо применение численного алгоритма, который заключается в

1. получении зависимости числа ячеек покрытия фрактала от размера ячейки;

2. выделении на ней линейного участка (в двойном логарифмическом масштабе);

3. аппроксимации зависимости на этом участке линейной функцией;

Параметры аппроксимирующей прямой при этом вычисляются методом наименьших квадратов, а размерность определяется угловым коэффициентом прямой.

Практически в клеточном методе не удаётся определить размерность с точностью более одного или двух десятичных разрядов, что, конечно, не всегда приемлемо. Тем не менее, численная оценка размерности может быть применена для решаемой в этой работе задачи распознавания образов, когда с помощью фрактальной размерности требуется отличить контур самоорганизованной структуры от рельефа поверхности, где эффект самоорганизации не наблюдается, а также различить области с различным строением самоорганизации. Используя результаты такого распознавания, можно легко идентифицировать области материала с модифицированными физическими свойствами.

Для численного определения размерности Минковского некоторого множества А его надо аппроксимировать конечным объединением шаров. Если А компактное подмножество Rn, a d - размерность Минковского множества А, подсчитанная с помощью покрытия А шарами в евклидовой метрике, то вместо последних можно использовать шары в оо-метрике, т.е. кубы. Размерность Минковского в этом случае не изменится и будет совпадать с размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Тогда, простейший способ определения размерности Хаусдорфа-Безиковича фрактала А состоит в разбиении области, содержащей А, на квадратные клетки (двумерный случай) нескольких размеров. Затем подсчитывается число клеток, необходимых для покрытия А в каждом случае. Полученные значения подставляются в выражение: log N(e) = log с - d log e, где с- константа.

Компьютерные алгоритмы вычисления размерности Хаусдорфа d опираются на следующие соотношение: log N(e) = log c-d log e, где c-константа. График зависимости log N(e) от log e - прямая с угловым коэффициентом -d. Для определения неизвестных параметров с и d необходимо оценить N(ß) для нескольких значений е. Если использовать клетки только двух размеров, в! и в2, то неизвестные cud можно определить из системы уравнений:

log N(el) = log c-d log el, log N{e2) = log c-d log s2.

Тем не менее, учитывая, что величины N(e) могут быть найдены лишь приближённо, имеет смысл оценить N(e) для большего числа различных значений е. В этом случае получим преобразованную систему (число

уравнений больше числа неизвестных), которая, по всей видимости, не будет иметь точного решения. Стандартный приём в подобной ситуации заключается в том, чтобы найти значения log end, минимизирующие сумму квадратов отклонений.

Величина размерности Хаусдорфа-Безиковича существенным образом зависит от выбора участка, на котором она вычисляется. Соответственно возникает необходимость выбора одного значения величины из некоторого набора получающихся значений. Одним из возможных вариантов, который был принят в этой работе, является следующий: можно отыскать некоторое множество отрезков на графике зависимости log N{L) от log L, использование которых для определения величины размерности позволяет получить множество значений, не сильно отличающихся друг от друга, и использовать усреднённую по этому множеству величину как характеристику самоподобного объекта.

На рис.2 показаны цифровые изображения структур, полученные до и после ионного облучения для поликристаллических образцов сплава Ре-Сг (а - поверхность до облучения, б - после облучения). Фрактальная размерность (здесь и далее под фрактальной размерностью понимается размерность Хаусдорфа-Безиковича) для поверхности одного выбранного необлучённого образца материала Ре-Сг составила: Б = 1,01. Для облучённого образца (30 кэВ, температура мишени 400°С) размерность составила: О = 1,53.

В Таблице 1 приведены сводные значения размерности Хаусдорфа-Безиковича, рассчитанные для различных материалов при различных условиях облучения.

1

ионами Аг+ (30 кэВ, температура мишени 400-С)

Рис. 2. Образцы поверхности металлического сплава Ре-Сг на увеличении х450

Таблица 1

Среднее значение фрактальной размерности при различных типах облучения различных материалов___

Материал Тип кристал. решётки Тип облучения Фрактальная размерность*

Бе-Сг оцк Ионное 1,728 ±0,070

оцк Ионное 1,451 ±0,090

№-Сг-Ре(П,А1) гцк Ионное 1,836 ±0,046

№-Сг гцк Лазерное 1,781 ±0,060

Ре-Сг-№ гцк Лазерное 1,854 ±0,102

Ре оцк Лазерное 1,4945 + 0,050

Ре-Сг оцк Лазерное 1,7343 ±0,001

* - для каждого значения в таблице указана предельная абсолютная погрешность, микротвёрдость указана в килограммах сипы па миллиметр квадратный.

На рис.3 представлено распределение значений размерности Хаусдорфа-Безиковича в зависимости от количества поступивших в систему импульсов (верхние и нижние риски на рисунке указывают разброс значение переменной). При отсутствии облучения размерность Хаусдорфа-Безиковича для изображения поверхности материала практически равна единице. В момент начала облучения значение размерности меняется скачкообразно до 1,73. После прохождения порогового значения (300 импульсов), с увеличением числа импульсов значение фрактальной размерности осциллирует, т.е. наблюдается чередование минимального и максимального значений с увеличением дозы.

На рис.4 представлено распределение значений микротвёрдости в зависимости от количества поступивших в систему импульсов. Видно, что с набором дозы значение параметра растёт и достигает максимума при 200-300-та импульсах. Затем микротвёрдость уменьшается, но с увеличением дозы снова начинает расти, достигая следующего максимального значения при 700-та импульсах. Затем картина изменения значений параметра повторяется. Периодичность изменения видна достаточно чётко, из чего можно сделать вывод о том, что с набором дозы физический параметр также осциллирует, а характер поведения сходен с характером поведения фрактальной размерности.

в4-

г.

«

о-

200 ЛЮ 400 ''¡JÜ 1,00 70Q

количество импульсов облучения

Рис.3 Зависимость фрактальной размерности от количества импульсов лазерного облучения для самоорганизации в сплаве №-Сг (с указанием интервала погрешности)

Таким образом, фрактальная размерность как количественная характеристика оказывается чувствительной как к параметрам внешнего воздействия, так и внутренним характеристикам материала. Результаты анализа показывают, что значение фрактальной размерности различаются для различных материалов и для различных кристаллографических ориентировок, а с набором дозы, как и значение микротвёрдости, может осциллировать, т.е. с увеличением дозы наблюдается чередование минимального и максимального значений размерности.

Рис,4 Зависимость микротвёрдости от количества импульсов лазерного облучения для самоорганизации в сплаве №-Сг (с указанием интервала погрешности)

300-

100-

100 200 ЭОО 4ОТ МО ЫЮ ?00 ООО

количество импульсов облучения

Для определения фрактальной размерности на разных масштабных уровнях требуется применение электронной микроскопии в широком интервале изменения увеличения и разрешения. На рис.5 показан пример самоорганизованной структуры, полученный на поверхности сплава Бе-Сг после ионного облучения с энергией 20кэВ при температуре мишени 500°С. На рис.5а показана микроструктура сплава Бе-Сг после облучения с увеличением в 450 раз, наблюдаемая методом оптической металлографии. На рис.5б показана эта же самая структура с увеличением в 45 ООО раз, полученная с помощью электронного микроскопа. Здесь тоже видно упорядоченное расположение элементов, представляющее собой четырёхугольные бенароподобные ячейки. Наличие самоорганизации на разных масштабных уровнях может свидетельствовать о наличии масштабной инвариантности или скейлинга наблюдаемых объектов. В этом случае размерность Хаусдорфа-Безиковича для обоих структур должна совпадать. Расчёт показал, что для структур на увеличении х450 среднее значение фрактальной размерности составляет 1> = 1,689 + 0,062, а на увеличении х45 ООО среднее значение составляет И = 1,642 + 0,079. Как видно, значения размерности практически совпадают.

Возникновение в результате облучения на поверхности материала эффектов пространственного упорядочивания связано с изменением физических свойств материала. В связи с этим представляется актуальным решение задачи поиска и локализации на поверхности облучённого материала мест возникновения самоорганизации. Используя параметр фрактальной размерности и механизм подбора масштабов, можно предложить способ распознавания самоорганизованных структур на поверхности облучённого

а - увел. 450X: видна структура с характерным 6 - увел. 45 ОООХ: видна структура о размером 3 мкм. характерным размером 500-1000 А

Рио.5. Самооргапизоваппые структуры на поверхности сплава Fe-Cr поело облучения ионами Аг+ (30 кэВ, температура мишени 500°С) па разном масштабе увеличения

материала. Средние значения размерности Хаусдорфа-Безиковича для

поверхности облучённого и необлучённого материала значительно отличаются. Для не облучённого материала размерность составляет 1,052 + 0,006, а для облучённого материала в зависимости от типа облучения и самого материала - находится в интервале от 1,451 + 0,090 до 1,854 + 0,102. В этом случае, численная оценка размерности Хаусдорфа-Безиковича может применяться для распознавания образов самоорганизованных структур. Установив пороговое значение размерности, при достижении которого можно с уверенностью говорить о наличии в рассматриваемой области изображения эффекта самоорганизации, представляется возможным локализовать области с эффектом самоорганизации и отделить их от тех областей, где эффектов самоорганизации не наблюдается. В этом случае, в локализованных зонах следует ожидать значительного изменения ряда физических параметров облучённого материала.

В четвёртой главе представлены результаты мультифрактальной параметризации облучённых материалов. В реальных физических системах самоподобие структур при больших масштабах, характерное для фракталов, не реализуется. В таких случаях используется понятие о мультифракталах, содержащих подмножества с разной фрактальной размерностью. Опыт численного мультифрактального анализа изображений структур облучённого материала показывает его эффективность при анализе процессов самоорганизации. В программном модуле расчёта мультифракгальных характеристик проводится оценка вероятности появления элемента рельефа рассматриваемого плоского изображения структуры. После текстурной обработки изображение также переводится в чёрно-белый формат, и вычисляются обобщенные фрактальные размерности Реньи:

где р1 - вероятность найти точку фрактала в г'-той ячейке; е - размер ячеек покрывающей сетки; ц - порядок размерности д = 0, ±1, ±2, ±_3, ±с0; N — количество точек, образующих фрактал. Таким образом, выделяются области наполнения с разной плотностью упаковки структурных элементов. Результатом применения этого алгоритма являются следующие количественные характеристики:

1. £)0 - размерность Хаусдорфа-Безиковича, характеризующая величину фрактальной размерности.

2. fq - однородность структуры, характеризующая распределение единичных элементов структуры в евклидовом пространстве, охватывающем эту структуру. Чем больше значение ¿ц, тем

структура более однородна, а при стремлении ¡ц к нулю в структуре накапливается "беспорядок".

3. А? - упорядоченности структуры, характеризующая степень нарушения симметрии меры изучаемой структуры по отношению к мультифрактальному преобразованию. Чем больше значение Aq, тем структура более периодична, т.е. увеличение (по модулю) Дq показывает, что в структуре растёт периодическая составляющая, и система "накачивается" информацией.

4. О; - информационная (значение £)? при q = 1) характеризует скорость роста количества информации

5. И2 - корреляционная (значение Dq при д = 2) размерность, характеризующая коэффициент корреляции между парой точек, случайно выбираемых в соответствии с распределением вероятности меры. Корреляционная размерность характеризует вероятность найти в одной и той же ячейке покрытия две точки множества.

Величина мультифрактальной размерности может применяться в качестве эффективного средства при распознавании изучаемых структур материалов, неразличимых или слабо различимых при использовании традиционных: методов. Была обнаружена корреляция между кристаллографической ориентировкой зерна материала и вычислимыми мультифрактальными характеристиками. Таким образом, во первых, возникает возможность распознавать структуры, полученные в одних и тех же условиях, а во вторых, определять взаимосвязь получаемых структур с условиями внешнего воздействия. Действительно, после возникновения самоорганизации диапазон разброса значений мультифрактальных параметров по поверхности облучённого материала резко уменьшается, а плотность распределения значений рассматриваемых мультифрактальных параметров может быть описана с помощью нормального закона распределения.

Для рассматриваемых самоорганизованных структур существует определённое пороговое значение мультифрактальной размерности, после которого можно с уверенностью говорить о наличии самоорганизации. При этом, используя данное пороговое значение, методами компьютерного анализа можно достаточно точно распознать области формирования пространственной самоорганизации на поверхности облучённого материала. Затем, используя параметры однородности и упорядоченности, можно не только обнаружить, но и идентифицировать разновидности самоорганизации.

Мультифрактальная размерность для эффектов пространственной самоорганизации внутри облучённых зёрен и мультифрактальная размерность границ этих зёрен коррелируют. Можно утверждать, что наблюдается две разные кристаллографические ориентировки, которым соответствует две самоорганизованные структуры с различными мультифракталышми параметрами. Полученные закономерности в изменениях наборов мультифрактальных параметров зёрен и их границ позволяют до облучения идентифицировать области возможного возникновения эффекта пространственного упорядочивания в зависимости от кристаллографической ориентировки зерна.

В пятой главе рассматриваются фрактальные кластеры, образующиеся при ассоциации множества элементарных объектов в единый крупномасштабный самоподобный объект. Рассматривается формирование самоорганизованных структур в металлических сплавах при облучении его поверхности лазером, полученные в металлических сплавах Ni-Cr и Fe-Cr-Ni. Для набор дозы проходил от 200-та импульсов до 11 ООО импульсов. Анализ серии фотографий, полученных после облучения различных сплавов лазером от 100 до 800 импульсов, показал, что при определённой дозе облучения наблюдается самоорганизация либо преимущественно одного типа (в виде полос или ячеек), либо комбинация двух разных типов (ячеек и полос). Доза, при которой самоорганизованная структура одного типа переходит в самоорганизованную структуру другого типа, условно можно назвать особой точкой. Можно предположить, что в этих точках система достигает в процессе эволюции порога неустойчивости, и начинает осциллировать. Для целей моделирования ячейки с полосками были условно обозначены белым цветом, а остальные ячейки, с любыми другими элементами - чёрным цветом. С увеличением числа импульсов от 100 до 300 количество чёрных кластеров увеличивается, а при 400 импульсах число белых кластеров снова начинает расти и достигает максимума при 500 импульсах. При 600 импульсах количество белых кластеров снова падает, а с увеличением числа импульсов до 800, число белых кластеров снова начинает расти.

Данный алгоритм кластеризации фактически позволяет описывать эволюцию самоорганизации в зависимости от числа импульсов. Количество чёрных и белых кластеров в изображении последовательно меняются в зависимости от количества импульсов лазера. Процесс перехода белых кластеров в чёрные и чёрных кластеров в белые повторяется, или осциллирует. При этом наблюдаются особые точки, после прохождения которых число кластеров белого цвета резко падает, и они заменяются кластерами чёрного цвета. В свою очередь, после прохождения особой точки число кластеров белого цвета имеет минимальное значение, но с

увеличением числа импульсов, снова начинает расти до следующей особой точки. Если задать развитие или перестройку кластеров, а также правила такой перестройки на каждом шаге итерации, появляется возможность приближённо описать наблюдаемую эволюцию процесса самоорганизации во времени в зависимости от числа импульсов. Число импульсов определяет каждый шаг итерации, т.к. перестройка самоорганизованной структуры при лазерном облучении зависит именно от числа поступивших в систему импульсов. Наиболее простой механизм, позволяющий реализовать такой подход, следует из теории клеточных автоматов.

Для моделирования эволюции самоорганизации каждая клетка кластеризованного изображения была принята за реализацию элементарного автомата. В качестве метода упаковки был выбран квадратичный метод, когда у клетки есть ровно восемь соседей.

Результаты работы клеточного автомата для сплава №-Сг приведены на рис.6. На вход автомата подавались кластеризованные изображения самоорганизованных структур после начального облучения 100 импульсами. Полученные в результате работы автомата изображения совмещаются с кластеризованными изображениями самоорганизованных структур, полученных в результате эксперимента (рис.ба). Каждый шаг работы автомата моделирует 100 дополнительных импульсов облучения материала (рис.66). Видно, что структура изображений в результате работы автомата напоминает кластерные изображения, полученные в результате эксперимента. Кроме того, в процессе работы автомата количество белых кластеров при подходе к контрольной точке в 400 импульсов падает, а в самой контрольной точке снова возрастает. Аналогичное поведение чёрных и белых кластеров можно наблюдать и для изображений, полученных в ходе эксперимента.

Начальное условие 1-й шаг 2-й шаг 3-й шаг

6 - шаг работы автомата. В качестве начальных условий для автомата использована кластеризованная фотография самоорганизации при 100 импульсах облучения. 21

Рис.6. Сравнение результатов работы клеточного автомата с экспериментальными данными

Соотношение между количеством белых и чёрных кластеров на каждом шаге работы автомата достаточно точно совпадает с распределением белых и чёрных кластеров в результате эксперимента. Распределение кластеров для автоматов, на вход которых были поданы в качестве начальных условий разные кластеризованные изображения, полученные при 200 импульсах облучения, становится идентичными, несмотря на разные начальные условия, и соответствуют распределению кластеров, получаемых в ходе эксперимента. Применяя обратное преобразование к результатам работы клеточного автомата, был получен моделируемый в результате работы автомата рельеф поверхности на каждом шаге его работы. Обратное преобразование этого изображения выполняется путём замены каждого белого и чёрного кластера маленьким изображением соответствующего фрактального кластера. Полученный в результате такого преобразования искусственный рельеф поверхности позволяет корректировать правила работы автомата с целью совершенствования получаемых моделей.

В шестой главе описывается разработанный программный комплекс, реализующий расчёт фрактальных и мультифрактальных характеристик исследуемых самоорганизованных объектов. Описываются основные модули программного комплекса, формат входных и выходных данных, формат используемых растровых и контурных изображений.

Кроме того, исследуется вопрос, связанный с точностью расчёта величины размерности Хаусдорфа-Безиковича в зависимости от структуры и качества изображения, по которому ведётся расчёт. Это может быть

?!

а-растровое изображение пеоблучёшшй поверхности материала

6 - контурное изображение необлученпой

в - растровое изображение облучённой г - контурное изображение облучённой

поверхности материала поверхности материала

Рис. 7. Расчёт размерности Минковского для различных типов изображений

проиллюстрировано следующим примером. На рис.7а представлена фотография поверхности сплава Fe-Cr до облучения. Видно, что поверхность практически гладкая, на ней наблюдаются только границы зёрен и небольшое количество дефектов. Для расчёта размерности Хаусдорфа-Безиковича необходимо привести изображение от градаций серого к двухцветному изображению, состоящему только из чёрного и белого цвета. Чёрный цвет в изображении будет указывать наличие рельефа на поверхности материала, а белый его отсутствие. Как видно на рис.7а, границы зёрен имеют при данном увеличении определённую ширину и после перехода от оттенков серого к двухцветному изображению будут занимать определённую площадь нового изображения. Пример растрового изображения показан на рис.7а. Вместе с тем, линии и другие объекты на поверхности, заполненные чёрным цветом, не несут никакой дополнительной информации. При анализе рельефа поверхности имеет значение лишь граница перехода между рассматриваемыми объектами, поэтому данные объекты могут быть заменены контуром обводки. Пример замены растрового изображения контурным изображением показан на рис.7б.

В силу того, что границы зёрен на необлучённой поверхности представляют собой отрезки прямой линии разной длины (теоретическое значение размерности линии известно) следует ожидать, что размерность Хаусдорфа-Безиковича для рассматриваемых фотографий необлучённой поверхности не должна существенно отличаться от единицы. Однако, данное предположение выполняется только для изображений, полученных контурным методом (см. рис.7б). Для этих изображений среднее значение размерности Хаусдорфа-Безиковича составляет 1,0458 ± 0,027. Для растровых изображений необлучённой поверхности среднее значение размерности Хаусдорфа-Безиковича значительно превосходит единицу, и составляет 1,4104 ± 0,0419, Разница для растрового и контурного изображения составляет 0,3646. Следовательно, использование контурных изображений облучённой поверхности представляется более надёжным.

Пример растрового изображения поверхности сплава Fe-Cr после облучения показан на рис.7в, а на рис.7г показан пример контурного изображения той же поверхности. Для обоих изображений рассчитано значение размерности Хаусдорфа-Безиковича. Для изображения облучённой поверхности в растровом формате размерность составила 1,7431 ± 0,0534, а для изображения облучённой поверхности в контурном формате размерность составила 1,518 ± 0,0589. Разница для растрового и контурного изображения составляет 0,2251. В дальнейшем, если это не ведёт к потере информации, для расчётов будут применяться по возможности контурные изображения структуры.

Для моделирования процесса развития самоорганизации на поверхности облучённого материала была применена разновидность клеточного автомата. Этот метод моделирует процесс образования кластера в каждой точке решётки в зависимости от находящегося там кластера и его ближайших соседей. Алгоритм моделирования процесса имеет следующий вид: рассматривается взаимодействие двух типов кластеров X и У, протекающее на поверхности материала. Поверхность представляет собой регулярную квадратную решёту, каждая ячейка которой может содержать только один из типов кластеров. Взаимодействие между кластерами является локальным, т.е. происходит между кластерами, находящимися в соседних ячейках решётки. При моделировании процесса на каждом шаге алгоритма ячейка решётки принимает значения в зависимости от состояния всех четырёх её ближайших соседей. В результате от шага к шагу моделируется эволюция пространственного распределения на решётке, по которому можно строить различные усреднённые характеристики, т.е. определять макросостояние системы. Основные выводы:

1. Установлено, что при высоких уровнях радиационного воздействия структурные элементы в материалах оказываются пространственно самоорганизованными. Характер наблюдаемой самоорганизации может изменяться в зависимости от интенсивности радиационного воздействия.

2. Обнаруженные самоорганизованные структуры могут быть классифицированы как фракталы и количественно охарактеризованы величиной фрактальной размерности. Величина фрактальной размерности изменяется в зависимости от параметров внешнего воздействия, а также зависит от внутренних характеристик материала (кристаллографической ориентировки зерна, типа кристаллической решётки, а также элементов самого сплава).

3. Показано, что для рассматриваемых структур существует минимальное или пороговое значение фрактальной размерности, которое позволяет однозначно идентифицировать наличие самоорганизации. В областях облучённой поверхности со значением размерности меньше порогового пространственной самоорганизации не наблюдается. Используя это значение, методами компьютерного анализа можно распознать области формирования пространственной самоорганизации на поверхности облучённого материала.

4. В области существования диссипативных структур обнаружены аномально высокие изменения ряда физических свойств облучённого материала. В частности, наблюдается увеличение микротвёрдости в 23 раза в сравнении с исходным образцом. Главным физическим тестовым признаком, позволяющим распознать и идентифицировать данное состояние, является изменение в рентгеновской

дифракционной картине, указывающее на появление гетерофазности -расщепление дифракционных пиков или специфическое изменение их формы. Одновременно наблюдаются сильные изменения структурной морфологии, и, как следствие, изменение значений фрактальной размерности. Изменение значения фрактальной размерности является признаком, позволяющим распознать и идентифицировать данное состояние.

5. Фрактальная размерность поверхности не облучённого материала практически равна единице. Показано, что при начале воздействия размерность скачкообразно увеличивается, а с набором дозы облучения величина фрактальной размерности осциллирует, т.е. с увеличением дозы наблюдается чередование минимального и максимального значений размерности.

6. Результаты, полученные при анализе процессов самоорганизации статистическим методом фрактальной параметризации и вероятностным методом мультифрактальной параметризации, дают схожие результаты, однако мультифрактальный метод позволяет получить более объёмную информацию .(в частности, количественно оценить однородность и упорядоченность наблюдаемой структуры)

7. Используя параметры однородности и упорядоченности мультифрактальной параметризации, можно не только обнаружить, но и идентифицировать разновидности самоорганизации. Разработаны компьютерные программы, позволяющие с помощью этих параметров количественно оценить конфигурацию и условия формирования структур на поверхности облучаемых материалов.

8. Для качественного описания процесса самоорганизации предложена модель на основе клеточного автомата с памятью, реализованная в двумерном пространстве с взаимодействием с ближайшими соседями.

9. Обнаружена иерархия самоорганизации на разных масштабных уровнях. Показано, что наблюдаемые после облучения структуры могут характеризоваться наличием свойства инвариантности своего строения на разных уровнях увеличения. Данное явление обнаружено для разных материалов при лазерном и ионном облучении.

10. Разработан программный комплекс, позволяющий выполнять количественную параметризацию процессов самоорганизации, идентифицировать область возникновения новой структуры, а также идентифицировать характерные типы самоорганизации.

Основные результаты диссертации опубликованы:

1. Куликова Н.В., Хмелевская B.C., Бондаренко В.В. Компьютерный анализ процессов самоорганизации в металлических материалах // Математическое моделирование. 2006 Т18., N1 с.88-98

2. Хмелевская B.C., Куликова Н.В., Бондаренко В.В. Фрактальные структуры в металлических материалах после ионного облучения и лазерного воздействия // Письма в ЖТФ. 2005. Т31. В14. с. 77-82.

3. Куликова Н.В., Хмелевская B.C., Бондаренко В.В. Анализ пространственно самоорганизованных структур методами компьютерных технологий // Нелинейный мир. N9,2007 с.612-619.

4. Хмелевская B.C., Малынкин В.Г., Куликова Н.В., Бондаренко В.В., Богданов Н.Ю. Фрактальные структуры в облучённых металлических материалах // Вант, 2006, выпуск 1 (66), с. 411-417.

5. В.В. Бондаренко Компьютерное моделирование процесса самоорганизации в облучённых металлических материалах. // Прикладная нелинейная динамика. Известия Вузов. N6, 2008, с. 57-69.

6. Куликова Н.В., Хмелевская B.C., Бондаренко В.В. Анализ пространственно самоорганизованных структур методами компьютерных технологий // "Хаотические автоколебания и образования структур" ХАОС-2007. Сборник тезисов докладов VIII международной школы. - Саратов, 2007

7. Куликова Н.В., Хмелевская B.C., Бондаренко В.В. Фрактальные структуры в облучённых материалах // Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII): Сборник тезисов докладов международного семинара. - Обнинск, 2005. - с.94-96.

8. Куликова Н.В., Хмелевская B.C., Бондаренко В.В. Анализ диссипативных структур методами компьютерных технологий // Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-IX): Сборник тезисов докладов Международного семинара. - Обнинск, 2007. - с. 100-101.

2008155387

2008155587