автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка моделей и программной среды для решения коллимационной задачи анизотропного малоуглового рассеяния

005005456

Захаров Денис Дмитриевич

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОЛЛИМАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ АНИЗОТРОПНОГО МАЛОУГЛОВОГО

РАССЕЯНИЯ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 8 ДЕК 2011

Санкт-Петербург - 2011

005005456

Работа выполнена на кафедре физики в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Федоров Борис Александрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Якобовский Михаил Владимирович

доктор технических наук, профессор

Коробейников Анатолий Григорьевич

Ведущая организация: Федеральное государственное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет"

Зашита состоится 22 декабря 2011 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.212.227.06 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49, центр интернет-образования.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 22 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор — Л С Л исицьша

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Среди многочисленных физических методов исследования свойств природных и синтетических материалов важную роль играют методы, основанные на малоугловом рассеянии рентгеновских лучей, нейтронов и электронов. Основанные на классической теории дифракции, эти методы дают прямую информацию о структуре исследуемого объекта. Особое место занимает рентгеновское малоугловое диффузное рассеяния. Охватывая широкий интервал размеров исследуемых частиц (от ~ 2 нм до ~ 100 нм), этот метод дает возможность определять такие важные структурные параметры рассеивающих частиц как их общие размеры, степень вытянутости, характер распределения электронной плотности в частицах, фрактальные свойства их поверхности и многое другое. Благодаря этим свойствам метод малоуглового рентгеновского рассеяния получил широкое теоретическое и экспериментальное развитие и в настоящее время представлен во многих лабораториях мира.

Анализ и учет коллимационных искажений является одной из наиболее важных и сложных задач в методике малоуглового рентгеновского диффузного рассеяния. Суть проблемы сводится к тому, что на практике для повышения светосилы рентгеновской установки используют, как правило, щелевые коллиматоры и щелевые приемники, в то время как почти вся развитая теория рентгеновского рассеяния основывается на точечном источнике и точечном приемнике. Очевидно, что использование щелей приводит к определенному искажению экспериментальных интенсивностей рассеяния, в результате которого затруднен их анализ с точки зрения общей теории дифракции. Возникает «коллимационная» задача - численный пересчет экспериментальных данных, полученных с использованием щелей («искаженная» интенсивность рассеяния), на данные, которые были бы получены при использовании точечного источника и точечного приемника («точечная» интенсивность рассеяния).

Задача указанного коллимационного пересчета имеет существенно различную сложность в зависимости от того, является ли исследуемый объект изотропным или он проявляет анизотропные свойства. В случае изотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит только от угла рассеяния и является функцией одной переменной. Для изотропных объектов в различных лабораториях мира (в том числе, и в лаборатории кафедры физики Санкт-Петербургского национального университета информационных технологий, механики и оптики) разработана целая серия алгоритмов введения коллимационных поправок, позволяющих с высокой точностью, доходящей до нескольких процентов, осуществлять пересчет искаженной интенсивности на точечную.

В случае анизотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит не только от угла рассеяния, но и от ориентации объекта в пространстве. В

практическом отношении наиболее важным является случай рассеяния от анизотропных пленок, расположенных перпендикулярно первичному пучку. При этом интенсивность рассеянного излучения зависит от двух параметров: угла рассеяния и угла поворота пленки относительно коллимационной щели. Очевидно, задача коллимационного пересчета на точечную интенсивность в этом случае оказывается несравненно более сложной.

Разумеется, рассматриваемая задача не является актуальной для тех исследователей, которые имеют возможность использовать синхротронное излучение (в сочетании с двухкоординатным детектором) или другой мощный рентгеновский источник с высокой плотностью излучения. Однако далеко не все лаборатории, использующие метод малоуглового рентгеновского рассеяния, располагают такими возможностями.

Целью работы является разработка модели внесения коллимационных искажений в случае анизотропных рассеивающих объектов и создание программной среды, позволяющей в автоматическом режиме вносить коллимационные поправки в интенсивность рентгеновского малоуглового рассеяния. Программная среда должна содержать реализацию двух различных методов внесения коллимационных поправок и проводить сравнение эффективности их работы как для модельных систем, так и для реального эксперимента.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Представление интегрального уравнения, связывающего искаженную и точечную интенсивности рассеяния на анизотропных объектах. Задача устранения искажений сводится к численному решению данного уравнения.

2. Усовершенствование двух различных методов решения коллимационной задачи в случае анизотропных объектов.

3. Разработка и внедрение программной среды, с помощью которой вносятся коллимационные поправки обоими разработанными методами, а также проводится точная их настройка и анализ выходных данных.

Научная новизна работы:

1. Разработана новая математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах.

2. Разработаны модификация метода разложения по базисным функциям и модификация итерационного метода Фридмана для решения задачи устранения коллимационных искажений.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах при щелевой коллимации.

2. Разработанный модифицированный метод Фридмана.

3. Разработанный модифицированный метод разложения по базисным функциям.

4. Программная среда для эффективной реализации разработанных методов.

Практическая значимость и внедрение результатов:

1. Разработанная программная среда открывает возможность для проведения структурного анализа анизотропных объектов при использовании рентгеновских установок со щелевыми источником и детектором. В частности, комплекс применен для внесения коллимационных поправок в экспериментальные индикатрисы рассеяния пленок из высокоориентированного полиэтилена, полученного в лаборатории термопластичных полимеров института высокомолекулярных соединений РАН.

2. Разработанный модифицированный метод Фридмана является универсальным и может применяться для решения широкого класса некорректных задач, сводящихся к интегральным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXVIII и XXXIX научные и учебно-методические конференции СПбГУ ИТМО (2009 г., 2010 г., Санкт-Петербург); XL научная и учебно-методическая конференция НИУ ИТМО (2011 г., Санкт-Петербург); VIII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых (2011 г., Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы, в том числе 3 статьи в изданиях из перечня изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Содержит 105 страниц основного текста, 56 иллюстраций, 3 таблицы. Список литературы содержит 91 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследований, указана научная новизна работы. Представлена структура диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен обзор литературы по учету коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на изотропных объектах. Для внесения коллимационных поправок различными исследователями был предложен ряд методов, многие из которых дают удовлетворительный результат. Однако методы, успешно применяемые для решения задачи в изотропном случае, непосредственно не применимы в случае анизотропных объектов. К настоящему времени была опубликована лишь одна работа с описанием метода решения коллимационной задачи в анизотропном случае, однако удовлетворительного результата получено не было.

Вторая глава содержит формулировку математической модели коллимационных искажений при рассеянии на анизотропных объектах. На основе предложенной модели поставлена задача внесения коллимационных поправок. Для решения этой задачи разработано два метода: модифицированный метод базисных функций и модифицированный итерационный метод Фридмана.

Пусть У = /(0,<р) - искаженная (экспериментальная) интенсивность рассеяния анизотропным образцом, / = /(0, q>) - искомая (точечная) интенсивность рассеяния того же образца. Здесь 0 - угол рассеяния, ф - угол ориентации оси симметрии образца относительно коллимационной щели.

Показано, что в случае анизотропного рассеяния интенсивности Inj связаны следующим уравнением:

-ос _

де,ф)= J 7 (л/е2+х2,1 arctg (х/е)+Ф |) ^ (х) ^х, (1)

оо

где W(x) - «весовая функция», определяемая геометрическими параметрами рентгеновской установки, распределением интенсивности в первичном пучке и чувствительностью приемной щели.

Задача состоит в нахождении точечной интенсивности / из уравнения (1) по экспериментальной интенсивности J, измеренной в области значений аргументов [Э^Д^МФ^.Ф™,]- Эта задача является некорректной, поскольку одной функции J формально соответствует бесконечное множество решений / уравнения (1). Среди них необходимо найти решение, достаточно близкое к действительной точечной интенсивности.

Модифицированный метод разложения по базисным функциям (в дальнейшем - «метод базисных функций»). Пусть задано уравнение J = А(1), где А(1~) - интегральный оператор, описываемый правой частью уравнения (1).

Выберем исходные базисные функции / (/ = 1,2,..., п) такие, чтобы их линейная комбинация могла хорошо описывать 7. В поставленной задаче I является искомой функцией, и представить ее разложение по базисным функциям в явном виде нельзя. Однако можно найти для экспериментальной интенсивности J ее приближение как разложение J' по «смазанным» базисным функциям ^ = При корректном выборе исходных базисных функций / можно найти коэффициенты разложения с,, для которых величина

^ достаточно мала (здесь |||| - норма в пространстве квадратично

г II

интегрируемых функций). Найденные коэффициенты используются для

построения «восстановленной» точечной интенсивности /'(9>ф) = £]с,./;(0,ф).

i

Поскольку задача решения уравнения J = A(1) некорректна и в качестве решения может выступать целый набор функций I, то для сужения класса решений следует а) выбрать базисные функции, достаточно хорошо описывающие искомую интенсивность; б) ввести дополнительные ограничения на решение, используя его известные свойства.

В данной работе двухмерные исходные базисные функции f: были построены как прямое произведение одномерных кубических В-сплайнов.

Для получения оптимальных коэффициентов разложения по базисным функциям вводится согласно методу наименьших квадратов «оценочная» функция А и проводится ее минимизация. Дополнительные ограничения на

решение накладываются путем добавления двух слагаемых в оценочную функцию. Первое слагаемое подавляет нежелательные осцилляции в искомом решении, ограничивая выбор решения достаточно гладкими функциями. Второе - учитывает физическое ограничение, накладываемое на интенсивность: при 0 -> 0 интенсивность рассеяния /(0,<р) перестает зависеть от Ф. С учетом двух добавленных слагаемых оценочная функция принимает вид

,(2)

/Ы ^ 1=1 ) ¿=1 4ЕК

где введено обозначение

"к

М — общее число экспериментальных точек, К - множество индексов экспериментальных точек, соответствующих минимальному углу рассеяния 6, Nк - число индексов во множестве К .

Степень влияния введенных ограничений на искомое решение определяется значениями регулировочных параметров X, и Х2, то есть коэффициентами при добавленных в оценочную функцию (2) слагаемых. Основная сложность при решении интегрального уравнения (1) состоит в подборе оптимальных значений регулировочных параметров /», Д, и количества базисных функций п. В работе изложен метод выбора минимально необходимой величины п и подбора оптимальных значений регуляризаторов основанный на характерном поведении слагаемых в функции (2) в зависимости от параметров Х,Д2.

Модифицированный метод Фридмана. Второй подход к решению основного интегрального уравнения (1) использует итерационный метод Фридмана, который, однако, необходимо существенно модифицировать.

В классическом итерационном методе Фридмана выбирается начальное приближение, и каждое последующее приближение получается на основе рекуррентного соотношения

/,,1(о,ф)=/„(е,ф)+у [ле,ф)-л(в,Ф)]. (3)

где V - числовой параметр, регулирующий скорость итерационного процесса.

Согласно классическому методу, для приближения к точному решению нужно изменить значение /„ в каждой точке (0,ф) так, чтобы разность [У(0,Ф)-У„(9,Ф)] уменьшилась. Однако проблема заключается в том, что изменение значения /„ в точке (9,ф) может привести к изменению значения Jn не в точке (0,ф), а во множестве других точек. В этом случае изменение /„ в точке (Э,ф) на основе разности [У(0,ф)-7„(0,ф)] теряет смысл.

Для исправления этого недостатка необходимо учесть влияние значения 7„(0,<р) на значения Jr¡(Q',ц') в различных точках (б',ф'). С этой целью для оператора А вычисляется «функция влияния» <в(9,<р,6',<р'), которая учитывает влияние аргумента оператора А (функции /,,) в одной точке (9,ф) на значение функции Jtl в каждой точке (9',ф'). Вычисление функции влияния можно осуществить, применяя оператор А к функциям, имеющим вид узких локальных пиков. С учетом введенной функции влияния рекуррентное соотношение (3) принимает вид

| | ш(в,ф,9',ф')-(/(0',ф')-/„(е',ф')) <№<*<$ • (4)

°шш Фгтп

/„+1(е,ф)=/л(0,ф)+у

Третья глава содержит аналитическое представление точечной интенсивности рассеяния для ряда модельных систем: вытянутые однородные параллелепипеды 20x20*40 Нм, параллельные ламеллы с расстоянием между соседними ламеллами <1= 25 нм и с/=50нм и вытянутые однородные ориентированные круговые цилиндры 20x40 нм.

Для проверки эффективности рассмотренных методов для каждой из перечисленных модельных систем рассчитаны: точечная интенсивность рассеяния /(9,ф), искаженная по формуле (1) интенсивность рассеяния ./(9,ф), восстановленная на основе развитых методов точечная интенсивность /'(6,ф) и рассчитанная вновь по формуле (1) с помощью /'(6,ф) искаженная интенсивность /'(9,<р).

В качестве примера на рисунках 1 и 3 приведены точечные и искаженные интенсивности для двух модельных систем. На рисунках 2 и 4 приведены результаты восстановления точечной интенсивности обоими развитыми методами.

Рисунок 1 - Интенсивности рассеяния системой ориентированных цилиндров: а) точечная /(9,ф); б) искаженная 7(9, ф)

Рисунок 2 - Восстановленные интенсивности /'(9,ф) рассеяния системой ориентированных цилиндров: а) метод базисных функций; б) модифицированный метод Фридмана

Рисунок 3 - Интенсивности рассеяния системой ламелл: а) точечная /(0,ф); б) искаженная 7(9,ф)

Рисунок 4 - Восстановленные интенсивности /'(6,ф) рассеяния системой ламелл: а) метод базисных функций; б) модифицированный метод Фридмана

Как видно из рисунков 1—4, несмотря на сильное различие между точечной и искаженной интенсивностями, точечные интенсивности, восстановленные обоими методами, качественно очень близки к исходной. Количественная оценка точности восстановления для всех трех модельных систем приведена в главе V.

В четвертой главе представлен коллимационный пересчет экспериментальной интенсивности рентгеновского малоуглового рассеяния анизотропными пленками из высокоориентированного полиэтилена.

Описана процедура построения двухмерной поверхности интенсивности рассеяния исходя из

экспериментальных индикатрис рассеяния, полученных при различной ориентации

анизотропного образца.

Для построенной

двухмерной поверхности

(рисунок 5) были рассчитаны: а) восстановленные точечные

интенсивности рассеяния на основе метода базисных функций А'(б.ф) (рисунок 6, а) и на основе рисуН0к 5 - Экспериментальная поверхность модифицированного метода интенсивности рассеяния анизотропным

Фридмана /¿(8,ф) (рисунок 6, б); б) образцом (пленкой из

высокоориентированного полиэтилена)

восстановленные по формуле (1)

искаженные интенсивности рассеяния У,'(9,ф) и ^(б-Ф) с использованием /|'(6,<р) и /2(6,9) в качестве точечных интенсивностей рассеяния.

б

Рисунок 6 - Восстановленные точечные интенсивности рассеяния для отожженных пленок из высокоориентированного полиэтилена: а) метод базисных функций; б) модифицированный итерационный метод Фридмана

В пятой главе проведено количественное сравнение эффективности двух методов коллимационного пересчета как для интенсивностей рассеяния модельными системами, так и для экспериментальной интенсивности.

Результаты такого сравнения приведены в таблице 1 для модельных систем и в таблице 2 - для экспериментальной интенсивности рассеяния.

Модель Метод базисных функций Модифицированный метод Фридмана

1М1 р-п % У-А о/

И ' И ' И ' И ""

Ориентированные параллелепипеды 2,6 0,55 0,8 0,08

Ламеллы, ¿=25 нм 1,8 0,24 1,27 0,07

Ламеллы, с1= 50 нм 2,0 0,23 0,6 0,02

Цилиндры, ¿/=20 нм, Ь = 40 нм 2,5 4,0 3,4 3,8

Таблица 1. Анизотропные модельные системы. Относительные отклонения для исходной точечной /(0, ф) и восстановленной точечной интенсивностей рассеяния /'(9,<р) и относительные отклонения для искаженной У (9, ф) и восстановленной искаженной интенсивностей рассеяния.

Образец Метод базисных функций Модифицированный метод Фридмана Сравнение методов

Р-4 % И ' У-Ч % и 1';-';« % и '

Отожженная пленка из высокоориентированного полиэтилена 3,0 4,8 19,9

Таблица 2. Анизотропный образец. Относительные отклонения для «экспериментальной» искаженной У(9, <р) и восстановленных искаженных У,'(0,ф), (9, <р) интенсивностей рассеяния и относительное отклонение восстановленных точечных /[(0,ф), /^(0, ф) интенсивностей, рассчитанных двумя методами.

Результаты, приводимые в таблице 1, свидетельствуют о том, что для рассмотренных модельных систем относительные отклонения ^ не

превышают 3%, а относительные отклонения ¡^ составляют 0,5% и менее.

Таким образом, оба метода дают приблизительно одинаковый результат внесения коллимационных поправок.

В диссертации также проведена оценка влияния погрешности искаженной интенсивности рассеяния на точность коллимационного пересчета. На примере одной из модельных систем показано, что внесение 4% шума в искаженную интенсивность У(0,ф) приводит к дополнительной погрешности при получении точечной интенсивности рассеяния в пределах 3%.

Из сравнения рисунков 5 и 6 видно, что экспериментальная и восстановленная точечная интенсивности рассеяния сильно различаются, в то время как восстановленные точечные интенсивности, рассчитанные двумя методами, качественно хорошо совпадают. Тем не менее, количественное расхождение между ними составляет ~ 20% (см. таблицу 2). Это можно объяснить как малым количеством экспериментальных индикатрис рассеяния при различных углах ф ориентации образца, так и высокой погрешностью экспериментальных значений интенсивности.

В шестой главе описаны принципы работы и ключевые моменты разработки программной среды для эффективной реализации обоих методов.

Необходимость разработки программной среды обусловлена тем, что разработанные численные процедуры решения поставленной задачи потребовали точной настройки, что оказалось невозможным без анализа большого объема выходных данных в зависимости от входных параметров. Необходимо было предоставить пользователям возможность выполнять такой анализ без специальной подготовки в области программирования.

Имеющиеся программные средства не смогли удовлетворить поставленным требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность перехода на другую операционную систему.

При построении программной среды были введены понятия сценария вычислений, операторов, входных и выходных параметров. Пользователь может создавать собственный произвольный сценарий вычислений, ограниченный предоставленным набором операторов.

Для анализа зависимости выходных данных численных процедур от значений входных параметров введена возможность организации циклов вычислений. Параметры циклов определяются в программной среде достаточно интуитивно.

При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кешируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа разработанных методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена математическая модель коллимационных искажений интенсивности, получаемой при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах. Представлено интегральное уравнение I рода типа Вольтерра, записанное в нестандартной форме, связывающее искаженную интенсивность рассеяния I с «точечной» интенсивностью I, отнесенной к точечному источнику и точечному приемнику рентгеновских лучей.

2. В рамках построенной математической модели разработаны два существенно разных подхода для устранения коллимационных искажений. Первый из них - метод разложения точечной интенсивности по двумерным базисным функциям с регуляризаторами, обеспечивающими необходимую гладкость решения и учитывающие необходимые физические ограничения. Второй подход основан на итерационном методе Фридмана, который существенно модифицирован в соответствии с особенностями настоящей задачи: введена функция, учитывающая влияние локального значения точечной интенсивности рассеяния на значения искаженной интенсивности.

3. Была проведена оценка эффективности рассмотренных методов устранения коллимационных искажений для ряда модельных систем. Показано, что исходная точечная интенсивность рассеяния и точечная интенсивность I', «восстановленная» по схеме I->J^>Г, совпадают между собой с погрешностью не более 4% даже с учетом искусственно введенного в искаженную интенсивность шума. Оба метода дают приблизительно одинаковый результат внесения коллимационных поправок.

4. В случае экспериментальной интенсивности анизотропного рассеяния применение разработанных методов доя внесения коллимационных поправок приводит к расхождению в полученных точечных интенсивностях ~ 20%. Это можно объяснить недостатком экспериментальных данных и/или значительной погрешностью в экспериментальной интенсивности.

5. Была разработана программная среда, удовлетворяющая следующим требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность перехода на другую операционную систему. При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кэшируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа и применения разработанных методов.

Публикации по теме диссертационной работы

1. Захаров Д.Д., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Решение коллимационной задачи при малоугловом рентгеновском рассеянии на анизотропных объектах //Наносистемы: физика, химия, математика. - 2011. - Т. 2. - № 2. - С. 32-47 (согласно перечню ВАК).

2. Захаров Д.Д., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Анализ и учет коллимационных искажений при малоугловом рентгеновском рассеянии на ориентированных однородных цилиндрах. Оценка влияния экспериментальной погрешности на качество коллимационного пересчета. //Научно-технический вестник СПбГУИТМО, 2011,4(74), 77-82 (согласно перечню ВАК).

3. Захаров Д.Д. Разработка интерактивной программной среды для решения некорректных интегральных уравнений. Ее применение к обработке результатов малоуглового рентгеновского эксперимента //Изв. вузов. Приборостроение, 2011, том 54, № 9, 82-83 (согласно перечню ВАК).

4. Захаров Д. Д., Сизиков B.C., Смирнов А. В., Федоров Б. А. Решение двумерной коллимационной задачи рассеяния рентгеновских лучей с использованием нестандартных интегральных уравнений. //Научно-технический вестник СПбГУИТМО, 2006, 32,144-153.

Подписано в печать 18.11.11 Формат 60x84'/,6 Цифровая Печ.л. 1.0 Уч.-изд.л. 1.0 Т|фаж 100 Заказ 18/11_печать_

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

КОЛЛИМАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОГО МАЛОУГЛОВОГО РАССЕЯНИЯ

1.1. Коллимационная задача для изотропного рассеяния.

1.2. Итерационный метод Фридмана.

1.3. Метод базисных функций.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА II. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ УЧЁТА КОЛЛИМАЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИЙ ПРИ МАЛОУГЛОВОМ РЕНТГЕНОВСКОМ РАССЕЯНИИ НА АНИЗОТРОПНЫХ ОБЪЕКТАХ.

2.1. Математическая постановка задачи.

2.2. Метод базисных функций.

2.3. Выбор оптимальных значений регулизаторов в методе базисных функций.

2.4. Модифицированный итерационный метод Фридмана.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Модельные анизотропные системы.

3.2. Метод базисных функций.

3.3. Модифицированный метод Фридмана.

Выводы по третьей главе.

ГЛАВА IV. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗВИТЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ КОЛЛИМАЦИОННОГО ПЕРЕСЧЁТА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫМ ОБРАЗЦОМ.

4.1. Интерполяция двухмерной поверхности интенсивности рассеяния на основе экспериментальных индикатрис, измеренных для различных ориентаций анизотропного образца.

4.2. Применение разработанных методов учета коллимационных искажений для «экспериментальной» интенсивности рассеяния.

Выводы по четвертой главе.

ГЛАВА V. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗВИТЫХ МЕТОДОВ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

5.1. Модельные системы.

5.2. Оценка влияния погрешности в интенсивности рассеяния на качество коллимационного пересчёта (на примере рассеяния однородными цилиндрами).

5.3. Экспериментальная интенсивность рассеяния на отожжённой плёнке из высокоориентированного полиэтилена.

Выводы по пятой главе.

ГЛАВА VI. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ.

6.1. Необходимость разработки программной среды и требования к ней.

6.2. Сценарий вычислений.

6.3. Пользовательский интерфейс.

6.4. Разработка программы отображения трёхмерных графиков.

6.5. Ключевые моменты построения программной среды.

6.6. Особенности численной реализации процедуры интегрирования.

6.7. Использование параллельных вычислений и кэширования данных.

Выводы по шестой главе.

Среди многочисленных физических методов исследования свойств природных и синтетических материалов важную роль играют методы, основанные на малоугловом рассеянии рентгеновских лучей, нейтронов и электронов. Основанные на классической теории дифракции Фраунгофера, эти методы дают прямую информацию о структуре исследуемого объекта. Особое место занимает рентгеновское малоугловое диффузное рассеяние. Благодаря классическим работам О. Краткого, А. Гинье и Г. Порода [1 - 3], а также работам многочисленных исследователей, этот метод получил широкое теоретическое и экспериментальное развитие. Охватывая широкий интервал размеров исследуемых объектов (от ~ 1 нм до ~ 100 нм), он дает возможность определять такие важные структурные параметры рассеивающих частиц как их общие размеры, степень вытянутости, фрактальные свойства их поверхности, характер распределения электронной плотности, рассчитывать функции распределения частиц по размерам и многое другое. Благодаря этим возможностям метод малоуглового рентгеновского рассеяния в настоящее время широко используется во многих лабораториях мира.

Анализ и учет коллимационных искажений является одной из наиболее важных и сложных задач в методике малоуглового рентгеновского диффузного рассеяния. Суть проблемы сводится к тому, что на практике для повышения светосилы рентгеновской установки используют, как правило, щелевые коллиматоры и щелевые приёмники, в то время как почти вся развитая теория рентгеновского рассеяния построена для точечного источника и точечного приемника. Использование щелей приводит к искажению (подробнее в главе I) экспериментальных интенсивностей рассеяния, в результате которого затруднён их анализ с использованием развитой теории дифракции. Возникает «коллимационная» задача численного пересчёта экспериментальной («искажённой») интенсивности рассеяния, полученной с использованием щелей, на «точечную» интенсивность рассеяния, полученную при использовании точечного источника и точечного приемника. Здесь под точечным источником понимается источник, генерирующий точечный пучок рентгеновского излучения, а под точечным приёмником - двухкоординатный детектор.

Задача указанного коллимационного пересчёта имеет различную сложность в зависимости от того, является ли исследуемый объект изотропным или он проявляет анизотропные свойства. В случае изотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит только от угла рассеяния и является функцией одной переменной. Для изотропных объектов в различных лабораториях мира (в том числе и в лаборатории кафедры физики СПб НИУ ИТМО) разработана целая серия алгоритмов введения коллимационных поправок [4-7], позволяющих с высокой точностью [8, 9] осуществлять пересчёт искажённой интенсивности на точечную.

В случае анизотропного объекта его интенсивность рассеяния зависит не только от угла рассеяния, но и от ориентации объекта в пространстве. В практическом отношении наиболее важным является случай рассеяния от анизотропных плёнок, расположенных перпендикулярно первичному пучку. При этом интенсивность рассеянного излучения зависит от двух параметров: угла рассеяния и угла поворота плёнки относительно коллимационной щели. Задача коллимационного пересчёта на точечную интенсивность в этом случае оказывается несравненно более сложной. К настоящему времени этот вопрос обсуждался только в работе [10], однако алгоритма для введения коллимационных поправок, приводящего к удовлетворительному результату, описано не было.

Рассматриваемая задача не является актуальной для тех исследователей, которые имеют возможность использовать синхротронное излучение [11, 12] (в сочетании с двухкоординатным детектором [13]) или другой мощный рентгеновский источник с высокой плотностью излучения. Однако очень малое число лабораторий имеет доступ к установкам такого типа по причине их высокой стоимости. Установки со щелевыми источником и приёмником значительно дешевле, при этом с учётом применения разработанных методов они дают приблизительно такую же точность измерений.

Вся развитая ниже теория учёта коллимационных искажений, а также её приложения к описанным модельным системам была применена в настоящей работе к рентгеновскому малоугловому диффузному рассеянию от анизотропных структур. Но, вообще говоря, её можно рассматривать и шире. В случае фраунгоферова приближения эта теория применима и к рассеянию нейтронов, электронов, а также - при некоторых допущениях - и к рассеянию света в видимой и ультрафиолетовой областях. Вопрос, разумеется, полностью снимается, если установки для указанных видов излучения имеют практически точечный источник радиации и двухкоординатный приёмник рассеянного излучения (или фоторегистрацию).

Целью работы является разработка модели внесения коллимационных искажений в случае анизотропных рассеивающих объектов и создание программной среды, позволяющей в автоматическом режиме вносить коллимационные поправки в интенсивность рентгеновского малоуглового рассеяния. Программная среда должна содержать реализацию двух различных методов внесения коллимационных поправок и проводить сравнение эффективности их работы как для модельных систем, так и для реального эксперимента.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Представление интегрального уравнения, связывающего искажённую и точечную интенсивности рассеяния на анизотропных объектах. Задача устранения искажений сводится к численному решению данного уравнения.

2. Усовершенствование двух различных методов решения коллимационной задачи в случае анизотропных объектов.

3. Разработка и внедрение программной среды, с помощью которой вносятся коллимационные поправки обоими разработанными методами, а также проводится точная их настройка и анализ выходных данных.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработана новая математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах.

2. Разработаны модификация метода разложения по базисным функциям и модификация итерационного метода Фридмана для решения задачи устранения коллимационных искажений.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель коллимационных искажений при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах при щелевой коллимации.

2. Разработанный модифицированный метод Фридмана.

3. Разработанный модифицированный метод разложения по базисным функциям.

4. Программная среда для эффективной реализации разработанных методов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXVIII и XXXIX научные и учебно-методические конференции СПбГУ ИТМО (2009 г., 2010 г., Санкт-Петербург); XL научная и учебно-методическая конференция НИУ ИТМО (2011 г., Санкт-Петербург); VIII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых (2011 г., Санкт-Петербург).

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [10, 14 - 16], в том числе 3 статьи в изданиях из перечня изданий ВАК РФ [14-16]. Структура работы имеет следующий вид:

Первая глава содержит аналитический обзор методов внесения коллимационных поправок при рентгеновском малоугловом рассеянии. Кратко описывается постановка задачи, приводятся описания классического метода Фридмана и метода базисных функций.

Вторая глава содержит математическую постановку задачи внесения коллимационных поправок при рассеянии на анизотропных объектах. Описываются модификации метода Фридмана и метода базисных функций.

Третья глава содержит описание результатов внесения коллимационных поправок с помощью модифицированных методов в интенсивности рассеяния от анизотропных модельных объектов. Такими объектами выбраны: вытянутые однородные параллелепипеды, ламеллы и однородные цилиндры.

В четвертой главе представлен осуществлённый обоими методами коллимационный пересчёт экспериментальной интенсивности рентгеновского малоуглового рассеяния анизотропными плёнками из высокоориентированного полиэтилена.

В пятой главе проведено сравнение результативности двух методов коллимационного пересчёта как для интенсивностей рассеяния модельными системами, так и для экспериментальной интенсивности.

В шестой главе описаны принципы работы и ключевые моменты разработки программной среды для эффективной реализации обоих методов.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований.

Выводы по шестой главе

1. В ходе выполнения настоящей работы были получены численные процедуры решения поставленной задачи, однако точная настройка методов оказалась невозможной без анализа большого объёма выходных данных в зависимости от входных параметров. Возникла необходимость в разработке программной среды, которая позволяла бы пользователям выполнять такой анализ без специальной подготовки в области программирования.

2. Имеющиеся программные средства не смогли удовлетворить поставленным требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность лёгкого перехода на другую операционную систему.

3. При построении программной среды были введены понятия сценария вычислений, операторов, входных и выходных параметров.

Пользователь может создавать собственный произвольный сценарий вычислений, ограниченный предоставленным набором операторов.

4. Для анализа зависимости выходных данных численных процедур от значений входных параметров введена возможность организации циклов вычислений. Параметры циклов определяются в программной среде достаточно интуитивно.

5. При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кэшируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа разработанных методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе впервые поставлена и решена задача учета коллимационных искажений при малоугловом рентгеновском рассеянии на анизотропных объектах; показана эффективность предложенного решения как для модельных систем, так и в случае реального эксперимента; построена программная среда для реализации предложенных алгоритмов.

1. Сформулирована математическая задача по внесению коллимационных поправок в интенсивность, полученную при рентгеновском малоугловом рассеянии на анизотропных объектах. Представлено интегральное уравнение I рода типа Вольтерра, записанное в нестандартной форме, связывающее коллимационно искажённую интенсивность рассеяния 3 с «точечной» интенсивностью I, отнесенной к точечному источнику и точечному приемнику рентгеновских лучей.

2. Для решения указанной задачи разработаны два различных подхода. Первый из них - метод разложения искомого решения по двумерным базисным функциям с регуляризаторами, обеспечивающими необходимую гладкость решения и учитывающие необходимые физические ограничения. Второй подход основан на итерационном методе Фридмана, который существенно модифицирован в соответствии с особенностями настоящей задачи: введена функция, учитывающая влияние локального значения точечной интенсивности рассеяния на значения искажённой интенсивности.

3. Была проведена оценка эффективности рассмотренных методов учета коллимационных искажений для ряда модельных систем. Показано, что исходная точечная интенсивность рассеяния и точечная интенсивность Г, «восстановленная» по схеме /—>/—>/', совпадают с погрешностью не более 4% даже с учетом искусственно введенного в искажённую интенсивность шума. Оба метода дают приблизительно одинаковый результат внесения коллимационных поправок.

4. В случае экспериментальной интенсивности анизотропного рассеяния применение разработанных методов для внесения коллимационных поправок приводит к расхождению в полученных точечных интенсивностях ~ 20%. Это можно объяснить недостатком экспериментальных данных и/или значительной погрешностью в экспериментальной интенсивности.

5. Была разработана программная среда, удовлетворяющая следующим требованиям: простота изменения сценария вычислений, интерактивность в процессе выполнения, свобода расширения набора методов, быстродействие и возможность лёгкого перехода на другую операционную систему. При написании программной среды была учтена важность быстродействия многих операторов, и наиболее затратные из них по времени были ускорены с помощью параллельных вычислений. Это позволило проводить многие численные эксперименты за приемлемое время. Некоторые промежуточные данные кэшируются, что существенно ускоряет общий процесс анализа и применения разработанных методов.

1. Kratky О. 1.strumentation, Experimental Technique, Slit Collimation, in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, 53 - 84.

2. Guinier A., Fournet G. Small-angle Scattering of X-rays : New-York: Wiley, 1955, 268 p.

3. Porod G. General Theory in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, 17-52

4. Glatter O., Kratky O. Small Angle X-ray Scattering: Academic Press, 1982

5. Свергун Д. И., Фейгин Л. А. Рентгеновское и малоугловое рассеяние .- М: Наука-1986, 280 с.

6. Федоров Б.А. Учет коллимационных искажений при малоугловом рассеянии рентгеновых лучей. Поправка на высоту щелей. Кристаллография, 1968, т. 13, №5, 763-769.

7. Schelten J., Hossfeld F. Application of spline functions to the correction of resolution errors in small angle scattering. J. Appl. Cryst. 1971, 4(3), 210-223.

8. Сизиков B.C., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Решение одномерной коллимационной задачи оценки рентгеновского изотропного рассеяния излучения методом итераций. Изв. вузов. Приборостроение, 2005, том 48, № 10, 44-52.

9. Смирнов А. В., Сизиков В. С., Федоров Б. А. Решение обратной коллимационной задачи для рентгеновского малоуглового изотропного рассеяния с помощью сплайновых функций. Изв. вузов. Приборостроение, 2006, том 49, № 1,41-47.

10. Anastasiadis S. H. Following the Synthesis of Metal Nanoparticles within pH99

11. Responsive Microgel Particles by SAXS // Macromolecules, 2010, 43, 98289836.

12. Allen A.J., Hackley V.A., Jemian P.R., Ilavsky J., Raitano J.M. Chan S.W.In situ ultra-small-angle X-ray scattering study of the solution-mediated formation and growth of nanocrystalline ceria. //J. Appl. Cryst., 2008, 41, 918-929.

13. Schleptitz C.M., Mariager S.O., Pauli S.A., Feidenhans R., Willmott P.R. Angle calculations for a (2+3)-type diffractometer: focus on area detectors // J. Appl. Cryst. (2011). 44, 73-83.

14. Захаров Д.Д., Смирнов A.B., Федоров Б.А. Решение коллимационной задачи при малоугловом рентгеновском рассеянии на анизотропных объектах //Наносистемы: физика, химия, математика. 2011. - Т. 2. - № 2. - С. 32-47

15. Захаров Д.Д. Разработка интерактивной программной среды для решения некорректных интегральных уравнений. Ее применение к обработке результатов малоуглового рентгеновского эксперимента //Изв. вузов. Приборостроение, 2011, том 54, № 9, 82-83

16. Тихонов А. Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Наука, М, 1979, 284 с.

17. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Наук, думка, Киев, 1986, 548 с.

18. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001.

19. Kratky, О., Porod, G. and Kahovec, L. (1951). Einige Neuerungen in der Technik und Auswertung von Rontgen-Kleinwinkelmessungen //Z. Elektrochem. 55, p. 53-59.

20. Heine, S.; Kratky, O.; Roppert, Lichtstreuung und röntgenkleinwinkelstreuung von statistisch verknäuelten fadenmolekülen, berechnet nach der „Monte Carlo methode"// Die Makromolekulare Chemie, 1962, 56, №1, 150-168.

21. Schmidt, P. W. Collimation corrections in small angle X-ray scattering //Acta Cryst. 1965, 19, 938-942.

22. Taylor. T.R. and Schmidt, P.W. A computer program for slit-length collimation corrections for small angle X-ray scattering data obtained with the kratky camera //J. Appl. Cryst., 1967, 2, p. 143-144.

23. Damaschun, G., Müller, J.J. and Pürschel, H.V. Über die Meo-Strategie bei der Untersuchung der Röntgenkleinwinkelstreuung von verdünnten monodispersen Lösungen von Makromolekülen, 1. Mitt // Mh. Chem.,1968, 99, 2343-2348.

24. Damaschun, G., Müller, JJ. and Pürschel, H.V. Entschmierung von fehlerbehafteten Röntgen-Kleinwinkel-Streukurven //Acta Cryst. A27 (1971), IIIS

25. Lake J.A. An iterative method of slit-correcting small angle X-ray data //Acta Cryst. 1967, 23, p. 191-194.

26. Schmidt, P.W. Comparison of two methods for calculating slit-length collimation corrections in small angle X-ray scattering //J. Appl. Cryst., 1970, 3, 137-145.

27. Walter, G., Kranold, R. and Becherer, G. Zu Problemen der Ver- und Entschmierung von Röntgen-Kleinwinkel-Streu- kurven //Stud. Biophys., 1974, 47, 49-62.

28. Hossfeld, F. The correction of resolution errors in small-angle scattering using Hermite functions //Acta Cryst. A24 (1968), 643-650.

29. Greville T. N. E. Introduction to spline functions. In Theory and Applications of Spline Functions. Academic Press, New York, 1969, 1-35.

30. Vonk C.G. A procedure for desmearing X-ray small-angle scattering curves /'/ J. Appl. Cryst. 1971, 4(3), p. 340-342.

31. Glatter, O. A new iterative method for collimation correction in small-angle scattering//J. Appl. Cryst., 1974, 7, 147-153.

32. Glatter О. Data Treatment //in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, p. 119-166

33. Glatter O. Data Evaluation in Small Angle Scattering: Calculation Electron Density Distribution by Means of Indirect Fourier Transformation. Acta Physica Austriaca. 1977, 47, 83-102.

34. Glatter O. Interpretation //in Small-angle X-ray scattering, London: Academic Press, 1983, p. 167-196

35. Deutsch M., Luban M. Exact solution of the slit-height correction problem in small-angle X-ray scattering. I. The general method and its accuracy in application to simulated data //J. Appl. Cryst. 1978, p. 87-97

36. Deutsch M., Luban M. Exact solution of the slit-height correction problem in small-angle X-ray scattering. II. A method for arbitrary slit transmission functions //J. Appl. Cryst. 1978, p. 98-101

37. Федоров Б.А., Андреева H.A., Волкова Л.А., Воронин JI.A. Кристаллография. 1968. №13 (770-775)

38. Schmidt P.W., Fedorov В.А. Use of the slit function for slit-length correction in small-angle X-ray scattering //J. Appl. Cryst. 1978, 11, p. 411-416

39. Полянин А. Д., Манжиров А. В., Справочник по интегральным уравнениям, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 608с.

40. Сизиков В. С., Смирнов А. В., Федоров Б. А. Численное решение сингулярного интегрального уравнения Абеля обобщенным методом квадратур // Изв. вузов. Математика. 2004. № 8 (507). С. 62—70.

41. Фридман В. М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. — Успехи мат. наук, 1956, 11, № 1, с. 233234.

42. Bonse U., Hart М. In "Small-Angle X-Ray Scattering" (H. Brumberger, ed.), Gordon & Breach, New York, p. 121.

43. Bonse U., Hart M. An X-Ray Interferometer, 1965, 6, 155-156.

44. Deutsch.M. The asymmetrically cut Bonse-Hart X-ray diffractometer. I. Design principles and performance. //J. Appl. Cryst., 1980, 13, 252-255.

45. Schnabel E., Hosemann R., Röde B. New small-angle X-Ray camera with two glass blocks. //J. Appl. Phys, 1972, 43, 3237-3239.

46. Damaschun G., Kley G., Miller J.J, 1968, Acta Physica Austriaca, 28, 223.

47. Kratky O. Ein von parasitärer Streuung und rechnerisch zu eliminierenden Kollimationseffekten freies Blendensystem für Röntgen-Kleinwinkelaufnahmen. Mh. Chem., 1969, 100, p. 376-378, p. 1788-1796 (2 Mitt).

48. Kratky O., Stabinger H., Wrentschur E., Zipper R., Acta Physica Austriaca, 1976, 44, 173.

49. Kratky O. Z. Elektrochem, 1954, 58, 49; 1958, 62, 66.

50. Kratky O., Skala Z., Z. Elektrochem, 1958, 62, 73.

51. Henke J., Schulze G.E.R., 1958, Exp. Techn. Phys. 5, 180.

52. Orthaber D., Bergmann A., Glatter O.SAXS experiments on absolute scale with Kratky systems using water as a secondary standard //J. Appl. Cryst., 2000, 33, 218-225.

53. Kratky O., Laggner P. X-ray Small-Angle Scattering // Encyclopedia of Physical Science and Technology, 1987, 14, 693-742.

54. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989, 199 с.

55. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наук, 1980, 286 с.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987, 608 с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, стр. 458. М.: Наука, 1968, 832 с.

58. Hansen S. Bayesian estimation of hyperparameters for indirect Fourier transformation in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2000, 33, 1415-1421.

59. Hansen S. Estimation of chord length distributions from small-angle scattering using indirect Fourier transformation // J. Appl. Cryst., 2003, 36, 1190-1196.

60. Hansen S. Simultaneous estimation of the form factor and structure factor for globular particles in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2008, 41, 436-445.

61. Vestergaard В., Hansen S. Application of Bayesian analysis to indirect Fourier transformation in small-angle scattering // J. Appl. Cryst., 2006, 39, 797-804.

62. Svergun D.I. Determination of the regularization parameter in indirect-transform methods using perceptual criteria // J. Appl. Cryst., 1992, 25, 495-503

63. Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. СПб: Политехника, 2003.

64. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-Posed, Ill-Posed, and Intermediate Problems with Applications. Leiden-Boston: Brill Acad. Publishers, VSP et al., 2005.

65. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972, 379 с.

66. Бахвалов Н.С., Житков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, стр. 203206. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004, 636 с.

67. Rosen J. В. Minimum error bounds for multidimensional spline approximation. //J. Comput. Sys. Sci., 1971, 5, 430-452.

68. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физику и технике. М.: Сов. Радио, 1979, 272 с.

69. Glatter, О. Data Evaluation in Small Angle Scattering: Calculation of the Radial Electron Density Distribution by Means of Indirect Fourier Transformation // Acta Physica Austriaca, 1977, 47, p. 83-102.

70. Glatter О., Michael H. Interpretation of Elastic Light Scattering Data. III. Determination of Size Distributions of Polydisperse Systems // Journal of Colloid and Interface Science, 1988, 122(2), 496-505.

71. Мельничук А.П., Прищепёнок О.Б., Смирнов A.B., Фёдоров Б.А. Прецизионная юстировка камеры Краткого и программа первичной обработки данных рентгеновского малоуглового рассеяния // Изв. Вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 7. С. 48-54.

72. Вайнштейн Б. К. Дифракция рентгеновских лучей на цепных молекулах. Издательство АН СССР, М., 1963, 372с.

73. Ельяшевич Г.К., Козлов А.Г., Монева И.Т. Исследование процессов ориентации при формировании пористых структур из полиэтилена// Высокомолекулярные соединения, сер. Б, 1998, том 40, № 3, 483-486.

74. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 с. ISBN 5-03-003392-0.

75. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с. ISBN 5-02-0139963.

76. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. — 13-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 432 с.

77. MATLAB The Language of Technical Computing (http://www.mathworks.com/products/matlab/index.html)83 .Mathcad (http://www.ptc.com/products/mathcad/)

78. Scilab Free Open Source Software for Numerical Computation (http://www.scilab.org/)

79. Maple (http://www.maplesoft.com/)

80. Гамма Э., Хелм Р., Джонсон Р., Влиссидес Д. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. Изд. "Питер", 2006, 368 с.

81. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Изд. Тбилисского университета, 1983, 264 с.

82. Левин М. Параллельное программирование с использованием ОрепМР. -М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008, 120 с.

83. Богачёв К. Основы параллельного программирования. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010, 342 с.

84. Гергель В. Теория и практика параллельных вычислений. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2007, 424 с.