автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.07, диссертация на тему:Математическая модель сигналов в оптико-электронных системах при дистанционном зондировании земной поверхности из космоса

На правах рукописи

Мелачед Ольга Петровна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИГНАЛОВ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ДИСТАНЦИОННОМ ЗОНДИРОВАНИИ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ИЗ КОСМОСА

Специальность 05 11 07 - Оптические и оптико-электронные приборы

и комплексы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2007

003058948

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре свеютехники

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Будак Владимир Павлович

Официальные оппоненты

доктор технических наук Лубенченко Александр Владимирович

кандидат технических наук Селиванов Владимир Арнольдович

Ведущая организация: НИИ радиоэлектроники и лазерной техники МГТУ

им Н Э Баумана

Защита состоится <'25» мая 2007 г в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212 157 12 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу 111250, Москва, ут Красноказарменная, д 13

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения1, просим присылать по адресу 111250, Москва, ул Красноказарменная д 14, Ученый совет МЭИ

Автореферат разослан Я^уЬЛ-ЛЛ2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета.

Д212 157 12, к т н , доценг

Буре И Г

Общая характеристика работы 4ктуальность работы

Большое количество национальных программ разных стран, направченных на получение к обработку информации о состоянии земной поверхности нагчяд-но свидетельствует об актуальности исследований, связанных с интерпретацией данных дистанционного зондирования (ДЗ)

Мониторинг земной поверхности осуществляется с помощью оптико-электронных систем (ОЭС) ДЗ, поэтом}' основной задачей, стоящей перед исследователями, является построение математических моделей, не только корректно описывающих взримодействие излучения с мутной средой, но и учитывающих особенности обработки этой информации самой ОЭС ДЗ

Таким образом, основной задачей, возникающей при обработке данных ДЗ является решение уравнения переноса излучения (УПИ) для соответствующей геометрии и свойств среды На сегодняшний день задачу, соответствующую переносу излучения в плоском слое мутной среды (одномерный случай) следует признать полностью решеньой Однако на практике этот случай реализуется достаточно редко и для практических целей важно рассматривать перенос излучения в средах с произвольными параметрами (трехмерная геометрия среды)

Основной проблемой, возникающей при обработке данных ДЗ в трехмерных средах, является наличие сингулярности в решении УПИ для пространственно ограниченных источников, которое приводит к невозможности решения УПИ стандартными численными методами

Разработка эффективного метода для решение задач подобного рода позволит, не только более корректно интерпретировать данные ДЗ, но и определить пределы применимости существующих методов решения УПИ и их допущений Цепь и основные задачи работы

Целью работы является разработка математической модели сигналов в оптико-электронных системах ДЗ для сред с произвольной трехмерной геометрией

Для достижения поставленной дети в работе были решены следующие задачи

1 выделение особенностен пространственно ограниченных источников на базе малоут ловой модификации метода сферических гармоник,

2 определение наиболее эффективного численного метода определения регулярной части решения УПИ,

3 учет произвольного закона отражения на границе и реальной индикатрисы рассеяния в краевой задаче УПИ,

4 разработка общего подхода к решению УПИ для произвольной трехмерной геометрии среды,

5 разработка на базе полученного метода решения УПИ математической модели сигналов и решение на ее основе практических задач атмосферной коррекции

Основные положения, выносимые на защиту и научная новизна

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты

1 разработан метод устранения сингулярности в решении УПИ для точечного изотропного источника, основанный на вычитании мшюуповой модификации метода сферических гармоник (МСГ),

2 разработан мегод определения регулярной части решения УПИ для трехмерных сред с произвольными параметрами, основанный на использовании метода дискретных ординат в сочетании с методом итераций и конечных элементов,

3 учтен на основе использования метода дискретных ординат произвольный вид грани-шых условий краевой задачи УПИ,

4 сформулирован общий подход к решению УПИ в средах с сильно анизотропным рассеянием и ЗМ геометрией, основанный на выделении на основе МСГ анизотропной части решения, учитывающей все особенности точного решения, и регулярной части, определяемой численно методом конечных элементов,

5 проведен расчет оптической передаточной функции (ОПФ) счоя мутной среды с учетом сканирования изображения по углу визирования и дисперсии путей рассеянных лучей

Практическая значимость диссертационной работы

1 разработанная модель коэффициента яркости атмосферы может использоваться в программном обеспечении оптико-элекгронных систем для атмосферной коррекции изображения крупных объектов,

2 полученное выражение для оптической передаточной функции с учетом дисперсии путей рассеянных фотонов может быть испочьзовано в программном обеспечении оптико-электронных систем для атмосферной коррекции изображения малых объектов,

3 предложенный метод решения обратной задачи, позволяющий восстанавливать параметры облачности, может быть использован в оптико-электронных системах экологического и климатического мониторинга,

4 предложенные методы расчета позволяют проводить метрологическую аттестацию существующих программ обработки данных ДЗ,

5 сформулированный алгоритм может быть использован для интерпретации данных измерений в оптико-электронных системах ДЗ

Достоверность результатов диссертационной работы

Подтверждается матемагической строгостью всех преобразований, сравнением результатов расчета по предлагаемым алгоритмам с аналитическими выражениями для однократного рассеяния и малоугловой модификации метода сферических i армоник, сравнением результатов с точными частными решениями и экспериментальными данными Апробация работы

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 работ 5 статей и 8 публикаций тезисов докладов

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и симпозиумах XI Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика», 1 - 2 марта 2005, Москва, Россия, VIII Международная научно-техническая конференция «Оптические методы исследования потоков», июнь 2005, XII Международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана», Россия, Томск, июнь 2005, III Международная конфе-

ренция «Современные проблемы оптики натуральных вод (ONW-2005)», Санкт-Петербург, сентябрь 2005, SPIE Europe International Symposium "Remote Sensing", Bruges, Belgium, September 2005, XIII Международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана Физика атмосферы», июля 2006, Томск, Россия, Международный симпозиум стран СНГ «Атмосферная радиация» (МСАР-2006), июня 2006, Санкт-Петербург, Россия, Четвертая Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-4), 23-27 октября 2006 года, Москва, Россия, XVI научно-техническая конференция «Фотометрия и ее метрологическое обеспечение», 1013 апреля 2007, Москва, Россия Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы

Работа изложена на 110 страницах и содержит 32 рисунка и 4 таблицы Список литературы включает в себя 127 наименований на 14 страницах

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследований, дана краткая характеристика работы

В первой главе рассмотрены существующие спутниковые системы исследования Земли из Космоса в различных странах, описан подход лучевого приближения (ГВ Розенберг) на основе которого проводится обработка данных ДЗ, сформулирована краевая задача УПИ (A Schuster, К Schwarzschieid, ОД Хвочъ-сон) и приведен общий алгоритм обработки сигнала, получаемого с помощью ОЭС, состоящий из трех основных этапов

- геометрической коррекции (приведение изображения к конкретной координатной системе),

- яркостной коррекции (устранение дымки, повышение контрастности изображения),

- атмосферной коррекции (устранение искажений изображения, обусловленных ослаблением излучения в атмосфере)

Делается вывод о принципиальном трехмерии задач переноса излучения и необходимости учитывать реальные граничные условия при решении краевой задачи

Проводится анализ существующих методов решения УПИ

• метода сферических гармоник (A S Eddmgton, JH Jeans, L Gratton, В Davison),

• метода дискретных ординат (G С Wick, S Chandrasekhar, ТА Гермогено-еа),

• метода Монте-Карло (J Neumann, S Ulam, ГА Михайлов, Г И Марчук),

• метода характеристик {ТА Сугикевич),

• малоуглового приближения метода сферических гармоник (G Wentzel, W Bothe S Gaudsmil, JL Saunderson, А С Кочпанегц, G Moliere, HS Snyder-, WT Scott)

На основе этих методов были построены эффективные схемы решения УПИ для одномерного случая (ИМ Левин, Л С Долин, ЭП Зеге, ИЛ Кацев, В В Зуев, MB Кабанов, В В Белов и др) и сводимых к нему, поэтому на сегодняшний день эту задачу следует признать полностью решенной

Учитывая наличие особенностей в решении для фундаментальных источников (ТА Герчагенова), делается вывод о целесообразности построения нового метода решения на базе малоугловой модификации метода сферических гармоник (МСГ), предложенного в работах В П Будака, так как МСГ содержит все особенности точного решения и имеет относительно простой аналитический вид, го есть решение УПИ может быть представлено в виде суммы малоугловой составляющей и оставшейся функции

= ¿ + 0) где ЬМСГ - решение У ГШ в малоугловой модификации метода сферических гармоник, описывающееся аналитическим выражением в виде ряда по сферическим гармоникам

Таким образом, после вычитания МСГ из решения УПИ для пространственно ограниченного источника, пол\чаем гладкую функцию, решение для которой может быть найдено стандартным численным методом

Во второй главе проводится анализ численных методов для определения регулярной части решения УПИ на примере плоского мононаправленного (ПМ) источника

- метод сферических гармоник (СГ) с граничными условиями в форме Маршака

(R Е Marshak),

- метод СГ с граничными условиями в форме Марка (С Mark),

- метод дискретных ординат (МДО) с вычитанием прямой составляющей (метод

Чандрасекара, 5 Chandra^ekhat).

- метод, основанный на МДО с вычитанием МСГ, содержащей все особенности

точного решения Краевая задача УПИ для ПМ-источника имеет вид

\ ши)+i(T>i)=A^(i(i')jC(T;i<)di',

■j dz 4тс1 (2)

Дх,!)! =S(l-i0UW)| =0,

I -0 |J>0 1т=т0 Й<0

где L(z,l) s 1(т,ц,ф) — яркость светового поля на оптической глубине т в направлении визирования 1, 1 = coscp.^/l-ii' sinф,, n = (z,l), i0 —направление свечения ПМ-источника, ц0 = (z,l0), Л — альбедо однократного рассеяния, .y(U') —индикатриса рассеяния, т0 — тошцинаслоя Ось 0Z направлена перпендикулярно границе слоя вниз Здесь и далее символом «л» обозначены единичные вектора

Краевая задача (2) с учетом представления (1) принимает вид

! JL(z П ~ - \ г -» -| И—^г12 f ¿(Т. 1) - ~—qx(\, V)L(z,l')dl' + F(z, 1), J az An д

¡¿(т,1)| . =0.Z(x i)| =

[ l*=u uiO lr=t[ ^<0

где функция исючкиков (невгзка решения УПИ в МСГ) имеет вид

а т 4тт -1

В методе СГ угловые зависимости всех функций, входящих в УПИ, представляются в виде разложения по полиномам Лежандра

*(У')=Ё(2*+1)х,р,а Ь. (5)

Ь О

¿(^^¿¿^сд^аое^, (6)

/=о и-о 4тс

что приводит к бесконечной системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений Поскольку 1(г,1) - гладкая функция, то число членов ряда ее разложения конечно, что позволяет придать этой системе уравнений матричную форму

А"уС"(т) + бс-(т) = (А"7ц0 -1)6$" ад + (7)

ах

Здесь и далее двойной стрелкой над символом обозначается матрица, одинарной правой - вектор-столбец, одинарной тевой - вектор-строка

Проводится сравнение граничных условий в форме Маршака

[1 б]РС(0) = б, [I -б]РС(т0) = -У(т0), (8)

и в форме Марка

[о б,]С(0) = 0, [б 62]С(т0) = -Гмсг(т0), (9)

где^,} {б2} 1мсг(т0) = {1мсг(т,ц,)Ц0},

(д, - корни полинома Рл+1(ц,)=0

Результаты расчетов яркости отраженного слоем мутной среды излучения на основе определения регулярной части решения методом СГ представлены на рис 1 Для сравнения на рисунке представлены результаты расчетов классическим методом СГ с использованием идеи Чандрасекара о выделении прямого нерассеянного излучения Из рисунка наглядно видно ускорение сходимости предлагаемого метода выделения анизотропной части на базе МСГ Использование граничных условий в форме Марка ускоряет сходимость метода СГ (см рис 1) и позволяет учитывать произвольные граничные условия

Физический смысл граничных условий в форме Марка - равенство потоков для заданных направлений в пространстве Развитием такого подхода является метод дискретных ординат, з котором не только граничные условия, но и УПИ формулируется для выделенных направлений в пространстве

0 02

150

6 - угол Еизирочания, град Рис 1 Распределение яркости отраженного излучения Искомая функция Пг,\) раскладывается в ряд по азимутальным гармони-

кам

Цт,1)= У ст(т.ц)е'

гаер

(10)

использ>ем представчение индикатрисы (5) и заменяем интеграл гауссовой квадратурой

1 л-

-1 м

где С"(т)Е=Ст(т,ц7), V/] - весовые коэффициенты гауссовой квадратуры, ¡^ -

корни полинома Р^/ГД)

Эти преобразования позволяют перейти к матричной форме краевой задачи

УПИ

М—С"' {%) = -Ст (т) + Ш § Ст (т) + Тт (т), (12)

с!т

где М^^,) Р>" = | £ НИ^«(т)д»(Ц1)}, 1*^. 471 ]

- [и» Л' 1 г ч -

8= 1 ■у I ^+ !)**<№.)<№,) • Ст = \СТ\, V = о.щоо

I к=т }

Проведенные расчеты показывают, что наилучшей сходимостью обладает МДО (см рис 1) Использование МДО позволяет учесть произвольный закон отражения на границе

Для оценки точности предлагаемого метода, было проведено сравнение результатов расчета с аналитическим решением Амбарцумяна-Соболева для изотропной полубесконечной среды (рис 2) и Чандрасекара

Рис 2 Распределение яркости излучения в изотропной полубесконечной среде

Проведенное сравнение с точным решением, обосновывает достоверность предлагаемого метода и доказывает лучшую сходимость МДО по сравнению с методом СГ, поэтому для дальнейшего развития метода решения за основу берется метод дискретных ординат

Так как представление (1) делает функцию, остающуюся после вычитания МСГ, гладкой, медленно меняющейся в пространстве своих аргументов то дальнейшее обобщение метода на случай произвольной трехмерной среды целесообразно проводить с использованием метода конечных элементов (МКЭ)

В соответствии с таким подходом пространство разбивается сеткой из ячеек тетраэдров или шестигранников, в каждой вершине, которой хранятся дискретные ординаты по зенитному углу коэффициентов разложения углового распределения в азимутальный ряд Значения между узлами заданной сетки вычисляются по одной из схем аппроксимации Такой метод решения УГШ позволяет перейти к решению задач теории переноса в средах с произвольной трехмерной геометрией Наилучшим способ решения полученной в результате такого представления системы уравнения является метод итераций

Расчеты показывают, что метод обладает быстрой сходимостью и количество итераций, необходимое для определения яркости прошедшего излучения не превышает 2 - 4 (см рис 3)

0018:

5 0 01 -§- 0 008 • -1 ОООб-

ОО! 1 о 0012

0016

Л = 08,£ = 09

*0 = SO,80 = lOn,

0 004 -О 002 -

nl-----S----.-1---!

0 30 60 90 120 150 18С

0 - угон визирования, град

Рис 3 Втияние количества итераций на точность решения

Анализ, проведенный для хорошо изученного случая ПМ-источника в плоском слое мутной среды, показал, что предложенный метод решения УПИ, основанный на выделении анизотропной части на базе МСГ позволяет существенно ускорить сходимость решения УПИ Это дает возможность развития предложенною алгоритма для решения трехмерных задач теории переноса, так как численное решение проводится только для гладкой функции, не содержащей особенностей, которые учитываются аналитически в МСГ

Третья глава посвящена решению практических задач атмосферной коррекции изображения, полученного со спутника Для проверки точности сформулированного подхода рассмотрено сравнение с данными измерения спутника EP-TOMS (Earth Probe - Total Ozone Mapping Spectrometer)

В соответствии со сформулированным в первой главе общим алгоритмом обработки сигнала ДЗ рассматриваются основные этапы коррекции построение математической модели коэффициента яркости атмосферы и расчет оптической передаточной функции ОЭС ДЗ

Модель коэффициента яркости (КЯ) строится на основе общепринятой че-

Рис 4 Модечь атмосферы

Учитывая априорную информацию о характеристиках атмосферы и подложки в рабочем диапазоне спутника ("оптической толще атмосферы, параметрах индикатрисы Хеньи-Гринстейна, коэффициенте отражения подложки), определяются предельные значения КЯ, который может быть описан в рамках данной моде чи

Индикатриса Хеньи-Гринстейна описывалась в рамках трехпараметриче-ской модели (G W Kattawar)

х(у) = а-r-bli- +(1_а)------(13)

0 + g. _2g, cos у) (\ + gi -2g2cosy)

На основании проведенного расчета делается вывод о том, что предложенный метод позволяет описывать КЯ до 0,3 - 0,35, что хорошо согласуется с принятой моделью кучевой облачности (облако WC1 по классификации Дейрменд-жана)

Для оценки точности предлагаемой модели проведено исследование влияние вариации параметров индикатрисы на распределение КЯ

По результатам исследования делается вывод, что предлагаемый метод расчета распределения яркости может быть использован и для решения обратной задачи - определения параметров облачности по результатам измерения КЯ Решение обратной задачи проводится в три этапа

1) построение математической модели сигнала ДЗ,

2) определение последовательных приближений посредством решения прямой за-

дачи в приближении независимого пикселя,

3) построение функции отклонения измеренного КЯ от расчетного и ее миними-

зация методом наименьших квадратов Приводятся результаты решения обратной задачи ДЗ - определения оптической толщи обтачного слоя по данным измерения спутника ЕР-TOMS Поскольку метод решения обратной задачи основан на предлагаемом методе с выделением аналитического выражения для анизотропной составляющей решения, что ускоряет сходимость решения, то время счета по предложенному алгоритму существенно сокращается, что позволяет использовать данный подход к обработке данных ДЗ в режиме реального времени

Для определения ОПФ ОЭС формулируется краевая задача УПИ дтя точечного изотропного (1 И) источника, решение ь оторой есть функция рассеяния точки (ФРТ)

Вследствие наличия особенностей в решении УПИ для ТИ-источника, применение классических численных методов является некорректным, поэтому решение УПИ для ТИ-источника проводится предлагаемым методом, основанным на устранении особенностей на базе МСГ

Для оценки точности предлагаемого подхода, проводится сравнение с аналитическими выражениями для однократного рассеяния (рис 5)

На рисунках 5 сплошной линией нанесены результаты расчетов по предложенному алгоритму, а пунктирной - в приближении однократного рассеяния, для параметров среды §=0 8, Л=0 8, т=0 1 По представленным результатам сделан вывод, что при увеличении количества гармоник решение сходится

Проведенное сравнение с яркостью световою поля в малоугловом приближении показало, что решение ддя излучения рассеянного вперед сходится быстрее, поэтому можно использовать намного меньше (окото 300) гармоник в разложении

Так как в предлагаемом методе учитывается дисперсия путей рассеянных фотонов, то он может быть использован не только для интерпретации данных ДЗ ОЭС, но и для оценки пределов применимости квазиоднократного и малоуглового приближения

Для определения ОПФ системы «ОЭС-мутная среда» формулируется краевая задача УПИ для ТИ-источника, расположенного на нижней границе плоского слоя, так как именно этот случай описывает реальные условия получения изображения ОЭС при ДЗ подстилающей поверхности:

рЁк = (14)

дг г £?{д 471-

(15)

=0,

где ц = (г,!) ? - единичный вектор в направлении радиус-вектора точки среды, 1 - единичный вектор в направлении распространения излучения, г - коэффициент ослабления излучения средой, Л - альбедо однократного рассеяния

Представление решения УПИ в МСГ в виде разложения по крагностям рассеяния позволяет сделать вывод о том, что МСГ содержит все особенности точного решения (см таблицу 1)

Решение для ТИ-источника представляется, аналогично рассмотренному во второй главе, в виде суммы малоугловой составляющей и гладкой функции Для регулярной части решение проводится методом конечных элементов в сочетании с методом итераций Так как рассматриваемая задача обладает цилиндрической симметрией, то сетка выбирается в виде коаксиальных цилиндров Для определения значений в промежуточных точках используется аппроксимация кубическими сплайнами

0- уго^ визирования, град 0- угол визирования, град

Рис 5 Сравнение яркости светового поля, рассчитанной по предлагаемому методу, с яркостью, рассчитанной в приближении однократного рассеяния

Таблица 1 Особенности решения для ТИ-источника

Кратность рассеяния Особенность

0 80-¡о) 12

1 Гу/1 - (.1

2 1п(г(1-ц) + 1пг

На основании расчета делается вывод о зависимости ФРТ от точки наблюдения (см рис б), вследствие нарушения сферической симметрии Проведенные исследования показали, что при наклонном наблюдении ФРТ теряет свою круглую симметрию, ОПФ становится комплексной функцией, т е в системе возникают фазовые искажения, поэтому в этом случае введение ОПФ всей системы невозможно, можно говорить лишь об ОПФ в области инвариантности вблизи направления визирования

Рис 6 Угловое распределение ФРТ в зависимости от направления визирования |1=соз9, 8 — угол визирования, т - оптическая толщина слоя, р - расстояние до точки визирования по верхней границе

Заключение

Проведеньые в рамгах диссертационной работы исследования позволяют сделать следующие выводы

1 для интерпретации данных дистанционного зондирования требуется создание математической модели прохождения сигнала в системе «мутная среда - оптико-электронная система»,

2 выделение анизотропной части на основе малоугловой модификации метода сферических гармоник позволяет учесть все особенности точного решения уравнения переноса излучения для пространственно ограниченных источников.

3 так как малоугловая составляющая содержит все особенности точного решения, решение уравнения переноса можно представить в виде анизотропной и регулярной части,

4 для определения регулярной части наилучшим, с точки зрения скорости сходимости и учета произвольных граничных условий, является метод решения основанный на использовании метода дискретных ординат,

5 предложенная модель коэффициента яркости на основе общепринятой модели земной атмосферы позволяет восстанавливать по данным измерения оптическую толщу облачного слоя,

6 вычисление функции рассеяния точки сводится к решению уравнения переноса излучения для точечного изотропного источника Функция рассеяния точки при наблюдении через оптико-электронную систему сквозь слой мутной среды зависит от координаты, что приводит к невозможности введения оптической передаточной функции системы в целом ОПФ, вводимая в зоне апланатичности, будет вносить фазовые искажения

Список публикаций но теме диссертации

1 Меламед О П, Будак В II Световое поле точечного изотропного излучателя в мутной среде с сильно анизотропным рассеянием // XI Межд научн -техн конф студентов и аспирантов «Радиоэлектроника электротехника и энергетика» Тез докл, Т 1 - М МЭИ, 2005 - С 196-197

2 Будак В П , Коркин С В , Меламед О П Эффективный метод расчета светового почя в трехмерных средах с анизотропным рассеянием // Proc SPIE, 2005 V 5979 -Р 125-130 (на англ яз )

3 Будак В П, Меламед О П Определение функции рассеяния точки в слое мутной среды с учетом дисперсии траекторий рассеянных фотонов // П1 Межд коьф ^Современные проблемы оптики натуральных вод» - Спб, 2005 - С 75-79 (на англ яз)

4 Будак В П , Меламед О П Расчег функции Грина для уравнения переноса излучения в средах с анизотропным рассеянием // XII Межд симп «Оптика атмосферы и океана Атмосферная оптика» - Томск, 2005 - С 94-95 (на англ яз )

5 Будак ВП, Коркин СВ, Меламед ОП Вчияние многократного рассеяния света на точность определения параметров среды при ее оптическом дистанционном зондировании // Тр VIII Межд НТК «Оптические методы исследования потоков» - M МЭИ, 2005 - С 204-207

6 Будак В П , Меламед О П Расчет функции рассеяния точки для мутных сред с анизотропным рассеянием//Ргос SPIE 2006 V6160 Р 291-296 (на англ яз )

7 Будак В П , Меламед О П О математической модели трехмерных задач теории переноса излучения в мутных средах // Ргос SPIE 2006 V 6522 Р 652214-1652214-8 (на англ яз )

8 Будак В П , Меламед О П Модифицированный метод сферических гармоник для определения функции рассеяния точки слоя мутной среды // Оптика океана к атмосферы, 2006 1 19, №12 - С 1047-1052

9 Будак В П, Меламед О П Определение функции рассеяния точки слоя мутной среды с произвольным распредепением оптических параметров // Вестник МЭИ, 2006 №6 С 152-156

10 Будак ВП, Меламед ОП Математическая модель переноса излучения в мутных средах с трехмерным распределением параметров // XIII Межд симп «Оптика атмосферы и океана Атмосферная физика» - Томск, 2006 - С 108-109 (на англ яз )

11 Будак В 11, Меламед О П ОПФ слоя мутной среды с произвольным распределением оптических параметров / Сб тез Межд симп стран СНГ «Атмосферная радиация» (МСАР-2006) - СПб . СПбГУ, 2006 С 14-15

12 Будак В П, Меламед О П, Соколов К С О решении краевых задач теории переноса излучения в средах с произвольной геометрией и анизотропным рассеянием /'/ Труды 4 Российской конф по теплообмену Т 7 Радиационный и сложный теплообмен Теплопроводность, теплоизоляция - M Издательский дом МЭИ 2006 - С 37-40

13 Будак В П , Меламед О П Восстановление параметров мутной среды по результатам измерения коэффициента яркости // XVI научно-техническая конференция «Фотомефия и ее метрологическое обеспечение» Тез докл - Москва, 2007-С 21

Подписано в печать Й>04< Ш Тир. ц.л.

Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

Введение.

Глава 1. Оптическое дистанционное зондирование подстилающей поверхности

1.1. Спутниковые системы исследования Земли из Космоса.

1.2. Методы обработки данных со спутников

1.3. Трехмерные задачи теории переноса излучения

Глава 2. Разработка метода решения уравнения переноса излучения для сред с анизотропным рассеянием.

2.1 Сравнение решений уравнения переноса излучения для ПМ-источника методом сферических гармоник с различным типом граничных условий

2.2. Решение уравнения переноса излучения для ПМ-источника методом дискретных ординат

2.3. Решение уравнения переноса излучения для ПМ-источника методом конечных элементов

Глава 3. Атмосферная коррекция данных дистанционного зондирования со спутника.

3.1 Математическая модель коэффициента яркости земной атмосферы.

3.2. Восстановление оптической толщины облачности по данным спутниковых измерений

3.3. Определение оптической передаточной функции слоя мутной среды с учётом дисперсии путей рассеянных фотонов

3.4. Решение уравнения переноса излучения для ТИ-источника в слое мутной среды методом конечных элементов

Мониторинг поверхности Земли представляет собой важную задачу, позволяющую решать различные экологические, экономические и другие задачи. Подтверждением тому служит большое количество программ в России и за рубежом, направленных на развитие исследований в области дистанционного зондирования (ДЗ).

Исследование земной поверхности проводятся в основном оптическими методами с использованием оптико-электронных систем (ОЭС). Общий алгоритм обработки данных ДЗ одинаков и включает в себя решение двух основных задач: устранение влияния атмосферы (дымки, рассеяния и поглощения) и учёт собственных свойств ОЭС.

Для интерпретации данных ДЗ требуется построение математических моделей прохождения излучения в системе «ОЭС - мутная среда». На сегодняшний день одномерная задача переноса излучения в мутных средах решена полностью, однако реальные среды редко соответствуют такому представлению, поэтому представляет практический интерес решение для трёхмерной среды.

Основной трудностью в решении уравнения переноса излучения (УПИ) для пространственно ограниченных источников является наличие сингулярности в решении.

Для устранения сингулярности в [10] предлагается вычитание прямой составляющей, однако это не решает всех проблем, так как сингулярность содержится не только в нулевой, но и в первой и второй кратностях рассеяния [22]. Кроме того, в условиях сильной анизотропии рассеяния, излучение, рассеянное на малые углы, неотличимо от прямой составляющей.

Для устранения сингулярности в данной работе предлагается вычитать не прямую составляющую, а решение УПИ в малоугловой модификации метода сферических гармоник (МСГ) [63]. Преимущество этого подхода заключается в том, что решение в МСГ имеет простой аналитический вид и содержит все особенности точного решения, поэтому функция, остающаяся после вычитания является гладкой, следовательно, решение УПИ можно выполнять любым численным методом. Цель и основные задачи работы

Целью работы является разработка математической модели сигналов в оптико-электронных системах ДЗ для сред с произвольной трехмерной геометрией.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. выделение особенностей пространственно ограниченных источников на базе МСГ;

2. определение наиболее эффективного численного метода определения регулярной части решения УПИ;

3. учет произвольного закона отражения на границе и реальной индикатрисы рассеяния в краевой задаче УПИ;

4. разработка общего подхода к решению УПИ для произвольной трехмерной геометрии среды;

5. разработка на базе полученного метода решения УПИ математической модели сигналов и решение на ее основе практических задач атмосферной коррекции.

Основные положения, выносимые на защиту, и научная новизна

В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. разработан метод устранения сингулярности в решении УПИ для точечного изотропного источника, основанный на вычитании малоугловой модификации метода сферических гармоник;

2. разработан метод определения регулярной части решения УПИ для трёхмерных сред с произвольными параметрами, основанный на использовании метода дискретных ординат в сочетании с методом итераций и конечных элементов;

3. учтен произвольный вид граничных условий краевой задачи УПИ;

4. сформулирован общий алгоритм решения УПИ в средах с сильно анизотропным рассеянием и трехмерной геометрией;

5. проведен расчёт оптической передаточной функции (ОПФ) слоя мутной среды с учётом сканирования изображения по углу визирования.

Практическая значимость диссертационной работы

1. разработанная модель коэффициента яркости атмосферы может использоваться в программном обеспечении оптико-электронных систем для атмосферной коррекции изображения крупных объектов;

2. полученное выражение для оптической передаточной функции с учётом дисперсии путей рассеянных фотонов может быть использовано в программном обеспечении оптико-электронных систем для атмосферной коррекции изображения малых объектов;

3. предложенный метод решения обратной задачи, позволяющий восстанавливать параметры облачности, может быть использован в оптико-электронных системах экологического и климатического мониторинга;

4. предложенные методы расчёта позволяют проводить метрологическую аттестацию существующих программ обработки данных ДЗ;

5. сформулированный алгоритм может быть использован для интерпретации данных измерений в оптико-электронных системах ДЗ.

Достоверность результатов диссертационной работы

1. математическая строгость всех аналитических преобразований;

2. проведено сравнение результатов расчёта обратного рассеяния с аналитическим выражением для однократного рассеяния;

3. проведено сравнение результатов расчёта в переднюю полусферу с аналитическим выражением малоугловой модификации метода сферических гармоник;

4. проведено сравнение с экспериментальными данными ДЗ, полученными со спутника Earth Probe-TOMS, значения оптической толщи восстановленные по данным измерения спутника при помощи предлагаемого алгоритма соответствуют данным натурных наблюдений.

Структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы.

Заключение

Проведенные в рамках диссертационной работы исследования позволяют сделать следующие выводы:

1.для интерпретации данных дистанционного зондирования требуется создание математической модели прохождения сигнала в системе «мутная среда - оптико-электронная система»;

2.выделение анизотропной части на основе малоугловой модификации метода сферических гармоник позволяет учесть все особенности точного решения уравнения переноса излучения для пространственно ограниченных источников;

3.так как малоугловая составляющая содержит все особенности точного решения, решение уравнения переноса можно представить в виде анизотропной и регулярной части;

4 . для определения регулярной части наилучшим, с точки зрения скорости сходимости и учёта произвольных граничных условий, является метод решения основанный на использовании метода дискретных ординат;

5. предложенная модель коэффициента яркости на основе общепринятой модели земной атмосферы позволяет восстанавливать по данным измерения оптическую толщу облачного слоя;

6.вычисление функции рассеяния точки сводится к решению уравнения переноса излучения для точечного изотропного источника. Функция рассеяния точки при наблюдении через оптико-электронную систему сквозь слой мутной среды зависит от координаты, что приводит к невозможности введения оптической передаточной функции системы в целом. ОПФ, вводимая в зоне апланатичности, будет вносить фазовые искажения.

1. Кондратьев К.Я., Смоктий О.И., Козодёров В.В. Влияние атмосферы на исследование природных ресурсов из космоса. М.: Машиностроение, 1985. - 272С.3. www. geoprofi.ru4. www. iimes.ru5. www. afn.by6. www. nasa.gov

2. Розенберг Г.В. Луч света. К теории светового поля //УФН, 1977. Т.121, N1. С.97-138.

3. Розенберг Г.В. Физические основы спектроскопии све-торассеивающих веществ //УФН, 1967. Т.91, N4.1. С.569-608.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука1974. - 223С.

5. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М. : ИЛ, 1953. - 431С.

6. Р. Межерис Лазерное дистанционное зондирование: Пер. с англ. М.: МИР, 1987. - 551С.

7. John A. Richards Remote Sensing Digital Image Analysis. Springer-Verlag, 1995. - 340C.

8. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения. М.: Наука, 1983. - 216с.

9. Мишин И.В. Линейная система переноса излучения в атмосфере . / В кн.: Методы дистанционных измерений состояния атмосферы и подстилающей поверхности со спутника. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - С.68-73.

10. Мишин И.В. Оценка нелинейных искажений оптического изображения земной поверхности в горизонтальнооднородной атмосфере. //Исследования Земли из космоса, 1982. N6. С.80-85.

11. Шмелев А.Б. Рассеяние волн статистически неровными поверхностями // УФН, 1972. Т.106, N3. С.305-314.

12. Титов Г.А., Касьянов Е.И., Коган E.JI. Перенос солнечного излучения в трехмерных слоисто-кучевых облаках: влияние вертикальной неоднородности // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т.12, №3. С. 198 206.

13. Косарев A.JI., Мазин И.П., Невзоров JI.H., Шугаев В.Ф. Оптическая плотность облаков. М. : Гидрометеоиздат, 1976. 168 с.

14. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. -М.: Наука, 1981. 512С.

15. Кейз К. Цвайфель П. Линейная теория переноса. М. : Мир, 1972, 300 с.

16. Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса. Минск: БГУ, 1997. 216 с.

17. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса М.: Наука, 1986. - 272С.

18. Гермогенова Т.А., Коновалов Н.В. Асимптотические характеристики решения уравнения переноса в задаче о неоднородном слое // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 4. С. 928.

19. Гермогенова Т.А. Численные методы решения краевых задач для уравнения переноса // Теор. и прикл. проблемы рассеяния света / Под ред. Б.И. Степанова и А.П. Иванова. Минск: Наука и техника, 1971. С.29-42.

20. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в сильно рассеивающихся средах. Минск: Наука и техника, 1985. 240 с.

21. Зеге Э.П. Световое поле в глубине рассеивающей и поглощающей среды // Изв. АН СССР. ФАО, 1971. Т.7. №2 С.121-132.

22. Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартные методы расчета. / Под ред. Ж. Ленобль. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. - 264 С.

23. Мишин И.В., Орлов В.М. Об оптических передаточных функциях атмосферы // Изв. АН СССР. ФАО, 1979. Т.15, №3. С.266-274.

24. Мишин И.В., Сушкевич Т.А. Оптическая пространственно-частотная характеристика атмосферы и ее приложения // Исслед. Земли из Космоса, 1980. №4. С. 6980.

25. Малкевич М.С. Оптические исследования атмосферы со спутников. М.: Наука, 1973. - ЗОЗС.

26. Малкевич М.С., Мишин И.В. К решению задачи радиационной коррекции космического изображения // Исслед. Земли из Космоса, 1983. №3. С.105-112.

27. Золотухин В.Г., Мишин И.В., Усиков Д.А., Фоменкова М.Н., Грушнин В.А. Методы построения оптического передаточного оператора атмосферы // Исслед. Земли из Космоса, 1984. №4. С.14-22.

28. Петров Э.Е., Усачев J1.H. Пространственное и угловое распределение нейтронов от точечного изотропного источника с учетом анизотропии рассеяния // Теория и методы расчета ядерных реакторов. М. : Госатомиздат, 1962. С.58-71

29. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.: Наука, 1969. 472 с.

30. Зуев В.Е., Креков Г.М., Крекова М.М. Дистанционное зондирование атмосферы. Новосибирск: Наука, 1978. 46 с.

31. Eddington A.S. On the radiative equilibrium of the stars // Mon. Not. Royal Astron. Soc., 1916, V.LXXVII, No.1. P.16-35.

32. Jeans J.H. The equations of radiative transfer of energy //Mon. Not. R. Astr. Soc., 1917. V.78. P.28-36.

33. Gratton L. Problemi di equilibrio radiativo e loro soluzione mediante I polinomi di Legendre // Memorie della Societa Astronomia Italiana, 1939, 10. 309.

34. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Атомиздат, 1961. - 520С.

35. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М. : Госатомиздат, 1961.- 667С.

36. Кондратьев К.Я. Перенос излучения в атмосфере. М. : Гидрометеоиздат, 1972. 402с.

37. Мулдашев Т.З., Султангазин У.М. Метод сферических гармоник для решения задач переноса излучения в плоскопараллельной атмосфере //ЖВМиМФ, 1986. Т.26, N6. С.882-893.

38. Султангазин У.М. Метод сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата: Наука, 1979. - 268С.

39. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН, 1961, Т.16, Вып.З (99), С.171-174.

40. Canosa Jose, Penafiel H.R. A direct solutionof the radiative transfer equation: application to Rayleigh and Mie atmosphere // JQSRT, 1973. V.13. PP.21-39.

41. Dave J.V. A direct solution of the spherical harmonics approximation to the radiative transfer equation for arbitrary solar elevation. Part I: Theory // J. Atm. Sci., 1975. V.32. PP.790-798.

42. Shettle E.P., Green A.E.S. Multiple scattering calculation of the middle ultraviolet reaching the ground // Applied optics, 1974. V.13, N.7. PP.15671581.

43. Karp Alan H., Greenstadt J., Fillmore J.A. Radiative transfer through an arbitrarily thick, scattering atmosphere // JQSRT, 1980, V.24, PP.391-406.

44. Karp Alan H., Petrack Scott On the spherical harmonics and discrete ordinate methods for azimuth-dependent intensity calculations // JQSRT, 1983, V.30, PP.351-356.

45. Benassi M., Garcia R.D.M., Karp A.H., Siewert C.E. A high-order spherical harmonics solution to the standard problem in radiative transfer // Astrophys. J., 1984, V.250(1), PP.853-864.

46. T.Z. Muldashev, A.I. Lyapustin, Method of spherical harmonics in the radiative transfer problem with non-Lambertian surface //JQSRT, 1999. V.61, N4, P. 545-555.

47. Marshak R.E. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for sphere // Phys.Rev., 1947, V.71, No7. P.443 -446.

48. Mark С. The neutron density near a plane surface // Phys.Rev., 1947, V.72, No7. P.558 -564.

49. Federighi F.D. Vacuum boundary conditions for the spherical harmonics method // Nukleonik, 1964, B.6, H.6. S.277-285.

50. Wick G.C. Ueber ebene Diffussionsprobleme // Zeit. f. Phys., 1943. Bd.121. H.11-12. S.702-718.

51. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике / Под общ.ред. Марчука Г.И. Новосибирск: Наука, 1976. -284С.

52. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования М.: Наука, 1976. - 320 С.

53. Голубицкий Б.М, Танташев М.В. Об ограничении дисперсии «локальных» оценок при решении задач переноса излучения методом Монте-Карло //ЖВМ и МФ, 1972. Т.12, N1. С.249-252.

54. Сушкевич Т.А, Стрелков С.А., Иолтуховский А.А. Метод характеристик в задачах атмосферной оптики М. : Наука, 1990. - 296С.

55. Кузнецов Е.С. Теория негоризонтальной видимости // Изв. АН СССР. Серия географическая и геофизическая, 1943. №5. С. 247-336.

56. Сушкевич Т.А. Об учете сильной анизотропии рассеяния в задачах с мононаправленным источником // Препринт ИПМ АН СССР. 1979. № 132. 30 с.

57. Wentzel G. Zur theorie der Streuung von p-Strahlen //Ann.d. Phys., 1922. B.69, H.5. S.335-368.

58. Будак В.П., Козельский А.В. О точности и границах применимости малоуглового приближения // Оптика атм. и океана, 2005. Т.18. №1. С.38- 44.

59. Bothe W. Das allgemeine Fehlergesetz, die Schvankungen der Feldstarke in einem Dielektricum und die Zerstreuung der p- Strahlen //Zeit.f.Physik, 1921. B.5, H.l. -S.63-69.

60. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 335 с.

61. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука. 1972. 336 с.

62. Bothe W. Die Streuabsorption der Elektronenstrahlen //Zeit.f. Physik, 1929. B.54, H.3. -S.161-178.

63. Williams E.J. Concerning the scattering of fast electrons and cosmic-ray particles //Proc.Roy.Soc., 1939. V.169. -P.531-580.

64. Goudsmit S., Saunderson J.L. Multiple Scattering of Electrons //Phys.Rev., 1940. Part I. V.57. -P.24-29; -Part II. V.58. -P.36-42.

65. Компанеец А.С. Многократное рассеяние быстрых электронов и а- частиц в тяжелых элементах //ЖЭТФ, 1945. Т.15, N6. С.235 - 243.

66. Компанеец А.С. Многократное рассеяние тонких пучков быстрых электронов //ЖЭТФ, 1947. Т.17, N12. -С.1059-1062.

67. Moliere G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I.Einzelstreuung am abgeschirmetien Cou-lumb-Feld //Zeit.f. Natur., 1947. B.2a, H. 3. -S.133-145; II. Mehrfach und Vielfachstreuung //1948. В.За, H.2. -S.78-97.

68. Snyder H.S., Scott W.T. Multiple scatteringof fast charged particles //Phys.Rev., 1949. V.76, N2. -P.220-225.

69. Lewis H.W. Multiple Scattering in an Infinite Medium //Phys. Rev., 1950. V.78, N5. -P.526-529.

70. Wang M.C., Guth E. On the Theory of Multiple Scattering, Particulary of Charged Particles //Phys.Rev., 1951. V.84, N6. P.1092-1111.

71. Будак В.П., Федосов В.П. О связи малоугловых форм приближенного решения уравнения переноса // В кн.: Круговорот вещества и энерг. в водоемах Иркутск: ЛИ СО АН СССР, 1985. - С.78-79.

72. Bethe Н.А. Molieres theory of multiple scattering //Phys. Rev., 1953. V.89, N6. -P.1256-1266.

73. Романова Л.М. Решение уравнения переноса излучения в случае индикатрисы рассеяния, сильно отличающейся от сферической// ЖОС, 1962. Т.13.- Часть I: N3. -С.429-435; Часть II: N6. -С.819-825.

74. Романова Л.М. Малоугловое приближение решения уравнения переноса излучения и его уточнение //Изв. АН СССР, сер. геофизич., 1962. N 8.- С.1108-1112.

75. Долин Л.С. О рассеянии светового пучка в слое мутной среды //Изв.ВУЗов. Радиофизика, 1963. Т.7, N2. -С.380-382.

76. Bremmer Н. Random volume scattering //Rad.Sci., 1964. V.68, N9.- P.967-981.

77. Браво-Животовский Д.М, Долин Л.С, Лучинин А.Г., Савельев В.А. О структуре узкого пучка света в морской воде //Изв.АН СССР. ФАО., 1969. Т.5, N2.- С.160-167.

78. Arnush D. Underwater light-beam propagationin the small-angle- scattering approximation //JOSA, 1972. V.62, N9. -P.1109-1111.

79. Авербах Б.JI., Орлов В.М. К вопросу о распространении узконаправленного светового излучения в сильно рассеивающих средах //Тр.ЦАО, 1975. N109.- С.77-83.

80. Долин Л.С. Характеристики ограниченного пучка света в поглощающей среде с узкой индикатрисой рассеяния //Изв. АН СССР. ФАО, 1983. Т.19, N4.- С.400-405.

81. Долин Л.С. Решение уравнения переноса излучения в малоугловом приближении для стратифицированной мутной среды с учетом разброса фотонов по пробегам //Изв. АН СССР. ФАО, 1980. Т.16, N1. -С.55-64.

82. Долин Л.С. Автомодельное приближение в теории многократного сильно анизотропного рассеяния света //ДАН СССР, 1981. Т.260, N6. -С.1344-1347.

83. Ремизович B.C., Рогозкин Д.В., Рязанов М.И. Распространение светового сигнала в веществе с крупномасштабными случайными неоднородностями с учетом флуктуации путей фотонов при многократном рассеянии //Изв. АН СССР. ФАО, 1982. Т.18, N6. -С.623-631.

84. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. М.: ГИТТЛ, 1951. с. 288.

85. Будак В.П., Савенков В.И. О новом решении уравнения переноса излучения в рамках малоуглового приближения //Тр.Моск. энерг. ин-т, 1982. N591. С.141-144.

86. Будак В.П., Мельников Г.А, Савенков В.И. Использование метода сферических гармоник для расчета световых полей в мутных средах с анизотропным рассеянием //Межвед. тем. сб. МЭИ, 1983. N12. С.9-16.

87. Будак В.П., Мельников Г.А., Савенков В.И., Федосов В.П. Малоугловая модификация метода сферических гармоник / В кн.: Оптика моря и атм. Л.:ГОИ, 1984. С.119-120.

88. Будак В.П. Малоугловая модификация метода сферических гармоник для расчета светового поля бесконечно широкого пучка в мутных средах //Сб.научн.труд. МЭИ, 1986. N106. С.20-25.

89. Будак В.П., Сармин С.Э. Решение уравнения переноса излучения методом сферических гармоник в малоугловой модификации //Оптика атмосферы, 1990. Т.З, N9.1. С.981-987.

90. Будак В.П., Векленко Б.Б. Световое поле точечного мононаправленного источника в малоугловом приближении // Вестник МЭИ, 2002. N2. С.50-56.

91. Астахов И.Е., Будак В.П., Лисицин Д.В., Селиванов В.А. Решение векторного уравнения переноса в малоугловой модификации метода сферических гармоник //Оптика атмосферы и океана, 1994. Т.7, N6. С.753-761.

92. Будак В.П., Лисицин Д.В., Селиванов В.А., Церетели Г.Г. Расчет поляризационных характеристик излучения, отраженного плоским слоем мутной среды //Оптика атмосферы и океана, 1996. Т.9, N5. С.584-591

93. Будак В.П., Векленко Б.Б. Поляризация светового поля точечного мононаправленного источника света в мутной среде с анизотропным рассеянием //Оптика атмосферы и океана, 2002. Т.15, N10. С. 873-877.

94. Boudak V.P., Veklenko В.A. Light-field polarization of the point monodirected source in small angle approximation // Proc. SPIE, 2002, V.4900. P. 83-88.

95. ЮО.Будак В.П., Козельский А.В., Савицкий Е.Н. Улучшение сходимости метода сферических гармоник при сильно анизотропном рассеянии // Оптика атмосферы и океана, 2004. Т.17, №1. С.36-41.

96. Marshak A., Davis А.В. 3D radiative transfer in cloudy atmospheres Physics of Earths and Space Environment, 2005, p. 687.

97. Evans K.F. The spherical harmonics discrete ordinate method for three-dimensional atmospheric radiative transfer

98. Cahalan R.F. Overview of fractal clouds, 1989

99. Cahalan R.F., Ridgway W., Wiscomb W.J., Golmer S. and Harshvadhan Independent pixel and Monte Carlo estimates of stratocumulus albedo, 1994

100. Marshak A., Davis A., Cahalan R.F. and Wiscomb W.J. Nonlocal IPA: direct and inverse problems

101. Ермаков C.M., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

102. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 516С.

103. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М. : Мир, 1981. 216 с.

104. Тимофеев Ю.М., Васильев А.В. Теоретические основы атмосферной оптики. М.: Наука, 2003. 474 с.

105. К. Bramstedt, J. Gleason Comparison of totalozone from the satellite instruments GOME and TOMS with measurements from the Dobson network 1996 -2000

106. Richard D. McPeters, P.K. Bhartia Earth Probe Total Ozone Mapping Spectrometer (TOMS) Data Products User's Guide, 1998112. http://toms.gsfс.nasa.gov/

107. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гостехиздат, 1956. - 391С.

108. Kattawar G.W. A three parameters analytic phase function for multiple scattering calculations //JQSRT, 1975. V. 15, N9. P.839-849.

109. Иб.Вудак В.П., Коркин С.В., Меламед О.П. Эффективный метод расчета светового поля в трехмерных средах с анизотропным рассеянием // Proc. SPIE, 2005. V.597 9. Р.125-130. (на англ. яз.)

110. Будак В.П., Меламед О.П. Определение функции рассеяния точки в слое мутной среды с учетом дисперсии траекторий рассеянных фотонов // III Межд. конф. «Современные проблемы оптики натуральных вод». Спб, 2005. С. 75-79. (на англ. яз.)

111. Будак В.П., Меламед О.П. Расчет функции Грина для уравнения переноса излучения в средах с анизотропнымрассеянием // XII Межд. симп. «Оптика атмосферы и океана. Атмосферная оптика». Томск, 2005. - С. 94-95. (на англ. яз.)

112. Будак В.П., Меламед О.П. Расчет функции рассеяния точки для мутных сред с анизотропным рассеянием // Proc. SPIE. 2006. V.6160. Р.291-296. (на англ. яз.)

113. Будак В.П., Меламед О.П. О математической модели трехмерных задач теории переноса излучения в мутных средах // Proc. SPIE. 2006. V.6522. Р.652214-1-652214-8. (на англ. яз.)

114. Будак В.П., Меламед О.П. Модифицированный метод сферических гармоник для определения функции рассеяния точки слоя мутной среды // Оптика океана и атмосферы, 2006. Т.19, №12. С. 1047-1052.

115. Будак В.П., Меламед О.П. Определение функции рассеяния точки слоя мутной среды с произвольным распределением оптических параметров // Вестник МЭИ, 2006. №6. С. 152-156.

116. Будак В.П., Меламед О.П. Математическая модель переноса излучения в мутных средах с трехмерным распределением параметров // XIII Межд. симп. «Оптика атмосферы и океана. Атмосферная физика». Томск, 2006. - Р. 108-109. (на англ. яз.)

117. Будак В.П., Меламед О.П. ОПФ слоя мутной среды с произвольным распределением оптических параметров / Сб. тез. Межд. симп. стран СНГ «Атмосферная радиация» (МСАР-2006). СПб.: СПбГУ, 2006. С. 1415.

118. Будак В.П., Меламед О.П. Восстановление параметров мутной среды по результатам измерения коэффициента яркости // XVI научно-техническая конференция «Фотометрия и ее метрологическое обеспечение»: Тез. докл.- Москва, 2007.- с. 21.