автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка минимизационных методов расчета установившихся режимов электроэнергетических систем

РГ6 од

11 (Жт 1ВВЗР0ССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ'тшс

' " " СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ СИШРСКИЙ ЭНЕРШИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ пм.ак. Я.А.МЕШТЬЕВА

На правах рукописи

ТАРАСОВ ВЛАДИШР ИННОКЕНТЬЕВИЧ

УДК 621.311:681.3-518.3

РАЗРАБОТКА ГШШМЙЗАВДОННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА УСТАШМЕЕШГ' РЕВИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность СБ. 13.16 - Применение вычислительной т •—•«•* плазматического модели роЕй. ческкх методов в наушш. (еивртотиж)

Диооертация

па соискшше ученой с топе ал дохтора УС0ШПЧ9СЕИГ наук

Иркутск 1953

Рабога ввдолнеиа в Иркутском ордене Трудового Красного Знамени полагехнвчэскол инсгигуте

Официальные оппонента: докгор технических наук, профессор

Бартолшей Пегр Иванович,

докгор технических наук, профессор Гамм Александр Зельманович,

докгор технических наук, профессор Тягшквн Александр Ивавовэч

Ведущая организадйл: Центральное диспетчерское управление Едино: 3 В ЙрГ С С 57 С V омц России (ИДУ ЕЗС России).

Задам сос¥оатся р&гУН'№ 1993 г. в $ - лсое

-- • ..»—т— '

-* "не зэпадании спвцваиззвровапного совета Д.002.30.01 при Скбирс-поу спорго7ичосг.о:: институте СО РАН од.ок. Л.А.Мол^итьегэ (СЭИ) во едраоу: 664033, г.Нркуюк, ул.Лермонтова, 130, СЭИ, к. 355.

С дассзргацяоЁ коешо озеэккшться в библиотеке СЭЙ.

/ п

Автореферат разослан /сонтлбря 1593 т.

5'чопцй секрагарь бнещгаяиопровзаЕОго совога, х;.г.с. Л.Н.ЦрЕвачпзв

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современный этап развития электроэнергетики характеризуется увеличением единичных мощностей турбо- и гад-генераторов, укрупнением электрических станций, пониканием напряжения и протяженности линий электропередачи» укрупнением электроэнергетических систем (ЭЭС) и энергетических объединений (ОЭЭС), что вызывает необходимость ранения все более сложных' задач исследования, проектирования и управления такими системами.

В основе большинства задач, решаемых как в автоматизированных системах диспетчерского управления (АСДУ), так и ггри проектировании ЭЭС лежит задача расчета установившихся режимов (УР) ЭЭС, эффективность решения которой во многих случаях опроздляег возмоч-ность и эффективность решения других задач анализа режимов в рейках АСДГ и систем автоматизации проектирования (САПР) ЗЗС. Указап-иив системы предъявляют довольно жосткзе требования к методам аго-лиза режимов ЭЭС. Применительно к методам расчета УГ ЭЭС эти трэ~ бования заключаются в обеспечения высоко:*! надежности и скорост-; согодшостя итерационных процессов, минимальной трудсзлгсости рвадл-зашя как одного шага, так л всего процосса, яспользои<знии тш-мальпого объема оперативной памяти ЭШ при максимально возможно:* рапморз решаемых задач я простоте программной реализации, т.о. гп-тоды, применяема в АСДУ п САПР ЭЭС, доллна обладать высокой действенностью и низкой вычислительной сложностью.

Требование высокой действенности метода или алгоритма при расчете УР ЭЭС приобретает в настоящее время ретаклее зквчепрз яр>з реализации функций роальнох'о времени АСДУ, а системах автоеттпч-зс» г.ого противоаварийного управления (САПУ), при решении задач исследования живучести современных сложных ЭЗС, разработке и настройка систем противоаварийного управления ЗЭС, разработке эффективных систем тренажа и обучения оперативного персонала т.д. Пригзасшав самой высокопроизводительной ЭЕИ оказывается беояолазкш |ц~л расходимости итерационного процесса метода. Поэтому 'вопрос оЛглдчо-ния гарантированной сходимости методов расчета УР при решай; • еа-дач развития и функционирования ЗЗС на основе автоматизирок:„чнх п, том более, автоматических систем управления стзноелтся оо.*5«н-но актуальныгл.

Актуальным является я вопрос разработки методов и алгорвт? расчета УР с низкой вычислительной едшноотья. Решение пробж :а

снижения вычислительной сложности магодов и алгоритмов будет способствовать не только расширении функциональных возможностей сис-sebi АСДУ.САПУ и САПР ЭЗС и повышению их эффективности, но и значительному удешевлению этих систем, и особенно на многочисленных шззаисх уровнях управления за счет использования шесто универсальных ЭВМ более дешевых мини- и микро-ЭВМ.

Еопросы сходимости решения уравнений установившихся рржшов (УУР) ЭЭС тесным образом связаны с вопросами существования и неоднозначности, актуальность исследования и решения которых постоянно возрастает. Получение необходимых и достаточных условий существования решения УУР ЭЭС, разработка на их основе критериев оценки существования решения имели бы важное значение для эффективного решения многих задач анализа режимов.

Автоматизация управления развитием и функционированием ЭЭС по-новому ставит и проблему неоднозначности решений УУР ЭЭС. Наряду с методическими вопросами этой проблемы остро стоят вопросы усло-еий сходимости методов расчета к тем или иным решениям, и, следовательно, вопрос адекватности решений, получаемых с помощью ЭВМ, реальным режимам ЭЭС. Разработка методов, позволяющих, при необходимости, определять все возможные решения УУР при заданных расчетных условиях и из множества существующих решений определять адекватное реальному режиму ЭЭС, явилось бы и решением проблемы неоднозначности решения УУР ЭЭС. .

Таким образал, вопросы дальнейшего развития методов и алгоритмов расчета УР ЭЭС при решении всего многообразия задач управления развитием и функционированием ЭЗС, исследования существования и неоднозначности решения становится важной научно-технической проблемой. Больной вклад в решение этих вопросов внесли Г.Т.Адонц, Д.А.Арзамасцев, В.Л.Еаринов,,В.П.Васин, В.А.Веников, П.И.Бартоло-май, А.З.Гамм, О.Т.Гераскин, В.М.Горнштвйн, В.И.Идельчик, В.Г.Ну-равдев, Л.А.Крумм, В.З.Манусов, ТД.Насыров, С.А.Совалов, В.Л. Строев, Х.Ф.Фазшгов, В.С.Хачатрян, В.Г.Холмский. Л.В.Цукерипк.Ю.В. Щербина, н. W. D0rameif с', в. Hart, A.M.3asson,B,StoU, W. Е. Tinney, Е. Van Hejrj и др. Однако многие теорэтичаские и практически вопросы указшшой проблемы требуют дальнейшего развития к с о в э р: и с н с т в о ва i га л.

В дяосертацаонвой работе предложены новые методы к алгоритмы раочоуа УР ЭЭС и элокгричоекпх сагой (ЭС) и подходы к исследований оущаогвования и неоднозначности решения УУР. Разработанные хзоротп-чоскяе полсаення н ыогоды значительно повышают эффективность рэиш-

ния как собственности задает расчета УР'ЭЗС, так я ряда других задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС.

Исследования по работе выполнялись в соответствии с координационным планом НИР All СССР по проблеме 1.9.3 "Межотраслевые проблемы и системные исследования в энергетике" и координационным планом ШР Гособразования СССР "Экономия электроэнергии".

Работа является частью научных исследований, проводимых по плану Государственной (общеакадемической) программы фундаментальных исследований на период до 2000 г. "Коренное повышение эффективности энергзтических систем" (раздел 5.2 "Теория и методы управления ЕЭЭС СССР") и Республиканской научно-технической программы "Повышение надежности, экономичности и экологичности энергетической системы России".

Цель работы и научная новизна. Для повышения эффективности функционирования АСДУ на всех территориальных и временных уровнях управления ЭЭС и САПР ЭЭС выполнен цикл теоретических и экспериментальных исследований, направленных на разработку и теоретическое обоснование методов решения задача расчета ур S3C и ЗС, являлдейся основой подавляющего числа задач анализа режимов, решаемых в рамках АСДУ и САПР ЭЭС. Для этого рэшены следующие основные вопросы, в которых отражена научная новизна работы:

1. Разработаны однопараметрическяе метода минимизации для расчета УР ЭЭС, использующие ньютоновское направление минимизации квадратичной функции невязок уравнений (методы минимизации ньютоновского типа). Доказана сходимость методов при решении квадратичных УУР ЭЭС с любого исходного приближения в области постоянного знака якобиана этих уравнений при выполнении легко проверяемого условия. Показана более высокая эффективность методов по сравнению с методом Ньютона и определены области та наиболее эффективного применения.

2. Разработаны методы минимизации по ньютоновской нлоскоота, обобщанцие методы Ньютона, минимизации ньютоновского тика г. наискорейшего спуска, сочетащио основные достоинства поречисдопних методов и свободнее от их недостатков. Да казана сходимость г, мтсдоа в области постоянного знака якобиана с любого исходаего приС- чтения при выполнении сформулированного в работе условия.

3. Разработаны даухпаракэтричвекяе методы ъп.нимиэйции.сснозпп-ныв на идее минимизации целевой функции не по прямой, а по н.'.ото-

ручу множеству, задаваемому двумя направлениями спуска и величина-ш параметров по етим направлениям. Решена задача определения табельного минимума функции квадратичных УУР -ЭЭС в произвольной ш-шмизирупцей плоскости. Предложена минимизирующая пара векторов, обеспечивавшая построение итерационного процесса с исключительно высокими вычислительными характеристиками по надежности и скорости сходимости.

4. Разработаны метода криволинейного спуска, основанные на аппроксимации специальным образом заданной кривой, соединяицей точки начального исходного приближения и решения уравнений рассчитываемого УР и обладающие исключительно высокой действенностью при расчете УР ЭЭС.

5. Решена задача выбора исходного приближения при расчете УР ЭЭС методами минимизации. Разработанные методы минимизации в сочетании с рекомендуемым определением исходного приближения практически решают проблему гарантированного получения решения УУР ЭЭС Ера лвбых заданных расчетных условиях,

6. Разработан кетад решения УУР ЭЭС и ЭС, названный методам диагональной релаксации, и дани условия его сходимости.

7. 'Разработано семейство регулярязовакных методов расчета УР ЭЭС а ЗС, основанных на сочетании разработанных методов ыиншпза-цаи, диагональной релаксации и ьюдифицированного метода Ньютона.

8. Сформулированы условия соответствия якобиана УУР ЭЗС з свободного члена характеристического уравнений переходных процессов. Рассмотрена сеязь сходимости итерационных процессов предлоаенных методов и статической апериодической устойчивости исследуемых ре-аиыоз..

9. Разработаны метода утязелоиия для определения предельных но статической апериодической устойчивости реяимов ЭЗС, значительно превосходящие существующие по точности и быстродействию решения-задачи определения предельных режимов ЭЗС.

10. На базе предложенных в работе методов минимизации разработана методика расчета тякелнх послеаварийных режимов ЭЭС, обусловленных большими начальны?® возмущениями и каскадным развитием аварийных процессов, учитывающая изменение частоты и действия основных видов протквоэварийной автоматики и обеспечивающая высокое быстродействие ревения задачи.

11. Получены достаточные условия существования решения УУР слог;--buz ЭЭС в виде простых численных соотношений, получаемых на первш

:чго г'егадоп простой ;¡ scarp;«?! 2 , одпсзускзпно лвтагг-ч-

¡ся доогатотанмп уоловияш сходимости угсазанннх методов. Пояуч<зпи !оос::о-чмчыо условия совместности квадратичных УУР Г&С.

12» Исследованы щктчиан, условия проявления и хириктэр Нбодио-шачности рзкения УУР слетпнх ЭЗС. Дани практачзсклз ракшеадапв:.; ю мсклгачашш негативного проявления кеоднозначностк рокаиня У7Р 33C«

Прзктичос>сая ценное??. н внелренио результатов тобоги. Использо--згою разрзботанних тзории s методов обеспечивает существенное повышенно йффоктивности АС,ЗУ па всех терраторзалышх я вроиопинх уровнях управления, САПР ЭЗС и ОС за счет получения надежного ап-зтрукзнтя расчога з анализа режимов ЭЭС я SC, расикрвнпя по его основе состава ресзотас в рампах АСДУ я САПР зядчч, направлении?, па повшпэнив надеяпосгв, эконошчяоетк рехчиов работн % качества электроэнергии ЭЗС, погчекияя урозпя тяфгеаэдя опиг.чтявпого персонала при одневропепяо:? сиияенув г.?очмост:? разработок, суцвоз-взпйсЯ экономив иашпнного времени бл-згодарл шаокой дейстзеанос?^ рз зрзб ota п тг/. но тодоь.

ймсичюншх- теореглгеклз исолодовзндл по разработке ноенх т~ ï-одол pianola п «шчлзл TP ЭсС 20 доьааэяа до практкческоД аро~

,т'р£!f5но Г: potljtodpufui Р. НЛОДрОИН ~ ?ндо прогр-^глзд-к-жгз'^лъ^ого

зечплекез "Элоктросзуь'' длл ЭВМ *Mü4ck-32'' г»"Рсог'сз9Н-зрго':, "Лг-топглзррнепгс", "Хзрысовэи^гс", "Кзазэнорго", ".'.рхгиорго" "1930 rr.),- п вил« Г1ро1'ра:л.?во-гсг^с,татол1-ного icy.:V.cs3a длл Ш ЭВМ з "Аму^эпэрго", "Ыэтадриэперго4*, "•Спталанэнзрго", •Чатларго'-. {IS3G-I934 гг.), СЯ1 СО РАН <ГГв? г.): ОДУ Гкраяш (Ш9 р.). оульптк redora бил пепользевапк в ГОР "Еудепэшг" СЗИ СО PAN гхл разработка катодячэсетх зргнгпшов, методов к модели швучасти 33G.

Разроботаппно под руководства1/: в при аапосретугроннеч у^.с-гг! пвгора рожта-ша тренажеры для обучоияя « трзнвгл сжарзтявиог сокола ЭОС я ЗС на базе ШШ типа IBM PC/Aï, аБтсиптэафо-.>.а<. ¡э рабочие место гшаеаероз слукб к групп разшвоо ценгральа?к чорскнх слузб ОЗЭС, ЭЭС я оператпзно-даспвтчерсках слуха прдмгия-тай олектрачоекпх сотеН (ПЭО) на базе ГОЖ' внздрзнн в ISOO-Г' -3 гг. ила внедряются в цастоядео время болоо чем в 80 ЗЭС ч ГЭС

На защиту выносятся слодуте;по .положения. Î. Молоды швдмнзащга пьитоаовского тапз для рлечота JT? ЭЭС, рнты ex. р-заэдзаилн а результаты асслодоаашш сходиюсч.^

•7

2. Методы минимизации по ньютоновской плоскости, алгоритмы, реализации и результаты исследования сходимости ври расчете УР ЭЭС.

3. Двухпараметрическяе методы минимизации с независимым выбором параметров, алгоритмы реализации и результата исследования сходимости при решении УУР ЗЭС.

4. Методы криволинейного спуска для расчета УР ЭЗС, алгоритмы реализации и результаты исследования сходимости.

5. Решение задачи выбора исходного приближения при расчете УР ЭЗС методами глин ими за ции.

6. Метод решения ТУР ЭЭС и ЭС - метод диагональной релаксации.

7. Регуляризованные метода расчета УР ЭЭС в ЭС.

8. Условия соответствия сходимости итерационных процессов разработанных методов минимизации статической апериодической устойчивости исследуемых режимов ЭЭС и методы определения предельных по статической апериодической устойчивости реншов ЭЭС.

9. Методика расчета тяжелых послеаварийных режимов ЭЗС, обусловленных большими начальными возмущениями и каскадным развитием аварийных процессов, учитывающая изменение частоты и действие основных видов противсаварийных автоматики и ее реализация в цифровых режимных тренажерах для обучения и гренажа оперативного персонала ЭЭС.

10. Необходимые и достаточные условия существования решения УУР ЭЭС при заданных расчетных условиях.

11. Результаты исследования неоднозначности решения УУР ЭЭС и ЭС и практические рекомендации по ее исключении.

Личный вклад автора. Выносимые на защиту положения выполнены автором лично пли под его научным руководствам.

Апробация работы. Основные положения диссертации'и отдельные ез разделы докладывалась и обсувдались на 20 международных, всесоюзных и республиканских конференциях, совещаниях и семинарах,, в-том числе на 1У, IX, XI Международных конференциях по применению' вычислительных методов в электроэнергетике (Франция, 1972 г.; Португалия , 1937 г.; Франция, 1993 г.); на лэтней сессий общества ише-' воров электротехников (СШ\, 1974 т.); конференции "Праменонпе ви~» чаолптельной техника в электроэнергетике" (Москва, 1970 г.); научно-техническое cor-ami:из "Применение ЭВМ Ы-220 для роиения ведач оперативного и перспективного планирования режимов энергосистем" (Рига, 1970); научно-тшшческш совещании по математическому обэ-

епэчению ЦВМ (Харьков, 1974 г.); Всесоюзном научно-техническом оо-

В

вещании "Исследование решения на ЦВМ уравнений установившегося режима электрических систем" (Ереван, 1976 г.); Ш Республиканской научно-технической конференции "Современные проблемы энергетики" (Киев, 1980 г.); Всесоюзной научной конференции "Снижение потерь в электроэнергетических системах" (Баку, 1981 г.); УШ, IX, X Всесоюзных конференциях по моделированию электроэнергетических систем (Баку, 1982 г., Рига, 1987 г., Каунас, 1991 г.); Всесоюзных научных семинарах "Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики" (Иркутск, 1981 г., 19Э7 г.); УП Сибирском семинаре по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 198В г.); Всесоюзной научно-тахничоской конференции "Разработка могодов и средств экономии электроэнергия" (Днепропетровск, 1990 г.); 4-х Всесоюзных и Всероссийских совещаниях в ЦДУ ЕЭС СССР и России (Москва, 1974 г., 1990 г.,1992 г., 1993 г.). Кроме того, отдельные результаты работы докладывались и обсуядались в 1990-1933 гг. в ОДУ Востока (Хабаровск), ОДУ Сибири (Кемерово), ОДУ Сродней Волга (Самара), ОДУ Украины (Киев) и более чем в 25 энергосистемах.

Материал работы вошел в учебные курсы Иркутского политехнического института "Управление режимами энергосистем" (специальность 10.01), "Переходные процессы в электрических системах" (специальность 10.01), "Методы анализа установившихся я переходных рэ~ жимов электрических систем" (специальность 10.02).

По теме диссертации опубликовано 72 печатные работы.

Объем диссертации и ее структура. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (404 наименования) и отдельного тома приложений. Работа содержит 367 стрзкяц осяогч?©-го текста, иллюстрируется 64 рисунками я 92 таблицами. Объем приложений П2 страниц.

КРАТКОЙ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность решаемой в работ проблемы, формулируются цель п задачи исследования, приводятся основные положения дисЬертации, выносимые на защиту.

Глава I, Методы шшшязагат ньютоновского типа для расчб'м установившихся режимов ЭЭС.

Установившиеся р<шига ЭЭС при подан и V мощностей нагрузок го-пера торов описываются системами нелинейных алгебраических кл трансцендентных. уравнений внсокогч) порядка

V/ (Х,У) - 0 , (I,

9

где »V - вектор-функция норедка ; П - число узлов е схема за, и'^и'лт ЭЭС без учета базисного; Х - вектор зависимых переменных, определяемых из решения (I); У- вектор независимых переменных,яв-лэгещхся заданными при решении (I). В качестве зависимых: переменных X могут быть приняты углы и модули напряжений узлов л={<ЯО| (полярная система координат переменных) или активные и реактивные составляющие напряжений Х~{и<а,ир| (прямоугольная система координат переменных). Значение вектора У является заданным. Запишем систему уравнений (I) в виде

\У(Х) = {г^(Х)| (2)

При использовании методов минимизации задача решения уравнений (2) сводится к определению глобального минимума функции

у(*)-|>?(Х)-1М(Х)||2 (3) .

г соответствии с вычислительной формулой

;/ (Р+1) «<г") ) ¡р) п í г, г 1

А " X -¡-л,, с( , р»0,1,2,..., С^)

ГМС Д ; Д - значения переменных соответственно нэ (р-И) и р ¡лагах итерационного процесса (4); с!''" - направление минимизации функции (3) ели направленно спуска, выбираемое по какому-то правилу; Ар - параметр, опредалгшдай длину шага вдоль направления с1и'\

Известно, что методы минимизации обеспечивают глобальную сходимость к минимуму функция (3) при выполнении следующих условий: I. функция (3) дважды непрерывно дифференцируема. 2, Мнсжество уровня Цф«)) ззмккуто и ограничено. 3. Величина (р(Х) "существенно убывает" ка каадой итерация (4). 4. При всех р угол между векторов спуска с!(?)и ангиградиентом функции (3) отличается от прямого по менее чем па фиксированную не кулавуз величину.

Б главе показано, что множество уровня Цср(Х)) функции (3) уравнений (2) в форде баланса мощностей в прямоугольной системе координат замкнуто и ограничено, т.е. функция (3) для стихураЕне-аий удовлетворяет условия:,! глобальной сходимости итерационного процесса (4). Показано, что функционал (3) для уравнений (2) в форме баланса моцкозтой в пространстве переменных Х"-*{ий,иг| обладает "лучшими" для применения методов минимизацкп гесмегричос-гаьш и вычислительными свойствами, чем функционал (3) для уравнений (2) в форме баланса мощностей в пространстве переменных

Преимущества представления уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС 2 прямсугольиой системе координат поремзнны:: в значительной

10

г:арэ галвэг ыесто н для ураввбилй баланса -гоков.

Выполнимость условий глобальной сзсоделоогя методов мзвдшзаош Фупкцза (3) достигав гея построением алторгтшов определения душян шагов вдоль направления спуска, удоплетюрятаци}: ешмшальнет огря-плчвяиям. гарантпругаде, что шаг будет и ¡¡а "слйшю'! »а»" и из "слаюксм больиш" а разработкой правая, обеспечивающих ногроэнаэ направлений спуска, образующих на каадш сага (4) острой угсл о аптигра.ппентом. В главе рассмотрены метода, использраше в качестве направления спуска а' Еокгор Л А,, , определяемый на какдоц пагз (4) решением спсгемы линейных уравнений

- л х и"—(л, р -ол* (5)

где О (X ' }- матрица Якоби уравнений (2) в точна Д1'* « Запишем итерационный ппоцэсс этих методов как

ПриЛр =1,р =0,1,2,... на каждом шаге (6) имеем итерационную формулу метода Ньютона, который широко применяется в отечествен -рой и зарубежной практика. В работе показано» что метод Ньютона, обладая высокой скоростью-сходимости (2-4 иторавдц), полностью ез утрачивает в случаях, связанных с плохой обусловленность матряцн Якоби УУР рассчитываемых ЭЭС, вызванной как сильной неоднородностью параметров схем замещения ЗЗС, так и близостью исходного пру-йлвяенпя (в том числе я так называемого "нулевого1., характеризуемого номинальными величинами модулей напряжения узлов и иулвшлп значениями пх аргументов), текущих точек итерационного процеое-з я решения уравнений исследуемого пшшла к поворхноста внреадэная 'датрицы Якоби. Плохая обусловленность матрицы Якоба вследствие Аллзости исходного пряблияеная и промежуточных точек втера,дпоппс--го процесса метода Ньютона к поверхности с1.в"1 3(Х)«0 нанбелео исто имеет место при задании в большинство гвнаретораых узлоз к хачесгве исходных данных активных и реактивных нешоотей. Нг. хо-хпмооть метода Ньютона могут существенно алпять: 1) заданна ^лей--¡ого приближения; 2) способы задания исходных да ни их; 3) форм.*; 1есц УУР ЭЭС; 4) система коордана": переменных. Наиболее надж'яз зсодимосуь метод обеспечивает при решении уравнений в форю е».;<ав~ за мощностей в прямоугольной сяотемо коерданот перегдонкж.

Методы (6> обладают при решенвй уравнений (2) более иодазпе:. аеоданооть»; чей метод Нызтона. Рассмотрены сла^зуасиз &>зззшг я

Первый метод минимизации ньютоновского типа. Реализует итерационный процесс (М.Д.Маергойз, Т.М.Энеев)

X - X , Р - 0,1,2,..., (7)

где М последовательно принимает значения 0,1,2,... Число М долило Сыть тагам, чтобы выполнялось неравенство

<т(х(р*<5)< ср(х<р)). .(в)

Если па каздсм ¡лаге (7) неравенство (8) будэт выполняться, то процесс (7) переходит в итерационный процесс метода Ньютона.

Второй /.¡втод ы;;ни?.шзация ньютоновского типа. На каздсш иэге (6) величина параметра А , дзменяссь £ интервале определя-

ется лэ соотношений (В.А.Матвеев)

Яр - 1 /кр; КР->ррт ; к'"--р = 0,1,2,... (9)

Значение коэффициента />рг„ в (9) определяется из выражения

/я« ~ IВ||т /2 • II У/(X ГЛ , (10)

гда в'ЧьГ-1: -дай-А^и*,}.

|ВИ8т,|1ИХ(И)йга-т- иорад векторов 5 и \У(Х) в точке Х(К).

Б работе показано, что наилучшая сходимость метода при решении уравнений (2) достигается при выборе параметра нз условия

У^т при ргт >■ \/2, (п)

1 при рргп 1/2

Трет:;;; метод минимизации ньютоновского типа. Функция (3) для Лишений баланса мощностей в узлах ЗЗС в прямоугольной системе координат в точке (XА• АХ) у окот быгь представлена как

Г(Х<Р)+ ЫХ(?)о|1Я>П!1ЧА-У(Х!?,+А • АХр) + (1-А ^,

где Г(Хм+А-АХ<?)-&Лв-/ЛР-\1+(/ЛР+1)'Л- 1 ,

~ векторов 6 и IV (X) в тоще Кт.

Показано, что ща любом ограниченном значении рр на кзздсл сзгз (6) наибольший положительный корчпь уравнения

Рр■ Аа~ //р ■ А***!' (/-/г ) • Л - ■! "О (12)

Еоагда больше нуля. Сходшосл, итерационного процесса (6) иря оп-рзЕЗлании А к с рошепня уравнения (12) доказана при следувдг»:

УСЛОВИЯХ.

Теорема. Пусть в области to =» -[X <Н | s i-gn dai J(X)= ccnstjcy-ществует решение системы уравнений (2). Тогда при любом исходная приближении X<(eSW итерационный процесс (6), (12) будет сходиться к решению системы уравнений (2) при выполнении условия

(13)

Замечание.Условие (13) заведомо выполняется, если последовательность отделена от поверхности вырождения матрицы Якоби.

Четвертый метод минимизации ньютоновского типа. Функция (З)для уравнений баланса мощностей (2) в прямоугольной систеле координат на каждом шаге (6) поэдставляется поди номом

tf(XiP'+AAXГ)-¡VV(XCP,)||a[Рр-Л^р-А+[Аг-ZX+1]. (14) Полином (14) в общем случае имеет два минимума и один максимум.либо только один минимум. Для определения Л .доставляющего на шаге р глобальный минимум (14), нуото росшть уравнение

4 pi As-3yu(,.AÄ+2(^p+l).A-2 -0. (i5)

В главе показано, что существование трех положительных решений уравнения (15) возможно только для коэффициентов рр и fUp , удовлетворявших соотношениям

. (к)

Для значений и , удовлвтворящих второму соотношению,уравнение (15) имеет один положительный я два отрицательных корня. В остальных случаях решение (15) единственно. Уравнение (15) шзег на интервале (0,2) единственный корень кратности I. Исключение составляет случай ppai/2.. При этом уравнение (15) К'эет корень Xf2 кратности 3 и решение уравнений (2) достигается за одди шаг. При выполнении неравенств (16), т.о. в случае существования двух положительных точек минимума (14), глобальному минимуму (14) всегда отвечает меньпшй корень уравнения (15). Сходимость метода доказана при тех же предположениях, что и метода (6), (12),

Вторые производные квадратичных УУР ЭЭС не зависят от племенных X . Поэтому ограниченность ftp на каждом взга яторацпс:: «ж процессов (6), (12) и (6), (15) определяется охраниченностх?:.|Длн|, Неограниченность |,ДХН | имеет место только в случае равенс?*з нулю якобиана уравнений (2) на каком-то шаге (6), (12) и (6), (15). Практически такая ситуация возможна и няге даны рекомендации по ез исключению. В других es случаю: резкого и значительного всз>,:-'!т«з~ няя величины |AXMjj вследствие плохой обусловленности матриц-: Яяо~ би величины ßp всегда ограничены и методы обеспочивап? усгойчи-г 13

ь^э окодндзость к решению уравнений (2)„ Величина р моп:ет слукать некоторой характеристикой обусловленности матрицы Якоби. При рР>( матрица Якоби плохо обусловлена, при рр^'^ - хорошо обусловлена. Причем, чем значительнее величина больше единицы, тем хуке обусловленность .матрицы Якоби. В зависимости от того, на какой ста-дши итерационных процессов (6), (II); (б), (12) и (6), (15) величина р^ больше единицы, можно судить, что является причиной плохой обусловленности: неоднородность параметров сети, близость исходного приближения, промежуточных точек итерационного процесса к поверхности вырождения матрицы Якоби, близость исследуемого релима л предельному по существованию решения или предельному по статической устойчивости. ■

Методы (6), (II); (6), (12) и (6), (15) обеспечивают значительно более высокую действенность, чем метод Ньютона и метод (7) при решении плохо обусловленных задач в прямоугольной и полярной системах координат переменны;! уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС„ Действенность методов при решении плохо обусловленных задач в пря-ноугсиьвой системе координат выше, чем б полярной.

При решении хорошо обусловленных задач вычислительные характеристики методов (6), (II) и (6), (12) по скорости к временной слое-асатв часто оказываются клде вычислительных характеристик метода Зьитоко. Вытасдптвльные характеристик метода (6), (15) практически всегда вше вычислительных характеристик метода Ньвтона в полярной и прямоугольной системах координат переменных уравнений баланса мощностей в углах ЭЭС.

ВаздолшЕельниа характеристики метода (6), (15) впае вычислительных характеристик методов (7) ,(6), (II) и (6), (12). Действенность иотодэ (7) значительно ниже действенности методов (6), -(II); (6), (12) я (6), (16).

Временная сложность методов (6), (II); (6), (12); (6), (15) практически одинакова. Наиболее трудемким в алгоритме определения па-рзштра этих методов является вычисление коэффициента ¡1 . Дея ого слпслснея и полярной системе координат разработан вфрептивиый ая-щшаг, пспользтнздй е-юбогаполнешюсть к симметричность матрицы иуорнг рроязЕодяшс. Затрата иашянного времени на зютсяоняе р ирг £¿'0.1 сезиачзтольво вше га трат мошнного времени на вкчасленге небалансов иовшоетей в узлах. В прямоугольной системе координат порэ-аеттх ксздсаонтн шяорг В могут быть вычислены по шфагепшэ

14

Поэтому алгоритмическая и временная сложность методов (6), (II); (6), (12) и (6), (15) в прямоугольной система координат переменных ■уравнений баланса мощностей в узлах ниже, чем в полярной.

Глава 2. Двухпарамотрические метода минимизация для расчета установившихся режимов ЭЭС

При значительной невыпуклости функции (3) методы (6) часто являются неэффективными. Реализуя линейнуя схему минимизации, методы не всегда в таких случаях могут с необходимой точностью отследить изменение рельефа минимизируемой функции. Неточность прогноза поведения функции (3) по линейной траектории спуска нередко приводит к сходимости этих методов к точкам на поверхности вырождения матрацы Якоби, которые не всегда являются стационарными.

Представим вектор ЛХ^Р> в виде суммы двух ортогональных состав-лявдих

лх'"- оср-дгас! <?(Х(Р') -н Ь , (1Э)

—2-^(Хи)|в/ ср(Х (г'Г • <20)

Показано, что причиной сходимости (6) нэ к решению (2), а к поверхности вырсвдения матрицы Якоби ямяется неограниченное возрастание . Для обеспечения сходимости решзтпзя задачи расчета УР.йЭС в таких случаях необходимо ограничить эту величину.

Первый метод мнимизации по ньютоновской плоскости. Обозкачш первую поставляющую вектора (19) как \7И н назовем ее градиентной составляющей. Определим вторую составляющую вектора ДХ'^' :сш

Ь(н - V > р « 0,2,... (21)

Плоскость, ссдэржад(ую векторы Ун и Ьн , назовем кьягоноаской плоскостью. Минимизацию фуншлз (3) будем осуществлять в каяраняз-нни вектора

в соответствии о итерационным цроцессом >

V V (23)

Дня сходимости (23) достаточно, чтобы величина параметра А аа ' каздш иаге (23) отвечала соотношению 0< Др, р =0,1,2,. ..где

. 15 "

Яр- наименьший положительный корень уравнений

4j4Aä+3Vp.Az-2(pp + a.*)\-Z =0. (24)

Это соотношение выполняется при определении параметра у на каждое шаге (23) из условия

у-arg rmnYM~arg min !>£(?) + ¿рМ"] . (25)

Сходимость итерационного процесса (23) при определении параметра ■у из условия (25) доказана при следующих ¡предположениях.

Теорема. Цгсгь в области {Хе R" J ср (X) *з сл( vio')] вн_. гюлняется условие

IW(X)||V||graci (26)

Тогда итерационный процесс (23) сходится к решении (2) с любого исходного приближения X "" -oJ.

Функция ^(у) в (25) есть полином 4 степени от параметра у а K-ffiQT либо два минимума и один максимум, либо только один минимум. Б качестве у в (23) принимается корень кубического уравнений, соответствующий глобальному минимуму функции Ф^у) в (25) на направлении вектора L'£J . Б частности, если на какал-то шаге величина будет равна нулю, то (23) будет совпадать с итерационным процессом метода наискорейшего спуска; если величина -у будет равна единице, то минимизация (3) будет осуществляться по ньютоновскому направлению, в итерационный процесс (23) параходиг в итерационный, процесс (6). D общей же случае (23) минимизирует функцию (3) не по одному направлению, ь по плоскости, порожденной векторами Vh и L.h. Поэтому (23) обеспечивает при минимизации функции (3) более быструю сходимость, чем (6), и особенно в случаях плахой обусловленности матрицы Якоби уравнений (2) и овранности функции (3). Сходимость (23) будет заведомо более надежная, чем у методов ньютоновского типа за счет исключения ситуаций попадания (23) на поверхность выроздения матрицы Якоби.

Второй метод минимизации. Основан на ограничении ортогональной еозтавлящей к антиградаеиту в ньютоновской плоскости путем мшш-ии8ации (3) в направлении зтой составляющей, о именно

■у «an] rnin c|>(yj « arg min Ч^ -уЛУ^), (27)

Б aanncvBs -у принимается корень уравнения

доставдишасй функция (3) глобальный шнимум »<v направления вектора L'f • Ирй -V''¿0 направление ¿\Х совпадает с направлением

16

антиградиенга, и (23) соответствует итерационному процессу метода наискорейшего спуска, а при у<г1'-« I вектор ДлГР1 совпадает с вектором ЛХСи' и (23) переходит в итерационный процесс (6)-

Сходимость (23) при определении у из решения уравнения (28) и Л из решения уравнения (24) следует из ограниченности ||ДХ1р|Ц „ При определении АХ(Р' по (22) у сломе ограниченности ¡¡X (Р>|) будет выполняться при ограниченности градиентной составляющей вектора ЛХт. Последнее всегда имеет место при ограниченности параметра 0(р . Таким образом, сходимость (23) к решению уравнений (2) при определении у из условия (27) всегда будет обеспечиваться с любого исходного приближения в области хлЗ при выполнении условия (26).

Обозначим направленно спуска, определяемое в гюрзсм .методе минимизации из условия (25), как

А к/ СР' Т-7 С» (Г) I

ДХ1 = vн ь и , (29)

а направление спуска, определяемого во втором методе из условия (27) - как

Л V <Р| СТ <?> I (р'

ДХЕ - ^н . (30)

Соответственно запишем итерационные процессы первого и второго методов следующим образом

у(р-И) V (р) Л .„„,

а а +ар'дд1 (31)

В чДрИ) »,((>) 1 А v(p)

X = X + Ар ■ ДХд . (32)

При решении плохо обусловленных задач (2) ггаарзвяэния спускя (29), (30) зйнимаюг промежуточное положение между нацрзашпам шь тиградмнта функции (3) и ньютоновским направлением ДХН. На первых шагах (31) и (32) направления спуска (29) и (30) "блине" н ак-тиградиенту. По мерз приближения (31) к (32) и пулевому канямутлу (3), направления спуска (29) и (30) "перемещаются" п сторону ньютоновского направления. На последних тагах (31) и {'12} направления • (29) и (30) совпадают с ньютоновским направлен!!')». При расг У? ЭЗС с хорошо обусловленными матрицами Якобч напрбзлэиг.я егг>" ,-а (29) и (30) совпадают с ДХн практически на всех сагах (31,1 п (32). Несмотря на различно функций Ч'('У) в (25) и с^*/) в (27), то--;я их минимумов уг и совпадают при решении хоршо сЗусловлат их задач (2). При решении плохо обусловленных задач-(2) рэзличт" в значениях у могут быть существенными.

РегуляризоЕанныа метод». Получают комбинированием нпдежннх, ао не слизком быстрых вычиелктольных методов с быстродействующи.-.^, ьо

17

не очень надежны® по сходимости. В результате получаются алгоритмы , которые в хороших случаях сходятся быстро, а ь плохих работают немногим хуже обычных гарантированных процедур. Для конструирования эффективных регуляризованных методов ваяно определить условие наиболее оптимального использования каждого метода комбинации. В качестве условия реализации иага р тем или иным методом может быть принято соотношение

Рнр ^ (33)

При используются методы, надежные по сходимости; при

- более "слабые", но более быстродействующие.

Двухпараметрнческие методы минимизации по ньютоновской плоскос-костп с независимым выбором параметров. Реализуют итерационный процесс ч/(Р<-0 „<« , .,(!•) АЧ/<«

^ -X +<хР-ДХ1 , (34)

где направления спуска или минимизирующая пара, заданная

кривую спуска в плоскости, порожденной этими векторами;<Х,у - величины шагов по принятьм направлениям спуска. Итерационный процесс (34) реализует качественно другую вычислительную схему, чем итерационные процессы (4) и (23): минимизация функции в такой схеме вдет не по одной прямой, а по некоторому множеству, задаваемому направлениями ЛХ< в ЛХ^ и коэффициентами С( и у .

Для получения высокой скорости сходимости (34) естественно величины шагов по направлениям спуска определять исходя из условия

<г(Лм+оСр-дх; ср(Х(^Х;Ч-ЛХ'Л. (35)

В работе рассмотрены два подхода к решению задачи (25): подход, основанный па определении значений 0(р и , доставляющих минимум функции (3) на таге (34) я подход, основанный на определении зна-ченяЯСХр и Ур , доставляющих глобальный минимум функции (3) в шзня-ьшзирутвдей плоскости на ваге (34). Першй подход реализован в виде алгориила попеременного решения задачи одномерной минимизации функции (3) по направлениям ЛХ1 и ЛХ^ до достижения локального мвнн-щпв функции в ьшнпмизируыцей плоскости векторов ¿дХ1>тЛХг(алгорини '"Аккуратного двумерного поиска"). Задача второго подхода сведэна к роиегого уравнения 10 степени относительно одного вз параметров (алгоритм "точного двумерного поиска").

Трогай метод »ддакмЕззну/ по ньютоноьокой плоскости. Полагая , запишем (34) в следующем виде УГ«'** (36)

~ 18

где параметры С<' и у определяются с помощью алгоритма аккуратного двумерного поиска.(36) реализует стратегию достижения в общем случае более глубокого минимума функции (3) на каждсм шаге, чем (32). Поэтому в ситуациях, когда метод (32) зависает, применение (36) оказывается более эффективным. В случаях, когда метод (32) демонстрирует высокие вычислительные характеристики при расчете УР ЭЭС с плохо обусловленными матрицами Якоби, сходимость метода (36) практически такая же. При одинаковой сходимости временная сложность третьего метода выше.

Четвертый метод минимизации по ньютоновской плоскости. Реализует итерационный процесс

Л -"А +Дд5 =" Л +СХрУн +ур.Ьм (37)

при определении параметров^' и у из условия достижения глобального минимума функции (3). Действенность (37) при решении плохо обусловленных задач анализа режимов ЭЭС не выше действенности итерационного процесса (36), но временная сложность значительно ниже. Причем, весь выигрыш по времени реализации достигается за счет работы значительно менее трудоемкого алгоритма точного двумерного поиска минимума функции.

Двухпараметрнческие методы минимизации по альтернативной плоскости с независимым Еыборсм параметров. Наиболее эффективной для решения задачи (2) является реализация итерационного процесса (34), , минимизирухщего функцию по плоскости, образованной векторами ДХ« и ЛХ/щ. определяемом на каждом шаге (34) решением системы уравнений

Э(Хм)-ДХЯ-г-дх(Л- (33)

Запишем итерационный процесс (38) в обозначениях заданной минимизирующей пары векторов

х'ри,~ Xм«- аг ДХ1Г + ур. Д Х(;!,. (39)

1!арш.'хтрн 0( и ^ на каждом шаге (39) определяются аз условия до-ълёаания глобального минимума функции (3) в принятой плоскости ме-г::)-лзации. Расчетные исследования сходимосга (39) свидетельствую? об его исюшчительно высоких вычислительных характеристиках расчетов УР ЭЭС и особенно режимов с плохо обусловленными матринаг-Ш Якоби. Метод обеспечивает не только очень надежную, но и оч- :>ь ^.быструю сходимость решения задача (2). Благодаря высокой оке ■■лстл сходимости метода, ого временная сложность в болкгвнетвэ сяучяоя. •расчета плоосо обусловленных задач ан ализа режимов остается

Г9

временной сложности любого из методов минимизации по ньютоновской плоскости, если последние обеспечивают практическую сходимость к • решению уравнений (2). (39),в отличив от (37), не чувствителен к овражноотя функции (2) и к виду этой овражности.

Первая модификация метода (39). Представим уравнения баланса мощностей в узлах ЭЭС в прямоугольной системе координат в точке X- Х(г,+ сх-ЛХи+у AX;J;( как

W(X) - (i- a)W0+(o'A у).1>Ц ч-а-у + у:!. \х/3 , Ш)

где W,^i/2-{W"'-A'AUi AXJ ;

W2-(W'-AXH> ДХЯИ); W3 = 1/2• (VV"АХ^н,АХ^н).

По правилу треугольника для норм имеем

|U/(Xi!| ^ Ф(ск,у) • ЦW0||, (4i)

ГДв -|1-«|+|а*-у|.а-»-|о<.у|.Ь+у2-С. (42)

В работе показано, что определение параметров а и у из условия

обеспечивает итехвционному процессу (39) релаксационмость. Алгоритм вычисления параметров сц и tf строится чрезвычайно просто. На шаге р итерационного процесса (39): I. Проверяются выполнение неравенств: -4-а-с-Ь »

Г1ря их выполнении параметры су и у определяются по выражениям & = (2-е-ab)/d; y^(2 a2-b)/d . Задача (43) решена. При невыполнении хотя бы одного из указанных неравенств по формулам вычне-ляшея значения Ф,(Ф, кФ8 , из которых выбирается наименьшее Фт : = ГП'/п^Ф^«^^]» В ка';оствэ значений диаметров О! и прзлишыт-ся: при Фгп'^Ц: су при фго» <11,-а: о.; при ф^г, ф2 =

" 1/4-ага^уг-а.^О • "при и 0« g<l -cyi, ; при

» a : аР = i} и 0 ; при Ф^Ф^ b+с: схР н, « j .

Метод обладает при решении плохо обусловленных задач (2) болеэ высокой действенностью, чаи метода ньютоновского типа, е в некото-рис случаях, и методы минимизации по ньютоновской плоскости.

Вторая модификация метод» (39). Определим ft -норму (40)

, |UV(X) f" <*><.(*, у) ¡IWof. (44)

©уша$аяч£(сс,у | представляет собой к-вадуатячпую форму относительно набора (4-ot; ; cty; Данная квадратичная форма поясадтоль-йо определена. Положительно определенная ктдрзтпчная форма Х'А'Х доогагаог шаныуш в «очко Xs0 . Используя эуу особенность, будь'.: опрадздяуь зшодноя шраыатро» О/ к у миикмазешой нормы вектора

- ex, С!- у t oty,y J. Минимум функционала

= c*)S(«a-<y)2+o(a.</+-y+ (45)

достигается в точке (с*, у) с координатами <Х =0,6881816; 'У -0,2887216, а итерационный процесс (41) приобротаат вид

XífíHJ - Xfp' + 0,688-АХТ-ь О,230 ■ АХ%t. <46)

Метод (46) обладает достаточно высокой действенностью. В частности, действенность (4G) значительно выше действенности «огода Ньэ-ч она.

Глоеч 3. Методы криволинейного спуска для расчота устано-

бившихся режимов ЗЗС Идея методов заключается в построении процесса минимизации функции (3) по кривой, соединяющей точку исходного приближения X<а> с решением уравнений (2)Х* и Удовлетворяющей уравнению

F(X) = ST-lV(X)-0, (4?)

где & - квадратная матрица порядка N , построенная из N вектор-столбцов , таких, что

(¿ч,lV(Xw))-0, (48)

Поскольку решение уравнений (2) удовлетворяет уравнению (47), то осуществляя спуск с заданной точки Xм по (47), гарантированно придем к точке X' , являющейся решением уравнений (2). Для организации такого спуска нузно определять матрицу £ , удовлетворяющую уравнению (47), задать параметризацию (47) и осуществить собственно спуск по кривой (47) з соответствии с заданной параметризацией или принятой ее аппроксимацией.

.Задание матрицы Л' . Определит.! секторы (>•(,,при [V(XU')'/-0 как

с -ый единичный пзктоп.с'.;/

/gw(x'0,)ll*.

Вадание параметризации кривой Ц7). Пусть области ы> opieosay-в? пагзютризацзя кривой (4?1, s адова едая следуюзшм оброгегг

Лв] ; Х(Л„) « X * (49)

■ роиэ^нз (?) бу.чш ссудоотрлять, schc^t-.sjn хгддгзт'.пнта., ¡q-&vi?>0Kyz- й"<?п1азздх^Уп^|уэяаппрокск;«5с.й1э га^пг^У-"

. 21

зации (49) кривой (47),

Метод квадратичного спуска. Реализует итерационный процесс

х,',+л.р.дх<;'-*-а2р.дх';\ (52)

где векторы АХ, и ДХг на шаге р определяются из решения системы уравнений

•э(хСР,Мх|Г--и/(;сси) (53)

и по выражению

лх(;'=-уй<;' ДХ7+дх1". (54)

Вектор ДХ(" в (54) определяется из решения системы уравнений

э(х(р>)дх<г~ - дх г: дх'Л. (55)

Величина параметра уОг в (54) определяется из условия минимального отклонения квадратичной аппроксимации

X2(Л) = X<^Л•ДX(^Лг■AX<г.,,, (56)

параметризации (49) от аппроксимируемой кривой (47). Отклонение -аппроксимации (56) от (47) можно оценить по выражению

фЫГ)=||5РТМХ(Л))(Л))Г-ХгМ12 (57) Разработано два алгоритма определения параметра рг .

В первом алгоритме величина параметра определяется из условия минимума функции (57) при учете первых четырех членов параметризации (51) по формуле.

Во втором алгоритме определение параметра уцг производится из условия

и сводится к нахождению корня кубического уравнения, соответствующего глобальному минимуму функции (58). Определение рг из условия (58), незначительно увеличивая трудоемкость решения задачи по сравнению о первым алгоритмом, обеспечивает более высокую точность квадратичной аппроксимации кривой (47), а следовательно, в общем случае, и более надежную сходимость итерационного процесса (52) минимизации функции (3).

Метод кубического спуска. Реализует итерационный процесс

Х"*"« Х'^Л, • ДХ Г+л*, • Д X ¡Г+ Л*. дх £ (59)

ГД8 векторы ДХ'/' и дху' определяются соответственно из решения системы уравнений (53) и выражению (54). Вектор ДХ(/' равен

ДXV"—Л* ьк ДХ'Л- 2 р Т- ЖАУ'^ (60)

22

где АХ?Г) находится ретаиием систоны уравнений (55), а •ДУ<Р) -решением системы уравнений

з(хт)-ду,л—(V/-дхг;', лх'(р1}. (ел

Величины параметров и /л} определяются из условия мини-

мального отклонения кубической аппроксимации

• ХЯ(А) = Х'М+А-АХ\М+ Л*-ДХ<;, +А*- ДХ7' (62)

параметризации (49) кривой (47) от аппроксимируемой кривой (47). Отклонение (62) от (47) определяется как

Значения и ^з определяются по формулам.

Метод "биквадратичиого"спуска реализует итерационный процесс

Л^^Х^АрДХЛА'рАХГ+А^АХ^А^АХУ (64) минимизации функции (3) вдоль аппроксимации кривой (47) вида

х,(а)-х%адх(;'+я2дх(;1+а1-ахг+а4дхТ. (65)

Векторы ДХ.|,АХ2 , ДХ3 и ДХ4 определяются соответственно из решения системы уравнений (53) по выражениям, подобяш.(54), (60) я выражению . „г

АК^-ррАК^^^-/*?}-^1 З/^ДУ^АЪ"", (66)

где вектор Д7/м определяется из решения системы уравнений

a(X(^■AZ,rt--[^(wад<?AX)+(W,íДX,;iAY(p,)] . (6?)

Коэффициенты. Д, , И Ол для вычисления вэктовов АХ'Р), ДХТ

Лу/ш ' г

X V определяются из условия минимума функция

-ч (КЩЪ (Л))!|2. (60)

Определение параметра А в методах (52), (59) и (64) сводится и рэшвнию задачи одномерной минимизации функции (3) сдать соотвзт-стеенно кривых (56), (62), (65). Б качестве Д, приикмаеюя наименьший полоаигельный корень соответственно уравнений седьмой, одиннадцатой и пятнадцатой степени. Выбор навмоиышго полосе зельно-гс корпя в кз-х::сгге Л- в иогод«х (52), (59) и (64) печшо сокрз-!Ц5мия вре^енгс рспгкпя гздач-з (2) иовыаае? и иадвяносуь сходжостп методов, оС-зоаз^впа совместно с выбором р ианикзлькоо отклонена о тссск X гш попа*-'от?лг.ацйлг? (53), (62), (65) от кривой (47).

В^нзйыуи рель в обеспечении надобной сходимости катодов игра-о? "гркглзко" крип ж спуска (53), (65) и (65) итерационных птхяюо-

?.3

сов (52), (59) и (64) к кривой (47) с помощью коэффициентов Jd , Ожаз от их Енчивления приводит к построению других траекторий спуска, в наибольшей степени отклоняющихся от положения кривой (47). Как показывают расчеты, спуск по таким кривым протекает менее успешно, чем по кривым (56), (62), (65). Методы (52), (59), (64) совершенно не чувствительны к овражности целевых функций и высокоэффективны при минимизации невыпуклых функций. Благодаря указанным свойствам, методы обеспечивают значительно более надежную и быструю сходимость при решении плохо обусловленных задач анализа режимов ЭЭС, чем методы минимизации ньютоновского типа и методы минимизации по ньютоновской плоскости.

Точность аппроксимации кривой (47) можно оценить по значениям параметров JX , вычисляемых в методах. В частности, по в личинам этих параметров мокно судить о конфигурации минимизируемой функции, определить фазу протекания процесса минимизации и достижение минпадзируидей последовательностью выпуклой части функции. Использование указанной информации позволяет реализовать на базе этих методов ряд высокоэффективных их модификаций и регуляризованных алгоритмов, обладаниях при высокой надежности сходимости меньшей временной слоаностью.

Наиболее еысокой действенностюсреди рассмотренных методов обладает метод квадратичного спуска.

Для повышения действенности методов минимизации и исключения проявления неоднозначности решения УУР ЭЭС в главе приводится ре-твте задачи определения исходных приближений. Рассмотрено три подхода к решению этой задачи. Первый подход предполагает использование на первом шаге специальной формы записи уравнений баланса мощностей в узлах, при которой зарядная мощность 13П; потери на корону, в шунтах, проводамостях трансформаторов в соответствии с их Г-образной схемой замещения на первом шаге суммируются с соответствующей нагрузкой узлов к в качестве исходного приближения принимается точка с координатам»

Xе"" {uai — Ua(n+<I = U5; UrJ l***i...,n;j**i...n>{](69) в прямоугольной системе координат и точка с координата!®

Xi0,«{UL= U$ ; Sj «О j +4} (70)

в полярной системе координат.

Второй подход предлагает использование в качестве исходного приближения решения системы линейных уравнений

24

Наг у и а + ин * У иг - (• + ^ " ^г) —0 ^

1-1..., П-К'; К'.

Ори К =■ О решение уравнений (71) соответствует режиму холостого хода 030.

Третий подход. я капсетЕе исходного ппнблдабпчя принимается ре-пениз свсдокн урагнепяй

иа1-а1+иг1-Ъг-V , .(иа]-у^вн-Ц-;-уу,.) = ^• и1й£Ь (72)

при и^ * или . Показано, что эти исходные приближе-

ния резко повышают вычислительную эффективность даже метода Ньютона, самого "слабого" аз рассмотренных я наиболее чувствительного к заданию исходного приближения. Наиболее высокий вычислительный аффект дает использование в качестве исходного приближения решения уравнений (72).

Методы (39), (52) в сочетании с определением исходного првбля-яания из решения системы уравнений (72) практически решают проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС в прямоугольной система координат переменных.

В главе рассмотрены особенности алгоритмической п программной реализации рассмотренных методов мянимивацип при решении уравнений баланса мощностей в уздах 38С 5'лк в прямоугольной, так и полярной системах координат. Показано, что большинство предложенных в работе методов обладают высокими вычислительными характеристиками п кра решении уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС в полярной система координат пораменных. Однако, надежность сходимости методов, за исключением мотодов (39), (52). п полярной системе коорда-но? несколько ви«е, чем в прямоугольной. Надажнооть схсущмосуя ив-тодов (39), (52) в полярной системе коордзват не игле, чса в прех-коугошюй, а скорость сходимости - вародао ц выше.

Дапм рэшмал-гдгп по пиян^о^сп пкчиачгтаяьцо" БЗичмстачцоэди рпо-с^оч'ронш^; мзгодог к-гн^^огг;:1: при^нзачс тегл-ябчрог-энт суиксгпй сояза дли узлов 141, ап'^е^нпе игчиеденай с даойпеВ топкое-лдя псклздонгш ¿-¿шл^л. сзщС'Огс оь'ругсош» в ЭВМ '

МЕТОДОВ МПННКЙ&СЦЧИ,

Глава 4. Применение методов решения систем нелинейных уравнений для расчета установившихся режимов ЭЗС и электрических сетей

Рассмотрен универсальный подход к реализации итерационных процессов решения систем нелинейных УУР ЭЭС. Показано, что любой итерационный процесс решения систем нелинейных УУР ЭЭС, основанный на определении вектора поправок к переменным из решения системы линейных уравнений с произвольной функциональной матрицей коэффициентов, эквивалентен методу простой итерации, К таким итерационным процессам относятся, например, процессы метода Ньютона, модифицированного метода Ньютона, простой итерации к т.д.

Предложены достаточные условия сходимости метода простой итерации, итерационные формулы которого имеют вид

(121*+(1!?)* ' 14 (121)в + <1Я)в ' ( }

где 1а!,'(и<п); 1^1г1(и<й) - соответственно активная м реактивная составляыцие сетевого тока узла I . Эта условия сводятся К проверке на первш шага (73) следувдих соотношений

(74)

. Ы \ (75) (ИЛ)' + (I ¡.'¿У 4 ' 1

При выполнении (74), (75) уравнений исследуемого УР имеют решение и процесс (73) сходится.

Дани достаточные условия сходимости метода матрицы2, заключающиеся в выполнении на первш шаге соотношений

г. * 1 и г, (76)

нУ (иЗГГ+Ш)' 4

2, ^^/(дцаР^дийТ (77) .

При выполнении (76), (77) метод матрицы Z сходится к решению о заданного исходного приближения. Соотношения (76), (77) одновременно являются и достаточньми условиями существования решения уравненвй иоследуемого УР при заданных расчетных условиях.

Показано, что более надежная и быстрая сходимость различных модификаций модифицированного метода Ньютона о неизменными на ках.чш

26

езго пх итерационных процессов .матрицей' Язе оби, или матрицами, но-лучанныии на ее основе, обеспечивается при формировании итерационных матриц в исходит приближениях (69), (70). Построенная в этих точках матрица Якоб;; но зависит от' значений переменных, что позволяет не только повысить действенность различных Модификаций модифицированного метода Ньютона, но и существенно снизить вычислительную сложность этих реализаций, увеличить объем решаемых задач при тех яе материальных ресурсах ЭШ. Предложены алгоритмы, позволяющие повысить эффективность решения задачи расчета УР ЭЭС одновременно по быстродействию и надежности сходимости расчетов. Даны численные оцонки применимости модифицированного метода Ньютона: при Ян(е)«0,25 113 нврвш паге можно скидать высокой результативности расчета этим методом (если решение исследуемых уравнений существует). При /зН(о^0,5~ сходимость метода маловероятна; прир,,,^; - невозможна.

Для расчета УР ЭС, имеющих ряд специфических особенностей, за-•груднякцях, а нередко н векдшающих возможность применения известных методов, разработан метод, названный методом диагональной рэ~ лаксацгш» 1«стод реализует итерационный птюцесс

[П В {X(г>)] • X (р"м> « А. " ш

решения уравнений (72), где

В <?

& -ъ

LPa ~BQJ

- трахдиагональная симметрическая матшца, элемент которой

П ~

Щ)-.

равны:

X=(UP",uay

При решении УУР ОС постоянного тока метод обеспечивает абсолют-1Шо сходимость с исходного приближения, определяемого решением линейного уравнений

П- X ' ~ А. - (79)

Сходимость метода к точка X'" хотя бы с одно:'! нулевой координатой яэлкоj сл достаточйвч условием нэсовдостнссп; асследуэмих урзрнаний яря оаяашж гкечетпых условиях, Лрп сошозткостп нсслодуемкк уравнений метод всегда сходятся к някбочкясму £здаша>, При Р$.<0, £«•(.. п

ЯСв рЫЗШИЯ УДОКШТЕОПЛТОГ СССТ?'СЫСЕШК

О < u-*<uSf

Пталзпн^ол'кно к УУГ "С лерзиояиого тока (72; доказан результат,

^ЙЁЙржщсчне» Г^'сть система уравнения (72) нря. авдакшк значена-

ях Рс С^г удовлетворяющих соотношение (^¿<0, £.«/,>">, имеет ре-,

тание и режим, соответствующий атому решению, статически устойчив. Тогда итерационный процесс (78) сходится с исходного приближения, определяемого решением системы линейных уравнений (79).

Метод обладает высокими вычислитальными характеристиками при расчетах УР не только распределительных сетей, но и ЭЭС и особенно режимов ЭЭС, дефицитных по реактивной мощности и в случаях задания в качестве исходных данных для всех или большинства генераторных узлов активных и реактивных мощностей. Более быстрая сходимость мйтопз лостигэетг!я с точки (69).

применение метода диагональной релаксации дает высокий вычислительный эффект и при построении на его базе и базе предложенных выше методов минимизации регуляризованных алгоритмов, в которых он играет роль стартового метода.

Глава 5. Прикладные вопросы применения разработанного математического аппарата расчета установившихся режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС

Якобиан УУР ЭЭС, содержащей шины бесконечной мощности, совпадает с' свободным членом характеристического уравнения переходных процессов в этой системе, если при расчете УР: I) для генерирующих узлов в качестве независимых переменных заданы активные мощности и модули напряжения; 2) узлы нагрузок вводятся в расчет теми же статическими характеристиками, что и при расчете устойчивости; 3) в качестве балансирующих узлов выбраны шины бесконечной мощности. При соответствии якобиана свободному члену анализ статической апериодической устойчивости ЭЭС можно проводить уже на стадии расчета их УР по сходимости итерационных процессов предложенных методов.

Разработан метод утяжеления для определения предельных по апериодической статической устойчивости режимов ЭЭС, основанный на использовании предложенных методой минимизации и позволявший эффективно и с малыми затратами машинного времени определять предельные резшш. -Метод мояет успешно использоваться для ввода в область существования решения УУР. Разработан метод непрерывного утяжеления ■для определения предельных по апериодической статической устойчивости режимов ЭЭС на заданном пути утяжеления, аналитически задающий траекторию утяжеления в пространстве зависимых переменных сходящимся степенным рядом, коэффициенты которого определяются с помощью математического и программного аппарата методов криволинейного спуска. Трудоемкость вычисления каждого коэффициента ряда

28

прзктачзски эквивалентна трудоемкости реализации одного шага модифицированного метода Ныотона. Быстродействие решения задачи увеличивается в 2-5 раз по сравнению с обычным методом последовательного утяжеления режима.

• Показано, что предельным по апериодической устойчивости мозно считать режим, полученный на последнем шаге утяяеленил при сходящихся итерационных процессах предложенных в работе методов минимизации. Для получения статически апериодически неустойчивых режимов на заданном пути утяжелония можно успешно использовать способы, рассмотренные в работе.

Якобиан квадратичны:: УУР ЭЗС мотет выступать в качества критерия существования решения этих уравнений при оледуэдих условиях.

Пусть область 0является сеязной компонентой мнокества -оо^ (ХеЯ2п|51.(}»с1е13(Х)='Сопз1;} и ее образ в пространст-

ва У является выпуклым. Тогда для существования решения квадратичных УУР в области (т-А при заданном векторе независимы:: переменных Ув^43(уу , где - граница области , необхо-дага и достаточно, чтобы для каждого Х<я 0-л соответствущий ему Х~ Х+-2-ДХи , где определяется решением системы уравнений (5), такие принадлежал области , т.е. Xе (?х .

Квадратичные уравнения исследуемого УР ЗЭС не имеют решения в области От* при заданном У*, если хотя бы в одной точке Хе(?й к соответствующей X точке X в Х+2-АХ„зиакц якобиана исследуемых уравнений противоположны. Доказано, что при существовании решения квадратичных УУР ЭЗС в С?,- , метод (6), (15) сходится с любого исходного приближения л'^гт. СА.

Излсгаено методика расчета тяаолых послеаварийных режимов ЭЗС, обусловленных большими начальными возмущониякя и каскадным развл-ик-м аварийных процессов, учитывающая адекватно реальным ситуагш-исслодоватвльность я объем срабатывания достаточно широкого набора срздств противсаварайного управления. Указанная адекватность сЗеспечиваеч'оя моделированием всех основных ендов противозварпйной автоматики, работающих в ЭЗС в течение аварийного, процесса, о учетом реальной координации срабатывания етнх устройств по времена, расположения по оучоотниа к иесгу наг-зянюго поэмуиэнпя, о таете шзаечншс значений 5 ставок по г-н;>змозрзн оргйтгишям. Погодина оущсстшшо псиояьгус" оо^бзниос!-» п г-ог-г.:ожяооуз прэдяошшк* в рботв методов рао^огл Я' ¡?о с^зсаеченяэ надежной п б'тегрей охсэд-цоо«и Бяагоддря и-ссксцу би^годвйогвпп опргдзяенпя нс^гтарг^-

29

нюс ражкйов методика может бить вффоктьвно использоьана дня раше-ная большого числя задач надежности, устойчанеспособности, агиву-чостн как ири управлении развитием, так и функционированием ЭЭС. в том числе и задачах реального времени»

Приводится описание разработанных режимных тренажеров для обучения и тренака оперативно-диспетчерского персонала 0330, ЭБС и ЭС, реализующие предложенную методику расчета послеавэрийных разв-иое и предложенные в работа методы расчета У? и яозволящие с достаточной для целей обучения и тренажа точностью представить весь процесс развития, протекания аварии и действий оперативного персонала по еэ ликвидации и восстановлению нормального режима. При включении тренажеров в оперативно-информационный комплекс ЭЭС и ЭС, они могут использоваться для рассмотрения текущих заявок, оценка возможных аварийных ситуаций, надежности в текущем и перспективных режимах и т.д.

Глава 6. Вопросы существования, неоднозначности и сходимости , различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС

Для оценка совместности квадратичных УУР баланса мощностей в узлах ЭЭС в прямоугольной система координат предложено следуздее условие. Запишем эта УУР в виде

Uar(6--Ua + &Ur^Ra)-Urg.(B-U«-Gl.Ur-bRr)-P. (so)

ив9..(В-ив-(7-иР+ЯР)+иг9 (0"Ua+B-Ur+-Ra)eQ ,

где Ucg»d¿ag(Üa); 1Ц-cíicig (UP); Rq-(-Ufi-ylffai

■ P-(Pi.....Pn)T;Q=(Q(,..,Qn)T

Пусть CH(Cq , Си)т-2п -мзрный вещественный вектор Cq ж (Caí,...,

Can)T; Cr-(C,<f...fCPn)T и Ca « diog (Ca); C^diaq (Cr) .

Умножая первое матричное уравнение (80) слэЕа на диагональную матрицу €0 , а второе уравнение - слева на диагональную матрацу Ср и складывая результаты, получам квадратичное уравнение

UT-H(C^U + h (C).U-JS(C), (81)

где» Ua(Ua,UP); И (С) - матрица квадратичной форма UT*H(C)-U 3 ¿(CKT.P<Q. Пусть Дт(С) минимальное собственное значение матрицы И (С) . Назовем OÍCeE*"; Ат(С)>0,|С|«И}- мноввоквем

подасодшцих комбинаций и любой Се С1'- подходящей комбинацией. 5а-шшем уравнение (81) в следующем виде

(u-u0)i:H(c).(ü-ue)«L(c)-^(c)-fm(c)> (82)

где 1т[С) - значение левой части (87) в точка U0«~Q,5'H~(C)-h(c).

Для любого Се С матрица Н(С) является положительно определенной. Поэтому для любого UeE2" тлеет место неравенство Релея

G^AW(C)-1U-U0SÍ^(Ü-U0)TH(C}-(U-U0) = L(C). (вз)

Откуда формулируется следующее необходимое условие совместности квадратичных УУР ЭЭС (80).

Утверждение I. Если множество подходящих комбинаций не пусто, то для совместности уравнений (80) необходимо выполнение неравенства35

9(Y)= ¿ní{L(C) : ЙеС + } >0. ;q4)

При L(C)<0 система УУР (80) несонлестна. Задача (84) решается о помощью аппарата выпуклого программирования.

При неучете активных составляющих сопротивлений элементов схем гамеиепля ЗЭС ккоягг место слзлузтае достаточна условзя совместности УУР (72)» При ттрзнебр-з^енпи акгивкки! сспротнвл9ня.сл1 ЛЭП и трзисформаторов уравнения (72) прпт.г/т вчд п ! I V I! ..к. р|- •IJl"i;- Qi-1 IJi „П

Уаг'ип - uí-j 'У ч'-------- г .

.id Si V

Решение системы (85) эквивалентно поиску отзедоиорнсй точна функционала __

-^IIQi-tn'(UÍi + иД) , J (06)

( y1ÍV[...; Уп5г)Т i В - матрица собственных ц пзапшкх ро-актпвньк яроводкмостей узлов. Система уравнений (S5) имеет резекио тогда и только тогла, когда

g-rad F(U0,Ur) -0 . (87)

Для оценки существования решения .УУР ЭЭС (35) прв зядапгяк pao-четное условиях достаточно убедиться, что функция (86) пмзот яотя бы одну стацяопар^уи точку. Одним из решений o?oíi задачи является следуете в,

Утверждения 2» Система уразиониЗ (85) имев® ряиоияа пря выпоено кхш сооткспзгшл ___, .

d + С*Д >2. Я,,.. (лМг + Q? - QL), (G8)

" Условие (34) получено я доказано Е.Г.Лнгдафоровым.

31

а А** тШ/^+У; } I =»'/,.. п (89)

>. \ о-ч, J чь г /

где Хт- минимальное собственное значение положительно определенной матрицы В . Остальные коэффициента, входящие в (88), (89), вычисляются по формулам.

В главе показано, что в зависимости от параметров ЗЭС область существования решения УУР в пространстве независимых переменных может быть как выпуклой, так я невыпуклой; односвязной и неодно-связной. Решение в области пространства зависимых и независимых переменных, в которой якобиан УУР ЭЭС отличен от нуля, может быть неединственным. В зависимости от параметров ЭЭС область существования решения в пространстве зависимых переменных (углов и модулей напряжений), ограниченная поверхностью нулевого якобиана, мссет быть как выпуклой, так и невыпуклой, односвязной, так и неодно-связной. В невшуклой области решение мояет быть неединственным.

Приводятся рекомендации по анализу и контролю неоднозначности решния УУР при использовании разработанных методов минимизации. Рассмотрен вопрос оценки существования решения УУР по сходимости Предложенных методов и показана возможность такой оценки. Показана возможность выявления "слабых мест" (узлов ЭЭС), в которых в первую очередь нарушаются условия баланса мощностей при ухудшении режима и параметры которых в первую очередь определяют обусловленность матрицы Якоби и характер итерационных процессов. При несовместности УУР усиление "слабых мест" оказывается достаточна.® для разрешимости исследуемых уравнений. При этом величина минимально необходимых управляющих воздействий для "усиления" "слабых мест" определяется из решения несовместных уравнений, соответствующего шзннмуму функции (3).

Заключение

Основная направленность диссертационного исследования связана с теоретическим обоснованием и разработкой методов решения задачи расчета УР ЭЭС в ЭС, имевдей ваяное самостоятельное значение и яв~ лящейся составной частью большинства задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС и ЭС на всех территориальные а временных уровнях иерархии управления.

Достакекае главной цели потребовало решения ряда вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений УУР ЭЭС, тесный образом связанных с основным вопросом работы и имеющих ваайов самостоятельное значение.

32

Основные результаты работы состоят в следумцем.

1. Разработаны методы минимизации ньютоновского типа для расчета УР ЭЭС. Показано, что применение методов минимизации наиболее эффективно при использовании в качестве УУР ЭЭС уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС в прямоугоньной системе координат переменных. Разработаны три эффективных метода этого типа (метода П,Ш,1У). Доказана сходимость методов Ш и 1У при решении квадратичных УУР ЭЭС

с любого исходного приближения в области постоянного знака якобиана этих уравнений при выполнении легко проверяемого условия. Показано, что методы обеспечивают значительно более высокую действенность, чем метод Ньютона. Действенность методов при решении плохо обусловленных задач в прямоугольной системе координат вше, чем в полярной.

При решении хорошо обусловленных задач вычислительные характеристики методов П и Ш часто лучше вычислительных характеристик метода Ньютона. Вычислительные характеристика метода С практически всегда выше вычислительных характеристик метода Ньютона.

2. Разработаны методы минимизации по ньютоновской плоскости, обобщающие методы Ньютона; минимизации ньютоновского типа и наискорейшего спуска. Удачно сочетая основные достоинства перечисленных методов, они во многих практических ситуациях свободны от их недостатков. Доказана сходимость методов в области постоянного знака якобиана с любого исходного приближения при выполнении сформулированного в работе условия.

3. Разработаны нелинейные двухпараметрические методы, основанные на идее минимизации целевой функции не по прямой, а по некоторому множеству,, задаваемому двумя направлениями спуска в величинами параметров по этктл направлениям. Реиаца задача определения глобального минимума функции в вяде суммы квадратов юбалапсов мощностей з узлах ЗЗС в произвольной илнпшзвруецей пдоскостп. Продлозта--на мипвшзврущая пара взкторов, сбослечиващая посгрсспше итерационного процесса с исключительно виооягрди анчЕсдаГС'вльпшв характеристиками во надежности п скорости оходпмосад вр№ реаотга задачи рл счета 5Т ЭЭС л особенно нрз решения задач с плохо1 обуслоЕлзчтг»

иатрпцв!ля Ядобн. Гаэрабочэни даз вффектиьпнз чодзфнипздц пред-лодоиного метода шнвмпззпяп, обладают,шэ опачимладо* чевкзой вр«-менноЗ сдсаиостьо вычполяшш тагов по язврзаьаизям опусса*.

4. Разработаны глзтодц кркволянеРчого спуска, оезопанннэ на ап-ярокешацпи ешкщвльвш образом задачкой кривой, соэдянящзй «с«-

¥4 тчяхьуа'о ¡^¿одного прибишлин л рзр'оягм ур-.ан"ип.': расочагн • г¿ьлюго УР й пр^пад^-м^ей а ои.тлк слизко;;- сбласг;?

одного знака якобиана. Дано уравнение канвой и ее параметрг.чзока« форлз задания. Рассмотрены три вида аппроксимации кривой - квадратичная, кубическая и "биквадратичная" и соответственно три сс-поенье метода, реализующие спуск по аппроксимирующим кривил - метод квадратичного с:;уска, метод кубического спуска и мотод "би-квадратичного" спуска. Показано, что методы совершенно но чувстви-а-альик и оврэяности целей функции и высокозффекгивны при минимиза-цап невыпуклых фунхсций. Благодаря указанным свойствам, методы обеспечивает значительно более надвинув и бистру» сходимость при решении плохо обусловленных задач анализа, чей методы минимизации ньютоновского твпа и методы минимизации по ньютоновской плоскости. Показано; что наиболее высокой действенностью обладает метод квадратичного спуска^

Б. Решена задача выбора исходного приближения при расчете УР ЭЗС методами минимизации. Предложены три специальным образом определяемых исходных праблшэшш. Определены области их практического применения. Разработанные методы минимизации в сочетании с реко-ыандуегды определением исходного приближения практически резаю? проблем гарантированного получения решент уравнений баланса мощностей в узлах ЭЭС в прямоугольной система координат параменнш:.

6. Разработан метод решения УУР ЗЗС и ЭС, названный методам ди~ агсаалькоп релаксации. Даны узловая сводимости метода- пр;г рггагсл: УУГ ЭС постоянного тока, фактически явяяшшася условшшк существо-Е-'(Ная росшей ысследуомш: уравнэнай а условия сходимости при реам-кас УУР ЭС переменного тока. Показана высокая эффективность ыотода пра расчета УР ЭЭС и особенно ЗС,

7« Разработано семейство высокоэффективных рогуляризованных методов расчета УР ЭЭС и ЭС, основанных на сочетания разработанных катодов минимизации, диагональной релаксации и модифицированного катода Ньютона. В качества условия перехода с одного метода на другой использована предложенная в работа численная оценка одного кс штаедяешк в указанных методах коэффициентов, характеризующего обусловленность матрицы-Якобк. Показано, что особенно высокий вы-чаолдаельный эффект достигается использованием в отой комбинации в качестве стартового метода диагональной релаксации. Так, комбинирование ыйгода диагональной релапоации о катодом Ньатона праве-дат г. созданию ыэтода о качественно новыми вычислительными характе-

34

р^стиками, значительно превосходящими вычислительные характорвстЕ-

каждого из методов комбинации. Аналогичный эффект достигается а при комбинации метода диагональной релаксации с методами минимизации.

8„ Якобиан УУР ЭЭС, содержащих шины бесконечной Мощности при определенных условиях совпадает со свободным членом характеристических уравнений переходных процессов в этих системах. Оценка статической апериодической устойчивости ЗЭС в этом случае монет быть получена по сходимости итерационных процессов разработанных методов. Предельным по статической апериодической устойчивости можно считать режим, полученный на последнем шаге утяжеления при сходящихся итерационных процессах этих методов. Сходимость и скорость сходимости методов не зависят от близости рассчитываемого режима к предельному по статической апериодической устойчивости. Они одинаково быстро к надеяно сходятся при расчете как нормальных, так п бтазких к предельным, предельных п статически неустойчивых pesa-мсв.

Разработаны методы утяжеления для определения пределъпнх по статической апериодической устойчивости резэдов ЗЭС, основашше па использовании предлояеняшс методов минимизации и позволяющее значительно эффективнее а с меньшими затратами машнасго времени,чей существующие, определять предельные реясимы. Метода могут успешно использоваться для вводз в область существования решения УУР.

9. На базе предлодепных в работе методов мшшкпззЦйЛ разработана методика расчета тяжелых послеавэрийных роглмов ЭЭС, обусловленных большими начальными возмущениями и вэопэдним развитием аварийных процессов, учитывающая нзмепепзз частота в ЕЭС п действии достаточно широкого набора средств противоаварийного управления, Благодаря высокому быстродействию определения послеаварайннх ражя-!.'сз, она может быть использована для решения большого часла задач как при управлении развитием, так и функционированием ЗПС, в том числе к задачах реального времени.

10. Получены необходимые я достаточные условия существования решения квадратичных УУР ЗЗС в области зависимых переменных. Предложено необходимое условие совместности квадратачннх УУР ЭЭС на основе использования аппарата выпуклого црогрошвровзння. Получош! достаточные условия ссаюстности УУР ЗЭС, записанных пр:г пренебрежении активагын сопротивлениями сня:-ой схем замощения ЭСС. Получена достаточннз условия су^остаованип реаеяия УУР ЗЗС з виде прос-

35

тых численных соотношений, вычисляемых на первом шаге методов простой итерации и матрицы Z , одновременно являющиеся достаточными условиями сходимости указанных методов!.

11, Показано, что при расчетах УР ЭЭС и задании в генераторных узлах активных л реактивных мощностей генераторов: среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений; существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости; возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивы.! режимам. При указанном базисе расчета наиболее часты случаи проявления неоднозначности решения, при этом одно из решений УУР ЭЭС большой мощности всегда характеризуется значительно превышающими номинальные значения величинами напряжений в узлах. Для ЭЭС небольшой мощности и распределительных сетей "большими" решениями являются решения, отвечающие обычным эксплуатационным режимам.

При задании з генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений: только одно из решений отвечало допустимым по напряжению режимам; только одно из решений соответствовало статически апериодически устойчивым режимам; для всех ЭЭС независимо от их мощности допустимые по величинам напряжения решения являются "большими" решениями. Область существования "большего" решения УУР ЭЭС совпадает с областью статической устойчивости режимов.

12. Результаты исследований реализованы в виде промышленных программ: расчета УР ЭЭС и ЗС, оценки статической апериодической устойчивости и определения запаса устойчивости ЭЭС, расчета дефицитных по мощности и послеавярийных режимов с учетом изменения частоты и действия противоаварийной автоматики, расчета потерь электроэнергии в питающих и распределительных сетях ЭЭС, проверки допустимости режима по токовым характеристикам элементов ЭЭС в составе автоматизированных рабочих мест (АРМ) инженеров служб и групп режимов ВДС ОЭЭС, ЭЭС и ОДС КЗС на базе ПЭВМ типа IBM PC/AT; режимных тренажеров для обучения и тренажа оперативного персонала ОЭЭС, ЭЭС и ЭС на базе ПЭВМ типа IBM PC/AT. Режимные тренажеры и АРМы внедрены или внедряются в настоящее время более чом в 60 ЭЭС и ПЗС.

Непосредственно по теме диссертации опубликовано 72 работы: в гш числе :

1. Идельчик В.И,, Тарасов В.И. Экспериментальное исследование сходимости методов Ньютона и по параметру при расчете установившихся режимов сложных ЭЗС // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск: ИШ, 1971. С.-5.26.

2. Идельчик В.И., Kpyi,im Л.А., Тарасов В.И. Экспериментальное исследование неоднозначности решения уравнений установившегося режима. Там »е. С.27-47.

3. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Апериодическая устойчивость и сходимость решений уравнений установившегося режима. Там яе.С.47-62.

4. Тарасов В.И., Шалагинов А.И. АЛГОЛ-прогрэмма расчета установившихся режимов и оценки апериодической устойчивости слонных электрических систем. Гам же. С.62-74.

5. Веников В.А., Строев В.А., Идельчик В.И., Тарасов В.И. Оценка статической устойчивости электрических систем на основе решения уравнений установившегося режима // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1971. №5. С.18-23.

6.1delchic V.I., Taraaov V.I. Experimental investigations of existence, non-uniqueness'and convergence of solution of power flow problem equations in power systems. Fourth Power Syatema Computation Conference (P3CC) proceeding.V.1.Grenoble, September, 1972. 3/8.

7. Идельчик В.И., Тарасов В.И., Строев B.A. О связи статической устойчивости и сходимости итерационного процесса при расчете установившегося режима электрической системы // Изв.ЛН СССР. Энергетика и транспорт, 1972. JJ6. С.32-38.

8. Тарасов В.И. Ускорэние сходимосчи метода по параметру при расчетах установившихся рекимоз электрических систем // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск, 1972, С.19-20.

9. Тарасов В.И., Шалагинов А.И. 0 внесении блока вычисления параметра в программы, реализующие метод Ньютона для расчета установившихся реяимов олоктрипоских систем. Там so. С.30-39.

10. Веников В.А., Строев В.А., Идельчик В,Я., Тарасов Ч.И. К опрэ-долетпо продольных по апериодической статической устойчивости рэ-жшоа электрических cr-cvcn // Пав. All СССР. Энергетика л транспорт, 1973. 151, С,46-53.

II. Идольчак В.И., Тарасов В.И. Исследование на ЦБ!.! оущвотаоза-

• 37

нзя, неоднозначности в еходшостп решения уравнений установяыпо-гося режима ЭЭС // Электричество, 1974. И2. С.20-24.

12. Venikov V.A., Stroev V.A. , Idelchic T.l., Tarasov V.I. Estimation of electrical power system steady-state stability In load flow calculations. IEEE PES Summer Meeting Energy Resources Conf., Anaheim, Cal., July 1974.

13. Тарасов В.И. Применение способа непрерывного утяжеления для определения предельных по апериодической статической устойчивости режимов ЭЭС // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск, 1975. С.50-56.

14. Venikov V.A.,;Stroev V.A., Idelchic V.I., Taraoov V.I. Estimation of electrical power system ateady-state stability in load flow calculations IEEE PAS, 1975, Ю.

15. Идельчик В.К,, Тарасов В.И. Расчетное исследование сходимости решения уравнений установившегося режима электрических систем // Исследование решения на ЦВМ уравнений установившегося режиме элек-■пзических систем. Ереван: АрмНШЭ, 1976. С.22-25,

16. Веников В.А,, Строев В.А., Идельчик В.И., Тарасов В.И. Определение режимов, предельных по устойчивости, на основе оценки сходимости расчета установившихся режимов электрических систем. Там se.

17. Виноградов А.А., Дорофеев В.М., Новиков А.С., Паламарчук С.Й., Тарасов В.И. Кшплекс ФОРГРАН-програми для решения электротехнических задач в АСУ электрических систем // Применение математических мзтодов при управлении режимами и развитием злЕктрических систем. Иркутск: ИЛИ, 1973. С.218-233.

18. Дорофеев В.М., Новиков А.С., Тарасов В.И. Комплекс программ для решения электроэнергетических задач на ЕС-ЭВМ //' Применение математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск: ИЛИ, 1982. С.26-32.

IS. Дорофеев В.М., ДунаеЕа Н.П.Тарасов В.И. Алгоритмы п програм-ца расчета нормальных и послеаварийкых режимов сложных электроэнергетических систем с учетал изменения частоты и действия проти-воаварийной автоматики // Применение математических методов при управлений режимами и развитием ¡электрических систем. Иркутск: ИЛИ, 1984. С.21-30,

20. Тарасов В.И. Ускоренные методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Сб.науч.тр. #104. М.:Мсок. энерг.

38

ИН-Т 1986. С.100-109.

21. Тарасов В.И. О рациональном синтеза методов и алгоритмов расчета установившихся режимов при оперативном управлении электроэнергетическими системами // Вопросы развития автоматизированной системы оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами. Иркутск, 1937. С.68-78.

22. Taragov V.l., Gurevich V.L., Slobodskoy A.M. Method of solution of ill-conditioned load flow systems. Ninth Power Systems Computations Conference (PSCC) proceeding. Cascaia, p. 319-322. 1987.

23. Гуревич В.Л., Тарасов В.И. Метод расчета установившихся режимов электроэнергетических систем в прямоугольных координатах // Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. №5. С.50-60.

24. Тарасов В.И. Метод расчета режима энергосистем для решения задач противоаварийного управления // Режимная управляемость систем энергетики. Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1938. С.33-39.

25. 1Уревич В.Л., Тарасов В.И. Об одном методе решения систем квадратичных уравнений // -Методы оптимизации л их приложения. Иркутск, СЭИ СО АН СССР. 1988. С.154-166.

26. Тарасов В.И. Повышение эффективности расчетов установившихся режимов электрических систем // Изв.СО АН СССР. СТН. Й7. Вып.2. 1888. С.114-120.

27. Слободской A.M., Тарасоз В.И. Нелинейный метод минимизации для расчета установившихся режимов электрических систем // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1939. М2. C.23-3I.

23. Слободской A.M., Тарасов В.И. Двухпэраметричоскнй метод минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. 1'2. С.55-65.

29. Тарасов В.И., Слободской A.M. Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем методом минимизации // Электричество. 1990. Ж. С. 16-21.

30. Тарасов В.И., Слсбодской A.M. Метода криволинейного спуска дач расчета установившихся режимов элвктроэнергатичасклх систем // Изв. АН CCC?. Эноргатака и транспорт. I9S0. С.53-65.

31. Дорофзза B.íá., Дунаовэ Н.П., Тарасов В.И. Моделирована о щ>о-тивоаварийной автоматики upa расчетах установившихся рэжнмоэ электрических оастсм // Пгрэдача и распределение электроэнергии 2 рай-снах Севера, Annaтати, изд.Кольского научного цантра All CCCP.ICS9.

слоа-по.

32. Дорофеев B.M., Тарасов В.И. Автоматизированное рабочее место инженера службы реяимов электроэнергетических систем на базе персональных ЭВМ типа IBM PC // Средства и системы управления в энергетике. Вып.II. М.: 1990. С.18-21.

33. Новокшонов О.Г., Тарасов В.И. Полномасштабный цифровой режимный тренажер для обучения и тренировки оперативного персонала электроэнергетических систем // Средства и системы управления в энергетике. Вып. II. М. 1990. С.22-26.

34. Тарасов В.И., Слободской A.M. Методы анализа послеаварийных режимов при исследовании живучести электроэнергетических систем // Методы и модели исследования живучести систем энергетики. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, IS90. С.185-193.

35. 1уревич В.Я., Слободской A.M., Тарасов В.И. Критерий существования установившихся режимов сложных электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991. JS2. С.37-45.

36. Воевода А.И., Воропай Н.И., Кроль A.M., Мольков С.А. Негневиц-кай М.В., Редин В.И., Тарасов В.И. Восстановление электроэнергетических сисгег.1 после крупных аварий // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991. И. С.16-27.

37. Taraeov V.I., Antsiferov Y.G., Slobodekoy A.M. Criteria for the solution existence for steady flow Electric systems. 11th Power Syatema Computation Conference (PSCC) proceeding. Avignon, 1993.

ПОП ИЛИ - 100 - 93. Зак. 57.