автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Разработка математических аспектов технологии уравнивания геодезических сетей с применением тополгических методов

Р Г 5 ОД 1 5 ЛЕК 199В

На правах рукописи

Войнаровский Александр Евгеньевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ АСПЕКТОВ ТЕХНОЛОГИИ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Специальность 05.24.01. - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

/

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научные руководители:

доктор географических наук, профессор Смирнов Л.Е., доктор технических наук, профессор Коробков С. А.

Официальные оппоненты: доктор технических наук.

профессор Галошин А.И., кандидат военно-морских наук, профессор Дадашев A.A.

Ведущее предприятие: Государственное предприятие

"Аэрогеодезия".

Защита диссертации состоится "¿£_" ¡¡жа^л 1996 г. в ¿£_ час. ЗО мин. на заседании диссертационного совета Д 063.15.10 в Санкт-Петербургском государственном горном институте (техническом университете) им. Г.В. Плеханова по адресу:

199026, г. Санкт-Петербург, 21-я линия, дом 2, ауд.3204

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского горного института им. Г.В. Плеханова

Автореферат разослан " 1996 г.

Ученный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент /(О/

Корнилов Ю.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ-

Актуальность темы исследований. Эффективность и качество геодезического производства во многом зависит от применяемых методов математической обработки результатов геодезических измерений. В последнее время произошли значительные изменения в методике и технологии геодезических работ, значительного уровня достигла компьютеризация' процессов обработки измерений. Для рационального использования вычислительной базы в решении задач геодезического производства требуются исследования по оптимизации компьютерной технологии, позволяющей автоматизировать все этапы обработки измерений на ЭВМ, обеспечивающей высокую точность решения задач ^ с наименьшими трудовыми затратами, оптимально использующей "у машинные ресурсы. Широкие возможности для решения этих актуальных задач имеют топологические методы;-основой- которых— является теория графов и комбинаторный анализ. Они дополняют и расширяют существующие способы анализа геодезических сетей и ведут к максимальной их формализации, что становится актуальным при машинных способах обработки измерений.

Цель работы состоит в систематизации и совершенствовании общих подходов представления и обработки геодезических построений топологическим способом и разработке, на этой основе, математических аспектов технологии уравнивания геодезических сетей с применением топологических методов. Задачи исследований:

рассмотреть вопросы представимости геодезических построений различного рода графами;

разработать методику оптимального машинного представления графов геодезических сетей;

отработать приемы оптимизации уравнивания б-мерных геодезических построений с применением топологических методов;

исследовать топологические аспекты двойственности основных способов уравнивания с целью решения задач.оптимизации уравнительных вычислений;

исследовать и практически показать применение методов теории матроидов в задачах анализа и уравнивания геодезических сетей.

Методика исследований. В теоретических исследованиях реализованы методы математической обработки геодезических измерений, теории графов, комбинаторного анализа, математической логики и теории матриц. Экспериментальные исследования проводились на основе реализации предлагаемых методов и алгоритмов в виде соответствующих программ для ЭВМ при решении практических задач обработки геодезических измерений. Научная новизна работы заключается в следующем: введено понятие - топологическая информация о геодезической сети; введено понятие - граф измерений и неизвестных;

предложена классификация геодезических сетей по характеру взаимосвязи между измеренными величинами и определяемыми неизвестными, в соответствии с которой все геодезические построения разделены на две группы: сети векторные и сети геометрические;

разработаны способы представления графа геодезической сети в памяти ЭВМ в виде специальных форм структуры смежности;

систематизированы вопросы применения топологических методов для уравнивания векторных и геометрических сетей;

усовершенствована методика и алгоритмы обработки геодезических сетей с применением топологических матриц;

предложена строгая методика уравнивания геодезических построений с применением стандартных представлений параметрического и коррелатного матроидов;

выполнен топологический анализ сети GPS; предложен матричный алгоритм решения пространственной линейной засечки по четырем измерениям и рекуррентный алгоритм объединения геодезических сетей, созданных по принципу перехода от общего к частному.

Практическое значение в duccevmauuu имеют: способы машинного представления графов геодезических сетей и алгоритмы перехода от. одного представления к другому;

разработки по уравниванию геодезических построений с применением топологических матриц;

методика уравнивания геодезических построений с применением стандартных представлений параметрического и коррелатного матроидов;

алгоритмы определения множеств необходимых и избыточных измерений в геодезических сетях;

алгоритм решения пространственной линейной засечки по четырем измерениям и рекуррентный алгоритм объединения геодезических сетей, созданных по принципу перехода от общего к частному.

Достоверность и обоснованность результатов исследований, научных положений и выводов подтверждаются экспериментами на числовых примерах.

На затти выносятся:

результаты исследований по вопросам представимости геодезических построений графами и классификация сетей по характеру взаимосвязи между измерениями и определяемыми неизвестными:

разработки по машинному представлению графов геодезических построений;

разработки по уравниванию геодезических сетей с применением топологических матриц;

методика уравнивания геодезических построений с применением стандартных представлений параметрического и корре-латного матроидов;

алгоритм решения пространственной линейной засечки по четырем измерениям и рекуррентный алгоритм объединения геодезических сетей, созданных по принципу перехода от общего к частному.

Реализация результатов исследований. Результаты выполненных исследований внедрены в практику решения геодезических задач в Г.П."Аэрогеодезия", а также включены в учебный процесс в Санкт-Петербургском государственном университете.

Апуобайия работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре Санкт-Петербургского общества геодезии и картографии (Санкт-Петербург. 1996).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Стутгщуд и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 130 наименований, в том числе 17 зарубежных. Работа содержит 182 страницы машинописного текста. 9 таблиц, 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Любая геодезическая сеть характеризуется не только размерами. точностью измерений, геометрической формой или точностью исходных данных, но и геометрическим образом се'уи -ее топологией. Топологическая информаиия о геодезической сети, под которой понимаем число ее пунктов, число измерений, характер связей между ними, а также порядок нумерации отдельных ее элементов, является по сути особым классом информации о геодезическом построении, позволяющим соотносить численные значения измеренных величин, исходных данных и различных оценочных характеристик с конкретными объектами или элементами геодезической сети.

При разработке алгоритмов компьютерной обработки геодезических измерений так или иначе мы должны изначально организовать представление топологической информации о сети в виде отдельного класса. Причем, от способа ее представления

-----зачастую^зависит скорость работыалгоритма, егоуниверсаль-

ность и, в конечном итоге, эффективность. В этой связи применение методов дискретной математики позволяет достигать высокого уровня формализации ряда задач математической обработки геодезических измерений и облегчает решение вопросов их оптимизации с применением ЭВМ.

Топологическая информация о геодезической сети полностью определяется ее графом. В памяти ЭВМ графы удобно представлять в цифровом виде. С точки зрения оптимизации обработки геодезических сетей на ЭВМ наибольшего внимания заслуживают такие представления их графов, которые, обладая максимальной информативностью, требовали бы минимальных затрат на ввод данных. В этой связи наиболее оптимальными являются представления графов геодезических сетей в виде реберных списков и структур смежности. В первом случае, реберные списки реализуются двумя одномерными массивами вершин орграфа 1= (I], 1г.....1„) - список вершин исхода дуг

орграфа и М= (гп,. т2.....ц,) - список вершин захода дуг орграфа. Во втором - структуру смежности составляют списки АсЩЮ вершин смежных с вершиной И. Оба способа представления равнозначны с точки зрения информативности, но не равнозначны с точки зрения затрат на ввод данных: общее число элементов структуры смежности практически всегда меньше

(иногда почти в два раза) общего числа элементов в номерных реберных списках. Таким образом, первоначальное представление топологической информации о геодезической сети в виде структуры смежности кажется нам наиболее эффективным. Разработаны конкретные формы такого представления.

Рассмотрены вопросы представимости геодезических сетей графами. Наряду с известными представлениями, когда каждому выполненному в сети измерению ставят в соответствие ребро (дугу) графа, а элементам между которыми выполнено измерение - вершины графа, предложено представлять топологическую информацию о геодезической сети в виде графа измерений и неизвестных. Каждая вершина такого графа соответствует определяемому в сети неизвестному, а каждое ребро - выполненному измерению. Такое представление геодезической сети содержит как топологическую информацию о ней. так и отражает взаимосвязь между измеренными величинами и определяемыми неизвестными, что может оказаться важным как при проведении анализа, так и при разработке алгоритмов уравнивания геодезических построений на ЭВМ. Однако не для всех видов геодезических сетей возможно построить граф измерений и неизвестных. В этой связи нами предложена классификация геодезических построений по характеру взаимосвязи между измеренными величинами и определяемыми неизвестными, в соответствии с которой те построения, в которых данная взаимосвязь выражается в линейном виде, отнесены к группе еекторнш; сетей. остальные же геодезические построения - к группе геометрических сетей.

К группе векторных сетей, наряду с нивелирными построениями, можно отнести наземные плановые и пространственные сети, созданные относительными методами спутниковых координатных определений. К группе геометрических сетей относятся построения триангуляции, полигонометрии, плановой и пространственной трилатерации, различного рода комбинированные сети, обладающие соответствующими свойствами. Основные свойства векторных и геометрических сетей приведем в виде таблицы.

Таб. 1

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ

СЕТИ ВЕКТОРНЫЕ СЕТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

Свойства Характеристики Свойства

линейные исходные уравнения связи нелинейные

строгие системы уравнений используемые в процессах уравнивания приближенные

-1,0,1 коэффициенты уравнений /[-1.1],/ей

несущественн а точность параметров существенна

полное совпадение взаимосвязь меаду матрицей коэффициентов параметрических уравнений поправок и усеченной матрицей инцидентности орграфа сети сходство топологических портретов

полное совпадение взаимосвязь между матрицей , коэффициентов условных уравнений и матрицей независимых циклов орграфа сети сходство топологических портретов

____есть__ есть есть степень информативности теоретико-графовых представлений геодезических"сетей: ^ а)-, топологическая информация— б) информация о геометрических свойствах используемых для геодезических определений в) возможность построить граф измерений и неизвестных -----есть- нет нет

Здесь й - множество рациональных чисел.

Изложенные в Таб.1 свойства векторных и геометрических сетей во многом определяют характер оптимизации их обработки с использованием топологических методов. Так. применительно к векторным сетям можно сказать, что задача получения матриц коэффициентов уравнений связи эквивалентна задаче составления соответствующих топологических матриц (в диссертации приведены алгоритмы получения матрицы инцидентности по структуре смежности с одновременной нумерацией дуг орграфа). В случае геометрических сетей целесообразно использовать свойство сходства портретов топологических мат-

риц и матриц соответствующих уравнений для вычисления и формирования коэффициентов последних. Нами получены матричные формулы вычисления и формирования элементов параметрических уравнений поправок для сетей пространственной трила-терации и триангуляции, основанные на использовании этих свойств.

Для сетей пространственной трилатерации имеем: ДX=-IX. hY=-IY, M=-ll.

^-AXa.W A^-hYaSü-nu, Az =-bZä ^1 Ia . A=lAx:Ay:Az II. l=S-S*.

здесь X.Y.Z - векторы-столбцы соответствующих предварительных координат пунктов сети, включая и координаты исходных пунктов, I и Iu - соответственно полная и усеченная матрицы инцидентности орграфа сети. AX,A1\AZ - векторы приращений координат по всем дугам орграфам S - вектор предварительных значений длин линий (здесь и ниже знак степени в скобках при матрице означает, что каждый ее элемент возведен в эту степень), S*- вектор измеренных значений длин линий, d -символ, указывающий, что вектор-столбец заменен диагональной матрицей. А и l - соответственно матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок и вектор свободных членов.

Для сети триангуляции, уравниваемой по направлениям, подобные формулы будут иметь следующий вид:

ДХ = -IX. = -1У.

S(2) = ^(2) + ьу(г)1

Ах = А, = -р$э"г АХд 1„,

А = I-^-V^L (2)

г - а - м. гср = ^(VMVZ)). i -z- zcp.

где а - вектор-столбец дирекционных углов ({^»arctgtAVoAXc"1) с учетом четвертей), р - число секунд в радиане, Az ~ подматрица. составленная из коэффициентов при поправках в ори-

ентирующие углы (топологическая матрица исхода, получаемая заменой отрицательных элементов матрицы I нулями) - диагональная матрица степеней вершин орграфа сети триангуляции. М - вектор измеренных направлений; г - вектор-столбец ориентирующих-углов, вычисленных-по всем направлениям.

Блочный характер матрицы А коэффициентов параметрических уравнений поправок сети триангуляции позволяет и дальнейшее решение выполнить отдельными блоками без составления полной матрицы коэффициентов нормальных уравнений. Формулы такого решения имеют вид:

В=Аг'? Аг. С=Аг'Р Ль, Н'р4: О)

_________Е=вгкс__________________ _______________

М=<Г1.

К=-ГС"1. (4)

, Хк ~-*М1|](

V =-46 г + лххх+ I.

Здесь Р - матрица весов измерений, бг - вектор поправок в ориентирующие углы на всех пунктах сети. Хк - вектор поправок в предварительные координаты определяемых пунктов, V -вектор поправок в измерения.

В (4) использованы известные формулы Фробениуса, преобразованные нами с учетом симметричности матриц коэффициентов нормальных уравнений. В диссертации показано, что применение алгоритма, описываемого соотношениями (3) и (4) позволяет исключить выполнение ряда тривиальных операций и. следовательно, требует меньше затрат, чем решение с составлением полной системы нормальных уравнений.

Блочный характер матрицы А позволяет также в довольно компактной форме исключать ориентирные поправки сразу для всех пунктов сети и выполнять решение с составлением элементов редуцированных нормальных уравнений:

/

- 11 -Нг=0-С'В-'С.

I-Г=4"Р I.

Ог=«г-'. Хк=-Ог1г. Уа-Акхк. (5)

5"1 М2 '(V»)).

У=-бг + V,, + I,

где Мг - матрица коэффициентов редуцированных нормальных уравнений. 1г - вектор-столбец свободных членов редуцированных нормальных уравнений. В, С, Б -матрицы, получаемые по формулам (3). уа- вектор-столбец поправок в дирекционные углы по всем дугам орграфа, - матрица, получаемая из (2). 5г - вектор-столбец поправок в ориентирующие углы по всем дугам орграфа.

Конечно и блочные способы решения и матричные формы исключения ориентирных поправок были известны и ранее. Однако наши алгоритмы отличает то. что они тесно увязаны с формулами вычисления и формирования элементов параметрических уравнений поправок и удобны для реализации на ЭВМ. Применение топологических матриц (I,1а.31). объективно представляющих топологическою информацию о геодезической сети, позволяет успешно применять данные алгоритмы для обработки сетей любых геометрических конфигураций и представить весь процесс уравнивания сетей триангуляции и пространственной трилатерации виде законченного ряда матричных соотношений, удобном при машинных способах решения.

Исследованы аспекты двойственности основных способов уравнивания. Получены матричные формулы решения по обобщенному МНК с учетом весов без составления нормальных уравнений. Рассмотрены два варианта такого решения. В первом случае в качестве результата получают коррелаты и поправки в параметры, во втором - поправки в измерения. В обоих вариантах решаются системы уравнений с квадратными положительно определенными несимметричными матрицами. В первом случае логика рассуждений следующая. Приравняв правые части известных соотношений

V = г1вх

V = АХ+1, (6)

получим

- 12 -Г'В'К - АХ = I.

Здесь В - матрица коэффициентов условных уравнений, К -вектор коррелат. X - вектор поправок в параметры (остальные обозначения соответствуют принятым ранее). Далее обозначив:

Вр'= Г'В'

и учитывая размерности матриц Вр' и А. а также то, что векторы К и X являются искомым решением уравнения (7), перейдем к соотношению:

га - I = о. (8)

где

К

Во втором случае, учитывая размерность матриц. А' и В в соотношениях

А'РУ = О вр- »V + V = О,

где К - вектор невязок, обозначим

Вр^ВГ1

и объединим

Г =

А'

Ц>

И К, =

В итоге получим матричное уравнение

ГРУ + = 0 (9)

с квадратной, в общем случае несимметричной матрицей Т, из решения которого найдем поправки в измерения.

Взаимосвязь между свободными членами также очевидна. Подставив значение вектора V из (6) в соотношение BV+W = о,

и. учитывая условие ортогональности:

ВА =О

в итоге получим

В t =-W. (10)

Двойственность основных способов уравнивания рассмотрена

- 13 -

также с позиции теории графов и теории матроидов.

На основе выполненных исследований разработана методика уравнивания геодезических сетей с применением стандартных представлений параметрического и коррелатного матроидов.

В качестве поля представления параметрического (Мр) матроида принимается множество М векторов-строк матрицы А коэффициентов параметрических уравнений поправок, а для коррелатного (Мх) матроида - множество Р векторов-столбцов матрицы В коэффициентов условных уравнений. Показано, что любое подмножество Г строк матрицы А. -соответствующее набору необходимых измерений в сети, удовлетворяет как аксиомам независимости, так и аксиомам баз для параметрического матроида. Любое подмножество Н столбцов матрицы В, соответствующее набору избыточных измерений, также будет независимым и удовлетворяет аксиомам баз для коррелатного матроида. Разделив всё измерения в сети на необходимые и избыточные и выполнив соответствующие перестановки строк матрицы А и столбцов матрицы В. получим матричные представления параметрического (-4,,,) и коррелатного (Вд) матроидов с зафиксированными базами:

Д, = 1Вс : 4,1. (И)

Здесь подматрицы с индексом I соответствуют необходимым, а с индексом 11 - избыточным измерениям. Условимся, что в блоке А1 представлены те же измерения, что и в блоке Вс. и записаны в том же порядке. Условимся, что таким же образом представлены измерения и в блоках 4 йВ^.

Аг и Вп квадратные матрицы соответственно порядка п=|Г| и порядка К=|НI. В диссертации приведено доказательство невырожденности этих матриц. 4 и В, - в общем случае прямоугольные матрицу размерностью кхп.

Стандартные представления параметрического (Л3) и коррелатного (В3) матроидов получим, выполнив преобразования:

4 - 1.

В, (12)

- 14 -

Учитывая, что /4ПИ1"1 ='-В„"1В1. введем обозначение

я - 4А"1 = -АГ1^. (13)

■в соответствии с которым стандартные представления параметрического и коррелатного матроида можно представить в виде:

|Е

■ • • . В3 = 1-Е : £||. (14)

Я

Взаимосвязь между свободными членами параметрических уравнений поправок и условных уравнений определим, используя соотношение (10). которое перепишем в следующем виде:

ДА (15)

или

В(Ч+Д|1|1~Ив. (16)

Если предварительные значения параметров определялись строго по необходимым измерениям, то

' ' 4=0 (17)

и

ЧЛ-Ч.. (18)

10 |

(19)

Выполнив те же преобразования относительно матрицы В3. приняв при этом: 18=1о. получим формулы взаимосвязи между свободными членами уравнений в качестве матриц коэффициентов которых выступают стандартные представления матроидов. Для общего случая имеем:

Ва13 =-У3 (20)

или

*Гв. (21)

Для случая, когда 1(=0 -

1„ - -*Г, (22)

и

[ к.

I,— (23)

Применение соотношений (13) - (23) позволяет довольно легко осуществлять переход от параметрического способа к коррелатному и наоборот, выбирать в конкретных случаях оптимальный путь решения, при параметрическом уравнивании контролировать качество измерений по невязкам. -

Дальнейшее решение систем линейных уравнений по МНК и элементы оценки точности в том и другом способе уравнивания приведем в виде таблицы (Таб.2).

Таб. 2.

Элементы, решения Слу чай Параметрический способ Ко ррелатнш способ

Элементы нормальных уравнений 1&2 ПР =4'РА, Ц,=А3'Р1з И^ВзР-Ч'

2 \=Рь"1 +

Нормальные -уравнения 1&2 ----ИрУ+Ьр=У------

Корреляционная матрица параметров 1&2 Ор^-1

2

Корреляционная матрица усл. ур - а 1&2 Ок^к"1

"2 0к=Рв-РпЯ0р1ГРГ - .............

Вектор параметров 1&2

2 У^Р,"1--Р^К'ОкКК-ЧЯ'Р,^

Вектор коррелат 1&2

2 К= (Рц -Рй Ир Я' Р„

Поправки измерений 1&2 у=А5Г+13 ^Г^з 'К

СКП единицы веса 1&2 ГРУ ¡¡2=к-1у.ру

Ковариационная матрица параметров 1&2 Кр^Ор

2 -р^аГЬг1;

Ковариационная матрица измерений 1&2 Кд =Цг (Р" 1 ~

В таблице (Таб.2) параллельно рассмотрены как общий случай с весовой матрицей произвольного вида (1), так и случай (2). когда необходимые и избыточные измерения некоррелиро-ваны и имеют весовую матрицу вида

\Р1- О

Р = ..........(24)

10 :Р„

Очевидно, что соотношения, справедливые для случая (1), будут справедливы и для случая (2). поэтому в таблице они отмечены значком (1&2) в графе "Случай". В то же время, если выполняются соотношения (24) и (17). можно легко получить значения одних и тех же функций, исходя из двойственности способов уравнивания (значок 2 в графе "Случай").

С точки зрения теории уравнительных вычислений можно сказать, что переход от матрицы 4,, коэффициентов параметрических уравнений поправок к стандартному представлению параметрического матроида - матрице А3. по сути, символизирует переход к эквивалентной системе уравнений, неизвестными в которой (вектор У) будут поправки в необходимые измерения, в случае когда предварительные координаты определяемых пунктов вычислялись строго по этим измерениям, и поправки в предварительные значения необходимых измерений - в'общем случае. С другой стороны, преобразование —> в3 по существу отражает переход от системы геометрических условий сети к системе условных уравнений для избыточных измерений. Поскольку в геодезических сетях практически всегда имеют место избыточные измерения, то в одном и том же построении существует несколько вариантов разделения измерений на необходимые и избыточные. И, следовательно, существует столько же стандартных представлений параметрического и двойственного ему коррелатного матроидов. Таким образом, появляется возможность дополнительно контролировать как вычисления (по результатам уравнивания выполненного несколькими путями), так и качество измерений (например, по невязкам циклических векторов 'нескольких стандартных представлений коррелатного матроида). Увеличение объема вычислений при этом, на наш взгляд, не имеет существенного значения, учитывая возможности современной компьютерной техники. Кроме

того, процедура вычислений по нескольким базам параметрического и коррелатного матроидов может быть существенно упрощена. Например, переход от базы с номером 1 к базе с номером 2 можно осуществить, выполнив следующие эквивалентные преобразования:

параметрический матроид (25) коррелаткый матроид (26) Щг = ¿«"'ЛиЧ^иАг'1. "кг » ^«"'ДпЧс!^» .

1кг - Вм'Ди"'^^"'^.

Взаимосвязь между элементами решения с использованием стандартных представлений матроидов и элементами непосредственного решения уравнений АД-И^У и В^+й^о соответственно в параметрическом и коррелатном способах уравнивания выражается следующими соотношениями:

параметрический способ коррелатш способ

%

щ - v-'Mt"1. JH = V4V1.

у = к, -v1*».

Qp = __2 _ _ _Q* = VA^n-______

= ' (27) Nm=3AV. (28)

X = i4t Jy, Win = Ai^s- -Km =

Qx = V44"1.

Таким образом, можно сказать, что привлечение методов теории матроидов ведет к созданию математической среды, позволяющей повысить надежность вычислений, поиска грубых ошибок измерений, выбирать в кавдом конкретном случае оптимальный путь решения. Кроме того, мы разработали и привели в диссертации алгоритмы определения баз параметрического и коррелатного матроидов (множеств необходимых и избыточных измерений) для векторных сетей и для сетей плановой и пространственной трилатерации, применение которых позволяет автоматизировать процессы обработки сетей с применением ЭВМ.

Методика уравнивания геодезических сетей с применением

стандартных представлений параметрического и коррелатного матроидов опробована на примерах сети пространственной три-латерации и СРБ-сети. Проанализированы результаты.

В главе, посвященной пространственной трилатерации, приведен разработанный нами ранее матричный алгоритм решения пространственной линейной засечки. Сущность решения по данному алгоритму заключается в следующем. Пусть измерены расстояния Зар.Зьр.йср.Зар между исходными (А. В. С. С) и определяемым (Р) пунктами (рис.1), и исходные пункты не лежат в одной плоскости. Измеренное расстояние Бар представляет собой вектор, не ориентированный в пространстве, т.е. известно. что точка Р находится по отношению к точке А где-то на сфере с радиусом 5ар (рис.2). Последующие измерения конкретизируют местоположение определяемой точки: а) пересечение двух сфер дает круг; б) пересечение трех сфер - две точки Р и Р'; в) после учета четвертого измерения останется одна точка Р. координаты которой и будут искомыми.

Матричные формулы решения по данному алгоритму имеют

вид:

¡С=В-А, С

К'=|К:Г:СВ. Н=й(г)е, 3=е ,

М= ОМ-Яр <г>)/2. (29)

Х=Г^М, Р=А+Х.

Здесь Л.В.С,л - векторы пространственных декартовых координат соответствующих исходных пунктов. 5а - измеренное расстояние между исходной, в данном случае А. и определяемой Р

о : ай

точками (квадратная матрица первого порядка). ^ - вектор измеренных длин линий между пунктами В.С.Ь и определяемой точкой Р. е - столбец единиц. Р - искомый вектор решения (предварительные координаты определяемой точки).

Разработан рекуррентный алгоритм объединения геодезических сетей, созданных по принципу перехода от общего к частному. Сущность решения по данному алгоритму заключается в следующем. Пусть геодезическая сеть состоит из двух блоков А к В. Причем некоторые пункты первого блока являются исходными для второго. Если уравнивание блока В выполнялось без учета ошибок исходных данных, то корреляционная матрица вектора поправок в параметры для всей сети

|1а1

• •1 имеет вид 0о =

здесь 0а - корреляционная матрицаблокаЛ, чь - корреляци-' онная~матрица "блока В (предполагается, что вопросы неравно-точности измерений в блоках А и В учтены).

Переуравнивание геодезической сети с учетом ошибок исходных данных предлагается выполнить следующим образом.

На первом этапе удалим из сети измерения, связывающие блоки А и В. При этом корреляционная матрица первого блока не изменится, а соответствующую матрицу (0Ьп) для второго блока и новый вектор (хЬп) поправок в параметры получим по известным рекуррентным формулам:

0ьп=0ь - ^пЧ'^ьп. ч.«"^ - ■гьв'И"1^». (30) где

2ьп'=0ь V. «п-Рп"1 + А гЬп\ (31)

4 - матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок удаляемых измерений (состоит только из коэффициентов при поправках в координаты связующих пунктов блока В). Рп -матрица весов удаляемых измерений. Новый вектор свободных членов найдем по формуле

Ьъп=Ьп + 41 (32)

.где Ьп - вектор свободных членов, соответствующий удаляемым измерениям (из предыдущего этапа уравнивания).

Далее, составив для всей сети новую корреляционную матрицу и вектор поправок в параметры:

V

|0а О

|о

■■■ . (34)

хЬп

и включив в сеть с учетом ошибок исходных данных (координат связующих пунктов блока А) измерения, удаленные на предыдущем этапе, найдем окончательные поправки в параметры (вектор I) и их корреляционную матрицу 0.

о=ор - гVхг, х=хр - гтчаЬ, (35)

где

2'=0р Ааь\ + Альг-. (36)

^ь^п+ЛьХр. (37)

Аяь - матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок. вновь включаемых в сеть измерений (состоит из коэффициентов при поправках в координаты связующих пунктов блоков А и В).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В соответствии с целью и задачами исследований в диссертации получены следующие основные результаты.

1. Введено понятие топологической информации о геодезической сети. Показано, что наряду с исходными данными и измеренными величинами, данный класс информации о геодезических построениях является основным п^л разработке универсальных алгоритмов их компьютерной обработки.

2. Рассмотрены вопросы представимости геодезических сетей различного рода графами. Наряду с известным представлением. когда каждому пункту геодезической сети ставится в соответствие вершина графа, а каждому измерению - ребро (дуга), введено понятие графа измерений и неизвестных. По- ' казано, что в случае одномерных геодезических построений данные представления совпадают.

3. Исходя из задач оптимизации уравнительных вычислений с применением топологических методов обработки, предложена классификация геодезических сетей по характеру взаимосвязи между измеренными величинами и определяемыми неизвестными, в соответствии с которой все геодезические построения разделены на две группы - сети векторные и сети геометрические. Представлены соответствующие определения и сформулированы основные свойства.

- 21 -

4. Графы геодезических сетей в памяти ЭВМ предлагается представлять структурами смежности - наиболее экономном, по нашему мнению, представлении с точки зрения затрат на ввод данных. Предложен алгоритм перехода, от структуры смежности к матрице инцидентности, используемой в ряде алгоритмов параметрического уравнивания.

5. Отработаны приемы использования топологической информации в вопросах оптимизации обработки векторных и геометрических сетей. Предложены матричные формулы вычисления и формирования элементов параметрических уравнений поправок для сетей триангуляции и пространственной трилатерации. позволяющие представить весь процесс уравнивания в удобном для реализации на ЭВМ виде ряда матричных операций.

6. разработан блочный способ решения системы параметрических уравнений поправок сети триангуляции без составления и хранения полной матрицы коэффициентов нормальных уравнений. Применение данного способа позволяет исключить выполнение ряда тривиальных операций и, следовательно, ведет к сокращению объема вычислений. Весь алгоритм решения описан в виде ряда матричных соотношений.

7. Предложены матричные формулы исключения ориентирных поправок сразу для всех пунктов сети триангуляции. Здесь, как и в предыдущем случае, используется блочный характер получения матрицы коэффициентов параметрических уравнений поправок в рамках теоретико-графового алгоритма. Весь процесс уравнивадия с использованием элементов редуцированных нормальных уравнений описан в виде матричных соотношений.

8. Разработаны алгоритмы, позволяющие трансформировать блочную структуру матриц, которые, по нашему мнению, могут найти применение в решении задач оптимизации математической обработки геодезических измерений на ЭВМ.

9. С различных позиций рассмотрен принцип двойственности. который находит применение в ряде задач математической обработки геодезических измерений. Рассмотрены такие понятия. как двойственность графов, двойственность матроидов и принцип двойственности теоретико - множественных операций.

10. Исходя из описанных выше понятий, исследована двойственность основных способов уравнивания. Выведено ряд соот-

ношений, иллюстрирующих двойственность основных способов уравнивания и представляющих, по нашему мнению, как теоретический интерес, так и практическую ценность.

11. Выведены матричные формулы решения по обобщенному МНК с учетом весов без составления нормальных уравнений. Рассмотрены два варианта такого решения. В первом случае из уравнивания сразу находят поправки в параметры и коррелаты. во втором - поправки в измерения. В обоих случаях решаются системы уравнений с квадратными положительно определенными несимметричными матрицами.

12. Разработана строгая методика уравнивания d-мерных геодезических сетей с применением стандартных представлений параметрического и коррелатного матроидов, в качестве полей представления которых выступают векторы матриц, участвующих в процессах уравнивания. Данная методика обобщает известные способы обобщенных узлов и „полигонов единый алгоритм составления условных уравнений". В рамках данной методики легко может быть осуществлен переход от параметрического уравнивания к коррелатному и наоборот, упрощена процедура вычислений по разным базам матроидов. могут быть получены двойственные функции и их оценки. Разработаны алгоритмы определения баз матроидов (множеств необходимых или избыточных измерений) для некоторых видов геодезических сетей, позволяющие автоматизировать процессы уравнивания с использованием ЭВМ. Методика опробована на примерах сети прост-ранственнрй трилатерации и GPS-сети. Выполнен топологический анализ сети GPS.

13. Предложен матричный алгоритм решения пространственной линейной засечки по четырем измерениям в декартовой системе координат, приводящий к однозначному решению. Изложен вывод формул.

14. Разработан рекуррентный алгоритм объединения с учетом ошибок исходных данных геодезических сетей, созданных по принципу перехода от общего к частному. Порядок решения описан в матричном виде. На примере сети пространственной трилатерации проиллюстрирована работа алгоритма.

- 23 -

Все основные положения диссертации проиллюстрированы численными примерами.

Полученные результаты, на наш взгляд, имеют теоретическое и практическое значение в решении ряда задач анализа и автоматизации математической обработки геодезических построений.

ПУБЛИКАЦИИ.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Войнаровский А.Е. Об опыте применения топологических методов анализа и обработки геодезических измерений в учебном процессе студентов-картографов СПбГу // Географическая наука и образование: тез. докл. 10 съезда РГО. СПб. 1995.-С. 79. - 80.

2. Войнаровский А.Е. Уравнивание сети триангуляции параметрическим способом с использованием ее графа и топологических матриц//Вестник СПбГУ. Сер.7,- 1996.- вып. 3 (N21).-С. 75 - 81.

3. Войнаровский А.Е. Линейная засечка в пространстве. Обобщенная схема - СПб.. 1996, 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.03.96, N705-896.

4. Войнаровский А.Е. Пространственная трилатерация. Теоретико-графовый алгоритм уравнивания - СПб.. 1996. 15 с. -Деп. в ВИНИТИ 06.03.96. Н706-В96.

5. Войнаровский А.Е. Рекуррентный алгоритм объединения блоков пространственной трилатерации - СПб., 1996. 14 с. -Деп. в ВИНИТИ 06.03.96. N704-896.

РТП СПбГУ 21.11.96. 3.44 Т. 100 экз.

199034. Санкт-Петербург. Менделеевская линия, 5