автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Обобщение геометрической теории уравнивания инженерно-геодезических построений на основе проекционных операторов

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТШУТ ИНШЕНЕРОВ ГЕОДЕЗИИ, АЭРОФОТОСЪЕМКИ И КАРТОГРАФИИ

На правах рукописи

МАТВЕЕВ СТАНИСЛАВ ИЛЬИЧ

УДК 528.11+519.654+528.0*6:519.2

ОБОБЩЕНИЕ ГЕОМЕТРШЕСКСЙ ТЕОРИИ УРАВНИВАНИЯ ИНШЕРНО-ГЕСДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

05.24.01 - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1993

- а -

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор D.H. Маркузе; доктор технических наук, профессор В.А. Коугия; доктор технических наук, профессор О.С. Разумов.

Ведущая организация: указана в решении специализированного

на заседании специализированного совета Д.063.01.01 Московского ордена Ленина института инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии / 103054, Москва К-64, Гороховский пер., дол 4, ауд.. 32!

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке кШИГАиК.

совета Д 063.01.01

Защита состоится

часов

Автореферат разослан УЬ " (.У-5 КЬЗг.

Учёный секретарь специализированного совета, кандидат технических.наук

Чибуничев А.Г.

пЛ. Общая характеристика работы Актуальность темы.Серьёзные успехи в теории уравнивания инженерно-геодезических построений в последние годы был получен с помочь!) аппарата обобщённо-обратных матриц. Особенно это относится к задачам уравнивания свободных геодезических сетей и уравнивания повторных измерений. Авторы учебных пособий, посвященных вопросам уравнивания, отдают предпоптение тем, или иным численным методам. В них. задача уравнивания рассматривается, главным образом, с алгебраической точки зрения. «1 ежду тем, обобщённо-обратные, как средство построения, проекционных операторов, позволяет по-новому раскрыть геометрическое содержание задачи уравнивания и различных методов её решения.

Впервые в геодезической литературе проекционные операторы рас- . смотрены в работах Н.С.Яиленко и А.И.Мазмишвилк. Чаще всего в геодезии используют ортогональные проекторы, для построение которых используют псевдообратную к А матрицу А* , удовлетворяющую известным уравнения* Пенроуза: CI) АА+Д, = Д , (2) А+ , .СЗ){АА+)Т= АА+ (4) (A+A)VA •

Решение неравноточных задач метода наименьших квадратов (иШК)

+ c-Mt-WV и нормами .rTPv=m«v, ajQ*-= win. , (О где I и v - векторы измерений и поправок из Е*1" ; K(t) - ковариационная матрица вектора t- j ¿> - стандарт измерений; Р и 'Q - симметричные положительно определённые матрицы, вызвало необходимость минимизации взвешекнкх квадратичных форм vTP v и xQac я соответствующих им эллиптических норм. Уравнения'Пенроуза верны лишь для случая Р = 1Л11_ , 0. = и требуют корректировки двух юследних уравнений, которые примут вид.

(5) (Abf? - PAG- и Сб) (G-A)TQ= Q.G-A

Обобщённо-обратные матрицы, обладающие свойствами (5) и Сб)

иносят к специальному классу взвешенных псевдообратных матриц и

обозначают как Авр

Хорошо известно, что задача уравнивания сводится к .ортогональному проектированию вектора I на образ и едро ь](Аг) , а нормальное псевдорешение получают ортогональным проектированием любого псевдорешения X на |ЦАТ) > т.е. х^Р^х

В неравноточном случае ортогональность сохраняется, но- подпространства К-(А) и К(А^) оснащаются соответствующими эллиптическими нормами.

Большой круг задач уравнивания может быть решён в параметрической форме с дополнительными условиям (ограничениями), налагаемыми

на параметры, или их функции. С алгебраической точки зрения этот

р

вопрос достаточно ясен и разрезается в рамках МНК с оганичениями вида 3)х=с. . Геометрический подход менее очевиден и приводит к операции параллельного проектирования.

Параллельные проекторы слабо изучены в геодезической литературе Мбжду тем, с их помощью удачно описываются не только задачи МНК с ограничениями, но и известные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). На этой основе можно выявить наиболее общие геометрические закономерности различных численных алго ритмов решения СЛАУ, в том числе и алгоритмов уравнивания инженер-но-геодеэических построений.

Наиболее ярко преимущества проекционных операторов-проявляются при решении задач уравнивания свободных геодезических сетей, позво ляя выявить геометрический смысл каждого конкретного псевдорешения Не менее интересен с этой точки зрения вопрос уравнивания повторны измерений, выполняемых при исследовании деформаций различных объек тов. С помощью операции проектирования важнейшие задачи поиска ста бильных пунктов сети и уравнивания очередного цикла измерений могу быть решены совместно.

Из всего сказанного следует актуальность обобщения геометрическ теории уравнивания инженерно-геодезических построений на основе пр

екционных операторов и разработка на это? основе эффективных численных алгоритмов уравнивания, т.е. актуальность темы работы, п.2. Основной цельи работы является:

- установление взаимосвязи теории уравнивания инженерно-геодезических построений с теорией проекционных операторов и аппаратом взвешенных обобщённо-обратных матриц;

- развитие геометрической теории уравнивания свсбодньВс геодезических сетей и её связь с уравниванием несвободных построений;

- исследование геометрических схем и установление взаимосвязи известных алгоритмов уравнивания инженерно-геодезических построений и их модернизация;

- совершенствование теории математической обработки повторных измерений с учётом подвижности пунктов геодезической сети;

- разработка технологии измерения деформаций элементов верхнего строения железнодорожного пути экспериментального кольца ВНИИ ЖГа;

- разработка методики математической обработки результатов съёмки железнодорожных кривых;

- разработка статистической модели профиля железнодорожных путей сортировочной станции.

т.З. Научная новизна и практическое значение работы состоят в получении следующих основных результатов, которые и выносятся на защиту:

1) Установление взаимосвязи теории уравнивания инженерно-геоде-шческих построений с теорией проекционных операторов и аппаратом ззвешенных обобщённо-обратных матриц..

2) Вклад в теорию и разработка эффективных алгоритмов уравнива-1Ия свободных геодезических сетей: а) геометрические аспекты урав-[ивания свободных геодезических сетей; б) взаимосвязь различных [сев'дорешений этой задачи и отличие от решения задачи уравнивания [есвободных построений; в) алгоритмы перехода от одного псевдоре-;ения к другому и перевычисления соответствующих ковариационных

шения к другому и перевычисления соответствующих ковариационных матриц без переуравнивания.

3) Исследование геометрических схем и установление взаимосвязи известных моделей и алгоритмов уравнивания инженерно-геодезических построений: а) установление единой геометрической схемы для основных случаев уравнивания; б) исследование геометрических схем алгоритмов рекуррЙстного уравнивания, алгоритмов использующих элементарные ортогональные преобразования, метода сопряжённых градиентов, метода групповых итераций и итерационной схемы Гаусса-ЗгЛделя, установление взаимосвязи между ними. Модернизация соответствующих алгоритмов.

4) Совершенствование теории математической обработки повторных-измерений с учётом подвижности пунктов геодезической сети: а) общее решение задачи уравнивания-повторных измерений; б) строгое решение задачи уравнивания повторных измерений;при условии неизменности центральных элементов сети; в) алгоритм уравнивания повторных измерений с анализом устойчивости пунктов сети и алгоритм уравнивания сетей поэтажной геодезической основы.

5) Технология измерения деформаций элементов верхнего строения железнодорожного пути экспериментального кольца ЕШИЖТа: а) создание универсальной опорной геодезической сети экспериментального кольца; б) методика измерения вертикальных деформаций; в) методика статистического и регрессионного анализов рядов измерения осадок' элементов железнодорожного пути; г) статистические выводы, полученные по результатам наблюдения осадок пути на экспериментальном кольце.

6) Методика математической обработки результатов съёмки железнодорожных кривых.

7) Статистическая модель профиля железнодорожных путей сортиро-

вочных станций.

п.4. Реализация результатов исследований.

Разработанные в диссертации методики, технология, модели и алгоритмы внедрены в следующих организациях: ШИИЖТ МПС, ¡.ШИГАиК, Промтрансниипроект, Московская и Прибалтийская железные дороги, п.5. Апробация работы.

Основные результаты работы опубликованы в 25 статьях и 7 науч- . но-технических отчётах, докладывались и обсуждались на:

1) Научно-технических семинарах кафедр "Прикладная геодезия" в 1590 г.-и "Геодезия" в 1992 г. ЫИИГАиК);

2) Постоянно-действующем семинаре секции инженерной геодезии и маркшейдерии НТС ГУГК при СД СССР (1977 - 81 гг);

3) Научно-технических конференциях МШТа (1977 - 87 гг);

4) Седьмом съезде ВАГО (г. Алма-Ата, 1980 г.);

5) Мевдународной конференции, посвященной 50-летию Улан-Баторской железной дороги (г. Улан-Батор, 1987 г.);

6) Межведомственном семинаре "Проблемы мониторинга Аральского моря и Приаралья" (г. Москва, 1990 .г.);

7) Всесоюзном семинаре "Передовой опыт организации и производства инженерно-геодезических и маркшейдерских- работ в строительстве (г. Москва, 1990 г.).

п.6. Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов, сформулированных в диссертации проверялась с помощью статистических критериев (например, подбор статистических и регрессионных моделей), сравнением экспериментальных данных с проектными значениями параметров (технология измерения деформаций),

¡Алгоритмы проверялись расчётом.контрольных примеров и сравнением с другими известными алгоритмами.

п.7. Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы» Объём диссертации без списка литературы составляет 251 страницу машинописного текста. В диссертации имеется 12 таблиц и 36 рисунков. Список литературы содержит 171 наименование, из них 50 на иностранных языках. п.8. Содержание работы.

В первой главе приведены основные понятия конечномерных евклидовых пространств и действующих в них линейных операторов, вводится понятие параллельного проектирования в и -мерном евклидовом пространстве и основном средстве для построения проекторов - аппарате обобщённо-обратных матриц.

К сожалению, известное правило 1Ш = Ь А для обобщённо-

обратных, в общем случае, не соблюдается. Однако, с помощью взвешенных обобщённо-обратных удалось получить формулу обращения для наиболее распространённого в теории уравнивания произведения

ЦТРА)% А Р"А'Т и)

1Р 1Р

Рассматривая наряду с параметрической моделью (3) известную модель условий Ч(1Л=0 и соответствующую ей систему уравнений поправок

■Втг + = 0 ,

в. |11Ц)\

где \ / > ^ вектор невязок, легко показать, что и .

в том и другом случае решение обеспечивает соответствующая взвешенная обобщённо-обратная матрица, т.е.

А" I «1х) = 41(АтРАУ ,

и-- с =

р1 ь

Известное равенство ВА-0 является основой взаимосвязи двух классических способов уравнивания. Из них следует, что два подпространства: (ЦА) и МВ ) взаимно ортогональны, поэтому столбцы В

образуют некоторый базис одра Ж А*) и позволяют построить проектор ^МЮ ' ^ак1ш образом, необходимые для уравнивания проекторы

могут быть построены как в рамках параметрического, так и кореллат-ного способов.

Если свести модель 10 к равноточной

А х = I + V- с «Г0 = ^г1 , 165

где А=Р*А, Ь - РЧ и и-=р'тг) то проекторы Рд и Р^^

определятся как

>Х = АА;ИРЧ(ДТРМ-АТР^; Рн№)=1-_Рк- I"

Уравненные векторы преобразованных измерений I. и поправок будут равны I,- Р5 I = Р*Ах г = Р1' (I-Ах} ,

а их ковариационные матрицы по существу определяются своими проекторами

В разделе 1.4. рассмотрено уравнивание свободных геодезических построений. Хорошо известно, что "свободное" уравнивание не деформирует внутренней геометрии геодезических фигур и потому широко используется при уравнивании инженерно-геодезических построений.

Матрица А системы С 6 ) в этом случае имеет столбцовый дефект ' исходных данных. Прямое- применение МНК позволяет ввделить из множества решений

' Х=Н+и-Шч

подмножество псевдорешений , обеспечивающее минимальную

длину вектора гг ___ __

£,= А(Д I •*- но)

Выделить какое либо одно решение из ( 10 ) можно остановившись на конкретной реализации А , связанной с выбором исходных данных. Этот выбор выражается аналитически введением в систему С 6 ) дополнительных ограничений (условий) вида Т>х= с , или чаще всего З^с* о означающих, что те или иные параметры сети, или их функции принима-

ются неизменными. Понятно, что ранг матрицы Т> должен быть равен дефекту с1 матрицы А . Принятие условия Гельмерта хтх=кип-и соответствующей матрицы А1" приводит к нормальному псевдорешению г,-- А I ,. Фактически, условие А х-о означает, что при уравнивании триангуляции например приравнивают нулю четыре функции параметров:

Эти условия имеют чёткий геометрический смысл, означая неизменность координат центра тяжести, среднего дирекционного угла и среднего масштаба сети и приводят к оптимальному статистическому свойству нормального псевдорешения - •

В этом же разделе показано,' что любое псевдореиение х-^. может быть переведено в нормальное конформным преобразованием сети в принятой системе геодезических координат с помощью проекционных преобразований +

Формулы (II) имеют не только теоретическое значение. На их основе построен эффективный Алгоритм 1.1 вычисления нормального псевдорешения хн и соответствующей для уравнивания плановых комбинированных сетей. Особенно ценно то, что этот алгоритм позволяет производить поэлементное вычисление матрицы В .

В качестве иллюстрации рассмотрим пример I уравнивания свободного геодезического четырёхугольника трилатерации с равноточно изме-' ренными сторонами (см. рис. I )

0005

Рис. I

и приближёнными координатами пунктов:

= = -- х; = 1».оооом •, в; = 9*А- .«.оооом

Найдём одно из псевдорешений х. системы уравнений поправок сторон, фиксируя три последние неизвестные. Ср. кв. ошибка т. одного измерения оказалась равной 0,78 мм. Вектор «1НК оценок х. и его ковариационная матрица имеют вид

хт =[б,55 2,14 4,98 0,18 -1,06 0. О 0 ] •

8,110 -1,333 7,611 1,333 0,500

0,781 -1,251 -0,219 0,082

8,081 1,416 0,469 0

0,781 0,082

0,969

О 0

В соответствии же с формулами (II) и Алгоритмом 1.1-, получим

х„т =[1,33 2,54 -0,23 -1,41 -1,08 -1,54 -0,02 0,41 ] „„ ,

0,258 0,021 -0,227 -0,062 -0,008 -0,021 -0,-023 0,062

0,305 0,062 -0,164 -0,021 -0,055 -0,062 -0,086

0,258 -0,021 -0,023 -0,062 -0,008 0,021

,1=0.15" 0,305 0,062 -0,086 0,021 -0,055

О,¿58 0,021 -0,227 -0,062

0,305 0,062 -0,021 0,258 -0,021 0,305 0

В несвободных сетях фиксируют дополнительные параметры, или их функции, что вносит принципиальные изменения в характер уравнивания. В связи с этим показано, что только решения задачи свободного уравнивания являются псевдорешениями системы ( 6 ) и только' они переводятся из одного в другое конформным преобразованием сети в принятой системе координат. В отличии от них, решения задач'несвободного уравнивания не являются псевдорешениями системы ( 6 ) и не могут быть получены из последних конформным преобразованием уравнива-

емой сети.

Поскольку свободное уравнивание во всех вариантах сохраняет минимум квадратичной формы V неизменным, а несвободное уравнивание во"всех случаях приводит к её увеличению, то полезным представляется предложение Ю.И.;,1аркузе о том, чтобы все сети уравнивать вначале как максимально-свободные, получая как нормальное псевдорешение хи , так и обобщённый Критерий точности - \1 ^Р , позволяющий сравнивать между собой уравниваемые сети.

В этом же разделе установлена взаимосвязь различных псевдорешени задачи уравнивания свободных геодезических сетей и показано, что пе реход от любого псевдорешения х^ к любому другому х,. осуществл* ется проектированием вектора на пространство л1 параллельно пространству т.е.

Чг

в то время как преобразование ковариационной матрицы сводите*

к двойному проектированию столбцов и строк её на это же -подпростраи ство, т.е.

Знание матриц Э в каждом конкретном случае позволяет легко наС ти соответствующий проектор. В частности для нуль свободных сетей проектор Рцф можно привести к виду

РмП>Г

"" I 0 0 .

Здесь с - ^ , а матрица кс \ ] разделена на блоки, сс ответствующие определяемым х„ и твёрдым параметрам. (Частный случай проекционных преобразований типа (12-13) известен как Б - преобразование ЬаагсЬ) .

Для уже рассмотренного примера I, приняв за приближённые, центральные координаты точек х°=г° = -9 м; х" =1,= 9 м; а! =У!= - 24 м; ' =ч\ = 24 м., получим

А1:

I I О I 24 -9

I О

24

0 110 I

1 р 1 I 0 9 -24 ! 9 -24

А1.

Вычислив матрицы 1 и 1,333 I -1,333' АО"'"- 0,5 0 0,5 0,0555 0 - 0,0555.

с :

£

получим 2,666 • I

0

2,666

1 О

2,666

0 I

1 -2,666

0 О

1 О

Используя эти результаты;в соответствии с формулами (12-13) эт хн и вновь получим х и Ш«) в точности совпадающими ;о значениями (15).

Зная структуру проектора Р^) при строчной невырожденности 1) 1 А1", получий более простое выражение для взвешенной псевдообрат-юй

.........

"»и

; соответствующего проектора

Таким образом, в разделе 1.4 нами изложен общий подход к уравни-анию свободных и несвободных геодезических сетей. Он основан на овместном решении параметрических уравнений поправок и однородных граничений на параметры или их функции вида . Если ранг

атрицы Э} равен дефекту с1 матрицы 4 , то полученное решение

является псевдорешением■системы ( 6 ). Оно может быть переве-;но в любое другое £а1 путём проектирования на подпространство фаллельно подпространству ^(А) , а соответствующая ему ковариацион-1я матрица ^(х^) переводится в ^(хуЗ двойным проектированием стслб->в и строк на это же подпространство.

Поскольку матрицы проектирования в приложениях имеют простой вид, | алгоритмы перехода от одного псевдореяения к другому без повтор-

*

ного переуравнивания приобретают не только теоретическое, но и большое практическое значение.

Во второй главе проведено обобщение известных алгоритмов и моделей уравнивания (способа условий с дополнительными неизвестными, уравнивания с учётом систематических ошибок и ошибок исходных данных) , основанное на расщеплении пространств Е-"" и t*^ , связанных с оператором А системы ( 6 ) в сумму подпространств. Все эти случаи можно свести к двухгрупповой параметрической модели вида

Д,х, ♦ *iXt.= Uir

Проектированием на исключим из системы ( 17 ) первую группу неизвестных

находим оценку +

' xl= At I

и подставляя её в ( 17 ), получим оценку

ъ <0(i-u;p /о-- о л?/ < р*о&1

Таким образом, от системы ( 17 ) переходят к квазитреугольной

системе - т т. -

А,«, + ■ Агхг = I * v

U»

где , ,t , v - проекции матриц Аг,1 и v на Ю. Система ( 20 ) решается методом обратной подстановки. Отметим следующие важные свойства построенных таким образом проекторов: >

2.1. Проекторы ^¡j'^ и ^(й,) ортогональны.

2.2. Произведение Р/ч{дтО

Из свойства 2.1. следует очевидное равенство

поэтому, если процесс исключения провести до конца, умножив ( 18 ) на Р,щт).> ю получим

С учётом того, что Рц!,^ -о, ^щ^К'Аг и свойства 2.2, получим

Эти выводы можно распространить на и групп: неизвестных. При этом проекторы ^¡¡^ определятся формулами

Таким образом, задача ыногогруппового уравнивания в параметрической форме сводится к последовательному ортогональному проектированию вектору I на пространство столбцов матриц ... > Ак Сами ортопроекторы лучше вычислять по формулам

Нетрудно показать, что при этом реализуется схема ортогонализа-ции Грамма-Шмидта ( 25 ) матриц Р^5 М^'Л по отношению к проекторам Рщ.., _ з <;

р -о (т.р _р . 'р р •(«>

Крайним случаем многогруппового уравнивания, когда в группу Выделяется по одному неизвестному, является решение системы нормальных уравнений методом Гаусса. Это будет более очевидно, если написать выражение для« -го неизвестного в виде

£ -(о^ I- . ио

" "»Нгад.....

Итак, схема решения системы нормальных уравнений методом Гаусса, с геометрической точки зрения реализует схему, последовательного ортогонального проектирования вектора I на пространства ^(а^") с помощью одномерных проекторов ®то вовсе не означает, что для

е

отыскания оценок хь следует вычислять проекторы ^(а..-) .напрямую. Одномерность проекторов легко позволяет реализовать более эффективные вычислительные схемы; использующие операцию накопления скаляр-. ных произведений и, в частности, метод Гаусса, использующий известное треугольное Ьи разложение матрицы I А - Ь . Легко показать, что и другие схемы треугольного разложения матрицы Ь основаны на схеме последовательного исключения неизвестных, а следовательно на принципах ортогонального проектирования на подпространство столбцов исходной матрицы А . Наиболее эффективной из.них является схема Холецкого, при которой матрица Ъ единственным образом разлагается в произведение В = и и ИЛИ Б = Ь V. 5

где Ь = ит - нижняя треугольная матрица. ^

Известно, что разложение Холецкого выполняется за ^ операций, что в 2 раза меньше метода Гаусса и позволяет сохранить ленточную структуру в Ь , если таковой обладает исходная матрица В .

Недостатком схем триангуляризации является то, что они не предусматривают анализа и отбраковки грубых измерений в процессе уравнивания, что связано с разложением пространства измерений ЬС Е*" с помощью одномерных проекторов, образованных столбцами А и строками А . Процесс вычислений требует полного вектора измерений I . Более эффективно, с этой точки зрения, другое разложение пространства УсЕ одномерными проекторами, образованными столбцами матрицы £ и сроками ^ . Матрица А вводится построчно шесте с 'соответствующим измерением I; . На этой схаме построены и алгоритмы рекуррентного уравнивания Ю.И. Маркузе. Они основаны на той или ино! формуле рекуррентного вычисления псевдообратной матрицы. Основная формула была получена Гревиллем для случая последовательного добавл ния столбцов. Случай последовательного добавления строк получается из него простым транспонированием, поэтому если записать матрицу Ал, с добавленной строкой а в виде , то псевдообратную к

ней можно получить в соответствии с формулами

где I! -

mu

с учётом того, что 1 - Ps(aV) » можно написать

^ А+Т ат (на А* А+Т а.т V- о.1" lúa &+ат V'

эткуда следует, что Квм есть взвешенная псевдообратная к о.

«атрица, в первом случае типа 0-ог , где роль нормирующей матрицы 0. играет матрица ортопроектора ) ; во втором случае к^а^ : матрицей 0 = Е»^ .

В обоих случаях произведение н^а^ является ортопроектором ^«.Со. V П0Э,ГШУ формулу (27) можно записать в виде

оторый показывает,, что рекуррентный алгоритм вычисления псевдооб-атной матрицы А+ сводится к последовательному проектированию матицы , полученной на предыдущем шаге на адро добавляемой матрицы троки а^г ^(аТ) и приписывания справа столбца а^ , соответствую-его взвешенной псевдообратной к матрице строке .

Достоинства рекуррентного алгоритма (27) или (28). связано с тем, го добавление нового наблюдения в модель не требует переуравнивания а сводится к простой модернизации предыдущих результатов. Дейст-лтельно, при добавлении нового измерения , оценка £ вычисля-гся по старой как

1есь произведение £„. ' есть предвычисленное по предыдущим изме-

рениям значение измерения 1<тм , так что преобразованный член С - I - а„., , если вес р . = р. + о, В," а'

мм мм К 1 тм т,

Это позволяет осуществить- контроль грубых измерений по формуле

Ковариационную матрицу &яи вычисляют по формуле Рао • что с учётом (27) даёт

р* . (р {Л р , „ + а" а"т,1

Нетрудно показать, что при добавлении избыточных измерений (29) принимает вид ; р

хорошо известный по работам Ю.И^аркузе.

Приведённый алгоритм предусматривает'изменение порядка матрицы Отечественными математиками Жуковским Е.Л. и Липцером Р.Ш. разработан альтернативный алгоритм .псевдообращения матрицы Ат,, , при котором порядок остаётся неизменным. В нём конструктивно

используется уже изложенная нами схема ортогонального проектирования Более того, он основан на решении матричного уравнения АХ г , Iм где проектор Р^^ к вычисляется по рекуррентной формуле

Р Р - Р а7 (а Р (С Та Р Р I , Иг)

ж»1 «V «в. '»и1 Пил'т. тч I тч т. о *п,и >

которую, пользуясь идемпотентностью проекторов Р^ , можно преобразовать к виду

Р --Р (1-Р т )Р "-Р Р Р

показывающему, что рекуррентная формула вычисления проекторов в точности соответствует схеме Грамма-ЦЬшдта (25) вычисления проекторов многогруппового способа уравнивания при замене строк матрицы К её столбцами. Вычисление матрицы В* для необходимых измерений по формуле (29) достаточно громоздко, поэтому Ю.И.Маркузе предложил начинать рекуррен"ный процесс с матрицы 10 и.?? 0

что приводит к рекуррентному регуляризированному решению. Решение

такого типа можно получить и с помощью приближённых проекторов р*. р*. , р- = 1

г л. +■ а р аЛ °

т*д т.

О* Т

А+- I л "щ. атч , . + ч . +

а для оптимального выбора параметра регуляризации использовать рекомендации из работ В.А.Бывшева. Однако, регуляризированное решение не является МНК решением. Для получения последнего более целесообразно использовать последовательную нумерацию пунктов и измерений и сразу за необходимыми вводить соответствующие избыточные измере-_ ния. Это позволяет'сформировать СЛАУ в ленточной форме, при решении которой значительно экономится и число арифметических действий и , память ЭШ.

Помимо указанной возможности отбраковки грубых измерений, в рекуррентных алгоритмах практически отсутствует трудоёмкая операция обращения матриц. В последние годы Ю.И.Маркузе найдены дополнительные возможности сокращения занимаемой памяти и времени счёта ЭВЛ за счёт факта резкого уменьшения корреляционной зависимости поправок в координаты точек по мере их удаления друг от друга (способ подвижного блока и др.). Алгоритмы эти безусловно являются в настоящее время одними из наиболее эффективных.

Несомненными достоинствами при решении СЛАУ и задач МНК обладают методы, использующие элементарные ортогональные преобразования (вращения и отражения). Известно, что ортогональные преобразования оставляют неизменной квадратичную форму вектора поправок. Это позволяет считать алгоритмы прямого решения сист.емы (6) без перехода к нормальным уравнениям Ьх.у , которое прямо или косвенно имеет место в большинстве других алгоритмов, более устойчивыми к возмущениям, что отмечалось ещё в работах Н.Д.Дроздова.

Наиболее эффективными из них является отражения Хаусхольдера и вращения Гивенса. Преобразованием Хаусхольдера называют квадратную матрицу Н^

где и- - некоторый вектор.

Поскольку матрица и-к-УиТи, есть ортопроектор на образ, то 154} можно записать как

И " ^ " ~ " ^в-1"-)

Таким образом, преобразование Хаусхольдера является разностью двух проекционных преобразований. Оно проектирует любой вектор тг^Е*" на два ортогональных подпространства л1(и-т) и Щи.) таких, что Й1и.т)@ Е™" и находит результирующий вектор -г- Р^^т-- Р^т как разность проекций. Обычно, применяя т. последовательных прео*-бразований Хаусхольдера Н10 к столбцам А , приводят ев к верхней треугольной форме НН1т"Н1°-(1А-(|')

Применяя преобразование 0. к расширенной матрице (АI) по схеме = | ^ ^ > получают не только оценку х-.ц'^, э но и квадратичную форму £р=утлг = д» . В таком виде преобразование Хаусхольдера удобно для введения или исключения неизвестных, однако, требует полного набора измерений и потому не может быть использовано для отбраковки грубых измерений. Для целей построчной последовательной обработки измерений хорошо приспособлены плоские отражения Хаусхольдера и вращения Гивенса. Более того, модернизация Джентльмена позволяет проводить вращения Гивенса с учётом весов ?;. измерений. Эти процедуры известны, поэтому изложение их опускаем.

Число операций, необходимое для триангуляризации АПП1 можно подсчитать обозначив через 5, с. и а - количество сложений и умножений. Тогда модернизация Джентльмена даёт также как обычное преобразование Хаусхольдера. Более того, количест во операций может быть существенно сокращено за счёт последовательной нумерации пунктов и измерений. На этой основе был построен

Алгоритм 2.1. последовательной обработки измерений:

1. Ввод Массива исходных данных и информации об измерениях, вектора приближённых параметров х" . При вводе вычисляют ширину ленты %

и вектор свободных членов ^ = £(«") , где 1[ - результат измерений; его величина, вычисленная по приближённым значениям параметров.

2. Вычисляют ненулевые элементы строки я., для первого измерения и получают первую строку матрицы ("-« ) •

!. Формируют I -ю строку матрицы А; ленточной структуры шириной Л и образуют расширенную матрицу

»-V I: о

Если измерение необходимое (проверяется по номеру последнего неизвестного в строке сц ), то с помощью левых плоских вращений Ги-венса-Джентльмена строка си и матрица приводятся,к виду

^ | . Если же измерение избыточное, то все элементы строки аннулируются. При этом на месте первого нижнего элемента рас. ширенной матрицы формируется квадратичная форма ср• Затем вычисляется разность 1;,-, ^< V- • Если ^ >2^».{л , то процесс останавливается и выполняется анализ измерений, входящих в последнее условное уравнение.

Вставляют строку и переходят к пункту 3. (После ввода'по-

следней к- -й строки и её обработки переходят к пункту 5). Находят решение треугольной системы = $> методом обратной подстановки.

Для решения вопросов оценки точности вычисляют матрицы и Ь„, как . К,'« ^

Вычисляют координаты определяемых пунктов т. - х" * £ , поправки результатам измерений тг-^хУЪ^ , среднюю квадратическую ошибку 1ницы веса ^ , ковариационную матрицу, или ср. кв. ошибки

эаметров и их функций.

Для квадратной матрицы А порядка т, =100 и шириной ленты общее количество операций на вычисление элементов В1 равно 25170, в то время как для алгоритма Холецкого 505000. Экономится и память ЗШ, поскольку все операции выполняются в прямоугольном массиве порядка .

Угловые измерения рекомендуется уравнивать по направлениям с исключением поправок ориентирования по следующей схеме ортогонального проектирования. Если записать систему уравнений поправок на пункте в виде е 5.А. + l+тг

где eT = (I I . . . 1)т, то для исключения поправки ориентирования достаточно спроектировать 1«) на Поскольку *■*■/■< "к^.

то и ^ переходит в выражение

Так как свободные члены t; вычисляют обычно как уклонения от среднего, то произведение и тогда уравнение

является преобразованной системой уравнений поправок на пункте.

Конечно, алгоритм Холецкого, также как и предложенный алгоритм легко приспосабливается для обработки ленточных систем, однако он предполагает формирование системы нормальных уравнений, что ухудшает численную устойчивость задачи уравнивания и не приспособлен для. последовательной отбраковки и обработки измерений.

По своей эффективности Алгоритм 2.1. сравним с алгоритмами рекуррентного уравнивания. К- его преимуществу отнесём следующие:

1) 'Решение х задачи уравнивания получают строго и численно устойчивым методом;

2) 'Матрица Ь вычисляется только для проведения оценки точности. При этом достаточно вычислять лишь элементы- ленты Л . Поскольку на практике для решения разреженных СЛАУ широко используется метод сопряжённых градиентов, то рассмотрим и его геом'етри-

ческую схему. Идея метода состоит .в построении -ортогональной матрицы .Б такой что ¿'вЬ-Т . В этом случае, полагая х-ьа, преобразуем систему нормальных уравнений к виду

откуда а= итв$>}Чт9 ,

и следовательнно *= =

то есть решение х получают как косую проекцию вектора 3 на про-, странство столбцов матрицы Ь . На практике в вычислении матрицы 5 нет необходимости. Её столбцы можно вычислять последовательно. Более того, для вычисления новой координаты и нового столбца достаточно иметь лишь предыдущий , который и хранится в памяти ЗШ. Основным, достоинством метода является большая экономия памяти ЭШ. Это особенно относится к уравниванию геодезических построений, поскольку при сильной разреженности А и в нет необходимости в их формировании. Все вычисления можно свести к векторной форме,- что существенно использовано, например, в работах Н.Н.Быкова.

Достоинства метода хорошо известны. Однако и он плохо-приспособлен для последовательной обработки измерений, проигрывая в этом смысле рекуррентному уравниванию и ортогональным преобразованиям.

В заключительном параграфе главы 2 рассмотрена связь многогруппового уравнивания с методом групповых итераций и итерационной схемой Гаусса-Зайделя. Ранее было показано, что задача многогруппобого уравнивания сводится к ортогональному проектированию вектора I на пространство столбцов матриц А,, Аг) ..., Ак . Если проекторы Рщ*^ взаимно ортогональны, то задача решается за к шагов'. В противном случае, на основе кос.нх проекторов Рщ.^ можно построить итерационную процедуру .

обеспечивающую последовательную минимизацию нормы вектора,поправок V , поскольку предыдущие поправки ^ разлагаются на две взаимно ортогональные проекции V-? и А..«-'1; . Ясно, что нормы поправок 1г?_( и

V; связаны соотношениями 11тг( II 6 , обеспечивающими с помощью

процесса (40) минимизацию квадратичной формы ср = -Сгттг = И■и-^ц „(„ т.

Доказано, что по существу процесс (40) совпадает с известным методом групповых итераций М.И.Машиыова. Поскольку произведения в (40)'являются слагаемыми матрицы В системы нормальных уравнений, то понятно, что процесс (40)-или метод групповых итераций в компактном виде реализует известную блочно-итерационную схему Гаусса-Зай-деля, расширенную на случай переопределенных систем с прямоугольной матрицей А . В вычислительном плане метод групповых итераций значительно эффективнее обычной процедуры Гаусса-Зайделя. В ней отпадает необходимость формирования матрицы Ь системы нормальных уравнений. Метод максимально использует разреженность исходной матрицы А . Все вычисления проводят с подматрицами Д; , содержащими только ненулевые элементы, При уравнивании плановых геодезических сетей эти . подматрицы имеют порядок [ п., г] , число и- равно числу измерений на пункте и редко превышает 10. ¿3 процессе (40) обращавт матрицы лишь второго порядка, а при уравниваний нивелирных сетей вычисления переходят в 'одномерную векторную форму. С точки зрения экономии памяти ЭШ метод следует считать наиболее экономичным.

К сожалению, изложенная схема групповых итераций практически не йригодна к уравниванию свободных геодезических сетей. Исследования показали, что скорость сходимости процесса (40) тем выше, чем больше в сети исходных данных и избыточных измерений. В свободных же сетях при обычно практикуемом нуль-свободном уравнивании пространства и слабо связаны и не ортогональны и процесс (40) сходится очень медленно. Если же применить принцип максимально-свободного уравнивания с 1= А1* , то за счёт ортогональности пространств и* и усиления связи между ними, можно построить быстро .сходящийся алгоритм тип (40). Известно,' что матрица Ё> в данном случае преобразуется к виду = ., где

С учётом этого, систему формальных уравнений можно записать в виде •

Вх^-Р^х («О.

С учётом известной структуры проектора , процесс (40) усложняется незначительно. Так для нивелирных сетей он примет вид

где Ф^К-х-)

На каждом шаге процесса (42) требуется лишь т. дополнительных операций типа сложение-деление и только т. -мерный массив для хранения обновляющихся сумм (43). На этой же основе построен эффективный итерационный алгоритм вычисления псевдообратных матриц В* .

Для этого использована известная формула

^("в+Р^Г- .

и.формулы типа (42), заменяя в которых свободные члены Й-,, на 5. , где % = I для I = к и & = 0 для I * « . Тогда элементы матрицы В+ можно вычислить по следующей итерационной формуле

В;1- * - к(Т< ))/(&*, - ^ ««

1ч Г*1»( (.1

Подобные формулы получены и для плановых геодезических сетей. Важно отметить, что они сохраняют преимущества метода групповых итераций при значительном ускорении саодимости итерационного процесса. Существенными достоинствами предлагаемого итерационного алгоритма вычисления псевдообратной матрицы В* задачи уравнивания свободных геодезических сетей являются:

- отсутствие матричных операций, в том числе операции обращения;

- возможность независимого вычисления любого столбца матрицы

- значительная экономия занимаемой памяти ЭЫ.

Исследования показали, что алгоритм эффективен при большом числе избыточных измерений-'г г^/ъ . В этом смысле он является хорошим дополнением к алгоритмам рекуррентного уравнивания и алгоритмам, использующим элементарные ортогональные преобразования, эффективность которых высока и при небольшом числе избыточных измерений.

Третья глава диссертации посвящена математической обработке результатов повторных измерений. Такие измерения выполняются при наблюдении за деформациями объектов разной природы. При этом, задача уравнивания распадается на две. Вначале, путём некоторого анализа измерений, выделяют один, или группу устойчивых пунктов, а затем сеть уравнивают как свободную уже без учёта подвижности пунктов, что приводит к завышению точности результатов.

В параграфе 3.1. приведено решение задачи уравнивания измерений двух циклов с учётом подвижности пунктов геодезической сети. Показано, что в большинстве случаев практики и уравнивание измерений и уравнивание разностей измерений в циклах приводит к одинаковым результатам. Последний случай и рассмотрим более подробно.

Представим для этого вектор истинных сдвигов Ах. его ортогон нальным разложением

Нетрудно показать, что оценки для ¿х находят при дополнительных ограничениях Т><Ьс = о и задача в этом случае не выходит за рамки задачи уравнивания свободных геодезических сетей. В частности, при Э= получают несмещённую оценку Ахи внутренних деформаций относительно неизменных координат центра тяжести и среднего дирекци-онного угла сети и несмещённую-оценку ковариационной матрицы

Ь . Что же касается составляющей ¿х„ , -вызванной общим перемещением сети, то её принимают равной нулю, когда все элементы вектора сдвигов не выходят за пределы ошибок измерений, или оценивают в завуалированной форме, используя информацию о стабильности пунктов. Уверенности в несмещённости этой оценки не имеется. Положение усугубляется тем, что ковариационная матрица КЫ*-) никак не учитывается при оценке точности, что равносильно принятию условия У ^Ах.У-О. В качестве альтернативы этому показано, что если в сети есть устойчивые пункты, а вектор сдвига Ах. случаен и удов-

л«" ,яет условию М (- 0 » то несмещённую оценку вектора сдвигов и соответствующую ему ковариационную матрицу определяют формулы

Здесь <&. -любое псевдорешение, ШЛх) -ковариационная матрица вектора истинных сдвигов, а матрица 3) образована из А1" заменой столбцов, соответствующих неустойчивым пунктам, - нулевыми.

Условие М^^т^У-о менее обременительно, чем применяемое обычно точное равенство Р^^Ах^о и означает, что координаты центра тяжести группы устойчивых пунктов сети, средний масштаб и дирекционный угол являются случайными величинами с нулевым математическим ожиданием.

Здесь же приведена общая формула для вычисления проектора Р,цт>)

Р , ^ = I - Р , тГГ-Ь р , DTy Т>

nil) n(a) 4 n|a) '

приводимая в данной ситуации к виду

I««

Если матрицы Т> и А1" привести к виду Т> = [А^о]А«] ^ где А* и Ах„ соответствуют стабильным и нестабильным пунктам, то проекторы РкЬТ) и Р,^-) примут вид

<V

(50)

ич-РНй!

'w»V . ~ ' "И"

где ^(А^

Конечно матрица ковариации К|с1эсу=г на практике не извест-

на, однако, во многих случаях значение имеет лишь структура матрицы l|(clxt) сдвигов стабильных пунктов , поскольку проектор P^jT)

при двойном проектировании Рф.^1) Рфт) аннулирует все блоки Щх) за исключением . На практике, если нет иной информации, можно

принять приближённую оценку ll(dxj) ~ ^ ■ ^

естественным образом вытекающую из принятого условия .оптимизации

В s 3.2 рассмотрена задача совместного уравнивания нескольких циклов измерений для четырёх возможных ситуаций: I) в сети нет устойчивых пунктов; 2) все пункты сети устойчивы; 3) одни и те же

тойчивых пунктов; 2) все пункты сети устойчивы; 3) одни и те же пункты устойчивы во всех циклах; 4) в разных циклах устойчивы разные пункты.

Первые две ситуации - тривиальны. В первом случае в калщом цикле имеют дело по существу с новой сетью и координаты точек определяют заново. Во втором случае во.всех циклах имеют дело с одной и той же сетью, так что измерения нового цикла лишь уточняют координаты ее пунктов, поэтому система нормальных уравнений при совместной обработке циклов имеет вид

В третьем случае, при одинаковой точности измерений в циклах, матрица А приводится к виду Аи° I Ас | с блоками Ас , А„ стабильных и нестабильных пунктов. Образуемая из неё матрица Е> будет иметь вид

При этом Ь -

Л-

Ь =

' 6ц !

., I

Ь»,

к В,

где

Из (53) видно," что совместная обработка в к раз уменьшает элементы ковариационной матрицы вектора координат устойчивых 4»«. пунктов, в то время как повышение точности координат неустойчивых пунктов незначительно (см. 54). , Наиболее просто система

< А></

-

хс ДУич'-* г-)'

решается если зафиксировать все устойчивые пункты, т.е. перейти к

несвободному уравниванию. В этом случае система переходит в блочно диагональную форму и каждый цикл по существу обрабатывается отдельно. Это существенное преимущество дополняется тем, что диагональные элементы ковариационной матрицы координат пунктов будут минимальны.

Несмотря на эти достоинства, несвободное уравнивание не всегда оправдано, так как может привести к значительному искажению результатов свободного уравнивания, что нежелательно.

В четвертой ситуации эффективен приём последовательной обработки измерений, основанный на схеме учёта ошибой исходных данных. В этом случае, следуя Ю.И.Маркузе, вектор d£11 можно рассматривать дополнительным измерением и перейти от системы уравнений поправок

Aldil= dtl+ v'" с. (so

(iV'-mi) ■ -

Вычислив МНК решение системы (56), получим

tf(dxl)=/(AlT|MctnV Uldi'Tf ■

Эти формулы справедливы для случаи, когда .все пункты сети между циклами l-i и L устойчивы. В противном случае, если группа из j устойчивых пунктов сети пронумерована первой, то матрица I в модели (56) заменится на 1 Ij_j 0 ) . Соответственно и формулы (57-58) примут вид

diMVKUlYA1 ♦ rf5

:)J'\. . (е.)

Таким образом, вопрос совместного уравнивания измерений' нескольких циклов можно было бы считать решённым, если бы была гарантия неподвижности пунктов сети, принятых за стабильные. Однако, такой гарантии не существует, поэтому даже если принять гипотезу случай-

ного характера возможных изменений координат устойчивых пунктов, то математическая ковариация Wldx ) вектора däV' должна быть дополнена физической I вызванной смещением пунктов. В реальных условиях она конечно не известна и это в определённой степени снижает ценность процедур совместного уравнивания измерений нескольких циклов.

ß связи с изложенной схемой разработан следующий Алгоритм уравнивания повторных измерений:

При поступлении измерений i -го цикла ^-внивают сеть как максимально-свободную, получая нормальное псевдорешение <&и • Если ни один из его элементов не выходит за пределы нулевого доверительного интервала I=0i Ijifljj , где t - статистика Стьюдента, то есть основания полагать, что сеть между циклами не деформирова- 1 лась. Координаты тачек сети могут быть уточнены за счёт совместной обработки измерений I -го цикла и вектора dxl„' по схеме учёта ошибок исходных данных (57-58). В противном случае переходят к анализу устойчивости пунктов сети. При небольшом числе нестабильных пунктов этот анализ может быть выполнен по самим элементам , однако, наиболее надёжные результаты даёт сравнение инвариантных, по отношению к системе координат, пасметров сети. Таковыми^ при уравнивании высотных и.(X,У)-свободных плановых сетей, являются приращения координат, в других случаях - углы и расстояния. Для получения наиболее полной информации' о стабильности пунктов сравнение следует выполнять во всех' комбинациях. Поскольку указанные инвариантные элементы являются оцениваемыми функциями параметров , то для них легко построить доверительные интервалы и для каждого пункта сети подсчитать число условно стабильных. Это число N1; может изменяться от 0 до т.-! . Пункты имеющие л!^ = 0 -.'нестабильны, все другие - условно стабильны. Из множества М условно стабильных пунктов, используя дополнительную не геодезическую информацию, выделяют группу устойчивых пунктов сети. Если такой информации не имеется, то

выделяют группу из К условно-стабильных пунктов, имеющих Ы^-таъ.

После этого задача может быть решена тремя путями: свободным, или несвободным уравниванием, а также по схеме учёта ошибок исходных данных.

В качестве иллюстрации приведём пример уравнивания превышений ¡'-го цикла нивелирования в равноточной сети, изображённой на рис.2

г

Рис. 2

Отметки реперов из предыдущего цикла. Х;,Т =[11,9158 10,024 12,4882 15,9215] м; измеренные превышения к1Т =[-1,8955 2,4718 3,4461 -4,0282 0,5749 5,9103] м; вектор свободных членов ¿ит =[-3,7 7,6 12,8 -22.5 2,5 12,8] мм..

Поскольку матрица Е>„" (АТА + А'^А! , то решение у'т =

=[-5,3 -6,0 -0,7 12,0] мм. Вычисление значений ^ = 5',0 мм и = у- /в? = 2,16.мм показало, что при. t = 2,'оценки А1н] первого, второго и четвёртого реперов выходят за пределы доверительного интервала.'Проведём анализ стабильности реперов сети по схеме всех комбинаций (см. табл. I )'.

Таблица I

номер превышений номера • реперов К им 1мм

I I - 2 0,7 8,7 2

2 1-3' -4,6 8,7 2.

3 I - 4 -17,3 8,7 2

4 2-3 -5,3 8,7 С

5 2 - 4 -18,0 8,7

6 3-4 -12,7 8,7

Из таблицы легко выявляется нестабильность четвёртого репера, "имею-

щего число = 0. С учетом этого получены три решения задачи уравнивания: свободное ¿х^ , несвободное ¿х^ и с учётом ошибок отметок первых трёх реперов сйь1в1в . Для упрощения расчётов матрица Й (<&'„'} принята равной ^ (<& 'н') = ^Ч В „ - 4 1) ■

Результаты решения и их средние квадратические ошибки приведены в таблице 2.

Таблица 2

Номер С&с ч ™<с м, •"■ПИЛ

пункта ММ ш ММ мм мм ш ММ

I -1.3 0 -0,6 2,3 2,0 0 1.6

2 -2,0 0 -1,0 2,3 2,0 0 1.6

3 3,3 0 1.7 2,3 2,0 0 1.6

4 16,0 16,0 16,0 3,1 2,9 3,1 3,0

БрУ!^) 25,5 20,4 9,6 16,68

3 таблице 3 приведена поправки к результатам измерений и их квадратичные формы ф Таблица 3

Номер V»,

хода мм мм мм

I -3,0 -3,7 -3,3

2 2,3 7,6 4,5

3 ■ 1.5 -3,2 -1.5

4 -5,2 -6,5 -5,9

5 -2/1 2,5 0,2

6 -5,2 -4,2 -4,2

°Р 75 140 90

С учётом этого, средние квадратические ошибки единицы веса . ^и, оказались равными

а ^75/3 = 5,0 мм; = /г40А = 5,3 мм; =/(У0+33,5)/5 = = 5,0 мм. В таблице 3 для случая свободного. Уравнивания, приведены ср. кв. ошибки определения смещений реперов как с учётом возможного изменения отметки' средней плоскости группы устойчивых пунктов

/

, так и без учёта . Как видно, все три решения статистически неотличимы друг от друга, но отношение квадратичных форм Срн/ф^ =* 1>87 < 2 позволяет отдать предпочтение варианту несвободного уравнивания или уравнивания с учётом ошибок исходных данных.

Вообще говоря, несвободное уравнивание, кроме увеличения квадратичной формы Ср имеет ещё один недостаток - поступление новых измерений не приводит к повышению точности определяемых пунктов, поэтому схему несвободного уравнивания следует использовать только тогда, когда одни и те же пункты устойчивы во" всех.циклах измерений. В этом случае ошибки исходных данных действуют по одной схеме и практически не влияют на точность определения деформаций.

В * 3.4 показано, что разработанный в ^ 3.1 аппарат уравнивания с большой эффективностью может быть использован при уравнивании измерений базисных геодезических фигур на монтажных горизонтах. Действительно, поскольку ошибки вертикального проектирования являются центрированными случайными величинами, то условие М соблюдается самым естественным образом. Понятно, что при конкретной реализации проектирования точек базисной фигуры с исходного горизонта на монтажный, элементы вектора <1х детерминированы и в общем случае, отличны от нуля. Олысл уравнивания в данном случае и состоит в оценивании элементов с1х . Выбирая в качестве оценки нормальное псевдорешение мы выполняем оба требования оптимизации, получая и вектор поправок и вектор решений (редукций 1 ) минимальной длины. При этом появляется возможность проведения оценки точности не только измерений, но и ошибок проектирования. Формулы решения в данном случае таковы:

Ь-.&УЪ; 1, «о

где и - ср. кв. ошибки единицы веса измерений на исходном и монтажном горизонтах. При небольшом числе избыточных измерений их величины имеет смысл определять априори из дополнительных исследований или по нормативной документации.

Применение разработанного аппарата уравнивания базисных фигур позволяет не только получить оптимальные величины редукций, но и сделать обоснованные выводы по результатам уравнивания:

-если, величины редукций не превышают удвоенных ср. кв. ошибок их определения с учетом только сшибок измерений, то точки фигуры следует оставить на месте;

-в противном случае, если величины редукций не выходят за границы совместного действия ошибок измерений и проектирования, точки фигуры необходимо редуцировать;

-если величины редукций выходят за пределы совместного действия ошибок измерений и ошибок проектирования, то такие точки следует пр< ектировать с исходного горизонта заново.'

Для иллюстрации изложенного продолжим рассмотрение результатов полученных примере 1.1. С целью упрощения выкладок будем считать, что на исходном горизонте построена проектная фигура четырёхугольника трилатерации. По результатам уравнивания на монтажном горизонте получен вектор редукций ^=[-1,34 -2,54 0,23 1,41 1,09 1,54 0,02 0,41] им. Средние квадрагические ошибки его элементов оказалис равнымит.^ » 0,40 мм; т.4а. = 0,43 мм при = 0,78 ым. Ср. кв. ошибку одного измерения на исходном горизонте примем такой же. Отсюда, в соответствии с ( 61 ) будем иметь

т.5-(£Тг/(1т-ьУ)1 = 1чь.35/5 У = 1.6? „м

•"■и»5 - ин; т.г-(т.! - 2тгиъУг: 1,57 мм;

(+ К РЖМг. < гг= о.дг и--, = г. мм

Таким образом, редукция =2,54 им выходит за границы £ 2тг В соответствии с этим, точку I следует проектировать с исходного горизонта и выполнить новые измерения на монтажном горизонте.

Четвёртая глава диссертации посвящена описанию технологии измерения деформаций элементов верхнего строения железнодорожного пути

применённой автором на экспериментальном кольце ВНИЮТа и статистическим исследованиям результатов измерений. Для этих целей на кольце запроектирована и осуществлена в натуре универсальная опорная геодезическая сеть кольцевого типа из 49 пунктов, 258-ми направлений и 116-ти измеренных сторон. Угловые измерения в сети выполнены теодолитами типа Т2 по программе триангуляции 1У класса, линейные измерения - светодальномером АО A -I2A и. ЕОй 2000. Уравнивание'сети выполнено в условной системе координат в вариантах нуль-свободного и максимально-свободного уравнивания.

В качестве иллюстрации приведены результаты уравнивания узловых пунктов сети, изображённой на рис. 4. Уравнивание выполнено по программе С.Г.Гаврилова с использованием изложенного в разделе I Алгоритма I вычисления нормального псевдорепения. Результаты нуль-свободного уравнивания сведены в таблицу 5, максимально-свободного - в таблицу 4. При нуль-свободном уравнивании исходнкми приняты координаты пункта 15 и дирекционный угол линии 15-2. В таблицах приведены уравненные координаты X,Y , их обратные веса' Cíj » Q, , средние {вадратические ошибки: уравненного направления , координат

пунктов Mj , , их функций - расстояний s и дирекционного угла а ; а также элементы эллипсов ошибок - длины большой А и ма-юй В полуосей и дирекционный угол ALFA большой полуоси. На рис. 1 пунктиром показаны эллипсы ошибок нуль-свободного, а сплошной ли-мей - максимально-свободного вариантов уравнивания.

Из рисунка и таблиц следует несомненное преимущество последнего, :ри котором координаты пунктов определяются с минимальными и практи-ески одинаковыми ошибками, не выходящими за пределы 5 мм.

Большая часть пунктов сети заложена в фундаменты опор и растяжек пор контактной сети, что позволило использовать эти пункты для наб-юдения как плановых, так и высотных деформаций элементов железнодо-олного пути.

TadJixqa 4.

O u e h k a tosh-octh c> s h k u h B .

N Tm HaM. KOH. (1 f Mfíiai/")

1 alfa 2 3 0.089332 0.6

2 s 2 3 4.446282 4.0

3 alfa 2 8 0.079149 0.5

4 s 2 8 7.382110 5.2

5 alfa 8 9 4.382601 4.0

8 s 8 9 10.332848 6.2

3 jie h e ht u sjijihiicob obhGok

H ryHKTa fi (mu) B (un) ALFA

1 .2.6 2.3 94 0 0.00

2 3.0 2.8 21 0 0.00

3 3.2 2.6 -32 0 0.00

4 3.4 2.9 -6 0 0.00

5 3.6 3.0 41 0 0.00

6 3.9 2.6 75 0 0.00

7 5.0 2.7 69 0 0.00

8 3.9 2.3 98 0 0.00

9 4.1 2.5 82 0 0.00

10 4.1 2.1 83 0 0.00

11 4.1 2.0 88 0 0.00

12 3.9 2.9 103 0 0.00

13 3.4 3.1 12? 0 0.00

14 3.0 2.4 127 0 0.00

15 4.4 2.6 76 0 0.00

PE33fl'bTflTB OBPflEOTKH

NN X~C m ) Y~( a ) Qx Qv HxCuual ■ HyCna)

1 2084.369 2222.973 1.44703 1.91125 . 2.3 2.6

2 2477.176 2494.266 2.38219 2.2Í384 3.0 2,8

3 2185.447 1012.538 2,49990 2.08767 ■3.0 2,8

4 2626.201 864.535 ■ 3.19982 2,27761 3.4 2.9

' 5 3013.354 972.310 3.02606 2,88560 3.3 3.3

6 3500.254 1163.453 1,98555 4,03072 2.7 3.8

7 3630.009 ■ 1292.231 2,65868 ' 6.27551 3.1 4.8

8 3701.657 1409.278 1,43295 4.01841 2.3 3.8

9 3756.567 1701.690 1.72847 4.59185 2.5 4.1

10 3653.414 1997.571 1.23227 4,62308 2.1 4.1

11 . 3629.929 2128.695 1.12206 4.57683 2.0 4.1

12 3275.437 2459.578 2,33951 4.13498 2.9 3.9

13 2894.507 2575.755 2.79904 2.99503 3.2 3.3

14 1912.973 1571.741 1.87999 2,09415 2.6 2.8

15 1999.998 1999.998 2.00693 5.08992 2.7 4.3

Ilocne ypaBHHBaHHs «u= i.9 "

Таблица 5

Оценка точности функций.

N Тип нач. кон. Q f Mf(mi/")

1 alfa 2 3 0.105780 0.B

г s 2 3 4.446287 4.0

з alfa 2 8 0.481888 • 1.3

4 s 2 8 7.382258 5.2

5 alfa 8 9 4.300297 4.0

В s 8 9 10.332890 6.2

Элементы эллипсов оиибок

N пункта A (na) В (га) ALFA

1 5.2 1.5 62 0 0.00

2 5.6 0.5 46 0 0.00

3 7.6 5.1 -17 0 0.00

4 8.6 5.1 12 0 0.00

5 9.2 4.9 33 0 0.00

6 10.3 4.4 55 0 0.00

7 11.2 4.3 61 0 0.00

8 10.3 4.3 67 0 0.00

9 9.4 3.9 75 0 0.00

10 8.0 3.3 79 0 0.00

11 7.7 3.5 84 0 0.00

12 6.1 4.6 96 0 0.00

13 5.3 5.0 20 0 0.00

14 5.3 3.4 98 0 0.00

РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАБОТКИ

NN X~( a ) Y~( a ) Qx OS KxCes) MyCca)

1 2084.373 2222.974 2.10819 5.87802 2.8 4.6

2 2477.183 2494,263 4.17350 4,47349 3.9 4.1

3 2185.437 1012,538 14.90695 7,77699 7.4 5.3

4 2626.189 864,530 19,84575 7.70780 8.5 5.3

5 3013.343 972.300 18.07488 11.44715 8.1 6.5

6 3500.245 1163.437 13.26709 20,99550 7.0 8.8 10.0

7 3630,002 1292.214 12,07885 27,00230 6.7

8 3701,651 1409.260 8,61263 25,26532 5.6 9.6

9 3756.565 1701.671 5,50581 22.71327 4.5 9.1

10 3653,416 1997,553 3,56284 16.96961 3.6 7.9

11 3629,932 2128.678 3.50166 16,08278 3.6 7.7

12 3275,444 2459,565 5,91549 10,07551 4.7 6.1

13 2894.515 2575.746 7,50139 6,88495 5.2 5.0

14 1912,969 1571.744 3,26552 7.66844 3.5 5.3

После уравнивания пи= 1.9 "

Рис. 4

На основе сети, периодически нивелируемой по программе II класса на кольце выполним обширные статистические исследования вертикаль тах деформаций (осадок) элементов верхнего строения пути для четырёх основных типов и повышенных до 23-25 т нагрузках на ось.

Анализ измерений показал, что величина осадки пути зависит от тожества факторов и процесс накопления осадок проходит на участках ¡еодинаково. Для того, чтобы привести результаты измерений в более :опоставимый вид был применён аппарат многофакторного регрессионно-'о анализа, осуществляемый по следующей схекТе: выбор регрессионной одели; оценивание параметров равноточным МНК; анализ остатков; при-енение в случае необходимости взвешенного МНК.

Общая модель линейной регрессии обычно записывается в виде 9 = Ь ,

це х - вектор коэффициентов регрессии; - вектор случайных оши-эк с миьо и

¿бор моделей, равно как и проверку их адекватности,производят пре-!разованием суммы квадратов (СК) наблюдений к сумме 9ту = (у-АхГ(ч-Ах) + (Ах)т(Ах), 1е первое слагаемое есть.СК остатков, а второе-представляет долю ¡еньшения СК наблюдений за счёт принятой модели. Мерой точности едсказания является множественное корреляционное отношение и небольших значениях , с помощью ? критерия проверялась ги-теза Н » х = 0. Выбор лучшей модели осуществлялся сравнением сперсий остатков по тому же Р критерию. Вообще говоря, усложняя цель можно очень точно приблизить наблюдения, однако, эта точность 5ет фиктивной, поскольку сами наблюдения содержат ошибки. Поэтому ю использовано разложение дисперсии остатков на две незави-

ше составляющие

■ !)(£,) -дисперсия остатков, вызванная ошибками вектора у ; £,) -дисперсия остатков вызванная несовершенством модели. [И отношение оказывалось больше квантили ? распределения,

то модель усложнялась.

Изучение явления сезонного промерзания и оттаивания грунтов позволило построитть регрессионную модель вида:

л,ч 2Атк < -0 ;

ми

п,с"?1—5Г- ' '

¿гпг "мг.

1 е , 'пк- ' & ) 1ри

где ак -измеренная осадка пути-в момент к ; х, -конечная осадка пути; хг -коэффициент отражающий степень затухания осадок;

1 зц -максимальное пучение балласта и земляного полотна;

Н,*, -сумма отрицательных температур в момент -к и за весь зим-, ний период; иг -суша отрицательных температур в момент полного промерзания балласта; -сумма положительны

температур при полном оттаивании балласта и в момент к ; -коэффициенты степени затухания осадок балласта и полотна при оттаивании и уплотнении.

Таким образом наша модель чётко разделена на тренд I , сезонную I ■ и случайную Ь составляющие у = * + г * I

Основной целью исследований являлось выделение уренда (зависимости •осадки от пройденного тоннажу в чистом виде). Оценивание параметры модели (б2 ) осуществлялось нелинейным МНЯ. Выделение тренда позволило получить зависимости осадок железнодорожного пути и его элементов для основных типов верхнего строения и нагрузках 20,5; 23 и 25 т на ось. Эти зависимости приведены в,диссертации в виде таблиц, трафиков и аналитических выражений в интервале пройденного тоннажа О - 500 млн тонн. Такие данные получены впервые в мировой практике и используются специалистами железнодорожного Транспорта для разработки рекомендаций по повышению осевых нагрузок на сети дорог ШС, норм расхода труда и материалов на текущее содержание и ремонт .пут:

Последний пятый раздел диссертации посвящен математической обработке результатов съёмки железнодорожных криаых. В параграфе 5.1 предложен общий подход к решению этой задачи, позволяющий привести результаты съёмки кривых разными способами в сопоставимый вид и выбрать на основе ковариационного анализа оптимальные схемы и способы измерений. Во втором параграфе этого раздела на основе сформулированного общего подхода проведена математическая обработка и выполнен детальный анализ точности результатов основных способов съёмки кривых, позволяющий рекомендовать как наиболее" точную - полярную съёмку кривой с помощью электронных тахеометров. Предложен эффективней алгоритм вычисления эвольвент по уравненным координатам точек кривой, позволяющий значительно повысить точность их определения.

В третьем параграфе раздела приведено новое решение важной практической задачи-расчёта выправки профиля железнодорожных путей сортировочных станций. На основе построенной в разделе 5.3 математической модели профиля путей станции и проекционных преобразований раздела I разработан алгоритм расчёта выправки профиля, удовлетворяющий условиям минимума стоимости выправочных работ. Здесь же пред-южен алгоритм расчёта выправки профиля наиболее ответственной час-:и сортировочной горки, основанный на представлении его нелинейной :усочной функцией с неизвестными границами участков. Решение этой 1адачи получено применением нелинейного итеративного МНК и обеспе-ивает минимальную длину вектора рихтовок.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, перечислены п. 3 данного автореферата. Её содержание опубликовано в следующих аботах:

1. Матвеев С.И. К уравниванию свободных геодезических сетей.// нж.-геод. работы на Урале.-Свердловск: 1975,-С.53-61.

2. Саданова М.Н.,Матвеев С.И.,Незнакомов Г.Г. и др. Испытание ути и подвижного состава на Экспериментальном Кольце при статичес-

кой осевой нагрузке 23 и 25 т на ось.//Отчёт по теме 71/75 (141 П). -М.: МИИТ, 1975,-275 с.

3. Садакова М.Н.,Матвеев C.Ii. Исследование осадок железнодорожного пути.//Труды МИИ5а.-М.: МИИТ, 1977.-Вып. 549.-С.25-29.

4. Садакова М.Н..Матвеев'С.И. Измерение осадок ж.д. пути в условиях БАМа.//Труды МИИТ, 1977.-Вып. 581.-С. 71-77.

5. Матвеев С.И. Алгоритм для уравнивания свободных геодезических сетей,//Геодезия и картография.-1978.-}?2.-С. 24-25.

6. Матвеев С.И. Несмещённая оценивание параметров при уравнивании свободных геодезических сетей.//Изв. вузов. Геод. и аэрофотосъёмка 1978 . -К . -С .

7. Статистический анализ результатов измерения осадок ж.д. пути при повышенных осевых нагрузках/Матвеев С.И..Садакова М.Н. ,Незнако-ыов Г.Г. и др./ М.§ МИИТ, 1978.- 62 с. Отчёт по теме 36/1.

8. Матвеев С.И. Программа уравнивания свободных нивелирных сетей // Геодезия и фотограмметрия в горном деле.- Свердловск: Изд. УПИ, 1978,- С. 39-41.

9. Матвеев С.И. Уравнивание свободных нивелирных сетей.// Труды МИИТ, 1979.- Вып. 628.- С.

10. Садакова М.Н;, Марготьев А.Н., Матвеев ,С.И. Математическая обработка.результатов измерений осадок железнодорожного пути на экспериментальном кольце.//Проблемы астрономии и геодезии. Труды УГсъезда БАГО.-М.': ЕГИ, 1979.- С. I2I-I26.

11. Садакова М.Н., Матвеев С.И. Некоторые вопросы методики измерения осадок ж.д. пути для.районов со сложными климатическими и гцг рогеологическими условиями.// Проблемы хозяйственного освоения зонь БАМа/ тезисы III Всесоюзной, конференции.-Новосибирск, 1981. С.17-16

12. Матвеев С.И. Геодезические работы на БАМе.//Геодезия и карте графия.-1981.-Ю.- С. 23-24.

13. Остаточные деформации пути при повышенных осевых нагрузках вагонов/ Марготьев A.Hi,-Матвеев С.И., Садакова М.Н. и др.// Транспортное строительство;- 1981.-КЗ.- С. 42-44.

14. Матвеев С.И.,Садакова М.Н., Измерение осадок железнодорожного пути Экспериментальног Кольца ШИШГГа.//Астрономические и геодезические исследования. Труды УН съезда ВАГО.- М.: ВТИ, 1982. - С. 100-110.

15. Матвеев С.И. Решение выроненных линейных систем в задаче уравнивания свободных геодезических сетей.//Изв. вузов. Геод. и аэрофотосъёмка.- 1982.- №3.- С. 19-25.

16. Исследование деформаций опытных конструкций пролётных строений мостов геодезическими методами/ Садакова М.Н., Матвеев С.И., Незнакомов Г.Г., и др./ Отчёт по теме .Y 139/83.- М.: МИИТ, 1983.80с.

17. Исследование -деформа^й подъездных путей промышленного транс-юрта геодезическими методами/ Матвеев С.И., Волков В.Ф., Неверов В.М. и др./ Отчёт по теме № 142/81. М.: МИИТ, 1983.- 75 с.

18. Матвеев С.И. Геометрические аспекты уравнивания свободных геодезических сетей.//Геодезия и картография.-1984.-Ji 9.- С. 8-13.

19. Матвеев С.И. Обя^й подход к уравниванию свободных геодези-!еских сетей// Геодезия и картография.-1985.- № 7,- С'. 6-II.

20. Проектирование схемы измерения осадок ж.д. пути Экспериментального Кольца ¡ШЩТа/ Матвеев С.И., Незнакомов Г.Г., Садакова I.H. и др.// Геодезия и фотограмметрия в горном деле.- Свердловск: Ш, 1985.-'С.

21. Пособие по производству геодезических работ в строительстве ' Андреева S.S., Борисенков Б.Г., Матбеев С.И. и др.//М.: Стройбат, 1985.- 123 с.

22. Создание универсальной опорной геодезической сети Зкспери-¡ентального Кольца'ВНИИЖГа/ Матвеев С.И., Незнакомов Г.Г., Садакова ..Н. и др.// Научные труды ВАГО. Инженерная геодезия в современем троительстве.- И., 1986.- С. 97-108.

23." Матвеев С.И. Уравнивание повторных измерений с учётом под-1ижн0сти пунктов-геодезической сети// Геодезия и картография.- 1986.

№ 3.- С. ¿0-24.

24. Матвеев С.И. Связь уравнивания повторных нивелировок с анализом устойчивости реперов// Научные труды ВАГО. Инженерная геодезия в современном строительстве.—М.,1986,- С.18-25.

25. Матвеев С.И., Незнакомое Г.Г.,Садакова М.Н. Наблюдение за сооружениями промышленного железнодорожного транспорта// Геодезия и картография.- 1987.- № I.- С. 25-28.

26. Технические указания по геодезическому контролю за состоянием искусственных сооружений/ Садакова М,Н., Матвеев С.И., Незнакомо: г.г. и др./Отчёт по теме И 51.- М.: МИИТ.- 1987,- 156 с.

27. Исследование геометрических параметров путей сортировочного комплекса Орехово-Зуевской дистанции/ Матвеев С.И., Незнакомов Г.Г. Волков З.Ф. и др./Отчёт по теме. №81/85.-1-1.: МИИТ.-1987. - 80 с.

• 28. Разработка и исследований способов съёмки и расчёта железнодорожных кривых/ Матвеев С.И.,Садакова М.Н., Незнакомов Г.Г., и др.. Отчёт по теме J? 1.057.86.- tí.: МИИТ.- 1988 и 1989 гг.

2У. Матвеев С.И. Общий подход к'математической обработке результ тов съёмки ж.д. кривых//Геодезия и картография.- 1989,- Ti9.-C.I7-21

30. Создание универсальной опорной геодезической сети сортировоч ного комплекса/ Садакова М.Н..Матвеев С.И., Незнакомов Г.Г. и др.// Научные труды ВАГО. Геодезическо-маркшейдерские работы в строительстве.- М. : ЪАГО, 1989.- С. 51-57.

31. Илюшин Е.Б., Матвеев Е.И. Уравнивание повторных измерений с учётом подвижности пунктов опорной геодезической сети/ Тезисы докл. межведомств, семинара:"Проблемы мониторинга и пути решения' экологического оздоровления Аральского моря и Приаралья".- М.: МИИГАиК.- 1990.- С. 24.

32. Клюшин Е.Б., Матвеев С.И. Алгоритм уравнивания повторных H3v рений с учётом подвижности пунктов геодезической сети.//Изв. вузов.

Геод. и аэрофотосъёмка.-I99I." № I.- С. 98-106.

i

Подписано в печмь 6.05.93г. 3»к.1371. Тир.100 УПП Рвпр«гр»ф