автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Разработка и применение методов аппроксимации характеристик радиотехнических устройств непрерывными кусочно-линейными функциями

На правах рукописи

Романов Дмитрий Николаевич

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ НЕПРЕРЫВНЫМИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

05 12 04 — «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владимир 2007

003066202

Работа выполнена в Муромском институте Владимирского государственного университета

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент

Курилов Игорь Александрович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Орлов Игорь -Яковлевич

кандидат технических наук, доцент Полушин Петр Алексеевич

Ведущая организация ОАО Муромский завод

радиоизмерительных приборов

Защита состоится 19 октября 2007 г в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 025 04 при Владимирском государственном университете по адресу 600000, Владимир, ул Горького, 87

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного университета

Автореферат разослан 17 сентября 2007 г Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета по адресу 600000, Владимир, ул Горького, 87, ВлГУ

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

А Г Самойлов

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Одной из важнейших проблем радиотехники является анализ нелинейных устройств и сигналов на их выходе, а также применение для этого анализа современных цифровых методов Устройства с нелинейными характеристиками являются основой устройств формирования сигналов Нелинейные характеристики в большинстве случаев не имеют аналитического выражения, поэтому для их представления используют различные виды аппроксимации

Теоретическая и практическая проработка основных принципов аппроксимации характеристик радиотехнических устройств была проведена в работах Заездного А М, Бруевича А Н, Евтянова С И, Перцевой О В , Попова П А"

Однако известные виды аппроксимации нелинейных характеристик имеют ряд недостатков Аппроксимация на основе простейших функций (кусочно-линейная, экспоненциальная) обладает высокой степенью погрешности и применима для узкого круга задач Аппроксимация на основе более сложных функций (полиномиальные, полиэкспоненциальные) обладает меньшей погрешностью, но требует существенно больших вычислительных затрат Наименьшую погрешность аппроксимации обеспечивают нелинейные функции, но их трудно реализовать в цифровых устройствах

Аппроксимация характеристик является основой для спектрального анализа сигналов на выходе нелинейных устройств Если аппроксимирующая функция нелинейная, это может затруднить дальнейший спектральный анализ, так как получить аналитическое решение в этом случае не всегда возможно, и приходится использовать численные методы

В настоящее время во многих областях радиотехники все активнее используются цифровые спецвычислители Такие спецвычислители являются основой для калибраторов фазы с цифровым управлением, датчиков перемещений, преобразователей координат К недостаткам таких схем относится то, что реализация нелинейных функций осуществляется с помощью степенных интерполяционных полиномов, требующих больших вычислительных затрат Для устранения указанного недостатка используется табулирование функций, однако это приводит к увеличению используемой вычислительной системой памяти и большого количества предварительных вычислений

Для устранения недостатков существующих методов аппроксимации были впервые разработаны непрерывные кусочно-линейные функции (НКЛФ) НКЛФ должны обладают простым аналитическим выражением, реализуемым на основе элементарных операций (сложение, умножение и сравнение) в, ЭВМ, простым выражением для расчета коэффициентов аппроксимации, низким уровнем погрешности, аналитическим выражением для определения спектра сигнала, низким уровнем вычислительных затрат на свою реализацию

Цель диссертационной работы. Разработать новые методики аппроксимации для представления и анализа нелинейных характеристик радиотехнических устройств и радиосигналов, а также модели устройств и алгоритмов для обработки информации на основе НКЛФ

Исходя из цели работы, задачами исследования являются

1) Разработка и обоснование аппроксимации на основе НКЛФ, позволяю-

!,л

щей уменьшить погрешность и время расчетов

2) Разработка методик представления и расчета функций и характеристик нелинейных элементов на основе предложенной аппроксимации

3) Разработка методик и получение аналитических выражений, позволяющих проводить спектральный анализ радиосигналов на основе НКЛФ, для уменьшения погрешности и вычислительных затрат

4) Разработка устройств, реализующих алгоритмы вычислений на основе НКЛФ

Методы исследования. При проведении исследований в диссертационной работе использовались методы спектрального анализа, численные методы и методы математического моделирования, а именно методы аппроксимации зависимостей и аппарат рядов Фурье Анализ полученных решений осуществлялся с использованием методов вычислительной математики и математического моделирования на ЭВМ

Научная новизна работы заключается в том, что

1) предложены функции для непрерывной кусочно-линейной аппроксимации, отличающиеся линейностью и простой аналитической формой записи,

2) предложены математические модели и схемы цифровых устройств обработки информации для вычисления функций на основе НКЛФ,

3) предложены методики аппроксимации функциональных зависимостей и нелинейных характеристик радиотехнических устройств и спектрального анализа радиосигналов на основе НКЛФ

Практическая ценность работы заключается в следующем

1) Предложенные методики анализа нелинейных характеристик на основе НКЛФ, позволяют получать аналитические выражения для аппроксимирующих функций, содержащие только элементарные операции, что позволяет их реализовать в цифровых устройствах

2) Предложенные функции позволяют проводить аппроксимацию с меньшими вычислительными затратами по сравнению с известными методами аппроксимации

3) Полученные аналитические выражения для проведения спектрального анализа на основе НКЛФ, позволяют проводить спектральный анализ импульсных сигналов с меньшими вычислительными затратами, чем алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ)

4) Разработанные математические модели устройств и алгоритмы позволяют рассчитывать функции на основе НКЛФ

5) Разработанные инструментальные средства в виде математического и программного обеспечения, реализованного в компьютерной математической среде Ма&САЭ, позволяют проводить анализ характеристик радиотехнических устройств и спектральный анализ радиосигналов

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1) Новые функции НКЛФ, обладающие линейностью, а также методики аппроксимации функциональных зависимостей и нелинейных характеристик на основе НКЛФ

2) Методики спектрального анализа радиосигналов на основе НКЛФ, позволяющие получать более точные результаты с меньшими вычислительными затратами по сравнению с существующими методами

3) Математические модели цифровых устройств обработки информации для расчета функций на основе НКЛФ, позволяющие повысить скорость и точность вычислений

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах

1) Международные молодежные научные конференции «ХХУТ-ХХУП Га-гаринские чтения» (Москва, 2002-2005)

2) Международная научная конференция «Оптимальные методы решения научных и практических задач» (Таганрог, 2005)

3) Конференции Муромского института Владимирского государственного университета и научные семинары кафедры радиотехники МИ ВлГУ (20022007 г г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ, включая 14 статей (две статьи в журналах из перечня, рекомендуемого ВАК), 2 тезиса докладов, 2 свидетельства на полезную модель

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложений Общий объем работы составляет 153 страницы машинописного текста, включая 66 рисунков, 31 таблицу Библиография содержит 81 наименований, в том числе 19 работ автора В приложении приведены документы, подтверждающие внедрение результатов работы

Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, изложены основные научные результаты, полученные в работе, ее практическая ценность

В первой главе проведен обзор литературы,1 посвященной вопросам аппроксимации характеристик нелинейных радиотехнических элементов и функциональных зависимостей

Анализ видов аппроксимации, применяемых для представления характеристик нелинейных элементов, показал, что основными видами аппроксимации для представления характеристик нелинейных радиотехнических элементов являются экспоненциальная, полиномиальная, полиэкспоненциальная, кусочно-линейная и сплайн аппроксимация Эти методы имеют ряд недостатков Методы аппроксимации нелинейных характеристик, которые позволяют представлять их с высокой степенью точности, имеют сложные для вычисления коэффициенты аппроксимации и сложные аналитические выражения для спектрального анализа сигналов на их основе Кроме того, они требуют больших вычислительных затрат Наименьшую погрешность аппроксимации показывают методы на основе нелинейных функций, но нелинейные функции нельзя реализовать в цифровых устройствах без предварительного табулирования либо без использования приближенных методов

Анализ методов аппроксимации функциональных зависимостей показал, что основой для нее являются интерполяционные полиномы, а также многочлены на основе производных (сплайны, многочлен Тейлора) Общим недостатком методов аппроксимации функциональных зависимостей является наличие в конечных выражениях большого количества членов, которые нельзя свести под знак суммы Кроме того, при аппроксимации на основе полиномов не наблюдается значительного уменьшения погрешности с увеличением степени полинома Асимптотическая оценка скорости нарастания операций для всех интерполяционных полиномов носит квадратичный характер, что требует значительных вычислительных затрат на их реализацию В случае сплайнов и многочлена Тейлора требуются значительные вычислительные затраты на вычисление коэффициентов аппроксимации

Во второй главе описана разработка непрерывных кусочно-линейных функций В качестве основы для получения НЕСЛФ используется модуль линейной функции, так как он обладает линейностью на всей области определения, кроме точки перегиба, а наличие перегиба характеризует функцию как нелинейную Такие свойства позволяют получать на его основе характеристики различной формы суммированием нескольких модулей

Простейшей из разработанных функций является элементарная НКЛФ с плоской вершиной

= Мо-Ам и-Агч (1)

£ 1С и=о

где М = О 3 - счетчик, /0 - начальный сдвиг функции, /с - величина, определяющая сдвиг отдельных модулей относительно друг друга, Т0 = /0 - (3 - дли-

(~\)м _1

тельность ненулевой части функции, А} и = -—^- (М-2),

Ъ* (-Vм-!

м+-—--

- коэффициенты, учитывающие различный сдвиг от-

дельных модулей относительно друг друга

Элементарная НКЛФ с плоской вершиной позволяет аппроксимировать характеристики, близкие к прямоугольному импульсу (импульсные радиосигналы), нелинейные характеристики и функциональные зависимости Эта функция состоит из четырех модулей При этом сдвиг между первым и вторым модулями равен сдвигу между третьим и четвертым, но не равен сдвигу между вторым и третьим В некоторых случаях (при цифровой реализации) удобнее использовать фиксированный шаг аппроксимации

На основе элементарной НКЛФ с плоской вершиной, путем ввода фиксированного шага аппроксимации, получена базовая НКЛФ

о-'™ Щ (2)

¥=0

5А/3 -2\М2 +\9М 5Мг -24М2 + 2ВМ-3

где Вм = у2--у,- —коэффициент ап-

6 /,„ 6 1.....

проксимации, >>,, у2 - значения функции в узлах аппроксимации, t0 - начальный сдвиг НКЛФ, 4„ -смещение модулей относительно друг друга

Формула (2) - окончательное выражение для базовой НКЛФ Она удобна для представления функций и нелинейных характеристик, аппроксимированных с фиксированным шагом изменения аргумента при небольшом количестве узлов аппроксимации Особенностью базовой НКЛФ является то, что при большом количестве узлов аппроксимации (больше трех) (рис 16) требуется складывать отдельные базовые НКЛФ, сдвинутые относительно начала друг друга на 2 ¡СЛ! (рис 1а)

О I 2 г И 41 1 О I 21 11 I

Рис 1 - Аппроксимирующие НКЛФ: а) две базовые, б) сумма двух базовых

Для удобства применения базовой НКЛФ была разработана обобщенная НКЛФ, которая представляет сумму нескольких базовых НКЛФ

Чтобы получить выражение для обобщенной НКЛФ, с помощью базовых НКЛФ была аппроксимирована функция ХО (таблица 1)

1 (о 4+2 /о+З ¿0+4 гсм

У(1) 0 Уп Уп У21 Ун

Выражение для обобщенной НКЛФ получено путем суммирования выражений для базовой НКЛФ

= Е ¿Ям„\(-Ц0+2 ип-\)]-гш М\, (3)

11=1 (/=0

5М3 -2\Мг +19М 5МЪ -24М2 + 28М-3 где В„„=уп1-—-->'„,-—--коэффициент

6 Ъ 6 г„

аппроксимации, п - количество базовых НКЛФ для аппроксимации, Уп 1 = у(*о + Км и - О) и ун2 - + 2и) - значения исходной характеристики в нечетных и четных узлах аппроксимации соответственно.

С помощью обобщенной НКЛФ можно аппроксимировать функции произвольного вида с помощью одного выражения для аппроксимирующей функции (3), а не большого количества выражений (2) Структура обобщенной НКЛФ позволяет использовать ее для распараллеливания вычислений (расчет базовой НКЛФ происходит параллельно)

Дополнительные слагаемые под модулем и два счетчика суммы Мкп делают выражение для обобщенной НКЛФ громоздким Для устранения этого недостатка разработана обобщенная НКЛФ с компактной формой записи

Эта функция получена путем записи выражения для обобщенной НКЛФ не на основе базовой НКЛФ, а на основе модуля линейной функции

Р(() = ±к, \t-ts-l Ц (4)

1=\

У,-2 Ум + Уг-2

Выражение для обобщенной НКЛФ с компактной формой записи (4) содержит один знак суммы и имеет более компактный коэффициент аппроксимации Для аппроксимации с адаптируемым шагом разработана адаптивная НКЛФ

где к, ='

- коэффициент аппроксимации

(5)

где г„ - шаг аппроксимации, К„ - коэффициент аппроксимации

Коэффициент аппроксимации определяется из системы линейных алгебраических уравнений вида

В матричной форме эта система имеет вид \к\ [г] = [у] или \к\ = \) \ [г] 1 Адаптивная НКЛФ позволяет аппроксимировать нелинейные характеристики и функции с меньшей погрешностью, чем НКЛФ с фиксированным шагом аппроксимации Это достигнуто за счет различных вариантов адаптации Использование такого подхода приводит к уменьшению погрешности, так как аппроксимирующая функция «подстраивается» (адаптируется) под изменение характера нелинейности исходной характеристики

В третьей главе рассматривается аппроксимация функциональных зависимостей и характеристик нелинейных элементов на основе элементарной НКЛФ с плоской вершиной, обобщенной НКЛФ и адаптивной НКЛФ Проводилась аппроксимация синусоидального импульса, экспоненциальной и арктангенци-альной функций Сравнение аппроксимации на основе различных видов НКЛФ показало, что наименьшую погрешность обеспечивает аппроксимация на основе элементарной НКЛФ с плоской вершиной Это связано с тем, что элементарной НКЛФ с плоской вершиной умножается на линейную функцию На основании выражения (1) лервая аппроксимирующая НКЛФ (рис 2 а)

^ «„ м=о

- А

'о V/

А-'о+у

(6)

Дополнительная линейная функция (рис 26), на которую необходимо умножить выражение (6), имеет вид

4(0

t -1 -ь ч 2

л. 2

"Ж)

(7)

Первая аппроксимирующая функция Ц(() = /,(?) представлена на рис

Рис. 2 - а), б) - составляющие первой аппроксимирующей функции в) - первая аппроксимирующая функция

Результаты исследований показывают, что использование узлов аппроксимации, рассчитанных из условия равенства среднеквадратического отклонения (СКО), приводит к уменьшению погрешности в 1,2 - 1,4 раза по сравнению с аппроксимацией с фиксированным шагом При аппроксимации на основе элементарной НКЛФ с плоской вершиной линейная функция умножается на НКЛФ Боковые линии элементарной НКЛФ с плоской вершиной невертикальные, поэтому вблизи точек аппроксимации появляются сглаженные участки, наличие которых приводит к небольшому уменьшению погрешности по сравнению с адаптивной НКЛФ

Сравнивая аппроксимацию синусоидального импульса на основе НКЛФ с аппроксимацией на основе интерполяционных полиномов, необходимо отметить, что применение НКЛФ позволяет получать сопоставимую погрешность при одинаковом количестве членов Например, аппроксимация с помощью полинома Бесселя имеет СКО 3,857 10~3 при 5 членах полинома, а на основе адаптивной НКЛФ - 3,794 10~3 при том же количестве членов Здесь используется полином Бесселя пятой степени, а НКЛФ эквивалентна полиному первой степени (линейная интерполяция) Также необходимо отметить, что использование НКЛФ в некоторых случаях позволяет получить меньшее значение погрешности при меньших вычислительных затратах Например, аппроксимация с экспоненты помощью кубического сплайна дает СКО 0,043 при 12 членах, а на основе адаптивной НКЛФ - 0,042 при 7

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов проводилась на основе обобщенной и адаптивной НКЛФ В качестве примера была проведена аппроксимация характеристик транзисторов КТ 646А и КТ 920Б, которые выбраны в силу их наибольшей характерности Для сравнения проводилась аппроксимация нелинейных характеристик тех же транзисторов на основе полиэкспоненциальной аппроксимации с положительными знаками степеней (ПЭАПЗ) Этот вид аппроксимации обладает самой высокой точностью из рассмотренных в данной работе Значения СКО сведены в таблицу 2

Выигрыш в точности при аппроксимации адаптивной НКЛФ по сравнению с ПЭАПЗ составляет 96 раз для КТ 646А и 6,3 раза для КТ 920Б при 8 точках, 28 раз для КТ 646А и 2,6 раза для КТ 920Б при 10

Таблица 2 - Сравнение СКО

Количество узлов Для 8 точек 1 Для 10 точек

Нелинейная характеристика КТ646А КТ920Б ! КТ646А ! КТ920Б

Адаптивная НКЛФ 1,357 Ю45 1,938 10"6 8,911 10"7 ! 1,893 10"6 ,

ПЭАПЗ 1,309 10"4 1,227 10"5 2,517 10"5 1 4,93 10"6

Более высокая точность аппроксимации на основе адаптивной НКЛФ обусловлена отсутствием эффекта «волнистости» характеристики, которым обладает ПЭАПЗ

В четвертой главе рассматривается спектральный анализ на основе НКЛФ обобщенной НКЛФ с компактной формой записи и адаптивной НКЛФ В этой главе проводился вывод выражений для нахождения спектра сигнала, представленного на основе НКЛФ Был проведен гармонический анализ сигналов на основе НКЛФ Рассматривалось прохождение полигармонического сигнала

N

u(t) = ^Allsm(cont), где Ап — амплитуда и-ой синусоиды, соп- частота и-ой

синусоиды В общем случае сигнал проходит через нелинейный элемент с характеристикой г(и) Сигнал на выходе нелинейного элемента имеет вид

i(t) = i(u(t)) или i(t) = An sin(wnt)j (8)

Найти точное аналитическое выражение для определения спектра сигнала на выходе нелинейного элемента при таких условиях не представляется возможным, так как характеристика нелинейного элемента не всегда может быть точно описана аналитическим выражением, а выражение (8) представляет собой сложную нелинейную функцию, для которой невозможно найти аналитическое представление спектра Представление сигнала и нелинейной характеристики с помощью НКЛФ позволяет определить аналитическое выражение для сигнала вида (8) на основе обобщенной НКЛФ вида (4)

i(t) = i(tAnM(vj)} = tkl |t-t0-l (9)

В общем случае спектр периодического сигнала

cm=y)s(t) e--a''dt, (10)

1 <i

где s(t) - сигнал, tu t2 - начало и конец сигнала, Т = t2-ti - период, О0 = 2

- основная частота сигнала, m - номер гармонической составляющей

Аналитическое выражение для нахождения спектра сигнала, представленного на основе НКЛФ (4), получено путем подстановки выражения (9) в (10)

\t~h-l У e^'dt (И)

Выражение для одного элемента суммы.

= J ')к> Mo -/ u е"'-'dt = J к, )\t -t0-l Ц е-'й° 'dt (12)

Была найдена первообразная от интеграла (12) Этот интеграл не входит в число стандартных Модуль был представлен следующим образом [('-'о-' 0-^*0+1 *„

На основании выражения (13) интеграл (12) разделится на два

1 к, О е-тП°'Ж,1>(0 + 1

\t-to~l У =

(13)

(14)

"7 К Д/-/0 -/ О е-'тС!°'с1(, I </0 +/

Чтобы уйти от кусочного представления интеграла (14), введена бесконечно малая величина Д

С,„ =4 *, О к, 'О+"/(Д?0-I 1а1 +Д) е-™0-'Л (15)

Интеграл вида (15) относится к стандартным и равен

с = — А:,

4*.

-7 ?« П0 ?

г те О0 ? + 1 / (/„+/ (/я О0)2 »г

а,, (^г от О0 г + 1 г (г0+/ Г,„-А) (те П0)2 те О0

= 7 к< г^у И0*'1 (1+г а» ОЬ

т К™ "о)

На основании (16) аналитическое выражение для спектра всей суммы 1 1

(16)

с =■

[е-"1П-'> (1 + , и О0 (/2-*0-/ О)-

Г / Л \2 ' «и V и \ ^ и СИ // ... _.

(те П0) /и (17)

По аналогии с выражением (17) получено выражение для расчета спектра на основе адаптивной НКЛФ

с„ =

1

1

« Ъ. (1 + 1 т О0 (/2-0)~

Т (т С20)2

(1-1 т П0 д)+е"""а''']

(18)

Был проведен спектральный анализ ряда сигналов на основе полученных выражений (17) и (18) Для сравнения в таблице 3 приведено СКО вычисления спектров гармонического и бигармонического сигнала на выходе транзистора КТ 646А В этой же таблице приведено СКО вычисления спектров тех же сигналов на основе полиэкспоненциальных аппроксимаций

Таким образом, спектральный анализ на основе НКЛФ показывает большую

точность по сравнению со спектральным анализом на основе полиэкспоненциальной аппроксимации 1,4 - 7,3 раза при подаче на вход КТ 646А гармонического сигнала и 5,3 - 11,8 раза при подаче на вход КТ 646А бигармонического сигнала

Таблица 3 - Сравнение СКО при спектральном анализе на основе НКЛФ и полиэкспоненциальных аппроксимаций____

Сигнал Обобщенная НКЛФ Адаптивная НКЛФ ПАЭЧЗ ПЭАПЗ

Гармонический 1,44 10" 7,577 10 "7 5,51 10"6 1,087 10"6

Бигармонический 1,926 1(И 7,792 1(Г5 9,158 НИ 4,129 10"

Кроме того, на основе адаптивной НКЛФ можно получить выигрыш в скорости и точности спектрального анализа импульсных сигналов по сравнению с БПФ В качестве примера рассмотрим прямоугольный импульс При его аппроксимации с помощью адаптивной НКЛФ достаточно задать шесть узлов аппроксимации (отсчетов), приведенных в таблице 4 Использование прямоугольного импульса является наиболее показательным, так как он отличается от трапециевидного только крутизной фронтов А для построения треугольного или пилообразного импульсов достаточно пяти отсчетов

Таблица 4 - Узлы аппроксимации

t 0 2 2,0001 3,9999 4 8 |

У 0 0 1 1 0 о !

СКО спектрального анализа в среде MathCAD составляет для адаптивной НКЛФ величину 4,884 Ю-10 при оценке шестнадцати спектральных составляю-

N

щих Вычислительные затраты на БПФ составляют — logN операций, где N-

количество отсчетов Спектральный анализ на основе адаптивной НКЛФ требует для своей реализации 74 операции Таким образом, при N=32 для реализации БПФ требуется больше элементарных операций При этом СКО для БПФ составляет 1,195 10~7, что в 245 раз больше, чем при использовании НКЛФ Из полученных результатов следует, что спектральный анализ импульсных сигналов на основе адаптивной НКЛФ по сравнению с алгоритмами БПФ обладает существенно большей точностью и требует меньших вычислительных затрат

В пятой главе рассматриваются принципы построения цифровых спецвычислителей на основе НКЛФ Цифровые спецвычислители получают сейчас все более широкое распространение Они позволяют быстро проводить расчет необходимых функций, например, функции sm(x) Такие спецвычислители являются основой для калибраторов фазы с цифровым управлением, датчиков перемещений, преобразователей координат

Цифровые спецвычислители строятся на основе двух способов представления функций табличного и таблично-алгоритмического Табличный способ представления функций позволяет вычислять функции с наибольшей скоростью, но это приводит к увеличению необходимой памяти Вычисление функции сводится к выборке из памяти значений функции, соответствующих заданным аргументам Таблично-алгоритмический способ требует больше времени

на вычисление функций, но позволяет обойтись меньшим объемом памяти Для реализации алгоритма вычислений на основе этого способа достаточно хранить в памяти только значения точек в узлах интерполяции и значения коэффициентов интерполяции Значения функции между этими узлами вычисляются с помощью степенных интерполяционных полиномов, требующих больших вычислительных затрат

Для уменьшения количества требуемой памяти и времени вычислений предлагается использовать таблично-алгоритмический способ представления функций на основе НКЛФ При вводе произвольного значения аргумента, входящего в область определения функции, выводится соответствующее ему интерполированное значение функции в соответствии с выражением для НКЛФ Для увеличения точности вычислений значений функции в основу функционирования устройства поставим адаптивную НКЛФ (5) Схема устройства приведена на рис 4 а (С, С1 См — сумматоры, Пх П\. - перемножители) Главным достоинством данного устройства является высокая скорость вычислений Это объясняется тем, что большая часть процессов сложения и умножения выполняется параллельно Недостатком такой реализации является увеличение аппаратных затрат

Для решения этой проблемы достаточно превратить процесс вычисления выражений под модулями из параллельного в последовательный Также для реализации знака суммы придется ввести накопительный сумматор Это приведет к уменьшению общего количества простых сумматоров с и = N до одного, количество перемножителей уменьшится в той же пропорции

Схема устройства приведена на рис 4 б (С - сумматор, П - перемножитель) Схема на рис 4 б, как и схема на рис 4 а, позволяет проводить расчет функций на основе адаптивной НКЛФ Достоинством этой схемы является существенная экономия аппаратных ресурсов

Обе рассмотренные схемы позволяют проводить расчет произвольных функций таблично-алгоритмическим способом Их недостаток заключается в том, что они предназначены для вычисления одной конкретной функции, так как коэффициенты аппроксимации для нее зашиты в ПЗУ Следовательно, для реализации расчетов по этим схемам необходимо провести предварительное табулирование коэффициентов аппроксимации Д ля устранения этого недостатка предлагается создать устройства, в которых бы дополнительно производился расчет коэффициентов аппроксимации

Для реализации поставленной задачи предлагается использовать видоизмененное выражение для обобщенной НКЛФ с компактной формой записи

Р(х) = ±к, \х-х,\, (19)

/=1

где I — счетчик суммы, X/ — шаг аппроксимации, к, = ?" — коэф-

2 (х, — хм )

фициент аппроксимации, у/ — значения функции в узлах аппроксимации

Особенностью рассматриваемой функции является фиксированный шаг узлов аппроксимации (расстояние между координатами X) На рис 5 представле-

но устройство, реализующее алгоритм (19)

Оно содержит три блока памяти два для хранения координат узлов аппроксимации (координата X хранится со знаком минус) и один для хранения аргументов вычисляемой функции

ПЗУ

аргумента

а) б)

Рис. 4 - Устройства для расчета функций на основе НКЛФ а) - параллельное, б) - последовательное

Данный алгоритм вычисления функций не требует предварительного табулирования коэффициентов аппроксимации или значений вычисляемой функции- Это позволяет сократить объемы необходимой памяти и дает возможность использовать устройство для вычисления различных функций Особенностью устройства является постоянный шаг узлов аппроксимации вдоль оси X

Для оценки быстродействия рассматриваемого алгоритма воспользуемся асимптотической скоростью возрастания количества операций о(т) при увеличении количества узлов аппроксимации т Асимптотическая оценка О для данного устройства имеет линейную зависимость 0(т), следовательно, при увеличении количества узлов аппроксимации будет происходить линейный рост вычислительных затрат, что нежелательно при большом количестве вычислений

Сократить вычислительные затраты на реализацию алгоритма расчета на основе НКЛФ можно, проводя вычисления не по всем узлам аппроксимации, а только по двум соседним, их нахождение реализуется с помощью устройства поиска При вычислении функции по двум узлам аппроксимации НКЛФ будет состоять из двух модулей линейных функций

Коэффициенты аппроксимации ка = -!—г, к{ =:———г

Р1 — *о | |*о — х\ I Асимптотическая оценка для алгоритма, реализуемого в данном устройстве равна 0(1о§ т) Сравнение скорости вычислений обоих вариантов показывает, что при т = 16 асимптотическая оценка 0(т) = 16, а 0{logrn) = A, при от = 256, соответственно, 0(т) = 256 , 0{log т) = 8, это прямо пропорционально времени вычислений

Рис 5 - Устройство расчета функций бег предварительного табулирования

Схема устройства для вычисления функций по выражению (20) представлена на рис 6

Как и в предыдущем случае, устройство содержит три блока памяти два для хранения координат узлов аппроксимации (координата X хранится со знаком минус) и один для хранения аргументов функции Блоки памяти, хранящие координаты узлов аппроксимации, управляются устройством поиска Оно осуществляет выборку значений координат узлов аппроксимации по значению аргумента функции

Достоинством обоих устройств вычисления функций является возможность проводить вычисление без предварительного табулирования Это достигается за счет включения в структуру блоков вычисления коэффициентов аппроксимации Устройства позволяют вычислять различные функции Для изменения функции достаточно заменить содержимое блока памяти, где хранятся координаты узлов аппроксимации Оба устройства позволяют сократить количество памяти, необходимое для воспроизведения функции, так как значения функции вычисляются, а не выбираются из памяти Если необходимо рассчитать функцию по р узлам аппроксимации с точностью в д точек между узлами аппрокси-

мации, то потребуется в 1 + д - — раз меньше памяти, чем при табличном споР

собе организации спецвычислителя

Рис. 6 — Устройство для расчета функций без предварительного табулирования

Дополнительным достоинством устройства, представленного на рис 6, является большее быстродействие, определяемое оценкой O{logm) Кроме того, координаты узлов аппроксимации, находящиеся в памяти, могут следовать с произвольным шагом, что позволяет проводить вычисления с более высокой точностью

В заключении изложены основные результаты, полученные в диссертационной работе и заключающиеся в следующем

1 Аппроксимация функциональных зависимостей на основе разработанных НКЛФ при одинаковом уровне вычислительных затрат показывает сравнимую или худшую погрешность по сравнению с интерполяционными полиномами Это объясняется тем, что аппроксимация на основе НКЛФ по сути аналогична линейной интерполяции Аппроксимация нелинейных характеристик транзисторов на основе НКЛФ в ряде случаев показывает меньший уровень погрешности при меньших вычислительных затратах Выигрыш в точности при аппроксимации нелинейных характеристик по сравнению с ПЭ-АПЗ составляет 28 — 96 и 2,6 - 6,3 раза для характеристик различных транзисторов

2 Разработаны методики аппроксимации нелинейных характеристик и функциональных зависимостей на основе различных видов непрерывных кусочно-линейных функций

3 Получены аналитические выражения для спектрального анализа сигналов на основе НКЛФ Спектральный анализ на основе НКЛФ показывает большую точность по сравнению со спектральным анализом на основе полиэкспоненциальной аппроксимации 1,4 - 7,3 раза при анализе прохождения гармонического сигнала через нелинейный элемент и 5,3 - 11,8 раза при анализе прохождения бигармонического сигнала При спектральном анализе импульсных сигналов на основе адаптивной НКЛФ получен существенный выигрыш в быстродействии по сравнению с алгоритмами БПФ

4 Разработаны методики спектрального анализа сигналов на выходе нелинейного устройства при сложном входном воздействии на основе различных видов НКЛФ

Основные работы по теме публикации

В специальных журналах, рекомендуемых ВАК:

1 Курилов И А, Романов Д Н Аппроксимация функциональных зависимостей с помощью непрерывных кусочно-линейных функций/ТРадиотехника -2006 -№6 С 94-98

2 Курилов И А , Романов Д Н Цифровые вычислители функций без предварительного табулирования//Радиотехника -2007 -№6 С. 36-38

В сборниках научных трудов:

1 Курилов И А, Романов Д Н Аппроксимация синусоидальной характеристики на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидрометеоиздат -2003 -ВыпЗ-С 44-51

2 Курилов И А , Романов Д Н Применение обобщенной непрерывной кусочно-линейной функции для аппроксимации характеристик на примере синусоидальной функции // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидрометеоиздат - 2004 - Вып 4 -С 79-83

3 Курилов И А, Романов Д Н Аппроксимация нелинейных характеристик на основе адаптивных непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов -СПб Гидрометеоиздат -2006 -Вып7-С 211-215

4 Курилов И А , Романов Д Н Анализ составляющих спектра сигнала на выходе нелинейного элемента на основе аппроксимации непрерывными кусочно-линейными функциями И Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидрометеоиздат - 2005 — Вып 6 - С 78-84

5 Курилов И А , Романов Д Н Спектральный анализ на основе адаптивной непрерывной кусочно-линейной функции // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидрометеоиздат -2006 - Вып 7 -С 215-219

6 Курилов И А, Романов Д Н Применение непрерывных кусочно-линейных функций для аппроксимации характеристик и спектрального анализа // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов-М Радиотехника -2007 -Вып8 -С 7-11

7 Курилов И А , Романов Д Н Устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидроме-теоиздат -2004 -Вып5 -С 38-43

8 Курилов И А, Романов Д Н Устройство для вычисления функций на основе обобщенной непрерывной кусочно-линейной функции с компактной формой записи // Методы и устройства передачи и обработки информации Межвузовский сб науч трудов - СПб Гидрометеоиздат - 2005 - Вып 6 — С 84-89

Патенты:

1 Патент на полезную модель № 48231, О 06 Р 17/00 Устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций / Курилов И А, Ромашов В В , Романов Д Н - Опубл 29 09 2005, Бюл №27

2 Патент на полезную модель № 65665 - О 06 Р 17/00 Цифровое устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций / Курилов И А, Ромашов ВВ, Романов ДН - Опубл 10 08 2007, Бюл №22

Подписано в печать 13 09 07 Формат 60x84/16 Бумага для множит техники Гарнитура Тайме Печать ризография Уел печ л 1,1 Тираж 100 экз Заказ Ns 1152 Отпечатано в полиграфическом отделе (типографии) Издательско-полиграфического центра Муромского института (филиала) ГОУ ВПО «Владимирский государственный университет» Адрес 602264, Владимирская область, г Муром, ул Орловская, 23

Введение.

1 Основные методы аппроксимации.

1.1 Методы аппроксимации нелинейных характеристик.

1.2 Сравнительный анализ основных методов аппроксимации нелинейных характеристик.

1.3 Методы аппроксимации функциональных зависимостей.

1.4 Сравнительный анализ основных методов аппроксимации функциональных зависимостей.

1.5 Выводы. Постановка задач исследования.

2 Разработка непрерывных кусочно-линейных функций.

2.1 Непрерывная кусочно-линейная функция с плоской вершиной.

2.2 Базовая непрерывная кусочно-линейная функция.

2.3 Обобщенная непрерывная кусочно-линейная функция.

2.4 Обобщенная непрерывная кусочно-линейная функция с компактной формой записи.

2.5 Адаптивная непрерывная кусочно-линейная функция.

2.6 Выводы.

3 Аппроксимация функций и нелинейных характеристик на основе непрерывных кусочно-линейных функций.

3.1 Аппроксимация функциональных зависимостей на основе НКЛФ.

3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных устройств на основе НКЛФ.

3.3 Методика расчета аппроксимирующей функции характеристики нелинейного устройства на основе обобщенной НКЛФ.

3.4 Методика расчета аппроксимирующей функции характеристики нелинейного устройства на основе адаптивной НКЛФ.

3.5 Выводы.

4 Применение непрерывных кусочно-линейных функций для спектрального анализа сигналов.

4.1 Спектральный анализ на основе обобщенной НКЛФ с компактной формой записи.

4.2 Методика расчета спектральных составляющих полигармонического сигнала на выходе нелинейного устройства на основе обобщенной НКЛФ с компактной формой записи.

4.3 Спектральный анализ на основе адаптивной НКЛФ.

4.4 Методика расчета выходных спектральных составляющих нелинейного устройства при полигармоническом входном сигнале.

4.5 Спектральный анализ импульсных сигналов на основе адаптивной НКЛФ.

4.6 Выводы.

Глава 5 Устройства для расчета функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций.

5.1 Цифровое устройство для расчета функций на основе НКЛФ.

5.2 Алгоритм расчета функций на основе НКЛФ.

5.3 Выводы.

Актуальность проблемы. Одной из важнейших проблем радиотехники является анализ нелинейных устройств и сигналов на их выходе, а также применение для этого анализа современных цифровых методов. Радиотехнические устройства с нелинейными характеристиками являются основой устройств формирования сигналов. Нелинейные характеристики в большинстве случаев не имеют аналитического выражения, поэтому для их представления используют различные виды аппроксимации.

Теоретическая и практическая проработка основных принципов аппроксимации характеристик радиотехнических устройств была проведена в работах Заездного A.M., Бруевича А.Н., Евтянова С.И., Перцевой О.В., Попова П.А.

Однако известные виды аппроксимации нелинейных характеристик имеют ряд недостатков. Аппроксимация на основе простейших функций (кусочно-линейная, экспоненциальная) обладает высокой степенью погрешности и применима для узкого круга задач [1-4]. Аппроксимация на основе более сложных функций (полиномиальные, полиэкспоненциальные) обладает меньшей погрешность аппроксимации, но требует существенно больших вычислительных затрат [2-4]. Наименьшую погрешность аппроксимации обеспечивают нелинейные функции, но их трудно реализовать в цифровых устройствах [5].

Аппроксимация характеристик является основой для спектрального анализа радиосигналов на выходе нелинейных устройств [1-3]. Если аппроксимирующая функция нелинейная, это может затруднить дальнейший спектральный анализ, так как получить аналитическое решение в этом случае не всегда возможно, и приходится использовать численные методы [4-10].

В настоящее время во многих областях радиотехники все активнее используются цифровые спецвычислители. Такие спецвычислители являются основой для калибраторов фазы с цифровым управлением, датчиков перемещений, преобразователей координат [1,2]. К недостаткам таких схем относится то, что реализация нелинейных функций, осуществляется с помощью степенных интерполяционных полиномов, требующих больших вычислительных затрат [3]. Для устранения указанного недостатка используется табулирование функций [12], однако это приводит к увеличению используемой вычислительной системой памяти и большому количеству предварительных вычислений. Для устранения недостатков существующих методов аппроксимации предлагается разработать непрерывные кусочно-линейные функции (НКЛФ). НКЛФ должны обладать:

1. простым аналитическим выражением, которое реализуется только на основе элементарных операций (сложение, умножение и сравнение) в цифровых вычислителях [11];

2. простым выражением для расчета коэффициентов аппроксимации;

3. низким уровнем погрешности;

4. аналитическим выражением для определения спектра сигнала;

5. низким уровнем вычислительных затрат на свою реализацию.

Цель диссертационной работы. Разработать новые методики аппроксимации для представления и анализа нелинейных характеристик радиотехнических устройств и радиосигналов, а также модели устройств и алгоритмов для обработки информации на основе НКЛФ.

Исходя из цели работы, задачами исследования являются:

1. Разработка и обоснование аппроксимации на основе НКЛФ, позволяющей уменьшить погрешность и время расчетов.

2. Разработка методик представления и расчета функций и характеристик нелинейных элементов на основе предложенной аппроксимации.

3. Разработка методик и получение аналитических выражений, позволяющих проводить спектральный анализ радиосигналов на основе НКЛФ, для уменьшения погрешности и вычислительных затрат.

4. Разработка устройств, реализующих алгоритмы вычислений на основе НКЛФ.

Методы исследования. При проведении исследований в диссертационной работе использовались методы спектрального анализа, численные методы и методы математического моделирования, а именно: методы аппроксимации зависимостей и аппарат рядов Фурье. Анализ полученных решений осуществлялся с использованием методов вычислительной математики и математического моделирования на ЭВМ. Для проверки теоретических результатов проводились экспериментальные исследования.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. предложены функции для непрерывной кусочно-линейной аппроксимации, отличающиеся линейностью и простой аналитической формой записи;

2. предложены математические модели и схемы цифровых устройств обработки информации для вычисления функций на основе НКЛФ;

3. предложены методики аппроксимации функциональных зависимостей и нелинейных характеристик радиотехнических устройств и спектрального анализа радиосигналов на основе НКЛФ.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Предложенные методики анализа нелинейных характеристик на основе НКЛФ, позволяют получать аналитические выражения для аппроксимирующих функций, содержащие только элементарные операции, что позволяет их реализовать в цифровых устройствах.

2. Предложенные функции позволяют проводить аппроксимацию с меньшими вычислительными затратами по сравнению с известными методами аппроксимации

3. Полученные аналитические выражения для проведения спектрального анализа на основе НКЛФ, позволяют проводить спектральный анализ импульсных сигналов с меньшими вычислительными затратами, чем алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).

4. Разработанные математические модели устройств и алгоритмы позволяют рассчитывать функции на основе НКЛФ.

5. Разработанные инструментальные средства в виде математического и программного обеспечения, реализованного в компьютерной математической среде MathCAD, позволяют проводить анализ характеристик радиотехнических устройств и спектральный анализ радиосигналов.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Новые функции НКЛФ, обладающие линейностью, а также методики аппроксимации функциональных зависимостей и нелинейных характеристик на основе НКЛФ.

2. Методики спектрального анализа радиосигналов на основе НКЛФ, позволяющие получать более точные результаты с меньшими вычислительными затратами по сравнению с существующими методами.

3. Математические модели цифровых устройств обработки информации для расчета функций на основе НКЛФ, позволяющие повысить скорость и точность вычислений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Оптимальные методы решения научных и практических задач» (Таганрог, 2005).

2. Конференции Муромского института Владимирского государственного университета и научные семинары кафедры радиотехники МИ ВлГУ (2002-2007 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ, включая 15 статей (две статьи в журналах из перечня, рецензируемого ВАК), 2 тезиса докладов, 2 свидетельства на полезную модель.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Общий объем работы составляет 153 страницы машинописного текста, включая 66 рисунков, 31 таблицу. Библиография содержит 81 наименований, в том числе 19 работ автора.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Аппроксимация функциональных зависимостей на основе разработанных НКЛФ при одинаковом уровне вычислительных затрат показывает сравнимую или худшую погрешность по сравнению с интерполяционными полиномами. Это объясняется тем, что аппроксимация на основе НКЛФ по сути аналогична линейной интерполяции. Аппроксимация нелинейных характеристик транзисторов на основе НКЛФ в ряде случаев показывает меньший уровень погрешности при меньших вычислительных затратах. Выигрыш в точности при аппроксимации нелинейных характеристик по сравнению с ПЭАПЗ составляет 28 - 96 и 2,6 - 6,3 раза для характеристик различных транзисторов.

2. Разработаны методики аппроксимации нелинейных характеристик и функциональных зависимостей на основе различных видов непрерывных кусочно-линейных функций.

3. Получены аналитические выражения для спектрального анализа сигналов на основе НКЛФ. Спектральный анализ на основе НКЛФ показывает большую точность по сравнению со спектральным анализом на основе полиэкспоненциальной аппроксимации: 1,4 - 7,3 раза при анализе прохождения гармонического сигнала через нелинейный элемент и 5,3 - 11,8 раза при анализе прохождения бигармонического сигнала. При спектральном анализе импульсных сигналов на основе адаптивной НКЛФ получен существенный выигрыш в быстродействии по сравнению с алгоритмами БПФ.

4. Разработаны методики спектрального анализа сигналов на выходе нелинейного устройства при сложном входном воздействии на основе различных видов НКЛФ.

5. Были разработаны схемы цифровых вычислителей на основе НКЛФ, не требующие предварительного табулирования коэффициентов аппроксимации, что позволяет использовать их для расчета произвольных функций.

Заключение

В представленной работе рассмотрены вопросы разработки и применения НКЛФ для аппроксимации нелинейных характеристик радиотехнических устройств, функциональных зависимостей и спектрального анализа радиосигналов. Разработаны методики аппроксимации характеристик нелинейных радиотехнических устройств и элементов, методики спектрального анализа импульсных радиосигналов и гармонических сигналов на выходе нелинейных элементов. На основе НКЛФ разработаны структуры устройств для обработки информации.

1. Теория нелинейных электрических цепей A.M. Заездный, В.Ф. Кушнир, Б.А. Ферсман - М: Связь. - 1968. - 400 с.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы/ Учебник. М: Высшая школа. - 1983. - 536 с.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Советское радио». - 1971. - 672 с.

4. Бруевич А.Н., Евтянов С.И. Аппроксимация нелинейных характеристик и спектры при гармоническом воздействии. М.: Сов. радио, 1965. -с. 28-33.

5. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. - 1968. - 472 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука.- 1987.-364 с.

7. Бут Э.Д. Численные методы. М.: ГИФНЛ. - 1959. - 628 с.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. - 1978. - 620 с.

9. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука. - 1987 - 544 с.

10. Ю.Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк. - 1994. - 544 с.

11. Искусство программирования: В 3 тт: Т. 1: Основные алгоритмы (пер. с англ., ред. Тертышного В.Т., Красикова И.В.) Изд. 2-е Дональд Э. Кнут. - Изд.: Вильяме. - 2000. - 800 с.

12. Шауман, A.M. Основы машинной арифметики / A.M. Шауман-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1979.-312 с.

13. Попов П.А. Нелинейное преобразование полигармонических сигналов / Учеб. пособие. Владимир: ВПИ. - 1984. - 84 с.

14. Попов П.А., Мошнина Е.Н. Метод анализа комбинационных колебаний нелинейной системы преобразования спектра // Радиотехника — 1984 — №1 С. 48-49.

15. Попов П.А., Анучин А.Н. Использование экспоненциальной аппроксимации для гармонического анализа на ЦЭВМ // Радиотехника 1980. -Т.35,№12-С. 34-37.

16. Фундаментальные алгоритмы на С. Части 1-4. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск. Р. Седжвик, М: ДиаСофтЮП. - 2003. - 800 с.

17. Жиганова Е.А. Разработка и исследование методов анализа и автоматической компенсации интермодуляционных колебаний в усилителях мощности ЧМ сигналов. Дис. Канд. Техн. Наук. - Владимир. - 2003.158 с.

18. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Изд. 9-е стереотипное - М: Государственное издательство физико-математической литературы. - 1962. - 608 с.

19. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: МГУ. - 1984. - 684 с.

20. Перцева О.В. Анализ возможностей использования математических моделей приборов полупроводниковой электроники для расчета преобразований спектров в безинерционных нелинейных цепях. // Вестник ВИ МВД России 1999-№2-с. 98-101.

21. Корнейчук В.А. Сплайны в теории приближения. М: Наука, главная редакция физико-математической литературы. - 1984. - 352 с. .

22. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука. - 1976. - 248 с.

23. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. М.: «Финансы и статистика». - 2000. - 544 с.

24. Дьяконов В. Mathcad 2000: учебный курс. СПб: Питер. - 2000. -512 с.

25. М. Херхагер, X. Партолль Mathcad 2000: полное руководство/ Пер с нем. К.: Издательская группа BHV. - 2000. - 416 с.

26. Заездный A.M. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. JI.: Энергия. -1971.-528с.

27. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов/ Пер. с англ. М: Мир. - 1978. - 848 с.

28. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для ВУЗов2.е изд.,- СПб.: Питер. 2006. - 751с.

29. Вычислительная математика: Учеб. пособие для техникумов / Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л. М.: Высш. шк., 1985.-472 с.

30. Запорожец С.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа. - 1964. - 478с.

31. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул. М: Высшая школа. - 1988. - 238 с.

32. Курилов И.А. Непрерывная кусочно-линейная аппроксимация сигналов и характеристик/Радиотехника, электроника, информатика: Сборник научных работ. Вып. 1./ Под. общ. ред. Н.В. Чайковской Муром: Изд.-полиграфический центр МИВлГУ. - 2002. - С. 31 - 33.

33. Курилов И.А., Романов Д.Н Непрерывная кусочно-линейная аппроксимация характеристик/Данные, информация и их обработка: Сборник научных статей/Под. ред. С.С. Садыкова, Д.Е. Андрианова М.: Горячая линия Телеком. - 2002. - С. 175 - 180.

34. Курилов И.А., Романов Д.Н Непрерывная кусочно-линейная аппроксимация сигналов/Данные, информация и их обработка: Сборник научных статей/Под. ред. С.С. Садыкова, Д.Е. Андрианова М.: Горячая линия -Телеком. - 2002. - С. 180 - 186.

35. Курилов И.А., Романов Д.Н. Базовая непрерывная кусочно-линейная функция/Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр.-Вып.4. / Под. Ред. В.В. Ромашова, В.В. Булкина. СПб: Гидрометеоиздат. - 2004. - С. 75 - 79.

36. Романов Д.Н., Курилов И.А., Адаптивная непрерывная кусочно-линейная функция/Материалы международной научной конференции «Оптимальные методы решения научных и практических задач» часть 2 - Таганрог: «Антон». - ТРТУ. - 2005. - С. 57 - 58.

37. Курилов И.А., Романов Д.Н. Аппроксимация функциональных зависимостей с помощью непрерывных кусочно-линейных функций

38. Радиотехника. 2006. - №6. - С. 94 - 98.

39. Садыхов Р.Х., Чеголин П.М., Шмерко В.П. Методы и средства обработки сигналов в дискретных базисах. Мн: Наука и техника. - 1987. - 296 с.

40. Солодовников А.Н., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации: Учеб. Пособие. JT. издательство ЛГУ.- 1986.-272 с.

41. Бендат Дж., Пирсон А. Применение корреляционного и спектрального анализа / Пер. с англ. М: Мир. - 1983. - 312 с.

42. Лабунец В.Г. Фурье-подобные преобразования/Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.2. - Свердловск: типография Свердловского института УПИ им. С.М. Кирова. - 1981. - С. 4 - 14.

43. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований. В кн.: Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Свердловск. - 1980. - (Межвуз. сб.). - С. 44 - 49

44. Солодовников А.И., Канатов И.И., Спиваковский A.M. Синтез ортогональных базисов на основе обобщенного спектрального ядра. В кн. Вопросы теории систем автоматического управления. - Л. - 1976. - (Межвуз. сб.,Вып. 2.)-С. 102-107

45. Каганов В.И., Голицин М.В., Табаков А.В. Уменьшение нелинейных искажений и расчет спектра сложного сигнала транзисторного усилителя// Радиотехника. 1983. - №5. - С. 36 - 39.

46. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ. - 1963. - 1100с.

47. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы: Пер. с англ. Н.В. Леви/ Под. ред. К.А. Семендяева. М.: Наука. - 1977. - 244 с.

48. Применение непрерывных кусочно-линейных функций для аппроксимации характеристик и спектрального анализа/Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр.-Вып.8. / Под. Ред. В.В. Ромашова М: Радиотехника. - 2007. - С. 7 - 11.

49. Патент №2136041 РФ. Устройство для вычисления элементарных функций таблично-алгоритмическим методом / Чекушкин В.В. Опубл. 1999. -Бюл. № 24

50. Чекушкин В.В., Серегин М.Ф. Цифровые кусочно-полиномиальные аппроксиматоры нулевого и первого порядка для воспроизведения функциональных зависимостей // Метрология. 1998. - №3. - С. 3 - 10.

51. А.С. № 1442984 СССР. Устройство для вычисления элементарных функций табличным методом / Чекушкин В.В. Опубл. 1988. - Бюл. №45.

52. Чекушкин В.В. Цифровые кусочно-полиномиальные аппроксима-торы для воспроизведения функций // Приборы и системы управления. -1999.-№2. -С. 36-39.

53. Чекушкин В. В. Цифровые кусочно-полиномиальные аппроксима-торы первого и второго порядка для воспроизведения функций // Измерительная техника. 1999. - №2. - С. 45 - 49

54. Чекушкин В.В., Юрин О.В. Моделирование структур цифровых аппроксиматоров для воспроизведения функции синуса на персональном компьютере // Измерительная техника. 1999. - №6. - С. 12-14.

55. Чекушкин В.В., Чекушкин С.В. Быстродействующие цифровые функциональные преобразователи дня воспроизведения тригонометрических функций синуса и косинуса // Измерительная техника. 1996. - №6, - С. 64 -69.

56. Чекушкин В.В. Таблично-алгоритмический преобразователь для вычисления тригонометрических функции// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1991.-№ 1.-С. 158- 163.

57. Чекушкин В.В., Ромашов В.В., Тарануха В.М. Автоматизированные системы контроля и управления радиоэлектронными средствами: Учебн. По-соб./МИ ВГУ Муром. - 2000. - 118 с.

58. Патент на полезную модель 2004135254 РФ, G 06 F 17/00. Устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейныхфункций / Курилов И.А., Ромашов В.В., Романов Д.Н. (РФ) № 48231; Заявлено 02.12.2004; Опубл. 29.09.2005, Бюл. №27.

59. Романов Д.Н., Курилов И.А., Цифровое устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций/Материалы международной научной конференции «Цифровые методы и технологии» -часть 4 Таганрог: «Антон». - ТРТУ. - 2005. - С. 85 - 87.

60. Патент на полезную модель 2006147136 РФ, G 06 F 17/00. Цифровое устройство для вычисления функций на основе непрерывных кусочно-линейных функций / Курилов И.А., Ромашов В.В., Романов Д.Н. (РФ) № 65665; Заявлено 28.12.2006; Опубл. 10.08.2007, Бюл. №22.

61. Цифровая обработка сигналов: справочник/Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь. - 1985. - 312 с.

62. Цифровая обработка сигналов: учебное пособие/Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь - 1985. - 312 с.

63. Курилов И.А., Романов Д.Н. Цифровые вычислители функций без предварительного табулирования //Радиотехника. 2007. - №6. - С. 36 - 38.

64. Искусство программирования: В 3 тт: Т. 3: Сортировка и поиск (пер. с англ., ред. Тертышного В.Т., Красикова И.В.) Изд. 2-е Дональд Э. Кнут, Изд.: Вильяме. - 2000 г. - 682 с.

65. Исходные данные: Количество узлов аппроксимации:1. К := 91. Ввод узлов аппроксимации:1. О о0125 0.25 0.375 0.5 0.625075 0.18 0.875 0.6021