автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Метод и алгоритмы выделения полезного сигнала на фоне шумов при ограничениях на объем выборки и в условиях априорной неопределенности

На правах рукописи

ШЕРСТОБИТОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

МЕТОД И АЛГОРИТМЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ ШУМОВ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ОБЪЕМ ВЫБОРКИ И В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕ ЛННОСТИ

Специальность 05 12.04 — «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учено$

кандидата технических на 0031ТТ150

Шахты 2007

003177150

Работа выполнена на кафедре «Радиоэлектронные системы» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южно-российского государственного университета экономики и сервиса»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор технических наук, доцент (ЮРГУЭС, г Шахты)

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор (ЮФУ ТТИ, г Таганрог)

кандидат технических наук, доцент

(РВИРВ (РАУ), г. Ростов-на-Дону) Елисеев Александр Вячеславович

Марчук Владимир Иванович

Федосов Валентин Петрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Филиал института аналитического

приборостроения РАН (г. Пятигорск)

Защита состоится г* » декабря 2007г в 14* часов на заседании диссертационного совета Д 212 208.20 в Технологическом институте Южного федерального университета в г Таганроге в аудитории Д-406 по адресу.

пер Некрасовский, 44, г Таганрог, Ростовская обл., ГСП-17А, 347928

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета Д212 208 20 ТТИ ЮФУ по адресу:

пер Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская обл, ГСП-17А, 347928

Автореферат разослан "/ Ц " ноября 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 208 20 кандидат технических наук, доцент

В В. Савельев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Развитие научного и технического потенциала отражается ростом технического оснащения промышленных, народно-хозяйственных объектов В основу их функционирования входят новые образцы техники, позволяющие автоматизировать процессы управления, контроля техническими объектами Основу многих разработок составляют системы сбора и обработки измерительной информации Для упрощения систем непрерывного контроля, управления, в большинстве случаев реализуются устройства без передачи информации по каналам связи и последующего их хранения Использование таких систем предъявляет серьезные требования к обработке получаемой измерительной информации и точности принимаемых решений Дополнительно необходимо обеспечить высокую достоверность и скорость обработки информации в случае реализации нелинейных методов обработки или использовать эффективные линейные методы Сложность системы, реализующей обработку измерительной информации, во многом определяется решаемой задачей В результате практической реализации большинства систем обработки, априорная информация о характеристиках обрабатываемого процесса ограничена.

Обработка измерительной информации, полученной в результате эксперимента, в системах контроля, управления и диагностики является сложной комплексной задачей, требующей для своего решения привлечения разнообразных методов математической статистики, которые представлены в работах Дж Бендата, Т Андерсена, Б Р Левина, Э И Цветаева, В И Тихонова, С А Айвазяна, или фильтрации - работы Н Винера, Р Е Калмана, Л Рабинера, Б Голда, Б Уидроу Как правило, при проведении уникальных экспериментов, невозможно повторить проводимый опыт при всех прочих равных условиях, реализация результатов измерений ограничена по объему Анализ таких данных затруднен наличием ошибок, имеющих случайный характер, которые не позволяют достоверно оценить характеристики полученных зависимостей или описать их функционально Необходимо применять специальные методы для ослабления случайной составляющей (шума) и выделения полезного сигнала. Оценка полезного сигнала может осуществляться как параметрическими, так и непараметрическими методами в зависимости от априорной информации о полезной и шумовой составляющей Для использования параметрических методов обработки необходима априорная информация о модели функциональной зависимости полезного сигнала с целью оценки её параметров по исходной реализации результатов измерений - решение задачи аппроксимации Строгое решение задачи аппроксимации возможно получить только для ограниченного класса функций Оптимальность и эффективность такой оценки, в большинстве случаев, достигается при гауссовском законе распределения шумовой составляющей, что редко выполняется на практике (работы А.И Орлова) Использование непараметрических метод обработки требует значительно меньше априорной информации, но погрешность оценки сигнала имеет ярко выраженную зависимость от параметров обработки, значениях которых зависят от характеристик выделяемого полезного сигнала и закона распределения шума, объема исходной реализации сигнала. Предпринимаются различные попытки получить квазиоптимальные или эвристические методы выделения полезного сигнала на фоне аддитивного шума, оценки которых, при опредеаенных условиях, наиболее близки к оптимальным

В связи с этим, задача разработки методов анализа нестационарных случайных сигналов в условиях априорной неопределенности и единственной реализации обрабатываемого сигнала является весьма актуальной как с теоретической так и с практической точек зрения

Объектом исследования является выделение полезного сигнала методом кусочного размножения оценок и алгоритмы его реализации

Предметом исследований является уменьшение погрешности оценки полезной составляющей в условиях априорной неопределенности

Целью диссертационной работы является разработка метода кусочного размножения оценок для обработки нестационарных случайных сигналов, в условиях априорной неопределенности и алгоритмов его реализации

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести анализ основных методов ослабления аддитивной помехи при обработке дискретных сигналов в условиях априорной неопределенности

2 Разработать и провести исследования метода кусочного размножения оценок в условиях априорной неопределенности

3 Исследовать временные и спектральные характеристики устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок, и разработать его структурную схему

4 Провести сравнительный анализ ослабления шумовой составляющей при обработке методом кусочного размножения оценок и наиболее широко используемых методов

5 Провести исследования эффективности метода кусочного размножения оценок при ослаблении аддитивной шумовой составляющей в результате обработки натурных реализаций сигналов

Научная новизна.

В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты.

1 Разработан метод кусочного размножения оценок для обработки нестационарного случайного сигнала (патент № 2257610) в условиях априорной неопределенности и ограниченного объема исходной реализации, который основан на скользящем кусочном размножении оценок полезного сигнала с последующим усреднением их в каждом сечении процесса

2 Получены выражения, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и оценками полезного сигнала в результате аппроксимации на каждом кусочном интервале полиномом произвольной степени

3 Проведен анализ метода кусочного размножения оценок полезного сигнала, на основе которого предложена его модификация, позволяющая уменьшить погрешность оценки полезного сигнала на начальном и конечном интервале выборки

4 Получены выражения импульсной характеристики и системной функции устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок

5 В результате проведенных исследований установлено, что значения доверительных интервалов погрешности оценки полезного сигнала практически не зависят от длины скользящего интервала разбиения и постоянны при обработке реализаций с различными функциями ограниченного класса моделей полезного сигнала.

Практическая значимость.

1 Предложен метод анализа нестационарного случайного сигнала дчя выделения полезного сигнала при обработке реализаций ограниченного объема, путем скользящего её разбиения на перекрывающиеся интервалы постоянной длины Использование предлагаемого метода оценки полезного сигнала позволяет получить единый подход обработки, как на границах исходной реализации, так и в ее середине при ограниченности исходной выборки

2 Разработана модификация метода кусочного размножения оценок, позволяющая уменьшить, в среднем на 10 - 15%, погрешность оценки полезного сигнала

3 В результате проведения машинного эксперимента установлено, что характеристики погрешности оценки полезного сигнала в зависимости от функции в заданном классе изменяются в пределах 3-5%, что показывает инвариантность метода обработки в рамках принятых ограничений

4 В результате проведенных исследований установлено, что использование предлагаемого метода выделения полезного сигнала в условиях ограниченности объема реализации, позволяет получить погрешность оценки более чем на 10% меньшую, чем при использовании известных методов в зависимости от объема априорной информации

Методы исследования основываются на использовании методов математической статистики, теории фильтрации, статистической радиотехники и машинного эксперимента на ПЭВМ Проверка теоретических расчетов и выводов проводилась в математическом пакете Maple и с использованием машинного моделирования на наборах тестовых моделей и натурных реализациях результатов измерений

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается результатами машинного моделирования на различных моделях полезного сигнала и аддитивной шумовой составляющей Новизна технических предложений подтверждается экспертизой технических решений, которые удостоверяются патентом на предлагаемый способ обработки и свидетельствами на программное обеспечение алгоритмов, которые их реализуют

Реализация результатов работы.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных и научно-исследовательских работ совместной Проблемной лаборатории перспективных технологий и процессов РАН и ЮРГУЭС, в том числе по ЕЗН Министерства образования России (ЮРГУЭС-1 02Ф, № ГР 01 200.210719, Инв № 02.20 0306360) «Методы первичной обработки результатов измерений и алгоритмы, их реализующие» и в соответствии с заданием Минобрнауки РФ по теме «Идентификация полезной составляющей результатов измерений в условиях априорной непараметрической неопределенности и ограниченном объеме данных» (ЮРГУЭС - 2 06 Ф), а также гранта в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (РНП 2 1 2 75) Результаты диссертационной работы внедрены на предприятиях для обработки результатов измерений, что подтверждается соответствующими актами о внедрении в НИИ Электронной техники г Воронежа при разработке цифровых фильтров и архитектуры мультипроцессорной системы и программного обеспечения на базе цифрового сигнального процессора серии «Триллер», НИИ экономики и нормативов г Ростов-на-Дону Результаты диссертационной работы в виде алгоритмов и

программ используются в учебном процессе ЮРГУЭС по дисциплинам «Радиотехнические цепи и сигналы», «Устройства цифровой обработки сигналов», «Статистическая радиотехника», «Методы цифровой обработки сигналов» Предложенный метод обработки результатов измерений признан изобретением и подтвержден патентом №2257610 Программное обеспечение для ПЭВМ, реализующее метод кусочного размножения оценок результатов измерений, официально зарегистрированы в Российском агентстве по патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ)

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы докладывались и одобрены на научно-технических конференциях III и IV Международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики», г Новочеркасск 2002 и 2004г, V, VII, VIII и IX Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение», г Москва 2003, 2005-2007гг, IV Международная научно-техническая конференция «Измерение, контроль, информатизация» г Барнаул, 2003г, Международная научная конференция «Системный подход в науках о природе, человеке и технике» г Таганрог, 2003г, Международная научная конференция «Анализ и синтез как метод научного познания» г Таганрог, 2004г, Международный симпозиум «Аэрокосмические приборные технологии» г Санкт-Петербург, 2004г, Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН г Ессентуки, 2005г, Международная конференция «Оптимальные методы решения научных и практических задач» г Таганрог 2005г, Международная конференция «Цифровые методы и технологии» г Таганрог, 2005г, Межрегиональная научная конференция «Современные проблемы радиоэлектроники» г Ростов-на-Дону 2006г

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 14 работ, в том числе 1 патент, 1 свидетельство на программный продукт, 2 статьи в центральных рецензируемых журналах, 10 статей и тезисов докладов в трудах международных конференций, симпозиумов

На защиту выносится:

- метод анализа нестационарного случайного сигнала, заключающийся в скользящем разбиении исходной реализации на перекрывающиеся интервалы постоянной длины, получение множества оценок полезного сигнала путем аппроксимации исходных значений на каждом интервале полиномом произвольной фиксированной степени с последующим их усреднением в каждом сечении процесса,

- анализ выражений, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и оценками полезного сигнала, а также модификация исходного метода, позволяющая уменьшить погрешность оценки полезного сигнала на начальном и конечном интервале выборки,

- выражения импульсной характеристики и системной функции устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок,

- результаты оценки погрешности выделения полезного сигнала при обработке реализаций с различными моделями функции полезного сигнала и аддитивной шумовой составляющей,

- результаты сравнительной оценки погрешности выделения полезного сигнала с наиболее известными и широко используемыми методами выделения полезного сигнала,

- результаты выделения полезного сигнала и ослабления аддитивного шума при обработке натурных реализаций сигналов в условиях априорной неопределенности

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и основные задачи исследования, определена научная новизна, практическая значимость и основные положения, выносимые на защиту Приведены сведения об апробации и внедрении результатов диссертационной работы

В первой главе проводится анализ основных методов обработки сигналов в условиях ограниченности априорных данных о составляющих исходного сигнала Рассмотрен ряд математических моделей взаимодействия полезной и шумовой составляющей Введены пространства функций, ограничивающие класс моделей полезного сигнала и класс моделей случайной функции шумовой составляющей В диссертационной работе, исходный сигнал представляет собой последовательность значений, которые получены в равноотстоящие моменты времени Исходя из цели диссертационной работы, вводятся ограничения на объем априорных данных о составляющих исходного сигнала и объем его реализации Предполагается, что полезный сигнал локально описывается полиномиальными функциями, которые принадлежат к пространству непрерывных функций, а закон распределения шума является симметричным относительного математического ожидания В виду отсутствия количественной оценки объема априорных данных об обрабатываемом процессе для выбора наилучшего метода обработки, затруднительно классифицировать существующие методы в рамках принятых ограничений В диссертационной работе проводится сравнительный анализ существующих методов обработки на основе принятых ограничений Проведенный анализ показал, что одним из основных недостатком, для большинства анализируемых методов, является значительное увеличение погрешности оценки полезного сигнала в условиях ограниченности объема выборки Отсутствие единого подхода к построению систем обработки, в условиях ограниченности как априорных данных об обрабатываемом процессе, так и объема реализации, делает решение этой задачи весьма актуальной как с практической, так и с теоретической точки зрения

Во второй главе рассматривается метод кусочного размножения оценок (патент № 2257610), основанный на разбиении исходной дискретной реализации на перекрывающиеся интервалы одинаковой длины, с последующей оценкой на каждом из них полезного сигнала. Это позволяет получить множество оценок полезного сигнала в каждом сечении процесса с последующим их усреднением

Для получения оценки полезного сигнала, исходная реализация разбивается на л-т + 1 перекрывающихся интервалов Длина каждого интервала фиксирована и равна априорно заданной величине т+1 Разбиение формируется таким образом, что т отсчётов предыдущего интервала содержится в последующем интервале Исходная последовательность {У,} "-о с учетом предлагаемого разбиения перепишется в следующем виде {У^}"»/, где J = 0,п-т Исходный ряд

у = 0,п-т можно представить в виде матрицы размера п-т+\хп + \ На каждом скочьзящем интервале производится оценка полезного сигнала путем аппроксимации значений исходного сигнала полиномиальной функцией Оценка исходного ряда 5 представляет собой также матрицу такого же размера л-от+1хл+1 Значения

матрицы 5 получены путем аппроксимации значений исходной реализации к = 0,т полиномиальной функцией для каждого J = Q,п-т, методом наименьших квадратов Переход от матричного представления оценки 5 к одномерной реализации осуществляется путем усреднения её ненулевых значений по столбцам Использование системы ортогональных многочленов, при решении задачи аппроксимации на каждом интервале разбиения, позволяет получить общее решение задачи оценки полезного сигнала для произвольной степени аппроксимирующего полинома. Результирующая оценка полезного сигнала, через системы ортогональных многочленов, запишется в следующем виде

=

1

Л + i /=0»=0

—Ч££(">-л, т ¿к < п-т,

т +1 у=0/=0

X п-т + Ик^п,

п—к + 1 о

где индекс (р) в показьшает степень аппроксимирующего полинома на каждом

т

скользящем интервале, си =(21 + 1)(т1)2/('"~0,('" + * + 1),5]1у+*б(»(*)> где »»<", т+1 -

*-о

длина интервала разбиения, п - объем выборки, О,„(к) - ортогональный многочлен Лежандра

Полученное выражение 3{р) представляет собой обобщенное уравнение, которое позволяет получить оценку полезной составляющей предлагаемым способом разбиения с последующей аппроксимацией на каждом скользящем интервале полиномом произвольной степени р, а так же увеличивать степень аппроксимирующего полинома без пересчета ранее полученных оценок путем вычисления дополнительных членов сумм Такое свойство позволяет широко модифицировать предлагаемый способ оценивания, обладая дополнительной информацией о выделяемом полезном сигнале на локальном участке обработки можно ввести элементы адаптации Для уменьшения погрешности оценки полезной составляющей на интервалах [0,/я-1] и [я-т+Ъп], предложена модификация разбиения исходной - реализации на этих интервалах Для этого вводится дополнительный параметр который имеет смысл минимальной длины окна разбиения Для осуществления разбиения исходной реализации задается значение ттш < т На начальном интервале [о,от-1] исходная реализация разбивается на перекрывающиеся интервалы с фиксированной левой границей и нарастающей длиной интервала разбиения от тт до т, а на интервале [и - т +1, л] наоборот

Структурная схема предлагаемого метода обработки, в виде устройства, предложена на рис 1,а. На основе выражения для , получены выражения для импульсной характеристики (рис 1,6) и системной функции дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при р~ 0, р = 1, р = 2 (рис 1,в) Проведен анализ дискретного фильтра во временной области и системной функции в частотной области

Аналитические исследования системной функции дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок, показали, что степень

аппроксимирующего полинома на каждом интервале р и ширина интервала разбиения т однозначно определяют параметры амплитудно-частотной и фазочасготной характеристики устройства. Максимальный уровень боковых лепестков амплитудно-частотной характеристики слабо зависит от т и в среднем составляет -25 дБ при р = 0, -18 дБ при р = 1 и -13 дБ при р = 2. Ширина главного лепестка незначительно зависит от параметра т и составляет при р = 0 - ДРи1Л, = 1,33, при р = 1 - - 2,8 и при р- 2 Д/^ = 4,3. Аналитически исследованы особенности изменения характеристик устройства при обработке исходной реализации на интервалах [о,т] и [я ~т,п].

Рисунок 1 - Структурная схема устройства реализующая метод кусочного размножения оценок, и его характеристики

Предложена структурная схема устройства, реализующая метод кусочного размножения оценок в виде дискретного фильтра и алгоритм его реализующий (свидетельство № 2005611947 о регистрации программ для ЭВМ).

В третьей главе проводится сравнительный анализ погрешности оценки полезного сигнала при обработке исходной реализации методом простого и взвешенного скользящего среднего с предлагаемым методом кусочного размножения ценок. В качестве тестовых сигналов выбраны модели функций из ранее определенного пространства: гармонический сигнал; сигнал экспоненциальной формы; сигнал, представленный отрезком параболы; составной сигнал, представленный набором кусочно-непрерывных функций, имеющий точки разрыва первого рода на границах интервалов. Модель шума представлена центрированным гауссовским случайным процессом М(0,аш). Рассматривается аддитивная модель взаимодействия полезного сигнала с шумом. Предполагается, что на каждом интервале разбиения исходной реализации, полезный сигнал описывается полиномом не выше второй степени. В качестве критерия оценки погрешности выделения

полезной составляющей используется сг,„ = ^Г (б', - )2 ¡п, где п - объем выборки, а

так же ^Н = 20\&(сгт/а<хг), выраженный в децибелах. В диссертационной работе, проводятся исследования погрешности оценки при обработке исходного сигнала с

различными функциями полезного сигнала и аддитивного шума, получены зависимости погрешности оценки сигнала от дисперсии аддитивного шума В силу того, что объем исходной реализации ограничен (и = 100), то, для получения состоятельных оценок, каждое точечное значение <тос, определяется как математическое ожидание, полученное по 1000 реализациям В результате проведенных исследований, получены зависимости акг = /(от), а так же доверительные интервалы ¿(<7^) =/(т), которые представлены на рис 2 при обработке сигналов с гармоническим полезным сигналом (рис 2,а, 2,в), полезный сигнал составной формы (рис 2,6, 2,г), при этом сгш = 0,1 Анализ полученных зависимостей показал, что при выделении полезного сигнала, погрешность его оценки, при использовании метода кусочного размножения оценок, выше на 10 - 20% относительно погрешности оценки при использовании методов простого и взвешенного скользящего среднего Следует отметить, что сравниваемые методы оценки полезного сигнала находятся в неравных условиях погрешность оценки для метода простого и взвешенного скользящего среднего вычисляется на интервале [т,п-т\ с учетом того, что на [о,/и] и [п-т,п] оценка сигнала отсутствует, а для метода кусочного размножения используется весь интервал значений Полученные зависимости для метода кусочного размножения при р = 1 и р - 2 не имеют ярко выраженных минимумов, в сравнении с методами простого скользящего среднего Это позволяет выбирать значение параметра т в более широких пределах, что является важным свойством в условиях априорной неопределенности Исследование доверительных интервалов погрешности оценки полезного сигнала показывают, что они незначительно зависят относительно величины т, по сравнению с методом простого и взвешенного скользящего среднего (рис 2,в)

б)

в) г)

1 - обработка методом простого скользящего среднего, 2 - обработка методом взвешенного скользящего среднего, 3 - обработка методом кусочного размножения с р —1,4-обработка методом кусочного размножения с р = 2

Рисунок 2 - Графики зависимостей погрешности выделения полезного сигнала <гит = /(т) и её доверительных интервалов Д(ггкг)=/(т)

При обработке реализации с составной функцией полезного сигнала, характер зависимостей егхт = /(/л) для метода кусочного размножения оценок изменился незначительно (рис 2,6 графики 3, 4) по сравнению с зависимостями для метода простого и взвешенного скользящего среднего (рис 26 графики 1,2) В обоих случаях минимум погрешности сместился в область меньших значений пг относительно рис 2,а, а в случае графиков I, 2 (рис 2,6), экстремумы имеют более ярко выраженную зависимость При этом доверительные интервалы оценки погрешности полезного сигнала имеют нелинейную зависимость от т (рис 2,г графики 1, 2) Для метода кусочного размножения, зависимости - /(т) и д(£Гост) = /(т) имеет менее ярко выраженный минимум зависимости = /(т) и слабую зависимость Л(сгост) = /(от) от т, что позволяет сделать вывод о преимуществе метода кусочного размножения, при обработке, реализаций сигнала ограниченного объема и в условиях априорной неопределенности Получены зависимости погрешности оценки полезного сигнала от дисперсии аддитивного шума, исследованы их доверительные интервалы Использование метода кусочного размножения позволяет получить отношение среднеквадратического отклонения к среднеквадратическому отклонению остатков стш/<тосг на 5-13% больший, чем при использовании метода простого или взвешенного скользящего среднего при обработке реализаций стационарных случайных сигналов При оценке полезного сигнала в условиях отсутствия шумовой составляющей при больших т погрешность оценки, в среднем, в 2-3 раза меньше в сравнении с методом простого и взвешенного скользящего среднего При малых значениях т, среднеквадратическое значение погрешности оценки полезного сигнала на 20-30% меньше, чем для сравниваемых методов Для метода кусочного размножения, характер зависимостей = /(т) слабо зависит от функции полезного сигнала в принятом пространстве непрерывных функций, а значения их доверительных интервалов д(<т0С1)= /(/я) остаются постоянными и слабо зависят от величины т Использование модификаций предлагаемого метода позволяет дополнительно уменьшить погрешность оценки полезного сигнала, в среднем до 30%, при малых т, и до 50% ,при больших т, по сравнению с исходным немодифицированным методом Сравнительный анализ различных методов оценки полезного сигнала, при условии наилучшего выбора значений параметров обработки, показывает, что использование предлагаемого метода позволяет получить погрешность оценки, которая слабо зависит от функции полезного сигнала в классе моделей непрерывных функций и, в среднем, на 10 - 15% меньше, чем для метода простого и взвешенного скользящего среднего Для метода кусочного размножения, при различных значениях р, разброс погрешности оценки различных функции полезного сигнала из ранее определенного пространства составляет не более 5-10% как для модифицированного, так и исходного алгоритма обработки, а значения доверительных интервалов отличаются не более чем на 2-6%.

В четвертой главе представлены результаты выделения полезного сигнала методом кусочного размножения при обработке натурных реализаций сигналов В работе приведены результаты выделения сигнала электрокардиограммы, при наличии аддитивного миографического шума. Результаты различных исследований показывают, что статистические характеристики шума в значительной степени отличаются от характеристик гауссовского распределения, а шумовая составляющей является нестационарной по величине дисперсии и в каждый момент времени зависит от множества факторов Электрокардиограмма имеет не строго периодический

характер и, в данном случае, представляет собой последовательность порядка 3-х периодов, на каждый из которых приходится около 700 отсчетов. Проведенный исследования показали, что при известной дисперсии шумовой составляющей и объеме исходной реализации п, используя ранее полученные характеристики <тоот =/(т), выбирается наилучшее значение параметра т, в смысле минимума погрешности оценки полезного сигнала.

I - исходная реализация; 2 - истинный сигнал; 3 - оценка сигнала.

Рисунок 3 - Результаты ослабления миографического шума при выделении сигнала электрокардиограммы методом кусочного размножения

Проведенные исследования позволили получить зависимость ат/ат = /(т), при обработке исходного сигнала методом кусочного размножения оценок с р = 1 и р = 2. Анализ полученных результатов показал, что максимальное значение отношения равны и достигаются при т = 25 и т = 40 для случая р =1 и

р = 2, соответственно. В работах зарубежных авторов представлены различные методы обработки сигналов электрокардиограммы, искаженные миографическим шумом. Суть предлагаемых методов заключается в использовании вейвлет преобразования с последующей обработкой коэффициентов разложения различными способами. В результате использования такого подхода удается достигнуть меньшей погрешности выделения полезного сигнала, однако при этом вычислительные затраты увеличиваются многократно.

В диссертационной работе рассматривается случай обработки натурной реализации сигнала, которая представляет собой изменение интенсивности яркости строки изображения, при этом аддитивная шумовая составляющая имеет иестационарность по величине дисперсии, а полезный сигнал имеет участки высокой скорости изменения его производной. На основе проведенных исследований и имитационного моделирования выбраны значения параметров обработки при использовании метода кусочного размножения. Полученные результаты оценки полезного сигнала позволяют сделать вывод, что на эффективность использования предлагаемого метода выделения сигнала оказывает незначительное влияние наличие нестационарности по величине дисперсии аддитивной шумовой составляющей на отдельных участках исходной выборки. В работе рассматривается также и обработка

реализации временного ряда, представленного в виде суммы нескольких компонент Как и в большинстве практических задач, априорная информация об исходном процессе ограничена Известно лишь то, что временной ряд является много компонентным, а полезная составляющая является гармонической Полезный сигнал при можно представить как сумму трех компонент некоторая гармоническая полезная составляющая, низкочастотная мешающая составляющая и высокочастотная шумовая составляющая Обработка сигнала заключается в выделении гармонической полезной составляющей Для решения данной задачи использовался многоэтапный подход, заключающейся в поэтапной обработке временного ряда и выделении полезной гармонической составляющей Используя результаты ранее проведенных исследований, осуществился выбор параметров обработки На основе полученных ранее зависимостей получено значение параметра т и степени аппроксимирующего полинома р Таким образом, используя полученные характеристики <тт = /(т) для метода кусочного размножения, производится выделение полезной составляющей и его компонент в натурной реализации временного ряда При этом обработка предлагаемым методом выделения полезного сигнала отличается простотой реализации, устойчивостью получаемых оценок и минимальной необходимой априорной информации об исследуемом сигнале Анализ численных характеристик полученных оценок показывает, что использование метода кусочного размножения является эффективным методом выделения полезного сигнала в классе линейных оценок и в некоторых случаях не уступает ряду существующих адаптивных методов обработки при ограниченности объема выборки Область применения предлагаемого метода анализа нестационарных сигналов не ограничивается обработкой одномерных реализаций На основе полученных выражений реализуется обработка двухмерных сигналов, в частности, изображений, что значительно расширяет область его применения

В работах, выполненных в соавторстве [1-8, 10-13] соискателем освещена актуальность проводимых исследований, выполнена постановка задачи, проведены основные теоретические исследования и разработан план исследований

В заключении сформулированы основные результаты работы, которые сводятся к следующему

1 Проведенный анализ существующих методов обработки показывает, что область их использования, в условиях ограниченного объема реализации и априорной неопределенности о составляющих обрабатываемого процесса, крайне ограничена Начальные условия, при которых наблюдается их высокая эффективность и оптимальность, как правило, не выполняются на практике

2 Разработан новый метод кусочного размножения оценки полезного сигнала (патент № 2257610), позволяющий обрабатывать исходную реализацию сигнала ограниченного объема в условиях априорной неопределенности о полезном сигнале и аддитивной шумовой составляющей, и алгоритм его реализующий (свидетельство № 2005611947 о регистрации программ для ЭВМ) в составе программного комплекса Предлагаемый способ обработки позволяет получить единый подход оценивания полезного сигнала как на начальном и конечном интервале выборки сигнала, так и в её середине

3 Получены выражения, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и значениями оценки полезного сигнала при произвольной степени аппроксимирующего полинома р на каждом интервале и значении т, используя систему ортогональных полиномов Использование свойств ортогональных

многочленов имеет широкие возможности для модификации предлагаемого метода обработки, адаптируя степень аппроксимирующей функции на каждом отдельном интервале

4 Рассмотрена возможность уменьшения погрешности оценки полезного сигнала на начальном [о,т] и конечном [п-т,п] интервале исходной выборки сигнала путем модификации метода кусочного размножения, основанной на дополнительном разбиении исходной реализации на этих интервалах, позволяющая увеличить число оценок полезного сигнала в сечениях исходного процесса.

5 Получены выражения для импульсной характеристики и системной функции дискретного фичьтра, реализующий принцип обработки методом кусочного размножения оценок, которые функционально зависят от параметров обработки Рассмотрен, как стационарный, так и нестационарный случай

6 Исследования системной функции дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок показали, что степень аппроксимирующего полинома на каждом интервале р и ширина интервала разбиения т однозначно определяют параметры амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики Максимальный уровень боковых лепестков амплитудно-частотной характеристики слабо зависит от т и в среднем составляет от -25 дБ до -13 дБ в зависимости от р Ширина главного лепестка не зависит от параметра сглаживания т и составляет при /> = 0 - ДР^ =1,33, при р = 1 - ДР^г =2,8 ипри р = 2 ¿^=4,3

7 Исследование импульсных функции устройств, реализующих различные методы выделения полезного сигнала, показало, что использование метода кусочного размножения оценок позволяет, в среднем, получить от 5 до 13% больший коэффициент подавления шума, чем для метода простого или взвешенного скользящего среднего при обработке стационарных случайных сигналов

8 В результате проведенного имитационного моделирования установлено, что для метода кусочного размножения, погрешность оценки полезного сигнала практически не зависит от функции полезного сигнала, а значение их доверительных интервалов практически остаются постоянными не зависят от т.

9 Сравнительный анализ различных методов оценки полезного сигнала при условии наилучшего выбора значений параметров обработки показывает, что в случае использования метода кусочного размножения, погрешность оценки полезного сигнала слабо зависит от его модели в пространстве непрерывных функций и, в среднем, на 10 - 15% ниже, чем для метода простого и взвешенного скользящего среднего.

10 В результате проведенных исследований с помощью имитационного моделирования установлено, что разброс погрешностей оценки полезного сигнала, описывающихся различными моделями из пространства непрерывных функций, при использовании метода кусочного размножения с р = 1 составляет не более 5-10% , а при р-2 - не более 4-5% с использованием модифицированного и исходного алгоритма, учетом и без учета краевых эффектов При этом разброс значений доверительных интервалов составляет не более 2-6% и 5% соответственно

11 Обработка натурного сигнала, представляющего собой сумму сигналов электрокардиограммы человека и миографического шума, методом кусочного размножения позволяет эффективно подавлять аддитивную шумовую составляющую при сохранении формы полезного сигнала Использование предлагаемого подхода не уступает существующим нелинейным методам анализа сигналов

электрокардиограммы при всех равных начальных условиях Метод кусочного размножения позволяет эффективно ослабляет аддитивную шумовую составляющую обрабатываемого сигнала, как в случае стационарности, так и в случае ее нестационарности по величине дисперсии

12 Разработаны пакеты прикладных программ и программный комплекс, реализующий метод кусочного размножения оценок при анализе нестационарных случайных сигналов, которые внедрены в рамках госбюджетной НИР по заданию Министерства образования России (ЮРГУЭС-1 02Ф), в НИИ Электронной техники г Воронежа при разработке цифровых фильтров и архитектуры мультипроцессорной системы и программного обеспечения на базе цифрового сигнального процессора серии «Триллер», в учебный процесс ЮРГУЭС (Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса), а так же при выполнении совместных работ с Всероссийским НИИ Экономики и нормативов в рамках договора о сотрудничестве

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Марчук В И, Румянцев К Е, Шерстобитов А И Фильтрация низкочастотных процессов при ограниченном объеме результатов измерений// Радиотехника. 2006. № 9 С 22-27

2 Марчук В И, Шерстобитов А И Исследование возможности обработки результатов измерений в реальном масштабе времени при априорной неопределенности// Изв вузов Сев -Кавк регион Техн науки 2004 №6 -С 204-206

3 Марчук В И, Шерстобитов А И., Крюков В В Методы фильтрации низкочастотных процессов при ограниченном объеме результатов измерений/ Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики Машиностроения и процессов управления РАН / Материалы сессии Альтернативные естественновозобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов Ч 2 Ессентуки, 2005 С 75 - 80

4 Марчук В И, Шерстобитов А И Новый подход обработки результатов измерений при априорной неопределенности // Труды РНТОРЭС им Попова. Серия. Цифровая обработка сигналов и её применение - М, 2005 - Вып 7 - Т 1. -С.48 -51.

5 Пат 2257610 Российская Федерация, МПК 7 G 06 F 17/18 Способ выделения тренда методом скользящего размножения оценок тренда его единственной исходной реализации(«КРОТ») и устройство для его осуществления/ Марчук В И, Шерстобитов А И, заявитель и патентообладатель Южно-Рос Гос ун-т экономики и сервиса - № 2003132146/09, заявл 03 И 2003, опубл 27 07 05, Бюл № 21 -16 с 9 ил

6 Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2005611947 Обработка результатов измерений методом кусочного размножения оценок тренда/ В И Марчук, А И Шерстобитов, М С Кондауров- заявл. 09 06 05 г, г Москва. - опуб 04 08 05 г

7 Марчук В И, Шерстобитов А И Синтез метода скользящего среднего при априорной неопределенности // Анализ и синтез как методы научного познания Материалы Межд науч конф Ч 3 Таганрог Изд «Антон», ТРТУ 2004 - С 29- 31

8 Марчук В И , Шерстобитов А И Повышение эффективности обработки результатов измерений при проведении аэродинамических исследований // Аэрокосмические приборные технологии Сборник материалов 3-го Межд симпозиума (АПТ 2004,2-4 июня 2004 г.), Санкт-Петербург, ГУАП, 2004 -С 224-226

9 Шерстобитов А И Повышение эффективности оценки статистических характеристик при анализе реализаций ограниченного объема // Материалы международной нГаучной конференции «Статистические методы в естественных, гуманитарных и технических науках» -41- Таганрог Изд «Антон», ТРТУ, 2006,

10 Марчук В И, Шерстобитов А И, Воронин В В Исследование метода обработки черно-белых изображений при априорной неопределенности // Статистическая радиотехника Материалы международной конференции - Таганрог Изд «Антон», ТРТУ, 2006 -4 1 С 33-35

11 Марчук В И , Шерстобитов А И, Воронин В В Использование метода размножения оценок при обработке черно-белых изображений // Труды РНТОРЭС им Попова Серия Цифровая обработка сигналов и ее применение -Москва, 2006 -Вып 8 -Т2 - С409-411

12 Марчук ВИ, Шерстобитов А И, Воронин В В Анализ результатов обработки черно-белых изображений в условиях априорной неопределенности // Физика и технические приложения волновых процессов Тезисы докладов 5 Международной научно-технической конференции приложение к журналу "Физика волновых процессов и радиотехнические системы" - Самара "Самарское книжное издательство", 2006 - С 37-38

13 Марчук В И, Шерстобитов А И, Воронин В В Исследование методов обработки изображений при ограниченном объеме априорных данных // 9 Международная конференция Цифровая обработка сигналов и её применение Материалы конференции, г Москва, 2007 - С 493 - 496

14 Марчук В И , Шерстобитов А И Толстунов О Г, Дубовсков В В Обработка результатов измерений на базе микроконтроллера AT91SAM7S64 // 9 Международная конференция Цифровая обработка сигналов и её применение Материалы конференции, г Москва, 2007 - С 491-494

С 94 - 97

Соискатель

Шерстобитов А И

Тип ТТИ ЮФУ Заказ №325тир/00 экз

Типография Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге 347928, Таганрог, ГСП-17А ул Энгельса I

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОСЛАБЛЕНИЯ АДДИТИВНОЙ ШУМОВОЙ И ВЫДЕЛЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ПОЛЕЗНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИГНАЛА В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.1. Модели сигналов и помех

1.2. Методы выделения полезного сигнала в условиях априорной неопределенности

1.2.1. Оптимальные методы

1.2.2. Глобальные методы

1.2.3. Локальные методы

1.2.4. Адаптивные методы

1.2.5. Методы оценки полезного сигнала на основе 40 ортогональных преобразований

1.3. Выводы

ГЛАВА 2. МЕТОД КУСОЧНОГО РАЗМНОЖЕНИЯ ОЦЕНОК В

УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

2.1. Метод кусочного размножения оценок

2.2. Структурная схема устройства, реализующая метод кусочного размножения оценок

2.3. Временные и частотные характеристики устройства, 69 реализующего метод кусочной размножения оценок

2.4. Выводы,

ГЛАВА 3. ПОГРЕШНОСТЬ ОЦЕНКИ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА КУСОЧНОГО РАЗМНОЖЕНИЯ ОЦЕНОК

3.1. Модели полезной и шумовой составляющей исходной реализации сигнала

3.2. Ослабление шума при обработке стационарных случайных сигналов

3.3. Сравнительный анализ погрешности оценки полезного сигнала в условиях априорной неопределенности

3.4. Сравнительный анализ погрешности оценки полезного сигнала в условиях априорной определенности

3.5. Выводы

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА МЕТОДОМ

КУСОЧНОГО РАЗМНОЖЕНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ НАТУРНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ

4.1. Ослабление аддитивного миографического шума электрокардиограммы при обработке методом кусочного 115 размножения оценок

4.2. Оценка полезного сигнала методом кусочного размножения оценок при обработке результатов измерений с нестационарной дисперсией аддитивной шумовой составляющей

4.3. Оценка гармонической составляющей многокомпонентного временного ряда при обработке методом кусочного размножения оценок

4.4. Выводы

Актуальность работы. Развитие научного и технического потенциала отражается ростом технического оснащения промышленных, народнохозяйственных объектов. В основу их функционирования входят новые образцы техники, позволяющие автоматизировать процессы управления, контроля техническими объектами. Основу многих разработок составляют системы сбора и обработки измерительной информации. Для упрощения систем непрерывного контроля, управления, в большинстве случаев реализуются устройства без передачи информации по каналам связи и последующего их хранения. Использование таких систем предъявляет серьезные требования к обработке получаемой измерительной информации и точности принимаемых решений. Дополнительно необходимо обеспечить высокую достоверность и скорость обработки информации в случае реализации нелинейных методов обработки или использовать эффективные линейные методы. Сложность системы, реализующей обработку измерительной информации, во многом определяется решаемой задачей. В результате практической реализации большинства систем обработки, априорная информация о характеристиках обрабатываемого процесса ограничена.

Обработка измерительной информации, полученной в результате эксперимента, в системах контроля, управления и диагностики является сложной комплексной задачей, требующей для своего решения привлечения разнообразных методов математической статистики, которые представлены в работах Дж. Бендата, Т. Андерсена, Б.Р. Левина, Э.И. Цветкова, В.И. Тихонова, С.А. Айвазяна, или фильтрации - работы Н. Винера, Р.Е. Калмана, JI. Рабинера, Б. Голда, Б. Уидроу. Как правило, при проведении уникальных экспериментов, невозможно повторить проводимый опыт при всех прочих равных условиях, реализация результатов измерений ограничена по объему. Анализ таких данных затруднен наличием ошибок, имеющих случайный характер, которые не позволяют достоверно оценить характеристики полученных зависимостей или описать их функционально. Необходимо применять специальные методы для ослабления случайной составляющей (шума) и выделения полезного сигнала. Оценка полезного сигнала может осуществляться как параметрическими, так и непараметрическими методами в зависимости от априорной информации о полезной и шумовой составляющей. Для использования параметрических методов обработки необходима априорная информация о модели функциональной зависимости полезного сигнала с целью оценки её параметров по исходной реализации результатов измерений - решение задачи аппроксимации. Строгое решение задачи аппроксимации возможно получить только для ограниченного класса функций. Оптимальность и эффективность такой оценки, в большинстве случаев, достигается при гауссовском законе распределения шумовой составляющей, что редко выполняется на практике (работы А.И. Орлова). Использование непараметрических методов обработки требует значительно меньше априорной информации, но погрешность оценки сигнала имеет ярко выраженную зависимость от параметров обработки, значения которых зависят от характеристик выделяемого полезного сигнала и закона распределения шума, объема исходной реализации сигнала. Предпринимаются различные попытки получить квазиоптимальные или эвристические методы выделения полезного сигнала на фоне аддитивного шума, оценки которых, при определенных условиях, наиболее близки к оптимальным.

В связи с этим, задача разработки методов анализа нестационарных случайных сигналов в условиях априорной неопределенности и единственной реализации обрабатываемого сигнала является весьма актуальной как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Объектом исследования является выделение полезного сигнала методом кусочного размножения оценок и алгоритмы его реализующие.

Предметом исследований является уменьшение погрешности оценки полезной составляющей в условиях априорной неопределенности.

Целью диссертационной работы является разработка метода кусочного размножения оценок для обработки нестационарных случайных сигналов, в условиях априорной неопределенности и алгоритмов его реализации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести анализ основных методов ослабления аддитивной помехи при обработке дискретных сигналов в условиях априорной неопределенности.

2. Разработать и провести исследования метода кусочного размножения оценок в условиях априорной неопределенности.

3. Исследовать временные и спектральные характеристики устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок, и разработать его структурную схему.

4. Провести сравнительный анализ ослабления шумовой составляющей при обработке методом кусочного размножения оценок и наиболее широко используемых методов.

5. Провести исследования эффективности метода кусочного размножения оценок при ослаблении аддитивной шумовой составляющей в результате обработки натурных реализаций сигналов.

Научная новизна.

В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод кусочного размножения оценок для обработки нестационарного случайного сигнала (патент № 2257610) в условиях априорной неопределенности и ограниченного объема исходной реализации, который основан на скользящем кусочном размножении оценок полезного сигнала с последующим усреднением их в каждом сечении процесса.

2. Получены выражения, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и оценками полезного сигнала в результате аппроксимации на каждом кусочном интервале полиномом произвольной степени.

3. Проведен анализ метода кусочного размножения оценок полезного сигнала, на основе которого предложена его модификация, позволяющая уменьшить погрешность оценки полезного сигнала на начальном и конечном интервале выборки.

4. Получены выражения импульсной характеристики и системной функции устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок.

5. В результате проведенных исследований установлено, что значения доверительных интервалов погрешности оценки полезного сигнала практически не зависят от длины скользящего интервала разбиения и постоянны при обработке реализаций с различными функциями ограниченного класса моделей полезного сигнала.

Практическая значимость.

1. Предложен метод анализа нестационарного случайного сигнала для получения оценки полезного сигнала при обработке реализаций ограниченного объема, путем скользящего её разбиения на перекрывающиеся интервалы постоянной длины. Использование предлагаемого метода оценки полезного сигнала позволяет получить единый подход обработки, как на границах исходной реализации, так и в её середине при ограниченности исходной выборки.

2. Разработана модификация метода кусочного размножения оценок, позволяющая уменьшить, в среднем на 10 - 15%, погрешность оценки полезного сигнала.

3. В результате проведения машинного эксперимента установлено, что характеристики погрешности оценки полезного сигнала в зависимости от функции в заданном классе изменяются в пределах 3-5%, что показывает инвариантность метода обработки в рамках принятых ограничений.

4. В результате проведенных исследований установлено, что использование предлагаемого метода выделения полезного сигнала в условиях ограниченности объема реализации, позволяет получить погрешность оценки на 10% и более меньшую, чем при использовании известных методов в зависимости от объема априорной информации.

Методы исследования основываются на использовании методов математической статистики, теории фильтрации, статистической радиотехники и машинного эксперимента на ПЭВМ. Проверка теоретических расчетов и выводов проводилась в математическом пакете Maple и с использованием машинного моделирования на наборах тестовых моделей и натурных реализациях результатов измерений.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается результатами машинного моделирования на различных моделях полезного сигнала и аддитивной шумовой составляющей. Новизна технических предложений подтверждается экспертизой технических решений, которые удостоверяются патентом на предлагаемый способ обработки и свидетельствами на программное обеспечение алгоритмов, которые их реализуют.

Реализация результатов работы.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных и научно-исследовательских работ совместной Проблемной лаборатории перспективных технологий и процессов РАН и ЮРГУЭС, в том числе по ЕЗН Министерства образования России (ЮРГУЭС-1.02Ф, № ГР 01.200.210719, Инв. № 02.20.0306360). «Методы первичной обработки результатов измерений и алгоритмы, их реализующие» и в соответствии с заданием Минобрнауки РФ по теме «Идентификация полезной составляющей результатов измерений в условиях априорной непараметрической неопределенности и ограниченном объеме данных» (ЮРГУЭС - 2.06.Ф), а также гранта в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (РНП.2.1.2.75). Результаты диссертационной работы внедрены на предприятиях -при обработке результатов измерений, что подтверждается соответствующими актами о внедрении в НИИ Электронной техники г. Воронежа при разработке цифровых фильтров и архитектуры мультипроцессорной системы и программного обеспечения на базе цифрового сигнального процессора серии «Триллер», НИИ экономики и нормативов г. Ростов-на-Дону. Результаты диссертационной работы в виде алгоритмов и программ используются в учебном процессе ЮРГУЭС по дисциплинам «Радиотехнические цепи и сигналы», «Устройства цифровой обработки сигналов», «Статистическая радиотехника», «Методы цифровой обработки сигналов». Предложенный метод обработки результатов измерений признан изобретением и подтвержден патентом №2257610. Программное обеспечение для ПЭВМ, реализующее метод кусочного размножения оценок результатов измерений, официально зарегистрированы в Российском агентстве по патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ).

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы докладывались и одобрены на научно-технических конференциях: III и IV Международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики», г.Новочеркасск 2002 и 2004г.; V, VII, VIII и IX Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и её применение», г. Москва 2003, 2005-2007гг.; IV Международная научно-техническая конференция «Измерение, контроль, информатизация»: г.Барнаул, 2003г.; Международная научная конференция «Системный подход в науках о природе, человеке и технике» г.Таганрог, 2003г.; Международная научная конференция «Анализ и синтез как метод научного познания» г.Таганрог, 2004г.; Международный симпозиум «Аэрокосмические приборные технологии» г.Санкт-Петербург, 2004г.; Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН г.Ессентуки, 2005г.; Международная конференция «Оптимальные методы решения научных и практических задач» г.Таганрог 2005г.; Международная конференция «Цифровые методы и технологии» г.Таганрог, 2005г.; Межрегиональная научная конференция «Современные проблемы радиоэлектроники» г.Ростов-на-Дону 2006г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 14 работ, в том числе 1 патент, 1 свидетельство на программный продукт, 2 статьи в центральных рецензируемых журналах, 10 статей и тезисов докладов в трудах международных конференций, симпозиумов.

На защиту выносится:

- метод анализа нестационарного случайного сигнала, заключающийся в скользящем разбиении исходной реализации на перекрывающиеся интервалы постоянной длины, получение множества оценок полезного сигнала путем аппроксимации исходных значений на каждом интервале полиномом произвольной фиксированной степени с последующим их усреднением в каждом сечении процесса;

- результаты расчетов и анализ выражений, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и оценками полезного сигнала, а также модификация метода, позволяющая уменьшить погрешность оценки полезного сигнала на начальном и конечном интервале выборки;

- выражения импульсной характеристики и системной функции устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок, и его структурная схема;

- результаты оценки погрешности выделения полезной составляющей при обработке реализаций с различными моделями функции полезного сигнала и аддитивной шумовой составляющей;

- результаты сравнительной оценки погрешности выделения полезного сигнала с наиболее известными и широко используемыми методами ослабления шумовой составляющёй и выделения полезного сигнала;

- результаты выделения полезной составляющей и ослабления аддитивной шумовой составляющей при обработки натурных реализаций сигналов в условиях априорной неопределенности.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка литературы, включающего 115 наименований. Основной текст работы изложен на 130 страницах машинописного текста, поясняется 32 рисунками и 4 таблицами.

4.4. Выводы

Проведенные исследования выделения полезного сигнала при обработке натурных реализаций показали:

1. Обработка натурного сигнала, представляющего собой сумму сигналов электрокардиограммы и миографического шума, методом кусочного размножения позволяет выделять полезный сигнал. Использование предлагаемого подхода не уступает существующим нелинейным методам анализа сигналов электрокардиограммы при всех равных начальных условиях.

2. Метод кусочного размножения позволяет выделять полезный сигнал, как в случае стационарности, так и в случае ее нестационарности по значению дисперсии шумовой составляющей.

3. Метод кусочного размножения полезного сигнала в случае пошаговой обработки экспериментальных данных, позволяет выделять различные компоненты исходного сигнала на основе результатов проведенных исследований машинного моделирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении поставленных задач получены результаты, на основе которых сделаны следующие выводы:

1. Проведенный анализ существующих методов обработки показывает, что в условиях ограниченного объема реализации и априорной неопределенности о составляющих обрабатываемого процесса, их использование ограничено на практике.

2. Разработан новый метод кусочного размножения оценки полезного сигнала (патент № 2257610), позволяющий обрабатывать исходную реализацию сигнала ограниченного объема в условиях априорной неопределенности о полезном сигнале и аддитивной шумовой составляющей, и алгоритм его реализующий (свидетельство № 2005611947 о регистрации программ для ЭВМ) в составе программного комплекса. Предлагаемый способ обработки позволяет получить оценку полезного сигнала на всем интервале выборки сигнала.

3. Получены выражения на основе системы ортогональных полиномов, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и значениями оценки полезного сигнала, при произвольной степени аппроксимирующего полинома р и длины интервала т .

4. Рассмотрена модификация предлагаемого метода обработки с целью уменьшения погрешности оценки полезного сигнала на начальном [0,/и] и конечном \п - т, п] интервале исходной выборки сигнала, основанная на дополнительном разбиении исходной реализации на этих интервалах и позволяющая увеличить число оценок полезного сигнала в сечениях исходного процесса.

5. Получены выражения для импульсной характеристики и системной функции дискретного фильтра, реализующий обработку методом кусочного размножения оценок, которые функционально завися от параметров обработки.

6. Исследования системной функции дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок, показали, что степень аппроксимирующего полинома на каждом интервале р и ширина интервала разбиения т однозначно определяют параметры амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики. Максимальный уровень боковых лепестков амплитудно-частотной характеристики слабо зависит от /п ив среднем составляет от -25 дБ до -13 дБ в зависимости от р. Ширина главного лепестка не зависит от параметра сглаживания т и составляет при /7 = 0 - AFwN= 1,33, при р = 1 - Д^=2,8 ипри р = 2 AF^ = 4,3.

7. Исследование импульсных функции устройств, реализующих различные методы выделения полезного сигнала, показало, что использование метода кусочного размножения оценок позволяет, в среднем, получить погрешность оценки полезного сигнала на 5 - 13% меньшую, чем при использовании метода простого или взвешенного скользящего среднего.

8. В результате проведенного имитационного моделирования установлено, что для метода кусочного размножения, погрешность оценки полезного сигнала практически не зависит от функции полезного сигнала в классе моделей непрерывных функций, а значение доверительных интервалов их оценки практически остаются постоянными и слабо зависят от т.

9. Сравнительный анализ различных методов оценки полезного сигнала при условии наилучшего выбора значений параметров обработки показывает, что в случае использования метода кусочного размножения, погрешность оценки полезного сигнала, в среднем, на 10 - 15% меньше, чем для метода простого и взвешенного скользящего среднего.

10. В результате проведенных исследований установлено, что погрешностей оценки полезного сигнала, описывающихся различными моделями из пространства непрерывных функций, при использовании метода кусочного размножения с р = 1 отличается не более 5-10% , а при р = 2 - не более 4-5% с использованием модифицированного и исходного алгоритма.

11. Использование предлагаемого подхода, при обработке сигнала электрокардиограммы, не уступает существующим нелинейным методам анализа, при всех равных начальных условиях. Метод кусочного размножения позволяет выделять полезную составляющую обрабатываемого сигнала, как в случае стационарности, так и в случае нестационарности шумовой составляющей по значению дисперсии.

12. Разработаны пакеты прикладных программ и программный комплекс, реализующий метод кусочного размножения оценок при анализе нестационарных случайных сигналов, которые внедрены в рамках госбюджетной НИР по заданию Министерства образования России (ЮРГУЭС-1.02Ф), в НИИ Электронной техники г. Воронежа при разработке цифровых фильтров и архитектуры мультипроцессорной системы и программного обеспечения на базе цифрового сигнального процессора серии «Триллер», в учебный процесс ЮРГУЭС (ЮжноРоссийский государственный университет экономики и сервиса), а так же при выполнении совместных работ с Всероссийским НИИ Экономики и нормативов в рамках договора о сотрудничестве.

1. Абрамов С.К. Методы вторичной обработки сигналов и изображений в системах дистанционного зондирования на основе использования мириадного оценивания: Дис. канд. техн. наук: 05.07.12. Харьков: 2003. - 216 с.

2. Адаптивные фильтры / Под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. М.: Мир, 1988.

3. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2 -е изд., испр. Т. 1: Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-756 с.

5. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2001. - 228 с.

6. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.- 169 с.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 540 с.

8. Бендат Дж.,Пирсон А. Измерение и анализ случайных процессов. : Пер. с англ. / Под ред. Г.Я. Мирского. М.: Мир, 1974. - 536 с.

9. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998. - 328 с.

10. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений. М.: Мир, 1975.-312с.

11. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1971.-328 с.

12. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 1998.-240 с.

13. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ. / Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. М.: Мир, 1976. - 216 с.

14. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. -М.: Высш. шк., 2000. -383 с.

15. Г. Дэйвид. Порядковые статистики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 336 с.

16. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. М.: Высш. шк., 1999. - 479 с.

17. Гнатек Ю.Р. Справочник по цифроаналоговым и аналого-цифровым преобразователям: Пер. с англ./ Под ред. Ю.А. Рюжина. М.: Радио и связь, 1982. -552 с.

18. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов / Л.М. Гольденберг Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. 2-е год. перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1990. - 256с.

19. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.

20. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.И. Тихонова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1980. - 544 с.

21. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1960. - 468 с.

22. Данилов Д.Л., Жиглявский А.А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: Метод "Гусеница". Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет, 1997. 308 с.

23. Денисенко А.Н. Сигналы. Теоретическая радиотехника. Справочное пособие. М.: Горячая линия Телеком, 2005. -704с.

24. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 512 с.

25. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998. - 352 с.

26. Егорова Н.Ю., Фарбер В.Е. Решение задачи нелинейной фильтрации при наличии негауссовских ошибок измерений// Радиотехника и электроника. 1995. №4. Т. 40. С. 604-609.

27. А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов. -М.: Энергия, 1979. 113 с.

28. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации: Пер. с англ. / Под ред. А.В. Скорохода. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1987. - 320 с.

29. Кендалл М., Стюарт Дж. А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. - 900с.

30. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании/ Пер. с англ. Ю.П.Адлера и др.; Под ред. Ю.П.Адлера и В.Н.Варыгина. Вып.1. - М.: Статистика, 1978. - 221 с.

31. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 200 с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. - 832 с.

33. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 648 с.

34. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

35. Куликов Е.И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии помех. М.: Сов. радио, 1969. - 244с.

36. Кэндалл М. Временные ряды. Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1981. - 735 с.

37. Кэндалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. Пер. с англ. / Под ред.Колмогорова. -М.: Наука, 1976.-521 с.

38. Лабутин С.А., Пугин М.В. Метод анализа временных рядов при отсутствии информации о тренде и законе распределения шума// Труды 4-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 2000. WEB: http://rf.unn.runnet.ru/koi/sci/conf/00/thesis.html.

39. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов. Радио. 1969. Т.1. 752 с.

40. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов. Радио. 1969. Т.2. 504с.

41. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов. Радио. 1976. Т. 3. 288с.

42. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. Т.1. Основные принципы и классические методы. М.: Мир, 1983. - 312 с.

43. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. Т.2. Техника обработки сигналов. Применения. Новые методы. М.: Мир, 1983. - 256 с.

44. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 584 с.

45. Марчук В.И. Итерационный метод выделения функции полезного сигнала в условиях априорной неопределенности// Известия вузов. Северо-Кавказкий регион. Технические науки. 2004. №9. С. 25-35.

46. Марчук В.И. Первичная обработка результатов измерений при ограниченном объеме априорной информации: Монография / Под ред. К.Е. Румянцева. Таганрог: Изд-во ТРГУ, 2003. 160с.

47. Марчук В.И. Повышение достоверности первичной обработки результатов измерений// Измерительная техника, №12. 2003. С. 3-5.

48. Марчук В.И., Румянцев К.Е., Шерстобитов А.И. Фильтрация низкочастотных процессов при ограниченном объеме результатов измерений/ Радиотехника. 2006. №9. С.22-27.

49. Марчук В.И., Шерстобитов А.И. Новый подход обработки результатов измерений при априорной неопределенности. Труды РНТОРЭС им. Попова. Серия: Цифровая обработка и её применение. Вып. 7. т.1 Москва, 2005г. - С.48 -51.

50. Марчук В.И., Шерстобитов А.И. Синтез метода скользящего среднего при априорной неопределенности// Материалы международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания». Ч.З. Таганрог: Изд. «Антон», ТРТУ. 2004. - 76 с. (С.29-31).

51. Марчук В.И., Шерстобитов А.И., Воронин В.В. Способ уменьшения погрешности при использовании метода размножения оценок. Материалы международной научной конференции «Цифровые методы и технологии». 4.2. -Таганрог: Изд. «Антон», ТРТУ, 2005. С.14-17.

52. Марчук В.И., Шерстобитов А.И., Воронин В.В., Непараметрические методы обработки черно-белых изображений// Материалы международной научной конференции «Информационные технологии в современном мире» ч. 2 -Таганрог: Изд. «Антон», ТРТУ, 2006, С.72 -74.

53. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М.: Энергия, 1972. - 455с.

54. Мудров В.И., Кушко B.JI. Методы обработки измерений. М.: Советское радио, 1976. - 192 с.

55. Мюллер И. Эвристические методы в инженерных разработках: Пер. с нем. М.: Радио и связь, 1984. - 144 с.

56. Обработка случайных сигналов и процессов / А.Н. Беседин, А.А. Зеленский, Г.П. Кулемин, В.В. Лукин. Учеб. пособие. - Харьков: Нац. аэрокосм, ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2005. - 469 с.

57. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций/А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьева / Изд. 2-е испр. и перераб. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 768с.

58. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособ. для вузов. М.: Иэд. "Экзамен", 2002. - 576 с.

59. Орлов А.И. / Заводская лаборатория, 1991. Т. 57. № 7. С. 64-66. WEB: http://orlov.i-connect.ru.

60. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов (Обобщающая статья)// Заводская лаборатория. 1992. №1. С. 67-74. WEB: http://orlov.i-connect.ru.

61. Орлов А.И. Современная прикладная статистика. WEB: http://orlov.i-connect.ru.

62. Пат. 2207622 Российская Федерация, МПК7 G 06 F 17/18. Способ выделения тренда путем размножения оценок его единственной исходной реализации (РАЗОЦ) и устройство для его осуществления / Марчук В. И., Саакян Г.

63. Р., Уланов А. П.; заявитель и патентообладатель Южно-Рос. Гос. ун-т экономию! и сервиса. -№ 2000127308/09; заявл. 30.10.2000; опубл. 27.06.03, Бюл. № 18. 14 с. 9 ил.

64. Переверткин С.М., Кантор А.В., Бородин Н.Ф., Щербакова Т.С. Бортовая телеметрическая аппаратура космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977.-208 с.

65. Перегудов В.И. Метод наименьших квадратов и его применение в исследованиях. М.: Статистика, 1965. - 340с.

66. Применение цифровой обработки сигналов. Под ред. Э. Оппенгейма, Пер. с анг. A.M. Рязанцева. М.: Мир, 1980. - 552 с.

67. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979. 196с.

68. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. -М.: Наука, 1968. -288с.

69. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 128 с.

70. JI. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848с.

71. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2003610368. Выделение тренда методом размножения оценок при ограниченном объеме априорных данных (ВТМРО)/ В.И. Марчук, А.И. Шерстобитов. заявл. 15.12.02 г., г. Москва. - опуб. 12.02.03 г.

72. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2005611791. Обнаружение аномальных измерений без выделения функции тренда/ В.И. Марчук, А.И. Шерстобитов, В.В. Воронин заявл. 30.05.05 г., г. Москва. -опуб. 21.07.05 г.

73. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2005611947. Обработка результатов измерений методом кусочного размножения оценок тренда/ В.И. Марчук, А.И. Шерстобитов, М.С. Кондауров- заявл. 09.06.05 г., г. Москва. опуб. 04.08.05 г.

74. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006612519. Обработка черно-белых изображений при априорной неопределенности / Марчук В.И., Шерстобитов А.И., Шелковая И.С., Воронин В.В. заявл. 13.02.06 г., г. Москва. - опуб. 03.04.2006 г.

75. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2006611188. Ликвидация точек разрыва оценки функции полезного сигнала/ В.И. Марчук, А.И. Шерстобитов, В.В. Воронин заявл. 13.02.06 г., г. Москва. - опуб. .03.04.2006 г.

76. Сергеенко А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергеенко СПб.: Питер, 2003. - 608с.

77. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 2004. - 608с.

78. Уидроу В., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.

79. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 632 с.

80. Федосов В.П. Прикладные математические методы в статистической радиотехнике: Учебное пособие. Таганрог: Издательство ТРТУ, 1998.-74 с.

81. Френке JL Теория сигналов. Нью-Джерси, 1969. пер. с англ., под ред. Д.Е. Вакмаиа. М.: Сов. радио, 1974. - 344с.

82. Фомин А.Ф. Отбраковка аномальных результатов измерений/ А.Ф.Фомин, О.Н. Новоселов, А.В. Плющев. -М.: Энергоатомиздат, 1985. 200 с.

83. Функциональный анализ / Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я. и др. Под общ. ред. С.Г. Крейна. -М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1972.-544 с.

84. Д. Худсон. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. - 197с.

85. Цветков Э.И. Алгоритмические основы измерений. СПб.: Энергоатомиздат, 1992. - 225 с.

86. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. JL: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1979. -288 с.

87. Цветков Э.И. Основы статистической метрологии. СПб.: Политехника, 2005. - 510с.

88. Цыпкин Я.З. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации //Автоматика и телемеханика. 1982. №11. С. 5-24.

89. Чернышев С.Л. Исследование потоков событий, наблюдаемых с ошибками// Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41. №3. С. 310-314.

90. Численные методы анализа случайных процессов./ М.Е. Лившиц и др. -М.: Наука, 1976.- 128с.

91. Б.И. Шахтарин. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл лекций. -М.: Радио и связь, 2000. 584с.

92. Шерстобитов А.И. Обнаружение аномальных измерений при анализе нестационарных процессов. Измерительная техника: М., 2004. - № 1. - с.5-8.

93. Эфрон Б,. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика, 1988. - 263 с.

94. Foi A. Anisotropic nonparametric image processing: theory, algorithms and applications. Tesi di Dottorato, Dipartimento di Matematica. Politecnico di Milano, Italy, 2005.

95. F. J. Harris On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform, in Proceeding of the IEEE, January 1978, vol. 66, NO. 1 pp. 51-83.

96. V. Katkovnik, K. Egiazarian, J Astola Local Approximation Techniques in Signal and Image Processing. SPIE PRESS. Bellingham. Washington. 2006.

97. V. Katkovnik, K. Egiazarian, J Astola Adaptive window size image de-noising based on intersection of confidence intervals (ICI) rule. Journal of Mathematical Imaging and Vision, vol. 16, pp. 223-335, 2002.

98. S. Mallat, A wavelet tour of signal processing. AP, 1998,637p.