автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование критериев абсолютной устойчивости систем автоматического управления с нестационарными нелинейностями

21

На правах рукописи

Вадмаева Сэсэгма Валерьевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт - Петербурском государственном электротехническом университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -

доктор физико-математических наук, проф. Барабанов Н.Е.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор технических наук, проф. Имаев Д.Х. кандидат физико-математических наук, доц. Смирнова В.Б.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится г 1997 г. в ^ ^ча-

сов на заседании диссертационного совета К 063.36.03 Санкт-Петербурского государственного электротехнического университета имени В.И.Ульянова(Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д.5

С диссертацией можно ознакомиться библиотеке университета

Автореферат разослан 1997г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кутузов О.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный уровень развития систем автоматического управления (САУ) характеризуется ужесточением требований к качеству их функционирования. Разработка САУ неизбежно сопровождается решением проблем, связанных с анализом их качества и синтезом регулирующих структур, отвечающих требованиям, предъявляемым к характеристикам качества. Определяющим в этих требованиях является устойчивость САУ, как залог гарантированного выполнения технических требований при эксплуатации.

Задача улучшения кругового критерия является одной из старых и сложных в теории САУ. Ее цель - расширение области значений параметров, соответствующих абсолютно устойчивым системам. При этом критерии должны быть эффективны, доступны для проверки и выражены через традиционные термины для теории САУ - частотные характеристики и параметры ограничений на нелинейности.

Исторически задача анализа устойчивости САУ прошла ряд этапов, на которых создавались и усиливались критерии устойчивости. Широко известны критерий Найквиста устойчивости класса линейных систем, критерии абсолютной устойчивости САУ в разных классах нелинейностей: круговой, В.М.Попова, Я.З.Ныпкина, К.С.Нарендры. Основой для вывода этих и многих других критериев абсолютной устойчивости САУ может являться общий квадратичный критерий В.А.Якубовича. Преимуществом с прикладной точки зрения более "сильного" критерия устойчивости является расширение возможностей разработчиков САУ в решении задач синтеза этих систем, получение достоверной информации об их характеристиках на этапе проектирования, оценки границ диапазона допустимых значений параметров состояния САУ при их нормальном функционировании.

В теоретическом плане усиление критерия устойчивости для нелинейных систем означает ослабление достаточных условий устойчивости этих систем, обеспечивает расширение ограничений условия достаточности, приближает эти условия к наилучшим - необходимым и достаточным.

Пель паботы: пазпаботка и исследование частотных кпи-

териев абсолютной устойчивости нелинейных систем управления в классе нестационарных нелинейностей, удовлетворяющих секторным ограничениям.

Метода! исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической теории управления, матричной алгебры.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1. Метод улучшения частотных критериев абсолютной устойчивости САУ.

2. Класс частотных критериев абсолютной устойчивости САУ с одной нелинейностью.

3. Матричные частотные критерии абсолютной устойчивости САУ с несколькими нелинейностями.

4. Частотные критерии абсолютной устойчивости САУ с запаздывающим аргументом.

Научная новизна. Представленная диссертационная работа содержит решение задачи улучшения частотного критерия абсолютной устойчивости нелинейных САУ, путем построения новых интегральных квадратичных связей, исходя из имеющихся локальных квадратичных связей, и дальнейшем применении метода расширения исходного пространства состояний и частотной теоремы. Названная задача поставлена и решена для классов линейных объектов регулирования и объектов с запаздыванием в случаях скалярной и векторной регулирующей структуры с нестационарными нелинейностями как функциями линейных комбинаций компонент вектора состояния.

1. Предложенный отличающийся от известных метод построения интегральных квадратичных связей позволяет эффективно улучшить классические критерии абсолютной устойчивости САУ в классе нестационарных нелинейностей.

2. Полученный класс частотных критериев абсолютной устойчивости САУ с одной нестационарной нелинейностью улучшает круговой критерий без дополнительных ограничений на класс нелинейностей.

3. Полученные матричные частотные критерии абсолютной устойчивости для САУ с несколькими нелинейностями, удовлетворяющими секторным ограничениям, улучшают многомер-

ный круговой критерий абсолютной устойчивости систем без изменения класса нелинейностей.

4. Частотный критерий абсолютной устойчивости САУ с запаздывающим аргументом, улучшает круговой критерий для систем с запаздывающим аргументом.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы состоит в том, что получил дальнейшее развитие метод расширения пространства состояний в теории устойчивости нелинейных систем автоматического управления. После решения серии математических задач этим методом удалось построить новые, лучшие, чем прежние, частотные критерии абсолютной устойчивости систем автоматического управления. Представляет научную ценность также развитый в работе метод построения интегральных квадратичных связей. В теоретическом плане наиболее важная особенность работы заключается в том, что удалось улучшить круговой критерий абсолютной устойчивости без изменения рассматриваемого класса нелинейностей.

Предложен частотный метод поиска функций Ляпунова для систем автоматического управления с нестационарными нели-нейностями среди функций, являющихся квадратичными формами от координат системы и сверток этих координат и нелинейности с линейными комбинациями экспонент.

Практическая ценность работы связана с возможностью гарантировать абсолютную устойчивость систем автоматического управления в тех классах нелинейностей, которые прежде не поддавались анализу. Это касается систем с одной и несколькими нелинейностями, а также систем с запаздывающим аргументом. В частности, почти во всех случаях эффективно улучшается круговой критерий абсолютной устойчивости. При этом заключительные критерии выражены в привычных терминах частотной характеристики при относительно небольшом количестве подлежащих выбору произвольных параметров.

На ряде примеров проанализирована эффективность полученных критериев. Предложены алгоритмы и программные реализации этих алгоритмов для проверки новых критериев.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр МО ЭВМ и АиПУ

Санкт - Петербургского государственного электротехнического университета. Доклад по теме диссертации принят на 35 Conference on Decision and Control.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы [1-3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 56 наименований. Основная часть работы изложена на 138 страницах машинописного текста. Работа содержит 27 рисунков и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, формулировка целей исследования, подчеркивается научная новизна и практическая значимость результатов диссертационной работы.

В первой главе проведен обзор исторического развития проблемы анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем и современных подходов к решению этой проблемы; математически строго поставлена задача диссертационной работы. Здесь же описан используемый математический аппарат исследования, на базе которого разработаны теоретические положения, представленные во второй главе.

В § 1.1 отмечено, что модели в виде системы автоматического управления с нестационарными нелинейностями в ряде случаев представляют удачный компромисс между адекватностью описания физического процесса и удобством модели с точки зрения ее дальнейшего использования. Одна группа таких моделей связана с учетом нестационарности функционирования системы, моделируемой через нестационарные нелинейности, или через нестационарные коэффициенты передаточной функции. Другая группа моделей возникает при упрощении более сложных систем. Третья группа моделей обусловлена необходимостью анализа устойчивости в малом конкретных решений исходной сложной системы, что тесно связано с исследованием уравнений в вариациях. Еще одна группа нестационарных моделей возникает при исследовании устойчивости процессов "в большом" при аддитивном внешнем воздействии.

Многие известные методы анализа устойчивости нестационарных САУ обладают рядом существенных недостатков: необходимо вычислять производные высших порядков при определении членов бесконечного ряда и суммировать этот ряд для метода нестационарных передаточных функций; отсутствие гарантий (доказательства) пригодности критериев устойчивости систем для этого метода и метода гармонической линеаризации; сложности вычисления каждого члена суммы и суммировании бесконечного ряда таких слагаемых в методе интегральных рядов Вольтерра. В ряде случаев неприменимы также адаптивные методы подстройки коэффициентов нестационарной функции ввиду вторичности самой модели (например, при анализе устойчивости процессов), или ввиду большой скорости изменения параметров.

Перечисленных недостатков лишены методы теории абсолютной устойчивости, краткий анализ которых содержится в § 1.2. Отмечено, что в большинстве случаев частотные критерии дают лишь достаточные условия абсолютной устойчивости нестационарных систем. Актуальной является задача их улучшения. В частности, поставлена задача улучшения известного кругового критерия. Для реализации этой цели выбран метод расширения пространства состояний, который приводит к допускающим графическую и эффективную аналитическую проверки, частотным критериям с небольшим количеством произвольных параметров.

В § 1.3 приведен ряд примеров систем автоматического управления с нестационарными нелинейностями, описывающих различные физические процессы. Приведены примеры механических и электрических систем, систем управления летательными аппаратами и систем управления движением судна. Построенные модели содержат одну или несколько нелинейностей, в одном из примеров модель содержит запаздывающий аргумент.

Во второй главе решен ряд математических задач, ведущих к созданию новых частотных критериев абсолютной устойчивости. В ней изложен метод вывода новых критериев абсолютной устойчивости САУ в заданном классе нелинейностей. Он состоит в расширении исходного пространства состояний путем введения новых уравнений и координат, получении интеграль-

ной квадратичной связи для расширенной системы и применении некоторого варианта частотной теоремы для расширенной системы. В частности, использование метода расширения пространства состояний позволило искать функции Ляпунова из сравнительно широкого множества квадратичных форм от координат системы и сверток координат и нелинейностей с произвольными суммами вещественных частей комплексных экспонент. Все результаты оформлены в виде строгих утверждений - теорем и лемм, и сопровождаются строгими математическими доказательствами. Сделаны также некоторые теоретические выводы о возможности использования новых критериев для эффективного улучшения существующих.

При анализе абсолютной устойчивости систем автоматического управления существенным объектом является рассматриваемый класс нелинейностей. Абсолютная устойчивость в заданном классе нелинейностей понимается как равномерная устойчивость в целом систем автоматического управления с любой нелинейностью из данного класса. Сектор абсолютной устойчивости САУ с линейными стационарными обратными связями (гурвицев сектор) шире, чем максимальный сектор абсолютной устойчивости САУ со стационарными нелинейно-стями, который в свою очередь шире, сектора, вырезаемого критерием Попова. Сектор Попова шире сектора абсолютной устойчивости САУ с нестационарными нелинейностями, определяемым круговым критерием.

Вопрос о выводе новых частотных критериев абсолютной устойчивости САУ в новых классах нелинейностей не является предметом исследований данной работы. В ней речь пойдет об улучшении классических критериев абсолютной устойчивости САУ в классе нелинейностей, удовлетворяющих секторным ограничениям, без изменения класса нелинейностей. Наиболее известный из таких критериев - круговой критерий. Он дает лишь достаточные условия абсолютной устойчивости САУ в классе секторных нестационарных нелинейностей. Сектор абсолютной устойчивости, вырезаемый круговым критерием, уже, чем максимальный сектор абсолютной устойчивости САУ в классе нестационарных нелинейностей. Методы расширения сектора абсолютной устойчивости предложены в данной рабо-

те.

Задача улучшения кругового критерия является одной из старых и сложных в теории САУ. Ее цель - расширение области значений параметров, соответствующих абсолютно устойчивым системам. При этом критерии должны быть эффективны, доступны для проверки и выражены через традиционные термины для теории САУ - частотные характеристики и параметры ограничений на нелинейности.

Выполнение кругового критерия необходимо и достаточно для систем с одной нелинейностью и достаточно для систем с несколькими нелинейностями для существования функции Ляпунова у исходной системы вида "квадратичная форма от координат вектора состояния", единой в классе "секторных" не-линейностей. Улучшение этого критерия будет возможно, если удастся найти частотные критерии существования функции Ляпунова более общего вида.

Для построения указанных функций Ляпунова использован метод расширения пространства состояний. Удалось найти такое расширения пространства состояний, которое допускает построение нетривиальной интегральной квадратичной связи для расширенной системы. После применения частотной теоремы В.А.Якубовича получены частотные условия существования функции Ляпунова вида квадратичная форма для расширенной системы. Координаты расширенной системы являются, очевидно, свертками координат системы и нелинейностей с произвольными суммами комплексных экспонент. Таким образом, квадратичная форма для расширенной системы является квадратичной формой от координат исходной системы, а также сверток этих координат и нелинейностей с произвольно заданными экспоненциально убывающими функциями. Такое расширение множества функций, внутри которых происходит поиск функции Ляпунова, привело к улучшению частотных критериев абсолютной устойчивости.

В § 2.2 рассматриваются системы вида

с1х

— = Ах + Ь£,а = с*х, = <р(оф, <), (1)

где Л, Ь, с - постоянные матрицы размеров п х п, пх 1, пх1; <р— измеэимая Функция, удовлетворяющая условиям

О < <p(z,i)z < fiz2 при всех z, t G R, (2)

fi - положительное число.

Уравнение (1) описывает динамику линейной части системы автоматического управления с передаточной функцией

W(p) = c*{A-pI)-1b

уравнение (2) задает ограничения на нелинейный блок обратной связи.

График в плоскости {z, <р} функции tp, удовлетворяющей неравенству (2), располагается в секторе между лучами <р = 0 и ср — цъ. Более общий случай расположения графика функции <р в секторе между лучами <p=n\z и <р — ^z, как известно, сводится к данному при линейной замене А —> А + bfi^c*, —»0, fi2 —* М2 — Мь V —* <Р — Далее без ограничения общности предполагаем, что матрица А гурвицева.

Обозначим через М^ множество измеримых функций ip, удовлетворяющих условию (2). Ставится задача поиска достаточных условий абсолютной устойчивости системы (1) в классе М„.

Отметим, что абсолютная устойчивость системы (1) в классе М;, эквивалентна абсолютной устойчивости системы (1) в классе М,, измеримых функций (р таких, что при всех z,t выполняется равенство ip(z, t)(z - iTl(p(z, t)) = 0.

Следующая теорема задает интегральную квадратичную связь для системы (1) с произвольной функцией ip € М^.

Теорема 1. Для произвольного положительного числа а для любого решения {х(-), £(■)) системы (1) с произвольной функцией <р 6 для всех положительных чисел т и Т > т при /1 (0 = = ^(О — справедливо неравенство

- г) - w - T)№)dt+

ГШШ* - 2т) - h(t - 2T)f2(t))dt < S(a) A/i(i)2 + h(t)2)dt, Jit JO

где

S(a) = 1 4-a/2 ппи0<а<1:

5(0) = °2 + аг + г2 при 1 < а < 1 + -±=;

в (а) = (а + 1)/л/2 при 1 + 1/л/2 < а < 1 + л/2;

5(а) = а приа>

1 + л/2;

2 - положительный корень уравнения г3 + г{а2 — 1) — а = 0.

Отметим, что константа 5(а) в теореме 1 неулучшаема.

Теорема 1 является основой для вывода новых частотных критериев абсолютной устойчивости систем автоматического управления в классе М^, указанных в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть существуют положительные числа а, 7,1/ и функция у € Ь\{—оо,оо) такие, что || у ||£,< 1 и для преобразования Фурье У(_функции у при всех и > 0 выполняется неравенство

ЛеТГО'у) + М-1 + I И^) + I2 /"+

+ У(2»)1т\¥0'с')} > 0- (3)

Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе

Доказательство данной теоремы основано на методе расширения пространства состояний и применении леммы Якубовича-Калмана.

Показано, что в случае, если круговой критерий (ДеТУ^'и) + ц-1 > 0 при всех ш > 0) абсолютной устойчивости системы (1) в классе нелинейностей М^ выполнен, неравенство вырождается только в одной точке и:0 и 1т\У{]шо) ф 0, то критерий (3) позволяет всегда расширить область абсолютной устойчивости в пространстве параметров {А, Ь, с, ц}. Отметим, что для почти всех значений параметров системы в пространстве коэффициентов А, Ь, с указанный случай реализуется при выборе максимального числа /1, удовлетворяющего круговому критерию.

Критерий (3) допускает следующую геометрическую интерпретацию. Для С = 1/(27) ПРИ всех и > 0 точка годографа функции (\¥{]и>) + должна находиться в круге с центром

в точке (С, 1т(аУ^и) + У{2]и))/3(а)), проходящем через точку (С- 0).

Параграф 2.3 посвящен распространению полученного выше кпитепия абсолютной устойчивости на многомепные системы с

I,

сг = Сх, £(*) = *)> 3 = 1, • • •,

где А, В, С - постоянные матрицы размеров п х п,п х т,т х п соответственно, щ— измеримые функции. Уравнения (4) описывают динамику САУ, линейная часть которых определяется матричной передаточной функцией \У(р), а т нелинейных блоков обратной связи - функциями <р1,...,<рт-

Пусть {[¿]})=1 - положительные числа. Обозначим через М,, множество всех функций <р=со\{<р\, ..., таких, что функции измеримы и при всех г £ К, £ 6 Н., .7 = 1,.. .,т справедливо неравенство

ф - *)) > 0. (5)

Как и выше без ограничения общности считаем, что матрица А гурвицева. Введем обозначение М = (Иад{ц 1, ..., /хт}.

Теорема 3. Пусть существуют диагональные т х ш—матрицы Г > 0, В, > 0, Л > 0, Г = <Иад{7,} > 0, и матрица-функция — где У^ш)— преобразование Фурье от

некоторой функции у,- £ Ь\{—оо,оо), такие что )| у; ||1< 1 при всех г и при всех и > 0 для X = сИад{г$, г,- = 1/5(7,) справедливо неравенство

Ве{Т(\УЦы) + М)} - Лй - (Т/УУы) + М)*МГ\Ш^) + М)+ (6) +2г 1т{(1т(ГАУ{уш) + АУ(2.7ы))(И^С7а>) + М)} > 0.

Тогда система (4) абсолютно устойчива в классе М^.

Как и в случае одной нелинейности критерий (6) позволяет улучшить круговой критерий абсолютной устойчивости, получаемый из (б) при А — 0.

В § 2.4 рассматриваются системы автоматического управления с запаздывающим аргументом и одной нелинейностью, описываемые следующими уравнениями:

где А-1, ..., Ат - постоянные п х га-матрицы; Ь, с - постоянные п-векторы; Гх, ..., тт, а - неотрицательные числа;(р— измеримая функция. Передаточная функция такой системы имеет вид

т

IV(р) = Аке~рТк - р1)~1Ье~ра.

к=1

Ставится задача поиска достаточных условий абсолютной устойчивости системы (7) в классе М^ нелинейностей <р, удовлетворяющих ограничению (2).

Теорема 4. Пусть существуют положительные числа а,-у,и, т такие, что для при всех ш > 0 выполняются неравенства

Яе\УЦш) + /Г1 + 7{-1/- | Ие^'О^) + ц'1 |2 /р+ (8)

+2/5(а) /ш^О'^^^иг + бтгшт)} > 0.

Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе М^.

Третья глава содержит методику практического применения теоретических результатов. Здесь приведены результаты анализа абсолютной устойчивости ряда САУ в классах нестационарных секторных нелинейностей. Эти результаты получены на основе разработанного комплекса программ, предназначенного для проведения практического исследования САУ.

В § 3.1 описаны методы построения квадратичных связей для систем с одной и несколькими нелинейностями. На примерах показано, как использовать имеющуюся о нелинейностях информацию для построения новых локальных и интегральных связей, а также сводить задачу об устойчивости нестационарных систем к задаче абсолютной устойчивости систем в заданных классах нелинейностей.

В § 3.2 рассмотрены вопросы численной проверки полученных критериев. Предложен алгоритм, использующий стандартные процедуры численной оптимизации для проверки частотных неравенств. Алгоритм реализован на языке С. Подробно обсуждаются вопросы определения начальных условий для алгоритма. Показано, что сформулированные выше критерии почти всегда дают лучшие результаты, чем круговой критерий абсолютной устойчивости. Приведена графическая интерпретация разработанных критериев.

Результаты применения полученных частотных критериев продемонстрированы в § 3.3 на содержательных и модельных примерах. Показано, в частности, что для систем третьего порядка с одной нелинейностью, а также для систем с двумя нестационарными нелинейностями за счет применения критериев главы 2 относительное увеличение сектора абсолютной устойчивости по сравнению с круговым критерием достигает 40%. Для систем второго порядка с одной секторной нелинейностью известна точная граница сектора абсолютной устойчивости. Показано, что критерии главы 2 уменьшают зазор между этой границей и границей сектора, получаемого по круговому критерию, на величину до 17% в относительных единицах.

В Приложении собраны используемые в работе, но не являющиеся общеизвестными вспомогательные результаты, приведены некоторые доказательства вспомогательных утверждений, не вошедшие в основной текст, а также некоторые используемые в работе известные определения и теоремы.

Заключение диссертации содержит оценку перспективности дальнейших исследований в области усиления частотных критериев, значимости полученных теоретических результатов, эффективности их практического применения.

Сравнительный анализ методов проверки устойчивости нестационарных САУ выявляет преимущества частотных методов при анализе систем с неопределенностью в нелинейном блоке.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен способ улучшения классических частотных критериев абсолютной устойчивости САУ в классе нестационарных нелинейностей, основанный на расширении пространства состояний и построении нетривиальных квадратичных связей для расширенной системы. Указан новый способ построения таких квадратичных связей без введения дополнительных ограничений на нелинейности.

2. На основе указанного метода построения квадратичных связей предложен метод поиска функции Ляпунова вида "квадратичная форма от координат системы и свертки этих координат и нелинейности с суммами экспонент", единой для систем в классе нелинейностей, удовлетворяющих секторным ограниче-

ниям.

3. Получен параметрический класс частотных критериев, улучшающих круговой критерий для систем с одной нелинейностью. Указана геометрическая интерпретация этих критериев.

4. На основе построения новых интегральных квадратичных связей получен новый частотный критерий абсолютной устойчивости САУ с несколькими нелинейностями, улучшающий круговой критерий.

5. Разработанный метод улучшения частотных критериев применен для систем с запаздывающим аргументом. Полученный критерий абсолютной устойчивости улучшает аналог кругового критерия для этих систем.

6. Предложена методика сведения задачи анализа устойчивости САУ с нестационарными коэффициентами к анализу систем в классе секторных нестационарных нелинейностей. На ряде примеров показана эффективность предложенных критериев по сравнению с другими. Разработаны программные средства для использования созданных критериев абсолютной устойчивости.

Практическое применение полученных критериев позволит более полно использовать возможности процедур синтеза систем автоматического управления с нелинейностями и соот-вественно расширяет установленные пределы их устойчивого функционирования.

Публикации

1. Барабанов Н.Е., Бадмаева C.B. Усиление кругового критерия абсолютной устойчивости систем управления // "Известия высших учебных заведений" серия "Математика", N9, 1996, С.3-7.

2. Барабанов Н.Е., Бадмаева C.B. Усиление критериев абсолютной устойчивости систем автоматического управления с несколькими нестационарными нелинейностями // Известия РАН, серия "Теория и системы управления", N1, 1996, С.5-9.

3. Барабанов Н.Е», Бадмаева C.B. Новый частотный критерий абсолютной устойчивости систем автоматического управления с запаздывающим аргументом // Известия РАН, серия "Теория и системы управления", N4, 1996, С.8-9.