автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Критерии абсолютной устойчивости и неустойчивости систем управления с нестационарными нелинейностями

Введение

Глава I. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АБСОЛЮТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.II

§ I.I. Постановка задачи. Основные определения . II

§ 1.2. Условие знакоопределенности производной функции

Ляпунова и система матричных неравенств

§ 1.3. Метод решения системы специальных матричных неравенств.

§ 1.4. Связные системы матричных неравенств

§ 1.5. Построение результирующего неравенства

§ 1.6. Частотное условие абсолютной устойчивости

§ 1.7. Частотное условие абсолютной неустойчивости

§ 1.8. Обсуждение частотных критериев. Системы с одной, двумя и тремя нелинейностями.

Глава П. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ

НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Частотное условие абсолютной устойчивости дискретной системы

§ 2.3. Система с одной нелинейностью.

§ 2.4. Система с двумя нелинейностями.

Глава Ш. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

§ 3.1. Постановка задачи

§ 3.2. Минимаксная задача математического программирования. Непрерывные системы

§ 3.3. Свойства множества решений системы матричных неравенств.

§ 3.4. Непрерывный алгоритм поиска решений системы матричных неравенств

§ 3.5. Анализ поисковой процедуры

§ 3.6. Метод численного построения функции Ляпунова для дискретных систем управления

§ 3.7. Итеративный алгоритм построения функций

Ляпунова.

§ 3.8. Примеры использования алгоритма

§ 3.9. Исследование устойчивости систем управления при учёте неидеальности исполнительного органа

Первой работой, в которой рассматривалась задача абсолютной устойчивости, была работа А.И.Лурье и В.Н.Постникова [46] , появившаяся в 1944 г. В последующие годы как задачи абсолютной устойчивости, так и задачи абсолютной неустойчивости привлекли внимание широкого круга исследователей. Интерес к проблеме объясняется наличием в этом разделе теории устойчивости нерешенных вопросов, а также большими возможностями приложения теоретических результатов к техническим, механическим и другим системам. Среди советских ученых вопросами, связанными с задачами абсолютной устойчивости и неустойчивости, занимались А.И.Лурье, В.И.Постников, М.А.Айзерман, Ф.Р.Гантмахер, А.М.Летов, Е.Н.Розенвассер, Н.Н.Красовский, В.А.Якубович, В.А.Плисс, А.х.Ге-лиг, Я.З.Цыпкин, Е.С.Пятницкий, В.М.Кунцевич, М.А.Красносельский, А.В.Покровский и многие другие. Из зарубежных авторов этим вопросам посвящены работы В.М.Попова, Р.Калмана, С.Лефшеца, Ж.Сегё, Р.Брокетта, Х.Ли, Д.Виллемса, А.Халаная и других. Результаты теории абсолютной устойчивости и неустойчивости отражены в ряде монографий [I, 14, 15, 19, 36, 37, 40, 41, 45, 53, 56, 72, 74, 78, 88, 98, 101, 105] и в многочисленных публикациях, основное содержание которых освещено в обзорах [б, 16, 22, 42, 47, 59, 68, 89, 92, 104] .

В настоящей работе рассматриваются системы управления с несколькими нелинейными нестационарными элементами, которые описываются как дифференциальными, так и разностными уравнениями. Предполагается, что характеристики нелинейных элементов рассматриваемых систем удовлетворяют секторным ограничениям.

Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости (абсолютной неустойчивости) таких систем установлены в различных формах в работах [31, 32, 49-52, 60-62, 64] . Однако исполь

- зование этих условий в общем случае затруднительно из-за отсутствия конструктивных методов их проверки. Эффективно проверяемые необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости получены для непрерывных систем второго порядка как с одной, так и с многими нестационарными нелинейностями в работах [2, 39, 63, 71, 90J , и для непрерывных систем третьего порядка с одной нестационарной нелинейностью в работах [3, 4] .

Поскольку конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости (неустойчивости) в большинстве случаев неизвестны, то актуальной становится разработка достаточных условий абсолютной устойчивости (неустойчивости). Получение достаточных условий, как правило, связано с использованием метода функций Ляпунова.

Наибольшее распространение для систем с нестационарными нелинейностями получили частотные условия абсолютной устойчивости (неустойчивости), опирающиеся на условия существования для таких систем функции Ляпунова из класса квадратичных форм.

Если функцию Ляпунова предполагается выбирать из какого-либо определенного параметрического класса функций, то естественно возникает вопрос об определении условий, позволяющих полностью описать в пространстве параметров системы'область абсолютной устойчивости (неустойчивости), которую вообще можно установить с помощью функций Ляпунова из рассматриваемого класса функций.

Относительно использования функций Ляпунова из класса квадратичных форм установлено [57, 82, 87, 95J , что для систем с одной нестационарной нелинейностью, удовлетворяющей секторным ограничениям, круговой критерий [67, 88, 91] , частотный критерий Цыпкина [75-77J и критерий работы [93 J являются необходимыми и достаточными условиями существования функции Ляпунова из

- £ класса квадратичных форм, обеспечивающих абсолютную устойчивость (неустойчивость) такой системы. Однако при распространении на непрерывные системы с несколькими нелинейностями [83, 85, 863 и на дискретные системы с несколькими нелинейностями

21, 66, 80, 81, 84, 94, 100] , оказалось, что полученные условия являются лишь достаточными условиями существования функции Ляпунова из класса квадратичных форм. Это связано с тем, что при исследовании неравенств, вытекающих из условия знакоопределенности производной функции Ляпунова используется специальный прием - процедура [l, 87] . В случае систем с несколькими нелинейно стями условия, полученные с помощью ^-процедуры, позволяют найти лишь часть той области абсолютной устойчивости или абсолютной неустойчивости, которая вообще может быть найдена с помощью функций Ляцунова из класса квадратичных форм. В связи с этим большой теоретический и практический интерес представляет разработка критериев, исчерпывающих возможности функций Ляцунова из класса квадратичных форм при решении перечисленных задач.

В работе В.И.Скородинского [69, 70] такие условия получены для задачи абсолютной устойчивости (абсолютной неустойчивости) непрерывной системы с двумя нестационарными нелинейностями. Там же рассмотрен вопрос о том, насколько может быть улучшен круговой критерий.

Цель настоящей работы состоит в получении: I) условий абсолютной устойчивости непрерывных систем управления с несколькими нестационарными нелинейностями; 2) условий абсолютной неустойчивости таких систем; 3) условий абсолютной устойчивости дискретных систем управления с несколькими нестационарными нелинейнос-тями, которые основаны на необходимых и достаточных условиях существования, обладающей необходимыми свойствами функции Ляпунова

- г из класса квадратичных форм. Причем эти условия будут установлены как в аналитической форме - форме частотных неравенств, так и в форме реализуемых на ЭВМ численных процедур.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Рассмотрим коротко содержание работы по главам.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

2. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка. Вестник Московск. гос. ун-та (матем., мех.), 1972, № 5, с.102-109.

3. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка. Докл. АН СССР, 1975, т. 222, № 2, с. 309-311.

4. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость систем третьего порядка с нелинейным нестационарным элементом. Научные труды Института механики МГУ, 1975, № 40,с. 48-64.

5. Алексеев А.С., Макарычева Д.Н., Чубаров М.А. Алгоритмы аналитического исследования устойчивости динамических систем на ЦВМ. В кн.: Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, с. 229-239.

6. Анапольский А.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.Н. Способы построения функций Ляпунова. В кн.: Итоги науки и техники. Общая механика. Т.2. - М.: ВИНИТИ, 1975, с. 53-III.

7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240 с.

8. Баркин А.И. 0 соотношении между двумя критериями абсолютной устойчивости. Автоматика и телемеханика, 1984, № 1, с. 3641.

9. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1981, № 7, с. 5-10.

10. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Метод нелинейного преобразования координат для исследования абсолютной устойчивостисистем управления. В кн.: Динамика неоднородных систем."Материалы семинара. М.: БНЙИСИ, 1982, с. 41-50.

11. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К.: Вища школа, 1983. - 512 с.

12. Валлеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. К.: Наукова думка. 1981, - 412 с.

13. Венец В.И. Непрерывный алгоритм отыскания седловых точек выпукло-вогнутой функции. Автоматика и телемеханика, 1984, № I, с. 42-47.

14. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974.- 336 с.

15. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979. 335 с.

16. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости (обзор). Препринт. М.: ВНИИСИ, 1981. - 40 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

18. Гантмахер Ф.Р., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. В кн.: Тр. Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Вып.1. - М.: Наука, 1966, с. 30-63.

19. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. - 400 с.

20. Дясури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979. - 299 с.

21. Джури Э., Ли Б. Абсолютная устойчивость систем с многими нелинейностями. Автоматика и телемеханика, 1965, т. 26, № 6, с. 945-965.

22. Джури Э., Цыпкин Я.З. Теория дискретных автоматических систем (обзор). Автоматика и телемеханика, 1970, № б, с. 5781.- но

23. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. I. Под общ. ред. Яблонского С.В., Лупанова О.Б. М.: Наука, 1974.- 437 с.

24. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислит, матем. и матем. физики, 1965, т.5, № 3, с. 395-453.

25. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

26. Зеленцовский А.Л. Применение методов теории абсолютной устойчивости для прогноза численности населения. В кн.: Методы исследования сложных систем. Труды конф. аспирантов и молод, спец. - М.: ВНИИСМ, 1981, с. 72-75.

27. Зеленцовский А.Л. О возможности улучшения оценки области устойчивости билинейных систем. В кн.: Методы исследования сложных систем. Труды семинара аспирантов и молод, спец.- М.: ВНИИСИ, 1981, с. 44-47.

28. Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с несколькими нелинейными нестационарными элементами. Автоматика и телемеханика, 1983, № 12, с. 20-30.

29. Каменецкий В.А., Молчанов А.П. 0 существовании функций Ляпунова для абсолютно устойчивых нелинейных нестационарных систем. В кн.: IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. - М.: ВИНИТИ, 1983, с.38.

30. Каменецкий В.А., Пятницкий Е.С. Итеративный метод построения функций Ляпунова и его численная реализация на ЭВМ.- В кн.: ЭВМ в задачах управления. Сб. трудов.- М.: Институт проблем управления, 1983, с. 61-74.

31. Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости.- Ill - Докл. АН СССР, 1977, т.223, № 3, с. 293-296.

32. Красносельский М.А., Покровский А.В. Об абсолютной устойчивости систем с дискретным временем. Автоматика и телемеханика, 1978, Ш 2, с. 42-52.

33. Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости.В кн.: Устойчивость движения. Аналит. механика. Управление движением. -М.: 1981, с. 156-169.

34. Красносельский М.А., Покровский А.В. Абсолютная устойчивость систем с несколькими нелинейными звеньями. Доклады АН СССР, 1983, т. 271, № 6, с. 1314-1316.

35. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

36. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.- 400 с.

37. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управленияс частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970. - 339 с.

38. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 272 с.

39. Левин А.Ю. Об устойчивости решений уравнений второго порядка. Доклады АН СССР, 1961, т. 141, № 6, с. I298-I30I.

40. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Гостехиздат, 1955. - 312 с.

41. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. - 184 с.

42. Либерзон М.Р. Новые результаты по абсолютной устойчивости нестационарных регулируемых систем (обзор). Автоматика и телемеханика, 1979, № 8, с. 29-48.

43. Либерзон М.Р. Абсолютная устойчивость одного класса следящихсистем. Автоматика и телемеханика, 1979, №12, с. 25-28.

44. Либерзон М.Р. Об абсолютной устойчивости систем третьего порядка с двумя нелинейными элементами. Вестник Московск. гос. ун-та (матем., мех.), 1980, № 3, с. 88-91.

45. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216 с.

46. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем. Прикл. матем. и механ., 1944, т.8, вып.З, с. 246-248.

47. Лурье А.И., Розенвассер Е.Н. 0 методах построения функций Ляпунова в теории нелинейных регулируемых систем. В кн.: Тр. 1-го Международного конгресса Международной федерации по автоматическое управлению, т.1. - М.: изд-во АН СССР, 1961, с. 709-722.

48. Мовчан Л.Т. Экспоненциальная устойчивость дискретных систем управления. Автоматика и телемеханика, № 3, с. 80-82.

49. Молчанов А.П. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нестационарными нелинейными элементами. Автоматика и телемеханика, 1979, № 3, с. 43-51.

50. Молчанов А.П. Равномерная устойчивость конечноразностных уравнений при параметрических возмущениях. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, № 12, с. 2250-2264.

51. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. I, П, Ш. Автоматика и телемеханика, 1982, № 1, с. 19-27; № 2, с. 17-28; № 3, с. 29-41.

52. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. М.: Наука, 1972. - 544 с.

53. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем управления со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 372 с.

54. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

55. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. - 454 с.

56. Попов В.М. Абсолютная устойчивость нелинейных систем автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1961, № 8, с. 961-979.

57. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

58. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования (обзор). Автоматика и телемеханика, 1968, № 6, с. 5-36.

59. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1970, № I, с. 5- 17.

60. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем. Свободные и вынужденные движения. Автоматика и телемеханика, 1970, № 3, с. 5-15.

61. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нелинейных импульсных систем с нестационарной нелинейностью. Автоматика и телемеханика, 1970, № 8, с. 50-58.

62. Пятницкий Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом. Автоматика и телемеханика, 1971, № I, с. 5-16.

63. Пятницкий Е.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях. Дифференциальные уравнения, 1973, т.IX, № 7, с. I262-1274.

64. Пятницкий Е.С., Скородинский Б.И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур. Автоматика и телемеханика, 1983, № II, с. 52-63.

65. Рахимов Г.Г. Устойчивость импульсных автоматических систем со многими нелинейностями. Изв. АН УзССР. Серия техн. наук, 1966, № 2, с. 84-88.

66. Розенвассер Е.Н. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 3, 304-313.

67. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. I. - М.: Наука, 1968, с. 7-66.

68. Скородинский В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. I. Автоматика и телемеханика, 1981,9, с. 21-29.

69. Скородинский В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. П. Автоматика и телемеханика, 1982, № 6, с. 87-94.

70. Филиппов А.Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов. Автоматика и телемеханика, 1980, № 8, с. 48-55.

71. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. - 368 с.

72. Фрадков A.JI. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта. Сибирский математический журнал, 1976, т. 17, №2, с.48-55.

73. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. - 309 с.

74. Цыпкин Я.З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем. Докл. АН СССР, 1962, т. 145, № I, с. 52-55.

75. Цыпкин Я.З. Абсолютная устойчивость положения равновесияи процессов в нелиненых импульсных автоматических системах.- Автоматика и телемеханика, 1963, т. 24, № 12, с. 1601- 1615.

76. Цыпкин Я.З. Частотные критерии абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем. Автоматика и телемеханика, 1964, т. 25, № 3, с. 281-289.

77. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем.- М.: Наука, 1973. 414 с.

78. Чубаров М.А. 0 критериях неотрицательности полиномов и определении областей абсолютной устойчивости. Дифференц. и интегральн. уравнения, Горький, 1979, № 3, с. 149-157.

79. Шепелявый А.И. 0 качественном исследовании устойчивости в целом и неустойчивости для одного класса амплитудно-импульсных систем. Докл. АН СССР, 1970, т. 190, № 5, с. 10441047.

80. Шепелявый А.И. Абсолютная неустойчивость нелинейных амплитудно-импульсных систем управления. Частотные критерии.- Автоматика и телемеханика, 1972, № 6, с. 49-56.

81. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств в тео- рии автоматического регулирования. Докл. АН СССР, 1962,т. 143, № 6, с. 1304-1307.-ив

82. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. Автоматика и телемеханика, 1967, № 6, с. 5-30.

83. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. 1,П. Автоматика и телемеханика, 1967, № 9, с.59-72; 1968, № 2, с. 81-101.

84. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. I. Общие частотные критерии. Автоматика и телемеханика, 1970, № 12, с. 5-14.

85. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. П. Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий. Автоматика и телемеханика, 1971, № 6, с. 25-34.

86. Якубович В.А. £ -процедура в нелинейной теории регулирования. Вестник Ленинградского гос. ун-та. Сер. физ., матем., астр., 1971, № I, с. 62-77.

87. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1975, с. 74-180.

88. Якубович В.А. Частотные методы качественного исследования нелинейных регулируемых систем. Abh. Acad. Wiss. DDR,1977, N 3, p.365-387.

89. Alexandrov V.V., R, Hing Corton, M. Marino Betancourt. Estabilidad absolute de los sistemas line ales de sequndo order con coefficientes variables. Investigacion operacional, 1977, N 20, p.21-37.- La Habana, Cuba.

90. Brockett R.W., Fory L.J. On the stability of systems containing a time-varying gain. Proceedings of the 2 Annual Allerton-и? Conference on Circuit and System Theory. University of Illinois, Urbana, 1964*

91. Kalman R,E. Ljapunov Function for the Problem of Lur'e in Automatic Control. Proceeding of the National Academy of Science of USA, 1963, v. 49, N. 2, p.201-205.

92. La Salle J,P. The Stability of Dynamical Systems. Bristol: Arrowsmitht, 1976. - 76p.

93. Molchanov A.P., Pyatnitskiy Ye.S# A Variational Method for Investigating Absolute Stability and Absolute Instability of Nonlinear Control Systems. Preprints of the 8th World Congress IFAC, Kyoto, Japan, 1981, v. 2, p.13-19.

94. Narendra K.S., Taylor J.H. Frequency Domain Criteria for Absolute Stability. N.Y.: Acad. Press, 1973. - 246p.

95. Pyatnitskiy Ye.S., Skorodinskiy V.I. Numerical Methods of Lyapunov Function Construction and their Application to the Absolute Stability Problem. Systems and Control Letters, 1982, v. 2, N. 2, p.130-135.

96. Reitmann V. Schwache Instabilitat im ganzen vto nicht-linearen Impulssystemen. Y/issenschaft liche Zeitschrift der Technischen Universitat, Dresden, 1977, Bd. 26, H. 6, s.1055-1057.

97. Venkatesh Y.V. Energy methods in time-varying system stability and instability analyses. Lect. Motes in Phys., v. 68, 1977, - 256p.