автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ систем управления с неопределённостью методом экстремальных отклонений

ООЭ4932Б1

На правах рукописи

Жермоленко Виктор Николаевич

АНАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬЮ МЕТОДОМ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2010

11 мдр т

003493261

Работа выполнена в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Александров Владимир Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Рапопорт Лев Борисович доктор физико-математических наук, профессор

Формальский Александр Моисеевич доктор физико-математических наук, профессор Либерзон Марк Рахмильевич

Защита состоится^ апреля 2010 г. в 14:00 часов на заседании

Диссертационного Совета Д 002.226.02

Учреждения Российской академии наук

Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Телефон Совета: (495) 334-93-29.

Адрес Института: 117997 г. Москва ул. Профсоюзная д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан 2010 г.

Учёный секретарь

Диссертационного Совета Д 002.226.02

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН.

кандидат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В реальных условиях параметры управляемых систем и действующих на них возмущений могут быть известны неточно или определены неоднозначно. Это приводит к тому, что, как правило, приходится учитывать неопределённость или неполноту описания систем, которая присутствует в их математических моделях. Информация о не полностью определённых параметрах может ограничиваться лишь границами областей их изменения, заданных, например, техническими допусками. В таких условиях приходится иметь дело с семейством систем, параметры которых могут принимать любые значения в заданных пределах; при этом говорят о системах с интервальной параметрической неопределённостью.

Проблема анализа и обеспечения устойчивости систем с неопределённостью занимает одно из центральных мест в теории и практике управления. Основополагающими в её исследовании были работы А.И. Лурье, М.А. Айзермана, В.А. Якубовича, Е.С. Пятницкого. В них упомянутая задача получила название задачи об абсолютной устойчивости. В последнее время интенсивно развивается более общий подход к обеспечению требуемых свойств систем по отношению к неопределённости, называемых робастностъю. Решению задач абсолютной и робастной устойчивости, робастного управления и стабилизации посвящено огромное количество работ, в их числе работы Я.З. Цыпкина, Б.Т. Поляка, В.Л. Харитонова, Л.Б. Рапопорта, В.В. Александрова, Ю. Аккер-мана, Б.Р. Бармиша и других исследователей.

Не менее актуальны задачи обеспечения динамической точности и подавления возмущений систем с неопределённостью. Точность характеризуется максимально возможными отклонениями фазовых координат или функций от них от надлежащих режимов. Впервые задача экстремального анализа точности систем с неопределённостью была рассмотрена Б.В. Булгаковым. Значительный вклад в её развитие внесён Н.Т. Кузовковым, Я.Н. Ройтенбер-гом, В.В. Александровым, Л.С. Гноенским, A.M. Формальским, Г.М. Улановым.

Важное значение имеет исследование колебательности систем с неопределённостью. Для одномерных систем п-го порядка Н.Х. Розовым, И.Т. Ки-гурадзе и В.В. Александровым предложена классификация систем по типу осцилляционных свойств их решений. Системы отнесены к одному из п классов, в том числе, абсолютно неколебателъные, абсолютно колебательные и колебательные системы разных типов.

Понятие динамической точности систем с неопределённостью по смыслу близко понятию динамической устойчивости упругих систем. Это открывает широкие возможности для новых приложений задачи Булгакова. Получение аналитических условий динамической устойчивости и гарантированных оценок максимальных отклонений систем с распределёнными параметрами -достаточно сложная задача, имеющая значительный теоретический и практический интерес.

Анализ подходов, используемых для её решения, свидетельствует о том, что в вопросах применения современных методов и результатов теории колебаний, робастной устойчивости и управления имеются пробелы. Так, в существующих методиках нормирования (оценки опасности) вибрации упругих конструкций - трубопроводов с пульсирующей транспортируемой средой не представлены способы определения максимально возможных амплитуд колебаний диагностируемых параметров: виброперемещений и виброскорости. Остаётся нерешённой и проблема отыскания наиболее опасных пульсаций давления среды в трубопроводах, приводящих к их колебаниям с максимальными амплитудами. Решение может быть получено с помощью редукции к задачам того же содержания для последовательности систем с сосредоточенными параметрами.

Тематика диссертации тесно примыкает к вариационному методу анализа абсолютной устойчивости, развитому Е.С. Пятницким и его учениками в ИПУ РАН. Утверждения, доказанные в диссертации с помощью и на основе задачи Булгакова с нефиксированным временем, дополняют и углубляют результаты, полученные вариационным методом Е.С. Пятницкого.

Развитие качественных методов анализа робастности различных динамических свойств систем управления с неопределённостью, получение аналитических и конструктивных критериев проверки их наличия по-прежнему остаются актуальными в теории робастных систем как с теоретической, так и с практической точек зрения. Актуальность темы работы определяется целесообразностью разработки метода анализа экстрелшльных режимов систем

с неопределённостью и нахождения их экстремальных отклонений; метода, позволяющего получать аналитические критерии колебательности, робастной устойчивости и стабилизации, динамической точности и управляемости. Актуальны и задачи повышения динамической устойчивости трубопроводов и разработки методики нормирования нх вибрации по наиболее опасному варианту.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом договора о научном сотрудничестве РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина с ОАО ГАЗПРОМ "ПРОМГАЗ".

Цель исследования состоит в разработке эффективного метода для исследования экстремальных режимов систем управления с нестационарной неопределённостью и его применении к решению теоретических и прикладных задач анализа колебательности систем, робастности их динамических свойств и выявления связей между ними. Метод назван методом экстремальных отклонений. Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:

1) исследование осцилляционных свойств решений систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью, классификация систем по признаку колебательности, то есть разделение систем на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;

2) построение траекторных воронок двумерных систем управления с нестационарной параметрической неопределённостью;

3) исследование абсолютной устойчивости, неустойчивости и полной управляемости двумерных систем управления с нестационарной параметрической неопределённостью, выявление связей между указанными динамическими свойствами;

4) экстремальный анализ динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, построение областей достижимости;

5) робастная стабилизация ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка;

6) исследование абсолютной устойчивости систем управления третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью:

7) разработка методики нахождения экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводе и расчёта его динамической реакции на экстремальные возмущения.

Методы исследования. Используется аппарат теории колебаний и устойчивости, теории управления н систем с переменной структурой, метод фазового портрета и метод Фурье.

Достоверность результатов основана на использовании апробированного математического аппарата, корректностью постановки задач, адекватностью исходных предположений и допущений, строгостью математических выкладок и доказанностью сформулированных утверждений. Ряд результатов включен в "Классический университетский учебник" МГУ им. М.В. Ломоносова по оптимальному управлению движением.

Научная новизна полученных результатов.

1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью. Метод позволяет получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые критерии их колебательности и неколебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивости, робастной стабилизации, управляемости и динамической точности. Метод состоит из двух этапов: а) анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, классификация множеств решений и разделение систем аналитическими критериями на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов; б) анализ экстремальных режимов колебательных систем разных типов на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.

2) Проведено полное исследование осцилляционных свойств двумерных систем с параметрической неопределённостью. Впервые в форме аналитических критериев произведена их классификация по признаку колебательности. Критерии абсолютной неколебательности, колебательности в положительном или/и отрицательном направлении позволяют осуществить глобальную отделимость соответствующих множеств решений систем.

3) Дифференциально-геометрическим способом синтезированы кусочно постоянные матричные управления, задающие ветви границ траекторных воронок двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью. Моменты переключений найдены в виде функций от параметров систем. Установлены аналитические критерии абсолютной устойчивости, полной неустой-

чивости и полной управляемости. Выявлена взаимосвязь между колебательностью, устойчивостью, неустойчивостью и управляемостью. Показано, что в условиях Гурвица абсолютно неколебательные системы абсолютно устойчивы и не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем — следствие критериев абсолютной устойчивости и неустойчивости.

4) В форме обратных связей найдены наихудшие возмущения, приводящие к максимальным отклонениям от нулевого положения систем второго порядка с внешним, а также аддитивно-параметрическим возмущением. Получены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем и определены их максимальные отклонения.

5) Решена задача о робастной стабилизации ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка. Разработаны два способа робастной стабилизации: минимаксный и с помощью скользящего режима.

6) Для одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределённостью установлен аналитический критерий неколебательностн по первой производной и произведена классификация систем по этому признаку. Методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понт-рягина получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости колебательных систем, основанный на использовании отображения Пуанкаре.

7) Метод экстремальных отклонений впервые применён к исследованию вибрации упругой конструкции — трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой.

Практическая значимость и реализация результатов.

1) Разработанный метод экстремальных отклонений позволяет исследовать важную прикладную проблему возможности возникновения резонансных процессов в системах с неопределённостью. Найдены наихудшие, с точки зрения обеспечения устойчивости, стабилизации и точности, воздействия на системы и экстремальные движения, осуществляющие максимальные отклонения от желаемого положения.

2) Метод экстремальных отклонений может быть применён для исследования широкого класса систем. В качестве практического приложения, иллюстрирующего возможности и эффективность метода, решены задачи определения условий динамической устойчивости участка трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой и гарантирующем оценивании диагностируемых при нормировании вибрации параметров.

3) Впервые поставлена и методом экстремальных отклонений решена задача нахождения экстремальных пульсаций давления среды в П-образном трубопроводном элементе. Установлены аналитические условия его динамической устойчивости, определяющие предельную амплитуду пульсации давления среды, и аналитические выражения для максимально возможных амплитуд виброперемещений, виброскорости, динамической составляющей изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.

4) Полученные результаты позволяют прогнозировать опасное развитие вибрации упругих систем, совершенствовать методологию её нормирования и могут быть рекомендованы для разработки методики нормирования вибрации по наиболее опасному варианту, направленной на увеличение запаса прочности и сроков эксплуатации упругих конструкций.

5) Ряд результатов работы принят для практического использования ОАО ГАЗПРОМ "ПРОМГАЗ".

Основные положения, выдвигаемые на защиту:

1) Метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с неопределённостью при наличии внешних или/и параметрических возмущений.

2) Аналитические критерии абсолютной неколебательности, колебательности, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости, полной управляемости двумерных систем с параметрической неопределённостью. Исследование системных связей между перечисленными динамическими свойствами.

3) Аналитические решения задач анализа точности систем управления второго порядка с внешним и аддитивно-иараметрическим возмущениями.

4) Два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима.

5) Аналитический критерий абсолютной неколебателыюсти систем третьего порядка с параметрической неопределённостью. Конструктивный критерий их абсолютной устойчивости, полученный методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понтрягина.

6) Методика нахождения экстремальных пульсаций давления в П-образном трубопроводе и расчёта его динамической реакции, позволившая получить аналитические условия динамической устойчивости, выражения для максимальных амплитуд виброперемещений, виброскорости, изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.

6

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• на V, VI, VII, IX Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 1998 г., 2000 г., 2002 г., 2006 г.;

• на XIX Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Москва, МГУ, 1998 г;

• на V Международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах", Астана, Евразийский университет, 2006 г.;

• на III и VIII Всероссийских конференциях ''Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России", Москва, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 1999 г., 2010 г.;

• В ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН:

- на Московском семинаре "Теория автоматического управления" под рук. проф. Б.Т. Поляка;

- на семинаре лаборатории динамики нелинейных процессов управления под рук. проф. Л.Б. Рапопорта;

- на семинаре лаборатории теории систем с распределёнными параметрами под рук. проф. А.Г. Бутковского;

• В ИПМех им. А.Ю. Митинского РАН:

- на семинаре "Механика систем" при научном Совете РАН по механике систем под рук. акад. В.Ф. Журавлёва и акад. Д.М. Климова, 2009 г.;

- на семинаре "Теория управления и динамические системы" под рук. акад. Ф.Л. Черноусько, 2009 г.;

- на семинаре "Проблемы механики сплошных сред," под рук. проф. C.B. Нестерова и проф. Д.В. Георгиевского, 2008 г.;

• В Институте машиноведения им. A.A. Благонравова РАН:

- на Московском семинаре молодых учёных по проблемам машиностроения под рук. чл.-корр. H.A. Махутова, 2009 г.;

• В МГУ им. М.В. Ломоносова:

- на Московском семинаре "Механика деформируемого твёрдого тела";

- на семинарах "Управление в механических системах", "Нелинейные задачи механики управляемых систем" кафедры прикладной механики и управления;

• В Университете Висконсин-Мэдисон (США):

- на семинарах факультетов инженерной механики под рук. проф. В.Я. Люмельского и вычислительной техники под рук. проф. Б.Р. Бармиша.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 30 научных работах, в том числе 12 статей — в рецензируемых журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Структура и объём работы. Представляемая работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы и включает 240 страниц, 35 рисунков. Библиография содержит 183 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении рассмотрены некоторые вопросы теории колебаний, устойчивости и точности систем с неопределённостью, близкие к изучаемым в диссертации. Дан обзор результатов, относящихся к теме диссертационной работы, приводится обоснование её актуальности, сформулированы цель и основные задачи, дана общая характеристика работы.

В первой главе метод экстремальных отклонений разработан для двумерных систем с параметрической интервальной неопределённостью, движение которых описывается однородными нестационарными дифференциальными уравнениями:

x = A{t)x, (1)

где t 6 R+ = [0, оо); х = (xi,x2)j € R2 — вектор состояния, элементы atjM (hj = 1т 2) матрицы A(t) — это либо фактические управляющие воздействия, либо параметрические возмущения, либо интервальная параметрическая неопределённость, отображающая неполноту информации в описании системы. Об элементах a;j(i) известно лишь, что это измеримые ограниченные функции a~j < a,ij{t) < afj, или в матричной форме:

А~ < A{t) < А+. (2)

Линейные по управлениям (возмущениям) A(t) и фазовым координатам х системы вида (1) называются билинейными.

Через Р = [a71,an]x[a72,aÎ2]xla2iiaÎi]x[a22!a22] обозначен параллелепипед в пространстве Оапапс^агг параметров системы (1), представляющий собой область значений управления (возмущения) A(t).

Совокупность матричных управлений A(t), удовлетворяющих ограничениям (2), обозначена через

П = {Л(0 : А~ < A(t) <А+& A(t) € Р}.

Ставится цель: разработать метод, позволяющий получить для двумерных билинейных систем (1), (2) аналитические, т.е. выраженные через граничные значения afr критерии абсолютной неколебагелыюсти, колебательности разных типов, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости систем (1), (2) в классе Í1 и исследовать системные связи между этими динамических свойствами.

Инструментом достижения цели служат траекторные воронки -Xn(z°) двумерных билинейных систем (1), (2):

ЛГп(х°) = {i4(í,a:0) : А(-) € fi, t 6 R+},

где Ха(Ь,х°) - решение системы (1), соответствующее конкретной функции А(-) 6 Í2 и начальному условию х°.

С точки зрения теории управления траекторная воронка -Хп(х°) представляет собой множество достижимости двумерных билинейных систем (1), (2) из точки х°.

Получено полное решение следующих задач:

1. Колебательность двумерных билинейных систем.

2. Особые множества и их связь с динамическими свойствами.

3. Синтез управлений для границ траекторных воронок.

4. Траекторные воронкн двумерных билинейных систем.

5. Абсолютная устойчивость.

6. Полная нестойчивость.

7. Полная управляемость билинейных систем.

• Колебательность двумерных билинейных систем. Исследованы осцнлляционные свойства двумерных билинейных систем (1), (2), произведена их классификация и разделение в форме аналитических критериев на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов.

Теорема 1. Для абсолютной неколебательности двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

min DÍA) = (6i + 47_) > О,

АеР '

где D(A) = tr2А - 4det А = ¿2(A) + 4у(А), ¿(A) = (a¡¡ - 022), 7(А) = ai2a2i,

б- =

°11 — а22' еСЛИ °11

— Д221, сиш ип — и22 ^ и,

О, если а^ — а22 < 0, а^ — а^2 > О;

г.- „ + „+„+'

7- = тт{а12а21, а12а^, а^2о21, а^а^}. О

• Синтез управлений для границ траекторных воронок. Экстремальные свойства ветвей границ траекторных воронок систем второго порядка исследовались в работах А.Г. Бутковского и И.А. Султанова, где ветви границ воронок названы максимум- и минимум-оптимальными траекториями.

При условии

тт<1е1;Л>0, (3)

ЛеР

обеспечивающем отсутствие у двумерных билинейных систем (1), (2) особых множеств, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Синтез экстремальных матричных управлений А1(х) и Ак{х), задающих левые и правые ветви границ траекторных воронок имеет вид:

аи(х) = сц + (х)], = сц +

а[2(х) = Сц> + ¿^^[-¡^(х)], а?2(х) = Си + ¿^фг^М], а^(х) = с21 + ¿2^п[х1/Г(а:)], = с2\ + (^^[-х^^х)],

а^2(х) = с22 + сг223Еп[х2^(х)], а^{х) = с2 2 + ^^[-хг'^а;)],

(4)

где а, = Щ + а"), <1и = - а'); 1?(х) = (^х),

<7~ и — крайние правый и левый векторы пучка опорные прямоугольнику Qi = [а",, а+[] х а£], (г,.; = 1,2).

Синтез (4) осуществлён диффереициально-геометрическим способом, основанным на результатах И.А. Султанова и А.Г. Бутковского.

Две кусочно постоянные системы х = А1{х)х и х = Ак(х)х, где А1(х), Ак(х) определены в (4), названы в работе экстремальными системами. Онн описывают поведение ветвей границ траекторных воронок. <0

• Траекторные воронки двумерных билинейных систем.

Синтез (4) позволяет построить траекторные воронки двумерных билинейных систем (1), (2), (3). Их построение производится наложением друг на друга фазовых портретов двух независимых экстремальных систем х = А1'(х)х и х = Ак{х)х.

Показано, что абсолютно неколебательные билинейные системы (1), (2), (3) подразделяется на следующие два вида:

а) max tr,4 < 0, 6) min tr.4 > 0. AeP АеР

На рис. 1 представлены траекторные воронки абсолютно неколебательных систем (1). (2), (3) вида а) и b). Траекторные воронки -Xq(x°) на рис. 1 и всех последующих заштрихованы.

На рис. 2а (26) изображён участок траекторной воронки Хп(х°), х° = (—1, 0) абсолютно колебательных в отрицательном (положительном) направлении систем (1), (2), (3).

Каждая из ветвей границ траекторных воронок на рис. 2 либо имеет форму спирали, скручивающейся или раскручивающейся но (против) часовой стрелке, либо замкнута, при этом другая — незамкнута. Решение экстремальной системы х = А1(х)х, х = Ан(х)х, которой отвечает замкнутая ветвь границы воронки, будет периодическим. Одна из ветвей — максимум-оптимальная, а. другая — минимум-оптимальная траектория. Абсциссы точек первого пересечения максимум (минимум)-оптимальной левой пли правой ветви границы траекторной воронки Хп(х°). х = (—1,0) с полуосью ОХ* на рис. 2 и последующих обозначены через х\'1 или х\,в {х™1 или Это экстремальные

значения функционалов задач Булгакова с нефиксированным временем о максимальном (минимальном) отклонении. Ветви границ воронок других осцил-ляционных типов будут комбинациями линий, изображённых на рис. 1. 2.

Рис. 3.

На рис. 3 изображены траекторные воронки колебательных в отрицательном направлении двумерных систем (1), (2), (3), а на рис. 4 — колебательных в двух направлениях систем.

с! А'г

и X,

Траекторные воронки всех осцилляционных классов двумерных систем (1), (2), (3) дают полное представление о динамических свойствах и служат основой для исследования абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляв мости. О

• Абсолютная устойчивость двумерных билинейных систем. В работе доказаны следующие утверждения.

Теорема 3. Для абсолютной устойчивости абсолютно неколебательных двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица:

тахггЛ = (аТ, + а£,) < 0, тт<М.,4 > 0, (5)

АеР а&р

т.е. положительное решение имеет проблема М.А. Айзермана.

Для абсолютно колебательных, колебательных в отрицательном (положительном) направлении [для колебательных в двух направлениях] двумерных билинейных систем (1), (2), (5) сформулировано следующее условие Булгакова:

х*а < 1 «й < 1) [тах{1^, х?'< 1], (6)

где х{11 (х{т) — координата точки первого пересечения решения экстремальной системы х = Аь(х)х (х = Ак(х)х), х° = (—1,0), задающей макснмум-онтимальиую ветвь границы траекториой воронки Хп(х0) с положительной полуосью ОХ*.

Теорема 4. Для абсолютной устойчивости колебательных двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения уыовий Гурви-ца (5) и условия Булгакова (6).

Условия Булгакова (6) выражены через граничные значения а?- (г, ] = 1,2) неопределённых параметров систем (1), (2).

• Полная неустойчивость двумерных билинейных систем.

Исследование неустойчивости аналогично предыдущему.

Теорема 5. Дм полной неустойчивости абсолютно неколебательных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения "антиусловий" Гурвица:

тшиА = (аГ, + а™) > 0, ттсМ А > 0. (7)

А€Р 1 и Аер

Для абсолютно колебательных или колебательных в отрицательном (положительном) направлении [для колебательных в двух направлениях] билинейных систем (1), (2), (7) сформулировано противоположное (6) ''антиусловие" Булгакова:

х™к > 1 (х\п1 > 1) [шш{1™й, > 1], (8)

где х™н (х- координата точки первого пересечения решения экстремальной системы х = Ак(х)х (х = Аь(х)х), х° — (—1,0), задающей минимум-оптимальную ветвь границы траекторной воронки Хп(д:0) с положительной полуосью ОХ*.

Теорема 6. Для полной неустойчивости колебательных систем (1), (2)

необходимо и достаточно выполнения антиусловий Гурвица (7) и надлежащего антиусловия Булгакова (8).

• Полная управляемость двумерных билинейных систем.

При исследовании особых множеств систем (1), (2) получено, что анализ полной управляемости систем содержателен при условии (3). При этом абсолютно неколебательные системы (1), (2) не вполне управляемы. Абсолютно устойчивые или полностью неустойчивые системы (1), (2), (3) также не могут быть полностью управляемыми. Поэтому для полной управляемости систем (1), (2), (3) необходимо, чтобы они были колебательными, но не были ни абсолютно устойчивыми, ни полностью неустойчивыми.

Теорема 7. Для полной управляелюсти колебательных билинейных систем

(1), (2), (3) необходилю и достаточно, чтобы траекторная воронка Хп(х°), х° = (—1,0) содержала как уходящие в бесконечность, так и стремящиеся к началу координат фазовые траектории.

В качестве следствий из теоремы 7 получены критерии полной управляемости колебательных систем всех типов.

Теорема 8. Для полной управляемости колебательных в отрицательном

(положительном) направлении билинейных систем (1), (2), (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

х\'ь > 1, х^ < 1 {х{т > 1, х™1 < 1). (9)

Установлено, что граница области полной управляемости колебательных систем (1), (2), (3) образована границами областей её абсолютной устойчивости и полной неустойчивости, а сама область управляемости расположена между ними.

Таким образом, критерий полной управляемости колебательных систем (1),

(2), (3) представляет собой следствие критериев их абсолютной устойчивости и полной неустойчивости.

• Абсолютная устойчивость системы управления второго порядка с нелинейным нестационарным элементом.

Методом экстремальных отклонений получена аналитическая форма критерия абсолютной устойчивости системы

у = Ау + М<7, 0. о- = (с. у), 0 < *)(Т < ко3, (10)

где А — постоянная (2 х 2) гурвицева матрица, Ь и с — постоянные (2 х 1) векторы, у — фазовый вектор.

Е.С. Пятницкий показал, что абсолютная устойчивость нелинейной системы (10) эквивалентна абсолютной устойчивости билинейной системы

y = Ay + bu(t)a, а = сту = {с,у), (11)

в классе ограниченных измеримых функций U: 0 < u(t) < к.

В силу управляемости пары {А, 6} существует линейная замена переменых у = Lx, с помощью которой система вида (11) приводится к так называемой "фробениусовой" форме

* = (12) ¿2 = -(е + 7v(t))xi - 2(q + ßv(t))x2,

где а = —\trА + ß, ß = -|бтс = -\{b,c) = f^cj + 62c2), e = det^ + 7,

MI < 1;

7 = -\{Ab - (trA)b, c) = -f (ацЬ2С2 + t^iCi - a1262C! - a2i6ic2).

Теорема 9. Для абсолютной устойчивости колебательной системы (12) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица:

а > |0|, £ > 7 (13)

и условия Булгакова:

ехр{-[(а + /?)^ + (а-/3)^]}А/Щ<1, (14)

u>i Ш2 У £ — 7

где

farcctgесли £>(!)< 0,

,, , ( arcctgl{ß'a}+2li£, если ö(—1) < О,

""Л®™ -л„>u,

D{v) = (а + ßv)2 - 4(е + ^v), Ф1 Ф>

— = 7, если £>(1) = 0, — = 7, если£>(-1)=0. О

Wi üJ2

Во второй главе метод экстремальных отклонений развивается для неоднородных систем второго порядка: сначала для систем с внешним возмущением, а затем для систем с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями.

• Методом экстремальных отклонений решена задача анализа точности колебательной системы второго порядка с внешним возмущением

(15)

¿2 = —кх 1 — 2ах2 + bv,

«(■) 6 V ={»(•): К)1<1}.

и исследована зависимость её решения от начальных условий. Здесь к > а2, а > 0, 6 > 0 — постоянные коэффициенты, и(-) — кусочно непрерывная ограниченная функция.

Цель: найти максимальные возможные отклонения

Mt= sup \xi(v,t,x*)\ (г = 1,2), (16)

vOeV,te[o,oo),i°eG

а также реализующее их наихудшее возмущение и исследовать зависимость решения задачи от начальных условий х° 6 G, где G - прямоугольник с центром в начале кооординат.

Средство: решение получено с помощью вспомогательной задачи Булгакова с нефиксированным временем:

xi(v, £i,x°) —> max (17)

xi(to) = -oq < 0, x2{t0) = 0, xj(ii) = b0 > 0, x2(«i) = 0, x2(t) ф OVi € (i0,ii), геометрический смысл которой состоит в том, что ищется максимальный размах колебания координаты xi(v(-), t, на "полупериоде" между двумя последовательными экстремумами.

Наихудшее возмущение, доставляющее решение задаче (17), найдено в форме обратной связи, т.е. в виде синтезирующей функции, которая получена тем же способом, что и экстремальные управления для ветвей границ траекторных воронок в первой главе. При этом в каждой точке максимум-оптимальной ветви границы траекторной воронки Xv(x), на которой осуществляется решение задачи (17), угловой коэффициент касательной

dx2 Xi v

-— = —2а — к--!- о—

ах 1 Х2 Х2

16

принимает максимальное значение, из чего следует, что наихудшим будет возмущение ti*(x) = sign {22}.

Способ синтеза экстремальных управлений, использующий выражение для углового коэффициента развит в работах A.M. Формальского н Э.К. Лавровского.

Функция v*(x) доставляет решение и аналогичной (17) экстремальной задаЧе; xi(v,tux°) - min (18)

v(-)iV

n(io) = b0 > 0, x2(t0) = 0, Xi(ti) = -a, < 0, Xi(t]) = 0, x2(t) ф 0 Vi 6 (t0lti).

Наихудшее возмущение v' = sign (x2(i)} — кусочно постоянная периодическая функция, частоташ = у/к - а2 которой совпадает с частотой собственных колебаний, т.е. является резонансной.

В результате последовательного решения задач Булгакова (17), (18) получена экстремальная траектория xv-(t,x°) с максимальными амплитудами {а*}, {Ь,} (г = 0,1,2,...) координаты x\(v*, t, х°). Между а; и имеют место зависимости:

b, = Aa, 4- b{ 1 + A)jk, al41 = Ab, 4- 6(1 - A)/fc, где A = exp(-7ra/w), и = y/k — a2.

Эти соотношения определяют точечное отображене Пуанкаре полуоси ОХ^ [OXf) в себя. Неподвижными на прямой переключения ОХ\ (х2 — 0) будут точки: (—а*,0), (Ь\0) где

k \1 — ехр(-7га/и>)/ к 2ui

Теорема 10. В системе (15) при воздействии наихудшего возмущения v* = sign {х2} устанавливаются автоколебания, которые отображаются на фазовой плоскости устойчивым предельным циклом С„, проходящим через неподвижные точки (±а*,0). Область Q,, ограниченная циыом С,:, это область достижимости системы из любой точки х £ Q,..

Эта теорема устанавливает связь между теорией автоколебаний и теорией накопления возмущений. Максимально возможные значения функционалов J\ = cix 4- с2х, J2 = с\х2 + с2х2 также достигаюсь на предельном цикле Cv.

Параметрические уравнения предельного цикла С,..

= (т^и) о < t < 5, ы = ч^?.

b , 7та

(19)

Ml = sup \x2(v,t,x°)\ =

i-()eKie(o,oo),x0€G vfe

Решение задачи (10) анализа точности системы (15) для любой области б С <5,, имеет вид

М1 = вир | жг(и, ж°)| = а* =

«(•)€К,е€[0,оо),1°бС

Ь Г 2 ехр(—^ агсс±д £) 1 — ехр(—7га/ш)

Если начальная точка расположена снаружи замкнутой области то последовательные максимальные (а вместе с ними и минимальные) амплитуды монотонно убывают. При этом максимум-оптимальная (внешняя) ветвь границы траекторной воронки Х„(х°) наматывается снаружи на предельный цикл а минимум-оптимальная (внутренняя) ветвь через конечное число полувитков входит внутрь области <3„ и заканчивается на особом отрезке 2, т.е. в '"зоне залипания". Траекторная воронка Х„(х°), х° изображена на рис. 5.

Рис. 5.

• Полученные результаты использованы для решения задачи анализа точности линейной системы второго порядка вида

у = Ay + bv,

где А — постоянная гурвнцева матрица (2 х 2) с комплексными собственными числами, b — постоянный столбец, пара {Л, 6} — управляема, v(-) £ V —

ограниченное возмущение.

Для этой системы решена аналогичная (1G) задача анализа точности, т.е.

найдены максимальные возможные отклонения

М,-= sup M«,i,y°)| (г =1,2)

i'(-)ev,fe[0.oo),»°€G

и реализующее их наихудшее возмущение.

18

• Затем метод экстремальных отклонений распространён на решение задачи анализа точности системы второго порядка с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями

х + 2ах + [А; + av\x = bv + dw, (20)

где v(-), w(-) — возмущения разной природы, принадлежащие множеству кусочно непрерывных ограниченных функций:

«(■),«(■) е К = {«(•),«,(•) : I «(•) |< 1,1 Ц-) |< 1}.

Постоянные величины а, к, а удовлетворяют ограничениям 0 < а < к, 0 < а < \Jk — а, в силу которых система (20) колебательна. Величину d можно считать неотрицательной.

Требуется найти максимальные возможные отклонения

Mi= sup |х(г%,{)|,

«(•)6V,teio,=c),x°eG ^

М2 = sup \x(x°,v,t)\.

«(■)eV,te|o,oc),x°6G и реализующие их наихудшие возмущения.

Для ограниченности максимальных отклонений (21) необходимо и достаточно потребовать выполнение критерия (14) абсолютной устойчивости однородного уравнения ,, , ч ' х + 2ах + [к + av\x = 0, (22)

в классе возмущений ii(-) € V. Критерий (14) применительно к уравнению (22)

имеет вид .-

ехр(—аТ)у jjj—^ < 1, (23)

Т = + i/i+/w+, гр~ = arcctg(a/u>~), = arcctg{—a/uj+),

и>~ = \/к — а — а2, и>+ = \/к + а — а2.

Наихудшие для системы (20) возмущения v*,w*, как и выше, получены в виде обратной связи, т.е. в форме синтеза, который осуществлён тем же способом, что и ранее. В результате найдено, что v* = sign{x(b — ах)}, w* = signx.

Решение задачи анализа точности системы (20) аналогично предыдущему. Остаётся в силе теорема об автоколебаниях в системе (20), предельном цикле и области достижимости.

Резонанс в системе (20) при наличии только внешнего возмущения w(-) (v(-) = 0) рассмотрен выше в ходе решения задачи анализа точности системы (15). Оценки максимальных отклонений системы (20) при v(-) = 0 получаются из (19) подстановкой величины d вместо Ь.

19

Сначала решена задача анализа точности системы (20) под воздействием только наихудшего аддитивно-параметрического возмущения:

v*(x) = sign {x(b — ах)} в отсутствие внешнего возмущения (w(-) = 0).

При х < Ь/а наихудшее возмущение имеет вид v* = sign {¿}. Возможны две ситуации: предельный цикл С* может пересекать прямую переключения х = Ь/а либо не пересекать. Если предельный цикл С* её не пересекает, то в таком случае задача анализа точности системы (20) имеет аналитическое решение. Использование отображение Пуанкаре полуосей ОХ~ и ОХ+ в себя позволило получить аналитические выражения для неподвижных точек х~ и х+, то есть точек пересечения предельного цикла С* с полуосями ОХ\

____Ь {е~аТ~(1 + е~аТ+) 1 + е~аГЛ

* - 1 _ е-а(Т-+т+) ^ Лг-ьа + к — а )'

(24)

+ _ Ь (е-аТ+(\ + е-аТ~) 1 + е~аГ+ \

Х ' 1 - е-«(Г-+г+) ^ к_а + к + а J >

где Т~ = 7r/w~, Т+ = 7г/а>+, Т~ -I- Т+ - период наихудшего возмущения v* = sign {¿(t)}.

Найдены параметрические уравнения предельного цикла С*, из которых получены аналитические выражения для максимально возможных отклонений координаты и скорости:

М[ = sup |х(х°, v, i)| = тах{|аГ|, х+},

м,хо€Ссд: (25)

— sup | х(х°, v, ¿)] = max {| х~\, х+}, v,t,xaeGcQ'

где х~ и х+ определены формулами (24), а х~, х+ равны: х- = -у/к^Б (х+ + ехр(-^ arcctg

х+ = —у/к + а (х~ + j^) ехр(-^г arcctg

Этот результат сохраняется и в случае любой области начальных условий, находящейся внутри предельного цикла С*.

Исследование обобщённого резонанса при v = v*, w = w* проводится по той же схеме, что и при v = v*, w(-) = 0. Все утверждения и результаты сохраняются с изменениями, состоящими в том, что при 6 > 0 (Ь < 0) в полученных формулах следует вместо величины 6 подставить b + d(b — d). Для

20

максимальных отклонений системы (20) при обобщённом резонансе V = V*, ш = ги* остаются справедливыми оценки вида (25).

• Далее метод экстремальных отклонений использован для робастнон стабилизации ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы управления второго порядка

= (26) X2 = -[1 + + и.

Относительно параметрического возмущения V и внешнего управления и предполагается лишь, что это кусочно непрерывные ограниченные функции, ресурсы которых описываются параметрами ц и Л:

"(■) € V = М-) : | *(-) |< /х}; «(•) € и = {«(•) : | «(•) |< А}.

Предложены два способа решения задачи робастной стабилизации: минимаксный и с помощью скользящего режима.

В первом способе в качестве математической модели управления в конфликтной ситуации принята схема позиционных дифференциальных игр. Метод экстремальных отклонений применён к решению двух вспомогательных экстремальных задач с нефиксированным временем, образующих дифференциальную игру: минимаксной и максиминной. Выведены конструктивные необходимые и достаточные условия оптимальности поведения игроков в указанных задачах и доказано существование седловой точки вспомогательной дифференциальной игры. Построена оптимальная минимаксная стабилизирующая стратегия управления. Исследовано поведение на фазовой плоскости экстремальных траекторий, соответствующих решению вспомогательных минимаксной и максиминной задач. Получены следующие результаты.

- В форме синтезирующей функции найдено наихудшее возмущение:

и*(х) = —дп{х 1X2}.

- Если 0 < ц < 1/2, то синтез минимаксного стабилизирующего управления имеет вид: й*(х) = $гдп{аГг}, : Хг^-) = 0 (г = 0,1,2,.... оо),

при этом найденное управление не использует информацию о величине р, ограничивающей ресурс возмущения г>(-) € V, то есть является робастным.

- Показано, что в системе (26) при и = й*(х), V = ь"(х) существует неустойчивый предельный цикл С*, который ограничивает на фазовой плоскости область её робастнон стабилизации <2* = ш(С*. Точками пересечения цикла С*

с осью ОХ\ служат точки: (±а*,0), где а* = Ь" =

21

- При 1/2 < ц < 2/3 синтез миннмаксного робастного стабилизирующего управления имеет вид:

- При р > 2/3 минимаксная робастная стабилизация невозможна.

Второй способ робастной стабилизации основан на использовании свойств

систем с переменной структурой, в частности, свойств скользящих движений по линии или поверхности переключений. Из работ С.В. Емельянова и его коллег, А.Ф. Филиппова, В.И. Уткина и ряда других исследователей известно, что преднамеренное введение в стабилизируемую систему скользящего режима является эффективным средством наделить её желаемыми свойствами. Второй способ позволил построить область робастной стабилизации системы (26) для любых значений ц - ресурса возмущения и(-) € V. Получены следующие результаты.

- Стабилизирующее робастное управление второго способа стабилизации системы (26) выбрано в форме релейного синтеза

который также не использует информацию о величине р.

- Среди движений системы (26) при и = ие{х), V = ь*(х) есть скользящее движение, которое происходит вдоль прямой разрыва в = х\ 4- ех2 = О релейного управления ие(х). Финальная стадия процесса стабилизации всегда происходит в скользящем режиме. Робастное управление щ(х) обеспечивает требуемые свойства системы (26) за счёт наличия на прямой его переключения 5 = 0 отрезка скользящего движения.

- Для траекторпой воронки Х,,(ха), и = иЕ(х), «(•) € V зона скольжения представляет собой отрезок:

служащий отрезком скольжения для максимум-оптимальных ветвей границы.

— В системе (26) при и = иЕ(х), V = у*(х) также существует неустойчивый предельный цикл С-, ограничивающий на фазовой плоскости область робастной стабилизации С?£ = ййСг системы (26), рис. 6.

й*{х) = з1дп{х2}, и : х2{и) = 0 (г = 0,1,2,..., оо).

О

—А, если $ = х2 + £Х1 >0, е > 0, А, если в = х2 + £Х1 < 0, и(0) = 0,

Рис. 6.

— Точки (±сС,0) пересечения предельного цикла Се с осью ОХ\ определяются по формулам: а* и — (З+з^кР1)) ■ ^ частности, получено, что если 0 < ц < 2/3, то область робастной стабилизации системы (26), построенная с помощью релейного робастного регулятора ие(х), находится внутри области (}*, полученной выше для данного случая посредством минимаксного закона управления й*(х).

— Если £ —> 0, то а* —» а*, то есть С£ —> С*.

— Результат исследования влияния величины параметра ц, ограничивающего ресурс возмущения ь(-) € V, на структуру области робастной стабилизации <3£ системы (26), отвечающей релейному стабилизирующему управлению и = щ(х), представлен на рис. 7.

Рис. 7.

В третьей главе положения метода экстремальных отклонений распространены на системы третьего порядка с параметрической неопределённостью, описываемые дифференциальными уравнениями с коэффициентами нелинейно зависящими от произвольного ограниченного возмущения:

¿1 = х2,

х2 = х3, (27)

¿з = -r(v)xi - q{v)x2 - p(v)xз, « = «(-)€ V = М-): М)|<1}. где v(-) € V — возмущение, о котором известно лишь, что оно измеримо и ограничено; функции p{v), q[v), r(v) таковы, что для уравнений (27) с любой начальной точкой i(io) = х° и любым возмущением v(-) G V, t > ¿о выполняются условия Каратеодори существования и правосторонней единственности решения, например, p(v), q{v), r(v) — кусочно непрерывны по v 6 [—1,1], кроме того, удовлетворяют некоторым условиям, сформулированным в процессе исследования.

Цель состоит в получении критерия абсолютной устойчивости системы (27) с функциональным включением в классе V.

Необходимыми для абсолютной устойчивости системы (27) будут обобщённые условия Гурвица

min r(v) > 0, min q(v) > О, min [p(f)<7(v) - г(и)1 > 0. (28)

ue(-I,l| »£(-1,11 г>б(—1,1]

Доказано следующее утверждение.

Лемма 1. В условиях (28) не стремиться к нулю могут только те решения системы (27), которые бесконечное число раз пересекают Л или IV четверть плоскости х2 = 0.

Получен аналитический критерий абсолютной неколебательности по производной = xi системы (27), смысл которого состоит в том, что при всех постоянных v 6 [—1,1] собственные значения матрицы системы (27) должны быть действительными, а области их значений не должны пересекаться.

Теорема 11. Для абсолютной неколебательности по производной i\ = xi системы (27), (28) необходимо и достаточно выполнения неравенств:

а) max D(v) < О, »€1-1,11

б) max Ai(v) < min A2(v), (29)

V6|-1,1] - ue(-i,i] w v ;

в) max A2(i>) < min Аз(«), «/€[-1,1] </€[-1,1]

где -А3(и) < —Л2(и) < —Ai(v).

Для абсолютно неколебателыюй по производной х\ = хч системы (27) критерием её. абсолютной устойчивости служат условия Гурвица (28), то есть проблема М.А. Айзермана также имеет положительное решение.

Для колебательной по производной i\ = х2 системы (27), (28) корректна задача Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным временем:

[*?(«(•), Гь х°) + xl(v(-), Гь х0)} - max,

(30)

x°(ip) : (arj(i°) = cos^j, :r2(i0) = 0, x3(t°) = -8шу>), где 0 < < i/з < 7г, Ti = Ti(<p) — первый после t° нуль координаты

Для отыскания наихудшего возмущения V® использован принцип максимума Понтрягина. Показано, что для нелинейных по v функций p(v), q(v), r(v) остаётся в силе предложенная В.В. Александровым для линейного случая процедура сведения задачи Булгакова (30) к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений шестого порядка, образованной уравнениями исходной и сопряжённой систем. Эта система осуществляет отображение дуги Е единичной полуокружности в нижней полуплоскости x-i = 0, где Е :

xi = cos ifi, Х2 = 0, хз = — sin <р, 0 < < <р < ж в непрерывную кривую Gg б верхней полуплоскости х2 = 0.

В момент Ti(tp) попадания решения задачи Коши на верхнюю полуплоскость Х2 = 0 определена функция 7(у>) : 7 = arcctg стью определения ж] и областью значений [0,7° Функция 7(1/9) непрерывна и монотонно убывает от 70 до 0.

Возможны только следующие три случая:

а) <р° = 0, 7° < 7г; b) = 0, 7° = 7г; с) </>° >0, 70 = тт.

В результате решения задач Коши определяются наихудшие возмущения

1£(t) для всех 0 < ip° < ip < 7г, а также кривая Ge и график функции 7(</?),

26

-«Дпм,«^))] с обла"

где 7° = 7° < т-

то есть устанавливается отображение Е Се- Возможный вид графиков функций 7{(р) в трёх указанных случаях а), Ь), с) представлен па рис. 8.

У

* * *

О Р1Р2 <Рз 7Г а)

О 2 VI * Ь)

Рис. 8.

О <р1 7Г

с)

Через 1р\, на рис. 8 обозначены абсциссы пар точек графиков, симметричных относительно биссектрисы 7 = </>.

Использование отображения Е с учётом симметричности поля

фазовых скоростей системы (27) позволило получить отображение Пуанкаре дуги Е единичной полуокружности в нижней полуплоскости х2 = 0 в её

образ Ре в этой же полуплоскости. Отображение Е

<р=! м

Ре описывается

функцией исследования Тр = /(¡р), которая представляет собой суперпозицию: /(у) = 7[7(у)]- Графики функций исследования Тр = 7(7(1^)], соответствующие изображённым на рис. 8 графикам 7(<р), представлены на рис. 9.

п ..о,»«..*

и <р У1Г 2

График функции последовання <р = 7[7(^)], полученный в результате решения задач Кошп для системы дифференциальных уравнений шестого порядка при всех 1р £ л-], и биссектриса Тр = <р названы диаграммой типа диаграммы Ламерея. Она позволяет найти неподвижные точки <р\, ..., 1р*к отображения Пуанкаре, рис. 9. Неподвижным точкам (р\, ..., 1р*к соответствуют инва-

риантные направления — лучи /*: ip = —ip* в нижней полуплоскости х2 = 0. Совокупность инвариантных точек (лучей) обозначена через Ф = {<р\}\-

Для устранения возможности параметрического резонанса в колебательной системе. (27), (28) введено условие Булгакова:

(31)

x^t0) = cos <p'i, x2{t°) = 0, x3{t°) = sin tpi,

где Ф = {y^}* — множество инварнантных точек (направлений), i>®. = v®.(t) — наихудшее возмущение, Т^у*) — 2-ой после t° нуль функции X2(v®.,i,a;0(<p*)).

Теорема 12. Для абсолютной устойчивости системы третью порядка

(27) с параметрической неопределенностью необходимо и достаточно выполнения условия Гурвица (28) и одного из двух дополнительных условий: либо условия абсолютной неколебательности (29), либо условия Булгакова (31).

Полученные результаты применены для решения задачи об абсолютной устойчивости нелинейной системы третьего порядка с секторной неопределённостью вида (10), которая эквивалентна задаче об устойчивости билинейной системы (11).

Разработанный метод экстремальных отклонений может использоваться для решения широкого круга задач теории колебаний и робастной устойчивости. В силу близости понятий динамической точности систем с неопределённостью и динамической устойчивости упругих систем он применйм для исследования колебаний систем с распределёнными параметрами. В качестве примера практического использования метод применён в главе 4 для анализа колебаний трубопровода, вызванных пульсацией давления транспортируемой в нём среды.

В четвёртой главе изучаются вынужденно-параметрические поперечные (изгибные) колебания шарнирно закреплённого горизонтального участка П-образного трубопроводного элемента — типичного для системы технологических трубопроводов обвязки нагнетатающих агрегатов комрессорных или перекачивающих станций, рис. 10.

В поворотах трубопровода возникают создаваемые транспортируемым потоком сосредоточенные усилия /р = \f2pFj, где р - давление, - площадь внутреннего сечения трубы. Вынужденно-параметрические колебания конструкции возникают вследствие пульсации давления движущейся среды.

Учёт влияния усилий /р, сосредоточенных в поворотах, на колебания горизонтального участка производится, согласно известному принципу механики, мысленным разрезанием трубопровода на опорах, отбрасыванием прилегающих частей и заменой их действия на исследуемый сегмент силами реакции.

В качестве расчётной схемы горизонтального участка изучаемой П-образной трубопроводной конструкции принимается трубопровод-балка, шарнирно закреплённая по торцам, нагруженная в опорных сечениях переменными изгибающими моментами Мо((), М¡(¿) и растягивающими осевыми (продольными) силами N(4), рис. 11.

— / — Рис. 11.

Определение сил и моментов в опорных сечениях трубопровода в результате статического расчёта конструкции при постоянном давлении среды показало, что изгибающие моменты и осевые силы описываются линейными функциями от сосредоточенных в поворотах усилий /р, то есть от давления ро- В работе принята гипотеза квазистатики, состоящая в том, что при пульсации давления p(t) для сил и моментов в опорных сечениях изучаемого участка линейный характер зависимости от переменного давления сохраняется:

M0(t) = М° + P0hp(t)Ff, M,(t) = М° + 0ihp(t)Ff, N(t) = № + PNp{t)F}.

В этих представлениях составляющие М;°, № изгибающих моментов и осевой силы, а также коэффициенты пропорциональности Ра, 01, /V постоянны и зависят от геометрических и жесткостных характеристик конструкции. Эти параметры М®, Л/,0, № и Ра, /?лл характеризующие влияние боковых стоек, определены в результате вычисления статических значений изгибающих моментов и осевой силы сначала при р = 0, а потом при р = Ро путём статического расчёта трубопроводной конструкции.

Рассмотрена механико-математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние и вынужденно-параметрические изгибные колебания изучаемого трубопровода-балки как сегмента рассматриваемой П-образной трубопроводной конструкции. Модель учитывает воздействие на сегмент его веса, пульсирующей транспортируемой среды, а также соседних участков и представлена в следующем виде:

_ . 2 .п&ьо дгю дгхи , .

+ Ь-2+- ^ + €« + ™ да = -»** (31)

w{x,t) |1=0= О, EJlI=o= M0{t), w(x,t) |I=;=0, EJ^ |I=;= Mi(t)

(32)

(33)

p{x, i) = Po + Ap(x, t), N(x, t)=№ + pNP(x, t)Fj, M0(t) + P0hp(t)F/, Mi(t) = M? + Pihp(t)F}, где E - модуль Юнга материала трубы, J - момент инерции поперечного сечения трубы, EJ - его жёсткость на изгиб, Ff - площадь внутреннего сечения, mj,mp - удельные массы среды и трубы, т = mj + тр - суммарная удельная масса, w(x, t) - перемещение осевой линии трубопровода, р[х, t) — ра + Ар(х, t) - давление среды: ро - среднее значение, Др(х, t) - пульсации давления, и(х, t) = щ + Аи(х, t) - скорость среды, N(x, t) - продольная сила, [m.fV2{x, t) +р{х, t)Fj — N(x, £)] = S - эквивалентное продольное усилие, £ - коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования.

Из-за несинхронности работы нагнетателей и высокой турбулезации нагнетаемого потока давление транспортируемой среды в каждом сечении рассматриваемого сегмента трубопровода считается возмущением, о котором известно лишь, что оно принадлежит классу кусочно непрерывных ограниченных функций времени: р(х, t) = ро+Др(£), |Ap(i)| < Др. Наибольший вклад в величины усилий /р в поворотах трубы вносится давлением потока, поэтому пульсация скорости не учитывается: v(x, t) = uQ.

Для решения сформулированной неоднородной нестационарной краевой задачи (31)—(33) об нзгибных колебаниях шарнирно закреплённого по торцам трубопровода-балки, нагруженного в опорных сечениях переменными изгибающими моментами и осевыми силами, использована модификация метода Фурье, предложенная Г.А. Гринбергом. Решение уравнения (31) с граничными условиями (32) ищется в виде ряда Фурье

00

ги{х,1) = ^22пЦ)Хп{х), (34)

П=1

где Хп(х) — фундаментальные функции формы, Zn(t) — функции времени, подлежащие определению. Скорость V, изгибающий момент М и нзгибное напряжение а связаны с перемещением т(х, £) известными соотношениями: У — Л/ = ЕЗ^, а = Щр-, где О — внешний диаметр трубы.

Собственными формами колебаний в однородной задаче служат синусоиды 81п(дуз:), а собственные частоты равны:

"Ит <—■>■■->■

В качестве фундаментальных функций в (34) надлежит взять Хп(х) = з1п(!!у£), при этом неизвестные функции времени 2П(£) (коэффициенты Фурье) определятся выражениями

I

2 /* п,их

= у / «Дх, <) эт(—)<&. (35)

о

После умножения обеих частей уравнения (31) на у81п(2у£) н интегрирования по х от 0 до /, с учётом граничных условий (32) и выражений (35) для неизвестных коэффициентов Zn(t), получены независимые обыкновенные дифференциальные уравнения, названные амплитудными уравнениями:

тЙЛ + + [Л» + к^АР(фп = + \?пАрЦ), (п = 1,2,...), (36)

где к», В®, №п выражены через параметры конструкции.

При Др(Ь) = 0 уравнения (36) имеют частные стационарные решения Zn(t) = где = В®/к®. При этом оказываются коэффициентами ряда Фурье по синусам, описывающего кривую статического прогиба трубопровода.

После замены переменнных 2п = + гп, Др(£) = —Дгде функция |г)(£)| < 1 с неполным описанием соответствует пульсации давления транспортируемой среды, получены амплитудные уравнения в отклонениях от ста-

31

ционарных состояний Zfj, описывающие амплитуды вынужденно-параметрических колебаний трубопровода по гс-ой моде относительно линии статического прогиба:

zn + 2azn + [кп + anv\z„ = bnv, (п = 1,2, ...), (37)

где а = f/2т, к„ = k°Jrn., ап = к%Ар/т, Ьп = Ь£Др/т, v(-) е V = {«(•) : | v(-) |< 1} — кусочно непрерывные функции.

Уравнения (37) независимы по zn, но связаны аддитивно-параметрическим возмущением v(-). Для устойчивости по Ляпунову вынужденных решений амплитудных уравнений (37) необходимо и достаточно, чтобы однородные уравнения

г„ + 2аг„ + [кп + a„v]zn = 0, (п = 1,2, ...) (38)

были абсолютно устойчивыми в классе V. Это требование необходимо для динамической устойчивости трубопровода. Достаточным будет условие малости максимальных отклонений от нуля вынужденных решений амплитудных уравнений (37). Поэтому для отыскания достаточных условий динамической устойчивости трубопровода требуется решить задачу Булгакова анализа динамической точности амплитудных уравнений (37).

Таким образом, анализ динамической устойчивости трубопровода, колебания которого описываются уравнением (31) с нестационарными граничными условиями (32), отыскание наиболее опасных пульсаций давления транспортируемой среды и расчёт динамического отклика на них редукцией уравнения (31) сводятся к аналогичным задачам для счётной совокупности амплитудных уравнений в отклонениях (37).

Метод экстремальных отклонений позволяет получить доведённые до инженерных формул решения сформулированных задач: осуществить синтез экстремальных возмущений, то есть худших для каждой моды колебаний пульсаций давления среды, и определить максимальные амплитуды колебаний, виброскорости и изгибного напряжения.

Критерий (14), (23) абсолютной устойчивости каждого однородного уравнения (38) установлен в главе 1 и имеет вид:

Т„ = — + = arcctg—, - arcctg

при этом | ап| <С кп (п = 1,2...), а величины и~, и*, и;® практически совпадают друг с другом.

Из неравенств (39) получено необходимое условие динамической устойчивости изучаемого участка трубопровода:_

ап \jEJm

Ар <

F/\l-0„\'

Из главы 2 с учётом | an| <S кп следует, что экстремальными для уравнений (37) будут возмущения: v* = signzn. Им отвечают колебания в системах (37) с максимальной возможной амплитудой, то есть г;* — худшие для каждого тона колебаний исследуемого участка пульсации давления среды.

Далее в главе 4 исследованы характеристики вынужденных решений n-го (п = 1,2...) амплитудного уравнения (37), отвечающие воздействию различных экстремальных возмущений v* = signzr (г = 1,2, ...). Через Апг (п,г = 1,2, ...) обозначены соответственные амплитуды установившихся периодических колебаний, имеющих ту же частоту, что и вынуждающее воздействие V* = signzrr{t), которое для n-го уравнения будет низкочастотным при г < п и высокочастотным при г > п.

Установлено, что, согласно теореме о малом параметре, вынужденные решения амплитудных уравнений (37) практически совпадают с решениями "укороченных" уравнений, полученных из (37) при а„ = 0.

Резонансные колебания в случае г = п, v = v* решений укороченных (при ап = 0) уравнений (37) изучены в главе 2. Показано, что при г = п, v = v* в системах (37) устанавливаются автоколебания, которым на фазовых плоскостях (гг, ¿г) соответствуют устойчивые предельные циклы. Получены их параметрические уравнения и формулы для амплитуды Лгг, внброскорости Vrr и частоты ujr = y/kT — а2 ~ и->{? автоколебаний (г = 1,2...): Г1 + ехр(—

Л

Кг

1 - exp(-ffl)

I/ = гг &

2ехр (-±arcctg±)

1 -ехр(-^)

(40)

Использование выражений для кг, Ьг через параметры трубопроводной конструкции и учёт соотношений аж -С шг приводит к приближённым формулам для амплитуд резонансных колебаний и внброскорости

гатг^/Ж ' " ~ атпР '

33

Численные значения амплитуд колебаний и виброскорости, определяемые формулами (40), (41), практически совпадают.

В результате анализа периодических колебаний, установившихся при воздействии как низкочастотных (г < п), так и высокочастотных (г > п) возмущений V* = signzrr(t), найдены аналитические выражения для их амплитуд Апг: 2ípnr\Po-(-l)n0l\hFfl2Ap

Anr ~ nVEJ

где величины <рпг выражены через параметры kr, br.

со

Доказано, что знакоположительный ряд Апт сходится, при этом ампли-

П=1

туда Агт резонансных колебаний — главный член ряда, так как вносит подавляющий вклад в его сумму.

Периодические колебания изучаемого участка трубопровода, установившиеся при действии экстремального возмущения v* = signzrr(t) представлены

рядом Фурье эо

«*(*, t) = £ 2Pr(z;r, t) sin —, (42)

П = 1 '

где функции 2£r(z*r,i>*,£) определяются формулой Коши.

В силу неравенств í) sin nji| < Апг ряд из модулей членов ряда

оо

(42) мажорируется сходящимся знакоположительным числовым рядом ^ Апг.

П=1

Тем самым доказано, что ряд Фурье (42) сходится абсолютно, а его резонансное слагаемое ¿%T(z*, v*r, t) sin ™ по аналогии с главным членом Агт мажорант-

оо

ного ряда АПг может быть принято за главный член ряда (42). Величина

п=1

главного члена ряда будет наибольшей при совпадении частоты периодической релейной пульсации давления среды с частотой низшей моды.

Утверждение о допустимости одночленной аппроксимации суммы ряда Фурье (42) распространено и на динамические составляющие изгибающего момента и изгибного напряжения:

,.,п, ^ MPa-í-lYPilhFfAp ГЁ7, . гтгх, max | М?(х, t)| < у ¡ -[sin—I, (43)

i pi *u <r 2r\Po-(-l)r0i\DhFfAp ГТ . T7TX max I *>(*, t)\ <--2-í-y¡—I sm —|. (44)

Достаточное условие динамической устойчивости трубопровода имеет вид Агт < vrr < max|aj?(x,í)| < (г = 1, 2, ...), (45)

где Агг, Vrr, max |сг£(х, í)l определены в (41) и (44).

Из неравенств (45) определяются предельно допустимые в смысле динамической устойчивости значения параметров трубопроводной конструкции, например. амплитуда пульсации давления транспортируемой среды.

Результат исследования установившихся колебаний трубопровода представлен в виде бесконечной матрицы реакции И, = (Апг), (п,г = 1,2, ...), элемен-

оо

тамн г-го столбца которой служат члены ряда ^ Апг, мажорирующего ряд

П=1

Фурье (42).

Проведен чнсленный расчёт П-образной трубопроводной конструкции при следующих значениях геометрических, жесткостных и динамических параметров: I = б [м], Н = 3 [м), сортамент труб 0720 х 11.3 [мм], О = 0.72 [м], к = В = 0.72 [м], £/ = 0.3848 [м2], £=205000 [МПа], 7=0.00155 [м4], £7=318.36 [МНм2], плотность стали рр = 7850 [кг/м3], плотность среды (газа) р/= 50 [кг/м3^ тп = тпр + тп/ = 210.89 (кг/м], среднее давление ро=7.5 [МПа], амплитуда пульсаций давления Др=3750 [Па], скорость газа ¡/0=13 [м/'еек], коэффициент демпфирования а = 0.1 [Па сек].

Расчёт показал, что матрица реакции К = (Апг) имеет вид:

( 0.000763 5.47 х 10~9 7.01 х Ю"10 ... \

„ , „ , 4.02 х 10~6 0.000254 2.43 х 10"9 ...

К = (Апт) =

2.34 х 10~7 1.11 х Ю-8 0.000152

V- ••• ••■ •■•/

Для динамических составляющих изгнбного напряжения <т?(х, ¿) при г = 1, 1 = | и х = | имеют место оценки:

тах|о^,4)| = 15,46 [Мпа], тах £)| = 10,93 [Мпа].

В настоящее время отсутствуют публикации, посвящённые отысканию экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводах и расчёту соответствующей динамической реакции, что позволяет получить аналитические условия динамической устойчивости трубопроводов и выражения для максимальных амплитуд колебаний, виброскорости и изгибного напряжения, но которым производится нормирование вибрации.

В приложение вынесены доказательства некоторых утверждений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с нестационарной неопределённостью. Метод позволяет получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые результаты решения задач анализа колебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивостии, робастной стабилизации и динамической точности систем. Метод состоит из двух этапов:

— анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, разделение систем в форме аналитических критериев на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;

— анализ экстремальных режимов колебательных систем на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.

2) При разработке метода решены следующие задачи:

— впервые в форме аналитических критериев произведена классификация двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью по осцилляционным свойствам их решений, что позволяет говорить о возможности классификации многомерных систем по признаку колебательности;

— дифференциально-геометрическим способом осуществлён синтез экстремальных возмущений для двумерных систем с внешними или/и параметрическими возмущениями;

— построены траекторные воронки двумерных систем управления с параметрическими или/и внешними возмущениями;

— установлены аналитические критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных систем с параметрической неопределённостью, установлены связи между динамическими свойствами: абсолютно неколебательные системы не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем — следствие критериев абсолютной устойчивости и полной неустойчивости;

— получены аналитические решения задач анализа динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, найдены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем, устанавлена связь между теорией автоколебаний и теорией накопления возмущений;

— разработаны два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима, найдены неустойчивые предельные циклы, ограничивающие области робастной стабилизации;

— установлен аналитический критерий абсолютной неколебательности одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределённостью по первой производной их решений и произведена классификация систем по этому признаку.

3) Методом экстремальных отклонений в комбинации с принципом максимума Понтрягнна получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка, с параметрической неопределённостью.

4) Метод экстремальных отклонений применим для анализа экстремальных режимов широкого класса систем с неопределённостью, в том числе, систем с распределёнными параметрами. В качестве примера его использования проведено исследование динамической устойчивости упругой системы — трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой. Впервые разработана методика нахождения экстремальных пульсаций давления среды. Установлены аналитические условия динамической устойчивости, найдены выражения для максимально возможных амплитуд изгибных колебаний, виброскорости и изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации. Это иллюстрирует возможность применения результатов, полученных в работе, к решению задач анализа экстремальных режимов реальных систем, не ограниченных двумерным или трёхмерным фазовым пространством.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1972. № 5. С. 102-109.

2. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка // Доклады АН СССР. 1975. Т. 222. № 2. С. 309-311.

3. Жермоленко В.Н. К задаче Б.В. Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1980, № 2. С. 87-91.

4. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы// Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1998. № 6. С. 40-43.

5. Жермоленко В.Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка// Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. с 122-134.

6. Жермоленко В.Н. Колебательность двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2005. № 9. С. 27-39.

7. Жермоленко В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. Вып. 8. С. 105-117.

8. Жермоленко В.Н. Траекторные воронки двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления 2006. № 2. С. 29-42.

9. Жермоленко В.Н. Фазовые портреты двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 3. С. 13-23.

10. Жермоленко В.Н. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8, С. 12-35.

11. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1-6.

12. Жермоленко В.Н. Применение метода экстремальных отклонений к исследованию вынужденно-параметрических изгибпых колебаний трубопроводов // Автоматика и телемеханика. 2008. № 9, С. 10-33.

13. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость параметрически возмущаемых систем третьего порядка // Автоматика и телемеханика. 2009. № 8, С. 20-40.

14. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация колебательной системы второго порядка // Тезисы докладов XI Международного семинара им. И.Г. Петровского: Дифференциальные уравнения и их приложения. М:, МГУ, 20-24 января 1998 г. С. 34.

15. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Игровая стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка // Труды V Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН. Москва, 3-5 июня 1998 г. С. 5.

16. Жермоленко В.Н. Стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка с помощью скользящего режима. Тезисы докладов V Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 3-5 июня 1998 г. С. 78-79.

17. Жермоленко В.Н. Робастная устойчивость параметрически возмущаемых билинейных систем. Тезисы докладов VII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 22-24 мая 2002г. С. 162-164.

18. Жермоленко В.Н. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем. Тезисы докладов VIII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 1-2 июня 2006 г. С. 84-86.

19. Жермоленко В.Н., Поляков В.А. Параметрическое возбуждение вибрации трубопроводных систем транспортируемым потоком. Тезисы докладов VIII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 31 мая-2 июня 2006 г. С. 86-89.

20. Жермоленко В.Н. Предельные циклы на фазовой плоскости // В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и её применение. М:, МГУ, 1993. с. 35-48.

21. Жермоленко В.Н., Гонсалес Мастрапа Г., Хинг Кортон Р. Абсолютная устойчивость двумерных систем //В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и её применение. М.\ МГУ. 1993. С. 57-80.

22. Жермоленко В.Н. Анализ точности управляемых динамических систем. М:, МИНГ им. И.М. Губкина. 1990. 58 с.

23. Жермоленко В. Н. Абсолютная устойчивость одного класса систем третьего порядка.//М:, Сборник научных работ молодых учёных и аспирантов. Институт механики МГУ. 1973. № 1. С. 160-168.

24. Александров В. В., Жермоленко В. Н. Абсолютная устойчивость систем третьего порядка с нелинейным нестационарным элементом //М:, Труды Института механики МГУ. 1975. № 40. С. 48-64.

25. Александров В.В., Жермоленко В.Н., Харченко К.И. Стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка // Труды РГУ им. И.М. Губкина. 1996. с 68-79.

26. Zhermolenko V.N., Hing Corton R. Estabilidad absoluta de los sistemas de control automático de segundo orden con coeficientes variables // Investigationes operationales. Universidad de la Havana. 1979. № 28. P. 39-54.

27. Zhermolenko V.N., Gomales Mastrapa H. Sobre el ciclo limite en el problema de la desviación maxima de un sistema de segundo orden // Investigationes operationales. Universidad de la Havana. 1979. № 28. P. 55-68.

28. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Oscilaciones de los sistemas lineales de segundo orden сон perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1982. vol. III, № 3. P. 111-129.

29. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa #., Bustamante J. Sobre la desviación maxima de los soluciones de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1983. vol. I, № 1. P. 51-62.

30. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Estabilidad absoluta de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1983. vol. I, № 3. P. 3-24.

Вклад автора в совместные публикации.

[1] - аналитические критерии абсолютной неколебательности и абсолютной устойчивости систем второго порядка с секторной неопределённостью;

[2, 24] - леммы о поведении в фазовом пространстве траекторий систем третьего порядка с секторной неопределённостью, критерии абсолютной неколебательности и абсолютной устойчивости неколебательных систем;

[13] - результаты В.В. Александрова в [2, 24] для колебательных систем уточнены с помощью отображения Пуанкаре и распространены на случай параметрически возмущаемых систем третьего порядка с произвольной зависимостью коэффициентов систем от возмущения;

[2,14, 15, 25] - анализ поведения траекторных воронок, критерий существования седловой точки дифференциальной игры, синтез минимаксного робаст-ного стабилизирующего управления;

[19] - разработка и применение метода экстремальных отклонений к исследованию колебаний трубопроводов;

[21, 26-30] - постановка задач, идеи и методы доказательств утверждений.

Подписано к печатиС>3 Формат 60x90/16 Бумага офсетная Усл. п. л.

Тираж /3& экз. Заказ №

Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина 119991, Москва, Ленинский проспект, 65 Тел.(499)233-93-49

Введение.

Глава 1. Разработка метода экстремальных отклонений для двумерных систем с параметрической неопределённостью.

§ 1.1. Определения и постановка задач.

§ 1.2. Колебательность двумерных систем.

Осдилляционные критерии.

§ 1.3. Особые множества двумерных систем.

Связь с динамическими свойствами.

§ 1.4. Границы траекторных воронок и их свойства.

Синтез управлений для границ воронок.

§ 1.5. Траекторные воронки двумерных систем.

§ 1.6. Периодические движения и абсолютная устойчивость.

§ 1.7. Периодические движения и полная неустойчивость.

§ 1.8. Полная управляемость.

§ 1.9. Абсолютная устойчивость системы управления второго порядка с нелинейным нестационарным элементом.

Глава 2. Метод экстремальных отклонений для неоднородных систем управления второго порядка.

§ 2.1. Задача анализа точности.

§ 2.2. Решение задачи анализа точности системы управления второго порядка с внешним возмущением. Колебания с экстремальными амплитудами.

Область достижимости.

§ 2.3. Максимальное отклонение системы управления второго порядка с внешними и параметрическим возмущениями. Суперпозиция резонансов.

§ 2.4. Задача о робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка.

§ 2.5. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка. Дифференциальная игра.

Критерий оптимальности стратегий. Седловая точка.

§ 2.6. Робастная стабилизация посредством скользящего режима. Фазовые портреты систем с переменной структурой. Область робастной стабилизации.

Глава 3. Исследование абсолютной устойчивости системы третьего порядка с параметрической неопределённостью методом экстремальных отклонений.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Свойства решений систем третьего порядка с постоянными коэффициентами.

§ 3.3. Анализ поведения решений в фазовом пространстве.

Критерий абсолютной неколебательности.

§ 3.4. Критерий абсолютной устойчивости колебательных параметрически возмущаемых систем третьего порядка.

§ 3.5. Абсолютная устойчивость системы управления третьего порядка с нелинейным нестационарным элементом.

§ 3.6. Примеры расчёта абсолютной устойчивости билинейной системы третьего порядка.

Глава 4. Применение метода экстремальных отклонений к исследованию колебаний трубопроводов.

§ 4.1. Проблемы вибрации трубопроводов. Методы исследования.

§ 4.2. Постановка задачи исследования вынужденно-параметрических колебаний трубопроводов.

§ 4.3. Условия динамической устойчивости и определение максимальной амплитуды колебаний.

§ 4.4. Пример численного расчёта динамической реакции

П-образного трубопроводного элемента.

Ситуация, когда для системы управления или управляемого процесса доступно точное математическое описание, вообще говоря, идеализирована. В реальных условиях полное описание всех параметров управляемого объекта или системы управления, характеристик внешней среды и, особенно действующих возмущений, зачастую отсутствует. Это приводит к тому, что при математической формализации системы управления или исследуемого объекта их математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения движения, как правило, имеют неполное описание и представляют собой динамические системы с неопределённостью, т.е. содержат не определённые точно или однозначно характеристики и параметры. Информация о таких не полностью определённых параметрах может ограничиваться лишь границами областей их изменения, заданных, например, техническими допусками на систему. В таких условиях приходится иметь дело с семейством систем, параметры которых могут принимать всевозможные значения в заданных пределах. В подобных случаях говорят системах с интервальной параметрической неопределённостью [113]. Задача заключается в обеспечении требуемого свойства для всех систем этого семейства; при этом речь идёт о робастности данного свойства по отношению к имеющейся в описании систем неопределённости.

Систему называют робастпой, если она обладает гарантированным качеством функционирования для целого класса неучтённых факторов, связанных как с внешней средой так и с неточностью описания самой системы. Если в условиях неопределённости некоторых параметров системы и неполноты информации о возмущениях необходимо построить регулятор, который гарантировал бы устойчивость системы и поддержание её основных эксплуатационных показателей в заданных пределах, то такой регулятор называется робастным, система робастно устойчивой, а стабилизация и управление — робастными. В последнее время теория робастных систем управления бурно развивается [109-113, 162-164]. Целью теории является исследование свойств робастности систем с неопределённостью, анализ и синтез законов управления, гарантирующих робастность.

Проблема обеспечения устойчивости систем с неопределённостью занимает одно из центральных мест в теории и практике управления. Основополагающими в её исследовании были работы А.И. Лурье и В.Н Постникова [88], М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера [20], В.А. Якубовича [156, 157], Ю.И. Неймарка [98], Е.С. Пятницкого [119-121], где эта задача получила название задачи об абсолютной устойчивости. Решению проблем абсолютной и робастной устойчивости, робастного управления и робастной стабилизации посвящено огромное количество работ отечественных и зарубежных учёных, в их числе работы Я.З. Цыпкина и Б.Т. Поляка [110113], A.C. Позняка [109], А.Г. Бутковского [33], Л.Б. Рапопорта [122-127], А.П. Молчанова [91-95], В.В. Александрова [4-11], А.Ф. Филиппова [149], А.М. Формальского [79, 151, 152], В.Л. Харитонова [153], Ю. Аккермана [162], Б.Р. Бармиша [163], С.Р. Бхаттачария [164] и многих других учёных. Достаточно нолные обзоры работ по абсолютной устойчивости сделаны М.А. Айзерманом и Ф.Р. Гантмахером в [20], Е.С. Пятницким в [118] и затем М.Р. Либерзоном в [84, 87].

Не менее важны задачи обеспечения динамической точности и подавления возльущений систем с неопределённостью [96, 141]. Динамическая точность характеризуется максимально возможными отклонениями фазовых координат или функций от них от требуемых режимов. Впервые задача экстремального анализа точности систем с неопределённостью была рассмотрена в 30-40-х годах XX века Б.В. Булгаковым [25-28]. Крупный вклад в развитие этой задачи, получившей название "Задача Булгакова о накоплении возмущений (максимальном отклонении)," внесён В.В. Александровым [1-3], Л.С. Гноснским [39-42], Н.Т. Кузовковым [28, 77], Я.Н. Ройтен-бергом [128], Г.М. Улановым [141], А.М. Формальским [79, 152]. Методы гарантирующего оценивания фазового состояния систем с неопределённостью впоследствии были развиты в работах H.H. Красовского [75], A.B. Куржанского [78], А.И. Матасова [89] и ряда других авторов. Теория гарантирующего эллипсоидального оценивания построена Ф.Л.Черноусько [155].

Задача о наконлении возмущений была сформулирована и решена Б.В. Булгаковым в [25] для системы второго порядка в связи с проблемой оценки баллистической девиации гирокомпаса при маневрировании корабля. В дальнейшем аналогичный результат в общей форме был получен Б.В. Булгаковым в [26], где рассматривалась одномерная линейная стационарная асимптотически устойчивая система произвольного порядка с нулевыми начальными условиями и неопределённым кусочно непрерывным внешним возмущением, о котором известно лишь, что оно ограничено по модулю. В этих условиях для фиксированного момента времени было найдено максимальное по возмущениям из данного функционального множества значение модуля решения системы (выходного сигнала). Решение задачи в [26] получено с использованием представления выходного сигнала системы в виде интеграла Дюамеля. Наихудшим возмущением, доставляющим максимум отклонению системы, служит кусочно постоянная функцрш, принимающая граничные значения, моменты переключения и знаки которой совпадают со нулями и знаками подинтегральной функции.

Интерес к задаче Булгакова о максимальном отклонении определяется тем, что она является экстремальной задачей анализа точности динамических систем при наличии неопределённости. Отвечает практическим потребностям и введённый Б.В. Булгаковым показатель качества — максимум модуля выходной величины в заданный момент времени. Такой подход оказывается весьма полезным в особо ответственных системах, когда требуется гарантия, что выходная величина или некоторая её функция под воздействием возмущений не превзойдёт заданных пределов. Задачу Булгакова приходится решать и в тех случаях, когда необходимо знать поведение наихудших возмущений, осуществляющих максимальное отклонение.

Задача Булгакова о максимальном отклонении по-прежнему привлекает внимание исследователей и находит новые приложения. Появивились новые постановки, видоизменения и модификации задачи Булгакова, например, поставленная В.В. Александровым в [3] задача Булгакова с нефиксированным моментом окончания процесса, который определяется как момент первого прихода фазовой траектории на выбранное многообразие. Задача Булгакова с нефиксированным временем активно используются в предлагаемой работе и объединяет практически все сё разделы. В последние годы получил развитие основанный на задаче Булгакова максиминный контроль качества стабилизации динамических систем [6, 7].

Многие управляемые процессы в механических системах носят колебательный характер. В технике широко применяется термин вибрация, которым чаще пользуются там, где колебания имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую частоту. Хорошо известно, что одним из существенных факторов, приводящим к снижению надёжности систем, работающих в режиме колебаний или подверженных им, является увеличение вибрации их конструкционных элементов. Вибрация может возникать в результате действия сил, связанных как с осуществлением технологического процесса, так и в результате влияния разного рода возмущений. Её следствием может быть увеличение действующих в элементах конструкций напряжений из-за приближения к резонансу, что приводит к опасным изменениям эксплуатационных характеристик. Поэтому вопросы исследования возможности появления резонанса и отстройки от него имеют первостепенное значение, а изучающая колебательные процессы теория колебаний играет весьма важную роль и является одной из наиболее универсальных и востребованных отраслей знания. Подтверждением тому служат ставшие классическими монографии по теории колебаний A.A. Андронова и его коллег [17, 18, 22], Б.В. Булгакова [27], Г.С. Горелика [43], С.П. Тимошенко [139] и других учёных. С помощью теории колебаний и теории управления можно успешно решать имеющие большое практическое значение проблемы снижения вибрации элементов конструкций и находить их оптимальные геометрические, инерционные, демпфирующие и другие характеристики, при которых рабочие режимы отдалены от резонансных. В связи с этим, несомненный теоретический и практический интерес представляет собой задача определения или гарантирующего оценивания максимально возможной амплитуды колебаний элементов механических систем.

Основные понятия и разделы теории колебаний — фазовая плоскость, гармонические колебания, автоколебания, предельные циклы, динамические системы, устойчивость движений и положений равновесия, точечные отображения кусочно-линейных динамических систем, а также "грубые" (структурно устойчивые) систелш, начало разработки теории которых положено работой A.A. Андронова и JI.C. Понтрягина [19]. Обобщением понятия "грубости" динамических систем на случай произвольных, не обязательно малых отклонений параметров систем от номинальных значений является свойство робастности [113].

В основе математического моделирования колебательных процессов лежат дифференциальные уравнения, обыкновенные и в частных производных. В связи с этим возникла необходимость создания качественной теории дифференциальных уравнений. Её основы были заложены в работах А. Пуанкаре [117]. В этой теории ставится задача выяснить свойства решений дифференциального уравнения, не решая его, и определить с каких начальных значений и куда попадут траектории на больших характерных временах. Основным понятием качественной теории является не-решение системы как функция, а пространство, называемое фазовым, точки которого представляют различные состояния системы. Если с ростом времени фазовые траектории динамической системы, выходящие из различных начальных точек, стремятся собраться к некоторым сравнительно небольшим областям фазового пространства, которые впоследствии больше не покидают, то эти области называют аттракторами, а соответствующую динамическую систему — диссипативной. Области начальных данных, откуда фазовые траектории стремятся к аттрактору, называют его областью притяжения. Наиболее часто встречающиеся в приложениях примеры аттракторов — неподвижные точки и предельные циклы. При аналитическом исследовании предельных циклов часто используется так называемое сечение Пуанкаре, при помощи которого исследование свойств периодической траектории сводится к анализу свойств неподвижной точки некоторого отображения — отображения Пуанкаре [17, 18, 22, 99].

Исследование осцилляционных свойств динамических систем и следствий из них занимает важное место в теории колебаний и имеет весьма обширную библиографию. Помимо хорошо известных классических монографий по теории колебаний следует отметить также работу А.Ю. Левина [81], где имеется обстоятельный и систематизированный обзор публикаций соответствующей тематики. В работах [72, 6] И.Т. Кигурадзе, Н.Х. Розовым и В.В. Александровым для одномерной системы п-го порядка с интервальной нестационарной параметрической неопределённостью (уравнения с включением) даны определения решений, колеблющихся по к-ой производной (к=1, 2, ., п — 2, п, п > 3). Предложена классификация множеств решений системы с параметрической неопределённостью по типу их осцилляционных свойств. Система в зависимости от существования колеблющихся решений отнесена к одному из следующих п классов:

- 1-й класс — абсолютно колебательные системы, т.е. любое уравнение с включением, у которого каждое нетривиальное решение является колеблющейся функцией по 1-ой производной;

- 2-й класс — уравнение с включением, у которого существует хотя бы одно решение, колеблющееся по 1-ой производной (1-й класс входит во 2-й);

- 1-й класс (3 < I < п — 1) — уравнение с включением, у которого все нетривиальные решения не колеблются по (I — 2)-ой производной, но существует хотя бы одно решение, колеблющееся по (I — 1)-ой производной;

- п-й класс — уравнение с включением, у которого все нетривиальные решения не колеблются по (п — 2)-ой производной.

В последние годы появляются новые направления в науке о колебаниях. Относительно недавно возникла теория динамической устойчивости упругих систем [23], в которой рассматриваются вопросы, смежные с вопросами теории колебаний и статической устойчивости упругих конструкций. Динамически устойчивым в [108] называется состояние упругой конструкции, если при действии динамических, т.е. быстроизменяющихся нагрузок все её напряжения и деформации в течении рассматриваемого промежутка времени остаются достаточно малыми. В [23] динамическая устойчивость упругих систем определяется как наука, изучающая их колебания под действием вибрационной параметрической нагрузки. Под параметрической нагрузкой понимаются действующие на колебательные системы переменные (периодические) силы, которые входят как переменные параметры в левые части уравнений возмущённого движения систем. Этот термин удобен ещё и тем, что указывает на связь с явлением параметрического резонанса [159], играющего важную роль в теории колебаний.

Следует отметить достаточную близость понятий динамической устойчивости упругих систем [108] и динамической точности систем с неопределённостью [25-28, 141]. Это открывает широкие возможности для новых приложений задачи Булгакова, что продемонстрировано в предлагаемой работе.

Упругие конструкции представляют собой системы с распределёнными параметрами. Их напряжённо-деформированное состояние и возмущённые движения описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Исторически одним из первых методов при решении краевых задач для уравнений в частных производных был метод разделения переменных Фурье. Метод Фурье, осуществляющий, по сути, разложение решения по собственным формам колебаний (модам), наглядно продемонстрировал, что сложные колебания можно представить как совокупность более простых. Для многих упругих систем, уравнения движения которых допускают разделение неременных с помощью метода Фурье или его модификаций, уравнения в частных производных могут быть редуцированы к счётной совокупности более простых и независимых по координатам обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, зачастую с внешними или/и параметрическими возмущениями. Эти уравнения представляют собой уравнения движения системы в нормальных координатах метода нормальных форм колебаний С.П. Тимошенко [139].

Весьма эффективной в этом смысле оказалась, предложенная Г. А. Гринбергом в [45], модификация метода Фурье, позволившая получать решения краевых задач для уравнений в частных производных с ненулевыми граничными условиями. Модифицированный метод, как отмечено в [45], "даёт возможность решать совершенно типовым, единообразным и естественным способом все задачи, относящиеся к интегрированию линейных уравнений с частными производными с разделяющимися переменными и неоднородными граничными условиями". Его суть состоит в следующем.

Сначала решается вспомогательная для исходной краевая задача для однородного дифференциального уравнения в частных производных с нулевыми граничными условиями и определяются ортогональные собственные функции этой однородной задачи, которые названы в [45] фундаментальными. Решение основной задачи ищется в виде ряда по найденным фундаментальным функциям с коэффициентами, определяемыми интегралом от произведений искомого решения на фундаментальные функции. Неизвестные коэффициенты этого ряда, названные "преобразованными" функциями или коэффициентами Фурье, в [45] предложено находить непосредственно из исходного дифференциального уравнения с ненулевыми граничными условиями с помощью умножения обеих частей исходного уравнения на фундаментальные функции и интегрирования полученных соотношений в пределах рассматриваемой области. В результате интегрирования по частям получаются, оказывающиеся в итоге независимыми, обыкновенные дифференциальные уравнения для неизвестных коэффициентов Фурье, аналогичные уравнениям движения в нормальных координатах метода нормальных форм колебаний [139]. При этом происходит автоматический учёт заданных ненулевых граничных условий, которые входят в правые части полученных уравнений. Благодаря такому подходу исходная задача, например, анализ динамической устойчивости упругой системы или оценка уровня вибрации её элементов сводится к аналогичным задачам для совокупности независимых обыкновенных дифференциальные уравнений.

В [45] подчёркивается, "что полученное решение кардинальным образом отличается от решений, получаемых по методу Фурье, ибо каждый отдельный член указанного ряда вовсе не является частным решением предложенного уравнения, а представляет собой просто один из членов разложения решения краевой задачи с неоднородными граничными условиями в ряд Фурье по собственным функциям задачи с однородными граничными условиями. При этом составленный таким способом ряд представляет искомое решение в каждой точке внутри и на границе рассматриваемой области".

Упругие конструкции, как и любые механические системы, в процессе своей эксплуатации подвержены воздействию как внешних, так и параметрических возмущений. Как уже отмечалось, в реальных задачах полное описание всех параметров управляемого объекта или процесса, характеристик внешней среды и, особенно действующих возмущений, как правило, недоступно и отсутствует. Получить в таких условиях аналитические условия динамической устойчивости и гарантированные оценки максимальных отклонений эксплуатационных характеристик упругих систем с распределёнными параметрами от номинальных показателей - достаточно сложная задача, имеющая значительный теоретический и практический интерес. Изучение подходов, используемых для её решения, указывает на то, что в вопросах применения современных методов теории колебаний, теории робастной устойчивости и управления имеются пробелы. Так, в существующих методиках нормирования (оценки опасности) вибрации упругих конструкций - трубопроводов с пульсирующих средой не представлены способы определения максимально возможных амплитуд колебаний диагностируемых параметров, которыми служат виброперемещение и виб-роскоростъ. Остаётся нерешённой и проблема отыскания наиболее опасных пульсаций давления среды в трубопроводах, приводящих к колебаниям с максимально возможными амплитудами. Решение указанных проблем может быть получено с помощью метода, осуществляющего редукцию к аналогичным задачам того же содержания для последовательности систем с сосредоточенными параметрами.

Трубопровод, транспортирующий пульсирующую жидкость или газ, представляет собой объединение двух колебательных систем: механической (собственно трубы) и гидро- или газодинамической и является характерным примером упругой колебательной системы с неопределённостью. В трубопроводах обвязки нагнетателей транспортируемый поток является нестационарным, причём о характере его пульсаций отсутствует полная информация из-за несинхронности работы нагнетателей и высокой тур-булизации нагнетаемого потока. Пульсирующая транспортируемая среда приводит к появлению переменных гидродинамических сил, приложенных в местах изгибов трубопроводов. Эти силы возбуждают два вида колебаний трубы: вынужденные и параметрические. В случае резонанса амплитуда колебаний трубопроводов и возникающие в них напряжения могут стать значительными, поэтому работа в таких режимах крайне нежелательна.

Для трубопроводных систем в полной мере актуальны все отмеченные проблемы и задачи. Изучению колебаний трубопроводов посвящено большое количество публикаций, например [24, 36, 44, 47, 62, 67-69, 71, 73, 74, 97, 100-104, 106, 107, 114-115, 129-135, 140, 144, 145, 154, 160, 161, 165-178]. Первые исследования взаимодействия внутреннего потока жидкости или газа с трубопроводом для случая прямых трубопроводов выполнены в работах [145, 144, 24, 71, 97, 165-167]. Они посвящены анализу вибраций напорных трубопроводов ГЭС и самолётных гидросистем в рамках балочной теории. В результате проведенных исследований установлено, что влияние внутреннего потока аналогично влиянию следящей осевой силы растяжения-сжатия на изгибные (поперечные) колебания и устойчивость стержней.

Дальнейшие исследования связаны с изучением колебаний трубопроводов более сложных геометрических конфигураций и влиянием на их динамические свойства изменения давления и скорости транспортируемой среды [36, 44, 47, 62, 67-69, 73, 102-104, 126, 150-154, 160, 165-171, 175-178]. При движении транспортируемой среды по криволинейному трубопроводу из-за наличия местных неоднородностей (повороты, сужения или расширения, тройниковые соединения, задвижки и т.д.), а также из-за работы насосов возникают пульсации скорости и давления. Энергия этих пульсаций переходит в энергию механических колебаний трубы. В работах ряда авторов, например [47, 102-104], имеются указания на возможность возбуждения пульсацией внутреннего потока двух видов колебаний трубы, названных вынужденно-параметрическими. Вопросы параметрического резонанса исследовались в [107, 115, 173, 174]. В работах [69, 172] для описания деформаций трубопроводов используются соотношения теории оболочек. Вопросы нормирования вибрации трубопроводов и вибродиагностики рассмотрены в [100, 101, 114, 160-162], а вопросы надёжности — в [138]. В [154] отмечено, что для повышения надёжности трубопроводов необходимо создание механико-математических моделей, адекватно описывающих поведение трубопровода в процессе эксплуатации, и решенрхе комплекса задач их статической и динамической прочности и устойчивости.

Анализ литературы и нормативной документации позволяет сделать следующие выводы.

1. Наиболее опасна для трубопроводов поперечная вибрация, считающаяся одной из главных причин их разрушения. Степень опасности вибрации определяется значениями компонент тензора напряжений материала стенки трубы, которые пропорциональны амплитуде поперечных колебаний. В соответствии с требованиями нормативных документов, регламентирующих проектирование и эксплуатацию трубопроводов, напряжения материала трубы не должны превышать предела текучести, что определяет выбор критерия нормирования вибрации. Для надземных трубопроводов рекомендуется использовать условие прочности в форме Мизеса, в котором диагностируемой величиной выбирается именно амплитуда поперечной вибрации Из прочностного критерия Мизеса определяется предельно допустимое значение максимальной амплитуды колебаний, в случае превышения которого необходимо снижение вибрации.

2. Актуальность задачи определения или гарантирующего оценивания максимально возможной амплитуды поперечных колебаний и сравнение её с предельно допустимой по критерию прочности обусловлена и тем, что максимальное суммарное напряжение в трубопроводе должно определяться с учётом всех нагрузок и воздействий. В нормативных документах указано па необходимость дополнительно рассчитывать технологические трубопроводы на динамические нагрузки от пульсации давления транспортируемой среды, однако никаких расчётных соотношений или методических рекомендаций не приводится. Отмечено лишь, что прогибы и перемещения не должны превосходить предельных величин, обусловленных прочностными критериями. Это объясняется сложностью и недостаточной изученностью механизма взаимодействия трубопроводов с пульсирующей транспортируемой средой. Кроме того, отмечено, что в расчётах на прочность и устойчивость балочных систем трубопроводов нагрузки и воздействия, а также изгибающие моменты от них следует учитывать в наиболее невыгодных, неблагоприятных сочетаниях, при этом приниматься должны те упрощения и гипотезы, которые опаснее для принятой расчётной схемы. Другими словами, в СНиП рекомендовано проводить нормирование вибрации трубопроводов по наиболее опасныму варианту.

3. Одно из направлений повышения надёжности и безопасности трубопроводных систем заключается в совершенствовании методологии нормирования вибрации на основе более полного учёта нагрузок, связанных с влиянием транспортируемого потока и соседних участков конструкции. Для совершенствования методологии нормирования вибрации упругих систем, в том числе, трубопроводов актуальны постановка и решение задач, связанных с разработкой отсутствующей в настоящее время методики нормирования вибрации по наиболее опасныму варианту. Такая методика должна основываться на нахождении наиболее опасных возмущений и расчёте соответствующей динамической реакции элементов конструкций, т.е. вычислении или гарантирующем оценивании максимально возможной амплитуды колебаний диагностируемых параметров.

4. Решение указанных проблем может быть найдено с помощью теории колебаний, устойчивости и теории управления редукцией к аналогичным задачам того же содержания для последовательности систем с сосредоточенными параметрами и разработкой эффективного метода анализа экстремальных режимов динамических систем с неопределённостью при наличии внешних или/и параметрических возмущений, который позволил бы получать конструктивные результаты исследований.

Вышесказанное определяет актуальность темы диссертационной работы, состоящую в целесообразностью развития методов теории робаст-ных управляемых систем с неопределённостью для анализа и синтеза их экстремальных режимов, определения экстремальных отклонений, получения конструктивных условий, обеспечивающих необходимые робастные свойства, такие, как устойчивость, стабилизация, динамическая точность. Актуальна и задача повышения динамической устойчивости трубопроводов на основе совершенствования методологии нормирования вибрации и разработки методики её нормирования по наиболее опасному варианту.

Цель исследования и его основной результат состоят в разработке метода для анализа экстремальных режимов систем управления с нестационарной параметрической неопределённостью и его применении к решению теоретических и прикладных задач. Метода, позволяющего получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые критерии их абсолютной устойчивости, неустойчивости, робастной стабилизации, управляемости и динамической точности. В работе метод назван методом экстремальных отклонений. Суть метода состоит в нахождении экстремальных режимов, т.е. экстремальных воздействий на систему и задаваемых ими экстремальных движений. Для колебательных систем это колебания с максимальными или минимальными возможными амплитудами. Метод позволяет исследовать условия возникновения в системах с неопределённостью резонансов: при воздействии только внешнего возмущения, параметрического и обобщённого (их суперпозиции) [5]. Метод экстремальных отклонений даёт возможность получать гарантированные и неулучшаемые оценки фазовых координат, т.е. является гарантирующим. Метод состоит из двух этапов:

- анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, классификация множеств решений и разделение систем аналитическими критериями на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;

- решение для колебательных систем разных типов задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем [3] с использованием для систем второго порядка понятий, средств и результатов дифференциально-геометрического метода фазового портрета [117, 17, 18, 22, 29-32, 138, 137, 147].

Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:

1) исследование осцилляционных свойств решений систем управления второго и третьего порядка с нестационарной неопределённостью и разделение систем на абсолютно неколебательные и иеколебательные разных типов, анализ экстремальных режимов систем, изучение условий возникновения резонансных процессов;

2) построение траекторных воронок систем управления второго порядка с нестационарной неопределённостью;

3) исследование абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем управления с параметрической неопределённостью, выявление связей между динамическими свойствами;

4) экстремальный анализ точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, построение областей достижимости и робастной стабилизции;

5) исследование абсолютной устойчивости систем управления третьего порядка с параметрической нестационарной неопределённостью;

6) разработка методики нахождения экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводе и расчёта его динамической реакции на экстремальные возмущения.

В первой главе диссертации, которая является основополагающей в смысле разработки метода экстремальных отклонений, метод разработан для двумерных динамических систем с интервальной параметрической нестационарной неопределенностью, движение которых задаётся системами обыкновенных дифференциальных линейных однородных нестационарных уравнений. Причём о коэффициентах при фазовых переменных этих систем известно лишь, что это произвольные измеримые интервально ограниченные функции времени, которые могут рассматриваться как управления или возмущения, либо функциональные параметры, учитывающие неопределённость в описании изучаемых динамических систем. Такие системы дифференциальных уравнений с неполным описанием линейные по фазовым переменным и управлениям (возмущениям) называются билинейными. В первой главе детально изучаются динамические свойства двумерных билинейных систем с неопределенностью, такие как колебательность, устойчивость, неустойчивость, полная управляемость.

Связь между неколебательностыо и абсолютной устойчивостью рассматривалась в [б, 9-12, 50, 54, 56, 57, 60, 65, 66, 72, 81, 85, 86, 179, 183]. В первой главе введены определения разных типов колебательности и абсолютной неколебательности двумерных билинейных систем, не сводящихся к одномерной системе, т.е. к уравнению второго порядка. Эти определения аналогичны определениям работ [72, 6]. Проведено исчерпывающее исследование осцилляционпых свойств двумерных билинейных систем. В форме соответствующих критериев произведена классификация двумерных билинейных систем по типу их осцилляционных свойств. Все критерии сформулированы в аналитической форме, в терминах неравенств, налагаемых на граничные значения коэффициентов систем. Критерии абсолютной неколебательности, колебательности в положительном или/и отрицательном направлении позволяют осуществить глобальную отделимость соответствующих пространств решений систем рассматриваемого вида. В соответствии с классификацией [72, 6] получено исчерпывающее описание осцилляционных свойств двумерных билинейных систем.

Исследование двумерных билинейных систем с неполным описанием производится на фазовой плоскости с использованием понятий, средств и результатов метода фазового портрета. Дифференциально-геометрический метод фазового портрета является эффективным и наглядным средством изучения систем с неопределенностью. Под фазовым портретом понимается совокупность геометрических и аналитических средств и понятий, помогающих наиболее полно представить характер поведения допустимых траекторий системы. Основными элементами фазового портрета являются траекторные воронки и их границы, а также особые множества разных видов. Согласно [29-32] фазовый портрет динамической системы второго порядка считается заданным, если для каждой фазовой точки построены границы траекторной воронки. Главное значение и достоинство метода фазового портрета состоит в том, что он дает возможность судить о глобальных свойствах динамических систем. Качественные методы исследования дифференциальных уравнений, начатые А. Пуанкаре [117] и продолженные A.A. Андроновым и его школой [17, 18, 22], в значительной мере развиты А.Ф. Филипповым [147], А.Г. Бутковским и его учениками [29-32], а также в работах И.А. Султанова [136, 137]. В [29-32, 136, 137] рассмотрены вопросы построения границ траекторных воронок, введён ряд новых понятий и определений. Способ синтеза управлений для границ траекторных воронок, использующий выражение для углового коэффициента касательной к экстремальным траекториям, развит в работах Э.К. Лавровского и А.М. Формальского [79, 80, 152]. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением детально рассматривались в [29-32]. Показано, что они играют важную роль в исследовании управляемости. В первой главе изучены особые множества двумерных билинейных систем, произведена их классификация и исследована зависимость изучаемых динамических свойств от видов особых множеств. Найдены аналитические условия, при которых анализ динамических свойств является простым.

В первой главе дифференциально-геометрическим способом, основанным на результатах [29, 30, 137], осуществлён синтез экстремальных кусочно-постоянных периодических матричных управлений, задающих ветви границ траекторных воронок двумерных билинейных систем. Каждый элемент этих матричных управлений имеет по две прямых переключения. Дана геометрическая трактовка прямых переключения. Период и моменты переключений элементов найдены в явном виде как функции параметров систем. Введено определение границ траекторных воронок двумерных билинейных систем и изучены их свойства. Исследована возможность существования особого режима [37] в двумерных билинейных системах и получен критерий его реализации. Синтез управлений для ветвей границ воронок позволил построить фазовые портреты, характерные для всех осцил-ляционных классов двумерных билинейных систем с неопределённостью. Проведен анализ их фазовых портретов, что служит основой для конструктивного исследования абсолютной устойчивости, неустойчивости и полной управляемости систем.

Изучению абсолютной устойчивости и абсолютной неустойчивости нестационарных систем посвящено большое количество публикаций. Отметим лишь их малую часть, например [4, 9-12, 20, 50, 54, 60, 65, 66/70, 72, 84-88, 91-95, 98, 118-127, 149, 153, 156-158, 183]. Очерки развития проблем абсолютной устойчивости, библиография, приведены в опубликованных обзорах [20, 118, 84, 87]. E.G. Пятницким в [119-121] показано, что задачи абсолютной устойчивости и неустойчивости линейных систем с несколькими секторными нестационарными нелинейностями эквивалентны аналогичным задачам для систем с линейными нестационарными элементами, удовлетворяющими соответствующим интервальным ограничениям, т.е. билинейных. Вариационный метод, разработанный в [119-121, 93] и [9-12], позволил получать необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости нестационарных систем. В [119-121, 91] введены различные определения абсолютной устойчивости и неустойчивости, в том числе равномерной и экспоненциальной. В [94, 95] А.П. Молчановым установлена эквивалентность разных определений абсолютной устойчивости. Существование периодических движений и связь с критериями абсолютной устойчивости и границами областей устойчивости изучались в [123-127, 9-12, 60, 65, 66]. В последнее время интенсивно развивается более общий подход к исследованию и обеспечению требуемых свойств динамических систем по отношению к имеющейся неопределённости, называемых робаст-ностъю, в том числе робастная устойчивость [95, 112, 113].

С определениями абсолютной неустойчивости ситуация несколько иная. В работе [91] показано, что принятое в этой работе определение равномерной абсолютной неустойчивости, не эквивалентно определению [157, 158], которое обобщает определения других авторов. В то же время эквивалентны формально различные определения экспоненциальной абсолютной неустойчивости этих работ. В первой главе введено определение полной неустойчивости, предъявляющее более строгие требования к свойствам решений, чем определения [91, 157, 158], и проведено исчерпывающее исследование абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости двумерных билинейных систем с неопределённостью. Установлена взаимосвязь между этими динамическими свойствами. Показано, что абсолютно неколебательиые системы не являются полностью управляемыми, а критерием их абсолютной устойчивости служат условия Гурвица, т.е. положительное решение имеет известная проблема Айзермаиа [20].

Для колебательных двумерных систем установлена связь существования периодических движений с критериями абсолютной устойчивости и полной неустойчивости. В результате решения задач Булгакова с нефиксированным временем о максимальном и минимальном отклонении суммы квадратов координат систем в аналитической форме получены критерии абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости, что позволяет определить граничные гиперповерхности соответствующих областей. Для колебательных двумерных систем критерий полной управляемости является следствием критериев абсолютной устойчивости и полной неустойчивости, т.е. граница области полной управляемости в пространстве параметров образована граничными поверхностями областей абсолютной устойчивости и полной неустойчивости. В качестве примера применения метода экстремальных отклонений получен аналитический критерий абсолютной устойчивости системы управления второго порядка с секторной неопределённостью, рассматривавшейся Е.С. Пятницким в [121].

Во второй главе метод экстремальных отклонений развивается для неоднородных управляемых систем второго порядка. Метод применяется для анализа и синтеза систем с внешним управлением (возмущением) или суперпозицией параметрического возмущения и внешнего управления. В первой части второй главы метод используется для решения задач Булгакова аналргза точности динамических систем при наличии внешнего возмущения или суперпозиции внешнего и параметрического возмущений с неполным описанием. Для систем второго порядка указанного вида дифференциально-геометрическим способом осуществлён синтез экстремальных возмущений. В явном виде, т.е. в форме параметрических уравнений, найдены отвечающие наихудшим воздействиям устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости из своих внутренних точек. Это позволяет для систем второго порядка получить аналитические решения задач о резонансах: обычном, параметрическом и обобщённом.

Во второй части второй главы метод анализа экстремальных режимов применяется для решения задачи о робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка ограниченным внешним управлением. Рассмотрена задача об отыскании такого способа управления и области начальных условий, которые гарантировали бы стабилизацию системы даже при самом неблагоприятном, наихудшем действии ограниченного параметрического возмущения. В качестве математической модели управления в конфликтной ситуации принята схема позиционных дифференциальных игр [75, 76, 105]. Предложены два способа решения задачи: минимаксный алгоритм стабилизации и стабилизирующий робастный регулятор по принципу обратной связи, основанный на использовании свойств скользящего режима [21, 48, 49, 142, 143, 150]. Вопросы подавления (компенсации) ограниченных возмущений систем произвольного порядка рассмотрены в [141, 96].

В первом способе робастной стабилизации метод экстремальных отклонений применён к решению двух вспомогательных экстремальных задач с нефиксированным временем, образующих дифференциальную игру: минимаксной и максиминной. Выведены конструктивные необходимые и достаточные условия оптимальности поведения игроков в указанных задачах и доказано существование седловой точки вспомогательной дифференциальной игры, использованной при решении задачи стабилизации. Построена оптимальная минимаксная стабилизирующая стратегия управления. Исследовано поведение на фазовой плоскости экстремальных траекторий, соответствующих решению вспомогательных минимаксной и максиминной задач. Найден предельный цикл для этих траекторий, который, естественно, оказывается неустойчивым. Доказано, что область внутри предельного цикла является областью робастной стабилизации. Близкие задачи для аналогичной системы управления исследованы в [8]. В частности, рассмотрена дифференциальная игра, когда параметрическое ограниченное управление стремится уменьшить амплитуду колебаний, а внешнее ограниченное возмущение раскачивает систему. Показано, что в этом случае также существуют автоколебания, т.е. предельный цикл, и он устойчив.

Второй способ робастной стабилизации основан на использовании свойств систем с переменной структурой, в частности, свойств скользящих движений по линии или поверхности переключений [21, 48, 49, 142, 143, 150]. Известно, что преднамеренное введение в стабилизируемую систему скользящего режима является весьма эффективным средством наделить её желаемыми свойствами. Синтез управления, обеспечивающего существование и устойчивость скользящего режима, осуществляется в классе систем с переменной структурой (СПС). Наиболее полно методы построения и исследования СПС изложены в монографиях C.B. Емельянова и его сотрудников [48] и В.И. Уткина [142, 143]. Основной идеей синтеза СПС является целенаправленное использование такого важного свойства скользящих режимов, как независимость от изменяющихся параметров объекта регулирования и приложенных к нему внешних воздействий. В качестве стабилизирующих управлений использовались кусочно линейные функции координат системы, претерпевающие разрывы на некоторых гиперплоскостях в фазовом пространстве. Для линейных систем с постоянными и переменными коэффициентами в [48, 142, 143, 150] получены условия попадания изображающей точки из любого начального положения на гиперплоскость переключения, целиком являющуюся областью скользящих движений.

Стабилизирующий робастный регулятор второго способа стабилизации выбран в форме релейного синтеза. На прямой переключения имеется отрезок скользящего движения, обладающего необходимыми для стабилизации системы свойствами. Получены условия попадания изображающей точки из некоторой области начальных положений на этот отрезок скольжения. Финальная стадия управляемого процесса всегда проходит в скользящем режиме. Также найден неустойчивый предельный цикл для фазовых траекторий, ограничивающий область робастной стабилизации системы, и исследован характер изменения структуры области при изменении параметра, описывающего ресурсы возмущения.

В третьей главе основные положения метода экстремальных отклонений и некоторые результаты, полученные с его помощью для двумерных систем, распространены на системы третьего порядка с параметрической непределённостью. Задача об абсолютной устойчивости системы управления третьего порядка с секторной нестационарной неопределённостью рассматривалась в [10-11, 122, 126]. Как показал Е.С. Пятницкий в [120], она эквивалентна задаче об абсолютной устойчивости билинейной системы с интервальио ограниченным возмущением. В [10-11, 122, 126] получены две формы критерия абсолютной устойчивости такой системы третьего порядка, которая сводится к одномерной системе, т.е. к дифференциальному уравнению третьего порядка с линейно зависящими от возмущения коэффициентами. В третьей главе критерий абсолютной устойчивости [10-11] распространён на случай произвольной формы зависимости коэффициентов одномерной системы третьего порядка от ограниченного возмущения.

Проводится анализ поведения решений систем третьего порядка с параметрической непределённостью в фазовом пространстве. Выявлены закономерности и порядок движения траекторий из одного фазового октанта в другой. По классификации работ [72, 6] 1-й класс — абсолютно колебательная система, все решения которой являются осциллирующими по первой производной — пуст. Получен конструктивный критерий абсолютной неколебательности системы третьего порядка с параметрической непределённостью по первой производной, т.е. выделены 2-й и 3-й класс систем по классификации [72, 6]. Как и для систем второго порядка установлена взаимосвязь между колебательностью и абсолютной устойчивостью. Для абсолютно неколебательных систем третьего порядка критерием их абсолютной устойчивости служат обобщённые условия Гурвица. Это значит, что при выполнении условий Гурвица не стремиться в начало координат могут только осциллирующие решения рассматриваемых систем.

Для колебательных систем третьего порядка с параметрической непре-делённостью, как и для двумерных билинейных систем, установлена связь существования периодических движений с критерием абсолютной устойчивости. Для систем этого типа вводится дополнительное условие, наложенное на решения оптимизационной задачи Булгакова с нефиксированным временем о максимальном отклонении суммы квадратов координат, исключающее возможность параметрического резонанса в колебательной системе. Результаты В.В. Александрова в [10-11] для колебательных систем уточнены с помощью отображения Пуанкаре и распространены на случай параметрически возмущаемых систем третьего порядка с произвольной зависимостью коэффициентов систем от возмущения. Показано, что условие Булгакова, проверяемое на инвариантном множестве, которое находится с помощью отображения Пуанкаре, представляет собой критерий абсолютной устойчивости колебательных параметрически возмущаемых систем третьего порядка. Решение вспомогательной задачи Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным временем и наихудшее с точки зрения близости к границе области абсолютной устойчивости возмущение получены с помощью принципа максимума Понтрягина. Проверка условия Булгакова производится по результам решения последовательности краевых задач для системы дифференциальных уравнений шестого порядка, образованной уравнениями движения исходной и сопряжённой систем с наихудшим возмущением. Краевые задачи сведены к задачам Коши для указанной системы дифференциальных уравнений шестого порядка способом, предложенным В.В. Александровым в [10-11].

Полученные результаты применены к анализу абсолютной устойчивости системы управления третьего порядка с секторной нестационарной неопределённостью, которая согласно [120] эквивалентна задаче абсолютной устойчивости системы с линейным нестационарным элементом, удовлетворяющим интервальному ограничению. Наихудшим возмущением для этой билинейной системы будет кусочно постоянная функция релейного типа. Решения задач Коши, с помощью которых проверяется условие Булгакова, производится посредством вычислительной процедуры, реализующей метод припасовывания'для двух кусочно постоянных систем дифференциальных уравнений третьего порядка и не использующей численные способы решения систем дифференциальных уравнений. На каждом этапе постоянства наихудшего возмущения в предложенной процедуре используются известные формулы для решений дифференциальных уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами, что значительно сокращает время счёта и существенно повышает точность вычислений.

В четвёртой главе изучаются вынужденно-параметрические поперечные (изгибные) колебания шарнирно закреплённого горизонтального участка П-образного трубопроводного элемента — типичного для системы технологических трубопроводов обвязки нагнетатающих агрегатов комрессор-ных или перекачивающих станций. В качестве расчётной схемы горизонтального участка конструкции в работе принята трубопровод-балка, шарнирно закреплённая по торцам, нагруженная в опорных сечениях переменными изгибающими моментами и растягивающими продольными силами. Их изменения обусловлены пульсацией давления транспортируемой среды.

Рассмотрена механико-математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние и вынужденно-параметрические изгибные колебания изучаемого трубопровода-балки как сегмента рассматриваемой П-образной трубопроводной конструкции. Модель учитывает воздействие на сегмент его веса, пульсирующей транспортируемой среды, а также соседних участков. Модель представлена в виде дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих изгибные колебания трубопровода-балки и одномерное волновое движение транспортируемой среды.

Впервые поставлена задача определения формы и частоты наиболее опасной пульсации давления транспортируемой среды и расчёта соответствующей динамической реакции исследуемого участка трубопроводной конструкции. Краевая задача для уравнения его изгибных колебаний с неоднородными граничными условиями редуцирована к счётной совокупности не связанных по координатам обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с аддитивно-параметрическим возмущением — пульсирующим давлением движущейся среды. Эти уравнения, названные амплитудными, представляют собой уравнения движения в нормальных координатах метода нормальных форм колебаний С.П. Тимошенко [139].

Тем самым, вопросы анализа динамической устойчивости трубопровода, определения наиболее опасных пульсаций давления транспортируемой среды и расчёта динамического отклика на них, т.е. вычисления или гарантирующего оценивания максимально возможной амплитуды изгибных колебаний по различным собственным формам, сведены к аналогичным задачам для совокупности амплитудных уравнений.

В четвёртой главе метод экстремальных отклонений применён для решения сформулированных задач исследования динамической устойчивости типового для трубопроводных систем обвязки нагнетательных установок П-образного элемента, определения наиболее опасных пульсаций давления транспортируемой в нём среды и расчёта соответствующего динамического отклика. С помощью метода экстремальных отклонений разработана методика определения экстремальных пульсаций давления среды, движущейся в рассмотренной трубопроводной конструкции, и проведен расчёт соответствующей динамической реакции её горизонтального участка. В форме синтезирующих функций найдены экстремальные, т.е. худшие для каждого тона собственных колебаний, возмущения. Установлено, что наиболее опасна релейная периодическая пульсация давления транспортируемой среды на низшей собственной частоте исследуемого участка трубопровода.

В аналитическом виде получен критерий динамической устойчивости горизонтального участка П-образного трубопроводного элемента, который определяет предельно допустимую амплитуду пульсации давления транспортируемой среды. Обоснована возможность одночленной аппроксимации решения краевой задачи об изгибпых колебаниях изучаемого участка трубопровода при действии экстремального возмущения. Получены аналитические оценки для максимально возможных амплитуд его поперечных колебаний, виброскорости и динамических составляющих изгибающего момента и изгибного напряжения, что позволяет прогнозировать опасное развитие вибрации и осуществить отстройку от резонанса. Геометрические, инерционные, демпфирующие и другие характеристики конструкции должны выбираться таким образом, чтобы, полученные на основе метода экстремальных отклонений максимально возможные величины амплитуд поперечных колебаний, виброскорости и изгибпых напряжений исследуемого участка трубопровода пе превосходили бы их предельно допустимых значений, расчитываемых из прочностных критериев.

Эффективность разработанной методики определения экстремальных пульсаций давления транспортируемой среды и расчёта динамической реакции горизонтального участка П-образного трубопроводного элемента проиллюстрирована вычислением при конкретных значениях параметров конструкции максимальных амплитуд его поперечных колебаний и виброскорости по различным собственным формам, а также динамической составляющей изгибного напряжения.

Основные положения диссертации, выдвигаемые на защиту:

1) Метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов систем управления второго и третьего порядка с неопределённостью при наличии внешних или/и параметрических возмущений.

2) Аналитические критерии абсолютной неколебательности, колебательности, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости, полной управляемости двумерных параметрически возмущаемых систем. Исследование связей между перечисленными динамическими свойствами.

3) Аналитические решения задач анализа точности систем управления второго порядка с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями.

4) Два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима.

5) Аналитический критерий абсолютной неколебательности систем третьего порядка с параметрической непред ел ённостью. Конструктивный критерий её абсолютной устойчивости, основанный на использовании отображения Пуанкаре.

6) Методика нахождения экстремальных пульсаций давления в П-образ-ном трубопроводном элементе, позволяющая получать аналитические условия его динамической устойчивости, выражения для максимальных амплитуд виброперемещений, виброскорости, изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с нестационарной неопределённостью. Метод позволяет получать доведенные до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые результаты решения задач анализа колебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивостии, робастной стабилизации и динамической точности систем. Метод состоит из двух этапов:

- анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, разделение систем в форме аналитических критериев на абсолютно неколебательпые и колебательные разных типов;

- анализ экстремальных режимов колебательных систем на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.

2) При разработке метода решены следующие задачи:

- впервые в форме аналитических критериев произведена классификация двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью по осцилляционным свойствам их решений, что позволяет говорить о возможности классификации многомерных систем по признаку колебательности;

- дифференциально-геометрическим способом осуществлён синтез экстремальных возмущений для двумерных систем с внешними или/и параметрическими возмущениями;

- построены траекторные воронки двумерных систем управления с параметрическими или/и внешними возмущениями;

-установлены аналитические критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных систем с параметрической неопределенностью, установлены связи между динамическими свойствами: абсолютно неколебательные системы не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем — следствие критериев абсолютной устойчивости и полной неустойчивости;

- получены аналитические решения задач анализа динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, найдены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем, устанавлена связь между теорией автоколебаний и теорией накопления возмущений;

- разработаны два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима, найдены неустойчивые предельные циклы, ограничивающие области робастной стабилизации;

- установлен аналитический критерий абсолютной неколебательности одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределенностью по первой производной их решений и произведена классификация систем по этому признаку.

3) Методом экстремальных отклонений в комбинации с принципом максимума Понтрягина получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка с параметрической неопределенностью.

4) Метод экстремальных отклонений применйм для анализа экстремальных режимов широкого класса систем с неопределённостью, в том числе, систем с распределёнными параметрами. В качестве примера его использования проведено исследование динамической устойчивости упругой системы — трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой. Впервые разработана методика нахождения экстремальных пульсаций давления среды. Установлены аналитические условия динамической устойчивости, найдены выражения для максимально возможных амплитуд изгибных колебаний, виброскорости и изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации. Это иллюстрирует возможность применения результатов, полученных в работе, к решению задач анализа экстремальных режимов реальных систем, не ограниченных двумерным или трёхмерным фазовым пространством.

1. Александров B.B. О накоплении возмущений в линейных системах по двум координатам // Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 1968. № 3. С. 67-76

2. Александров В.В. К задаче Б.В. Булгакова о накоплении возмущений // Доклады АН СССР. 1969. Т. 186. №3. С. 526-529.

3. Александров В.В. Задача Б.В. Булгакова о накоплении возмущений. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1969, 154 с.

4. Александров В. В. Абсолютная устойчивость иммиционных систем в первом приближении // ДАН СССР. 1988. Т.299. №2. С. 296-301.

5. Александрова О.В. Обобщенный резонанс в колебательной системе // Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 1991. № 3. С. 89-92.

6. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит, 2005.

7. Александров В.В., Блаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас И.М, Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в дифференциальных играх // Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 2005. № 4.

8. Александров В.В., Александрова О.В., Приходъко И.П., Ауила Р.О синтезе автоколебаний // Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 2007. № 3. С. 41-43.

9. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка. Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 1972. № 5. С. 102-109.

10. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость систем третьего порядка с нелинейным нестационарным элементом // Труды Института механики МГУ. 1975. № 40. С. 48-64.

11. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка // ДАН СССР. 1975. Т. 222. №2. С. 309-311.

12. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость параметрически возмущаемых систем третьего порядка // Автоматика и телемеханика. 2009. №8, С. 20-40.

13. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы. Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 1998. № 6. С. 40-43.

14. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация колебательной системы второго порядка // Тезисы докладов XI Международного семинара им. PI.Г. Петровского: Дифференциальные уравнения и их приложения. М:, МГУ, 20-24 января 1998 г. С. 34.

15. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

16. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат. лит, 1959.

17. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

18. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы// ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 247-250.

19. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

20. Айзерман М.А., Пятницкий E.G. Основы теории разрывных систем. 1,11 // Автоматика и телемеханика. 1974. № 7; С. 33-47; № 8. С. 39-61.

21. Ваутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

22. Болотин В.В. Динамически устойчивость упругих систем. М.: Гостех-издат, 1956.

23. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов.// Труды МЭИ, 1956, вып. XIX, С.272-291.

24. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. M.-JL: Гостехиздат, 1939.

25. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. т. 51. № 5. С.339-342.

26. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.

27. Булгаков Б.В., Кузовков Н.Т. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с переменными параметрами // Прикладная математика и механика. 1950. Т. 14, № 1. С. 7-12.

28. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления // Автоматика и телемеханика. 1982. № 1. С. 5-18.

29. Бутковский А.Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. М.: Наука, 1985.

30. Бутковский А.Г., Бабичев A.B., Лепе Н.Л. Фазовые портреты динамических систем с управлением на плоскости. Препринт. М.: Институт проблем управления РАН, 1985.

31. Бабичев A.B., Бутковский А.Г., Jlene Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. I, II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 24-31, № 7. С. 48-54.

32. Бутковский А.Г. Частотные условия робастной устойчивости// Техническая кибернетика. 1993. № 3. С. 62-81.

33. Величенко В. В. О методе поля экстремалей и достаточных условиях оптимальности.// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14, № 1. С. 45-67.

34. Величенко В. В. Условия оптимальности в задачах с промежуточными условиями.// ДАН АН СССР. 1967. Т. 174, № 5. С. 1011-1013.

35. Владиславлев A.C., Козобков A.A., Малышев В.А., Мессерман A.C., Писаревский В.М. Трубопроводы поршневых компрессорных машин. М.: Машиностроение, 1972.

36. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

37. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

38. Гноенский Л.С. О накоплении возмущений в линейных системах // Прикладная математика и механика // 1961. Т. 23. № 2. С. 12-22.

39. Гноенский Л. С. О точности некоторых нелинейных управляемых систем с ограничениями и запаздыванием // Прикладная математика и механика // 1970. Т. 32. № 6. С. 34-42.

40. Гноенский Л. С. О накоплении возмущений в некоторых системах стабилизации с ограниченным управлением // Сборник статей. Автоматическое регулирование и управление. Всесоюзный заочный машиностроительный институт. 1976. С. 43-55.

41. Гноенский Л.С., Розенблат Г.М. О точности некоторых нестационарных следящих систем // Автоматика и телемеханика. 1978. № 9. С. 24-31.

42. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

43. Герштейн М.С. Динамика магистральных трубопроводов. М.: Недра, 1992.

44. Гринберг Г.А. Новый метод решения некоторых краевых задач для уравнений математической физики, допускающих разделение переменных. Известия АН СССР. Сер. физ. 1946. т. 10. № 2. С. 141-168.

45. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

46. Емельянов C.B., Уткин В.И., Таран В.А., Костылева Н.Е., Шубладзе A.M., Езеров В.Б., Дубровский Е.Н. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

47. Емельянов C.B., Коровин С.К. Теория нелинейной обратной связи, стабилизация при неопределённости// Нелинейная динамика и управление. Вып. 1, С. 5-62.

48. Жермоленко В.И. Абсолютная устойчивость одного класса систем третьего порядка.//М:, Сборник научных работ молодых учёных и аспирантов. Институт механики МГУ. 1973. № 1. С. 160-168.

49. Жермоленко В.Н. К задаче Б.В. Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика. 1980, № 2. С. 87-91.

50. Жермоленко В.Н. Анализ точности управляемых динамических систем. М.: МИНГ им И.М. Губкина. 1990. 58 с.

51. Жермоленко В.Н. Предельные циклы на фазовой плоскости. //В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и сё применение. М.: МГУ, 1993. с. 35-48.

52. Жермоленко В.Н., Гонсалес Мастрапа Г., Хинг Кортон Р. Абсолютная устойчивость двумерных систем // В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и её применение. М.: МГУ, 1993. С. 57-80.

53. Жермоленко В.Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка. // Автоматика и телемеханика. 2001. JY2 2. с 122-134.

54. Жермоленко В.Н. Колебательность двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2005. № 9. С. 27-39.

55. Жермоленко В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. Вып. 8. С. 105-117.

56. Жермоленко В.Н. Траекторные воронки двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления 2006. № 2. С. 29-42.

57. Жермоленко В.Н. Фазовые портреты двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 3. С. 13-23.

58. Жермоленко В.Н. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем. // Автоматика и телемеханика. 2006. N9 8. С. 12-35.

59. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1-6.

60. Жермоленко В.Н. Применение метода экстремальных отклонений к исследованию вынужденно-параметрических изгибных колебаний трубопроводов // Автоматика и телемеханика. 2008. №9. С. 10-33.

61. Жермоленко В.Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка. Труды VI Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Москва, Институт проблем управления РАН, 1-3 июня 2000 г. С. 120-121.

62. Жермоленко В.Н. Робастная устойчивость параметрически возмущаемых билинейных систем. Тезисы докладов VII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М.: Институт проблем управления РАН, 22-24 мая 2002г. С. 162-164.

63. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969.

64. Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с несколькими нелинейными нестационарными элементами// Автоматика и телемеханика. 1983. № 12. С. 20-30.

65. Картвелишвили Н.А. Поперечные колебания и динамическая прочность напорных трубопроводов в связи с кавитационными явлениями в турбинах// Известия ВНИИ Гидротехники им. Веденеева, 1953, т. 49. С. 31-43.

66. Кигурадзе И. Т., Розов Н.Х. Об абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем автоматического регулирования// Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16 № 4. С. 755-756.

67. Ковревский А.П. Динамика трубопроводов, содержащих нестационарный поток жидкости// Прикладная механика, 1970, т.IV, вып. 8. С. 97-102.

68. Козобков A.A., Поляков В.А. Принципы нормирования вибрациии трубопроводов// Известия вузов. Нефть и газ. 1989. № 10. С. 34-39.

69. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

70. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

71. Кузовков Н. Т. К оценке накопления отклонений в линейной системе методом логарифмических частотных характеристик//Вестник Московского университета. Серия математика, механика, астрономия, физика, химия. 1956, № 1. С. 33-39.

72. Куржанский A.B. Управление и оценивание в условиях неопределённости. М.: Наука, 1977.

73. Лавровский Э.К., Формалъский A.M. Оптимальное управление раскачиванием и торможением качелей // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. № 2. С. 92-101.

74. Лавровский Э.К., Формалъский A.M. Синтез оптимального управления раскачиванием и торможением двухзвенного маятника // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 2. С. 225-234.

75. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ + pi^x^1-1^ + . + pn(t)x = 0 // Успехи математических наук. 1969. Т.24. № 2. С. 43-69.

76. Лепе Н.Л. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка // Автоматика и телемеханика. 1984. №11. С. 19-25.

77. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

78. Либерзон М.Р. Новые результаты по абсолютной устойчивости нестационарных регулируемых систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. № 8. С. 29-48.

79. Либерзон М.Р. Абсолютная устойчивость одного класса следящих систем // Автоматика и телемеханика. 1979. № 12. С. 25-29.

80. Либерзон М.Р. Признак абсолютной устойчивости нестационарных си-: стем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 2. С. 39-46.

81. Либерзон М.Р. Очерки о теории абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 86-119.

82. Лурье А.И., Постников В.П. К теории устойчивости регулируемых систем// Прикладная математика и механика. 1944. т.8. вып. 3. С. 14-23.

83. Матасов А.И. Метод гарантирующего оценивания. М.: Изд-во МГУ, 2009.

84. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Изд-во МГУ, 1993.

85. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. 1,11,III // Автоматика и телемеханика. 1982. № 1. С. 19-27. № 2. С. 17-28. № 3. С. 29-41.

86. Молчанов А. П. г Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-73. № 4; С. 5-14. № 5. С. 38-49.

87. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Критерии устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений // Доклады АН СССР. 1987. Т. 297. № 1. С. 37-40.

88. Молчанов А.П. Об эквивалентности двух определений абсолютной устойчивости для нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1988. № 10. С. 187-189.

89. Молчанов А. П. Методы исследования робастной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. Дис. д-ра физ-мат наук. М.: Институт проблем управления РАН, 2001, с. 272.

90. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. С. 106-125.

91. Натанзон М. С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости// Изв АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. 1962. № 4. С. 42-46.

92. Неймарк Ю.И. Устойчршость линеаризованных систем. Л. ЛКВВИА, 1949.

93. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

94. Нормы вибрации трубопроводов технологического газа компрессорных станций с поршневыми газоперекачивающими агрегатами. М.: ВНИИГАЗ, 1993.

95. Нормы вибрации трубопроводов технологического газа компрессорных станций с центробежными нагнетателями. М.: ВНИИГАЗ, 1994.

96. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Уравнения малых колебаний пространственного трубопровода с текущей жидкостью//Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюзн. межвуз. сб., Горьк. ун-т, 1977. Вып. 7, С. 77-84.

97. Овчинников В.Ф. Математическое моделирование пространственных трубопроводных систем. Дисс. д-ра физ-мат. наук. Нижний Новгород.: НИИ механики НГУ им. Н.И. Лобачевского. 2002. 291 с.

98. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Сёмина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998.

99. Писаревский В. М., Поляков В. А., Прохоров А. Д., Черняев В. Д., Челинцев С. Н. Основы технической диагностики. Часть I. М.: ГАНГ им. И.М. Губкина. 1996. 91 с.

100. Писаревский В.М., Поляков В.А. О выявлении источника параметрического резонанса в трубопроводных системах центробежных насосов.// Транспорт и хранение нефтепродуктов № 4-5, 1997, С. 15-17.

101. Политехнический словарь М.: Советская энциклопедия, 1989.

102. Позняк A.C. Основы робастного управления (Н^ теория). М.: МФТИ, 1991.

103. Поляк Б. Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем// Автоматика и телемеханика. 1990. № 10. С. 45-54.

104. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастный критерий Найквиста// Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. С. 25-31.

105. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II// Автоматика и телемеханика. 2002. № 8. С. 37-53, № 9. С. 56-75.

106. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

107. Поляков В.А. Разработка методики нормирования вибрации трубопроводов большого диаметра с целью повышения их надёжности. Дисс. канд тех. наук. М.: МИНГ им. И.М. Губкина. 1989. 125 с.

108. Поляков В.А. К вопросу снижения уровня вибрации при параметрическом резонансе в трубопроводных системах центробежных насосов.// Транспорт и хранение нефтепродуктов № 4-5, 1997, с. 35-36.

109. Поляков В.А. Разработка методологии расчёта и оценки процессов деформации технологических трубопроводов в условиях снижения несущей способности. Дисс. д-ра тех. наук. М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. 2003. 310 с. 33-34.

110. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: Гостехиздат, 1947.

111. Пятницкий Е. С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования // Автоматика pi телемеханика. 1968. № 6. С. 5-36.

112. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелршей-ных систем // Автоматика pi телемеханика. 1970. № 1. С. 5-15.

113. Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем. Свободные и вынужденные движенрш // Автоматика и телемеханика. 1970. № 3. С. 5-15.

114. Пятницкий Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом // Автоматика и телемеханика. 1971. № 1. С. 5-16.

115. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Существование периодических движений и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем в трехмерном случае // Автоматика и телемеханика. 1991. № 5. С. 68-79.

116. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем // Автоматика pi телемеханика. 1991. № 10. С. 63-73.

117. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Граница области асимптотической устойчивости селекторно-линейных дифференцр1альных включений и существование периодических решений // Доклады АН СССР. 1991. Т. 321. № 4. С. 687-691.

118. Рапопорт Л.Б. Граница абсолютной устойчивости нелршейных нестационарных систем и ее связь с построеннм инварргантных функций // Автоматика и телемеханика. 1990. № 10. С. 78-86.

119. Рапопорт Л.Б. Антипериодическрю движения и алгебраический критерий абсолютной устойчивости нелршейных нестацрюнарных систем в трехмерном случае // Автоматика pi телемеханика. 1993. № 7. С. 38-54.

120. Рапопорт Л.Б. Антипериодические движения и алгебраический критерий абсолютной устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений в двухмерном случае // Автоматика и телемеханика. 1995. № 1. С. 56-63.

121. Ройтенберг Я.Н. О накоплении возмущений в нестационарных линейных системах// ДАН СССР. 1958. т. 121. № 2. С. 221-224.

122. Самарии A.A. Вррбрация трубопроводов энергетических установок и методы её устранения. М.: Энергия, 1972. 288 с. 130. Светлицкий В.А. Колебанрш гибких шлангов, заполненных движущейся жрщкостью// Изве-стры вузов. Машиностроение,. 1966, №3, с. 21-25.

123. Светлицкий В.А. Статика, устойчивость и малые колебания tpi6kpix стержней, заполненных движущейся идеальной несжимаемой жидкостью//

124. Расчёты на прочность, 1969, вып. 14, с.332-351.

125. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения и малые колебания стержней, заполненных движущейся жидкостью// Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1977, № 1, с. 165-172

126. Светлицкий В.А. Малые колебания пространственно-криволинейных трубопроводов// Прикладная механика 1978, т. 14, № 8, с.70-78

127. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 280 с.

128. Стейн, Тобрииер. Колебания трубы с протекающей по ней жидко-стыо//Тр. Амер. об-ва инж мех. Сер. Б. Прикл. механика, 1970, т.37, №4, с. 17-28.

129. Султанов И.А. Неоднозначные скользящие движения в релейных системах. // Автоматика и телемеханика. 1977. № 7. С. 45-61.

130. Султанов И.А. Исследование процессов управления, описываемых уравнениями с недоопределенными функциональными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1980. № 10. С. 30-41.

131. Сухарев М.Г. Надёжность систем газо- и нефтеснабжения: Состояние, проблемы, модели. М.: Нефть и газ, 1998.

132. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985.

133. Уивер Д. С., Юнни Т.Е. О динамической устойчивости трубы с протекающей по ней жидкостью//Прикл. механика, 1973, № 1, С. 51-55.

134. Уланов Г.М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971. ,

135. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

136. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления М.: Наука, 1981.

137. Ушаков В. С. Колебания и динамическая устойчивость трубопроводов самолётных гидросистем. Дисс. канд тех. наук. Рига, 1956. 135 с.

138. Феодосъев В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через неё жидкости// Инженерный сборник, 1951, № 10, С.169-170.

139. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений правой частью. М.: Изд-во МГУ, 1993.

140. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Математический сборник. 1960. Т. 51, № 1. С. 99-128.

141. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. // Доклады АН СССР. 1963. Т. 151, № 1. С. 65-68.

142. Филиппов А.Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8. С. 48-55.

143. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

144. Формалъский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

145. Формалъский A.M. О глобальной стабилизации двухзвенного перевёрнутого маятника с управлением в межзвенном шарнире// Механика твёрдого тела. 2008. № 5. С. 3-14.

146. Харитонов B.JI. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14. № 11. С. 2086-2088.

147. Харионовский В. В. Надёжность и ресурс конструкций газопроводов. М.: Недра, 2000.

148. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1986.

149. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. № 6. С. 5-30.

150. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. I. Общие частотные критерии // Автоматика и телемеханика. 1970. № 12. С. 5-14.

151. Якубович В. А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. И. Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий // Автоматика и телемеханика. 1971. № 6. С. 25-34.

152. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

153. Якубович В.А. Вибрационная диагностика трубопроводов компрессорных станций/ М.: Недра, 2004. С. 1-334.

154. Якубович В.А. Оценка технического состояния промышленного оборудования по параметрам вибрации (Нормы вибрации). М.: Макс Пресс, 2008, С. 1-289.

155. Ackermann J. Robust control: sistems with uncertain physical parameters. New York: Springer-Verlag, 1993.

156. Barmish B.R. New tools for robustness of linear sistems. New York: MacMillan, 1995.

157. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured parameters. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

158. Ahmadi G., Satter M.A. Stability of a pipe carrying time-dependent flowing fluid// J. Franclin Inst., 1978, vol. 305, № 1, p. 1-9.

159. Ashley E.L., Haviland G. Bending vibration of pipeline containing flowing fluid// J. Appl Mech., 1950, sept., p. 229-232.

160. Baird R.C., Bechtold J.C. Mechanical vibration of piping induced by gas-pressure pulsatione//Trans.of the ASME, 1949, vol.71, № 8, p. 989-995.

161. Biswas S.K., Ahmed N. U. Optimal control of flow-induced vibration of pipeline//Dynamics and control. 2001, № 2, p. 187-291.

162. Bathe K.J., Almeida C.A. A simple and effective pipe elbow element interaction effects//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1982, v.49. p. 165-171.

163. Chen S.S. Vibration and stability of a uniformly curved tube conveying fluid// J. Acoust. Soc. Amer, 1972, v.51, № 1, p. 223-232.

164. Hausner G. W. Bending vibrations of a pipeline containing flowing fluid//J. Appl. Mech. 1952, v.19, № 2, p. 205-208.

165. Hill J.L., Davis C. G. The effect of initial state forces hydroelastic vibration of tubes// CANCAM 73. Montreal, 1973, p. 563-564.

166. Mattei P.-O., Filippi P.J.T. Response of a thin cylindrical shell excited by a turbulent internal flow//Flow, turbulence and combustion. 1999, v.61.2. p. 85-99.

167. Paidoussis M.P., Issid N. T. Experiments on parametric resonance of pipe conveying pulsatile flow//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1976, v. 43, № 2.p. 198-202.

168. Paidoussis M.P., Sandarajan C. Parametric and combination resonance of a pipe conveying pulsating fluid//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1975, v. 42, № 4. p. 780-784.

169. To C. W.S., Kaladi V. Vibration of piping systems containing a moving medium. Trans. ASME. J. pressure vesseltechnol, 1985, v. 107, № 4, p. 344-349.

170. Saxe R.F. The fluctuating mechanical forces on a pipe-bind in PWR system//Ann. Nuclear Energy, 1976, v.3, № 11-12, p. 540-542.

171. Watham J.F. Pipe bend analysis by thin shell theory//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1986, v. 53. p. 173-180.

172. Mao Qing, Zhang Jinghui. Orifice-induced wall pressure fluctuations and pipe vibrations; theory and modeling of fluid excitations//Flow, turbulence and combustion. 2007, v. 79. № 1. p. 25-40.

173. Zhermolenko V.N., Hing Corton R. Estabilidad absoluta de los sistemas de control automatico de segundo orden con coeficientes variables // Investigationes operationales. Universidad de la Havana. 1979. № 28. p. 39-54.

174. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Sobre el ciclo limite en el problema de la desviacion maxima de un sistema de segundo orden // Investigationes operationales. Universidad de la Havana. 1979. № 28. p. 55-68.

175. Zhermolenko V.N., Gomales Mastrapa H. Oscilaciones de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1982. vol. III, № 3. p. 111-129.

176. Zhermolenko V.N., Gomales Mastrapa H. Estabilidad absoluta de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1983. vol. I, № 3. p. 3-24.