автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных систем управления

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЗУБОВ Никита Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Квитко Александр Николаевич (Санкт-Петербург)

кандидат технических наук, профессор Кузин Зотик Семенович (Санкт-Петербург)

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет «Военмех»

Защита состоится Г^фу2003 г. в /Стасов на заседании

диссертационного совета Д-212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « с'-* г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор Г. И. Курбатова

(W?

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении задач анализа, синтеза, компьютерного и имитационного, моделирования систем управления динамическими объектами достаточно часто встречаются ситуации, когда в качестве математических моделей объектов выступают линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений. Часто практически значимые ситуации осложняются необходимостью учета нелинейных ограничений, определяемых возможностями реализации управляющих воздействий. Следует отметить, что в технических приложениях широко используются методы, базирующиеся на «замораживании» коэффициентов с последующим рассмотрением объектов как стационарных. Однако такой подход далеко не всегда применим при решении конкретных задач, что определяет необходимость в дальнейшем развитии теории и соответствующих вычислительных методов.

Важность этой задачи подчеркивается именами выдающихся ученых, посвятивших ей ряд фундаментальных исследований:

A.M. Лётов, В.И. Зубов, A.A. Красовский, В.В. Солодовников,

B.C. Пугачёв, А.И. Лурье и многие другие.

Вопросы решения прикладных задач нашли свое отображение в работах Е. А. Барбашина, А. А. Красовского, А. М. Лурье, В. И. Зубова, В. А. Якубовича.

Тем не менее, интенсивное развитие современной вычислительной техники в последние годы определило потребность и предоставило новые возможности в развитии исследований по указанному направлению. Следует подчеркнуть, что проблема еще далеко от своего исчерпывающего решения, поскольку даже для линейных нестационарных систем полный анализ можно провести лишь для весьма частных случаев. Особые трудности возникают при решении задач синтеза нестационарных систем.

Изложенные обстоятельства определяют актуальность работы, направленной на отыскание и исследование класса нестационарных систем, на которые возможно расширить область применимости методов, изначально ориентированных на стационарные объекты.

Не менее важной задачей является учет нелинейных ограничений при синтезе нестационарных систем. Особую актуальность представляет развитие специализированных подходов к решению прикладных задач анализа и синтеза нестационарных систем управления движением, возникающих в судостроении.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург г-Va « 09 J0e5 J

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на выявление простых достаточных условий асимптотической устойчивости нулевых решений линейных нестационарных систем. Целью также является разработка.и программная реализация алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарных объектов с учетом нелинейностей в приводе исполнительных органов. При этом должно быть обеспечено движение по заданной траектории с желаемым качеством переходных процессов. Предлагаемые подходы должны быть адаптированы для решения прикладных задач по управлению движением морских судов.

Для реализации поставленных целей рассматриваются следующие задачи:

- среди класса линейных нестационарных систем выделяются системы, для которых вопрос об устойчивости в целом может быть выполнен на основании критерия Рауса-Гурвица, выполненного для моментов времени Г > , где tlí <о°— некоторое число;

- среди аналогичного класса систем выделить системы, для которых вопрос об устойчивости можно решить аналогично системам с Т-периодической матрицей;

- для абсолютно устойчивых систем, на классе допустимых управлений, синтезировать управление, обеспечивающее оптимальное демпфирование некоторой заданной положительно-определённой формы фазовых координат системы;

- исследовать вопросы устойчивости возмущённых нестационарных систем с возмущениями из некоторого заданного класса;

- для вполне управляемых по Калману при каждом фиксированном / > 0 систем управления выделить такой класс, для которого задача поиска стабилизирующего управления решается аналогично линейному стационарному случаю;

- обеспечить программную реализацию найденных решений с использованием современных программных средств.

Методы исследований. Для решения задач исследуемых в диссертационной работе в качестве базового используется второй метод Ляпунова. Кроме того, применяются методы теории абсолютной устойчивости и методы анализа систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Для практической реализации разработанных алгоритмов привлекаются современные компьютерные технологии.

Научная новизна результатов работы состоит в определении новых классов управляемых объемов, описываемых обыкновенными нестационарными линейными дифференциальными уравнениями, которые допускают применение методов анализа и синтеза линейных стационарных систем. Разрабогана новая методика синтеза алгоритмов управления, позволяющая учесть нелинейности привода и в целом повысить надёжность работы системы управления. Обеспечена программная реализация разработанных алгоритмов в реальном масштабе времени, позволяющая уменьшить шаг дискретности за счет сокращения объема вычислений по сравнению с методом замороженных коэффициентов.

Практическая значимость работы определяется тем, что на основании проведённого теоретического исследования предложены алгоритмы анализа и синтеза систем управления, учитывающие нестационарную специфику рассматриваемых задач. Программная реализация алгоритмов управления позволяет в режиме реального времени работать с системами большой размерности, что расширяет возможности практического использования результатов работы.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также её отдельные положения и полученные результаты докладывались на 11-м Международном семинаре №АС "САО 2000", на XXXI научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ, на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем факультета ПМ-Г1У и на семинарах лаборатории компьютерного моделирования систем управления НИИ ВМ и ПУ СПбГУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 4 работы.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертационной работы составляет 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели исследования и приведены общие постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Выполнен краткий обзор публикаций по теме работы, который позволяет подтвердить её актуальность и новизну рассматриваемых задач.

Первая глава является теоретической основой диссертационной работы. Она посвящена исследованию вопросов устойчивости линейных нестационарных систем, решению задачи синтеза абсолютно устойчивых систем, методам выбора оптимальных разрывных управлений. В качестве базы для предлагаемых подходов используется второй метод Ляпунова.

В первом пара1рафе осуществляется вывод новых достаточных условий устойчивости линейных нестационарных систем и доказывается ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе.

Рассматривается система дифференциальных уравнений вида

x = A(f)x, Vx(0) = x0eR", (1)

где матрица А (г) обеспечивает существование и единственность решения. Достаточные условия устойчивости в целом системы (1) формулируются в виде следующих утверждений.

Теорема 1.1. Пусть матрица A (i) системы (1) удовлетворяет следующим условиям:

A (i) - гурвицева при / > и, t*<°o, причем

inf min|ReAj(/)| > £ > 0 ; (2)

Г>(. г

A(i)eC, при г>0; (3)

'¿ГЧ.Ц (4,

[(det(A(t)A*(t)j) J

Li2Lo при t

|А(ОГ

При / —> оо . (5)

Тогда нулевое решение системы (1) является асимптотически устойчивым в целом.

б

Теорема 1.2. Пусть матрица A(f) системы (1) удовлетворяет условиям (3) и (4) теоремы 1.1. Пусть, кроме того, выполнены следующие дополнительные условия:

A(?) - гурвицева при t > t,, причём найдётся хотя бы один номер i, для которого

limRcA,(A(i)) = 0; (6)

t—> О»

3ij < Зе > 0: 0 < и < t выполнено условие

|А(0| v(t)-

|Â(i)

> е > 0, (7)

| A(i) \ /

где v(i) = min Я, (С (г)), - £(0 = А*(А*А)_1/2 + (АА*)-ША > 0.

I

Здесь и далее Я(£) — корни уравнения det(Al — £) = 0. Тогда решение х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 1.3. Пусть матрица А(г) гурвицева при почти всех t ~> 0 и, кроме того, выполнены условия:

detA(i) -» 0 при t °°; (8)

fexp J_fb^diL(i)<ft = oe, (9)

о I J

где ßn = шах|я,((А(г)А*(г))"2|, /х, =|^((A(0A*(i))1/2] •

Тогда решение Х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 1.4. Пусть матрица системы (1) удовлетворяет условию A(f) = A0(f) + B(/), где А0(г) = А0(г + Г), Г>0 и |B(f)|-»0 при

f —> ОО .

Пусть, далее, мультипликаторы матрицы монодромии системы у = А0(г)у удовлетворяют условию jp(| <1, V/ = 1,л.

Тогда система (1) асимптотически устойчива в целом.

Среди вспомогательных утверждений самостоятельный интерес представляет следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть матричная функция В(х,Г) непрерывна и гур-вицева при (х,г)6 С® [О,, Се К".

Тогда матрица В(х,/) единственным образом представима в виде

В(х,г) = 8(х,?)Т(х,г),где в(х,О>0, Т*(х,*)ТСМ) = 1-

Во втором параграфе главы обсуждается вопрос о возможности расширения сферы применимости методов решения линейных стационарных задач на более сложные случаи.

Определение 1. Систему (1) и систему

У = А(0У, Уо=Т(0)Х0

(Ю)

будем называть квазиподобными, если матрицы A(i) и A(i) связаны соотношением А(/) = Т~'(/)А(/)Т(/),где Т(/)еС.

Рассматривается вопрос о том, при каких свойствах матрицы A(i) условия глобальной устойчивости систем (1.1) и (10) суть эквивалентны.

Теорема 2.1. Пусть матрица A (t) системы (1) и некоторый вектор b(i) при каждом фиксированном t > 0 составляют вполне управляемую по Калману пару. Пусть, кроме того, матрица A(f) удовлетворяет условиям теоремы 1.1, а вектор b(i) удовлетворяет

м

соотношению

|ИГ

0 при t -

Тогда система (1) и квазиподобная ей система (10) одновременно являются асимптотически устойчивыми при условии, что

Т(0 - К(0А(Г), где К(0 = (а"-1^«,-, А(0Ь(0,Ь(0),

А(/) =

1

а,

и-1

а,

0 1

п-2

ол

0

1

а, (t) — коэффициенты характеристического полинома матрицы A(í), Рассмотрим систему, замкнутую управлением по состояншо

x = \(t)x + b(t)u(t,x),

(И)

u(t,x)=s (Ox.

Теорема 2.2. Пусть матрица A(r) и вектор распределения управления b(i) удовлетворяют условиям теоремы 2.1. Тогда существует вектор коэффициентов обратной связи S0(/), при котором замкнутая система

х = (A(f)x + b(f )Sq)x, (12)

асимптотически устойчива.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, связанные с синтезом абсолютно устойчивых систем и производится выбор допустимого управления, оптимального по отношению к демпфированию некоторой положительной формы W(x) > 0 от фазовых координат такой, что W(x)<0 при ||х| Ф 0.

Кроме того, изучается вопрос об устойчивости движения по отношению к постоянно действующим возмущениям из некоторого банахова пространства.

Рассматривается система управления

х = (А(/) + b(/)s* (r))x + b (t)(p(a), о — c*(i)x.

Теорема 3.1. Пусть матрица A(t) и вектор b(i) удовлетворяют

условиям теоремы 2.2. Тогда существуют векторы s*=Sq(î) и

c*=cp(i), при которых система (13) абсолютно устойчива в классе функций

<р(ст)еФ = {p(cr) е С, |<р(ст)| < к, <р((т)а > 0 при а Ф О, <р(0) е [-к ,к ]}.

Здесь под решением системы (13) понимается решение дифференциального включения

хе (А(0 + Ь(08*(0)х + Ь(/)Ф. (14)

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда существует такая положительно-определённая матрица Н(?), для которой

при выборе (р(а) - (р0 (сг) = к ■ sign(cr) выполняется условие

V(x,i) = d/dt{xH(t)x)= min < 0 .

Заметим, что целесообразность рассмотрения управлений из класса Ф определяется тем, что в реальных условиях энергетика управления всегда ограничена; наискорейшее убывание квадратичной формы фазовых координат снижает опасность превышения ими нежелательных уровней и повышает надёжность работы объекта.

Теперь рассмотрим задачу устойчивости в целом по отношению к постоянно действующим возмущениям. Пусть в системе (13) правая часть возмущена некоторой векторной функцией р(г)е В , где В - банахово пространство:

х = ( A(í) + b(í)s* (0)х + b(t)<p0(a) + p(í),

* ^ '

<7 = С (Г)х.

Определение 2. Под устойчивостью в целом решения х = 0 системы (15) в функциональном пространстве В возмущений правых частей понимается следующее:

1) Vx0eR" Vp(r)eB существует число к <°°:||x(f,xn,p)||< А:,

Vx0 е R", í >0;

2) для Ve>0 можно указать такое 5=8(е), что Vp(í)eB и Vx0eR", удовлетворяющих условию ||x0|| + ||p(í)|jB <5, следует |х(г,х0,р)|<£ при t>0.

Теорема 3.3. Пусть векторы s0(f), с0(/) и функция %(5) выбраны в соответствии с теоремами 3.1 и 3.2. Пусть, далее ||р(0||в - К < °° . Тогда решение х = 0 системы (15) устойчиво в целом Vp(f) е В .

Заметим, что в работе наибольший интерес представляют следующие пространства:

1) С - пространство непрерывных функций с нормой

||p(í)||c=sup||p(0||<*2<<~;

l>0

2) C0cC:lim||p(í)||Co =0;

3) Í! - пространство стационарных случайных функций с нулевым средним и ограниченной корелляционной матрицей.

Теорема 3.3 имеет, очевидное следствие: пусть р(?)б С0. Тогда решение х = О системы (15) асимптотически устойчиво в целом.

В четвёртом параграфе главы рассматривается вопрос о стабилизации движения объекта по заданной траектории. Рассматривается составное управление б +и;), где и, - стабилизирующее

управление, а ир - программное управление точно или приближённо реализующее заданное движение ф(1). Иными словами, рассматривается система

Если уравнение p(i) = 0 имеет решение, то формулируется следующая задача: выбором управления u(i,x) из рассмотренного выше класса требует обеспечить системе (16) асимптотическую устойчивость.

Если уравнение p(f) = 0 не имеет решения (т.е. не существует точного программного управления), то управление и() выбирается

ИЧ1|2 . Ь\0(ф(1)-А(1)ф(1))

Г) -»mm, т.е. u,,(f) =-:--- и предпо-

11 »,<«> b (Ob(i)

лагается, что функция

Для случая ||р(г)|| =8ир||г(0||^0 формулируется иная задача: 1>0

выбором допустимого управления требуется обеспечить устойчивость решения р0 системы (16) в целом для Уг(?)еС.

Решение сформулированных задач получается простым применением результатов параграфов 2 и 3.

Во второй главе работы рассматриваются вопросы, связанные с приложением полученных в работе теоретических результатов для синтеза системы стабилизация движения быстроходного глиссирующего морского судна.

x = A(i)+b(i)u(i,x) + p(0, р(г) = Ь(0ир(?)-{ф(0-А(г)ф(0)

(16)

еС.

В первом параграфе главы описана заданная модель невозмущённого движения судна и сформулирована задача синтеза законов управления. Произведён анализ коэффициентов системы и обсуждены конструктивные ограничения на выбор программного и стабилизирующего управлений.

В качестве математической модели, описывающей динамику судна в связанной системе координат, принимается система обыкновенных дифференциальных уравнений вида (17). Здесь в качестве координат вектора состояния приняты следующие физические переменные: X, - отклонение от заданного курса, х2— угловая скорость по курсу, х3 - крен, х4 - угловая скорость по крену, х5 - угол дрейфа, х6 - дифферент судна, х7 — угловая скорость по дифференту:

Х1 — х2 '

х2 = а22(у)х2 + й21 (у)х3 + (у)х5 +Ь21(у)щ , х3—х4,

х4 = а42(у)х2 + а43(у)х3 + а44(\>)х4 + а45(у)х5 +

+Ь41(у)щ+Ъ42{у)и2, х5 = а52(у)+а53(у)д:з +а55(у)д:5 +Ь51(у)щ , (17)

и, =/1(?,х,м1,м2), Х6 = Х1 >

х~1 = я76^)х6 + аГ1(у)х7 + 2й36(у)м3 + 2Ь46(у)ир , й3-/3Ц,х,ир).

Компонентами вектора управления являются: и1 — угол отклонения вертикальных рулей, и2 - разностный выдвиг кормовых интер-цепторов, и3- суммарный выдвиг кормовых интерцепторов, ир —

суммарный выдвиг носовых интерцепторов (программное управление). На величины и производные указанных компонент наложены соответствующие ограничения по модулю |м,| < и,0.

В уравнениях (17) символом V обозначена скорость хода судна, которая при его разгоне принимается заданной функцией времени.

Требуется построить такие нелинейные законы управления Д и /2, которые обеспечивают судну устойчивое движение по заданной траектории: х1 = х2 = дг3 = х4 = х5 = 0, х6= у0(у). Здесь функция

V0(v) представляет заданный оптимальный закон изменения дифферента при разгоне.

Анализ матрицы A(v) и матрицы распределения управлений B(v) показывает, что в интервале скоростей 0 < v < 5 узлов движение неустойчиво, а пара (А, В) - не управляема по Калману. Поэтому при таких скоростях выбирается только программное управление. В дальнейшем это обстоятельство приводит к тому, что на управляемом участке движения 5 < v < 50 узлов приходится рассматривать значительные отклонения начальных параметров траектории от программных.

Из уравнений (17) видно, что последние три уравнения образуют самостоятельную группу, что позволяет провести декомпозицию задачи. При асимптотической устойчивости системы управления по дифференту, асимптотическая устойчивость системы стабилизации бокового движения будет следовать из теоремы 3.3.

Во втором параграфе главы выполнена аппроксимация крип

вой разгона v(t) судна зависимостью v(t) = ^v (1-е""'') и осущест-

i=i

влено разделение системы (17) на две подсистемы:

а) уравнения бокового движения судна

x = Â1(0x + b,(0u1 + p(f); (18)

б) уравнения движения судна по дифференту

y = Â2(i)y + b2(i)«3. (19)

Здесь х ={*,,...,дс5}, у ={х6,х7}, Uj ^{ирМо}. Для подсистем проведен анализ выполнения условий теорем параграфа 1.2. В качестве законов управления приняты следующие уравнения:

щ =S*(i)x + cp,(a1), ¿3=s2(r)y + <p2(a2), at =Cj(i)x, ст2 =cj(i)y,

фДа^еФ,; ф2(ст2)еФ2.

В соответствии с предлагаемым подходом, выполнено построение вспомогательных матриц Т, и Т2, приводящие соответствующие квазиподобные системы к фробениусовой форме. Важно отметить, что элементы матриц Т, и Т~' определяются как известные функции

элементов с7|; (г) матриц Л, (Г) и А2(?). Это избавляет от необходимости обращать матрицы высоких порядков на каждом шаге управления и на практике позволяет реализовать предлагаемый алгоритм управления в реальном масштабе времени.

В третьем параграфе подробно описана предлагаемая блок-схема реализация бортового алгоритма управления боковым движением судна.

В третьей главе детально рассматривается синтез законов управления судном по дифференту. При этом для анализа, синтеза и моделирования системы управления широко используется стандартное программное обеспечения интегрированного пакета MATLAB. Результаты моделирования проиллюстрированы графиками.

Исследовалась зависимость решений системы от возмущения начальных условий у0 = у|^5 (в силу того, что при 0 < v < 5 система

(17) неустойчива и неуправляема, возмущения начальных условий принимаются значительными по норме).

В заключении приводятся выводы по диссертационному исследованию в целом и формулируются основные его результаты.

Основные результаты, которые выносятся на защиту, состоят в следующем:

1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам.

2. Определены классы матриц A(i) и векторов распределения управления b(i), которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай.

3. Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов.

4. На множестве допустимых разрывных управлений <р(о") е Ф определена функция ç>0(cr), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции.

5. Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов.

6. Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории.

7. Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Зубов Н.И. Об устойчивости в целом нулевого решения системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. — СПб., 1999,— 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 16.12.99.

2. Зубов Н.И. Стабилизация линейных нестационарных систем управления с обратной связью по состоянию // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ. — СПб., 2000. - С. 64-67.

3. Zubov N.I. Movement of linear non-stationary plant along preset trajectory with some of control quality criteria met // Proc. of 11th IF AC Workshop "Control Applications of Optimization" (CAO 2000). St.-Petersburg (Russia), July 3-6, 2000.— [New York]: Published for the International Federation of Automatic Control by Pergamon, 2000.— Vol. 1,—P. 384-385.

4. Зубов Н.И. Движение линейного нестационарного объекта по заданной траектории при обеспечении некоторых требований на качество управления // Сб. тр. междунар. науч. конф. «Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию со дня рождения Ю.С. Богданова».— Минск, 2001. — С. 103-107.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 10.09.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2996. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

р 1 4 4 б 3

1

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность проблемы и общие формулировки рассматриваемых в работе задач.

2. Обзор литературы по теме исследований

3. Цели и основные результаты исследований

ГЛАВА 1. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Об устойчивости в целом решения х = 0 линейной нестационарной системы.

1.2. Об эквивалентности условий устойчивости квазиподобных систем.

1.3. Синтез абсолютно устойчивых систем управления. Устойчивость системы при возмущении правых частей

1.4. Задача о движении объекта по заданной траектории.

ГЛАВА 2. ВОПРОСЫ О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ БЫСТРОХОДНОГО

МОРСКОГО СУДНА.

2.1. Математическая модель движения быстроходного морского катера

2.2. Замкнутая система управления быстроходным катером.

2.3. Алгоритм функционирования системы управления движением.

ГЛАВА 3. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ БЫСТРОХОДНЫМ

МОРСКИМ СУДНОМ ПО ДИФФЕРЕНТУ.

3.1. Оптимальный закон изменения дифферента и обеспечивающее его программное управление

3.2. Синтез стабилизирующего управления.

3.3. Результаты компьютерного моделирования синтезированной системы

3.4. Варианты применяемых квадратичных форм.

1. Актуальность проблемы и общие формулировки рассматриваемых в работе задач

При решении задач анализа, синтеза, компьютерного и имитационного моделирования систем управления динамическими объектами достаточно часто встречаются ситуации, когда в качестве математических моделей объектов выступают линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений. Часто практически значимые ситуации осложняются необходимостью учета нелинейных ограничений, определяемых возможностями реализации управляющих воздействий. Следует отметить, что в технических приложениях широко используются методы, базирующиеся на «замораживании» коэффициентов с последующим рассмотрением объектов как стационарных. Однако такой подход далеко не всегда применим при решении конкретных задач, что определяет необходимость в дальнейшем развитии теории и соответствующих вычислительных методов.

Важность этой задачи подчеркивается именами выдающихся ученых, посвятивших ей ряд фундаментальных исследований: A.M. Лётов, В.И. Зубов, А.А. Красовский, В.В. Солодовников, B.C. Пугачёв, А.И. Лурье и многие другие.

Вопросы решения прикладных задач нашли свое отображение в работах Е. А. Барбашина, А. А. Красовского, А. М. Лурье, В. И. Зубова, В. А. Якубовича и других специалистов.

Тем не менее, интенсивное развитие современной вычислительной техники в последние годы определило потребность и предоставило новые возможности в развитии исследований по указанному направлению. Следует подчеркнуть, что проблема еще далеко от своего исчерпывающего решения, поскольку даже для линейных нестационарных систем полный анализ можно провести лишь для весьма частных случаев. Особые трудности возникают при решении задач синтеза нестационарных систем.

Изложенные обстоятельства определяют актуальность работы, направленной на отыскание и исследование класса нестационарных систем, на которые возможно расширить область применимости методов, изначально ориентированных на стационарные объекты.

Не менее важной задачей является учет нелинейных ограничений при синтезе нестационарных систем. Особую актуальность представляет развитие специализированных подходов к решению прикладных задач анализа и синтеза нестационарных систем управления движением, возникающих в судостроении.

Основное внимание в настоящем исследовании уделяется разработке и программной реализации алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарного нелинейного объекта по заданной траектории с одновременным удовлетворением дополнительных требований на качество переходного процесса. Для достижения заявленной цели требуется решить следующие формализованные задачи:

Задача 1. Для систем вида х = А(Ох, Vx0eR\ t>0 (B.l) с матричной функцией A (t), удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, выделить класс матриц A(t), для которого вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения определяется только свойством гурвицевости матрицы А(/) в любой момент t > 0.

Задача 2. Для систем вида (В.1) с матрицей, представленной в виде А(/) = В(0 + В7(0, где Br(0 = Br(f + T), Т>0, выделить класс матриц В(/), для которого вопрос об устойчивости системы (В.1) определяется мультипликаторами матрицы монодромии системы у = Вг(0у.

Задача 3. Для абсолютно устойчивых систем управления вида: х = D(Ox + b(t)<p{S), D(0 = A(/) + b(Os*(0,

S — c*(f)x, (B.2) р{8)еФ = [(р:(реС, \<p\<k<°°, (p{S)8>0 при 5*0; <p(0)e [-&;&]}, где D(/) - матрица, принадлежащая классам, указанным в задачах 1 или 2 (ее гурвицевость для любого t > 0 обеспечивается заданием вектора s линейной части обратной связи), выбором вектора c(t) и функции ф(д) е Ф добиться устойчивости нулевого решения с одновременным выполнением условия

W(x) —>min. Здесь W(x)>0 при х^О - некоторая положительно определенен ная функция фазовых координат.

Задача 4. Для систем вида (B.I), (В.2), подверженных постоянно действующему аддитивному возмущению г(t) в правых частях, определить свойства системы, при которых решение будет устойчиво по отношению к возмущениям, принадлежащим некоторым заданным пространствам.

Задача 5. Для систем управления по состоянию со вполне управляемым объектом при каждом фиксированном t > t+, U < требуется определить свойства матрицы A it) и вектора b(f), при которых условия устойчивости системы x = (A(0 + b(0s*(0)x (В.З) и системы у = Т-1 (А(0 + b(Os* (t ))Ту, (В .4) где у = Т1х, T(f) - матрица управляемости для системы (В.З), совпадают.

Задача 6. Реализовать теоретические результаты, полученные при решении задач 1-5, для анализа и синтеза системы управления движением быстроходного морского глиссирующего судна.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание диссертационной работы составляет рассмотрение комплекса вопросов, связанных с анализом условий устойчивости линейных нестационарных систем и синтезом на этой основе систем управления, стабилизирующих движение некоторого объекта по наперед заданной траектории.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на выявление простых достаточных условий асимптотической устойчивости нулевых решений линейных нестационарных систем. Целью также является разработка и программная реализация алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарных объектов с учетом нелинейностей в приводе исполнительных органов. При этом должно быть обеспечено движение по заданной траектории с желаемым качеством переходных процессов. Предлагаемые подходы должны быть адаптированы для решения прикладных задач по управлению движением морских судов.

В соответствии с поставленными целями, центральное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

- среди класса линейных нестационарных систем выделены такие системы, для которых вопрос об устойчивости в целом может быть решен на основании критерия Рауса-Гурвица, применяемого для моментов времени t>t,, где tt<°°- некоторое число;

- среди аналогичного класса систем выделены системы, для которых вопрос об устойчивости можно решить аналогично системам с Т-периодической матрицей;

- для абсолютно устойчивых систем, на классе допустимых управлений, синтезировано управление, обеспечивающее оптимальное демпфирование некоторой заданной положительно-определённой формы фазовых координат системы; исследованы вопросы устойчивости возмущённых нестационарных систем с возмущениями из некоторого заданного класса; для вполне управляемых по Калману при каждом фиксированном t > О систем управления выделены такой класс, для которого задача поиска стабилизирующего управления решается аналогично линейному стационарному случаю; обеспечена программная реализация полученных в работе теоретических результатов с использованием современных компьютерных технологий.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам.

2. Определены классы матриц А (О и векторов распределения управления bit), которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай.

3. Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов.

4. На множестве допустимых разрывных управлений (pier) е О определена функция ф0{сг), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции.

5. Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов.

6. Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории.

7. Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов.

1. Айзерман М. А. Пятницкий Е. С. Основы теорем разрывных систем. М.: АиТ, 1974 №7 стр. 33-47, № 8 39-61.

2. Ахматгалиев И. И. К теории устойчивости движения. Казань: ПММ,1977.

3. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука 1967.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука 1970.

5. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом. Известия АН СССР. N 3,1952.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

8. Боднер В.А. О выборе оптимальных параметров регулируемых систем. М.: Оборонгиз, 1953.

9. Бородай И. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. Л.: Судостроение, 1969.

10. Веремей Е.И. и др. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. -370 с.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1969.

12. ДидукГ. А. и др. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984.

13. Дмитриев С.П., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2002. 160 с.

14. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы устойчивости движения. М.: ПММ, вып. 2 1951.

15. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

16. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. 320 с.

17. Зубер И. Е., Якубович Е. Д. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула: ТЛИ 1982.

18. Зубер И. Е. Монотонная стабилизация нелинейных объектов управления. М.: ИЛУ, 1992

19. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем. // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. Сер. 1. СПб., 2000.

20. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

21. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.

22. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1979.

23. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966, 352 с.

24. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982, 286 с.

25. Зубов Н.И. Об устойчивости в целом нулевого решения системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. — СПб., 1999.— 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 16.12.99.

26. Зубов Н.И. Стабилизация линейных нестационарных систем управления с обратной связью по состоянию // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ. — СПб., 2000. С. 64-67.

27. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

28. Кожинская Л.И., Ворновицкий А.Э. Управление качеством систем: синтез систем управления с заданным качеством методами модального управления. М.: Машиностроение. 1979.

29. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. М.: Физматгиз, 1959.

30. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

31. Красовский А.А., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

32. Крейн М. Б. Лекции по устойчивости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Киев: АН УССР. 1954

33. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение. 1976.

34. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Стабилизация систем управления при помощи построения функции Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1985

35. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.

36. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука 1967.

37. Лётов А. Н. Аналитическое конструирование регуляторов. М.: Автоматика и Телемеханика №4, 5, 6. 1960.

38. Лётов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука,1981.

39. Лётов А. М. Динамика полёта и управление. М.: Наука, 1969.

40. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988.

41. Лурье А. Н. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат. 1951.

42. Лурье А. Н. Прямой метод Ляпунова и его применеие в теории автоматического регулирования. М.: Труды II всесоюзного совещания. Изд. АН СССР. 1955.

43. Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения.-М.:Гостехиздат, 1950.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1935

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л., 1952.

46. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.М.: Наука,1971.

47. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Огиз, Госуд. изд-во технико-теор. лит. 1947. 448 с.

48. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

49. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Д.: Энергия, 1977.

50. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. JL: Судостроение, 1973.

51. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.

52. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. М.: Наука, 1971.

53. Пугачёв В. С. Статистические методы в технической кибернетике. М.: Наука, 1971.

54. Ремез Ю. В. Качка корабля JL: Судостроение, 1983.- 328 с.

55. Рязанов Ю.А. Проектирование систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1968.

56. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.

57. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.

58. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

59. Справочник по теории корабля: В 3 т. / Под ред. Войткунского Я.И. JL: Судостроение. 1985.

60. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. М.: Наука, 1985.

61. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

62. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука 1965.

63. Якубович В. А., Леонов Г. А., Гелик А. X. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978.

64. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука 1987.

65. Bellman R. Kronecker Products and the second method of Lyapunov Calculus with Applications, Halsted Press, New York, 1959.

66. Brigland T. Some remarks to the stability of linear systems. JEEE, 1963, CT-10

67. Deza E. Ganthier J. A simple and robust non-linear estimator. CDC Conference, Brighton, p. 531-533.

68. Hahn W. Theory and Applications of Lyapunov Second Method, Berlin.

69. Kalman R. E. On the stability of time-varying linear systems./ JRE, CT-9,1962

70. Modern approaches to control system design / Ed. N. Nunro. London; New York: P.Peregrinus, 1979.

71. Nemirivski A., Gahinet P. The Projective Method for Solving Linear Matrix Inequalities // Proc. Americ. Contr. Conf., 1994, pp. 840-844.

72. Zadeh L. A. On stability of linear varying-parameters systems. // Appl. Phisics. Contr. Conf., 1951.