автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.08, диссертация на тему:Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов

На правах рукописи

Гаер Максим Александрович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДОПУСКОВ СБОРОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОНОВ

Специальность 05.02.08 - «Технология машиностроения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Иркутск 2005

Работа выполнена на кафедре «Технология машиностроения» Иркутского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Д.А. Журавлёв

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор С.А. Зайдес

кандидат технических наук, доцент В.М. Кусачёв

Ведущая организация: Научно-исследовательский центр автоматизированных систем конструирования (г. Москва)

Защита состоится « 26 » мая 2005 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.073.02 в Иркутском государственном техническом университете по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, конференц-зал (К-амф.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 22 » апреля 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета профессор

Актуальность темы. В основе современного машиностроения лежит концепция математической трехмерной модели изделия, являющейся единым источником информации для всех процессов создания изделия и последующих этапов его жизненного цикла. Несмотря на значительные успехи, достигнутые к настоящему времени в области создания и использования такой модели при производстве высокотехнологичных изделий, до сих пор остается нерешенной проблема интеграции CAD, CAE, САМ, CAQ , что не позволяет в полной мере ощутить все преимущества компьютеризированного интегрированного производства.

Основной причиной такого положения является то, что традиционные формы передачи точностных требований в процессе создания изделия не удовлетворяют современным требованиям, и до сих пор не найдены эффективные методы представления допусков как органичной части трехмерной модели изделия. По этой причине современная практика автоматизированного проектирования предполагает создание трехмерных моделей сборок с последующим текстовым указанием на них точностных требований аналогично традиционным чертежам, что существенно снижает преимущества компьютерных технологий создания изделий, основанных на трехмерном представлении объектов и, фактически, тормозит интеграцию проектирования и производства.

Представление допусков как части трехмерной математической модели изделия позволило бы осуществлять реальный анализ конструкций и проверку функциональности и поведения изделий еще на стадии их проектирования. Разработка универсальных и эффективных с точки зрения практической реализации моделей представления допусков, позволяющих проводить реалистический анализ узлов и агрегатов изделия позволила бы значительно повысить качество проектирования, снизить затраты на внесение изменений и перепроектирование, ощутимо сократить трудозатраты и процент брака при сборке, осуществлять полноценное техническое обслуживание и ремонт в процессе эксплуатации изделия.

Поэтому развитие теории пространственного представления допусков в контексте автоматизированного проектирования изделий является актуальной задачей.

Цель работы. Разработка и исследования теории представления пространственных допусков и методов анализа сборок с допусками.

Методы исследования. В теоретических исследованиях были использованы: аппарат кватернионов: методы дифференциальной геометрии, в том числе метод подвижного репера; методы общей и комбинаторной топологии, в частности, теории двумерных многообразий и теории графов. В экспериментальных исследованиях были применены методы компьютерного моделирования CAD/САМ систем.

Научная новизна работы.

♦ Обоснован новый подход к моделированию пространственных допусков, основанный на применении конфигурационных пространств, описываемых с помощью кватернионов.

♦ Впервые предложена теория, позволяющая в системах автоматизированного проектирования комплексное моделирование трёхмерных допусков деталей и сборок разных типов.

♦ В соответствии с разработанным методом представления допустимых отклонений созданы и экспериментально проверены алгоритмы анализа сборок с учетом допусков.

♦ Согласно полученной теории разработана методика проведения анализа сборки деталей с назаначенными допусками.

Практическая ценность. Созданы математические модели пространственных допусков разных типов, позволяющие в среде систем автоматизированного проектирования реально моделировать допустимые погрешности геометрических объектов.

Созданы математические модели сборок, учитывающие точностные требования к деталям и сборке в целом и позволяющие учитывать зависимости взаимовлияние назначенных точностных требований на функциональные требования сборки.

Разработаны алгоритмы и программы анализа сборок с учетом допусков, позволяющие определять реальное положение деталей в сборке с учетом назначенных допусков и получать информацию о возможности сборки изделий.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на-региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения» (Иркутск, 2004); ежегодных научно-практических конференциях Факультета технологий и компьютеризации машиностроения ИрГТУ 20022004 гг.; международной конференции по геометрии и приложениям (Украина, Черкассы, сентябрь 2001 г.); международной конференции «Мальцев-ские чтения» (Новосибирск, 21-23 ноября 2001 г.).

Публикации. По материалам исследований опубликовано семь работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Содержит 149 страниц машинописного текста, 76 рисунков, 7 таблиц, список литературы, включающий 160 наименований.

Основное содержание работы

Во введении изложены основные требования, предъявляемые к изделиям современного машиностроения и процессам их создания, а также фундаментальные проблемы, связанные с их реализацией. Показана важность разработки полнофункциональной системы автоматизированного проектирования сборок с допусками. Определены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлены результаты литературного обзора по теме диссертации, целью которого являлся анализ современного состояния моделирования пространственных допустимых отклонений и вопросы их использования при проектировании и анализе сборок.

Попытки комплексного описания отклонений были сделаны многими авторами, такими как Ю.Н. Ляндон, П.Ф. Дунаев, О. Бьорк, Б.М. Ба-зров, Н.Ю. Глинская, В.В. Кузьмин, Ю.Л. Шурыгин, Б.П. Сандальски, Дж. Гилфорд, Дж. Тёренер, Р.С. Гильярд, Д.С. Госсард и др.

В начале 80-х годов А. Реквичем были высказаны идеи, положившие начало новому направлению в области автоматизированного проектирования, получившему название «представление допустимых отклонений» (tolerance representation].

Работы А.Реквича дали толчок многочисленным исследованиям в этой области. Авторы У. Рой, Б. Ли, С. Ли предложили некоторые усовершенствования модели вариационного класса.

В работах В. Шринивасана, Р. Джаярамана, Дж. Тернера, М. Возны, А. Клемента, К. Чейза и многих других были сделаны попытки моделирования трёхмерных допусков.

Существует группа работ, авторы которых используют методы дифференциальной геометрии. В работах Дж. Вальнера, Р. Красаускас, Г. Потт-мана представлен геометрический подход к вычислению точных или хорошо аппроксимированных полей допусков для CAD объектов.

Описание одной из последних интересных разработок в области объёмного моделирования допусков содержится в работах Дж. Давидсона, Дж. Шаха, А. Муезиновича.

Анализ современного состояния пространственного представления допусков и вопросов проектирования сборок показал:

♦ системы автоматизированного проектирования, являющиеся безальтернативной средой создания современных изделий машиностроения, не предоставляют полноценных средств трехмерного моделирования геометрических отклонений и нормирования точности изделий;

♦ существующие стандарты не предоставляют средств формализации пространственной природы геометрических отклонений, так как установлены на основе обобщенных эмпирических данных задолго до появления компьютерных технологий машиностроения;

♦ в современных CAD системах не существует средств адекватного отражения функциональных свойств сборок, т.к. методы представления структуры и геометрии сборок не отвечают задачам передачи функциональных требований в виде допусков от концептуального проекта до фазы рабочего проектирования;

Результаты анализа позволили сформулировать основные задачи исследования:

1. Провести теоретическое обоснование новых методов описания пространственных допустимых отклонений разных типов;

2. Разработать математическую модель описания допустимых отклонений;

3. Разработать методику расчета и анализа взаимодействия деталей с допусками в сборке;

4. Разработать математическую модель представления сборки с учетом пространственных допусков:

♦ позволяющую дальнейшее расширение на все виды допустимых отклонений;

♦ обеспечивающую реалистическое представление поведения больших сборок в режиме реального времени;

♦ оптимальную с точки зрения практической реализации.

Во второй главе изложены теоретические основы моделирования пространственных допусков с использованием конфигурационных пространств описываемых при помощи кватернионов.

Важную роль в пространственном представлении допусков играет нормаль к рассматриваемой поверхности. Любому отклонению поверхности соответствует определённое отклонение её нормали, что может быть описано как поворот этой нормали вокруг её номинального положения. Наилучшим способом описания поворотов в пространстве является их представление с помощью кватернионов, т.к. это позволяет непосредственно задавать ось вращения и угол поворота.

Кватернион представляет собой упорядоченную пару элементов (Л, х), где Л € M — действительное число, х е R3 - трёхмерный вектор. Если

Л = (А,х) - кватернион, то Sqal Л = Л называется скалярной частью кватерниона Л , a Vect, А = х —векторной частью к в а те р н и о н/Sa К в а -тернион Л = (Л, -х) называется сопряжённым кватерниону Л .

Умножение кватернионов Л = (А,х) и М = (р., у) производится по следующему правилу:

Здесь (х,у) - скалярное произведение в е к т и f, — векторное произведение векторов

Пусть каждая поверхность имеет свою некоторую локальную систему координат Е = {ё0,ё],ё2,ёз} , которую будем называть отмеченным репером данной поверхности. Здесь ёо - радиус-вектор отмеченной точки, {ё!,ё2,ёз} — ортонормированный базис.

Для различных поверхностей могут быть определены различные правила построения отмеченных реперов Представим в табл. 1 такие правила для плоскости и цилиндра.

Таблица 1.

Тип поверхности Отмеченный репер Е = {во, 61,62,63}

Плоскость (а х Ь нормируемый участок) о ёо - радиус-вектор центра прямоугольника а х Ь, ограничивающего плоскость в трёхмерном пространстве; с 1 и ¿2 - два трёхмерных единичных взаимно-ортогональных вектора, направленных по сторонам этого прямоугольника; ёз - нормаль к плоскости.

Цилиндрическая поверхность ёо - радиус-вектор середины оси цилиндра; ё\ и ёг ~ два трёхмерных единичных взаимно-ортогональных вектора, при этом ёг - вектор касательной в нулевой точке; вектор ёч направлен вдоль оси цилиндра; ёз — [ёь ё?} — вектор нормали к цилиндру в нулевой точке.

Далее будем считать, что каждая поверхность рассматривается в своей локальной системе координат Е . Тогда для движения поверхности в трёхмерном пространстве (поворота, параллельного переноса) достаточно все преобразования проводить лишь с её отмеченным репером Е.

Если направление нормали к данной поверхности может отклоняться от номинального в пределах допуска, наложенного на эту поверхность, то её будем называть вариационной нормалью.

Пространство возможных изменений параметров данной поверхности, полностью характеризующих её отклонение от номинальных размеров и формы при заданных значениях допусков будем называть конфигурационным пространством этойповерхности.

Пусть на данную поверхность задано п допусков. Каждому из этих допусков поставим в соответствие определяемое им конфигурационное пространство Тогда конфигурационное пространство данной поверхности представляет собой их прямое произведение

Определим конфигурационное пространство поверхности при заданном на неё допуске параллельности плоскостей.

Допуск параллельности это разность между наибольшим и наименьшим расстоянием между прилегающими плоскостями в пределах нормируемого участка.

Далее, пусть вектор нормали данной плоскости. вектор нормали базовой плоскости (возможно вариационной нормали). нормируемый участок.

Проанализируем возможные максимальные значения угла, на который может отклониться вектор нормали данной поверхности от вектора (вариационной) нормали базовой поверхности.

а ) отклонение вдоль короткой стороны нормируемого участка

б ) отклонение вдоль длиной стороны нормируемого участка

в ) отклонение вдоль диагонали нормируемого участка

Рис.1

Пусть для определённости Ь < а . Тогда из рис. 1 и некоторых вычислений становится понятно, что а > /? > 7 , так как sin а = , sin — ^ ,

Далее, если мы возьмём угол а в качестве максимального значения угла, на который может отклониться вектор нормали данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности при заданном допуске на параллельность Д, то при отклонении вектора N на этот угол вдоль диагонали прямоугольника а х b мы получим разность между наибольшим и

наименьшим расстоянием между рассматриваемыми плоскостями, равную Ах/п^ что превышает Д .

Тоже самое получаем и для угла ¡3.

Таким образом, оказывается удобным, и более правильным, взять угол 7 в качестве максимального значения ^ла, на который может отклониться вектор нормали данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности при заданном допуске на параллельность Д . При этом справедлива следующая формула:

Итак, конфигурационным пространством данной плоскости при заданном на, неё единственном допуске параллельности является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор п , а наибольшим углом отклонения является угол 7 . Оно характеризует отклонение вектора нормали данной плоскости от вектора (вариационной) нормали базовой поверхности. При этом центр этого сегмента (полюс) означает номинальное положение нормали данной поверхности, то есть параллельность плоскостей.

Аналогично, любому типу допуска будет соответствовать некоторое конфигурационное пространство. Тогда каждой точке этого конфигурационного пространства соответствует некоторое положение данной поверхности в трёхмерном пространстве, а именно положение её отмеченного репера.

В табл. 2 представлены формулы преобразования отмеченного репера поверхности в зависимости от заданного на неё допуска с помощью единичных кватернионов Л и Т. Эти формулы легко объяснимы, их геометрический смысл заключается в следующем: сначала происходит поворот номинального репера Е до совпадения векторов N и п' (умножение на Т ), а затем отклонение этого репера уже от такого положения (умножение на В частности, если вектор при этом не является вариационным, то есть на нормаль базовой поверхности не было наложено допусков, то кватернион равен единице.

Таким образом, для разных значений параметров и

соответствующих некоторому допустимому отклонению от номинальных размеров и формы рассматриваемой поверхности, получаем различные положения отмеченного репера этой поверхности в пределах заданного допуска. А поскольку все точки поверхности мы рассматриваем в локальной системе координат, которой является её отмеченный репер, то для каждого значения параметров мы получаем и положение всей поверхности в трёхмерном пространстве.

Таблица 2.

Разработанные топологическое и структурное представление сборок и методы их анализа с учётом допусков описываются в третьей главе.

Основа предлагаемого метода представления сборок и их анализа является топологическая классификация деталей с точки зрения выбора способа их сборки. Таким образом, различаются следующие типы деталей1:

• деталь без отверстий (условное название — «деталь-сфера»). Например, валы разных типов, цапфы, шпонки.

• деталь с отверстиями сквозными (условное название — «деталь-крендель» порядка к). Например, цилиндрическая втулка - крендель порядка 1, плита с двумя отверстиями — крендель порядка 2.

• деталь с отверстиями несквозными (условное название — «деталь-стакан»). Например, вал со шпоночным пазом.

• комбинированный тип.

В соответствии с выше описанными типами деталей выделяем следующие виды сборок:

• сборка с совмещением поверхностей -- сборка, при которой некоторые из пар поверхностей различных деталей должны соприкасаться. Различаются сборки с совмещением с совмещением совпадающих поверхностей и абсолютно совпадающих поверхностей;

• сборка с проникновением — сборка, при которой часть одной детали (или вся деталь) должна проникнуть в отверстие «детали-кренделя» или «детали-стакана».

При комбинированной сборке будем считать, что приоритет имеет сборка с проникновением.

Подход к сборке с учётом допусков требует в первую очередь несколько нового решения вопроса о графах сборки.

Основная идея здесь заключается в том, что граф сборки должен быть связным и не иметь циклов. Другими словами это должно быть дерево. Кроме того, граф необходимо разбивать в объединение подграфов следующего уровня.

1 Некоторые термины заимствованы из «Общей топологии».

Итак, узел, полученный в результате сборки деталей будем называть С-деталью. Монолитный компонент, который нельзя разделить на отдельные детали, будем называть С-деталью порядка нуль. Тогда С-деталью порядка к будем называть С-деталь, полученную в результате сборки С-деталей порядка не больше чем (к — 1) . Сборкой уровня к будем называть сборку, в результате которой получена С-деталь порядка к . Графом уровня к будем называть граф, который описывает сборку уровня к. При этом он должен иметь вид «ромашки». Другими словами у него должна быть вершина такая, что все остальные вершины связаны ребрами с ней и только с ней. Такую вершину будем называть главной вершиной, остальные — второстепенными (рис. 2). С-деталь, соответствующую главной вершине графа сборки уровня к , будем называть главной С-деталью. С-деталь, соответствующую второстепенной вершине графа сборки уровня к , будем называть второстепенной С-деталью. Вершину графа будем называть вершиной порядка к, если она представляет собой С-деталь порядка к .

Утверждение 1. Любой граф сборки, имеющий вид дерева, можно представить в виде «ромашки» некоторого уровня к, вершины которого также являются «ромашками», по уровня меньше к .

Следствие. Общий граф сборки имеет вид ромашки, вершины которого сами являются ромашками предыдущего уровня.

Далее, графы с двумя вершинами и одним ребром будем называть «гантелями» (рис. 3). Аналогично «ро- * * машкам» вершины «гантелей» сами могут быть «гантелями» предыдущего уровня. Рис- 3-

Утверждение 2. «Ромашку» уровня к . состоящую из (п+1) вершины можно представить в виде «гантели», одна из вершин которой сама является «гантелей» предыдущего уровня. При этом количество таких уровней равно п .

Моделирование процесса сборки состоит из нескольких этапов:

• определение геометрических параметров, необходимых для

дальнейших расчётов — трёхмерная геометрическая модель детали разбивается на поверхности, для каждой из которых определяется отмеченный репер в локальной системе координат (отмеченном репере детали).

• формирование графа сборки с учётом назначаемых допусков — сборка разбивается на узлы (уровни), для каждого узла назначаются допуски на детали и узел в целом, от взаимодействия которых будет зависеть результат сборки данного узла. Далее, в соответствии с назначенными допусками строится конфигурационное пространство отдельных деталей и всего узла. Затем определяется

вид сборки каждого уровня в соответствии с проведённой выше топологической классификацией.

♦ анализ сборки с учётом допусков — фактически анализ сборки

сводится к определению контактов между деталями с учётом назначенных допусков. Если две детали пересекаются, то некоторые точки поверхности одной из них становятся внутренними для другой. Алгоритмы анализа контактов деталей различаются в зависимости от ранее установленных типов сборок. В четвёртой главе описана методика проведения анализа сборки деталей с назначенными допусками в среде экспериментальной системы, созданной на базе ядра для разработки 3D-приложений Open Cascade.

Методика расчёта рассмотрена на примере простой сборки, состоящей из четырёх деталей (рис. 5).

D\ — плита 1 (рис. 5а); — штырь 2 (рис. 5г);

D2 — штырь 1 (рис. 5в); D4 — плита 2 (рис. 5б).

Исходными данными для анализа сборки с допусками являются компьютерные трёхмерные модели деталей сборок, созданные в какой-либо CAD-системе и сохраненные в формате стандарта STEP и информация о назначаемых допусках (рис 5). Отметим, что такие «жесткие» допуски были назначены умышленно, чтобы проверить чувствительность программы к малым отклонениям. Схематично возможные пространственные отклонения поверхностей данных деталей согласно назначенным допускам показаны на рис. 4.

Рис 4

Итак, при загрузке деталей по команде пользователя их геометрия преобразуется в собственный формат системы с определением геометрических характеристик, необходимых для дальнейших расчётов.

Далее интерактивно определяется иерархия сборки (уровни сборки). Детали Вх ... Иц являются С-деталям и порядка нуль и общий граф сборки состоит из двух уровней.

После формирования графа сборки назначаются допуски деталей и под-сборок по уровням. Это производится в специальном диалоговом окне «Назначение допусков» путём указания на поверхности, выбором типа допусков и введением числового значения.

Далее вызывается диалоговое окно «Установка параметров сборки», интерактивно выбираются детали сборки и в предлагаемом системой списке топологических типов деталей указываются соответствующие: £>1 и — детали с отверстиями сквозными («деталь-крендель»); £>2 и — детали без отверстий («деталь-сфера»). Затем в этом же окне должны быть выбраны топологические типы сборок и дополнительно интерактивно указываются контактирующие при этом поверхности и их края. Топологический тип первого и второго уровня рассматриваемой сборки — «сборка с проникновением».

После назначения допусков и определения всех параметров сборки можно осуществляется её анализ. Для этого заданные пользователем допуски транслируются во внутренний формат. На их основе система формирует конфигурационные пространства деталей сборок по уровню и определяет количество точек для тестирования контактного состояния деталей.

Из всех поверхностей деталей рассматриваемой сборки допуски заданы только на восемь поверхностей. Часть из них оказывают влияние на собираемость первого уровня сборки, другие относятся ко второму уровню. Конфигурационное пространство первого уровня ¡К^ формируется из конфигурационных пространств, соответствующих допускам на диаметры отверстий первой плиты и диаметры штырей

Конфигурационное пространство второго уровня Кг формируется из конфигурационных пространств, соответствующих следующим допускам:

• допуски на перпендикулярность деталей £>2 и Из ;

• допуски на диаметры деталей и £>з ;

• допуски на диаметры отверстий детали ;

• позиционные допуски на отверстия детали £)4;

• допуск плоскостности на деталь ;

• допуск параллельности на деталь £>4 .

Результаты анализа представляются в соответствующем окне. Для рассматриваемой сборки при назначенной схеме допусков был выдан результат «сборка невозможна» и ниже описывается причина этого состояния — пересечение деталей Их , £>з и Д} при максимально глубине вхождения 0,002 мм. На основе полученных результатов анализа можно сделать вывод о необходимости ужесточения допусков. В данном случае изменение схемы назначения допусков нецелесообразно, изменены лишь значения на рис 4 1 они обозначены символом *. Результат сборки с новыми значениями допусков — «Сборка прошла успешно» и далее указаны полученные максимальные и минимальные зазоры и натяги и фактическое значение допуска параллельности.

Данная методика была опробована при проектировании высокоточного изделия — гироскопа.

Особенностью данных изделий является то, что их точность в несколько раз превосходит традиционные изделия машиностроения. Однако технологические возможности оборудования при изготовлении гироскопов имеют ограничения. Поэтому нахождение оптимального сочетания функциональных требований к точности гироскопа и возможностям получения заданных допусков при их изготовлении требует особой тщательности.

Исходя из этого была проверена схема назначения допусков по вышеописанной теории. Номинальная модель сборки была создана в системе Unigraphics (рис. 6). Изделие состоит из 5-ти деталей и подшипника, который при анализе сборки рассматривается как С-деталь порядка 0.

а Оборка б Сборка уров-

уровня 1 ня 2

Рис б

При анализе сборки были уточнены допуски, обеспечивающие соосность и перпендикулярность деталей гироскопа

Общие выводы по работе

1. Разработана теория, позволяющая комплексно моделировать трёхмерные допуски деталей и сборок. Она основана на применении конфигурационных пространств, описываемых с помощью кватернионов.

2. В рамках полученной теории выведены математические модели основных видов классических допусков, позволяющие рассчитывать реальные положения поверхности в пространстве в зависимости от типа и значения назначенного на нее допуска.

3. Проведена классификация деталей по их топологическому типу и в соответствии с ней выделены различные виды сборок, что дало возможность разработать метод представления и анализа сборок с учетом допусков в соответствии с предложенной теорией представления допустимых отклонений.

4. Описаны процедуры, необходимые для создания модели сборки с учётом допусков согласно разработанному методу, в том числе алгоритм формирования графа сборки с учетом назначаемых допусков.

5. Выведен метод определения конфигурационных пространств детали и сборки с допусками, необходимых для проведения анализа сборки с использованием полученных моделей допусков.

6. Созданы и экспериментально проверены алгоритмы и программы анализа контактного состояния деталей в сборке в зависимости от топологической классификации входящих деталей.

7. Предложенная методика расчета и анализа допусков сборки апробирована в ЗАО «Энерпред», ожидаемый годовой эффект применения расчета допусков и анализа сборок при проектировании домкратов гидравлических составляет 157 тыс. руб.

По теме диссертации опубликованы следующие

работы:

1. Гаер М.А. Операции над кватернионами. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1995. - 11 с. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 07.03.96, № 762-В96.

2. Гаер М.А. Действия с кватернионами //Дифференциальная геометрия обобщённых пространств с фундаментальной группой / Сб. науч. тр. - Иркутск: Иркутский ун-т, 1998. С. 72-81.

3. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. - 2004. - № 4. С. 177.

4. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. - 2005. - № 1. С. 116-125.

5. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 62-64.

6. Гаер М.А., Яценко О.В. Современные концепции моделей и анализа сборок при автоматизированном проектировании // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 57-62.

7. Гаер М.А., Калашников А.С, Шабалин А.В. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 64-68.

Формат 60x84 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 187

ИД №06506 от 26.12.2001 Иркутский государственный технический университет 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83

о&м - os: об

Введение

1 Обзор современного состояния математических методов комплексного представления пространственных допусков сборки

1.1 Математические методы представления пространственных допусков

1.2 Методы представления пространственных отклонений ориентированные на проектирование и анализ сборок.

1.3 Цели и задачи исследования

2 Теоретические основы моделирования пространственных

1 допусков с использованием кватернионов

2.1 Основные сведения о кватернионах

2.1.1 Кватернионы и области их приложения.

2.1.2 Понятие кватерниона

2.1.3 Действия над кватернионами и их свойства.

2.2 Пространственная геометрическая характеристика допусков

2.2.1 Основные понятия и определения

2.2.2 Отклонение от параллельности плоскостей.

2.2.3 Отклонение от плоскостности.

2.2.4 Суммарное отклонение от параллельности и плоскостности

2.2.5 Отклонение от перпендикулярности плоскостей

2.2.6 Суммарное отклонение от перпендикулярности и плоскостности.

2.2.7 Отклонение от наклона плоскости.

2.2.8 Отклонение от перпендикулярности оси относительно плоскости.

2.2.9 Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности.

2.2.10 Отклонение от соосности относительно общей оси

2.2.11 Отклонение от соосности относительно оси базовой поверхности.

2.2.12 Позиционное отклонение оси отверстия.

2.2.13 Допуск на диаметр цилиндра.

2.3 Использование кватернионов для расчёта реального положения поверхности при некотором значении допуска

Выводы.

3 Топологическое и структурное представление сборок и их анализ с учётом допусков

3.1 Топологические характеристики деталей и сборок.

3.1.1 Топологическая классификация деталей. г 3.1.2 Виды сборок в соответствии с топологической классификацией деталей.

3.1.3 Понятие внутренности и внешности детали как подмножества топологического пространства.

3.2 Граф сборки с учётом допусков.

3.3 Моделирование процесса сборки.

3.3.1 Подготовительный этап сборки. Определение геометрических параметров, необходимых для дальнейших расчётов.

3.3.2 Формирование графа сборки с учётом назначаемых допусков.

3.3.3 Правила сборки.

3.3.4 Конфигурационное пространство.

3.3.5 Сборка одного уровня.

3.3.6 Анализ сборки с совмещением абсолютно совпадающих поверхностей.

3.3.7 Анализ сборки с совмещением совпадающих поверхностей

3.3.8 Сборка с проникновением.

Выводы.

4 Методика проведения анализа сборки деталей с назначенными допусками

4.1 Последовательность процедур анализа сборки с допусками

4.1.1 Подготовительный этап сборки. Определение необходимых геометрических параметров

4.1.2 Формирование графа сборки.

4.1.3 Назначение допусков и определение топологических параметров. i 4.1.4 Анализ сборки с допусками.

4.1.5 Результаты анализа. 4.2 Экспериментальное использование разработанной методики анализа сборок при проектировании высокоточных изделий

Выводы.

Современное машиностроение характеризуется повышенными требованиями, предъявляемыми к изделиям и процессам их создания в связи с высоким уровнем мировой конкуренции. Быстрое реагирование на запросы потребителей и удовлетворение их разнообразных требований, в том числе к качеству продукции, диктуют высокий темп разработки изделий, их внедрения и промышленного изготовления, а также обеспечения качественного сопровождения на последующих этапах их жизненного цикла. Адекватный ответ производителей возможен только на базе широкого применения компьютерных технологий во всех сферах связанных с созданием и изготовлением изделия. Однако использование этих, без сомнения не имеющих альтернативы, методов производства порождает новые требования к его организации, процессам проектирования и изготовления, представлению данных об изделии, что часто приводит к переосмыслению традиционных понятий и методов.

Одной из фундаментальных проблем создания изделия является проблема полной и точной реализации функциональных требований в процессе его проектирования и изготовления. В новых условиях компьютеризированного производства это подразумевает решение двух задач:

• обеспечить процесс автоматизированного проектирования изделия согласно традиционной нисходящей методологии проектирования, но на качественно новом уровне;

• найти способ описания допустимых отклонений (допусков), посредством которых задаются функциональные требования к изделию.

К сожалению, приходится констатировать, что несмотря на все достижения современных CAD систем, эти задачи до сих пор остаются не решенными: возможности, обеспечивающие среду истинного проектирования слабы и не способны на должном уровне поддерживать процесс мышления конструктора, что выражается в отсутствии средств проектирования сборок, главным из которых является адекватное описание геометрии сборок в развитии от концепции до готового изделия.

Одно из фундаментальных требований для создания полнофункциональной системы автоматизированного проектирования сборок является представление допусков как неотъемлемой части математической модели изделия. Только полноценная компьютерная модель изделия, учитывающая «реальную», а не «идеальную» геометрию позволит действительно осуществить интеграцию всех компьютеризированных приложений связанных с созданием изделия. Вышеуказанная задача до сих пор не решена, так как в силу сложности и неоднозначности самого понятия «допуск», а также отсутствия стандарта проектирования сборок, до сих пор не найдены математические модели, позволяющие описывать допуски сборок, представляющие собой совокупность (комплекс) пространственных отклонений деталей сборки, изменяющихся в определяемом назначенными допусками диапазоне [10].

В данной работе рассмотрены проблемы описания пространственных допустимых отклонений (допусков) в контексте автоматизированного проектирования. Автор разработал и исследовал геометрический метод представления пространственных комплексных допусков сборки [8, И, 18].

Общие выводы по работе

1. Разработана теория, позволяющая комплексно моделировать трёхмерные допуски деталей и сборок. Она основана на применении конфигурационных пространств, описываемых с помощью кватернионов.

2. В рамках полученной теории выведены математические модели основных видов классических допусков, позволяющие рассчитывать реальные положения поверхности в пространстве в зависимости от типа и значения назначенного на нее допуска.

3. Проведена классификация деталей по их топологическому типу и в соответствии с ней выделены различные виды сборок, что дало возможность разработать метод представления и анализа сборок с учетом допусков в соответствии с предложенной теорией представления допустимых отклонений.

4. Описаны процедуры, необходимые для создания модели сборки с учётом допусков согласно разработанному методу, в том числе алгоритм формирования графа сборки с учетом назначаемых допусков.

5. Выведен метод определения конфигурационных пространств детали и сборки с допусками, необходимых для проведения анализа сборки с использованием полученных моделей допусков.

6. Созданы и экспериментально проверены алгоритмы и программы анализа контактного состояния деталей в сборке в зависимости от топологической классификации входящих деталей.

7. Предложенная методика расчета и анализа допусков сборки апробирована в ЗАО «Энерпред», ожидаемый годовой эффект применения расчета допусков и анализа сборок при проектировании домкратов гидравлических составляет 157 тыс. руб.

1. ГОСТ 24642-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1981. - 32 с.

2. ASME. Dimensioning and tolerancing, ASME Y14.5M-1994. New York: The American Society of Mechanical Engineers, 1994.

3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 672 е.: ил.

4. Базров Б.М. Расчет точности машин на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1984. - 352с.

5. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. Главная редакция физико-математической литературы, Изд-во «Наука», М., 1973, 320 стр.

6. Гаер М.А. Операции над кватернионами. Иркутск: Иркут. ун-т, 1995. - 11 с. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 07.03.96, № 762-В96.

7. Гаер М.А. Действия с кватернионами //Дифференциальная геометрия обобщённых пространств с фундаментальной группой / Сб. науч. тр. Иркутск: Иркутский ун-т, 1998. С. 72-81.

8. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. - № 4. С. 177.

9. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 62-64.

10. Гаер М.А., Яценко O.B. Современные концепции моделей и анализа сборок при автоматизированном проектировании // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 57-62.

11. Гаер М.А., Калашников A.C., Шабалин A.B. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения», 2004 г. С. 64-68.

12. Глинская Н.Ю. Автоматическое описание геометрической структуры изделия. //Автоматизация и современные технологии , 1992 г, т, с.28-30

13. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию), учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977.

14. Допуски и посадки: Справочник. В 2-х ч. /В.Д.Мягков, М.А.Палей, А.Б.Романов, В.А.Брагинский. 6-е изд., перераб. и доп. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-иие, 1982. - 4.1. 543 е.: ил.

15. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Расчет допусков размеров. М: Машиностроение, 1981. - 189 с.

16. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Расчет допусков размеров.-2-изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. -240с.: ил.

17. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков.// Вестник ИрГТУ, №12, 2002. с. 82-92.

18. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. 2005. - № 1. С. 116-125.

19. Журавлев Д.А., Яценко О.В. Интервальный анализ собираемости деталей.// Повышение эксплуатационных свойств деталей машинтехнологическими методами: Сборник научных трудов. Иркутск: Издательство ИрГТУ, 2000. - с.60-68.

20. Краткий справочник технолога тяжёлого машиностроения / И.В. Маракулин, А.П. Бунец, В.Г. Коринюк. М.: Машиностроение, 1987. - 464 е., ил.

21. Кузьмин В.В. Шур ыгин Ю.Л. Выбор оптимальных параметров точности линейных и угловых размеров деталей по критерию точности технологической себестоимости их изготовления. // Автоматизация и современные технологии . -1994 , №5, с. 16-22

22. Кузьмин В.В., Шурыгин Ю.Л. Автоматизированное выявление сборочных размерных цепей.// Автоматизация и современные технологии. -1995, №3, с. 18-24

23. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 302 с.

24. Ляндон Ю.Н. Основы взаимозаменяемости в машиностроении. -Машгиз, 1951. 142 с.:ил.

25. Ляндон Ю.Н. Функциональная взаимозаменяемость в машиностроении. М.: Машиностроение, 1967. - 218 е.: ил.

26. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

27. Монаков Ю.А. Обеспечение точности сборки гироскопических приборов: учеб. пособие. / ЧПУ: 1981. 44 с.

28. Мехатроника: Пер. с япон./ Исии Т., Симояма И., Иноуэ X. и др. М.: Мир, 1988. - 318 е., ил.

29. Михайлюк М.В. Компьютерная графика в системах визуализации имитационно-тренажерных комплексов. http://www.imvs.ru/imvs/libel/05/michailyuk04.pdf

30. Одинцов A.A. Теория и расчёт гироскопических приборов. К.: Вища школа, 1985. - 386 с.

31. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота манипулятора, пер. с англ. - М.: Изд-во «Наука», 1976. - 104 с.

32. Пухов А.С. Информационно-поисковые системы при автоматизированной подготовке оснастки. М., «Машиностроение», 1978. 133 с. с ил.

33. Сандалски Б.П., Стоев А.С. Решение пространственной задачи размерно-точностного анализа сборочных единиц. // Вестник машиностроения. 1992, №4, с. 39-42.

34. Уразаев З.Ф., Фадееф A.M. Обработка сложных деталей приборов. М., Машиностроение, 1966.

35. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.

36. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 622 с.

37. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 624с., ил.

38. S. Abrams, W. Cho, C.-Y. Ни, Т. Maekawa, N. Patrikalakis, Е. Sherbrooke, and X. Ye. Efficient and reliable methods for rounded-interval arithmetic. Computer-Aided Design, 30:657-665, 1998.

39. Bernstien N, Priess K. Representation of tolerance information in solid models. ASME Design Conference, Montreal, Canada, 1989.

40. O.Bjorke Computer-Aided Tolerancing ASME Press, New York, 1989. 250 p.

41. P. Bourdet, E. Ballot Geometrical behaviour laws for computer-aided tolerancing. Proceedings of 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, University of Tokyo April 1995. P. 21.

42. Bourdet, L.Mathieu, C. Lartigue, A.Ballu The concept of small displacement torsor in metrology. Proceedings of International Euroconference, Advanced Mathematical Tools in Metrology, Lady Margaret Hall, Oxford, UK, 27-30 September 1995.

43. Burr,A.,Currin,B., Gabriel,S., Hughes, J., «Smooth interpolation of Orientations with Angular Velocity Constraints using Quaternions», Computer Graphics (Proc. Of SIGGRAPH '92),vol.26, No.2, 1992. -pp. 313-320.

44. K.Case, W.A.Wan Harun A representation of assembly and process planning knowledge for feature -based design. Advances in Manufaturing Technology XI, Glasgow Caledonian University, 1997. pp.73-78.

45. K.W.Chase, J.Gao, S.P.Magleby, C.D.Sorensen Including geometric feature variations in tolerance analysis of mechanical assembly HE Transactions, v 28, 1996. pp. 795-807.

46. Chase, K. W., J. Gao and S. P. Magleby Tolerance Analysis of 2-D and 3-D Mechanical Assemblies with Small Kinematic Adjustments. Advanced Tolerancing Techniques, John Wiley 1997.

47. K.W.Chase, S.P.Magleby A comprehensive system for computer-aided tolerance analysis of 2-D and 3-D mechanical assemblies. Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April 1997.

48. Choi, B.K. Geometric Modeling for CAD/CAM, Elsevier Science Publishing, New York, NY, 1991.

49. CleAment A, Desroches A, RivieAre A. Theory and practice of 3D tolerancing for assembly. Proceedings of Second CIRP Seminar on Computer-Aided Tolerancing, Penn State University, 1991.

50. J. K. Davidson, J. J. Shah, Mathematical model to formalize tolerance specifications and enable full 3D tolerance analysis, NSF Design,

51. Service and Manufacturing Grantees and Research Conference/SMU Dallas, Texas, 2004.

52. Dooley, J.R., McCarthy J.M. «Spatial rigid body dynamics using dual quaternion components», IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation,vol.l, 1991.

53. Eck, M. and Jaspert, R. Automatic fairing of point sets, in Designing Fair Curves and Surfaces, N.S. Sapidis (ed), 1994. pp. 45-60.

54. Ermes P. Constraints in CAD models for reverse engineering using photogrammetry, International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol XXXIII, Amsterdam 2000.

55. F.Etesami Tolerance verification through manufactured part modelling. Jornal of Manufacturing System, 1988, 7(3), pp. 223-232.

56. Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide, 2nd edn. Academic Press, New York, NY, 1990.

57. Farmer L.E., Gladman C.A. Tolerance technology Computer-based analysis/ Annals of the CIRP, Vol.35, No. 1, 1986. - pp. 7 - 10.

58. Funda, J., Taylor, R.H., Paul, R.P. «On homogeneous transforms, quaternions and computational efficiency», in IEEE Trans. Autom. And Robotics, Vol.6, 1990. pp.382-388.

59. J.Gao, K.Case, N.Gindy «Geometric elements for tolerance definition in feature-based product models» Published in «Advances in manufacturing Technology VIII»(editors K.Case and S.T.Newman), Taylor ¿¿Francis, London, 1994. pp. 264-268.

60. Gao J, Chase K, Magleby S Generalized 3D tolerance analysis of mechanical assemblies with small kinematic adjustments. IIE Transactions 30:367-377, 1998.

61. Giordano M., Duret D. Clearance Space and deviation space. Application to three dimansional shain of dimensions and positions. 3rd CIRP Seminar of Robotics Research, Vol.2, No.4, pp.46-50.

62. Gossard, D. C., Zuffante, R. P. and Sakurai, H. Representing dimensions, tolerances, and features in MCAE systems, . (2):51-59. IEEE Comp. Gr. and Appl, 1988.

63. Guilford J, Turner J. Representational primitives for geometric tolerancing. Computer-Aided Design; 25(9):577-586, 1993

64. Guilford J.D., Turner J.U., «Tolerance representation and analysis in solid models», Submitted in proc. of fourth IFIP 5.2 Workshop on geometric modeling in CAD, 1993.

65. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853.

66. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3): 161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

67. Hennessey M.P., Shakiban C., Shvartsman M.M. Characterizing Slop in Mechanical Assemblies Via Diffe rential Geometry, 2002.

68. Hillyard, R. C., and Braid, I. C. Analysis of dimensions and tolerances in computer-aided mechanical design, (3): 161-166. Computer-Aided Design, 10, 1978.

69. C. C. Hsieh, Y. C. Fang, M. E. Wang, C. K. Wang, M. J. Kim, S. Y. Shin and T. C. Woo Noise smoothing for VR equipment in quaternions HE Transactions 30, 1998. pp. 581-587

70. Hsu,W. , Lee, C.S.G. Fuzzy application in tolerance design IEEE World Congress on Computational Intelligence., Proceedings of the Third IEEE Conference on Fuzzy Systems, 1994, vol.2, pp. 1182-1186.

71. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval solidmodeling: part I, representations. Computer-Aided Design, 28:807-817, 1996.

72. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval solid modeling: part II, boundary evaluation. Computer-Aided Design, 28:819-830, 1996.

73. C.-Y. Hu, N. Patrikalakis, and X. Ye. Robust interval algorithm for surface intersections. Computer-Aided Design, 29:617-627, 1997.

74. International Organization for Standardization.ISO 1101: geometrical tolerancing : tolerancing of form, orientation, location and run-out -generalities, definitions, symbols, indications on drawings, 1983.

75. Jin, X., Bao, H. and Peng, Q. Angular velocity interpolation using quaternion, in Proceedings of the 4th International Conference on Computer-Aided Drafting, Design and Manufacturing Technology, Vol. 1, pp. 25-30, 1994.

76. Johnstone, J.K. and Williams, J.P. Rational control of orientation for animation, in Proceedings of Graphics Interface'95, 1995. pp. 179-186.

77. N.P.Juster. Modeling and representation of dimensions and tolerances: A survey. CAD. 1992,24(1):3-17.

78. Kandikjian, T., Shah, J., «A Computational Model for Geometric Dimensions and Tolerances Consistent with Engineering Practice», Proceedings of DETC98: 1998 ASME design Engineering Technical Conference September 13-16, Atlanta, GA. 1998. pp.25-54.

79. T. M. Kethara Pasupathy, Edward P. Morse, and Robert G. Wilhelm A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones, 2003.

80. M.J.Kim, M.S.Kim, S.Y.Shin A Compact Differential Formula for the First Derivative of a Unit Quaternion Curve To appear in Jornal of Visualization and Computer Animation.

81. Kim, M.J., Kim, M.S. and Shin, S.Y. A C2-continuous B-splme quaternion curve interpolating a given sequence of solid orientations, in Proceedings Computer Animation '95, 1995, pp. 72-81.

82. M.J.Kim, M.S.Kim, S.Y.Shin A General construction scheme for unit quaternion curves with simple high order derivatives. Proceedings of SIGGRAPG'95, pp.369-376.

83. M.S.Kim, K.W.Nam Interpolating Solid Orientations with Circular Blending Quaternion Curves Computer-Aided Design, Vol.27,No.5, 1995. pp.385-398.

84. Kramer GA. Solving geometric constraint system: a case study in kinematics. Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

85. Lake, R. and Green, M. Dynamic motion control of an articulated figure using quaternion curves, in Proceedings of the Second International Conference on Computer-Aided Design and Computer Graphics, 1991. pp. 37-44.

86. Lee, J. and Shin, S.Y. Motion fairing, in Proceedings of Computer Animation, 1996.

87. Light, R. A., and Gossard, D. C. Modification of geometric models through variational geometry, Computer-Aided Design, 14(4):209-214, 1982.

88. Liu S, Dong Z. A solid boundary based tolerance representation model. In: Proceedings of ASME 18th Design Automation Conference, Scottsdale, AZ, USA, 2;1992:141-149.

89. Y.S.Liu S.M.Gao An Approach for Generating Variational Geometry of A Pattern of Holes with Composite Positional Tolerances, Proceedings of DETC'02, ASME, 2002.

90. Mantripragada R, Whitney DE The datum flow chain: A systematic approach to assembly design and modeling. Research in Engineering Design 10:150-165, 1998.

91. Martinsen, K. Vectorial tolerancing for all types of surfaces, Proc. of 19th ASME Design Automation Conf., Albuquerque, Vol. 2, ASME Press. 70, 1993.

92. L.Mathieu, A.Ballu Univocal Expression of Functional and Geometrical Tolerances for Design, Manufacturing and Inspection 4th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Tokyo, Japan, April 5-6, 1995. pp.32-43.

93. L.Mathieu, A.Ballu Virtual gage with internal mobilities for the verification of functional specifications Proceedings of the 5th CIRP Seminar on Computer Aided Tolerancing, The University of Toronto, Canada, 27-29 April,1997. pp. 10-23.

94. G. Moroni , W. Polini Tolerance-based Variations in Solid Modeling, 2003.

95. Mujezinovic, A., Davidson, J.K., and Shah, J. J. A New Mathematical Model for Geometric Tolerances as Applied to Polygonal Faces, in press for ASME Transactions, J. of Mechanical Design, Vol. 125, 2003.

96. S.P. Mudur, P.A.Kopakar. Interval methods for processing geometric objects. IEEE Computer Graphics and Application, 4(2): 7-17, February 1984.

97. Nelson Donald.D., Cohen E. User interaction with CAD models with nonholonomic parametric surface constraints, in IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 1999.

98. Nielson, G.M. and Heiland, R.W. Animated rotations using quaternions and splines on a 4D sphere. Programming and Computer Software, 18, 1992. pp. 145-154.

99. Omelyan,I., «On the numerical integration of motion for rigid polyatomics: The modified quaternion approach», Computers in Physics, Feb. 1998. pp. 28-33.

100. OPEN CASCADE User's guide, OPEN CASCADE S.A., France.

101. OPEN CASCADE User's guide, OPEN CASCADE S.A, France.

102. Pletickx,D., «Quaternion Calculus as a Basic Tool in ComputerGraphics», The Visual Computer,Vol.5,No.l, 1989. -pp.2-13.

103. H. Pottmann a, B. Odehnal a, M. Peternell a, J. Wallner a, R. Ait Haddou On Optimal Tolerancing in Computer-Aided Design.

104. Requicha A.A.G. Toward A Theory of Geometric Tolerancing. Int. J of Robotics Res. 2(4), 1983. pp. 45-60.

105. A.A.G.Requicha. Solid Modeling: Current Status and Research Directions. IEEE CG&A. 1983,(10) :25-37.

106. Requicha, A. A. G. , «Representation of Geometric Features, Tolerances and Attributes in Solid Modelers Based on Constructive Solid Geometry» IEEE J. of Robotics and Automation, RA-2 no 3, 1986. pp. 156-66, Sept.

107. A.A.G.Requicha, J.R.Rossignac. Solid Modeling and Beyond. IEEE CG&A. 1992,(9):31-44.

108. A.A.Requicha. Mathematical definitions of tolerance specifications. Manufacturing Review, 6(4): 269-274, December 1993.

109. A.A.G Requicha, T.W.Whalen Representations for Assembly. Assembly Planning by ed. A.F.Humem de Mello, Addison-Wesley Publishers, 1994.

110. Requicha, A. A. G., and Chan, S. C. Representation of geometric features, tolerances, and attributes in solid modelers based on constructive geometry, IEEE J. of Robotics and Automation, RA -2(3):156-166, 1986.

111. Rivest L, Clement F, Morel C. Tolerancing a solid model with a kinematic formulation. Computer-Aided Design 1994;26(6):465-75.

112. Robison, R. H., «A Practical Method for Three-Dimensional Tolerance Analysis sing a Solid Modeler,» M.S. Thesis, Mechanical Engineering Department, BrighamYoung University, 1989.

113. J.Rossignac, A.A.G. Requicha Offsetting operations in solid modelling. Computer Aided Geometric Design, 1986,3, pp. 129-148.

114. J.Rossignac, A.A.G. Requicha Solid modeling, Webster.

115. Roy U, Liu C.R. Feature-based representational scheme of a solid model for providing dimensioning and tolerancing information. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 1988;14(3/4):335-45.

116. U.Roy, B.Li Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects I. Form tolerances Computer-Aided Design Vol.30, 1998. - pp.151-161.

117. U.Roy, B.Li Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects.II Size, orientation and position tolerances Computer-Aided Design Vol.31, 1999. pp.273-285.

118. Salomons O, Jonge Poernik H, Slooten F, Houten F, Kais H. A tolerancing tool based on kinematic analogies. Proceedings of Fourth CIRP Design Seminar, 1995. pp. 47-70.

119. Samper, S. and Giordano, M., . Taking into Account Elastic Displacements in 3D Tolerancing Model and Application., pp. 156-162. J. of Materials Processing Technology. (1998)

120. T. Sederberg and R. Farouki. Approximation by interval Baezier curves. IEEE Computer Graphics, 12:87-95, 1992.

121. Shah J, Miller D. A structure for supporting geometric tolerances in product definition systems for CIM. Manufacturing Review 1990;3(1):23-31.

122. Shah J, Zhang B-C. Attributed graph model for geometric tolerancing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Phoenix, 1992. pp. 125-136

123. Shah J, Yan Y. Representation and mapping of geometric dimensions from design to manufacturing. Proceedings of ASME Design Automation Conference, Minneapolis, 1996. pp. 68-75.

124. Shah J, Yan Y, Zhang B-C. Dimension and tolerance modeling and transformations in feature based design and manufacturing. Journal of Integrated Manufacturing 1997;9(5):475-88.

125. Shapiro V., Solid Modeling, Tech.Rep. SAL 2001-2 To be published in Handbook of Computer Aided Geometric Design G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim, eds. Elsevier Science Publishers, 2001.

126. G. Shen and N. Patrikalakis. Numerical and geometric properties of interval B-splines. Int. J. Shape Modeling, 4:31-62, 1998.

127. Shoemake, D., :Animating rotation with quaternion curves», in Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH, pp.245-254, July 1985.

128. Soderberg R., Johannesson H. Spatial Incompatibility Part Integration and Tolerance Allocation in Configuration Design. ASME Paper DETC98/DTM-5643, ASME DETC'98, Atlanta, GA. 1998.

129. Sodhi, R. and Turner, J.U., Relative positioning of variational part models for design analysis. Computer Aided Design, 1994, 26(5), pp. 366-378.

130. Srikanth K.; Liou F. W.; Balakrishnan S. N. Integrated approach for assembly tolerance analysis, International Journal of Production Research, 10 May 2001, vol. 39, no. 7, pp. 1517-1535(19).

131. V. Srinivasan, R. Jayaraman 1989, Geometric Tolerancing : I, Virtual Boundary Requirements, IBM Journal of Research and Development, 33(2):90-104.

132. V. Srinivasan and R. Jayaraman, 1989, Geometric Tolerancing : II, Conditional Tolerances, IBM Journal of Research and Development, 33(2):105125

133. D.Teissandier, Y.Couetard, A.Gerard A computer aided tolerancing model: proportioned assembly clearance volume. Proceedings of the fifth CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, 1997, pp.113-124.

134. Trabelsi A., Delchambre A. Assessment on Tolerance Representation and Tolerance Analysis in Assemblies, Concurrent Engineering , 1 December 2000, vol. 8, no. 4, pp. 244-262(19).

135. Turner, J., and M. Wozny, «Tolerances in Computer-Aided Geometric Design», The Visual Computer, no. 3, pp.214-226, 1987.

136. Turner J.U., Wozny M.J., A mathematical theory of tolerances, in: Geometric Modelling for CAD Applications, eds. Wozny M.J., McLaughlin J.L., Elsevier Science Publishers, IFIP, 1988. pp. 163187.

137. Turner J. Exploiting solid models for tolerance computations. In:Wozny M, Turner J, Preiss K, editors. Geometric modeling for product engineering, North Holland, 1990. p. 237-57.

138. Turner, J. U., Wozny, M. J., The M-space theory of tolerances. In Proceedings of the ASME 16th Design Automation Conference, 1990, Vol. 1, pp. 217-225, Chicago, IL, USA, 17-19 September.

139. Turner, J.U. Relative Positioning of Parts in Assemblies Using Mathematical Programming», Computer-Aided Design, v 22 n 7, pp. 394-400.

140. Turner, J. U., Gupta, S. Variational solid modeling for tolerance analysis. In Proceedings of the 1991 ASME International Computers in Engineering Conference, Vol. 1, pp. 487-494, Santa Clara, CA, USA, August 18-22, 1991.

141. Turner J.U. A feasibility space approach for automated tolerancing, ASME Journal of Engineering for Industry, Vol. 115, 1993. pp. 341345.

142. J. Wallner, R. Krasauskas, and H. Pottmann. Error propagation in geometric constructions. Computer-Aided Design, to appear, 2000.

143. Wang, W. and Joe, B. (1993) Orientation interpolation in quaternion space using spherical biarcs, in Proceedings Graphics Interface '93, pp. 24-32.

144. Wang N, TM (1990) Automatic generation of Tolerance chains from mating relations represented in assembly Models. Proc ASME Advances in Design Automation Conf (l):227-233, Chicago.

145. D.E.Whitney The potential for assembly modeling in product development and manufacturing Proceedings of IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning, Pittsburg, Aug. 10, 1995. pp. 56-103.

146. Whitney D.E., Gilbert .0., Jastrzebski M. Representation of Geometric Variations Using Matrix Transforms for Statistical Tolerance Analysis in Assemblies, Research in Engineering Design, 1994 (6): 191-210.

147. D. E. Whitney, R. Mantripragada, J. D. Adams, S. J. Rhee Designing Assemblies Research in Engineering Design, 1999(11) :229-253.

148. Whitney, D.E. Gilbert, O.L. Representation of geometric variations using matrix transforms for statistical tolerance analysis in assemblies Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol.2, 1993. pp. 314-321.

149. Daniel E Whitney, Assembly-oriented design, Sloan-Eng Product Development Course Book, MIT, 2002.

150. C.Weber, W.Britten, O.Thome «Feature Based Computer Aided Tolerancing Step Towards Simultaneous Engineering» Report98ME005 of Chair of Engineering Design/CAD, University of the Saarland , 10p., 1998.

151. C.Weber, W.Britten, O.Thome «Conversion of geometrical tolerances into vectorial tolerance representations a major step towards computer aided tolerancing» International Design Conference - DESIGN '98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.101-113.

152. C.Weber, O.Thome, W.Britten «Improving Computer Aided Tolerancing by using feature Technology» International Design Conference DESIGN '98, Dubrovnik, May 19-22, 1998. - pp.28-34.

153. R.G. Wilhelm and S. C-Y. Lu, «Tolerance Synthesis to Support Concurrent Engineering», Annals of CIRP, 41/1:197-200, 1992.

154. A.Wirtz Vectorial tolerancing for quality control and functional analysis in design. In CIRP International Working Seminar on Computer-Aided Tolerancing, PennState University, May 1991. pp.47-58.

155. Wirtz A. Vectorial tolerancing a basic element for quality control, Proc. 3rd CIRP seminar on Computer Aided Tolerancing, Cachan (France), April 1993. pp. 115-128.

156. Wu Y., Shah Jami J., Davidson Joseph K. Computer Modeling of Geometric Variations in Mechanical Parts and Assemblies, 2003.

157. Yan Y. Dimensions and tolerances mapping. MS thesis, Arizona State University, 1995.

158. H.T. Yau. Generalization and evaluation of vectorial tolerances. Int. J. of Production Res. 35(6):1763-1783.