автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка численных методов для моделирования распространения упругих волн в неоднородных средах

на правах рукописи

ФАВОРСКАЯ Алена Владимировна

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ГРМ 2015

МОСКВА-2015

005562475

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Петров Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Официальные оппоненты:

Никитин Илья Степанович, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматизации проектирования РАН, отдел информатизации, математического моделирования и управления, ведущий научный сотрудник

Козелков Андрей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и математической физики Федерального Государственного Унитарного Предприятия «Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики», начальник научно-исследовательской лаборатории математического отделения

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт"

Защита состоится «22» октября 2015 г. в 9:15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ и на сайте МФТИ www.mipt.ru.

Автореферат разослан « ^ » С-Стл Г^&рЬ 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета / Федько Ольга Сергеевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Современные задачи по моделированию пространственных динамических процессов в сложных гетерогенных средах требуют вводить все более усложняющиеся механико-математические модели. К данному классу задач относятся и численные эксперименты в областях сейсморазведки и сейсмологии. Вопрос освоения Арктического шельфа Российской Федерации является актуальным в силу необходимости разработки и разведки месторождений углеводородов. На Арктическом шельфе России располагаются 8 месторождений, запасы в которых оцениваются, приблизительно, в 2.7 трлн. мЗ. Для данных месторождений необходимо уточнение выполненных ранее оценок запасов нефти и газа. Нефтеразведка в условиях Арктики обладает своей спецификой. Например, одним из слоев, через которые распространяются сигналы от источников, является море, другим — ледяной покров, вносящий свой вклад в измеряемые или вычисляемые отклики при сейсморазведке.

Актуальными также являются и задачи моделирования землетрясений. Полученная волновая картина, как в толще земли, так и на ее поверхности и в расположенных на ней объектах, позволяет определять области возможных разрушений жилых и промышленных сооружений, что даст возможность повысить сейсмостойкость зданий. Поскольку любая халатность на железной дороге может привести к человеческим жертвам и существенным финансовым потерям, примеров которым в мире насчитывается много, одной из приоритетных задач является мониторинг состояния рельсов (дефектоскопия) и железнодорожного полотна в целом. Также в настоящее время появляется практический интерес к исследованию влияния анизотропии геологических сред на прохождение в них сейсмических волн и к моделированию композитных материалов.

Степень разработанности темы исследования

При численном решении задач сейсмики используют конечно-разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках, псевдоспектральный метод и метод спектральных элементов, сеточно-характеристический метод. Для численного моделирования ультразвуковой дефектоскопии применяют метод конечных элементов, масс-пружинную модель, метод конечных разностей и квазианалитический метод конечных элементов (semi-analytical finite element method, SAFE). При численном решении задач сейсморазведки используют, в основном,

лучевые методы. Также для решения данных задач применяют методы конечных элементов и спектральных элементов, в том числе с точностью высокого порядка, конечно-разностные схемы, адаптированные для моделирования задач сейсмики.

Для решения задач, в которых фигурируют гиперболические системы уравнений, описывающие линейно-упругую среду (в том числе, в анизотропном случае) и акустическое поле, и требующих при этом высокоточного расчета волновых процессов, применение метода, позволяющего детально и физически корректно описывать проистекающие волновые процессы, является оптимальным. Таким методом является се-точно-характеристический метод (вСМ). Использование неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток позволяет проводить численное моделирование контактных границ сложной формы. Для се-точно-характеристического метода на неструктурированных сетках необходима разработка интерполяции на тетраэдральных сетках и написание соответствующей библиотеки. При решении ряда задач необходим точный и физически корректный учет границ и контактных границ области интегрирования, что требует разработки и математического обоснования соответствующих граничных и контактных условий. При численном моделировании задач, включающих как акустическую, так и линейно-упругую среды, к которым относятся, в частности, задачи сейсморазведки в условиях Арктического шельфа, требуется разработка контактного условия между соответствующими средами. При численном моделировании ряда задач, например, задач сейсмостойкости наземных и подземных сооружений, неоднородности занимают небольшую часть области интегрирования. Для решения таких задач целесообразна разработка сеточно-характеристического метода на иерархических структурированных и неструктурированных сетках.

Использование различных критериев разрушений, например, критерия по главному напряжению, позволяет моделировать процессы разрушения сеточно-характеристическим методом, что, однако, снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц (БРН), являющийся бессеточным. Но этот метод не лишен недостатков: для него характерны нефизичные осцилляции, а детальное моделирование волновых процессов требует увеличения количества частиц. Для решения задач, требующих расчета значительных разрушений и дефор-

маций одновременно с описанием волновых процессов, целесообразна разработка комбинированного численного метода ОСМ-8РН.

Классические интегралы Кирхгофа широко используются при решении краевых задач для волнового уравнения. Также получены обобщённые интегралы Кирхгофа, описывающие решение краевой задачи теории упругости в замкнутой форме. Эти интегралы позволяют обобщить на случай волн в упругой среде классические методы, развитые для решения скалярного волнового уравнения. В связи с этим представляет интерес получение интегралов Релея для решения краевой задачи теории упругости на основе соответствующих интегралов Кирхгофа, а также проведение сравнения решений, полученных с их помощью, и сеточно-характеристическим методом. Цели и задачи

Целями и задачами работы являются:

¡.Разработка методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Написание библиотеки для интерполяции на неструктурированных сетках.

2. Разработка комбинированного метода ССМ-БРН на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах.

3.Разработка методов нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

4. Разработка сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках и с использованием интерполяции высоких порядков.

5. Адаптация сеточно-характеристического метода к моделированию волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.

6. Получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды. Проведение сравнения решений, полученных с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом.

7. Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктического шельфа, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и ультразвуковой дефектоскопии горизонтального расслоения головки железнодорожного рельса.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

3.Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

4. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода вСМ-БРИ, доказано сохранение комбинированным методом вСМ-8РН порядка аппроксимации базовых методов.

5. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред.

6. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени) сетках.

7. Сеточно-характеристический метод адаптирован для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.

8. Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды.

9. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач сейсмической разведки, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений, дефектоскопии рельсов. Теоретическая и практическая значимость работы

Важными теоретическими и практическими результатами являются:

1. разработка методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных сетках, написание соответствующей библиотеки;

2. исследование на аппроксимацию сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках и исследование на устойчивость семейства разностных схем, в которые переходят двумерные и трехмерные разностные схемы, чередованию которых соответствует сеточно-характеристический метод на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках соответственно;

3. математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH и доказательство сохранения комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов;

4. математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек;

5. математическое обоснование расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках;

6. адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах;

7. получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды и сравнение решений, полученных с помощью интегралов Релея, и сеточно-характеристическим методом;

8. результаты исследований влияния льда, взаиморасположения приемников и источников в задачах сейсморазведки в условиях Арктического шельфа; волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения; пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии рельса.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров

1. Семь грантов РФФИ (2011-2015).

2. Проект РНФ №14-11-00263 на базе МФТИ;

3.Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка науч- . ных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013.

4. Государственный контракт № 14.575.21.0084 «Разработка высокоточных вычислительных методов и комплексной программно-алгоритмической системы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых сейсмическими и электромагнитными методами в шельфо-вой зоне Арктики», 2014-2015.

5. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам, 20132015, стипендия Правительства РФ аспирантам, 2014-2015.

6. IBM Fellowship, 2015.

Методология и методы исследования

Используется сеточно-характеристический метод на структурированных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких порядков, в том числе, на иерархических. Используется точная постановка граничных и контактных условий, в том числе контактного условия динамической силы трения, контактного условия между упругими и акустическими средами и граничного условия с использованием мнимых точек. В диссертации проводится численное моделирование сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа при помощи прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных упругих и акустических средах. Также проводится численное моделирование ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов и влияния сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения, на наземные и подземные сооружения с помощью сеточно-характеристического метода на иерархических сетках. Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

2. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

3.Выполнено математическое обоснование комбинированного метода ССМ-БРН на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (8РН) для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом вСМ-БРН порядка аппроксимации базовых методов.

4. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела

упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

5.Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

6. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии.

7. Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом.

8. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены:

- исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм;

- исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути. Степень достоверности и апробация результатов

Научные результаты диссертации опубликованы в 64 работах, из которых 5 [1-5] в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science, 8 [1-8] в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 23 в изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ [1-23] и 15 [9-23] в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1.Научные конференции Московского физико-технического института - Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, есте-

ственных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2009 - 2014);

2.Российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011);

3.III Международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);

4.Конференция "Численная геометрия, построение сеток и высокопроизводительные вычисления" посвященная 120 годовщине со дня рождения Б.Н. Делоне и конференция NUMGRID2012 (Москва, 2012);

5.Х и XI Курчатовская молодежная научная школа (Москва, 20122013);

6.ХХ юбилейная конференция «Ломоносов», МГУ (Москва, 2013);

7.Международная конференция, проводящейся в рамках "G20 Youth Forum 2013" (Санкт-Петербург, 2013);

8.Научно-практическая конференция "Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение" (Москва, 2013);

9.The 6th International Conference "Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education", (Москва, 2014);

Ю.Третья научно-техническая конференция с международным участием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование", ИСУЖТ-2014 (Москва, 2014).

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

l.OAO «Нефтяная компания "Роснефть"» (2011, 2012, 2013);

2.Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (2011, 2012);

3.Филиал «Центр Инновационного Развития» ОАО «РЖД» (2013).

Основное содержание работы

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 171 страницу. Список литературы содержит 171 наименование.

Во Введении рассмотрены актуальность темы исследования, степень разработанности темы исследования, цели и задачи, научная но-

визна, теоретическая и практическая значимость работы, методология и методы исследования, положения, выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов.

В Главе 1 рассматриваются определяющие системы уравнений: система, описывающая состояние сплошной линейно-упругой среды в изотропном и анизотропном случаях, и система, описывающая акустическое поле. На основе данных систем уравнений решаются задачи широкого класса, например, задачи сейсморазведки, в том числе, в условиях Арктического шельфа: при этом находят численное решение системы уравнений, описывающей линейно-упругую среду в изотропном случае, для описания волновых процессов в грунте, льде, и численное решение системы, описывающей акустическое поле, для описания волновых процессов в воде (приближение идеальной сжимаемой жидкости).

В Главе 2 приведены сеточно-характеристические методы на структурированных (двумерный и трехмерный случай), а также на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в изотропном и анизотропном случаях, а также системы, описывающей акустическое поле. Вкладом автора являются:

- адаптация сеточно-характеристического метода на структурированных сетках в двумерном и трехмерном случаях, а также на неструктурированных треугольных сетках, для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в анизотропном случае, системы, описывающей акустическое поле, а также совместного решения данных систем в изотропном случае;

- разработка сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в изотропном и анизотропном случае, а также системы, описывающей акустическое поле и совместного решения данных систем в изотропном случае.

- исследование семейства сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках с интерполяцией от первого до пятого порядка включительно на аппроксимацию и исследование на устойчивость разностных схем, в которые данное семейство методов переходит в одномерном случае.

В Главе 3 рассмотрены граничные и контактные условия, сохраняющие порядок аппроксимации используемого сеточно-характеристического метода. Автором были получены

- граничные смешанные и неотражающие граничные условия, а также контактные условия полного слипания и свободного скольжения для случая неколлинеарной направлению расщепления нормали к поверхности раздела (случай неструктурированных сеток) для решения системы уравнений, описывающей состояние сплошной линейно-упругой среды в изотропном случае;

- контактное условие с динамической силой трения, а также граничное условие с использованием мнимых точек для случая коллинеарной направлению расщепления нормали к поверхности раздела (случай структурированных сеток);

- граничные условия заданной плотности внешних сил, заданной скорости границы, смешанные и неотражающие, контактные условия полного слипания, свободного скольжения для системы уравнений, описывающей линейно-упругую среду в анизотропном случае как для случая структурированных, так и для случая неструктурированных сеток;

- граничные условия заданного давления, заданной нормальной компоненты скорости, контактное условие свободного скольжения для системы уравнений, описывающей акустическое поле, и контактное условие между линейно-упругим и акустическим слоями;

- сеточно-характеристический метод на иерархических сетках;

- математическое обоснование комбинированного метода ОСМ-БРН.

В Главе 4 рассматриваются методы интерполяции на треугольных

сетках, и полученные автором методы интерполяции на тетраэдральных сетках: интерполяция полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейная интерполяция, и три вида гибридных интерполяций, результаты численного тестирования.

В Главе 5 приводятся полученные автором на основании интегралов Кирхгофа для краевой задачи теории упругости в замкнутой форме соответствующие интегралы Релея, результаты сравнения решений, получаемых с помощью данных интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом, демонстрирующее количественные и качественные совпадения решений для всех типов волн, что свидетельствует как о физической корректности решений, получаемых сеточно-характеристическим методом, так и о целесообразности применения и дальнейшего развития методов решения краевой задачи теории упругости при помощи интегралов Релея и Кирхгофа.

В Главе 6 рассматриваются результаты численного моделирования. В шельфовой зоне Арктических морей расположены перспективные запасы нефти и газа. Сейсморазведочные работы в Арктических условиях

осложнены наличием воды и ледяного покрова. В данном пункте приведены результаты проведенного автором исследования влияния льда, расположения приемников и источников на получаемые сейсмограммы. По результатам проведенных исследований были сделаны следующие выводы.

- В акустических резервуарах можно видеть более активные отражения, чем в линейно-упругих. Отклик от акустических резервуаров также более выраженный на всех сейсмограммах, как в случае приемников на дне, так и на в случае приемников на льду.

- При расположении источника на дне наличие льда существенно не влияет на получаемые как на дне, так и на поверхности льда или воды соответственно сейсмограммы.

- В случае расположения источника и приемников вблизи поверхности при отсутствии льда получается более информативный отклик.

- При расположении приемников на дне расположение источников не оказывает существенного влияния. Приемники на дне всегда дают больше информации: фиксируют и вертикальную, и горизонтальную компоненты скорости. При расположении приемников на поверхности как льда, так и воды теряется горизонтальная компонента скорости.

- При расположении источников на льду, во льду и в воде подо льдом волновые картины, возникающие отклики и все виды сейсмограмм (с приемников на поверхности, с приемников на дне, с горизонтальной, вертикальной компонентами скорости и модулем скорости) близки (с точностью до 1 процента).

- При измерениях на льду сейсмограммы, показывающие модуль скорости, дают меньше информации, чем сейсмограммы, показывающие вертикальную компоненту скорости.

- Отклики, регистрируемые на приемниках, расположенных на поверхности, значительно слабее, чем отклики, регистрируемые на приемниках, расположенных на дне.

На рис. 1 приведены волновые отклики для источников, расположенных во льду (рис. 1 а, 1 б), и для источников, расположенных на дне подо льдом (рис. 1в, 1г). На 1а, 1 в рассмотрены случаи с резервуаром, а на рис. 16, 1 г - при его отсутствии. На рис. 2 приведены соответствующие сейсмограммы, полученные с приемников, расположенных на поверхности льда при измерении вертикальной компоненты скорости.

а) б) в) г)

Рис. 1. Волновые картины. Сравнение расположения источников во льду и на дне.

При наличии льда.

Рис. 2. Сейсмограммы (вертикальная компонента скорости).

Сравнение расположения источников во льду и на дне. При наличии льда.

Добыча углеводородов в условиях Арктического шельфа осложнена наличием ледяных образований: айсбергов и торосов, столкновение с которыми может привести к повреждениям нефтедобывающих платформ, исследовательских и транспортировочных судов, экологическим катастрофам в результате выброса нефти в открытое водное пространство. В настоящее время в качестве одного из способов борьбы с опасностью соударений ледовых образований с судами и нефтедобывающими платформами рассматривается проведение взрывного воздействия на айсберг. Сложность проведения данного воздействия заключается в том, что взрыв может проистекать двумя качественно различными путями и привести к диаметрально противоположным с точки зрения снижения рисков соударения результатам: либо расколоть айсберг на крупные осколки (что увеличивает риск последующих соударений пропорционально количеству осколков), либо расколоть айсберг в ледяную крошку. Способ, которым расколется айсберг в результате взрывного воздействия, зависит от параметров взрыва и особенностей возникающих при этом в айсберге волновых процессов. Физическое моделирование взрывных воздействий на кубы льда является трудоемким и дорогостоящим, что не позволяет провести детального исследования и выработки соответствующих критериев, в соответствии с которыми нужно проводить взрывное воздействие на айсберг, чтобы получить ледяную крошку, а не увеличение числа айсбергов. В связи с этим целесообразно применение численного моделирования соответствующих процессов, при ; этом необходим детальный учет волновых процессов, так как именно от них зависит результат взрывного воздействия на айсберг, увеличивающий, либо уменьшающий риски последующих соударений. Рассматривается выполненное автором решение задачи взрывного воздействия на айсберг с помощью сеточно-характеристического метода на структури-

рованных сетках с использованием разработанного автором контактного условия между линейно-упругой и акустической средами.

Причиной схождения состава с железнодорожного пути может являться разрыв рельса, которому предшествуют имеющиеся в рельсе де-; фекты, быстрый рост которых может быть вызван нагрузкой, возника-^ ющей при прохождении состава по данному участку железнодорожного | пути. В настоящее время в качестве перспективного метода дефектоско-| пии рельсов рассматривают ультразвуковую дефектоскопию. Одной из особенностей данного метода неразрушающего контроля является возможность его применения непосредственно во время движения поезда, | что может предотвратить схождение состава с рельсов. В данной главе также рассматривается выполненное автором численное моделирование ! неразрушающего контроля железнодорожных путей на примере ультра-I звуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов с горизонтальным

расслоением головки. I Рассматривается выполненное автором решение задач сейсмостойкости наземных и подземных сооружений с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на структурированных иерархических сетках. Использование иерархических сеток позволяет рассчитывать распространение сейсмических волн от гипо-. центра землетрясения до наземных и подземных сооружений и исследо-; вать динамику возникновения повреждений. На рис. 3 приведены по-I вреждения, возникшие в наземном сооружении после прохождения сей-| смических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения.

ашгдтчичции

"" Я

I \

Рис. 3. Повреждения в наземном сооружении.

Также приведены результаты численного моделирования землетрясения и распространения сейсмических волн в изотропных и анизотропных геологических средах, выполненные разработанным автором сеточ-но-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдраль-| ных сетках, результаты численного моделирования задач о соударениях разработанным автором комбинированным методом вСМ-8РН и результаты моделирования:

- волновых процессов при наличии динамического трения на контактных поверхностях с использованием соответствующего разработанного автором контактного условия;

- низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из композитного материала с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках (приведено сравнение результатов численного и физического моделирования);

- отклика от системы трещин в геологической среде с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках (приведено сравнение результатов численного и физического моделирования).

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках. Проведено исследование сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках на аппроксимацию и исследование на сходимость их одномерных аналогов.

2. Математически обоснован комбинированный метод на базе сеточно-характеристического на неструктурированных тетраэдральных сетках и метода сглаженных частиц (БРН) для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом ОСМ-БРН порядка аппроксимации базовых методов.

3. Математическое обосновано нахождение решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

4. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

5. Семейство сеточно-характеристических методов адаптировано автором к моделированию волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а так-

же случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и верти-кально-трансверсальной анизотропии.

6. Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды, проведено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Релея, и сеточно-характеристическим методом, показывающее количественные и качественные совпадения.

7. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены:

- исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсморазведки в условиях Арктического шельфа;

- исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.

Также с использованием разработанных автором методов решены задачи сейсмической разведки, задачи о соударениях, задачи по исследованию композитных материалов в интересах авиапромышленности, в том числе проводилось моделирование:

- волновых процессов при наличии динамического трения на контактных поверхностях с использованием соответствующего разработанного автором контактного условия;

- низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из композитного материала с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках, в том числе проведено сравнение результатов численного и физического моделирования;

- отклика от системы трещин в геологической среде с использованием разработанного автором сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках, в том числе проведено сравнение результатов численного и физического моделирования.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

Ниже приведен список основных работ, опубликованных автором по теме диссертации. Со всем работами можно ознакомиться в тексте кандидатской диссертации.

1. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Sannikov, A.V. Grid Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Meshes / A.V. Fa-

vorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, A.V. Sannikov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - Vol. 54, No. 5 - P. 837 - 847.

2. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Grid Characteristic Method for the Numerical Solution of ThreeDimensional Dynamical Elastoplastic Problems / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov, A.S. Ermakov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2014,-Vol. 54, No. 7 - P. 1176- 1189.

3. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Biryukov, V.A., Sannikov, A.V. Grid-Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Grids / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, V.A. Biryukov, A.V. Sannikov // Doklady Mathematics. - 2014. - V. 90, No. 3. - P. 781 - 783.

4. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Method for the Numerical Solution of Dynamic Three-Dimensional Elastoplastic Problems / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov, A.S. Ermakov // Doklady Mathematics.-2015.-V. 91, No. 1.-P. 111 - 113.

5. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Vasyukov, A.V., Ermakov, A.S., Beklemysheva, K.A., Kazakov, A.O., Novikov, A.V. Numerical Simulation of Wave Propagation in Anisotropic Media / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Vasyukov, A.S. Ermakov, K.A. Beklemysheva, A.O. Kazakov, A.V. Novikov // Doklady Mathematics. - 2014. - V. 90, No. 3. - P. 778 - 780.

6. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Sannikov, A.V., Kvasov, I.E. Grid-Characteristic Method Using High Order Interpolation on Tetrahedral Hierarchical Meshes with a Multiple Time Step / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Sannikov, I.E. Kvasov // Mathematical Models and Computer Simulations. -2013,- Vol. 5, No. 5. - P. 409 - 415.

7. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Beklemysheva, K.A. Numerical Simulation of Processes in Solid Deformable Media in the Presence of Dynamic Contacts Using the Grid-Characteristic Method / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, K.A. Beklemysheva // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6, No. 3. - P. 294 - 304.

8. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A., Sannikov, A.V., Golubev, V.I. Monitoring the State of the Moving Train by Use of High Performance Systems and Modern Computation Methods / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov, V.A. Miryakha, A.V. Sannikov, V.I. Golubev // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2015. - Vol. 7,No. 1.-P. 50-60.

9. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Санников, A.B. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, A.B. Санников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 5. - С. 821 - 832.

Ю.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Васюков, A.B., Потапов, А.П., Ермаков, A.C. Сеточно-характеристический комбинированный метод для численного решения динамических пространственных упругопластических задач / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, A.B. Васюков, А.П. Потапов, A.C. Ермаков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - С. 1203 -1217.

П.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Бирюков, В.А., Санников, A.B. О сеточно-характеристическом методе на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, В.А. Бирюков, A.B. Санников // Доклады РАН. - 2014. - Т. 459, № 4. - С. 406 - 408.

12.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Васюков, A.B., Потапов, А.П., Ермаков, A.C. О комбинированном методе для численного решения динамических пространственных упругопластических задач / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, A.B. Васюков, А.П. Потапов, A.C. Ермаков // Доклады РАН. - 2015. - Т. 460, №. 4. - С. 389 - 391.

13.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Васюков, A.B., Ермаков, A.C., Беклемышева, К.А., Казаков, А.О., Новиков, A.B. О численном моделировании волновых процессов в анизотропных средах / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Васюков, A.C. Ермаков, К.А. Беклемышева, А.О. Казаков, A.B. Новиков // Доклады РАН. - 2014. - Т. 495, № 3. - С. 285 -287.

14.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Се-точно-характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 2. - С. 42 - 52.

15.Фаворская, A.B., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода / A.B. Фаворская, К.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 11. - С. 3 - 16.

16.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И., Санников, A.B. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, В.И. Голубев, A.B. Санников // Математическое моделирование. - 2014 - Т. 26, № 7. - С. 19 - 32.

П.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Информационные технологии. - 2011. - №9. — С. 28 - 30.

18. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Потапов, А.П., Ва-сюков, A.B., Ермаков, A.C. Компьютерное моделирование упругопла-стических тел комбинированным методом / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, А.П. Потапов, A.B. Васюков, A.C. Ермаков // Информационные технологии. - 2014. - № 3. - С. 19 - 24.

19. Фаворская, A.B., Петров, И.Б. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров // Информационные технологии. -2011. — №9. - С. 30-32

20.Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Се-точно-характеристический метод высокой точности на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2012. - Т. 3, № 1. - С. 161 - 171.

21. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Динамическая диагностика элементов пути / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, В.И. Голубев,. В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. - 2013. - Т. 24, № 4. - С. 82 - 95.

22. Фаворская, A.B., Петров, Д.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Численное решение арктических задач с помощью сеточно-характеристического метода. / A.B. Фаворская, Д.И. Петров, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014.

23.Фаворская, A.B., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического

метода / A.B. Фаворская, К.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Труды МФТИ.-2013.-Т. 5,№3 (19).-С. 3- 10.

24. Фаворская, A.B., Голубев, В.И. Расчет воздействий землетрясений на сооружения сеточно-характеристическим методом с использованием мнимых точек / A.B. Фаворская, В.И. Голубев // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделирование информационных систем». - 2015. - С. 11-14.

25.Фаворская, A.B. Об аппроксимации и устойчивости сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках / A.B. Фаворская // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделиро-

! вание информационных систем». - 2015. - С. 8 - 11.

26. Фаворская, A.B., Жданов, М.С. Обобщенные интегралы Кирхгофа для описания волновых процессов в линейно-упругих средах / A.B. Фаворская, М.С. Жданов // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделирование информационных систем». - 2015. - С. 4 -8.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

2. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходит семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, соответствующие семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

3. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (SPH) для численного моделирования волновых процессов в упруго-пластических телах, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

4. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

5. Разработаны математическое обоснование и алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков)сетках.

6. Разработан сеточно-характеристический метод моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии.

7. Разработан метод нахождения полного волнового поля в упругих средах с помощью интегралов Релея, проведено его сравнение с сеточ-но-характеристическими методами.

8. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены:

- исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм;

- исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.

Фаворская Алена Владимировна

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано в печать 20.08.2015. Формат 60 х 84 '/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 355. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9