автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Разработка алгоритмов выбора и смены базиса для повышения эффективности анализа и комплексной оптимизации установившихся режимов электроэнергетических систем

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БАЗИСА УРАВНЕНИЙ УР В МЕТОДАХ АНАЛИЗА И КОМПЛЕКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УР ЭЭС.

1.1. Задачи и методы анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС. Базис уравнений УР ЭЭС.

1.2. Связь базиса уравнений УР с имитацией управления ЭХ.;.

1.3. Задачи и методы выбора и смены базиса.

Выводы.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕВД СМЕНЫ И ОПТИМИЗАЦИИ БАЗИСА.

2.1. Роль базиса при решении уравнений УР методами ньютоновского типа.

2.2. Оптимизация базиса при расчете УР без учета ограничений в форме неравенств.;.

2.3. Экспериментальное исследование оптимизации базиса при расчете УР без учета ограничений в форме неравенств.

2.4. Оптимизация базиса при расчете допустимых и оптимальных УР.

2.5. Определение существенных и несовместных ограничений

2.6. Экспериментальное исследование оптимизации базиса с целью облегчения учета ограничений в форме неравенств.

2.7. Достоинства и недостатки аналитических методов смены и оптимизации базиса. Область практического применения.

Выводы.

3. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫБОРА, СМЕНЫ И ОПТИМИЗАЦИИ БАЗИСА.

3.1. Выбор исходного базиса.

3.2. Смена базиса.

3.3. Критерии оптимальности. Оптимизация базиса.

3.4. Решение задачи выбора оптимального базиса.

3.4.1. Нахождение исходного паросочетания.

3.4.2. Нахождение паросочетания В^ с числом ребер на I большим, чём у исходного паросочетания В (решение задачи смены оптимального базиса).

3.5. Сравнение некоторых методов, позволяющих решать задачи выбора и смены оптимального базиса в виде задачи о назначении. ИЗ

3.6. Методы выбора и смены базиса в программах серии СДО.

Выводы.

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ВЫБОРА, СМЕНЫ И ОПТИМИЗАЦИИ БАЗИСА В ПВК СДО-5.

4.1. Основные принципы использования.

4.2. Учет имеющихся в ЭЭС возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности. 129 4.2.1. Обобщенный алгоритм определения компонент векторов уравнений и переменных.

4.3. Программная реализация.

4.4. Эффект от использования.

В решениях ХХУ1 съезда КПСС указывается [1] , что "основным направлением развития энергетики в СССР является создание объединенных энергосистем и дальнейшее формирование Единой энергетической системы, а также разработка и реализация вопросов, связанных с повышением надежности работы этих энергосистем и улучшением качества электроснабжения потребителей".

Надежность и экономичность работы современных энергосистем могут быть обеспечены только при комплексном решении задач управления. В этой связи большое значение имеет разработка автоматизированных систем диспетчерского управления - АСДУ режимами электрических систем.

В настоящее время осуществляется переход от отдельных программ к созданию больших комплексов, позволяющих производить всесторонние исследования энергосистем. Такие комплексы требуют разработки специальных организационных принципов. Под руководством ЦДУ ЕЭХ СССР создается вычислительный комплекс ВК АСДУ для отраслевой автоматизированной системы управления производством ОАСУ "Энергия" [2] . Целью ВК АСДУ является согласование всех видов расчетов при использовании единой информационной базы.

Существующая концепция управления ЭХ предусматривает возможность декомпозиции основной задачи управления на ряд более простых задач. Одним из видов декомпозиции является ситуативная, при которой характерные свойства ЭЭС определяются ее режимами -нормальными, утяжеленными, аварийными и послеаварийными [з] . Такая классификация применительно к установившимся режимам (УР) ЭХ может быть положена в основу создания комплексных математических моделей.

Актуальность. В настоящее время в методике расчетов режимов ЭХ сложилось положение, когда ее развитие происходит в двух направлениях, которые определяются требованиями, предъявляемыми к ним АСДУ ЭЭС: первое - создаются упрощенные методы, позволяющие быстро получать решение задачи в ущерб точности решения, и второе - методы, обладающие высокой точностью получаемых решений, но требующие больших затрат времени. Оптимальным с точки зрения задач АСДУ будет метод, обладающий достоинствами обоих направлений. Одним из путей создания таких методов можно рассматривать совершенствование методов второго направления. По такому пути ведутся многочисленные работы как у нас в стране, так и за рубежом. Причем большинство методов расчетов УР ЭЭС, в основном, совершенствуется за счет применения в своих вычислительных схемах различных эффективных математических методов. Такой подход приводит к тоцу, что происходит определенное сближение методов, в результате чего в настоящее время в большинстве методов используется, по сути дела, вычислительная схема обобщенного метода приведенного градиента (ОМПГ) [4] .

Под руководством СЭИ СО АН СССР рядом организаций СССР разрабатывается программно-вычислительный комплекс (ПВК) СДО-5

8б] , предназначенный для расчетов нормальных, утяжеленных и поелеаварийных УР ЭЭС. Имеется решение [2] , что СДО-5 будет использоваться в ВК АСДУ для решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС.

Основу единого математического аппарата в СДО-5 составляет ОМПГ. Одним из специфических свойств ОМПГ, отличающих его от большинства других методов, является использование в вычислительной схеме методов выбора и смены базиса. Последние используются, во-первых, как основное средство для учета ограничений в форме неравенств, наложенных на параметры режима, и, во-вторых, как одно из основных средств повышения эффективности расчетов в целом (например, для более точной имитации реальных физических процессов, протекающих в ЭХ, для более надежной сходимости 0Ш1Г, для минимизации количества вычислительных операций и т.п.).

Цели работы можно сформулировать следующим образом:

1) выявление достоинств и недостатков существующих методов выбора и смены базиса, классификация этих методов;

2) исследование влияния базиса уравнений УР на решение задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС;

3) разработка, исследование и внедрение в рамках ПВК СДО-5 новых более эффективных критериев и алгоритмов выбора и смены базиса.

Научная новизна в подходах к достижению поставленных целей заключается в том, что

1) на основе экспериментальных исследований установлено большое влияние оптимизации базиса уравнений УР на сходимость методов ньютоновского типа при расчете предельных режимов, характеризующихся плохо обусловленной матрицей Якоби, а также на сходимость ОМПГ при расчете допустимых и оптимальных режимов;

2) разработан метод определения существенных и несовместных ограничений в форме неравенств, наложенных на зависимые параметры режима;

3) разработана постановка задач выбора, смены и оптимизации базиса на графе уравнения-переменные;

4) разработаны критерии оптимальности базиса и показано, что их использование позволяет значительно ускорить процесс решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС;

5) разработан топологический метод решения задачи выбора оптимального базиса в виде известной в теории графов задачи о назначении;

6) разработана методика имитации имеющихся в ЭХ возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности.

Практическая ценность работы. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в ПВК СДО-5 для ЭВМ БЭСМ-6 и Единой серии в виде подпрограмм выбора и смены базиса. Использование этих подпрограмм позволяет достаточно точно учитывать имеющиеся в энергосистемах возможности регулирования напряжения и перетоков активной мощности; определять наиболее существенные ограничения в форме неравенств и минимизировать их число, а также судить о наличии или отсутствии допустимой области УР; рассчитывать УР вблизи границы расчетной устойчивости; с большой эффективностью учитывать ограничения в форме неравенств при расчетах допустимых и оптимальных УР. Кроме того, разработанные методы выбора и смены базиса могут быть легко реализованы в вычислительной схеме любой другой современной программы расчета УР, использующей для решения системы нелинейных уравнений метод ньютоновского типа.

На защиту выносятся:

1) экспериментальные исследования эффективности различных методов выбора и смены базиса;

2) три критерия оптимальности базиса;

3) метод определения существенных и несовместных ограничений;

4) постановка задач выбора, смены и оптимизации базиса в виде задач на графе уравнения-переменные, при которой наиболее общей является задача выбора оптимального базиса;

5) метод решения задачи выбора оптимального базиса;

6) программная реализация методов и алгоритмов выбора и смены базиса.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях молодых ученых Сибирского энергетического института СО АН СССР (Иркутск, 1974, 1976, 1978 гг.); на Всесоюзных совещаниях "Управление ЭХ с помощью ЭВМ 3-го поколения" (Свердловск,1976 г.) и "Разработка программных комплексов для анализа и управления установившихся и переходных режимов энергосистем на ЕС ЭВМ" (Таллин, 1979 г.); на Всесоюзном семинаре "Оптимизация энергетических режимов электростанций и энергосистем" (Фрунзе, 1982 г.); на восьмой Всесоюзной научной конференции "Моделирование электроэнергетических систем" (Баку, 1982 г.); на Всесоюзном научно-техническом семинаре "Советчики диспетчера для управления режимами ЭЭС" (Иркутск, 1983 г.) и др.

Реализация полученных результатов. ПВК СДО-5 используется в настоящее время для решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС в ВГПИ и НИИ "Энергосетьпроект" и его отделениях (Сибирском, Среднеазиатском, Киевском, Горьковском и др.), а также в РЭУ "Иркутскэнерго". Сведения о внедрении прилагаются. Годовой экономический эффект от использования ПВК СДО-5 составляет около 50 тысяч рублей.

Имеющиеся публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано б работ [15 , 61, 68 - 70 , 85^ .

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех основных разделов и заключения, изложенных на 143-х страницах машинописного текста, содержащего в том числе 18 рисунков и 3 таблицы, а также из 13-ти страниц двух приложений. Список литературы содержит 86 наименований.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. В рамках аналитических методов экспериментально исследована эффективность известных методов смены и оптимизации базиса. При их развитии разработан критерий оптимальности базиса и метод определения существенных и несовместных ограничений, а также экспериментально исследована эффективность их применения.

2. В результате исследований показано, что аналитические методы являются наиболее общими. В то же время применение аналитических методов связано со сложностями получения, хранения и обработки объемной матрицы частных производных зависимых переменных по независимым, а также связано со сложностями реализации полученного при помощи этой матрицы базиса. Вследствие этого аналитические методы для оптимизации базиса могут применяться в основном лишь в тех случаях, когда можно заранее вычислить матрицу частных производных зависимых переменных по независимым и найти оптимальный базис - например, при расчетах УР в различных типовых ситуациях, при корректировке режимов и т.п. При применении современных средств вычислительной техники, а также в сочетании с различными ускоряющими методами решение задачи смены базиса с использованием аналитических методов вполне возможно. Кроме того, при смене и оптимизации базиса возможно сочетание аналитических и топологических методов.

3. В рамках топологических методов рассмотрена возможность применения для выбора и смены базиса метода окаймляющих множеств, который производит решение на графе сети. Показано, что этот метод обладает следующими недостатками:

- в некоторых ситуациях не находится базис, хотя он существует ;

- решение задачи смены базиса сводится к решению задачи выбора базиса, хотя первоначальная задача значительно легче;

- выбор и смена базиса не совмещаются с его оптимизацией.

4. При развитии топологических методов выбор и смена базиса сведены к задачам на графе уравнения-переменные с использованием исходного паросочетания. Вследствие такой постановки задача смены базиса является частным случаем задачи выбора базиса, что предопределяет возможность применения для их решения одних и тех же подпрограмм. Для решения задач выбора и смены базиса на графе уравнения-переменные рассмотрена возможность применения методов, основанных на использовании чередующихся цепей. При этом показано, что такое решение лишено первых двух недостатков использования метода окаймляющих множеств.

5. Разработаны два критерия оптимальности базиса, при помощи которых задачи выбора, смены и оптимизации базиса на графе уравнения-переменные сведены к одной задаче выбора оптимального базиса. Показано, что последнюю можно решать в виде известной в теории графов задачи о назначении. Разработан метод решения задачи выбора оптимального базиса в виде задачи о назначении. Для данного метода доказана сходимость и оптимальность в смысле используемых критериев решения. Произведено сравнение разработанного метода с одним из наиболее эффективных методов решения задачи о назначении. Показано, что при решении задачи выбора оптимального базиса уравнений УР разработанный метод требует меньшего количества вычислений.

6. На основе проведенных исследований разработаны соответствующие алгоритмы, которые внедрены в рамках ПВК СДО-5 в виде подпрограмм выбора и смены базиса. Использование этих подпрограмм при решении задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС позволяет:

- достаточно точно учитывать имеющиеся в энергосистемах возможности регулирования напряжения и перетоков активной мощности, причем фиксации модулей напряжения в узлах (в том числе и в нагрузочных узлах) и перетоков активной мощности в ветвях могут быть учтены еще на этапе расчета потокораспределения;

- с большой эффективностью рассчитывать предельные режимы (при плохой обусловленности матрицы Якоби, вблизи границы расчетной устойчивости);

- определять наиболее существенные ограничения в форме неравенств и минимизировать их число, а также судить при помощи определения несовместных ограничений о наличии или отсутствии допустимой области УР;

- с большой эффективностью учитывать ограничения в форме неравенств при расчетах допустимых и оптимальных УР.

Кроме того, применение для смены базиса разработанного метода и одного из разработанных критериев оптимальности базиса позволяет:

- рассчитывать практически любые допустимые УР;

- увеличить эффективность вычислительной схемы ОМПГ при расчете допустимых и оптимальных УР в 2-3 раза.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе исследованы методы выбора и смены базиса для задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭХ. На этой основе дана классификация методов выбора и смены базиса, согласно которой они разбиваются на две группы: аналитические методы, использующие матрицу частных производных зависимых переменных по независимым, и топологические методы, использующие топологический анализ графа сети или графа уравнения-переменные. В рамках каждого класса, а также при их комбинации, разработаны различные 1фитерии и методы, удобные для применения при тех или иных условиях, зависящих от типа расчета режима ЭХ, вида исходной информации и т.п.

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года. - М.: Издательство политической литературы, 1981. - 96 с.

2. Техническое задание на информационно-вычислительную систему ведения электрических расчетов в ВК АСДУ в операционной системе ОС ЕС (ИБС РЭВКОС). ОДУ ЕЭХ СССР. М.: 1979. - 179 с.

3. Крумм Л.А. Методы оптимизации при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1981. - 318 с.

4. Крумм Л.А. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1977. - 368 с.

5. Мельников Н.А. Электрические сети и системы. М.: Энергия, 1975. - 463 с.

6. Маркович И.М. Режимы энергетических систем. М.: Энергия, 1969. - 352 с.

7. Глазунов А.А. Электрические сети и системы. М.: Гос-энергоиздат, 1960. - 366 с.8. %ков Л.А., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. М.: Энергия, 1979. - 416 с.

8. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977. - 189 с.

9. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. - 534 с.

10. Крумм JI.А. Основные положения теории управления процессами в энергетических системах в нормальных условиях работы.- В кн.: Методы математического моделирования в энергетике. Иркутск, Вост.-Сиб. кн. изд-во, 1966, с. 197-209.

11. Веников В.А., Идельчик В.И. Электрические станции,сети и системы. Т. 7 /Методы оптимизации управления планированием больших систем энергетики. М.: ВИНИТИ, 1974, 208 с.

12. Акиншина И.П., Грумбков Ю.О., Охорзин Ю.А. Имитационное моделирование установившихся режимов ЭЭС. В сб.: Тезисы докладов всесоюзной научной конференции по моделированию электроэнергетических систем. Баку, 1982, с. 206-207.

13. Беркович М.А., Комаров А.Н., Семенов В.А. Основы автоматики энергосистем. М.: Энергоиздат, 1981. - 432 с.

14. Цучкин М.Д., Совалов С.А. Основные режимные требования к регулированию межсистемных перетоков и принципы управления.- В кн.: Автоматическое регулирование перетоков мощности по межсистемным связям. М.: Энергия, 1965, с. 46-96.

15. Крумм Л.А. Задачи и методы комплексной оптимизации в теории управления сложными электроэнергетическими системами.

16. Иркутск, СО АН СССР, СЭИ, 1974, 70 с. Деп. в ВИНИТИ 3 июля 1975, № 1972-75.

17. Сахаров H.A. Метод наивыгоднейшего распределения нагрузки между несколькими работающими генераторами. Электричество, 1927, № 5, с. 167-168.

18. Болотов В.В. Теоретические основы выбора экономического режима сложной электроэнергетической системы. М.-Л.: изд-во АН СССР, 1947. - 272 с.

19. Горнштейн В.М. Наивыгоднейшее распределение нагрузки между параллельно работающими электростанциями. М.: ГЭИ, 1949. - 167 с.

20. Мельников H.A. Расчеты режимов работы сетей электрических систем. М.: ГЭИ, 1950. - 176 с.

21. Маркович И.М. Электрические системы и их режимы. М.: ГЭИ, 1952. - 351 с.

22. Фазылов Х.Ф. Теория и методы расчета электрических систем. Ташкент: АН УзССР, 1953. - 175 с.

23. Горнштейн В.М. Наивыгоднейшие режимы работы гидроэлектростанций в энергетических системах. М.: ГЭИ, 1959. - 248с.

24. Крумм Л.А. Две формы более общих уравнений экономического режима объединенных энергосистем. Изв. СО АН СССР, 1959, №10, с. 29-36.

25. Steinberg M.I., Smith Т.Н. Economy loading of power plants and electric systems.-In: John Wiby Sonc, Inc. N.Y. 1943.-203p«

26. Nibuo S., Tinney W.F. Techniques for Exploiting the Sporcity of the Network Admittance Matrix.-Power App. and Syst., 1963, N 69, p. 1686-1697.

27. Carpentier I., Abadie I. Generalisation de la methode du gradient réduit de Wolfe au cas de contraintes nonlineaires.-Proc. IFDRS. Congr., Cambridge, Mass., 1966, Aug. 29-Sept. 2,p. 121-129.

28. Heidu L.P., Peschon W.I., Piercy D.S., Tinney W.F. Optimum load-scheduling policy for power systems.-Power App. and Syst., 1968, IT 3, p. 784-795.

29. Dommel H.W., Tinney W.F. Optimal power flow solutions.-Power App. and Syst., 1968, N 10, p. 1866-1876.

30. Sasson A.M. Combined use of the Powell and Fletcher-Powell nonlinear programming methods for optimal load flows. -Power App. and Syst., 1969, H 10, p. 1530-1537.

31. Larson R.E., Tinney W.F., Peschon W.I. State estimation in power systems. Part 1. Theory and feasibility.- Power App. and Syst., 1970, N 2, p. 345-352.

32. Peschon W.I., Bree D.W., Heidu L.P. Optimal solution involving system security.-PICA Conf. Proc., Boston, Mass. N.Y., 1971, p. 210-218.

33. Peschon W.I., Bree D.W., Heidu L.P. Optimal power flow solution using the Hessian matrix.-Power App. and Syst., 1973, N 1, p. 31-41.

34. Sasson A.M., Viloria P., Aboutes P. Optimal load-flow solution for power system planning.-Proc. IEE, 1972, N 1, p. 6470.

35. Alsac 0., Stott B. Optimal load flow with steady-state security.-IEEE Trans. Power App. Syst., 1974, Vol. PAS-93, ïï 3, p. 745-751.

36. Карпентье Ж. Вклад в изучение экономического диспетчи-рования, 1962. М.: ВНЙИЭ, 1967. - 60 с.

37. Смирнов К.А. Расчет экономического распределения активных и реактивных мощностей в энергосистеме при заданных ограничениях режима. Электричество, 1962, № I, с. 35-38.

38. Смирнов К.А. Метод фиксированных параметров и метод базисных относительных приростов для расчета экономического режима энергосистемы. Электричество, 1964, № I, с. 35-38.

39. Мельников H.A. Матричные методы расчета режимов работы электрических сетей. М.: Всесоюз. заоч. энерг. ин-т, 1964. - 196 с.

40. Мельников H.A., Солдаткина Л.А. Об экономичности распределения реактивной мощности в питающих электрических сетях.- Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1966, № 2, с. 38-48.

41. Холмский В.Г., Щербина Ю.В. Учет ограничений при расчетах режимов электрической системы, обеспечивающих наименьшие потери. Электричество, 1962, № 4, с. 19-23.

42. Холмский В.Г., Щербина Ю.В. Точный метод расчета оптимального распределения реактивных мощностей в электрической сети с помощью ЦВМ. В кн.: Вычислительная техника в проектировании и эксплуатации энергосистем. - Киев; Наукова думка, 1964, с. 86-95.

43. Качалова Н.А., Умедьян В.В. Расчеты установившихся режимов сложных энергосистем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1963, № 4, с. 466-474.

44. Горнштейн В.М. Условия оптимального режима энергетической системы при учете режимных ограничений с помощью штрафных функций. Электричество, 1965, № 8, с. 39-44.

45. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И. Оптимизация режимов энергосистемы методом случайного поиска. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1968, № 5, с. 50-58.

46. Веников В.А., Головицын Б.И., Цыганов В.М. Некоторые вопросы расчета на ЦВМ оптимизации режимов энергосистем методом покординатного спуска. Изв. вузов. Энергетика, 1968,12, с. 1-6.

47. Горнштейн В.М. Применение вычислительной техники для управления оптимальными режимами энергосистем. В кн.: Рефераты докладов науч.-техн. конф. ВНИИЭ, секция I. - М., 1969,с. 17-20.

48. Веников В.А., Головицын Б.И., Лисеев М.С. Решение задачи регулирования напряжений в сложной электрической системе с помощью гибридной вычислительной машины. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1972, № 3, с. 12-23.

49. Гамм А.З., Крумм Л.А., Шер И.А. Оптимизация режимов объединенных энергосистем градиентным методом с разбивкой на подсистемы. Электричество, 1967, № I, с. 21-29.

50. Гамм А.З. Некоторые приложения теории графов к решению больших систем уравнений по частям. Труды Иркутского унта им. А.А.Дцанова. Сер. мат., Иркутск, ИГУ, 1968, т. 26,с. 289-304.

51. Горелик И.С., Горнштейн В.М., Максимов ГО.И., Тимофеев В.А. Методика и алгоритм расчета на ЦВМ оптимального режимаэлектрической сети. Тр. ВНИИЭ, 1972, № 10, с. 141.

52. Сассон A.M., Мерилл Х.М. Некоторые применения методов оптимизации к задачам электроэнергетических систем. ТИИЭР, 1974, т. 62, № 7, с. II7-I33.

53. Горнштейн В.М., Пономарев A.B. Методика расчета оптимального режима и характеристик тепловой электростанции. -Труды ВНИИЭ, 1972, № 40, с. 31-51.

54. А.3.Гамм, Л.А.Крумм, Ю.Н.Руденко, И.А.Шер, С.А.Совалов.

55. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Сов. радио, 1964. - 736 с.

56. Форсайт Д., Молер К. Численное решение систем алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 166 с.

57. Faure P., Huard P. Resolution de programmes mathemati-gues a tonction non lineare la methode du gradient réduit,-Revue Française de Recherche operationeile, 1965, N 3 (N36 de Anne), p. 167-205.

58. Wolfe P. An extended simplex method,-Notices of the Amer. Math. Soc., 1962, vol. 9, N 4, p. 308.

59. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ., 1963. - 176 с.

60. Гамм А.З. К вопросу об увеличении эффективности алгоритмов расчета режимов электрических систем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1968, № 3, с. 3-14.

61. Гамм А.З. Увеличение эффективности алгоритмов расчета стационарного режима сложных электрических систем с помощью теории графов: Автореф. канд. дисс. Москва: МЭИ, 1967. - 22 с.

62. Грумбков Ю.О., Крумм Л.А., Насвицевич Б.Г., Охорзин Ю.А., Тришечкин A.M. Модифицированный алгоритм и программа комплексной оптимизации мгновенных режимов электроэнергетической системы (СДО-4). Труды ин-та "Энергосетьпроект", 1976, вып. 9, с. 59-64.

63. Грумбков Ю.О. Выбор и смена базиса при решении задач оптимизации установившихся режимов сложных электроэнергетических систем. В кн.: Методы оптимизации и исследование операций в энергетике. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1978, с. 29-35.

64. Грумбков Ю.О. Применение топологических методов для выбора и смены базиса при анализе и оптимизации режимов ЭХ. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982, с. 87-98.

65. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. М.: Наука, 1976. - 220 с.

66. Крумм Л.А. Метод приведенного градиента в нелинейном программировании. В кн.: Методы оптимизации. Прикладная математика. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975, с. 109-157.

67. Канторович А.В. О методе Ньютона. В кн.: Труды математического института имени В.А.Стеклова, т. 28, изд. АН СССР, 1949.

68. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач. Ч. II. Киев: Наукова думка, 1966. - 244 с.

69. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1963. - 357 с.

70. Крумм Л.А. Применение метода Ныотона-Рафсона для расчета стационарного режима сложных электрических систем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, № 5, 1965, с. 3-12.

71. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Экспериментальное исследование сходимости методов Ньютона и по параметру при расчете установившихся режимов сложных электрических систем. В кн.: Труды Иркутского политехнического института, 1971, № 72,с. 5-27.

72. Тришечкин A.M. Метод расчета допустимых режимов электроэнергетических систем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, № 2, с. 18-26.

73. Басакер, Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. - 366 с.

74. Коршунов А.Д. Об одном алгоритме нахождения паросоче-таний в конечных графах. АН УССР, Кибернетика, 1975, № I,с. 1-8.

75. Белов В.В., Воробьев Б.М., Шаталов В.Е. Теория графов. М.: Высшая школа, 1976. - 390 с.

76. Идельчик В.И. К вопросу о влиянии погрешностей исходных данных на результат расчета стационарного режима энергосистемы. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1968, № 2,с. 9-15.

77. Диниц Е.А., Кронрод М.А. Один алгоритм решения задачи о назначении. Доклады АН СССР, 1969, т. 189, № I, с. 9-17.

78. Тришечкин A.M. Повышение эффективности методов приведенного градиента при комплексной оптимизации мгновенных режимов сложных электроэнергетических систем: Автореферат канд. дисс., Новосибирск: НЭТИ, 1978. 25 с.