автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов для уравнивания и объединения геодезических сетей, построенных в различных системах координат

ш2юшс2я гос^дарсхвежья ушверепет кшепероз геодезия и картогра®!

РГВ од

На правах рукописи УДК 528.1:528.3

НДНСУР СОРЯ

разработка а1горн1шв для ураешшшя и объвдшеша геодезических сетей, построенных в РШХШШХ. скггенах коордшат.

Специальность 05.24.01 - Геодезия

автореферат дкссертзцги на саггспгшкэ учепай степени кандидата теянкчесяиж кзуя

Шатвз, 1994

Работа выполнена в Московском Государственном Университете инженеров геодезии и картографии /МИИГАиК/.

Научный руководитель - дщеит, канд. тех. наук П. П. лшднов

Научный консультант - профессор, доктор теа.иаук В.Н. ЦАРКУЗЕ

Официальные оппоненты:

доктор тех.наук, профессор С.И. ЫАТВЕЕВ

кандидат технических наук А. Б. ЕЕЛШШВ

Ведущая организация: РасНЯЦасыга

Защита диссертации состоится " " 1994 г.

з часов на заседании специализированного совета в Мос-

ковской Государственном Университете инженеров геодезии и картографии по адресу: г. Москва, К-64, Гороховский пер., 4, ауд. 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИИГАиК.

Автореферат разослан 1994 Г.

Ученый секретарь

специалицированного

совета

к.т.н. В.А.Шшхов

Обцзя характеристика работ.

Лтуаапаяхь работ.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов объединения геодезических сетей, построенных и уравненных в различных системах координат. При этом особое внимание уделяется таким алгоритмам, которые дают возможность выполнять контроль грубых ошибок в исходной информации и измерениях.

Выбор теш обусловлен состоянием геодезической науки и производства в Ливане.

Существующая геодезическая сеть в Ливане была построена французскими геодезистами. Строилась она в виде сплошной сети треугольников. Начиная с 1975 года геодезические работы в связи с осложнением внутриполитической ситуации и последующей гражданской войной были прекращены. Если к 1975 году некоторые центральные районы Ливана еще не были обеспечены топографическими картами крупных масштабов, то в настоящее время ситуация еще более осложнилась. Значительное число пунктов-триангуляции утрачено. Проиашедшее в 1984 году землетрясение возможно изменило положение некоторых пунктов и требуются повторные наблюдения для контроля 'и уточнения положения пунктов.

В настоящее время появилась возможность возродить геодезическую сеть страны. Предполагается использовать оставшиеся в наличии пункты, триангуляции прошлых лет, в недостающих местах проектируется определение пунктов с помощью BPS.

Естественно, в связи с большими объемами геодезических работ возникнет необходимость в строгом уравнивании результатов измерений выполненных в различное время в. различных системах ¡соординат и различными способами. В связи с этим выбранная тема диссертационной работы является актуальной для дальнейших геодезических работ в республике Ливан.

ДШ рзбсет.

Заключается в разработке способов уравнивания достаточно обширных геодезических сетей, содержащих до 10000 пунктов, способов объединения геодезических сетей, построенных и уравнениих в разных системах координат с определением параметров преобразования и о контролем грубых ошибок исходной информации и измерений.

ЕЗЗтгитаая.

Заключается в развитие методов уравнивания обширных геодезических сетей на основе рекуррентного способа подвижного треугольника и в развитии коррелатного способа с неизвестными с возможность» контроля грубых ошибок по невязкам условных уравнений.

£зпроб2*щя

Заключалась в выступлении с научным докладом на научной конференции ИГУГиК студентов и аспирантов в 1834 году. Принята к опубликованию статья.

Щшшивская цепкосяь рабсяи.

Составлен и отлажен блок программы по способу подвижного треугольника для уравнивания обширных геодезических сетей, экспериментально проверен алгоритм контроля грубых сяшбок в коррелагаом способе с дополнительными неизвестными и алгоритм

объединения геодезических сетей с определением параметров преобразования координат. Программы составлены на языке БЭЙСИК для персональных компьютеров типа IBM PC ХТ/АТ.

Структура доссеряацш.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заклюючения. Список литературы содержит 40 наименований, в том числе 6 на английском языке. Общий объем работы 125 страниц машинописного текста.

В первой главе работы приводятся необходимые сведения из теории уравнительных вычислений. Особое внимание уделяется рекуррентному способу, который позволяет контролировать грубые ошибки; эффективно присоединять новые измерения, что очень важно' для обновления и развития геодезической сети Ливана.

Вторая глава диссертации посвящена уравниванию больших сетей на персональных компьютерах. Существует много способов уравнивания обширных сетей. Хорошо известны ленточные и про-' фильные методы, способ Гельмерта (Пранис-Праневича) и др., а также множество подходов к обмену между оперативной и внешней памятью. В диссертации выполняется развитие так называемого рекуррентного способа подвижного треугольника, который требует минимальной оперативной памяти компьютера и как рекуррентный способ, позволяет выполнить контроль грубых ошибок. В новом варианте процесс контроля грубых ошибок отделен от уравнивания и оценки точности, что позволяет более точно и быстрее вычислять координаты пунктов.

В конце главы предложен также новый критерий для разделения необходимых и избыточных измерений, необходимый для эффективного и корректного применения рекуррентного способа.

Приведен также блок программы на ЭВМ для реализации алгоритма уравнивания по способу подвижного треугольника.

Известно, что недостатком коррелатного способа с дополни-

тельными неизвестными является невозможность выполнить контроль грубых ошибок по невязкам условных уравнении. Поэтому в главе 3 совместно с проф.Маркузе Ю.И. разработан алгоритм, позволяющий выполнить эту процедуру. На его основе разработан метод объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат с определением параметров преобразования (как на плоскости, так и в пространстве). Способ развит также на. случай, когда измеренными величинами являются приращения координат, как например, в GPS - наблюдениях. .

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность теш, сформулированы цель и предмет исследования.

Первая глава "Необходимые сведения из теории уравнительных вычислений" является основой для изложения содержания последующих глав. В ней основное внимание уделено рекуррентному способу уравнивания. Приведена также теория коррелатного способа с неизвестными.

Вторач глава носит название "Развитие способа подвижного треугольника уравнивания обширных сетей". Он основан на вычислениях по рекуррентным формулам

Qi = Q1-1 - l/gi ZiTZi

(1)

Xi = Xi-i + AXi = Xx-i - 1/Ei ZiTli (2)

CpVVJi - [pvvjj-l + —

(3)

матрицы обратных весов С^ вектора неизвестных X]. и квадратичной формы z Ср'/у]! после учета каждого нового 1-го измерения.

Здесь вектор

г.1Т = Ц1-1аАт величина 51 = 1/Р^ + а^7 а 11= Ф1(К1-1) - У,

VI = а1М1 + 11

(4)

(5)

(6) (7)

свободный член уравнения поправок (вес РО.

В качестве исходной матрицы Оо принимается диагональная матрица 0о=1СЗтЕ с больппши элементами (т>>0). Если пункты в сети занумеровать так, чтобы максимальная разность номеров Ь = шах (Б!-^) пунктов Б1 и ^ и = 1,2,...т), связанных 1-ом измерением, была бы минимальной и учитывать все измерения с пункта Б1 на 11 на пункте С^еБ^), то вычисление вектора 1гТ' на пункте 5 можно представить в виде схемы:

Си

2;

.0

*

5 ——

■-

Рис.1

Здесь Ыах - максимальный номер пункта Ьз., связанного с пунктом 31 измерением.

- в -

Ясно, что расположенные выше строки с номером Б элементы вектора а1Т=0. Поэтому, расположенный левее столбца с номером Б Блок матрицы Ц1-1 не нужен для вычисления вектора , как нулевой ее блок, расположенный правее столбца с номером 1шах. Иными словами, заштрихованная колонка симметричной матрицы

вполне достаточна для вычисления вектора и следовательно, величины (Б) вектора XI и матрицы С^.

Представим теперь, что в оперативной памяти компьютера имеется лишь показанный двойной штриховкой треугольник матрицы Ск-1 ■

В этом случае удается получить не весь вектор Х^, а лишь его блок, показанный двойной штриховкой. Тем не менее удается вычислить вектор поправок ЛХ^ для точек 3-1: та* и величину ^, необходимую для контроля грубых ошибок по формуле

(Ыдоп = ±Ь6 (8)

и получить уравненный вектор Х^ для точек Б и 1£Б (индекс 1 здесь опустим).

При переходе от пункта Б к Б+1 в этом треугольнике можно удалить первые строки и столбцы, относящиеся в неизвестным на-пункте Б, а остальные сдвинуть на освободившиеся места. На рис.1 в конце счета этот треугольник окажется в нижнем углу матрицы Ц и будут получены все неизвестные и матрица Ц для последних ш-Ь точек.

В статье Маркузе Ю.И.* способ развит и для вычисления всех неизвестных и получения обратной матрицы Ц для всех неизвестных. В этом случае на каждой точке Б как на отдельном фрагменте сети составляется матрица коэффициентов нормальных уравнений для точек Б и ^Б.

* Способ подвижного треугольника уравнивания обширных геодезических сетей на персональных компьютерах . Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, n1, 1992.

\

К этой матрицы необходимо также прибавить матрицу весов' Р3-1 исходных данных, относящуюся к уже уравненным ранее неизвестным.

Тогда получим

1?11+Рв-1 1?12

«в =1 I (10)

1?21 Р-22

Размер блока Иц определяется числом неизвестных связанных с предыдущей точкой э-1. Теперь матрицу 1?3 представим в виде:

(И)

где блок относится только к неизвестным пункта 5.

Далее путем блочного обращения (11) находим матрицу

Рз = Яь - , (12)

где матрицы = Од* , (13)

Оз = Из"1 (14)

Матрица рп понадобится для составления матрицы (10) у," на пункте

- 10 -

Так как порядок матрицы йэ равен числу неизвестных 1?з на пункте Б (например, для нивелирных сетей 1, для триангуляции 3, для трилатерации 2), а число столбцов в матрице равно Кз-Ь, то эти вычисления не требуют большого объёма памяти и времени.

Матрицы (13) и (14), если их сохранить на внешней памяти компьютера, позволяют получить в обратном ходе решения все неизвестные и выполнить сплошную оценку точности. Для этого справедливы формулы:

х3 = Хз + (хг-хО , (15)

где XI и ^ - соответственно неизвестные, полученные на точках 11 и при учете всех измерений на точке Б в прямом ходе решения и их окончательно уравненные значения;

хэ - неизвестные на точке 5, получои^с и х^ в прямом ходе. Для оценки точности вычисления матрицы Ц известна формула:

/ Qs+ AsTQtAs -e,3Tnt \

Os =

V

) (16) - Qt£s Qt /

где Qt- матрица обратных весов окончательно уравненных неизвестных для точек tes.

Формула (16) позволяет последовательно, начиная с точки S:rra-h+l (или предпоследней) вычислить все блоки матрицы Q для кадцой точки S.

С использованием сохраненных на внешней памяти матриц мы получим полуленту матрицы Q шириной h. Однако ясно, что окаймив справа матрицы g,sT нулями до полного размера (m) можно получить не только ленту, но и всю (полную) матрицу Ог хотя в практических задачах такой потребности не возникает.

Из формулы (2) следует также, что в отличие от традици-

оттого параметрического способа уравнивания вектор приближенных значений ХС0), постоянный для всего вычислительного процесса, в рассмотренном алгоритме изменяется и на каждой точке Э заменяется вектором = (Х3, ХО ■

Щри уравнивании больших сетей с редкими исходными пунктами (с малым числом, например в цепочки треугольников) из-за ошибок измерений вычисляемые по формуле (2) координаты исходных пунктов могут сильно отличаться от их заданных значении. Например, в цепочке из 50 треугольников методом моделирования эти расхождения при точности измерения порядка 0,7" и длине сторон 20 км эти расхождения могут достигать несколько десятков метров и превысить допустимую точность вычисления приближенных координат (1-2 м). Это искажает матрицу коэффициентов уравнений поправок и делает результаты рекуррентного уравнивания (из-за применения формулы (2)) недостаточно точными.

Поэтому рекуррентное уравнивание можно рекомендовать в случае обширных сетей лишь для быстрого контроля грубых ошибок измерений.

Само же уравнивание целесообразно выполнить традиционным параметрическим способом. В этом случае вектор приближенных координат следует получить выполнив трансформирование коорди-. нат, определяя параметры преобразования а = т со5<р и в = т з1гир , где тир- соответственно масштабный коэффициент и угол поворота осей, по формуле:

ными точками А и В и заданные приращения координат. Тогда трансформированные, координаты всех промежуточных точек между исходными точкагт А и В получим по формуле:

Здесь ДХ и ДУ, АХ и ДУ - соответственно вычисленные по результатам измерений приращения координат между двумя исход-

'Хд \ /а. -а \ /ДХ4-А(0)

Ь а и^-А(0)

Эти координаты имеют достаточную точность для выполнения параметрического уравнивания в нелинейном случае. Собственно процесс уравнивания также выполняется по способу подвижного треугольника.

Рассмотрим для простоты изложения систему нормальных уравнений параметрического способа с ленточной структурой, приняв для простоты порядок блочной матрицы равным 4 (приведенные ниже формулы повторяют вывод формул (9)и(14) , но включают и вычисление свободных членов).

Кц 812 О О ^21 К22 Ига ' о

о кзг !?33 . яз4

н43 ^44

= 0 •

(17)

Размер блоков определяется числом неизвестных на каждом пункте Б.

Составим на 1-ом пункте матрицу Иц

йц =

. V

/Иц 1?21

(18)

Матрица В22 отличается от матрицы Егг в (17) тем, что при ее составлении не учтены измерения с пункта Б = 2 на пункты с большими номерами.

- 13 -

Соответственно этому составим вектор свободных членов.

л

ь =

(

Далее матрицу (18) преобразуем к вид.':

(

R21R11'

Rh"1 Rh *Ri2

-l

R22-R11 1R2lRll'

-1

Q11

R2lQll CR22-13

QllRl2

используя обобщенный алгоритм Гауса.

Матрицы Qu R12 - S,i и Qu, совпадающие с (13) и (14), запишем па внешнюю память компьптера.

в специальный массив па внешнюю память.

Вместо вектора Ьг в оперативной памяти компьютера запишем

Для дальнейших вычислений блоки Rh, R12 и bi уже'не будут нужны. Поэтому матрицу CR22-13 смещаем на место блока Rh, точно также, как блок вектора [Ьг-13 на место bi.

Теперь вычисления переносим на точку 2 и составляем матрицы

учитывая все изменения с точки 2 на точку 3 (но не на точке 3).

Ясно, что матрица :Н22-И и вектор СЬ2-1] будут такими же, как и в случае традиционных вычислений,- когда сразу сос-

Л ^

тавляются матрицы R22 и Ьг, а не 1?22 и Ьо.

Действуя далее таким же образом, как и на точке. 1, еычис-

Вычислим такие вектор Axi = Qii-bi и запишем его

А. Л

вектор [Ьг-1] = b2-Rn_1bi

и вектор

- 14 -

ляем матрицы [Нгг-И-1 = 022 . %2 = 022 ■ Кгз с записью их на внешнюю память и вектор [Ьг-2] = Ьз - 022'[Ьг-1] На внешнюю память записывается также и вектор ЛХг - -022-[Ь2-13 В оперативной памяти после очередного сдвига элементов матриц и учета измерений на точке 3 будем иметь треугольник

/ [ИзЗ*23 !?34 \

( I и векторы

V ш]

Далее аналогично находим матрицы Йз-1 = пгзз-гГ1 = Озз , 5,3 = Озз ■ Кз4

Л —

и векторы Ь4 и ЙХз = -0зз-СЬз-2]

Наконец, учитывая все измерения на последней точке 4, получаем уравнение: [1?44'3] ДХ4 + СЬд-З] = 0

После чего находим окончательно уравненный вектор поправок

г _ _

. ДХ4 = - 044- [Ь4-33 , где 044 = [Е14-3] 1

Для выполнения всех неизвестных в обратном ходе решения будем иметь формулу

ЛХа - -^гТЛХа+1 + ДХе (19)

Все слагаемые квадратичной формулы

[руу] Г [рШ + Ь1ТДХ1 + СЬ2-13тДХ2 + [Ьз-2]тДХз+ СЬ4-3:1ТДХ4 ,

[Й4-33 = £1 - 1гз4-£3

можно вычислить до очередного сдвига в подвижном треугольнике.

Предлагаемый способ в работе назван видоизмененным способом подвижного треугольника. В нем рекуррентный процесс конт-

роля грубых ошибок отделен от собствннно уравнивания с целью получения более точных координат.

В диссертации приведен пример уравнивания нивелирного хода из нескольких секций и программа на языке БЕЙСИК для уравнивания сетей, триангуляции способом подвижного треугольника.

Алгоритм рекуррентного уравнивания требуют различать в процессе уравнивания необходимые и избыточные измерения. Дело в том, что при учете необходимого измерения изменяется не вся матрица обратных весов уравненных параметров 41, а только столбцы, относящиеся к вновь включаемыми в сеть неизвестным, что позволяет значительно сократить время вычислений. При этом критерий разделения измерений на необходимые и избыточные должен быть надежным и не допустить возможность принять избыточное измерение необходимым, так как в этом случае результаты уравнивания будут ошибочными. Если же, наоборот, необходимое .измерение будет воспринято как избыточное искажение результатов уравнивания не произойдет, но увеличится время счета.

Из теории рекуррентного уравниавния известно, что для случая независимых результатов измерений обратные веса уравне-ных измерений вычисляют' по формуле:

111

— = —--, (20)

Р1 Pi Р^!

Из формулы (20) следует, что обратные веса измерений после уравнивания уменьшаются на величину

51 = 1/Р12Е1 (21)

по сравнению с весами измерений до уравнивания.

В случае учета необходимого измерения теоретически должно быть Е1 = поэтому 61= 0, так что повышения точности необходимого измерения в процессе'уравнивания не происходит.

В результате действия ошибок округления и влияния выбора исходной матрицы Оо = К^Е теоретическое равенство может нарушаться и возникает проблема поиска критериев для разграничения необходимых и избыточных измерений.

Точную матрицу О/ можно представить в виде

= ей + ю-1П ог2+ ю~2т си3 +.....

где - матрица О искаженная выбором матрицы Оо. На основе зтого выражения получена формула

1/рА = 1/р1-1/р12Ч1+ Д(1/£) где величина

1

Д(1/Р) =- г^ю"™ (22)

Р12Ч12

служит.надежным критерием различения необходимых и избыточных измерений: если 1 бд,— Д(1/р) |< 0,000001, то такое измерение будет необходимым. В самом деле Д(1/р) можно рассматривать как овкбку вычислений величины 61=0, которую можно обнаружить лишь при вычислении с двойной точностью.

В диссертации приведены примеры, подтверждающие надежность полученного критерия для ряда геодезических построении.

Третья глава носит название "Разработка способа объединения геодезических сетей на основе коррелатного способа с неизвестными". Известно, что в этом способе составляют систему условных уравнений

ВУ+0ДХ + У/ = О, (23)

где ЛХ - вектор поправок к приблвееЕныи значениям неизвестсс: - вектору Х(0).

- 17 -

Система нормальных уравнений имеет вид:

№< +3 ДХ + V/ = О

= О

В этом случае вектор невязок

о) = Ф (у,хс0))

(24)

является функцией не только вектора измерений у , но и вектора ХС0). Его математическое ожидание МСш] = ф(у,хС0)) / 0 , хотя как и в коррелатном способе корреляционная матрица Ку, гбой№.

Из-за этого не удается построить доверительный интервал для МСоЗ, и на его основе выполнить контроль грубых ошибок.

Однако, если вектор х'0) вычислить по результатам измерений, то его следует рассматривать случайным . Тогда математическое ожидание МСХС0)] =. ХИст. и МСыЗ = ?(у,х) = О.

Пусть вектор Х(0)= ^у). Тогда можно получить, что матрица обратных весов

(25)

где матрица

а матрица обратных весов вектора невязок

N = С}„ = N + М-Р_1-Вт + В-Р_1-Мт + М-Р _1-Мт (26)

с обозначением

М = ВГ .

Корреляционная матрица К* = бо2Ц* и допустимая невязка

В этом случае задача уравнивания сводится к коррелатному способу с условным уравнением (23) для векторов измерений У и ХС0)с матрицей обратных весов (25). Но следует отметить, что в матрице N = (}„ первые с! строк будут нулевыми, где с1 - число дополнительных неизвестных.

Полученные формулы применяются в диссертации для объединения геодезических сетей, уравненных в разных системах координат. В этом случае имеет два вектора измерений координат: У1 и Уг - в двух системах и вектор дополнительных неизвестных - поправок к вектору I(0) приближенных значений параметров преобразования. Условное уравнение будет таким

VI - \2 - (заь + V = о , если углы поворота осей координат достаточно малы. Матрица Б

Для каждого 1-го пункта пространственной сети (вектор Ь содержит семь параметров преобразования).

В работе вектор ЬС0) определяется по формуле:

^ = В1"1(У1-У2)<1х1

где - верхний левый блок матрицы В порядка с!.

Получено общее выражение матриц г и М и матрица <1хс1

N = =

Игг-ХИхг- М21ХТ+ХН1IX'

Т

где матрица X = Ег 01 1, а матрица N = 0у1 + 0у2 разбита на блоки

N12

N =

N11' N21

с1х<1

N22

Приведен пример объединения двух нивелирных сетей, рассмотрен также случай объединения сетей, когда в одной из них измерены приращения координат (случай объединения уравненной наземной сети и БРЗ-наблзодений). В этом случае исключаются три параметра смещения начала координат.

Матрица составляется для каждой стороны между пунктами 1 и з и для приращения по трем осям координат имеет вид:

01 ^ =

-/£13 О ДХ13 ДУ1з

ДУ^ ДХ1з О

йг 10

(27)

Условные уравнения приобретают вид:

Уз - VI - Уи - Бi:lVt = О

где VI3*1 и У;3*1 - векторы поправок координат для пунктов 1 и о, VIз - вектор поправок измеренных приращений координат, - вектор поправок к приближенный четырем параметрам преобразования, вычисленных по четырем приращениям координат и известным координатам трех пунктов.

О

Вектор невязок, например по оси X, = Хй - Х1 -ЛХЦ -

Приведены, по-видимому, оригинальные формулы для вычисления векторов поправок координат и параметров:

Ух = Р_1БТК = ТР_13ТК где матрица Б = В + М

В работе рассмотрены особенности объединения плановых сетей на плоскости с определением двух функций параметров преобразования а и в и приведен вычислительный пример. Для решения задачи составлена программа на языке БЕЙСИК.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

К основным разработкам диссертации, имеющим научную новизну и практическую значимость и представляющим предмет защита автор относит сдедувцИЭ:

1. Разделение процедуры кС"Т?0ЛЯ грубых ошибок и собственно уравнивании и оценки точности 5 рекуррентном способе подвижного треугольника для уравнивания обширных гбОД9оИч~ёС;С.ЧХ сетей.

2. Теоретическое обоснование и вывод критерия разделения необходимых и избыточных измерений в рекуррентном способе уравнивания, необходимого для повышения эффективности вычислительного процесса.

3. Разработка коррелатного способа уравнивания с дополнительными неизвестными с контролем грубых ошибок по невязкам условных уравнений.

4. Разработка алгоритма объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат с контролем грубых ошибок и учетом корреляционных- матриц измеренных величин.

5. Разработка алгоритма объединения сетей с измеренными приращениями координат с целью обработки GPS - измерений.

Список работ, опубликованных по ¡гене диссертации и докладов на конференциях.

1. Маркузе Ю.И., Лобанов П.П., Мансур lops. Об определении необходимых и избыточных измерении в процессе рекуррентного уравнивания. Геодезия и картография, N2, 1994 г.

2. Мансур Корж. Теоретическое обоснование я вывод критерия разделения необходимых и избыточных измерений в рекуррентном способе уравнивания. Доклад на конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов МИИГАиК, М., 1994 г.