автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разностный метод расчета уравнений гидродинамики и его применение для моделирования разрушения

На правах рукописи

Макеева Инга Равильевна

РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗРУШЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2003

Работа выполнена в Российском Федеральном ядерном центре -ВНИИ Технической Физики и на кафедре прикладной математики Южно-Уральского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Куропатенко В.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трощиев В.Е.

кандидат физико-математических наук Жилкин А.Г.

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий СО РАН г.Новосибирск

Защита состоится 15 октября 2003 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г.Челябинск, ул. бр. Кашириных, 129, ЧелГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_20 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Объект исследования и актуальность темы

При интенсивных динамических воздействиях на материалы, таких, как электровзрыв фольги, детонация взрывчатого вещества, удар пластиной, поток электронов или частиц, мощное рентгеновское, лазерное или другие виды излучений, как правило, возникают ударные волны. Распространяясь по веществу и взаимодействуя со свободными или контактными поверхностями, они могут отражаться волнами разрежения. При взаимодействии встречных волн разрежения возникают растягивающие напряжения. Под действием растягивающих нагрузок сначала рвутся наиболее слабые связи между кристаллами и зернами, затем эти микроразрушения сливаются, и возникает трещина.

Разрушение вещества в различных условиях зависит от характера динамического воздействия. В одних экспериментах определяющей причиной разрушения является большая дисторсия и связанная с ней работа девиатора тензора напряжений. При этом дилатация, а значит, работа давления Рс1У может быть малой. В других экспериментах причиной разрушения являются большие отрицательные давления, а работа напряжений сдвига может быть малой. В большом количестве экспериментальных работ по изучению откольного разрушения опыты ставятся так, что нормаль к фронту ударной волны ортогональна свободной поверхности вещества, и до наступления разрушения движение можно рассматривать как одномерное плоское. В таких экспериментах разрушение происходит из-за больших растягивающих давлений. После разрушения в отколовшейся части образца распространяются относительно. слабые волны (Р<£р0Сд), и влияние компонентов девиатора тензора

напряжений становится существенным.

Основным методом исследования откольного разрушения является физический эксперимент, основным методом прогнозирования разрушения является математическое моделирование. Существует много различных моделей, описывающих отклик вещества на динамическое воздействие, в том числе моделей прочности и разрушения. Следует заметить, что в каждой модели можно выделить адиабатическое ядро, в котором присутствует только шаровая часть тензора напряжений, т.е. давление. Уравнения адиабатического ядра описывают поведение идеальной сплошной среды, в которой энтропия

каждой частицы сохраняется в непрерывных течениях и изменяется на сильных разрывах.

Общая погрешность математической модели может быть представлена в виде суммы погрешностей физической модели, погрешности аппроксимации адиабатического ядра и погрешности аппроксимации уравнений, порождаемых девиатором тензора напряжений.

При расчетах реальных задач сильные и слабые разрывы взаимодействуют друг с другом и с контактными разрывами, в результате чего может произойти необратимое накопление погрешностей, приводящее к существенному различию между характеристиками реального физического процесса и его математического образа. Для адекватного описания поведения материалов перед разрушением, в процессе разрушения и после разрушения необходимо, чтобы погрешности математической модели А" по абсолютной величине не превосходили Д®од. Величина

Д^ существенно зависит от осцилляционных и дистракционных свойств разностной схемы. В ряде разностных схем, применяемых для расчета откольного разрушения, отсутствует оптимальное сочетание этих свойств. Немонотонные разностные схемы приводят к преждевременному разрушению из-за колебаний в окрестности слабого разрыва, схемы монотонные приводят к запаздыванию разрушения из-за сильного "размазывания" слабого разрыва. При применении многих известных методов для описания экспериментов по откольному разрушению приходится искажать либо физическую постановку задачи, либо эмпирические константы модели. С помощью такой технологии удавалось описать любой эксперимент, но при изменении условий опытов приходилось делать все заново.

Изложенная в диссертации разностная схема успешно сочетает монотонность и малую дистракцию как сильных, так и слабых разрывов и позволяет прогнозировать толщину откола в идеальной сплошной среде и скорость его движения с удовлетворительной точностью.

Основной целью диссертационной работы является создание разностной схемы для расчета уравнений гидродинамики, обладающей повышенной точностью расчета ударных волн и волн разрежения, сочетающей монотонность течения за ударными волнами, малую дистракцию слабого разрыва и сохраняющей энтропию на гладких решениях, так как только при оптимальном сочетании указанных

свойств разностная схема может описать откольное разрушение веществ с высокой точностью.

В соответствии с поставленной целью, в работе решены следующие задачи:

1. С помощью априорных методов исследованы свойства известных методов расчета ударных волн (диссипация энергии, монотонность и дистракция разрыва).

2. Предложены разностные уравнения, аппроксимирующие систему законов сохранения и реализующие метод В.Ф.Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для описания диссипации энергии в ударном слое и интегрировании уравнения изэнтропы для сохранения энтропии на гладких решениях.

3. Аналитически исследованы погрешности аппроксимации, устойчивость, диссипативные свойства, монотонность и дистракция сильного разрыва предложенной разностной схемы. Для верификации разностной схемы рассчитаны тестовые задачи и проведено сравнение результатов расчетов тестовых задач по предложенной разностной схеме и ряду известных разностных схем.

4. Построено аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированного вещества с последующим взаимодействием двух волн разрежения и образованием откола в одной точке. К аналитическому решению предъявлялись следующие требования:

• после выхода ударной волны на свободную поверхность энтропия должна быть постоянной по всей системе

• откол должен происходить только в одной точке (хД), т.е. в плоскости, параллельной свободной поверхности.

• масса отколовшегося слоя должна составлять примерно треть массы всей системы, чтобы избежать влияния граничных эффектов при численном счете.

5. Проведен сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды. Показано, что погрешность определения массы откола в расчете по предложенной разностной схеме не превосходит одного интервала сетки по ш.

Совокупность полученных результатов является решением задачи создания и обоснования разностной схемы, обладающей таким сочетанием осцилляционных и дистракционных свойств, которое необходимо для повышения точности прогнозирования откольного разрушения материалов.

Научная новизна

Основные новые результаты, полученные в настоящей работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Предложена комбинированная разностная схема расчета уравнений гидродинамики, основанная на применении ударной адиабаты для расчета ударной волны и сохранении энтропии вдоль траектории частиц в волнах разрежения.

2. Сформулированы и обоснованы уравнения (разностные уравнения, аппроксимирующие уравнения движения и следствие из уравнения состояния и уравнения неразрывности) для определения вспомогательного давления и вспомогательной скорости на гранях сеточных ячеек в случае волны разрежения. Уравнения построены так, чтобы дистракция слабого разрыва и амплитуда первой осцилляции численного решения за волной разрежения были малы.

3. Построено аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированного вещества с последующим взаимодействием двух волн разрежения и образованием откола в один момент времени и только в заданной плоскости, параллельной свободной поверхности.

4. Проведено сравнение точности разностных схем предложенных авторами методов расчета ударных волн, при расчете задачи с откольным разрушением среды, показано преимущество предложенной разностной схемы при расчете этой задачи.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированная разностная схема расчета ударных волн, реализующая метод В.Ф. Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев.

2. Уравнения для определения вспомогательных величин - давления и скорости - в области адиабатических течений и их обоснование.

3. Исследование диссипации энергии, дистракции разрывов, устойчивости и монотонности предложенной разностной схемы. Обоснование отсутствия диссипации энергии на волнах разрежения и малости амплитуды осцилляций за разрывом.

4. Аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированной среды с последующим взаимодействием двух волн разрежения и откольным разрушением среды.

5. Сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды.

Обоснованность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается применением априорных методов исследования свойств разностной схемы и сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями. Для обоснования точности расчета разрушения построено новое аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность вещества с последующим взаимодействием двух волн разрежения и образованием откола и проведены сравнения результатов расчетов с аналитическим решением.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: на "Зимней школе по механике сплошных сред" (Пермь, 1997г.), на международных конференциях "New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media" (Oxford, UK, 1997г.), "Ударные волны в конденсированных средах" (Санкт-Петербург, 1998г.), "V Забабахинские научные чтения" (Снежинск, 1998г.), "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск, Беларусь, 1998г.), "Ударные волны в конденсированных средах" (Санкт-Петербург, 2000г.) и на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.)

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и* списка литературы. Объем диссертации составляет 135 страниц, включая 31 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит 45 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведены системы дифференциальных уравнений, описывающих неустановившиеся течения сплошных сред с ударными волнами, определено место настоящей работы среди численных методов расчета поведения сплошных сред в условиях динамических нагрузок, сформулирована цель работы, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации

В первой главе диссертации, имеющий обзорный характер, излагаются априорные методы исследования свойств разностных схем. Описываются механизмы диссипации энергии в методах расчета течений с ударными волнами. В разностных методах поверхность сильного разрыва заменяется ударным слоем конечной толщины (дистракция сильного разрыва). Внутри ударного слоя разностные уравнения должны описывать диссипацию энергии, т.е. содержать члены, ответственные за производство энтропии. При учете

диссипативных факторов вместо разрывов возникает узкая переходная область, в которой параметры вещества изменяются уже непрерывно. Поэтому для расчета ударных волн без явного выделения на сетке их фронтов в систему разностных уравнений вводятся некоторые диссипативные члены, обеспечивающие рост энтропии. Известно четыре принципиально разных способа описания диссипации энергии в ударном слое.

В методе Неймана и Рихтмайера в дифференциальные уравнения аддитивно с давлением вводится математическая квадратичная вязкость, работа которой при изменении объема определяет диссипацию энергии. Коэффициент вязкости выбирается пропорциональным квадрату шага сетки по т.

В методе П.Лакса диссипация энергии в ударном слое определяется специальной формой аппроксимации

дифференциальных законов сохранения разностными. В результате погрешности аппроксимации образуют "аппроксимационную вязкость", обеспечивающую диссипацию энергии в ударном слое.

В методе С.К.Годунова в основе механизма диссипации энергии лежит физическая идея. Все сеточные функции предполагаются кусочно-постоянными. В таком случае на гранях сеточных ячеек возникают разрывы, которые являются произвольными и распадаются с образованием различных конфигураций устойчивых разрывов (сильных, слабых, контактных). Полученные при этом значения давления и скорости на контактном разрыве используются в качестве вспомогательных величин на гранях сеточных ячеек, соответствующих постоянным значениям т.

В методе В.Ф.Куропатенко для расчета величин в ударном слое привлекаются условия Гюгонио-Ренкина. Величины за сильным разрывом используются в качестве вспомогательных сеточных величин.

Каждая разностная схема заменяет сильный разрыв переходным слоем, ширина которого зависит от свойств разностных уравнений. Безразмерная величина, равная отношению толщины переходного слоя к размеру сеточной ячейки Ь

11

называется дистракцией. Здесь т0 - значение т, при котором все величины описывают состояние перед разрывом, т^ - за разрывом. Дистракция рассматривается как одна из характеристик разностной схемы. Для исследования дистракции в уравнениях разностной схемы,

представленных в дифференциальной форме, осуществляется переход к автомодельной переменной £=т-ЛМ, полученные уравнения интегрируются по затем с помощью уравнения состояния идеального газа из уравнений исключаются удельная внутренняя энергия Е, давление Р, скорость и и все их производные. В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение относительно V. Решение этого уравнения V© принимает значения У3^ при и

У=Уо при Каждая разностная схема характеризуется своим

£

значением В = ———.

Ь

Эффективное значение дистракции находится следующим образом. Определяется значение ¡;, при котором V' достигает максимума, т.е. при котором V* = 0. Затем определяется максимальное значение У^. Эффективная величина дистракции определяется по формуле

Щ

Этот метод позволяет определить дистракцию для ударной волны любой интенсивности, а не только бесконечно сильной.

Для исследования диссипативных свойств разностной схемы необходимо построить уравнение производства энтропии, то есть выразить погрешность аппроксимации уравнения

через независимые погрешности аппроксимации разностной схемы. Приводятся уравнения, выражающие погрешности аппроксимации уравнения производства энтропии в случае выбора различных комбинаций независимых погрешностей апЬроксимации.

Для исследования осцшшяционных свойств разностных методов разностная схема представляется в виде, необходимом для применения теоремы Годунова. В акустическом приближении давление и скорость выражаются через инварианты Римана, затем рассматриваются две бегущие волны, распространяющиеся по постоянному фону. Таким образом получается уравнение, выражающее значения инварианта на (п+1)-м временном слое через значения на п-м слое. Далее рассматриваются коэффициенты полученного уравнения и находятся условия, при которых коэффициенты становятся неотрицательными.

Во второй главе описанные выше методы применяются для исследования монотонности, дистракции, эффективной дистракции и уравнения производства энтропии на гладких решениях разностных схем

Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и недивергентной схемы Куропатенко. Сравнительные свойства этих схем приведены в таблице,

2(1-ае)С УУр+л/Ур! XV/ где Б. = ——,— , ве = ——.

№ Характеристика разностной схемы Разностные схемы

Нейман-Рихт-майер Лаке Годунов недивергентная Куропатенко

1 Дистракция, Б 2кп — УУ + 1 00 00 00

2 Эффективное значение дистракции, Ь+1 1+0ео. аа Э.

3 Монотонность на ударной волне нет есть всегда есть всегда условная

4 Наличие эмпирических констант есть, к нет нет нет

5 Условие устойчивости 2к ж<1 ае < 1 ае< 1

6 Поведение энтропии на непрерывных решениях по критерию слабой УВ сильно растет или уменьшается сильно растет постоянна

В третьей главе описывается новая разностная схема. Уравнения неразрывности и движения аппроксимируются разностными уравнениями

уп+1 -V." II* -П!

1+05 ^1+05 _ и!+1

Т,|Ч1 _уп р _р (1)

1+05 ии05 _ ГЫ Г1 4 '

В случае ударной волны (и",05 - и" <0) вспомогательные значения Р(", И- определяются следующим образом

и; = иь,, р; = р;+в5 -\У(и°+05 - и?.,,) , если Р(%5 > С,,

и;=, р;=р"0! - - иг_а5), если р^5 * р^»,. Значение определяется из соотношений Гюгонио по известному значению Аи = |и"_05 - и"+05| = и+ - и.. Величины перед разрывом выбираются следующим образом:

(Р, V, Е) =(Р, V, Е)!+05 , если Р"_05 > Р£05 ,

(Р, V, Е) =(Р, V, Е). 05 , если Р^.5 < Р^о.5 .

Удельная внутренняя энергия Е"++0'5 на ударных волнах находится из уравнения

ПП4! _ рп . уП + 1 _

сЧ+0 5 1+0 5 _ '/т>* . Т1*\ М+0.5 ¡+0 5

- «д^+г,; -

-^Ко5+иг+05-и:+1-и:)

. тт!,+| -и"

•Ч ^ ¿П* ^ л

21 1 + УЗ 1 + иЭ 1 + 1 I/

4 ' т

В случае гладких решений, вспомогательные величины и|, Р* определяются разностными уравнениями

и; = и,-1:-^(иы-2и( + 0м), Ч--Р,.1^Е1(Р|+|_2Р1 + РЫ). (2)

где

0,-иг-£(ч:.,--«Г.,) , Р! = ^"-^(аГ)г(иг+05-иг,5). (3)

На волне разрежения новое значение энергии Е"0'5 определяется интегрированием уравнения изэнтропы

Еп+|-Е" + |Р(У,Е)<ГУ=0.

V"

Значение давления на (п+1)-м шаге определяется по уравнению состояния.

Предложенная разностная схема исследовалась методами, описанными в первой главе. В случае ударной волны и в случае волны

разрежения разностная схема устойчива при ае = — < 1.

Ь

На ударной волне погрешности аппроксимации уравнений неразрывности, движения и энергии равны

(о, =^(тР"-Ш") + о(т\Ь2),

<а, =-|(\У2((и')г + 1ЛГ) + (Р')' + рр*)-~(р*и - Ри*-2Ш(ии')'| + 0(тг,т11,Ьг).

Т.о. на ударной волне разностная схема имеет первый порядок по пространству и времени. На волне разрежения в случае, когда Р' = Р(, и* = и! погрешности аппроксимации уравнений неразрывности и движения равны

ш, =^(1-зег)и" + 0(тМ1'), со2 =^(1-ае2)р"Ч0(тМ15).

Если же Р^, и* выбираются по формулам (2), то погрешности аппроксимации уравнений неразрывности и движения равны

Расчет удельной внутренней энергии на волне разрежения осуществляется интегрированием уравнения изэнтропы с любой наперед заданной точностью, таким образом, погрешность аппроксимации уравнения энергии равна нулю.

На ударной волне разностная схема удовлетворяет условиям теоремы Годунова, т.е. является монотонной, на волне разрежения схема немонотонна. Для уменьшения амплитуды колебаний решения в окрестности слабого разрыва в правые части уравнений (2) добавляются члены

АР,' = -^а(иГ+05-иг_05), ди: = -Р"о5)

0(т2,тЬ,Ь21,

Дистракция сильного разрыва разностной схемы равна оо, а эффективная дистракция равна О..

Для тестирования разностной схемы и сравнения ее с другими схемами были рассчитаны задачи о распространении стационарной ударной волны и стационарной волны разрежения.

Задача 1. В области с координатами [0,14] находится идеальный газ с уравнением состояния Р = (у -1) р Е и следующими

- - 4/

начальными параметрами: у = ^ , р0 = 1, Е0 = 0 , Р0=0 , ио = 0. На

левой границе системы задана постоянная скорость и = 3. Для данной задачи получаются следующие параметры за фронтом УВ: р,=7, Е, =4.5 , Р,=10.5 , и, =3, и скорость распространения УВ

На рис. 2-7 приведены фрагменты решения в малой окрестности за фронтом ударной волны, полученного по четырем разностным схемам и сравнение с аналитическим решением. Видно, что предложенная разностная схема дает значительно меньшие осцилляции за фронтом ударной волны.

105 104 103 «2

0

0

о

X

298

0 j?

°0 1 <4,° 0 0 0

х

Рис. 2. Задача №1. Зависимость давления Р от координаты х за фронтом ударной волны. Фрагмент решения. — - точное решение, 4 ххх- результаты данной работы, о о о - недивергентная схема Куропатенко

Рис. 3. Задача №1. Зависимость скорости U от координаты х за фрошом ударной волны. Фрагмент решения.

- - точное решение,

х х х - результаты данной работы, о о о - недивергентная схема Куропатенко

12 115 11 10»

10

85

85

? -

JI

.А Л 1

f

X

1

JJ,Ul1UI 1.А

г/

Рис. 4. Задача №1 Зависимость давления Р от координаты х за фронтом ударной волны. Фрагмент решения

1 - точное решение,

2 - метод Неймана-Рихтмайера,

х х х - результаты данной работы, р

"5

Рис. 5. Задача Xsl. Зависимость скорости U от координаты х за фронтом ударной волны. Фрагмент решения.

1 - точное решение,

2 - метод Неймана-Рихтмайера,

х х х - результаты данной работы, и

Рис. 6. Задача №1. Зависимость давления Р от координаты х за фронтом ударной волны. Фрагмент решения.

1 - точное решение,

2 - метод Лакса-Всндрофа,

х х х - результаты данной работы.

Рис. 7. Задача №1. Зависимость скорости и от координаты х за фронтом ударной волны. Фрагмент решения.

1 - точное решение,

2 - метол Лакса Вендрофа,

х х х - результата данной работы.

Задача 2. В области с координатами [0.,14] находтся идеальный газ со следующими начальными параметрами:

7 = 2, р0 = 4.5 , Е0 = 1.125 , Р0=5.0625 , ио = 0. На левой границе системы задана постоянная скорость и = - 1. Таким образом, в точке

х = О, I =- 0 находится произвольный разрыв. При I > 0 он распадается и в газ распространяется волна разрежения, ограниченная слабыми разрывами.

На рис. 8-15 приведены фрагменты решений в окрестности слабого разрыва типа 3, полученные по четырем известным разностным схемам и сравнение с аналитическим решением. Видно, что предлагаемый метод дает меньшие осцилляции по сравнению со схемами Неймана-Рихтмайера, недйвергентной схемой В.Ф.Куропатенко и Лакса-Вендрофа, а по сравнению с методом Годунова значительно меньше "размазывает" слабый разрыв.

О i

Рис 8 Задача № 2. Зависимость давления Р ог безразмерной координаты £,=х/с„1 на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва

----точное решение,

+ + + - результаты данной работы, о о о недивергентная схема Куропатенко

Рис. 9. Задача №.2. Зависимость скорости U от безразмерной координаты £,=x/c„t на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва

—— - точное решение, + +■ + - результаты данной работы, о о о - недивергентная схема Куропатенко

Рис. 10. Задача №. 2. Зависимость давления Р от безразмерной координаты 4=х/Со1 на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва —— - точное решение, + + + - результаты данной работы, о о о - метод Г одунова

Рис. 11. Задача №. 2. Зависимость скорости и от безразмерной координаты ^=х/со1 на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва.

-- точное решение,

+ + + - результаты данной работы, о о о - метод Годунова

■03* -02 415 41 -006 О ОН 01 015 0£ 039

ОЛ -ОД -016 -01 -ООО 0 00» 01 019 0.2 029

Рис. 12. Задача №. 2. Зависимость давления Р от безразмерной координаты Е,=х/с<Л на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва.

- - точное решение,

+ + + - результаты данной работы, ооо - метод Неймана-Рихтмайера

Рис. 13. Задача №. 2. Зависимость скорости и от безразмерной координаты ^=х/Со! на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва.

-- - точное решение,

+ + + - результаты данной работы, о о о - метод Неймана-Рихтмайера

Рис. 14. Задача №. 2. Зависимость давления Р от безразмерной координаты ^=х/с<Д на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва.

- - точное решение,

+ + + - результаты данной работы, о о о - метод Лакса-Вендрофа

Рис. 15. Задача №. 2. Зависимость скорости и от безразмерной координаты 4=х/со1 на волне разрежения. Фрагмент решения в окрестности разрыва. — - точное решение, + + + - результаты данной работы, ооо - метод Лакса-Вендрофа

В четвертой главе диссертационной работы описывается аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированного вещества с последующим взаимодействием двух волн разрежения и образованием откола. Рассматривается система, изображенная на рис.16.

1 лг 3 N \Д\ !

\ \ \ \5

Д \ г /Ь /лг 2

/Га-----

О 1 « .-.I—д—¡5—л—л—;

Рис. 16 Рис. 17

При 1=0 характеристики вещества имеют следующие значения: 0<х<1, 1<>=0, р0 = 1, Р0 = 0, и0 = 0, Е0 = 0, С0 = 1. Правая граница (ПГ) системы является свободной (Р=0). На левой границе задается комбинированное граничное условие ЦцО), обеспечивающее появление откола в одной точке плоскости (хД). Зависимость ияг(1)

изображена на рис. 17. В области с координатами 0 < х < 1 находится конденсированное вещество, описываемое безразмерным двучленным уравнением состояния с у=3 Р = 2рЕ + р -1. Решение состоит из нескольких областей. Область А - область стационарного течения за фронтом УВ с заданным значение скорости = Ui = const. Время выхода ударной волны на свободную правую границу вещества равно t2. Время смены граничного условия ^ определяется из условия пересечения траектории х = Ui t с характеристикой, приходящей в точку (х2, t2) с левой границы системы.

В области Б находится центрированная волна разрежения. Решение определяется характеристиками, приходящими в область Б из области А и с левой границы:

\ , \

и=1 2

t-t

- + U, -С,

с=-2

p(x,t) = -^C(x,t), P(x,t) =

P,Cj

х-х *

t-t C(x,t)

■ u.+c,

-1

Уравнение левой уравнением

Ч

границы

P(x,t) + 1

Р(х'0 между

(4)

точками 1-3 определяется

х = х. + (и, - С, )(1 - и) + 2С, ,

Граничное условие на траектории ЛГ между точками 1-3 получается дифференцированием уравнения траектории ЛГ

и„ = и1+с1

t.-t. 1 t-t.

В точке х2. ь происходит распад разрыва, в результате чего свободная (правая) граница при Рпг = 0 приобретает скорость и^, а влево пойдет центрированная волна разрежения. Решение в области В определяется пересечением характеристик, выходящих из точки (х2,12) и с левой границы системы:

Х-Х2 t-t,

Х-Х,

х -х2 t-t.

х-х,

t-t. t-t,

t2-t. t-t.

t2-t. t-t.

(U1+C,) (Ul+C()

Величины P(x,t), p(x,t), E(x,t) в области В находятся по уравнениям (4) после постановки в них C(x,t) из области В.

На свободной границе 2-6 Р = 0. На нее же выходят а-характеристики из области Б. Из этих условий получаются скорость и траектория ПГ

х„г =х. + (U, +C,)(t-t.) + Cnr(t- М'»2^ •

В каждой точке (х, t) области Г пересекаются характеристики, выходящие с правой и левой границ системы, и решение в области Г определяется формулами

_1(Ч(0-х. | хг(1к)-хк(1кЛ

tr-t. tr-tk у

Л( х,0к)-х. xr(tk)-xk(tt)>|

t,-t. tr-tk у

где точка (xr, tr) в области Г связана с точкой (Xk, tk), лежащей на ПГ уравнением

/■ ч

t„-t.

С'-2

<r=X.+(tr-t.)

Ul+C,-Cnr/«-

- 2Ст (tr — tk).

Ч-tJ

Значения Рг, рг, Ег находятся с помощью (4).

На характеристике 2-5 (крайней правой характеристике центрированной волны разрежения) зависимость P(t) имеет вид:

r(t)=4

t2-t. t-t.

V ^ -1

Показано, что в любой момент времени I > 12 минимальное давление достигается на характеристике 2-5. Рассматривается зависимость минимального давления от массы ш, находящейся справа от этой характеристики.

min Р = — 3

1

1-

Ч-t.

-1

Дифференцированием P(t) вдоль характеристики 2-5 получается скорость изменения давления

dP dt

El

IcJ

(t2-t.)3 (t-t.)4

Это означает, .что вдоль характеристики 2-5 давление P(t) убывает при t > t2. Уменьшаясь, давление может достигнуть значения Р„ < 0, при котором в веществе образуется трещина. Обозначим точку в пространстве m,t, в которой впервые достигается значение Р„, номером 5. Момент разрушения находится при Р = Р„:

t5 = t. + (t2 -t.)(3Pa + lp, x5 = x2 + (U, + C, - 2C„Xts -ta). Чтобы не допустить разрушения в точках отличных от точки 5, нужно, чтобы при t > t3 краевое условие генерировало бы волну сжатия или хотя бы постоянное течение в области Д.

Масса отколовшегося слоя определяется в момент t5 интегрированием уравнения

m = | р (x)dx

m„

В результате интегрирования получим

(15-д(12-г.)

Задача о выходе нестационарной УВ на свободную поверхность вещества численно решалась в постановке, соответствующей построенному аналитическому решению. Были заданы следующие начальные параметры: р0 = 2.7, Е0 = 0, и0 = О, Р0 = О, у = 3. На левой границе системы было задано переменное граничное условие ЩО в виде

1.5 при <0.11267067,

U =

1.5-4.6165253

1-

5.11267067

при 0.11267067 < t < 0.41707013,

1 + 5

/

1.368417417 при Р-0.41707013.

Задача была рассчитана по изложенной в диссертации разностной схеме и разностным схемам Неймана-Рихтмайера, Лакса-Вендрофа, Годунова и недивергентной схеме Куропатенко. На рис. 18, 19 приведены зависимости Ртш от массовой координаты, соответствующие расчетам по этим методикам. Зависимость Рт1П(т), полученная при расчете по предложенной в диссертации разностной схеме (рис. 19) удовлетворительно согласуется с аналитическим решением. Видно, что при расчете по монотонному методу Годунова, минимальное давление не достигает давления, при котором происходит разрушение, а при расчетах по методикам Неймана-Рихтмайера, Лакса-Вендрофа, и недивергентной схеме Куропатенко

разрушение наступает из-за колебаний раньше, чем в аналитическом решении

,/1

/

/ Л1

// 1

// л

/) / А

//

? Л 1

\ /ж / м

уг

//

//

У

//

//

) \

// X

/

Рис. 18. Зависимость Ршт(ш).

1 - аналитическое решение,

2 - расчет по методу Годунова,

3 - расчет по методу Лакса-Вендрофа,

4 - расчет по методу Неймана-Рихтмайера.

Рис. 19. Зависимость Ртш(т).

1 - аналитическое решение,

2 - результат данной работы,

3 - расчет по недивергентной схеме Куропатенко.

2.

Выводы

Предложена разностная схема расчета неустановившихся течений сплошных сред, относящаяся к классу схем, не содержащих эмпирических констант при описании диссипации энергии в ударном слое, заменяющем сильный разрыв. Разностная схема реализует метод В.Ф.Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев и на интегрировании с наперед заданной точностью уравнения изэнтропы в случае адиабатических течений. Исследована устойчивость, аппроксимация, диссипация энергии, дистракция и монотонность новой разностной схемы. Для обоснования ее достоинств проведены аналогичные исследования разностных схем Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и недивергентной разностной схемы Куропатенко. Построено аналитическое решение задачи с откольным разрушением конденсированной среды после выхода ударной волны на свободную поверхность. Специально подобранное граничное условие позволяет реализовать режим откола только в одной точке среды.

Создана программа «Кама», в которой реализована предложенная разностная схема. Расчеты по программе показывают, что

разностная схема «Кама» обладает оптимальными осцилляционными свойствами и дистракцией, что позволяет наиболее точно описывать взаимодействие разрывов различных типов друг с другом и, следовательно, поведение веществ при откольном разрушении. Применение условий Гюгонио для описания диссипации энергии в области ударною слоя и выбранный вид разностных уравнений позволяют избежать появления энтропийных следов при выходе ударной волны на свободную поверхность вещества.

4. Проведен сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды. Показано, что погрешность определения массы откола в расчете по разностной схеме «Кама» значительно меньше, чем при расчете по другим разностным схемам.

Основное содержание диссертационной работы изложено в

следующих публикациях:

1. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. О точности расчета откольною разрушения //Хим. физ. - т.21, №9. - 2002. - С. 72-78

2. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Разностный метод расчета ударных волн //Аннотации докладов Зимней школы по механике сплошных сред.-Пермь.-1997.-С.21.

3. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. Calculational Technique for Shock Waves with elevated Monotonocity //New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media.-Aldennaston.-

1997.-p. 598-609.

4. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р Разностный метод расчета ударных волн с повышенными свойствами монотонности //Препринт ВНИИТФ №120 - 1997.

5. Makeeva I.R. Calculational Technique for Heightened Monotonocity // Shock Wave Processes in Condensed Matter.-Saint-Petersburg.-

1998.~p.213.

6. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Труды V Забабахинских научных чгсннй.-Снежинск.-1998.-С.649-659.

7. Kuropatenko V.F., Makceva I.R. Calculational Technique for Shock Waves with elevated Monotonocity. // Finite-Difference Methods: Theory and Application-National Academy of Sciences of Bclotus-Minsk.-1998.-p. 80-85.

8. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. On the Accuracy of Failure Calculations // Shock Waves in Condensed Matter - Saint-Petersburg.-2000.-p.147.

9. Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Труды 8 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике.-Пермь.-2001 .-С.411.

10. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко A.C., Уваров В.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела // Труды VI Забабахинских научных чтений.-Снежинск.-2001 .-С.214.

11. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Моделирование фильтрации дисперсионной среды через пористую преграду //Труды VI Забабахинских научных чтений.- Снежинск.-2001.-С.215.

12. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко A.C., Уваров В.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела //Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов,-вып.З.-2002.-С.60 -71.

Исследование автора были поддержаны грантами:

• РФФИ № 95-01 -01558а «Исследование свойств многокомпонентных сред в условиях динамических нагрузок», руководитель В.Ф.Куропатенко, 1995 г.

• МНТЦ № 128-96 «Экспериментальное исследование перехода сверхзвуковых пограничных слоев, относящемся к высокоскоростному воздушному транспорту», руководитель А.А.Маслов, 1996 г.

• РФФИ№ 97-01-00103 «Математическое моделирование динамических процессов в многокомпонентных средах», руководитель В.Ф.Куропатенко, 1997 г.

• РФФИ №01-01 -00574 «Математическое моделирование многокомпонентных многофазных сред при кратковременных внешних воздействиях», руководитель В.Ф.Куропатенко, 2001 г.

• МНТЦ № 1181 «Исследование механизмов разрушения и фазовых переходов в твердых телах при динамических нагрузках», руководитель И.Р.Макеева, 2001 г.

58 42

Подписано в печать 08.09.03. Формат 60x84 Чхь. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,8. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 221. Бесплатно

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ 4 54021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Введение.

Глава 1. Априорные методы исследования свойств разностных схем.

§1. Механизмы диссипации энергии в методах расчета ударных волн.

§2. Разностные схемы в дифференциальном представлении.

§3. Акустическое приближение.

§4. Метод исследования диссипативных свойств разностной схемы.

§5. Метод исследования дистракции сильного разрыва.

§6. Метод исследования немонотонности.

Глава 2. Анализ свойств разностных схем.

§1. Разностная схема Д.Неймана - Р.Рихтмайера.

§2. Разностная схема П. Лакса.

§3. Разностная схема С.К.Годунова.

§4. Недивергентная разностная схема В.Ф.Куропатенко.

§5. Разностная схема ПЛакса, Б.Вендрофа.

Глава 3. Новая разностная схема.

§1. Выбор сетки. Типы интервалов.

§2. Разностные уравнения для ударной волны.

§3. Погрешности аппроксимации на ударной волне.

§4. Анализ устойчивости разностной схемы для ударной волны.

§5. Анализ монотонности и дистракции разностной схемы на ударной волне.

§6. Разностные уравнения для волны разрежения.

§7. Погрешности аппроксимации на волне разрежения.

§8. Анализ устойчивости разностной схемы на волне разрежения.

§9. Анализ монотонности разностной схемы на волне разрежения.

§10. Повышение порядка аппроксимации.

§11. Уменьшение немонотонности на слабых разрывах.

§12. Краткое описание программы КАМА.

§13. Верификация разностной схемы.

Глава 4. Исследование влияния свойств разностных схем на моделирование разрушения веществ.

§1. Характерные погрешности за фронтом ударной волны. Дистракция и осцилляции

§2. Выход стационарной ударной волны на свободную поверхность. Аналитическое решение и результаты расчетов.

§3. Взаимодействие двух волн разрежения с образованием откола. Аналитическое решение.'.

§3.1. Область стационарного течения за фронтом ударной волны.

§3.2. Область центрированной волны разрежения.

§3.3. Область взаимодействия двух волн разрежения.

§3.4. Точка смены краевого условия.

§3.5. Течение в области у свободной границы.

§3.6. Масса отколовшегося слоя.

§4. Зависимость положения трещины от дистракции и осцилляции разностной схемы

Выводы.

В основе моделей механики сплошной среды, описывающих поведение вещества под действием динамических нагрузок, лежат законы сохранения массы, количества движения и энергии. Для разных задач эти законы сохранения записываются в разных формах. Ниже мы будем рассматривать их, следуя [1]. В случае непрерывных течений законы сохранения образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных. В прямоугольных декартовых координатах эта система имеет вид dV dt

VdivU = О,

0.1) dU dt

VgradP • asx asy aszN x f--4 z V dx dy dz 0,

0.2) dps + div((P8 + P)U-q) ax dy dz 0,

0.3) где U - скорость, p - плотность, V = 1/p - удельный объем, s = Е + 0.5U2, Е -удельная внутренняя энергия, Р - давление, q - тепловой поток, t - время. Векторы

Sx - Sxx i + тху j + x^k, Sy =xyxI + Syyj + xyzk, Sz = xzxT + xzyj+Szzk.

0.4) cuобразуют девиатор тензора напряжений, а давление Р является шаровой частью тензора напряжений. Векторы i,j,k - единичные векторы ортогонального базиса.

Система уравнений (0.1}—(0.3) замыкается уравнениями состояния определяющими уравнениями для q, Sjj, ту и уравнением траектории частиц

При интенсивных динамических воздействиях на материалы, таких, как электровзрыв фольги, детонация взрывчатого вещества, удар пластиной, поток электронов или частиц, мощное рентгеновское, лазерное или другие виды излучений, как правило, возникают ударные волны. Распространяясь по веществу и взаимодействуя со свободными или контактными поверхностями, они могут отражаться волнами разрежения. При взаимодействии встречных волн разрежения возникают растягивающие напряжения. Под действием растягивающих нагрузок сначала рвутся наиболее слабые связи между кристаллами и зернами, затем эти микроразрушения сливаются, и возникает трещина.

Разрушение вещества в различных условиях зависит от характера динамического воздействия. В одних экспериментах определяющей причиной разрушения является большая дисторсия и связанная с ней работа девиатора тензора напряжений. При этом дилатация, а значит, работа давления PdV может быть малой. В других экспериментах причиной разрушения являются большие отрицательные давления, а работа напряжений сдвига может быть малой. В большом количестве экспериментальных работ по изучению откольного разрушения опыты ставятся так, что нормаль к фронту ударной

F(P,V,E)=0, Ф(Т,У,Е)=0,

0.5)

0.6) волны ортогональна свободной поверхности вещества, и до наступления разрушения движение можно рассматривать как плоское. В таких экспериментах разрушение происходит, в основном, из-за больших растягивающих давлений.

Основным методом исследования откольного разрушения является физический эксперимент, основным методом прогнозирования разрушения является математическое моделирование. Существует много различных моделей, описывающих отклик вещества на динамическое воздействие, в том числе моделей прочности и разрушения. Следует заметить, что в каждой модели можно выделить адиабатическое ядро, в котором присутствует только шаровая часть тензора напряжений, т.е. давление. Под адиабатическим ядром понимается система законов сохранения в дифференциальной форме без учета теплопроводности, девиаторов тензора напряжений и энерговыделения. Общая погрешность математической модели может быть представлена в виде суммы погрешностей физической модели, погрешности аппроксимации адиабатического ядра и погрешности аппроксимации уравнений, порождаемых девиатором тензора напряжений.

А = ^мод + Д1^ + Ад .

Следствием уравнений адиабатического ядра является постоянство энтропии вдоль линии тока. При расчетах реальных задач сильные и слабые разрывы взаимодействуют друг с другом и с контактными разрывами, в результате чего может произойти необратимое накопление погрешностей из-за осцилляций и дистракции разрывов, что в итоге дает существенное различие между характеристиками реального физического процесса и его математического образа. Для адекватного описания поведения материалов необходима высокая точность как кинетических моделей разрушения, так и численных методов с оптимальными дистракцией и немонотонностью.

В случае идеальной сжимаемой жидкости без учета теплопроводности и девиатора тензора напряжений (вязкости, упругости, пластичности) система законов сохранения (0.1)—(0 3) имеет вид: dV dt dU

VdivU = 0, dt f VgradP = 0,

0.7) d dt

E + U

2\ VdivPU = 0.

В случае плоских, сферически-симметричных или цилиндрически-симметричных движений, когда все величины зависят только от времени и одной лагранжевой координаты, уравнения (0.7) принимают вид

3V «р(«)£(г~и)-о. at

0.8) аи , ч а, ар л кхф(а)г 1тгт = 0, at ам

0.9) д at

V2 .

0.10)

Здесь М - массовая лагранжева координата, dM = (p(oc)pdra, г - расстояние до центра или оси симметрии, а =1,2,3, ср(1)=1, cp(2)=7i, cp(3)=47t/3. Для замыкания к уравнениям (0.7) или (0.8)—(0.10) добавляется уравнение состояния

F(P, V, Е) = 0. (0.11)

Положение каждой частицы в пространстве определяется ее эйлеровой координатой г = r(M,t), удовлетворяющей уравнению

-U = 0.

0.12) м

В случае одномерных симметричных движений справедливо также уравнение ф(а) дМА

- v=o,

0.13) которое также может использоваться для нахождения г. Во многих численных методах применяются следствия из уравнений (0.8)-(0.10) дЕ | раф(а)Эга'1и at ам о,

0.14) at at

0.15)

Одним из важнейших следствий системы законов сохранения (0.8)—(0.10) и уравнения состояния (0.11) является постоянство энтропии вдоль линии тока в адиабатических течениях. Уравнения (0.8)—(0.15) содержат три термодинамические функции Р, V и Е. Пусть V и Е независимы. В этом случае все остальные термодинамические функции, в том числе и на изэнтропе, зависят от V и Е. Уравнение скорости изменения энтропии S(V,E) вдоль линии тока имеет вид as at as"i av fd \ av at aE v дБ at

0.16)

Поскольку as Ue. 1 'as^ v 1 —, то из (0.16) следует a at at

0.17)

Из (0.15), (0.17) следует уравнение сохранения энтропии вдоль линии тока (траектории частицы) идеальной среды at

0.18)

Продифференцировав по t уравнение состояния (0.11), получим скорость изменения давления ар at ар^ чЗУ,

8V at ар^ дЕ at'

Подставив сюда (0.15), получим еще одно следствие из уравнения состояния и законов сохранения а2 — = 0, (0.19) at at где а = ч5УУе Р кдЕу

- квадрат скорости распространения звуковых возмущений в лагранжевых (массовых) координатах. Из (0.8) и (0.19) следует ар [а2дф(д)ага-1и^0 (0.20) at ам

На поверхности сильного разрыва система законов сохранения принимает вид условий Гюгонио-Ренкина

W(v+-v)=-(u+-u ),

W(U+-U) = P+-P , E+ -E. + 0.5(P+ +P)(V+ -V ) = 0,

0.22)

0.23)

0.21) dm где W = — - скорость распространения разрыва в лагранжевых (массовых) dt координатах, величины с индексом характеризуют состояние вещества перед линией разрыва, а с индексом "+" - за линией разрыва, U+, U. -нормальные к поверхности разрыва компоненты вектора скорости U.

Условия на контактных границах (КГ) получаются из (0.21)-(0.23) в частном случае, когда поток массы через поверхность разрыва отсутствует, т.е. при W = 0. Тогда из (0.21)-(0.23) следует непрерывность интенсивных величин - скорости и давления - на КГ:

При этом экстенсивные величины - удельный объем и удельная внутренняя энергия - могут оставаться разрывными.

В силу нелинейности уравнений газовой динамики их решение в общем случае можно найти лишь численно. Наиболее разработанным численным методом решения задач газодинамики является метод конечных разностей. В разностных методах непрерывные функции заменяются дискретными, определенными в узлах разностной сетки. Вообще говоря, для каждой функции может быть выбрана своя сетка, однако, во избежание дополнительных интерполяций при вычислении давления из уравнения состояния по V и Е, эти величины задаются на одной и той же сетке. После этого остается две возможности: 1) значения скорости определяются на той же

0.24) сетке, что и давление; 2) значения скорости определяются на сетке, отличной от той, на которой определяется давление.

Разностная схема, вообще говоря, должна отражать основные свойства сплошной среды. Поэтому естественно требовать, чтобы в разностной схеме прежде всего выполнялись разностные аналоги законов сохранения. Разностные схемы, в которых изменение массы, количества движения и полной энергии в области интегрирования определяются только потоками массы через границы, импульсом и работой сил, действующих на границах, называются консервативными. На важность требования консервативности схемы обращали внимание многие исследователи. Так, например, в начале 50-х годов А.Н. Тихонов и А.А. Самарский [2] для обоснования интегро-интерполяционного подхода к конструированию разностных схем построили пример, когда неконсервативная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, расходится в , классе разрывных коэффициентов [2]. Однако требование консервативности не исчерпывает всех требований к разностной схеме. Дело в том, что в так называемом дивергентном уравнении энергии «сохраняется» только полная энергия S = Е + 0.5U . Поэтому погрешности в определении скорости, т.е. кинетической энергии, влияют на точность вычисления внутренней энергии, которая является суммарной величиной, состоящей из упругой (холодной) энергии, тепловой энергии ядер, тепловой энергии электронов, свободной энергии и т.д. Упомянутые выше требования консервативности оставляют без контроля переходы энергии из одной формы в другую, а это может исказить температуру, давление, энтропию, энтальпию и другие термодинамические величины. В [3] приведен пример, когда погрешности аппроксимации приводят к заметному искажению внутренней энергии.

Для изучения свойств разностных схем разностные уравнения чаще всего рассматриваются в дифференциальной форме. Вопросы получения разностных уравнений газовой динамики в дифференциальной форме и исследование свойств их дифференциальных приближений подробно изучены в [4]. В [5] показано, что для того, чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнение производства энтропии и уравнение производства массы и исследовать остаточные члены для этих уравнений. Очевидно, что изменение энтропии из-за погрешностей аппроксимации не должно превосходить ее изменений в характерных физических процессах.

Конечноразностные методы расчета нестационарных течений сжимаемых сред основываются на системе законов сохранения либо в форме Эйлера, либо в форме Лагранжа. И лагранжевы, и эйлеровы методы имеют свои достоинства и недостатки. Выбор системы координат для расчета течения газа определяется постановкой задачи. Если важны параметры потока в заданной пространственной области (например, течение газа в газопроводе, задачи обтекания жесткой поверхности и т.д.), то естественно выбрать эйлеровы координаты. В связи с тем, что в этом случае сетка является) неподвижной в пространстве, не возникают проблемы, связанные с сеткой. Однако, при расчете задач, связанных с течением определенной массы вещества, применение эйлеровых координат может привести либо к неоправданному уменьшению, либо к увеличению количества точек сетки и, следовательно, к потере точности численного решения. Например, при сильном сжатии вся рассчитываемая масса вещества может попасть в один счетный интервал эйлеровой сетки, что приводит к полной потере точности.

Чтобы обеспечить необходимую точность расчета центрированных волн разрежения в самом начале их существования, когда градиенты велики, С.К. Годунов предложил использовать подвижные сетки [6]. В этом случае точки сетки, связанные с контактными границами или со слабыми разрывами^ движутся вместе с ними. Промежуточные точки сетки получаются по произвольному закону с сохранением определенного минимума или максимума точек.

При использовании лагранжевых координат в задачах с большими деформациями в двумерной или трехмерной постановке возникают проблемы, связанные с перестройкой сетки. Но при необходимости детально исследовать газодинамические процессы, происходящие в некоторой фиксированной массе вещества, применение лагранжевых методов является наиболее целесообразным. В этом случае легко проследить историю деформирования частицы вещества, не возникает проблем с отслеживанием контактных границ, местами зарождения микроповреждений, зародышей новой фазы, что особенно важно для описания сложных процессов, связанных с деформациями и фазовыми переходами.

Область, в которой рассматривается движение вещества, разбивается сильными и слабыми разрывами на области гладкого течения, в которых выполняются законы сохранения в дифференциальной форме, тогда как на разрывах удовлетворяются условия совместности. Наиболее общим является решение, представляющее собой совокупность гладких решений, примыкающих друг к другу через линии; сильных, слабых или контактных; разрывов с соблюдением условий совместности. Такая структура решения естественно описывается методом характеристик [7], учитывающим, в принципе, все особенности решения. От других разностных методов его отличает аппроксимация не законов сохранения, а характеристических уравнений и многократное использование операторов интерполирования. Сглаживание профилей, характерное для разностных схем с фиксированной сеткой, является минимальным в методе характеристик, так как применяемая в нем сетка строится с учетом области зависимости решения. Альтернативой методу характеристик являются разностные методы с нулевой дистракцией, выделяющие особенности в решении, например, ударные волны, слабые и контактные разрывы. В этом случае для расчета параметров течения используются алгебраические и дифференциальные уравнения - законы сохранения и их следствия, записанные для каждого типа разрыва. Примером является неоднородный метод В.Ф. Куропатенко, реализованный в программе "Волна" [8], где для решения системы разностных уравнений используется регулярная сетка для областей интегрирования с гладкими решениями и размазанными" особенностями и сетка особенностей, которая накладывается на регулярную сетку.

Наиболее простыми для реализации на ЭВМ являются методы с ненулевой дистракцией, получившие название "однородных". Для описания течения в ударном слое, заменяющем сильный разрыв, в этом случае в уравнения гидродинамики вводятся диссипативные члены. Первой схемой такого рода была схема Неймана-Рихтмайера [9], в которой по аналогии с физической вязкостью в уравнения газодинамики вводится псевдовязкость. При этом были использованы результаты Беккера [10], который в 1922 году показал, что введение физической вязкости в уравнения газодинамики приводит к появлению переходного слоя, толщина которого в газах сравнима с длиной пробега молекулы. В методе Неймана-Рихтмайера после введения псевдовязкости сильный разрыв заменяется переходным слоем конечной ширины. Другим вариантом однородных методов с псевдовязкостью, является ■ метод, предложенный в США Лаксом и Вендрофом [11]. Лаке [12] предложил однородный метод с аппроксимационной «вязкостью». В СССР были созданы ■ разностные схемы, в которых для диссипации энергии использовались уравнения физических процессов. Первой схемой такого рода была схема, предложенная С.К.Годуновым [13], в которой для расчета диссипации энергии применяются соотношения для распада произвольного разрыва. В отличие от схем Неймана-Рихтмайера и Лакса-Вендроффа, этот метод не содержит эмпирических констант. В методе, предложенном В.Ф. Куропатенко [14], [15] применяется разнородная аппроксимация на ударных волнах (УВ) и волнах разрежения (BP). Такие схемы в области гладкого течения аппроксимируют уравнения газодинамики, а на разрывах - условия Гюгонио. Диссипация энергии учитывается при расчете вспомогательного давления. Применение специальных разностных уравнений в ячейках сетки, содержащих сильный разрыв, приводит к конечной дистракции, т.е к замене сильного разрыва ударным слоем, шириной в несколько счетных интервалов. Таким образом, рассчитываемая ударная волна заменяется конечным числом ударных волн меньшей интенсивности. Этот метод, также не имеющий эмпирических констант, был реализован в разностных схемах, в которых давление, плотность и энергия определялись, как правило, в серединах интервалов, а скорость в узлах разностной сетки (недивергентные схемы). Предпринимались также попытки создания дивергентных разностных схем расчета ударных волн, реализующих этот метод, например [15]. Однако во всех реализациях немонотонность зависела от числа Куранта и при произвольном соотношении шагов по времени и по пространству наблюдались осцилляции за фронтом УВ.

Введение диссипативных членов в разностные уравнения приводит с одной стороны к дистракции разрывов, а с другой стороны, к осцилляциям в решении. Как правило, рост дистракции сопровождается уменьшением амплитуды осцилляций и наоборот. Все разностные методы обладают различными дистракцией и осцилляционными свойствами. Так, например, метод Неймана-Рихтмайера дает сильные осцилляции как за фронтом УВ, так и в окрестности слабого разрыва на волне разрежения. Метод С.К. Годунова, являющийся монотонным, обладает сильной дистракцией слабых разрывов. При сложной картине течения, взаимодействии сильных и слабых разрывов друг с другом, а также с контактными разрывами влияние этих свойств разностного метода может накапливаться, что может быть причиной значительного отличия параметров численного решения : от характеристик реального физического процесса. Особенно существенным это влияние становится при описании таких тонких эффектов, как откольное разрушение и зарождение фазовых переходов. При применении подавляющего большинства существующих разностных методов для расчета откольного разрушения масса и начальный импульс отколов определяются с низкой точностью. Поэтому представляется актуальной задача построения разностного метода, сочетающего в себе малые амплитуды осцилляций и малую дистракцию разрывов.

В диссертации излагается разностный метод расчета неустановившихся течений сжимаемой жидкости, который на волне сжатия в акустическом приближении удовлетворяет условиям теоремы С.К. Годунова и обеспечивает монотонность профилей, обладает небольшой дистракцией разрывов, имеет нулевую диссипацию в области, где справедливы законы сохранения в дифференциальной форме, и практически не дает энтропийных следов при выходе УВ на свободную поверхность.

Созданный метод излагается в одномерной постановке в случае плоской симметрии. Уравнения в случае сферической и цилиндрической симметрии не обсуждаются в данной работе, так как для описания подавляющего большинства экспериментов по откольному разрушению достаточно рассмотреть плоский случай. В [16] показана принципиальная возможность обобщения метода на двух- или трехмерный случай, однако это выходит за рамки данной работы. 1

На защиту выносятся:

1. Дивергентная разностная схема расчета ударных волн, реализующая метод В.Ф. Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев.

2. Уравнения для определения вспомогательных величин - давления и скорости - в области непрерывных течений и их обоснование.

3. Исследование диссипации энергии, дистракции разрывов, устойчивости и монотонности предложенной разностной схемы. Обоснование отсутствия диссипации энергии на волнах разрежения и малости амплитуды осцилляций за разрывом.

4. Аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированной среды с последующим взаимодействием двух волн разрежения и откольным разрушением среды.

5. Сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе излагаются априорные методы исследования свойств разностных схем и выбираются критерии их сравнения. Во второй главе проводится теоретический анализ свойств методов расчета ударных волн и волн разрежения. Поскольку известно всего четыре принципиально различных механизма описания диссипации энергии в разностных методах расчета ударных волн, то исследуются только разностные схемы Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и Куропатенко. В третьей главе излагается новая разностная схема, исследуются ее свойства и проводится верификация численного метода. Четвертая глава посвящена аналитическому решению задачи с откольным разрушением и исследованию влияния свойств разностных схем и характерных погрешностей в окрестности сильных и слабых разрывов на моделирование откольного разрушения.

Выводы

1. Предложена разностная схема расчета неустановившихся течений сплошных сред, относящаяся к классу схем, не содержащих эмпирических констант при описании диссипации энергии в ударном слое, заменяющем сильный разрыв. Разностная схема реализует метод В.Ф.Куропатенко, основанный. на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев и на интегрировании с наперед заданной точностью уравнений изэнтроп в случае адиабатических течений. Исследована устойчивость, аппроксимация, диссипация энергии, дистракция и монотонность новой разностной схемы. Для: обоснования ее достоинств проведены аналогичные исследования разностных схем Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и недивергентной разностной схемы Куропатенко.

2. Построено аналитическое решение задачи с откольным разрушением конденсированной среды после выхода ударной волны на свободную поверхность. Специально подобранное граничное условие позволяет реализовать режим откола только в одной точке среды.

3. Создана методическая программа «Кама», в которой реализована предложенная разностная схема. Расчеты по программе показывают, что разностная схема «Кама» сочетает в себе малую амплитуду осцилляций и малую дистракцию разрывов, что позволяет наиболее точно описывать взаимодействие разрывов различных типов друг с другом и, следовательно, поведение веществ при откольном разрушении. Применение условий Гюгонио для описания диссипации энергии в области ударного слоя и выбранный вид разностных уравнений позволяют избежать появления энтропийных следов при выходе ударной волны на свободную поверхность вещества.

4. Проведен сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды. Показано, что погрешность определения массы откола в расчете по предложенной в диссертации разностной схеме «Кама» значительно меньше, чем при расчете по разностным схемам [9], [13], [14], [44].

1. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках //Наука Новосибирск - 1992. -294 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов //ДАН СССР 1959 - т. 124, №3

3. Поттер Д. Вычислительные методы в физике //М. Мир - 1975г.

4. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике //Наука Новосибирск - 1985 - с.364

5. Куропатенко В.Ф. Локальная консервативность разностных схем для уравнений газовой динамики //Журнал выч. матем. и матем. физики. -М. т.25, №8. - 1985. - с.1176-1188.

6. Годунов С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики //М. Наука - 1976. - 400 с.

7. Жуков А.И. Применение характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики //Труды матем. ин-та АН СССР 7. — (I960).

8. Neumann J., Richtmayer R. A method for the numerical calculation of hydrodynamical shocks //J. Appl. Phys. -1950 V.21, #3 - pp.232-237

9. O.Becker R. Stosswelle und Detonation HZ. Phys. 1922 - V.8 - pp.43-521 l.Lax P.D., Wendroff B. System of Conservation Laws //Сотр. Pure Appl. Math. -№13.- 1960.-p.217

10. Lax P.D. Weak solution of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations //Comn. Pure and Appl. Math. 1954 - V7 - pp. 159-193

11. З.Годунов С.К. Разностный метод счета разрывных решений уравнений газодинамики //Матем. сб. -1959 -№47(89), вып.З С.271-306

12. Куропатенко В.Ф. Метод расчета ударных волн //ДАН СССР в.З, №4 -1960-С.771.

13. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики //Труды матем. инст. им. В.А.Стеклова т.74, ч.1. — 1966. - С.107-137.

14. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко А.С., Уваров

15. B.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела //Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов.-вып.3.-20021. C.60-71.

16. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. Calculation^ Technique for Shock Waves with elevated Monotonocity //New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media.-Aldermaston.-1997.-p. 598-609.

17. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Разностный метод расчета ударных волн //Аннотации докладов Зимней школы по механике сплошных сред-Пермь.-1997.-С.21.

18. Makeeva I.R. Calculational Technique for Heightened Monotonocity // Shock Wave Processes in Condensed Matter.-Saint-Petersburg- 1998.-p. 213.

19. Kuropatenko V.F., Makeeva I.R. On the Accuracy of Failure Calculations // Shock Waves in Condensed Matter.- Saint-Petersburg.-2000.-p. 147.

20. Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Труды 8 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике-Пермь.-2001.-С.411.

21. Куропатенко В.Ф., Кузнецова И.И., Макеева И.Р., Мурашко А.С., Уваров В.Н. Исследование влияния пульсирующего вдува на поток возле обтекаемого тела // Труды VI Забабахинских научных чтений.-Снежинск.-2001.-С.214.

22. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. Моделирование фильтрации дисперсионной среды через пористую преграду //Труды VI Забабахинских научных чтений.-Снежинск.-2001 .-С.215.

23. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р. О точности расчета откольного разрушения //Хим. физ. т.21, №9. - 2002. - С. 72-78

24. Куропатенко В.Ф., Макеева И.Р Разностный метод расчета ударных волн с повышенными свойствами монотонности //Препринт ВНИИТФ №120 -1997.«'

25. Жукова Т.В. Моделирование импульсного нагружения керамических элементов конструкций с учетом микроструктуры материала. //Автореферат диссертации на соискание степени кандидата физ.-мат. наук.-Томск.-2002.

26. Самарский А.А., Арсенин ВJL О численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкостей //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. т.1, №2 - С.357-380.

27. Белоцерковский О.М., Давьщов Ю.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики //Числ. методы механики сплошной среды -Новосибирск- 1970 т.1, №3 - С.3-23.

28. Куропатенко В.Ф. Об одной форме псевдовязкости //Изв. СО АН СССР. Сер. технич. 1967. -МЗ, вып.З. - С.81-82.

29. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений //Вычисл. методы в гидродинамики М. - Мир. — 1967. - С. 212-263.

30. Яненко Н.Н., Неуважаев В.Е. Один метод расчета газодинамических движений с нелинейной теплопроводностью //Труды матем. института им.

31. B.А.Стеклова 1966 - т.74 - С. 118-146.

32. Шокин Ю.И., Федотова З.И. Об одном классе инвариантных разностных схем //ЧМСС Новосибирск - 1972 - тЗ, №5, - С. 85-94.

33. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений //Докл. АН СССР 1968 - т. 180, №61. C. 1303-1305.

34. Яненко Н.Н., Анучина Н.А., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газодинамики с большими деформациями //ЧМСС — 1970 -т.1, №1 — Новосибирск. С. 40-62.

35. Моисеев Н.Я. Об одном способе повышения точности решений в разностных схемах, построенных на основе метода С.К.Годунова //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики — 1988, вып. 1. С. 38-45

36. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М. -Мир. 1972.-418 с.

37. Рождественский Б.Л., Яненко Н.К. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М. - Наука, 1968. - 591с.

38. Моисеев Н.Я. Об одной модификации разностной схемы С.К.Годунова //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики -1986, вып. 3.-С. 35-43

39. Куропатенко В.Ф., Сапожников А.Т. Расчет неустановившихся движений сжимаемых сред с фазовыми переходами //Численные методы механики сплошной среды. -т.З, №5 -1971г. -С. 93-105.

40. Lax P.D., Wendroff В. Difference Schemes for Hyperbolic Equation with High Order of Accuracy //Сотр. Pure Appl. Math. №17. - 1964. - P.381.

41. Мурашкина В.А., Неуважаев B.E. Новые типы вязкости для расчета ударных волн //Труды IV всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1973. - С. 105-112

42. Жуков А.И, Об одной разностной схеме для одномерной задачи гидродинамики //ВАНТ, серия: Методики и программы числ. решения задач мат. физики 1986, вып. 3. - С. 71-77