автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет пластинок на упругом основании интегральных уравнений

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА TPУЛОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНШШЮ-СТРОИТЕЛЫШЙ ИНСТИТУТ ЕМ. В.В.КУЛШШЕМ

На лрввах рукописи

CUCOEDA Елена Владимировна

УЖ 624.073.2:1539.3+518.5/(043.3)

РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА УПРУГОМ ОСНОВАННИ ПО ШОДУ ИНТЕГРШШ УРАВНЕНИЯ

05.23.1? - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учоиоЯ степени кяшшдята технических наук

Москва - 1992 г.

Работа выполнена в Московской ордена Трудового Красного Знамени ишмкерно-строитвдьнсщ институте ш.В.В. Куйбышева.

Научный руководитель - доктор физико-штематических

наук, профессор Ю.Д.Копейкин . Официальные оппоненты - доктор технических паук

а. Т. Чар лов

кандидат технических наук, доцент В.Ы.ХвЕсевнч

Ведущая организация - ЕНИИОСП пм.Героеванова

Заедзта состоится " ¥ " м/^/уля 1992 г. в У О часов на заседании спецкализированного совета К.053.II.06 в Московском ордена Трудового Красного Знашна инженерно-строительном институте Ем.В.В.КуЯбшвва ао адресу: Москва, Шлюзовая наб., д,8, в ауд. Я 409.

Автореферат разослан " £4"". " Фе&кглъ . 1992 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Просил Вас принять участие в защите н направить Ваш отзыв по адресу: 129337, г.Москва, Ярославское иоссо, д.26, ЫИСИ, Ученый Совет.

Ученый С01фзтарь специализированного совета, уяядшгят технических наук

Анохин Н.Н.

- 3 -

ОЩМ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ■

Актуальность теми. Пяаотинки на упругом основании широко попользуются в практике современного строительства. фундиганты я поли промышленных зданий, автодорожные п аэродромные покрытия, плотины, днияа резервуаров, имштатольные треки, в др. - вое это дорогоотоясдао оооружешзя, па изготовление которых расходуется большое количество маторлалышх я трудовых рооурЬоп. Возрастающие требования к конструкциям п шда плаотянок иа упругом ооновшшя и необходимость екокошн материалов, таяло как, например, цемент,, по-булдаат пнденеров д проектировщиков разрабатывать эф^акгсшцэ численные истода, позволяющие ооэдагь программа расчета на ЭШ для достаточно широкого класса зада*?.

В настоящее время к задачам расчета пластинок на упругом оо-новашш успешно применяются мотодо Еаряадтонного исчисления - катод конечных олемеитов, метод конвчншг разностей, вариациоино-раз-ноотнкй «зтод и др.

Сущвствощщмп препиутаеотЕамн по сравнению о ннш обладает метод потенциала, который дазг бозыознооть: I) уывиьавть порядок разнэриооти областд, в которой проводятоя аппроксимация, на одинн-цу, тем самым уменьпнгь порядок эадачн, при этом дискретизация выполняется но по воай области, всншлатсй пластинкой, а только ее границы; 2) рассчитывать бесконечно протянешшэ плаотинки; 3) применять одоную схему исследования как для одноовяаных, так я для многоовяэшх областей.

Полученная в результате использования этого метода снотома интегральных уравнэнггй второго рода о олнпуллряьаш .ядрами на грантов рассматриваемой области сводятся к опсТемэ алгебраических уравкеялЗ, которые оффзктивно решается о пркмаяониом ЭШ. Благодаря применении ЭШ возможно рвение задач изгиба пластин оложной

в плане конфигурации, с вырезами, бесконечно протяяепных пластин, оарьиропание краевых условий о действующих на пластинку нагрузок. Ц№. РйОощг

1. Получить фундаментальные решения аадач изгиба круглой плао-тянки на упругом основании о двумя коэффициентами постоял и кольцевой пластинки на упругом винклеровом основании.

2. С помощью полученных фундаментальных растений составить системы интогральных уравнений второго рода дая задач изггба круглой пластинки со свободным краем и шарнирным операндом по контуру и кольцевой пластинки с шарнирным ошзранвем.

3. На основании мэтода потенциалов разработать алгоритм рзшеш плоокой задачи изгиба пластин сложной конфигурации, лекапшх на упругом основании, при действия сосредоточенных сил н поперечной равномзрно-распределенной нагрузка.

4. Создать эффективно работатауо программу для расчета на ЭШ кольцевой и плане пластинки, лежащей на упругом винклеровом основании, подверженной действию равномерно раопроделонноЗ по кольцу нагрузки и изгибающего момента.

5. Последовать напряяенно-деформярованное состояние кольцово-го железобетонного фундамента, находящегося под действием сосредоточенной силы п изгкбащего момента.

Научная новизна. При помощи метода потенциалов для плоской задача изгиба пластинок на упругом основании о двумя характеристиками постели найдено (¡Еундзмангальноо решение п составлены системы интегральных уравнений второго рода с сингулярными ядрами ка гра-шще рассматриваемой пластинки. Вводэны новые вевдетванныа потенциалы. Выведены формулы скачка для сингулярных интегралов при стремлении параметрической точки к контуру пластинки. Предлсаен способ понижения порядка особенности сингулярного интеграла.

Найдено фундаментальное решение и составлены интегральные уравнения второго рода для задачи изгиба кольцевой пластинки на винклеровом упругом основании. Созданы алгоритм и программа расчета кольцевых пластин на упругом винклеровом основании, подверженных действию сосредоточенных, равномерно-распределенных сил и моментов. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния конструкции в вида кольцевого железобетонного фундамента.

Практическая ценность. Разработанная программа расчета на {ЭВМ дает возможность исследовать напряженно-деформированное состояние кольцевых пластин на упругом■основании при действии сосредоточенных, равномерно-распределенных сил и изгибающего момента. Пластинки могут быть о вырезами и без них. Программа внедрена во ВНШ1И Тегогопроекто при расчете железобэтонного кольцевого фундамента Али-БайрамлинскоЯ ГРЭС.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы доложены на Республиканской научно-технической конференции (г. Киев, I9S3 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых п специалистов до актуальным проблемам механики обслочвг (г.Казань, 1984 г.), на научно-технической конференции молодых ученых и специалистов (г.Тюмень, 1985 г.), на заседаниях кафедры "Сопротивление материалов" МИСИ им.В.В.Куйбышева (1984, 1991 гг.).

■ Пу&пткашш. По теме диссертационной работы опубликовано 5 статей.

Структура и объем работы. Диссертация ооотоит из введения, трех глав, выводов по главам, выводов по всей работе в целом, списка литературы (118 наименований) и приложения.•

Работа содержит 140 страниц основного текста, 27 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение диссертации дано обоснование актуальности рассматриваемой задачи расчета пластин на упругом основании, сформулированы цели настоящей работы и приведено краткое содержание всех трех глаз. На защиту выносится:

- вывод интегрального представления решения задачи изгиба пластинки на винклоровом упругом основании;

- вывод формул скачка и изучение граничных свойств введенных потенциалов;

- нахождение фундаментального ранения и интегральных уравнений второго рода изгиба кольцевой пластинки на упругом винклоровом основании;

- программа расчета па ЗШ кольцевой в плане пластинки на упругом основании.

В первой главе сделан краткий обзор диторатуры по методам расчета пластин, в том числе и на упругом основании.

Теория расчета конструкций на упругом основании возникла благодаря трудам Г. 3.Проктора, НЛЛ.Герсевапова, Б.Г.Галеркина, Г.КнрхгоЗфа, Б.Н.Немочкина, И.Г.Бубнова и др.

В настоящее время задачи изгиба пластин на упругом основании настолько разнообразны, что для ж решения применяются с различной степенью эффективности практичэски все существующие методы математической физики: конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностный, интегральных преобразований и другие.

Отдельный параграф {§ 2) этой главы посвящен краткому обзору литературы по методу потенциалов. Основное значение в разработке этого метода имели работы 2.Лаграняа (2773г.). А.Лежандра (1782-Г794 гг.), П.Лапласа (Г762-Г799 гт.), 2.Баусса (1840 г.). Основные идеи метода интегральных уравнении сформулированы в работах

Э.Бетти, Г.Герца, В.Чврутти, Д.Лауричэлла. Было обнаружено, что для правильной постановки рада краевых задач необходимо применение сингулярных интегральных уравнений (СИУ).

Теория одномерных СИУ разработана в трудах Н.М.Мусхалишвила и его последователей - Н.П.Векуа, В.Б.Хведелидзе, Ф.Д.Гахова и других.

Первые наиболее значительные работы по многомерным СИУ принадлежат Ж.Ниро, Ф.Дж.Триноми, С.Г.Михлину, В.Д.Купрадзе.

Решение интегральных уравнений » замкнутой форме оказывается возможным лишь в редких частых случаях. Общий подход к одределв-нюо неизвестных плотностей связан с использованием приближенных аналитических и численных методов. Поэтому эффективность метода потенциала особенно возросла о развитием ЭЦВМ и внедрением их в практику расчетов. Схема ар лфмв газации интегральных уравнений оказалась удойной для реализации на ЭВМ.

В результате рассмотрения в анализа применяемых в настоящее время методов исследований и расчета пластин на упругом основании выбран метод потенциала, который дает возможность:

- уменьшить порядок размерности области, в которой проводится аппроксимация, на единицу; т.е. уменьшить порядок задачи; причем выполняется только дискретизация ее границы;

- рассчитывать бесконечно протяженные пластинки;

- применить единую схему исследования как для одкосвязннх, так я для многосвязных областей.

В 5 3 этой жв главы сделан краткий обзор литературы о моделях упругого основания. Для дальнейших исследований в вывода интегральных уравнений принята модель основания Винилэра.

ро второй главе настоящей работы приводится интегральное представление решения задачи изгиба пластины без упругого оонования:

"(i) ' f f^Ml^ -

-IMfci-v3i}, . (I)

где прямоугольные скобки

С 3

обозначают разность значений функций, заключенных в этв скобки, взятых по обе стороны от вершины угла контура, имеющего номер L = 1,2, Мп - изгибающий

момент, Мп1 - крутящий момент, Q^ - поперечная сила, ос и ij

- два точки облаоги $ , ]) - цилиндрическая жесткость, р(эс)

- внешняя нагрузка, v я иг - иепрорьшно дифференцируемые в $ функции.

Уравнение (I) описывает прогиб w в произвольной внутренней точке ]? области $ , выраженный через прогиб, угол поворота, изгибающий и крутящий моменты и обобщенную поперечную о илу на граница области Г .

В § 5 главы П выведено фундаментальное решение задачи изгиба пластинки на упругом основании с двумя характеристиками постели. Однородное уравнение изгиба пластинки в солярных координатах:

V* W Vaii> -о, (2)

где V - прогиб пластинки, U z р - коэффициенты упругости основания первого и второго рода соответственно. V * а Д ' Д ~ двойной оператор Лапласа,

а Цг J df '

В безразмерных координатах уравнение (2) запишется в виде:

\

а? +

где обозначат: с; " 1 "* * А '» В

Ропвтше уравнения (3) нщзгоя и надо:

гдз Н, - излиндричоокая функция нулевого порядка, $ - параметр характеристического уравнения.

В обдам олучвз кормя характвряотичэокого уравнения равна ¡!и « й , где й « , 5 • О-ТГ .

Положил: « £ , й » соь , 6 « Ыл 2<р % где .

Роазкпо уравнения (2) запишется в виде:

ьг- А; М^-А^Л^'Ы; ик 1>

А® II «V /

« Н. (?е Ь (4)

гд9 озойначэцо} -

и?* )в М?)* ■

Еоян всаэтя сбозиачгния (5) в уравнение (4), то полутам:

.«г - А« й.(?) ♦ Л,Ч* Л+А (•

Для получашя фундаментального рсленяя уравнения (2) необходимо одолеть разложение в ряд цаяяндрячеокой функщп третьего рода индекса 0 :

1С

где 2 « 5 о , а функция Ш И У.(2) записы-

ваются а виде беоконечиюг рядов:

т ^

„., 2*"(т!>* •

Рс'^еша для задачи изгиба плаотшкн, лазсодой на упругом основании о дврдя коэффициентами посмели, принимает вид:

А{.($), (в)

а постоянная А находпгся нз граничного условия во формуле: д РС*

Л " 4]) *м2<г '

Далее сделан шеод интегральной формулы краэшх задач шгиба пластинка на упругой основании о дкуия коафЗащпзшгаш постели.

Для этого веодбн аналог цоркулы Вотгл:

- и5 «± $ мп(и)^ М -

и.Ма1

нз.-ыд^ш, .

Посла некоторых преобразований получается интегральное *гса-дзотво Грлка:

» ♦ ки)-и(1ИЛ>--|>У1»-»Ь)] ¿5 =

-- £ [V 9» - & и. М ♦ м. (V) fs-.il».и рг £ -

- р" £1* * I И»*.- ВД-М*}, ,„

справайШЕОо для соех непрерывно гшффвреяцируемьи: а & функций а I! V , Бцраздшя (7) является аналогом таореж Батан о взаимности ра5от. Пояучшшса пнрейошю (?) яспользуатся для вывода интегральной форма обдого реления уравнения лзгаба пластинки на упругом основавши с дау&я коэффициентами постели. Причем для этого в качестве

- II -

волсз/югатального решения и необходимо внести фундаггентальнов рошо-юзо И?'1 ; под йунктой V понимается прогиб пластинки, лаяеией на упругой основании, о некоторой краевой задаче, рассматриваемой как основное деформированное соотоянио. С учотс.ч овойства дельта-фунгада: Дирака пояучаатоя:

«ю * ^ ^'

^^^{■а^сг ^ 1} {им1^--

I

Сравнивая соотавляашзо. интегралы формулы (7) о теорией гармо-иэтеокпг фупкцкЗ порвыэ два контурных интеграла назван» потегодта-лалта простого н двойного сйоэй о плотноотдад в вядо поперечной силы п изгабаюсого момента соответственно. Трэтий коятуртй интеграл назвал кэгобшц потовдяалоц, т.к. ядро» с того штеграла является йзгябтазгв Ш1Я1РГ, четвэргиЯ - сдвиговым потенциала?! о ядром в вида обобщенной погорелой оили. Интеграл по плскадч назван грузовшл потенциалом, т.к. ядром является внешняя нагрузка, действующая на Есслвдуеиуо область плаотисш.. КонтуртшЯ одгаговоЗ потенциал, а такяа произведено от контурного изгибного потенциала, будучи сингулярными интегралами, терпят разрыв первого рада на пеоу&ен конь туро Ь .

В работа рассмотрена два граничных уолошя плаатдикн - глотков вакрэпланив по контуру в свободное описание. Для каждого случая выведены формулы окачка к изучены овойотва введенных шзш потенциалов.

Выведены формулы для определения напряаошй.

Полученные в § 6 гршпгспкэ интегральные уравнения поставленной краевой задача о раочета плаотянка со евдбодяшд краем представляют

собой оиотсму двух интегральных уравнений второго рода о олнгуяяр-хшми ядралш. Первое из этих уравнений не предотавляат затруднений при редуцировании ого в система линейных алгебраических уравнений, т.к. особенность ядра является оиигулярноЯ, а для вычисления сингулярных интегралов о известными ограниченияш пригодны лабно форму-лн механических квадратур. Второе уравнение

I * $

включает интеграл, прямое значение которого в тачках границы L не существует. Имеется в виду его предельное зхачениэ, которое, как показано в § 8 настоящей работа, существует. Для этого принимается

кг » С » ссплЛ .

Тогда можно записать, что:

Cr-C^íqL-pfc*)«"»,-

I. ®

Таким образом рзгуляризовать нужно интеграл:

i-Hjtíu-'bpári*1!"

о

u Л

ш:

Ь

3 результата записываем:

+

МП

Золученный интеграл в правой часта формула (9) при тпрерывно яиффэронцяруемой плотности имеет оообешюоть порядка на

эдтлпцу моньшув, чем исходный интеграл. Теперь его главное значение также можно определить по обычным формулам механичооких .. квадратур.

В главе Ш наото.тдай работы представлено аналитическое решение оовск?.с,!0тритаой и обратносшягатричноЗ задач изгиба кольцевой алаотинкя переменной толщины на упругом основании.

В § 9 главы Ш найдено фундаментальное решение ооооимметрячной задачи изгиба кольцевой пластинки на упругом винклеровом оонованпи, т.е. прогиб V/ (<£у , рассматриваемой пластинка при действии единичной нагрузка Л ,дайь?вуюпийна окруанооти радиуса ^ . Соородоточоннач единичная нагрузка ооответотвует плотности распределенных сил и выражается дельта-функцией Дирака:

Окончательная фор:.тула для фундаментального решения имеет вид:

щг »V■ с, - СЛ* ■^ А Ц|)- да -

* ¥ ¡¡ (Ч

гд9

t Kb il ( и i - Í-)- i)- и i - i) V

♦^'(bjrtírlrt'fti-i-)-

С. остается неопределенной, чтобы была свобода поступательного

I

пзрзмзщения всей плаотинкл по вертикали, кря костного тола. С поглодав иаЯдошого фундаментального решения яооледована осеоимметрич-аая задача лзгяба кольцевой плаотяики на упругом ооновазиш.

3 § 10 глаш Ш выведено фундаментальное решение и составлен» зшгулярнцэ лнтогралышэ уравнзния для обраиюсямматрлчной задата язгяба кольцзеой пластпшш на упругом винхлоровом основания.

В § II на основе получоннш: результатов прождано ясслодова-;шо НЕПряяохшо-доХорлдаровахшого состояния кольцевого .-лолозоботон-того {¡ундаглента даровой трубы высотой 170 м. Сундамои? представлен, как толотая кольцевая плита па упругом винклеровом основании прл дэйотвпи собственного веса трубы в видо рашоморио распродолон-псЯ :;ольцовой погрузки д ветровой погрузки в виде изгибащого момента. Рапрез л клал рассматриваемого фундамента представлен на рпо.1.

Составлен алгоритм в разработана программа5^ " РЬОБК " для

паплеашга п отладке нрограмш участвовали сотрудники ЬШТ доц. И лс то в Л.П, ;яи. Базаров Б, В.

Рис Л.

расчета на ЭВМ применительно к СМ-1420 для операционной системы Я СХ и для ШЛ - совместимых персональных дЪЫ АТДТ. -Программа написана на языке РОЯТШ) -

В программе могут варьироваться геометрические характерцетики кольцевой пластинки, механические характеристики, положенно и величины нагрузок. В результате расчета получены величины прогибов, изгибаодих моментов и напряжений. Расчет проводился по программа, реализующей уравнения метода потенциалов. Для сравнения был выполнен расчет по методу конечных элементов (НЮ), При расчете элементы работали на изгиб из плоскости пластинки. Упругое основание аппроксимировалось пружинами, расположенными в узлах дискретной схемы. Наблюдалось достаточно точное совпадение результатов.

По разработанной программе " РЮБК " сделан расчет кольцевого фундамента (рисЛ) под действием собственного веса трубы и ветрового изгибающего момента. Получены графики напряжений (рис.2-4) и по ним подобрана поперечная и продольная арматура (рис.5) в фундаменте трубы.

Сделано исследование концентрации напряжений возле дымоходных проемов фундамента трубы. Дяя этого исследуемый фундамент представлен пакетом пластинок, кавдая из которых имеет в плане такую же форму, как поперечное сеченда реального фундамента. На рис.6 показана одна из таких плоских пластинок.

-ÍB-

бх

■г. , Рйс.Ц.

<89>í 8

50 tí 25 fé<#>25

Fuc.b.

Нагрузка р - равномерное давление веса всей трубы на фундамент. Нагрузка - »то реакция упругого основания.

Более точно, по сравнению о методикой гипотезы Кирхгоффа, найдены напряжения в плоском элементе. В угловых зонах А и В на рио.6, величины напряжений имеют завышенные значения. Далее выяснив, что распределение напряжений, которые возникают в сечениях, показанных пунктирной линией на рис.7, подчиняются линейному зако ну, можно убедиться, что методика расчета фундамента, как пластив ки, лежащей на упругом основании, верна. Получен коэффициент концентрации напряжений в трубе возле дымоходных прямоугольных проемов ( к =1,4). Дня этого принято приближенно, что сжимающие напряжения в трубе распределяются примерно равномерно в направлении толщины отвнки грубы. Поэтому цклиедричеокую оболочку трубы ыояс-

V

но мысленно разрезать по образующей и развернуть в плоскость, имеющую проемы. При ожатии такой плоскости в ней возникает такое же распределение напряжений, как и в цилиндричеокой оболочке трубы. Таким образом, приходим к схема, изображенной на рис.7, где указана упругая бесконечная плоскость, простирающаяся во все стороны и имеющая прямоугольные вырезы, которые расположены на оси 0х1 , регулярно повторяясь через определенные промежутки на всей беоконачяоЯ оси.

Р и о. 7

По найденному иа пунктярной линии распределении напряжений определена концентрация напряжений вблизи днмоходоого выреза трубы. КооЗфаци<аит концентрация напряжений оказался равным 1.4.

ОБЩИЕ ШВОДО

1. Получено интегральное представление! решения задачи изгиба пластинки на упругом вякклеровом основании.

2. Получены интегральные уравнения второго рода для краем к задач ззгиба пластинки на упругом эшпслсровом основании пря свободном опирании п местком закреплении по контуру пластинки.

3. Составлены новые вида нотвкцяалов - изгибный а одвиговый. Изучены шс граничные свойства при отрешении параметрической точки к границе. Влзодеш формулы окачяа.

4. IIa основания решения системы сингулярных интегральных уравнений пожучены формулы для определения напряжений в задаче изгиба пластпнки па вянкларовом упругом основании.

5. Представлен способ понпязнея- порядка особенности сингулярного интеграла.

6. Получено фундаментальное решение задачи изгиба кольцевой пластинка на упругом вянкдеровом основании.

7. С пометою найденного фундаментального рекшшя ооставлэна система интегральных уравнений второго рода для задачи изгиба кольцевой пластинка на винклоровом упругом основания о шарнирным оштранпегл по контуру.

8. Разработаны офЬоктптый алгоритм и программа для расчета па ЭЕЛ кольцоеой в плане пяастшпся, лежащей на упругом основании, при действии сосредоточенной, равномерно распределенной нагрузок в изгибающего момента.

9. Исследовано напряженно-деформированное состслшо кольцово-

го железобетонного фундамента дымовой трубы, находящегося под отелом равномерко-раопределонной нагрузки а изгибающего кшоита.

10. Последовала концентрация напряжений вблизи дышходащ; проемов фундамента трубы я найден коэффициент концентрации напряжений. " ■ Основное содержание диссертация опубликовано в работах:

1. Копейкин J0.Д., Сысоева Б. В. Сингулярные интегральные ура нения в задаче об изгибе плаотянка, леашцей на упругой оснований*

- Тезисы докладов Республиканской научно-токшгчеокой вонфоренщщ, Интегральные уравнения в прикладном моделирования. Киев, 1983. ~ Ч. I. - С. 92-96. ;

2. Копейкин Ю.Д., Сыооава Е.В. Потенциалы и кнтеграяышс ур нения пластишш на упругом ооновашш. // Строительная механика а расчет оооружаний. Ы., 1984. - # 4. - С. 19-22.

3. Копейкин Ю.Д., Сысоева Е.В. Потенциалы и иктегральныз уравнения задач, изгиба пластин иа упругой основании. - Труда Тюменского инженерно-строительного института, Темень, 1985. -

0. 71-74.

4. Людковокий A.M., Сйооова Е.В. Использование аналогии рай ты оболочек и плит на упругом ооновашш при Еоследоваяиях воздай вия локальных нагрузок на оболочки. - Тезисы докладов У научно-практической конференции молодых учаних ц опэцйалнотов, Ы., 1986

- С. II—12.

6. Людковокий a.m., Сиооава Б.В. Об использовании аналогия работы оболочек и шит на упругой основании upa дэйотши концонт рированной нагрузки. - Сборник статей. // Проотранотвенные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектароЕа-нив). - Вып.6. -Ы., 1991. - С. 43-62.