автореферат диссертации по строительству, 05.23.02, диссертация на тему:Расчет напряженно-деформированного состояния и устойчивости оснований фундаментов, грунтовых сооружений и массивов на основе методов теории функций комплексного переменного

На правах рукописи

Ушаков Андрей Николаевич

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОСНОВАНИЙ ФУНДАМЕНТОВ, ГРУНТОВЫХ СООРУЖЕНИЙ И МАССИВОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Специальность 05.23.02 - «Основания и фундаменты, подземные сооружения», 05 23.17 - «Строительная механика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2007

173278

003173278

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный архитектурно - строительный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Богомолов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор Цветков Владимир Константинович, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

доктор технических наук, профессор Скибин Геннадий Михайлович, Южно-Российский государственный технический университет (г. Новочеркасск)

Ведущая организация Пермский государственный

технический университет

Защита состоится «12» ноября 2007 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в ГОУ ВПО Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу 400074, г.Волгоград, ул.АкадемическаяД, ауд Б-203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Автореферат разослан <Ш» октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Кукса JIВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертационной работы. Бурный рост объемов строительства жилья и производственных зданий в последние годы обусловил острый дефицит территорий, пригодных для этих целей. В качестве строительных площадок нередко используются участки земной поверхности сложного рельефа откосы, склоны, насыпи и др В то же время вследствие увеличения проемов в промышленном строительстве и числа этажей в гражданском строительстве резко возрастают нагрузки на фундаменты. Это обстоятельство побуждает к разработке методов расчета оснований сооружений с учетом фактора сложного рельефа. Данный фактор многократно увеличивает опасность потери сооружением устойчивости в виде выпора грунта из под фундамента, что делает актуальной задачу разработки методов расчета оснований сооружений, возводимых на участках земной поверхности сложного рельефа по первой группе предельных состояний - по устойчивости или несущей способности

Целью диссертационной работы является решение второй основной и основной смешанной задачи плоской теории упругости для полубесконечных областей со сложной криволинейной границей и формализация полученных решений в компьютерную программу для решения инженерных задач в области фундаментостроения и геотехники.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработать функцию, конформно отображающую нижнюю полуплоскость на исследуемую полубесконечную область.

2. Вычислить комплексные потенциалы, являющиеся исходным пунктом для вычисления компонент напряжений.

3 Сопоставить полученные решения с классическими решениями соответствующих задач.

4 Разработать компьютерную программу, в которой должны быть формализованы полученные решения, с целью их использования при решении прикладных инженерных задач фундаментостроения и геотехники

5 Сопоставить результаты, получаемые на основе использования разработанной программы, с результатами наблюдений за поведением реальных объектов в натуре для принятия решения о возможности использования данного программного продукта в строительной практике

Достоверность результатов исследований, выводов и рекомендаций диссертационной работы обусловлена

1 Теоретическими предпосылками, опирающимися на фундаментальные положения методов теории функций комплексного переменного, математической теории упругости и механики грунтов

2 Адекватным соответствием результатов, получаемых на основе разработанных решений, с результатами известных решений классических задач

3. Удовлетворительным совпадением результатов расчетов с результатами наблюдений за поведением реальных объектов в натуре

Научная новизна диссертационной работы' 1 Получено аналитическое решение второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полубесконечных односвязных областей методом комплексных потенциалов.

2. Получено аналитическое решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для полубесконечных односвязных областей путем сведения к задаче сопряжения

3. Разработанные решения являются обобщением классических решений граничных задач для полуплоскости и задачи о штампе с горизонтальным прямолинейным основанием

Практическая значимость работы. Диссертационная работа является частью научных исследований, проведенных на кафедрах «Информатика и

вычислительная математика» и «Гидротехнические и земляные сооружения» ВолгГАСУ в 1996-2007 тг

Полученные решения и созданная на их основе компьютерная программа могут быть использованы для

оценки напряженно - деформированного состояния оснований сооружений и грунтовых массивов со сложной формой поперечного сечения,

расчета устойчивости оснований сооружений, естественных склонов, откосов различного рода грунтовых сооружений, а также откосов горных выработок и отвалов, расчета сил оползневого давления на элементы противооползневых удерживающих конструкций, курсового и дипломного проектирования студентов строительных вузов

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались и были опубликованы в материалах ежегодных научно-технических конференций ВолгГАСУ (1996-2007 г г.), Международной конференции «Энергосберегающие технологии, альтернативная энергетика и проблемы экологии» (Турция, г Кемер,1996 г), V Международной конференции по проблемам свайного фундаментостроения и фундаментов глубокого заложения (г. Тюмень, 1996 г.), Международной научно - технической конференции «Геотехника Беларуси наука и практика» (г. Минск, 2003 г ), IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г), Международном геотехническом симпозиуме «Превентивные геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий» (г Южно-Сахалинск, 2007 г ), Международной конференции «Геотехнические проблемы XXI века в строительстве зданий и сооружений» (г Пермь, 2007 г)

Личный вклад автора заключается в

- использовании, полученной ранее в соавторстве, отображающей функции для решения второй основной и основной смешанной задачи плоской теории упругости,

- решении второй основной и основной смешанной граничных задач плоской теории упругости для полубесконечных односвязных областей,

- разработке компьютерной программы для решения прикладных задач фундаментостроения и геотехники

На защиту выносятся 1 Решение второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полубесконечных областей с криволинейной границей

2. Решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для полубесконечных областей с криволинейной границей.

3. Результаты решения частных задач геомеханики

4 Разработанная при участии автора компьютерная программа

Результаты научных исследований внедрены: При выполнении проектов устройства новых и реконструкции существующих фундаментных конструкций на объектах в Пермском крае и Тюменской области, в учебном процессе кафедры «Гидротехнические и земляные сооружения» ВолгГАСУ в 1996-2007 гг. и при проведении курсового и дипломного проектирования

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 12 научных статьях, одна из которых в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы общим объемом 125 страниц, включает в себя 33 рисунка и 3 таблицы

Автор выражает глубокую благодарность коллективам кафедр «Информатика и вычислительная математика» и «Гидротехнические и земляные

сооружения» ВолгГАСУ за оказанную помощь и поддержку и научному руководителю - заслуженному работнику высшей школы РФ, советнику РААСН, доктору технических наук, профессору АН Богомолову за ценные советы, критические замечания и помощь, оказанную автору во время работы над диссертацией

Основное содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель работы и определены основные этапы ее достижения, указаны научная новизна, степень апробации, практическая значимость и выносимые на защиту положения, представлены данные о ее практическом внедрении

Первая глава посвящена анализу известных решений задач теории упругости, полученных методом комплексных потенциалов Колосова -Мусхелишвшш, которые использовались для анализа напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов при рассмотрении прикладных задач фундаментостроения и геомеханики

Научные исследования, связанные с созданием и совершенствованием методов решения таких задач на основе МТФКП проводили в разные годы отечественные и зарубежные ученые, среди которых Д.М Ахпателов, АН Богомолов, А Л.Гольдин, Ж.С.Ержанов, БЖумабаев, В А Игнатьев, Э.В Калинин, Н С Курдин, В Я Степанов, В Н.Телиянц, 3 Г Тер-Мартиросян, В.К.Цветков Н.А.Цытович, A Verruyt, W Warren и другие

Для успешного использования МТФКП необходимо знать функцию, совершающую конформное отображение исследуемой области на круг или полуплоскость

Наиболее известными отображающими функциями являются функции

Н С Курдина - В Н Телиянца

I—

гВ

(1)

где г = х+1у, £ = £ + гт], т) < 0,7-коэффициент пропорциональности, 3 Г Тер-Мартиросяна — Д М Ахпателова

г = еХО = с

ВС-Ь

(2)

где г=х + 1у, С = £ + ?7 ^ 0, > О, В, а,Ъ - постоянные величины, с-коэффициент пропорциональности, Н. А Цытовича - 3 Г Тер-Мартиросяна

С +

А-Ь£

В1

(3)

£+а~1 (Г-02 (¿"-О8]'

где г = х+ту,£ = % + 1Г]> 77<0, А,В,С,а,Ь - постоянные коэффициенты, к-коэффициент пропорциональности, В.К Цветкова

"г « = 1СМ+1Г+1 ■ (4)

1+ъ *=о

где. г = х+1у,С = <!; + щС0,С_1,С1, С,3 - вещественны, которая осуществляет конформное отображение внутренности единичного круга с границей у в плоскости С, на полуплоскость 5 с криволинейной границей Ь, расположенной в плоскости г •

Функции (1-3) осуществляют отображение нижней полуплоскости, а функция (4) - круга, на исследуемую область 5

Полученные на их основе решения использованы для анализа напряженного состояния и устойчивости оснований сооружений, откосов, склонов и горных массивов

А.Н.Богомоловым была предложена отображающая функция вида

(5)

где г = х+гу, £ = гщ, г) < 0, А,В,с1,съ, ,с1п+1,а,Ь > 0 — действительные числа

Проведенный в диссертационной работе анализ показывает, что функция (5) является прямым обобщением отображающих функций (1-3). Она позволяет получать достаточно широкий спектр криволинейных границ для решения прикладных задач фундаментостроения и геомеханики и поэтому будет использована нами в дальнейшем.

Во второй главе диссертационной работы получено решение второй основной граничной задачи теории упругости на основе использования отображающей функции (5).

Приведем постановку и решение задачи.

Рассмотрим в плоскости г полубесконечную область Л (рис.1). Функция (5) осуществляет отображение нижней полуплоскости на исследуемую область S. Пусть на границе L области S, занимаемой упругим телом, действуют g,(t) и g2(t) - граничные значения компонент смещения. Необходимо определить напряженное состояние в 5.

Известно (Мусхелишвили, 1966 г.), что граничное условие имеет вид

а\ О

где <p(t),y(t),ç'(t) - граничные значения голоморфных в нижней полуплоскости функций 1-p{z),}ff{z),<p\z), причем

<p(z) = o( 1), y(z) = c+o( 1), <p'{z) = o{^,

где с - некоторая константа.

ImZ>0

Y ,

N(t)

T(t)

ImZ<0

Рис. 1. Расчетная схема для решения поставленных задач

Будем считать, что при больших значениях | г | заданные функции подчинены условию

g¡ + lg2=G+o(1),

где б -комплекснаяпостоянная

Кроме того, полагаем, что +щ2 удовлетворяет условию Гельдера, включая бесконечно удаленную точку

Постоянные К =3-4ст и // = 0,5£7(1+«х), где Е - модуль упругости, а а-коэффициент Пуассона - упругие постоянные Ламэ (в обозначениях Н И Мусхелишвили)

Умножая обе части соотношения (6) и ему сопряженного на ядро Коши и, интегрируя полученные выражения по границе полуплоскости, получаем формулы для вычисления комплексных потенциалов В процессе вычисления интегралов типа Коши были использованы свойства и техника вычисления этих интегралов по бесконечной прямой от функций комплексного переменного, имеющих особенности в виде полюсов высокого порядка

Полученные соотношения позволяют вычислять значения компонент напряжения в точках исследуемого массива по известным формулам (Мусхелишвили, 1966 г)

= 2{ф(<Г) + Ф(0}= 4ЯеФ(0, (7)

а, - а, + гпт = Ф'(0 + «>'(<Гт0}

В третьей главе диссертационной работы получено решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для областей, полученных при помощи отображающих функций г = «(¿") и (5)

Для решения этой задачи применяется метод, разработанный академиком Н И Мусхелишвили, в основе которого лежит так называемая «задача сопряжения» (Мусхелишвили, 1966 г.)

Приведем постановку и основные этапы решения смешанной задачи в общем случае и в случае, когда отображающая функция имеет вид (5)

и

Рассмотрим в плоскости г полубесконечную область S и пусть функция г = (о{£) осуществляет отображение нижней полуплоскости на S

Пусть контур L' представляет собой совокупность п отрезков (atbt) действительной оси на которых заданы компоненты смещения gt(t) и g2(t), а на остальной ее части L" - компоненты напряжения N(t) и Г(г). Необходимо определить напряженное состояние в S

Поскольку известно общее решение первой основной граничной задачи (Мус-хелишвили 1966 г.), то влияние заданных на L" сил удобнее учесть отдельно, в соответствии с этим можно полагать, что на L' составляющие N(t) и T(t) равны нулю.

Сложим левые и правые части формул (9), и, переходя к сопряженным значениям, получим

<7, -,ТЛ ==ФЮ+Щ?)+-^к0Ф7(?)+®'(0,Р(0} (8)

Формула, выражающая компоненты смещения и и v имеет вид (Мусхели-швили, 1966 г )

гр. (и+!v>=к <р(о - охстГ) -по (9)

Для получения общего решения распространим определение функции Ф(^) на верхнюю полуплоскость lmf>0

В результате первая из формул (7) имеет прежний вид, выражение (8)

переходит в соотношение _

о,-iTf, = Ф(<Г) - Ф(?) +[оКО < а>ХО - аКО'оАО^ХО + (Ш)

+ { ШГ)1а>'(С)-ТЩ/еК^Щ).

а формула (9) , - в соотношение

2ftiu'+tv') = Ф(С)+Ф(?)}-е>ХО{<ХО/(о\0~«(?)/®'(?) ~ (П)

Граничные условия принимают вид

Ф+(О-Ф~(О = 0 на L", И'ЖОГ + К[й)'(ОФ«Г= 2Mg'(t) на L'

и решение рассматриваемой задачи дается формулой

0)Ч)ф(0=ЁЫй г £f dt+x0(C)R(O,

где я-г I-л a(t)(t ~ С,)

(C-^ic-b^,

1=1

у = a+ i ft- постоянная, a R{0 — некоторая рациональная функция

Если в качестве отображающей функции принять функцию (5), то постановка и решение основной смешанной задачи будет выглядеть следующим образом

Пусть на части L' границы L действуют компоненты смещения g^t) и g2(f), а на остальной ее части L" - компоненты напряжения N(t) и T(t). Необходимо определить напряженное состояние в S.

Функции напряжения Ф(0 и на участке V имеют вид

а на участке L",представляют собой известное решение (А.Н.Богомолов, 1996 г.). Соответствующие формулы приведены на страницах 42 - 43' диссертации

Тогда на участке L = L'+L" выражение для функций напряжения Ф(^)и ЧЧО представляет собой сумму соответствующих функций напряжения, определенных на каждом из участков Подстановка полученных выражений в (9) дает решение задачи

В частном случае формулы, полученные в данной главе, дают решение первой и второй основной задачи теории упругости для полуплоскости (Мусхелишвили, 1966 г) и задачи о штампе с прямолинейным горизонтальным основанием (Абрамов, 1937 г., Мусхелишвили, 1941 г.)

В четвертой главе диссертационной работы приведены краткое описание разработанной нами на основе полученных решений компьютерной программы "Soil mass" (Богомолов, Ушаков, 2007), примеры ее использования

при решении прикладных задач фундаментостроения и геомеханики и представлено сопоставление результатов расчетов реально существующих объектов с результатами соответствующих натурных наблюдений

Компьютерная программа написана на языке Равка1; в ней формализована методика построения наиболее вероятной поверхности скольжения и вычисления величины коэффициента устойчивости, предложенная проф В К Цветковым (1979 г.) При построении границ областей пластических деформаций используется прием, предложенный проф А Н Богомоловым (1996 г) Напряжения в точках исследуемой области определяются на основе полученных нами решений

Программа позволяет

1 Проводить построение симметричных границ односвязных областей, которые имитируют внешние границы грунтовых массивов сложного поперечного сечения,

2 Вычислять численные значения всех компонент напряжения в точках грунтового массива (плоская задача) и проводить построение картин их изолиний,

3 Проводить построение наиболее вероятных линий скольжения и вычислять соответствующие значения коэффициентов устойчивости, представляя результаты расчетов в табличном виде,

4. Проводить построение областей пластических деформаций, исходя из условия пластичности и на основе приближенного решения смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунта (Богомолов,1996), определять ориентацию площадок наиболее вероятного сдвига в точках грунтового массива,

5 Строить эпюры сил оползневого давления, вычислять их равнодействующую и т.д

Программа отличается быстродействием и имеет развитый интерфейс, с которым удобно работать

Рассмотрим примеры решения прикладных задач

I Анализ напряженно - деформированного состояния грунтового откоса и расчет его устойчивости

Рассмотрим криволинейный откос сложенный грунтом, имеющим сле-физико - механические свойства плотность грунта р=2000 кг/м3; угол внутреннего трения ф=15°, удельное сцепление С=45 кПа, коэффициент бокового давления %о=0,75, при этом величина приведенного давления связности (сГо^С^Ь^ф)'1) осв=1,05 Высота откоса Н=8 м, а его угол наклона ¡3=35° К поверхности откоса приложена равномерно распределенная нагрузка, шириной (1=0,5 Н, ее интенсивность ц=2 р§Н

На рис. 2 и 3 приведены картины изолиний компонент напряжения, ориентации площадок наиболее вероятного сдвига, наиболее вероятная линия скольжения и области пластических деформаций Величина коэффициента устойчивости, подсчитанная по формуле В.К.Цветкова составляет /£=1,04 Это подтверждает то обстоятельство, что практически вся НВЛС находится внутри области пластических деформаций.

а)

в)

г)

Рис 2 Картины изолиний компонент напряжений в теле однородного откоса а2 (а), Ох (б) и Тая (в) и наиболее вероятная линия скольжения и направления ориентации наиболее вероятных площадок сдвига в точках грунтового массива (г)

Рис. 3. Области пластических деформаций в теле однородного грунтового откоса

П. Анализ напряженно-деформированного состояния грунтовой насыпи и расчет ее устойчивости.

На рис. 4 и 5 приведены картины изолиний компонент полного напряжения в грунтовой насыпи автомобильной дороги, подверженной действию нагрузки от автотранспорта, наиболее вероятная линия скольжения и области пластических деформаций. Расчет коэффициента устойчивости дает величину К= 1,28.

Рис. 4. Картины изолиний компонепт полного напряжения аг (а); ох (б) и т2х (в) и наиболее вероятная поверхность разрушения насыпи автодорожного полотна (г)

а) б)

Рис 5 Области пластических деформаций в насыпи с углом Р=30°, <р=15° и С5се=0,47 (а) ¡3=40°, <р=10° и ас,=1,5 (б)

Ш. Определение несущей способности оснований заглубленных ленточных фундаментов

Использование известного приема позволяет имитировать полуплоскость с прямоугольным вырезом на ее границе Это, в свою очередь, дает возможность исследовать напряженно-деформированное состояние и определять величину несущей способности однородного основания заглубленного ленточного фундамента

На рис. 6, 7 приведены картины изолиний компонент полного напряжения, возникающего в основании заглубленного ленточного фундамента при действии равномерно распределенной и трапециевидной нагрузки

Из рисунков видно, что в первом случае картины изолиний являются симметричными относительно вертикальной оси симметрии расчетной схемы, а во втором - наблюдается явная асимметрия. То же самое можно сказать и о картинах направлений углов ориентации наиболее вероятных площадок сдвига в точках грунтового массива и о наиболее вероятных линиях выпора грунта, которые изображены на рис 8 и 9

На рис 10 приведены 1раницы областей пластических деформаций грунта в основании заглубленного фундамента при условии, что основание однородно, а физико-механические свойства грунта следующие: р=2 т/ж3 ;ср=15°, С=0,117 МПа, £о=0,75 (р,ф,С, - плотность, угол внутреннего трения, сцепление и коэффициент бокового давления грунта). Эпюра нагрузки имеет форму трапеции, причем, д, принимает три значения, а величина п-ЧхЫг посто-

янна и равна 7 = 1,5

|Ёр

--- —

а) б)

Рис б Картины изолиний безразмерных напряжений с2 (а) и хХ2 (б) в основании заглубленного фундамента, полученные при имитации весомой полуплоскости с прямоугольным вырезом

Рис 7 Картины изолиний напряжений о% (а) и (б) в основании ленточного фундамента мелкого заложения при2Ъ/Ь= 1,5, д]=10уЬ и q2=20'yh

Рис 8 Картина ориентации углов наиболее вероятного сдвига в основании ленточного фундамента мелкого заложения при 2Ь/Ь=1,5, д^ЮуЬ и q2=20Yh

Рис 9 Ориентация площадок наиболее вероятного сдвига и наиболее вероятные линии выпора, построенные в правую а) и левую б) стороны от фундамента

> ---1 (

У

а) б)

Рис. 10. Границы областей пластических деформаций при т| = 1,5 и qi = 15yh(a); q i = 13 "yh (в)

ГУ. Определение сил оползневого давления в однородном откосе

Как показано нами в работе (Богомолов и др.,2007) определении величины оползневого давления сводится к выполнению некоторого набора операций. Все вычислительные операции формализованы в разработанной нами программе.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть однородный криволинейный откос с углом Р=38°; сложен грунтом со следующими физико-механическими свойствами: угол внутреннего трения 9=12°; удельное сцепление С=0,039МПа; плотность р=1,81 т/мъ; коэффициент - бокового давления для глинистого грунта принят равным £о=0,75.

Необходимо построить эпюру сил оползневого давления в сечении А-А при условии, что величина проектного локального коэффициента устойчивости Кпр=3.

На рис.11 приведена расчетная схема метода теории функций комплексного переменного, на которой показаны наиболее вероятная линия разрушения, локальные восходящие гипотетические линии разрушения и положение оси А-А удерживающего элемента.

Считается, что призма разрушения сползает по поверхности разрушения как единое целое, следовательно, должно выполняться условие равенства всех локальных коэффициентов устойчивости величине проектного коэффициента устойчивости.

Если «фиктивные» сдвигающие силы отрицательны, это значит, что на самом деле они играют роль удерживающих сил, следовательно, они не учитываются при подсчете сил оползневого давления.

у. А

к

А

Рис. 11. Расчетная схема метода теории функций комплексного переменного

Рис. 12. Эпюра оползневого давления для рассмотренного примера

На рис.12 приведена, построенная по расчетным данным в оболочке Ма'сЬСас! после выполнения всех перечисленных выше процедур эпюра оползневого давления для рассмотренного примера. Как видно из рисунка, эпюра знакопеременна и состоит из двух криволинейных треугольников. Черным цветом обозначена собственно эпюра оползневого давления, которая будет выступать в роли нагрузки при расчете, например, свайного удерживающего элемента противооползневой конструкции. Серым цветом обозначена «отрицательная» часть эпюры, которая не включается в нагрузку при расчете удерживающего элемента. Зная размеры и форму эпюры легко подсчитать величину ее равнодействующей и определить точку приложения последней. Отметим, что вертикальные координаты на рисунке имеют размерность долей Ь - высоты откоса, а горизонтальные измеряются в долях р^Ь.

Проведем сопоставление поведения реальных грунтовых массивов с результатами расчетов по анонсируемой программе.

Пример 1. Г. Мочак описывает случай, когда в Германии на участке Лейпциг - Зейц на карьере «Цинзендорф» в экскаваторном уступе высотой 17 м при угле откоса ¡3=36° образовался оползень, который привел к аварии отвального моста. Согласно расчету методом К.Терцаги, коэффициент устойчивости нагруженного откоса К= 1,19, но такое значение К противоречит

физическому смыслу. Используя разработанную нами компьютерную программу определяем, что величина коэффициента устойчивости для условий данной задачи равна #=0,88. Полученное число лишь на 12% отличается от единицы, что говорит об адекватности полученного результата.

q

i |ч ,__

^йщдрг

Рис.13. Расчетная схема МТФКП Рис.14. Расчетная схема\примера№ 1 и углы а

для примера № 1 с областями плас- ориентации наиболее вероятных площадок

тических деформаций и наиболее сдвига в точках грунтового массива

вероятной линией скольжения

На рис.13 приведена левая половина расчетной схемы МТФКП (ввиду ее симметричности для рассмотренного выше примера, а на рис.14 дополнительно изображены углы ориентации а наиболее вероятных площадок сдвига в точках трунтового массива.

Пример. 2. В работе Н.Н.Маслова описывается разрушение силоса, связанное с выпором грунта из под фундамента силоса, произошедшее в США в 1940 г. Критические нагрузки на основание согласно H.H. Маслову, равны 0,276 МПа и 0,282 МПа, а соответствующие им коэффициенты устойчивости основа-ния определены в 1,28 и 1,31. Это обстоятельство говорит о том, что основание силоса должно находиться в устойчивом состоянии (не разрушаться), чего, однако, не наблюдалось в действительности. Для определения областей предельного состояния грунта (ОПСГ) и критической нагрузки использована разработанная нами компьютерная программа.

Процесс слияния ОПСГ под фундаментом, при всех прочих равных оговоренных выше условиях, начинается при ф=7,5°, что наглядно изображено на рис. 15. Анализ результатов вычислений позволил установить, что величина критической нагрузки на рассматриваемое грунтовое основание, оггреде-

ленная из условия слияния областей предельного состояния грунта, располо-ясенных под фундаментом, равна q=0,195 МПа, а величина коэффициента устойчивости основания при данной интенсивности нагрузки равна К=1 ,05. Порядок вычисления и все данные, необходимые для расчета приведены на

силоса при значениях угла внутреннего трения ср=7,5°

Основные выводы

1. Существующие в настоящее время методы расчета несущей способности оснований сооружений и устойчивости грунтовых массивов включают допущения о невесомости основания, о возможности замены грунта, лежащего выше подошвы фундамента, распределенной нагрузкой, о введение в расчет величины коэффициента бокового давления при помощи некоторых искусственных приемов и т.д. Следовательно, существует необходимость в разработке новых решений, которые исключали бы эти допущения и позволяли учитывать большинство факторов, оказывающих влияние на достоверность получаемых результатов. Одним из наиболее эффективных аналитических методов расчета напряженно-деформированного состояния оснований фундаментов и грунтовых массивов является подход, позволяющий свести поставленную задачу к некоторой граничной задаче плоской теории упругости для полуплоскости с криволинейной границей, решение которой проводится методами теории функций комплексного переменного.

2. Для решения граничной задачи теории упругости необходима функция комплексного переменного, отображающая нижнюю полуплоскость на полуплоскость с криволинейной границей. Результаты проведенного нами

анализа показали, что наиболее перспективной является отображающая функция, предложенная А.Н Богомоловым, поскольку при различных значениях коэффициентов эта функция способна описывать широкий класс симметричных и асимметричных односвязных областей, имеющих прикладное значение

3. Методом комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвшш получено аналитическое решение второй основной граничной задачи плоской теории упругости для однородной, изотропной полуплоскости с криволинейной границей, которая является обобщением соответствующей граничной задачи для полуплоскости, хорошо известной в математической теории упругости

4. Методом сопряжения получено аналитическое решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для однородной, изотропной полуплоскости, с криволинейной границей, частным случаем которой является решение классической задачи о штампе с прямолинейным горизонтальным основанием

5 Приведенные в работе решения положены в основу разработанной нами компьютерной программы "Soil mass" (Богомолов, Ушаков, 2007), которая позволяет решать целый ряд прикладных инженерных задач фундаменто-строения и геомеханики

6. Сопоставление результатов расчета реально существующих объектов с результатами наблюдения за поведением их в натуре говорит об удовлетворительной их сходимости, что позволяет рекомендовать программу к практическому применению

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях: В изданиях, рекомендованных ВАК РФ: 1 Ушаков, А Н Решение граничной задачи теории упругости для одного класса полубесконечных областей / В. А. Игнатьев, А. Н. Богомолов,

А. Н. Ушаков // Вестн. ВолгГАСУ, Сер : Естественные науки - Волгоград, 2005. - Выл 4 (14) - С. 3-10

В других изданиях:

2. Ушаков, А. Н. Постановка и общее решение одной задачи теории упругости для оценки напряженного состояния оснований сооружений /АН. Богомолов, А. Н Ушаков // Проблемы свайного фундаментостроения и фундаментов глубокого заложения' Тр. V Междунар конф.- Тюмень, 1996,-С. 24-29.

3. Ушаков, А Н. Постановка задачи расчета длительной устойчивости грунтовых массивов сложного рельефа / А. Н Богомолов, А.Н. Ушаков // Энергосберегающие технологии, альтернативная энергетика и проблемы экологии: Междунар. науч - техн.конф - Кемер, 1996.- С. 52-54

4. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Устойчивость"- информ. листок №311-96/А Н. Богомолов, А. В. Редин, А. Н. Ушаков // Нижн-Волж. ЦНТИ - Волгоград, 1996

5. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Несущая способность": информ. листок № 312-96 / А.Н. Богомолов, А. В. Редин, А. Н. Ушаков // Нижн.- Волж ЦНТИ.- Волгоград, 1996.

6. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Stress plast": информ листок № 313-96 / А. Н. Богомолов, А В.Редин, АН. Ушаков// Нижн - Волж ЦНТИ - Волгоград, 1996

7. Ушаков, А. Н. Решение второй задачи теории упругости для однородной односвязной области методами теории функций комплексного переменного/ А. Н. Богомолов, А. Н Ушаков И Бунаушщва - Стр-во - Constraction.-Минск, №1-2.-С. 62-65.

8. Ушаков, А. Н. О напряженном состоянии пояубесконечных односвязных областей с криволинейной границей / А. Н Богомолов, А Н. Ушаков // Tp.IX Всерос съезда по теоретической и прикладной механике. - Н. Новгород, 2006. -Т. 3.- С 40

9 Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Soil mass", информ листок № 51 - 055-07 /АН Богомолов, А Н Ушаков // Нижн - Волж.ЦНТИ - Волгоград, 2007

10. Ушаков, А. Н. Задача о напряженно - деформированном состоянии полубесконечных областей с криволинейной границей / А. Н Ушаков [и др ] // Усп. соврем естествознания. - Москва, 2007.- №8.- С. 46-48 11 Ушаков, А. Н. Оценка напряженно-деформированного состояния, величины коэффициента устойчивости и сил оползневого давления с целью управления оползневыми процессами / А. Н. Ушаков [и др.] // Превентивные геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий: Тр. Междуиар. геотехн симпозиума - Южно - Сахалинск, 2007. - С. 281-285. 12. Ушаков, А. Н Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для однородной, изотропной полуплоскости с криволинейной границей / АН. Ушаков [и др.] // Геотехнические проблемы XXI века в строительстве зданий и сооружений Тр. Междунар. конф - Пермь, 2007.- С. 42-50.

Ушаков Андрей Николаевич

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОСНОВАНИЙ ФУНДАМЕНТОВ, ГРУНТОВЫХ СООРУЖЕНИЙ И МАССИВОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 5 Ю2007г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman. Печать плоская Усп печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №306

Издательство Волгоградского государственного университета 400062, г Волгоград, проел Университетский, 100

Введение.

Глава I. Обзор имеющихся решений задач геомеханики, полученных методами теории функций комплексного переменного.

1.1. Метод комплексных потенциалов.

1.2. Решение Н.С. Курдина - В.Н. Телиянца.

1.3. Решение З.Г.Тер-Мартиросяна - Д.М.Ахпателова.

1.4. Решение В.К.Цветкова.;.

1.5. Решение А.Н.Богомолова.

1.6. Сопоставление решений.

1.7. Постановка задач геомеханики, опирающихся на решение второй основной и смешанной задач плоской теории упругости.

Выводы по главе 1.

Глава II. Решение второй основной задачи теории упругости для полубесконечных областей.

2.1.Общее решение задачи теории упругости для полуплоскости с криволинейной границей.

2.2. Первая основная граничная задача.

2.3. Вторая основная граничная задача.

2.4. Сопоставление решений с известными.

Выводы по главе II.

Глава III. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полубесконечных областей.

3.1. Задача сопряжения.

3.2. Общее решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости с криволинейной границей.

3.3. Основная смешанная задача.

3.4. Сопоставление решений с известными.

Выводы по главе III.

Глава IV. Примеры решения инженерных задач геомеханики на основе полученных решений.

4.1. Примеры прикладных задач, решаемых при помощи анонсированной программы.

4.1.1. Исследование устойчивости откосов и склонов.

4.1.2. Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости грунтовых насыпей.

4.1.3. Определение несущей способности оснований заглубленных ленточных фундаментов.

4.1.4. Определение сил оползневого давления в однородном откосе.

4.2. Сопоставление данных натурных наблюдений с результатами расчетов по анонсированной программе.

4.2.1. Расчет устойчивости экскаваторного уступа.

4.2.2. Расчет устойчивости основания силоса.

Выводы по главе IV.

Бурный рост объемов строительства жилья и производственных зданий в последние годы обусловил острый дефицит территорий, пригодных для этих целей. В качестве строительных площадок нередко используются участки земной поверхности сложного рельефа: откосы, склоны, насыпи и др. В то же время вследствие увеличения проемов в промышленном строительстве и числа этажей в гражданском строительстве резко возрастают нагрузки на фундаменты. Это обстоятельство побуждает к разработке методов расчета оснований сооружений с учетом фактора сложного рельефа.

Данный фактор многократно увеличивает опасность потери сооружением устойчивости в виде выпора грунта из под фундамента, что делает актуальной задачу разработки методов расчета оснований сооружений, возводимых на участках земной поверхности сложного рельефа по первой группе предельных состояний - по устойчивости или несущей способности. Исследованию этой проблемы посвящена многочисленная литература [7; 43; 97; 108; 110].

Как известно, расчет оснований сооружений по несущей способности и деформациям приводит к интегрированию уравнений механики сплошных сред [21; 24; 67], включающих геометрические соотношения и условие неразрывности, а также физические особенности, характеризующие напряженно - деформированное состояние.

Поскольку предполагается, что сооружение возводится не на горизонтальной поверхности, а на основании сложной геометрии, то необходимо привлекать методы решения задач, учитывающие этот фактор.

Если исходить из методики, предложенной А.Надаи [54], то фактор сложного рельефа вызывает неоднородное напряженное состояние земной поверхности на глубине, равной разности между минимальной и максимальной вертикальными отметками рассматриваемого участка. Начиная с некоторой глубины влияние фактора рельефа на напряженное состояние грунтового массива будет незначительным и его можно заменить эквивалентной нагрузкой в соответствии с законом распределения масс по вертикали в рассматриваемой области. Однако, как замечают Н. А. Цытович и З.Г. Тер - Мартиросян [110], использование схемы, предложенной А.Надаи, дает значительные погрешности, особенно в зоне, близко расположенной к земной поверхности. К тому же метод замены веса вышележащих грунтовых массивов эквивалентной нагрузкой не всегда приемлем, т.к. он не позволяет определить закономерность распределения напряжений в самих элементах земной поверхности (откосы, склоны, котлованы, насыпи и т.д.). Поэтому решение задач с учетом влияния фактора рельефа следует рассматривать в общей постановке для полубесконечных областей в целом с учетом криво-линейности границ. Следовательно, первым этапом является решение задачи теории упругости для весомой однородной полуплоскости с криволинейной границей.

Теория упругости имеет хорошо разработанный математический аппарат [16; 41; 70; 78], включающий в себя как аналитические [24; 58; 59; 82], так и численные методы [11; 95], однако, несмотря на бурное развитие последних в связи с широким внедрением ЭВМ в инженерную и исследовательскую практику, получить решение в аналитическом виде более предпочтительно.

Одним из наиболее перспективных методов получения аналитического решения являются методы, основанные на теории функций комплексного переменного [6; 19; 37; 68;115] и разработанные, в основном, академиком Н.И.Мусхелишвили и его школой [50; 51]. При помощи этих методов в работах Д.М.Ахпателова, А.Н.Богомолова, А.Л.Гольдина, Ж.С Ержанова, В.А. Игнатьева, Э.В.Калинина, Н.С.Курдина, В.Н.Телиянца, З.Г.Тер-Мартиро-сяна, В.К.Цветкова, Н.А.Цытовича, A.Verrijt, W.Warren и других ученых

5. Сопоставить результаты, получаемые на основе использования разработанной программы с результатами наблюдений за поведением реальных объектов в натуре для принятия решения о возможности использования данного программного продукта в строительной практике.

Достоверность результатов исследований, выводов и рекомендаций диссертационной работы обусловлена:

1. Теоретическими предпосылками, опирающимися на фундаментальные положения теории функций комплексного переменного, математической теории упругости, механики грунтов.

2. Адекватным соответствием результатов, получаемых на основе разработанных решений, с результатами известных решений классических задач.

3. Удовлетворительным совпадением результатов расчетов с результатами наблюдений за поведением реальных объектов в натуре.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Получено аналитическое решение второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полубесконечных односвязных областей методом комплексных потенциалов.

2. Получено аналитическое решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для полубесконечных односвязных областей путем сведения к задаче сопряжения.

3. Разработанные решения являются обобщением классических решений граничных задач для полуплоскости и задачи о штампе с горизонтальным прямолинейным основанием.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа является частью научных исследований, проведенных на кафедрах «Информатика и вычислительная математика» и «Гидротехнические и земляные сооружения» ВолгГАСУ в 1996-2007 гг.

Полученные решения и созданная на их основе компьютерная программа могут быть использованы для: оценки напряженно - деформированного состояния оснований сооружений и грунтовых массивов со сложной формой поперечного сечения; расчета устойчивости оснований сооружений, естественных склонов, откосов различного рода грунтовых сооружений, а также откосов горных выработок и отвалов; расчета сил оползневого давления на элементы противооползневых удерживающих конструкций; курсового и дипломного проектирования студентов строительных вузов.

Апробация работы. Основные результаты данной диссертационной работы обсуждались и были опубликованы в материалах Международной конференции «Энергосберегающие технологии, альтернативная энергетика и проблемы экологии» (Турция, г.Кемер,1996 г.), V Международной конференции по проблемам свайного фундаментостроения и фундаментов глубокого заложения (г.Тюмень, 1996 г.), Международной научно - технической конференции «Геотехника Беларуси: наука и практика»(г. Минск, 2003 г.), IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.), Международном геотехническом симпозиуме «Превентивные геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий» (г.Южно-Сахалинск, 2007 г.), Международной конференции «Геотехнические проблемы XXI века в строительстве зданий и сооруже-ний»(г.Пермь, 2007 г.), научно-методических семинарах кафедр «Информатика и вычислительная математика» и «Гидротехнические и земляные сооружения» ВолгГАСУ в 1996-2007 гг.

Личный вклад автора заключается в 1. Использовании полученной ранее в соавторстве отображающей функции для решения второй основной и основной смешанной задачи плоской теории упругости.

2. Решении второй основной и основной смешанной граничных задач плоской теории упругости для полубесконечных областей с криволинейной границей.

3. Разработке компьютерной программы для решения прикладных задач фундаментостроения и геотехники.

На защиту выносятся:

1. Решение второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полубесконечных областей с криволинейной границей.

2. Решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для полубесконечных областей с криволинейной границей.

3. Результаты решения частных задач геомеханики.

4. Разработанная при участии автора компьютерная программа.

Результаты научных исследований внедрены: При выполнении проектов устройства новых и реконструкции существующих фундаментных конструкций на объектах в Пермском крае и в Тюменской области и в учебном процессе кафедры «Гидротехнические и земляные сооружения»ВолгГАСУ и при проведении курсового и дипломного проектирования.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 12 научных статьях, одна из которых в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы общим объемом 125 страниц, включает в себя 33 рисунка и 3 таблицы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Существующие в настоящее время методы расчета несущей способности оснований сооружений, основанные на решениях смешанной задачи линейной теории упругости и теории пластичности грунта, включают допущения о невесомости основания, о возможности замены грунта, лежащего выше подошвы фундамента, распределенной нагрузкой, о введение в расчет величины коэффициента бокового давления при помощи некоторых искусственных приемов и т.д. Следовательно, существует необходимость в разработке новых решений, которые исключали бы" эти допущения и позволяли учитывать большинство факторов, оказывающих влияние на достоверность получаемых результатов. Одним из наиболее эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния оснований фундаментов и грунтовых массивов является подход, позволяющий свести поставленную задачу к некоторой граничной задаче плоской теории упругости для полуплоскости с криволинейной границей, решение которой проводится методами теории функций комплексного переменного.

2. Для решения граничной задачи теории упругости необходима функция комплексного переменного, отображающая нижнюю полуплоскость на полуплоскость с криволинейной границей. Проведенный в данной работе анализ показал, что наиболее перспективной является отображающая функция, предложенная А.Н.Богомоловым, поскольку при различных значениях коэффициентов эта функция способна описывать широкий класс симметричных и асимметричных односвязных областей, имеющих прикладное значение.

3. Методом комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили получено аналитическое решение второй основной задачи плоской теории упругости для однородной, изотропной полуплоскости, на криволинейной границе которой заданы компоненты смещения.

4. Методом сопряжения получено аналитическое решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для однородной, изотропной полуплоскости, на криволинейной границе которой заданы компоненты напряжения и смещения.

5. Полученные в данной работе аналитические решения граничных задач теории упругости являются прямым обобщением некоторых известных решений.

6. Решения полученных в работе задач теории упругости положены в основу компьютерной программы, которая позволяет решать целый ряд прикладных инженерных задач фундаментостроения и геомеханики.

7. Сопоставление результатов расчета реально существующих объектов с результатами наблюдения за поведением их в натуре говорит об удовлетворительной их сходимости, что позволяет рекомендовать программу к практическому применению.

1. Абрамов, В. М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения / В.М. Абрамов // Докл. АН СССР.-1937. -Т.17, №4.

2. Ахпателов, Д. М. О напряженном состоянии весомых полубесконечных областей / Д. М. Ахпателов, 3. Г. Тер-Мартиросян II Изв. АН. Арм. ССР. -1971. Т. 24, №3.

3. Ахпателов, Д. М. Напряженное состояние горных массивов с криволинейными границами в поле гравитации / Д. М. Ахпателов II Тр. ВСЕГИНГЕО. 1972.- вып.48.

4. Ахпателов, Д. М. Исследование влияния рельефа поверхности, примыкающей к горному массиву, на его напряженное состояние / Д. М. Ахпателов И Соврем, методы изуч. физ.-мех. св-в горных пород: Тр. ВСЕГИНГЕО.- 1974.- вып. 73.

5. Безухое, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести /Я. И. Безухое. М.: Высш. шк., 1968.

6. Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций I А. В. Бгщадзе. -М.: Наука, 1984.

7. Богомолов, А. Н. Расчет несущей способности оснований сооружений устойчивости грунтовых массивов в упругопластической постановке / А. Н. Богомолов. Пермь. :ПГТУ,1996.

8. Богомолов, А. Н. Определение напряженного состояния сваи-стойки I А. Н. Богомолов И Вестн. ВолгГАСУ. Сер. Строительство и архитектура.- 1999- Вып. №1.

9. Богомолов, А. Н. О форме уплотненного грунтового ядра, образующегося в основании фундамента / А.Н. Богомолов, О. А. Вихарева, Д. П. Торшин II Вестн. Одесской гос. академии строительства и архитектуры.- Одесса, 2001.-Вып. 4.

10. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике / К. Бреббш,С. Уокер .-М.: Мир, 1982.

11. Вялое, С. С. Реологические основы механики грунтов / С. С.Вялов. М.: Высш. шк., 1988.

12. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984.

13. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи /Ф. Д. Гахов. М.: Физматгиз,1963.

14. Голъдин, А. Л. Напряженно деформированное состояние упругой полуплоскости с вырезом под действием гидростатической нагрузки / А. Я. Голъдин II Изв. ВНИИ гидротехники им. Веденеева. - 1969.

15. Демидов, С. П. Теория упругости / С. П. Демидов М.: Высш. шк., 1979.

16. Долматов, Б. И. Основания и фундаменты, Т.1,2 /Б.ИДолматов и др. -М.- С.-Пб., 2002.

17. Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М.: Наука, 1986.

18. Евграфов, М. А. Аналитические функции / М. А. Евграфов. М.: Наука, 1991.

19. Ерещенко, Т. В. Метод расчета устойчивости однородного откоса как основания сооружения: дис. канд. техн. наук / Т.В. Ерещенко', ВолгГАСУ. -Волгоград, 2006.21 .Жермен, П. Механика сплошной среды / П. Жермен. М.: Мир, 1965.

20. Жумабаев, Б. Напряженное состояние анизотропных массивов пород в основаниях глубоких горных каньонов / Б. Жумабаев, В. Я. Степанов // Тр. V Всесоюзн. конф. по механике горных пород. Москва, 1974.

21. Завриев, К. С. Расчет фундаментов глубокого заложения/К.С. Заври-ев, Г. С. Шпиро.- М.: Транспорт, 1970.

22. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Илюшин.- М.: Изд-во МГУ, 1978.

23. Калинин, Э. В. Об аналитическом решении задачи о распределении напряжений в основании и бортах глубоких речных долин 1Э. В. Калинин '// IV научн. отч. конф. геол.ф-та МГУ : тезисы докл.- Изд-во МГУ, 1969.

24. Канторович, J1. В. Приближенные методы высшего анализа / JI.B. Канторович, Н.М. Крылов.- М.:- Изд-во техн.-теор.литер.,1952.

25. Карцивадзе, И. Н. Эффективное решение основных задач теории упругости для некоторых областей / И. Н. Карцивадзе Сообщ. А Н Груз. ССР.- 1946.- Т. 7, №8.

26. Клюимиков, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюиг-ников. М.: Изд-во МГУ, 1979.

27. Колосов, Г. В. Применение комплексных переменных диаграмм и теории функций комплексного переменного к теории упругости / Г.В. Колосов.- М.: ОНТИ, 1935.

28. Колосов, Г. В. О некоторых приложениях комплексного преобразования уравнений математической теории упругости к отысканию общих типов решений этих уравнений / Г.В. Колосов II Изв. Ленингр. электромеханич. ин-та. 1928.

29. Колосов, Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости /Г.В. Колосов. Юрьев, 1909.

30. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений / В. Коппенфелъс, Ц. Штальман. М.: ИЛ,: 1963.

31. Космодамианский, А. С. О напряженном состоянии горного массива, ослабленного большим количеством выработок квадратного сечения / А. С. Космодамианский// Тр. ВНМИИ: сб.статей Ленинград, 1962.

32. Купрадзе, В. Д. Методы потенциала в теории упругости / В. Д. Купрадзе. -М.: Физматгиз, 1961.

33. Курдин, Н. С. Напряженное состояние в полубесконечных областях с криволинейными границами /Я. С. Курдин II Инж. Журнал.- № 4,1968.

34. Курдин, Н. С. Концентрация напряжений в полубесконечных областях при действии распределенных нагрузок / Н. С. Курдин, В. Н. Телиянц II Некоторые вопросы механики горных пород: Научные труды МГИ.-Москва, 1968.

35. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат М.: Наука, 1987.

36. Ломизе, Б. М. Нахождение опасной поверхности скольжения при расчетах устойчивости откосов / Б.М. Ломизе II Гидротехническое строительство." №2, 1954.

37. Ломизе, Г. М. Исследование закономерностей развития напряженно -деформированного состояния песчаного основания при плоской деформации / Г.М. Ломизе, Г. М, А. Л. Крыжановский, В. Ф. Петрянин И Основания, фундаменты и механика грунтов. 1972. № 1.

38. Лыткин, В. А. Напряженное состояние основания под фундаментом глубокого заложения / В. А. Лыткин, Н. Н. Фотиева II Основания, фундаменты и механика грунтов,- 1970, № 4.

39. АХ.Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М.: ОНТИ, 1935.

40. Малышев, М. В. Об идеально сыпучем клине, находящемся в предельном напряженном состоянии /М В. Малышев II Докл. АН СССР.- 1950.Т. 75, вып. 6,1950.

41. Малышев, М. В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений / М. В. Малышев. М.: Стройиздат, 1980.

42. Маслов, Н. Н. Основы механики грунтов и инженерной геологии / Н. Н. Маслов. М.: : Высш. шк.,1988.

43. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций /А. И. Маркушевич. М.: Наука,1968.

44. Месчян, С. Р. Экспериментальная реология глинистых грунтов / С. Р. Месчян. М.: Недра, 1985.

45. Месчян, С. Р. Начальная и длительная прочность глинистых грунтов / С.Р. Месчян. М.: Недра, 1978.

46. Можеветинов, A. JI. Общий метод расчета устойчивости земляных сооружений / A. JI. Можеветинов, М. Шентимиров И Изв. ВНИИГ. 1970. .Т.

47. Мочак, Г. Оползни в результате имеющихся поверхностей скольжения и контакта слоев в ледниковых отложениях / Г. Мочак II Материалы совещания по вопросам изучения оползней и мер борьбы с ними. Киев, 1964. .

48. Мусхелшивши, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И.Мусхелишвили. М.: Наука, 1968.

49. Мусхелшивши, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелшивши. М.: Наука, 1966.

50. Мусхелишвили Н. И. Основные граничные задачи теории упругости для полуплоскости / Н.И. Мусхелишвили II Сообщ. АН Груз.ССР. 1941.- Т.2, №10.

51. Мурзенко, Ю. Н. Расчет оснований зданий и сооружений в упругопла-стической стадии работы с применением ЭВМ / Ю. Н. Мурзенко. JI.: Стройиздат, 1989.

52. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел IA. Надаи .- М.: Мир, 1969.

53. Никитин, С. Н. Построение ожидаемой поверхности скольжения по напряжениям в бортах карьера 1С. Н. Никитин И Уголь.- 1962,- № 1.

54. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир,1975.

55. Справочник проектировщика. Основания, фундаменты и подземные сооружения.- М.: Стройиздат, 1985.

56. Партон, В. 3. Методы математической теории упругости /В. 3. Пар-тон, И И. Перлин. М.: Наука, 1981.

57. Партон, В. 3. Интегральные уравнения теории упругости / В. 3. Пар-тон , П. И. Перлин. М.: Наука, 1977.

58. Победря, Б. Е. Численные методы теории упругости и пластичности 1Б.Е. Победря. М.: Изд-во МГУ, 1981.

59. Польшин, Д. Е. Определение напряжения в грунте при загрузке части его поверхности / Д. Е. Польшин II Сб. тр. ВИОС и фундаменты.- 1933.- №1.

60. Польшин, Д. Е. Примечания к статье П. И. Морозова "Определение допускаемой нагрузки по критическому напряженному состоянию" / Д. Е. Польшин II Сб. тр. ВИОС и фундаменты.- 1939,- № 9.

61. Работное, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работное. М.: Наука, 1988.

62. Родин, И. В. К определению величины горного давления с учетом поверхностных нагрузок /Я В. Родин II Докл. АН СССР. 1951.- Т. 30, вып. 6.

63. Родин, И. В. Постановка и метод решения задач проблемы горного давления /Я В. Родин // Тр. ДВПИ/- 1957.- Т. 47, вып. 1.

64. Савин, Г. Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.И. Савин. Киев, Наукова думка, 1968.

65. Седов, Л. И. Введение в механику сплошной среды, Т. 1.2 /Л. Я. Седов.-М.: Наука,1983.

66. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю. В. Сидоров Ю.В., М. В. Федорюк, М. Я. Шабунин.- М.: Наука, 1989.

67. Строительные нормы и правила Российской Федерации. Основания зданий и сооружений: СНиП 2.02.01-83 / Госстрой СССР .- М.: Строй издат, 1985.

68. Ю.Снеддон, И. И. Классическая теория упругости / Я. Я. Снеддон, Дж. С.1. Берри. М: 1961.

69. Соколовский, В. В. Статика сыпучей среды / В. В. Соколовский. M.-JL: АН СССР, 1942.

70. Тер-Мартиросян, 3. Г. О напряженном состоянии бесконечного склона с криволинейной границей в поле гравитации и фильтрации/ 3. Г. Тер-Мартиросян, Д. М. Ахпателян II Пробл. геомеханики.- Ереван, 1971, №5.

71. Тер-Мартиросян, 3. Г. Напряженное состояние горных массивов в поле гравитации / 3. Г. Тер-Мартиросян, Д.М. Ахпателов И Докл. АН СССР.-1975.-Т.220, вып. 2.

72. А.Тер-Мартиросян, 3. Г. Напряженное состояние горных массивов при действии местной нагрузки и объемных сил / 3. Г. Тер-Мартиросян, Р. Г. Манвелян II Бюлл. по инж.сейсм. АН Арм. ССР.-Ереван,- 1975.- №9.

73. Тер-Мартиросян, 3. Г. Прогноз механических процессов в массивах многофазных грунтов / 3. Г. Тер-Мартиросян. М.; Недра, 1986.

74. Терцаги, К. Теория механики грунтов / К. Терцаги.- М.: Госстройиздат, 1961.

75. Терцаги, К. Механика грунтов в инженерной практике / К. Терцаги, Р. Пек. М.: Госстройиздат, 1958.

76. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудъер. -М.,: Наука,1975.

77. Угодников, А. Г. Построение конформно отображающих функций / А. Г. Угодников.- Киев, Наукова думка, 1966.

78. Угоднгжов, А. Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела / А. Г. Угодников, Н. М. Хуторянский. Казань, КГУ, 1986.

79. Уолш, Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональных функций в комплексной области I Дж. Л. Уолш. М.: ИЛ, 1961.

80. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости/Я С. Уфлянд. М.- Л.: Наука, 1967.

81. Ушаков, А. Н. Постановка задачи расчета длительной устойчивости грунтовых массивов сложного рельефа IA. Н. Богомолов, А.Н. Ушаков II Энергосберегающие технологии, альтернативная энергетика и проблемы экологии: Междунар. науч.- техн.конф. Кемер, 1996.

82. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Stress plast" : информ. листок № 313-96 / А.Н. Богомолов, А. В. Редин, А. Н. Ушаков И Нижн,-Волж. ЦНТИ.- Волгоград, 1996.

83. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Устойчивость": информ. листок №311-96 /А.Н. Богомолов, А. В. Редин, А.Н. Ушаков II Нижн.-Волж. ЦНТИ.-Волгоград, 1996.

84. Ушаков, А. Н. Компьютерная программа "Несущая способность": информ. листок №312-96 / А.Н. Богомолов, А. В. Редин, А. Н. Ушаков // Нижн.- Волж. ЦНТИ.- Волгоград, 1996.

85. Ушаков, А. Н. Решение второй основной задачи теории упругости для однородной односвязной области методами теории функций комплексного переменного/ А. Н. Богомолов, А. Н. Ушаков // Бунаушцтва Стр-во - Соп-straction.-2003.- №1 - 2.

86. Ушаков, А. Н. О напряженном состоянии полубесконечных односвяз-ных областей с криволинейной границей / А. Н. Богомолов, А. Н. Ушаков // Тр. IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике. Т. 3.-Н. Новгород, 2006.

87. Ушаков, А. Н Компьютерная nporpaMMa"Soil mass": информ. листок № 51 -055-07/ А. Н. Богомолов, А. Н. Ушаков // Нижн.- Волж. ЦНТИ.- Волгоград, 2007.

88. Ушаков, А. Н. Задача о напряженно-деформированном состоянии полубесконечных областей с криволинейной границей / А. Н. Ушаков и др. // Усп. соврем, естествознания. 2007.- №8.

89. Ушаков, А. Н. Решение граничной задачи теории упругости для одного класса полубесконечных областей / В. А. Игнатьев, А. Н. Богомолов, А.Н. Ушаков II Вестн. ВолгГАСУ, Сер. Естественные науки. 2005.- вып.4(14).

90. Фадеев, А. Б. Метод конечных элементов в геомеханике / А. Б. Фадеев.-М.: Недра, 1987.

91. Федоров, И. В. Некоторые задачи упругопластического распределения напряжений в грунтах, связанные с расчетом оснований / И. В. Федоров II Инж. сборник института механики АН С С С Р. 1958.- Т. 27.

92. Федоров, И. В. Методы расчета устойчивости склонов и откосов / И. В. Федоров М.: Госиздат, 1962.

93. Фшонепко Бородин, М. М. Теория упругости / М. М. Филоненко-Бородич. -М.: Физматгиз, 1959.

94. Фильчаков, П. Ф. Приближенные методы конформных отображений ний. Справочное руководство / П. Ф. Фильчаков. Киев, 1964.

95. Флорин, В. А. Расчеты оснований гидротехнических сооружений / В. А. Флорин. -М.: Стройиздат, 1948.

96. Флорин, В. А. Основы механики грунтов IB. А. Флорин,- М.: Госстройиздат, 1961.

97. Фукс, Б. А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б. А.Фукс., Б. В. Шабат Б.В М.: Наука, 1964.

98. Хан, X. Теория упругости /X. Хан М.: Мир, 1988.

99. Цветков, В. К. Решение задачи теории упругости для некоторых форм открытых горных выработок / В. К. Цветков II Изв. ВУЗов Горный журнал. -1972.-№5.

100. Цветков, В. К. Равновесие весомой полуплоскости с криволинейной границей, подверженной равномерному давлению / В. К. Цветков, В. Т. Пастухов II Прикладная механика,- 1973.- Т.9, вып. 8.

101. Цветков, В. К. Решение задачи теории упругости для весомой полуплоскости, подверженной сосредоточенным нагрузкам / В. К. Цветков И Изв. вузов Строительство и архитектура.- 1974,- № 1.

102. Цветков, В. К. Решение задачи теории упругости для откосов однородного сложения / В. К. Цветков, В. Т. Пастухов В. Т. И Прикладная механика.- 1976.- Т.12, вып. 3.

103. Цветков, В. К. Расчет устойчивости откосов и склонов / В. К. Цветков. Волгоград: Нижн.- Волж. кн .изд-во, 1979.

104. Цветков, В. К. Расчет устойчивости однородных откосов при упруго-пластическом распределении напряжений в массиве горных пород / В. К. Цветков II Изв. вузов. Горный журнал. 1981, № 5.

105. Цытович, Н. А. Основы прикладной геомеханики в строительстве / Н. А. Цытович., 3. Г. Тер Мартиросян. - М.: Высш. шк., 1981.

106. Цытович, Н. А. Механика грунтов / Н. А. Цытович.- М.: Госстройиз-дат, 1963.

107. Цытович, Н. А. Расчет осадок фундаментов / Н. А. Цытович,- JL: 1940. 113.Чугаев, Р. Р. Земляные гидротехнические сооружения. Теоретические основы расчета / Р. Р. Чугаев. JL: Энергия, 1967.

108. Чугаев, Р. Р. Расчет устойчивости земляных откосов и бетонных плотин на нескальном основании по методу круглоцилиндрических поверхно стей обрушения / Р. Р. Чугаев. M.-JL: Госэнергоиздат, 1963.

109. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ, Т.1 / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1985.

110. Шахунянц, Г. М. Земляное полотно железных дорог. Вопросы проектирования и расчета / Г. М. Шахунянц. М.: Трансжелдориздат, 1953.1.\1.Шахунянц, Г. М. Железнодорожный путь / Г. М. Шахунянц. М.: Транспорт, 1969.

111. Широков, В. Н. Напряженное состояние и перемещения весомого нелинейно деформируемого грунтового полупространства под круглым жестким штампом IB. Н. Широков и др. // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1970, № 1.

112. Goursat, Е. Sur l'equation AAu = 0.IE.Goursat // Bull. Soc. Math. France, 1898, №26.

113. Verruijt, A. Stress due to gravity in a notched elastic half-plane I A. Verruijt,

114. Eng. Arch.- 1969.- Vol. 38, № 2.

115. Warren, W. Singular loadings in notched half- plane / W. Warren, T. Mitchell II Development in Theoretical and Applied Mechanics.- 1964.-Vol. 2.