автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение принципа сравненияв методах асимптотического интегрированиядифференциальных уравнений

Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

На правах рукописи УДК 517.91:001.891.57

Горшунова Татьяна Алексеевна

Применение принципа сравнения в методах асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск-1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В. Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.В. Логинов

кандидат физико-математических наук В.В. Абрамов

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 24 июня 1998 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических доцент

С.М. Мурюмин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной математике термин "интегрирование" дифференциального уравнения обращен к изучению свойств решений, так как обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируются в замкнутой форме в исключительных случаях, и более важное значение имеет знание свойств решения, чем его задание формулой. В зависимости от методов изучения свойств имеются различные методы интегрирования дифференциальных уравнений: численные, качественные, асимптотические и т.д.

Большое значение имеет знание оценок, из которых можно получить важные асимптотические свойства решений. К таким свойствам, имеющим широкое практическое применение, относятся устойчивость и ограниченность, а также их всевозможные модификации. Основным методом получения таких оценок в настоящее время является метод сравнения.

Метод интегральных и дифференциальных неравенств или метод сравнения является естественным продолжением первого и второго методов A.M. Ляпунова, изложенных в его знаменитой докторской диссертации " Общая задача об устойчивости движения". Основополагающие результаты в теории дифференциальных неравенств принадлежат С.А. Чаплыгину. Дальнейшее развитие его идеи получили в работах Т. Важевского, В. Лакшмикантама, Р. Беллмана, В.М. Матросова, Е.В. Воскресенского и других.

Методы, перечисленные выше, применяются при решении многих задач из механики, биологии, экономики и т.д. Однако следует отметить, что при решении некоторых прикладных задач, сводимых к исследованию нелинейных возмущенных дифференциальных уравнений, эти методы не всегда являются достаточно эффективными.

Так, например, в экономике развитие рынка может быть описано нелинейной возмущенной системой дифференциальных уравнений. Интерес представляет задача о стабилизации рынка, то есть нахождение условий, при которых решения данной системы будут стремиться к некоторому частному решению. Эта задача решалась методом сравнения с вектор-функцией Ляпунова в работе Руш Н., Абетс П., Лалуа М. "Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости", но при этом на возмущение и на первое приближение рассматриваемой системы были наложены довольно жесткие ограничения. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли эти ограничения ослабить?

Подобные задачи встречаются и в механике. Многие процессы описываются здесь уравнениями типа уравнения Льенара и уравнения Рэлея. Устойчивость и ограниченность решений этих уравнений исследовались в работах Е.А.Барбашина, Р.Рейссига, Г.Сансоне, Р.Конти и других. В результате к

функциям, входящим в эти уравнения, предъявлялись достаточно высокие требования. Кроме того, оставался открытым вопрос о том, как устроено множество притягиваемых решений данных уравнений, то есть решений, стремящихся к нулю при неограниченном возрастании независимой переменной.

В связи с этим разработка асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющих решать подобные задачи при менее жестких ограничениях, представляется весьма актуальной.

Цель работы. 1. Изучение структуры множества притягиваемых решений автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.

2. Получение новых достаточных условий равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.

3. Получение достаточных условий, при которых множество притягиваемых решений линейных возмущенных систем дифференциальных уравнений образует область.

4. Получение для нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений достаточных условий существования притягиваемых решений и условий, при которых множество таких решений образует область.

5. Получение новых достаточных условий равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным и нелинейным первым приближением.

6. Исследование зависимости размерности области, образуемой притягиваемыми решениями систем дифференциальных уравнений, от характера устойчивости положения равновесия.

7. Получение достаточных условий условной равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений.

8. Применение полученных результатов к исследованию математических моделей, сводимых к возмущенным системам дифференциальных уравнений с линейным или нелинейным первым приближением.

Общая методика исследования возмущенных систем дифференциальных уравнений основана на применении метода сравнения, в основе которого находятся дифференциальные неравенства. Уравнением сравнения является скалярное или векторное уравнение, асимптотическое поведение решений которого известно.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Найдены достаточные условия, при которых множество притягиваемых решений систем дифференциальных уравнений образует область в

пространстве ограниченных решений.

2. Получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.

3. Приведены достаточные условия, при которых семейство притягиваемы решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным первым приближением образует область в пространстве ограниченных решений.

4. Получены достаточные условия существования притягиваемых решений нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений и условия, при которых множество таких решений образует область.

5. Получены достаточные условия равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным и нелинейным первьм приближением, а также условия, при которых верхняя граница таких решений может быть найдена аналитически.

6. Найдена зависимость размерности области, образуемой притягиваемыми решениями систем дифференциальных уравнений, от характера устойчивости положения равновесия.

7. Приведены достаточные условия условной равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения нелинейных возмущенных систем дифференциальных уравнений.

8. Для уравнения Льенара и уравнения Рэлея найдены достаточные условия, при которых притягиваемые решения образуют область в пространстве ограниченных решений. Получены новые достаточные условия равномерной ограниченности решений уравнения Рэлея.

9. Исследована математическая модель стабилизации рынка. Получены условия, при которых рынок стремится к некоторому идеальному состоянию.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, но все полученные результаты имеют прикладное значение в экономике, электротехнике и т.д. Они могут быть применены к исследованию любой математической модели, описывающей физические процессы или природные явления, если она сводится к возмущенной системе дифференциальных уравнений с линейным или нелинейным первым приближением.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск 1996, 1997, 1998 гг.), на Огаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1995, 1996, 1997 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск 1996, 1997 гг.), на Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Са-

ранск 1996, 1998 гг.), на VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.), на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Герехина (Рязанский госпедуниверситет, 1998 г.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в девяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического списка. Общий объем диссертации 106 страниц. Библиографический список содержит 87 наименований.

Во введении проводится обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, содержится обзор работ по теме диссертации, формулируются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется вопрос о том, как устроено множество притягиваемых решений (решений, стремящихся к нулю при неограниченном возрастании независимой переменной) систем дифференциальных уравнений.

В первом параграфе этой главы в начале для автономных систем дифференциальных уравнений, а затем в общем случае получены достаточные условия, при которых множество притягиваемых решений рассматриваемых систем образует область в пространстве ограниченных решений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

{I, х) х), р{1,0) = 0 размерности п, определенных на множестве [Т,+со)хЛ", к раз непрерывно дифференцируемых по переменной t, к>0 и I раз непрерывно дифференцируемых по компонентам вектора х, / > 1. Решение системы (1), удовлетворяющее начальным данным (<0>хо)> гДе (¿0,хд) е[Г,+со)х7?", обозначим через х(а0,х0). Предположим, что все решения х(1:10,ха), притягиваемые к началу координат, то есть удовлетворяющие условию

определены на интервале [Г0,+со), где Г0> Г.

Рассмотрим множество <Г2 - всех ограниченных и непрерывных на

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

||jc(í : í0,x0)|| 0 при t ->• +со,

[Г0,+со) вектор-функций х = x(t), dimx(f) = п. Положим

114= supIN')]|>

тогда fi будет банаховым пространством. Множество О,, состоящее из решений системы (1), ограниченных на интервале [Т^4"00). является подпространством топологического пространства О. Топология в С2, индуцируется из Q.

Теорема 1.1.2 .Пусть решение x(t) =0(Г<г<+=о) системы (1) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда множество притягиваемых решений этой системы образует область в пространстве Ц — ограниченных решений.

При изучении структуры множества притягиваемых решений систем дифференциальных уравнений существенную роль играет равномерная асимптотическая устойчивость положения равновесия рассматриваемых систем. В связи с этим во втором параграфе первой главы, по аналогии с известной теоремой A.M. Ляпунова об асимптотической устойчивости, доказана теорема о равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия.

В третьем параграфе применением прямого метода A.M. Ляпунова получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия возмущенной системы дифференциальных уравнений вида:

dx

— = p(t,x) + f(t,x), (2)

at

где p,f sCW}(lT,^x,)xRn,R"lk>Q,l>]., j>(f,0) = /(i,0) = 0, с первым приближением

(3)

Будем предполагать, что для системы (3) существует функция Ляпунова удовлетворяющая всем условиям теоремы о равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия (теорема 1.2.1), то есть существуют функции W,U,W\

такие, что

О < W(y) <V(t,y) < U(y) и V{t,y) < -Wt(y) < О при всех t е [Г,+«) и \у\\ * 0, F(f,0) = W{0) = t/(0) = 1F,(0) s 0.

Теорема 1.3.1. Пусть возмущение f(t,x) в системе (2) удовлетворяет условию

¡^f(t,x)\<p(t)V(t,x), II "X ||

+00

где <р е с([Т,+<о), R\) и \<P(.t)dt = L

< +00. Тогда тривиальное решение системы

(2) равномерно асимптотически устойчиво.

Замечание 1.3.1. При выполнении условий теоремы 1.3.1 функция V является и для системы (2) функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы о равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия (теорема 1.2.1), только в том случае, если

Wl(x)>q>(ty(t,x) при всех ie[T,+oo) и И*0-Все основные результаты этой главы являются новыми. Во второй главе методом сравнения исследуются свойства решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с линейным и нелинейным первым приближением.

В первом параграфе этой главы рассматривается возмущенная система дифференциальных уравнений с линейным первым приближением dx

— = ii(0*+/(i,x), (4)

где A()\[T,-+a>)-^-Hom(R" ,R") - непрерывное отображение, / е С(ад([7,+оо)xR",R"\к > О, I > 1.

Для решений этой системы методом сравнения, с использованием функции Ляпунова, получены оценки, позволившие указать достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия и, на основании результатов первой главы, условия, при которых множество притягиваемых решений рассматриваемой системы образует область. Сделав в системе (4) замену

x = Y(t)u, (5)

где У(0 - фундаментальная матрица системы

at

нормированная в точке t0 е [Т\+°о), получим систему

^t=Y-\t)f{t,Y(t)u). (6)

Теорема 2.1.1. Пусть существуют функции g бфгКхОх^Д1)

и

W е c(fГ,+оо)xR",RlY Функция W(г,-) — локально липшицева по второй переменной при любом t е[Г,+оо) и удовлетворяет условиям:

1) w(t + h,u+Y-\t)hf(t,Y{i)u^<W(.t,u) + hg(t,W(t,uj)+o{h) при h —» +0;

2) ЦиЦ^О,") привсех (t,х) е[Т.+оо)хЛ".

Тогда решение x(t: s,x(s)) системы (4) и максшлальное решение z*(t: s,z(s)) уравнения

& л

^ = (7)

на общем интервале существования связаны неравенством если

w[s,Y-\s)x(s-)]^z{s). Определение 2.1.1 Будем говорить, что решение x(t:t0,x0) системы (1) равномерно асимптотически if0-устойчиво, где уг0 е с([Г,+оо),Л}), если:

1) для любого s> О существует число д = S{e) > О такое, что если

voWh-xolh'5.

то справедливо неравенство

^ ^ при всех t tj's

2) найдется число Л > 0 такое, что из неравенства

следует, что

V'oWlxi^.Xo)-*^.*»)!-»0 nput-*+00. Теорема 2.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 2.1.1 и f(t,0) = 0, g(t,0) э 0, W(t,0) = 0. Кроме того, пусть

W{t,u)<,K\u\\,

где К — положительная постоянная, и решение z{t) = 0 уравнения (7) равномерно асимптотически уг0-устойчиво, где WrXO = « рЧОЦЦ^'ЧОЦ ^ L — положительная постоянная. Тогда тривиальное решение x(i) = 0 системы (4) равномерно асимптотически устойчиво.

Во втором параграфе второй главы рассматривается более общий случай, когда первое приближение возмущенной системы дифференциальных уравнений является нелинейным

Yt= p(t,x) +f{t,x), (8)

где p,f б С№Л([Г,+оо) х R",R"\ k > О, / S 1.

Здесь методом сравнения, когда уравнением сравнения является скалярное уравнение, получены достаточные условия существования у системы (8)

притягиваемых решении и условия, при которых множество таких решений образует область в пространстве ограниченных решений. Первое приближение системы (8)

Л

■pQ,y)

(9)

имеет уравнение в вариациях с матрицей Коши вида:

ду

где у(/: - решение системы (9).

Предположим, что

где ^ еС^Г.+аОхД},^), Д} = [0,+оо) и при V, < и любом

^Т.

Введем скалярное уравнение

= АГ(/)ехр[ - jiy(r)dr F /,zexpj f<y(r)dr

Vt

t>T i t

(10)

где К еф.М^Ье ф.-н»),«1).

Теорема 2.2.1. Если для матрицы Коши уравнения в вариациях системы (9) справедлива оценка вида:

,t^s>T, y{s)eR"}

(И)

то решение системы (8) и максимальное решение : л.г^))

уравнения (10) на общем интервале существования связаны неравенством

(' Л

:5,х(5))|^ехр ]У(г)Л- ^((и^м),

Vr

Дф(5)|ехр - \w(T)dT <ф).

Ч т

Теорема 2.2.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.2.1 и уравнение (10) имеет решения z*(t: s,z(s)), такие, что

exp jV(r)dr 2*{t :s,z(i))-»0 при t —» -ко (

\Т

то система (8) имеет О-кривые, то есть решения x(t: s,x(s)), стремящиеся к нулю при неограниченном возрастании переменной t.

Теорема 2.2.3. Пусть pit,0) = f{t,0) s 0, F(t,0) = 0 и имеет место оцен-

ка (11), где К(я) = К - положительная постоянная. Тогда, если решение г(г) = 0 уравнения (10) равномерно асимптотически Уа -устойчиво, где

(' Л

^о(0 = ехр \у(т)йх 1 то решение х{1) ^ О системы (8) равномерно асигтто-

чг ) тически устойчиво.

В третьем параграфе второй главы, на основании оценок для модуля решения системы дифференциальных уравнений, полученных методом сравнения, решается задача об устойчивости по части переменных, которая является более общей, чем задача об устойчивости по всем переменным.

В четвертом параграфе вновь рассматривается система (8), для которой приводятся новые достаточные условия равномерной ограниченности решений и условия, при которых верхняя граница равномерно ограниченных решений может быть вычислена аналитически.

Теорема 2.4.1. Пусть выполняются следующие условия:

1) |!ДМо..Уа)|И^ехР ¡¥(т)<1г

и

Коши уравнения в вариациях системы (9);

2) ]У(т)]4г = М < +со ■

Т

■КО

3) J(a) = |Л(У,а)Л<+00 при

матрица

Я(/,г) = Хехр - |у/-(т)</г ^ ¿,гехр

V т у \

ная, уе

4) при некотором а>0

любом а е [0,+со), где К - положительная постоян-

//

I"

йа Ла)

■■ +оо ■

5) функция

I Да)

имеет непрерывную частную производную д'а(!,а) > 0.

Тогда решения системы (8) равномерно ограничены справа на произвольном множестве 5 = {х в К" |х| < г}, то есть

л

<С(г),прих0еЗ, С(г)> 0.

Замечание 2.4.1. Если в геореме 2.4.1 условие 1) изменить следующим образом:

||У(/^0,Л)||<Хехр \¥{т)с1т

то из полученных условий будет следовать, что все решения системы (8) равномерно ограничены слева, то есть ||д(/ :/0,.и:0)| < С (г) при |г0||<г, /0 ^ Т, где С (г) - положительная постоянная.

Замечание 2.4.2. Если в теореме 2.4.1 условие 1) имеет место при всех I > Т, то все решения системы (8) абсолютно равномерно ограничены, то есть равномерно ограничены и справа, и слева

Теорема 2.4.2. Пусть выполняются условия 1)-3) и 5) теоремы 2.4.1. Кроме того:

1

a) функция д^) ~ непрерывна при 0 < а < а < +со;

р

b) г0(р) = |^^ > 1 при р>И>а>0 и Уд — строго монотонно возрастающая на множестве

c) при некотором р> р справедливо неравенство

'г ¿а Рг На

Тогда все решения системы (8) х(Ы0,х0), > Т, |*0|- ^м равномерно ограничены справа и

где К0 = еК0(р), У0~' —функция, обратная функции У0.

Все основные результаты этой главы являются новыми. Третья глава посвящена различным приложениям результатов, полученных в первой и второй главах диссертационной работы.

В первом параграфе третьей главы исследуется вопрос о том, как размерность области, образованной притягиваемыми решениями (§1.1), зависит от характера устойчивости положения равновесия. Кроме того, для возмущенных систем дифференциальных уравнений вида (8) получены достаточные условия условной равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия. Определение 3.1.1. Будем говорить, что тривиальное решение системы

(1) = О (Г<г<+со) условно равномерно асимптотически устойчиво, если в Я" существует к-мерное многообразие (1<&< л) начальных значений, такое, что для всякого решения : ¿0,х0), подчиненного условию

будет выполняться неравенство

|И':*о>*о)||<* при ,

и сверх от ого,

:?0,.х0)||->• 0 ирк * -> -но, если ||д:01| < А, где А - некоторая положительная постоянная.

Обозначим через Д множество ограниченных решений системы (1), начинающихся на многообразии .

Теорема 3.1.1. Пусть решение х(1) = О системы (1) условно равномерно асимптотически устойчиво относительно к -мерного многообразия Бк а К" (О <к<п) начальных значений и все решения, начинающиеся на многообразии не покидают его при любом фиксированном Тогда множество притягиваемых решений системы (1), начинающихся на многообразии образует область размерности к в пространстве .

Замечание 3.1.1. Если в определении 3.1.1 £ =я, то имеет место равномерная асимптотическая устойчивость тривиального решения. Следовательно, при к = п теорема 3.1.1 совпадает с теоремой 1.1.2.

Теорема 3.1.2. Пусть в пространстве И" существует к-мерное многообразие (1 < к < п) такое, что для матрицы Коши уравнения в вариациях системы (9) справедлива оценка

||Г(*а у(*))||< ГС*)ехр[^ |У(гтМг |

при всех г > 5 > Г и у(з) е Бк, где К(з) = К - положительная постоянная, и р(*,0) = /0,0) = 0, г 0. Тогда, если решение = 0 уравнения (10) рав-

номерно асимптотически у0-устойчиво, в силу определения 2.1.1,

^0(0 = ехр|^(г-)£/г^ то решение х(г)=0 системы (8) условно равномерно

асимптотически устойчиво относительно многообразия (1 <,к<,п) начальных данных.

Во втором и третьем параграфах третьей главы рассматриваются вопро-

сы устойчивости и ограниченности решений важных уравнений нелинейной механики - уравнения Льенара и уравнения Рэлея, которыми можно описать различные динамические системы, имеющие существенно нелинейный характер.

В четвертом параграфе третьей главы изучается математическая модель стабилизации рынка. Получены условия, при которых рынок стремится к некоторому идеальному развитию.

Предположим, что весь рынок делится на п групп товаров: г-я группа содержит единиц. Обозначим через - цену у-того товара ¿-ой группы, Р, - вектор-столбец, образованный ценами товаров I -ой группы, а р вектор-столбец, составленный из р,. Буквами £) и Б обозначим спрос и предложение соответственно, величина g = -О - 5 называется избытком спроса. Тогда в общей форме уравнения для цен имеют вид

де

>,0,р) = ^0.р),где ^<0. (12)

Возникает вопрос, при каких условиях решения системы (12) приближаются к некоторому частному решению р0. Полагая Р = р- р0, представим уравнения в форме

Р = 8(.*,Р)-8ЬРМ = М'Р), (13)

где Я*,0) - 0, = + Р)< 0.

дРу дру

Предположим, что выполняется условие

/ДГ,Р) = а,(^) + Ь,(/,Р), (14)

которое позволяет рассматривать отдельно эволюцию цен в одной группе товаров и взаимодействия между группами, включая перераспределения в одной группе, вызываемые изменениями в других.

Преобразуем (13) с учетом (14) к системе дифференциальных уравнений

вида:

¿Р ¿Р

А 2 2 2 (15)

¿Р

где Р = со1оп(Р1,Р1,...,Рп) - вектор-столбец, составленный из цен товаров по

всем группам, ( г = 1,п ) - цена товаров 1-ой группы, а, = со1оп{ал{^Р,),аа^Р,1-^ С,*?)), = со1оп{Ьл((,Р),Ьа(1.Р),-• • А,(^П),

г = 1 ,п.

Рассмотрим первое приближение системы (15)

Л

¿У г _

да

агО,уг),

(16)

Предположим, что

¡¿ар^Б^И), (п)

где Ъ = со1оп{Ь\,Ь1,...Ьп), .Д -скалярная, неотрицательная функция, монотонно возрастающая по второму аргументу. Кроме того, пусть

!»,(<:'о. Го)1

< К, ехр

\<р,(т)<1т

V'«

(18)

где : ^0,у0) _ решение г"-го уравнения системы (16), удовлетворяющее начальным данным О0,у0), К, - положительные постоянные, ф1 - непрерывные скалярные функции.

Условие (17) дает ограничения на реакции между группами товаров, а (18) относится к регулированию цен в одной группе.

Теорема 3.4.1. Пусть выполняются условия (17), (18) и тривиальное решение уравнения

¿г ( ' ) [ ['

— = Ьехр! - ^(т)с1т В гехр| \ср(х)йт

& V т у V 43"

где Ь = К = тзх{К1,К1,...,Кп}, ^(г) = тах{^1(/),р2(0,...,<?>„(0}, равно-

'< \

мерно асимптотически у0-устойчиво, 1//о(0 = ехР I. Тогда тривиаль-

)

ноерешение системы (15) равномерно асимптотически устойчиво. Все основные результаты третьей главы являются новыми.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горшунова Т.А. О притягиваемых решениях систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, май-июнь, 1996 / Мордов. гос ун-т. - Саранск,1996. - С. 131-139. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.96, № 2830-В96.

2. Горшунова Т.А. О равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия // Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. -Саранск, май-июнь, 1996 / Мордов. гос ун-т. - Саранск, 1996. - С. 123-130. -Деп. в ВИНИТИ 17.09.96, № 2830-В96.

3. Горшунова Т.А. О равномерной ограниченности решений возмущенных дифференциальных уравнений // Тез. докл. 2-й конф. молодых ученых Мордов. гос. ун-та, Саранск, апрель, 1997. - Саранск, 1997. - С. 13.

4. Горшунова Т.А. О верхней границе равномерно ограниченных решений возмущенных дифференциальных уравнений // Тр. 7-й межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 28-30 мая, 1997. -Самара, 1997,-4.2.-С.26-28.

5. Горшунова Т.А. О притягиваемых решениях нелинейных уравнений // Тез. докл. VII Четаевская конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань, 10-13 июня, 1997. - Казань: Изд-во Казан, техн. ун-та, —1997. - С.43.

6. Горшунова Т.А. О множестве притягиваемых решений нелинейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та.-Саранск, январь-июнь 1997 / Мордов. ун-т. - Саранск, 1997. - С. 63 - 70. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.97, № 2618-В97.

7. Горшунова Т.А. Равномерная мраниченность решений возмущенных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, январь-июнь 1997 / Мордов. ун-т. - Саранск, 1997.-С. 56-62,-Деп. в ВИНИТИ 06.08.97, № 2618-В97.

8. Горшунова Т.А. Об О-кривых систем дифференциальных уравнений // Мат. моделирование, РАН- 1997.-Т.9,№10.~С.12.

9. Горшунова Т.А. Условная устойчивость решений систем дифференциальных уравнений // Тр. III Междун. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 19-21 мая, 1998.-Саранск, 1998.-С. 186.